MP Cours de physique

Jean Le Hir, 19 mars 2008 Page 1 sur 9

MCANIQUE

Chapitre 3

Mcanique du solide

3.1. Cinmatique du solide

Dfinition dun solide

Un solide est, par dfinition, un systme matriel indformable dans les conditions de liaisons o on le considre. La distance entre deux points quelconques dun solide est donc invariante et nous pouvons dfinir un rfrentiel par rapport auquel le solide est immobile. Dfinir la situation dun solide dans lespace requiert donc au maximum six coordonnes scalaires : trois coordonnes pour dfinir la position de lorigine du rfrentiel li au solide et trois angles pour en dfinir lorientation. Si le solide est soumis des liaisons, le nombre de paramtres ncessaires pour en dfinir la situation peut tre infrieur six.

Solide dont les mouvements sont limits par des liaisons

Voici quelques exemples de liaisons, cites ici dans le seul but de rappeler les termes de vocabulaire usuels. Les schmas sont reproduits depuis lencyclopdie WIKIPDIA.

Exemples de liaisons laissant un seul degr de libert au solide

Un solide est en liaison pivot par rapport un support lorsquil prsente en permanence au moins deux points fixes. Dans ce cas le seul degr de libert autoris est la rotation autour de la droite passant par ces points. Cest laxe de la liaison. Un solide est en liaison glissire par rapport un support lorsque quil est astreint se dplacer de faon rectiligne dans une direction donne. Il nexiste alors quun seul degr de libert de translation. La liaison glissire hlicodale, ou liaison vis-crou, est caractrise lexistence de deux degrs de libert combins : la rotation autorise est simultane la translation dans un rapport quon appelle le pas de vis. De ce fait, il faut considrer que le systme vis-crou ne dispose que dun seul degr de libert.

Liaison pivot Liaison glissire Liaison glissire hlicodale

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Exemples de liaisons laissant deux degrs de libert au solide

Un solide est en liaison pivot glissant par rapport un support lorsquil est susceptible de se dplacer par translation selon un axe autour duquel il peut tourner : il existe alors un degr de libert de translation et un degr de libert de rotation. Un solide est en liaison cardan par rapport un support lorsquil existe alors deux degrs de libert de rotation autour de deux axes orthogonaux. La liaison rotule doigt, prsente ci-dessous, est un exemple de liaison cardan.

Exemples de liaisons laissant trois degrs de libert au solide

Un solide est en liaison rotule par rapport un support lorsquil est susceptible de tourner dans toutes les directions de lespace autour dun point fixe : il existe alors trois degrs de libert de rotation. Un solide est en liaison appui plan par rapport un support plan lorsquil peut se dplacer dans les deux directions de translation du plan tout en pouvant tourner autour dun axe orthogonal au plan.

Exemples de liaison laissant quatre degrs de libert au solide

Une liaison linaire rectiligne est obtenue entre un solide et un support dans le cas, par exemple, dun cylindre pos sur un support plan. La liaison linaire rectiligne supprime deux degrs de libert, il reste au solide seulement deux degrs de libert de translation et deux degrs de libert de rotation. Une liaison linaire annulaire correspond au cas dune sphre se promenant dans un cylindre de mme diamtre. Le centre de la sphre concide alors en permanence avec laxe du cylindre et il subsiste trois degrs de libert de rotation et un seul de translation.

Liaison linaire rectiligne Liaison linaire annulaire

Liaison rotule Liaison appui plan

Liaison pivot glissire Liaison rotule doigt

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Exemple de liaison laissant cinq degrs de libert au solide

Une liaison ponctuelle entre solide et un support est tablie lorsque le seul contact est rduit un point. Cest la liaison la plus simple que lon puisse imaginer. Par exemple, une sphre pose sur un plan ou un cylindre pos sur un autre cylindre crois permettent un tel contact. Dans ce cas, un seul degr de libert est supprim : il sagit de la translation perpendiculaire au plan tangent du contact

Fils de liaison

Deux solides peuvent tre relis par un fil. La premire caractristique dun fil idal est de ne prsenter aucune inertie. Nous envisagerons alors le cas idal dun fil souple inextensible qui, lorsquil est tendu, agit sur les solides par des forces de tension : ces efforts sont transmis dun solide lautre, dans la direction du fil, sans aucune variation. Nous envisagerons galement le cas de fils lastiques : il apparat alors des diffrences de tension entre les extrmits du fil. Nous utiliserons souvent le modle de llasticit linaire. Si est la longueur du fil et 0 sa longueur au repos, alors la force de rappel est proportionnelle llongation du fil :

( )0F k= Le coefficient de proportionnalit k sappelle la raideur du fil lastique linaire. Un ressort hlicodal sans masse est souvent assimilable un fil lastique. Nous envisagerons enfin le cas de fils de torsion transmettant un couple dun solide lautre dont le moment est colinaire au fil. Nous utiliserons souvent le modle de llasticit linaire. Si est la position angulaire du fil et 0 sa position angulaire au repos, alors le couple de rappel a un moment proportionnel langle de torsion du fil :

( )0M C= Le coefficient de proportionnalit C sappelle la constante de torsion du fil de torsion linaire. Un ressort spiral sans masse est souvent assimilable un fil de torsion.

