COURS DE STRUCTURE Tome III MECANIQUE DES STRUCTURES J.M. GENEVOIS 1991 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3ECOLE INTER-ETATS DES TECHNICIENS SUPERIEURS DE LHYDRAULIQUE ET DE LEQUIPEMENT RURAL 01 BP 594 Ouagadougou 01 Burkina Faso Tl : (226) 31 92 03 / 31 92 04 / 31 92 18 Email : etsher@etsher.org Fax : (226) 31 92 34 Mcanique des Structures - p 2 SOMMAIRE I.STATIQUE GRAPHIQUE : RESOLUTION GRAPHIQUE DE PROBLEME DE STATIQUE PLANE................................................................................................................. 4 I.1.TRACE DE LA RESULTANTE DE 2 FORCES CONCOURANTES........................................... 4 I.2.EQUILIBRE D'UN SOLIDE .............................................................................................. 5 I.2.1.Traduction graphique du P.F.S.......................................................................... 5 I.2.2.Remarque ........................................................................................................... 5 I.3.CAS FONDAMENTAUX ELEMENTAIRES D'EQUILIBRE .................................................... 5 I.3.1.Cas lmentaire n 1 .......................................................................................... 5 I.3.2.Cas lmentaire n2 ........................................................................................... 6 I.3.3.Application aux portiques 3 articulations....................................................... 8 I.4.DECOMPOSITION D'UNE FORCE. CHOIX D'UN POLE..................................................... 10 I.4.1.Dcomposition d'une force (dans le plan des forces) ...................................... 10 I.4.2.Dcomposition d'une force (dans le plan physique) ........................................ 10 I.5.FORCE EQUIVALENTE A UN ENSEMBLE DE FORCES..................................................... 11 I.5.1.Travail dans le plan des forces : (dynamique)................................................. 11 I.5.2.Travail dans le plan physique : (funiculaire)................................................... 11 I.6.APPLICATION DU P.F.S AVEC LA DECOMPOSITION POLAIRE. ..................................... 13 II.SYSTEMES TRIANGULES PLANS....................................................................... 15 II.1.TRIANGULATION D'UNE STRUCTURE.......................................................................... 18 II.1.1.Description mcanique de la construction....................................................... 18 II.1.2.Problme de la rigidit de la structure ............................................................ 19 II.2.CALCUL DE SYSTEMES RETICULES : LES HYPOTHESES ET ETAPES COMMUNES A TOUTES LES METHODES ...................................................................................................................... 20 II.2.1.Hypothses de calcul ........................................................................................ 20 II.2.2.Cas particulier de nuds.................................................................................. 21 II.3.CALCUL DE SYSTEMES RETICULES : METHODE ANALYTIQUE..................................... 23 II.3.1.Mthode de calcul des efforts dans les barres ................................................. 23 II.3.2.Prsentation des rsultats ................................................................................ 26 II.4.CALCUL DE SYSTEMES RETICULES : METHODE DE CREMONA (METHODE DES NUDS) ................................................................................................................................. 27 II.5.CALCUL DE SYSTEMES RETICULES : METHODE DE RITTER (METHODE DES SECTIONS)30 II.6.SYNTHESE ENTRE METHODE DE RITTER ET DE CREMONA................................... 33 III.POUTRES HYPERSTATIQUES............................................................................. 35 III.1.AVANT-PROPOS : DEFORMATION D'UNE STRUCTURE............................................. 35 III.2.DEFORMATION ELEMENTAIRE D'UN TRONON DE POUTRE..................................... 37 III.2.1.Dformations lmentaires d'un tronon due l'effort normal N.................... 37 III.2.2.Dformation lmentaire due Mf.................................................................. 37 III.3.THEOREMES ENERGETIQUES.................................................................................. 39 III.3.1.Thorie du potentiel interne ............................................................................. 39 III.3.2.Thorme de CASTIGLIANO (utilisation de lexpression ci-avant de lnergie potentiel pour calculer des dformations) ....................................................................... 40 III.3.3.Thorme de MENABREA (utilisation du thorme de CASTIGLIANO ci-avant pour calculer des ractions dappui) ............................................................................... 42 III.3.4.Mthode de la Force Fictive (utilisation du thorme de CASTIGLIANO pour Mcanique des Structures - p 3 calculer des dformations partir dune force fictive).................................................... 43 III.3.5.Thorme de Bertrand de FONTVIOLLANT (Mthode des forces) ................ 45 III.4.ETUDE DES POUTRES CONTINUES : UTILISATION DES FORMULAIRES...................... 48 III.4.1.Mthode de rsolution...................................................................................... 48 IV.BIBLIOGRAPHIE..................................................................................................... 52 V.ANNEXES....................................................................................................................... 53 V.1.FORMULAIRE : POUTRES EN FLEXION A 1 TRAVEE INDEPENDANTE............................ 53 V.2.FORMULAIRE : POUTRES CONTINUES......................................................................... 57 Mcanique des Structures - p 4 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 I.STATIQUE GRAPHIQUE : RESOLUTION GRAPHIQUE DE PROBLEME DE STATIQUE PLANE L'tudegraphiqued'unquilibrefaitintervenirdeuxfigures,tracesenrespectantdes chelles, sur lesquelles sont reportes respectivement : LESDROITESD'ACTIONDESFORCES.C'estleplandesituation, tracl'chelledeslongueurs.Ilpermetdevrifierl'quilibreen moment du solide. Cette figure s'appelle le FUNICULAIRE, LA SOMME VECTORIELLE DES FORCES. C'est le plan des forces, tracl'chelledesforces.Ilspermetdevrifierl'quilibredusolide en rsultante. Cette figure est appele le DYNAMIQUE du systme. I.1.TRACE DE LA RESULTANTE DE 2 FORCES CONCOURANTES PLAN DE SITUATION Funiculaire trac l'chelle des longueurs. PLAN DES FORCES Dynamique trac l'chelle des forces. R = F1 + F2 Le trac de la somme vectorielle des forces F1 et F2 donne la direction, le sens et l'intensit de R La ligne d'action R est obtenue sur le plan de situation. Elle passe par le point Q, intersection de 1 et 2. En effet M F1/Q = M F2/Q = 0 Donc M(F1+F2)/Q = 0 La rsultante R ayant un moment en Q nul, sa ligne d'action doit donc passer par ce point. RF F 1 2 F 1 2FQ R 1 2 Mcanique des Structures - p 5 I.2.EQUILIBRE D'UN SOLIDE I.2.1.Traduction graphique du P.F.S. Une C.N.S. d'quilibre d'un solide est : Fext = 0 et M Fext/P = 0 quel que soit P L'quilibreenRESULTANTEindiquequela figureformeparlajuxtapositiondetouteslesforcesexercessurlesolidesereferme.Cequirevientdirequeledynamiquedesforcesextrieures appliques au systme est ferm. Exemple si 4 forces L'quilibreenmomentimposequedanstoutepartitionen2groupesdesefforts extrieurs agissant sur le solide, les lignes d'action des rsultantes de chaque groupe de forces soient confondues. I.2.2.Remarque L'applicationANALYTIQUEduP.F.S.permetladterminationd'auplus3 inconnues de liaison par solide isol (3 composantes de forces). Il en est videmment de mme de la traduction GRAPHIQUE d'un quilibre. I.3.CAS FONDAMENTAUX ELEMENTAIRES D'EQUILIBRE Lescaslmentairessontdfinisenfonctiondelanaturedesinconnuesdeliaison dterminer (module de la force, direction de la force). Ilsconstituentdescastypesauxquelsilfaudraserapporterpourlestudesgnrales d'quilibre. I.3.1.Cas lmentaire n 1 Les forces inconnues sont au nombre de 2 et sont constitues de : Uneforcededirectionetmoduleinconnus,passantparunpointA (articulation en A). Une force dont la droite d'action est fixe et le module inconnu (appui simple de direction y en B). FF1 2F 3F4Mcanique des Structures - p 6 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 RA + (RB + F) = 0 \_____/ LestroisforcesF,RAetRBdoiventtreconcourantes.DoncRApasseparI, intersection des lignes d'action de F et RB. La droite d'action de RA passe par A et I. Lesdirectionsdetouteslesforcesen prsence tant maintenant dtermines, il devientpossibledetravaillerdansle plan des forces pour trouver les modules deRAetRBentraantledynamique des efforts extrieurs. Echelle : 1 kN 1 cm I.3.2.Cas lmentaire n2 Les inconnues de liaison dterminer sont 3forcesdemodulesinconnus,maisdont lesdroitesd'actionsontconnues(appuis simplesenA,B,C).Pournepasquele systmesoitdgnr,ilfautqueles lignesd'actiondesappuissimplesne soient pas toutes concourantes. 1 1F = 20 KN1,5 3,5 2,51CABFBR A R= 1,3 KN= 2,7 KN A IB B R AR F I.A 4 m F B = 3,5 KN Mcanique des Structures - p 7 Lamthodeconsisteregrouper22leseffortsintervenantdansleproblmeet raisonner avec les 2 rsultantes partielles. F + RA + RB + RC = 0 \____/\_______/ La droite d'action de cette rsultante partielle passe par I (intersection de RA et deF). La droite d'action de cette rsultante partielle passe par J (intersection de RB et de RC). Ces deuxrsultantespartielles doivent tre gales et opposes puisque le systmeest en quilibre. Leur ligne d'action est donc la droite IJ. Ilestmaintenantpossibledetravaillerdansleplandesforcespourdterminerle module des inconnues. LetracpartieldudynamiquedonnelesvecteursRBet(F+RA)dansun premier temps. Il est ensuite immdiat d'obtenir RB et RC en fermant le dynamique. F R B R C R A J IC RB RR AFIJ R A = 17,5 KN = 2,7 KN B R = 14,0 KN C R Mcanique des Structures - p 8 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 I.3.3.Application aux portiques 3 articulations L'tudegraphiquen'estpossiblequesiundesdemi-portiquesestdcharg.Dansle cascontraire,ilestncessairededcomposerlechargementinitialendeux chargements complmentaires, chacun faisant l'objet d'un calcul de raction d'appui. =+ Etude 1Etude 2 RA = RA1 + RA2 En superposant les rsultats : RB = RB1 + RB2 ETUDE 1 1/2portiquedroit:Solideenquilibresoumisl'actiondedeuxforces.Ellessont donc gales et directement opposes. RB// BC Portique complet : Solide soumis 3 forces. Une condition ncessaire d'quilibre est qu'elles soient concourantes. Donc RA passe par I ( RA// AI ). Lesdirectionsdetouteslesforcessontconnues.Ledynamiquefournialorsles modules. ABV H = 5 KN 3 KN =C 13 m 2 1 VHB C BR BA CR AVIA R R B VMcanique des Structures - p 9 ETUDE 2 1/2portiquegauche:Solideenquilibresoumisde2forces.Ellessontdonc directement opposes. RA// AB Portiquecomplet:Solidesoumis3forces.UnC.N.d'quilibreestqu'ellessoient concourantes. Donc RB passe par I. Ladirectiondechacunedesforcesestconnue.Letracdudynamiquefournialors les modules des forces inconnues. Superposition des rsultats : Lesractionsd'appuiRAetRBsouslechargementinitialtotal(H+V)sont obtenuesparcompositiongraphiquedesractionsd'appuicorrespondantauxtudes 1 et 2. RA = RA1 + RA2 RB = RB1 + RB2 RA = RB = A R A CHB RBA CIH R B ARA R2 1R AAR R1 B2 BRRBMcanique des Structures - p 10 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 I.4.DECOMPOSITION D'UNE FORCE. CHOIX D'UN POLE Larsolutiongraphiqued'unproblmed'quilibrestatiquereposesurlarecherchedela position du point d'intersection des lignes d'action des forces . Lorsque les efforts en jeu sont sensiblementparallles,cepointd'intersectionestsituendehorsdelafeuilled'pure,etla mthode de travail prcdente n'est plus directement applicable. En pareil cas, il faut remplacer les efforts extrieurs initialement fournis par un autre systme deforcesmcaniquementquivalentes,maisdontleseffortsconstitutifsontdesdirections plus avantageuses. I.4.1.Dcomposition d'une force (dans le plan des forces) Une force F peut tre dcompose de multiples faons en deux forces. F = F1 + F2

