physique 3 vibrations linéaires et ondes mécaniques

Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques

Leçon n°7 :

Systèmes soumis à une force sinusoïdale (2ième partie)

Leçon n°7 : Systèmes soumis à une force sinusoïdale (2ième partie)

• Mouvement sinusoïdal de la base• Systèmes forcés avec amortissement sec• Système amorti avec déséquilibre de rotation• Analyse de la stabilité d’un système

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base

Système amorti soumis à une excitation de la base

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base (2)

• L’équation du mouvement s’écrit :

• Si y(t) = Y sin t, on obtient :

•

0yxkyxxm

ktanetkYAoù

tsinAtcosYtsinkYykykxxxm

122

2

11

12/1222

22

p

mktanoù

tsinmk

kYtx


• En utilisant des relations trigonométriques, on peut écrire :

• transmissibilité du déplacement

22

31

22

31

2/1

222

22/1

222

22

12/1222

22

p

r141

r2tan

mkk

mtanet

r2r1

r21

mk

k

Y

Xoù

tsinXtsinmk

kYtx

Y

XTd


Variations de la transmissibilité du déplacement et de avec r.Y

X

3. La valeur de Td est inférieure à un (Td<1) pour les valeurs quelque soit l’amortissement.

4. Td=1 pour toutes les valeurs de à

5. Pour les plus petits rapports d’amortissement donnent de plus grandes valeurs de Td d’un autre côté pour les plus petits rapports d’amortissement donnent de plus petites valeurs de Td.

6. La transmissibilité du déplacement Td atteint un maximum pour 0<<1 au rapport de fréquence r = rm<1 donné par

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal

de la base (5)Remarques sur la transmissibilité du déplacement Td

1. La valeur de Td est égale à 1 à r=0 et proche de un pour les petites valeurs

2r

2. Pour un système non amorti (=0), Td à la résonance (r=1)

2r ,2r

2r

2/12

m 1812

1r

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base, force transmise

• La force transmise à la masse m est calculée à partir de l’équilibre des forces :

où FT est l’amplitude ou la valeur maximale de la force transmise.

•On définit la transmissibilité de la force par le rapport FT/kY :

tsinFtsinmxmyxyxkF T2

2

222

22

2T

r2r1

r21r

kY

Xm

kY

F

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base (suite)

Transmissibilité de la force en fonction du rapport de fréquence r.

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base, mouvement relatif

• Si z=x-y dénote le mouvement de la masse par rapport à la base, l’équation du mouvement s’écrit :

• qui a pour solution

où

et

tsinYmymkzzzm 2

tsinZ

mk

tsinYmtz

21

222

12

222

2

222

2

r2r1

rY

mk

YmZ

2

12

11 r1

r2tan

mktan

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base, mouvement relatif, (suite)

Variation de Z/Y en fonction du rapport de fréquence r.

Exemple : Véhicule roulant sur une route ondulée

Véhicule roulant sur une route ondulée.

Exemple 1 : Véhicule roulant sur une route ondulée

Enoncé : Soit le modèle simplifié d’un véhicule qui peut vibrer dans la direction verticale dans son déplacement sur une route ondulée. Le véhicule a une masse de 1200 kg. Son système de suspension a une constante de raideur de 400KN/m et un rapport d’amortissement =0,5. Si la vitesse du véhicule est de 100 km/h, déterminer l’amplitude de déplacement du véhicule. La surface de la route varie de manière sinusoïdale avec une amplitude Y=0,05 m et une longueur d’onde de 6 m. Trouver l’amplitude du déplacement du véhicule X.

Exemple 1 (suite) : Véhicule roulant sur une route ondulée

Le rapport des amplitudes du véhicule avec celui de la route s’écrit en fonction de et de r, nous avons :

Avec

d’où

l’amplitude du déplacement du véhicule est donnée par :

5933,12574,18

0887,29r

sec/rad2574,181200

1000400

m

k

sec/rad0887,296

1

3600

10001002f2

n

21

n

8493,05933,15,025933,11

5933,15,021

r2r1

r21

Y

X2

1

222

221

222

2

m0425,005,008493Y8493,0X

Exemple 2 : Machine sur des fondations antivibratoires

Une lourde machine pesant 3000N est placée sur un support antivibratoire. La déflection statique des fondations due au poids de la machine est de 7,5 cm. On observe que la machine vibre avec une amplitude de 1 cm quand la base des fondations est sujette à une oscillation harmonique à la fréquence naturelle non amortie du système avec une amplitude de 0,25 cm. Trouver (1) la constante d’amortissement des fondations, (2) l’amplitude de la force dynamique de la base, et l’amplitude du déplacement de la machine par rapport à la base.