Torseur cinmatique ( ){ }, Pv La vitesse dun point P du solide est lie la vitesse dun point M du solide par la relation caractristique :

( ) ( )M P PMv v= + Le vecteur

est le vecteur rotation instantane du solide. Conformment aux limitations du programme

de mcanique de deuxime anne, nous limiterons nos applications aux seuls cas o le vecteur

est nul (solide en translation) ou ne change pas de direction (solide en rotation autour dun axe de direction fixe). Les vitesses des points dun solide se comportent donc comme les moments dun torseur que lon qualifie de torseur cinmatique. La rsultante de ce torseur sidentifie la vitesse instantane de rotation.

Liaison ponctuelle

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quiprojectivit

En consquence, le champ des vecteurs vitesses dun solide est quiprojectif : A et B tant deux points diffrents dun solide, ( ) ( )AB A AB Bv v = . Dans le cas particulier dun solide en translation pure, 0 =

et tous les points du solide ont la mme

vitesse. Dans le cas particulier dun solide en rotation autour dun axe fixe, O tant un point de cet axe, la vitesse en un point P quelconque scrit : ( )M OMv = . Contacts entre solides : glissement, roulement, pivotement

Les solides sont, par dfinition, impntrables. Aussi, lorsque deux solides viennent au contact, des actions mcaniques rciproques apparaissent qui assurent cette liaison. Les seuls mouvements possibles des solides compatibles avec le maintien du contact sont des mouvements de glissement, de roulement et de pivotement. On dit quil y a glissement lorsque les deux points en contact 1I (appartenant au solide 1S ) et 2I (appartenant au solide 2S ) nont pas la mme vitesse. On appelle vitesse de glissement du solide 2S par rapport au solide 1S , la diffrence des vitesses de 1I et de 2I : ( ) ( )g2/1 2 1I Iv v v=

. Cette vitesse

appartient au plan tangent aux deux solides au point de contact.

Notons 2 /1 2 1 =

le vecteur rotation instantane du solide 2S par rapport au solide 1S .

On dit quil y a pivotement lorsque le vecteur 2 /1

a une projection non nulle sur la direction orthogonale au plan tangent aux solides au point de contact et lon nomme vitesse instantane de pivotement la composante normale du vecteur 2 /1

(nous ntudierons pas, dans le cadre de ce cours, les

actions mcaniques intervenant dans un pivotement). On dit quil y a roulement lorsque le vecteur 2 /1

a une projection non nulle paralllement au plan

tangent aux solides au point de contact et lon nomme vitesse instantane de roulement la composante tangentielle du vecteur 2 /1

. Le roulement sans glissement est un cas particulier important : nous

traduirons cette circonstance en crivant que la vitesse de glissement est nulle.

3.2. lments cintiques dun solide Moment cintique du solide

Moment cintique par rapport un axe

, moment dinertie

On considre un solide en rotation autour dune axe

. Rappelons que le moment cintique L dun

systme matriel par rapport un axe orient

est dfini comme la projection OL e

sur cet axe du

moment cintique OL

en un point O de laxe.

Chaque point P du solide dcrit une trajectoire circulaire de centre H autour de laxe, o H est le projet orthogonal du point P sur laxe .

P( )Pv H

O

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Dans le cas dun solide en rotation autour dun axe

, chaque lment de matire de masse ( )Pdm d= situ autour du point P dans le volume d , apporte une contribution Od L

au moment cintique en O :

( ) ( )O OP P Pd L v d=

Ce moment cintique scrit encore :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2O OH P P HP P P OH P P HP Prd L v d v d v d e d e= + = +

Le moment cintique se projette sur laxe selon ( )2O HP PdL d L e d = =

et nous obtenons L en intgrant cette expression sur le volume du solide :

( )2P

HP PL d J

= = Le moment cintique dun solide par rapport un axe est proportionnel la vitesse angulaire algbrique de rotation autour de laxe orient. La grandeur J , fondamentalement positive et indpendante de lorientation de laxe

, est appele Moment dinertie du solide selon laxe

:

( )2P

HP PJ d

=

Attention ! Le moment dinertie en un point O de laxe

a galement, dans le cas gnral, une composante radiale. Lorsque cette composante radiale est nulle, on dit que

est une axe

dinertie principal du solide. Cest le cas lorsque lon considre une rotation autour dun axe de symtrie dun solide.

