théorie des circuits linéaires - exercices résolus

Yverdon-les-Bains, le 22 novembre 2013

Dpartement TIN

(Techniques industrielles)

Filires

Microtechniques et

nergie et Techniques Environnementales

Thorie des Circuits Linaires

Exercices rsolus

www.iai.heig-vd.ch

Bernard Schneider

Copyright Bernard Schneider, 2009-2013

Thorie des circuits linaires HEIG-VD

2 Copyright Bernard Schneider, 2009-2013

Lauteur remercie par avance toutes les personnes qui lui signaleront des erreurs ou lui proposeront des amliorations.

Copyright Bernard Schneider, 2009-2013

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Toutes propositions damliorations et de corrections seront les bienvenues.

HEIG-VD Thorie des circuits linaires

Copyright Bernard Schneider, 2009-2013 3

Table des matires Chapitre 1 Bases de llectricit ................................................................................................................... 4

1.1 Les emplois de llectricit ................................................................................................................. 4

1.2 Rgles de notations et units .............................................................................................................. 5

1.3 Grandeurs physiques de base de la mcanique ................................................................................... 7

1.4 Grandeurs de base de llectricit ..................................................................................................... 13

Chapitre 2 Thorie des circuits linaires .................................................................................................... 23

2.1 Principes gnraux ........................................................................................................................... 23

2.2 Systmes linaires ............................................................................................................................ 23

2.3 Circuits lectriques ........................................................................................................................... 23

2.4 Combinaisons simples dlments linaires ..................................................................................... 26

2.5 Mthodes de rduction des circuits .................................................................................................. 41

2.6 Analyse des circuits par les lois de Kirchhoff .................................................................................. 67

2.7 Comparaison des mthodes danalyse de circuits ............................................................................ 68

2.8 Bilan de puissance ............................................................................................................................ 69

2.9 Alimentations tension continue ..................................................................................................... 71

Chapitre 3 Rgimes sinusodaux ................................................................................................................ 79

3.1 Alimentations tension alternative .................................................................................................. 79

3.2 Reprsentation complexe des signaux sinusodaux .......................................................................... 83

3.3 Les condensateurs ............................................................................................................................. 88

3.4 Les inductances ................................................................................................................................ 94

3.5 Transformateurs idaux et convertisseurs ...................................................................................... 102

3.6 Thorie des circuits en rgime sinusodal ...................................................................................... 105

3.7 Alimentations tension alternative triphase ................................................................................. 118

3.8 Utilisation des alimentations alternatives ....................................................................................... 127

3.9 Fonction de transfert et diagramme de Bode .................................................................................. 130

Chapitre 4 Rgimes transitoires ............................................................................................................... 152

4.1 Rgime transitoire de systmes lectriques .................................................................................... 152

4.2 Modlisation de phnomnes non lectriques ................................................................................ 170

Chapitre 5 Annexe .................................................................................................................................... 174



Chapitre 1 Bases de llectricit

1.1 Les emplois de llectricit

Exercice 1.1.1 nergie rellement consomme en Suisse

Lnergie consomme en Suisse (882 1015 J) nous est fournie sous diverses formes, dans des proportions dcrites la Figure 1.4 du polycopi.

Problme : Contrairement aux autres, lnergie lectrique prise en compte dans ce fromage ne tient pas compte des pertes de rendement sa production :

Environ 60% est dorigine hydraulique, avec un rendement approximatif de 85%.

Environ 40% est dorigine nuclaire, avec un rendement approximatif de 33%.

a) Exprimer les nergies en Joules correspondant chaque tranche du gteau de la figure. b) valuer la quantit dnergie primaire, en Joules, ncessaire pour produire llectricit. c) tablir un nouveau tableau de pourcentages tenant compte de lnergie brute consomme en Suisse,

corrige des pertes de rendement de la production dlectricit.

Rponse a

Nous avons pour chaque tranche :

Combustibles ptroliers :

Carburants :

lectricit :

Gaz :

Reste :



Rponse b

Lnergie primaire ncessaire pour obtenir lnergie lectrique ci-dessus est la suivante :

Rponse c

Ainsi corrig, le tableau comparatif est le suivant

Combustibles ptroliers : correspond 15,8 %

Carburants : correspond 27,7 %

lectricit hydraulique : correspond 13,9 %

nergie nuclaire : correspond 23,9 %

Gaz : correspond 10,6 %

Reste : correspond 8,0 %

Total : (100%)

Exercice 1.1.2 Rendement des processus de conversion dnergie

Lnergie que nous consommons est largement suprieure celle que nous utilisons vraiment, la diffrence provenant du rendement souvent mdiocre des processus de transformation.

a) Rechercher (Internet, bibliothque, etc.) quel est le rendement moyen dune automobile. Il sagit de trouver le rapport entre lnergie mcanique dlivre aux roues et lnergie chimique contenue dans le carburant consomm. Un ordre de grandeur suffit, mais vous pouvez aussi diffrencier diffrentes

tailles dautomobiles et diffrents types de carburant (benzine, Diesel, gaz naturel). b) Admettant que la moiti du carburant consomm en Suisse (voir exercice prcdent) est utilise pour

nos automobiles, et admettant quil soit possible de les quiper avec une motorisation dont le rendement soit de 60% (par exemple : Pile combustible), calculer la quantit dnergie conomise, en Joule et en pourcents de lnergie totale calcule lexercice prcdent.

1.2 Rgles de notations et units

Exercice 1.2.1 Conversion en units SI de base

Exprimez le cheval-vapeur en units SI de base



Rponse

[C ] 3 [ ] 3 [ J

s ] 3 [

m

s] 3 [

g ms2

m

s] 3 [

g m2

s3]

Exercice 1.2.2 Conversion dunit historiques

En 1869, Jules Vernes publiait son roman Vingt-mille lieues sous les mers .

Exprimez cette distance en kilomtres, et le nombre de trajets Bordeaux ew Yor quil faudrait faire, par le trajet le plus court, pour parcourir la mme distance.

Rponse

La lieue mtrise par la Rvolution franaise correspond 4,00 km (source : Wikipedia). La distance

ainsi parcourue en sous-marin est de 80 000 km.

La distance directe Bordeaux New York est de 5 808,4 km (source : Erreur ! Rfrence de lien hypertexte non valide.). La distance parcourue en sous-marin correspond 13,8 trajets, soit

approximativement 7 allers-retours.

Exercice 1.2.3 Conversion dunits anglo-saxonne

Un vhicule consomme 5,4 litres aux 100 kilomtres, dans des conditions normalises.

Convertissez cette consommation en miles per galon pour le catalogue des USA.

Rponse

Un mile correspond 1 609,3 m.

Un galon US correspond 3,79 litres.

La consommation au kilomtre est de 0,054 lt/km, soit de 18,52 km/lt.

Aux USA, la consommation se calcule par :

[

]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

Exercice 1.2.4 Reprsentation des rsultats et chiffres significatifs

Faites les calculs ci-dessous, et exprimez vos rsultats en utilisant des exposants multiples de 3, avec 3

chiffres significatifs, et quil y ait entre 1 et 3 chiffres avant la virgule.

a) La valeur correspondant 1 940 1 940. b) Linverse de 0,0. c) Linverse de 4 0 10-12.



Rponse a

3,76106

Rponse b

2010-3

Rponse a

2,44109

Exercice 1.2.5 Utilisation des prfixes

Exprimez les rsultats de lexercice prcdent en y ajoutant leurs units physiques selon ISO, prcds des prfixes adquats.

a) Le rsultat est une superficie. b) Le rsultat est un temps. c) Le rsultat est une frquence.

Rponse a

3,76106 m

2 = 3,76 km

2

Rponse b

20,010-3

s = 20,0 ms

Rponse a

2,44109 Hz = 2,44 GHz

1.3 Grandeurs physiques de base de la mcanique

Exercice 1.3.1 Poids dune masse

Un bloc de ciment a une masse m de 40 kg. Quelle force faut-il exercer pour la tenir en l'air ( l'arrt) ?

Rponse



Exercice 1.3.2 nergie potentielle 1 travail

Imaginons un dispositif levant une masse de 50 kg sur une hauteur de 10 mtres. Calculer le travail que doit

exercer un ouvrier pour faire monter la masse.

Rponse

Pour lever une masse de 50 kg, il faut lui appliquer une force gale son poids, exprim en [N] :

Le travail exerc vaut:

Exercice 1.3.3 nergie potentielle 2 chute dun corps

Un objet de 100 grammes en Aluminium est en orbite, 256 km de la surface de la Terre. Pour une cause

quelconque, il chute sur Terre.

Hypothses simplificatrices :

La valeur de la gravitation terrestre est estime constante sur toute la hauteur, gale 9,6 N/kg.

Pendant sa chute, nous supposons que le frottement de lair est ngligeable, et que lobjet reste intact.

Au sol, il percute un objet similaire de 1 kg. Toute lnergie est transforme en chaleur, rpartie uniformment entre ces 2 objets.

a) Calculer lnergie potentielle perdue par cet objet, lorsquil tombe de son orbite jusquau niveau de la mer.

b) La capacit thermique massique de laluminium valant 89 J / ( g K), dterminer lchauffement de ces 2 blocs.

