Optimisation d’un embrayagemagnétorhéologique à disques

Mémoire

David Vallée

Maîtrise en génie mécaniqueMaître ès sciences (M.Sc.)

Québec, Canada

© David Vallée, 2016

Résumé

Les technologies de contrôle modernes ont reçu beaucoup d’attention depuis les trente dernières an-

nées et avec elles revient un intérêt grandissant envers les fluides magnétorhéologiques et les appli-

cations connexes. Cet ouvrage porte sur le développement d’un outil de conception et d’optimisation

d’embrayages magnétorhéologiques à disques pour les produits de nouvelle génération.

D’abord, un modèle d’écoulement de fluide magnétorhéologique est implémenté dans le logiciel

COMSOL®, un outil de résolution numérique basé sur la méthode des éléments finis. Le compor-

tement liquide du fluide magnétorhéologique est évalué à partir du modèle viscoélastique de Casson,

où la contrainte d’écoulement et la viscosité varient avec le taux de déformation et la densité de

flux magnétique dans le fluide. L’implémentation numérique s’appuie également sur l’approche de

Bercovier-Engelman, c’est-à-dire que le comportement solide du fluide est pris en compte par un li-

quide très visqueux. La symétrie de révolution de l’embrayage est alors exploitée pour ramener la

définition du problème à un espace bidimensionnel et les équations qui en découlent sont introduites

dans COMSOL® sous leur forme faible. Ultimement, la résolution du profil de vitesses en régime

permanent dans l’interface de fluide permet de calculer le couple transmis.

Par la suite, un modèle d’embrayage magnétorhéologique à disques est développé afin de prédire les

caractéristiques (masse, couple, température, etc.) d’embrayages quelconques définis à partir de pa-

ramètres décrivant leur géométrie simplifiée, leurs matériaux et leur source d’alimentation électrique.

Le modèle d’écoulement établi au préalable dépend de la densité de flux magnétique qui est alors éva-

luée dans COMSOL®. Ce dernier est également utilisé pour estimer la température de l’embrayage

qui s’avère déterminante lors de son dimensionnement.

Enfin, une séquence d’optimisation basée sur les prédictions du modèle d’embrayage magnétorhéo-

logique est mise en place avec l’objectif de maximiser le couple massique. Pour mieux comprendre

l’impact qu’ont certains paramètres sur les performances et mieux orienter la recherche, l’espace de

solution est d’abord exploré de façon aléatoire. Un algorithme évolutionniste permet alors de mettre

au jour une conception optimisée pour les besoins spécifiques du projet.

iii

Abstract

Modern day control technologies have received much attention since the last thirty years and with them

comes a growing interest in magnetorheological fluids and related applications. This work focuses on

the development of a design and optimization tool for magnetorheological disc clutch, aimed toward

next generation products.

First, a flow model of magnetorheological fluid is implemented in COMSOL®, a numerical resolution

tool, based on the finite element method. The liquid behavior of the magnetorheological fluid is eval-

uated based on Casson’s viscoelastic model, where the yield stress and the viscosity vary with the rate

of deformation and the magnetic flux density in the fluid. The numerical implementation is also based

on Bercovier-Engelman’s approach, that is to say, the solid behavior of the fluid is taken into account

by a highly viscous liquid. The axial symmetry of the clutch is then exploited to bring the definition

of the problem to a two-dimensional space and the resulting equations are introduced into COMSOL®

under their weak form. Ultimately, the resolution of the steady-state velocity profile in the fluid gap is

used to calculate the transmitted torque.

Thereafter, a magnetorheological disc clutch model is developed to predict the characteristics (mass,

torque, temperature, etc.) of any clutches defined from parameters describing their simplified geome-

try, their materials and their electrical source. The flow model previously established depends on the

magnetic flux density, which is therefore evaluated in COMSOL®. The latter is also used to estimate

the temperature of the clutch, a decisive factor in sizing.

Finally, an optimization sequence based on the predictions of the magnetorheological clutch model

is set up with the aim of maximizing the torque-to-weight ratio. To better understand the impact of

some parameters on the performance and better orient the search, the solution space is first explored

randomly. An evolutionary algorithm is then used to bring foward an optimized design for the specific

needs of the project.

v

Table des matières

Résumé iii

Abstract v

Table des matières vii

Liste des tableaux xi

Liste des figures xiii

Remerciements xvii

1 Introduction 11.1 Mise en contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Principe de fonctionnement des fluides magnétorhéologiques . . . . . . . . . . 21.1.2 Principe de fonctionnement des embrayages magnétorhéologiques à disques . . 3

1.2 Motivations et problématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Revue de littérature pour la conception et l’optimisation d’un embrayage magnéto-

rhéologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Choix au niveau de la méthodologie de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Organisation du mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Implémentation numérique d’un modèle de fluide magnétorhéologique en écoulement 112.1 Comportement typique des fluides magnétorhéologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Modèles empiriques du comportement des fluides magnétorhéologiques . . . . . . . . . 13

2.2.1 Modèle de Bingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Modèle de Herschel-Bulkley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Modèle de Casson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Modèles empiriques adaptés pour la résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1 Modèle de Bercovier-Engelman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2 Modèle de Papanastasiou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.3 Modèle de Susan-Resiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.4 Adaptation de l’approche de Bercovier-Engelman au modèle de Casson . . . . 18

2.4 Détermination des paramètres de Casson en fonction de la densité de flux magnétique . 192.4.1 Méthode de caractérisation du fluide magnétorhéologique utilisé . . . . . . . . 192.4.2 Données expérimentales du comportement du fluide magnétorhéologique utilisé 21

vii

2.4.3 Expression analytique des paramètres de Casson . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Implémentation d’un modèle d’écoulement dans COMSOL® . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.1 Équations de Navier-Stokes dans un système de coordonnées cylindriques . . . 262.5.2 Hypothèses et simplifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.3 Calcul des contraintes visqueuses dans le fluide magnétorhéologique . . . . . . 282.5.4 Calcul du taux de cisaillement dans le fluide magnétorhéologique . . . . . . . . 302.5.5 Formulation forte du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.6 Formulation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.7 Calcul du couple transmis par l’interface de fluide magnétorhéologique . . . . 32

2.6 Validation de l’implémentation du modèle d’écoulement dans COMSOL® . . . . . . . 342.6.1 Modèle analytique du couple transmis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6.2 Implémentation numérique correspondant au modèle analytique . . . . . . . . . 342.6.3 Comparaison entre le couple analytique et numérique . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.4 Effet d’une zone solide sur l’estimation du couple . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.5 Effet de la qualité du maillage sur l’estimation du couple . . . . . . . . . . . . . 37

3 Modèle de l’embrayage magnétorhéologique à disques 433.1 Géométrie du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1 Simplifications géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.1.2 Étapes de construction de la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.3 Paramétrisation des configurations géométriques étudiées . . . . . . . . . . . . 503.1.4 Paramétrisation de la géométrie du domaine de résolution . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2.1 Introduction au comportement magnétique des matériaux . . . . . . . . . . . . 563.2.2 Matériaux ferromagnétiques doux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2.3 Matériaux à faible aimantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.4 Propriétés des différents constituants du fluide magnétorhéologique . . . . . . . 593.2.5 Homogénéisation des propriétés du fluide magnétorhéologique . . . . . . . . . 603.2.6 Propriétés des différents constituants du bobinage . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2.7 Homogénéisation des propriétés du bobinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.8 Résumé des propriétés des matériaux associées au domaine de résolution . . . 66

3.3 Analyse électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.1 Introduction aux équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.2 Introduction aux équations de Maxwell dans leur forme de potentiel vecteur . . 703.3.3 Domaine de résolution de l’analyse électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . 713.3.4 Équations de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.3.5 Conditions aux frontières du domaine de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3.6 Modélisation du bobinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.4 Analyse magnétorhéologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4.1 Domaine de résolution de l’analyse magnétorhéologique . . . . . . . . . . . . . 753.4.2 Conditions aux frontières du domaine de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5 Analyse thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5.1 Domaine de résolution de l’analyse thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.5.2 Conditions aux frontières du domaine de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . 783.5.3 Conditions aux interfaces du domaine de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . 803.5.4 Sources de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.6 Discrétisation du domaine de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

viii

3.7 Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.8 Estimation de la masse de l’embrayage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.9 Validation expérimentale du modèle d’embrayage magnétorhéologique à disques . . . 87

4 Optimisation de l’embrayage magnétorhéologique 914.1 Exploration aléatoire de l’espace de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.1 Définition de l’espace de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.1.2 Effets de différents paramètres sur les performances de l’embrayage . . . . . . 95

4.2 Optimisation par un algorithme génétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.2.1 Introduction aux algorithmes génétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2.2 Définition des fonctions objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.2.3 Raffinement de l’espace de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2.4 Choix et réglage de l’algorithme génétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.2.5 Analyse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.2.6 Choix de la conception optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 Conclusion 111

Bibliographie 115

A Données expérimentales de BASF 119

B Solutions du modèle d’embrayage magnétorhéologique 121

C Code MATLAB® 125C.1 Initialisation et définition des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125C.2 Définition de la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130C.3 Définition du problème électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133C.4 Définition du problème magnétorhéologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134C.5 Définition du problème thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136C.6 Définition du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

ix

Liste des tableaux

2.1 Contrainte d’écoulement τC et viscosité µC de Casson du fluide BASONETIC® 5030 deBASF pour différentes densités de flux magnétique B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1 Paramètres décrivant la géométrie du modèle d’embrayages magnétorhéologiques à disques. 543.2 Propriétés de quelques matériaux ferromagnétiques doux retenus pour leur aimantation à

saturation élevée et leur faible rémanence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3 Propriétés de quelques matériaux à faible aimantation sélectionnés pour leur légèreté et

leurs excellentes propriétés mécaniques et thermiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4 Propriétés homogénéisées du fluide magnétorhéologique BASONETIC® 5030 de BASF

ainsi que les propriétés de chacun de ses constituants qui ont servi aux calculs d’homogé-néisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5 Propriétés homogénéisées du bobinage ainsi que les propriétés de chacun de ses consti-tuants qui ont servi aux calculs d’homogénéisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6 Valeurs des paramètres pour chaque étape de construction du maillage. . . . . . . . . . . . 853.7 Principales caractéristiques de l’embrayage magnétorhéologique à disques utilisé pour

valider le modèle numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.1 Variables de conception et les plages de valeurs associées qui sont étudiées dans le cadrede l’exploration de l’espace de conception. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2 Contraintes géométriques linéaires qui assurent une cohérence entre les paramètres géo-métriques et la description géométrique de l’embrayage magnétorhéologique. . . . . . . . . 95

4.3 Variables de conception et les plages de valeurs associées qui sont employées lors duprocessus d’optimisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.4 Variables de conception du problème d’optimisation qui correspondent à la conceptionoptimale choisie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

A.1 Contrainte de cisaillement du fluide magnétorhéologique BASONETIC® 5030 de BASFpour différentes densités de flux magnétique et un taux de cisaillement de 100 [1/s] . . . . 120

xi

Liste des figures

1.1 Microscopie électronique à balayage de particules ferromagnétiques extraites d’un fluidemagnétorhéologique non utilisé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Principe de fonctionnement des fluides magnétorhéologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Principe de fonctionnement des embrayages magnétorhéologiques à disques. . . . . . . . . 5

2.1 Comportement du fluide magnétorhéologique à l’état solide et à l’état liquide. . . . . . . . 122.2 Effet de la densité de flux magnétique B sur le comportement du fluide magnétorhéolo-

gique à l’état solide et à l’état liquide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Effet de la densité de flux magnétique B (∥B∥) sur les paramètres du modèle de Bingham.

La contrainte d’écoulement τB est fortement influencée par B. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Effet du paramètre η introduit par le modèle de Bercovier-Engelman et détermination de

la frontière entre l’état liquide et l’état solide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Vue de section de la cellule magnétique développée par BASF pour la caractérisation de

fluides magnétorhéologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Signification de la contrainte de cisaillement apparente τa et de la contrainte de cisaille-

ment réelle τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7 Évolution de la contrainte de cisaillement τ du fluide BASONETIC® 5030 de BASF pour

différents taux de cisaillement γ et différentes densités de flux magnétique B. . . . . . . . . 222.8 Contrainte d’écoulement du fluide magnétorhéologique BASONETIC® 5030 de BASF en

fonction de la densité du flux magnétique B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.9 Évolution de la viscosité de Casson µC du fluide magnétorhéologique BASONETIC®

5030 de BASF en fonction de la densité du flux magnétique B. . . . . . . . . . . . . . . . . 252.10 Contrainte de cisaillement τ en fonction de la densité de flux magnétique B et du taux de

cisaillement γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.11 Système de coordonnées cylindriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.12 Domaine de résolution utilisé pour valider l’implémentation du modèle d’écoulement

dans COMSOL®. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.13 Comparaison des couples évalués à partir du modèle analytique et du modèle numérique

correspondant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.14 Effet de l’établissement d’une zone solide dans l’interface de fluide magnétorhéologique

sur l’estimation du couple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.15 Erreur sur l’estimation du couple pour différentes qualités de maillage. . . . . . . . . . . . 392.16 Solutions produites pour valider l’implantation du modèle d’écoulement dans COMSOL®. 402.17 Quelques maillages utilisés pour valider l’implémentation du modèle d’écoulement dans

COMSOL®. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

xiii

3.1 Géométrie du modèle de l’embrayage magnétorhéologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2 Étape 1 : Définition de l’entité géométrique correspondant au disque central. Étape 2 : Dé-

finition du disque adjacent au disque central (second disque). Étape 3 : Définition dudisque adjacent au second disque (troisième disque). Étape 4 : Duplication du seconddisque. Étape 5 : Duplication du troisième disque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Étape 6 : Définition de l’entité géométrique correspondant à l’anneau de fixation desdisques. Étape 7 : Définition du domaine occupé par le bobinage. . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4 a) Étapes 8 et 9 : Définition des entités géométriques correspondant au flasque et à l’an-neau magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5 a) Étape 10 : Définition de l’entité géométrique correspondant au fluide magnétorhéolo-gique. b) Vue agrandie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6 Étape 11 : Définition de l’entité géométrique correspondant au milieu ambiant. . . . . . . . 503.7 Quelques possibilités d’agencement (huit configurations géométriques) des principaux

composants d’embrayages magnétorhéologiques à disques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.8 Dimensions associées aux paramètres décrivant la géométrie du modèle d’embrayages

magnétorhéologiques à disques pour les configuration 3 et 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.9 Matériaux associés aux différentes entités géométriques du domaine de résolution. . . . . . 553.10 Aimantation µ0M en fonction du champ magnétique H de quelques matériaux ferroma-

gnétiques doux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.11 Représentation de la maille utilisée pour la résolution de la formulation de Maxwell Garnett. 613.12 Aimantation µ0M du fluide magnétorhéologique BASONETIC® 5030 en fonction du

champ magnétique H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.13 Domaine de résolution de l’analyse électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.14 Équations de comportement assignées aux différentes parties du domaine de résolution de

l’analyse électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.15 Limites du domaine de résolution de l’analyse électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . 733.16 Domaine de résolution du problème magnétorhéologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.17 Conditions aux frontières du domaine de résolution de l’analyse magnétorhéologique. . . . 773.18 Domaine de résolution de l’analyse thermique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.19 Conditions aux frontières du domaine de résolution de l’analyse thermique. . . . . . . . . . 803.20 Conditions aux interfaces de l’analyse thermique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.21 Élément triangulaire de type Lagrange utilisé pour la discrétisation du problème dans

COMSOL®. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.22 Maillage du modèle de l’embrayage magnétorhéologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.23 Couple statique (expérimental) et dynamique (simulé) en fonction du courant d’alimenta-

tion de l’embrayage magnétorhéologique MRC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.1 Évolution du couple massique selon la capacité en couple des embrayages pour les confi-gurations 2 et 3 (disques en périphérie) et pour les configurations 4 et 5 (disques au centre). 97

4.2 Effet des matériaux ferromagnétiques sur le couple massique pour les configurations 2 et3 (disques en périphérie) et pour les configurations 4 et 5 (disques au centre). . . . . . . . . 98

4.3 Effet du nombre de disques N sur le couple massique pour les configurations 2 et 3(disques en périphérie) et pour les configurations 4 et 5 (disques au centre). . . . . . . . . . 99

4.4 Effet de la longueur des ailettes (R f −Re) sur le couple massique pour les configurations2 et 3 (disques en périphérie) et pour les configurations 4 et 5 (disques au centre). . . . . . 100

4.5 Principe général d’un algorithme génétique typique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.6 Convergence du problème d’optimisation évolutionniste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

xiv

4.7 Couple massique (premier critère de performance p1) en fonction de l’efficacité (secondcritère de performance p2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.8 Prototype d’embrayage magnétorhéologique (MRC3) développé au Laboratoire des Sys-tèmes Mécaniques Intelligents (LSMI). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

B.1 Solution de l’analyse électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121B.2 Solution de l’analyse magnétorhéologique : Distribution de la vitesse tangentielle vθ dans

l’interface de fluide magnétorhéologique et b) une vue agrandie. . . . . . . . . . . . . . . . 122B.3 Densité d’énergie dissipée par les effets visqueux dans l’interface de fluide magnétorhéo-

logique et par l’effet Joule dans le bobinage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123B.4 Solution de l’analyse thermique : Distribution de la température dans l’embrayage ma-

gnétorhéologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

xv

Remerciements

Cette étape de ma vie a été parsemée d’embûches de toutes sortes. Malgré tout, j’ai persévéré et

au bout du compte, j’en ressors grandi et je peux maintenant être fier de ne pas avoir baissé les bras.

Toutefois, rien n’aurait été possible sans l’appui de certaines personnes et je tiens donc à faire quelques

remerciements.

Merci d’abord à mon directeur de recherche, Yves St-Amant, qui a cru en moi en me confiant ce

projet. J’ai énormément appris de lui et je me sens privilégié d’avoir travaillé avec quelqu’un qui

fait preuve d’autant de dévotion, de dynamisme et de rigueur. Je lui suis très reconnaissant et je lui

souhaite beaucoup de succès dans la réalisation de ses projets.

Merci à mes amis et à ma famille pour leur appui et leurs encouragements sans lesquels je n’aurais

probablement jamais tenu le coup. Merci à Louis Gagnon qui a su m’aider dans les moments les plus

difficiles. Merci à mon grand-papa qui m’a transmis la persévérance et merci à mon père pour son

expertise en français. Je vous dois énormément !

Merci également aux organismes de subvention et aux industriels qui ont soutenu le projet :

– Conseil de Recherches en Sciences Naturelles et en Génie du Canada (CRSNG)

– Consortium de Recherche et d’Innovation en Aérospatiale au Québec (CRIAQ)

– Mitacs

– Bell Helicopter Textron Canada (BHTC)

– Bombardier Aéronautique

Merci à Pasquale Spina, qui m’a supervisé et covoituré lors de mon stage chez Bell Helicopter.

Enfin, merci à tous ceux qui ont travaillé de près ou de loin à la conception et à fabrication des

embrayages magnétorhéologiques, plus spécialement à Luc Harvey, Karl Hébert, Justin Lefebvre et

Jean-Claude Gariépy.

David

xvii

1 Introduction

Vers la fin des années quarante, W. M. Winslow constate qu’une suspension de fines particules di-

électriques 1 dispersées dans un fluide isolant 2 se consolide sous l’influence d’un champ électrique et

permet ainsi de moduler les efforts transmis par cisaillement [1, 2]. L’effet est très rapide (< 1 [ms])

et totalement réversible. Cependant, les efforts pouvant être transmis avec ces fluides dits électrorhéo-

logiques sont relativement faibles. Simultanément, au National Bureau of Standards des États-Unis

(NBS) 3, des chercheurs tentent par tous les moyens de développer des embrayages à action rapide qui

permettent d’améliorer les temps d’accès à l’information contenue sur les bandes magnétiques des

ordinateurs électroniques numériques de l’époque. Inspiré par les travaux de Winslow, J. Rabinow a

aussitôt l’idée de transposer le principe électrostatique à la magnétostatique. En incorporant de fines

particules ferromagnétiques 4 à un fluide diamagnétique 5, il obtient un mélange qui se solidifie sous

l’effet d’un champ magnétique [3, 4, 5]. Du coup, les efforts transmis par cisaillement sont décuplés

par rapport aux fluides électrorhéologiques. C’est ainsi qu’apparaissent les fluides magnétorhéolo-

giques de même qu’une panoplie d’applications qui mettent à profit leurs propriétés. Les embrayages 6

magnétorhéologiques à disques comptent parmi celles-ci et font l’objet du présent ouvrage.

Les trente dernières années révèlent un regain d’intérêt marqué envers ce type d’embrayage et cela se

reflète en partie par le rythme croissant de publication d’ouvrages en la matière. Cette recrudescence

peut être expliquée par la présence maintenant généralisée de circuits de contrôle électroniques qui

confèrent une grande souplesse aux embrayages magnétorhéologiques. En effet, ces derniers jouissent

d’un temps de réponse relativement court et le couple transmis peut être modulé à volonté suivant

l’intensité du courant qui alimente l’embrayage.

1. Un milieu diélectrique est susceptible de présenter des dipôles électrostatiques capables d’interagir avec un champélectrique.

2. Un milieu isolant électrique ne favorise pas le passage d’électrons.3. Le NBS est devenu en 1988 le National Institute of Standards and Technology (NIST).4. Un milieu ferromagnétique se magnétise très fortement sous l’effet d’un champ magnétique externe.5. Un milieu diamagnétique ne se magnétise que très faiblement sous l’effet d’un champs magnétique externe. À toute

fin pratique, leur magnétisation peut être considérée nulle.6. Un embrayage est un organe mécanique capable de moduler le couple transmis entre deux arbres de transmission.

1

1.1 Mise en contexte

Avant d’exposer la problématique et l’objectif de recherche, quelques précisions liées à la composition

et au fonctionnement des fluides magnétorhéologiques sont apportées. Cela mène ensuite à approfon-

dir le principe de fonctionnement d’un embrayage magnétorhéologique.

1.1.1 Principe de fonctionnement des fluides magnétorhéologiques

Les fluides magnétorhéologiques sont des suspensions de particules ferromagnétiques dans un fluide

porteur qui lui, ne se magnétise pas. Typiquement, les particules ont la taille 7 de quelques micromètres

et sont constituées de fer carbonyle de grande pureté (Fe 99,5%). Souvent, de l’huile synthétique fait

office de fluide porteur. Sous l’effet de la gravité, les particules ferromagnétiques, qui ont une densité

bien supérieure à celle du fluide porteur, se déposent au fond en quelques heures. De la même façon,

les forces engendrées par les gradients magnétiques provoquent l’agglomération de particules. Des

agents de surfaces sont alors ajoutés au mélange pour ralentir ces processus et faciliter la dispersion

des particules lors du brassage. La figure 1.1 présente une microscopie électronique à balayage de

particules ferromagnétiques extraites d’un fluide magnétorhéologique.

10 µm

voir b)

a)

1 µm

b) Vue agrandie

FIGURE 1.1 – Microscopie électronique à balayage (20,0 [kV], 12,0 [mm] × 2,50 [k]) de particulesferromagnétiques extraites d’un fluide magnétorhéologique (BASONETIC® 5030 de BASF) non uti-lisé. Ces particules sont composées de fer carbonile (Fe 99,5%). Leur diamètre est dans la plage de1 à 3 [µm]. Source : Laboratoire de conception d’actuateurs et de moteurs de l’Université de Sher-brooke (CAMUS)

La figure 1.2 résume les grandes lignes du principe de fonctionnement des fluides magnétorhéolo-

giques. Sous l’effet d’un champ magnétique externe, les particules ferromagnétiques uniformément

7. Les fluides magnétorhéologiques et les ferrofluides se distinguent par la taille des particules qui les constituent. Pourles ferrofluides, elles ont la taille de quelques nanomètres seulement. Les particules sont tellement petites que seule lachaleur suffit à les maintenir en suspension, et ce, malgré la présence d’un champ magnétique intense. Les comportementsbien distincts de ces deux fluides obligent à faire cette distinction.

2

réparties dans le fluide (voir fig. 1.2 a)) acquièrent un dipôle magnétique et s’alignent pour former

des structures filamenteuses orientées avec la direction du champ magnétique B (voir fig. 1.2 b)).

Ces structures sont responsables de la transition rhéologique 8 des fluides magnétorhéologiques, qui

passent d’un état liquide à un état solide en quelques millisecondes tout au plus. C’est un processus très

rapide en comparaison aux délais que présentent généralement les systèmes purement mécaniques.

Lorsque le fluide magnétorhéologique est soumis à des efforts de cisaillement F modérés, ces struc-

tures se déforment légèrement (voir fig. 1.2 c)). Le comportement s’apparente alors à celui d’un so-

lide. Toutefois, lorsque les efforts de cisaillement surpassent les forces magnétiques, ces structures se

brisent au fur et à mesure qu’elles se forment. Le fluide magnétorhéologique adopte alors un compor-

tement liquide et la capacité à transmettre les efforts de cisaillement par rapport au cas solide diminue

légèrement.

Avec un apport d’énergie additionnel, soit par l’application d’un léger cisaillement, d’un champ ma-

gnétique plus intense, d’une variation cyclique du champ magnétique, etc., ces structures continuent

à se complexifier et à se densifier jusqu’à ce qu’elles parviennent à un nouvel état d’équilibre (voir

fig. 1.2 d)). Au cours de ce processus, le comportement du fluide poursuit son évolution pour atteindre

un niveau de solidification supérieur.

Enfin, en désactivant le champ magnétique, les particules se démagnétisent et les particules se dis-

persent à nouveau sous l’effet des agents de surface. Le fluide retrouve alors son comportement initial,

ou presque. En effet, il subsiste de petites forces résiduelles provenant de la rémanence magnétique

des particules. Un léger brassage ou une simple oscillation décroissante du champ magnétique (déma-

gnétisation) suffit généralement à détruire les amas de particules résiduels.

1.1.2 Principe de fonctionnement des embrayages magnétorhéologiques à disques

La figure 1.3 présente la coupe longitudinale d’un embrayage magnétorhéologique à disques et sert de

support explicatif à leur principe de fonctionnement. Le couple transmis d’un arbre de transmission

à l’autre (1 et 2) s’effectue par cisaillement à travers une interface de fluide magnétorhéologique (7).

Pour maximiser l’aire de transmission effective, deux séries de disques (8 et 9) indépendantes en

rotation sont intercalées et fixées séparément à chacun des arbres de transmission (1 et 2). L’espace

entre les disques (de quelques dizaines ou quelques centaines de micromètres) est maintenu par des

espaceurs (10 et 11) intercalés entre les disques d’une même série (8 ou 9). À la figure 1.3 b), pour

bien distinguer ces deux assemblages indépendants en rotation et séparés par l’interface de fluide

magnétorhéologique, l’un d’eux est illustré en orange et l’autre en bleu.

La figure 1.3 b) illustre la densité de courant électrique J dans le bobinage (6) et la densité de flux ma-

8. La rhéologie est l’évolution comportementale associée à la déformation et à l’écoulement d’un matériau qui subitl’effet d’une contrainte appliquée.

3

a) b) c) d)

FIGURE 1.2 – Principe de fonctionnement des fluides magnétorhéologiques : a) Les particules ferro-magnétiques sont dispersées uniformément. Aucun champ magnétique n’est appliqué. b) Sous l’effetd’un champ magnétique, les particules s’alignent pour former des structures filamenteuses orientéesavec la direction du champ magnétique B. c) Ces structures se déforment lorsque des efforts de cisaille-ment F sont appliqués. d) Les déformations causées par le cisaillement engendrent des structures plusdenses qui permettent à leur tour d’augmenter les efforts de cisaillement transmis.

gnétique B qui en résulte. Le flux magnétique parcourt le circuit magnétique constitué des disques (8

et 9) et des flasques ferromagnétiques (4 et 5) pour ultimement être canalisé à travers l’interface de

fluide magnétorhéologique (7). De cette façon, l’intensité du courant électrique dans le bobinage (6)

agit sur la densité de flux magnétique dans le fluide magnétorhéologique et permet de contrôler sa

viscosité avec précision. Ainsi, le couple transmis peut être modulé à volonté.

Le circuit magnétique est constitué d’un matériau ferromagnétique doux (ex. : fer). Il facilite le pas-

sage du flux magnétique et permet d’en accroître la densité dans l’interface de fluide. Pour éviter

de dévier une partie du flux en dehors de l’interface de fluide, les autres composants sont générale-

ment constitués de matériaux à faible aimantation (ex. : aluminium). À la figure 1.3 a), les matériaux

ferromagnétiques sont illustrés en gris foncé et les matériaux à faible aimantation, en gris pâle.

L’espace comblé par le fluide magnétorhéologique est rendu étanche par des joints statiques (13) et

dynamiques (14). Des paliers 9 (3) assurent le positionnement et l’orientation des disques tout en per-

mettant leur rotation. La solidification du fluide dans l’environnement immédiat de ces composants

peut engendrer une défaillance prématurée. Pour cette raison, l’embrayage est conçu de façon à ca-

naliser le flux magnétique loin des joints dynamiques (14) et des paliers (3). Enfin, des ailettes (12)

servent à dissiper la chaleur dégagée par le bobinage (6) et par le fluide magnétorhéologique (7) et

permettent de maintenir la température de l’embrayage dans sa plage d’opération.

9. Le terme général « palier » désigne les composants qui supportent les arbres de transmission et qui en assurent leguidage en rotation avec le moins de frottement possible. L’emploi de ce terme réfère autant aux paliers lisses qu’auxpaliers à roulements (roulements à billes).

4

a) b)

FIGURE 1.3 – a) Principaux composants d’un embrayage magnétorhéologique à disques : arbre detransmission d’entrée (1) et de sortie (2), paliers (3), flasques ferromagnétiques d’entrée (4) et sor-tie (5), bobinage (6), fluide magnétorhéologique (7), disques d’entrée (8) et de sortie (9), espaceursd’entrée (10) et de sortie (11), ailettes (12), joints statiques (13) et dynamiques (14). Les matériauxferromagnétiques et les matériaux à faible aimantation sont illustrés en gris foncé et en gris pâle res-pectivement. b) Densité de flux magnétique B traversant l’interface de fluide magnétorhéologique etla densité de courant J dans le bobinage qui en est la source. Pour bien distinguer les assemblages quisont indépendants en rotation, l’entrée et la sortie sont illustrés en orange et en bleu respectivement.

1.2 Motivations et problématiques

Le potentiel des embrayages magnétorhéologiques apparait suffisant pour présenter une piste de so-

lution viable pour le développement de produits de nouvelle génération, mais la technologie demeure

toujours méconnue et n’a toujours pas atteint le stade de la maturité. Les partenaires de l’industrie

aéronautique qui ont collaboré au projet ont en effet démontré un intérêt pour préciser leurs capacités,

surtout en ce qui a trait au couple massique. Ils cherchent également à soulever les problèmes qui

pourraient remettre en question l’intérêt porté envers ce type d’embrayage. Afin de respecter les en-

tentes de confidentialité prises avec les partenaires industriels qui ont pris part au projet, l’application

visée ne sera toutefois pas dévoilée et certains aspects seront couverts avec peu de détails.

La performance d’un embrayage magnétorhéologique dépend de plusieurs facteurs :

– La faculté du fluide à transmettre un effort de cisaillement dépend de la densité de flux magné-

tique qui le traverse.

– La densité de flux magnétique est influencée par la géométrie du circuit magnétique, le choix

des matériaux utilisés et l’intensité du courant fourni au bobinage.

– Plus les surfaces en contact avec le fluide se font grandes et distantes du centre de rotation, plus

5

le couple transmis peut être grand. Cependant, ceci peut se faire au détriment d’une réduction

de la densité de flux magnétique et d’une augmentation de la masse.

– La réponse du fluide magnétorhéologique et le bon fonctionnement de certains composants

dépend de la température de l’embrayage, qui elle, est fortement influencée par l’action du

bobinage et par les pertes visqueuses dans le fluide.

– L’ajout d’un dispositif de refroidissement (ailettes ou autres) permet d’augmenter le courant

dans le bobinage, et de ce fait, le couple transmis. Par contre, l’ajout d’un tel dispositif peut

accroître la masse.

Il existe donc une panoplie de configurations possibles et, de toute évidence, l’optimisation du couple

massique n’est pas un problème trivial.

1.3 Revue de littérature pour la conception et l’optimisation d’unembrayage magnétorhéologique

Dans les deux dernières décennies, de nombreux travaux concernant les embrayages et freins magné-

torhéologiques ont été publiés dans la littérature. Cette section résume les travaux les plus pertinents

qui ont dirigé la définition du projet présenté dans ce mémoire.

