2 9 6 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° S P É C I A L A / 1 9 5 7

La lecture des ondes de coup de bélier sur le tracé de Bergeron,

Reading of water hammer waves on a Bergeron diagram

P A R A. SCHLAG P R O F E S S E U R A L ' U N I V E R S I T É D E H È G E ,

D I R E C T E U R 1HJ L A B O R A T O I R E I ) ' H Y D I Ï A U M Q U E G E N E R A L E

Dans une conduite soumise au phénomène du coup de bélier, l'épure de Bergeron permet de déterminer les « états » pression-débit, en autant de sections de la conduite et en autant d'instants qu'on le désire. Elle permet aussi de connaître tes ondes d'Alliéui F et f exprimant tes variations conjointes de débit et de pression d e p u i s l ' o r i g i n e d u p h é n o m è n e .

En fait, le phénomène du coup de bélier con­siste en une succession d'ondes qui parcourent la conduite, en se croisant et se réfléchissant plus ou moins complètement aux points singuliers : extrémités, changements de section, nœuds... Plutôt qu'à des ondes se superposant à l ' é t a t i n i t i a l , on a affaire à des ondes, à front plus ou moins raide, qui modifient l'état existant i m m é d i a t e m e n t a v a n t l e u r p a s s a g e .

// est montré que ces ondes peuvent être lues sur l'épure de Bergeron. Leur considération conduit à l'établissement d'un tableau très re­présentatif du phénomène; elle permet aussi le calcul, souvent aisé, de tous les é t a t s succes­sifs dans les diverses sections de la conduite.

Jn a pipe subjected to the phenomenon of water hammer, the Bergeron diagram allows the détermination of the pressure-ftow con­ditions in as many sections of the pipe and at any instant desired. One can also détermine the Âllievi wave F and f, expressing the twin variations of flow and pressure f r o m t h e l i m e t h e p h e n o m e n o n h e g i n s . In fact, the phenomenon of water hammer consists of a succession of waves which traverse the pipe, passing and reftecting each other more or less entirely, between given points i.e. the ends of the pipe, changes in section, branches, etc. Rather than waves superimposing themselves f r o m t h e s t a r t , we have a System of waves, more or less sieep fronted, which modifu the state c x i s t i n g i m m e d i a t e l y aheac l . It is shown that thèse waves may be plotted on a Bergeron diagram. Their considération leads to the establishment of a chari which truely represents the phenomenon and also makes the subséquent calcula lion of ail the successive s h i t e s in the varions sections of the pipe easy.

La so lu t ion des p r o b l è m e s de coup de bél ier d a n s les condu i t e s es t basée su r les é q u a t i o n s c lass iques d 'Allievi :

et :

— (c 0 — c) = F ( / - - ^L)—f(t+ JL) (2)

D a n s ces équa t i ons , F et f sont deux ondes de p r e s s i o n qu i p a r c o u r e n t la c o n d u i t e avec des vi tesses égales à ± ci, et (g/a) F et (g/a) / , d e u x ondes de vi tesse qu i a c c o m p a g n e n t ces ondes de p ress ion .

D a n s son r e m a r q u a b l e ouv rage : Du coup de bélier en hydraulique au coup de foudre en

électricité, Lou i s B E R G E R O N énonce c o m m e sui t les lois ex p r imées p a r les f o rmu le s d'Allievi :

« 1° E n u n t e m p s et u n lieu q u e l c o n q u e s le long d ' u n e condu i t e , la v a r i a t i o n de p r e s s i o n depuis Vorigine du phénomène es t égale à la s o m m e de d e u x ondes de p r e s s ion F et / qu i s'y c ro i sen t à cet i n s t a n t ;

« 2° S i m u l t a n é m e n t , la différence F — f de ces deux ondes est égale à a/g fois la va r i a t i on de la v i tesse à ce t e m p s et en ce l ieu depuis Vorigine du phénomène. »

(C'est n o u s qu i sou l ignons les m o t s « d e p u i s l 'or igine du p h é n o m è n e ».)

* La réso lu t ion d i rec te des é q u a t i o n s d'Allievi

est assez souven t longue et pa r fo i s difficile.

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1957006

N " SPÉCIAL A / 1 0 5 7 A. S C H L A G

Mais, Lou i s B E R G E R O N a développe et m i s au po in t u n e m é t h o d e g r a p h i q u e de r é so lu t ion ac ­t ue l l emen t b ien c o n n u e de tous les h y d r a u l i -c iens .

D a n s la p ré face à l ' ouvrage de B E R G E R O N , M. E . G. B A R I L L O N , m e m b r e de l ' Ins t i tu t , écr i t : « De t o u t ce q u i se lit s u r le be rge ron , le lec­t eu r d u p r é s e n t v o l u m e se r e n d r a c o m p t e ; il p e u t ê t r e a s s u r é que d a n s ces voyages à t r a v e r s les c o n d u i t e s h y d r a u l i q u e s ou les r é s e a u x élec­t r iques , d a n s lesque ls Louis B E R G E R O N le guide pas à p a s et lui m o n t r e les m o i n d r e s p a r t i c u l a ­r i tés , i l a p p r e n d r a b e a u c o u p , et q u e s'il es t dé jà p r é p a r é p a r la l ec tu re d 'ouvrages t r a i t a n t la q u e s t i o n p a r des m é t h o d e s p u r e m e n t m a t h é m a ­t iques , il a u r a le p la i s i r de r e c o n n a î t r e au p a s ­sage des p h é n o m è n e s qu i , j u s q u ' a l o r s , n e lui é ta ien t p a s a p p a r u s d a n s t ou t e leur c la r té . »

Le b u t de la p r é s e n t e no te est de m o n t r e r u n de ces a spec t s qu i , à n o t r e conna i s s ance tou t au m o i n s , n ' a p a s encore été s ignalé .

