livre rdm extra

Upload: ghassane-said-ouazri

Post on 16-Jul-2015

903 views

Category:

Documents


20 download

TRANSCRIPT

Mcanique des structures

Modlisation des liaisons

TS

Chapitre 1 - Modlisation des liaisonsSOMMAIRE

I - Dfinitions........................................................................................................................... 161/ Solide rel et solide parfait. ...................................................................................................... 16 2/ Systme matriel........................................................................................................................ 16

II - Modlisation des liaisons parfaites. ................................................................................. 171/ Dfinition dune liaison parfaite. ............................................................................................. 17 2/ Repre local associ au contact. ............................................................................................... 17 3/ Notion de degr de libert......................................................................................................... 17 4/ Etude des liaisons parfaites. ..................................................................................................... 184.1 - Liaison encastrement........................................................................................................................... 18 4.2 - Liaison pivot........................................................................................................................................ 18 4.3 - Liaison glissire................................................................................................................................... 18 4.4 - Liaison appui plan. .............................................................................................................................. 19 4.5 - Liaison rotule. ..................................................................................................................................... 19 4.6 - Liaison linique rectiligne. .................................................................................................................. 19 4.7 - Liaison ponctuelle. .............................................................................................................................. 19

5/ Les trois liaisons usuelles en Gnie Civil. ................................................................................ 20

Page 15/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des liaisons

TS

I - DEFINITIONS.1/ Solide rel et solide parfait.Le solide rel est le solide tel quil apparat rellement. Il possde une masse constante et un volume dont les limites varient lorsquil est soumis des actions mcaniques, suivant une loi connue (le ressort) ou non connue priori. En mcanique statique, nous utilisons un modle idalis : le solide parfait. Pour considrer un solide comme parfait, nous devons faire certaines hypothses. Le solide parfait est : - Indformable : sa masse est toujours constante, mais les limites de son volume ne varient pas quelles que soient les actions extrieures appliques au solide (contre exemple : le ressort). Donc, la distance entre deux points quelconque dun solide indformable ne varie pas. - Homogne : les lments constitutifs du matriau sont de mme nature en tout point du solide et leur rpartition est uniforme (contre exemple : le bton arm). - Isotrope : les proprits physiques du matriau (notamment les proprits mcaniques) sont les mmes dans toutes les directions (contre exemple : le bois, sens parallle ou sens perpendiculaire aux fibres). - Gomtriquement parfait : les surfaces sont considres comme parfaitement lisses, les surfaces sont modlises par des plans, des cylindres, des sphres, Un solide rel peut tre considr comme parfait dans le cas o les dformations de ce solide sont trs petites.

2/ Systme matriel.On appelle systme matriel une quantit de matire, homogne ou non, dont la masse reste constante pendant son tude. Cette dfinition est indpendante de la notion de solide dont nous venons de parler et elle trs gnrale, elle peut sappliquer beaucoup de choses. En effet, un systme matriel peut tre : - un solide, - plusieurs solides, - un morceau de solide, - une masse de fluide,... Ce qui est important en mcanique, cest de bien choisir le systme matriel. Une fois le systme matriel choisi, il nous est possible de l isoler , ce qui revient le dfinir de faon trs prcise, dans le but par exemple dtudier son quilibre. Isoler un systme matriel revient diviser lunivers en deux parties : - dune part, le systme matriel, objet de notre tude, - dautre part, lextrieur, cest--dire tout ce qui nest pas le systme considr.

Page 16/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des liaisons

TS

II - MODELISATION DES LIAISONS PARFAITES.Une liaison mcanique entre deux pices (ou entre deux groupes de pices) est un ensemble de dispositions constructives permettant ces deux pices davoir lune par rapport lautre certaines liberts de mouvements et de permettre la transmission de certains efforts. Dans ce paragraphe, les deux solides en contacts sont supposs indformable.

1/ Dfinition dune liaison parfaite.Une liaison parfaite est une liaison telle que : - les possibilits de mouvement relatifs sont obtenues partir de surfaces de contact gomtriquement parfaites qui ont entre elles un jeu de fonctionnement nul. - le contact de ces surfaces se fait sans adhrence. Une liaison parfaite est donc une liaison thorique.

2/ Repre local associ au contact.Pour dcrire les contacts, on utilise un repre local associ au contact. Pour chaque cas, ce repre R (A, x , y, z ) est dfini trs clairement : - le point A est le centre gomtrique de lassemblage, - le vecteur x est port par la normale au plan tangent commun ou par laxe de symtrie de la liaison, - la base (x , y, z ) est orthonorme directe.

3/ Notion de degr de libert.Considrons deux solides 1 et 2 lis et R (A, x , y, z ) le repre local associ cette liaison. Nous pouvons dfinir dans R les diffrentes possibilits de mouvements relatifs indpendants de 1/2 (ou de 2/1).

Dans lespace, il y a 6 mouvements indpendants : - Tx, translation selon laxe (A, x ) - Ty, translation selon laxe (A, y ) - Tz, translation selon laxe (A , z )

- Rx, rotation autour de laxe (A, x ) - Ry, rotation autour de laxe (A, y ) - Rz, rotation autour de laxe (A , z )

Dfinition : Le nombre de degr de libert dune liaison est le nombre de mouvements relatifs indpendants que la liaison autorise entre les deux solides Ce nombre est au plus gal 6. Quand le nombre de degrs de libert est gal 0, les deux solides sont en liaison complte ; on dit : liaison dencastrement. Quand le nombre de degr de libert est gal 6, les deux solides nont aucune liaison ; on dit : liaison libre.Page 17/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des liaisons

TS

4/ Etude des liaisons parfaites.Parmi toutes les liaisons parfaites, intressons nous celles le plus souvent rencontres en gnie civil : 4.1 - Liaison encastrement.

Les surfaces de contact sont quelconques. Aucun mouvement relatif possible entre les deux solides. Le nombre de degrs de libert est 0.

4.2 - Liaison pivot

Les surfaces de contact sont des surfaces de rvolution complmentaires et non cylindriques. La rotation Rx est autorise. Le nombre de degrs de libert est 1. Les 5 mouvements empchs sont : Tx, Ty, Tz, Ry et Rz.

4.3 - Liaison glissire.

Les surfaces de contact sont des surfaces cylindriques complmentaires et non de rvolution (frquemment prismatiques). La translation Tx est autorise. Le nombre de degrs de libert est 1. Les 5 mouvements empchs sont : Ty, Tz, Rx, Ry et Rz.

Page 18/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des liaisons

TS

4.4 - Liaison appui plan.

Les surfaces de contact sont des surfaces planes (P la surface de contact). Deux translations Ty et Tz sont autorises et une rotation Rx. Le nombre de degrs de libert est 3. Les 3 mouvements empchs sont : Tx, Ry et Rz. 4.5 - Liaison rotule.

Les surfaces de contacts sont des surfaces sphriques de mme centre et de mme rayon. Les trois rotations Rx, Ry et Rz sont autorises. Le nombre de degrs de libert est 3. Les 3 mouvements empchs sont Tx, Ty et Tz.

4.6 - Liaison linique rectiligne. Contact entre la gnratrice (A, y ) du solide 1 et un plan (P) du solide 2. Deux translations Ty et Tz sont autorises et deux rotations Rx et Ry. Le nombre de degrs de libert est 4. Les 2 mouvements empchs sont : Tx et Rz. 4.7 - Liaison ponctuelle. Le nombre de degrs de libert est 5. Le mouvement Tx est empch.

Contact entre le point A de la sphre 1 et le plan (P) du solide 2. Deux translations Ty et Tz sont autorises et trois rotations Rx, Ry et Rz.Page 19/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des actions mcaniques

TS

5/ Les trois liaisons usuelles en Gnie Civil.En gnie civil, les tudes se font dans le plan. Le repre local associ est R(A, x , y ) . Dans le plan, il y a 3 mouvements indpendants : - Tx, translation selon laxe (A, x ) - Ty, translation selon laxe (A, y ) - Rz, rotation autour de laxe (A , z )A y

Rz Ty Txx

Trois liaisons sont utilises : lencastrement, larticulation et lappui simple. Liaison Modlisationy

Mouvement(s) autoris(s) -

Nombre de degrs de libert

Mouvement(s) empch(s) Tx Ty Rz

Encastrement

A x y

0

Articulation

A

x

Rz

1

Tx Ty -

y A x

Tx Rz

2

Ty -

Appui simpley

A

x

Ty Rz

2

Tx -

Page 20/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des actions mcaniques

TS

Chapitre 2 - Modlisation des actions mcaniquesSOMMAIRE

I - Dfinition dune action mcanique. .................................................................................. 22 II - Les diffrents types dactions mcaniques. ...................................................................... 221/ Les actions mcaniques distance ........................................................................................... 22 2/ Les actions mcaniques de contact........................................................................................... 22

III - Modlisation des actions mcaniques............................................................................. 221/ Notion de force........................................................................................................................... 23 2/ Notion de moment dune force par rapport un point. ........................................................ 242.1 - Notion de moment - Exemple. ............................................................................................................ 24 2.2 - Dfinition du moment dune force par rapport un point................................................................... 25

3/ Modlisation de laction mcanique due une force - Torseur associ................................ 27 4/ Modlisation de laction mcanique due un ensemble de forces - Torseur associ. ......... 27 5/ Isolement dun systme - Actions intrieures et extrieures.................................................. 28 6/ Modlisation de laction distance Poids................................................................................ 29 7/ Modlisation des actions mcanique de contact. .................................................................... 30 8/ Modlisation des actions mcaniques de liaison. .................................................................... 318.1 - Relation entre les degrs de libert dune liaison et le torseur associ cette liaison. ........................ 31 8.2 - Torseurs associs aux liaisons dans lespace tudies au chapitre prcdent...................................... 31 8.2.1- Liaison encastrement. ................................................................................................................... 31 8.2.2- Liaison pivot................................................................................................................................. 31 8.2.3- Liaison glissire............................................................................................................................ 32 8.2.4- Liaison appui plan. ....................................................................................................................... 32 8.2.5- Liaison rotule................................................................................................................................ 32 8.2.6- Liaison linique rectiligne. ........................................................................................................... 32 8.2.7- Liaison ponctuelle. ....................................................................................................................... 33 8.3 - Torseurs associs aux liaisons dans le plan utilises en gnie civil..................................................... 33

Page 21/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des actions mcaniques

TS

I - DEFINITION DUNE ACTION MECANIQUE.On appelle action mcanique toute cause susceptible de : - maintenir un corps au repos, - crer un mouvement, - dformer un corps. Exemples : charges appliques, prcontrainte, tassements dappui, temprature, Une action mcanique est toujours laction dun solide (ou un fluide) 1 sur un autre solide 2.

II - LES DIFFERENTS TYPES DACTIONS MECANIQUES.On peut distinguer deux grandes familles : - les actions distance, - les actions de contact.