Exercice 1.3.4 nergie potentielle 3 Grande Dixence

Le lac de la Grande Dixence contient 339 millions de mtres cubes deau. La diffrence daltitude entre la surface du lac et les turbines au bord du Rhne est de '884 mtres. Quelle est lnergie potentielle disponible pour la fabrication dlectricit ?

Rponse

Lnergie potentielle de cette eau correspond au travail quil aurait fallu pour llever de la hauteur donne. La masse dun mtre cube deau est de tonne, soit '000 g. Son poids sobtient en multipliant sa masse par lacclration terrestre. On obtient ainsi :

( )

Remarque : Dans ce calcul, on na pas tenu compte des pertes, et suppos un rendement de 00 %.



Exercice 1.3.5 Puissance dune grue

Une grue lve une caisse de 600 g dune hauteur de 20 m en s. Quelle est la puissance dveloppe ?

Rponse

Exercice 1.3.6 nergie cintique 1

Un tennisman expdie une balle de tennis 205 m/h. Sachant quune telle balle a une masse de 8 g, quelle est son nergie cintique juste aprs le lancer ?

Rponse

Vitesse de la balle en m/s :

Lnergie cintique vaut :


Un TG dune masse totale de 490 tonnes est lanc 300 m/h. Calculer son nergie cintique.

Rponse

Vitesse du TGV en m/s :

Lnergie cintique du TG vaut :




a) Une voiture de 1,5 t est lance 50 km/h. Quelle est son nergie cintique ?

b) Supposant quelle acclre 60 m/h. Que devient son nergie cintique ?

c) Comparer laugmentation de vitesse et celle de lnergie, exprimes en %, et expliquer la diffrence.

Rponse a

Vitesse initiale de la voiture en m/s :

nergie cintique :

Rponse b

Vitesse aprs acclration :

nergie cintique :

Rponse c

Augmentation de vitesse :

Augmentation de linertie :

Quand la vitesse augmente de 20%, alors lnergie cintique augmente de 44%.

On constate que lnergie cintique augmente avec le carr de la vitesse.

Exercice 1.3.9 nergie cintique 4 chute dun corps

Revenant la chute sans frottement dune masse de 00 grammes de lexercice Exercice 1.3.3, calculer la vitesse de ce corps juste avant de heurter le sol.



Exercice 1.3.10 nergie dune pile

Sachant quune pile neuve serait capable dalimenter une ampoule lectrique de , pendant 1,5 heures, calculer lnergie disponible.

Rponse

h s

h J

Exercice 1.3.11 Rendement dun moteur

Un moteur lectrique dveloppe une puissance mcanique de 22 , alors quil absorbe une puissance lectrique de 24 kW. Calculer son rendement.

Rponse

Exercice 1.3.12 Rendement dun moteur utilis comme gnrateur

Le moteur de lexercice prcdent est utilis comme gnrateur. Il reoit une puissance mcanique de 22 . Quelle puissance lectrique dlivre-t-il ?

Exercice 1.3.13 Rendement dune centrale nuclaire

La puissance lectrique fournie par une centrale nuclaire comme celle de Gsgen est de 1'165 MW. Son

rendement vaut approximativement 33%. Quelle puissance Thermique faut-il lui fournir ?

Rponse

Ce qui correspond lnergie produite par la fission nuclaire.



Exercice 1.3.14 Production lectrique dune olienne

Une olienne produit une puissance de 2,3 MW lorsque le vent est optimum. La production dnergie mesure pendant une anne est de 3,0 GWh.

a) Quelle serait lnergie produite en une anne, si la vitesse du vent tait toujours optimale ? Exprimez cette nergie en [J], en [kWh] et en [tep], ou leurs multiples.

b) Pourquoi lnergie produite mesure en une anne est-elle beaucoup plus faible que celle calcule ci-dessus ?

c) Quelle devrait tre la puissance dune installation qui produirait la mme nergie annuelle, mais de manire constante ?

d) Combien faudrait-il doliennes de ce type pour fournir la totalit de lnergie consomme en Suisse en 2011, soit 852 1015 J ?

Rponse a

Une anne de 365 jours compte 8'760 heures, et chaque heure compte 3'600 secondes. Si la puissance fournie

de 2,3 tait constante, lnergie produite en une anne vaudrait :

4 868 09

Rponse b

Le vent nest pas toujours optimum. Par faibles vents, la puissance de lolienne diminue trs fortement. Lors de vents temptueux, elle doit tre bloque pour viter des dgts et des risques dus une vitesse de rotation

trop leve.

Rponse c

Lnergie produite en une anne est donc de 3,0 GWh au lieu des 20,1 GWh calculs plus haut. Cela correspond une puissance constante gale la puissance moyenne, calcule comme suit :

Rponse d

Lnergie annuelle produite par chaque olienne, en [J], vaut :

[ [ ] [ ]



La consommation dnergie en Suisse sest leve 8 2 1015 J en 2011. Pour produire cette nergie avec des oliennes de ce type, il en faudrait :

La superficie de la Suisse tant de 41'285 km2, cela correspond env. deux olienne par km

2 !

Exercice 1.3.15 Comparaisons nergtiques

En vous rfrant aux informations donnes aux chapitres 1.1.2.11 et 1.1.2.12 du polycopi, exprimer en [tep]

lnergie consomme en 20 en Suisse, sous forme de combustibles ptroliers et de carburants (ensembles). En estimant que les wagons-citernes contiennent en moyenne 46 tonnes de tels produits, et que leur longueur

est en moyenne de 12 m, dterminer quelle longueur aurait un train fournissant cette nergie.

Rponse

En 20 , lnergie totale consomme en Suisse tait de 8 0000 TJ, dont 8, % sous forme de combustibles ptroliers et 35,0% sous forme de carburants. Cela correspond :

( )

4, 868 0 0

Cela correspond au nombre de wagons-citernes suivants :

Un train avec autant de wagons aurait la longueur suivante :

Par comparaison, le rseau ferroviaire suisse compte un peu plus de 5'000 km.

1.4 Grandeurs de base de llectricit

Exercice 1.4.1 Charge des lectrons

Combien dlectrons faut-il dplacer pour crer une charge de 1 C ?

Rponse

Charge de 1 lectron : Qe- = 1,602 10-19

C

Pour obtenir une charge de 1 C, il faut :



Exercice 1.4.2 Courant et charge

a) Quel courant correspond un transfert de charge de 0,36 C en 9 secondes ?

b) Que devient ce courant si le transfert a lieu en 3 secondes seulement ?

Rponse a

C

s A mA

Rponse b

C

s A mA

Exercice 1.4.3 Loi dOhm 1

Quelle est la rsistance dun chauffe-eau qui absorbe un courant lectrique de 4, A lorsquon lui applique une tension de 230 V ?

Rponse

De la loi dOhm U R I on dduit :


Une ampoule lectrique absorbe 0,17 A sous 230 V. Quelle est sa rsistance ?

Rponse


Calculer le courant circulant dans le corps de chauffe dune plaque lectrique ayant une rsistance de 0 , alimente par une tension de 400 V.



Rponse

A


Un fer souder dont la rsistance est de 3, est aliment sous 24 . Quel courant tirera-t-il de la source ?

Rponse

A


On dsire faire circuler un courant de 4 A dans un corps de chauffe de . Quelle tension doit-on lui appliquer ?

Rponse


Calculer la chute de tension dans un conducteur de 8 m lorsquil est parcouru par un courant de A.

Rponse

m


Dans un clair moyen circule un courant de 20 kA un potentiel de 200 MV. Calculer la valeur de la

rsistance offerte au passage du courant.

Rponse



Exercice 1.4.10 Rsistivit et rsistance 1

a) Quelle est la rsistance dun barreau en fer de 0 m de longueur, mm dpaisseur et 20 cm de largeur lorsquune tension est applique entre ses deux extrmits ?

b) Quelle serait sa rsistance si la tension tait applique entre ses faces suprieure et infrieure ?

Rponse a

Rsistance entre les deux extrmits :

Rponse b

Rsistance entre les faces suprieures et infrieures :

Remarque : Cette rponse est illusoire, car elle suppose que le courant se rpartit uniformment sur

toute la surface du barreau. En ralit, il se focalise proximit de la zone o le fil

damene du courant est soud. Ainsi, seule une partie des 2,0 m2 du barreau est parcourue par le courant. Cest un exemple typique dun systme rel pour lequel on ne peut appliquer aveuglment un modle.


Quelle est la rsistance dun fil dinstallation en cuivre de m de longueur et mm2 de section ?

Rponse


On dsire raliser un corps de chauffe dont la rsistance soit 3, avec du fil de constantan de 0, mm de diamtre. Quelle longueur de fil faudra-t-il ?