Données : P=3000N, st=7,5 cm, X=1cm quand y(t)=0,25sinnt (c’est à dire à la résonance (=n ou r=1).

Exemple 2 (Suite) : Machine sur des fondations antivibratoires

Trouver : , FT et Z.

Solution(1) la raideur des fondations est égale à

A la résonance, nous avons :

la solution de cette équation nous donne = 0,1291la constante d’amortissement est :

m/N40000075,0

3000Pk

St

21

2

2

2

214

0025,0

010,0

Y

X

m/s.N0512,90381,9

30004000021291,0km2. c

Exemple 2 (Suite) : Machine sur des fondations antivibratoires

(2) l’amplitude de la force dynamique de la base à r=1 s’écrit :

(3) L’amplitude du déplacement relatif de la machine à r=1 est :

On peut noter que X=0,01m, Y=0,0025 m et Z=0,0098 m. Ce qui veut dire que Z≠X-Y. Ceci est due aux différences de phases entre x, y, et z.

N40001,000040kX4

41YkF

21

2

2

T

m00968,01291,12

0025,0

2

YZ

Exemple 3 : Instruments séismiques (1)Le dispositif mécanique ci-dessus est un instrument séismique qui consiste en une masse (m), un ressort (k), un amortisseur (α) et traceur qui donne le mouvement de la masse m en fonction du temps. Soit x(t) le mouvement de la masse m et y(t) le mouvement de la base que l’on suppose de la forme y(t)=Ysint.

1. Etablir l’équation du mouvement de la masse m en fonction du déplacement relatif z(t) = x(t) - y(t)

2. Déterminer la solution stationnaire z(t). Cette solution doit être donnée sous la forme z(t) = Z sin (t - ). La variation de (Z/T) en fonction du rapport des fréquences est donnée dans la figure (b).

3. Dans le cas d’un ressort de faible raideur, la pulsation propre n est petite devant la pulsation . Ecrire dans ce cas z(t). Montrer que l’on peut ainsi déterminer l’amplitude Y des vibrations. Ceci est le principe du vibromètre.

4. Dans le cas d’un ressort de raideur élevée, n set grande devant . Montrer que l’on peut déterminer ainsi l’accélération des vibrations 2Y, ceci est le principe de l’accéléromètre. Pourquoi les accéléromètres sont préférés aux vibromètres.

n

r

Exemple 3 : Instruments séismiques (2)

1)

2)

tsinYmkzzzm

ymkzzzmyxz

0yxkyxxm

tsinYty

2

nn

21

21

2/1222

2

2/1222

2

m2etravec

r1

r2tan

mktan

r2r1

Yr

mk

YZ

tsinZtz

Exemple 3 : Instruments séismiques (3)

3) On voit d’après le graphe

en comparant z(t) et y(t), on voit qu’on peut lire directement y (après un temps t’=/) sur le graphe.

4)

Qui montre que si (ça veut dire r<<1)

On sait que donc z(t) donne l’accélération de la base exception faite du retard de phase (t’=/).

Les accéléromètre sont moins lourds car leur n est plus petit.

tsinYtz1Y

Z,3:

Y

Z

n

tsinYr2r1

1tz

r2r1

YrZ;tsinZtz

22/1

222

2n

2/1222

2

1r2r1

12/1

222

tsinYtz 22n

tsinYty 2 2n

y

Exemple 4 : Bâtisse soumise à mouvement harmonique du sol

La bâtisse schématisée sur la figure (a) est soumise à une accélération harmonique du sol.1) Trouver le mouvement subit par la dalle

supérieure de masse m.2) Trouver le déplacement horizontal de la dalle

(masse m) de la bâtisse quand l’accélération du sol est donnée par on suppose les données suivantes : m=2000 kg, k=0,1 MN/m, =25 rad/s, et

3) Si cette foie ci le sol est sujet à un déplacement harmonique horizontal avec une fréquence =200 rad/s et une amplitude Xg=15 mm, trouver l’amplitude des vibrations de la dalle supérieure (masse m). On suppose la masse de la dalle égale à 2000 kg et la raideur des colonnes égale à 0,05 MN/m.

