Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques
Leçon n°7 :
Systèmes soumis à une force sinusoïdale (2ième partie)
Leçon n°7 : Systèmes soumis à une force sinusoïdale (2ième partie)
• Mouvement sinusoïdal de la base• Systèmes forcés avec amortissement sec• Système amorti avec déséquilibre de rotation• Analyse de la stabilité d’un système
Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base
Système amorti soumis à une excitation de la base
Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base (2)
• L’équation du mouvement s’écrit :
• Si y(t) = Y sin t, on obtient :
•
0yxkyxxm
ktanetkYAoù
tsinAtcosYtsinkYykykxxxm
122
2
11
12/1222
22
p
mktanoù
tsinmk
kYtx
Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base (3)
• En utilisant des relations trigonométriques, on peut écrire :
• transmissibilité du déplacement
22
31
22
31
2/1
222
22/1
222
22
12/1222
22
p
r141
r2tan
mkk
mtanet
r2r1
r21
mk
k
Y
Xoù
tsinXtsinmk
kYtx
Y
XTd
Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base (4)
Variations de la transmissibilité du déplacement et de avec r.Y
X
3. La valeur de Td est inférieure à un (Td<1) pour les valeurs quelque soit l’amortissement.
4. Td=1 pour toutes les valeurs de à
5. Pour les plus petits rapports d’amortissement donnent de plus grandes valeurs de Td d’un autre côté pour les plus petits rapports d’amortissement donnent de plus petites valeurs de Td.
6. La transmissibilité du déplacement Td atteint un maximum pour 0<<1 au rapport de fréquence r = rm<1 donné par
Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal
de la base (5)Remarques sur la transmissibilité du déplacement Td
1. La valeur de Td est égale à 1 à r=0 et proche de un pour les petites valeurs
2r
2. Pour un système non amorti (=0), Td à la résonance (r=1)
2r ,2r
2r
2/12
m 1812
1r
Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base, force transmise
• La force transmise à la masse m est calculée à partir de l’équilibre des forces :
où FT est l’amplitude ou la valeur maximale de la force transmise.
•On définit la transmissibilité de la force par le rapport FT/kY :
tsinFtsinmxmyxyxkF T2
2
222
22
2T
r2r1
r21r
kY
Xm
kY
F
Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base (suite)
Transmissibilité de la force en fonction du rapport de fréquence r.
Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base, mouvement relatif
• Si z=x-y dénote le mouvement de la masse par rapport à la base, l’équation du mouvement s’écrit :
• qui a pour solution
où
et
tsinYmymkzzzm 2
tsinZ
mk
tsinYmtz
21
222
12
222
2
222
2
r2r1
rY
mk
YmZ
2
12
11 r1
r2tan
mktan
Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base, mouvement relatif, (suite)
Variation de Z/Y en fonction du rapport de fréquence r.
Exemple : Véhicule roulant sur une route ondulée
Véhicule roulant sur une route ondulée.
Exemple 1 : Véhicule roulant sur une route ondulée
Enoncé : Soit le modèle simplifié d’un véhicule qui peut vibrer dans la direction verticale dans son déplacement sur une route ondulée. Le véhicule a une masse de 1200 kg. Son système de suspension a une constante de raideur de 400KN/m et un rapport d’amortissement =0,5. Si la vitesse du véhicule est de 100 km/h, déterminer l’amplitude de déplacement du véhicule. La surface de la route varie de manière sinusoïdale avec une amplitude Y=0,05 m et une longueur d’onde de 6 m. Trouver l’amplitude du déplacement du véhicule X.
Exemple 1 (suite) : Véhicule roulant sur une route ondulée
Le rapport des amplitudes du véhicule avec celui de la route s’écrit en fonction de et de r, nous avons :
Avec
d’où
l’amplitude du déplacement du véhicule est donnée par :
5933,12574,18
0887,29r
sec/rad2574,181200
1000400
m
k
sec/rad0887,296
1
3600
10001002f2
n
21
n
8493,05933,15,025933,11
5933,15,021
r2r1
r21
Y
X2
1
222
221
222
2
m0425,005,008493Y8493,0X
Exemple 2 : Machine sur des fondations antivibratoires
Une lourde machine pesant 3000N est placée sur un support antivibratoire. La déflection statique des fondations due au poids de la machine est de 7,5 cm. On observe que la machine vibre avec une amplitude de 1 cm quand la base des fondations est sujette à une oscillation harmonique à la fréquence naturelle non amortie du système avec une amplitude de 0,25 cm. Trouver (1) la constante d’amortissement des fondations, (2) l’amplitude de la force dynamique de la base, et l’amplitude du déplacement de la machine par rapport à la base.