10 m 20 cm

5 mm



Rponse

La rsistance R de ce fil est donne par la relation ci-dessous en fonction de sa longueur l :

Do on tire :

( )


Un tronon de ligne arienne en cuivre, dune section de 2, mm2, a t brl lors dun incendie, et doit tre replace durgence pour les oprations de dblaiement. On ne dispose que de fil de fer de 3 mm de diamtre. Que faire ?

Rponse

Le fer est galement conducteur de llectricit, et pourrait tre utilis comme solution de secours. Par contre, sa rsistivit Fe = ~100 10

-9, soit 5,7 fois moins bonne que celle du cuivre. Il faudra donc sassurer

en tirant plusieurs fils de fer en parallle que la section de lensemble soit au moins , fois suprieure celle du fil de cuivre remplac, soit 14,3 mm

2.

La section du fil de fer vaut :

( )

Il faudra donc tirer 2 fils de fer en parallle pour obtenir une section suffisante, donc une rsistance peu

prs quivalente celle du fil de cuivre.

Exercice 1.4.14 Chute de tension dans la catnaire dun chemin de fer

Une locomotive tire un train la monte sur une ligne de montagne. La puissance lectrique consomme est

de 4,0 MW sous une tension de 14,8 kV.

La catnaire (fil arien alimentant la locomotive) est constitue dun fil de cuivre de 0 mm de diamtre ( = 17,5 10-9 m). La voie est constitue de 2 rails en acier ( = 100 10-9 m), dont la section est de 49 cm

2.

En admettant que la locomotive se trouve 4 km de la sous-station qui alimente la ligne, calculer la chute de

tension provoque par la circulation du courant dans la catnaire et dans les rails.

Rponse

Courant approximatif consomm par la locomotive :



Rsistance de la catnaire (1 fil, en cuivre) pour une distance de 4 km) :

( )

Rsistance de la voie (2 rails en fer, en parallle) pour une distance de 4 km) :

Chute de tension provoque par la circulation du courant dans la catnaire en srie avec la voie :

( )

Exercice 1.4.15 Tuyau utilis comme parafoudre

On souhaite utiliser un tuyau en fer comme conducteur lectrique, par exemple pour une protection en cas de

coup de foudre. Les caractristiques de ce tuyau sont les suivantes :

Longueur : L = 25 m

Diamtre extrieur : De = 35 mm

Diamtre intrieur : Di = 29 mm

Rsistivit du fer : = 100 10-9 m

a) En supposant que le tuyau est vide, quelle est la rsistance R de ce tuyau ?

b) Lors dun orage, un clair y fait circuler un courant de 0 A. Quelle est la tension entre ses deux extrmits ?

Rponse a

(

)

( )

Rponse b

Exercice 1.4.16 Risque dlectrocution proximit de limpact dun clair

Un clair frappe un champ plat. 00 mtres du point dimpact, une vache est en train de brouter. Par soucis de simplicit, nous supposons que le sol est homogne, avec une rsistivit de 100 m. Nous supposons aussi que lintensit de lclair est de 60 kA.

Quelle tension apparat entre les pattes de la vache, dans le pire de cas ?



Rponse a

Nous pouvons supposer que tout le courant arrivant dans le sol part dans toutes les directions depuis le point

dimpact, de manire uniformment rpartie en direction et en profondeur. Considrons une demi-sphre de 100 m de rayon. Nous pouvons calculer le courant qui traverse chaque mtre carr de cette sphre :

Admettons que cette demi-sphre ait une paisseur de 1 m. Cela signifie que le courant la traverse, faisant

apparatre une tension entre la face intrieure et la face extrieure. Cette tension vaut :

(

) (

)

Si la vache fait face au point dimpact, et tenant compte dune distance approximative de mtre entre ses pattes avant et ses pattes arrire, elle sera soumis une tension de 95,5 V. Le courant passant de ses pattes

avant au pattes arrire transite forcment par sa cage thoracique et son cur. Il y a de fortes chances quelle dcde sur le champ, lectrocute.

Exercice 1.4.17 Puissance dissipe par une ligne lectrique

Un courant de 3 A circule entre deux points dun fil lectrique, et dissipe une puissance de 18 W. Quelle est la tension entre ces deux points ?

Rponse

Entre les deux points de ce fil, cest la rsistance de ligne qui provoque la dissipation de 8 . Cela correspond une chute de tension de :

Exercice 1.4.18 Puissance dune ampoule lectrique

a) valuer le courant consomm par une ampoule lectrique de 60 W sous 230 V.

b) Quelle est sa rsistance ?

c) Que deviennent le courant et la puissance de cette ampoule si sa rsistance est rduite de moiti ?

d) Quel est son rendement, sachant que lnergie lumineuse utile est de 0 ?

Rponse a



Rponse b

Rponse c

Si R est diminu de moiti :

Le courant double, la puissance aussi.

Rponse d

Exercice 1.4.19 Puissance et nergie consomme 1

a) Lclairage dune maison est assur par 9 lampes de 60 . Quelle est lnergie (en h) consomme par ces lampes en 4 heures.

b) Sachant que llectricit cote 26 centimes (suisses) par ilowattheure, et supposant que ces lampes brlent chaque nuit pendant une anne, que cotera cet clairage ?

c) Quel serait le gain sur la consommation si elles sont remplaces par des lampes LED, fournissant la mme lumire tout en ne consommant que 8 W ?

d) Sachant quune ampoule traditionnelle cote 2. 0 CHF a une dure de vie de 000 heures, et quun lampe LED quivalente cote 24.00 CHF et a une dure de vie dau moins 20 000 heures, en combien de temps la dpense supplmentaire est-elle compense, sans tenir compte des taux

dintrts ?

e) Quelle est lconomie ralise aprs 20 000 heures, lorsquil faudra remplacer les lampes LED ?

Rponse a

nergie consomme pour lclairage en 4 heures:

Rponse b

En admettant quelles sont allumes 2 heures par nuit pendant une anne, elles consomment :

( )



Dpense pour lclairage :

Rponse c

8 lampes LED quivalentes de 8 W, la consommation consomment :

( )

Dpense pour lclairage :

Lconomie sur la consommation ralise en une anne est de :

Rponse d

Les 9 lampes traditionnelles durent 1 000 heures, et cotent ensemble 22.50 CHF. Leur consommation

pendant 1 000 heures cote :

Les 9 lampes LED cotent ensemble 216.00 CHF et fonctionnent pendant 20 000 heures. Leur

consommation pendant 1 000 cote :

Lconomie sur la consommation seule (sans tenir compte de lachat des lampes) est donc de :

Cela correspond une conomie de 0.12168 CHF par heure de fonctionnement.

Pour la premire tranche de 1 000 heures, les lampes traditionnelles coteront, achat compris, 162.90 CHF,

alors que les lampes LED coteront, achat compris, 234.72 CHF. ce moment, il faudra remplacer les

lampes traditionnelles, alors que les lampes LED seront toujours oprationnelles. Le surcot des lampes LED

vaut ainsi :

( )

Ce surcot sera compltement compens pendant la 2me

tranche de 1 000 heures. Plus exactement, il sera

compens aprs :

Ainsi, le surcot des lampes LED est amorti en 1 406 heures dclairage.

Rponse e

Aprs 20 000 heures de fonctionnement, lconomie ralise se calcule comme suit :

( )

( )

Lconomie ralise avec les LED est de 81,8% par rapport aux lampes traditionnelles !



Exercice 1.4.20 Puissance et nergie consomme 2

Un grille-pain branch sur 230 V consomme 3 A. Quelle est sa puissance et quelle nergie (en kWh)

consomme-t-il pour faire des toasts en 5 minutes ?

Rponse

Puissance de lappareil :

Energie consomme :



Chapitre 2 Thorie des circuits linaires

2.1 Principes gnraux

(Pas dexercices spcifiques)

2.2 Systmes linaires

(Pas dexercices spcifiques)

2.3 Circuits lectriques

Exercice 2.3.1 Loi de Kirchhoff sur les nuds 1

Trouver la valeur et le sens rel du courant I pour les 3 nuds ci-dessous :

a) b) c)

Rponse a

I + 7 2 = 0, donc : I = 5 A



Rponse b

I + [(9)] + (4) = 0, donc : I = 5 A

Rponse c

I + 8 + (2) + (4) + 3 = 0, donc : I = 5 A

Exercice 2.3.2 Loi de Kirchhoff sur les nuds 2

Dans le circuit reprsent ci-dessous, dterminer le courant I en appliquant les lois de Kirchhoff.

Rponse

Dans un premier temps, il convient de mettre en cause la modlisation propose pour le systme en question.

Il nest pas ncessaire de reprsenter les 4 rsistances de la maille, alors quon ne sintresse pas du tout aux courants qui les traversent. Il est prfrable de les remplacer par un gros nud . On pourra alors y appliquer la loi de Kirchhoff sur les nuds.

I1 = -3 A

I2 = 2 A

I = ?

I3 = 4 A

I1 = -3 A

I2 = 2 A

I = ?

I3 = 4 A



Pour appliquer cette loi, les 4 rfrences de courant doivent tre orientes vers le nud. On obtient ainsi :

( ) ( )

Donc :

A

Exercice 2.3.3 Lois de Kirchhoff sur les nuds et les mailles

Dans le circuit reprsent ci-dessous, dterminer les courants I1, I2 et I3 ainsi que les tensions U1, U2 et U3 en

appliquant les lois de Kirchhoff.