O n sa i t que , p o u r le t racé du bergeron , on r e m p l a c e , d a n s l ' équa t ion (2) les vi tesses c p a r les déb i t s Q. Les é q u a t i o n s (1) et (2) dev iennen t a insi :

H Hn F t + f{t+ J L (4)

et :

(Qo — Q) a •f * \

^ ( 5 ) a

S é t a n t la su r face de la sect ion t r ansve r sa l e de la c o n d u i t e .

Le t r acé p e u t d o n n e r 1' « état » (press ion, débi t) p o u r tou tes les sect ions et à lous les i n s ­tan t s q u e l 'on dés i r e (*).

C o m m e l 'a m o n t r é B E R G E R O N (fig. 9 d e son ou­vrage) , il p e r m e t auss i de c o n n a î t r e la g r a n d e u r des deux o n d e s de p ress ion en u n heu et en

(*) N o u s a d o p t o n s l e s n o t a t i o n s H e t Q p o u r l e s « é t a t s » e t 7i et q p o u r les p r e s s i o n s e t d é b i t s t r a n s ­p o r t é s p a r l e s o n d e s .

u n t e m p s q u e l c o n q u e s où le r é g i m e est c o n n u . Si A>t es t le p o i n t r e p r é s e n t a t i f de Y état d a n s la sect ion A à l ' i n s t an t t, les ondes de p r e s s ion , d a n s cet te sect ion, et à cet i n s t a n t , son t r e p r é ­sen tées s u r le be rge ron , p a r la moi t i é des lon­g u e u r s m a r q u é e s 2 F et 2 / (fig. 1) (**).

R e m a r q u o n s qu ' i l s 'agi t b ien , c o m m e B E R G E ­RON l ' i nd ique l u i - m ê m e , d ' ondes a y a n t p r o v o q u é u n e va r i a t i on de p r e s s i o n depuis l'origine du phénomène.

Les ondes c o r r e s p o n d a n t e s de débi t son t r e ­p ré sen t ée s p a r la moi t ié des l o n g u e u r s :

2 . . F et 2 . S^-.f a a

Bien e n t e n d u , il s 'agit e n c o r e d 'ondes a y a n t p rovoqué u n e va r i a t i on de débi t depuis l'origine du phénomène.

L ' image du p h é n o m è n e , dédu i t e d i r e c t e m e n t des é q u a t i o n s d 'Allievi , le r e p r é s e n t e d o n c c o m m e d û à la supe rpos i t i on à Vétat initial., des d e u x ondes F et / de p ress ion , a c c o m p a g n é e s des d e u x ondes de débi t (gS/a) F et (gS/a) f.

Nous p e n s o n s q u ' u n e r e p r é s e n t a t i o n p l u s fi­dèle et p lus p a r l a n t e cons i s t e ra i t à cons idé re r q u e c h a q u e é ta t d a n s u n e sect ion q u e l c o n q u e r é su l t e de l'état immédiatement précédent d a n s la m ê m e sect ion, modifié p a r le pa s sage , l ' a r r i ­vée ou r é m i s s i o n d ' u n e ou p l u s i e u r s o n d e s con­jo in te s de p r e s s ion et de débi t , c i r c u l a n t d a n s c h a q u e t r o n ç o n à c a r a c t é r i s t i q u e u n i q u e .

Aux ondes [ F , (gS/a) F ] et [f,(gS/a)f], su­perposées à l'état initial,, n o u s p r o p o s o n s de subs ­t i tuer , p o u r c h a q u e in te rva l le de t e m p s , u n e ou p lu s i eu r s ondes se superposant à Vétat At p o u r d o n n e r l 'é ta t i m m é d i a t e m e n t su ivan t Àt'

L'exposé de n o t r e concep t ion est p l u s s imp le d a n s le cas d ' u n e p e r t u r b a t i o n de c a r a c t è r e i n s ­t a n t a n é , e n t r a î n a n t d a n s les d iverses sec t ions de la condu i te des va r i a t i ons brusques d ' é ta t . N o u s n o u s p l ace rons d ' abord d a n s cet te h y p o t h è s e .

Nous a u r o n s , p a r exemple , d a n s u n e sect ion q u e l c o n q u e où la p ress ion à l 'or ig ine é ta i t H 0

la success ion des p re s s ions r e p r é s e n t é e f igure 2,

F I G . 2

(**) B e r g e r o n é c r i t (p . 15) q u e « ce n ' e s t l à q u ' u n e c u r i o s i t é s a n s i n t é r ê t p o u r l a r é s o l u t i o n d e s p r o b l è m e s q u i se p o s e n t .

298 LA H O U I L L E B L A N C H E N° SPÉCIAL A/1957

Selon la concep t ion c lass ique , la p r e s s i o n est égale à la p r e s s ion à l 'or ig ine H 0 a u g m e n t é e de la s o m m e a lgéb r ique (F + f) des p r e s s i o n s des ondes d 'All ievi .

Nous p r o p o s o n s de cons idé re r q u e la p r e s ­s ion H* r é s u l t e de la p r e s s i o n e x i s t a n t à l ' ins ­t a n t p r é c é d e n t H t _ l 5 a u g m e n t é e de l ' onde (ou de la s o m m e de d e u x ondes ) de p r e s s i o n h.