Données : P=3000N, st=7,5 cm, X=1cm quand y(t)=0,25sinnt (c’est à dire à la résonance (=n ou r=1).
Exemple 2 (Suite) : Machine sur des fondations antivibratoires
Trouver : , FT et Z.
Solution(1) la raideur des fondations est égale à
A la résonance, nous avons :
la solution de cette équation nous donne = 0,1291la constante d’amortissement est :
m/N40000075,0
3000Pk
St
21
2
2
2
214
0025,0
010,0
Y
X
m/s.N0512,90381,9
30004000021291,0km2. c
Exemple 2 (Suite) : Machine sur des fondations antivibratoires
(2) l’amplitude de la force dynamique de la base à r=1 s’écrit :
(3) L’amplitude du déplacement relatif de la machine à r=1 est :
On peut noter que X=0,01m, Y=0,0025 m et Z=0,0098 m. Ce qui veut dire que Z≠X-Y. Ceci est due aux différences de phases entre x, y, et z.
N40001,000040kX4
41YkF
21
2
2
T
m00968,01291,12
0025,0
2
YZ
Exemple 3 : Instruments séismiques (1)Le dispositif mécanique ci-dessus est un instrument séismique qui consiste en une masse (m), un ressort (k), un amortisseur (α) et traceur qui donne le mouvement de la masse m en fonction du temps. Soit x(t) le mouvement de la masse m et y(t) le mouvement de la base que l’on suppose de la forme y(t)=Ysint.
1. Etablir l’équation du mouvement de la masse m en fonction du déplacement relatif z(t) = x(t) - y(t)
2. Déterminer la solution stationnaire z(t). Cette solution doit être donnée sous la forme z(t) = Z sin (t - ). La variation de (Z/T) en fonction du rapport des fréquences est donnée dans la figure (b).
3. Dans le cas d’un ressort de faible raideur, la pulsation propre n est petite devant la pulsation . Ecrire dans ce cas z(t). Montrer que l’on peut ainsi déterminer l’amplitude Y des vibrations. Ceci est le principe du vibromètre.
4. Dans le cas d’un ressort de raideur élevée, n set grande devant . Montrer que l’on peut déterminer ainsi l’accélération des vibrations 2Y, ceci est le principe de l’accéléromètre. Pourquoi les accéléromètres sont préférés aux vibromètres.
n
r
Exemple 3 : Instruments séismiques (2)
1)
2)
tsinYmkzzzm
ymkzzzmyxz
0yxkyxxm
tsinYty
2
nn
21
21
2/1222
2
2/1222
2
m2etravec
r1
r2tan
mktan
r2r1
Yr
mk
YZ
tsinZtz
Exemple 3 : Instruments séismiques (3)
3) On voit d’après le graphe
en comparant z(t) et y(t), on voit qu’on peut lire directement y (après un temps t’=/) sur le graphe.
4)
Qui montre que si (ça veut dire r<<1)
On sait que donc z(t) donne l’accélération de la base exception faite du retard de phase (t’=/).
Les accéléromètre sont moins lourds car leur n est plus petit.
tsinYtz1Y
Z,3:
Y
Z
n
tsinYr2r1
1tz
r2r1
YrZ;tsinZtz
22/1
222
2n
2/1222
2
1r2r1
12/1
222
tsinYtz 22n
tsinYty 2 2n
y
Exemple 4 : Bâtisse soumise à mouvement harmonique du sol
La bâtisse schématisée sur la figure (a) est soumise à une accélération harmonique du sol.1) Trouver le mouvement subit par la dalle
supérieure de masse m.2) Trouver le déplacement horizontal de la dalle
(masse m) de la bâtisse quand l’accélération du sol est donnée par on suppose les données suivantes : m=2000 kg, k=0,1 MN/m, =25 rad/s, et
3) Si cette foie ci le sol est sujet à un déplacement harmonique horizontal avec une fréquence =200 rad/s et une amplitude Xg=15 mm, trouver l’amplitude des vibrations de la dalle supérieure (masse m). On suppose la masse de la dalle égale à 2000 kg et la raideur des colonnes égale à 0,05 MN/m.
