Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques

Leçon n°15 :

Etude énergétique d’une corde, réflexion et transmission, impédance

Etude énergétique d’une corde

Densité d’énergie cinétique•Un élément de masse dm=dx de vitesse y/t possède l’énergie

cinétique :

• La densité d’énergie cinétique s’écrit :

2

c t

ydx

2

1dE

2

c

c t

y

2dx

dEe

Densité d’énergie potentielle

• Pendant le mouvement, la longueur de la corde serait L, supérieure à sa longueur au repos ℓ.

• Le travail d’un opérateur faisant passer la corde de la situation décrite par y(x,t) s’écrit :

où T est le module de la force exercée par l’opérateur.

0

2

0

2

0

222

dxx

y

2

1L

1x

ycardx

x

y

2

11dx

x

y1LSoit

dydxdsavecdsL

0

2

dxx

y

2

TLTW

Densité d’énergie (2)

• Ce travail s’identifie à la variation d’énergie potentielle de la corde

• La densité d’énergie potentielle ep s’écrit donc :

• La densité d’énergie de la corde s’écrit alors :

0

2

p dxx

y

2

TE

2

p

p x

y

2

T

dx

dEe

T

vavecx

y

2

T

t

y

2eee 2

22

pc

Densité d’énergie (3)

• La densité d’énergie de la corde peut être transformée de la manière suivante :

• Le crochet représentant l’équation de d’Alembert étant nul, il reste :

qui est l’équation locale de la conservation d’énergie où S représente le flux d’énergie à travers la corde en un point et un instant donnés.

t

y.

x

yT

xt

y

v

1

x

y

t

yT

t

y.

x

y

t

y.

x

y

xT

t

y.

t

y

v

T

tx

y.

x

yT

t

y.

t

y

t

e

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

t

y.

x

yTSavec0

t

e

x

S

Densité d’énergie (4)

• Le terme est la réduction sur l’axe des x de div S.

•Nous avons vu précédemment que

il est donc possible de retrouver l’équation de d’Alembert à partir de la conservation de l’énergie d’une corde fixée aux deux bouts.

x

S

2

2

22

2

t

y

v

1

x

y

t

yT

t

e

x

S

Réflexion et transmission sur une discontinuité simple d’une corde

• Sur une corde très longue composée de deux tronçons, avec les masses linéiques 1 et 2, on suppose que du côté x<0 arrive un ébranlement :

• Cette onde incidente donnera une onde réfléchie et une onde transmise :

1v

xtft,xy

2t

1r v

xtfty;

v

xtfry

Réflexion et transmission

• Continuité de la déformation :

• Continuité de la tension en x=0, c’est à dire de l’angle avec l’axe ox.

• En utilisant f’ comme la dérivée de f par rapport à on peut écrire :

t,0yt,0yt,0ytri

x

t,0yt,0

x

yt,0

x

ytri

x

y

0v

xt

'fv

1t,0

x

fet'ft,0

t

f

i

Réflexion et transmission

• En simplifiant par f’, on trouve

• On définit

• On trouve :

21

2

21

12

211

vv

v2tet

vv

vvr

v

t

v

r

v

1

tr1

i

i

1

2

2

1T

vavecv

v

1

2tet

1

1r

Réflexion et transmission

• Les limites de r et t sont :

• Cas →0 : qui est le cas de la réflexion sur une corde très simple (2<< 1), à la limite 2=0, on peut considérer l’extrémité de la première corde comme libre, on a r=1 et t=2, il y’a réflexion totale sans changement de signe.

• Cas → : c’est le cas de la réflexion sur une corde très dense (2>>1), à la limite 2=, on peut considérer l’extrémité de la première corde comme rigidement fixée on a r=-1 et t=0

Il n’y a plus d’onde transmise mais réflexion totale avec changement de signe.

2t0et1r1

•

•

•

• On remarque que, e+=et et e-=ei+er, et que

La densité d’énergie est discontinue, elle dépend de la nature de la corde.

Densité et flux d’énergie sur une discontinuité d’une corde

22

x

y

2

T

t

y

2e

22

2

2

2

22

2

t

'ft'tfv

1

2

T'tf

2e,0xen

v

xtftt,xyt,xy,0xPour

22

1

2

11

21

11

ri

'fr1'fv

r'f

v

1

2

T'rf'f

2e,0xen

v

xtfr

v

xtft,xyt,xyt,xy,0xpour

2

1

2

2

1

2

2

2

1'f

1

12'f

1

11'f

1

2ee

•

•

•

Le flux d’énergie est une grandeur continue à travers x=0 ce qui traduit la conservation de la puissance. St=Si+Sr

•

Ce qui traduit la conservation de l’énergie : flux incident = flux réfléchi + flux transmis

Densité et flux d’énergie

t

y.

x

yTS

2

1

2

11

2

2

2

2

'fv

r1T'rf'f'f

v

r'f

v

1TS;'f

v

tT'tf'f

v

tTS

0'fv

1r

v

tr1T'f

v

1r

v

tTSS 2

12

2

1

2

2

2

TR1

1

1r

S

SRet

1

4t

v

tv

S

STSi

2

2

2

i

r

2

2

2

2

1

i

t

•

• 1=R+T → 0 R → 1 et T → 0 → R → 1 et T → 0 dans les deux cas, c’est la réflexion totale → 0 t → 2, cette onde d’amplitude double ne transporte pratiquement pas d’énergie