Pour déterminer le couple en régime permanent, W. H. Li et H. Du, [6] présentent une description

analytique du comportement du fluide basé sur le modèle viscoélastique de Bingham (voir 2.2.1,

page 13). La densité de flux magnétique nécessaire au calcul est obtenue par la méthode des éléments

finis. K. Karakoc, E. J. Park et A. Suleman [7], G. Marannano, G. V. Mariotti et C. Duboka [8],

W. H. Gudmundsson, F. Jonsdottir et F. Thorsteinsson [9, 10], Q. H. Nguyen et S. B. Choi [11],

procèdent essentiellement de la même façon. La correspondance avec les valeurs expérimentales est

jugée bonne dans tous les cas. Malgré tout, A. Farjoud [12] propose une autre façon d’évaluer le

couple transmis. Il utilise des notions de la mécanique des milieux continus et un modèle comporte-

mental introduit par M. Bercovier et M. Engelman [13] en 1980 pour résoudre le champ de vitesse

dans l’interface de fluide et ainsi évaluer le couple transmis. Cette méthode prend en considération la

solidification du fluide dans les zones moins sollicitées en cisaillement. Selon Farjoud, cet effet peut

avoir un impact non négligeable sur le couple transmis.

Karakoc, Park et Suleman [7] cherchent à maximiser le couple de freinage pour un volume donné.

Ils utilisent un algorithme de recherche aléatoire qui est ensuite complété par un algorithme d’opti-

misation basé sur la dérivation de la fonction objectif. Le frein qui en résulte produit un couple de 23

[N m] pour une masse d’environ 11,8 [kg] (2 [N m/kg]). La performance du frein destiné à l’industrie

automobile est loin d’être suffisante et la conception doit être repensée.

A. Wiehe, V. Noack et J. Maas [14] constatent que la température influence de façon significative la

6

performance des systèmes magnétorhéologiques. Bien que Karakoc, Park et Suleman [7] aient abordé

cette problématique, Marannano, Mariotti et Duboka [8], qui s’adonnent eux aussi au développement

d’un frein destiné à ralentir une automobile, y ont porté une plus grande attention. Lors du processus

d’optimisation, l’échauffement du frein est évalué par la méthode des éléments finis. La température

se répercute sur l’évaluation des performances et devient aussi une contrainte de conception. Le frein

qui en résulte produit un couple théorique de 1020 [N m] pour une masse de 25,8 [kg] (40 [N m/kg]).

Un genou prothétique magnétorhéologique a été développé par Gudmundsson [10]. La géométrie

paramétrée a été optimisée grâce à un algorithme génétique. Une optimisation multiobjectif a permis

de maximiser le couple massique ainsi que le gain de couple entre le mode actif et inactif. Le frein qui

en résulte possède un couple de 60 [N m] pour une masse estimé à 2 [kg] (30 [N m/kg]). Alors que

les freins de Karakok [7] et Marannano [8] ne comptent que trois disques, celui-ci en compte 71. De

plus, contrairement aux conceptions de Karakoc et Marannano, les disques de ce frein sont déportés à

l’extérieur du bobinage pour maximiser le bras de levier.

Nguyen et Choi [11] ont étudié d’autres configurations géométriques du circuit magnétique pour voir

si l’une d’entre elles se démarque en ce qui a trait au couple transmis pour un volume donné. La confi-

guration pour laquelle l’interface de fluide magnétorhéologique et le bobinage sont à égale distance

du centre de rotation semble plus prometteuse. Cependant, la configuration étudiée par Gudmundsson

n’a pas été considérée dans cette étude.

À partir de ces travaux, plusieurs constats sont fait :

– La méthode d’évaluation du couple semble assez bien établie bien qu’une autre méthode pour-

rait donner des valeurs plus précises selon Farjoud.

– La littérature ne semble pas faire mention de freins ou d’embrayages magnétorhéologiques

qui présentent une densité de couple supérieure à 50 [N m/kg]. Or, un couple massique de 60

[N m/kg] doit être atteint pour que la technologie présente un réel attrait pour les partenaires

industriels.

– Plusieurs configurations de freins et d’embrayages ont été étudiées, mais il demeure toujours

difficile de déterminer la configuration optimale. En effet, celle-ci semble dépendre de plusieurs

facteurs propres au contexte dans lequel évolue le système.

– Les implications liées à la température ont été considérées à maintes reprises. Cependant, l’ajout

de dispositifs de refroidissement (ailettes ou autres) dans l’espoir d’augmenter le couple mas-

sique n’a pas été étudié.

1.4 Objectifs

L’objectif principal de ce travail de recherche est donc de développer un outil de conception/optimi-

sation d’embrayage magnétorhéologique à disques pour maximiser le couple massique. Les objectifs

7

spécifiques suivants ont été établis :

– Implémenter un modèle décrivant le comportement des fluides magnétorhéologiques dans un

outil de résolution numérique. Le but est de prédire le couple transmis par le fluide en fonction

de l’intensité du flux magnétique et du taux de cisaillement. Les équations permettant cette

prédiction ne sont pas intégrées par défaut à l’environnement de résolution utilisé. Il faut donc

les dériver et les introduire manuellement.

– Développer un modèle d’embrayage magnétorhéologique à disques s’appuyant sur le modèle

de fluide tout juste implémenté. Le but est d’arriver à prédire la performance de différentes

conceptions à partir de paramètres décrivant la géométrie et les matériaux.

– Mettre en place une séquence d’optimisation basée sur les prédictions du modèle d’embrayage.

Le but est de cibler la conception optimale en tenant compte des critères de performance établis

selon les exigences des partenaires industriels.

1.5 Choix au niveau de la méthodologie de résolution

Cette section explique le choix fait en début de projet concernant le logiciel utilisé pour modéliser

les embrayages magnétorhéologiques. Quelques logiciels commerciaux tels que COMSOL® Multi-

physics et ANSYS Multiphysics, ainsi que d’autres alternatives moins connues, mais évoluant en tant

que logiciels libres, tels que Agros2D et GetDP, permettent d’implémenter le problème souhaité. Le

choix s’est arrêté sur COMSOL® en raison de sa disponibilité et de la bonne connaissance de son

fonctionnement par l’auteur.

COMSOL® est un logiciel qui permet de faciliter l’ensemble des étapes devant être franchies lors d’un

processus de modélisation s’appuyant sur la méthode des éléments finis. Son environnement permet

de définir la géométrie du domaine de résolution et d’en faire la discrétisation par la construction

d’un maillage. Il permet également de définir et d’associer aux différents domaines les propriétés des

matériaux ainsi que les lois de comportement des phénomènes physiques qui entrent en jeu, d’en faire

la résolution et de visualiser les résultats.

Plusieurs fonctionnalités de COMSOL® le rendent particulièrement intéressant pour les besoins du

projet :

– Au besoin, COMSOL® permet d’implémenter des équations différentielles quelconques. Cette

possibilité d’y introduire des modèles au choix permet de simuler l’écoulement particulier du

fluide magnétorhéologique et de calculer le couple transmis par l’embrayage.

– COMSOL® possède un module d’analyse des champs électromagnétiques. Il permet donc de

calculer la densité de flux magnétique dans l’interface de fluide magnétorhéologique.

– COMSOL® possède un module d’analyse des transferts thermiques. Il permet donc de calculer

la température dans l’embrayage magnétorhéologique.

8

– COMSOL® peut coupler les différentes analyses (électromagnétiques, mécaniques des fluides,

transferts thermiques, etc.) s’il existe des interdépendances entre les différents phénomènes.

Entre autres, la conductivité électrique du bobinage pourra être influencée par la température.

– Il est possible d’établir un lien direct entre COMSOL® et MATLAB®. Ce dernier peut donc

être utilisé pour contrôler la construction de la géométrie du modèle d’embrayage. Ce lien peut

également faciliter l’utilisation des algorithmes d’optimisation déjà implémentés dans MAT-

LAB®.

Le choix de COMSOL® apparaît donc convenable.

1.6 Organisation du mémoire

À chaque objectif correspond un chapitre. Plus spécifiquement, ce mémoire est organisé comme suit :

Chapitre 2 : Implémentation d’un modèle de fluide magnétorhéologiqueLe chapitre 2 présente l’implémentation d’un modèle de fluide magnétorhéologique dans COM-

SOL®. Quelques modèles viscoélastiques sont d’abord introduits pour décrire l’évolution de la

viscosité du fluide magnétorhéologique en fonction du taux de cisaillement et de la densité

de flux magnétique. Par la suite, cette viscosité est introduite dans les équations de Navier-

Stokes qui sont établies dans un repère cylindrique afin de permettre d’exploiter la symétrie

de révolution de l’embrayage. Ces équations sont ensuite introduites dans COMSOL® sous

leur forme faible (formulation variationnelle). Le profil de vitesses dans l’interface est alors

résolu (et par le fait même, le taux de cisaillement et la viscosité) ce qui permet enfin de calculer

le couple transmis à partir de la puissance dissipée par les effets visqueux.

Chapitre 3 : Développement d’un modèle d’embrayage magnétorhéologique à disquesLe chapitre 3 présente le développement d’un modèle d’embrayage magnétorhéologique à

disques s’appuyant sur le modèle d’écoulement implémenté au chapitre 2. Une géométrie sim-

plifiée de l’embrayage magnétorhéologique est d’abord paramétrée dans COMSOL®. Les pro-

priétés des matériaux sont ensuite assignées aux entités géométriques correspondantes. Le mo-

dule AC/DC de COMSOL® permet alors d’estimer la densité de flux magnétique nécessaire à

l’évaluation de la viscosité du fluide magnétorhéologique et de ce fait, le couple transmis. Quant

à la température, elle est estimée grâce au module de transferts thermiques de COMSOL®. La

masse de l’embrayage est également évaluée. Au final, le modèle permet de prédire les ca-

ractéristiques (masse, couple, température, etc.) d’embrayages quelconques définis à partir de

paramètres décrivant leur géométrie, leurs matériaux, leur source d’alimentation électrique, etc.

9

Chapitre 4 : Optimisation de l’embrayage magnétorhéologiqueLe chapitre 4 met en place une séquence d’optimisation basée sur les prédictions du modèle

d’embrayage magnétorhéologique établi au chapitre 3. Dans un premier temps, l’espace de

conception est exploré de façon aléatoire. Cela permet d’étudier l’impact qu’ont certains pa-

ramètres sur les performances de l’embrayage magnétorhéologique. Dans un second temps,

une séquence d’optimisation basée sur un algorithme génétique permet de mettre au jour un

embrayage magnétorhéologique optimisé pour les besoins spécifiques du projet.

Chapitre 5 : ConclusionLe chapitre 5 conclut sur les aspects importants de l’ouvrage et oriente les futurs efforts en la

matière.

10

2 Implémentation numérique d’un modèle de fluidemagnétorhéologique en écoulement

L’objectif de ce chapitre est de proposer un modèle du comportement du fluide magnétorhéologique en

écoulement, d’en expliquer l’implémentation numérique dans COMSOL® pour finalement en arriver

à prédire le couple transmis par l’interface de fluide magnétorhéologique. Pour y arriver, le compor-

tement typique des fluides magnétorhéologiques est d’abord présenté à la section 2.1. Les principaux

modèles empiriques qui en font la description sont ensuite présentés à la section 2.2. Pour surmonter

les difficultés associées à la résolution numérique de ces modèles, quelques méthodes ont été propo-

sées dans la littérature. Il en est question à la section 2.3. Par la suite, les données provenant d’une

caractérisation expérimentale du fluide magnétorhéologique utilisé sont présentées à la section 2.4. Un

des modèles présenté à la section 2.3 est alors adopté puis ajusté pour en décrire le comportement réel.

Enfin, la section 2.5 s’attarde à l’implémentation numérique du modèle dans COMSOL®. En effet,

COMSOL® 4.1 permet de simuler l’écoulement de fluide viscoélastique, mais pas de façon à exploiter

la symétrie de révolution de l’embrayage. Les équations ont donc été dérivées dans un repère cylin-

drique puis introduite manuellement dans COMSOL®. Une validation est effectuée à la section 2.6

pour assurer l’intégrité de l’implémentation du modèle dans COMSOL®. Ultimement, la résolution

des équations permet de calculer le couple transmis via l’interface de fluide magnétorhéologique.

2.1 Comportement typique des fluides magnétorhéologiques

Lors de l’application d’un champ magnétique et tant et aussi longtemps que la contrainte de cisaille-

ment τ n’excède pas la contrainte d’écoulement statique τy,s, le fluide magnétorhéologique adopte un

comportement qui s’apparente à celui d’un solide élastique [15]. La contrainte de cisaillement dans le

fluide à l’état solide croît proportionnellement à la déformation γ qu’il subit, soit :

τ(B,γ) =K(B)γ si τ < τy,s (2.1)

où B désigne l’amplitude de la densité de flux magnétique (B ≡ ∥B∥ pour alléger la notation) et où la

constante élastique K croit avec l’augmentation de cette dernière. La courbe présentée à la figure 2.1 a)

(pour γ < γc) illustre ce comportement. Lorsque la contrainte d’écoulement statique est atteinte (τ =τy,s), il y a une transition de l’état solide à l’état liquide. Les observations montrent alors que la

contrainte de cisaillement τ dans le fluide magnétorhéologique diminue légèrement pour atteindre la

11

limite d’écoulement dynamique τy,d , où :

τy,s > τy,d

Une fois que l’état liquide est bien établi, la contrainte de cisaillement progresse plus ou moins li-

néairement à mesure que le taux de cisaillement γ augmente. Cette progression est illustrée à la fi-

gure 2.1 b).

Déformation en cisaillement γ

Con

trai

nte

deci

saill

emen

tτ

τy,sτy,d

γc

a) État solideTaux de cisaillement γ

Con

trai

nte

deci

saill

emen

tτ

τy,sτy,d

b) État liquide

FIGURE 2.1 – Comportement du fluide magnétorhéologique a) à l’état solide (pour γ < γc) et b) à l’étatliquide.

La figure 2.2 illustre l’effet du champ magnétique sur les contraintes d’écoulement statique et dy-

namique. Pour de faibles champs magnétiques, ces contraintes augmentent proportionnellement au

carré [16] de la densité de flux magnétique. Toutefois, cette évolution commence à stagner lorsque

l’énergie contenue dans le champ magnétique est suffisante pour forcer l’agglomération de la presque

totalité des particules en ces structures qui participent à la transmission des efforts de cisaillement

et stagne davantage lorsque les particules ferromagnétiques s’approchent de leur seuil de saturation

magnétique.

Déformation en cisaillement γ

Con

trai

nte

deci

saill

emen

tτ

a) État solideTaux de cisaillement γ

Con

trai

nte

deci

saill

emen

tτ

b) État liquide

FIGURE 2.2 – Effet de la densité de flux magnétique B (∥B∥) sur le comportement du fluide magnéto-rhéologique a) à l’état solide et b) à l’état liquide.

12

2.2 Modèles empiriques du comportement des fluidesmagnétorhéologiques

Dans la littérature, le comportement des fluides magnétorhéologiques en écoulement est souvent dé-

crit par des modèles empiriques de fluides viscoélastiques. La contrainte de cisaillement est ajustée

en fonction du taux de cisaillement et de la densité de flux magnétique de façon à refléter les compor-

tements observés expérimentalement. Les modèles de Bingham, Herschel-Bulkley et Casson sont les

plus rencontrés dans la littérature et sont détaillés aux sections 2.2.1, 2.2.2 et 2.2.3 respectivement.

2.2.1 Modèle de Bingham

Le modèle de Bingham [17, 18] est sans contredit le modèle le plus utilisé dans la littérature pour

décrire le comportement des fluides magnétorhéologiques. Il lie la contrainte de cisaillement τ au

taux de cisaillement γ par une simple relation linéaire, soit :

τ(B, γ) = µB(B)γ +τB(B) si τ > τy

γ = 0 autrement

(2.2)

où τy est la contrainte de cisaillement minimale qui suffit à provoquer l’écoulement du fluide magné-

torhéologique (et cela suppose que le modèle ne fait aucune distinction entre τy,s et τy,d). La figure 2.3

illustre le comportement associé au modèle de Bingham. Il est constaté que la contrainte de cisaille-

ment τB [N/m2] et la viscosité de Bingham µB [N s/m2] varient selon la densité de flux magnétique B

dans le fluide.

Taux de cisaillement γ

Con

trai

nte

deci

saill

emen

tτ

τB

µB

FIGURE 2.3 – Effet de la densité de flux magnétique B (∥B∥) sur les paramètres du modèle de Bingham.La contrainte d’écoulement τB est fortement influencée par B.

13

2.2.2 Modèle de Herschel-Bulkley

De façon générale, le taux de croissance de la contrainte de cisaillement τ dans les fluides magnéto-

rhéologiques diminue légèrement avec l’augmentation du taux de cisaillement γ . Il est alors question

de fluidification par cisaillement. De par sa linéarité, le modèle de Bingham ne peut pas représenter ce

genre de comportement. Lors de caractérisations expérimentales, l’utilisation du modèle de Bingham

se traduit souvent par une surestimation de la véritable contrainte d’écoulement [19]. Pour remédier

à ce problème, plusieurs font appel au modèle à trois paramètres de Herschel-Bulkley, lui aussi, très

présent dans la littérature, soit :

τ(B, γ) =K(B)γ1−n+τHB(B) si τ > τy

γ = 0 autrement

(2.3)

où les paramètres K [N s/m2] et n permettent de tenir compte de la variation de la viscosité en fonction

du taux de cisaillement γ . Si n est positif, il est question de fluidification par cisaillement et c’est

généralement le cas des fluides magnétorhéologiques. Si n est négatif, il est question d’épaississement

par cisaillement.

2.2.3 Modèle de Casson

D’autres, comme H. M. Laun, C. Gabriel et C. Kieburg [20], se sont plutôt tournés vers le modèle

de Casson [21] qui arrive à faire une description toute aussi juste mais ne fait intervenir que deux

paramètres plutôt que trois, soit :

τ(B, γ) = (√µC(B)γ +√τC(B))2

si τ > τy

γ = 0 autrement

(2.4)

Le premier paramètre est la viscosité de Casson µC [N s/m2] et le second est la contrainte d’écoulement

de Casson τC [N/m2]. Comme ces paramètres sont affectés par une racine carrée, ils ne peuvent adopter

une valeur négative. Ceci restreint le modèle de Casson à la description de fluides qui se fluidifient

sous l’effet d’un cisaillement accru alors que le modèle de Herschel-Bulkley peut également décrire

les fluides qui ont une tendance à s’épaissir. Comme ceci n’est généralement pas le cas avec les fluides

magnétorhéologiques, l’utilisation du modèle de Casson demeure approprié, voire même préférable,

puisqu’il fait intervenir un paramètre de moins.

2.3 Modèles empiriques adaptés pour la résolution numérique

Les modèles présentés à la section 2.2 ne peuvent être introduits directement dans COMSOL®. En

effet, les outils de résolution numériques requièrent généralement que la contrainte de cisaillement soit

14

exprimée sous la forme τ = µγ . Les modèles présentés jusqu’à présent n’ont pas cette forme a priori

puisque d’autres termes, ne représentant pas cette dépendance linéaire avec le taux de cisaillement,

interviennent dans l’expression de la contrainte de cisaillement. Il apparait alors naturel de remanier

l’expression des modèles précédents de façon à faire ressortir la viscosité apparente µ qui émerge de la

forme τ = µγ . À titre d’exemple, la viscosité apparente µ découlant du modèle de Bingham prendrait

la forme µB+τB/γ car :

τ = µBγ +τB

= (µB+ τB

γ) γ

= µγ

Par contre, lorsque le taux de cisaillement γ approche zéro, la valeur de la viscosité apparente explose

et ceci donne lieu à des instabilités numériques. Les modèles comportementaux présentés au cours de

cette section permettent d’éviter ce problème.

De plus, selon l’état des contraintes dans l’interface de fluide magnétorhéologique, certaines zones

adoptent un comportement solide alors que d’autres adoptent un comportement liquide. Suivre l’em-

placement de la transition d’état est une tâche a priori ardue car ceci implique généralement de ré-

soudre simultanément les deux équations de comportement associées à chacun de ces deux états.

Cependant, les modèles comportementaux présentés au cours de cette section usent d’une approche

différente qui permet d’y parvenir plus facilement. L’influence de la transition d’état sur le couple

transmis peut donc être étudiée et il en est question à la section 2.6.

Les sections 2.3.1, 2.3.2 et 2.3.3 présentent les modèles de Bercovier-Engelman, Papanastasiou et

Susan-Resiga respectivement. Ces modèles ont été retenus puisqu’ils répondent aux besoins mention-

nés. Le comportement liquide et solide est évalué dans un régime en écoulement seulement. L’in-

fluence des zones à l’état solide est prise en compte en leur attribuant une viscosité accrue. Cepen-

dant, ces modèles n’offrent pas la possibilité de suivre la déformation du fluide lorsque les efforts de

cisaillement ne suffisent pas à solliciter le régime en écoulement. Ceci est le principal inconvénient de

ces modèles. Toutefois, ils ont l’avantage d’être faciles à implémenter dans un outil de résolution nu-

mérique tel que COMSOL®. De plus, ces solutions s’adaptent aisément à tous les modèles présentés

plus tôt à la section 2.2. Il est donc facile d’y transposer les données expérimentales puisées dans la

littérature.

2.3.1 Modèle de Bercovier-Engelman

En 1980, M. Bercovier et M. Engelman [13] ont surmonté les problèmes d’implémentation numérique

en proposant quelques modifications au modèle de Bingham. Leur solution revient à introduire un

paramètre de régularisation η au dénominateur de la viscosité pour éviter l’occurrence d’une division

15

par zéro (lorsque γ = 0) se qui rendrait la résolution du problème numérique impossible, soit :

τ(B, γ) = (µB(B)+ τB(B)γ +η

) γ pour tout γ (2.5)

Ce faisant, l’état solide est pris en compte par l’apparition d’une très grande viscosité pour les faibles

taux de cisaillement et l’introduction d’une seconde équation de comportement pour l’état solide

n’est plus nécessaire. Comme le montre la figure 2.4, plus la valeur du paramètre η est petite, plus la

transition entre l’état solide et l’état liquide est abrupte. Ceci a cependant pour effet négatif de rendre

la convergence du problème plus ardue. À l’opposé, plus sa valeur est grande, plus les déviations par

rapport au modèle de Bingham se font importantes, mais la convergence numérique est plus facilement

atteignable. Le paramètre η est donc ajusté par essais et erreurs afin de trouver le bon compromis

entre la stabilité du calcul et la justesse du modèle. La frontière entre l’état solide et l’état liquide peut

alors être approximée par la ligne qui se définit là où la contrainte de cisaillement τ correspond à la

contrainte d’écoulement de Bingham τB tel que présenté à la figure 2.4. Le comportement réel du fluide

magnétorhéologique ne pourra être considéré liquide que si τ ≥ τB (ou plutôt, γ ≥ γc). Autrement, son

comportement réel sera considéré solide. La validité de cette hypothèse repose sur une petite valeur

de η .

µBη diminue

LiquideSolide

Taux de cisaillement γ

Con

trai

nte

deci

saill

emen

tτ

τB

γc

FIGURE 2.4 – Effet du paramètre η introduit par le modèle de Bercovier-Engelman et déterminationde la frontière entre l’état liquide et l’état solide à partir de la contrainte d’écoulement de Bingham τB.

2.3.2 Modèle de Papanastasiou

Une alternative au modèle de Bercovier-Engelman est le modèle de Papanastasiou [22] qui a été dé-

veloppé en 1987. Avec le temps, ce modèle est devenu très populaire pour la simulation numérique de

fluides viscoélastiques. Bien qu’il y ait des différences du point de vue mathématique, l’idée derrière

cette solution demeure essentiellement la même que celle de Bercovier-Engelman. Dans ce modèle,

la contrainte d’écoulement (τB) est affectée par le facteur 1−e(−aγ). Le paramètre a permet de mieux

16

contrôler l’évolution exponentielle de la transition entre l’état solide et l’état liquide.

τ(B, γ) = ⎛⎝µB(B)+ τB(B)(1−e−aγ)γ +η

⎞⎠ γ pour tout γ (2.6)

Lorsque a approche zéro, le comportement décrit correspond à celui d’un fluide newtonien. Encore

plus important, lorsque a approche l’infini, le comportement décrit est équivalent à celui du modèle

de Bingham. En pratique, le paramètre η doit tout de même être ajouté au dénominateur avec γ afin

d’éviter une division par zéro lors du calcul de la viscosité. Par contre, pour le modèle de Papanasta-

siou, cette valeur peut être aussi petite que le permet la précision numérique de l’outil de résolution.

Dans COMSOL®, la valeur eps 1 peut être utilisée à cette fin.

2.3.3 Modèle de Susan-Resiga

Les modèles présentés plus tôt ne peuvent tenir compte de la différence entre la contrainte d’écoule-

ment statique τy,s et la contrainte d’écoulement dynamique τy,d . Plus récemment, en 2007, D. Susan-

Resiga [23] a élaboré un modèle pour représenter cette particularité du comportement des fluides

magnétorhéologiques. Encore une fois, l’approche est très similaire à celles de Bercovier-Engelman

et de Papanastasiou. Essentiellement, il s’agit de décrire le comportement du fluide en combinant deux

fonctions, l’une décrivant les contraintes à l’état solide et l’autre, à l’état liquide. Leurs contributions

respectives sont pondérées par une troisième relation w qui est fonction du taux de cisaillement γ ,

soit :

τ(B, γ) = µ0(B)γ (1−w)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶Solide

+(τ ′(B, γ))w´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶Liquide

pour tout γ (2.7)

L’état solide est décrit par un fluide newtonien auquel lui est attribuée une grande viscosité µ0 et l’état

liquide est décrit par un modèle τ ′(B, γ) au choix (Bingham, Herschel-Bulkley, Casson, etc.). Quant

à la fonction de pondération w, Susan-Resiga propose trois équations 2 sans toutefois préconiser l’une

d’entre elles :

w1 = 1−e−γ/γc , w2 = tanh(γ/γc) , w3 = erf(γ/γc) (2.8)

Ensemble, les paramètres µ0 et γc permettent de contrôler la transition d’état, caractérisée par les

contraintes d’écoulement statique et dynamique. À titre d’exemple, en optant pour le modèle de Bin-

gham et la fonction de pondération w2, le modèle suivant est obtenu :

τ(B, γ) = (µ0(B)[1− tanh( γγc(B))]+[µB(B)+ τB(B)

γ] tanh( γ

γc(B))) γ (2.9)

pour tout γ

1. eps est la précision numérique de l’outil de résolution. Elle correspond à la plus petite valeur qui permet de distinguerdeux nombres différents.

2. Une de ces trois fonctions fait intervenir la « fonction erreur » erf qui est obtenue par l’intégration de de la distributionnormale (qui est une forme normalisée de la fonction de Gaussienne).

17

Le modèle de Susan-Resiga implique deux paramètres supplémentaires (µ0 et γc) par rapport au mo-

dèle τ ′ choisi (Bingham, Herschel-Bulkley, Casson, etc.) et chacun d’eux (µ0 et γc) suppose une

relation additionnelle pour exprimer sa dépendance envers la densité de flux magnétique B. De plus,

l’ajustement de l’ensemble des paramètres du modèle de Susan-Resiga s’avère assez ardu en raison

de leur interdépendance dans la zone de transition. Par ailleurs, le fait de tenir compte de la contrainte

de cisaillement statique peut complexifier l’allure du comportement au point de rendre la convergence

de la méthode des éléments finis plus difficile. Pour ces raisons, les modèles de Bercovier-Engelman

et de Papanastasiou sont habituellement préconisés.

2.3.4 Adaptation de l’approche de Bercovier-Engelman au modèle de Casson

Le fluide BASONETIC® 5030 utilisé dans le cadre de ces travaux dispose d’une très grande fluidité par

rapport à sa contrainte d’écoulement. Ceci le rend particulièrement intéressant pour les applications

d’embrayage. Les caractéristiques de ce fluide sont rendues disponibles de la part du manufacturier

BASF qui l’a caractérisé à partir du modèle de Casson. Donc, pour faire usage des données expé-

rimentales de BASF dans COMSOL®, une des trois méthodes empiriques doit être adaptée pour le

modèle de Casson.

Dans le cadre de ce projet, la méthode de Bercovier-Engelman a été adaptée. Pour ce faire, il suffit

simplement d’exprimer le modèle de Casson sous la forme τ = µγ . Ceci permet de mettre en évidence

l’expression de la viscosité µ . L’occurrence d’une division par zéro lorsque γ devient nulle est évitée

en introduisant le paramètre η aux dénominateurs (de la même façon que Bercovier et Engelman ont

procédé avec le modèle de Bingham). Le modèle de Casson-Bercovier-Engelman est alors obtenu :

τ(B, γ) = ⎛⎜⎝τc(B)γ +η

+2

¿ÁÁÀτc(B)µc(B)γ +η

+µc(B)⎞⎟⎠´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶µ

γ pour tout γ (2.10)

Pour la suite de la démarche, il n’est question que du modèle de Casson-Bercovier-Engelman. Tou-

tefois, l’emploi de la méthode de Bercovier-Engelman est un choix subjectif et l’approche de Papa-

nastasiou aurait été tout fait adéquate. À titre d’information, le modèle de Casson-Papanastasiou va

comme suit :

τ(B, γ) = ⎛⎜⎝¿ÁÁÀτc(B)

γ +η(1−e−

√aγ)+√

µc(B)⎞⎟⎠2

γ pour tout γ (2.11)

18

2.4 Détermination des paramètres de Casson en fonction de la densitéde flux magnétique

Le modèle de Casson-Bercovier-Engelman présenté à la section 2.3.4 a besoin d’être complété par

des données expérimentales afin de bien représenter le comportement réel du fluide. Afin de mettre en

contexte les mesures expérimentales effectuées par BASF, la méthode de caractérisation est d’abord

introduite à la section 2.4.1. Ces données expérimentales sont ensuite présentées à la section 2.4.2

et comme elles ont été caractérisées grâce au modèle de Casson, la section 2.4.3 s’attarde à lier les

valeurs des paramètres τc et µc avec la densité de flux magnétique B.

2.4.1 Méthode de caractérisation du fluide magnétorhéologique utilisé

Un rhéomètre est un appareil de laboratoire permettant d’étudier les propriétés d’écoulement (ex. : vis-

cosité) d’un liquide ou d’une suspension en réponse à une force appliquée. Les efforts de caractérisa-

tion de BASF ont mené au développement une cellule magnétique spécialisée (MRD180/1T) pour le

rhéomètre Physica MCR501 d’Anton Paar. Cette cellule contrôle le flux magnétique qui traverse deux

interfaces (d’épaisseur h) de fluide magnétorhéologique de part et d’autre d’un disque en rotation et

le rhéomètre mesure le couple résultant pour en déterminer la viscosité. La figure 2.5 montre une vue

de section du montage expérimental.

FIGURE 2.5 – Vue de section de la cellule magnétique (MRD180/1T pour le rhéomètre PhysicaMCR501 d’Anton Paar) développée par BASF pour la caractérisation de fluides magnétorhéologiques.L’interface de fluide a une épaisseur de 0,3 [mm]. Le disque a un diamètre de 19,4 [mm] et une épais-seur de 1 [mm]. L’arbre qui maintient le disque en rotation a un diamètre de 5 [mm]. Traduit de :C. Gabriel [20]

Comme la géométrie du montage montre de fortes ressemblances avec un embrayage magnétorhéolo-

gique à disque (qui n’en possède qu’un seul), cette méthode de caractérisation s’avère idéale pour le

type d’application étudié, mais il y a un inconvénient. En effet, en raison de la variation de γ avec la

19

distance r de l’axe de rotation du disque (γ = γ(r)), la mesure de la contrainte de cisaillement ne peut

s’effectuer pour un γ donné. Par conséquent, la contrainte cisaillement τ(γ) doit être déduite par une

méthode indirecte. La figure 2.6 soutient les explications liées à cette méthode.

Taux de cisaillement γ = rω/h

Con

trai

nte

deci

saill

emen

tτ

τa(γR)τ(γR)

γRγR

τa(γ)τ(γ)

µ

FIGURE 2.6 – Signification de la contrainte de cisaillement apparente τa et de la contrainte de cisaille-ment réelle τR. γ correspond au taux de cisaillement à l’extrémité du disque de rayon R.

À partir d’une mesure de couple M, prise à une vitesse de rotation ω donnée, une première estima-

tion de la contrainte de cisaillement à l’extrémité du disque (où r = R et γR ≡ γ(R)) est effectuée en

supposant un comportement newtonien et un écoulement de Couette. Bien qu’elle ne corresponde

pas à la valeur réelle τ(γR) recherchée (car le comportement réel est non-newtonien), cette contrainte

de cisaillement apparente τa(γR) nouvellement obtenue s’avère tout de même représentative de l’état

des contraintes τ(r) sur l’ensemble du disque pour une vitesse de rotation ω donnée. En cumulant

plusieurs valeurs de τa(γR) pour différentes vitesses de rotation ω , il s’avère que la courbe résul-

tante τa(γ) contient toute l’information permettant de déterminer indirectement la véritable contrainte

de cisaillement τ(γ). Weissenberg et Rabinowitsch [20] ont déterminé le lien pour passer de τa(γ)à τ(γ), soit :

τ(γ) = τa(γ)(3+n4

) où n ≡ γτa(γ) dτa(γ)

dγ(2.12)

En ce qui concerne τa(γR) utilisé pour tracer la courbe τa(γ), son expression se dérive comme suit.

