PHY1501

PHY1501 – circuits linéairesRikard Blunck – rikard.blunck@umontreal.ca

PHY1501

PHY1501 - Les circuits linéaires RLC

• Appendix B

• http://www.mapageweb.umontreal.ca/leonelli/PHY1501.htm

• 07 janvier 2010

– Définitions et éléments (I, V, R, L, C)

– Les lois d’Ohm et de Kirchhoff

Circuit éléctrique

PHY1501

PHY1501

Le filtre passe-bas

C

R

U siU e

Les boîtes noires

PHY1501

Définitions

• chargeq Coulomb 1 C

• courant i ampère 1 A = 1 C/s

• potentiel v, u volt 1V = 1 J/C• tension v, u volt 1Vcharge élémentaire

e = 1.6022 10-19 CI

+-

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Champ électrique de deux charges q et -q

F =

F = E qtest

q1 q2 4 r2

= const

E

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Le circuit électrique

i = dq/dt

+V(1)

-V(2)

±V i

Les éléments lineaires:

I(2*V) = 2*I(V)

PHY1501

Définitions

• charge q Coulomb 1 C• courant i ampère 1 A

= 1 C/s• potentiel v volt 1 V = 1 J/C• tension v volt 1 V

• source de voltage e volt

• source de courant i ampère

• résistance R Ohm 1 = 1 V/A

• inductance L Henry 1 H = Vs/A

• condensateur C Farad 1 F = 1 C/V

±V

PHY1501

Définitions

• charge q Coulomb 1 C• courant i ampère 1 A

= 1 C/s• potentiel v volt 1 V = 1 J/C• tension v volt 1 V

• source de voltage e volt

• source de courant i ampère

±V

PHY1501

La résistance

R = l/Aavec : résistance

spécifiquel : longeurA : surface

R = U / I (loi d’Ohm)

±V i R

Wel = U q = U ∫ I dt = U I t

P = W/t = U I t/t = U I= U2/R= I2R

1. anneau facteur2. anneau tolérance

argentor

PHY1501

La résistance

R = l/Aavec : résistance

spécifiquel : longeurA : surface

R = U / I (loi d’Ohm)

±V i R

Wel = U q = U ∫ I dt = U I t

P = W/t = U I t/t = U I= U2/R= I2R

PHY1501

Le condensateur

+++++++++

---------

+Q -Q

d

E = Q / ( A)

= 0 r

0 = 8.85 10-12 As/Vm

Matériel r

Vide 1.0000Aire 1.0006Verre 4..12Plexiglas 3Eau 81Bariumtitanat >1000

+++++++++

---------

E

+Q -Q

V

PHY1501

Le condensateur

+++++++++

---------

E

+Q -Q

F

Fchamp = E q

Wchamp = Fchamp d = E q d

Welec = U q

Welec = Wchamp

U q = E q dU = E d (E=Q/A)U = Q d / A

d

PHY1501

Le condensateur

+++++++++

---------

E

+Q -Q

U = Q d / AU Q

La capacité C

C = Q / U

Farad 1 F = 1 C/V

Condensateur de planC = A/d

d

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Le condensateur

i(t) = dq/dt= d(C v(t))/dt

i(t) = C dv(t)/dt

v(t) = 1/C ∫i(t) dt

Ce

i

V

C = Q/V

PHY1501

L’inductance : la bobine

B =

µ = µ0µr (perméabilité magnétique)

µ0= 1/0c2 = 1.26 10-6 Vs/Am

µ q v4 r2

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L’inductance : la bobine

Bobine de N tours:

B = µ I N / 2 r

(Loi de Biot-Savart)

u(t) = d(AB)/dt

N tours, A=const

u(t) = N A dB/dt

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L’inductance

uL(t) = N A dB/dt

= N A d/dt(µ i(t) N / 2 r)

