chapitre 1 rdm

13/04/2023 Résistance des matériaux 1

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Résistance des matériaux

Cours de tronc commun

Mouna [email protected]


Campus centre Résistance des matériaux

• La résistance des matériaux est la mécanique des solides déformables. Elle permet de :

• Caractériser les matériaux ;• Dimensionner une pièce à partir des efforts qu’elle

supporte ;• Déterminer la déformation d’une pièce à partir des

efforts qu’elle supporte ;• Déterminer les efforts maximums que peut supporter

une pièce.


Campus centre Résistance des matériaux

Sous une charge identique les deux poutres n’offrent pas la même résistance. Il y a alors d’autres caractéristiques autres que l’aire de la section à connaitre.


Plan1. Rappels de statique

2. Hypothèses de la Résistance des Matériaux

3. Caractéristiques mécaniques des matériaux

4. Traction – Compression

5. Cisaillement simple

6. Torsion pure

7. Flexion pure

8. Flexion simple

9. Sollicitations composées

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Chapitre 1

Rappels de statique


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Énoncé avec les forces et les moments

• La force : Un représentant du vecteur force est caractérisé par 4 éléments :

• la direction : orientation de la force• le sens : vers où la force agit• la norme : grandeur de la force, elle est mesurée en (N)• le point d'application : endroit où la force s'exerce


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Énoncé avec les forces et les moments

• Le moment d'une force:– Le moment d'une force F s'exerçant au point P par rapport

au pivot , est le vecteur:

.


Campus centrePrincipe des actions

mutuelles• Deux ressorts , de masses négligeables D1 et D2, sont en

équilibre . Il existe deux forces de contact qui ont des valeurs identiques :

•Ces vecteurs forces ont les mêmes valeurs et ligne d'action (la droite D1D2) mais leur sens est opposé. On note :

:


Campus centrePrincipe fondamental

de la statique

• Si un système de solides est en équilibre, alors la somme des actions mécaniques extérieures à ce solide ou ce système est nulle.

• Solide ou système de solides : ensemble de 1 à plusieurs solides au moins assemblés deux à deux

• Équilibre : le solide n’est pas en mouvement par rapport à un système Galiléen

• Actions mécaniques extérieures : qui dit extérieures, dit intérieures et dit forcement frontière entre les deux milieux c’est ce que l’on va appeler la frontière d’isolement.


Campus centrePrincipe fondamental

de la statique

• Un système (S) est en équilibre si :

• Autre écriture :

0

0 )(

/MF

ext

extM

FéquilibreenS


Les appuis usuels

x

y

.z

Appui simple Articulation Encastrement A B

C

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Campus centreStructure isostatiques et hyperstatiques

• Pour une structure plane, les équations sont au nombre de 3. Soit R le nombre des inconnues des réactions d’appui d’une structure plane chargée dans son plan.

• Si R =3, les équations de la statique permettent de déterminer les réactions d’appui structure isostatique extérieurement.

• Si R>3, le nombre des équations d’équilibre est insuffisant pour permettre le détermination des réactions d’appui. La structure est hyperstatique d’ordre R-3.

• Si R<3, l’équilibre de la structure ne peut être assuré .la structure est instable il s’agit d’un mécanisme.


Campus centre ApplicationExercice 1: Calculer les réactions d’appui de la poutre


Campus centre Application Exercice 2: Calculer les réactions d’appui de la poutre


Campus centre Hypothèses de la RDM

• Matériau: – Homogène – Isotrope :– Elastique linéaire :

• Les hypothèses fondamentales de le rdm– Principe de Saint Venant – Hypothèse de Bernoulli – Conditions aux limites


Campus centre Hypothèses de la RDM Les solides:

En RDM, les solides étudiés portent le nom de poutres.

Par définition, une poutre est un solide engendré par une surface plane (S) dont le

centre de gravité G décrit une courbe ( )g (la ligne moyenne), (S) restant

perpendiculaire à ( )g .

très long / à ses dimensions

transversales,

( )g rectiligne ou à très faible

courbure,

section constante (S) ou lentement

variable.

( )g


Campus centre Hypothèses de la RDM Les matériaux :

Les matériaux utilisés doivent être :

homogènes : mêmes propriétés mécaniques en tout point,

isotropes : en un même point, mêmes propriétés mécaniques

dans toutes les directions (non vérifié pour le bois, les

matériaux composites…). Les déformations:

Les déformations doivent être :

petites réversibles,

lentes à chaque instant le corps peut être considéré

comme étant en équilibre statique.


Les déformations:

Hypothèse de SAINT VENANT

Les résultats obtenus par un calcul de RdM sur une poutre

ne sont valables qu’à une distance suffisamment éloignée de

la région d’application des actions mécaniques extérieures

concentrées et des liaisons



Les déformations:

Hypothèse de BERNOUILLI

Les sections droites planes et perpendiculaires à la ligne moyenne,

restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après

déformation.



Campus centre Hypothèses de la RDM Les déformations:

Principe de SUPERPOSITION

La déformation (ou la contrainte) en un point M de la poutre due à

plusieurs actions mécaniques extérieures est égale à la somme des

déformations (ou des contraintes) dues à chaque action

mécanique extérieure prise isolément.

Intérêt: ramener un système composé (complexe) à une somme de

systèmes simples.


Campus centre Hypothèses de la RDM Conditions aux limites :

Efforts extérieurs : Les efforts extérieurs qui s’appliquent au modèle poutre sont principalement de deux types.

• concentrées,• réparties de façon continue.

Liaisons : Les liaisons que l’on rencontre sont les liaisons classiques

x

y

.z

Appui simple Articulation Encastrement A B

C


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• On aborde deux notions fondamentales pour la RdM :

• le torseur des efforts intérieurs ;• la notion de contrainte.

Torseur des efforts intérieursnotions contraintes

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Torseur des efforts intérieurs

• On considère une poutre (E) composée de deux parties:

• La séparation est une coupure au point G par un plan perpendiculaire de section (S):

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E1 E2G

y

x

z

(S)


Campus centreTorseur des efforts intérieurs

1)Expression du torseur des efforts intérieurs

Equilibre de l’aval (E2):



1)Expression du torseur des efforts intérieurs

Equilibre de l’amant (E1):



1)Expression du torseur des efforts intérieursBilan et règle de calcul et synthèse:



2) Composantes du torseur de section:Dans le repère local le torseur des efforts intérieurs est exprimé par :

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3) Les sollicitations élémentaires :

Nature des sollicitations Forces de cohésion

Tractionou

Compression N

Cisaillement simple T

Torsion simple Mt

Flexion pure Mf

Flexion simple T+Mf

Flexion composée N+T+Mf


Notion de contraintes

• Le torseur de cohésion ne représente qu’une vision globale sur la section droite de toutes les actions mécaniques qui s’appliquent localement en chaque point de la surface.

• Ces actions mécaniques locales sont réparties sur toute la surface suivant une loi à priori inconnue. Pour les représenter, considérons un point M de la surface S.

• Autour de ce point M on considère un petit élément de surface dS de normale .

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Notion de contraintes

• En RdM les efforts intérieurs exercés sur dS sont une densité surfacique d’efforts ou densité de force par unité de surface. Cette densité surfacique d’effort est caractérisée par le vecteur contrainte:

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Les actions mécaniques qui s’exercent sur la surface dS sont donc :

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