D’abord, tel que mentionné précédemment, un comportement newtonien (τ(r) = µγ(r)) et un écoule-

ment de Couette (γ(r) =ωr/h) sont supposés, de telle sorte qu’à l’extrémité du disque :

τa(γR) = µγR et γR = ωRh

(2.13)

À partir de ces hypothèses, il suffit d’effectuer l’intégrale M = 2π ∫ R0 τ(r)r2 dr pour affirmer que :

M(γR) = πR3

2µγR (2.14)

et alors, en combinant les équations 2.13 et 2.14, l’expression de τa(γR) est obtenue, soit :

τa(γR) = 2M(γR)πR3 (2.15)

20

Quelques corrections présentées à l’annexe A.1 doivent toutefois s’appliquer pour tenir compte des

particularités géométriques du montage expérimental de BASF. Pour tous les détails liés à cette mé-

thode de caractérisation, BASF réfère à l’article de H. M. Laun [24].

2.4.2 Données expérimentales du comportement du fluide magnétorhéologique utilisé

Pour couvrir l’ensemble de la plage de fonctionnement de l’embrayage, tant à ce qui a trait au taux

de cisaillement qu’à la densité de flux magnétique, les données expérimentales du comportement du

fluide BASONETIC® 5030 de BASF ont dues être recueillies à partir de deux sources de données

distinctes puisqu’aucune source n’était complète :

Première source de données expérimentalesLes données expérimentales (triangles) présentées à la figure 2.7 proviennent de l’article de

C. Gabriel [20]. Elles décrivent l’évolution de la contrainte de cisaillement τ dans le fluide BA-

SONETIC® 5030 pour différents taux de cisaillement γ et différentes densités de flux magné-

tique B. Les échelles logarithmiques permettent de mieux représenter l’ensemble des données

ainsi que leurs importances relatives. Les courbes (traits continus) de la figure 2.7 sont obte-

nues par l’ajustement des paramètres du modèle de Casson. Ces valeurs sont tirées de l’article

de Gabriel [20] et ont été retranscrites au tableau 2.1.

TABLEAU 2.1 – Contrainte d’écoulement τC et viscosité µC de Casson du fluide BASONETIC® 5030de BASF pour différentes densités de flux magnétique B (∥B∥). Source : C. Gabriel [20]

B τC µC[V s/m2] [N/m2] [N s/m2]0 6 0,11

0,054 401 0,090,11 1600 0,120,21 6700 0,080,44 23300 0,040,65 44000 00,82 58100 0

Les taux de cisaillement pour lesquels les valeurs expérimentales sont disponibles couvrent

amplement la plage d’opération de l’embrayage en ce qui a trait au taux de cisaillement. En

effet, celui-ci ne devrait pas excéder les 1000 [1/s]. Par contre, ce n’est pas le cas en ce qui a

trait à la densité de flux magnétique qui peut aisément dépasser 1,2 [V s/m2] dans l’interface

de fluide. Pour l’instant, les données expérimentales couvrent une plage qui s’étend jusqu’à

0,82 [V s/m2] et de toute évidence, cela ne suffit pas. Par conséquent, cette première source de

données doit être complétée par une source additionnelle.

21

10−2 10−1 100 101 102 103100

101

102

103

104

105

B =0 [V s/m2]

0,054 [V s/m2]

0,11 [V s/m2]

0,21 [V s/m2]

0,44 [V s/m2]

0,82 [V s/m2]0,65 [V s/m2]

Taux de cisaillement γ [1/s]

Con

trai

nte

deci

saill

emen

tτ[N

/m2 ]

FIGURE 2.7 – Évolution de la contrainte de cisaillement du fluide BASONETIC® 5030 de BASFpour différents taux de cisaillement γ et différentes densités de flux magnétique B (∥B∥). Les tri-angles () correspondent aux données corrigées provenant du montage expérimental de BASF et lestraits continus (–) proviennent de l’ajustement du modèle de Casson pour ces données expérimen-tales. Les valeurs des paramètres de Casson correspondant sont présentées au tableau 2.1. Source :C. Gabriel [20]

Seconde source de données expérimentalesLa seconde source provient d’une communication [25] datant de juillet 2010 entre le Labora-

toire des Système Mécanique Intelligent (LSMI) et C. Kieburg de BASF. Cette fois, les données

fournies correspondent à la contrainte de cisaillement apparente τa et à la densité de flux ma-

gnétique B, mais elles se trouvent toujours à l’état brut. Ces données présentées à l’annexe A

sont alors corrigées suivant les spécifications introduites à la section 2.4.1. Contrairement à la

première série de données, celle-ci s’étend jusqu’à 1,37 [V s/m2] et couvre la plage d’opération

de l’embrayage en ce qui a trait à la densité de flux magnétique. Cependant, ces données ne

sont disponibles que pour un taux de cisaillement de 100 [1/s]. Toutefois, selon la figure 2.7,

pour les densités de flux magnétique qui s’étendent au-delà de 0,65 [V s/m2], il est constaté

que le taux de cisaillement n’a pratiquement plus d’effet sur la contrainte de cisaillement. Par

conséquent, la contrainte d’écoulement de Casson τC vient correspondre à la contrainte de ci-

saillement qui est sensiblement la même sur l’ensemble de la surface du disque. Cette seconde

série de données peut donc être utilisée pour compléter la portion manquante qui s’étend au-

delà de 0,82 [V s/m2] et c’est ce qui explique l’utilisation de celles-ci pour résoudre un problème

fondamentalement statique.

22

La figure 2.8 présente les contraintes τC correspondant aux deux sources. Les triangles () proviennent

de la première source et les cercles () proviennent de la seconde pour laquelle il est supposé que

τC = τy,d parce que τy,d demeure constant selon la figure 2.7 pour B > 0,65 [V s/m2]. Il est observé que

les deux sources de données se complètent et s’accordent très bien.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,40

0,2

0,4

0,6

0,8

1⋅105

Densité du flux magnétique B [V s/m2]

Con

trai

nte

d’éc

oule

men

tτc

[N/m

2 ]

FIGURE 2.8 – Contrainte d’écoulement du fluide magnétorhéologique BASONETIC® 5030 de BASFen fonction de la densité du flux magnétique B (∥B∥). La première source de données expérimentales,représentée par des triangles (), correspond aux contraintes d’écoulement de Casson τC présentées autableau 2.1. La seconde source de données, représentée par des cercles (), correspond aux contraintesd’écoulement dynamique τy,d pour un taux de cisaillement γ de 100 [1/s] et pour une densité de fluxmagnétique B > 0,65 [V s/m2]. Le trait continu (–) est une interpolation (eq. 2.16) effectuée à partir deces deux sources de données combinées.

Dans les deux cas, les données expérimentales provenant de BASF sont obtenues lorsque le fluide

est sollicité en glissement. Ainsi, aucune donnée présentée ici ne permet de déduire la contrainte

d’écoulement statique τy,s. Ces données ne sont donc valables que pour la contrainte d’écoulement

dynamique τy,d . À la connaissance de l’auteur, les données statiques pour le fluide BASONETIC®

5030 de BASF ne se trouvent pas dans la littérature.

2.4.3 Expression analytique des paramètres de Casson

Le modèle de Casson est utilisé afin de définir la contrainte de cisaillement en fonction du taux de

cisaillement. Cependant, la contrainte de cisaillement varie aussi en fonction de la densité de flux

23

magnétique B. Il faudra donc déterminer les relations liant les valeurs des paramètres de Casson à

la densité de flux magnétique. Dans la littérature, il ne semble pas y avoir de consensus quant à

l’utilisation de modèles particuliers permettant de lier les valeurs de ces paramètres avec l’évolution

de la densité de flux magnétique. Souvent, ces valeurs sont liées via une relation d’ajustement simple

(polynomiale, sinusoïdale, etc.), sans aucun lien avec le phénomène physique rencontré.

Contrainte d’écoulement de CassonDans le cadre de ce travail, l’équation analytique suivante a été choisie pour interpoler la contrainte

d’écoulement de Casson τC en fonction de la densité de flux magnétique :

τC = τmaxsin(π2

sin(π2

BBsat

))2(2.16)

D’après les données expérimentales présentées à la figure 2.8, la contrainte d’écoulement maxi-

male τmax de 85500 [N/m2] est atteinte lorsque la densité de flux magnétique atteint Bsat de 1,98

[V s/m2]. Le coefficient de détermination 3 R2 est de 0,9998 ce qui permet d’affirmer que l’interpo-

lation représente très bien les données expérimentales. La courbe qui en résulte est superposée aux

données expérimentales présentées à la figure 2.8. Comme les données expérimentales sont inexis-

tantes passées 1,39 [V s/m2], la validité de cette courbe peut-être remise en question pour la plage

qui s’étend au-delà de cette valeur. Il faut donc porter une attention particulière aux comportements

observés si les densités de champ magnétique rencontrées dans le fluide magnétorhéologique sont

supérieures à 1,39 [V s/m2].

Viscosité de CassonLes données de la viscosité de Casson µC regroupées au tableau 2.1 sont illustrées à la figure 2.9 en

utilisant des triangles (). Pour B variant de 0 à 0,65 [V s/m2], il est constaté que le comportement est

bien approximé par une droite de pente négative. Par conséquent, une simple régression linéaire est

utilisée pour représenter ces données pour B < 0,65 [V s/m2], soit :

µC = −0,186[V/N] ⋅B+0,1225 [N s/m2] (2.17)

Cette fois, le coefficient de détermination R2 est de 0,95.

Finalement, à partir des équations 2.10, 2.16 et 2.17, il devient maintenant possible d’estimer analy-

tiquement la contrainte de cisaillement τ dans le fluide à partir de n’importe quelle densité de flux

magnétique B ou de taux de cisaillement γ . À titre indicatif, la figure 2.10 montre l’allure du com-

portement de la contrainte de cisaillement tel qu’utilisée dans le modèle COMSOL®. Le paramètre

de Bercovier-Engelman η a été fixé à 0,1. L’effet de ce paramètre se perçoit par la pente très abrupte

associée aux petites valeurs de taux de cisaillement.

3. Pour une série de n valeurs notées yi (i = 1...n), chacune d’elle étant associée à une valeur fi prédite par un modèle

de régression, le coefficient de détermination est défini comme suit : R2 ≡ 1− ∑ni=1(yi− fi)2

∑ni=1(yi−y)2 où y = 1

n∑ni=1 yi. Le coefficient de

détermination R2 varie entre 0 et 1. Plus sa valeur s’approche de 1, plus le pouvoir prédictif du modèle est fort.

24

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,00

0,05

0,10

Densite du flux magnetique B [V s/m2]V

isco

site

deC

asso

nµ C

[Ns/

m2 ]

FIGURE 2.9 – Évolution de la viscosité de Casson µC du fluide magnétorhéologique BASONETIC®

5030 de BASF en fonction de la densité du flux magnétique B (∥B∥). Source : C. Gabriel [20]

FIGURE 2.10 – Contrainte de cisaillement τ en fonction de la densité de flux magnétique B et du tauxde cisaillement γ . Les données présentés ont été ajustées avec le modèle Casson-Bercovier-Engelmanaux données expérimentales provenant du fluide BASONETIC® 5030 de BASF en écoulement. Leflanc du côté gauche correspond au comportement solide (très visqueux) du fluide magnétorhéolo-gique.

2.5 Implémentation d’un modèle d’écoulement dans COMSOL®

Les outils nécessaires à la résolution de l’écoulement du fluide magnétorhéologique dans l’embrayage

sont disponibles dans COMSOL® de façon native, mais seulement pour un repère cartésien tridimen-

sionnel. Comme l’étape d’optimisation à venir requiert un grand nombre d’évaluations, le souhait est

d’exploiter la symétrie de révolution de l’embrayage afin de rendre la résolution du problème plus

25

efficace. Sous ces conditions, l’introduction d’un modèle d’écoulement dans la version 4.1 de COM-

SOL® n’est pas triviale. En effet, les équations qui régissent l’écoulement des fluides n’ont pas été

implémentées dans le cadre de résolution requis.

Afin de rendre possible l’exploitation de la symétrie de révolution de l’embrayage, ces équations sont

d’abord introduites dans un repère cylindrique (section 2.5.1). Elles sont ensuite simplifiées (sec-

tion 2.5.2) suivant les spécificités du problème. L’état des contraintes et l’expression du taux de ci-

saillement dans le fluide sont développés pour un repère cylindrique aux sections 2.5.3 et 2.5.4 respec-

tivement. Ceux-ci permettent de procéder au calcul de la viscosité présenté plus tôt aux sections 2.3

et 2.4. Le problème est finalement formulé dans son intégralité à la section 2.5.5. La méthode des élé-

ments finis nécessite toutefois d’exprimer ce problème sous sa formulation variationnelle. Celle-ci est

dérivée à la section 2.5.6. Tous les éléments sont alors en place afin de procéder à la résolution du sys-

tème d’équations décrivant l’écoulement des fluides magnétorhéologiques dans un repère cylindrique.

Lorsque l’état des contraintes dans le fluide est connu, le calcul du couple transmis par l’embrayage

peut enfin être effectué. Cette étape est détaillée à la section 2.5.7, ce qui permet d’atteindre le princi-

pal objectif du présent chapitre.

2.5.1 Équations de Navier-Stokes dans un système de coordonnées cylindriques

Bien que ce ne soit pas réellement le cas, les données expérimentales et les modèles présentés plus

tôt suggèrent un comportement isotrope et une dispersion homogène des particules ferromagnétiques

dans le fluide. Pour s’y conformer, l’écoulement doit être décrit par un seul champ de vitesse v. Celui-

ci est résolu grâce aux équations de Navier-Stokes qui constituent le bilan des forces agissant sur un

volume infinitésimal de fluide. Leur formulation générale s’écrit comme suit :

ρ (∂ v∂ t

+v ⋅∇v) = −∇p+∇⋅τ + f (2.18)

Les termes à gauche de l’égalité correspondent aux forces inertielles associées à un élément infinité-

simal de fluide de densité ρ [kg/m3] et de vitesse v [m/s]. À droite de l’égalité, le terme −∇p décrit

la force par unité de volume due à la variation de pression p [N/m2] dans le fluide. Le terme suivant

qui fait intervenir le tenseur des contraintes visqueuses τ [N/m2], décrit les forces visqueuses liées

à la vitesse de déformation du fluide. L’effet d’un champ de force externe, tel la gravité, est pris en

compte par f [N/m3]. Les équations de Navier-Stokes sont également accompagnées de l’équation de

continuité qui permet d’assurer la conservation de la masse du système, soit :

∂ ρ∂ t

+∇⋅(ρv) = 0 (2.19)

Afin d’exploiter la symétrie de révolution de l’embrayage magnétorhéologique, ces équations doivent

être exprimées dans un système de coordonnées cylindriques (er, eθ , ez) tel que montré à la figure 2.11.

26

En coordonnées cylindriques, l’équation 2.18 devient [26] :

ρ (∂vr

∂ t+vr

∂vr

∂ r+ vθ

r∂vr

∂θ+vz

∂vr

∂ z− v2

θr) = −∂ p

∂ r+ ∂ τrr

∂ r+ 1

r∂ τθr

∂θ+ ∂ τzr

∂ z+ τrr

r+ τθθ

r+ fr (2.20)

ρ (∂vθ

∂ t+vr

∂vθ

∂ r+ vθ

r∂vθ

∂θ+vz

∂vθ

∂ z+ vrvθ

r) = −1

r∂ p∂θ

+ ∂ τrθ

∂ r+ 1

r∂ τθθ

∂θ+ ∂ τzθ

∂ z+ τrθ

r+ τθr

r+ fθ (2.21)

ρ (∂vz

∂ t+vr

∂vz

∂ r+ vθ

r∂vz

∂θ+vz

∂vz

∂ z) = −∂ p

∂ z+ ∂ τrz

∂ r+ 1

r∂ τθz

∂θ+ ∂ τzz

∂ z+ τrz

r+ fz (2.22)

O

ez

ex

ey

r

ez

eθP1 er

θ

ez

eθP2 er

z

FIGURE 2.11 – Système de coordonnées cylindriques.

2.5.2 Hypothèses et simplifications

Cette section présente les hypothèses faites pour simplifier le modèle d’écoulement, soit :

Régime permanentSeul le régime permanent est considéré dans le cadre de ce mémoire parce que l’application

visée n’opère qu’en régime permanent et que l’optimisation n’est basée que sur les niveaux de

couples, une fois qu’ils sont bien établis. Toutes les dérivées par rapport au temps intervenant

dans les équations 2.20, 2.21 et 2.22 sont donc nulles. Entre autres, le terme faisant intervenir

la pression dans l’équation de continuité (eq. 2.19) s’élimine et l’équation devient :

ρ∇⋅v = 0 (2.23)

puisque ρ est constante. Le divergent du champ de vitesse ∇⋅v devient donc nulle ce qui revient

à supposer l’incompressibilité du fluide. Cette hypothèse est tout à fait valable puisque les

vitesses en jeu sont bien inférieures à la vitesse de propagation du son dans le fluide.

Symétrie de révolutionComme il est prévu d’exploiter la symétrie de révolution de l’embrayage magnétorhéologique,

il sera impossible de suivre l’évolution de la vitesse par rapport à la coordonnée angulaire. Ceci

oblige à ce que toutes les dérivées par rapport à cette dernière soit nulles.

27

Circulation du fluide négligéeLa force centrifuge engendrée par la rotation d’un disque peut toujours initier une circulation

du fluide dans le plan r − z. Cependant, l’effet de cette circulation sur le couple est supposé

minime puisque la viscosité relativement élevée du fluide et l’espace relativement faible entre

les disques sont des facteurs limitant cette circulation. Conséquemment, les composantes radiale

et axiale de la vitesse, vr et vz, peuvent être fixées à zéro sans avoir d’impact significatifs sur la

valeur du couple transmis, soit :

vr = vz = 0 (2.24)

Champs de forces externes négligésEnfin, l’effet des champs de forces externes est négligé, soit :

f = 0 (2.25)

Premièrement, il y a des forces externes gravitationnelles. Bien que la gravité soit à l’origine de

la sédimentation des particules ferromagnétiques, son importance s’avère négligeable par rap-

port aux phénomènes qui règnent dans le fluide lorsque ce dernier est sollicité mécaniquement

ou magnétiquement.

Ces forces externes peuvent aussi avoir une origine magnétique. Cependant, l’effet des forces

magnétiques est déjà pris en compte par la viscosité du fluide qui varie avec la densité de flux

magnétique. Par conséquent, il convient ici de ne pas prendre en considération l’influence du

champ magnétique dans le terme f .

En appliquant ces simplifications, les équations de Navier-Stokes deviennent :

−ρv2

θr= −∂ p

∂ r+ ∂ τrr

∂ r+ ∂ τzr

∂ z+ τrr

r+ τθθ

r(2.26)

0 = ∂ τrθ

∂ r+ ∂ τzθ

∂ z+ τrθ

r+ τθr

r(2.27)

0 = −∂ p∂ z

+ ∂ τrz

∂ r+ ∂ τzz

∂ z+ τrz

r(2.28)

De toute évidence, ceci a mené à l’élimination de plusieurs termes. Toutefois, ces équations peuvent

être simplifiées davantage. Seulement, il est d’abord nécessaire de détailler l’état des contraintes vis-

queuses dans le fluide.

2.5.3 Calcul des contraintes visqueuses dans le fluide magnétorhéologique

Les contraintes visqueuses τ sont proportionnelles au taux de déformation D d’un élément infinité-

simal de fluide. Puisque cet élément est incompressible, le tenseur des contraintes visqueuses s’écrit

28

simplement comme suit [26] :

τ(B, γ) = 2µ(B, γ)D pour tout γ (2.29)

où µ [N s/m2] est la viscosité provenant d’un des modèles d’écoulement présentés à la section 2.3 et

où le taux de cisaillement est défini dans le contexte tridimensionnel à la section 2.5.4. Le tenseur du

taux de déformation est dicté par la partie symétrique du gradient de vitesse ∇v, soit [26] :

D = 12(∇v+(∇v)T) (2.30)

Encore une fois, ces tenseurs doivent être exprimés dans un système de coordonnées cylindriques. Le

gradient du champ de vitesse ∇v s’écrit alors comme suit :

∇v =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

∂ vr

∂ r1r

∂ vr

∂θ− vθ

r∂ vr

∂ z∂ vθ

∂ r1r

∂ vθ

∂θ+ vr

r∂ vθ

∂ z∂ vz

∂ r1r

∂ vz

∂θ∂ vz

∂ z

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(2.31)

Les simplifications effectuées plus tôt pour les équations de Navier-Stokes peuvent aussi être appli-

quées sur le gradient du champ de vitesse. Ainsi, les termes qui font intervenir une dérivée par rapport

à la coordonnée angulaire θ et ceux qui font intervenir les composantes radiale et axiale de la vitesse

(vr et vz) sont éliminées, soit :

∇v =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 −vθ

r0

∂ vθ

∂ r0

∂ vθ

∂ z

0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(2.32)

Le tenseur du taux de déformation D est obtenu en insérant cette dernière expression dans l’équa-

tion 2.30 :

D = 12

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0∂ vθ

∂ r− vθ

r0

∂ vθ

∂ r− vθ

r0

∂ vθ

∂ z

0∂ vθ

∂ z0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(2.33)

En substituant dans l’équation 2.29, l’expression suivante est obtenue pour le tenseur des contraintes

visqueuses τ :

τ(B, γ) = µ(B, γ)⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0∂ vθ

∂ r− vθ

r0

∂ vθ

∂ r− vθ

r0

∂ vθ

∂ z

0∂ vθ

∂ z0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦pour tout γ (2.34)

29

Ainsi, τrr = τθθ = τzz = τrz = τzr = 0 τrθ = τθr = µ(B, γ)(∂ vθ

∂ r− vθ

r) et τθz = τzθ = µ(B, γ)∂ vθ

∂ z.

2.5.4 Calcul du taux de cisaillement dans le fluide magnétorhéologique

La viscosité qui entre dans la formulation du tenseur des contraintes visqueuses (eq. 2.34) correspond

à la viscosité des modèles d’écoulement qui ont été présentés plus tôt à la section 2.3. Celle-ci varie

en fonction du taux de cisaillement γ dans le fluide et jusqu’à présent, ce dernier n’a toujours pas été

exprimé dans un cadre tridimensionnel. C’est ce dont il est question ici.

Le taux de cisaillement γ dans le fluide est lié au tenseur du taux de déformation D et plus spécifique-

ment, à son second invariant IID

, soit [26] :

γ = 2√∣II

D∣ (2.35)

Le second invariant IID

du tenseur du taux de déformation est une valeur caractéristique du tenseur qui

est indépendante du repère dans lequel il s’exprime. Dans un système de coordonnées cylindriques, le

second invariant se calcule comme suit [26] :

IID=DrrDθθ +Dθθ Dzz+DzzDrr −D2

rθ −D2θz−D2

zr (2.36)

En y substituant les composantes du tenseur du taux de déformation D obtenues à l’équation 2.33,

l’expression devient :

IID= −1

4(∂ vθ

∂ r− vθ

r)2− 1

4(∂ vθ

∂ z)2

(2.37)

Puisque les termes entre parenthèses sont élevés au carré, ces derniers sont nécessairement positifs

et la valeur absolue requise dans l’équation 2.35 est donc obtenue en éliminant les signes négatifs

devant chacun de ces termes. Ainsi, l’expression du taux de cisaillement γ [1/s] dans un système de

coordonnées cylindriques devient :

γ =¿ÁÁÀ(∂ vθ

∂ r− vθ

r)2+(∂ vθ

∂ z)2

(2.38)

2.5.5 Formulation forte du problème

Bien que la formulation forte n’est pas nécessaire à l’implémentation du modèle numérique de l’écou-

lement des fluides magnétorhéologique dans COMSOL®, elle est présentée ici à titre informatif. En

introduisant les composantes du tenseur des contraintes visqueuses de l’équation 2.34 dans les équa-

30

tions 2.26, 2.27 et 2.28, le système d’équations suivant est obtenu :

ρv2

θr= ∂ p

∂ r

0 = ∂∂ r

[µ(B, γ)(∂ vθ

∂ r− vθ

r)]+ ∂

∂ z[µ(B, γ)(∂ vθ

∂ z)]+ 2µ(B, γ)

r(∂ vθ

∂ r− vθ

r)

0 = ∂ p∂ z

(2.39)

(2.40)

(2.41)

Puisque la viscosité µ varie selon la densité de flux magnétique qui est fonction de r et z, elle ne peut

être extraite des dérivées spatiales et par conséquent, il n’est plus possible de simplifier davantage. Le

principal constat est que le champ de vitesse tangentielle est dicté uniquement par l’équation 2.40 et

que sa résolution est totalement indépendante du champ de pression décrit par les équations 2.39 et

2.41.

2.5.6 Formulation faible

La formulation faible est une autre manière d’énoncer un problème physique régi par des équations

aux dérivées partielles. La méthode des éléments finis utilise les principes hérités de la formulation

faible (ou formulation variationnelle) afin de déterminer les solutions numériques approchées du pro-

blème d’origine. Conséquemment, la formulation forte ne peut être introduite dans COMSOL® di-

rectement. Elle doit d’abord être exprimée sous sa formulation faible et cette section traite de sa

dérivation.

Pour ce faire, les hypothèses introduites plus tôt sont encore une fois appliquées à la formulation

générale des équations de Navier-Stokes (eq. 2.18). De plus, comme il a été constaté à la section

précédente, la force radiale engendrée par le gradient de pression n’a pas d’influence sur la vitesse

tangentielle. Dans l’optique de résoudre le champ de vitesse tangentielle uniquement, le terme lié à la

différence de pression (−∇p) peut être écarté, soit :

0 =∇⋅τ (2.42)

Pour obtenir la formulation faible, cette équation est d’abord multipliée par un vecteur ψ de fonc-

tions « test » (qui sont arbitraires mais différentiables) après quoi elle est intégrée sur le domaine de

résolution Ω, soit :

0 = ∫Ω

(∇⋅τ) ⋅ψ dV (2.43)

où dV est un élément infinitésimal de volume. Il s’agit alors d’exprimer cette équation de façon à

ne pas faire intervenir de dérivés secondes. Cette équation en possède, car le tenseur des contraintes

visqueuses contient des dérivées premières qui sont ensuite affectées par un divergent (∇⋅). Grâce à

l’identité (∇⋅τ) ⋅ψ = −τT ∶ ∇ψ +∇⋅(τ ⋅ψ) une nouvelle formulation est obtenue :

0 = −∫Ω

τT ∶ ∇ψ dV +∫

Ω

∇⋅(τ ⋅ψ) dV (2.44)

31

où l’opération (∶) est le produit intérieur de deux tenseurs (A ∶ B ≡ Ai jBi j), tel que :

τT ∶ ∇ψ = µ(B, γ)[(∂vθ

∂ r− vθ

r) ⋅ ∂ψθ

∂ r+ ∂vθ

∂ z⋅ ∂ψθ

∂ z] (2.45)

car ∂ψr/∂θ = ∂ψθ /∂θ = 0 en raison de la symétrie de révolution. Le second terme de l’équation 2.44

présente toujours des dérivées secondes et il est possible de les éliminer grâce au théorème de Gauss.

La formulation faible du problème est enfin obtenue :

0 = −∫Ω

τT ∶ ∇ψ dV +∫

δΩ

(τ ⋅ψ) ⋅ndS (2.46)

où δΩ est la frontière du domaine de résolution et dS est un élément infinitésimal de cette frontière.

Le premier terme de l’équation 2.46 s’applique au domaine de résolution et contient l’information

relative au comportement du fluide magnétorhéologique. Pour résoudre son écoulement, ce terme

doit être introduit explicitement dans COMSOL®. Pour ce faire, il convient avant tout de substituer

l’équation 2.34 dans l’équation 2.46 et de développer le produit intérieur, tel que :

0 = ∫Ω

µ(B, γ)[(∂vθ

∂ r− vθ

r) ⋅ ∂ψθ

∂ r+ ∂vθ

∂ z⋅ ∂ψθ

∂ z] dV (2.47)

pour le domaine de résolution Ω, excluant ses frontières δΩ. Alors, dans le module physique « EDP,

Forme faible » de COMSOL®, il suffit de spécifier la variable à résoudre, soit la vitesse tangentielle vθ

(renommée v lors de l’implémentation), et d’introduire à l’endroit prévu à cette fin le contenu de

l’intégrale de l’équation 2.47 s’appliquant au domaine de résolution Ω, soit :

mu*((d(v,r)-v/r)*test(vr)+d(v,z)*test(vz))

où r et z sont les coordonnées radiale et axiale respectivement, d(v,r) et d(v,z) sont les dérivées

de la vitesse tangentielle par rapport aux coordonnées radiale et axiale, test(vr) et test(vz) sont

les composantes radiale et axiale du vecteur ψ de fonctions « test » et mu est la viscosité du fluide

magnétorhéologique.

Quant au second terme de l’équation 2.46, celui-ci s’applique seulement aux frontières du domaine

de résolution δΩ et dicte l’effet de ces frontières sur le comportement du fluide magnétorhéologique.

COMSOL® gère ce terme en permettant de dicter la vitesse tangentielle vθ à la surface des disques de

l’embrayage grâce à une entrée prévue à cette fin. Il en sera davantage question aux sections 2.6.2 et

3.4.2, lorsque le problème sera mieux défini.

2.5.7 Calcul du couple transmis par l’interface de fluide magnétorhéologique

Tous les éléments sont maintenant en place afin de procéder au calcul du couple transmis à travers

l’interface de fluide magnétorhéologique. Deux méthodes ont été envisagées pour calculer le couple M

transmis par l’embrayage :

32

Méthode n°1La première méthode revient à calculer l’intégrale du couple engendré par la contrainte de

cisaillement dans le fluide sur une surface séparant les deux ensembles de disques. L’emploi de

la symétrie de révolution permet d’omettre une dimension et l’intégrale de surface devient alors

une intégrale de ligne sur L, soit :

M = ∫L

r(µ γ)2π rdL (2.48)

Méthode n°2La seconde méthode consiste d’abord à calculer la puissance P dissipée par les effets visqueux.

Cela s’effectue en intégrant le produit intérieur du tenseur des contraintes visqueuses τ avec

le gradient de vitesse ∇v sur l’ensemble du volume occupé par le fluide magnétorhéologique.

Après avoir effectué le produit intérieur et substitué les composantes du tenseur des contraintes

visqueuses (eq. 2.34), l’équation suivante est obtenue :

P = ∫Ω

τ ∶ ∇vdV = ∫Ω

µ [(∂vθ

∂ r− vθ

r)2+(∂vθ

∂ z)2] dV (2.49)

Encore une fois, grâce à la symétrie de révolution, l’intégrale de volume devient une intégrale

de surface sur Ω. Par la suite, le couple transmis peut être déduit à partir de la différence de

vitesse angulaire ∆ω et de la puissance P dissipée, soit :

M = P∆ω

(2.50)

Même si les deux méthodes sont en théorie équivalentes, la seconde conduit à des valeurs plus co-

hérentes, moins bruitées d’une évaluation à l’autre. En effet, la seconde méthode s’appuie sur une

plus grande quantité d’information car au lieu de s’appliquer sur une ligne, l’intégration s’effectue

sur une surface. Le moyennage produit une valeur plus stable, plus immune aux variations de nature

numérique. Comme la discrétisation du domaine de résolution s’effectue au moyen d’éléments qua-

dratiques, ceci s’avère toujours véridique même si l’épaisseur de l’interface de fluide n’est représentée

que par un seul élément. Tout compte fait, c’est la seconde méthode qui a été choisie pour évaluer le

couple transmis.

Cette implémentation oblige une différence de vitesse angulaire non nulle pour engendrer un taux

de cisaillement dans le fluide et ainsi rendre possible l’estimation du couple. En fait, le taux de ci-

saillement (ou la différence de vitesse angulaire) appliqué doit être assez grand pour solliciter ce qui

est considéré par le modèle comme étant l’état liquide (voir figure 2.4). Pour s’en assurer, une diffé-

rence de vitesse minimale ωc est imposée entre les disques pour correctement évaluer le couple en

glissement. Il en est davantage question à la section 3.9.

Pour récapituler, le calcul de la vitesse tangentielle (eq. 2.47) dépend de la viscosité (par exemple :

eq. 2.10) qui à son tour dépend du taux de cisaillement (eq. 2.38) et qui, enfin, dépend à nouveau de la

33

vitesse tangentielle (eq. 2.47). Autrement dit, la connaissance de chacune de ces variables requière la

connaissance des autres. Un processus itératif est donc nécessaire à leur résolution. Une fois complé-

tée, la puissance dissipée (eq. 2.49) est calculée ce qui permet ensuite de déduire le couple transmis

(eq. 2.50). Puisque les termes ∂vθ /∂ r−vθ /r et ∂vθ /∂ z reviennent constamment lors de la résolution

du champ de vitesse, du taux de cisaillement et du couple, l’implémentation dans COMSOL® est faite

de façon à ce que leur calcul ne soit effectué qu’une seule fois par itération.