= F3 + F4 etc Lechoixd'unpointPduplandesforces renduniqueladcompositiondeFen deux forces. Le point P est appel ple. F = f1 + f2 f1 et f2 sont les rayons polaires de F associs au ple P. I.4.2.Dcomposition d'une force (dans le plan physique) Il existe une multitude de systmes (f1, f2) quivalentsF,puisqu'ilsuffitqueles lignesd'actiondesdeuxforcesfise coupent sur la ligne d'action de F. Parexemple,lessystmessuivantssont tous quivalents. ( F ), ( f11 , f21 ), ( f12 , f22 ), ( f13 , f23 ), etc. F 1 F 4F 3F2 F F f 1f 2 P11f21 f 2212ff23 f 13fI I 3 F Mcanique des Structures - p 11 I.5.FORCE EQUIVALENTE A UN ENSEMBLE DE FORCES. I.5.1.Travail dans le plan des forces : (dynamique) - Le dynamique du systme est trac et la rsultante R est obtenue. R = A + B + C -UnplePestchoisiarbitrairementetchacunedes forces est dcompose en rayons polaires. A = a1 + a2 B = b1 + b2 C = c1 + c2 a2 = - b1 et b2 = - c1 Il apparat donc que : R = A + B + C = a1 + c2 CesontlesdeuxrayonspolairesextrmauxquidfinissentlarsultanteR du systme de forces. I.5.2.Travail dans le plan physique : (funiculaire) ChacunedesforcesFiestdcomposeen deux forces fi1 et fi2, dont les lignes d'action secoupentsurFi.Parmilamultitudedes possibilits de choix des fij, il faut retenir une solutiond'ensembledanslaquelleleslignes d'actiondesrayonspolairesenregardsoient confondues.Leseffetsmcaniquesdeces deuxcomposantess'annulentalorspuis-qu'elles sont directement opposes. Nesubsistentdoncplusqueleseffetsdes deuxrayonspolairesextrmaux,quise coupentenI(lesrayonspolairesextrmaux n'ontpasdevis--vis).LepointIsesitue doncsurlaligned'actiondelarsultante gnrale R. Aa1a 2 b 1 2 b1 c c2c B PAC R I BIAB I CIMcanique des Structures - p 12 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 Exemple 1 : Systme constitu de 2 forces F et G : FuniculaireDynamique S = (F, G) (f1, g1) R Exemple 2 : Reprsentation d'un coupleC = F x d FuniculaireDynamique R = F1 + F2 = 0 C = F x d = f x Ledynamiqueestferm(rsultantedu systme nulle). Lefuniculaireestouvert(moment rsultant du systme diffrent non nul). P 1f2 fg12 g GF1f 2 g R G I F II F R GF 1 2F d 1 f 1-f 1 f1F 2FP Mcanique des Structures - p 13 I.6.APPLICATION DU P.F.S AVEC LA DECOMPOSITION POLAIRE. Unsolideestenquilibresietseulementsiledynamiqueetlefuniculaire des efforts extrieurs appliqus sur le solide sont ferms. Equilibre DYNAMIQUE FERME FUNICULAIRE FERME Rsultante nulle Moment rsultant nul Exemple : Nature des liaisons et donc des inconnues : 2 appuis simples. P = 4,2 kNQ = 2,4 kNR = 4,1 kN FuniculaireDynamique RA =kN RB =kN y A BQPx R0 PQR( Q)( ) A ( )BP ( ) ()R0123 Ldf 0 2 1 3 Ldf PABQ PR Mcanique des Structures - p 14 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 Autre exemple : Nature des liaisons et donc des inconnues :1 articulation et1 appui simple. P = 2,1 kNQ = 5,3 kN FuniculaireDynamique RA =kNRB =kN yx Ldf1 20 (P) QP P (Q)QA (B)BPQ2 1 0 Ldf P(B) A B 0 Mcanique des Structures - p 15 II.SYSTEMES TRIANGULES PLANS Ces lments de structure (ou structures compltes) sont raliss partir de barres lies entre elles par leurs extrmits. Le principe constructif du treillis est utilis en charpente bois ainsi qu'en construction mtallique. Constructions mtalliques : * Poutres treillis mtalliques droites ou de hauteur variable. * Auvents. * Portiques. * Passerelles pitons ou routires. * Poteaux lectriques HT et MT. * Grues de levage. Construction bois : * Poutres droites d'taiement. * Fermes et fermettes Autres ouvrages : * Echafaudages. * Tribunes amovibles tubulaires, etc. Intrt de la construction en treillis : Cemodedeconstructionpermetd'utiliserdesproduitssimplespourraliserlesbarres (planches,fersplats,cornires,fersenU,tubesrondsourectangulaires,etc).Desimples plaquesmtalliques,desplaquesdecontre-plaqu,desconnecteurspeuventtreemploys comme goussets de liaison entre les barres, suivant la nature de celles-ci. Letravailsurcesmatriauxresteaussiassezsommaire(sciage,perage,soudage, boulonnage, clouage). L'ouvrage est prpar dans de bonnes conditions l'usine et assembl sur place. Il peut en cas de besoin tre facilement transform ou bien rcupr ultrieurement. Laconstructionestconomiquepuisquelamatireestbienutilise,tantdisposedefaon judicieuse, l o les efforts sont importants, et sans excs. Ilestparcontretrsimportantdenoterquela structuren'estrsistantequedanssonplanet qu'elle est extrmement fragile pour toute sollicitation en dehors de ce plan. Mcanique des Structures - p 16 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 Poutre en N Poutre K Poutre en V Ferme en W Ferme Polonceau 1 et 3 bielles. Exemple de ralisation de nud sur une poutre treillis mtallique. Mcanique des Structures - p 17 Perspective schmatique dune structure Mcanique des Structures - p 18 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 II.1. TRIANGULATION D'UNE STRUCTURE II.1.1.Description mcanique de la construction Une structure triangule est compose de barres et de nuds (une barre tant dfinie par son nud origine et son nud extrmit). Les nudssont les points gomtriques de jonction ou d'arrt des barres. Pour les calculs, les barres sont en fait les lignes gomtriques correspondant au lieu du C.d.G. de la section droite des barres physiques. Elles sont caractrises par : le matriau constitutif de la barre, l'aire et la forme de la section droite retenue. Pour le calcul, les barres sont supposes articules leurs extrmits (les nuds sont des articulations). EXEMPLE DE REALISATION ET SCHEMATISATION :Poutre droite triangule en bois (moise) ACBD2x150x27 A CBD Mcanique des Structures - p 19 II.1.2.Problme de la rigidit de la structure Lesbarresconstitutivesdoiventtredisposesdefaonobteniruneconstruction rigide, capable de s'opposer un chargement extrieur. Lafiguregomtriquesimpleconstituedesegmentsdedroitebiarticuls, demeurant rigide sous tout chargement dans son plan est le TRIANGLE. Dformation d'une cellule: Dformation d'un rectangle.Dformation d'un trapze.Systme indformable. Cas du triangle. Mthode de gnration de la structure : On part d'une cellule triangulaire, auquel on accole d'autres cellules triangulaires, et ce jusqu' constituer la structure complte dont la gomtrie est adapte au problme. Base indformablecellule triangulaire supplmentaire Cettemthodedeconceptionpermetd'assurerlarigiditdel'assemblagedebarres, ainsi que la calculabilit de la structure. Une triangulation de la structure obtenue par unautremoyenpeutentranerdesdifficultsdecalcul,oummetransformeren mcanisme la construction que l'on souhaite avant tout rigide. Mcanique des Structures - p 20 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 II.2. CALCUL DE SYSTEMES RETICULES : LES HYPOTHESES ET ETAPES COMMUNES A TOUTES LES METHODES L'objectif du calcul est de dterminer les efforts dans toutes les barres, afin dans un second temps de slectionner des profils du commerce capables de rsister ces efforts. II.2.1.Hypothses de calcul Les barres sont bi articules. Touteslesbarresconvergentesenunnudmultipledoiventtre concourantes. Lastructureestchargedanssonplan,etseulslesnudsreoiventdes charges ponctuelles. Le poids propre des barres est nglig (du fait du point prcdent). Effort dans une barre Labarreestunsolideenquilibresoumisl'action de 2 forces. Cesdeuxeffortsnepeuventtrequ'gauxet directement opposs. Laligned'actiondeseffortsdesnudssurlabarre(etdoncdelabarresurles nuds ) est confondue avec la ligne gomtrique de la barre. Dans ce contexte, on peut dire : Dansunsystmetriangulchargensesnuds,unebarren'est soumise qu' de la traction ou de la compression. Equilibre d'un nud Unnudestsoumisl'actiond'uneforceextrieurelastructureetl'actionde toutes les barres de la structure convergeant sur ce nud. Fb B A