Rponse

Pour les 3 courants, on prend en considration les 3 nuds mis en vidence ci-dessous. Dans chaque nud, on corrige le sens de rfrence pour avoir tous les courants entrants , ou tous les courants sortants .

Chaque valeur de courant dont on a d inverser le sens de rfrence est alors invers. Ces cas sont souligns

dans la figure ci-dessous. On calcule ainsi successivement :

(0,3 A) + 0,1 A + I1 = 0, donc : I1 = +0,2 A

0,2 A + I2 + 0,2 A = 0, donc : I2 = 0,4 A

0,2 A + 0,5 A + (I3) + (0,3 A) = 0, donc : I3 = +0,4 A

I1 = -3 A

I2 = 2 A

I = ?

I3= -4 A

0,3 A I1 300 mA

I2 I3

200 mA

500 mA 100 mA

U1 U2

U3

4 V

5 V

-4 V 6 V



Pour les 4 tensions, on prend en considration les 3 mailles mises en vidence ci-dessous. Dans chaque

maille, on corrige le sens de rfrence pour avoir toutes les tensions orientes dans le mme sens lorsquon parcourt la maille. Chaque valeur de tension dont on a d inverser le sens de rfrence est alors inverse. Ces

cas sont souligns dans la figure ci-dessous. On calcule ainsi successivement :

(4 V) + (5 V) + U1 = 0, donc : U1 = 9 V

9 V + (4 V) + U2 = 0, donc : U2 = 5 V

(5 V) + U3 + (6 V) = 0, donc : U3 = 11 V

0,3 A I1 300 mA

I2 I3

200 mA

500 mA 100 mA

U1 U2

U3

-4 V

-5 V

-4 V -6 V

2.4 Combinaisons simples dlments linaires

Exercice 2.4.1 Rsistances en srie

Dterminer la valeur de la rsistance quivalente du groupement de rsistances ci-dessous. Dterminer la

tension aux bornes de chaque rsistance.

-0,3 A I1 -300 mA

I2 -I3

200 mA

500 mA 100 mA

U1 U2

U3

4 V

5 V

-4 V 6 V

120 40 150

8,3 V



Rponse

Re 3 0

U120 = 3,2 V

U40 = 1,1 V

U150 = 4,0 V

Exercice 2.4.2 Rsistances en parallle

Dterminer la valeur de la rsistance quivalente du groupement de rsistances ci-dessous. Dterminer le

courant parcourant chacune des branches.

Rponse

Re 2 ,

U70 = U40 = 89 mV

I40 = 2,2 mA

I70 = 1,3 mA

Exercice 2.4.3 Calcul dune rsistance quivalente 1

Dterminer la valeur de la rsistance quivalente du groupement de rsistances ci-dessous.

Dterminer le courant de chacune des branches, ainsi que la tension aux bornes de lensemble.

40

70

3,5 mA

30

70

47

27 mA



Rponse

Re 68

U70 = U30 = 1,89 V

I30 = 63 mA

I47 = 90 mA

U47 = 4,23 V

Uensemble = 6,12 V


Dterminer la rsistance quivalente du montage suivant :

2

1

3 5

6

4

Rponse

On calcule successivement (toutes les valeurs ci-dessous en []) :

2 // 4 = 2 4 / (2 + 4) = 1,33

1 + 1,33 = 2,33

2,33 // 3 = 1,31

5 + 1,31 = 6,31

Re 6,3 // 6 3,08


On dsire introduire une rsistance additionnelle de 2, dans un circuit afin de limiter lintensit de courant. On ne dispose toutefois que de rsistances de 20 . Que faire ?

Rponse

Il faut mettre 8 rsistances de 20 en parallle.




On utilise 6 isolateurs en porcelaine pour fixer les cbles dune ligne haute tension de 32 un pylne. En considrant que ces isolateurs sont tous identiques, calculer la valeur de la tension aux bornes de chaque

isolateur.

Rponse

On peut considrer chaque isolateur comme une rsistance de valeur trs leve. Les 16 isolateurs sont en

srie.

Chacun deux est soumis une tension U = 132 kV / 16 = 8,25 kV.

Exercice 2.4.7 Analyse dun circuit lectrique 1

Dterminer la rsistance quivalente au circuit suivant :

R1 00

R2 0

R3 20

R4 80

R5 20

R6 00

R7 330

R8 33

Rponse

et sont en parallle :

et sont en parallle :

et sont en srie :

R5 et R6 sont en srie :



, et sont en parallle :

et sont en srie :

Exercice 2.4.8 Analyse dun circuit lectrique 2

Si la tension entre les points 1 et 2 du circuit ci-dessous est de 40 V, quelle est la tension entre les points 2 et

4 ?

Et entre les points 3 et 4 ?

Rponse

Il convient de redessiner le circuit, par exemple comme suit :

1 = 3 = 4

2

R1 R2

U

Les rponses deviennent alors vidente : les points , 3 et 4 sont confondus (mme nud), ils sont tous les trois au mme potentiel.

La diffrence de potentiel entre les points 4 et 2 est donc gale U, soit 40 V.

La diffrence de potentiel ou tension entre ces 3 points est donc nulle.



Exercice 2.4.9 Calcul dun circuit avec potentiomtre

Donner la fonction de la valeur de la rsistance quivalente Re = f(R; ) du schma ci-dessous, qui dpend de la position du potentiomtre. Cette position varie de 0,0 1,0. Calculer quelques points particuliers et dessiner la fonction pour l'intervalle 0 .

R

R

R 0

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Re

Rponse

Si l'on remplace le potentiomtre par 2 rsistances de valeur R et (1 ) R, le schma peut tre redessin comme reprsent plus bas. On peut calculer alors la rsistance quivalente de l'ensemble comme suit :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

)

(

)

( ) ( )

R

RR

R

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Re

2 R

1,5 R

a Re / R

0% 2.00

25% 1.95

50% 1.83

75% 1.68

100% 1.50



Exercice 2.4.10 Diviseur de tension en charge

Le circuit ci-dessous reprsente un diviseur de tension permettant dalimenter la charge R 00 une tension de 10 V, 20 V, 30 V et 40 V. Dterminer les valeurs des quatre rsistances du diviseur. Le cahier des

charges prcise galement que la puissance consomme par le diviseur non charg ne doit pas dpasser 8 W.

Nous dsignons les 4 rsistances, du bas vers le haut, par R1, R2, R3 et R4.

Rponse

Pour respecter le critre de puissance, on fixe la somme des 4 rsistances 200 . En effet :

On reconnat un diviseur de tension en charge. Comme la somme des rsistances est constante, et que seul le

rapport de rsistance varie, on peut calculer comme si nous avions un potentiomtre de 200 , le rapport devant tre calcul pour chacune des positions. En partant de lquation qui donne la tension de sortie sur un diviseur de tension en charge, nous obtenons successivement :

[ ] [( ) ]

[ ] [( ) ]

( )

( )

( )

(

)



(

)

En rsolvant cette quation du 2me

degr pour les 4 cas de figure, nous obtenons les 4 valeurs de ncessaires, et les valeurs des 4 rsistances :

Pour :

(

)

Pour :

(

)

Pour :

(

)

( )

Pour :

Dans ce cas, le curseur est tout en haut ( ). Il ny a mme pas besoin de rsoudre lquation.

Exercice 2.4.11 Calcul derreur sur un circuit

Considrant le diviseur de tension de lExercice 2.4.10, quelle est lerreur de tension pour chaque position, exprimes en %, si la charge RL varie de 5 % ?



Rponse

Calculons le premier cas, avec :

( )

[ ( )

]

( )

( )

Il suffit de procder de mme pour obtenir :

Pour le dernier cas, il ny a pas de diffrence, puisque le curseur est tout en haut, et que la charge est alors relie directement la source idale de tension. Donc : .

Exercice 2.4.12 Modlisation dune batterie 1

La batterie d'une automobile a une tension vide de 14,2 V. Lorsqu'on active le dmarreur, celui-ci

consommant 22 A, on constate que la tension aux bornes de la batterie n'est plus que de 11,6 V.

Quelle est la rsistance interne de cette batterie ?

Rponse

A

En ngligeant les autres consommateurs, on peut dire que lorsque la rsistance interne est charge 22 A, la

chute de tension ses bornes vaut :

La rsistance interne vaut donc :



Exercice 2.4.13 Modlisation dune batterie 2

Le circuit ci-dessous est raccord une batterie. On mesure alors 2 ses bornes. On constate que si lon ajoute la rsistance R de 4 , la tension aux bornes de cette batterie baisse de 00 m .

Calculer la tension vide et la rsistance interne de la batterie, puis le courant et la tension pour chacun des

lments du circuit.

Indice : Il existe 2 solutions. Lune est plus plausible que lautre. Laquelle ?