1/ Les actions mcaniques distanceLaction mcanique dun solide 1 sur un solide 2 est dite distance si les deux solides 1 et 2 ne sont pas en contact. La seule action mcanique distance utilise en Gnie Civil est le poids, qui est laction exerce distance par la Terre sur le systme matriel. Remarque : autres actions distance non utilises en Gnie Civil : actions magntique, lectromagntique ou lectrostatique.

2/ Les actions mcaniques de contact.Les actions mcaniques de contact existent ds quil y a contact entre 2 solides ou entre un fluide et un solide. Les actions de contact se rpartissent en trois groupes : - les actions ponctuelles ou charges concentres : leffort de contact est concentr en un point ou sur une trs faible surface. - les actions rparties sur une ligne ou charges liniques : leffort est rparti sur une ligne, droite ou non. - les actions rparties sur une surface ou charges surfaciques : leffort est rpartie sur une surface.

Page 22/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des actions mcaniques

TS

Exemples dactions mcaniques de contact :Mur Poteau Charge ponctuelle reprsentant laction du poteau sur la semelle Semelle de fondation Charge linique reprsentant laction du mur sur la semelle Semelle de fondation

Charge surfacique reprsentant laction de la neige sur la dalle Dalle

Remarque : on saperoit que dans tous les cas, les actions sont surfaciques, mais quon peut parfois les ramener des actions liniques ou ponctuelles pour simplifier les calculs.

III - MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES.1/ Notion de force.On appelle force une action mcanique de contact ou distance. Elle est reprsente par un vecteur et caractrise par : -son point dapplication, - sa direction, - son sens, - son intensit. () Support F12 A Point dapplication

Intensit

Le point dapplication et la direction dfinissent le support () (ou droite support) de la force. Lunit de la force est le newton not N. Une force sexerce toujours dun solide 1 sur un solide 2, on la note F12 .

Page 23/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des actions mcaniques

TS

2/ Notion de moment dune force par rapport un point.2.1 - Notion de moment - Exemple. Les effets dune force sur un solide dpendent de la position de la force par rapport ce solide. Prenons un exemple concret : tudions laction du poids propre dune buse en bton souleve par une pelle hydraulique.

Dans un premier temps, le poids de la pelle hydraulique permet de stabiliser lengin.

Poids de lengin

Elment poser Poids de la buse

Dans un second temps, le poids de la pelle hydraulique ne permet plus dassurer la stabilit de lengin.Point de basculement

Bras de levier du poids de lengin

Bras de levier du poids de la buse

Le poids de la pelle tout comme celui de la buse sont inchangs, par contre la position de la buse a change ; elle est nettement plus loigne de la pelle, ce qui augmente sa capacit la faire basculer.

Cette capacit faire basculer la pelle est due au moment de la force. (Ici, moment de renversement de la buse auquel soppose le moment stabilisateur de la pelle.) Cette notion de moment est ncessaire pour traduire avec prcision les effets dune force, compte tenu de sa position.

Page 24/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des actions mcaniques

TS

2.2 - Dfinition du moment dune force par rapport un point. Le moment de la force F12 par rapport au point A, not M A F12 , est le vecteur perpendiculaire au plan dfini par F12 et A, et dont le point dapplication est A.d A () yF12

( )

2

Lintensit de ce vecteur moment, noteM A F12 , est gale au produit de F12 par le

( )

O zM A F12

bras de levier d. Lunit newtonmtre not N.m.

est

le

( )

x

Convention de signe - Sens du vecteur moment : - Si la force F12 fait tourner le solide dans le sens trigonomtrique autour de A, le moment est dit positif : Exemple :() yF12

M A F12 = + d . F12

( )

- F12 et A sont dans le plan (O, x , y ) ,2 P

donc M A F12 et perpendiculaire ce plan, c'est--dire parallle laxe (O, z ) .

( )

d A O z

- F12 fait tourner le solide dans le sens trigonomtrique autour de A, donc lex

// (O, z )

M A F12

( )

moment est positif. M A F12 mme sens que z.

( )

est de

Page 25/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des actions mcaniques

TS

- Si la force F12 fait tourner le solide dans le sens anti-trigonomtrique autour de A, le moment est dit ngatif : Exemple :() yF12

M A F12 = d . F12

( )

- F12 et A sont dans le plan (O, x , y ) ,2 PM A F12

( )

donc M A F12 et perpendiculaire ce plan, c'est--dire parallle laxe (O, z ) . - F12 fait tourner le solide dans le sens anti-trigonomtrique autour de A, doncx

( )

d A O z

// O, z

( )

le moment est ngatif. M A F12 est de sens oppos z.

( )

Attention, ceci est une convention (cest--dire un choix arbitraire), on pourrait trs bien choisir linverse. Il faudra donc toujours prendre soin dindiquer le sens positif choisi sur vos schmas au dbut de chaque tude. Reprsentation du vecteur moment dans le plan : Comme il nest pas ais de reprsenter un vecteur perpendiculaire au plan, on adoptera la reprsentation suivante :() yF12

() y 2 PM A F12F12

2 P

( )d A OM A F12

d A O

( )x

x

Moment positif Proprits :

Moment ngatif

- Cas de nullit : le moment dune force F12 par rapport un point A est nul si la droite support () passe par A (d = 0), ou si F12 = 0.

Page 26/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des actions mcaniques

TS

- Thorme de Varignon : le moment dune force F12 par rapport un point A est gal la somme des moments de ses composantes U mme point A. et V par rapport au

V F12 A U

M A F12 = M A U + M A V

( )

( )

( )

3/ Modlisation de laction mcanique due une force - Torseur associ.Comme nous lavons vu au paragraphe III, .2-1, la force seule ne suffit pas caractrise une action mcanique, le moment de cette force, compte tenu de sa position, est ncessaire pour traduire avec prcision une action mcanique. Lcriture qui runit la force et le moment de cette force par rapport un point est le torseur. Soit une force F12 applique en P sur un solide 2, on note F12 le torseur tel que :

{ ( )}

{ ( )}{ ( )}

F1 2 F12 F12 = = M A F1 P 0 2 A

( )

Le torseur F12 modlise laction mcanique de la force F12 .F12 et M A F12 sont appels les lments de rduction du torseur F12 au point A.

( )

{ ( )}

4/ Modlisation de laction mcanique due un ensemble de forces - Torseur associ.Soit un systme matriel S soumis une action mcanique dfinie par un ensemble E de n forces : E = F1S ; F2 S ; F3S ; F4 S ; ...; Fn S

{

}

On appelle rsultante de laction mcanique de E sur S la somme vectorielle des forces F i S :

R E S = F i S = F1S + F2 S + F3S + F4 S + ...Fn Si =1

n

On appelle moment rsultant au point A de laction mcanique de E sur S la somme vectorielle des moments au point A des forces F i S :M A (E S) = M A F i Si =1 n

( )

Page 27/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des actions mcaniques

TS

Laction mcanique de E sur S est donc modlisable par le torseur {(E S)} tel que :

{(E S)}=

RE S M A (E S) A

R E S et M A (E S) sont les lments de rduction du torseur {(E S)} .

5/ Isolement dun systme - Actions intrieures et extrieures.Lorsque lon isole un systme matriel, on peut distinguer les actions mcaniques extrieures au systme et les actions mcaniques intrieures au systme matriel, suivant leur situation par rapport au systme matriel choisi, c'est--dire isol. Une action mcanique intrieure au systme matriel est une action exerce par un lment de ce systme matriel isol sur un autre lment du mme systme matriel. Une action mcanique extrieure au systme matriel est une action exerce par un lment qui nappartient pas au systme matriel isol sur un lment du systme matriel.Remarque : Le poids est toujours une action extrieure. Exemple : Manutention dun panneau prfabriqu.

Cble de la grue

Palonnier

Selon ltude que lon souhaite mene, il est possible disoler chaque lment indpendamment des autres ou bien disol lensemble des lments. voir figures ci-dessous. On saperoit alors quune mme action peut tre une action intrieure ou une action extrieure en fonction des lments isols.

Elingues

Panneau prfabriqu

Tension du cble de la grue Poids propre du palonnier Actions des lingues sur le palonnier

Actions des lingues sur le panneau G

Poids du panneau

Palonnier isol

Panneau isol

Page 28/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des actions mcaniques

TS

Tension du cble de la grue Poids propre du palonnier

Actions du palonnier sur les lingues

Elingues

G Actions du panneau sur les lingues Poids du panneau

Elingues isoles

Ensemble (Palonnier, Elingues, Panneau) isol

Remarques : On saperoit que lorsque les lments sont assembls (ensemble palonnier, panneau et lingues isol), les actions entre ces solides (actions intrieures) napparaissent pas. En effet, les actions interieures sannulent 2 2 (laction du panneau sur llingue sannule avec laction de llingue sur le panneau), cest le principe des actions mutuelles (principe daction / raction).

6/ Modlisation de laction distance Poids.Le champ de pesanteur est laction mcanique distance exerce par la Terre sur un systme matriel. Le torseur au point G des forces de pesanteur qui sappliquent sur un solide peut se rduire une force unique. En effet, le moment rsultant par rapport au point G de toutes les forces de pesanteur qui sappliquent sur un solide est considr nul (le champ de pesanteur est considr uniforme). Le champ de pesanteur est toujours vertical vers le bas. Ainsi, dans un repre (O, x, y) dont laxe (O, y) est vertical ascendant, g = g j , avec g = acclration de la pesanteur. Le poids dun solide est donc reprsent par un vecteur poids P dont les caractristiques sont : - Point dapplication : G, centre de gravit du solide, - Direction : la verticale passant par G, - Sens : vers le bas, - Intensit : P = m . g P en newton N, m la masse du solide en kg, g = 9.81 m.s-2Remarque : en gnie civil, on prend une valeur arrondie : g = 10 m.s-2

Nous apprendrons dterminer la position du centre de gravit dun solide au chapitre Caractristiques gomtriques dune section .

Page 29/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des actions mcaniques

TS

7/ Modlisation des actions mcanique de contact.Compte tenu des dformations locales, tout contact rel entre deux solides a lieu suivant une surface. On peut considrer quune surface de contact entre deux solides est dcomposables en n petites surfaces lmentaires si, ayant pour centre de surface le point Pi. (i variant de 1 n). Laction mcanique du contact entre le solide 1 et le solide 2 se caractrise par une densit surfacique de forces fi sexerant sur chaque surface lmentaire si. Le contact entre les solides est considr parfait, c'est--dire sans adhrence. Dans ce cas thorique, fi est considre perpendiculaire si.

fi est considre comme uniformment rpartie sur si, puisque si est trs petite, mais fi peut varier dune surface lmentaire lautre. fi est homogne une force divise par une surface et sexprime en Newton par m [ N/m ] ou en Pascal [ Pa ].Ainsi, laction mcanique du contact du solide 1 sur le solide 2 est modlisable en un point A quelconque par le torseur :n F12 = f i si i =1 {(1 2)}= n M (1 2 ) = M A f i si A i =1 A

( )

Dans un repre R(O, x , y, z ) , on peut crire les composantes de la rsultante et du moment rsultant : F1 x M A (1 2 )x 2 F1 F12 y et M A (1 2) M A (1 2 )y 2 M (1 2 ) F1 z z A 2 F1 x 2 {(1 2)}= F12 y F1 z A 2 M A (1 2 )x M A (1 2 )y M A (1 2 )z

On peut alors crire :

La premire colonne indique les composantes algbriques de F12 dans R(O, x , y, z ) . La deuxime colonne indique les composantes algbriques de M A (1 2) dans R(O, x , y, z ) . Pour plus de commodit, nous choisirons le point A comme centre gomtrique de lassemblage considr entre les solides 1 et 2.