FA Mcanique des Structures - p 21 L'crituredel'quilibrestatiqued'unnudfourniunequationvectoriellede rsultante,soit2quationsscalaires.Eneffet,l'quilibreenmomentdunudest forcmentvrifipuisquetouteslesforcesenprsenceconvergentaupoint gomtriquecorrespondant).L'quilibred'unnudpermetdoncdedterminerles effort dans 2 barres aboutissant sur ce nud. Remarque : Pourdterminerleursens,ilestimportantdenoterqueleseffortscalculs correspondent ceux exercs par les barres sur les nuds, et non pas l'inverse(NF -> A., ND -> A , ). II.2.2.Cas particulier de nuds Avant tout calcul il est prfrable (simplification des calculs) d'analyser la structure etd'ydtecterlesnudsparticulier.Cesnudsontdespropritsremarquables susceptible de simplifier les calculs. Letableauci-aprsregroupequatrenudsparticuliers,isolsetnonchargs d actions extrieures. On dmontre sans peine les proprits qui en rsultent : NDAB A FC D EP P NFANEANCANBAGomtrieBarresalignesBarres 1 et 2alignesBarres alignesdeux deuxPropritN1 = N2N1 = 0N2 = 0N1 = N2N3 = 0N1 = N2N3 = N41212312341244 112233Mcanique des Structures - p 22 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 Exercices d'application Pour chacune des trois poutres en treillis suivantes, rechercher les barres effort nul, prcisant chaque fois le cas de nud particulier auquel vous vous rattach pour dire que l'effort est nul. Mcanique des Structures - p 23 II.3. CALCUL DE SYSTEMES RETICULES : METHODE ANALYTIQUE II.3.1.Mthode de calcul des efforts dans les barres Ilfautcommencerparcrirel'quilibred'unnudnecomportantquedeuxbarres. Ensuite, on parcours la structurede proche en proche en choisissant des nuds sur lesquels ne s'articulent pas plus de 2 barres dont les efforts sont inconnus. Exemple Ordre possible pour l'criture de l'quilibre des nuds : A, B, C, D, F, E Maisautrepossibilit,sicalculpralabledes ractions d'appuis : F2 = 20 KN, F1 = 10 kNF, E, D, B, A, C ou encore : Equilibre du nud A DoncFCA = F1 / sin Ecriture analytique du P.F.S. sur x : FBA + FCA cos = 0 sur y : FCA . sin = F1 et FBA = - F1 / tg Equilibre du nud C Ecriture analytique du P.F.S. sur x : FBC cos + FDC - FAC = 0 sur y : FBC sin = 0 E B F D C A1 m113 x 0.5 F 2 F1F 1F BA F CA A y xC F BC F DC F AC xy Mcanique des Structures - p 24 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 Donc FBC = 0 FDC = FAC A noter : Attention de choisir un repre local astucieux -> simplification des dcompositions analytiques ! Equilibre des nuds B et D EB B 2 F AB F DB FDCD N BD EDNNN F F Mcanique des Structures - p 25 Remarque : Dtermination graphique des forces. Tableau rcapitulatif des efforts dans les barres : (un effort de compression est positif) N barreF1 seulA.N.F2 seulA.N.Total AB AC BC DC BD ED EB EF FD RFx REx REy FDFFFFE = 1,.4 = 33,5 KN FxRDAC F CD = F= 18,8 KN DEF FFD= 37,2 KN = 20 KN2 F A F AB = 20KNF AC = 22,4 KNF1 E EBF F FE F ED R Ex= 33,2 KN R E= = 29,2 KN R EyMcanique des Structures - p 26 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 II.3.2.Prsentation des rsultats Lesrsultatsdoiventtreprsentssousformedetableaux,donnantl'intensitde l'effortdanschaquebarre,etlesensdeceteffort.Ilfautremarquerquesuivantle sens de l'effort, la barre est soumise de la traction ou de la compression. Indication du sens de l'effort : Conventionnellement,uneffortimposantunecompressionlabarreestcompt positivement, et ngativement dans le cas d'une traction. Autre mthode (graphique) : Une flche est dessine au voisinage du nud et indique le sens de l'effort barre/nud. BarreEffort (kN) AB+15 AC- 5 DA+10 EA+20 AF BE D C Mcanique des Structures - p 27 II.4. CALCUL DE SYSTEMES RETICULES : METHODE DE CREMONA (METHODE DES NUDS) On dcompose le plan de situation en cellules, dont les frontires correspondent aux lignes d'action des efforts sur les nuds (forces extrieures et efforts dans les barres). On choisi un sens de rotation pour l'inventaire des forces agissant sur chaque nud. Dans le plan des forces (dynamique), chaque force sera dsigne par les indices des cellules qu'elle dlimite. Le point origine de la force porte l'indice de la cellule dpart et le point extrmit de la force l'indice de la cellule arrive, le sens de parcours tant celui conventionnellement choisi pour la rotation autour des nuds. Donc F da Fvab L'crituregraphiquedel'quilibred'unnudestfaiteeninscrivantlesforcesdans l'ordre o elles se prsentent lors du cheminement autour du nud. Il faut utiliser les tracseffectuslorsdel'critureantrieuredel'quilibred'autresnudsdela structure. gfe da bcABC D E F F V +Mcanique des Structures - p 28 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 Exemple :chelle : 2 cm 10 kN La construction dmarre par l'quilibre du nud C. Tableau des rsultats : BarreEffort (kN) AB BCED DCEB BDAE gfe dabcF V +1,5 11 /4F=20KN =10KN d a 10 KN eg cf b Mcanique des Structures - p 29 Exercice : Dterminer les efforts dans chaque barres en utilisant la mthode de CREMONA On prendra pour chelle 1 cm 1 KN 3 KN 6 KN 6 KN 7 KN 4 KN 4 x 3 m 3 x 1 m Mcanique des Structures - p 30 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 II.5. CALCUL DE SYSTEMES RETICULES : METHODE DE RITTER (METHODE DES SECTIONS) Aulieudisolerunseulnud,ilestsouventintressantdisolertoutungroupede nuds, cest--dire une portion du treillis. Appliquonscarrmentleprincipedelacoupeensectionnantletreillisendeux fragments. On peut dessiner le schma de lun des fragments, isol ; si dventuelles ractions ont t calcules pralablement par lquilibre de tout le treillis , alors seul leffortnormaldechaquebarrecoupeapparat comme inconnue ; lquilibre de ce fragmentmettantenjeu3quations,lacoupenedevraitpasextrioriserplusde3 inconnues. La coupe idale est donc celle qui ne sectionne que trois barres ; elle sappelle coupe simple(ousectionsimple).Mais,plusgnralement,toutecoupepermettantde calculeruneffortnormalinconnuconvient,quelquesoitlenombredebarres coupes.Danslafigureci-aprsparexemple,Sa estunecoupesimple :ellepermet de calculer N34, N48 et N89 . Par contre, la coupe Sb coupe quatre barres, mais permet nanmoins de calculer directement N23 par lquation08 / =M Treillis rsoudre par coupe : (a) coupes ; (b) fragment de droite isol par la coupe Sa ; (c) fragment de droite isol par la coupe Sb Deplus,leseffortsnormauxquinaissentsurlesfacesdesbarrescoupessontles mmes pour les deux fragments. On crira donc lquilibre dun seul fragment, celui qui fournit les calculs les plus simples. La coupe est particulirement efficace lorsquon ne dsire trouver leffort normal que dansquelquesbarrestypiques(lesplussollicitesparexemple) ;ellefournitdun coupleffortnormaldansunequelconquebarre,vitantunelonguesuccession dquilibres de nuds. Mcanique des Structures - p 31 I.1.1.1.Exemples Ondsiretrouverleffortnormaldanslesbarres1et2dutreillisdelafigureci-aprs. Inutile de chercher une coupe simple pour 1 et 2 simultanment , il ny en a pas ici. Limportant est de trouver deux sections qui conduisent au calcul ais et efficace de N1 et N2. Calcul de N1 SoitlacoupesimpleS1traversantbiensrlabarre1.Ledessindufragmentde treillis situ droite de S1 et non gauche puisquon na pas calcul les ractions comporte3inconnuesN1,NaetNb.CommeseulN1importe,oncritlquation dquilibre = 0/ AM , o A est le point de concours de Na et Nb, = =hQ cN o d Q c Q c N h MA. . 5' . . 4 . .1 1 / (traction) Mcanique des Structures - p 32 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 Calcul de N2 SoitlacoupesimpleS2 ;onisolelefragmentdedroite,puisoncrit,tout simplement, = = = Q N o d Q N Fy. 2 ' 0 . 