2.6 Validation de l’implémentation du modèle d’écoulement dansCOMSOL®

Une validation est effectuée pour vérifier l’intégrité de l’implémentation du modèle d’écoulement dans

COMSOL®. Pour ce faire, le couple transmis par une seule interface de fluide est évalué numérique-

ment puis comparé à un modèle analytique simple. Celui-ci est d’abord présenté à la section 2.6.1 et

s’en suit l’implémentation numérique correspondante à la section 2.6.2. Les résultats de cette compa-

raison sont analysés à la section 2.6.3. En plus de valider l’implémentation numérique, ils permettent

de constater l’effet de la qualité du maillage et de l’établissement d’une zone solide dans l’interface

de fluide magnétorhéologique.

2.6.1 Modèle analytique du couple transmis

Un modèle analytique est couramment utilisé pour valider l’implémentation numérique du modèle

d’écoulement [27, 28]. Il permet d’évaluer le couple M transmis par une seule interface de fluide

magnétorhéologique, soit :

M(B,ω) = 2π3

τB(B)(r3e − r3

i )+ π2

µB(B)ωd

(r4e − r4

i ) (2.51)

Pour en faire la dérivation, il suffit d’intégrer le couple transmis par la contrainte de cisaillement

locale τ à la surface d’un disque de rayon interne ri et de rayon externe re. Cette contrainte est calculée

à partir du modèle de Bingham (τ = τB+µBγ) et le taux de cisaillement γ nécessaire à son évaluation

est calculé en supposant un écoulement de Couette (γ = ωr/d). Les disques de part et d’autre de

l’interface de fluide magnétorhéologique sont séparés par une distance d et ont une différence de

vitesses angulaires ω . Le premier terme de l’équation 2.51 est la composante statique liée à l’effet du

champ magnétique B et le second terme est la composante dynamique liée aux effets visqueux.

2.6.2 Implémentation numérique correspondant au modèle analytique

Pour que la comparaison soit viable, l’implémentation du modèle numérique doit s’approcher le

plus possible des conditions que suppose le modèle analytique. Pour ce faire, une seule interface

34

de fluide magnétorhéologique est considérée. Les rayons interne ri et externe re des disques sont fixés

à 11,50 [mm] et 20,75 [mm] respectivement et la distance d qui les sépare est fixée à 0,25 [mm].

La figure 2.12 montre le domaine de résolution qui représente l’espace occupé par le fluide magné-

torhéologique. Ce domaine est établi dans le plan r− z, où l’axe z correspond à l’axe de symétrie de

révolution.

FIGURE 2.12 – Domaine de résolution utilisé pour valider l’implantation du modèle d’écoulementdans COMSOL®. L’interface de fluide magnétorhéologique (en gris) est bornée par les frontières 1,2, 3 et 4. Les frontières 2 et 3 correspondent aux parois des disques.

L’implémentation numérique doit également s’appuyer sur le modèle de Bingham-Bercovier-Engelman

(eq. 2.5), car c’est ce modèle qui s’apparente le plus au modèle de Bingham utilisé lors de la dérivation

du modèle analytique (eq. 2.51). La contrainte d’écoulement τB et la viscosité µB de Bingham sont

fixées à 60000 [N/m2] et 0,94 [N s/m2] respectivement et le paramètre de Bercovier-Engelman η est

fixé à 0,1 [1/s].

Le modèle numérique nécessite aussi de spécifier la vitesse tangentielle vθ aux frontières du do-

maine de résolution pour tenir compte de la différence de vitesses ω entre les disques. Afin d’obtenir

la meilleure correspondance possible avec le modèle analytique, l’ensemble des frontières reçoit la

condition suivante :

vθ = rω ⋅ zd

(2.52)

En plus de correctement représenter la vitesse tangentielle vθ aux frontières 2 et 3, qui correspondent

aux parois des disques, cette condition assure une progression linéaire de la vitesse aux frontières 1

et 4 qui sont localisées entre ces parois (voir figure 2.12). Cette condition est introduite dans l’entrée

« Limites de Dirichlet » du module physique « EDP, Forme faible » de COMSOL®.

Comme l’influence du maillage n’est pas encore connue, la résolution numérique est effectuée avec

un maillage adaptatif. En effet, ce maillage est censé produire de meilleures solutions puisqu’il est

automatiquement raffiné par COMSOL®, là où les taux de variation sont les plus grands. De plus, des

deux méthodes présentées à la section 2.5.7 pour calculer le couple, c’est la seconde qui est utilisée.

35

Pour qu’un réel glissement (cisaillement du fluide magnétorhéologique) puisse être considéré en tant

que tel, la contrainte de cisaillement τ dans le fluide doit être supérieure à τB (voir figure 2.4, page 16)

et pour répondre à cette condition, la différence de vitesse ω entre les disques doit excéder une certaine

vitesse critique ωc (ou plutôt, γ ≥ γc, tel que discuté à la section 2.3.1). Cette vitesse critique ωc peut

donc être obtenue en remplaçant τ avec τB dans l’équation 2.5 du modèle de Bingham-Bercovier-

Engelman, après quoi γ est calculé à l’extrémité du disque pour finalement être transposé en une

vitesse de rotation ωc suivant l’hypothèse d’un écoulement de Couette 4. En introduisant les valeurs

spécifiques au problème, une vitesse critique ωc de 9,2 [rev/min] est obtenue. Cette valeur est utile

pour mieux interpréter les résultats qui suivent.

2.6.3 Comparaison entre le couple analytique et numérique

La figure 2.13 compare le couple évalué à partir du modèle analytique (eq. 2.51) à celui du modèle

numérique correspondant (maillage adaptatif à 5601 ddl). Les valeurs sont données pour une plage

de vitesses angulaires ω variant de 0 à 100 [rev/min]. Il est constaté que le modèle analytique et le

modèle numérique tendent vers la même prédiction de couple, au fur et à mesure que la différence de

vitesses ω entre les disques progresse. En effet, ces deux méthodes s’accordent à l’intérieur de 0,15%

pour des vitesses supérieures à 9,2 [rev/min]. Tel qu’attendu, la disparité croissante qui apparait pour

les vitesses inférieures à 9,2 [rev/min] (voir b)) provient de l’introduction du paramètre η dans le

terme de viscosité µ du modèle de Bercovier-Engelman (voir eq. 2.5). Ces résultats sont concluants et

montrent que chaque étape du calcul fonctionne correctement. Cela permet de confirmer la viabilité

du modèle d’écoulement implémenté dans COMSOL®.

2.6.4 Effet d’une zone solide sur l’estimation du couple

En pratique, les frontières 1 et 2 sont solidaires 5 et cela provoque l’établissement d’un état solide

dans les environs du point de rencontre entre ces deux frontières, car cette zone n’est pas sollicitée en

cisaillement. Afin de mettre en évidence l’effet d’une zone solide sur l’évaluation du couple, la vitesse

tangentielle vθ est fixée à zéro à la frontière 1 alors que la condition précédente (eq. 2.52) continue de

s’appliquer aux frontières 2, 3 et 4 (voir figure 2.12). La solution numérique présentée à la figure 2.16

(voir page 40) permet de constater la présence de cette zone solidifiée. Quant à la figure 2.14, elle met

en évidence l’effet de cette nouvelle condition en utilisant comme base de comparaison la courbe du

modèle numérique obtenue avant son application (voir figure 2.13).

4. Il s’agit d’une hypothèse puisque le champ de vitesse qui résulte de la résolution numérique ne correspond pasnécessairement à un écoulement de Couette. Cette hypothèse permet de faire l’estimation de ωc avant d’avoir résolu lechamp de vitesse dans l’interface de fluide magnétorhéologique.

5. La frontière 1 peut correspondre à la présence d’un joint dynamique localisé à la frontière 1 et fixé à la paroi 2.

36

0 20 40 60 80 1000,0

0,5

1,0

1,5

Vitesse angulaire relative ωentre les disques [rev/min]

Cou

ple

M[N

m]

Modele analytiqueModele numerique

a)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 10,0

0,5

1,0

1,5

Vitesse angulaire relative ωentre les disques [rev/min]

Cou

ple

M[N

m]

Modele analytiqueModele numerique

b)

FIGURE 2.13 – a) Comparaison des couples évalués à partir du modèle analytique et du modèlenumérique correspondant. Le calcul analytique s’appuie sur le modèle de Bingham et suppose unécoulement de Couette. L’implémentation numérique est basée sur le modèle de Bingham-Bercovier-Engelman. Sa résolution est effectuée avec un maillage adaptatif (5601 ddl) et les conditions imposéesaux frontières ne provoquent pas l’établissement d’une zone solide dans l’interface de fluide magné-torhéologique. b) Vue agrandie.

L’établissement d’une zone solide dans l’interface de fluide magnétorhéologique réduit la distance

effective sur laquelle se produit la transition de vitesses d’un disque à l’autre. Les gradients de vitesses

étant plus importants, les forces visqueuses et le couple transmis le sont tout autant. Donc, en toute

logique, plus l’effet dû à la présence d’une zone solide s’accentue, plus la vitesse relative entre les

disques s’accroit et c’est effectivement ce qui est observé à la figure 2.14 b) avec l’augmentation

progressive du couple pour des vitesses supérieures à 9,2 [rev/min]. Toutefois, cet effet se limite à

0,13% pour la plage de vitesses étudiée. Contrairement à ce que soutient Farjoud [12], l’impact dû à

la présence d’une zone solide s’avère très faible (pour le cas présenté ici). Comme la condition qui

impose une progression constante de la vitesse entre les disques ne présente aucun avantage en ce qui

concerne le temps de calcul, cette condition qui rend les parois 1 et 2 solidaires est utilisée pour la

suite des travaux.

2.6.5 Effet de la qualité du maillage sur l’estimation du couple

Un maillage triangulaire constitué d’éléments à fonctions de forme quadratiques est utilisé. Afin

d’analyser son influence sur l’estimation du couple, ses caractéristiques sont modifiées à quatre re-

prises. La taille des éléments est réduite, partant de six éléments d’épaisseur (sur la distance qui

sépare les disques), à quatre, à deux et puis à un seul. Afin de solliciter l’influence du maillage au

maximum, les conditions imposées aux frontières du domaine de résolution provoquent l’établisse-

ment d’une zone solide qui implique de forts gradients. Quelques-uns de ces maillages sont présentés

37

0 20 40 60 80 1000,0

0,5

1,0

1,5

Vitesse angulaire relative ωentre les disques [rev/min]

Cou

ple

M[N

m]

Zone solide imposeeZone solide non-imposee

a)

0 20 40 60 80 1000,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Vitesse angulaire relative ωentre les disques [rev/min]

Diff

eren

cere

lativ

e[%

]

b)

FIGURE 2.14 – Effet de l’établissement d’une zone solide dans l’interface de fluide magnétorhéolo-gique sur l’estimation du couple. a) Comparaison des couples obtenus avant et après l’application dela condition à la frontière 1 qui provoque l’établissement d’une zone solide et b) la différence relativeen pourcentage entre ces couples. Le couple obtenu avant l’application de cette condition (voir mo-dèle numérique, figure 2.13) est utilisé comme base de comparaison. L’effet de cette condition s’avèreminime.

à la figure 2.17 (voir page 41).

La figure 2.15 met en évidence l’effet de la qualité du maillage sur l’estimation du couple. L’erreur sur

le couple est donnée par rapport aux résultats provenant du maillage adaptatif. Celui-ci compte 5601

degrés de liberté (ddl) et converge au bout de 3,7 secondes sur un processeur Intel® Xeon® W3680

cadencé à 3,33 [Ghz]. Pour les maillages à six (4837 ddl), quatre (2291 ddl), deux (537 ddl) et un élé-

ments d’épaisseur (169 ddl), leurs calculs ont duré 800, 400, 100 et 200 millisecondes respectivement.

Contre intuitivement, c’est le maillage à deux éléments d’épaisseur qui a permis d’obtenir le temps de

résolution le plus court, et non pas celui à un élément d’épaisseur.

De façon globale, les différentes estimations de couple ne divergent pas plus de 2%, peu importe la

qualité du maillage. Les plus grands écarts se produisent pour des vitesses inférieures à 0,1 [rev/-

min], bien en deçà de la plage qui s’étend au delà de 9,2 [rev/min] et pour laquelle l’effet du maillage

demeure inférieur à 0,2%. Cette erreur est très petite en comparaison avec d’autres facteurs qui in-

fluencent le couple (ex. : température, concentration des particules, etc.). Par conséquent, si la seule

valeur d’intérêt est le couple (et que la transition d’état n’a pas besoin d’être déterminée avec pré-

cision), le temps de résolution peut être réduit par une discrétisation plus grossière du domaine de

résolution sans trop en affecter les résultats.

38

0 20 40 60 80 100−2,0

−1,5

−1,0

−0,5

0,0

Vitesse angulaire relative ωentre les disques [rev/min]

Err

eur[

%]

4837 ddl (800 [ms])2291 ddl (400 [ms])537 ddl (100 [ms])169 ddl (200 [ms])

a)

0 2 ⋅10−2 4 ⋅10−2 6 ⋅10−2 8 ⋅10−2 0,1−2,0

−1,5

−1,0

−0,5

0,0

Vitesse angulaire relative ωentre les disques [rev/min]

Err

eur[

%]

4837 ddl (800 [ms])2291 ddl (400 [ms])537 ddl (100 [ms])169 ddl (200 [ms])

b) Vue agrandie

FIGURE 2.15 – Erreur sur l’estimation du couple pour différentes qualités de maillage, soit : six(4387 ddl), quatre (2291 ddl), deux (537 ddl) et un seul (169 ddl) éléments d’épaisseur. Les condi-tions imposées aux frontières provoquent l’établissement d’une zone solide dans l’interface de fluidemagnétorhéologique. La base de comparaison s’appuie sur les résultats provenant du maillage adap-tatif (5601 ddl).

39

Dimensionaxiale z [m]

a)

0,00

000

0,00

025

0,01150

0,02075

60204

0

Contrainte decisaillement[N/m2]

Dimensionaxiale z [m]

b)

0,00

000

0,00

025

0,01150

0,02075

0,0543

0

Vitessetangentielle[m/s]

Dimensionaxiale z [m]

c)

0,00

000

0,00

025

0,01150

0,02075 ÉtatSolideLiquide

FIGURE 2.16 – Solutions produites avec le maillage adaptatif (5601 ddl) pour valider l’implantationdu modèle d’écoulement dans COMSOL® : a) contrainte de cisaillement τ , b) vitesse tangentielle vθ etc) état solide (en noir) ou liquide (en blanc) du fluide magnétorhéologique pour une vitesse angulairerelative ω de 25 [rev/min]. Le fait que la frontière inférieure soit fixée à celle de gauche provoque unesolidification du fluide dans cette zone.

40

Dimensionaxiale z [m]

a)

0,00

000

0,00

025

0,01150

0,02075

Dim

ensi

onra

dial

er

[m]

Dimensionaxiale z [m]

b)

0,00

000

0,00

025

0,01150

0,02075

Dimensionaxiale z [m]

c)

0,00

000

0,00

025

0,01150

0,02075

voir

d)

Dimensionaxiale z [m]

d) Vue agrandie

0,00

000

0,00

025

0,01150

0,01390

FIGURE 2.17 – Quelques maillages utilisés pour valider l’implémentation du modèle d’écoulementdans COMSOL® : a) maillage grossier (un élément d’épaisseur, 169 ddl), b) maillage fin (six élémentsd’épaisseur, 4837 ddl), c) maillage adaptatif (5601 ddl) et d) une vue agrandie de celui-ci où il estpossible de percevoir la transition d’état caractérisée par une discrétisation beaucoup plus fine enraison des forts gradients qui s’y trouvent.

41

Dans ce chapitre, un modèle numérique de l’écoulement des fluides magnétorhéologiques a été implé-

menté dans COMSOL® afin de prédire le couple transmis par une interface de fluide magnétorhéolo-

gique. Le chapitre suivant implémente un modèle d’embrayage magnétorhéologique dans COMSOL®

pour déterminer la densité de flux magnétique dans l’interface de fluide magnétorhéologique, le couple

que cette dernière permet de transmettre, ainsi que l’élévation de température qui en résulte. Ce mo-

dèle d’embrayage fait intervenir le modèle d’écoulement du fluide magnétorhéologique développé au

cours de ce dernier chapitre.

42

3 Modèle de l’embrayage magnétorhéologique àdisques

L’objectif de ce chapitre est d’élaborer un modèle d’embrayage magnétorhéologique à disques dans

COMSOL®. Le but est de calculer le couple transmis par l’embrayage. Il est aussi important d’être en

mesure d’estimer sa température de fonctionnement en régime permanent car la température est une

contrainte qui devra être prise en compte lors de la conception. Aussi la température a une influence

importante sur la conductivité du bobinage qui se répercute, au final, sur le couple transmis. La masse

est aussi un facteur important dans le critère d’optimisation.

Ce chapitre est présenté selon la philosophie d’implémentation d’un modèle dans COMSOL®. Pour

débuter, la géométrie du domaine de résolution est présentée à la section 3.1. Les matériaux sont en-

suite associés à chacun des sous-domaines de la géométrie. Ces matériaux et leurs propriétés sont

présentés à la section 3.2. Au chapitre 2, il a été question du problème d’écoulement du fluide ma-

gnétorhéologique. Jusqu’à présent, la densité de flux magnétique était supposé connue. Maintenant, il

faut être en mesure de l’évaluer correctement dans l’interface de fluide magnétorhéologique pour être

en mesure de calculer la viscosité et le couple transmis. La section 3.3 s’attarde à ce problème. Une

fois que la densité de flux magnétique est connue, le couple peut être évalué. Ceci est présenté à la

section 3.4, section qui demeure assez brève car l’essentiel a été posé au chapitre 2. Puis, la section 3.5

s’attarde au calcul de la température au sein de l’embrayage. Enfin, la méthode de résolution des élé-

ments finis requiert de discrétiser le domaine. La construction du maillage est survolée à la section 3.6.

À la section 3.7, il est question des paramètres de résolution dans COMSOL®. Suite à la résolution, le

couple transmis et la température sont connues assez précisément. Par contre, la géométrie qui a servi

aux calculs omet plusieurs composantes dont la masse qui n’est pas négligeable. Le calcul de la masse

de l’embrayage est traité à la section 3.9. Pour terminer, le modèle de l’embrayage est validé avec un

embrayage réel.

3.1 Géométrie du modèle

La description géométrique du domaine de résolution de l’embrayage et les simplifications qui ont

mené à cette description sont d’abord présentées à la section 3.1.1. Dans l’optique d’analyser les

effets liés aux particularités géométriques de l’embrayage et d’en faire l’optimisation, cette description

géométrique doit être paramétrée et sa séquence de construction, automatisée. La tâche est accomplie

grâce à l’environnement de développement MATLAB® et les compléments d’une libraire fournie

43

par COMSOL®. La section 3.1.2 aborde les principales étapes de la construction de la géométrie. La

section 3.1.3 introduit les différentes configurations liées aux différentes possibilités d’agencement des

composants de l’embrayage ainsi que les paramètres qui permettent d’en faire la description. Enfin, la

section 3.1.4 traite de la paramétrisation géométrique du domaine de résolution. À titre informatif, la

partie du code MATLAB® qui implémente les paramètres du modèle est présentée à l’annexe C.1 et

celle qui implémente l’aspect géométrique du modèle dans COMSOL® est présentée à l’annexe C.2.

3.1.1 Simplifications géométriques

Pour faciliter l’implémentation et réduire le temps de résolution, le modèle s’appuie sur une des-

cription géométrique simplifiée qui ne reflète pas tous les détails de l’embrayage. Cette géométrie doit

toutefois comporter tous les éléments nécessaires au calcul de la densité de flux magnétique, du couple

et de la température. Essentiellement, il s’agit des principaux constituants du circuit magnétique, in-

cluant le fluide magnétorhéologique et le bobinage. Il faut également y inclure le milieu ambiant et

l’anneau de fixation des disques par lesquels fuit inévitablement une partie du flux magnétique. La fi-

gure 3.1 montre la géométrie du modèle de l’embrayage magnétorhéologique à disques qui résulte de

ces simplifications. La configuration géométrique qui y est représentée est caractérisée par des disques

localisés à l’intérieur du bobinage. Le cas pour lequel ils sont localisés à l’extérieur du bobinage sera

discuté à la section 3.1.3.

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

a)

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

b)

FIGURE 3.1 – a) Géométrie du modèle de l’embrayage magnétorhéologique. Les éléments tenus encompte géométriquement dans COMSOL® vont comme suit : 1) Milieu ambiant, 2) fluide magnéto-rhéologique, 3) disques internes et 4) externes, 5) flasque ferromagnétique, 6) anneau de fixation desdisques, 7) bobinage, 8) anneau ferromagnétique. L’arbre de transmission et les ailettes sont illustrésschématiquement, mais ce n’est qu’à titre indicatif, car ils ne sont pas tenus en compte dans COM-SOL®. Les composants solidaires au bobinage sont illustrés en bleu et les composants qui en sontindépendants en rotation sont illustrés en orange. b)Vue agrandie.

Du point de vue magnétostatique, le comportement de l’arbre de transmission et des ailettes se confond

44

avec celui du milieu ambiant (perméabilités magnétiques similaires) et pour cette raison, ces com-

posants n’ont pas besoin d’être inclus dans le modèle géométrique pour estimer la densité de flux

magnétique. Quant à l’influence qu’ils ont sur la propagation du flux thermique, elle peut être prise

en compte par des conditions particulières aux frontières du domaine de l’analyse thermique (voir

section 3.5.2). Par conséquent, l’arbre de transmission et les ailettes n’ont pas de représentation géo-

métrique dans le modèle d’embrayage et à la figure 3.1, ces composants sont illustrés en pointillés à

titre indicatif seulement. Leur masse est évaluée analytiquement à section 3.8.

Pour être compatible avec l’implémentation du modèle d’écoulement qui prévoit l’exploitation de la

symétrie de révolution de l’embrayage, la géométrie du modèle doit être établie dans le plan r − z

sous forme d’un simple profil de section. Ceci force l’abandon de certains détails géométriques dont

l’impact est toutefois jugé négligeable. Les vis et les cannelures nécessaires à la fixation des disques

en sont des exemples évidents, car leur géométrie ne peut être représentée par l’extrusion d’un profil

bidimensionnel autour de l’axe de révolution.

La simplification de la géométrie du modèle s’appuie aussi sur l’exploitation de la symétrie de ré-

flexion de l’embrayage établie par rapport au plan central (z = 0). Ainsi, seule la moitié du profil de

section (z positif) est représentée géométriquement. Ceci engendre de nouvelles frontières (z = 0) aux-

quelles seront attribuées des conditions particulières (voir sections 3.3.5, 3.4.2 et 3.5.2). Comme seule

la moitié de l’embrayage intervient, certaines valeurs extraites de la solution doivent être multipliées

par deux. C’est entre autres le cas pour la masse et la résistance du bobinage. À la figure 3.1 et celles

qui suivent, l’abscisse (axe horizontal) correspond au plan de réflexion de l’embrayage et l’ordonnée

(axe vertical) correspond à son axe de révolution.

Bien que très simplifiée par rapport à la conception attendue, cette géométrie comporte effectivement

tous les éléments nécessaires à l’estimation de la densité de flux magnétique, du couple et de la tem-

pérature.

3.1.2 Étapes de construction de la géométrie

La séquence de construction de la géométrie est maintenant détaillée étape par étape, tel qu’elle a été

implémentée dans COMSOL® et MATLAB® (voir le code à l’annexe C). Ces étapes sont illustrées

aux figures 3.2 à 3.6. Les éléments en gris sont associés à l’étape en cours. Les éléments dont le

contour est noir font l’objet d’étapes antérieures et ceux dont le contour est gris font l’objet d’étapes

à venir.

Étapes 1 à 5 : Empilement de disquesLa première étape consiste à placer le disque central. Puisqu’il repose sur le plan de symétrie

de l’embrayage (z = 0), la largeur du rectangle qui le représente est coupée de moitié par rapport

à l’épaisseur normale d’un disque. S’il y a plus d’un disque, la seconde étape consiste à créer

45

le disque adjacent au disque central et s’il y a plus de trois disques, la troisième étape consiste

à placer le disque suivant. Si le nombre de disques le requiert, la quatrième étape consiste à

dupliquer le disque créé à la seconde étape le nombre de fois nécessaire. La cinquième étape

est similaire à la quatrième à la différence que la duplication s’effectue sur le disque créé à la

troisième étape. Étant donné l’exploitation de la symétrie de réflexion de l’embrayage, seuls la

moitié des disques sont représentés.

voir b)

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

a) Étape 1Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

zb) Étape 1 (vue agrandie)

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

c) Étape 2 (second disque)Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

d) Étape 3 (troisième disque)

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

e) Étape 4Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

f) Étape 5

FIGURE 3.2 – a) Étape 1 : Définition de l’entité géométrique correspondant au disque central etb) une vue agrandie. c) Étape 2 : Définition du disque adjacent au disque central (second disque).d) Étape 3 : Définition du disque adjacent au second disque (troisième disque). e) Étape 4 : Duplica-tion du second disque. f) Étape 5 : Duplication du troisième disque.

46

Étape 6 : Anneau de fixation des disques externesLes détails géométriques liés à la présence de cannelures (pour la fixation des disques) ne

peuvent être représentés en raison de la symétrie de révolution. Un rectangle suffit donc à

définir la géométrie associée à l’anneau de fixation des disques externes illustré en gris à la

figure 3.3 a). Dans cette configuration, l’arbre portant les disques internes n’a pas de représen-

tation géométrique dans COMSOL®, parce que son effet sur le flux magnétique est négligeable,

que son impact sur le flux thermique est pris en compte par les frontières du domaine de réso-

lution (voir section 3.5.2) et que sa masse est évaluée analytiquement (voir section 3.8).

Étape 7 : BobinagePour simplifier la représentation géométrique du bobinage, le courant associé à chaque tour de

fil conducteur est réparti uniformément en une densité de courant moyennée sur l’ensemble

de la section occupée par le bobinage (voir section 3.3.6). Ainsi, les sections de fil conducteur

n’ont pas à être représentées individuellement. Par contre, cela implique d’homogénéiser les

propriétés thermiques pour prendre en compte l’effet combiné du cuivre et de la colle époxyde

sur la propagation du flux thermique (voir section 3.2.7). Ainsi, un simple rectangle, illustré en

gris à la figure 3.3 b), permet une représentation adéquate du bobinage.

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

a) Étape 6Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

b) Étape 7

FIGURE 3.3 – a) Étape 6 : Définition de l’entité géométrique correspondant à l’anneau de fixation desdisques. b) Étape 7 : Définition de l’entité géométrique correspondant au bobinage.

Étapes 8 et 9 : Flasque et anneau ferromagnétiquePour limiter l’usage de matériaux ferromagnétiques et ainsi réduire la masse, la réluctance R[A/V/s] doit être gardée constante sur l’ensemble du circuit magnétique. Celle-ci est donnée par

l’équation suivante :

R = lµA

(3.1)

où l est la distance [m] parcourue par le flux magnétique, A est l’aire de la section [m2] du circuit

magnétique dans le plan perpendiculaire au flux et µ est la perméabilité magnétique [V s/A/m]

47

du matériau. Lorsque la perméabilité magnétique µ demeure constante, le problème revient

à conserver l’aire de section du circuit magnétique A constante. En raison de la géométrie

toroïdale du circuit magnétique, plus la distance avec le centre se fait grande, plus l’épaisseur

du circuit doit être faible pour une aire de section donnée. L’épaisseur d du circuit magnétique

dans le plan r− z est donc ajustée en conséquence. Pour une portion du circuit magnétique où

le flux se propage radialement (identifié par l’indice 1 à la figure 3.4), d doit varier de façon

inversement proportionnelle avec la position radiale r pour obtenir une aire A constante, soit :

d = A2πr

(3.2)

Toutefois, le problème se complexifie lorsque le flux se propage dans une direction quelconque

comme c’est le cas dans la zone de transition entre le flasque et l’anneau ferromagnétique

(identifié par l’indice 2 à la figure 3.4). L’équation paramétrique suivante permet de tracer le

contour externe du circuit magnétique (définit par r′ et z′) à partir du contour interne (définit

par r et z) et d’une aire de section A donnée :

d = sgn (cos(α))√π (π r2+A sin(α) sgn (cos(α)))−π rπ sin(α)

r′ = d sin(α)+ r (3.3)

z′ = d cos(α)+ z

où :A est l’aire de section du circuit magnétique [m2]

d est l’épaisseur de la section du circuit magnétique dans la direction de α [m]

α est la direction de la normale au tracé interne donné par rapport à l’axe z [rad]

r est la composante radiale du tracé interne du circuit magnétique [m]

z est la composante axiale du tracé interne du circuit magnétique [m]

r′ est la composante radiale du tracé externe [m]

z′ est la composante axiale du tracé externe [m]

La figure 3.4 montre le contour interne en bleu et le contour résultant en orange ainsi que la

représentation des variables de l’équation 3.3. Le contour intérieur est défini par la présence

du bobinage et de l’anneau de fixation des disques. Lorsque la direction de la normale au tracé

interne α est nulle, il y a discontinuité et dans ce cas, d est calculé à partir de l’équation 3.2.

La géométrie des flasques et de l’anneau peut donc être décrite à partir d’un seul paramètre,

c’est-à-dire l’aire de section A du circuit magnétique. Ceci permet d’éviter l’introduction de pa-

ramètres supplémentaires pour décrire le profil optimisé, et par le fait même, limite le nombre

d’évaluations requis lors du processus d’optimisation à venir. Le choix de séparer la construc-

tion du flasque et de l’anneau ferromagnétique facilite l’implémentation de configurations al-

ternatives (voir section 3.1.3).

48

voir b)

Flasqueferroma-gnetique

Zone detransition entre le

flasque et l’anneauferromagnetique

Anneauferroma-gnetique

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

a)

.(r′,z′)2.(r,z)2

.(r′,z′)1

.(r,z)1d2

d1α2

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

b)

FIGURE 3.4 – Étapes 8 et 9 : Définition des entités géométriques correspondant au flasque et à l’anneaumagnétique. Une équation paramétrique permet de tracer le contour externe du circuit magnétique, enorange, à partir du contour interne, en bleu. b) Vue agrandie qui illustre les variables de l’équation 3.3.

Étape 10 : Fluide magnétorhéologiqueComme le domaine occupé par le fluide magnétorhéologique est déjà borné par les disques,

l’anneau de fixation et le flasque ferromagnétique, il suffit de compléter les frontières man-

quantes pour que COMSOL® reconnaisse l’espace situé à l’intérieur comme étant un domaine

à part entière. À ce stade, un simple rectangle, illustré en gris à la figure 3.5, permet de fermer le

domaine occupé par le fluide magnétorhéologique. Celui-ci s’étend sur une portion plus vaste

pour faciliter l’implantation de configurations alternatives introduites à la section 3.1.3.

voir b)

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

a)Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

b) Vue agrandie

FIGURE 3.5 – a) Étape 10 : Définition de l’entité géométrique correspondant au fluide magnétorhéo-logique. b) Vue agrandie.

Étape 11 : Milieu ambiantQuel que soit le niveau de perfectionnement du circuit magnétique, une partie du flux magné-

tique fuit inévitablement dans le milieu environnant occupé par l’air. Il est donc indispensable

d’en considérer l’effet lors de l’analyse électromagnétique. Tel que le montre la figure 3.6,

49

le milieu ambiant est défini par un quart de cercle dont le rayon est proportionnel à la taille

maximale de l’embrayage. L’étendue du domaine doit être assez vaste pour bien représenter les

pertes électromagnétiques, mais pas trop, car le coût en temps de calcul peut devenir important.

Dans le cadre de ce travail, le rayon du cercle a été fixé au double de la dimension maximale de

l’embrayage. En effet, des essais portant sur l’étendue du domaine de résolution ont permis de

démontrer que l’impact (sur la densité de flux magnétique dans l’interface de fluide et le couple

transmis) était négligeable lorsque le domaine s’étendait au-delà de la valeur fixée.

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

FIGURE 3.6 – Étape 11 : Définition de l’entité géométrique correspondant au milieu ambiant.

Les formes géométriques définies aux étapes précédentes sont finalement analysées par COMSOL®

puis divisées en différents domaines et frontières (surfaces, arrêtes et points). Il devient alors possible

d’y associer les matériaux correspondants (voir section 3.2).

3.1.3 Paramétrisation des configurations géométriques étudiées

Il existe de multiples façons d’agencer les différents composants de l’embrayage tout en conservant

sa fonctionnalité. Quelques possibilités sont étudiées dans cet ouvrage. Trois paramètres sont utilisés

pour en faire la description :

Localisation des disques par rapport au bobinageLes disques peuvent être localisés soit à l’extérieur ou à l’intérieur du bobinage et le para-

mètre Cc qui fait état de cette possibilité prend la valeur de 0 ou 1 respectivement. La figure 3.7

permet de mieux constater l’effet de ce paramètre. La littérature fait davantage état de la seconde

configuration (Cc = 1) en raison de sa construction mécanique simple. Cependant, la configura-

tion qui place les disques en périphérie (Cc = 0), tel qu’adoptée par Gudmundsson [29], pourrait

être en mesure de fournir un meilleur couple massique en permettant d’augmenter l’aire de

transmission des efforts de cisaillement et le bras de levier qui s’y applique. Comme la littéra-

ture n’est pas encore définitive à cet égard, l’effet de la localisation des disques par rapport au

bobinage sera étudié au chapitre 4.