E n n o u s r e p o r t a n t à la l igu re 1, n o u s voyons a i s é m e n t q u e l 'onde [F , (gS/a) F ] p e u t ê t re r e ­p r é s e n t é e p a r le vec t eu r A O . a et l 'onde [ A ( # S / a ) f] p a r le vec teur a. At.

Cons idé rons m a i n t e n a n t d e u x é t a t s consécu­t ifs d a n s u n e m ê m e sec t ion (fig. 3) Af et Af .

F I G . 3

Les ondes d 'Allievi (depu is le d é b u t d u p h é n o ­mène ) son t r ep ré sen t ée s r e s p e c t i v e m e n t p a r les t r acés vector ie ls A O . a . A f et A O . a ' . A f .

P o u r pa s se r de l ' é ta t Af à l 'é ta t i m m é d i a t e ­m e n t s u i v a n t Af, on voit q u ' o n p e u t su iv re le t r acé vector ie l dess iné en t r a i t for t Af . fc .Af .

Les v e c t e u r s At.b et fc.Af r e p r é s e n t e n t p r é ­c i sémen t r e s p e c t i v e m e n t les ondes inc iden te et réfléchie q u e n o u s p r o p o s o n s de cons idé re r . Ces vec teu r s son t souven t dess inés à p r i o r i su r le be rge ron .

Ces o n d e s s e r o n t é v i d e m m e n t soumises , en ce qu i conce rne le coefficient a n g u l a i r e des vec­t e u r s q u i les r e p r é s e n t e n t , à la m ê m e règle de s igne q u e les ondes [F , (g$/a)F] et [/, (gS/a)f] : coefficient a n g u l a i r e négat i f p o u r l 'onde [ F , (gS/a) F ] qu i r e m o n t e la c o n d u i t e et coeffi­c ient a n g u l a i r e posit if p o u r f o n d e [/"> ( # S / a ) / ] qu i descend la condu i t e .

Ce coefficient a n g u l a i r e est =t gS/a. P o s o n s , p o u r la facil i té de l ' éc r i tu re , gS/a — a.

Nous éc r i rons donc :

pour une onde remontant la conduite : h — — a q

pour une onde descendant la conduite : h = -f- a g

Si les p o i n t s At et At' s ' a l igna ien t s u r u n e d i ­rec t ion 4 ~ ou — a, ce la s ignif ierai t q u ' u n e seule o n d e se ra i t à env i sager .

*

P o u r m i e u x i l l u s t r e r n o t r e concep t ion , n o u s avons t r a i t é le d é b u t d u p h é n o m è n e d u coup de bé l ie r d a n s le cas s imp le s u i v a n t :

Condu i t e cons t i t uée de d e u x t r o n ç o n s AB et BC, longs r e s p e c t i v e m e n t de 100 et 180 m, de sec t ions 0,1 et 0,2 m 2 et p o s s é d a n t des célér i tés respec t ives de 1.000 et 900 m / s . Si le t r o n ç o n AB est a ins i p a r c o u r u p a r l 'onde en u n t e m p s h/ùx

20,00 -354,24

F I G . 4

N° SPÉCIAL A/1957

q u e n o u s p r e n o n s c o m m e u n i t é de t e m p s , le t r o n ç o n BC se r a p a r c o u r u en u n t e m p s égal à 2 un i t é s .

Condi t ions in i t i a les : p r e s s ion H 0 = 200 m ; débit Q 0 = 200 1/s.

Coup de bél ier créé p a r la f e r m e t u r e com­plète et i n s t a n t a n é e de l ' ex t rémi té C. On ne t i en t pas c o m p t e d u f r o t t e m e n t .

Les d ivers états on t été relevés su r le berge­r o n et r e p o r t é s à la figure 4 sous la fo rme con­vent ionne l le H / Q (*). O n c o n s t a t e r a que , a ins i que cela es t c o n n u , en u n po in t que l conque , ces é ta ts v a r i e n t d ' u n e façon d i scon t inue .

Les d ive r s é t a t s son t séparés p a r des dro i tes obl iques qu i r e p r é s e n t e n t les ondes que n o u s p roposons d ' env i sager et qu i c i r cu len t à chaque instant d a n s la c o n d u i t e ; n o u s avons i n d i q u é leurs v a l e u r s . Il n e s 'agit donc p a s des ondes [F, (gS/a) F ] et [fAgS/a)f]) exp r imées depuis l 'or igine d u p h é n o m è n e . Si n o u s dés ignons p a r H ' / Q ' et H " / Q " d e u x é t a t s consécutifs d a n s u n e m ê m e sect ion, ce son t ces ondes qu i font pas se r H ' à H " et Q ' à Q".

P a r exemple , l ' é ta t de la sect ion b, au mi l ieu de BC, a v a n t le t e m p s 4, est :

126 ,59 / — 7 5 , 8 9 ;

au t e m p s 4, il y a r r i ve d e u x ondes :

— 48,05/104,67 et — 1 2 6 , 5 9 / — 275,89.

P a r c o n s é q u e n t , l ' é ta t du po in t b ap rès 4 de­vient :

H = 126,59 — 48,05 — 126,59 = — 48,05

Q = — 75,89 + 104,67 — 275,89 = — 247,11

De cet te concep t ion p h y s i q u e du p h é n o m è n e du coup de bélier , on p e u t dédu i r e u n e m é t h o d e de calcul e x t r ê m e m e n t s imple et don t le m é ­can i sme est , p e n s o n s - n o u s , t r è s intui t i f .