22 2 (compression) La mthode de RITTER sera utilise de prfrence : Pour le calcul des efforts dans 3 barres non concourantes, si l'on ne souhaite pas effectuer le calcul de toutes les autres barres de la structure triangule. PourdbloqueruneconstructiondeCREMONAlorsquel'onaplusde2 inconnues sur tous les nuds suivants. Exercice CalculerN1. Attention : OnnepeutcalculerN1niparlquilibre dunnudniparRITTER,sansavoir pralablement calcul N2 ! Mcanique des Structures - p 33 A 1,40m R II.6. SYNTHESE ENTRE METHODE DE RITTER ET DE CREMONA Lesdeuxmthodessontlgammentutilisablesensemblelorsqueleproblme correspondl'tudedel'quilibred'unsolidesoumisl'actionde4forcesde directions connues, non concourantes par trois (voir paragraphe I.3.2.). Les trois modules inconnus s'expriment alors en fonction de l'effort moteur connu. Exemple :On cherche NCD, NCB, NAB 1re ETAPE : Dtermination de la rsultante (grandeur et position) des efforts gauche (ou droite) de la section fictive . R = 25 kN PUIS : Dtermination graphique des efforts dans les 3 barres non concourantes. (dynamique ferm) 5 KN 10101010 C D AB 8 x 1m 1 10 10 10KN5 KNABNCD N CBNRMcanique des Structures - p 34 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 Autre exemple : Ferme Polonceau 3 bielles. En vous inspirant de lexemple ci-avant, dterminer l'effort dans la barre EI. Exercice Le vent agissant latralement, produit une force horizontalede36KNsurlapaleentreillisen K:rechercherladmarchelaplusefficace possiblepourcalculerl'effortnormaldansles barres 1 6 . Concluez sur la mthode de RITTER dans le cas d'une coupure complexe avec 4 forces mais dont 3 sont concourantes. 50KN505050 5050 50 A B D FHC EIG175KN 175KN24 m4 m1 m4 x 2m a b c dkji h gf leMcanique des Structures - p 35 III.POUTRES HYPERSTATIQUES III.1.AVANT-PROPOS : DEFORMATION D'UNE STRUCTURE Toutestructuresupportantunchargementsedforme,cequisetraduitparundplacement (plus ou moins important) de chaque point de la construction. Lalignemoyennedelastructuresubitalorsundplacement,caractrisparlestrois composantes: u(x) : composante horizontale du dplacement v(x) : composante verticale du dplacement (x) : rotation de la section droite observe Chargement sur la structure. Contraintes dans le matriau. Dformation du matriau. Dplacement en chaque point de la structure. - champ de dplacement Maisrciproquement,lefaitd'imposerundplacementunpointd'unestructuredonne naissance des efforts internes dans la structure. Lorsqu'unestructuresedforme,ledplacementd'unpointquelconquersulte desdformationsdetouslestrononslmentairesdespoutresformantla construction et des dplacements autoriss au niveau des appuis extrieurs de l'ouvrage. Pourcalculerledplacementd'unpointdelastructure,ilfaudradoncvaluerles dformations en tout point de la structure. Exemple n1: Tirant Soituntronondebarredelongueurdx,reprpar sa distance au sommet x. = longueur (dx) LedplacementverticaldupointQsitu l'extrmitinfrieuredelabarreestlasommedes allongementsdetouslestrononslmentaires compris entre l'origine O et l'extrmit Q. F O dx P Q PF=0 dx (dx) F0Mcanique des Structures - p 36 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 Exemple n 2 : Cas d'une poutre console Poutre console flchie par un couple C appliqu en A. Regardons l'effet de la dformation de flexion d'un tronon de longueur dx centr sur Q, tout le reste de la poutre tant suppos rigide (non dform). Surl'lmentdepoutredelongueurdx,on observeunedviationangulaired,dontles cons-quences en P sont : Une dviation angulaire d, Un petit dplacement vertical dont la valeur est d (P) = d . |QP| La dformation de tous les tronons lmentaires situs gauche de P a une incidence surledplacementdupointP.LedplacementtotaldePestvaluensommant gomtriquementlesdplacementslmentairesdePdusladformationdetousles tronons lmentaires gauche de P. Les expressions valuer sont : (P) =OP d v(P) =OP dv=OP |QP| . d (Q) O c Q P v (p) (p) O ddxQP d(P,x)Mcanique des Structures - p 37 III.2.DEFORMATION ELEMENTAIRE D'UN TRONON DE POUTRE Nousvenonsdevoirqu'ilfaut,pourconnatreledplacementd'unpointd'unestructure, dterminer la dformation de tous les tronons de poutre de la structure. Cette dformation d'un tronon rsulte de l'action sur ce tronon de l'effort normal, de l'effort tranchant et du moment flchissant, qui ajoutent leurs effets. III.2.1.Dformations lmentaires d'un tronon due l'effort normal N Sur un tronon de poutre de longueur dx soumis uniquement un effort normal N, on observeunetranslationparalllel'axexx'delasection(x+dx)parrapportla section voisine (x). La valeur du dplacement d est obtenue par application directe de la loi de HOOKE. du = - N/ES dx E: Module d'YOUNG du matriau S: Aire de la section droite III.2.2.Dformation lmentaire due Mf Dans un tronon de poutre de longueur dx soumis uniquement au moment flchissant Mf,onobserveunerotationdelasectiondroite(x+dx)parrapportlasection droite voisine (x), d'intensit d. d = Mf dx E.I E :Module d'YOUNG I :Moment quadratique de la section droite Cette relation est obtenue par application de la loi de HOOKE et de l'hypothse de NAVIER-BERNOUILLI. (voir Cours de R.D.M). NN dx du ij x(x + dx) f M d ijf M x x + dx Mcanique des Structures - p 38 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 Remarque1:Lesdplacementsdusl'efforttranchantVsontfaiblesdevantceux dusMfetN.Nouslesngligeronssystmatiquementdansles calculs et ne fournissons par leur expression. De mme, les dplacements dus l'effort normal sont presque toujours ngligs devant ceux dus la flexion. Remarque2:Siy=y(x)estl'expressionalgbriquedelalignedformedela poutre. Lacomparaisonentrel'expressionapprochedurayondecourbured'une courbeetcelledeladformationdeflexiond'untronondepoutrepermet d'crire: y"(x) = Mf(x)/EI Enconsquence,lalignedformed'unepoutreprsenteunpoint d'inflexionaudroitdessectionsdanslesquelleslemomentflchissantest nul. POINT D'INFLEXION de la ligne dformePOINT DE MOMENT NUL Exercice d'application : AllezvoirlacharpenteduhangardelaFAO.Cettecharpenteadonnlieuunerparation majeure, la liaison de continuit des poutres ayant t mis sur appui ce qui a transformer les poutresenpoutresisostatiquesalorsqu'ellesdevaienttravaillercommedespoutres hyperstatiques (2 traves).Tracerl'alluredudiagrammedesmomentsd'unetellepoutrehyperstatique2traves,et concluez sur la position approximative o il aurait fallu mettre la liaison constructive. Observer la mthode rparatoire adopte (les poutres ont t soulevs mi-trave au cric de voiture pour les redresser avant mise en uvre des cornires de renfort). +-+- F Lieuomettrela liaisonconstructive (ie. l o le moment est nul) Mcanique des Structures - p 39 III.3.THEOREMES ENERGETIQUES III.3.1.Thorie du potentiel interne Notretudeconcernelesstructurespourlesquelleslesmatriauxontun comportement lastique, toutes les liaisons sont fixes (pas de dformation de liaison) etsansfrottement,etlesdformationsrestentfaibles(hypothsesdelaRDM). Lnergie ne se dissipe donc pas. I.1.1.2.Dfinition du potentiel interne Pourunestructuredeformequelconque(fig.ci-dessous)soumiseunchargement extrieur,lesactionsmcaniquesappliques, travaillantaucoursdeladformation, crentunenergieappelenergiepotentielleoupotentielinterneouencore potentiel de dformation note W. I.1.1.3.Expression du potentiel interne Premire expression Exprimonslepotentielinterneenfonctiondeseffortsextrieursetdes dplacements. Pourunsystmedeforcesextrieures{ }i iC F ; ,lepotentielinterneWapour expression : ( ) + =ii i i iC F W . . (I) o i est le dplacement du point dapplication de Fi dans la direction du support de Fi et i, la rotation de la section au point dapplication de Ci . Deuxime expression Exprimons le potentiel interne en fonction des sollicitations internes. Pour une structure soumise un effort normal N(x), un effort tranchant V(x), un moment flchissant M(x), le potentiel interne W a pour expression : ( ) ( ) ( )dxI Ex MS Gx VS Ex NWStructure ||.|