4) On se propose d’ajouter un amortisseur pour absorber les vibrations dues à un mouvement horizontal du sol y(t)=Ycost. Trouver l’expression de la constante d’amortissement de l’amortisseur qui absorbe le maximum d’énergie.

;s/mmtsin100xg

00tx0tx0tx0tx gg

Exemple 4 : Bâtisse soumise à mouvement harmonique du sol (2)

1) Nous avons :

En supposant on obtient

L’équation du mouvement s’écrit : (z=x-y) :

La solution est :

212

1g

BtBtcosA

ty

BtsinA

tytcosAtxty

,00y0y tcosA

0y2

tcosmAtxmymkzzm0yxkxm g

tcosA1

mk

mtytztx

tcosmk

mAtz

22

2


2)

Le déplacement horizontal maximum de la dalle est 0,3339 mm.

mt25sin103391,3t25sin6250

1

1015,1

200tx

t25sin25

1

1000

100t25sin

25200010.1,01000100

200

tsinA

tsinmk

mAtx

46

226

22


3) dans ce cas : et l’équation devient :

La solution est :

avec

L’amplitude de vibration de la dalle =0,03009 m = 30,09 mm

gxmymyxkyxm tcosXtxty gg

yxzavectcosXmkzzm g2

2

2g

2

g2

r1

tcosrX

mk

tcosXmtz

mt200cos01509,0t200cos015,0tztytx

mt200cos01509,0t200cos6491,121

6491,12

1000

15tz

6491,128114,15

200ret

s/rad8114,152000

10.5,0

m

k

2

2

n

6

n


4)

La force d’amortissement =

Energie absorbée par période par l’amortisseur

Puisque

Pour le maximum d’énergie,

2

111222

12

2

mktanavectcosZ

mk

tcosYmtz

tcosYmymkzzzm

1tsinZdt

dz

2/2

0t

1222

/2

0

11

/2

0t

ZdttsinZ

dttsinZtsinZdz.dt

dzE

2222

242

222

2

mk

YmE

mk

YmZ

0d

dE

2

2222

25252222 mk0

mk

2yYmmk

Réponse d’un système amorti avec un déséquilibre de rotation

• Les machines tournantes (moteurs, turbines, machines à laver …) peuvent être le siège de vibrations importantes. Un modèle simplifié est montré dans la figure. • Masse totale de la machine M• 2 petites masses en rotation dans des directions opposées• Force centrifuges me2/2 pour chaque masse• La force d’excitation a seulement une composante verticale

tsinmetF 2 tsinmekxxxM 2

Réponse d’un système amorti avec un déséquilibre de rotation

•

Même équation que celle du mouvement relatif d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base.

•

ncc

n M2,,M

k

tsinmekxxxM 2

21

21

222

2

21

2/1222

2

p

r1

r2tan

;r2r1

r

me

MX

mktan

;Mk

metx

Exemple 5 : compresseur à air avec un déséquilibre de rotation (1)

Un compresseur à air monocylindre de masse 100 kg est monté sur les supports en caoutchouc, comme le montre la figure . Les constantes d’élasticité et d’amortissement des supports en caoutchouc sont : 106 N/m et 2000 N.s/m, respectivement. Si le déséquilibre de rotation du compresseur est équivalent à une masse de 0,1 kg localisée à la fin de l’essieu de 3000 rpm. Supposer r=10 cm et ℓ=40 cm.

L’équation du mouvement est

Où

La réponse est

tsinmekxxxm 2

Exemple 5 : compresseur à air avec un déséquilibre de rotation (2)