Cas g é n é r a l

S u p p o s o n s q u ' à u n e ex t r émi t é d ' u n t r o n ç o n à caractérist iques u n i q u e , existe ob l iga to i rement une loi 9 (Q, H, f) = 0 r e l i a n t le débi t et la p re s ­sion et qu ' i l y a r r i ve u n e onde inc iden te h%/qit

Cette o n d e se réf léchit t o t a l e m e n t ou par t ie l le ­m e n t en u n e onde réfléchie hr/qr.

P o u r l ' onde i n c i d e n t e :

h; = ± a q; (1)

(*) H e x p r i m é e n m è t r e s e t Q e n 1/s .

299

et p o u r l ' onde réfléchie :

hr = zp oc qr (2)

p u i s q u e ces d e u x ondes c i r cu l en t e n sens i n ­verses .

L 'é ta t , qu i é ta i t Qt/B.t a v a n t l ' a r r ivée d e l ' onde z et sa réflexion, dev ien t a p r è s ;

Q t + i / H f + 1 .

L ' é t a t (t -f- 1) doi t sa t i s fa i re a u x é q u a t i o n s su ivan te s :

<p (H, + 1 , H , + 1 , t + 1) = 0 (3)

H , + 1 = H, + + hr = H, ± a (q, — qr) (4)

Q t + i = Q* + ?« + ?r (5)

Si H;, Qh ht et qi sont c o n n u s , les é q u a t i o n s (3), (4) et (5) p e r m e t t e n t de d é t e r m i n e r qr, Qt+i et (2) d o n n e ensu i t e hr.

E x a m e n d e q u e l q u e s c a s par t i cu l i er s

A) Le débit Q est constant à Vextrémité envisagée : Q = Q 0 .

S u p p o s o n s qu ' i l a r r i v e u n e o n d e i n c i d e n t e hi/qi et que na i s se u n e onde réfléchie : hr/qr :

hi = d= a qt H r = a qr

Les é q u a t i o n s (3), (4) et (5) d e v i e n n e n t :

Qt+i === Qo (3)

H t + 1 = H* ± a ^ — qr) (4)

0 = qt + qr (5)

L a r é so lu t ion d o n n e :

qr = — qi

ht = hr

H * + i = H* + 2 ht

B) La pression est constante à Vextrémité envisagée : H — H 0 .

Les é q u a t i o n s (3), (4) et (5) s ' écr ivent :

H ^ x - H o ( 3 )

0 = « ( ç 4 — qr) (4)

Q * + i = Q* + g* + ?r (5)

La réso lu t ion d o n n e :

?; = 9V d 'où :

ht = — hr

et : Q w = Q t + 2 q t

A. SCHLAG

3 0 0 LA H O U I L L E B L A N C H E N° SPÉCIAL A/1957

C) Q passe brusquement de Q t à Q t + i *

Le p r o b l è m e se pose u n peu d i f fé remment . On conna î t H^, et Q * + i . Il n ' y a p a s d 'onde inc i ­den te , m a i s il y a émiss ion d ' u n e onde , q u e n o u s c o n t i n u e r o n s conven t ionne l f emen t à appe le r « réfléchie » hr/Qr avec hr = DT a g r .

Nous p o u r r o n s écr i re :

Q * + l = Q* + <Ir

et : H, Ht + hr = H ( ± a qr

Nous en d é d u i s o n s :

<Zr = Q t + l — Q /

hr = ±*qr

H t + 1 = H f + 7ïr

D,) Vextrémité du tronçon envisagée est l'origine d'un autre tronçon»

E n B, a r r i v e u n e onde inc iden te :

hjq% avec hi = ±zaqi

Elle es t p a r t i e l l e m e n t réfléchie d a n s ce t r o n ­çon, en u n e onde hr/qr avec hr = + a g r , et u n e onde hf

T/qf

T es t émise d a n s le deux i ème t ronçon d a n s la m ê m e d i rec t ion q u e l 'onde hi/qi :

K= ±z a ' q'r

Avan t l ' a r r ivée de l 'onde, il y avai t m ê m e s p r e s s i o n s H t et m ê m e s débi ts de p a r t et d ' au ­tre de la sec t ion B . Après cet te a r r ivée , il y a encore égali té des p re s s ions H * + 1 et égal i té des débi ts Q t + 1 .

D a n s le t r o n ç o n p a r où a r r ive l 'onde hjqi :

H f +Î = H, + A, + hr

Qt+, = Q t ° + qt + qT

D a n s l ' au t r e t ronçon :

H j + i = H t + h ' r

Q. + l = Q. + q'r

L a r é so lu t i on de ces é q u a t i o n s d o n n e :

a — a' a + a '

2 a

a + a' 7

(*) Ces f o r m u l e s s o n t a n a l o g u e s à ce l les q u e Ton r e n ­c o n t r e d a n s l a t h é o r i e d u p a s s a g e d ' u n e o n d e l u m i n e u s e p l a n e d ' u n m i l i e u d ' i n d i c e U d a n s u n a u t r e d ' i n d i c e U, l o r s q u e l e p l a n d ' o n d e e s t p a r a l l è l e a u p l a n d e s é p a r a ­t i o n d e s d e u x m i l i e u x . E n t r e l e s a m p l i t u d e s d e ces o n d e s , o n a l e s r e l a t i o n s :

2 a , a — a '

« 2 = ' ; Oi (Vr ~ ai

a -F a a -|~ a'

avec a ~ c/v : a ' = c / y ' c . 'v i tesse d e la l u m i è r e d a n s l e v i d e ,

i/ : v i t e s s e s d a n s les m i l i e u x c o n s i d é r é s .