Rponse

Sans rsistance R additionnelle, la rsistance quivalente :

En utilisant lquation du diviseur de tension on obtient :

Avec la rsistance R additionnelle, la rsistance quivalente :

En utilisant lquation du diviseur de tension on obtient :



Nous avons 2 inconnues, avec 2 quations. En liminant U0 de ces 2 quations, nous obtenons

successivement :

( )

( )

( ) ( )

Nous pouvons maintenant en tirer la valeur de la tension vide :

Contrle :

En ajoutant la rsistance R en parallle, nous obtenons bien :

Exercice 2.4.14 Source linaire de tension en court-circuit

Quel courant peut thoriquement dbiter la batterie de l'exercice Exercice 2.4.12 si on court-circuite

malencontreusement ses bornes avec une cl fourche ?

Est-ce que le matriau de la cl joue un grand rle sur ce courant de court-circuit ?

Justifiez votre rponse.

Rponse

En admettant que la rsistance du court-circuit Rcc est nulle, le courant n'est limit que par la rsistance

interne de la batterie. On a donc :

Nous faisons les hypothses suivantes :

- la cl fourche est en acier (Ac 00 0-9

m),

- sa section A est de 1 cm2,

- la distance d entre les 2 bornes de la batterie est de 20 cm.

La rsistance de la cl vaut alors :

m

En comparant : m m, nous en concluons que son influence sur le courant de court-circuit est ngligeable.



Exercice 2.4.15 Cas de charge dune source linaire de tension

Une pile a une tension vide de 4, et une rsistance interne de . Aprs y avoir connect une ampoule de caractristique inconnue, on ne mesure plus que 4,45 V.

a) Quelle est la rsistance lectrique de cette ampoule ?

b) Quelle est la prcision de cette valeur si la mesure de tension se fait avec un appareil qui garanti une erreur de mesure infrieure 1 mV et que la rsistance interne est donne avec une prcision de

0,1% ?

Rponse a

U0 = 4,5 V

Ri

Ucharge = 4,45 V

La chute de tension sur la rsistance interne provoque par le courant de charge est :

Donc le courant de charge vaut :

La rsistance de cette ampoule vaut :

Rponse b

Lincertitude, ou erreur absolue, du rsultat du calcul de la chute de tension aux bornes de la rsistance interne est gale la somme de la valeur absolue des erreurs de chaque mesure :

(| | | |) ( )

Donc :

Lerreur relative sur ce rsultat vaut :

Lerreur relative sur le calcul de la rsistance de lampoule Rampoule est gale la somme des erreurs relatives sur les variables :

Lerreur absolue sur la valeur de la rsistance est de :

On crira donc que la rsistance vaut 89 3, .



Exercice 2.4.16 Caractrisation par essais dune source linaire de courant 1

Une source linaire de courant dlivre un courant de 190 mA en court-circuit. A vide, on mesure ses bornes

une tension de 52 V. Quelles sont ses caractristiques ?

Rponse

Le courant de court-circuit est donn :

I0 = 190 mA

Comme la tension circuit ouvert vaut 52 V, on obtient :

Exercice 2.4.17 Caractrisation par essais dune source linaire de tension 2

Des mesures ralises sur une source linaire de tension ont donn une tension de 100 V aux bornes pour une

rsistance de charge de 00 , et 0 pour une charge de 2 0 . tablir le modle de cette source par voie analytique (en appliquant les formules), puis par voie graphique (en raisonnant sur la caractristique d'une

source linaire de tension).

Rponse

On a 2 cas de charge distincts, pour lequel on peut calculer le courant que la source fournit la charge ;

{

{

La tension vide et la rsistance interne de la source de tension sont des inconnues. Il s'agit donc de rsoudre

le systme de 2 quations 2 inconnues suivant :

{

{

En rsolvant ce systme, on obtient Ri et Uo :



On obtient le mme rsultat par voie graphique, en considrant que la droite caractristique de la source

passe par les 2 points (1 A; 100 V) et (0,5 A; 105 V).

La pente de cette droite vaut :

Ce qui fixe la rsistance interne .

L'intersection de cette droite avec l'axe des ordonnes se calcule alors par :

Exercice 2.4.18 Caractrisation par essais dune source linaire de tension 3

On souhaite caractriser une source linaire de tension, caractrise par U0 et Ri. Pour ce faire, on procde 2 essais, qui fournissent les rsultats suivants :

Si on y applique une rsistance RL 2 , on mesure U = 14,9 V ses bornes.

Si on y applique une rsistance RL 2,2 , on mesure U = 14,5 V ses bornes.

a) Quelles sont les caractristiques U0 et Ri de la source linaire de tension ?

b) Que vaudrait la tension U si on applique une rsistance RL = 4,7 k ?

Rponse a

Le courant fournit par la source se calcule par :

Suite aux 2 essais dont nous connaissons les rsultats, nous pouvons en tirer un systme de 2 quations 2

inconnues :

{

En rsolvant ce systme, par exemple en faisant soustrayant la 2me

de la 1re

quation, nous obtenons :

95

100

105

110

0 0.5 1 1.5

U [V]

I [A]

U(I)

(I;U)



En introduisant cette valeur dans lune ou lautre quation, nous obtenons :

Rponse b

Connaissant le modle de la source linaire de tension, on peut calculer dabord le courant fourni :

On en dduit alors la tension aux bornes de la charge RL :

Remarquons quen appliquant lquation dun diviseur de tension, on obtient directement le mme rsultat :

Exercice 2.4.19 Sources linaires de tension mises en parallle

Une batterie de voiture est charge 4 . Celle dune autre voiture en panne est totalement dcharge. Lorsquon ponte les deux batteries, on constate que la tension baisse de 30% environ. Expliquer ce phnomne. Quelles pourraient tre les raisons qui expliquent que la baisse nest pas de 0 % ?

Rponse

Chaque batterie peut tre assimile une source linaire de tension, dont les tensions vide valent 14 V et 0

V respectivement. Si leurs rsistances internes sont identiques et si on nglige la rsistance du cble de

pontage, la tension aux bornes devrait tre de 50%, soit 14 V (diviseur de tension).

Si lon tient compte de la rsistance du cble de pontage, et si lon admet que la batterie dcharge est dgrade, donc que sa rsistance interne est plus leve quune batterie neuve, la tension aux bornes de la batterie charge est plus leve que 50%, et pourrait atteindre 70%. Cela correspond une baisse de tension

de 30% par rapport la tension sans cble de pontage.

Exercice 2.4.20 Source linaire de tension en charge

La tension de sortie dune alimentation lectrique baisse de 20% lorsquon la charge avec une rsistance de 1 . Quelle est sa rsistance interne ?

Rponse

RL

UL = (1 20%) U0 0,8 U0 V



Par lquation de la source linaire de tension et la loi dOhm, nous avons 2 quations avec 3 inconnues, soit la tension en charge UL, la tension vide U0 et la rsistance interne RL, qui seule nous intresse :

{

De la 2me quation on tire :

En remplaant I dans la 1re

quation :

En simplifiant par :

Et finalement :

2.5 Mthodes de rduction des circuits

Exercice 2.5.1 Rduction dun circuit lectrique 1

Dterminer la tension aux bornes de chacune des rsistances du circuit ci-dessous :

Rponse

U1k = 10 V

U2k = 2,22 V

U3k = 3,33 V

U4k = 4,44 V




Dans le circuit suivant, dterminer les courants traversant R pour R 2 , 0 , 00 .

Rponse

On reconnat un diviseur de tension en charge, et il suffit dappliquer la formule du cours.

I2 = 1,5 A

I10 = 0,5 A

I100 = 58,8 mA


Dterminer les courants passant par chacune des rsistances du circuit ci-dessous :

Rponse

I1k = 5,2 mA

I2k = 2,4 mA

I3k = 1,6 mA

I4k = 1,2 mA




Dterminer la source de tension U0 pouvant injecter un courant de mA dans la rsistance de 3 du circuit mentionn ci-dessous.

Rponse

( ) ( )

A

A

A

( ) ( )


Dans le circuit ci-dessous, la rsistance de 00 dissipe 4 fois plus de chaleur que la rsistance R. Dterminer la puissance de la source de tension, et la valeur de R, sachant que la source dbite un courant de

6 A.

R1 = 8

U0 = ? R3 = 7

R4 = 4

R5 = 6 R7 = 3

R2 = 12 R8 = 2

R6 = 1

I7 = 75 mA

100

R

U

6 A



Rponse

La tension U nest pas encore connue. anmoins, nous pouvons formuler la puissance dissipe pas chacune des deux rsistances :

Comme le rapport entre ces deux puissances est connu, nous en dduisons :

La rsistance quivalente ces deux rsistances qui sont en parallle vaut :

Nous en tirons, successivement :

Vrification : Nous avons bien .

Exercice 2.5.6 Rduction dun circuit lectrique 6 (pont de Wheatstone)

Considrant le circuit ci-dessous, prouver que, si le courant dans R3 est nul, les rsistances R1 et R2 dune part, R4 et R5 dautre part, sont dans le mme rapport.