Page 30/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des actions mcaniques

TS

8/ Modlisation des actions mcaniques de liaison.8.1 - Relation entre les degrs de libert dune liaison et le torseur associ cette liaison.

Dans le chapitre prcdent, nous avons dfini les 6 degrs de libert dans lespace (trois translations et trois rotations). Lorsquun mouvement du solide 1 par rapport au solide 2 est permis, cest que rien ne soppose ce mouvement. Par contre, si un mouvement est empch, cest quil y a une action qui sy oppose. Autrement dit, chaque degr de libert bloqu par une liaison correspond une composante non nulle du torseur associ laction mcanique transmissible par cette liaison. Une translation est empche grce une force de mme direction et de sens oppos. Une rotation est empche grce un moment de mme axe mais de sens oppos.8.2 - Torseurs associs aux liaisons dans lespace tudies au chapitre prcdent. 8.2.1- Liaison encastrement.

Le nombre de degrs de libert est 0. Aucun mouvement relatif possible entre les deux solides. F1 x M (1 2 ) A x 2 Le torseur associ est {(1 2 )}= F12 y M A (1 2 )y F12 z M A (1 2 )z A

8.2.2- Liaison pivot

La rotation Rx est autorise. Le nombre de degrs de libert est 1. Les 5 mouvements empchs sont : Tx, Ty, Tz, Ry et Rz. F1 x 0 2 Le torseur associ est {(1 2 )}= F12 y M A (1 2 )y F12 z M A (1 2 )z A

Page 31/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des actions mcaniques

TS

8.2.3- Liaison glissire.

La translation Tx est autorise. Le nombre de degrs de libert est 1. Les 5 mouvements empchs sont : Ty, Tz, Rx, Ry et Rz. 0 M A (1 2 )x Le torseur associ est {(1 2 )}= F12 y M A (1 2 )y F12 z M A (1 2 )z A

8.2.4- Liaison appui plan.

Deux translations Ty et Tz sont autorises et une rotation Rx. Le nombre de degrs de libert est 3. Les 3 mouvements empchs sont : Tx, Ry et Rz. F12 x 0 M A (1 2)y Le torseur associ est {(1 2)}= 0 0 M A (1 2)z A

8.2.5- Liaison rotule.

Les trois rotations Rx, Ry et Rz sont autorises. Le nombre de degrs de libert est 3. Les 3 mouvements empchs sont Tx, Ty et Tz. F1 x 0 2 Le torseur associ est {(1 2 )}= F12 y 0 F12 z 0 A8.2.6- Liaison linique rectiligne.

Deux translations Ty et Tz sont autorises et deux rotations Rx et Ry. Le nombre de degrs de libert est 4. Les 2 mouvements empchs sont : Tx et Rz. F12 x 0 Le torseur associ est {(1 2)}= 0 0 0 M A (1 2)z A

Page 32/ 106

Mcanique des structures

Modlisation des actions mcaniques

TS

8.2.7- Liaison ponctuelle.

Deux translations Ty et Tz sont autorises et trois rotations Rx, Ry et Rz. Le nombre de degrs de libert est 5. Le mouvement Tx est empch. F12 x 0 Le torseur associ est {(1 2)}= 0 0 0 0 A

8.3 - Torseurs associs aux liaisons dans le plan utilises en gnie civil.

Trois liaisons sont utilises : lencastrement, larticulation et lappui simple.Mouvement(s) autoris(s) Mouvement(s) empch(s)

Liaison

Modlisation

D.D.L.

Inconnues de liaison (Poutre isole)y

Torseur de liaison

y

Encastrement

A x y

-

0

Tx Ty Rz

Ax MAy

A

Ay

A x x {(Enc.)}= A y 0 A

0 0 MA

Articulation

A

x

Rz

1

Tx Ty -

Ax

A

x

Ayy A

A x {(Art.)}= A y 0 A 0 {(A.S.)}= A y 0 AA x {(A.S.)}= 0 0 A

0 0 0 0 0 0 0 0 0

y A x

Tx Rz

2

Ty y

x

Appui simpley

Ay

A

x

Ty Rz

2

Tx -

Ax

A

x

Page 33/ 106

Mcanique des structures

Principe fondamental de la statique

TS

Chapitre 3 - Principe fondamental de la statique Dtermination dactions mcaniques sexerant sur un systme en quilibreSOMMAIRE

I - Notion disolement.............................................................................................................. 351/ Isolement dun solide. ............................................................................................................... 35 2/ Isolement de plusieurs solides. ................................................................................................. 35

II - Equilibre dun systme matriel....................................................................................... 36 III - Principe fondamental de la statique ............................................................................... 371/ Enonc du PFS........................................................................................................................... 37 2/ Systme en quilibre sous laction de deux forces .................................................................. 38 3/ Systme en quilibre sous laction de trois forces................................................................... 38

IV - Degr dhyperstaticit ...................................................................................................... 391/ Hypostaticit, Isostaticit, Hyperstaticit et Degr dhyperstaticit..................................... 39 2/ Dtermination du degr dhyperstaticit. ............................................................................... 40

V - Organigramme de rsolution dun problme de statique. ............................................... 42 VI - Systmes matriels composs de plusieurs solides.......................................................... 43

Page 34/ 106

Mcanique des structures

Principe fondamental de la statique

TS

I - NOTION DISOLEMENT.La notion disolement est fondamentale dans lanalyse et la rsolution des problmes de mcanique. Cest la premire tape de toute rsolution en statique (et en dynamique).

1/ Isolement dun solide.Isol un solide consiste raliser un dessin prcis (si possible lchelle) du solide tudi, destin dcrire et dfinir : - toutes les actions extrieures qui sy exercent : actions distance (poids), actions de contact, - tous les lments connus concernant ces actions : direction, intensit, sens, point dapplication, distances entre les actions et les axes ou points choisis pour les calculs. Exemple : reprenons lexemple du palonnier utilis pour la manutention dun panneau.1,1 m Cble de la grue Palonnier 1,1 m

T1

Tension du cble de la grue

yElingues

ApPoids propre du palonnier

O

BT20,5 m 1,1 m

CT3

xActions des lingues sur le palonnier 0,5 m

Panneau prfabriqu

Palonnier isol

2/ Isolement de plusieurs solides.Dans le cas de plusieurs solides, les actions mutuelles exerces entre les solides de lensemble deviennent des efforts intrieurs et ne doivent pas alors tre comptabiliss dans le nombre des actions extrieures. Exemple : isolons cette fois lensemble palonnier + lingues + panneau : - laction du panneau sur les lingues sannule avec laction des lingues sur le panneau, - laction du palonnier sur les lingues sannule avec laction des lingues sur le palonnier.Tension du cble de la grue Poids propre du palonnier

G

Poids du panneau

Ensemble (Palonnier - Elingues - Panneau) isol 106 Page 35/

Mcanique des structures

Principe fondamental de la statique

TS

II - EQUILIBRE DUN SYSTEME MATERIEL.yF1S F2 S Fk S

Soit un solide indformable soumis un ensemble de n forces extrieures E = Fi S i =1 n .

{ }

(S)Fn S

R

Les lments de rduction en un point P du torseur associ cet ensemble de forces sont :n R = Fi S i =1 n M E = M Fi P S P S i =1

FiS

P

MP E

( S)x

OR =

Rsul tan te Moment rsul tan t

Fi =1

n

i

S

= F1S + F2 S + ... + F i S + ... + Fn Sn

( )

( )

MP E

( S) = M (F ) = M (F ) + M (F ) + ... + M (F ) + ... + M (F )Pi

i =1

S

P

1

S

P

2

S

P

i

S

P

n

S

Si ce solide est anim dun mouvement provoqu par lensemble de forces extrieures, ce mouvement se dcompose de la faon suivante :y

Translationy

G

Rotationx

y

R(S)MG E

( S)

x

G (S)

O

x

un dplacement densemble du solide (selon une trajectoire dfinie par les diffrentes Tx

positions du centre de gravit G du solide) dfini par le vecteur translation : T Ty ,Tz

ce vecteur est directement li la rsultante R des forces extrieures appliques au solide.Rx

une rotation du solide autour de G dfinie par le vecteur : R y directement li auRz

moment rsultant M G (E ) des forces extrieures appliques au solide.Page 36/ 106

Mcanique des structures

Principe fondamental de la statique

TS

Equilibre dun systme :

Un systme matriel est en quilibre par rapport un repre si, au cours du temps, chaque point de ce systme conserve une position fixe par rapport ce repre.Lquilibre du systme est donc dfini par labsence de mouvement de ce systme.

Nous venons de voir que : R engendre un mouvement de translation du centre de gravit du solide, M G (E ) engendre un mouvement de rotation du solide autour de G.

Donc, pour que le solide soit en quilibre, il faut et il suffit que R = 0 et M G (E ) = 0 , c'est--dire {(E )} = {0}Remarque : si R = 0 et M G (E ) = 0 , alors le moment rsultant par rapport un point P

quelconque est nul M P (E ) = 0 .

III - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE1/ Enonc du PFS.Un systme matriel est en quilibre par rapport un repre fixe si et seulement si les lments de rduction du torseur des actions extrieures appliques ce systme sont nuls : M P FExt Syst x FExt Syst x R = 0 et M P (E ) = 0 , c'est--dire FExt Syst = FExt Syst M P FExt Syst = { 0 } y y FExt Syst z M P FExt Syst z P

{ ( )}

( ) ( ) ( )

Ce qui se traduit, dans lespace, par 6 quations dquilibre : FExt = 0 Syst x 3 quations de la rsultante : FExt Syst y = 0 FExt Syst z = 0 M FExt =0 P Syst x et 3 quations du moment rsultant : M P FExt Syst = 0 y M P FExt =0 Syst z

( ) ( ) ( )

Page 37/ 106

Mcanique des structures

Principe fondamental de la statique

TS

Lorsquil sagit dun problme plan (par exemple le plan (O, x, y) ), comme cest habituellement le cas en gnie civil, il ne reste plus que 3 quations dquilibre : FExt Syst = 0 x 2 quations de la rsultante : FExt Syst y = 0 et 1 quation du moment rsultant : M P FExt Syst = 0z

( )

2/ Systme en quilibre sous laction de deux forcesSoit un solide (S) soumis uniquement laction de deux forces A 1S et B 2 S , non nulles et de points dapplication respectifs A et B. Ce solide reste en quilibre si les deux forces sont gales et opposes.BB2S

A 1S

(S) A

3/ Systme en quilibre sous laction de trois forcesSoit un solide (S) soumis uniquement laction de trois forces A 1S , B 2 S et C 3S non nulles et de points dapplication respectifs A, B et C. Ce solide reste en quilibre si la rsultante des trois forces est nulle et que les trois forces sont coplanaires et : - concourantes,(S) AA 1SB2S

B C

B2S A 1S

C 3S

C3

S

A 1S + B 2 S + C 3 S = 0

- ou paralllesA 1S

(S)

A B

A 1SB2S

CC 3S

B2S

C 3S

A 1S

+ B 2 S + C 3S = 0

Page 38/ 106

Mcanique des structures

Principe fondamental de la statique

TS

- ou de mme droite support.B2S

C 3S

A 1S

B2S

C 3S

A

B

(S)

CA 1S

A 1S

+ B 2 S + C 3S = 0

IV - DEGRE DHYPERSTATICITE1/ Hypostaticit, Isostaticit, Hyperstaticit et Degr dhyperstaticit.Le PFS traduit le fait quun systme matriel est en quilibre sous laction dactions mcaniques extrieures si tous les mouvements sont bloqus (empchs), cest--dire si tous les degrs de libert sont supprims. Ce qui se traduit par 6 quations dquilibre dans lespace et 3 quations dquilibre dans le plan. Chaque degr de libert supprim engendre une inconnue de liaison priori. Ainsi, le nombre dinconnues varie de 1 6 dans lespace et de 1 3 dans le plan. Pour pouvoir rsoudre un problme de statique avec le PFS, il faut que le nombre dinconnues soit gal au nombre dquations dquilibre. Le degr dhyperstaticit permet de comparer le nombre dinconnues au nombre dquations : soit NINC ; le nombre dinconnues, et NEQU ; le nombre dquations. On note DH le degr dhyperstaticit : SiDH < 0 DH = NINC - NEQU

tous les degr de libert ne sont pas bloqus. On dit que le systme est Hypostatique. Il ny a pas de solution. le nombre dinconnues est gal au nombre dquations. On dit que le systme est Isostatique. On peut rsoudre avec le PFS. il y a trop dinconnues. On dit que le systme est Hyperstatique. On ne peut pas rsoudre quavec le PFS.

Si

DH = 0

Si

DH > 0

Il faut aussi vrifier que le systme ne comporte aucun mcanisme (aucun mouvement possible), auquel cas le systme est hypostatique. Pour savoir si un problme de statique peut tre rsolu avec le PFS, il faut dterminer le degr dhyperstaticit du systme.

Page 39/ 106

Mcanique des structures

Principe fondamental de la statique

TS

2/ Dtermination du degr dhyperstaticit.ETAPES OPERATIONS EXEMPLE

a) Numroter chaque solide (barre) du systme.

1 Calcul de NEQU :

1 2

3

b) Comptabiliser 3 quations par barre :NEQU= nombre de barres34 5

NEQU = 53=15a) Dnombrer les inconnues de liaison extrieures (entre le systme global et lextrieur) :- Appui simple : 1 inconnue - Articulation : 2 inconnues - Encastrement : 3 inconnues

Inconnues extrieures en rouge b) Dnombrer les inconnues de liaison intrieures (entre les solides constituant Inconnues intrieures en vert le systme) :4

- Articulation : n barres articules1 2

2 Calcul de NINC :n i

1 (n-1)2 inconnues

3 2 2 4 4 5 1

2 2

- Encastrement : n barres encastres1 2 (n-1)3 inconnues n i

c) NINC = nombre dinconnues de liaison ext + nombre dinconnues de liaison int

NINC = 15

Page 40/ 106

Mcanique des structures

Principe fondamental de la statique

TS

ETAPES 3 Calcul de DH

OPERATIONS

EXEMPLE

DH = NINC - NEQU

DH = 15 15 =0

a) vrifier quaucun solide ou ensemble de solide appartenant au systme ne constitue un mcanisme (mouvement instable possible) ; si ce nest pas le cas le systme est HYPOSTATIQUE.

b) On dira que : Si DH< 0 et/ou prsence dun Le systme ne comporte aucun mcanisme mcanisme et DH = 0 , donc le systme Le systme est HYPOSTATIQUE et il est isostatique ; on peut donc rsoudre ny pas de solution le problme avec les quations du PFS. Si DH = 0 et pas de mcanisme : le systme est ISOSTATIQUE et on peut trouver les inconnues de liaison grce au PFS. Si DH>0 et pas de mcanisme : Le systme est HYPERSTATIQUE et on ne peut pas trouver les inconnues de liaison avec le seul PFS.

4 Nature du systme

Page 41/ 106

Mcanique des structures

Principe fondamental de la statique

TS

V - ORGANIGRAMME DE RESOLUTION DUN PROBLEME DE STATIQUE.

MODELISATION DU SYSTEME CALCUL DU DEGRE DHYPERSTATICITE

LE SYSTEME EST HYPOSTATIQUE PAS DE SOLUTION

LE SYSTEME EST ISOSTATIQUE. JE PEUX APPLIQUER LE PFS

LE SYSTEME EST HYPERSTATIQUE LE PFS NE SUFFITPAS

ISOLEMENT DU SYSTEME- Je dessine le(s) solide(s) dans la mme position gomtrique - Je place le repre - Jcrit les renseignements connus (repres A, B, C,, les distances, les angles ventuels, ) - je fais le bilan des actions extrieures : Actions connues (en vert) Actions de contact, Actions distance (Poids). Actions inconnues (en rouge) = inconnues de liaison Toujours dessines dans le sens positif du repre.

PFS

{(A

Ext Sys

)}= {0}

OU

F =0 x Fy = 0 M I Fi = 0

()

SCHEMA RECAPITULATIF

Je redessine le systme isol avec toutes les actions

Page 42/ 106

Mcanique des structures

Principe fondamental de la statique

TS

VI - SYSTEMES MATERIELS COMPOSES DE PLUSIEURS SOLIDES DETERMINATION DES ACTIONS INTERIEURES.Prenons lexemple dun portique :y

+

F2B 1m C 2 2m 1 A 0 2m 2m 3 D 0 x

F1

En A Articulation, En B et C Encastrement, En D Appui simple

F1 = 10 kN F2 = 15 kN

On isole le portique, cest--dire le systme matriel compos des 3 solides (1+2+3) :y

+

B1 2x

B2 1xB2 1yM B2 1

F2B C

F1 F2A 0 1x

B1 2yM B1 2

F12 1 3 D x

A0 1y D0 3x

C3 2x C3 2 yM C3 2

C2 3x C2 3yM C2 3

A 0 1x

A

A 0 1y

D 0 3x

BILAN DES ACTIONS EXTERIEURES INTERIEURES

Page 43/ 106

Mcanique des structures

Principe fondamental de la statique

TS

Remarques : DH = 9 9 = 0 et il ny a pas de mcanisme. N INC = 1 1 + 1 2 + 2 3 = 9 Le systme matriel (1+2+3) est isostatique, on peut dterminer les actions A 0 1x , A0 1y et D0 3x en appliquant le PFS N EQU = 3 3 = 9

Le principe des actions mutuelles dit : B1 2x = - B2 1x C3 2x = - C2 3x

B1 2y = - B2 1yM B1 2 = - M B 2 1

C3 2y = - C2 3yM C3 2 = - M C2 3

On cherche dterminer les actions de liaison intrieures (aux nuds B et C). Loutil notre disposition pour dterminer des actions est le PFS. Mais le PFS sapplique pour des actions extrieures. Donc, pour dterminer les actions de liaison au nud B et C, il faut isoler les barres 1, 2 et 3 sparment pour que ces actions deviennent des actions extrieures et pouvoir appliquer le PFS. Pour faire apparatre les actions intrieures, dessinons la structure clate :M B1 2 y

+

M C3 2

F2B C 2

C3 2xx

B1 2xy

+

B1 2y

C 3 2yC 2 3y

y

B2 1y

MC2 3C

B2 1xB

M B2 1STRUCTURE ECLATEE x

C 2 3x

+

F1 A 0 1xA

1

3 D

x

A 0 1y

D 0 3x

Dtermination des actions de liaison aux nuds B et C ; Dmarche suivre :

Jisole le portique, cest--dire le systme matriel compos des 3 solides (1+2+3). Japplique le PFS et je dtermine les actions A 0 1x , A0 1y et D0 3x .Page 44/ 106

Mcanique des structures

Principe fondamental de la statique

TS

Jisole la barre 1 : - les 3 actions F1 , A 0 1x et A0 1y sont connues, - il y a 3 actions inconnues B2 1x , B2 1y , M B 2 1 que je dtermine avec le PFS. Jisole la barre 2 : - le principe des actions mutuelles me permet de dterminer les actions B1 2x , B1 2y , etM B1 2 (puisque B1 2x = - B2 1x , B1 2y = - B2 1y et M B1 2 = - M B 2 1 ).

- il y a 3 actions inconnues C3 2x , C3 2y et M C 3 2 que je dtermine avec le PFS Jisole la barre 3 : - laction D0 3x est connue. - le principe des actions mutuelles me permet de dterminer les actions C2 3x , C2 3y etM C 2 3 (puisque C3 2x = - C2 3x , C3 2y = - C2 3y et M C 3 2 = - M C 2 3 ).

Toutes les actions appliques au solide 3 tant connues, je vrifie que le solide 3 est bien en quilibre et donc que je nai pas fait derreur de calcul.Application numrique :

Jisole le portique (1+2+3) et japplique le PFS pour dterminer les actions A 0 1x ,

A0 1y et D0 3x :y

+

F2B C 2 1 3 D x

F1

A 0 1x

A

D0 3x F/ x = 0 A 0 1x = F1 = 10 kN A 0 1x + F1 = 0 PFS F/ y = 0 A 0 1y + D 0 3y F2 = 0 A 0 1y = F2 D 0 3y = 15 12,5 = 2,5 kN 4.D 2.F 2.F = 0 0 3y 2 1 Mt / A D 0 3y = 2.F2 + 2.F1 = 30 + 20 = 12,5 kN 4 4 y

A 0 1y

+

A 0 1x = 10 kN A 0 1y = 2,5 kN D = 12,5 kN 0 3y

F2B C 2 1 Page 45/ 106 3 D

F1

x

Mcanique des structures

Principe fondamental de la statique

TS

A

A 0 1y(2,5 kN)

A 0 1x(10 kN)

D0 3x(12,5 kN)

Jisole la barre 1 et je dtermine B2 1x , B2 1y , M B 2 1 avec le PFS.y

+

B2 1y

B2 1xB

M B2 1

F1A

1 x

F/ x = 0 A 0 1x + F1 + B2 1x = 0 PFS F/ y = 0 A 0 1y + B2 1y = 0 2.F 3.B + M 1 2 1x B2 1 = 0 Mt / A

A 0 1y(2,5 kN)

A 0 1x(10 kN)

y

+

B2 1y(2,5 kN) B

M B2 1(20 kN.m)

B2 1x = 0 B2 1x = A 0 1x F1 = 10 10 = 0 B2 1y = 2,5 kN B2 1y = A 0 1y = 2,5 kN M M B2 1 = 20 kN.m B2 1 = 2.F1 = 20 kN.m

F1A

1 x

A 0 1y(2,5 kN)

A 0 1x(10 kN)

Jisole la barre 2.M B1 2 y

+

M C3 2

F2B C 2

C3 2xx

B1 2xPrincipe des actions mutuelles :

B1 2yy

C 3 2y+M C3 2

B1 2x = - B2 1x , B1 2y = - B2 1yet M B1 2 = - M B 2 1 .