50

Localisation des paliers et des joints dynamiquesLes paliers et les joints dynamiques peuvent aussi bien être localisés au centre de l’embrayage

qu’en périphérie. Le positionnement central procure quelques avantages, car la diminution de

l’aire de contact et de la vitesse de glissement au niveau des lèvres du joint dynamique réduit les

efforts de frottement et les possibilités de fuites. Le positionnement en périphérie, tel qu’adopté

par Gudmundsson [29], peut aussi avoir ses avantages, surtout pour de petits embrayages, mais

au stade d’avancement actuel, ces avantages ne sont toujours pas évidents pour l’application

visée. Ainsi, le paramètre C j décrit la localisation des paliers et des joints dynamiques, mais le

fait plutôt par rapport à l’emplacement des disques, qui lui est déterminé par le paramètre Cc. En

effet, si les paliers et les joints dynamiques sont situés à proximité des disques, C j = 0, et dans

le cas contraire, C j = 1. Pour clarifier l’effet de ce paramètre, la position des joints dynamiques

est mise en évidence à la figure 3.7.

Nombre de disques et l’agencement relatif entre les deux séries de disques intercalésPour des raisons évidentes, le nombre de disques N doit être entier et positif. S’il s’adonnait

à être pair, au moins une interface de fluide ne participe pas à la transmission du couple et

par conséquent, le nombre de disques doit aussi être impair. Le nombre de disques N a des

répercussions sur l’agencement relatif entre les deux séries de disques intercalés (interne et

externe). Bien que son effet soit très subtil (appartenance du disque central à la série de disques

internes ou externes), ceci donne lieu à deux configurations sensiblement différentes du point

de vue de l’implémentation de la géométrie à cause de l’utilisation de la symétrie de réflexion

par rapport au plan central (z = 0). Le paramètre Cn qui décrit ces configurations prend la valeur

de 0 si le nombre de disques N compte parmi la série 1, 5, 9, 13, 17, etc. S’il compte parmi

la série 3, 7, 11, 15, 19, etc., Cn prend la valeur de 1. Dans l’article de Gudmundsson [29], le

nombre de disques se limite à cette dernière série (Cn = 1). L’implémentation de cette nouvelle

possibilité (Cn = 0) double les possibilités admissibles de N. Cela augmente les chances de cibler

une combinaison de paramètres plus performante.

Puisque ces trois paramètres n’exposent que deux possibilités chacun, leurs combinaisons donnent lieu

à huit (23) configurations différentes, désignées par le paramètre C. La valeur de ce dernier correspond

au nombre binaire (transposé dans sa base décimale) formé par les valeurs Cc, C j et Cn dans cet

ordre respectif. Les géométries correspondantes, numérotées de 0 à 7, sont présentées à la figure 3.7.

L’ensemble des éléments de l’embrayage solidement liés au bobinage en rotation est illustré en bleu

et la partie complémentaire est illustrée en orange. Pour les configurations 2, 3, 4 et 5, l’arbre qui

supporte les disques est localisé au centre de l’embrayage. Pour les autres configurations 0, 1, 6 et

7, cet arbre est localisé en périphérie. Celui-ci n’a pas de représentation géométrique dans COM-

SOL® pour les mêmes raisons qui font que l’arbre intérieur n’est pas représenté. De même, le joint

dynamique, l’arbre de transmission et les ailettes sont illustrés schématiquement, mais ce n’est qu’à

titre indicatif, car leur géométrie n’est pas prise en compte dans COMSOL®.

51

Cc = 0C j = 0Cn = 0N = 13

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

a) Configuration 0

Cc = 0C j = 0Cn = 1N = 15

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

b) Configuration 1

Cc = 0C j = 1Cn = 0N = 13

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

c) Configuration 2

Cc = 0C j = 1Cn = 1N = 15

Dimension radiale rD

imen

sion

axia

lez

d) Configuration 3

Cc = 1C j = 0Cn = 0N = 17

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

e) Configuration 4

Cc = 1C j = 0Cn = 1N = 19

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

f) Configuration 5

Cc = 1C j = 1Cn = 0N = 17

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

g) Configuration 6

Cc = 1C j = 1Cn = 1N = 19

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

h) Configuration 7

FIGURE 3.7 – Quelques possibilités d’agencement des principaux composants d’embrayages magné-torhéologiques à disques. Les huit configurations géométriques implémentées sont numérotées de 0à 7 selon la valeur des paramètres Cc, C j et Cn (voir section 3.1.3). Les composants solidaires aubobinage sont illustrés en bleu et les composants qui en sont indépendants en rotation sont illustrésen orange. Le joint dynamique, l’arbre de transmission et les ailettes sont illustrés schématiquement,mais ce n’est qu’à titre indicatif, car leur géométrie n’est pas prise en compte dans COMSOL®.

52

3.1.4 Paramétrisation de la géométrie du domaine de résolution

Dans l’optique d’analyser les effets liés aux particularités géométriques de l’embrayage et d’en faire

l’optimisation, la géométrie du domaine de résolution doit être paramétrée. La figure 3.8 illustre les

grandeurs associées aux paramètres géométriques des configurations 3 et 5 (représentatif de l’en-

semble des configurations). Les dimensions radiales des composants de l’embrayage sont définies par

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

a) Configuration 3 (Cc = 0)Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

b) Configuration 5 (Cc = 1)

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

c) Configuration 3 (vue agrandie)Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

d) Configuration 5 (vue agrandie)

FIGURE 3.8 – Dimensions associées aux paramètres décrivant la géométrie du modèle d’embrayagesmagnétorhéologiques à disques pour a) la configuration 3 et pour b) la configuration 5. Les dimensionsà proximité des disques sont présentées dans les vues agrandies c) et d) correspondant aux configura-tion 3 et 5 respectivement.

les paramètres Ra, Rb, Rc, Rd , et Re. Dans cet ordre respectif, leur valeur est croissante et donc, Ra est

toujours plus petit que Rb, qui lui est toujours plus petit que Rc, et ainsi de suite. La signification des

paramètres radiaux changent donc en fonction du paramètre de configuration Cc. Dans le cas où les

disques sont localisés à l’extérieur du bobinage (Cc = 0), Ra et Rb sont les rayons interne et externe de

la section centrale du circuit magnétique, Rc est le rayon interne du support de disques, et enfin, Rd

et Re sont les rayons interne et externe de l’empilement de disques. Dans le cas où les disques sont

localisés à l’intérieur du bobinage (Cc = 1), Ra et Rb sont les rayons interne et externe de l’empilement

de disques, Rc est le rayon externe du support de disques et enfin, Rd et Re sont les rayons interne et

externe de la section centrale du circuit magnétique. Pour terminer, l’épaisseur des disques internes

53

et externes est donnée par Da et Db respectivement et l’espacement entre chaque disque est définit

par Dc. Quant à l’espace radial interne et externe à l’extrémité des disques, il est donné par Dd et

De respectivement. Le tableau 3.1 regroupe les paramètres associés à la description géométrique de

l’embrayage.

TABLEAU 3.1 – Paramètres décrivant la géométrie du modèle d’embrayages magnétorhéologiques àdisques. Puisque la signification des dimensions radiales (Ra, Rb, Rc, Rd , et Re) change, elle est fourniepour les deux types de configurations (Cc = 0 ou 1).

Paramètres Description Valeurs admises Unités

Paramètres de configuration géométriqueCc Localisation de l’empilement de disques 0, 1C j Localisation des joints dynamiques 0, 1Cn Positionnement relatif entre les disques (dépend de N) 0, 1N Nombre de disques 1, 3, 5, 7...

Dimensions radiales :– Lorsque les disques sont localisés à l’extérieur du bobinage (Cc = 0)Ra Rayon interne de l’anneau magnétique mRb Rayon interne du bobinage > Ra mRc Rayon externe du bobinage > Rb mRd Rayon interne de l’empilement de disques > Rc mRe Rayon externe de l’empilement de disques > Rd m– Lorsque les disques sont localisés à l’intérieur du bobinage (Cc = 1)Ra Rayon interne de l’empilement de disques mRb Rayon externe de l’empilement de disques > Ra mRc Rayon interne du bobinage > Rb mRd Rayon externe du bobinage > Rc mRe Rayon externe de l’anneau magnétique > Rd m

Dimensions associées aux disquesDa Épaisseur des disques internes mDb Épaisseur des disques externes mDc Écart axial entre les disques internes et les disques externes mDd Écart radial entre les espaceurs internes et les disques externes mDe Écart radial entre les disques internes et les espaceurs externes m

54

3.2 Matériaux

Une étape importante dans l’élaboration du modèle consiste à recueillir l’ensemble des propriétés

d’intérêts (masse volumique, capacité thermique massique, conductivité thermique, perméabilité ma-

gnétique, aimantation, conductivité électrique, etc.) associées aux différents matériaux du domaine de

résolution. Pour ce faire, il convient avant tout d’introduire le phénomène d’aimantation, ce qui sera

fait à la section 3.2.1. Cela permet ensuite, à la section 3.2.2, d’aborder les matériaux ferromagnétiques

doux (ex. : fer) utilisés pour amplifier le champ magnétique dans l’interface de fluide magnétorhéo-

logique. Puis, à la section 3.2.3, il est question des matériaux à faible aimantation (ex. : aluminium)

qui accomplissent leur fonction tout en limitant le passage du flux magnétique. Puisque les propriétés

du fluide magnétorhéologique utilisé ne sont pas toutes disponibles de la part du manufacturier, elles

doivent être déduites à partir de chacun de ses constituants. Autrement dit, la réponse macroscopique

du fluide sera déterminée à partir de sa structure microscopique. Les propriétés associées aux parti-

cules ferromagnétiques (ex. : fer carbonile) et au fluide porteur (ex. : huile polyalphaoléphine) sont

donc introduites à la section 3.2.4, puis homogénéisées à la section 3.2.5. De même, comme la section

du fil conducteur n’est pas précisée par la géométrie du modèle, les propriétés de chaque constituant

du bobinage (ex. : cuivre et colle époxyde) introduites à la section 3.2.6 doivent être homogénéisées,

ce qui sera expliqué à la section 3.2.7. L’ensemble des propriétés est regroupé au sein de tableaux pré-

sentés à la section 3.2.8. Au final, ces propriétés sont introduites dans une structure de données propre

à COMSOL® et les matériaux qui en résultent (homogénéisés ou non) sont assignés aux différentes

entités géométriques du domaine de résolution tel que montré à la figure 3.9.

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

a)

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

b) Vue agrandie

FIGURE 3.9 – Matériaux associés aux différentes entités géométriques du domaine de résolution.

55

3.2.1 Introduction au comportement magnétique des matériaux

Avant d’aborder les propriétés des matériaux ferromagnétiques, il convient d’introduire le phénomène

d’aimantation d’un matériau sous l’influence d’un champ magnétique externe. L’aimantation M d’un

matériau est une manifestation macroscopique de phénomènes microscopiques qui prennent naissance

au sein de l’atome. Plus précisément, c’est la somme vectorielle de tous les moments magnétiques as-

sociés aux atomes appartenant à un volume unitaire. À température ambiante, l’énergie cinétique des

atomes surpasse aisément l’énergie magnétique et un désordre presque total règne quant à l’orien-

tation des moments magnétiques. Ces derniers s’annulent entre eux et l’aimantation demeure nulle.

Par contre, grâce à l’excitation d’un champ magnétique externe H, ces moments magnétiques arrivent

à s’orienter de sorte qu’une véritable composante magnétique M émerge de l’ensemble. Cette der-

nière s’ajoute au champ magnétique externe H afin de corroborer, à un facteur près, la mesure de

l’intensité du champ magnétique B. Ce facteur est la perméabilité magnétique du vide µ0. C’est une

constante physique dont la valeur a été fixée à 4π×10−7 [V s/A/m]. Ce phénomène est décrit par la loi

de comportement suivante :

B = µ0 (H +M) (3.4)

En raison d’un phénomène quantique, certains matériaux, désignés par ferromagnétiques, s’aimantent

beaucoup plus fortement que d’autres. De façon générale, ces derniers sont en partie constitués de

fer (Fe), de cobalt (Co) ou de nickel (Ni). L’aimantation M des matériaux ferromagnétiques n’évolue

pas de façon linéaire avec le champ magnétique externe H. En effet, celle-ci est d’abord caractérisée

par une montée plutôt abrupte, puis suivie d’un plateau élevé. La pente de cette montée correspond à

la perméabilité magnétique µ et l’élévation du plateau correspond à l’aimantation à saturation Ms.

Outre l’effet du champ magnétique externe, c’est la température T qui a le plus d’influence sur les

propriétés magnétiques des matériaux. En effet, l’aimantation des matériaux ferromagnétiques dé-

croit tranquillement à mesure que l’énergie liée à la température s’élève par rapport à l’énergie liée au

moment magnétique des atomes. Passé le point de Curie Tc, l’orientation de ces atomes devient subite-

ment désordonnée et la cohésion entre leur moment magnétique devient globalement improbable. Ces

matériaux adoptent alors un comportement paramagnétique. Faute de données, cette dépendance en-

vers la température ne sera pas implémentée. Toutefois, l’effet est jugé négligeable pour les matériaux

et la plage de températures considérées (< 120 [C]).

56

3.2.2 Matériaux ferromagnétiques doux

Les matériaux ferromagnétiques qui présentent un cycle d’hystérésis magnétique 1 étroit sont quali-

fiés de doux 2. Autrement dit, après l’application d’un champ magnétique externe H, les matériaux

ferromagnétiques doux regagnent aussitôt une aimantation M pratiquement nulle. Ce sont ces ca-

ractéristiques qui font qu’un matériau se prête à la réalisation d’un circuit magnétique efficace. Les

courbes d’aimantation µ0M (M = ∥M∥) de quelques matériaux ferromagnétiques doux sont présentées

à la figure 3.10.

101 102 103 104 105 106 1070

0,5

1

1,5

2

2,5

Fe 100 %Fe 99 %, Mn 0,8 %, C 0,2 %

Fe 48 %, Co 50 %, V 2 %

Source : [30]

Champ magnétique H [A/m]

Aim

anta

tion

µ 0M

[Vs/

m2 ]

FIGURE 3.10 – Aimantation µ0M (µ0∥M∥) en fonction du champ magnétique H (∥H∥) de quelquesmatériaux ferromagnétiques doux retenus pour leur aimantation à saturation Ms élevée et leur faiblerémanence.

Deux types de matériaux ferromagnétiques doux ont été retenus pour leur aimantation à saturation

élevée et leur faible rémanence :

Alliages de fer et de carboneL’aimantation µ0M du fer pur (Fe 100%) sature à 2,17 [V s/m2] aux alentours de H =1×105 [A/m].

L’ajout d’une petite quantité de carbone (C) (ex. : AISI 1020 : Fe 99%, Mn 0,8%, C 0,2%) di-

1. Les dipôles électriques d’atomes constituant les matériaux ferromagnétiques s’alignent selon le champ magnétiqueexterne appliqué. Lorsque celui-ci s’estompe, une partie de l’alignement subsiste au sein du matériau. C’est le phénomèned’hystérésis magnétique, aussi communément appelé rémanence magnétique.

2. Par opposition, les matériaux ferromagnétiques qualifiés de durs présentent un cycle d’hystérésis magnétique trèsétendu et sont employés dans la confection d’aimants permanents.

57

minue cette valeur aux alentours de 2,10 [V s/m2] et augmente du même coup la rémanence

du matériau. Il y a donc avantage à réduire la teneur en carbone au maximum. Un recuit peut

également améliorer les propriétés des matériaux ferromagnétiques doux. En effet, l’augmen-

tation de la taille des cristaux et la réduction de l’épaisseur des joints de grains permettent à un

nombre plus important d’atomes d’entretenir mutuellement leurs moments magnétiques. Pour

des aciers à faible teneur en carbone, le recuit consiste à élever la température aux alentours de

780 [C]. Cette température est maintenue suffisamment longtemps pour que l’acier devienne

de l’austénite. Puis, la température est tranquillement ramenée à la température ambiante à rai-

son de 20 [C/h]. Autrement, la densité du fer, qui avoisine les 7870 [kg/m3], en fait des alliages

relativement lourds.

Alliages de fer et de cobaltL’aimantation µ0M des alliages de fer et de cobalt (ex. : Fe 48%, Co 50%, V 2%) peut atteindre

des valeurs beaucoup plus élevées, soit 2,41 [V s/m2] aux alentours de 4×104 [A/m]. Cependant,

le cobalt (Co), dont la densité avoisine 8900 [kg/m3], rend ces alliages encore plus lourds et sa

rareté les rend aussi beaucoup plus dispendieux. Bien que ces alliages démontrent d’excellentes

propriétés mécaniques, une forte proportion de cobalt les rend aussi beaucoup plus susceptibles

à la fatigue. Ces alliages, dont la proportion de cobalt peut varier entre 15 et 50%, sont distribués

par GoodFellow sous la marque Vanadium Permendur®, par Carpenter Technologies sous la

marque Hiperco® et par Vacuumschmelze sous la marque Vacoflux®.

Les propriétés de ces alliages sont regroupées au tableau 3.2 présenté à la section 3.2.8.

3.2.3 Matériaux à faible aimantation

Les matériaux à faible aimantation (paramagnétique ou diamagnétique) ne s’aimantent que très peu

lors de l’application d’un champ magnétique externe (M ≪ H). Par conséquent, leur comportement

magnétique est très linéaire. L’équation de comportement 3.4 évoquée plus haut peut alors être sim-

plifiée comme suit :

B = µ0µrH = µH (3.5)

où µr est la perméabilité magnétique relative et µ est la perméabilité magnétique (µ0µr = µ). En

excluant les phénomènes dynamiques (variations spatiales ou temporelles de la densité de flux ma-

gnétique), ce type de matériaux n’a pratiquement aucune influence sur la densité de flux magnétique,

un peu comme s’il s’agissait du vide. La perméabilité magnétique relative µr prend alors une valeur

très près de l’unité (µr ≈ 1). Les matériaux à faible aimantation sont souvent utilisés là où l’utilisation

d’un matériau ferromagnétique aurait autrement dévié une partie du flux magnétique en dehors de

58

l’interface de fluide magnétorhéologique. C’est le cas de l’anneau de fixation des disques, constitué

d’un matériau à faible aimantation.

Deux matériaux à faible aimantation ont été sélectionnés pour leur légèreté et leurs excellentes pro-

priétés mécaniques et thermiques. Il s’agit de l’aluminium (Al) et du titane (Ti). Leurs propriétés

sont présentées au tableau 3.3 (voir section 3.2.8). Il existe toutefois d’autres matériaux, comme le

magnésium (Mg), qui partagent ces caractéristiques.

3.2.4 Propriétés des différents constituants du fluide magnétorhéologique

Les propriétés magnétiques et thermiques du fluide magnétorhéologique ne sont pas toutes fournies

par BASF. Il est cependant possible de les estimer à partir des propriétés associées à chacun de ses

constituants :

Particules ferromagnétiquesLes particules ferromagnétiques utilisées dans la fabrication du fluide magnétorhéologique BA-

SONETIC® 5030 de BASF sont constituées de fer carbonyle. Cette substance est obtenue par

la décomposition chimique de pentacarbonyle de fer purifié (Fe(Co)5), dont l’apparence initiale

est un liquide jaune paille d’une odeur âcre. Lors du processus, des couches de fer d’une grande

pureté (Fe 99,5%) se déposent successivement autour d’un noyau sphérique. Le résultat final

est une fine poudre grisâtre dont les particules sont de l’ordre du micromètre. Le procédé a été

inventé par BASF en 1925 [35].

Il semble convenable, étant donné la pureté des particules de fer carbonyle, d’utiliser les pro-

priétés du fer pur (Fe 100%) dans le calcul des propriétés homogénéisées du fluide magnéto-

rhéologique. La capacité thermique massique c et la conductivité thermique k sont données par

les équations suivantes :

c(T) = 4,467×102+1,19×10−1 ⋅T [C] [J/kg/K] (3.6)

k(T) = 6,647×101−6,18×10−2 ⋅T [C] [W/m/K] (3.7)

où les températures T s’expriment en degrés Celsius.

Fluide porteurLe fluide porteur du BASONETIC® 5030 de BASF est une huile synthétique composée de

polyalphaoléfine 2. La capacité thermique massique c, la conductivité thermique k et la viscosité

cinématique ν du polyalphaoléfine 2 sont données par les équations suivantes [36] :

c(T) = 2,052×103−3,77 ⋅T [C] [J/kg/K] (3.8)

k(T) = 0,1376−5,88×10−5 ⋅T [C] [W/m/K] (3.9)

ν(T) = 1,668×10−5 e−0,7307×10−1⋅T [C] [m2/s] (3.10)

59

où les températures T s’expriment en degrés Celsius. Le polyalphaoléfine 2 possède un point

d’inflammation de 143 [C]. Par conséquent, BASF recommande que la température du fluide

magnétorhéologique n’excède pas 120 [C]. De plus, sous les -40 [C], la viscosité du polyal-

phaoléfine 2 devient trop élevée et il n’est pas recommandé d’opérer dans ces conditions. Les

équations 3.8, 3.9 et 3.10 sont toutes valides à l’intérieur de cette plage de températures (-40 à

120 [C]).

Agents de surfaceLes agents de surface affectent la tension de surface du fluide porteur pour créer un champ

répulsif entre les particules et ainsi réduire l’énergie nécessaire à leur dispersion. Ces additifs

ont une influence significative sur le comportement du fluide magnétorhéologique, autant sur

le plan dynamique que chimique. Par contre, leurs impacts sur les propriétés thermiques et ma-

gnétiques sont jugés non-significatifs. Par conséquent, les propriétés homogénéisées ne tiennent

pas compte de l’impact lié à la présence de ces additifs.

Les propriétés des différents constituants du fluide magnétorhéologique sont regroupées au tableau 3.4

(voir section 3.2.8).

3.2.5 Homogénéisation des propriétés du fluide magnétorhéologique

La fraction volumique de particules ferromagnétiques dans le fluide BASONETIC® 5030 est fournie

par BASF. Cette valeur est de 47,6% lorsque les particules sont uniformément dispersées dans le

fluide. À partir de cette fraction volumique et des propriétés de chaque constituant, il est possible

d’estimer les différentes propriétés homogénéisées du fluide magnétorhéologique :

Masse volumiquePour la masse volumique homogénéisée ρh, la contribution de chaque constituant correspond à

leurs fractions volumiques respectives tel que décrit par la relation suivante :

ρh = f vi ρi+(1− f v

i )ρe (3.11)

où f v est la fraction volumique des différents constituants du fluide magnétorhéologique et où

les indices i et e dénotent l’inclusion (les particules ferromagnétiques) et son environnement

immédiat (le fluide porteur) respectivement.

Capacité thermique massiquePour la capacité thermique massique homogénéisée ch, la contribution de chaque constituant

correspond à leurs fractions massiques respectives tel que décrit par la relation suivante :

ch = f mi ci+(1− f m

i )ce (3.12)

60

ke

kia

1

1

1

FIGURE 3.11 – Représentation de la maille utilisée pour la résolution de la formulation de MaxwellGarnett.

où la fraction massique f mi peut être calculée comme suit :

f mi = f v

iρi

ρh(3.13)

Conductivité thermiqueUne autre méthode d’homogénéisation s’impose lorsque la propriété en question décrit la pro-

pagation d’un flux. C’est le cas pour la conductivité thermique k qui décrit la propagation du

flux thermique. J. C. Maxwell Garnett 3 [37] s’est intéressé à ce problème et a dérivé une formu-

lation pour des particules sphériques de rayon a réparties uniformément dans leur milieu selon

une structure cubique de périodicité unitaire. La maille utilisée est illustrée à la figure 3.11. La

formulation exacte, dont les premier et second termes correspondent à la formulation initiale de

Maxwell Garnett, a récemment été dérivée par Kristensson [38] :

kh = ke+ 3 f vi ke (ki−ke)

ki+2ke− f vi (ki−ke)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

Formulation de Maxwell Garnett

+ 9 f vi ke (ki−ke)3 155a10

(3ki+4ke)(ki+2ke− f vi (ki−ke))2 +O(a15) (3.14)

La fraction volumique des particules f vi est donnée par la relation suivante :

f vi = 4

3πa3 où 0 ≤ a ≤ 1/2 (3.15)

La fraction volumique maximale pour laquelle cette formulation demeure valide est d’environ

52,4% (π/6). En théorie, la conception du fluide magnétorhéologique ne pourrait pas admettre

3. J. C. Maxwell (1831-1879), père de l’électromagnétisme, et J. C. Maxwell Garnett (1880-1958), partagent les mêmesnoms et prénoms. Il est donc facile de penser qu’il s’agit de la même personne, mais ces derniers ont de toute évidencevécus à des époques différentes.

61

une valeur bien supérieure à 52,4%, car celle-ci correspond à l’arrangement (de particules sphé-

riques de même taille) le plus compact qui admet un cisaillement dans un plan 4.

AimantationLes triangles de la figure 3.12 correspondent à la courbe d’aimantation homogénéisée du fluide

magnétorhéologique BASONETIC® 5030. Cette courbe expérimentale, fournie par BASF [25],

suffit à décrire le comportement magnétique du fluide magnétorhéologique. Ces données sont

entrées dans COMSOL® qui s’occupera de faire l’interpolation lors de la résolution. L’aimantation

103 104 105 1060

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Champ magnetique H [A/m]

Aim

anta

tion

µ 0M

[Vs/

m2 ]

FIGURE 3.12 – Aimantation µ0M (µ0∥M∥) du fluide magnétorhéologique BASONETIC® 5030 () enfonction du champ magnétique H (∥H∥). Source : [25]

homogénéisée du fluide magnétorhéologique atteint 0,92 [V s/m2] pour un champ magnétique

de 1×106 [A/m]. C’est à peine 40% de l’aimantation du fer pur (Fe 100%) pour le même champ

magnétique H. Comme le fluide magnétorhéologique restreint le flux magnétique, l’épaisseur

de l’interface de fluide va devoir être minimisée pour maximiser les performances de l’em-

brayage.

4. Un empilement compact de particules sphériques selon une structure hexagonale permet d’atteindre une fraction volu-mique de π

√2/6, soit environ 74,0%. C’est la fraction volumique maximale occupée par un arrangement de sphères. Kepler

en a fait la conjecture en 1611 et elle a finalement été prouvée par Gauss en 1831. Sous cette configuration hypothétique, lefluide magnétorhéologique présenterait un comportement solide car aucun cisaillement ne serait possible sans interférencesmécaniques entre particules. Le cisaillement forcé de cet arrangement provoquerait une destruction de la structure en place.

62

Les propriétés homogénéisées du fluide magnétorhéologiques sont regroupées au tableau 3.4 (voir sec-

tion 3.2.8).

3.2.6 Propriétés des différents constituants du bobinage

Le bobinage est un enroulement de fil conducteur électrique couvert d’un mince isolant électrique et

consolidé par un adhésif. Les propriétés homogénéisées du bobinage ne sont pas connues, mais il est

possible de les estimer à partir des propriétés de chacun de ses constituants :

Conducteur électriquePour sa conductivité électrique élevée et son coût relativement abordable, le cuivre (Cu) est le

choix par excellence pour conduire le courant électrique dans le bobinage. La conductivité élec-

trique σ du cuivre (et des métaux en général) diminue avec la température T selon l’équation

suivante [39] :

σ(T) = σ0

1+α(T)(T −T0) (3.16)

Pour le cuivre, la conductivité σ0 à la température T0 de 20 [C] est de 5,8×107 [S/m] 5. Quant

au coefficient α , celui-ci varie en fonction de la température selon l’équation suivante [39] :

α(T) = 1234,5+T [C] (3.17)

À titre indicatif, la conductivité électrique σ du cuivre passe de 5,8 à 4,5×107 [S/m] entre 20

et 120 [C] respectivement, ce qui représente une réduction de plus de 20%. Conséquemment,

cette dépendance envers la température doit absolument être prise en compte.

La conductivité thermique k du cuivre est également influencée par la température, mais son

effet est beaucoup moins important. Elle passe de 394 à 384 [W/m/K] entre 20 et 120 [C]

respectivement [39], ce qui représente une diminution d’environ 2%. Quant à la capacité ther-

mique massique, elle passe de 386 à 395 [J/kg/K] entre 20 et 120 [C] respectivement [39], ce

qui représente une augmentation d’environ 2%.

AdhésifL’enroulement de fil est consolidé par un matériau adhésif. Ce dernier doit faire preuve d’une

bonne conductivité thermique pour faciliter l’évacuation de la chaleur en dehors du bobinage. Il

doit aussi être un bon isolant électrique et ses propriétés mécaniques doivent se maintenir mal-

gré l’élévation de température dans le bobinage. Les propriétés thermiques utilisées (capacité

thermique massique et conductivité thermique) sont des valeurs typiques associées aux colles

époxydes [40] qui présentent ces caractéristiques.

5. [Siemens/m]

63

Isolant électriqueD’après une publication du Naval Surface Warfare Center [41], le risque de défaillances des bo-

binages électriques augmente de façon exponentielle plus la température d’opération approche

de la température critique de l’isolant électrique (entre 155 et 240 [C]). Donc, tout dépen-

damment de la température d’opération, certains types d’isolants (polyester, polytétrafluoroé-

thylène, etc.) [42] sont mieux adaptés que d’autres. L’influence de l’isolant électrique sur les

propriétés homogénéisées n’est pas prise en compte, mais comme les propriétés de l’adhésif

sont pratiquement similaires, cette omission n’a pas d’impact significatif a priori.

Les propriétés des différents constituants du bobinage sont regroupées au tableau 3.5 (voir section 3.2.8).

3.2.7 Homogénéisation des propriétés du bobinage

Les propriétés de chacun des constituants du bobinage ne suffisent pas à en déterminer les propriétés

homogénéisées, car celles-ci dépendent aussi de la proportion et de l’arrangement géométrique de

chacun de ces constituants.

D’abord, la section du fil utilisé est de forme circulaire. Ensuite, comme le pas d’enroulement va dans

des directions opposées d’un étage de fil à l’autre, il est difficile d’emboiter les sections circulaires

en quinconce. Il est alors plus réaliste d’estimer la fraction surfacique du conducteur électrique f si à

partir d’un agencement carré dans le plan de la section du fil. Ainsi, celle-ci est donnée par le rapport

entre l’aire d’un cercle de rayon a et celle d’un carré de surface unitaire :

f si = πa2 où 0 ≤ a ≤ 1/2 (3.18)

D’après cette équation, la fraction surfacique de cuivre ne peut excéder 78,5% (π/4). Comme cette

valeur ne prend pas en compte l’espace occupé par l’isolant électrique ni les irrégularités causées par

un processus d’enroulement mal contrôlé, la fraction surfacique attendue sera légèrement plus petite.

Toutefois, d’après l’expérience, une valeur de 60% peut être atteinte relativement aisément.

Connaissant la fraction surfacique f si de cuivre, il est possible d’estimer les différentes propriétés

homogénéisées du bobinage :

Masse volumiqueLa masse volumique homogénéisée ρh du bobinage peut être déduite à partir de la masse volu-

mique de chacun de ses constituants et de leurs fractions volumiques respectives. Dans le cas du

bobinage, comme la fraction surfacique est égale à la fraction volumique, cette relation s’écrit

comme suit :

ρh = f si ρi+(1− f s

i )ρe (3.19)

64

où les indices i et e s’appliquent à l’inclusion (conducteur électrique) et à son environnement

immédiat (adhésif) respectivement.

Capacité thermique massiqueDe la même façon, la capacité thermique massique homogénéisée ch du bobinage peut être

déduite à partir de la capacité thermique massique de chacun de ses constituants et de leurs

fractions massiques respectives. Cette relation s’écrit comme suit :

ch = f mi ci+(1− f m

i )ce (3.20)

où f mi est la fraction massique du conducteur électrique qui peut être calculée comme suit :

f mi = f s

iρi

ρh(3.21)

Conductivité thermiqueL’homogénéisation de la conductivité thermique s’appuie sur la formulation de Maxwell Gar-

nett adaptée pour des inclusions cylindriques agencées selon une structure carrée [37] :

kh = ke+ 2 f si ke (ki−ke)

ki+ke− f si (ki−ke) (3.22)

Perméabilité magnétiqueBien que la perméabilité magnétique µ décrit la propagation d’un flux, le recours à l’équation

de Maxwell Garnett n’est pas nécessaire dans ce cas, car tous les constituants du bobinage

possèdent pratiquement la même perméabilité magnétique µ , soit 4π×10−7 [V s/A/m].

Afin de bien constater l’effet de la fraction surfacique sur les propriétés homogénéisées du bobinage,

les valeurs regroupées au tableau 3.5 (voir section 3.2.8) sont données pour des facteurs de remplissage

de 60 et 78,5%.