R 1 R 4

R 2 R 5

R 3



Rponse

Si le courant dans R3 est nul, on a 2 diviseurs de tension sans charge. Nous avons donc bien :

Exercice 2.5.7 Puissance dans un circuit lectrique 1

Dans le circuit ci-dessous, la puissance dissipe par la rsistance de 6 est de 0 . Calculer tous les courants et tensions.

Rponse


Une rsistance de 2 est connecte en srie avec la bobine dun relais dont la rsistance est de 80 . Si une tension de 48 V est applique cet ensemble, quel sera le courant dans la bobine ? Quelle sera la puissance

dissipe dans la rsistance de 2 ?

10 30

6



Rponse

A

=16,7 W

=5,2 W


Les rsistances de charges ci-dessous ont t conues pour supporter en permanence une puissance spcifie

dans leur fiche de caractristiques. Sont-elles adaptes pour tre connectes aux bornes AB de la source ci-

dessous, et en particulier:

a) si chaque rsistance est connecte sparment ?

b) si toutes les trois rsistances sont connectes ensemble ?

Rponse a

Avec 2 k :

(

)

(

)

(

)

Ces 3 rsistances sont surcharges.

Rponse b

Rsistance quivalente aux 3 rsistances de charge mises en parallle :

Ri=2000 A

B

100V R1 2k

1W

R2 10k W

R3 30k W



En appliquant la formule de leffet Joule, on obtient pour chaque rsistance :

Exercice 2.5.10 Puissance dissipe dans un circuit avec rsistance variable

Dans le circuit ci-dessous, on sait que U = 15 V et R2 900 . De plus, R1 est une rsistance variable (voir symbole), dont la valeur dpend d'une grandeur x comprise entre 0 et 2/3, avec la relation suivante :

( )

Calculer la fonction P2(x) correspondant la puissance dissipe dans la rsistance R2 en fonction de x.

Calculer quelques points et dessiner la courbe P2(x).

Rponse

Il faut calculer tout d'abord le courant traversant ces 2 rsistances, en fonction de x :

On peut alors calculer la puissance dissipe dans R2 :

( ) (

)

(

)

(

)

( )



Nous pouvons calculer les points demands et tracer la courbe.

x [%] P2(x)

0% 0,09

25% 0,12

50% 0,18

66,7% 0,25

Exercice 2.5.11 Puissance fournie une charge de rsistance variable 1

Une source de tension de 00 possde une rsistance interne de 0 . Elle alimente une charge R. Dterminer la valeur du courant I et de la tension U aux bornes de la charge, mesure que sa rsistance varie

de zro linfini.

Pour quelle valeur de R la dissipation de puissance dans la charge est-elle maximale ?

Que vaut alors cette puissance ?

Rponse

( )

Graphiquement, on constate que la puissance dissipe dans R est maximum lorsque R 0 . Elle est alors de 250 W.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.000 0.250 0.500P

2(x

) [W

] x [%]

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 5 10 15 20 25

P [

kW

]

R []



Nous pouvons le dmontrer en calculant la drive de la puissance relativement R, puis en cherchant la

valeur de R qui lannule :

( ) ( )

( )

( )

( )

Cette drive sannule lorsque le numrateur est nul, donc lorsque :

videmment, seule la solution positive est valable.

Pour cette valeur de R, la puissance quelle dissipe vaut :

( )


Une source dalimentation donne une tension de 24 circuit ouvert. Lorsquon lui applique une charge de 10 A, la tension ses bornes baisse de 100 mV.

a) Calculer la rsistance interne de cette source.

b) Quelle est la puissance maximale quelle peut dbiter dans une charge dont la rsistance est variable ?

Rponse a

ous partons de lquation dune source linaire de tension :

Rponse b

Le courant dans une charge RL vaut :

Nous en tirons, successivement :

(

)

Nous constatons que, si et si , , alors que pour des valeurs intermdiaires, .



Il y a donc au moins un maximum. La valeur correspondante peut tre calcule par un calcul de drive : La

valeur de pour laquelle la drive de est nulle correspond ce maximum :

(

)

(

) ( )

Cette drive sannule lorsque le numrateur est nul, soit pour :

Donc, pour .

Dans ce cas, la puissance dbite dans la charge vaut :

(

)

(

)

Le mme rsultat peut tre obtenu de manire moins mathmatique , en particulier si la notion de drive

nest pas encore matrise par ltudiant. Il suffit de calculer la valeur numrique de la puissance dans le cas o , pour obtenir 14,4000 kW (voir ci-dessus), puis de recalculer cette valeur pour une valeur de 1% plus faible (14,3996 kW), puis 1% plus leve (14,3996 kW). Le rsultat montre que dans les deux cas, la puissance est plus faible. la valeur correspond donc bien un maximum.

Remarque : La conclusion de cet exercice est importante. La puissance max. que peut dlivrer

une source linaire de tension une charge rsistive est obtenue lorsque la

rsistance de charge est gale la rsistance interne.


Dterminer la valeur de la rsistance variable (potentiomtre) R, pour un transfert de puissance maximale

aux bornes AB du circuit ci-dessous.

Rponse

En application du thorme de Thvenin, nous pouvons dterminer une source linaire de tension

quivalente au circuit gauche des points A et B. La rsistance interne de cette source quivalente est gale

la rsistance quivalente de cette partie du circuit, la source de tension tant dsactive, donc remplace par

un court-circuit. Nous avons ainsi :

En utilisant la conclusion de lexercice prcdent, la puissance max. que peut dbiter cette source dans la charge est obtenue lorsque :

R1

10

U

100V R

A

B

R2

15

R3

5



Rponse (sans dtail des calculs)

En calculant les courants circulant dans chacune des rsistances, nous obtenons finalement :

Ptotal = 360 W

P1 = 252 W

P2 = 27 W

P3 = 54 W

P4 = 15,8 W

P5 = 11,2 W

Exercice 2.5.14 Puissance fournie par un amplificateur des haut-parleurs

Un amplificateur fournit une tension vide de 1 V et un courant de court-circuit de 125 mA. On relie cet

amplificateur un haut-parleur qui a une rsistance de 0 . Que valent la tension et la puissance dlivres la charge ?

Que deviennent la tension et la puissance si 2 haut-parleurs sont connects en parallle ?

Et si ces 2 haut-parleurs taient connects en srie ?

Quelle variante permet dobtenir la plus grande puissance acoustique ?


Pour un haut-parleur seul : P = 30,9 mW.

Pour 2 haut-parleurs en parallle, la puissance totale (2 HP) vaut : P2HP srie = 29,6 mW.

Pour 2 haut-parleurs en srie, la puissance totale (2 HP) vaut : P2HP parallle = 25,5 mW.

La puissance acoustique est donc la plus grande lorsquon utilise seul haut-parleur.

Exercice 2.5.15 Puissance et rendement dun moteur et de son cble

a) Quelle est la puissance lectrique perdue en chaleur dans une ligne lectrique de 100 m, alimentant un moteur, qui fournit un couple de 6 m 4 0 t/min, dont le rendement vaut 93%, sachant que la tension est de 400 V, et que la ligne est ralise en fil de cuivre de 10 mm

2 ?

b) Quel est le rendement de lensemble (ligne et moteur) ?

Rponse a

La puissance mcanique fournie par le moteur vaut :

(

)



Tenant compte du rendement, la puissance lectrique quil absorbe alors vaut :

Il faut maintenant calculer la rsistance de la ligne lectrique. Comme le courant doit aller et revenir, il doit

parcourir 2 fois la distance, soit 200 m.

Admettons que le moteur se comporte comme une rsistance R. ous nous trouvons dans le cas dune source idale de tension, charge par 2 rsistances en srie. Nous avons alors 2 quations :

On peut en tirer :

On a 2 solutions. Toutefois, la plus leve nest pas plausible. Elle impliquerait que la rsistance du moteur valle 8,5 m, soit 41 fois moins que celle de la ligne. Donc :

La puissance perdue en chaleur dans la ligne vaut :

Rponse b

Le rendement vaut :



Exercice 2.5.16 Source linaire quivalente 1

Calculer et reprsenter la source linaire de tension quivalente aux systmes ci-dessous :

a) b)

Rponse a)

Les 2 sources sont en srie. Il suffit dadditionner les 2 tensions et les 2 rsistances :

U0 = 15 V ; Ri 00

Rponse b

Les 2 sources linaires de tension sont en parallle. Il faut calculer des sources linaires de courant

quivalentes :

Il est maintenant possible de calculer une source linaire de courant quivalente ces 2 sources en parallle :

La source linaire de tension quivalente lensemble vaut alors :

5 V

60

10 V

40

60

10 V 5 V

40




Calculer et reprsenter la source linaire de tension quivalente au systme ci-dessous :

a) b)

Rponse a

Les 2 sources linaires de courant sont en srie. Il faut calculer des sources linaires de tension quivalentes :

Il est maintenant possible de calculer une source linaire de tension quivalente ces 2 sources en srie :

Rponse b

Il faut calculer dabord la source linaire de courant quivalente la source de tension de gauche :

On a maintenant 2 sources linaires de courant en parallle, dont la source quivalente vaut :


30

1,5 A

0,5 A

70

20

8 V

0,2 A

80




Calculer et reprsenter la source linaire de tension quivalente au systme ci-dessous :

a) b)

Rponse a

Les 2 sources linaires de courant sont en srie. Il faut calculer des sources linaires de tension quivalentes,

en faisant attention au signe de la source de 0,5 A, qui serait ngatif si le sens de rfrence tait orient vers

le haut :

Il est maintenant possible de calculer une source linaire de tension quivalente ces 2 sources en srie :

Nous avons maintenant 2 sources linaires de tension en parallle. Il faut calculer des sources linaires de

courant quivalentes :

Il est maintenant possible de calculer une source linaire de courant quivalente ces 2 sources en parallle :


1,5 A

0,5 A

10 V

30 300

70

5 V 8 V

10 V 10

20



Rponse b

La source idale de tension (8 V) impose la tension ses bornes. Vis--vis de la charge ( droite), la source

linaire de gauche (5 V) ne peut avoir aucune influence. On se retrouve dans la situation de deux sources de

tension en srie. En faisant attention au signe de la source de droite, on obtient :


Pour le circuit reprsent ci-dessous, calculer les tensions et les courants indiqus.