= N2µA/2r di(t)/dt

uL(t) di(t)/dt

uL(t) = L di(t)/dt

L: inductance

L = N2µA/2r

e

i

LV

PHY1501

L’inductance : la bobine

PHY1501

Définitions

• charge q Coulomb 1 C• courant i ampère 1 A

= 1 C/s• potentiel v volt 1 V = 1 J/C• tension v volt 1 V

• source de voltage e volt

• source de courant i ampère

• résistance R Ohm 1 = 1 V/A

• inductance L Henry 1 H = Vs/A

• condensateur C Farad 1 F = 1 C/V

±V

Les lois de Kirchhoff

U = R I loi d’Ohmi

RU

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Les lois de Kirchhoff

U = R I loi d’Ohm

∑ qk = ∑ik = 0 1. loi de Kirchhoff

∑ek - ∑uk = 0 2. loi de Kirchhoff

i

RU

i1 i3i2

i4

ddt

u1u3

u2

u4

u3

u2

u4

e

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Deux résistances en série

Diviseur du tension

i

R2

R1

E i

R2

R1

E

U =2

RR +R

2

1 2

E

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Extension d’échelles des mètres de voltage et courant

RS

R i V sat

V totalV = R / (R +R ) V

R = R (n- 1) avec n=V / V

sat i s i total

s i

total sat

RS

R iI total

R (I )s total- I = R I

R = R / (n- 1) avec n=I / I

sat i sat

s i

total sat

I sat

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http://www.mapageweb.umontreal.ca/lapoinj/PHY1501/

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http://www.mapageweb.umontreal.ca/lapoinj/PHY1501/

Bouarich Said

13 janvier 2010

• Regime transitoire• (Regime alternatif)

– Loi d’Ohm R = U / I

– Inductance UL = L dI/dt

– Capacitance I = C dU/dt

PHY1501

PHY1501

Série et parallèle

R

R

R R

L

L

L L

C

C

C C

Rtotal = ∑Rk Ltotal = ∑Lk = ∑1Ck

= ∑ = ∑ Ctotal = ∑Ck

1Ctotal

1Rtotal

1Rk

1Ltotal

1Lk

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Courant dans une ampoule

C

R

U e

ampoule(R )a

PHY1501

Régime variable

u(t) = E

0 t<0u(t) =

E t>0

u(t+T) = u(t)

T

t=0

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Circuit RRC

i = i1 + i2

E = V + R1i

V = R2i1

ii1 i2

C

R1

R2E V

e(t)

t

continue transitoire continue

dv/dt + (1/R2C + 1/R1C) v –E/R1C = 0

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Circuit RRC

e(t)

t

continue transitoirecontinue

dv/dt + (1/R2C + 1/R1C) v –e/R1C = 0

équation différentielle homogène:

dv/dt + (1/R2C + 1/R1C) v = 0

v(t) = v0e-at + const

a = (R1+R2)/R1R2C

v(t=0) = 0 const = -v0

v(t=∞) = i R2 = E R2/(R1+R2) = const

v(t) = E {1-e }

0

ER / (R +R )2 1 2

(R1+R2) tR1R2C

R2

R1+R2

PHY1501

Régime variable

u(t) = E

0 t<0u(t) =

E t>0

u(t+T) = u(t)

T

t=0

PHY1501

Le circuit LRC en série

C

R

Le

iSolution:

i(t) = e sin(0t)

avec 0=(4L/C –R2)1/2

E0L

Rt/2L

de d2i di idt dt2 dt C

= L +R +

e = vL + vR + vC

i = iL = iR = iC

= Ldi/dt + Ri + Q/C

LRC régime transitoire

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-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

u(R) = R i(t)

u(L) = L di/dt

e

-0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

time

t=0

voltagecourant

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Régime alternatif

• sinus

• triangle

• rectangle

• dents de scie=—∑sin(kt)/k

2π

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Régime alternatif – génération

u(t) = d(BA)/dt = B dA/dt = B r l cos(t)

PHY1501

Régime alternatif - génération

u(t) = d(BA)/dt = B dA/dt = B r l cos(t)

PHY1501

Le courant alternatif

u(t)