E) Cas d'une bifurcation simple.

D a n s u n des t r onçons de la b i fu rca t ion a r r i v e u n e onde hjq^ U n e onde hr/qr es t réf léchie d a n s ce t r o n ç o n et des ondes h'r/q'r et h"r/q"T sont émises d a n s les d e u x a u t r e s t r o n ç o n s .

Compte t e n u d u sens de c i r cu l a t i on des on­des d a n s les d ivers t r o n ç o n s , on a :

ht = DR a qi

K = Q = a QRR

Iïr — zïz a ' q'r

h"r = D= a" q"r

Au n œ u d , à c h a q u e i n s t a n t H est le m ê m e quel q u e soit le t r o n ç o n que l 'on c o n s i d è r e ; de p lu s ,

Q = Q' + Q"-

N o u s a u r o n s d o n c à l ' i n s t an t t + 1 :

H , + 1 = H, + Ih + h,. = Ut + h'r = H, + h"r

et :

Qt + Qi + qr = +

Q'h- I Q t + 1

ou

7 i + ? r :

a C i — *qr = *'q'r

*'q'r = *"q"r

soient t ro i s é q u a t i o n s q u i p e r m e t t e n t de t r o u ­ver les t ro i s i n c o n n u e s :

q\

q r =

aa -f- a a - ] - a a

2 a a ' aa -f- a a - j - a a 9*

aa •— a a -f- a a

aa' + a a - j - a a

+ 1 et On en d é d u i t f ac i l emen t h' r ,

Qh - I -

Si les t e m p s de p a r c o u r s des o n d e s d a n s les d ivers t r o n ç o n s ava ien t u n e c o m m u n e m e s u r e , deux ou t ro i s ondes p o u r r a i e n t a r r i v e r en m ê m e t e m p s au n œ u d ; il suff irai t a lo r s d e cons idé re r s é p a r é m e n t c h a c u n e des ondes i n c i d e n t e s et de faire la s o m m e , p o u r c h a q u e t r o n ç o n , de tou tes les ondes réfléchies ou émises .

F) Cas d'une manœuvre progressive.

Nous avons j u s q u ' i c i , d a n s les e x e m p l e s que nous avons t ra i tés , supposé q u e la m a n œ u v r e

N° SPÉCIAL A/1957 A, S C H L A G 301

géné ra t r i ce du coup de bél ier é ta i l i n s t a n t a n é e . Si elle é ta i t p rogress ive , il f a u d r a i t la cons i ­

dé re r c o m m e cons t i tuée d ' u n e success ion de pe ­tites manoeuvres i n s t a n t a n é e s . Il y a u r a i t à cha­que i n s t a n t émiss ion , c i rcu la t ion , réflexion, e tc . de pe t i t e s ondes , r e m p l a ç a n t les modif ica t ions c o n t i n u e s réel les de p re s s ion et de débi t .

Conc lus ion

La concep t ion d u p h é n o m è n e d u coup de bél ier que n o u s avons exposée ici r é su l t e directement du t r a c é de B E R G E R O N . N O U S p e n s o n s que tou t en n ' e n é t a n t p a s différente en p r inc ipe , elle cor­r e s p o n d de p l u s p rès à la réa l i té p h y s i q u e que celle où l 'on fai t i n t e r v e n i r des ondes a y a n t p r o ­voqué des v a r i a t i o n s de p re s s ion et de débi t « d e p u i s l ' o r ig ine d u p h é n o m è n e ».

N o u s en avons dédu i t : — Un t a b l e a u de r e p r é s e n t a t i o n t rès in tu i t i f du

p h é n o m è n e (fig, 4 ) ; — Une m é t h o d e de calcul , souven t s imple et

auss i exac te qu ' on le dés i re , des « é ta t s »

success i fs d ' a u t a n t de sec t ions q u e l 'on veut , a ins i que des « ondes » q u i c i r c u l e n t d a n s la c o n d u i t e ou le r é seau .

Nous ne p r é t e n d r o n s p a s q u e ce t te m é t h o d e soit s u p é r i e u r e à celle i m a g i n é e p a r B E R G E R O N . Celle-ci possède d e s a v a n t a g e s b ien c o n n u s : s impl ic i té et a u t o m a t i s m e d ' app l i ca t ion q u i p e r ­m e t t e n t d 'en confier l ' exécut ion à un d e s s i n a ­t e u r so igneux, facil i té é g a l e m e n t de r e p é r e r u n e e r r e u r éventue l le , e tc .

Nous p e n s o n s c e p e n d a n t q u e n o t r e m é t h o d e n ' e s t p a s d é p o u r v u e d ' i n t é rê t . E l l e p o u r r a i t m ê m e pa r fo i s r é c l a m e r à son tou r , en sa faveur , c e r t a in s avan t ages , p a r exemple , si l 'on dés i r a i t cons idé re r u n a m o r t i s s e m e n t de l 'onde a u c o u r s de son t r a j e t . Il suffirai t a lo r s d a n s le ca lcu l de t en i r c o m p t e q u e l ' onde émise à u n e ex t r é ­mi t é d ' u n t r o n ç o n de condu i t e , a r r i ve à l ' a u t r e ex t r émi t é , affectée d u coefficient d ' a m o r t i s s e ­m e n t convenab le . I l n e s 'agi t pa s , b i en e n t e n d u , d ' u n e pe r t e de p re s s ion p a r f r o t t e m e n t h y d r a u ­l ique, m a i s d ' un vér i tab le a m o r t i s s e m e n t tel q u e celui que sub i s sen t les ondes de choc se t r a n s ­m e t t a n t d a n s les co rps sol ides .