Rponse

1re

tape : On remplace la source linaire de tension de gauche par une source linaire de courant :

Comme elle est en parallle avec la rsistance de 80 , on peut calculer une source linaire de courant quivalente :

Comme elle est en srie avec dautres sources, on la transforme avec une source linaire de tension quivalente :

2me

tape : On remplace la source linaire de courant, qui est au milieu du circuit, par une source linaire de

tension, en faisant attention au signe :

On constate que lon obtient 3 sources linaires de tension en srie, qui forment une maille.

3me

tape : Tenant compte des 3 tensions et des 3 rsistances en srie, on peut calculer le courant I, en faisant

attention leurs signes :

10 V 4 V

0,2 A

U 1

U 2

I 10 10 10

80



4me

tape : Connaissant I, on peut calculer U1 et U2 :

( )

( ) ( )


Pour le circuit reprsent ci-dessous, calculer les tensions et les courants indiqus.


Les branches de gauche et de droites peuvent tre considres comme des sources linaires de tension, leurs

rsistances internes tant calcules sur la base des paires de rsistances en parallle. Attention aux signes des

sources de tension !

On peut alors calculer 2 sources linaires de courant quivalentes, qui se trouvent en parallle entre elles, et

avec la rsistance mdiane.

Lensemble peut tre remplac par une source linaire de courant, non charge. La tension ses bornes est gale la tension en circuit ouvert de cette source.

Connaissant cette tension, et en revenant au circuit initial, on peut calculer les deux courants.

Les rsultats :

U = 6 V

I1 = 200 mA

I2 = 100 mA

12 V 10 V

U

I 1 I 2

15 40

20

5 20



Exercice 2.5.21 Thorme de Thvenin 1

Calculer et reprsenter la source linaire de tension quivalente au systme ci-dessous, vu de la charge RL.


A vide (en retirant la rsistance RL), on peut calculer la tension vide de la source linaire de tension

quivalente : U0 = 48 V.

En dsactivant la source de courant, donc en la remplaant par un circuit ouvert, on peut calculer la

rsistance interne : Ri 4200


Calculer et reprsenter la source linaire de tension quivalente au systme ci-dessous, vis vis de la charge

RL.


Les 2 rsistances droite de la source de tension consomment du courant, mais ninfluencent en aucune faon ce qui se passe dans la partie de gauche. On peut donc ne pas en tenir compte, comme si elles

nexistaient pas.

A vide (en retirant la rsistance RL), on peut calculer la tension vide de la source linaire de tension

quivalente : U0 = 4 V.

En dsactivant la source de tension, donc en la remplaant par un court-circuit, les 2 rsistances de 4 se trouvent en parallle. On peut calculer la rsistance interne : Ri 2 .

12 mA

R L

A

B

200

4 k

A

B

8 V

R L

4 2

2 4




Calculer et reprsenter la source linaire de tension quivalente au systme ci-dessous, vu de la charge RL.

Rponse Mthode A

vide ( ), le circuit est constitu de 2 diviseurs de tension indpendants. Si lon dsigne par UA la tension aux bornes de la rsistance de 3 (en bas, gauche), et par UB celle aux bornes de la rsistance de 4 (en bas, droite), nous avons :

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

Nous en tirons la tension vide de la source linaire quivalente de tension :

[ ]

Si lon dsactive la source de tension (0 , au lieu de 2 ), et si lon retire la rsistance , on peut calculer la rsistance du circuit restant, vu entre les points A et B, et obtenir ainsi la rsistance interne de la source

linaire quivalente de tension :

{ [ ] [ ] { [ ] [ ]

[ ]

Rponse Mthode B

La source idale de tension impose la tension ses bornes. On peut alors faire comme sil y en avait deux, lune alimentant le diviseur de tension de gauche (6 ; 3 ), l'autre alimentant le diviseur de tension de droite (4 // 4 ). Chacun de ces deux systmes peut alors tre remplac par une source linaire de tension quivalente.

A gauche :

A B 72 V

R L

6 4

3 4



A droite :

U2 = 72 V 4/8 = 36 V, Ri2 4 // 4 2

Ces 2 sources linaires de tension sont en srie. On rduit alors en une seule source linaire de tension :


Calculer la puissance dissipe dans la rsistance RL 2 du circuit ci-dessous :


Il serait possible de rsoudre ce problme en remplaant les sources linaires de tension, qui sont en

parallle, par 2 sources linaires de courant.

Si lon prfre appliquer le thorme de Thvenin, il faut considrer que la rsistance RL se trouve entre 2 points A et B.

En dconnectant cette rsistance, on peut calculer la tension vide :

U0 = 3,18 V (attention au signe de la source de 15 V !!!)

En dsactivant les 2 sources de tension, donc en les remplaant par des courts-circuits, il reste 2 rsistances

en parallle. On obtient :

Ri 90,9

A partir de l, on peut calculer le courant circulant dans RL, puis la puissance quelle consomme :

( )

5 V

RL +15 V

100 1 k




Dans le circuit de lExercice 2.5.24, quelle rsistance faudrait-il mettre en parallle avec la rsistance de 1 si lon dsire que le courant dans la rsistance RL soit nul ?

Rponse

Sil ny a aucun courant circulant dans RL, cest que la tension ses bornes est nulle. Le sachant, on peut calculer le courant dbit par la source de 5 V :

Pour que ce courant circule dans la source de droite, il faut modifier la valeur de la rsistance. Il faudrait que

celle-ci valle :

Pour obtenir cette rsistance quivalente, il faut placer, en parallle la rsistance de 1 k, une rsistance additionnelle qui vaut :


Dans le circuit de lExercice 2.5.24, on ajoute une rsistance de 00 entre les bornes suprieures des deux sources. Quel sera le courant dans cette rsistance ?

a) De combien changera la puissance dissipe dans la rsistance RL ?

b) Calculer la puissance consomme par chaque rsistance, puis la puissance fournie par chaque source, puis vrifier que lquilibre est atteint (puissance fournie puissance consomme).

Rponse a

Cette rsistance est relie directement aux bornes des deux sources idales. Son courant est de 40 mA, mais

il na aucune influence sur ce qui se passe dans la charge RL. La puissance dissipe dans cette rsistance a donc la mme valeur que celle obtenue lExercice 2.5.24.

Rponse b

De lExercice 2.5.24, nous pouvons dduire :

( )

Nous pouvons alors calculer tous les courants du circuit (orientation positive de gauche droite) :



ous constatons quaux erreurs darrondis prs, .

( )

Les puissances consommes dans les rsistances en dcoulent :

( )

( )

( )

( )

De mme pour les puissances fournies par les 2 sources de tension, en faisant attention aux signes:

( )

Nous constatons que :


Dans le circuit de lExercice 2.5.24, on intervertit la polarit de la source de 15 V. Que devient la puissance dissipe dans la rsistance RL ?


En refaisant tous les calculs, on obtient :

P = 16,0 mW




Pour le circuit reprsent ci-dessous, utiliser le thorme de Thvenin pour calculer U = f(R). Reprsenter

ces fonctions et indiquer numriquement la valeur de U pour R valant 0 , 2 , , 0 , 20 ou .

Rponse

Comme pour lExercice 2.5.23, nous pouvons considrer que nous avons 2 diviseurs de tension aliments par 2 sources idales de 60 V indpendantes.