M B1 2(20 kN.m) B

F2C 2

C3 2xx

B1 2y(2,5 kN)

C 3 2yPage 46/ 106

Mcanique des structures

Principe fondamental de la statique

TS

Je dtermine C3 2x , C3 2y et M C 3 2 avec le PFS. F/ x = 0 F/ y = 0 Mt / A

PFS

C 3 2x = 0 B +C F = 0 1 2y 3 2y 2 +M M =0 2.F + 4.C 2 3 2y C3 2 B1 2

C3 2 x = 0 C3 2 y = F2 B1 2 y = 15 2,5 = 12,5 kN M C 3 2 = 2.F2 4.C3 2 y + M B1 2 = 30 50 + 20 = 0y

C3 2 x = 0 C3 2 y = 12,5 kN M C3 2 = 0

+

M B1 2(20 kN.m) B

F2C 2 x

B1 2y(2,5 kN)

C 3 2y(12,5 kN)

Jisole la barre 3. (Vrification)y

C 2 3yC2 3xC

MC2 3

+3 D x C y

C 2 3y(12,5 kN)

D0 3x(12,5 kN)

+3 D x

Principe des actions mutuelles :

C3 2x = - C2 3x ,

C3 2y = - C2 3yet M C 3 2 = - M C 2 3 .

D0 3x(12,5 kN)

Le solide 3 est bien en quilibre, donc que je nai pas fait derreur de calcul.Page 47/ 106

Mcanique des structures

Sollicitations

TS

Chapitre 4 - Thorie des poutresSOMMAIRE

I - Dfinitions........................................................................................................................... 49 1/ Notion de poutre ........................................................................................................... 49 2/ Gomtrie des poutres - Cas courants ........................................................................ 49 II - Hypothses fondamentales de la thorie des poutres ...................................................... 50 1/ Hypothses sur la gomtrie des poutres.................................................................... 50 2/ Hypothses sur le matriau.......................................................................................... 50 3/ Hypothses sur les dformations ................................................................................. 50 4/ Hypothses sur les actions extrieures........................................................................ 51 III - Sollicitations dans une section - Efforts internes........................................................... 51 1/ Notion de coupure......................................................................................................... 51 2/ Dfinition des sollicitations .......................................................................................... 52 3/ Conventions de signe .................................................................................................... 54 4/ Sollicitations simples ou composes ............................................................................ 55 5/ Diagrammes des sollicitations...................................................................................... 56 6/ Relations entre Q(x), V(x) et M(x). .............................................................................. 60

Page 48/ 106

Mcanique des structures

Sollicitations

TS

I - DEFINITIONS1/ Notion de poutreOn appelle poutre un solide engendr par une aire plane (S) dont le centre de gravit G dcrit une courbe (G0G1), le plan de (S) restant perpendiculaire cette courbe.

G0

G

G1 S0 S

(S) est appele section droite, (S0) section origine, (S1) section extrmit, (G0G1) est la fibre moyenne de la poutre

S1

2/ Gomtrie des poutres - Cas courantsSi la fibre moyenne de la poutre (G0G1) est : - contenue dans un plan on parle de poutre plane, - une droite on parle de poutre droite, - une courbe on parle de poutre gauche. Si le plan (G0G1) est un plan de symtrie gomtrique et mcanique (la section de la poutre est symtrique par rapport ce plan et le chargement aussi), on parle de poutre plan moyen. Exemple :

Toutes les poutres tudies seront planes (les problmes tudis sont des problmes plans), gnralement droites et plan moyen. La section droite (S) peut tre : - constante le long de (G0G1), poutre section constante - variable en fonction des efforts quelle supporte, poutre section variable.

Page 49/ 106

Mcanique des structures

Sollicitations

TS

II - HYPOTHESES FONDAMENTALES DE LA THEORIE DES POUTRES1/ Hypothses sur la gomtrie des poutresTrois hypothses sur la gomtrie des poutres : - le rayon de courbure de la fibre moyenne est grand par rapport aux dimensions des sections droites, - la longueur de la fibre moyenne est grande devant les dimensions des sections droites (longueur suprieure 10 fois la plus grande dimension transversale), on parle de solide lanc, - les ventuelles variations de laire de la section droite sont faibles et progressives.

2/ Hypothses sur le matriauLes matriaux envisags sont supposs : - homognes : tous les lments du matriau, aussi petits soient-ils, ont une structure identique, - isotropes : les proprits mcaniques sont les mmes en tous points et dans toutes les directions, - continus : les proprits varient de manire continue dun point lautre, - utiliss dans le domaine lastique : les relations entre contraintes et dformations sont linaires = loi de HOOKE (voir plus loin).

3/ Hypothses sur les dformationsHypothse de NAVIER-BERNOULLI : les sections planes normales aux fibres avant dformation restent planes et normales aux fibres pendant et aprs la dformation. Ce qui est correctement vrifi par lexprience sous rserve davoir : - de petits dplacements, - de petites dformations.AVEC HYPOTHESES DE PETITES DEFORMATIONS SANS HYPOTHESES DE PETITES DEFORMATIONS

La contraction latrale des poutres est nglige.Page 50/ 106

Mcanique des structures

Sollicitations

TS

4/ Hypothses sur les actions extrieuresHypothse de SAINT-VENANT : les rsultats de la rsistance des matriaux ne sappliquent valablement qu une distance suffisamment loigne de la rgion o sont appliqus les efforts concentrs.

III - SOLLICITATIONS DANS UNE SECTION - EFFORTS INTERNES.Nous allons, dans ce paragraphe, dterminer quels sont les efforts qui se dveloppent lintrieur de la matire, appels efforts intrieurs, efforts internes ou encore efforts de cohsion car il assurent la cohsion (la liaison) entre les particules constitutives du matriau.

1/ Notion de coupureSoit une poutre droite en quilibre soumises des actions extrieurs quelconques Fi et des actions de liaisons quelconques R i .Fi F2 F1

y

G0

G

G1 x

z S(x)

Ri

R2

R1

Pour connatre ce qui se passe lintrieur de la poutre, on effectue par la pense labscisse x une coupure fictive au droit dune section note S(x). Isolons le tronon de poutre situ gauche de la section S(x). Ce tronon est en quilibre sous laction : - des forces extrieures qui lui sont appliques Fi , - des actions de liaisons R i , - des forces que le tronon de droite (2) exerce sur le tronon de gauche (1). Ces forces se dveloppent lintrieur du matriau. On peut exprimer ces efforts internes sous la forme dun torseur pris au centre de gravit de la section S(x).

Page 51/ 106

Mcanique des structures

Sollicitations

TS

Tronon de gauche (1) isol :y

Fi

R1 (x) 2G0 G x

M 21 (x) Gz S(x)

Ri

Action du tronon de droite (2) sur le tronon de gauche (1) = torseur des efforts internes de cohsion :

R (x) 2 {(2 1)}= 1 M 21 (x) G G

2/ Dfinition des sollicitationsPar dfinition, on appelle sollicitations les projections sur les axes (G, x), (G, y) et (G, z) des vecteurs R1 (x) et 2

M 21 (x) : G

R1 (x) : rsultante gnrale des efforts de cohsion, 2y

Vy (x)

V(x)

R1 (x) 2N(x)G x

V (x) zz

N ( x ) : effort normal R2 (x) Vy ( x ) : effort tranchant selon y1

VZ ( x ) : effort tranchant selon z

Page 52/ 106

Mcanique des structures

Sollicitations

TS

M 21 (x) : moment rsultant au point G des efforts de cohsion, Gy

M y(x) fM (x) f

M 21 (x) G

G

x

T(x)

Mf z (x)z

MG 2

1

T( x ) : moment de torsion (x) M f y ( x ) : moment flchissant autour de y M f Z ( x ) : moment flchissant autour de z

Le torseur des efforts internes de cohsion scrit alors :

R (x) 2 {(2 1)}= 1 = M 21 (x) G G

N(x) T(x) Vy (x) Mf y (x) VZ (x) Mf Z (x) G

Ce torseur correspond un torseur dencastrement.

R1 (x) = N(x).x + Vy (x).y + VZ (x).z 2 M 2 (x) = T(x).x + Mf y (x).y + Mf Z (x).z G1

REMARQUE : les problmes que nous sommes amens traits sont des problmes plan, tous les efforts extrieurs tant situs dans le plan (O, x, y). Dans ces conditions, les seules composantes non nulles du torseur des sollicitations sont : - leffort normal N(x), - leffort tranchant suivant y, Vy(x), que nous noterons V(x), - le moment flchissant suivant z, Mfz(x), que nous noterons M(x), reprsents de la faon suivante :y

Fi

V(x )

M(x)

G

N( x )Ri

x

Page 53/ 106

Mcanique des structures

Sollicitations

TS

3/ Conventions de signeEtudions lquilibre des 2 tronons de poutre spars par la section S(x) :Forces extrieures de y gauche : FExt1

R21 (x)G0 S0 z G x S

Forces extrieures de droite : FExt2

M 21 (x) G

R12 (x) = R21 (x)G G1

Tronon de gauche (1) isol

M 12 (x) = M 21 (x) G G

S

S1

Tronon de droite (2) isol

- Equilibre du tronon 1 :R ( x ) + F = 0 Ext 1 21 M 2 ( x ) + M G FExt = 0 G1 1 R2 ( x ) = FExt 1 1 M 2 ( x ) = M G FExt G1 1

R2 ( x ) = Somme des forces gauche de la sec tion S 1 MG 2 ( x ) = Somme des moments des forces gauche de la sec tion S 1

- Equilibre du tronon 2 :R ( x ) + F = 0 Ext 2 12 M 1 ( x ) + M G FExt = 0 G 2 2 Principe des actions mutuelles

R1 ( x ) = FExt 2 2 M 1 ( x ) = M G FExt G 2 2 R2 ( x ) = R1 ( x ) 1 2 M 2 (x) = M 1 (x) G 2 G1

R2 ( x ) = + FExt 2 1 M 2 ( x ) = + M G FExt G1 2 Page 54/ 106

Mcanique des structures

Sollicitations

TS

R2 ( x ) = Somme des forces droite de la sec tion S 1 MG 2 ( x ) = Somme des moments des forces droite de la sec tion S 1 REMARQUE : aucune convention nest ni normalise ni impose. Les conventions de signe varient dun livre lautre, dun pays lautre, etc. Quelle que soit la convention retenue, on dispose toujours de deux possibilits (au signe prs) pour dterminer les efforts internes : - somme des forces droite de la coupure, - somme des forces gauche de la coupure.