Exemple : considrons une barre homogne AB, de longueur et de masse m, en rotation autour dun axe fixe

qui fait avec la

barre un angle et passant par lune de ses extrmits A. Calculons, dans ce cas prcis, lexpression du moment cintique en A :

( )A0

AP PmL v d=

avec ( )P AP AP sinv e= =

soit : ( ) ( )2A0

AP 1sin AH HP AP sin cos sin

3 r zdL m e m e e= + = +

Nous en dduisons le moment cintique L par rapport laxe

de la barre en rotation :

( )2A 1 sin3zL L e m = =

Nous voyons bien sur cet exemple que le moment cintique prsente une composante radiale non nulle. Cela ne sera pas sans consquence du point de vue mcanique. Dans ce mouvement de rotation, il apparatra des efforts sur laxe dus un effet de ballant conscutif au fait que laxe de rotation nest pas un axe principal dinertie.

A

B

PHAL

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Exemples de moments dinertie

Le programme des classes prparatoires prvoit explicitement que lon nexige pas de la part des lves de calcul intgral de moments dinertie. Dans tous les cas, les expressions des moments dinertie utiles seront donnes dans les noncs de concours. Cela nempche pas que la dfinition des moments dinertie doit tre connue, associe une comprhension qualitative de limportance de lcart des masses par rapport laxe de rotation : ainsi, chacun doit tre capable dargumenter pour justifier quun cylindre creux a un moment dinertie autour de son axe de symtrie suprieur celui dun cylindre plein de mme rayon et de mme masse. Voici, titre dexemples, quelques moments dinertie de solides usuels par rapport un axe de symtrie de ces solides.

Thorme de Huyggens

Par application du thorme de Knig relatif au moment cintique, nous pouvons crire par projection sur laxe de rotation du moment cintique en un point A immobile de laxe :

( )( )*A AI IL L e L e m v e J = = + =

Barre homogne de longueur 2ou plaque homogne de largeur 2 par rapport laxe de symtrie

Cerceau ou surface cylindrique homogne de rayon par rapport laxe de symtrie

R Disque ou cylindre plein homogne de rayon par rapport laxe de symtrie

R

2J mR =21

2J mR =

Surface sphrique homogne de rayon par rapport un axe de symtrie

R Sphre pleine homogne de rayon par rapport un axe de symtrie

R

225

J mR =22

3J mR =

213

J m =

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*L

reprsente le moment cintique barycentrique et * *L L e =

reprsente la projection du moment cintique barycentrique sur laxe

. La vitesse ( )Iv du centre dinertie a pour expression

( )I AI AHv e e = =

, le point H tant le projet orthogonal de A sur laxe I

parallle laxe

et passant par le centre dinertie I.

( )( ) ( )( )* * * 2AI AH AH AH AHL L e m e e L e m e e L e m = + = + = + Soit, en posant

I

* *L L e J = =

, moment cintique du solide par rapport laxe I

parallle

passant par le centre dinertie I du solide. Nous en dduisons la relation I

2AHJ J m = + qui correspond au thorme dHuyggens :

Thorme dHuyggens

Le moment dinertie J dun solide par rapport un axe quelconque est gal au moment dinertie

IJ par rapport un axe I parallle passant par le centre dinertie I du solide

plus le produit de la masse m du solide par le carr de la distance entre les deux axes et I .

nergie cintique dun solide Solide en translation

Tous les lments de matire du solide tant alors anims de la mme vitesse v

, lintgrale des nergies cintiques lmentaire se ramne lintgrale dfinissant la masse du solide. Lnergie cintique dun solide en translation est identique lnergie cintique dun point matriel de mme masse qui se dplacerait la vitesse du solide.

( ) ( ) ( )2 2 2kP P

1 1 1P P P2 2 2

v d v d mv

= = = E

Solide en rotation autour dun axe fixe

Considrons un solide autour dun axe fixe quelconque. Lnergie cintique du solide en rotation sexprime comme la somme intgrale des nergies cintiques lmentaires, chaque point P situ une distance HP de laxe de rotation tant anim dune vitesse de module HP :

( ) ( ) ( )2 2 2 2kP P

1 1 1P P HP P2 2 2

v d d J

= = = E

Remarque : cette expression est valable quel que soit laxe

, celui-ci nest pas ncessairement un axe de symtrie, ni mme un axe principal dinertie. Noublions pas cependant que le moment cintique AL

en

un point A quelconque de laxe de rotation nest pas ncessairement colinaire laxe. Lexpression

suivante de lnergie cintique convient tout aussi bien : k A1 12 2

L L= =

E .