\|+ + =. . ..21212 2 (II) Dforme Position initiale Energie de dformation Mcanique des Structures - p 40 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 Engalant(I)et(II),onobtientlarelationsuivanteentreactionsextrieures, sollicitations internes et dformations : ( ) ( ) ( )( ) + =||.|

\|+ +ii i i iStructureC F dxI Ex MS Gx VS Ex N. .. . ..21212 2 Danslecasgnraldespoutres,onngligeraleseffetsdelefforttranchantetde leffort normal devant celui du moment flchissant, do par simplification : ( )( ) + ||.|

\|ii i i iStructureC F dxI Ex M. ...212 III.3.2.Thorme de CASTIGLIANO (utilisation de lexpression ci-avant de lnergie potentiel pour calculer des dformations) Enonc du thorme La drive partielle edupotentielinterneparrapport Couple unForce uneappliqu(e)lastructure(S),est galelaprojectionsurlesupportdecetteactiondu rotationt dplacemendesonpoint dapplication., ce qui mathmatiquement scrit : kkiiCS WFS W==) ( ) ( O i est le dplacement du point dapplication de Fi et k la rotation de la section au point dapplication Ck Exemple : 1 C1 Dforme de la console sous leffet du couple C1 Angle de la rotation de la section droite de console son extrmit, lieux dapplication de C1 Ici, ( )111CC W= Mcanique des Structures - p 41 Exemple : Exercice Considrons une console charge son extrmit. Calculer de la flche en B (fb). ===x F x MF x Vx N. ) () (0 ) ( Onngligeleffetdeleffort tranchant et de compression, do le potentiel interne : ||.|

\|=||.|

\|=I El FdxI Ex FWl. . 3..21...213 202 2et I El FfFWfb b. . 3. ) (3= = Exercice Calculer B, rotation de la section B sous leffet du couple C l AB Fx y + 1 F1 Dplacement le long de la direction F1 de la section droite de poutre F1 ligne daction de F1 Ici, ( )111FF W= l AB C x y + Mcanique des Structures - p 42 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 III.3.3.Thorme de MENABREA (utilisation du thorme de CASTIGLIANO ci-avant pour calculer des ractions dappui) LethormedeCASTIGLIANOappliquauniveaudesliaisons,sachantqueles dformationssontnullessuivantchaquedirectionbloques,permetdobtenirpour chaqueliaison,unequationnefaisantintervenirqueleseffortsextrieurs,les caractristiques gomtriques de la poutre et son module de Young. Cette procdure permet de rsoudre les systmes hyperstatiques. Enonc du thormeLesvaleursqueprennentlesactionsdeliaisonhyperstatiquescorrespondantaux liaisons surabondantes rendent minimal le potentiel interne W du systme considr exprim en fonction de ces actions de liaison. Exemple OnseproposededterminerlinconnuedeliaisonenBdelapoutrehyperstatique dordre 1 suivante : Linconnue de liaison en B est appele VB . La structure quivalente scrit donc : avecxVx M x Px V x MBB= =) (2.. ) (2 Lapplication du thorme en B donne alors : 8. . 308.3.0 . ).2.. ( ..10 ). ( .) (..14 3020l pVl p lVdx xx px VI Edx x MVx MI E VWB BlBBlB= = = == l AB P x y + Car B =0 et donc VB. B = 0VB = RBy B = 0 l ABP xy+Mcanique des Structures - p 43 III.3.4.Mthode de la Force Fictive (utilisation du thorme de CASTIGLIANO pour calculer des dformations partir dune force fictive) Lebutestdetrouverentoutpointdelastructureledplacement(translation, rotation) de la section dans une direction donne. Parexemplepourlastructureci-contre, on recherche le dplacement verticale en Bsousleffetdeladensitdecharge linaire P . Onappliqueuneforcefictivesuivantladirectionrechercheetaudroitdupoint tudi. Connaissantlessollicitationsinternestout aulongdelastructureenfonctiondecet effort fictif et du chargement existant, on en dduit le dplacement recherch en crivant que : ((

+ = ) (0P WfLim Ce qui sexprime de faon pratique, en ngligeant les effets de leffort tranchant et de leffort normal devant celui du moment flchissant (particularit des poutres): Dmonstration : Elle est immdiate en utilisant le thorme de CASTIGLIANO. En effet : + = +) () (P WP fB or( )B B Bf P f P f = = +) ( ) ( lim0

Do : ((

+ = ) (0P WfLim B l A BP x y + ? l A BP x y + Flche en B pour la structure charge avec P et Travail de la structure sous P et Car =0 alors !! ( ) dx x Mx MI Efl. ) ( lim .) (lim ..1000 ||.|

\| Mcanique des Structures - p 44 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 Exemple:Danslecasdenotreexempleci-avant lcriturepratiqueduthormedelaForce Fictive, nous permet dcrire que : 2.. ) (2x Px x M = etxx M =) ( do | |2.) ( lim20x Px M = etxx M =((

) (lim0 donc ( ) dx xx PI EP Wl. .2...1 ) (lim020||.|

\| ||.|

\| + et I El PfB. . 8.4=l ABP xy+ Mcanique des Structures - p 45 AVAMAHBVBHBMAV2 AM 2 AH 2 1( )2SAV3 AM 3 AH 3 1( )3S III.3.5.Thorme de Bertrand de FONTVIOLLANT (Mthode des forces) Cette mthode est une autre faon de rsoudre un systme hyperstatique. A une structure (S) hyperstatique de degr N, on associe n structures (iS ). Ellesontlammegomtriequelastructure(S),etsontuniquementsollicitespar unechargeunitaireappliquelaplacedesinconnueshyperstatiqueschoisies pralablement. Le thorme de FONTVIOLANT a pour expression : . 1......1=||.|

\|+ +dsS EN NS GV VI EM MS AV1 AM 1 AH 1 1( )1SVecteur unit Mcanique des Structures - p 46 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 O :M, V et N sont les sollicitations internes dans la structure (S), N etV , M sontlessollicitationsinternesdanslastructure( S ),1tantlaction unitaire, est le dplacement du point dapplication de laction unitaire dans sa direction. Pour lexemple graphique ci-avant utilis, on obtient : dlS EN NS GV VI EM MABHB||.|