D I S C U S S I O N

Président : M . R E M E N I E R A S

M. le P r é s i d e n t r e m e r c i e M. S C H L A O e t s o u l i g n e l ' i n t é ­r ê t d i d a c t i q u e d e s a n o u v e l l e i n t e r p r é t a t i o n de l a c é l è b r e m é t h o d e g r a p h i q u e ; i l s o u h a i t e q u e l e s i n g é n i e u r s d e s h u r e a u x d ' é t u d e s u t i l i s e n t d a n s d i v e r s cas t y p e s l a m é t h o d e d e M. B E R G E R O N s u i v a n t l e p r o c é d é d e M. S C H L A G e t n o u s f a s s e n t c o n n a î t r e , à l a l u m i è r e d e l e u r e x p é r i e n c e l e s a v a n t a g e s e t i n c o n v é n i e n t s q u ' e l l e p r é s e n t e e n p r a t i q u e p a r r a p p o r t a u x m o d e s d ' e m p l o i u s u e l s .

M. l e P r é s i d e n t s a i t t o u t pax* t i cu l i è r emen t g r é à M. S C H L A G d ' a v o i r a d o p t é u n e s u g g e s t i o n f a i t e e n s o n t e m p s p a r M. l e P r é s i d e n t B A R R I L L O N e t s u i v a n t l a ­q u e l l e , en h o m m a g e à s o n é m i n e n t i n v e n t e u r , on d e v r a i t a p p e l e r l ' é p u r e q u i v o u s o c c u p e u n « berge­ron », t o u t c o m m e e n s t a t i q u e g r a p h i q u e l ' on d i t u n « c r e m o n a » e t n o n u n e é p u r e d e C r e m o n a .

D e v a n t l e s r e m a r q u e s f o r t i n t é r e s s a n t e s d e M. S C H L A G

q u i l ' o n t c o n d u i t à u n m o d e d e c a l c u l i n é d i t , M. P a u l B E R G E R O N v o u d r a i t e s s a y e r d e m o n t r e r s o m m a i r e m e n t les d i f f é r e n c e s q u i , à s o n a v i s , e x i s t e n t e n t r e l e s m o j ' e n s p r o p o s é s p a r MM. A L L I E V I , S C H L A G e t L . B E R ­

G E R O N p o u r l a s o l u t i o n d u m ê m e p r o b l è m e . C o n s i d é r o n s le ca s s i m p l e d ' u n e f e r m e t u r e p r o g r e s ­

s ive d e l o i q u e l c o n q u e s u r u n e c o n d u i t e g r a v i t a i r e . R a i s o n n o n s s u r l ' é p u r e t r a c é e p a r l a m é U i o d e g r a ­p h i q u e q u i p e r m e t d e m e t t r e en é v i d e n c e c h a c u n e d e s t r o i s i n t e r p r é t a t i o n s :

1 ° E n c o n s i d é r a n t l e s o n d e s d e p u i s l ' o r i g i n e ( i n t e r ­p r é t a t i o n A l l i e v i ) , l ' é t a t a u p o i n t At,* r é s u l t e d e la s u p e r p o s i t i o n à l ' é t a t o r i g i n e A » (lu, qo) d e d e u x o n d e s q u i se c r o i s e n t , s o i t F t , - q u i r e m o n t e le c o u r a n t , et fi+2 q u i l e d e s c e n d . C h a c u n e d e ces o n d e s d e p r e s s i o n est l i é e à u n e v a r i a t i o n d e d é b i t t e l l e q u e l ' o n d e / < + 2

p e u t ê t r e r e p r é s e n t é e p a r l e v e c t e u r A« M e t l ' o n d e Fus p a r le v e c t e u r M Aus .

2 ° M. S C H L A G dé f in i t l ' é t a t en A t t 2 c o m m e r é s u l t a n t d e l a s u p e r p o s i t i o n à l ' é t a t e x i s t a n t n o n p l u s e n A 0 , m a i s e n A<, d e d e u x o n d e s i n t e r m é d i a i r e s , T u n e r e p r é ­s e n t é e p a r l e v e c t e u r A< B i u a p p e l é e p a r l u i o n d e i n c i ­d e n t e , e t l ' a u t r e r e p r é s e n t é e p a r l e v e c t e u r Bi -|- I A * + 2

a p p e l é e o n d e r é f l éch i e . Les o n d e s e t l es é t a t s q u i o n t p r é c é d é c e l u i e x i s t a n t

e n At n e s o n t p l u s à c o n s i d é r e r .