B

t

û

T = 1/f = 2/

u(t) = û cos(t) = û cos(2f t) = û cos(2 t/T)

PHY1501

Le courant alternatif

u(t)

B

t

û1

u1(t) = û1 cos(t + 1)

u2(t) = û2 cos(t + 2)

= 2 - 1

12

PHY1501

Le circuit LRC en série

de d2i di idt dt2 dt C

C

R

Le

i

= L +R +

e(t) = Ê cos(t)

i(t) = Î cos(t+φ)

PHY1501

Impédance – déphasage

1E-3 0.01 0.1 1pi/2 10 100 1000

0

- / 20.01 0.1 1 10 100 1000

/ 2

I / E

f réquence

résonance0=1/(LC)1/2

Î = Ê/(R2+(1/C -L)2)½ tan (φ)= 1/C -LR

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La phase

-4 -2 0 2 4

tan

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Le condensateur en régime alternatif

Ce

i

C = Q/U

i(t) = C d/dt u(t)

u(t) = e(t) = E cos(t)

i(t) = -CE sin(t) = C E cos(t + /2)

e

i

L

u(t) = L d/dt i(t)

i(t) = 1/L E cos(t) dt

i(t) = E/L sin(t) = 1/L E cos(t - /2)

e

i

Ri(t) = 1/R u(t) = 1/R E cos(t + 0)

PHY1501

Le courant alternatif

u(t)

B

t

û1

u1(t) = û1 cos(t + 1)

u2(t) = û2 cos(t + 2)

= 2 - 1

12

PHY1501

C, L et R en régime alternatif

C = Q/U

i(t) = C d/dt u(t)

u(t) = e(t) = E cos(t)

i(t) = -CE sin(t) = C E cos(t + /2)

u(t) = L d/dt i(t)

i(t) = 1/L E cos(t) dt

i(t) = E/L sin(t) = 1/L E cos(t - /2)

i(t) = 1/R u(t) = 1/R E cos(t + 0)

i(t ) u(t )

/ 2

i(t )

u(t )

/ 2

i(t ) u(t )

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Impédance complexe

uc(t) = Ûejt = Û cos(t) + jÛ sin(t) (Euler)

u(t)

I m

Re

t

t

Û cos( t )

Û sin( t )

Û

PHY1501

Impédance complexe

uc(t) = Ûejt = Û cos(t) + jÛ sin(t) (Euler)

Re(uC(t)) = Û cos(t) = u(t)

Im(uC(t)) = Û sin(t) (aucun sens)

u(t)

I m

Re

t

t

Û cos( t )

Û sin( t )

Û

PHY1501

Impédance complexe

uc = Ûej = Û cos() + jÛ sin() = Re(uc) + j Im(uc)

Û = Re(uc)2 + Im(uc)2

tan() =Im(uc)

Re(uc)

u(t)

I m

Re

t

t

Û cos( t )

Û sin( t )

Û

PHY1501

Impédance complexe Z

ej(+/2) = cos(+/2) + j sin(+/2)= -sin() + j cos()= j (cos() + j sin())= j ej() = d/d ej()

ej(-/2) = cos(-/2) + j sin(-/2)= sin() - j cos()= -j (cos() + j sin())= -j ej() = 1/j ej() = ∫ ej() d

i(t ) u(t )

/ 2

i(t )

u(t )

/ 2

i(t ) u(t )

PHY1501

Impédance complexe Z

ej(+/2) = j ej() = d/d ej()

ej(-/2) = -j ej() = 1/j ej() = ej() d

Condensateur:u(t) = 1/C ∫ i(t) dt

= 1/C ∫ Î ejt dt = 1/jC Î ejt = 1/jC i(t)

Inductance:u(t) = L di(t)/dt = L d/dt Î ejt

= jL Î ejt

= jL i(t)

i(t ) u(t )

/ 2

i(t )

u(t )

/ 2

i(t ) u(t )