m1,0reetkg1,0m,m/N10k

,m/s.N2000,kg100M,s/rad16,31460

23000

6

2/1

222

2

p

Mk

meXoùtsinXtx

0520,4rad07072,016,31410010

16,3142000tan

Mktan

mm11,0m109960,11016,314200016,31410010

16,3141,01,0X

26

12

1

62/122226

2

Le diagramme schématique d’une turbine à eau de Francis est donné dans la figure. L’eau à travers le passage A dans les palettes B et descend par le canal C. Le rotor a une masse de 250 kg et un déséquilibre de rotation (me) de 5 kg.mm. La turbine opère dans une plage de fréquence de 600 à 6000 rpm. L’arbre d’acier supportant le rotor peut être supposé fixé à l’essieu (aux roulements, voulant dire qu’il ne vibre pas en haut ). Déterminer le diamètre de l’arbre pour que le rotor ne touche pas le stator à toutes les vitesses de rotation auxquelles opère la turbine. Supposer que l’amortissement est négligeable et que l’arbre d’acier peut-être assimilée à une poutre supportant une masse avec k=3EI/ℓ3 où I=πd4/64=moment d’inertie de surface de l’arbre et E=2,07×1011= module d’Young de l’acier

Exemple 6 : la turbine à eau de Francis (1)

On sait que pour avoir les plus petite amplitude de vibration, on doit avoir r=/n>>1, donc n petit donc k est le plus possible, on prend k = 10,04 × 104π2

Exemple 6 : la turbine à eau de Francis (2)

m/N1004,10k10k

200

k004,0200

1k

200105005,0:s/rad200pour

m/N1004,10k10k

2

k004,020

1k

20105005,0:s/rad200pour

s/radk625,0250

k

M

k

s/rad200rpm6000ets/rad2060

2600;rpm6000600

,mm5X,kg250M,mm.kg5me

r1k

me

Mk

meX0

2627

2

2

23

2425

2

2

23

n

2

2

2

2

mm127m1270,0d

m106005,21007,23

21004,1064

E3

k64d

64

dE3EI3k 44

11

32434

2

33

Vibrations forcées avec amortissement sec

• Equation du mouvement

où le signe de la force d’amortissement est positif ou négatif suivant le mouvement se fait de gauche à droite ou de droite à gauche, respectivement.

• On se limite au cas où N est petit devant F0, on suppose un rapport d’amortissement visqueux équivalent. On trouve une solution approchée au problème en égalant les énergies dissipées dans les deux cas pendant une période. Si l’amplitude du mouvement est X :

X

N4XNX4 eq

2eq

tsinFtFNxkxm 0

Vibrations forcées avec amortissement sec (suite)


• La solution particulière, l’amplitude et la phase s’écrivent :

avec

21

2

neq2

n

2

0

21

2eq

22

0

p

21

kF

mk

FX

tsinXtx

2n

2

2n

20

eq

2

eq

1

kXN4

arctg1

2

arctgmk

arctg

Xm

N2

Xm2

N4

m2 nnn

eq

c

eqeq


• En trouvant la solution pour l’amplitude X :

• On obtient la valeur finale de la phase :

2/1

2

2n

2

2

00

21

22

2n

2

0

1

FN4

1

k

FX

kXN4

1

k

F

X

2/12

n

n

FN4

1

FN4

arctg


• Deux observations peuvent être faites à partir des équations de X et de 1. Pour que X ne soit pas imaginaire :

Ce qui donne une limite à notre approximation de la force de friction qui doit être petite devant F0 :

2. <0 pour /0 >1 , pour >0 pour /0<1 et est discontinue pour =0, on peut écrire :

2/12

0

0

FN4

1

FN4

arctg

4

N

F0

F

N41 0

2

0

Exemple : Système masse-ressort avec amortissement de coulomb

Enoncé : Soit un système masse-ressort avec m=10 kg et k=4000N/m, oscillant sur une surface horizontale. Le coefficient de friction est égal à 0,12. Quand sujette à une force harmonique de fréquence 2Hz, la masse vibre avec une amplitude de 40 mm. Trouvez l’amplitude de la force harmonique appliquée à la masse.

Données : m=10kg, k=4000N/m, =0,12, fréquence de la force harmonique = 2Hz, l’amplitude des vibrations X=410mm.

Trouver F0.

Exemple (suite) : Système masse-ressort avec amortissement de coulomb

Solution : la fréquence naturelle des vibrations est :

Le rapport des fréquence est :

L’amplitude des vibrations s’écrit :

C’est à dire :

Ce qui donne F0=97,9874 N

sec/rad2010

4000

m

kn

6283,020

22

n

21

22

n

2

00

1

FN4

1

k

FX

21

22

2

00

6283,01

F1,9812,04

1

4000

F04,0

• La force agissant sur un système vibratoire est d’habitude extérieure. Dans certains systèmes, la force est générée de l’intérieur et est fonction des paramètres du mouvement du système tels que le déplacement, la vitesse ou l’accélération.• Un système est dynamiquement stable si son mouvement converge ou reste stable

avec le temps. Certaines circonstances entrainent l’instabilité : on trouve beaucoup d’instabilité en mécanique des fluide où des vibrations sont causées par un fluide qui se déplace autour où à l’intérieur d’un corps.