3° L a m é t h o d e g r a p h i q u e , d a n s sa r é a l i s a t i o n p r a t i q u e , n e f a i t p l u s a p p e l à l a n o t i o n d e s o n d e s q u i se c r o i s e n t e t p e u t o u b l i e r t o u t l e p a s s é q u i a p r é c é d é , d a n s l ' e x e m ­p l e c h o i s i , l ' e x i s t e n c e d e l ' é t a t en R m ,

Ce t é t a t e n Bi+t s o i t hi - f I qui c o n s t i t u e u n e o n d e q u i se p r o p a g e à l a c é l é r i t é « a » en r e s t a n t i d e n t i q u e à e l l e - m ê m e ; m a i s si l e s c o n d i t i o n s r e n c o n t r é e s s u r l e p a r c o u r s i m p o s e n t u n e m o d i f i c a t i o n d e l ' é t a t 7.j + ï g 4 , ï , l ' a p p l i c a t i o n d u t h é o r è m e d e s q u a n t i t é s d e m o u v e m e n t m o n t r e q u e À h = ± a/gs A q, c ' e s t - à - d i r e q u e l e n o u v e l é t a t d o i t ê t r e o b l i g a t o i r e m e n t s u r l a d r o i t e q u i p a s s e p a r B u i e t d e coef f ic ien t a n g u l a i r e ±a/gs. D a n s ces c o n d i ­t i o n s , à l ' a r r i v é e a u p o i n t A, l ' é t a t A* sa s e r a s i t u é s u r c e t t e d r o i t e , e t d e v a n t s a t i s f a i r e d ' a u t r e p a r t à î a l o i / (q ht) = 0 e x i s t a n t en At+s a u t e m p s î - f 2 , s e r a à l ' i n t e r s e c t i o n d e l a d r o i t e e t d e l a c o u r b e d o n n a n t h~f(q) a u t e m p s Ï - 1 - 2 .

F a u s s é e p e u t - ê t r e p a r la m é t h o d e g r a p h i q u e , c e t t e c o n c e p t i o n , b a s é e s u r la s i m p l e c o n s i d é r a t i o n d e T o n d e é m i s e p a r l ' é t a t e x i s t a n t en u n p o i n t e l e n u n t e m p s d o n n é s , d o n t les c o n d i t i o n s d e v a r i a t i o n s ' a p p u i e n t s u r l ' a p p l i c a t i o n é l é m e n t a i r e d u t h é o r è m e d e s q u a n t i t é s d e

302 LA H O U I L L E B L A N C H E N° SPÉCIAL A/1957

m o u v e m e n t , a p p a r a î t b e a u c o u p p l u s « i n t u i t i v e » q u e l e s d e u x i n t e r p r é t a t i o n s p r é c é d e n t e s .

Ce q u i p r o u v e q u e l a n o t i o n « d ' i n t u i t i o n » e s t t o u t à f a i t r e l a t i v e .

A n o t e r q u e , c o m m e p o u r l ' i n t e r p r é t a t i o n d e M . S C H L A G , l a m é t h o d e g r a p h i q u e d é t e r m i n e p o i n t a p r è s p o i n t les v a r i a t i o n s À h e t A q e t n o n h — ho et q — go.

L ' i n t e r p r é t a t i o n d e M . S C H L A G p e r m e t d e s u i v r e l e p h é ­n o m è n e p a r l e c a l c u l d ' u n e m a n i è r e b e a u c o u p p l u s s i m p l e e t p e u t - ê t r e p l u s p a r l a n t e q u e p a r l a d é t e r m i n a t i o n s u c ­c e s s i v e d e s o n d e s F i e t fu II s e m b l e m ê m e q u ' e l l e s o i t s e u l e j u s q u ' i c i à r e n d r e u t i l i s a b l e l e c a l c u l à l a m a i n s a n s q u ' o n s o i t r e b u t é à l ' a v a n c e .

P e u t - ê t r e p o u r r a i t - e l l e a u s s i f a c i l i t e r l ' e x é c u t i o n d e s c a l c u l s p a r l e s m a c h i n e s à c a l c u l e r , b i e n q u e s u r ce p o i n t n o u s n ' a y o n s p a s d ' o p i n i o n e t q u ' i l s e r a i t i n t é r e s s a n t d e p r e n d r e l ' a v i s , p a r e x e m p l e d e M M . D U B I N e t G U É N E A U q u i o n t d é j à u t i l i s é l e s m a c h i n e s p o u r l a r é s o l u t i o n d e s p r o ­b l è m e s r e l a t i f s à l ' a r r ê t d e s p o m p e s s u r r é s e r v o i r s à a i r . P a r c o n t r e , c o m m e l e f a i t d ' a i l l e u r s r e m a r q u e r M . S C H L A G ,

e l l e p r é s e n t e l e s i n c o n v é n i e n t s i n h é r e n t s à t o u t e s l e s m é ­t h o d e s a l g é b r i q u e s :

I m p o s s i b i l i t é d e p o u r s u i v r e l e s c a l c u l s l o r s q u e l e s l o i s f (q h t) = 0 a u x e x t r é m i t é s d e s t r o n ç o n s n e p e u v e n t p l u s ê t r e e x p r i m é e s p a r u n e é q u a t i o n (cas r e l a t i v e ­m e n t f r é q u e n t en h y d r a u l i q u e ) ;

P o s s i b i l i t é d ' e r r e u r s t o u j o u r s a c c r u e s ; e t n o u s a j o u t e r o n s d a n s l e ca s a c t u e l , q u e l a m é t h o d e a l g é b r i q u e n e p e r m e t p a s l ' a v a n t a g e o b t e n u p a r l a m é ­t h o d e g r a p h i q u e d e p o u v o i r , a v e c d e l ' e x p é r i e n c e évi­d e m m e n t , s u i v r e l ' e n s e m b l e d u p h é n o m è n e p a r l a s i m p l e o b s e r v a t i o n d e l ' é p u r e a c h e v é e .