4/ Sollicitations simples ou composesSi une seule composante N, V, T, ou Mf existe alors que les autres sont nulles, on dit quon a une sollicitation simple. Si deux composantes au moins sont non nulles, on dit quon a une sollicitation compose.Cas Traction Schma Composantes V T 0 0 Observations

N N

Mf 0

Cisaillement

0

V

0

0

Torsion

0

0

T

0

Flexion pure

0

0

0

Mfz

Flexion simple

0

Vy

0

Mfz

Flexion + Torsion Flambement ou Flambage

0

Vy

T

Mfz

Non trait en BTS

N

0

0

Mfz

Vy Flexion dvie 0 Vz

Mfz Mfy

Non trait en BTS

REMARQUE : dautres cas sont possibles : flexion+torsion+traction, traction+cisaillement, torsion+cisaillement

Sollicitations composes Page 55/ 106

Flexion compose

N

Vy

0

Mfz

Sollicitations simples

Mcanique des structures

Sollicitations

TS

5/ Diagrammes des sollicitations.La finalit de la thorie des poutres est de connatre le comportement des particules dans toute section dune poutre. La premire tape consiste exprimer les sollicitations dans une section S(x) quelconque de la poutre en fonction : - des actions extrieures (connues), - des actions de liaisons (calcules en appliquant le PFS la poutre entire). Connaissant les sollicitations dans une section quelconque S(x), il suffit alors de faire varier x le long de la poutre pour connatre les sollicitations dans toutes les sections. On obtient alors les diagrammes des sollicitations N, V et M en fonction de x. Exemple : 25 kN 5 kN/mConsidrons pour exemple la poutre encastre ci-contre soumise des forces extrieures telles quelles sont reprsentes :

10 kN

1,5 m

0,3 m

Pour un problme dans le plan (O, x, y), le torseur est de la forme :

N(x) 0 {(2/1)}= V(x) 0 0 M(x) G

Avec les conventions choisies, on obtient pour lquilibre des tronons de droite et de gauche : N(x) = des forces horizontales droite de la coupure = - des forces horizontales gauche de la coupure V(x) = des forces verticales droite de la coupure = - des forces verticales gauche de la coupure M(x) = des moments des forces droite de la coupure = - des moments des forces gauche de la coupurePage 56/ 106

Mcanique des structures

Sollicitations

TS

Trac des diagrammes des sollicitations :y Le P.F.S. nous permet de dterminer les actions de liaison. Connaissant alors toutes les actions extrieures appliques la poutre, on peut sintresser aux sollicitations.

25 kN 5 kN/m

10 kN

10 kN

x

34 kN 45,6 kN.m 1,5 m 0,3 m

Les diagrammes sont une reprsentation graphique des valeurs des sollicitations. Pour une abscisse x quelconque, on peut lire les valeurs des sollicitations. Donc, pour tracer ces diagrammes, on va faire varier labscisse x de la coupure, et on va calculer chaque fois les valeurs des sollicitations. EFFORT NORMAL : y

10 kNx

10 kN

x

1,5 m

0,3 m

Quel que soit x, on a

N(x) = des forces horizontales droite de la coupure N(x) = -10 kN

DIAGRAMME DE LEFFORT NORMAL : N(x) [ kN ]1,8

- 10

x [ m ]

Page 57/ 106

Mcanique des structures

Sollicitations

TS

EFFORT TRANCHANT : y

25 kN 5 kN/mx x

34 kN

1,5 mIl faut distinguer le cas o x > 1,5 m et x < 1,5m : x > 1,5 m :

0,3 m

V(x) = des forces verticales droite de la coupure V(x) = - 5 kN/m rpartis sur (1,8 x) m V(x) = - 5 (1,8 x) = 5 x - 9 Cest lquation dune droite : le diagramme est linaire. On a besoin de 2 points pour tracer le diagramme, 2 valeurs aux limites x = 1,8 m V(1,8) = 0 x = 1,5 m V(1,5) = - 1,5 kN V(x) = des forces verticales droite de la coupure V(x) = [ - 5 kN/m rpartis sur (1,8 x) m ] + [ - 25 kN ] V(x) = - 5 (1,8 x) -25 = 5 x -34 Cest lquation dune droite : le diagramme est linaire. On a besoin de 2 points pour tracer le diagramme, 2 valeurs aux limites x = 1,5 m V(1,5) = - 26,5 kN x = 0 m V(0) = -34 kN

x < 1,5 m :

DIAGRAMME DE LEFFORT TRANCHANT : V(x) [ kN ]1,5 1,8

x [ m ]

-

- 1,5 - 26,5

- 34

Page 58/ 106

Mcanique des structures

Sollicitations

TS

MOMENT FLECHISSANT y

25 kN 5 kN/mx

10 kN

10 kN

x

34 kN 45,6 kN.m 1,5 m 0,3 m

Il faut galement distinguer le cas o x > 1,5 m et x < 1,5m : x > 1,5 m : M(x) = des moments des forces droite de la coupure M(x) = - 5 kN/m rpartis sur (1,8 x) m avec un bras de levier de [(1,8 x)/2] m M(x) = [ - 5 (1,8 x) / 2 ] M(x) = - 2,5 x + 9 x 8,1 Cest lquation dune parabole. On peut calculer les 2 valeurs aux limites : x = 1,8 m M(1,8) = 0 x = 1,5 m M(1,5) = -0,225 kN x < 1,5 m : M(x) = des moments des forces droite de la coupure M(x) = [ - 5 (1,8 x) / 2 ] + [ - 25 kN avec un bras de levier de (1,5 x ) m ] M(x) = - 2,5 x + 34 x 45,6 Cest lquation dune parabole. On peut calculer les 2 valeurs aux limites : x = 1,5 m M(1,5) = -0,225 kN.m x = 0 m M(0) = -45,6 kN.m DIAGRAMME DU MOMENT FLECHISSANT : M(x) [ kN.m ]1,5 1,8

x [ m ]

-

- 0,225

- 45,6

Page 59/ 106

Mcanique des structures

Sollicitations

TS

6/ Relations entre q(x), V(x) et M(x).Considrons un tronon de poutre charg par une charge rpartie q(x) (ventuellement variable) et dlimit par deux sections S et S1 infiniment voisines, distantes de dx.y q(x)

V(x)+dV(x) M(x) G G1 x M(x)+dM(x) V(x) S x x+dx S1

dV(x) et dM(x) reprsentent les variation lmentaires de V(x) et de M(x) sur la distance dx.

Equilibre du tronon : V( x ) + q( x ).dx + V( x ) + dV( x ) = 0 Fy = 0 dx M G 1 F = 0 M ( x ) + V( x ).dx q( x ). 2 + M ( x ) + dM ( x ) = 0 (1) (2)

()

(1) q ( x ) =

dV ( x ) = V' ( x ) , dx soit V' ( x ) = q ( x ) la drive de leffort tranchant est gale - q(x).

Si on nglige dx, infiniment petit du deuxime ordre : dM ( x ) ( 2) V ( x ) = = M ' ( x ) , dx soit M ' ( x ) = V( x ) la drive du moment est gale -(leffort tranchant).(1) + (2) q ( x ) = dM(x) = M' ' (x) , dx soit M ' ' ( x ) = q ( x ) la drive seconde du moment est gale q(x).

REMARQUE 1 : sil ny a pas de charge entre S et S1 :

(1) V( x ) + V( x ) + dV( x ) = 0 dV( x ) = 0 , leffort tranchant est constant.(2) M ( x ) + V( x ).dx + M ( x ) + dM( x ) = 0 dM ( x ) V( x ) = = M ' ( x ) , la relation reste exacte dxPage 60/ 106

Mcanique des structures

Sollicitations

TS

REMARQUE 2 : sil y a une force concentre entre S et S1 :y F kdx

V(x)+dV(x) M(x) G G1 x M(x)+dM(x) V(x) S x x+dx S1

(1) V( x ) F + V( x + dx ) = 0 V( x + dx ) = V( x ) + F il y a une variation brutale de leffort tranchant.(2) M ( x ) + V( x ).dx + F.kdx + M ( x ) + dM( x ) = 0 dM ( x ) si on nglige kdx, on a encore : V ( x ) = = M' (x ) , dx et (1) indique quil y a une discontinuit dans la valeur de dM(x)/dx, donc un point singulier dans le diagramme de M(x).

REMARQUE 3 : on obtient des rsultats analogues avec une poutre plane courbe supportant une charge quelconque, en se rfrant labscisse curviligne (s) des sections : dV(s) q (s) = ds dM (s) V (s) = ds d M (s) q (s) = ds

Consquences :dans un tronon de poutre non charg, V est constant et M varie linairement. Si V est ngatif, M est croissant et inversement. si le tronon supporte une charge uniforme, V varie linairement et M est une parabole. si V sannule dans une section, M passe par un extremum. Dans le sens des x croissants, si V passe dune valeur 0< une valeur >0, M est maximum.

Page 61/ 106

RELATIONS IMPORTANTES ET UTILES AU TRACE DES DIAGRAMMES DE N(X), V(X) ET M(X). CONSEQUENCES EXEMPLES

RELATIONS

Mcanique des structures

V(x) = -q(x)

Si q(x) = 0 alors V(x) est constant, Si q(x) = cte alors V(x) est linaire, Si q(x) < 0 alors V(x) est croissant, Si q(x) > 0 alors V(x) est dcroissant.

Si v(x) = 0 alors M(x) est constant (flexion pure) Si V(x) = cte alors M(x) est linaire, Si V(x) < 0 alors M(x) est croissant, Si V(x) > 0 alors M(x) est dcroissant.

Sollicitations

M(x) = -V(x)

Quand V(x) sannule alors M(x) passe par un extremum (tangente horizontale) : M(x) est maxi quand V(x) passe du - au +, M(x) est mini quand V(x) passe du + au -.