Force auto-générée et analyse de la stabilité d’un système

2/12

2,1

2t

m

k4

m2

1

m2s

0m

ks

msCetxsi;0kxxxm

• Le mouvement est divergent si les racines s1 et s2 sont :

1. Réelles et positives, évité si

2. Complexes conjuguées avec des parties réelles positives dans ce cas :

Force auto-générée et analyse de la stabilité d’un système (suite)

0m

ket

m

222121

22121

22121

qpssm

k,p2ss

m

0m

ks

mssssssssss-s iq-ps iq,p s

Exemple 8 : Instabilité d’un système masse-ressort sur une

ceinture mouvante

• Considérons le système de la figure. On suppose que le coefficient de friction varie avec la vitesse relative de friction comme le montre la courbe (b). Quand la vitesse relative augmente, le coefficient de friction diminue à partir de sa valeur statique pour ensuite augmenter à partir d’une vitesse relative de transmission vq. En supposant que la vitesse relative de friction est inférieure à vq, nous avons :

où a est une constante et W=mg est le poids de la masse. Déterminer la nature des vibrations libres autour de la position d’équilibre de la masse.

vW

a0

Exemple 8 : Instabilité d’un système masse-ressort sur une ceinture mouvante (suite)

• Supposons qu’à l’équilibre de la masse m, le ressort a un allongement x0, si V est la vitesse de la ceinture :

• Si la masse est déplacée d’une distance x à partir de sa position d’équilibre x0, la vitesse relative de friction est donnée par :

• L’équation du mouvement s’écrit, en utilisant la deuxième loi de Newton :

•

Le système est instable, la valeur de x augmente avec le temps. Sauf si

auquel cas l’équation du mouvement change.0• Même genre d’équation dans les instabilités dynamiques causées par le

déplacement des fluides autour d’un corps.

k

aV

k

W

k

WxkxW 0

00

xVv

0kxxaxm

xVW

aWxxkWxxkxm 000

2/12

2

2/12

1tr

2tr

1tm2/a

m

k4

m

a

2

1r

m

k4

m

a

2

1raveceCeCetx 21

,vxVou0xV 0

Exemple 9 : Réponse d’un système à une excitation de la base utilisant MATLAB

• En utilisant MATLAB, trouver et faire un graphe de la réponse d’un système masse-ressort avec amortissement visqueux soumis à une excitation de sa base de la forme y(t)=Y sin t, avec les données suivantes : m=1200 kg, k=4×105 N/m, =0,5, Y=0,05 m, = 29,0887 rad/s, x0=0,

• Solution : L’équation du mouvement est :

qui est exprimée comme un système de deux équations différentielles du premier ordre en utilisant : , on peut écrire :

ykykxxxm

t0887,29cos005,00887,29yet

t0887,29sin5,0y,12001045,02km2avec

ym

ym

kx

m

kx

mx

xx

5c

122

21

s/m1,0x

xxetxx 21

Exemple 9 : Réponse d’un système à une excitation de la base utilisant MATLAB (suite)

• Le programme :

• La solution MATLAB

Exemple 9 : Réponse d’un système à une excitation de la base utilisant MATLAB (suite)

Exemple 10 : Réponse d’un système forcé avec amortissement sec (1)

• En utilisant MATLAB, faire la figure représentant la réponse d’un système forcé avec amortissement de Coulomb pour les données suivantes : m= 5 kg, k=2000 N/m, =0,5, F(t)=100sin 30 t N, x0=0,1 m,

• Solution : L’équation du mouvement du système s’écrit est :

que l’on peut écrire comme un système de deux équations différentielles du premier ordre en utilisant : , comme :

tsinFxsigma.mgkxxm 0

210

2

21

xsigma.gxm

ktsin

m

Fx

xx

s/m1,0x

xxetxx 21

• Le programme :

• La solution MATLAB


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