4) On se propose d’ajouter un amortisseur pour absorber les vibrations dues à un mouvement horizontal du sol y(t)=Ycost. Trouver l’expression de la constante d’amortissement de l’amortisseur qui absorbe le maximum d’énergie.
;s/mmtsin100xg
00tx0tx0tx0tx gg
Exemple 4 : Bâtisse soumise à mouvement harmonique du sol (2)
1) Nous avons :
En supposant on obtient
L’équation du mouvement s’écrit : (z=x-y) :
La solution est :
212
1g
BtBtcosA
ty
BtsinA
tytcosAtxty
,00y0y tcosA
0y2
tcosmAtxmymkzzm0yxkxm g
tcosA1
mk
mtytztx
tcosmk
mAtz
22
2
Exemple 4 : Bâtisse soumise à mouvement harmonique du sol (3)
2)
Le déplacement horizontal maximum de la dalle est 0,3339 mm.
mt25sin103391,3t25sin6250
1
1015,1
200tx
t25sin25
1
1000
100t25sin
25200010.1,01000100
200
tsinA
tsinmk
mAtx
46
226
22
Exemple 4 : Bâtisse soumise à mouvement harmonique du sol (4)
3) dans ce cas : et l’équation devient :
La solution est :
avec
L’amplitude de vibration de la dalle =0,03009 m = 30,09 mm
gxmymyxkyxm tcosXtxty gg
yxzavectcosXmkzzm g2
2
2g
2
g2
r1
tcosrX
mk
tcosXmtz
mt200cos01509,0t200cos015,0tztytx
mt200cos01509,0t200cos6491,121
6491,12
1000
15tz
6491,128114,15
200ret
s/rad8114,152000
10.5,0
m
k
2
2
n
6
n
Exemple 4 : Bâtisse soumise à mouvement harmonique du sol (5)
4)
La force d’amortissement =
Energie absorbée par période par l’amortisseur
Puisque
Pour le maximum d’énergie,
2
111222
12
2
mktanavectcosZ
mk
tcosYmtz
tcosYmymkzzzm
1tsinZdt
dz
2/2
0t
1222
/2
0
11
/2
0t
ZdttsinZ
dttsinZtsinZdz.dt
dzE
2222
242
222
2
mk
YmE
mk
YmZ
0d
dE
2
2222
25252222 mk0
mk
2yYmmk
Réponse d’un système amorti avec un déséquilibre de rotation
• Les machines tournantes (moteurs, turbines, machines à laver …) peuvent être le siège de vibrations importantes. Un modèle simplifié est montré dans la figure. • Masse totale de la machine M• 2 petites masses en rotation dans des directions opposées• Force centrifuges me2/2 pour chaque masse• La force d’excitation a seulement une composante verticale
tsinmetF 2 tsinmekxxxM 2
Réponse d’un système amorti avec un déséquilibre de rotation
•
Même équation que celle du mouvement relatif d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base.
•
ncc
n M2,,M
k
tsinmekxxxM 2
21
21
222
2
21
2/1222
2
p
r1
r2tan
;r2r1
r
me
MX
mktan
;Mk
metx
Exemple 5 : compresseur à air avec un déséquilibre de rotation (1)
Un compresseur à air monocylindre de masse 100 kg est monté sur les supports en caoutchouc, comme le montre la figure . Les constantes d’élasticité et d’amortissement des supports en caoutchouc sont : 106 N/m et 2000 N.s/m, respectivement. Si le déséquilibre de rotation du compresseur est équivalent à une masse de 0,1 kg localisée à la fin de l’essieu de 3000 rpm. Supposer r=10 cm et ℓ=40 cm.