65

3.2.8 Résumé des propriétés des matériaux associées au domaine de résolution

Les tableaux 3.2, 3.3, 3.4, et 3.5 résument l’ensemble des propriétés qui sont utiles au modèle. Ces

tableaux mettent en évidence les sources d’information et les équations utilisées.

TABLEAU 3.2 – Propriétés de quelques matériaux ferromagnétiques doux retenus pour leur aimanta-tion à saturation élevée et leur faible rémanence.

Propriétés Valeurs Sources Unités

Fer Fe 99–100 %Masse volumique 1 7870 [32] kg/m3

Capacité thermique massique 2 442 449 454 461 [32] J/kg/KConductivité thermique 2 69 65 63 59 [32] W/m/KAimantation voir fig. 3.10 [30] V s/m2

Aimantation à saturation 3 2,10–2,17 [30] V s/m2

Alliages Fer-Cobalt Fe 48 %, Co 50 %, V 2 %Masse volumique 1 8150 kg/m3

Capacité thermique massique 1 434 J/kg/KConductivité thermique 1 30 W/m/KAimantation voir fig. 3.10 [30] V s/m2

Aimantation à saturation 2,41 [30] V s/m2

1 pour une température de 20 [C].2 pour des températures de -40, 20, 60 et 120 [C] respectivement.3 pour le Fe 99 % et le Fe 100 % respectivement.

TABLEAU 3.3 – Propriétés de quelques matériaux à faible aimantation sélectionnés pour leur légèretéet leurs excellentes propriétés mécaniques et thermiques.

Propriétés Valeurs Sources Unités

AluminiumMasse volumique 1 2800 [31] kg/m3

Capacité thermique massique 1 960 [31] J/kg/KConductivité thermique 1 130 [31] W/m/KPerméabilité magnétique 4π ×10−7 [31] V s/A/m

TitaneMasse volumique 1 4507 [31] kg/m3

Capacité thermique massique 1 522 [31] J/kg/KConductivité thermique 1 11 [31] W/m/KPerméabilité magnétique 4π ×10−7 [31] V s/A/m1 pour une température de 20 [C].

66

TABLEAU 3.4 – Propriétés homogénéisées du fluide magnétorhéologique BASONETIC® 5030 deBASF ainsi que les propriétés de chacun de ses constituants qui ont servi aux calculs d’homogénéisa-tion.

Propriétés Valeurs Sources Unités

Fluide magnétorhéologique BASONETIC® 5030 de BASFFraction volumique des particules 47,6–52,4 [33] %Fraction massique des particules 1,3 90,0–91,6 [33] %Masse volumique 1,3 4120–4500 (eq. 3.11) [33] kg/m3

Capacité thermique massique 2,3 618 602 591 575 (eq. 3.12) J/kg/K590 577 569 557 (eq. 3.12) J/kg/K

Conductivité thermique 2,3 595 578 569 552×10−3 (eq. 3.14) W/m/K738 716 706 684×10−3 (eq. 3.14) W/m/K

Aimantation 1,3 voir fig. 3.12 [33, 34, 25] V s/m2

Température de fonctionnement -40–120 [33] C

Poudre de fer carbonyle Fe 99,5%Masse volumique 1 7870 [32] kg/m3

Capacité thermique massique 2 442 449 454 461 [32] J/kg/KConductivité thermique 2 69 65 63 59 [32] W/m/KAimantation voir fig. 3.10 (Fe 100%) [30] V s/m2

Polyalphaolefin 2Masse volumique 1 795 [36] kg/m3

Capacité thermique massique 2 2203 1977 1826 1600 (eq. 3.8) [36] J/kg/KConductivité thermique 2 140 136 134 130×10−3 (eq. 3.9) [36] W/m/KPerméabilité magnétique 4π ×10−7 V s/A/mViscosité cinématique 2 310 3,9 0,21 0,0026 × 10−6 [36] m2/sPoint d’inflammation 143 [33] C1 pour une température de 20 [C].2 pour des températures de -40, 20, 60 et 120 [C] respectivement.3 pour des fractions volumiques de 47,6 et 52,4% respectivement.

67

TABLEAU 3.5 – Propriétés homogénéisées du bobinage ainsi que les propriétés de chacun de sesconstituants qui ont servi aux calculs d’homogénéisation.

Propriétés Valeurs Sources Unités

BobinageFraction surfacique de cuivre 60,0–78,5 %Fraction massique de cuivre 1,3 87,7–94,6 %Masse volumique 1,3 6102–7408 (eq. 3.19) kg/m3

Capacité thermique massique 1,3 390–388 (eq. 3.20) J/kg/KConductivité thermique 1,3 5,5–11,3 (eq. 3.22) W/m/KPerméabilité magnétique 4π ×10−7 V s/A/mTempérature maximale 200 C

CuivreMasse volumique 1 8920 [39] kg/m3

Capacité thermique massique 1 386 [39] J/kg/KConductivité thermique 1 394 [39] W/m/KPerméabilité magnétique 4π ×10−7 [31] V s/A/mConductivité électrique 2 84 58 51 45×106 (eq. 3.16–3.17) [39] S/m

Colle époxydeMasse volumique 1 1875 [40] kg/m3

Capacité thermique massique 1 420 [40] J/kg/KConductivité thermique 1 1,4 [40] W/m/KPerméabilité magnétique 4π ×10−7 V s/A/m1 pour une température de 20 [C].2 pour des températures de -40, 20, 60 et 120 [C] respectivement.3 pour des fractions surfaciques de 60,0 et 78,5% respectivement.

68

3.3 Analyse électromagnétique

L’évaluation du couple transmis par l’interface de fluide magnétorhéologique nécessite la connais-

sance de la densité de flux magnétique B qui la traverse. Le module AC/DC [43] de COMSOL® est

employé à cette fin.

Même si elles ne sont que partiellement utilisées lors de la résolution, les équations de Maxwell sont

présentées dans leur ensemble à la section 3.3.1. Ces équations peuvent aussi être exprimées dans

leur forme de potentiel vecteur et puisque COMSOL® y fait souvent référence, cette formulation

est introduite à la section 3.3.2. Ce n’est que par la suite, à la section 3.3.3, que les équations de

Maxwell sont simplifiées pour les besoins du problème, puis assignées au domaine de résolution. À la

section 3.3.4, les équations de comportement associées aux différents matériaux (ferromagnétiques et

à faible aimantation) sont assignées aux différents composants de l’embrayage. Puis, à la section 3.3.5,

des conditions sont attribuées aux frontières du domaine de résolution. Pour terminer, la section 3.3.6

traite de la modélisation du bobinage qui est à l’origine du champ magnétique dans l’embrayage. À

titre informatif, la portion du code MATLAB® qui implémente l’aspect électromagnétique du modèle

dans COMSOL® est présentée à l’annexe C.3.

3.3.1 Introduction aux équations de Maxwell

Les quatre équations suivantes ont été formulées dans leur intégralité et regroupées, pour la première

fois, en 1865, grâce au génie de J. C. Maxwell. Elles décrivent, d’un point de vue macroscopique, les

observations faites à l’égard des champs électromagnétiques. Leurs formes locales s’écrivent comme

suit :

∇⋅B = 0 (3.23)

∇⋅D = ρ (3.24)

∇×E = −∂B/∂ t (3.25)

∇×H = J+∂D/∂ t (3.26)

où B [V s/m2] 6 est la densité de flux magnétique, H [A/m] est le champ magnétique, D [A s/m2]

est la densité de flux électrique, E [V/m] est le champ électrique, J [A/m2] est la densité de courant

électrique et ρ [C/m3] est la densité de charge électrique. Le divergent (∇⋅) et le rotationnel (∇×)

sont essentiellement des opérateurs de dérivées spatiales effectuées sur un champ vectoriel. D’autres

relations sont toutefois nécessaires pour clore ce système d’équations. Celles-ci décrivent le compor-

6. Les unités [V s/m2] peuvent aussi s’exprimer en Tesla [T].

69

tement des matériaux du point de vue électromagnétique :

B = µ0 (H +M) (3.27)

D = ε0E +P (3.28)

J = σE (3.29)

Les champs d’aimantation M [A/m] et de polarisation P [V s/m2] décrivent les phénomènes liés à la

présence de matériaux. Dans le vide, ces champs sont nuls et par conséquent, les relations concernées

ne s’appuient plus que sur la perméabilité magnétique du vide µ0 (4π×10−7 [V s/A/m]) et la permitti-

vité électrique du vide ε0 (∼ 8,854×10−12 [A s/V/m]). La conductivité électrique σ [A/V/m] influence

le courant généré par la présence d’un champ électrique dans un matériau.

3.3.2 Introduction aux équations de Maxwell dans leur forme de potentiel vecteur

Les équations de Maxwell peuvent être remaniées de manière à simplifier leurs expressions. Cette

section se penche sur la dérivation de cette seconde formulation, car COMSOL® en fait usage lors de

la description et de la résolution de l’analyse électromagnétique.

D’abord, il faut rappeler que la divergence du rotationnel d’un champ vectoriel quelconque donne

toujours un champ scalaire nul : ∇⋅(∇×A) = 0

Lorsque combinée à l’équation 3.23, cette identité vectorielle implique que B doit être le rotationnel

d’un champ vectoriel quelconque, désigné ici par A, le potentiel magnétique. Déjà, la solution de B,

la densité de flux magnétique, est obtenue :

B =∇×A (3.30)

Par la suite, l’équation 3.30 est substituée dans l’équation 3.25 introduite plus tôt. L’équation suivante

est obtenue pour le champ électrique :

∇×E = −∂ (∇×A)∂ t

(3.31)

L’ordre dans lequel s’appliquent les dérivées spatiales et temporelles n’a pas d’importance et ceci

permet de regrouper les termes qui sont affectés par un rotationnel. Ainsi, l’équation 3.31 peut être

réécrite comme suit :

∇×(E + ∂ A∂ t

) = 0 (3.32)

De plus, le rotationnel du gradient d’un champ scalaire quelconque donne toujours un champ vectoriel

nul : ∇×∇φ = 0

70

Cette identité vectorielle implique que les termes E + ∂A/∂ t de l’équation 3.32 peuvent également

décrire le gradient d’un champ scalaire, désigné ici par φ , le potentiel électrique. Pour une question

de convention, le signe du terme ∇φ est inversé. C’est ainsi qu’est obtenue la solution de E :

E = −∇φ − ∂ A∂ t

(3.33)

Cette seconde formulation des lois de l’électromagnétisme est en tout point équivalente à celle de

Maxwell. Elle est employée dans COMSOL®, car bien souvent, elle simplifie leur implémentation et

leur résolution. D’ailleurs, le potentiel magnétique A est employé pour décrire certaines conditions

aux frontières du domaine de résolution.

3.3.3 Domaine de résolution de l’analyse électromagnétique

Comme seul le régime permanent est considéré, tous les termes qui évoquent une dépendance au

temps peuvent être éliminés. L’interdépendance entre les champs électrique et magnétique disparaît et

comme le champ électrique n’intervient pas dans le problème, il peut être écarté. Au final, seules les

deux équations suivantes sont considérées lors de la résolution de ce problème, souvent désigné par

« magnétostatique » :

∇⋅B = 0 (3.34)

∇×H = J (3.35)

Ces équations sont assignées au domaine de résolution illustré en gris à la figure 3.13. Celui-ci se

compose de l’ensemble des composants de l’embrayage ayant reçu une représentation géométrique.

Puisque le flux magnétique se disperse dans les environs, le domaine de résolution inclut aussi le

milieu ambiant.

∇⋅B = 0

∇×H = J

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

FIGURE 3.13 – Domaine de résolution de l’analyse électromagnétique. Le domaine concerné, illustréen gris, est constitué de l’embrayage et de son environnement immédiat.

71

3.3.4 Équations de comportement

Pour lier la densité de flux magnétique B au champ magnétique H et ainsi compléter les relations 3.34

et 3.35, des équations de comportement suivantes sont assignées aux différentes parties du domaine

de résolution :

B = µ0µrH

B = µ0µrH

B = f (H)

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

FIGURE 3.14 – Équations de comportement assignées aux différentes parties du domaine de résolutionde l’analyse électromagnétique. Les matériaux ferromagnétiques sont illustrés en gris et les matériauxà faible aimantation, en blanc.

Matériaux à faible aimantationCes matériaux ont un comportement magnétique linéaire, soit :

B = µ0µrH (3.36)

Dans COMSOL®, il suffit de spécifier que le milieu en question se comporte de façon linéaire

puis de définir la valeur de la perméabilité magnétique relative µr si celle-ci n’a pas déjà été

définie par le matériau du milieu en question. Comme le montrent les composants en blanc à

la figure 3.14, cette équation de comportement est assignée au bobinage, à l’anneau de fixation

des disques et au milieu ambiant.

Matériaux ferromagnétiques douxComme il est fréquent de solliciter le comportement non linéaire des matériaux ferromagné-

tiques, la densité de flux magnétique B est donnée en fonction de l’amplitude du champ magné-

tique H, tel que décrit par la relation suivante :

B = f (H) (3.37)

Cette équation de comportement est assignée aux disques, aux flasques et à l’anneau ferroma-

gnétiques tel que montré à la figure 3.14.

72

3.3.5 Conditions aux frontières du domaine de résolution

Les équations présentées plus tôt décrivent le champ magnétique au sein du domaine de résolution,

mais rien encore ne décrit son comportement aux frontières. Les conditions qui s’y rattachent vont

comme suit :

Symetrie axiale(Isolation magnetique)n×A = 0 Etendue infinie

du milieu ambiant(Isolation magnetique)n×A = 0

Symetrie dereflexionn×H = n×H0

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

FIGURE 3.15 – Limites du domaine de résolution de l’analyse électromagnétique. Les frontières as-sociées à la symétrie de révolution sont illustrées en vert, celles associées à la symétrie de réflexion,en bleu, et enfin, celle qui délimite le milieu ambiant, en rouge.

Étendue limitée du milieu ambiantL’étendue du domaine de résolution associé au milieu ambiant doit être limitée pour se confor-

mer à la capacité de calcul disponible. La frontière qui résulte de cette limitation est isolée d’un

point de vue magnétique en appliquant la condition suivante à la frontière illustrée en rouge à

la figure 3.15 :

n×A = 0 (3.38)

où n représente la normale de la frontière du domaine de résolution. Cette condition force

le champ magnétique à adopter une direction parallèle à la frontière et ceci confine l’énergie

magnétique à l’intérieur du domaine de résolution. Ainsi, les pertes magnétiques dans le milieu

ambiant sont prises en compte convenablement.

Symétrie de révolutionLa condition d’isolation magnétique présentée à l’équation 3.38 est également utilisée pour

décrire la symétrie de révolution. Elle est donc appliquée à la frontière illustrée en vert à la

figure 3.15.

Symétrie de réflexionL’exploitation de la symétrie de réflexion engendre des frontières fictives illustrées en bleu

à la figure 3.15. Le champ magnétique doit être perpendiculaire à ces surfaces afin de bien

représenter la condition de symétrie. Le module AC/DC de COMSOL® [43] met à disposition

une entrée appelée « Champ magnétique » qui permet de spécifier l’amplitude H0 [A/m] de

73

la composante du champ magnétique tangentielle à la frontière, tel que d’écrite par l’équation

suivante :

n×H = n×H0 (3.39)

En fixant H0 à zéro (H0 = 0), le champ magnétique est forcé d’adopter une direction normale à

la frontière. Cela représente en effet la symétrie de réflexion comme souhaité.

3.3.6 Modélisation du bobinage

La modélisation du bobinage est simplifiée en supposant que ses multiples tours n’en forment qu’un

seul. Cette hypothèse est valide dans la mesure où les variations de courant demeurent faibles 7. Elle

consiste à répartir le courant I de chacun des N tours sur l’ensemble de la section S du bobinage pour

obtenir une densité de courant moyennée J, tel que :

Je = NI2∫S dS

eθ (3.40)

Dans cette équation, l’aire de section du bobinage est multipliée par deux, car seul la moitié du bo-

binage est représentée. Cette densité de courant J est appliquée à la représentation géométrique du

bobinage grâce à l’entrée « Densité de courant externe » du module AC/DC de COMSOL®. Si le

nombre de tours N n’est pas connu, il est possible d’en faire l’estimation à partir du facteur de rem-

plissage k et de l’aire de section A [m2] du fil conducteur :

N = 2k∫S dSA

(3.41)

D’ordinaire, le fil qui est utilisé dans la fabrication du bobinage se conforme au standard américain

American Wire Gauge (AWG). Si tel est le cas, l’aire de la section conductrice A du fil de calibre n

est donnée par :

A = 0,012668×92(36−n)/19,5 [mm2] (3.42)

La longueur du fil conducteur l [m] peut être évaluée comme suit :

l =N ∫S 2πrdS

∫S dS(3.43)

Il est aussi possible d’évaluer sa résistance R [Ω] à partir de l’équation suivante :

R(T) = ∫S NA

2πrσ(T)

dS

∫S dS(3.44)

Avec l’introduction de la température T dans le modèle, la conductivité électrique σ varie sur le

domaine et c’est pourquoi elle demeure dans l’intégrale.

7. Si le courant est continu, la densité de courant est uniformément répartie dans la section du fil conducteur et l’hypo-thèse est valide. Par contre, s’il s’agissait d’un courant alternatif, les forces magnétiques alors générées repousseraient lesélectrons vers la périphérie du fil. Ceci réduit l’aire de conduction effective et par conséquent, la résistance du fil augmente.

74

3.4 Analyse magnétorhéologique

La densité de flux magnétique B peut maintenant être utilisée afin de déterminer la viscosité du fluide

magnétorhéologique et du coup, le couple transmis par l’embrayage. Comme ces aspects ont été cou-

verts au chapitre 2, cette section est très brève. Il s’agit simplement d’aborder les principales particu-

larités propres à l’introduction du modèle de fluide magnétorhéologique dans le modèle d’embrayage.

Cette section se limite donc à la description du domaine de résolution et à ces conditions aux fron-

tières. À titre informatif, la portion du code MATLAB® qui implémente l’aspect magnétorhéologique

du modèle dans COMSOL® est présentée à l’annexe C.4.

3.4.1 Domaine de résolution de l’analyse magnétorhéologique

La formulation faible du problème magnétorhéologique, introduite à la section 2.5.6, est assignée au

domaine de résolution via le module physique « EDP, Forme faible » de COMSOL®. Le domaine

de résolution se limite à l’espace occupé par le fluide tel qu’illustré en gris à la figure 3.16. Il est

borné par les surfaces des disques internes et externes et celles des espaceurs intercalés entre chaque

disque. L’introduction de la symétrie de réflexion a toutefois mené à l’introduction d’une frontière

additionnelle.

voir b)

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

a)Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

b)

FIGURE 3.16 – a) Domaine de résolution du problème magnétorhéologique. Le domaine concerné,illustré en gris, correspond à l’espace occupé par le fluide magnétorhéologique. b) Vue agrandie.

3.4.2 Conditions aux frontières du domaine de résolution

Lorsqu’est adressée la question des conditions aux frontières du domaine de résolution de l’analyse

magnétorhéologique, deux situations se présentent :

75

Condition de non-glissement aux paroisUne condition de non-glissement est imposée au niveau de l’interface séparant le fluide et les

disques. Autrement dit, la couche de fluide avance à la même vitesse que la surface rigide du

disque avec laquelle elle est en contact :

vθ ,disques = vθ , f luide (3.45)

Dans COMSOL®, l’implémentation de cette condition consiste à utiliser l’entrée « Limites de

Dirichlet » du module physique « EDP, Forme faible » afin de définir la valeur locale du champ

de vitesse v aux frontières concernées. Cette portion du champ de vitesse est décrite par la

relation suivante :

vθ = r×ω (3.46)

où r est la position radiale et ω [rad/s] est la vitesse angulaire des disques. En raison de la

différence de vitesses qui subsiste entre les empilements de disques internes et externes, deux

entrées sont nécessaires dans COMSOL® pour compléter cette description. L’une est illustrée

en bleu à la figure 3.17 et l’autre, en rouge.

Toutefois, certaines circonstances peuvent provoquer un glissement entre les surfaces métal-

liques et le fluide. Ce phénomène a été observé et supporté par plusieurs études dont celles de

G. Bossis [44] et de D. Susan-Resiga [23]. Lorsque cela se produit, le fluide magnétorhéolo-

gique conserve un état solide, résultant d’un arrangement compact entre particules. Ce phéno-

mène est difficile à prévoir, car il dépend d’une multitude de facteurs tels que la concentration

de particules et l’historique d’excitation du fluide. Pour cette raison, il n’est pas pris en compte

dans le cadre de ce travail.

Symétrie de réflexionL’introduction de la symétrie de réflexion a mené à la création d’une frontière fictive illustrée

en vert dans la vue agrandie inférieure de la figure 3.17. Afin de convenablement représenter la

condition de symétrie en cet endroit, le champ de vitesse tangentielle vθ à proximité de cette

surface est dirigé parallèlement à cette dernière. Une autre façon d’exprimer cette condition

revient à limiter le flux de vitesse à travers la frontière δΩ. Mathématiquement, cette condition

est représentée comme suit :

∫δΩ

v ⋅ndS = 0 (3.47)

Dans COMSOL®, l’entrée utilisée est appelée « Flux nul » et fait également partie du module

physique « EDP, Forme faible ».

76

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

FIGURE 3.17 – Conditions aux frontières du domaine de résolution de l’analyse magnétorhéologique.Les frontières associées aux disques internes et externes sont illustrées en bleu et en rouge respective-ment et la frontière associée à la symétrie de réflexion est illustrée en vert.

3.5 Analyse thermique

Le module de transferts thermiques de COMSOL® est utilisé pour estimer la température dans l’em-

brayage. Son effet sur les propriétés des matériaux peut dorénavant être pris en compte. Aussi, cela

permet d’assurer que la conception respecte la plage de températures jugée adéquate et sécuritaire.

Le domaine de résolution, auquel est assignée l’équation régissant les transferts thermiques, est d’abord

introduit à la section 3.5.1. Les conditions aux frontières du domaine de résolution, qui permettent de

rendre compte des interactions avec le milieu ambiant, sont ensuite abordées à la section 3.5.2. Il est

alors question de la dissipation de chaleur par convection et par rayonnement. Puis, les conditions aux

interfaces entre les différents milieux sont abordées à la section 3.5.3. Enfin, les sources de chaleur,

qui sont responsables de l’élévation de température dans l’embrayage, sont abordées à la section 3.5.4.

Il est alors question de la chaleur dégagée par effet Joule dans le bobinage et celle dégagée par les

effets visqueux dans le fluide magnétorhéologique. À titre informatif, la portion du code MATLAB®

qui implémente l’aspect thermique du modèle dans COMSOL® est présentée à l’annexe C.5.

77

3.5.1 Domaine de résolution de l’analyse thermique

En régime permanent, l’équation régissant les transferts thermiques dans un milieu solide va comme

suit : ∇⋅(−k∇T) =Q (3.48)

où le terme −k∇T correspond au flux de chaleur dans un milieu de conductivité thermique k [W/m/K]

et de température T [K] et où Q [W/m3] est la source de chaleur qui permet de tenir compte des

phénomènes dissipatifs (effet Joule, pertes visqueuses, etc.). L’équation 3.48 est donc assignée au do-

maine de résolution de l’analyse thermique, illustrée en gris à la figure 3.18. Ce domaine se limite à

l’embrayage seulement et donc, le milieu ambiant n’en fait pas partie. Afin de rendre compte des in-

teractions avec le milieu ambiant, un coefficient de transfert thermique et une émissivité sont attribués

aux surfaces externes de l’embrayage.

∇⋅(−k∇T) =Q

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

FIGURE 3.18 – Domaine de résolution de l’analyse thermique. Le domaine considéré est illustré engris et le milieu ambiant n’en fait pas partie.

3.5.2 Conditions aux frontières du domaine de résolution

Pour prendre en considération les différents phénomènes qui surviennent aux frontières du domaine de

résolution, la composante du flux de chaleur −n ⋅(−k∇T) perpendiculaire à la frontière est contrainte

d’adopter une valeur précise q0 [W/m2], telle que décrite par la relation suivante :

− n ⋅(−k∇T) = q0 (3.49)

Comme montré à la figure 3.19, le flux thermique q0 traversant la frontière du domaine de résolution

est adapté de façon à refléter la nature du phénomène qui s’y produit :

Symétrie de réflexionL’introduction de la symétrie de réflexion a mené à la création de frontières fictives, illustrées en

bleu à la figure 3.19. Pour représenter cette symétrie, une condition d’isolation thermique em-

pêche la propagation de chaleur à travers ces surfaces. Cette condition est décrite par l’équation

78

suivante :

q0 = 0 (3.50)

L’entrée « Isolation thermique » du module de transfert thermique de COMSOL® permet d’ap-

pliquer cette condition.

Isolation thermiqueComme très peu de chaleur peut se dissiper par l’arbre de transmission, une condition d’iso-

lation thermique est également appliquée au centre de l’embrayage, illustrée en vert à la fi-

gure 3.19. Cette hypothèse est conservatrice, car elle conduit à des températures plus élevées

qu’elles le sont en réalité.

Chaleur dissipée par convectionLa circulation de l’air autour de l’embrayage permet de dissiper une partie de la chaleur gé-

nérée lors de son fonctionnement. Le flux de chaleur est alors proportionnel à la différence de

température entre la surface et l’air qui la balaie, tel que décrit par l’équation suivante :

q0 = h(Ts−T) (3.51)

où h [W/m2/K] est le coefficient de transfert thermique. Sa valeur est estimée à 15 [W/m2/K]

ce qui correspond à une convection naturelle. Celle-ci est entretenue par des écarts de densités

causés par une élévation de la température de l’air à proximité de l’embrayage. Cette condition

est appliquée sur le pourtour de l’embrayage illustré en rouge à la figure 3.19. Pour ce faire, une

entrée « Refroidissement convectif » est ajoutée au modèle COMSOL®.

Chaleur dissipée par convection via des ailettesDes ailettes sont ajoutées en périphérie de l’embrayage pour améliorer son refroidissement.

L’équation 3.51, qui décrit les transferts par convection, est utilisée à la frontière associée à

la présence d’ailettes, illustrée en jaune à la figure 3.19. Toutefois, le coefficient de transfert

thermique h est altéré afin de prendre en compte l’influence de ces ailettes. L’équation suivante

permet de calculer le coefficient de transfert thermique effectif he [W/m2/K] correspondant aux

ailettes axisymétriques [45] :

he = hA f

Ae(1− NA f

NA f +Ab(1−η f )) (3.52)

où h est le coefficient de transfert thermique à proximité des ailettes (15 [W/m2/K]), Ae [m2] est

la surface illustrée en jaune à la figure 3.19, Ab [m2] est l’aire à la base des ailettes, A f [m2] est

l’aire associée aux N ailettes et η f est l’efficacité des ailettes. Cette dernière se calcule à l’aide

79

de la relation suivante [45] :

η f = 2r1/mr2

2c− r21

K1(mr1)I1(mr2c)− I1(mr1)K1(mr2c)I0(mr1)K1(mr2c)+K0(mr1)I1(mr2c) où m =

√2hkt

et r2c = r2+ t2

(3.53)

où r1 [m] et r2 [m] sont les rayons interne et externe des ailettes respectivement, t [m] en est

l’épaisseur, I0 et I1 sont les fonctions de Bessel modifiées de première espèce dont l’ordre est

zéro et un respectivement et enfin, K0 et K1 sont les fonctions de Bessel modifiées de seconde

espèce dont l’ordre est zéro et un respectivement. La présence d’ailettes améliore substantielle-

ment l’évacuation de la chaleur et cela se reflète par le coefficient de transfert thermique effectif

he qui peut être décuplé par rapport à la valeur initiale.

Chaleur dissipée par rayonnementLa chaleur du système est également dissipée sous forme de rayonnement. Le taux auquel

se dégage cette énergie est proportionnelle à la différence de température entre la surface et le

milieu ambiant, toutes deux élevées à la puissance quatre, tel que décrit par l’équation suivante :

q0 = εσ(T 4s −T 4) (3.54)

où ε est l’émissivité de la surface et σ est la constante de Stephan-Boltzmann (5,67×10−8

[W/m2/K4]). L’émissivité à la surface de l’embrayage est fixée à 0,8 qui est une valeur typique

pour l’aluminium anodizé [46]. En augmentant l’aire émettrice effective, la présence d’ailettes

a pour effet d’accroître cette valeur. Par contre, cet aspect est négligé, mais l’impact est jugé

minime.

Convexion viades ailettes etrayonnement

q0 = he (Ts−T)+εσ (T 4s −T 4)

Convexion etrayonnementq0 = h(Ts−T)+εσ (T 4

s −T 4)Symetrie

de reflexionq0 = 0

Isolationthermiqueq0 = 0

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

FIGURE 3.19 – Conditions aux frontières du domaine de résolution de l’analyse thermique. Les repré-sentations géométriques de l’arbre et des ailettes ont été ajoutées à titre indicatif.

3.5.3 Conditions aux interfaces du domaine de résolution

Tel qu’illustré à la figure 3.20, les interfaces entre les différents milieux du domaine de résolution

sont porteuses de relations mathématiques décrivant la manière avec laquelle le flux de chaleur les

80

traverse :

Condition aux interfaces par défautPar défaut, les interfaces n’interviennent pas dans la propagation de la chaleur et le phénomène

de conduction suit son cours normal. Par conséquent, la température à l’interface du premier

milieu T1 correspond exactement à celle du second T2, tel que décrit par l’équation suivante :

T1 = T2 (3.55)

Cette propagation de la chaleur suppose un excellent contact entre les deux milieux adjacents,

ce qui n’est pas partout le cas.

Résistances thermiques étroitesSelon la conception de l’embrayage, il peut subsister de petits interstices entre certains compo-

sants. Le pourtour du bobinage en est un exemple comme le montre la figure 3.20. La relation

suivante permet de prendre en compte l’effet de ces interstices sur la propagation de la chaleur :

q0 = −ksT2−T1

ds(3.56)

où ds [m] est l’épaisseur de ces interstices et ks [W/m/K] est la conductivité thermique du

milieu dont ils sont constitués. En admettant que l’épaisseur de la couche résistive ds demeure

assez mince, aux alentours de 0,25 [mm], et qu’elle soit constituée d’air dont la conductivité

thermique ks est estimée à 0,25 [W/m/K], cette condition est responsable d’une élévation de

quelques degrés seulement dans le bobinage. Le modèle en tient tout de même compte.

Conditionpar defaut

T1 = T2

Resistancethermique etroite

q0 = −ksT2−T1

ds

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

FIGURE 3.20 – Conditions aux interfaces de l’analyse thermique. Les conditions aux interfaces pardéfaut sont illustrées en vert et les résistances thermiques étroites, en orange.

3.5.4 Sources de chaleur

La source de chaleur Q [J/m3] doit être développée pour tous les phénomènes qui introduisent de

l’énergie calorifique dans l’embrayage magnétorhéologique :

81

Énergie dissipée par effet Joule dans le bobinageDe façon générale, lorsqu’un conducteur est traversé par un courant électrique, de la chaleur

s’en dégage. En effet, les électrons libres en mouvement entrent continuellement en collision

avec les électrons liés aux atomes du conducteur et leur transmettent une partie de leur énergie

cinétique sous forme de petites vibrations qui sont perçues comme de la chaleur. Ce phénomène

dissipatif est communément appelé l’effet Joule. Ces pertes de chaleur Q sont inversement

proportionnelles à la conductivité électrique σ [m/S] du fil conducteur et proportionnelles au

carré de la densité de courant J [A/m2] qui y circule, tel que décrit par l’équation suivante :

Q(T) = 1σ(T)J

2 (3.57)

La densité de courant J doit être calculée par rapport à l’aire de section du fil conducteur.

Toutefois, la densité de courant J utilisée est moyennée sur l’aire de section du bobinage. Pour

cette raison, J doit être préalablement divisé par le facteur de remplissage k du bobinage, tel

que décrit par l’équation suivante :

Q(T) = 1σ(T) (J

k)2

(3.58)

L’influence de la température T sur la conductivité électrique σ est très importante et doit être

prise en compte. Cette relation a été introduite à l’équation 3.16.

Énergie dissipée par les effets visqueux dans le fluide magnétorhéologiqueLorsque le fluide magnétorhéologique est soumis à une contrainte de cisaillement qui suffit à

le déformer, de l’énergie est dissipée sous forme de chaleur par les effets visqueux. L’équation

qui décrit ce phénomène va comme suit :

Q = τ ∶ ∇v (3.59)

où τ est le tenseur des contraintes visqueuses défini à l’équation 2.34, ∇v est le gradient de

vitesse dans le fluide magnétorhéologique défini à l’équation 2.32 et l’opérateur (∶) est le produit

intérieur de deux tenseurs. Cette équation a déjà été introduite pour évaluer le couple transmis

(voir eq. 2.49).

Les équations 3.58 et 3.59 sont donc assignées à l’interface de fluide magnétorhéologique et au bobi-

nage respectivement.