En appliquant le thormes de Thvenin au diviseur rsistif de gauche, on obtient tout dabord :

Cette source quivalente est en srie avec la rsistance de 15 . On obtient ainsi la source quivalente de gauche :

ous nous retrouvons ainsi avec un circuit similaire celui de lExercice 2.5.24. Pour calculer la tension aux bornes de la rsistance R, nous devons remplacer les 2 sources linaires de tension par 2 sources linaires de

courant :

Les 2 sources de courant sont en parallle. Nous obtenons la source linaire de courant quivalente :

60 V

R U

20 15

15

60



Cette source linaire de tension peut tre remplace par la source de courant quivalente :

Nous obtenons finalement un diviseur de tension. La tension aux bornes de la rsistance R vaut :

Les valeurs numriques sont les suivantes :

R [] 0 2 5 10 20

U [V] 0 9,17 18,3 27,5 36,7 55

Exercice 2.5.29 Sources linaires de tension et de courant

On connecte en parallle, lune contre lautre, une source linaire de tension (U0 ; Ri) et une source linaire de courant (I0; Rsh). Indiquer quelles doivent tre les conditions pour que la puissance change par ces deux

sources soit nulle.


On transforme par exemple la source de courant en source de tension. Le courant I chang est nul si :

U0 = Rsh I0



Exercice 2.5.30 Application du thorme de Thvenin un circuit

En utilisant aussi souvent que ncessaire le principe dquivalence entre sources linaires de tension et de courant, dterminer la source linaire de tension quivalente au circuit ci-dessous, vu des points A et B.

Remarque : Ce problme pourrait aussi tre rsolu en utilisant le principe de superposition. Si vous y

tenez, essayez les 2 mthodes. Vous constaterez que la mthode des quivalences est plus

rapide.

Conseil : Dessinez autant de figures intermdiaires que ncessaire pour montrer les transformations.

Valeurs numriques :

U1 = 6,8 V ; R1 8,2

I2 = 420 mA ; R2 2,

I3 = 600 mA ; R3 2

U4 = 5,4 V ; R4

R5 2,

R6 8

R7 2,2

Rponse

En premier lieu, il faut constater que les sources U1 et I2 avec les rsistances R1 et R2 ne sont connectes au

reste du circuit que par un seul nud. Elles ne peuvent donc en aucun cas influencer le fonctionnement du reste du circuit, ni les sorties A et B.

Il ne reste donc que les sources I3 et U4, ainsi que les rsistances R3 R7, analyser.

Source linaire de tension quivalente { I3 ; R3} :

B

A

R1 R2

R5 R4

R6

R7

I2

U4

R3

I3

U1



Rsistance quivalente R3 et R5 :

Source linaire de courant quivalente { U3 ; R3-5} :

Source linaire de courant quivalente { U4 ; R4} :

Nous avons maintenant 2 sources linaires de courant en parallle. Leur source quivalente est donne par :

Cette source est en parallle avec R6. Cest comme si nous navions quune source linaire de courant caractrise par :

Pour tenir compte de la dernire rsistance, nous devons convertir cette source de courant en source de

tension :

Cest la source linaire de tension quivalente au circuit.

Exercice 2.5.31 Principe de superposition

Dterminer le courant I dans le circuit ci-dessous en utilisant le principe de superposition.

21 V 46 V

I

6 k 4 k 2 k

3 k 7 k

1 k




Avec lalimentation de gauche seule, donc celle de droite remplace par un court-circuit :

I21V seul = 1,79 mA

Avec lalimentation de droite seule, donc celle de gauche remplace par un court-circuit :

I46V seul = 2,79 mA

En faisant la somme de ces deux contributions :

I = 4,58 mA

2.6 Analyse des circuits par les lois de Kirchhoff

Exercice 2.6.1 Analyse dun circuit par la mthode des courants de maille

La mthode dite des courants de maille permet de calculer tous les courants du circuit de lExercice 2.5.28. Elle consiste dfinir les courants IA, IB et IC circulant respectivement dans chacune des 3 mailles,

puis appliquer la loi de Kirchhoff sur les mailles (somme des tensions = 0).

tablir et appliquer cette mthode.

Rponse

On parcourt chaque maille en additionnant les tensions. Leurs sommes sont nulles. Pour ces 3 mailles, on

obtient ainsi 3 quations, avec les 3 inconnues IA, IB et IC :

Remarque : Pour simplifier, on utilise les valeurs en et en mA.

On obtient successivement :

{

( ) ( )

( )

{



On rsout et obtient :

{

Le courant

2.7 Comparaison des mthodes danalyse de circuits

Exercice 2.7.1 Analyse dun circuit avec choix de la mthode

Calculer les grandeurs indiques dans le circuit ci-dessous, en utilisant la mthode de votre choix.


U = 4,63 V et I = 154 mA

6 V 7 V 8 V

U

I

50 56 40

30



2.8 Bilan de puissance

Exercice 2.8.1 Bilan de puissance dans un circuit lectrique 1

Dterminer la puissance consomme (ou fournie) par chacun des composants du circuit ci-dessous. Etablir le

bilan de puissance,

Rponse

A

A

Exercice 2.8.2 Puissance dissipe par les composants dun circuit

Dterminer la puissance consomme (ou fournie) par chacun des composants du circuit ci-dessous. Etablir le

bilan de puissance,

I

R1

5

R2

4

R3

2

4A

R1

7

U

60V

R2

12

R3

6

R4

7

R5

5




En calculant les courants circulant dans chacune des rsistances, nous obtenons finalement :

Ptotal = 360 W

P1 = 252 W

P2 = 27 W

P3 = 54 W

P4 = 15,8 W

P5 = 11,2 W


Le schma ci-dessous reprsente un rseau de distribution d'lectricit.

a) Proposer une reprsentation qui fasse mieux apparatre les nuds et les mailles.

b) Calculer la puissance fournie chacune des charges X et Y.

c) Calculer la puissance fournie par chaque centrale (chaque source linaire).

Rponse a

Il faut reprsenter les 2 sources linaires de courant en parallle, chargs par les 2 rsistances de charge en

parallle.

Rponse b

Nous obtenons une source de courant quivalente caractrise par :

Centrale B Centrale A

Charge X

Charge Y

60 A 12 A

30

0

15

00

36

00

60

00



Nous pouvons dterminer une source de tension quivalente :

La charge quivalente vaut :

Nous avons un diviseur de tension, et la tension aux bornes des charges vaut :

Rponse c

Les puissances fournies aux charges valent ainsi :

Il faut calculer la puissance fournie par chaque source idale, puis en soustraire la puissance consomme par

la rsistance shunt correspondante. Seule la diffrence sort de la source linaire de courant.

2.9 Alimentations tension continue

Exercice 2.9.1 Modle dune pile

La tension aux bornes dune pile est de , circuit ouvert. Elle est de ,2 quand une rsistance de 6 est connecte ses bornes. Quelle est la rsistance interne de la pile ?

Rponse

Tension vide U0 = 1,5 V

Tension avec charge RL 6 , comme pour un diviseur de tension non charg :

Donc :

( )



Exercice 2.9.2 Alimentation dune ampoule lectrique par des piles

On veut alimenter une ampoule avec un courant de 300 mA pendant une semaine. La rsistance de lampoule est de 20 . Combien de piles de , dune capacit de 30 Ah sont ncessaires et comment doit-on les connecter ?

Rponse

Tension ncessaire aux bornes de lampoule :

Chaque pile se comporte comme une source de tension Us = 1,5 V. Pour obtenir la tension sur la charge il

faut mettre en srie plusieurs piles :

Ces 4 piles sont en srie, et sont parcourue par le mme courant. Si celui-ci vaut 0,3 A alors que la capacit

dune pile est de 30 Ah, ces piles fourniront ce courant pendant 100 heures.

On souhaite que lampoule reste allume pendant une semaine, soit pendant 68 heures. Pour y parvenir, il faut mettre en parallle 2 ensembles de 4 piles. Ainsi, chaque ensemble ne devra fournir que 0,15 A, et

pourra le faire pendant 200 heures, soit plus dune semaine.

Conclusion : Il faut mettre en parallle 2 groupes de 4 piles en srie.

Exercice 2.9.3 quivalence du cheval-vapeur

Un cheval pesant 750 kg peut dbiter une puissance de 1 CV pendant 8 heures. Calculer la masse dune batterie au nic el cadmium pouvant dbiter la mme quantit dnergie avant quil faille la recharger. On admettra que ce type daccumulateur peut stoc er 00 J par g.

Rponse

Lnergie fournie par le cheval vaut :

Le poids de laccumulateur quivalent vaut donc :

Exercice 2.9.4 Capacit dune pile fort courant

Une pile est considre comme use quand sa tenson chute au-dessous de 1,0 V. La mme pile peut dbiter

un courant de 19,5 A pendant 8 heures ou 940 A pendant 5 secondes.

Calculer et comparez la capacit en [Ah] dans ces deux cas, expliquez la diffrence.



Rponse

La capacit de cette pile vaut dans le 1er cas ( 19,5 A) :

Et dans le 2me

cas ( 940 A) :

La trs grande diffrence sexplique par le fait qu trs fort courant, la pile sort de son domaine de fonctionnement linaire.

Exercice 2.9.5 Alimentation de secours par accumulateurs

On doit prvoir une source dnergie de secours pouvant donner une puissance de 00 240 pendant 6 heures.

a) Si lon utilise des accumulateurs au plomb dont lnergie volumique est de 200 kJ/dm3, quel est le volume des accumulateurs ?

b) Supposant que la t

théorie des circuits linéaires - exercices résolus

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