L’équation du mouvement est
Où
La réponse est
tsinmekxxxm 2
Exemple 5 : compresseur à air avec un déséquilibre de rotation (2)
m1,0reetkg1,0m,m/N10k
,m/s.N2000,kg100M,s/rad16,31460
23000
6
2/1
222
2
p
Mk
meXoùtsinXtx
0520,4rad07072,016,31410010
16,3142000tan
Mktan
mm11,0m109960,11016,314200016,31410010
16,3141,01,0X
26
12
1
62/122226
2
Le diagramme schématique d’une turbine à eau de Francis est donné dans la figure. L’eau à travers le passage A dans les palettes B et descend par le canal C. Le rotor a une masse de 250 kg et un déséquilibre de rotation (me) de 5 kg.mm. La turbine opère dans une plage de fréquence de 600 à 6000 rpm. L’arbre d’acier supportant le rotor peut être supposé fixé à l’essieu (aux roulements, voulant dire qu’il ne vibre pas en haut ). Déterminer le diamètre de l’arbre pour que le rotor ne touche pas le stator à toutes les vitesses de rotation auxquelles opère la turbine. Supposer que l’amortissement est négligeable et que l’arbre d’acier peut-être assimilée à une poutre supportant une masse avec k=3EI/ℓ3 où I=πd4/64=moment d’inertie de surface de l’arbre et E=2,07×1011= module d’Young de l’acier
Exemple 6 : la turbine à eau de Francis (1)
On sait que pour avoir les plus petite amplitude de vibration, on doit avoir r=/n>>1, donc n petit donc k est le plus possible, on prend k = 10,04 × 104π2
Exemple 6 : la turbine à eau de Francis (2)
m/N1004,10k10k
200
k004,0200
1k
200105005,0:s/rad200pour
m/N1004,10k10k
2
k004,020
1k
20105005,0:s/rad200pour
s/radk625,0250
k
M
k
s/rad200rpm6000ets/rad2060
2600;rpm6000600
,mm5X,kg250M,mm.kg5me
r1k
me
Mk
meX0
2627
2
2
23
2425
2
2
23
n
2
2
2
2
mm127m1270,0d
m106005,21007,23
21004,1064
E3
k64d
64
dE3EI3k 44
11
32434
2
33
Vibrations forcées avec amortissement sec
• Equation du mouvement
où le signe de la force d’amortissement est positif ou négatif suivant le mouvement se fait de gauche à droite ou de droite à gauche, respectivement.
• On se limite au cas où N est petit devant F0, on suppose un rapport d’amortissement visqueux équivalent. On trouve une solution approchée au problème en égalant les énergies dissipées dans les deux cas pendant une période. Si l’amplitude du mouvement est X :
X
N4XNX4 eq
2eq
tsinFtFNxkxm 0
Vibrations forcées avec amortissement sec (suite)
Vibrations forcées avec amortissement sec (suite)
• La solution particulière, l’amplitude et la phase s’écrivent :
avec
21
2
neq2
n
2
0
21
2eq
22
0
p
21
kF
mk
FX
tsinXtx
2n
2
2n
20
eq
2
eq
1
kXN4
arctg1
2
arctgmk
arctg
Xm
N2
Xm2
N4
m2 nnn
eq
c
eqeq
Vibrations forcées avec amortissement sec (suite)
• En trouvant la solution pour l’amplitude X :
• On obtient la valeur finale de la phase :
2/1
2
2n
2
2
00
21
22
2n
2
0
1
FN4
1
k
FX
kXN4
1
k
F
X
2/12
n
n
FN4
1
FN4
arctg
Vibrations forcées avec amortissement sec (suite)
• Deux observations peuvent être faites à partir des équations de X et de 1. Pour que X ne soit pas imaginaire :
Ce qui donne une limite à notre approximation de la force de friction qui doit être petite devant F0 :
2. <0 pour /0 >1 , pour >0 pour /0<1 et est discontinue pour =0, on peut écrire :
2/12
0
0
FN4
1
FN4
arctg
4
N
F0
F
N41 0
2
0
Exemple : Système masse-ressort avec amortissement de coulomb
Enoncé : Soit un système masse-ressort avec m=10 kg et k=4000N/m, oscillant sur une surface horizontale. Le coefficient de friction est égal à 0,12. Quand sujette à une force harmonique de fréquence 2Hz, la masse vibre avec une amplitude de 40 mm. Trouvez l’amplitude de la force harmonique appliquée à la masse.
Données : m=10kg, k=4000N/m, =0,12, fréquence de la force harmonique = 2Hz, l’amplitude des vibrations X=410mm.
Trouver F0.
Exemple (suite) : Système masse-ressort avec amortissement de coulomb
Solution : la fréquence naturelle des vibrations est :
Le rapport des fréquence est :
L’amplitude des vibrations s’écrit :
C’est à dire :
Ce qui donne F0=97,9874 N
sec/rad2010
4000
m
kn
6283,020
22
n
21
22
n
2
00
1
FN4
1
k
FX
21
22
2
00
6283,01
F1,9812,04
1
4000
F04,0
• La force agissant sur un système vibratoire est d’habitude extérieure. Dans certains systèmes, la force est générée de l’intérieur et est fonction des paramètres du mouvement du système tels que le déplacement, la vitesse ou l’accélération.• Un système est dynamiquement stable si son mouvement converge ou reste stable
avec le temps. Certaines circonstances entrainent l’instabilité : on trouve beaucoup d’instabilité en mécanique des fluide où des vibrations sont causées par un fluide qui se déplace autour où à l’intérieur d’un corps.