3.6 Discrétisation du domaine de résolution

La résolution des équations aux dérivées partielles via la méthode des éléments finis s’appuie sur

la discrétisation du domaine de résolution pour trouver une solution approchée. La discrétisation du

82

domaine de résolution prend la forme d’un maillage constitué de nœuds reliés par des éléments. Par

défaut, COMSOL® utilise des éléments de type Lagrange (ordre 2) tel qu’illustré à la figure 3.21. Ce

type d’éléments introduit un degré de liberté additionnel situé à mi-chemin (points 4, 5 et 6) entre

les différents nœuds du maillage (points 1, 2, et 3). Ces degrés de liberté additionnels permettent

d’obtenir une solution plus précise, mais requièrent aussi plus d’espace mémoire. La qualité de la

1

3

26

45

FIGURE 3.21 – Élément triangulaire de type Lagrange utilisé pour la discrétisation du problème dansCOMSOL®.

discrétisation peut également influencer la solution du problème. En effet, un maillage trop grossier

rend difficilement compte des particularités associées aux détails géométriques trop petits. À l’opposé,

un maillage trop fin accroit le temps de résolution de manière déraisonnable. De plus, le maillage doit

être assez raffiné pour prendre en compte les fortes variations locales (gradients) que peut présenter la

solution.

Un seul et unique maillage est utilisé pour l’ensemble des analyses (électromagnétique, magnéto-

rhéologique et thermique). Par conséquent, celui-ci doit répondre à l’ensemble des besoins propres à

chaque analyse. Le maillage typique qui en résulte est présenté à la figure 3.22. Les paramètres (taille

minimale et maximale des éléments, taux de croissance de leur taille, etc.) permettant de contrôler la

construction du maillage sont associés aux différentes entités géométriques (points, arrêtes et faces)

par l’entremise de définitions. Au cas où elles entreraient en conflit, chaque nouvelle définition a pré-

séance sur les définitions antérieures. Au total, il y a trois étapes de définition et elles vont comme

suit :

Étape n°1La taille du maillage est d’abord définie à « normale » pour la totalité du domaine de résolution.

Ce préréglage de COMSOL® permet d’obtenir un maillage de base dont la taille est jugée

adéquate pour les besoins du problème. Les paramètres de construction du maillage associés à

ce préréglage se retrouvent au tableau 3.6.

Étape n°2Comme de forts gradients magnétiques s’établissent dans le coin extérieur du bobinage, le

maillage est raffiné en cet endroit précis, tel qu’illustré à la figure 3.22 c). La taille maximale

des éléments passe alors de 0,0054 à 0,0001 [m].

83

voir b)

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

a)

voir d)voir c)

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

b)

Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

c)Dimension radiale r

Dim

ensi

onax

iale

z

d)

FIGURE 3.22 – Maillage du modèle de l’embrayage magnétorhéologique a) pour le domaine de réso-lution dans son ensemble, b) au niveau de l’embrayage, c) au niveau du coin extérieur du bobinage, d)au niveau de l’interface de fluide magnétorhéologique.

Étape n°3Comme le nombre d’éléments représentant l’épaisseur de l’interface de fluide n’a pas beaucoup

d’influence sur l’évaluation du couple (voir section 2.6.5, page 37), ce nombre est réduit au

minimum. La taille du maillage est donc précisée pour l’ensemble des domaines occupés par

l’interface de fluide magnétorhéologique et les disques. Les tailles minimale et maximale des

éléments y sont fixées à 4/3 de la distance axiale Dc entre les disques. Comme le montre la

figure 3.22 d), ceci engendre un maillage très régulier et une interface de fluide caractérisée par

un ou deux éléments d’épaisseur.

Les paramètres de construction du maillage pour chaque étape de la définition du maillage sont ré-

sumés au tableau 3.6. Les paramètres de construction du maillage ayant été attribués aux différentes

entités géométriques, COMSOL® procède à la construction du maillage. La méthode de construction

« Front d’avancement » est utilisée, car elle génère un maillage plus régulier, spécialement dans les

zones où la taille des éléments s’apparente à celle de la géométrie. Au final, le maillage compte envi-

ron 1×104 éléments, mais ce nombre peut varier légèrement selon la géométrie de l’embrayage. À titre

84

TABLEAU 3.6 – Valeurs des paramètres pour chaque étape de construction du maillage.

Paramètre du maillage Valeurs Unités

Étape n°1 Étape n°2 Étape n°3Taille maximale des éléments 5,4 ×10−3 1 ×10−4 4/3 Dc [m]Taille minimale des éléments 2,43 ×10−5 4/3 Dc [m]Taux de croissance maximal de la taille des élé-ments

1,3

Résolution de la courbure 0,3Résolution des régions étroites 1

informatif, la portion du code MATLAB® qui implémente la discrétisation du domaine de résolution

est présentée à l’annexe C.6.

3.7 Résolution du problème

La taille du maillage étant modeste, il est possible de résoudre chaque analyse (électromagnétique,

magnétorhéologique et thermique) à partir d’algorithmes directs qui, bien qu’exigeant en ce qui a

trait à l’espace mémoire, convergent vers une solution beaucoup plus rapidement que les algorithmes

itératifs. L’algorithme de résolution direct dénommé « Pardiso » est donc utilisé.

Afin de profiter au maximum des capacités multitâches du processeur Intel® Xeon® W3680 cadencé

à 3,33 [Ghz], cet algorithme est employé avec une « Dissection imbriquée ». Le problème est alors

séparé en plusieurs parties qui sont résolues simultanément par les multiples processeurs. De façon

générale, ceci améliore le temps de résolution du problème.

Puisque les différentes analyses (magnétique, magnétorhéologique et thermique) sont interdépen-

dantes, la résolution doit tout de même s’effectuer en plusieurs itérations. Certaines circonstances,

parfois difficilement prévisibles, font en sorte que le nombre d’itérations maximal par défaut est in-

suffisant. Pour éviter les erreurs qui risquent de mettre un terme à la séquence de calcul, ce paramètre

est fixé à 50 au lieu 25.

3.8 Estimation de la masse de l’embrayage

Le couple massique de l’embrayage, l’un de ses principaux critères de performance, dépend de sa

masse. Par conséquent, celle-ci doit être estimée. Sans rechercher à tout prix une valeur exacte, l’im-

portant est de se doter d’une bonne base de comparaison entre les différentes variantes géométriques

de l’embrayage magnétorhéologique. La masse de chaque composant de l’embrayage est estimée

85

comme suit :

Composants ayant une représentation géométrique dans COMSOL®

La masse m [kg] de chaque composant ayant une représentation géométrique est calculée en

intégrant la densité ρ [kg/m3] du matériau sur l’ensemble du domaine Ω en question. En raison

de la symétrie de réflexion, le résultat est doublé comme le dicte l’équation suivante :

m = 2∫Ω

ρ 2πrdA (3.60)

La contribution de ces composants correspond environ au deux tiers de la masse totale de l’em-

brayage. Le calcul doit donc prendre compte les autres composants tels l’arbre de transmission

et les paliers qui ne sont pas représentés dans le modèle COMSOL®.

Arbre de transmissionLe diamètre externe D [m] de l’arbre de transmission est en lien direct avec un paramètre

géométrique déjà déterminé (Ra), mais son diamètre interne d [m] n’est toujours pas précisé,

car celui-ci dépend de la capacité en couple Mmax [N m] de l’embrayage qui n’est connue qu’une

fois le problème résolu. Admettant une contrainte de cisaillement maximale τmax [N/m2] dans

l’arbre de transmission, son diamètre interne d peut être calculé comme suit 8 :

d = (D4− 16DMmax

πτmax)1/4

(3.61)

Cette contrainte de cisaillement maximale τmax est liée à la contrainte d’écoulement τy [N/m2]

du matériau qui le constitue. Dans le cas d’un arbre cannelé, elle est estimée comme suit :

τmax = τy

Fs

K f

Ka(3.62)

où K f est le facteur de résistance à la fatigue des cannelures (∼0,3 pour 106 cycles complètement

renversés), Ka est le facteur d’application des cannelures (∼1,8 pour l’application visée) et Fs

est le facteur de sécurité (∼1,25 pour l’application visée). Il est possible que le couple transmis

par l’interface de fluide soit tel que l’espace réservé à l’arbre de transmission soit insuffisant

(d ∈ IR+). Dans ce cas, le couple nominal de l’embrayage correspond au couple maximal admis

par l’arbre de transmission.

La longueur de l’arbre de transmission est en lien avec la longueur axiale l [m] du circuit magné-

tique, mais demeure inconnue. De la même façon, l’impact des éléments d’attache (cannelures,

boulons de fixation, etc.) sur la masse ne peut être déterminé avec précision sans en faire une

analyse très détaillée. Il est donc plus simple d’estimer la masse de l’arbre tel un cylindre évidé,

puis d’en affecter le résultat par un facteur Fm qui tient compte des éléments incertains, tel que :

m = Fmρlπ4(D2−d2) (3.63)

8. En combinant Mmax = τmax2J/D et J = π(D4 −d4)/32 où J est le moment d’inertie quadratique d’un cylindre évidé,puis en isolant d.

86

Des essais impliquant un logiciel de conception assistée par ordinateur ont permis de déterminer

qu’une valeur de 3 pour le facteur Fm menait à une estimation réaliste de la masse de l’arbre de

transmission. Cette masse n’est donc qu’une estimation, mais les principaux éléments dont elle

dépend (les diamètres interne et externe de l’arbre de transmission ainsi que la longueur axiale

du circuit magnétique) sont pris en compte.

AilettesLa géométrie utilisée pour l’estimation de la masse des ailettes correspond à celle qui a été

supposée pour calculer le coefficient de transfert thermique effectif à la section 3.5.2. À cela

s’ajoute la portion à la base des ailettes qui permet de les maintenir en position. L’épaisseur de

la base varie selon la configuration géométrique de l’embrayage, car dans certains cas, elle doit

aussi faire office de cloison pour le fluide magnétorhéologique et de support pour les disques

externes. La masse associée aux ailettes est alors obtenue à partir de la masse volumique de

l’aluminium.

PaliersLes paliers ont des dimensions spécifiques qui, la plupart du temps, sont dictées par les stan-

dards de l’industrie. Ainsi, les possibilités au niveau de leurs dimensions et de leur masse sont

réduites à des valeurs discrètes. Le choix des paliers est directement lié avec un paramètre géo-

métrique radial déjà déterminé (Ra ou Rd selon la configuration géométrique de l’embrayage).

Une fois choisie, la masse correspondante est utilisée pour le calcul.

Joints statiques, joints dynamiques et visLes joints statiques et dynamiques ainsi que les vis ne sont pas pris en compte dans l’estimation

de la masse. Leur contribution est jugée négligeable.

Au final, la masse m de chacun des composants de l’embrayage est additionnée pour obtenir l’estima-

tion de la masse totale de l’embrayage.

3.9 Validation expérimentale du modèle d’embrayagemagnétorhéologique à disques

Pour valider le modèle d’embrayage, une comparaison est effectuée avec des données expérimentales

provenant d’un embrayage magnétorhéologique (MRC1) développé par L. Harvey au Laboratoire

des Systèmes Mécaniques Intelligents (LSMI) de l’Université Laval en 2010. Les principales carac-

téristiques de cet embrayage magnétorhéologique sont présentées au tableau 3.7. Pour des raisons

87

de confidentialité, le modèle numérique ne peut être comparé qu’avec des données expérimentales

obtenues en régime statique (couple nécessaire pour provoquer un glissement).

TABLEAU 3.7 – Principales caractéristiques de l’embrayage magnétorhéologique à disques (MRC1)utilisé pour valider le modèle numérique.

Variable de conception Description Valeurs admises Unités

M Couple nominal (simulé) 22,7 N/mI Courant nominal du bobinage (simulé) 1,5 A

Nombre de tours de fil du bobinage 346Masse (mesurée) 0,983 kg

M f Matériau ferromagnétique AISI 1020 recuitC Configuration géométrique 5N Nombre de disques 19Ra Rayon interne de l’anneau ferromagnétique 0,0113 mRb Rayon interne du bobinage 0,0210 mRc Rayon externe du bobinage 0,0282 mRd Rayon interne des disques 0,0384 mRe Rayon externe des disques 0,0405 m

Couple statique expérimentalLa figure 3.23 montre le couple statique (triangles) en fonction du courant fourni à l’embrayage ma-

gnétorhéologique MRC1. Ces valeurs correspondent au couple minimum requis pour provoquer un

glissement. Chaque point représente une moyenne de couple effectuée sur cinq mesures consécutives.

Voici comment chaque mesure est effectuée :

1. D’abord, 10 tours sont effectués lorsque le bobinage n’est pas alimenté en courant. Ceci per-

met de briser les structures de particules qui peuvent subsister et réduit l’impact de la mesure

précédente.

2. Le bobinage est alimenté en courant en prenant soin de ne pas dépasser la valeur visée si un

ajustement est nécessaire.

3. Un dernier tour est effectué dans le même sens lorsque le courant est appliqué pour permettre

aux structures de particules de s’établir (se densifier). Cela réduit la variabilité des mesures de

couple.

4. La mesure du couple statique est effectuée toujours au même endroit (position angulaire) en

déplaçant progressivement une masse le long d’un bras de levier horizontal, jusqu’à ce que

l’embrayage glisse.

5. La température à proximité du fluide est mesurée. Elle est maintenue autour de 50 [C] durant la

prise de mesure. À titre informatif, le courant d’alimentation nominal du bobinage est de 1,5 [A].

Au-delà de cette valeur, l’échauffement devient trop important pour maintenir le fonctionnement

88

en continu. Par exemple, un courant de 4 [A] ne peut être maintenu plus de quelques dizaines de

secondes. Ainsi, le temps entre chaque mesure est ajusté pour maintenir la température visée.

6. Les étapes 1 à 5 sont répétées cinq fois pour une même valeur de courant, après quoi ces cinq

mesures de couple sont moyennées.

Ces mesures ont été effectuées immédiatement après un remplissage de fluide magnétorhéologique.

La plage de courant a été balayée à plusieurs reprises (de 4 à 0 [A] par décrément de 0,5 [A]). Au cours

de l’expérience, une diminution de couple a été observée (∼20%), mais celle-ci tend à se stabiliser.

Seules les données stabilisées sont présentées à la figure 3.23 et servent à la comparaison.

Couple dynamique simuléPour que les résultats de la simulation correspondent aux données expérimentales, la température du

modèle est maintenue à 50 [C] partout dans l’embrayage. La vitesse entre les disques est fixée à

9,2 [rev/min] afin d’engendrer des contraintes de cisaillement suffisantes pour solliciter (d’après le

modèle) l’écoulement du fluide magnétorhéologique entre les disques. Le couple provenant du mo-

dèle numérique a été augmenté de 0,3 [N m] pour tenir en compte l’effet du frottement sec des joints

dynamiques 9. Le couple simulé (trait continu) qui en résulte est présenté en fonction du courant d’ali-

mentation du bobinage à la figure 3.23. À titre indicatif, les figures B.1 à B.4 présentées à l’annexe B

montrent quelques solutions typiques des analyses électromagnétique, magnétorhéologique et ther-

mique.

Analyse des résultatsPour un courant d’alimentation inférieur à 1 [A] les couples expérimental et simulé correspondent très

bien, mais au-delà de 1 [A], les résultats ne correspondent plus. À partir de 2 [A], la progression du

couple dynamique simulé se stabilise à 1,5 [N m/A] alors que celle du couple statique expérimental se

poursuit pour atteindre des valeurs de couple environ 35% supérieures. Cette différence entre le couple

statique et dynamique qui s’accentue avec l’intensité du courant d’alimentation (voir la contrainte de

cisaillement à la figure 2.2 a), page 12) a également été observée par Susan-Resiga [23]. Bien que cela

ne vienne en rien confirmer la validité du modèle, les résultats présentés à la figure 3.23 s’avèrent au

moins compatibles entre eux. Pour confirmer la validité du modèle de l’embrayage, de futurs travaux

exigeront une source de données expérimentales en régime dynamique.

La masse et la température ont aussi été comparées et les résultats du modèle numérique correspondent

très bien aux observations. En effet, la masse de 1,014 [kg] prédite par le modèle est très près de la

masse de 0,983 [kg] mesurée expérimentalement. De plus, des tests ont démontré que, pour un courant

donné, la température en régime permanent à la surface de l’embrayage se situe à l’intérieur de 5 [C]

de la valeur prédite par le modèle. Les résultats obtenus permettent d’avoir suffisamment confiance

envers le modèle pour aller de l’avant avec l’étape d’optimisation.

9. Estimé en laboratoire.

89

0 1 2 3 40

20

40

60

Courant d’alimentation [A]

Cou

ple

[Nm

]

Couple statique expérimentalCouple dynamique simulé

FIGURE 3.23 – Couple statique (nécessaire pour provoquer un glissement) expérimental (triangle)et le couple dynamique (en glissement) simulé (trait continu) en fonction du courant d’alimentationde l’embrayage magnétorhéologique MRC1. Pour un courant d’alimentation inférieur à 1 [A], lescouples statique (expérimental) et dynamique (simulé) correspondent bien, mais au-delà, le couplestatique (expérimental) devient plus important.

90

4 Optimisation de l’embrayage magnétorhéolo-gique

L’objectif de ce chapitre est de mettre en place une séquence d’optimisation basée sur les prédic-

tions du modèle d’embrayage dans le but de cibler une conception optimale en regard des critères de

performance établis par les partenaires industriels. Réduit à sa plus simple expression, le problème

d’optimisation est défini comme suit :

Contraintes de conception– L’embrayage doit transmettre un couple nominal de 280 [N m] sans admettre de glissement.

– La température du milieu ambiant peut atteindre 60 [C] et même dans ces conditions, le

fluide magnétorhéologique doit demeurer sous les 120 [C] pour éviter sa dégradation pré-

maturée et tout risque d’inflammation.

– Lorsque l’embrayage est désactivé, les vitesses de rotation sont limitées à 30 [rev/min].

– Le diamètre externe de l’embrayage doit demeurer inférieur à 0,2 [m].

Objectifs de conception– L’application pour laquelle l’embrayage est destiné requiert de minimiser la masse.

– L’embrayage doit être le plus efficace possible du point de vue de la consommation élec-

trique, mais cet objectif demeure secondaire.

D’abord, l’espace de conception est sondé de façon aléatoire à la section 4.1 pour faire ressortir les

principales tendances et ainsi permettre de constater l’influence qu’ont certains paramètres sur les

performances de l’embrayage. Par la suite, un algorithme génétique est employé à la section 4.2 pour

trouver une combinaison de paramètres optimale répondant aux objectifs et aux contraintes tout juste

établis.

4.1 Exploration aléatoire de l’espace de conception

L’espace de conception constitue l’ensemble de toutes les conceptions qu’il est possible de générer

en combinant différentes valeurs associées à un certain nombre de paramètres. Dans le cas présent,

ces paramètres décrivent la géométrie, les matériaux et la source d’alimentation électrique du modèle

d’embrayage implémenté au chapitre 3. Cet espace de conception est d’abord défini en détail à la

91

section 4.1.1 après quoi, quelques milliers de conceptions y sont tirés au sort pour que leurs perfor-

mances soient évaluées. Les informations qui en découlent permettent de faire les constats intéressants

présentés à la section 4.1.2.

4.1.1 Définition de l’espace de conception

Puisque l’étendue (le nombre de possibilités) de cet espace croit de façon exponentielle avec le nombre

de paramètres qui le définit, sa description est restreinte aux paramètres qui ont le plus d’influence sur

les performances de l’embrayage (en regard du couple, de la masse et de l’efficacité énergétique).

Les paragraphes suivants expliquent le choix fait à l’égard des variables de conception et traitent des

plages de valeurs qui leur sont associées :

Densité de courant du bobinageComme il est possible d’ajuster le courant, l’aire de section et le nombre de tours du fil conduc-

teur pour y faire correspondre une densité de courant J (∥J∥) donnée, il n’y a que ce dernier pa-

ramètre qui est nécessaire pour caractériser la source d’alimentation électrique de l’embrayage.

La densité de courant étant à la source de l’intensité du champ magnétique et des pertes de

chaleur par effet Joule, son effet sur les performances de l’embrayage est indéniable et donc,

celle-ci compte parmi les variables de conception. Des essais préliminaires ont permis de dé-

montrer qu’une densité de courant inférieure à 4 [A/m2] n’est pas suffisante pour causer une

élévation importante de la température et qu’une densité de courant supérieure à 10 [A/m2]

engendre un échauffement beaucoup trop élevé, peu importe la taille et la géométrie de l’em-

brayage. Ces valeurs constituent donc les limites de la plage étudiée.

Matériaux ferromagnétiquesDeux matériaux ferromagnétiques ont été sélectionnés dans le cadre du processus d’optimi-

sation. Il s’agit d’un acier à basse teneur de carbone (AISI 1020) et d’un alliage de fer et de

cobalt (Hiperco 27). Bien que ce dernier possède de meilleures propriétés magnétiques, sa den-

sité plus élevée soulève un questionnement à savoir lequel de ces matériaux procure le meilleur

couple massique. Ce choix constitue donc une variable de conception désignée par M f .

Configuration géométrique de l’embrayageL’effet de la localisation des disques sur les performances de l’embrayage demeure toujours

méconnu et pour cette raison, le paramètre C (voir section 3.1.3) figure parmi les variables de

conception. Toutefois, la présente étude se limite aux configurations 2, 3, 4 et 5 (voir figure 3.7,

page 52) qui sont caractérisées par des joints dynamiques localisés au centre de l’embrayage.

Cette décision est motivée par la réduction de la friction et des fuites au niveau des joints

dynamiques.

92

Nombre de disquesLe nombre de disques N étant directement lié à l’aire de transmission des efforts de cisaillement,

l’accroissement du nombre de disques augmente le couple transmis. Par contre, la longueur

du parcours magnétique et le nombre d’interfaces de fluide magnétorhéologique augmentent

également, ce qui a pour effet de diminuer l’intensité du flux magnétique si le bobinage n’est

pas dimensionné en conséquence. Ceci permet de penser qu’un nombre spécifique de disques

est optimal et pour cette raison, le nombre de disques figure parmi les variables de conception.

Ce nombre est limité à 35, ce qui est suffisant comme il sera constaté à la section 4.1.2 car au

final, la solution a moins de 35 disques.

Dimensions radiales des disquesLes dimensions radiales Ra, Rb, Rd et Re (voir figure 3.8) influencent le couple transmis en

affectant la surface de transmission des efforts de cisaillement ainsi que le bras de levier qui

s’applique. De plus, en affectant l’aire de section du circuit magnétique, elles ont un effet mar-

qué sur l’intensité du flux magnétique qui se ressent aussi sur le couple transmis. Enfin, comme

ces paramètres affectent la taille de l’embrayage, ils ont aussi une influence marquée sur sa

masse. De toute évidence, l’importance de ces paramètres est majeure et pour ces raisons, ils

figurent parmi les variables de conception. La limite inférieure de Ra est fixée à 0,022 [m] et

cela correspond au rayon externe du plus petit palier de la gamme choisie. Pour ce qui est de la

limite supérieure, elle est abordée au paragraphe suivant.

Dimensionnement des ailettesEn évacuant la chaleur plus efficacement, les ailettes offrent la possibilité d’élever la densité de

courant dans le bobinage et donc, de réduire la masse du bobinage et celle du circuit magné-

tique. Par contre, il n’est pas clair si la masse supplémentaire rattachée aux ailettes l’emporte

sur la masse qu’il est alors possible de retrancher du système. Pour cette raison, une variable

de conception est attribuée au dimensionnement des ailettes. Dans le cadre actuel, ce dimen-

sionnement n’est caractérisé que par leur longueur (R f −Re). La largeur des ailettes est fixée

à 1,588 [mm] et leur nombre varie avec le nombre de disques. Puisque le diamètre externe

de l’embrayage est limité à 0,2 [m], le rayon externe des ailettes R f est, quant à lui, limité à

0,1 [m].

Toutefois, l’épaisseur des disques et la distance axiale entre ceux-ci, pourtant très influents, ne figurent

pas parmi les variables de conception :

Distance axiale entre les disquesPuisque la magnétisation du fluide magnétorhéologique est de moitié inférieure à celle des

matériaux ferromagnétiques utilisés dans le circuit magnétique, il est primordial de minimiser

la distance Dc qui sépare les disques. La réduction des pertes magnétiques que cela engendre

93

peut, en toute logique, permettre d’augmenter le couple massique. Par contre, comme le notent

Gudmundsson [29] et Gabriel [47], plus cette distance est faible, moins le gain de couple entre le

mode inactif et actif est important. Il y a donc une limite à respecter, mais celle-ci demeure très

subjective. Pour clore cette question, l’épaisseur de l’interface de fluide magnétorhéologique

est calculée de façon à limiter le taux de cisaillement à 1000 [1/s] 1 lorsque l’embrayage tourne

à 30 [rev/min], qui est la vitesse de rotation maximale de l’embrayage pour l’application visée.

Épaisseur des disquesPour les mêmes raisons (réduction des pertes magnétiques), le fait de minimiser l’épaisseur des

disques maximise les performances de l’embrayage. Cependant, comme les disques doivent

être en mesure de supporter les charges qui leur sont appliquées, il y a une limite à en réduire

l’épaisseur. Il aurait donc été pertinent d’établir celle-ci en fonction des charges qui leur sont

appliquées. Toutefois, la méthode de fabrication choisie et l’épaisseur des matériaux bruts dis-

ponibles réduisent considérablement les possibilités quant à l’épaisseur des disques, à tel point

qu’il est décidé de fixer ce paramètre (Da ou Db) à 1,588 [mm].

Ainsi, 10 variables de conception sont sélectionnées pour constituer l’espace de conception à explorer.

Une conception d’embrayage unique correspond alors à une position spécifique de cet espace de

solutions. Celle-ci est désigné par le vecteur x suivant :

x = [J M f C N Ra Rb Rc Rd Re R f ] (4.1)

où chaque composantes du vecteur est une variable de conception. Leurs valeurs sont confinées à

l’intérieur de plages bien spécifiques et le tableau 4.1 en fait le résumé.

Pour que les paramètres géométriques demeurent cohérents avec la description géométrique établie à

la section 3.1, quelques contraintes linéaires doivent s’appliquer. Elles sont présentées au tableau 4.2.

Les cinq premières contraintes assurent que les valeurs de Ra, Rb, Rc, Rd , Re et R f soit ordonnées

en ordre croissant et qu’elles soient séparées d’au moins 2 [mm], sans quoi la construction de la

géométrie et du maillage risque d’échouer. Les deux contraintes qui suivent fixent l’épaisseur radiale

de l’anneau de fixation des disques à 6,5 [mm] (voir tableau 4.2). Il s’agit de la plus petite distance qui

a permis d’introduire un profil pouvant transmettre un couple suffisant entre les disques et le reste de

l’embrayage (indépendamment de la capacité en couple de l’embrayage). Du coup, il n’y a plus que

cinq paramètres géométriques indépendants (au lieu de 6).

1. La valeur 1000 [1/s] provient d’une discussion qui s’est tenue avec C. Gabriel [47] en août 2010 à Philadelphie lorsd’une conférence internationale (Electro-Rheological Fluids and Magneto-Rheological Suspensions) principalement axéesur les fluides électrorhéologiques et magnétorhéologiques. Selon C. Gabriel, cette valeur doit être respectée pour éviter ladégradation prématurée du fluide magnétorhéologique.

94

TABLEAU 4.1 – Variables de conception et les plages de valeurs associées qui sont étudiées dans lecadre de l’exploration de l’espace de conception.

Variable de conception Description Valeurs admises Unités

M f Matériau ferromagnétique AISI 1020 – Hiperco 27 A/m2

J Densité de courant nominale du bo-binage

4×106 – 10×106

C Configuration géométrique 2,3,4,5N Nombre de disques 3,5,7,9, ...35Ra Rayon1 > 0,022 mRb Rayon1 Variable2 mRc Rayon1 Variable2 mRd Rayon1 Variable2 mRe Rayon1 Variable2 mR f Rayon externe des ailettes < 0,1 m

1 La signification de ces variables change selon la configuration géométrique (voir figure 3.8 et tableau 3.1).2 Ces valeurs sont contraintes par les relations géométriques présentées au tableau 4.2.

TABLEAU 4.2 – Contraintes géométriques linéaires qui assurent une cohérence entre les paramètresgéométriques et la description géométrique de l’embrayage magnétorhéologique.

Contraintes géométriques linéaires

Ra+2 [mm] < RbRb+2 [mm] < Rc

Rc+2 [mm] < RdRd +2 [mm] < Re

Re+2 [mm] < R f

Rd −Rc = 6,5 [mm] si C = 2,3Rc−Rb = 6,5 [mm] si C = 4,5

4.1.2 Effets de différents paramètres sur les performances de l’embrayage

L’espace de conception est exploré dans le but de faire ressortir les principales tendances et d’analyser

l’effet qu’ont certains paramètres sur les performances de l’embrayage, et plus spécifiquement, sur

le couple massique. Pour ce faire, un nombre assez important de conceptions (4842 dans le cas pré-

sent) est généré aléatoirement en tirant au sort les valeurs des paramètres du tableau 4.1 (paramètres

géométriques, matériaux et courant nominal) tout en respectant les plages établies. Les combinaisons

qui ne se conforment pas aux contraintes géométriques du tableau 4.2 sont tout de suite éliminées.

De cette façon, les conceptions restantes sont uniformément réparties dans l’espace de conception et

respectent les contraintes établies. Les performances de chaque embrayage sont alors évaluées à partir

du modèle implémenté au chapitre 2 et les données sont traitées pour construire les figures 4.1 à 4.4

95

qui au final, permettent de faire les constats suivants.

Effet de la capacité en coupleLa figure 4.1 montre l’évolution du couple massique en fonction de la capacité en couple des em-

brayages. Chaque point correspond à une conception (une position particulière de l’espace de concep-

tion). Comme une nette disparité apparait entre le couple massique des configurations 2 et 3 (disques

localisés à l’extérieur du bobinage) et celui des configurations 4 et 5 (disques localisés à l’intérieur

du bobinage), ces deux types de configuration sont représentés séparément par les figures 4.1 a) et b)

respectivement. Toutefois, avant d’aborder cet aspect, les contraintes de conception qui dépendent des

résultats de l’analyse par la méthode des éléments finis doivent s’appliquer. Pour mettre en évidence

l’effet de ces contraintes, les points correspondants à celles-ci sont colorés d’une couleur particulière.

Les conceptions qui doivent être éliminées du fait que l’arbre de transmission est trop petit pour la

capacité en couple de l’embrayage sont illustrées en noir et celles qui doivent être éliminées du fait

que la température au sein du fluide magnétorhéologique excède 120 [C] sont illustrées en blanc. Les

autres points sont colorés afin de permettre d’autres constats en rapport avec la température maximale

au sein du fluide magnétorhéologique.

Un premier constat peut être fait. Le couple massique de l’embrayage magnétorhéologique augmente

avec sa capacité en couple. Cette augmentation est très prononcée pour les embrayages de plus faible

capacité et l’aurait probablement été davantage si l’épaisseur des disques (Da et Db) n’avait pas été

fixée. Cette augmentation s’estompe quelque peu au fur et à mesure que la capacité en couple aug-

mente, mais demeure très présente pour l’espace de conception étudié.

La contrainte qui découle de la capacité qu’a l’arbre de transmission à transmettre le couple produit par

l’embrayage est effective à partir de 225 [N m]. Cette valeur dépend fortement du choix fait à l’égard

de la plus petite valeur Ra admise. En observant les points noirs de la figure 4.1, il est également

constaté qu’aucune conception ayant été éliminée pour cette raison, ne fait partie des embrayages les

plus performants (du point de vue du couple massique). Autrement dit, il n’y a pas de points noirs sur

la limite supérieure de l’amas de points. Ainsi, le choix de la plage pour la variable Ra est adéquat,

puisqu’il ne restreint pas l’espace de solution.

Effet de la configuration géométriqueEn ignorant les solutions qui ne respectent pas les contraintes en température et en couple, l’effet de

la configuration géométrique sur le couple massique peut être étudié en comparant les résultats de la

figure 4.1 a) et b). De façon générale, le couple massique des configurations 2 et 3 est supérieur (en

a)) à celui de configurations 4 et 5 (en b)). Pour les embrayages dont la capacité en couple avoisine

280 [N m], la limite supérieure du couple massique pour les configurations 4 et 5 atteint environ

58 [N m/kg] alors que pour les configurations 2 et 3, cette limite atteint environ 79 [N m/kg]. C’est

une augmentation de couple massique d’environ 36%. Pour un embrayage de 280 [N m], cela se traduit

par une réduction de masse d’un peu plus de 26%. De façon similaire, cet avantage se manifeste pour

96

0 100 200 300 400 5000

20

40

60

80

100

Couple [N m]

Cou

ple

mas

siqu

e[N

m/k

g]120

60

Température[C]

a) Configurations 2 et 3

0 100 200 300 400 5000

20

40

60

80

100

Couple [N m]

Cou

ple

mas

siqu

e[N

m/k

g]

120

60

Température[C]

b) Configurations 4 et 5

FIGURE 4.1 – Évolution du couple massique selon la capacité en couple des embrayages a) pour lesconfigurations 2 et 3 (disques en périphérie) et b) pour les configurations 4 et 5 (disques au centre). Lespoints blancs correspondent aux conceptions devant être éliminées du fait qu’elles ne respectent pas lacontrainte en température (Tf < 120 [C]). Les points noirs correspondent aux conceptions devant êtreéliminées du fait que l’arbre de transmission est trop petit pour la capacité en couple de l’embrayage.Les autres points sont colorés selon la température maximale au sein du fluide magnétorhéologique.

des embrayages de plus faible capacité.