Réflexion et transmission, conclusion

1

2tet

1

1r

en supposant une onde harmonique d’amplitude Aei(x-k1

x) arrive du côté x<0, on peut écrire :

Réflexion et transmission sur une discontinuité double (1)

Lxkti

L3

Lxkti

L

xkti

02

xkti

0

xkti

1

3

22

11

Aett,xyAerAett,xy

AerAet,xy

Les conditions de continuité donnent quatre équations à quatre inconnues r0, t0, rL et tL (les paramètres k1, k2, k3 et L sont donnés)

• en x=0

• en x=L

Lik

L0201

Lik

L00

2

2

ertkr1kertr1

L3L

Lik

02

LL

Lik

0

tkretktret

2

2

Réflexion et transmission sur une discontinuité double (2)

Impédance d’une corde (1)

• Soit F(x,t) la composante sur oy de la force exercée sur une corde et la vitesse de la corde en x

La célérité des ondes est

•

L’impédance Z de la corde est constante (le signe - signifie que F et V sont en opposition de phase).

t

ytx,V

Tc

μTZc

T

V

FZ

f't

yV

f'c

T

x

yTF

c

xtftx,ysi;

x

yTTtgαTsinαF

Impédance d’une corde (2)

• Exemple d’un point matériel S de masse m attaché à deux ressorts identiques de raideur k ; l’impédance de la corde est

Cette force entraîne un amortissement du mouvement de m.

• Relation fondamentale de la dynamique (ou à travers l’équation de Lagrange) :

du type

L’impédance de la corde agit comme un amortisseur ou une résistance électrique.

ss

s

s yμTFμTy

F

t0,V

t0,FZ

02kyyμTym

yμT2kyym

sss

ss

0kyαym eqeqeq y

•

• A.N. : m=0,5kg ; k=104N.m-1 ; µ=0,1kg.m-1 ; T=10 N

à t=0, ys=0=1mm ; et

(constante d’amortissement) ; =200 rad/s

régime pseudopériodique (peu amorti)

•

• est grand devant donc peu d’énergie est perdue pendant une période T, l’amplitude reste pratiquement constante sur une période T.

Impédance d’une corde (3)

0yωym

μTy02kyyμTym s

2sssss

12sm

μT

22

2

4ω4ωm

μTΔ

0ys

s1T

m2avectcosaety /t

s

ms4,312

T

• Relation entre une OPPS et une OS à un mode : Prenons une onde stationnaire à un mode et transformons ce produit en somme :

L’O.S peut être considérée comme la superposition des 2 OPPS de même pulsation et de même amplitude se propageant un sens inverse.

• Inversement, prenons une OPPS, en développant le cosinus :

Elle peut ainsi être considérée comme la superposition de deux OS en quadrature (spatiale et temporelle).

Onde plane progressive sinusoïdale (OPPS) et onde stationnaire (OS) à un mode

tcoskxcosAtx,y

kxtcos2

Akxtcos

2

Atx,y

tsinkxsinAtcoskxcosAkxtcosAtx,y

• Une corde vibrante est dans le mode stationnaire n, c’est-à-dire que :

• Calculer l’énergie totale En de la corde en fonction de n, An, l et T.• Considérons à présent la corde comme un assemblage de petits éléments (de

longueur dx) qui effectuent chacun autour de sa position de repos respective sur l’axe Ox un mouvement sinusoïdal d’amplitude Ansin knx.Quelle serait l’énergie mécanique totale E’ de cet ensemble d’oscillateurs? (on rappelle que l’énergie mécanique totale d’une masse m effectuant des oscillations harmoniques d’amplitude à la pulsation est m22/2).

Comparer l’expression obtenue à En. Commentaire.

Exemple : Energie d’une corde (1)

l

nk,xksintsinAtx,y n

nnnnn

Exemple : Énergie d’une corde (2)

• Énergie de la corde en fonction de n, An, l et T.

d’où par la somme, avec

il s’agit bien d’une constante (indépendante du temps).

nn22

n2n

p

1

0

2/1

1

0 n2

nn22

n2n

2

nnp

nn2l

n2n

nc

1

0

2/1

1

0 nnn22

n2n2

2

nnc

tsinlksin4

TE

xdxkcostsinkA2

Tdx

x

y

2

TE

tcoskA4

TE

xdxksintcosA2

Tdx

t

y

2E

2n

22

nn Anl4

TE

l

nk

Exemple : Énergie d’une corde (3)

• L’élément de masse µdx effectuant des oscillations harmoniques d’amplitude Ansin knx à la pulsation n possède l’énergie mécanique totale :

Avec

l’analogie est tout à fait valable.

2/1

n

21

0

2n

2n

'n

2nn

'n xdxksinA

2

1EsoitxksinAdx

2

1dE

n2n

22

'n2

2222n EAn

l4

TE

T.

l

n

l

vn