Solide en rotation autour dun axe de direction fixe

Par application des thormes de Knig, nous pouvons toujours exprimer les lments cintiques dun solide en rotation autour dun axe en mouvement de translation, la direction restant fixe. Nous dcomposons le mouvement en un mouvement de rotation autour de laxe *

parallle

passant par le centre dinertie I du solide et en un mouvement de translation densemble du solide la vitesse ( )Iv .

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Le deuxime thorme de Knig scrit alors :

( ) ( )*2 2* 2k k 1 1 1I I2 2 2mv J mv= + = +E E Exemple : considrons un cylindre de rayon R, de masse m et de moment dinertie 0J par rapport son axe, roulant sans glisser sur un plan et dont la vitesse de translation a pour module V. Quelle est son nergie cintique dans le rfrentiel o lon observe ce roulement ?

Le thorme de Knig scrit 2 2k 01 12 2

J mV= +E et la condition de non glissement V R= .

Nous en dduisons : 20k 212

Jm V

R

= +

E soit 2k34

mV=E dans le cas dun cylindre plein homogne et

2k mV=E dans le cas dun cylindre creux dont la masse est rpartie de faon homogne en surface. Nous

constatons que dans tous les cas, lnergie cintique est suprieure lnergie cintique 212

mV du

cylindre en translation, y compris lorsque le rayon du cylindre devient trs petit !

3.3. Dynamique du solide Nous nous limitons, dans cette section, ltude dun solide unique anim dun mouvement de translation pure, de rotation pure autour dun axe fixe ou de rotation autour dun axe dont la direction reste fixe au cours du mouvement. Dans le dernier cas, nous dcomposerons systmatiquement le mouvement en un mouvement de translation densemble du solide et un mouvement de rotation autour dun axe I passant par son centre dinertie. Les thormes gnraux de la dynamique des systmes matriels sapplique au solide et prennent alors une forme particulirement simple.

Actions mcaniques

Le plus dlicat est de faire correctement le bilan des actions mcaniques extrieures appliques au solide en rendant compte particulirement des actions de liaison. Nous tudierons plus particulirement les actions de liaison entre solides en contact dans la section suivante. Nous avons dmontr que, de la faon la plus gnrale, la puissance des actions intrieures un systme matriel est indpendante du rfrentiel dans lequel on lexprime. Des forces intrieures existent bien sr et sont mme lorigine de la cohsion du solide. Pour un solide, dans le rfrentiel li au solide, la puissance des actions intrieures est clairement nulle puisque aucun point matriel nest anim de la moindre vitesse. Nous en dduisons cette proprit importante : seules travaillent les actions extrieures appliques un solide.

Dans ltude dynamique du mouvement dun solide, nous pouvons faire totalement abstraction des forces intrieures.

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Thormes gnraux de la mcanique du solide

Thorme de la rsultante cintique

Le thorme de la rsultante cintique sapplique un solide lidentique de son expression gnrale pour un systme matriel. Dans un rfrentiel galilen, la rsultante des forces extrieures appliques un solide est gale au produit de sa masse par lacclration de son centre dinertie :

( )ext IF m a=

Thorme du moment cintique par rapport un axe fixe

Le thorme du moment cintique prend une forme simplifie dans le cas particulier dun solide en rotation autour dun axe fixe puisque lon peut se limiter la projection des moments sur laxe de rotation. Dans un rfrentiel galilen, la rsultante des moments par rapport un axe de rotation fixe des forces extrieures appliques un solide est gale au produit de son moment dinertie J par rapport cet axe par lacclration angulaire autour de cet axe. Soit, en notant langle de rotation du solide autour de laxe fixe

:

2

2

dL d dM J Jdt dt dt

= = =

Thorme du moment cintique par rapport un axe de direction fixe

Enfin, dans le cas dun solide en rotation par rapport un axe de direction fixe, il convient dappliquer le thorme de la rsultante cintique par rapport un axe I parallle cette direction et passant par le centre dinertie I du solide. Dans le rfrentiel barycentrique dun solide1, la rsultante des moments des forces extrieures appliques par rapport un axe de rotation de direction fixe passant par le centre dinertie I est gale au produit de son moment dinertie

IJ par rapport cet axe par lacclration angulaire autour de cet axe. Soit, en

notant * langle de rotation du solide autour de laxe de direction fixe I

:

II II

2 *

2

dL d dM J Jdt dt dt

= = =

Thorme de lnergie cintique

Comme nous lavons dj vu, seules sont considrer les actions mcaniques extrieures appliques au solide. Chaque force applique dveloppe une puissance ..

3.4. Dynamique des systmes de solides

Contact entre deux solides. Frottement solide. Loi de Coulomb

Mouvement dun solide en rotation autour dun axe de direction fixe

1 Ce rfrentiel nest pas, en gnral, galilen