PHY1501

Impédance complexe Z

Z = impédance complexe

Condensateur:u(t) = 1/jC i(t) Z = 1/jC

Inductance:u(t) = jL i(t) Z = jL

Résistanceu(t) = R i(t) = R Î ejt Z = R

i(t ) u(t )

/ 2

i(t )

u(t )

/ 2

i(t ) u(t )

PHY1501

Impédance complexe Z

série parallèleZtotal = Z1 + Z2 1/Ztotal = 1/Z1 + 1/Z2

R R1+R2 = Rtotal 1/R1+1/R2= 1/Rtotal

L jL1 + jL2 1/jL1 + 1/jL2

= j (L1 + L2) =1/j (1/L1 + 1/L2)

= j Ltotal = 1/jLtotal

C 1/jC1 + 1/jC2 jC1 + jC2

= 1/j (1/C1 + 1/C2) = j (C1 + C2)

= 1/jCtotal = jCtotal

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Impédance complexe ZL d’une inductance réelle

ZL = RL + j L

|ZL| = RL2 + (L)2

tan ()= =

ZL = |ZL| ej

e

i

L e

i

L

RL

L

RL

Z L

u(t )

L Im(ZL)R Re(ZL)

PHY1501

Le circuit LRC en série

ic(t) = uc(t) / Z

i(t) = Re{ic}= Re{uc(t)/Z}

u(t) = E cos(t)uc(t) = E ejt

Série: Ztotal = Zc+ZR+ZL

= 1/jC + R + jL

= R + j(L-1/C)= |Z| ej

avec |Z| = (R2 + Z02)1/2

Z0 = L – 1/C

= arctan(Z0/R)

C

R

Le

i

ic(t) = uc(t)/Ztotal = E/|Z| ejt e-j

= E/(R2+Z02)1/2 ej(t-)

i(t) = Re{ic(t)} = E/(R2+Z02)1/2 cos(t-)

PHY1501

Impédance – déphasage

1E-3 0.01 0.1 1pi/2 10 100 1000

0

- / 20.01 0.1 1 10 100 1000

/ 2

I / E

f réquence

résonance0=1/(LC)1/2

résonance0=1/(LC)1/2

1 / C

u(t )L

R

Puissance

PHY1501

Puissance complèxe

PHY1501

puissance réelle puissance imaginaire

Puissance complèxe

PHY1501

Puissance

PHY1501

0 2 4 6 8 10 12

-10

-5

0

5

10

/4voltage

courant

puissance

Puissance

PHY1501

0 2 4 6 8 10 12

-10

-5

0

5

10

/2

voltage

courant

puissance

PHY1501

Le filtre passe-bas

C

R

U siU e

Ue=Ûe cos(t) = Ûe ejt

Us=Ûs ej(t+)

A=Us/Ue = ? = ?

Les boîtes noires

PHY1501

Le filtre passe-bas

0.1 10 1000 1000000.0

0.5

1.0

0.1 10 1000 100000

0

|A|

fréquence

1/ 2

PHY1501

Le filtre passe-haut

Ue=Ûe cos(t) = Ûe ejt

Us=Ûs ej(t+)

A=Us/Ue = ? = ?

U siU e

C

R

PHY1501

Le filtre passe-haut

1/ 2

0.1 10 1000 1000000.0

0.5

1.0

0.1 10 1000 1000000.000

|A|

fréquence

PHY1501

Voltages dans une circuit LRC

LRC filtre

PHY1501

10-3

10-2

10-1

100

101

102

0

0.5

1

1.5

2

2.5

R = 500 Ohm

R = 5 kOhm

LRC filtre

PHY1501

10-3

10-2

10-1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

RC

LRC

PHY1501

Le filtre passe-bande

Ue=Ûe cos(t) = Ûe ejt

Us=Ûs ej(t+)

A=Us/Ue = ? = ?

C

R

U siU e

C

R

PHY1501

Le filtre passe-bande

1/3

0.1 10 1000 1000000.0

0.50.1 10 1000 100000

0.00

|A|

fréquence