En tout point, on peut tracer la tangente la courbe M(x), dont langle orient avec lhorizontale est : tan-1[ - V(x) ]

M(x) = q(x)

Si q(x) > 0 alors la concavit de la courbe M(x) est tourne vers le haut Si q(x) < 0 alors la concavit de la courbe M(x) est tourne vers le bas

Si q(x) = 0 alors M(x) = ax + b (linaire) Si q(x) = cte alors M(x) = ax + bx + c (parabole) Si q(x) linaire alors M(x) = ax3 + bx + cx + d (hyperbole)TS

Page 62/ 106

Mcanique des structures

Caractristiques gomtriques des sections

TS

Chapitre 5 - Caractristiques gomtriques des sectionsSOMMAIRE

I - Centre de gravit................................................................................................................. 641/ Dfinition.................................................................................................................................... 64 2/ Thormes de Guldin. ............................................................................................................... 65

II - Moment statique dune surface plane par rapport un axe de son plan. ...................... 661/ Dfinition.................................................................................................................................... 66 2/ Moment statique dans un systme daxes orthonorms ........................................................ 66 3/ Moment statique des surfaces composes................................................................................ 66

III - Moment quadratique dune surface plane par rapport un axe de son plan .............. 661/ Dfinition.................................................................................................................................... 67 2/ Thorme de Huygens............................................................................................................... 67 3/ Moment quadratique des surfaces composes ........................................................................ 68 4/ Rayon de giration ...................................................................................................................... 68

IV - Applications...................................................................................................................... 681/ Moment statique dun rectangle par rapport un de ses cts. ........................................... 68 2/ Moment quadratique dun rectangle par rapport un de ses cts..................................... 68 3/ Moment quadratique dun rectangle par rapport aux axes de symtrie. ............................ 69

Formulaire Centre de gravit.................................................................................................. 70 Formulaire Moment quadratique ........................................................................................... 71

Page 63 / 106

Mcanique des structures

Caractristiques gomtriques des sections

TS

I - CENTRE DE GRAVITE1/ DfinitionConsidrons, dans lespace, un solide comme tant constitu dun ensemble de n points matriels M1, M2, , Mi, , Mn, de masse respective dm1, dm2, , dmi, , dmn. Ce solide est de volume V.y M1 G O z x Mi Mn

Par dfinition, le centre de gravit de lensemble des n points est le point G tel que :

V

GM i .dm = 0

G est aussi appel centre de masse.

Pour dterminer la position de G dans le repre (O, x, y, z), il faut mettre cette dfinition sous une forme plus facile exploiter : GM i = GO + OM i = OM i OG OM i OG .dm = 0V

(

)

V

OM i .dm OG .dm = 0V

V

OM i .dm OG dm = 0V

V

OM i .dm OG .m = 0

OG =

V

OM i .dm m

(1)

Soient xi, yi et zi les coordonnes du point Mi. On obtient partir de la relation (1) les coordonnes xG, yG et zG du centre de gravit G :

xG =

V

x i .dm m

yG =

V

yi .dm m

zG =

V

zi .dm m

Cas o le matriau est homogne : = cte avec m = V et dm = dV . La relation devient :

V V V Les coordonnes du centre de gravit sont alors indpendantes de la nature du matriau. Cas o le solide est dpaisseur constante e : V = e.S et dV = e.dS, avec S la surface du solide. La relation devient :

xG =

V

x i .dV

yG =

V

yi .dV

zG =

V

z i .dV

S Dans ce cas, G est appel centre de surface.

xG =

x .dSS i

yG =

y .dSS i

S

zG =

z .dSS i

S

Page 64 / 106

Mcanique des structures

Caractristiques gomtriques des sections

TS

Proprit : Si un solide possde un plan, un axe, ou un centre de symtrie, son centre de gravit est situ respectivement dans le plan de symtrie, sur l'axe de symtrie ou au centre de symtrie.

2/ Thormes de Guldin.1er thorme : La surface engendre par une ligne plane tournant autour dun axe de son plan mais ne le traversant pas est gale au produit de la longueur de la ligne par la longueur de la circonfrence dcrite par le centre de gravit de cette ligne. Exemple : Dtermination du centre de gravit dun demi-cerceau : G ZG Surface dcrite par la rotation du demi-cerceau = 4 R Longueur de la ligne = R Circonfrence dcrite par G = 2 zG 4 R = R 2 zG 2R zG = 2me thorme : Le volume engendr par une surface plane tournant autour dun axe de son plan mais ne le traversant pas est gale au produit de la surface par la longueur de la circonfrence dcrite par le centre de gravit de cette ligne. Exemple : Dtermination du centre de gravit dune plaque semi circulaire : R ZG G4 R3 3

R

Volume engendr par la rotation de la plaque = Surface du demi disque = R2 2

R2 4 3 R = 2 zG 2 3 4R zG = 3 REMARQUE : Les thormes de Guldin ne peuvent pas servir la dtermination des centres de gravit des volumes.

Page 65 / 106

Mcanique des structures

Caractristiques gomtriques des sections

TS

II - MOMENT STATIQUE DUNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE DE SON PLAN.1/ Dfinition

Considrons une surface plane S constitue de n points matriels M1, M2, , Mi, , Mn, de surface lmentaire dS1, dS2, , dSi, , dSn et un axe situ dans son plan.

Mi

dSi ri S

Thorme 1 : le moment statique dune surface plane par rapport un axe situ dans son plan est gal au produit de la surface par la distance de son centre de gravit laxe considr. On appelle moment statique de la surface S par rapport laxe la quantit :

W (S) = ri dSS

ri tant la distance de dSi .

2/ Moment statique dans un systme daxes orthonormsThorme 2 : le moment statique dune surface plane par rapport un axe (O, x) de son plan est gal au produit de la surface par la coordonne yG du centre de cette surface. Soit dans un repre (O, x, y) : Dmonstration :y Mi dSi

W( O , x ) (S) = yG .S

et

W( O , y ) (S) = x G .S

Moment statique de la surface plane S par rapport laxe (O, x) :Wx (S) = yi dS S Wx (S) = y G .S yi .dS S yG = S

yi

S

O

x

Thorme 3 : le moment statique dune surface plane par rapport un axe de son plan passant par le centre de cette surface est nul. La dmonstration est vidente : si y G = 0 alors W( O , x ) (S) = 0

3/ Moment statique des surfaces composesLe moment statique dune surface S, composes de plusieurs surfaces S1, S2, , Sn, est gal la somme arithmtique des moments statiques des n surfaces :

W (S) = W (S1 ) + W (S2 ) + ... + W (Sn )Page 66 / 106

Mcanique des structures

Caractristiques gomtriques des sections

TS

III - MOMENT QUADRATIQUE DUNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXEDE SON PLAN

1/ DfinitionMi dSi ri

S

Considrons toujours la mme surface plane S constitue de n points matriels Mi, de surface lmentaire dSi, et un axe situ dans son plan.

On appelle moment quadratique de la surface S par rapport laxe la quantit :

I (S) = ri dS2 S

ri tant la distance de dSi .

Dans un repre orthonorm (O, x, y) :

I (O, x ) (S) = y i dS et2 S

I(O, y ) (S) = x i dS2 S

2/ Thorme de HuygensThorme de Huygens : Le moment quadratique dune surface plane S par rapport un axe quelconque de son plan est gal au moment quadratique de cette surface par rapport un axe G parallle et passant par le centre de gravit G de la surface S, augment du produit de laire de la surface S par le carr de la distance entre les deux axes. G

Thorme de Huygens :

Mi2

dSi

I (S) = I G (S) + S.d

ri G

G S

d

Dmonstration : 2 Par dfinition : I (S) = ri dSS

Remplaons ri par sa valeur ri = ri G + d :

I (S) = ri G + d dS2 S S

(

I (S) = ri G .dS + 2d ri G .dS + d 2 dS2 S S S

I (S) = ri G + 2ri G d + d 2 dS2

(

)

)

r .dS = 0 dfinition du centre de gravit I (S) = I (S) + S.d dS = S surface de la sec tion considre S iG G S

2

Page 67 / 106

Mcanique des structures

Caractristiques gomtriques des sections

TS

Remarque : le moment quadratique caractrise laptitude dune section tourner autour dun axe : - plus le moment quadratique est grand, plus la section a du mal tourner autour de laxe, - plus laxe sloigne du centre de gravit, plus le moment quadratique est grand.

3/ Moment quadratique des surfaces composesLe moment quadratique dune surface S, composes de plusieurs surfaces S1, S2, , Sn, est gal la somme arithmtique des moments quadratiques des n surfaces :

I (S) = I (S1 ) + I (S2 ) + ... + I (Sn )

4/ Rayon de girationIl est dfini comme la racine carre du moment dinertie divise par laire S de la surface :

ix =

Ix S

ou

Ix = ix S ,2

de mme i y =

Iy S

ou

Iy = iy S .2

IV - APPLICATIONS1/ Moment statique dun rectangle par rapport un de ses cts.Par dfinition :

W( O, x ) (S) = yi dS = yG .S2 S

y

b

ici,

S=bh W( O, x ) (S) = bh 2

et2

yG =

h , 2G h

do

O

2/ Moment quadratique dun rectangle par rapport un de ses cts.y y

x

I(O, x ) (S) = yi dS = yi dx.dy = dx y 2dy2 2 b h S S 0 0

hy

b

0

dx = [x ]0 = bb

GdS x

x

x

h

0

O b

y3 h3 y dy = = 3 0 32

h

do

I(O , x ) (S) =

bh 3 3

Page 68 / 106

Mcanique des structures

Caractristiques gomtriques des sections

TS

3/ Moment quadratique dun rectangle par rapport aux axes de symtrie.On applique le thorme dHuygens :

I (S) = I G (S) + S.d 22

I ( O, x ) (S) = I ( G , x ') (S) + S.y G I( G , x ') (S) = I( O, x ) (S) S.yGI ( G , x ') (S) =2

bh 3 h (bh ). 3 2

2

I( G , x ') (S) =

bh 3 12

Page 69 / 106

Mcanique des structures

Caractristiques gomtriques des sections

TS

FORMULAIRE : CENTRE DE GRAVITE

Page 70 / 106

Mcanique des structures

Caractristiques gomtriques des sections

TS

FORMULAIRE : MOMENT QUADRATIQUE

Page 71 / 106

Mcanique des structures

Traction - Compression

TS

Chapitre 6 - Traction - compression Etude de leffort normalSOMMAIRE

I - Sollicitation tudie : leffort normal ................................................................................ 73 II - Loi de comportement des matriaux. ............................................................................... 731/ Essai de traction sur une prouvette en acier doux................................................................ 73 2/ Analyse de la courbe contrainte - dformation - Loi de Hooke............................................. 74 3/ Contraction ou dilatation latrale - Coefficient de Poisson . ............................................... 75 4/ Gnralisation............................................................................................................................ 76

III - Contrainte due leffort normal..................................................................................... 761/ Notion de contrainte.................................................................................................................. 76 2/ Contrainte due leffort normal.............................................................................................. 77

IV - Dformations dues leffort normal............................................................................... 78 V - Calcul de la variation de longueur dune poutre droite soumise un effort normal..... 79 VI - Dimensionnement des lments soumis un effort normal. ......................................... 791/ Condition de rsistance. ............................................................................................................ 79 2/ Condition de dformation......................................................................................................... 79

VII - Quelques ordres de grandeurs ....................................................................................... 79

Page 72 / 106

Mcanique des structures

Traction - Compression

TS

I - SOLLICITATION ETUDIEE : LEFFORT NORMALOn considrera quune poutre est sollicite en traction simple ou en compression simple lorsque les lments de rduction du torseur des efforts internes de cohsion se ramnent un seul effort normal N :

N(x) 0y

T(x) = 0

Vy (x) = 0 Mf y (x) = 0 VZ (x) = 0 Mf Z (x) = 0

zS(x)

G

N( x )x

N(x) > 0 : traction simple, N(x) < 0 : compression simple

N(x) 0 0 Torseur des efforts internes de cohsion : {(2 1)}= 0 0 0 GII - LOI DE COMPORTEMENT DES MATERIAUX.1/ Essai de traction sur une prouvette en acier doux.Considrons une barre dacier doux de longueur initiale L0 et dont la section initiale S0 est constante sur la longueur L0. Soumettons cette barre une sollicitation de traction en lui appliquant chaque extrmit un effort F :x x

F FL

S0 L0 L0

Essai de traction sur une prouvette dacier doux.