\|+ + = =......0 . 1111 1dlS EN NS GV VI EM MABVB||.|

\|+ + = =......0 . 1212 2dlS EN NS GV VI EM MABMB||.|

\|+ + = =......0 . 1313 3 Ces 3 quations sajoutent aux quations donnes par le PFS, ce qui nous permet de rsoudre le systme hyperstatique. ExempleNous allons nous intresser la rsolution dune poutre hyperstatique de degr 1 par la mthode des forces (thorme de Bertrand de FONTVIOLANT) Nousavonspriscommeinconnue hyperstatique, laction de liasion en B. La structure ( S ) est obtenue en plaant un effort unitaire en A et dans la direction de VB. On ngligera leffet de leffort tranchant devant celui du moment flchissant . Les quations du moment flchissant dans la structure (S) est nous donnent : Pour x < L/2 : M(x) = VA.x Pour L/2 < x < L: M(x) = VA.x P.(x - L/2) L Px y +L/2 VB VA HA MA (S) L A B P x y + L/2 Mcanique des Structures - p 47 Lquation du moment flchissant dans la structure ( S ) est : Pour 0 < x < L:1 . ) ( x x M = Par application du thorme de Bertrand de FONTVIOLANT, on obtient : dxI EM MlB= =0..0 . 1 ((((

|.|

\| + = dxlx x P x V dx x VI ElBlB.2. . . . ..10220220 do : 16. 5 PVA = x y + L1 VA HA MA ( S ) Mcanique des Structures - p 48 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 III.4.ETUDE DES POUTRES CONTINUES : UTILISATION DES FORMULAIRES Dans les constructions industrielles, ltude des structures se ramne souvent au calcul densembles de poutres droites assembles en continuit les unes par rapport aux autres, et lies un systme dlments porteurs. III.4.1.Mthode de rsolution 1) On dfinit une structure isostatique associe ayant: Mme gomtrie, mme matriau, mme section des poutres. Mme chargement extrieur que la structure initiale. Parcontrecertainesliaisonsinternesouavecl'extrieursontrelaxes,de faonrendreisostatiquelastructureinitiale.Lesliaisonsrelaxessont remplacespardesforcesponctuelles,correspondantauxdegrsdeliaison librs. 2)Oneffectuel'tudesurlastructureisostatiqueassocierecevantenplusduchargement initialconnu,desforcesponctuellesinconnuescorrespondantauxinconnuesdes liaisons relaxes. 3) On crit les conditions de dformation traduisant l'identit entre les lignes dformes de la structure hyperstatique initiale et de la structure isostatique associe. C'estcettedernireconditionquipermetd'atteindrelesvaleursdes inconnues hyperstatiques. Exemple Poutrecontinuesur3appuis,uniformment charge. Le systme est hyperstatique d'ordre 1 Poutre isostatique associe: Chargement total de la poutreisostatique associe: LL A C B q C 2LAA C XqMcanique des Structures - p 49 La condition qui traduit la similitude entre le systme initial et la poutre isostatique associe chargeparqetlaforce"supplmentaire"XestqueledplacementverticaldupointBest nul. Calcul du dplacement vertical du point B: (application du thorme de superposition) (S) (B) (So) o(B) X . (S1) X . 1(B) En consultant un formulaire. |o(B)| = 5qL4 / 24EI|1(B)| = 1.L3 / 6EI Il reste crire la condition de dplacement au droit de l'appui hyperstatique, et en dduire la valeur de l'inconnue hyperstatique X. (B)= 0 Soit- 5qL4+ X. L3= 0 24 EI 6EI Donc X= 5.qL 4 ce quil faut retenir ce stade : le thorme de superposition est valable pour : - la superposition des cas de charges mais aussi - la superposition des dformations. La dcomposition dune poutre continue (non dcrit dans les formulaires) en poutres isostatiques simples permet de rsoudre les problmes de poutre continue les pluscompliqus (nombre de traves, type de chargement). C B q A qAC X(B) = 0+X A q Cq= 1 +X .X .+01 Mcanique des Structures - p 50 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 Ractions d'appui. Lavaleurdelaractiond'appuihyperstatiquetantconnue,leprincipedesuperposition permet de trouver RAv et RCv : RAv = RCv = qL - (5/8).qL = (3/8)qL Diagramme de Moments flchissants. Cette fois, on applique le principe de superposition sur les courbes de moment flchissant. Mf(x) =Mf0(x) +X . Mf1(x) Exercice UnplancherdestockagedecralesensacsestsupportpardespoutrellesIPEcontinues reposant sur 4 appuis. +Mf0 0 2LxqL/2 0 -x8 qL 2 5 Mf1X. Mf 2L 2qL8-L+ + -A B C D4 m 4 m 4 mMcanique des Structures - p 51 Lepoidspropreduplanchercorrespondunechargelinairesurlapoutrede10KN/ml. Lorsquunetraveestutilisepourstockage,lachargelinairecorrespondanteestde30 KN/ml.Aumilieudelatravecentrale,uneforceponctuelleverticalede15KN correspondantlemploidunchariotporteurpeutsappliquer,indpendammentde loccupation des divers traves.1.A partir de vos formulaires donner les moments sur appuis MB et MC dans les cas de figure ci-aprs (expression en fonction de L, P et F). 2.Aprsavoirdterminerlecasdechargementleplusdfavorable,dterminerle moment maxi sur appui en B (expression en fonction de L, P et F). Cas ICas IICas IIICas IV MB = 4..103 L FMB = MB = MB =MC = 4..103 L FMC = MC = MC = Cas de charge o MB est maxi(schma) : Valeurs de MB : Mcanique des Structures - p 52 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 IV.BIBLIOGRAPHIE TITRESRfrences Biblio. ETSHER Trait de Gnie Civil : ANALYSE DES STRUCTURES ET MILIEUX CONTINUS ; Tome I- La statique Applique Prcis de Structures de Gnie Civil ; Projets, Dimensionnements, Normalisation La mcanique par les problmes : 200 problmes dont plus de 100 rsolus Rsistance des matriaux GEN 2 (156) Mcanique des Structures - p 53 V.ANNEXES V.1. FORMULAIRE : POUTRES EN FLEXION A 1 TRAVEE INDEPENDANTE MO P L Moment flchissant maximum Charge totale sur la trave Longueur de la poutre E I fO Coefficient dlasticit de lacier ou autre . Moment dinertie Flche maximale ATTENTION : Ainsi en formule fO =Chl n 2utiliser les units Rfrences : STAMLBAU1956 Tome I page 128. f n l h Flche en mm Contrainte en kg/mm Porte en mtres Hauteur de la poutre en cm PLLabM2O =L I Eb Pa0,333 f2 2O = 4PLPL 25 , 0 MO= =hnl8 , 0EIPL0208 , 0 f2 3O= = 6PLPL 166 , 0 MO= =hnl02 , 1EIPL0177 , 0 f2 3O= = 8PLPL 125 , 0 MO= =hnl10 , 1EIPL0143 , 0 f2 3O= = 6PLPL 166 , 0 MO= =hnl95 , 0EIPL0165 , 0 f2 3O= = 7,2PLPL 138 , 0 MO= =hnl95 , 0EIPL0136 , 0 f2 3O= = 6,66PLPL 150 , 0 MO= =hnl02 , 1EIPL0157 , 0 f2 3O= = 8PLPL 125 , 0 MO= =hnl95 , 0EIPL0123 , 0 f2 3O= = 6,66PLPL 150 , 0 MO= =hnl00 , 1EIPL0153 , 0 f2 3O= = 7PLPL 143 , 0 MO= =hnl00 , 1 f2O= = 7,2PLPL 138 , 0 MO= =hnl00 , 1 f2O= =a b1/2 1/21/3 1/3 1/31/4 1/2 1/41/4 1/4 1/4 1/41/6 1/3 1/3 1/61/5 1/5 1/5 1/51/61/51/6 1/6 1/6 1/6 1/61/8 1/4 1/4 1/8 1/46 ou 7 charges 8 ou 9 charges Mcanique des Structures - p 54 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 8PLPL 125 , 0 MO= =hnl00 , 1EIPL0130 , 0 f2 3O= = 6PLPL 166 , 0 MO= =hnl96 , 0EIPL0166 , 0 f2 3O= = 6,4PLPL 156 , 0 MO= =hnl98 , 0EIPL0159 , 0 f2 3O= = 7,78PLPL 128 , 0 MO= =hnl98 , 0EIPL0130 , 0 f2 3O= = 12PLPL 083 , 0 MO= =hnl08 , 1EIPL0094 , 0 f2 3O= = 7,11PLPL 14 , 0 MO= =hnl9 , 0EIPL013 , 0 f2 3O= = 2aO2La12PM|.|

\| =( )32 2Oa 2LLaEIP01134 , 0 f = ( ) b - 2L8PMO = ( )3 2 3Ob Lb 4 L 8EIP02602 , 0 f + = |.|

\| + =2Pb Ra R MGG O 5,33PLPL 187 , 0 MG= = 6,42PLPL 0,156 Mt= =hl n0,48EIPL009317 , 0 f2G3= = 8PLPL 125 , 0 MG= = 14,2PLPL 0,070 Mt= =hl n0,42EIPL005405 , 0 f2G3= =ba b aa b cp 0,688P0,312P p 0,625P 0,375P Mcanique des Structures - p 55 7,5PLPL 133 , 0 MG= = 17PLPL 06 0, Mt= =hl n0,34EIPL004780 , 0 f2G3= = 8,56PLPL 116 , 0 MG= = 11,8PLPL 0,084 Mt= =hl n0,5EIPL003048 , 0 f2G3= = 9,14PLPL 109 , 0 MG= = 9,75PLPL 0,102 Mt= =hl n0,6EIPL006767 , 0 f2G3= = 8PLPL 125 , 0 MG= = 8PLPL 25 0,1 Mt= =hl n0,4EIPL00521 , 0 f2G3= = 12PLPL 083 , 0 MG= = 24PLPL 0,042 Mt= =hl n0,3EIPL002604 , 0 f2G3= = 10PLPL 100 , 0 MG= = 23,3PLPL 0,043 Mt= =hl n0,25EIPL002602 , 0 f2G3= =p 0,5P0,5P p 0,8P0,.2P p 0,45P0,55P p 0,36P 0,64P p 0,5P 0,5P p 0,7P0,3P Mcanique des Structures - p 56 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 9,6PLPL 104 , 0 MG= = 16PLPL 0,062 Mt= =hl n0,34EIPL003646 , 0 f2G3= = 8,72PLPL 115 , 0 MG= = 19,8PLPL 0,051 Mt= =hl n0,25EIPL003000 , 0 f2G3= = 1PLPL 00 , 1 MG= = hl n3,18EIPL333 , 0 f2G3= = 2PLPL 50 , 0 MG= = hl n2,38EIPL125 , 0 f2G3= = 3PLPL 33 , 0 MG= = hl n1,93EIPL066 , 0 f2G3= = 10PLPL 66 , 0 MG= = hl n2,65EIPL183 , 0 f2G3= = p 0,5P0,5P p 0,813P0,187P p p p p Mcanique des Structures - p 57 V.2. FORMULAIRE : POUTRES CONTINUES CHARGE UNIFORME ||.|