Force auto-générée et analyse de la stabilité d’un système
2/12
2,1
2t
m
k4
m2
1
m2s
0m
ks
msCetxsi;0kxxxm
• Le mouvement est divergent si les racines s1 et s2 sont :
1. Réelles et positives, évité si
2. Complexes conjuguées avec des parties réelles positives dans ce cas :
Force auto-générée et analyse de la stabilité d’un système (suite)
0m
ket
m
222121
22121
22121
qpssm
k,p2ss
m
0m
ks
mssssssssss-s iq-ps iq,p s
Exemple 8 : Instabilité d’un système masse-ressort sur une
ceinture mouvante
• Considérons le système de la figure. On suppose que le coefficient de friction varie avec la vitesse relative de friction comme le montre la courbe (b). Quand la vitesse relative augmente, le coefficient de friction diminue à partir de sa valeur statique pour ensuite augmenter à partir d’une vitesse relative de transmission vq. En supposant que la vitesse relative de friction est inférieure à vq, nous avons :
où a est une constante et W=mg est le poids de la masse. Déterminer la nature des vibrations libres autour de la position d’équilibre de la masse.
vW
a0
Exemple 8 : Instabilité d’un système masse-ressort sur une ceinture mouvante (suite)
• Supposons qu’à l’équilibre de la masse m, le ressort a un allongement x0, si V est la vitesse de la ceinture :
• Si la masse est déplacée d’une distance x à partir de sa position d’équilibre x0, la vitesse relative de friction est donnée par :
• L’équation du mouvement s’écrit, en utilisant la deuxième loi de Newton :
•
Le système est instable, la valeur de x augmente avec le temps. Sauf si
auquel cas l’équation du mouvement change.0• Même genre d’équation dans les instabilités dynamiques causées par le
déplacement des fluides autour d’un corps.
k
aV
k
W
k
WxkxW 0
00
xVv
0kxxaxm
xVW
aWxxkWxxkxm 000
2/12
2
2/12
1tr
2tr
1tm2/a
m
k4
m
a
2
1r
m
k4
m
a
2
1raveceCeCetx 21
,vxVou0xV 0
Exemple 9 : Réponse d’un système à une excitation de la base utilisant MATLAB
• En utilisant MATLAB, trouver et faire un graphe de la réponse d’un système masse-ressort avec amortissement visqueux soumis à une excitation de sa base de la forme y(t)=Y sin t, avec les données suivantes : m=1200 kg, k=4×105 N/m, =0,5, Y=0,05 m, = 29,0887 rad/s, x0=0,
• Solution : L’équation du mouvement est :
qui est exprimée comme un système de deux équations différentielles du premier ordre en utilisant : , on peut écrire :
ykykxxxm
t0887,29cos005,00887,29yet
t0887,29sin5,0y,12001045,02km2avec
ym
ym
kx
m
kx
mx
xx
5c
122
21
s/m1,0x
xxetxx 21
Exemple 9 : Réponse d’un système à une excitation de la base utilisant MATLAB (suite)
• Le programme :
• La solution MATLAB
Exemple 9 : Réponse d’un système à une excitation de la base utilisant MATLAB (suite)
Exemple 10 : Réponse d’un système forcé avec amortissement sec (1)
• En utilisant MATLAB, faire la figure représentant la réponse d’un système forcé avec amortissement de Coulomb pour les données suivantes : m= 5 kg, k=2000 N/m, =0,5, F(t)=100sin 30 t N, x0=0,1 m,
• Solution : L’équation du mouvement du système s’écrit est :
que l’on peut écrire comme un système de deux équations différentielles du premier ordre en utilisant : , comme :
tsinFxsigma.mgkxxm 0
210
2
21
xsigma.gxm
ktsin
m
Fx
xx
s/m1,0x
xxetxx 21
• Le programme :
• La solution MATLAB
Exemple 10 : Réponse d’un système forcé avec amortissement sec (2)
Exemple 10 : Réponse d’un système forcé avec amortissement sec (3)