- FReprsentation simplifie dune machine dessai de traction

-FPage 73 / 106

Mcanique des structures

Traction - Compression

TS

On peut enregistrer laide de comparateurs lallongement L de lprouvette en fonction de lintensit de leffort F. L est appel lallongement absolu. Pour pouvoir comparer les caractristiques mcaniques des matriaux, celles-ci doivent tre tablies indpendamment des sections S0 et longueurs L0 des prouvettes. Ainsi, on reporte sur un graphique :L ( = lettre grecque epsilon ), L0 est sans unit puisque cest le rapport de deux longueurs, F - en ordonne : la contrainte = ( = lettre grecque sigma ). S0 est leffort par unit de surface en N/mm, ou MPa.

- en abscisse : lallongement relatif x =

On obtient alors la courbe contrainte - dformation du matriau de lessai qui a lallure suivante := F S0

re = Fe S0

C A B Striction

D Rupture

Courbe contrainte dformation de lacier doux O tan-1 = E x = L L0

2/ Analyse de la courbe contrainte - dformation - Loi de Hooke.- Partie OA : la courbe est sensiblement rectiligne, ce qui signifie que la dformation est proportionnelle leffort exerc (ou que lallongement relatif est proportionnel la contrainte). (OA = droite de pente E) Dans cette zone, si on dcharge lprouvette, elle revient sa longueur initiale, comme un ressort. On dit que le matriau a, dans cette phase, un comportement lastique linaire. Ceci se traduit par la loi de Hooke :F L = E = E ou S L E est le module dYoung, ou module dlasticit longitudinal (Ex), du matriau et caractrise la rigidit du matriau. E sexprime en MPa

Le point A marque la fin de la zone lastique de la courbe. La contrainte e = correspondante est appele la limite dlasticit.

Fe

S

Page 74 / 106

Mcanique des structures

Traction - Compression

TS

- Partie AD : au-del du point A, on rentre dans le domaine des grandes dformations, le domaine plastique, o les allongements ne sont plus proportionnels aux efforts. A ce stade, si on dcharge lprouvette, celle-ci ne retrouve pas sa longueur initiale, on constate un allongement rsiduel, c'est--dire une dformation permanente. - Entre A et B : lprouvette sallonge alors que lintensit de la charge ne varie pratiquement pas, cette partie de la courbe est appele palier plastique . -Au-del de B : on observe un allongement important pour une faible augmentation de la contrainte. La courbe se relve jusqu un maximum C qui correspond la limite de rupture r. A ce stade, on observe une diminution de la section de la barre dans la zone o va se produire la rupture, cest le phnomne de striction. Puis la rupture intervient (point D).

3/ Contraction ou dilatation latrale - Coefficient de Poisson .Lors dun essai de traction ou de compression sur une poutre, celle-ci subit une dformation longitudinale x , respectivement un allongement ou un raccourcissement, mais aussi une dformation latrale perpendiculairement la direction de leffort, respectivement une contraction ou une dilatation.x x

FL d2

d0 L

Poutre avant dformation

Fd 2 d 2

d

d

2

L0

Poutre avant dformation

-FCas de la traction Allongement longitudinal ; L > 0 Contraction latrale ; d < 0

L0

d0

d

-FCas de la compression Rtrcissement longitudinal ; L < 0 Dilatation latrale ; d > 0

Dformations longitudinale x =

L d et transversale = . L0 d0 x

Le coefficient est le rapport de ces deux dformations : =

est compris entre 0,1 et 0,5 (0,3 pour les mtaux et 0,15 pour les btons).Page 75 / 106

Mcanique des structures

Traction - Compression

TS

4/ Gnralisation.Pour dfinir les caractristiques mcaniques des matriaux, on ralise des essais sur des prouvettes : - traction directe sur les mtaux, - traction par flexion, par fendage ou directe pour les mortiers et les btons, -compressions sur les btons, - traction, compression, flexion sur les bois. Tous ces essais font apparatre deux phases : - une phase de dformation lastique linaire pour laquelle sapplique la loi de Hooke et o les dformations sont rversibles, - une phase de dformation plastique o les dformations sont partiellement permanentes.En rsistance des matriaux, on fera lhypothse que lon reste dans la phase lastique du matriau.

Ces essais permettent de dterminer les caractristiques suivantes : - limite dlasticit : e , - contrainte de rupture : r , - module dYoung : E , - coefficient de Poisson : .

III - CONTRAINTE DUE A LEFFORT NORMAL.1/ Notion de contrainte.Dans une section droite de poutre, les sollicitations sont les lments de rduction des forces internes de cohsion au centre de gravit de la section. Elles permettent de savoir quelle est la section la plus sollicite mais ne donnent aucune indication sur ce quil se passe en chaque point de la section. Pour cela, il faut introduire la notion de contraintes.d

d

d

Page 76 / 106

Mcanique des structures

Traction - Compression

TS

Etudions une poutre dans laquelle nous effectuons une coupure imaginaire de section S et dorientation quelconque : Isolons le tronon 1 et divisons la section S en surfaces lmentaires dS infiniment petites. Ces surfaces, galement appeles facettes , sont orientes par deux vecteurs unitaires : - n : vecteur unitaire normal la facette et dirig vers lextrieur de la coupure, - t : vecteur unitaire tangent la facette et tel que n , t = + . 2

( )

Sur chaque surface dS sexerce des forces de cohsion df i 2 1 dues laction de 2 / 1. Le vecteur contrainte M, n dfini de la faon suivante :

(

) en un point M, sur la facette dirige par le vecteur n , est df . (M, n ) = lim dSi2 1 dS 0

Le vecteur contrainte est donc le rapport dune force une surface : lintensit dune contrainte est homogne une pression et sexprime en Pa. 1 Pa = 1 N/mm ; 1 MPa = 106 Pa = 1 N/ mm = 1 MN/m ; 1 bar 105 Pa = 0,1 MPa = 1 daN/cm Si on projette M, n sur les directions n et t on obtient respectivement la contrainte normale et la contrainte tangentielle ( = lettre grecque tau ). Autour du point M, selon lorientation de la coupure, il existe une infinit de facettes et le vecteur contrainte varie dune facette lautre : il nexiste pas quune contrainte en un point mais une infinit, on parle dtat de contrainte.

(

)

2/ Contrainte due leffort normal.Sur une section droite S (facettes perpendiculaires la fibre moyenne), suffisamment loign des points dapplication des charges extrieures, on peut considrer que laction de leffort normal est une rpartition uniforme de contraintes normales :

y

=z(x)

N S

et

=0

G

N( x )x

Le signe de N est dfini par rapport lorientation de laxe (G, x) : - si N > 0 : effort normal de traction, > 0, - si N < 0 : effort normal de compression, < 0,Page 77 / 106

Mcanique des structures

Traction - Compression

TS

Remarque : On peut expliquer ici lhypothse de Saint Venant vue dans le chapitre sur la thorie des poutres : dans une section, loin des points dapplication des charges concentres, les contraintes ne dpendent que des lments de rduction des forces situes droites (ou gauche) de la section. Prs des points dapplication des forces extrieures, la distribution des contraintes est perturbe par la proximit du chargement (cas a). Loin des points dapplication des forces extrieures, ne dpend que de la valeur de leffort normal N(x), qui peut pourtant tre d des chargements diffrents (cas b).

(a) (b)

IV - DEFORMATIONS DUES A LEFFORT NORMALy

Isolons un tronon lmentaire de poutre de longueur dx. Ce tronon est compris entre les sections Si et Si+1. Sous leffet de leffort normal, chaque fibre du tronon subit une dformation dx.

Fibre

Si

Si+1

Si+1

N( x )

N( x )x

dx

dx

Chaque fibre de poutre tant considre indpendamment lune de lautre, on leur applique N( x ) dx = E x la loi de Hooke : ou = E S dx Tous les tronons de fibres de longueurs dx subissent une dformation : dx =N(x ) dx SE

Ce qui signifie que la section se dplace paralllement sa position dorigine. Cela est conforme lhypothse de Bernoulli selon laquelle les sections droites restent droites aprs dformation. dx correspond un allongement si N(x) > 0 (Traction), dx correspond un raccourcissement si N(x) < 0 (Compression),

Page 78 / 106

Mcanique des structures

Traction - Compression

TS

V - CALCUL DE LA VARIATION DE LONGUEUR DUNE POUTRE DROITE SOUMISE A UN EFFORT NORMAL (DEPLACEMENTS).Lallongement (ou raccourcissement) total de la poutre est gal la somme des allongements de tous les tronons lmentaires qui la constituent : L N( x ) Pour une poutre de longueur L : L = dx 0 SE NL L = Si N et S sont constants, on a : SE

VI - DIMENSIONNEMENT DES ELEMENTS SOUMIS A UN EFFORT NORMAL.1/ Condition de rsistance.Dans les conditions normales dutilisation, on doit vrifier que la contrainte maximale max dans la section la plus sollicite de la poutre reste infrieure une valeur (contrainte admissible) fixe exprimentalement ou rglementairement. Souvent, est calcule partir de la limite dlasticit e :max = N max = e S

avec ( = lettre grecque gamma ) un coefficient de scurit.Attention : pour les poutres lances soumises de la compression, la vrification de la condition de rsistance ne suffit pas, il faut se mettre labri dune ruine par flambement, phnomne dinstabilit de forme qui peut intervenir pour des efforts infrieurs ceux que peut supporter le matriau (voir chapitre sur le flambement).

2/ Condition de dformationEn fonction du type dlment, lallongement ou le raccourcissement ne doit