\|+ = +||.|

\|+ + 232 2131 122C2211B11AIl p Il p41-IlMIlIl2MIlM CHARGES CONCENTREES||.|

\|+ ||.|

\|+ = +||.|

\|+ + 2222 2 21111 1 122C2211B11Alb1Ib a pla1Ib a P-IlMIlIl2MIlM Lquation des 3 moments stablit de proche en proche en prenant successivement 2 traves adjacentes et en tenant compte de ce que les moments sur les appuis extrmes sont nuls. - indice 1 : gauche - indice 2 : droite Disposition de la chargeRactions dappuixMxxMx VA = VC = 0,375 pl VB = 1,25 pl 0 0,10 l 0,20 l 0,30 l 0,40 l 0,50 l 0,60 l 0,70 l 0,80 l 0,90 l l 0 0,0325 pl2 0,0550 pl2 0,0675 pl2 0,0700 pl2 0,0625 pl2 0,0450 pl2 0,0175 pl2 - 0,0200 pl2 - 0,0675 pl2 - 0,1250 pl2 l 1,10 l 1,20 l 1,30 l 1,40 l 1,50 l 1,60 l 1,70 l 1,80 l 1,90 l 2l - 0,1250 pl2 - 0,0675 pl2 - 0,0200 pl2 0,0175 pl2 0,0450 pl2 0,0625 pl2

0,0700 pl2

0,0675 pl2

0,0550 pl2 0,325 pl2 0 Disposition de la chargeRactions dappuixMxxMx VA =0,437 pl VB = 0,625 pl VC = - 0,063 pl 0 0,10 l 0,20 l 0,30 l 0,40 l 0,50 l 0,60 l 0,70 l 0,80 l 0,90 l l 0 0,0388 pl2 0,0675 pl2 0,0863 pl2 0,0950 pl2 0,0938 pl2 0,0825 pl2 0,0613 pl2 0,0300 pl2 - 0,0113 pl2 - 0,0625 pl2 l 1,10 l 1,20 l 1,30 l 1,40 l 1,50 l 1,60 l 1,70 l 1,80 l 1,90 l 2l - 0,0625 pl2 - 0,0563 pl2 - 0,0500 pl2 - 0,0438 pl2 - 0,0375 pl2 - 0,0313 pl2

- 0,0250 pl2

- 0,0188 pl2

- 0,0125 pl2 - 0,0063 pl2 0 Disposition de la chargeRactions dappuixMBxMB VA =( )33 2 2x3l 4x l x l 4 4l P + MB = - ( )22 2xl 4x l p 0 0,10 l 0,20 l 0,30 l 0,40 l 0,50 l 0,60 l 0,70 l 0,80 l 0,90 l l 0 - 0,0248 pl - 0,0480 pl - 0,0683 pl - 0,0840 pl - 0,0938 pl - 0,0960 pl - 0,0893 pl - 0,0720 pl - 0,0428 pl

0 l 1,10 l 1,20 l 1,30 l 1,40 l 1,50 l 1,60 l 1,70 l 1,80 l 1,90 l 2l 0 - 0,0428 pl - 0,0720 pl - 0,0893 pl - 0,0960 pl - 0,0938 pl - 0,0840 pl - 0,0683 pl - 0,0480 pl - 0,0248 pl 0 xA B Cp l lxA B C p l lxA B C p l lMcanique des Structures - p 58 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 MomentsdeflexionDisposition de la chargeRactions dappui xMxxMxxMx VA = VD = 0,40 pl VB = VC = 1,10 pl 0 0,10 l 0,20 l 0,30 l 0,40 l 0,50 l 0,60 l 0,70 l 0,80 l 0,90 l l 0 0,0350 pl2 0,0600 pl2 0,0750 pl2 0,0800 pl2 0,0750 pl2 0,0600 pl2 0,0350 pl2 0,0000 pl2 - 0,0450 pl2 - 0,1000 pl2 l 1,10 l 1,20 l 1,30 l 1,40 l 1,50 l 1,60 l 1,70 l 1,80 l 1,90 l 2l - 0,1000 pl2 - 0,0550 pl2 - 0,0200 pl2 0,0050 pl2

0,0200 pl2 0,0250 pl2

0,0200 pl2

0,0050 pl2

- 0,0200 pl2 - 0,0550 pl2 - 0,1000 pl2 2 l 2,10 l 2,20 l 2,30 l 2,40 l 2,50 l 2,60 l 2,70 l 2,80 l 2,90 l 3l - 0,1000 pl2 - 0,0450 pl2 0,0000 pl2 0,0350 pl2 0,0600 pl2 0,0750 pl2 0,0800 pl2 0,0750 pl2 0,0600 pl2 0,0350 pl2 0 VA = 0,433 pl VB = 0,650 pl VC = 0,100 pl VD = 0,017 pl 0 0,10 l 0,20 l 0,30 l 0,40 l 0,50 l 0,60 l 0,70 l 0,80 l 0,90 l l 0 0,0383 pl2 0,0667 pl2 0,0850 pl2 0,0933 pl2 0,0917 pl2 0,0800 pl2 0,0583 pl2 0,0267 pl2 - 0,0150 pl2 - 0,0667 pl2 l 1,10 l 1,20 l 1,30 l 1,40 l 1,50 l 1,60 l 1,70 l 1,80 l 1,90 l 2l - 0,0667 pl2 - 0,0583 pl2 - 0,0500 pl2 - 0,0417 pl2 - 0,0333 pl2 - 0,0250 pl2

- 0,0167 pl2 - 0,0083 pl2

0,0000 pl2 0,0083 pl2 0,0167 pl2 2 l 2,10 l 2,20 l 2,30 l 2,40 l 2,50 l 2,60 l 2,70 l 2,80 l 2,90 l 3l 0,0167 pl2 0,0150 pl2 0,0133 pl2 0,0117 pl2 0,0100 pl2 0,0083 pl2 0,0067 pl2 0,0050 pl2 0,0033 pl2 0,0017 pl2 0 VA = VD = 0,05 pl VB = VC = 0,55 pl 0 0,10 l 0,20 l 0,30 l 0,40 l 0,50 l 0,60 l 0,70 l 0,80 l 0,90 l l 0 - 0,0050 pl2 - 0,0100 pl2 - 0,0150 pl2 - 0,0200 pl2 - 0,0250 pl2 - 0,0300 pl2 - 0,0350 pl2 - 0,0400 pl2 - 0,0450 pl2 - 0,0500 pl2 l 1,10 l 1,20 l 1,30 l 1,40 l 1,50 l 1,60 l 1,70 l 1,80 l 1,90 l 2l - 0,0500 pl2 - 0,0050 pl2 0,0300 pl2 0,0550 pl2

0,0700 pl2 0,0750 pl2

0,0700 pl2

0,0550 pl2

0,0300 pl2 - 0,0050 pl2 - 0,0500 pl2 2 l 2,10 l 2,20 l 2,30 l 2,40 l 2,50 l 2,60 l 2,70 l 2,80 l 2,90 l 3l - 0,0600 pl2 - 0,0450 pl2 - 0,0400 pl2 - 0,0350 pl2 - 0,0300 pl2 - 0,0250 pl2 - 0,0200 pl2 - 0,0150 pl2 - 0,0100 pl2 - 0,0050 pl2 0 DDDA B C p xl l lA B C p xl l lA B C p xl l lMcanique des Structures - p 59 MomentsdeflexionDisposition de la chargeRactions dappui xMxxMxxMxxMx VA = VE = 0,3929 pl VB = VD = 1,1429 pl VC = 0,9286 pl 0 0,10 l 0,20 l 0,30 l 0,40 l 0,50 l 0,60 l 0,70 l 0,80 l 0,90 l l 0 0,0343 pl2 0,0586 pl2 0,0729 pl2 0,0771 pl2 0,0714 pl2 0,0557 pl2 0,0300 pl2 - 0,0057 pl2 - 0,0514 pl2 - 0,1071 pl2 l 1,10 l 1,20 l 1,30 l 1,40 l 1,50 l 1,60 l 1,70 l 1,80 l 1,90 l 2l - 0,1071 pl2 - 0,0586 pl2 - 0,0200 pl2 0,0086 pl2