C o n t r a i r e m e n t à l ' a v i s é m i s p a r M . A L L T E V I d a n s sa c o r r e s p o n d a n c e a v e c M . L . B E R G E R O N , l ' é p u r e t e r m i n é e c o n s t i t u e u n v é r i t a b l e « b a s r e l i e f » o ù t o u t e s l e s fluc­t u a t i o n s d e s é t a t s a v e c l e u r s c a u s e s e t l e u r s c o n s é ­q u e n c e s se p r é s e n t e n t s i m u l t a n é m e n t a u r e g a r d .

M . S C H L A G e s t e n p r i n c i p e d ' a c c o r d a v e c l e s o b s e r v a ­t i o n s p r é s e n t é e s p a r M . B E R G E R O N e t n o t a m m e n t , a v e c l a f a ç o n d o n t i l c a r a c t é r i s e l e s m é t h o d e s d e r é s o l u t i o n d ' A L L i E v i , d e L. B E R G E R O N e t l a s i e n n e .

I l c r o i t c e p e n d a n t n é c e s s a i r e d e s o u l i g n e r q u e , d a n s

sa m é t h o d e , i l n ' e s t p a s q u e s t i o n d ' o b s e r v a t e u r s c i r c u ­l a n t d a n s l a c o n d u i t e a v e c l a v i t e s s e a. I l n ' y a a l o r s p a s l i e u d e m a r q u e r B l e p o i n t d e r e n c o n t r e d e s v e c ­t e u r s r e p r é s e n t a t i f s d e s o n d e s i n c i d e n t e e t r é f l é ch i e , c a r , e n p r i n c i p e , ce p o i n t n ' a r i e n à v o i r a v e c ce q u i se p a s s e d a n s u n e a u t r e s e c t i o n q u e A. A l ' i n s t a n t i + 2, a r r i v e en A u n e o n d e i n c i d e n t e connue ( c ' es t l ' o n d e r é f l éch ie d ' u n e a u t r e s e c t i o n s i t u é e e n a m o n t , e t à u n i n s t a n t a n t é r i e u r — et p a r l à l a s i t u a t i o n à l ' i n s t a n t i + 2 e s t r e l i é e a u p a s s é ) . I l p e u t d o n c d e s s i n e r s o n v e c t e u r r e p r é s e n t a t i f , q u i e s t , s u r l a f i gu re d e M . P . B E R ­G E R O N , m a r q u é Ai Bui, m a i s q u ' i l p r é f é r e r a i t m a r q u e r p a r e x e m p l e : AiX. D e x, i l m è n e u n e d r o i t e c a r a c t é ­r i s t i q u e d e coe f f i c i en t a n g u l a i r e n é g a t i f , q u i l u i d o n n e A i+2 à son i n t e r s e c t i o n a v e c l a c o u r b e d ' e x t r é m i t é à l ' i n s t a n t z + 2. C e t t e c o n s t r u c t i o n n ' e s t q u e l a r é s o l u ­t i o n g r a p h i q u e d u s y s t è m e d ' é q u a t i o n s q u ' i l a é c r i t e s a u p a r a g r a p h e « Cas g é n é r a l » e t o ù n ' i n t e r v i e n n e n t c o m m e d o n n é e s , q u e l ' é t a t Ai e t l ' o n d e a r r i v a n t e n A au t e m p s i + 2 e t , c o m m e i n c o n n u e s , l ' é t a t Ai+a e t l ' o n d e r é f l éch ie e n A a u t e m p s i + 2 — d o n c r i e n q u e d e s é l é m e n t s r e l a t i f s à l a s e c t i o n A.

Le p o i n t q u ' i l m a r q u e x n ' e s t d o n c e n r i e n r e p r é ­s e n t a t i f d e l ' é t a t d a n s u n e s e c t i o n q u e l c o n q u e à u n i n s t a n t q u e l c o n q u e ; c ' e s t u n i q u e m e n t u n p o i n t d e c o n s ­t r u c t i o n , m a i s e n f a i t , i l c o ï n c i d e s o u v e n t a v e c l e p o i n t f i g u r a t i f d ' u n é t a t t e l q u e Bi+i.

D ' a u t r e p a r t , l a c o n s t r u c t i o n q u ' i l a e s q u i s s é e p l u s h a u t , m o n t r e q u ' a u b e s o i n , s a m é t h o d e p o u r r a i t a u s s i s ' a p p l i q u e r a u ca s o ù l a l o i d ' e x t r é m i t é e s t d o n n é e p a r u n e c o u r b e e t n o n p a r u n e é q u a t i o n ; b i e n e n t e n d u , l a m é t h o d e d e v i e n t a l o r s g r a p h i q u e e t s a n s d o u t e , p e u t - o n p e n s e r q u ' e l l e p e r d u n e p a r t i e d e s o n i n t é r ê t .

M . S C H L A G t i e n t e n c o r e à p r é c i s e r q u e son, i n t e n t i o n , e n f a i s a n t s a c o m m u n i c a t i o n , n ' é t a i t p a s t e l l e m e n t de p r é s e n t e r u n e n o u v e l l e m é t h o d e de, c a l c u l , m a i s p l u t ô t d e m o n t r e r le p h é n o m è n e d u c o u p d e b é l i e r s o u s u n a n g l e s o u s l e q u e l o n n e l e c o n s i d è r e p a s s o u v e n t . C 'es l e n é t u d i a n t l e b e r g e r o n q u ' i l e s t a r r i v é à c e t t e c o n c e p ­t i o n e t i l c r o i t q u e c ' e s t l à u n e p r e u v e s u p p l é m e n t a i r e d e l a g r a n d e r i c h e s s e d u m o d e d e r e p r é s e n t a t i o n i m a ­g i n é p a r L . B E R G E R O N .