0,0271 pl2 0,0357 pl2

0,0343 pl2

0,0229 pl2

0,0014 pl2 - 0,0300 pl2 - 0,0714 pl2 2 l 2,10 l 2,20 l 2,30 l 2,40 l 2,50 l 2,60 l 2,70 l 2,80 l 2,90 l 3l - 0,0714 pl2 - 0,0300 pl2 0,0014 pl2 0,0229 pl2

0,0343 pl2 0,0357 pl2

0,0271 pl2

0,0086 pl2

- 0,0200 pl2 - 0,0586 pl2 - 0,1071 pl2 3 l 3,10 l 3,20 l 3,30 l 3,40 l 3,50 l 3,60 l 3,70 l 3,80 l 3,90 l 4l - 0,1071 pl2 - 0,0514 pl2 - 0,0057 pl2 0,0300 pl2

0,0557 pl2 0,0714 pl2

0,0771 pl2

0,0729 pl2

0,0586 pl2 0,0343 pl2 0 VA = 0,4330 pl VB = 0,6518 pl VC = 0,1071 pl VD = 0,0268 pl VE = 0,0045 pl 0 0,10 l 0,20 l 0,30 l 0,40 l 0,50 l 0,60 l 0,70 l 0,80 l 0,90 l l 0 0,0383 pl2 0,0666 pl2 0,0849 pl2 0,0932 pl2 0,0915 pl2 0,0798 pl2 0,0581 pl2 0,0264 pl2 - 0,0153 pl2 - 0,0670 pl2 l 1,10 l 1,20 l 1,30 l 1,40 l 1,50 l 1,60 l 1,70 l 1,80 l 1,90 l 2l - 0,0670 pl2 - 0,0585 pl2 - 0,0500 pl2 - 0,0415 pl2 - 0,0330 pl2 - 0,0246 pl2

- 0,0161 pl2

- 0,0076 pl2

0,0009 pl2 0,0094 pl2 0,0179 pl2 2 l 2,10 l 2,20 l 2,30 l 2,40 l 2,50 l 2,60 l 2,70 l 2,80 l 2,90 l 3l 0,0179 pl2 0,0156 pl2 0,0134 pl2 0,0112 pl2

0,0089 pl2 0,0067 pl2

0,0045 pl2

0,0022 pl2

0,0000 pl2 - 0,0022 pl2 - 0,0045 pl2 3 l 3,10 l 3,20 l 3,30 l 3,40 l 3,50 l 3,60 l 3,70 l 3,80 l 3,90 l 4l - 0,0045 pl2 - 0,0040 pl2 - 0,0036 pl2 - 0,0031 pl2

- 0,0027 pl2 - 0,0022 pl2

- 0,0018 pl2

- 0,0018 pl2

- 0,0009 pl2 - 0,0005 pl2 0 VA = 0,0491 pl VB = 0,5446 pl VC = 0,5714 pl VD = 0,0804 pl VE = 0,0134 pl 0 0,10 l 0,20 l 0,30 l 0,40 l 0,50 l 0,60 l 0,70 l 0,80 l 0,90 l l 0 - 0,0049 pl2 - 0,0098 pl2 - 0,0147 pl2 - 0,0196 pl2 - 0,0246 pl2 - 0,0295 pl2 - 0,0344 pl2 - 0,0393 pl2 - 0,0442 pl2 - 0,0491 pl2 l 1,10 l 1,20 l 1,30 l 1,40 l 1,50 l 1,60 l 1,70 l 1,80 l 1,90 l 2l - 0,0491 pl2 - 0,0046 pl2 0,0300 pl2 0,0546 pl2

0,0691 pl2 0,0737 pl2

0,0682 pl2

0,0528 pl2

0,0273 pl2 - 0,0081 pl2 - 0,0536 pl2 2 l 2,10 l 2,20 l 2,30 l 2,40 l 2,50 l 2,60 l 2,70 l 2,80 l 2,90 l 3l - 0,0536 pl2 - 0,0489 pl2 - 0,0402 pl2 - 0,0335 pl2 - 0,0268 pl2 - 0,0201 pl2

- 0,0134 pl2

- 0,0067 pl2

0,0000 pl2 0,0067 pl2 0,0134 pl2 3 l 3,10 l 3,20 l 3,30 l 3,40 l 3,50 l 3,60 l 3,70 l 3,80 l 3,90 l 4l 0,0134 pl2 0,0121 pl2 0,0107 pl2 0,0094 pl2

0,0080 pl2 0,0067 pl2

0,0054 pl2

0,0040 pl2

0,0027 pl2 0,0013 pl2 0 xA B C D E p l l l lxA B C D E p l l l lxA B C D E p l l l lMcanique des Structures - p 60 M. CALLAUD - juin 2003 Rvision n : 3 Disposition de la charge MBxMBxMBxMB Si p entre A et B MB = ( )22 2xl 15x l 4p Si p entre B et C MB = ( )( )2x15l5x - l 7 x - l p 0 0,10 l 0,20 l 0,30 l 0,40 l 0,50 l 0,60 l 0,70 l 0,80 l 0,90 l l 0 - 0,0264 pl - 0,0512 pl - 0,0728 pl - 0,0896 pl - 0,1000 pl - 0,1024 pl - 0,0952 pl - 0,0768 pl - 0,0456 pl 0 l 1,10 l 1,20 l 1,30 l 1,40 l 1,50 l 1,60 l 1,70 l 1,80 l 1,90 l 2l 0 - 0,0390 pl - 0,0640 pl - 0,0770 pl- 0,0800 pl - 0,0750 pl- 0,0640 pl- 0,0490 pl- 0,0320 pl - 0,0150 pl 0 2 l 2,10 l 2,20 l 2,30 l 2,40 l 2,50 l 2,60 l 2,70 l 2,80 l 2,90 l 3l 0 0,0114 pl 0,0192 pl 0,0238 pl0,0256 pl 0,0250 pl0,0224 pl0,0182 pl0,0128 pl 0,0066 pl 0 MB, MCxMB , MCxMB , MCxMB , MBxMB , MC 0 < x < l MB = ( )22 2xlx l p 5615 0 0,10 l 0,20 l 0,30 l 0,40 l 0,50 l 0,60 l 0,70 l 0,80 l 0,90 l l 0 - 0,0256 pl - 0,0514 pl - 0,0731 pl - 0,0900 pl - 0,1005 pl - 0,1029 pl - 0,0956 pl - 0,0771 pl - 0,0458 pl 0 l 1,10 l 1,20 l 1,30 l 1,40 l 1,50 l 1,60 l 1,70 l 1,80 l 1,90 l 2l 0 - 0,0387 pl - 0,0634 pl - 0,0761 pl - 0,0789 pl- 0,0737 pl - 0,0626 pl- 0,0476 pl- 0,0309 pl- 0,0143 pl 0 2 l 2,10 l 2,20 l 2,30 l 2,40 l 2,50 l 2,60 l 2,70 l 2,80 l 2,90 l 3l

0,0105 pl 0,0171 pl 0,0206 pl 0,0214 pl 0,0201 pl 0,0171 pl 0,0131 pl 0,0086 pl 0,0040 pl 0 3 l 3,10 l 3,20 l 3,30 l 3,40 l 3,50 l 3,60 l 3,70 l 3,80 l 3,90 l 4l 0 - 0,0031 pl - 0,0051 pl - 0,0064 pl - 0,0069 pl- 0,0067 pl - 0,0060 pl- 0,0049 pl- 0,0034 pl- 0,0018 pl 0 0 < x < l MC = ( )22 2xlx l p 564 0 0,10 l 0,20 l 0,30 l 0,40 l 0,50 l 0,60 l 0,70 l 0,80 l 0,90 l l 0 0,0071 pl 0,0137 pl 0,0195 pl 0,0240 pl 0,0268 pl 0,0274 pl 0,0255 pl 0,0206 pl 0,0122 pl 0 l 1,10 l 1,20 l 1,30 l 1,40 l 1,50 l 1,60 l 1,70 l 1,80 l 1,90 l 2l 0 - 0,0161 pl - 0,0343 pl - 0,0525 pl- 0,0686 pl - 0,0804 pl - - 0,0857 pl- 0,0825 pl- 0,0686 pl - 0,0418 pl 0 2 l 2,10 l 2,20 l 2,30 l 2,40 l 2,50 l 2,60 l 2,70 l 2,80 l 2,90 l 3l 0 - 0,0418 pl - 0,0686 pl - 0,0825 pl - 0,0857 pl- 0,0804 pl - 0,0686 pl- 0,0525 pl- 0,0343 pl- 0,0161 pl 0 3 l 3,10 l 3,20 l 3,30 l 3,40 l 3,50 l 3,60 l 3,70 l 3,80 l 3,90 l 4l 0 + 0,0122 pl 0,0206 pl 0,0255 pl 0,0274 pl 0,0268 pl 0,0240 pl 0,0195 pl 0,0137 pl 0,0071 pl 0 xA B C D Ep l l l lxA B C D Ep l l l lxA B C Dp l l lMcanique des Structures - p 61