Effet de la températureLa figure 4.1, permet aussi de faire un premier constat au niveau de la température. De façon générale,

la température au sein du fluide magnétorhéologique augmente avec la capacité en couple (et par le

fait même, le couple massique) des embrayages. En effet, la réduction du rapport aire/volume associé

à cette augmentation réduit l’importance des échanges thermiques avec le milieu ambiant (en lien avec

l’aire) par rapport à la chaleur dégagée (en lien avec le volume). En illustrant les conceptions dont la

température excède 120 [C] en blanc à la figure 4.1, cela permet de mettre en évidence la croissance

de la proportion de conceptions devant être éliminés avec l’évolution de la capacité en couple des

embrayages.

La comparaison des figures 4.1 a) et b) permet de faire un second constat. Globalement, la température

maximale dans le fluide magnétorhéologique est en moyenne 12 [C] plus faible lorsque les disques

sont localisés à l’extérieur du bobinage (une moyenne de 116,4 [C] pour les configurations 2 et 3

et 128,7 [C] pour les configurations 4 et 5). Le fluide étant plus près des ailettes, ceci facilite les

échanges thermiques avec le milieu ambiant et permet de garder la température plus basse. L’impact

de la contrainte en température est donc plus important pour les configurations 4 et 5 et un plus

grand nombre (environ 20%) de ces conceptions sont exclues (points blancs). À ce stade, il est donc

possible d’affirmer que le fait de positionner les disques à l’extérieur du bobinage (configuration 2 et

3) constitue, du point de vue thermique, une meilleure conception.

97

Un troisième constat peut être fait. Plusieurs conceptions qui comptent parmi les plus performantes

(du point de vue du couple massique) ont été éliminées par l’application de la contrainte en tempé-

rature. Ceci vient confirmer, tel qu’attendu, l’impact majeur de la contrainte en température sur les

performances des embrayages magnétorhéologiques.

Effet des matériaux ferromagnétiquesLa figure 4.2 met en évidence l’effet du matériau ferromagnétique qui constitue le circuit magné-

tique. Les points verts correspondent aux conceptions dont le circuit magnétique est composé d’acier

AISI 1020 et les points bleus, à celles dont le circuit magnétique est composé d’Hiperco 27. Cette

figure permet de constater que les meilleures performances du point de vue du couple massique sont

généralement obtenues avec l’Hiperco 27. Plus spécifiquement, pour les embrayages de configurations

2 et 3 et dont la capacité en couple avoisine 280 [N m], le couple massique passe de 70 [N m/kg] pour

l’acier AISI 1020 à 79 [N m/kg] pour l’Hiperco 27. Cela représente une augmentation d’environ 13%

du couple massique. Pour un embrayage de 280 [N m], cela se traduit par une réduction de masse d’un

peu plus de 11%. Un constat similaire est fait pour les configurations 4 et 5.

0 100 200 300 400 5000

20

40

60

80

100

Couple [N m]

Cou

ple

mas

siqu

e[N

m/k

g]

a) Configurations 2 et 3

0 100 200 300 400 5000

20

40

60

80

100

Couple [N m]

Cou

ple

mas

siqu

e[N

m/k

g]

b) Configurations 4 et 5

FIGURE 4.2 – Effet des matériaux ferromagnétiques sur le couple massique a) pour les configurations2 et 3 (disques en périphérie) et b) pour les configurations 4 et 5 (disques au centre). Les points vertset bleus représentent les conceptions dont le circuit magnétique est constitué d’acier AISI 1020 etd’Hiperco 27 respectivement. Les conceptions qui ne respectent pas les contraintes en couple et entempérature ne sont pas illustrés.

Effet du nombre de disquesLes figures 4.3 a) et b) montre l’évolution du couple massique en fonction du nombre de disques pour

les configurations 2 et 3 et les configurations 4 et 5 respectivement. Comme le nombre de disques

affecte directement la capacité en couple de l’embrayage, une plage de couple s’étalant entre 255 et

305 [N m] (280 [N m] plus ou moins 25 [N m]) est ciblée afin de bien observer l’effet du nombre de

disques sur le couple massique.

La comparaison des figures 4.3 a) et b) permet de faire un premier constat. Les configurations 4 et 5

98

nécessitent un minimum de 19 disques afin de produire le couple requis alors que seulement 7 disques

suffisent aux configurations 2 et 3. Effectivement, comme la localisation des disques en périphérie

maximise l’aire de transmission des efforts de cisaillement et la longueur du bras de levier, moins de

disques sont nécessaires aux configurations 2 et 3 pour produire un couple donné. Admettant que la

réduction du nombre de disques facilite la fabrication de l’embrayage, ceci confère un autre avantage

en faveur des configurations 2 et 3.

Les figures 4.3 a) et b) permettent de faire un second constat. Après avoir atteint un maximum autour

de 15 disques, le couple massique des configurations 2 et 3 diminue au fur et à mesure que le nombre

de disques augmente. Bien que beaucoup moins évident, cette tendance à la baisse semble aussi s’ob-

server à la figure 4.3 b) pour les configurations 4 et 5. Ceci permet de penser que l’optimisation de

l’embrayage magnétorhéologique va naturellement tendre vers des conceptions munies d’un nombre

de disques relativement faible et que le choix de la plage pour la variable N est adéquat.

0 10 20 300

20

40

60

80

100

Nombre de disques (N) [m]

Cou

ple

mas

siqu

e[N

m/k

g]

a) Configurations 2 et 3

0 10 20 300

20

40

60

80

100

Nombre de disques (N) [m]

Cou

ple

mas

siqu

e[N

m/k

g]

b) Configurations 4 et 5

FIGURE 4.3 – Effet du nombre de disques N sur le couple massique a) pour les configurations 2 et 3(disques en périphérie) et b) pour les configurations 4 et 5 (disques au centre). Seuls les conceptionsdont la capacité en couple avoisine 280 [N m] (entre 255 et 305 [N m]) sont illustrées. Les conceptionsqui ne respectent pas les contraintes en couple et en température ne sont pas illustrées.

Effet des ailettesLes figures 4.4 a) et b) montrent l’évolution du couple massique en fonction de la longueur des ailettes

(R f −Re) pour les embrayages dont la capacité en couple avoisine 280 [N m] (entre 255 et 305 [N m]).

Les figures 4.4 a) et b) permettent de constater, encore une fois, que les températures rencontrées avec

les configurations 2 et 3 sont plus faibles que celles rencontrées avec les configurations 4 et 5. Elles

permettent également de constater que la température diminue avec l’augmentation de la longueur des

ailettes, mais ceci était de toute évidence, attendu.

La principale interrogation revient à savoir si la présence d’ailettes offre réellement le potentiel d’aug-

menter le couple massique des embrayages magnétorhéologiques. À en juger par la figure 4.4 a), qui

99

en décrit l’effet pour les configurations 2 et 3, cela semble être le cas. En effet, le couple massique

optimal approche 68 [N m/kg] lorsque les ailettes sont pratiquement inexistantes (2 [mm] de long) et

atteint un sommet de 79 [N m/kg] lorsque la longueur des ailettes avoisine 10 [mm] après quoi, le

couple massique optimal se remet à diminuer avec la longueur croissante des ailettes. Ceci représente

une augmentation de 16% du couple massique, une diminution de 14% de la masse. Bien que moins

évidente, cette même tendance est également observée à la figure 4.4 b) pour les configurations 4 et 5.

Donc, la présence d’ailettes bien dimensionnées semble avoir un impact positif sur les performances

de l’embrayage. Toutefois, le nombre de conceptions sur lequel se base ces informations est trop faible

pour permettre de porter jugement définitif.

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,050

20

40

60

80

100

Longueur des ailettes (R f −Re) [m]

Cou

ple

mas

siqu

e[N

m/k

g]

120

60

Température[C]

a) Configurations 2 et 3

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,050

20

40

60

80

100

Longueur des ailettes (R f −Re) [m]

Cou

ple

mas

siqu

e[N

m/k

g]

120

60

Température[C]

b) Configurations 4 et 5

FIGURE 4.4 – Effet de la longueur des ailettes (R f −Re) sur le couple massique a) pour les configura-tions 2 et 3 (disques en périphérie) et b) pour les configurations 4 et 5 (disques au centre). Seuls lesconceptions dont la capacité en couple avoisine 280 [N m] (entre 255 et 305 [N m]) sont illustrées.Les conceptions qui ne respectent pas les contraintes en couple et en température ne sont pas illus-trées. Les points correspondant aux conceptions sont colorés selon la température maximale au seindu fluide magnétorhéologique.

4.2 Optimisation par un algorithme génétique

Un algorithme génétique est maintenant utilisé pour cibler une conception optimale en regard des

objectifs et des contraintes préalablement établis. D’abord, le principe général des algorithmes gé-

nétiques est introduit à la section 4.2.1. Cela permet de mettre en évidence les avantages de cette

méthode pour la résolution du problème en question. Par la suite, les fonctions objectifs servant à éva-

luer la performance des embrayages sont définies à la section 4.2.2. Pour réduire le temps de calcul,

l’espace de conception est raffiné à la section 4.2.3 à partir des informations tirées de l’exploration

de l’espace de conception. Le choix de l’algorithme génétique est ensuite présenté à la section 4.2.4

et les réglages qui s’appliquent y sont également abordés. Pour terminer, la conception optimale est

choisie et présentée à la section 4.2.6.

100

4.2.1 Introduction aux algorithmes génétiques

Les algorithmes génétiques (ou évolutionnistes) sont basés sur le processus de la sélection naturelle,

soit que seuls les individus (ou conceptions, dans le cas présent) les mieux adaptés à leur environne-

ment survivent et transmettent leurs gènes aux générations suivantes. Concrètement, comme le montre

la figure 4.5, il s’agit d’abord de constituer une population initiale formée de plusieurs individus (2).

Souvent, le contenu de cette population initiale est généré aléatoirement, mais il est également possible

1. Definition de la fonction objectif(criteres de performance et contraintes),

des variables de conception et desparametres de l’algorithme genetique

2. Generation de lapopulation initiale

3. Evalutation dela fonction objectif

4. Selection

5. Jumelage

6. Mutation

7. Critere de convergence

Fin

FIGURE 4.5 – Principe général d’un algorithme génétique typique.

de cibler certaines caractéristiques qui sont plus susceptibles d’être rattachées à l’individu optimal.

Cette population est ensuite mise à l’épreuve et une note est accordée à chaque individu en fonction

de son degré d’adaptation (3). Cette note correspond au résultat de la fonction objectif, qui dans le

cas présent, se fonde sur les résultats du modèle d’embrayage élaboré au chapitre 2. Par la suite, une

sélection est effectuée au sein de la population. Il s’agit alors d’éliminer les individus qui ont le moins

bien performé (4). Ainsi, seuls les individus les mieux adaptés survivent et passent au processus de

jumelage. Cette dernière étape consiste à regrouper la population en paires d’individus qui s’accouple-

ront pour former de nouveaux individus ayant des caractéristiques combinées de leurs parents (5). Un

101

processus aléatoire introduit ensuite des modifications dans les gênes de ces nouveaux individus (6).

Ces mutations permettent alors à l’algorithme génétique de se sortir d’un optimum local. En principe,

cette nouvelle génération devrait mieux performer que la génération précédente. Ainsi, le processus se

répète de génération en génération jusqu’à ce que la population cesse d’évoluer et qu’il y ait conver-

gence (7). À la fin, l’individu ayant le mieux performé est retenu comme étant la solution optimale

du problème. Bien que le hasard intervienne constamment, un phénomène de convergence émerge

du processus de sélection rendant ces techniques bien plus performantes que de simples méthodes

aléatoires.

Les algorithmes génétiques présentent une multitude d’avantages par rapport aux méthodes directes,

basées sur la dérivation de la fonction objectif. En effet, puisqu’ils ne font pas appel à la dérivée, les

algorithmes génétiques sont en mesure de traiter les problèmes qui présentent des discontinuités. Cela

permet aux algorithmes génétiques de traiter des variables discrètes (tel que le nombre de disques),

ce qui n’est pas possible avec les techniques directes. Un autre avantage est le fait qu’elle couvre

simultanément un vaste champ de solutions possibles. La technique a donc de fortes chances de tomber

près d’un minimum global alors que pour les techniques directes, la solution dépend fortement du

point initial à partir duquel s’entame la recherche. De plus, les algorithmes génétiques peuvent se sortir

de minimums locaux grâce au processus de mutation, ce qui constitue un autre avantage. Toutefois,

ils n’assurent pas l’optimalité absolue de la solution, mais tentent seulement de s’en approcher. Bref,

pour toutes ces raisons, l’usage des algorithmes génétiques s’avère un choix adéquat pour la résolution

du problème actuel.

4.2.2 Définition des fonctions objectifs

La fonction objectif est la mesure du niveau d’adaptation de la conception. Par convention, cette

fonction est définie de manière à ce que la conception optimale adopte la valeur la plus faible. Par

conséquent, les outils d’optimisation vont chercher à la minimiser, d’où la présence de signes négatifs

dans l’expression mathématique des critères de performance suivants :

Critère de performance n°1 : Couple massiqueLe premier critère de performance p1 favorise les embrayages dont le couple nominal M est

élevé par rapport à leur masse m, soit :

p1(x) = −M(x)m(x) (4.2)

où x est le vecteur composé des variables de conception et désigne une conception unique

(eq. 4.1).

102

Critère de performance n°2 : Efficacité énergétiqueLe second critère de performance p2 favorise les embrayages dont le couple nominal M est

élevé par rapport à leur puissance d’alimentation électrique Pe, soit :

p2(x) = −M(x)Pe(x) (4.3)

La plupart du temps, les critères de performances pi sont regroupés puis pondérés par les facteurs ai

pour ne former qu’une seule fonction objectif f , tel que :

f (x) =∑ai pi(x) (4.4)

Toutefois, dans le cadre de ce travail d’optimisation, il en est autrement. À chaque critère de per-

formance va correspondre une fonction objectif fi unique et l’algorithme génétique les optimisera

simultanément 2. Cette approche multiobjectifs mène à une infinité de solutions optimales. En effet,

au fur et à mesure que l’algorithme génétique progressera, les conceptions optimales évolueront en

constituant un front, communément appelé le front de Pareto. Le choix de la conception optimale

reposera alors sur un compromis entre la masse et la consommation électrique de l’embrayage. En

procédant ainsi, le résultat du processus d’optimisation ne dépendra pas de facteurs de pondération ai

quelque peu arbitraires et qui auraient, en quelque sorte, forcé ce choix sans une réelle connaissance

préalable.

Les contraintes c j qui dépendent des résultats de la simulation par éléments finis, comme le couple et

la température, sont prises en compte directement dans les fonctions objectifs, tel que :

fi(x) = pi(x)+∑bi j c j(x) (4.5)

Ces contraintes c j sont pondérées par les facteurs bi j de façon à ajuster leur impact par rapport aux

critères de performance, mais aussi, de façon à équilibrer l’impact qu’elles ont, les unes par rapport

aux autres. Deux contraintes de conception prennent part dans la formulation des fonctions objectifs :

Contrainte n°1 : Couple nominalUne première contrainte c1 cible les embrayages dont le couple nominal M avoisine les 280 [N m].

Cette contrainte agit en appliquant une pénalité aux conceptions dont le couple dépasse 280 [N m],

soit :

c1(x) =max(M(x)−280[N m], 0) (4.6)

En effet, l’étude de l’espace de conception a permis de mettre en évidence que, de façon gé-

nérale, le couple massique augmente avec la capacité en couple des embrayages. En visant

le meilleur couple massique (premier critère de performance), l’algorithme va naturellement

tendre vers des capacités en couple plus élevées pour ainsi rejoindre cette contrainte qui limite

le couple à 280 [N m].

2. La fonction d’optimisation (gamultiobj de MATLAB®) utilisée dans le cadre de ces travaux est un algorithmeévolutionniste élitiste contrôlé (une variante de NSGA-II[48]). Les explications détaillés de cette méthode ne sont pasapprofondies dans ce mémoire.

103

Contrainte n°2 : Température maximale dans le fluide magnétorhéologiqueLa seconde contrainte c2 limite la température Tf du fluide magnétorhéologique à 120 [C].

Elle agit de la même façon que la contrainte précédente en pénalisant le critère de performance

seulement lorsque la température excède cette limite, soit :

c2(x) =max(Tf (x)−120[C], 0) (4.7)

Dans le cadre de ces travaux d’optimisation, les facteurs de pondération bi j qui affectent les contraintes c j

pour chaque fonction objectif fi vont comme suit :

b = ⎡⎢⎢⎢⎢⎣300 1

15 0,05

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (4.8)

Le choix de ces facteurs de pondération est assez approximatif. Essentiellement, il suffit de s’assurer

que l’impact de chaque terme soit en bonne proportion avec les autres. Au final, les deux fonctions

objectifs à minimiser vont comme suit :

f1 = −M(x)m(x) +300 ⋅max(M(x)−280[N m], 0)+1 ⋅max(Tf (x)−120[C], 0) (4.9)

f2 = −M(x)Pe(x) +15 ⋅max(M(x)−280[N m], 0)+0,05 ⋅max(Tf (x)−120[C], 0) (4.10)

4.2.3 Raffinement de l’espace de conception

Afin de réduire le temps de calcul, le nombre de variables de conception doit, dans la mesure du

possible, être restreint au maximum. L’exploration de l’espace de conception a permis de fournir

des informations qui permettent dorénavant de mieux cibler cet espace susceptible de présenter la

conception optimale. Voici les changements qui y sont apportés.

D’abord, il est clair que les configurations 2 et 3 offrent de multiples avantages par rapport aux confi-

gurations 4 et 5. En effet, le fait de déporter les disques en périphérie offre le potentiel d’élever le

couple massique, d’abaisser les températures au niveau du fluide magnétorhéologique et de réduire le

nombre de disques. Pour ces raisons, les configurations 4 et 5 sont écartées pour la suite du processus

d’optimisation et comme le paramètre de configuration C (voir section 3.1.3) ne dépend plus que du

nombre de disques N, ce paramètre peut être lui aussi écarté.

De plus, la plage de valeurs associée au nombre de disques N est révisée pour ne refléter que les

conceptions potentielles associées aux configurations 2 et 3. À partir des données présentées à fi-

gure 4.3 a), l’intervalle de possibilité est restreint entre 7 et 19 disques.

Pour obtenir les meilleurs performances possibles (sans considération à l’égard des coûts), le matériau

du bâti magnétique est restreint à de l’Hiperco 27 uniquement. De ce fait, les matériaux ferromagné-

tiques ne font plus partie des variables de conception.

104

TABLEAU 4.3 – Variables de conception et les plages de valeurs associées qui sont employées lors duprocessus d’optimisation.

Variable de conception Description Valeurs admises Unités

J Densité de courant nominale du bobinage 4×106 – 10×106

N Nombre de disques 7,9,11,13. . .19Ra Rayon interne de l’anneau ferromagnétique > 0,022 mRb Rayon interne du bobinage Variable1 mRc Rayon externe du bobinage Variable1 mRd Rayon interne des disques Variable1 mRe Rayon externe des disques Variable1 mR f Rayon externe des ailettes < 0,1 m

1 Ces valeurs sont contraintes par les relations géométriques présentées au tableau 4.2.

Au final, il ne reste plus que huit variables de conception. Un embrayage appartenant à l’espace de

conception se définit par :

x = [J N Ra Rb Rc Rd Re R f ] (4.11)

Ces variables et les plages de valeurs qui y sont associées sont présentées au tableau 4.3. Elles seront

employées lors du processus d’optimisation.

4.2.4 Choix et réglage de l’algorithme génétique

La fonction gamultiobj (pour algorithme génétique multiobjectifs) accessible via le module « Opti-

mization Tool » de MATLAB® est utilisée pour l’optimisation. Les paramètres de cette fonction sont

laissés par défaut à l’exception de quelques réglages mineurs qui s’appliquent à la population initiale

et à la création d’individus.

D’abord, bien qu’une étude de convergence permette de déterminer la taille idéale de la population

initiale, celle-ci s’est avérée irréalisable en raison de la durée d’évaluation prolongée de la fonction ob-

jectif (variant entre 40 et 60 secondes sur un processeur Intel® Xeon® W3680 cadencé à 3,33 [Ghz]).

Dans de tels cas, le paramètre par défaut de MATLAB® suggère une population égale à 15 fois le

nombre de variables de conception. Considérant qu’il y a sept variables indépendantes, la population

initiale devrait alors avoisiner 105 individus et c’est effectivement ce nombre qui est mis de l’avant.

Ensuite, il aurait été possible de constituer une population initiale déjà très performante à partir des

résultats de l’exploration de l’espace de conception et donc, de tirer profit du temps de calcul déjà

investi. Toutefois, afin de mettre en évidence l’effet de la convergence, la population initiale est plutôt

générée de façon aléatoire.

Pour que les individus créés lors des étapes de jumelages et de mutations respectent les contraintes

géométriques linéaires présentées au tableau 4.2, l’algorithme d’optimisation est réglé pour faire appel

105

aux fonctions gacreationlinearfeasible et mutationadaptfeasible plutôt qu’aux fonctions de

création par défaut.

4.2.5 Analyse des résultats

Pour analyser la convergence de l’algorithme évolutionniste, les critères de performance pi ont été

normalisés puis combinés pour donner un indice de performance ip tel que :

ip = 12( p1

p1,max+ p2

p2,max) (4.12)

où la normalisation d’un critère pi pour une conception donnée s’effectue par rapport à la valeur maxi-

male pi,max du critère correspondant obtenue de l’ensemble des solutions évaluées. À titre d’exemple,

si elle pouvait exister, la conception démontrant à la fois le meilleur couple massique et la meilleure

efficacité aurait un indice de 1. À la figure 4.6, cet indice permet de constater que les performances

évoluent rapidement au cours des 10 premières générations après quoi elles ont tendance à se stabili-

ser (avec une progression très lente d’environ 0,1% par génération). L’algorithme d’optimisation (une

variante de NSGA-II [48]) ne cherche pas seulement à élever l’indice de performance de la popula-

tion, mais cherche aussi à la diversifier pour amener les efforts de recherche sur la totalité de l’étendue

du front de Pareto (c’est-à-dire, l’optimisation des objectifs en simultané). Cela donne une bande de

solutions (0,6 < ip < 0,82) qui persiste au fil des générations et qui semble ne pas converger à partir

du bas, mais cela est attendu de l’algorithme utilisé. À titre indicatif, les résultats finaux présentés

ci-bas ont requis 40 générations (environ 64 heures de calculs sur un processeur Intel® Xeon® W3680

cadencé à 3,33 [Ghz]).

0 10 20 30 400,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

Génération

Perf

orm

ance

norm

alis

éei p

FIGURE 4.6 – Convergence du problème d’optimisation évolutionniste. L’évolution des performances(couple massique et efficacité) au fil des générations est représentée par l’indice de performance ip

(voir eq. 4.12). Les traits pointillés verticaux délimitent les différentes générations. Le trait continuhorizontal (ip = 0,82) met en évidence le faible taux de convergence qui s’établit au-delà d’une dizainede générations.

106

La figure 4.7 (voir page 108) met en relation le premier critère de performance p1 (couple massique)

au second p2 (efficacité ou couple/puissance). Elle permet de bien voir le front (ou l’optimum) de

Pareto qui se dessine au bord supérieur de l’amas de points (voir b)). Il y a une multitude de solutions

sur ce front et chacune d’elle est optimale en regard des critères de performance combinés. L’allure

de ce front montre qu’il y a un compromis à faire entre l’efficacité et le couple massique, car plus

ce dernier est élevé, moins l’embrayage tend à être efficace du point de vue de la consommation

d’énergie. Les conceptions qui ne font pas partie de l’optimum de Pareto ont permis de converger vers

ce front, mais ne sont pas optimales. Les conceptions qui ne respectent pas les contraintes en couple

et en température ne sont pas illustrées. Les échelles de couleurs permettent de faire d’autres constats

intéressants en ce qui a trait à d’autres variables comme la densité de courant dans le bobinage et la

densité de flux magnétique dans l’interface de fluide.

D’abord, il est constaté que la majeure partie des conceptions qui constituent l’optimum de Pareto

transmettent un couple variant entre 270 et 280 [N m] (voir a), en rouge foncé). Par contre, au-delà

de 15 [N m/W], les conceptions les plus efficaces n’ont pas toutes atteint la valeur visée de 280 [N m]

et s’en tiennent, pour la plupart, assez loin avec des valeurs qui avoisinent 250 [N m] (en rouge vif).

Bien que l’approche utilisée pour tendre vers des valeurs de 280 [N m] (voir la première contrainte à

section 4.2.2) facilite la convergence en donnant beaucoup de latitude à l’algorithme (en étant sous-

contraint), rien ne le contraint à respecter un couple minimum. Il faut donc en être conscient lors de

l’interprétation des résultats et du choix de la conception optimale.

La contrainte obligeant la température à demeurer sous les 120 [C] est bien respectée (voir c)).

Comme attendu, les températures sur le front de Pareto augmentent avec l’élévation du couple mas-

sique passant de 60 [C] (la température des environs) aux alentours de 120 [C]. Il est constaté tou-

tefois que cette tendance à la hausse s’intensifie au fur et à mesure que le couple massique augmente.

Autrement dit, lorsque le couple massique a déjà atteint un niveau élevé, un faible gain de performance

doit se faire au détriment d’une hausse en température qui n’est peut-être pas négligeable.

Typiquement, la densité de courant nominale dans les systèmes électromagnétiques standards avoi-

sine 4 [A/mm2] en courant continu. Les systèmes qui ont été conçus avec une attention particulière

vis-à-vis de la dissipation thermique peuvent atteindre 6 [A/mm2] et même plus, s’ils sont refroidis ac-

tivement. Les densités de courant nominales J peuvent atteindre jusqu’à 7 [A/mm2] (voir d), en vert)

dans l’optimum de Pareto. Les conceptions qui admettent des valeurs supérieures à 7 [A/mm2] ont

rapidement été éliminées de la population par l’algorithme évolutionniste, visiblement parce qu’elles

n’ont pas permis de respecter les contraintes en couple et en température ou qu’elles se sont montrées

trop peu efficaces.

Il s’avère que les conceptions qui constituent l’optimum de Pareto ne possèdent que 11, 13 et 15

disques uniquement (voir e)). Cette faible diversité peut sembler surprenante, mais s’explique très

bien. En effet, les conceptions ne possédant que 7 disques ont été éliminées très rapidement par l’al-

107

0 5 10 15 200

50

100 voir b)

Couple/Puissance [N m/W]

Cou

ple

mas

siqu

e[N

m/k

g]

280

0

Couple[N m]

a)

4 6 8 1075

80

85

90

Couple/Puissance [N m/W]

Cou

ple

mas

siqu

e[N

m/k

g]

280

0

Couple[N m]

b) Vue agrandie

0 5 10 15 200

50

100

Couple/Puissance [N m/W]

Cou

ple

mas

siqu

e[N

m/k

g]

120

60

Température[C]

c)

0 5 10 15 200

50

100

Couple/Puissance [N m/W]

Cou

ple

mas

siqu

e[N

m/k

g]

10

4

Densité de courant[A/m2]

d)

0 5 10 15 200

50

100

Couple/Puissance [N m/W]

Cou

ple

mas

siqu

e[N

m/k

g]

19

7

Nombre dedisques

e)

0 5 10 15 200

50

100

Couple/Puissance [N m/W]

Cou

ple

mas

siqu

e[N

m/k

g]

1,2

0,6

Densité de flux magnétique[V s/m2]

f)

FIGURE 4.7 – Couple massique (premier critère de performance p1) en fonction de l’efficacité (se-cond critère de performance p2). Cette représentation met en évidence l’optimum de Pareto (front desolutions optimales) et permet de constater le compromis qui doit être fait entre le couple massiqueet l’efficacité de l’embrayage. L’échelle de couleurs permet de voir l’influence de certaines variables,soit : a) le couple transmis, b) vue agrandie du couple transmis, c) la température maximale dans lefluide, d) la densité de courant dans le bobinage, e) le nombre de disques, f) la densité de flux magné-tique moyenne dans le fluide. Une portion de l’optimum de Pareto, encadrée en a), est agrandie en b)pour permettre d’identifier le choix de la conception optimale.

108

gorithme évolutionniste en raison de leur incapacité à produire un couple suffisant de façon efficace.

Quant aux conceptions qui présentent un nombre de disques supérieur à 15, leur élimination s’explique

du fait que leur circuit magnétique surdimensionné les rend moins efficaces pour produire des couples

inférieurs à leur capacité réelle. Autrement, pour les conceptions munies de 11, 13 et 15 disques, plus

ce nombre est petit, plus l’embrayage peut atteindre d’importants couples massiques et plus il est

élevé, plus l’embrayage est efficace. Ceci vient appuyer les observations faites lors de l’exploration

aléatoire de l’espace de solutions (voir section 4.1.2).

Pour les conceptions qui figurent parmi l’optimum de Pareto, la densité de flux magnétique dans

l’interface de fluide magnétorhéologique n’excède pas 1,1 [V s/m2] (voir f)). Les résultats de l’opti-

misation montrent qu’il ne vaut pas la peine d’aller chercher le faible gain de couple qui vient avec

une densité de flux magnétique supérieure (> 1,1 [V s/m2]), car ce gain est fortement pénalisé par

l’élévation de masse ou de température nécessaire pour y arriver.

4.2.6 Choix de la conception optimale

Le choix de la conception optimale parmi l’ensemble de solutions optimales (sur le front de Pareto) est

quelque peu subjectif. Toutefois, comme il l’a été mentionné lors de la définition du problème d’op-

timisation, l’efficacité de l’embrayage (objectif f2) n’est pas aussi importante que le couple massique

(objectif f1) et par conséquent, les solutions considérées se trouvent dans une portion de l’optimum de

Pareto qui présente des couples massiques plus élevés et des efficacités plus faibles (voir l’encadré à

figure 4.7 a)). Par rapport à la conception qui s’illustre avec le meilleur couple massique, l’embrayage

choisi (identifié en b)) n’admet qu’une baisse de 1,15% du couple massique pour un gain de 58% en

efficacité. Le compromis semble intéressant d’autant plus qu’il vient avec une légère baisse de tempé-

rature, ce qui a des répercussions positives à plusieurs niveaux, dont la fiabilité du bobinage. Le couple

nominal de cet embrayage est estimé à 277 [N m] et sa masse à 3,25 [kg], soit un couple massique

de 85 [N m/kg]. Dans un milieu ambiant de 60 [C], la température peut atteindre 96 [C] en régime

permanent et à cette température, l’embrayage consomme environ 48 [W] pour alimenter le bobinage.

Le tableau 4.4 montre les variables de conception correspondant à la conception retenue.

L’algorithme évolutionniste a permis de cibler l’espace de solutions qui présente à la fois les plus

grands couples massiques et les meilleures efficacités (suivant les contraintes établies) pour y concen-

trer les efforts d’exploration. Le principal avantage de l’algorithme évolutionniste vis-à-vis de l’explo-

ration aléatoire est la plus grande probabilité de trouver une meilleure conception en un laps de temps

plus court. Lors d’un processus de développement à caractère itératif, ce gain de temps peut s’avérer

très avantageux.

Bien que les étapes subséquentes du processus de conception et de fabrication aient mené à l’élabo-

ration d’un prototype (MRC3) pleinement fonctionnel, les aspects liés à cette phase des travaux ne

sont pas élaborés dans cet ouvrage pour des raisons de confidentialité. Les outils développés dans ce

109

TABLEAU 4.4 – Variables de conception du problème d’optimisation qui correspondent à la conceptionoptimale choisie.

Variable de conception Description Valeurs admises Unités

M f Matériau ferromagnétique Hiperco 27J Densité de courant nominale du bobinage 6,4×106 A/m2

C Configuration géométrique 3N Nombre de disques 11Ra Rayon interne de l’anneau ferromagnétique 0,0286 mRb Rayon interne du bobinage 0,0376 mRc Rayon externe du bobinage 0,0446 mRd Rayon interne des disques 0,0512 mRe Rayon externe des disques 0,0587 mR f Rayon externe des ailettes 0,0638 m

mémoire se sont toutefois avérés très utiles pour atteindre les performances visées. Sans trop fournir

de détails, ce prototype est brièvement présenté à la figure 4.8.

FIGURE 4.8 – Prototype d’embrayage magnétorhéologique (MRC3) développé au Laboratoire desSystèmes Mécaniques Intelligents (LSMI) de l’Université Laval en 2013. Cette conception résulted’une série de raffinements qui n’ont pas été dévoilés dans le cadre de ce mémoire pour une question deconfidentialité. Ce prototype a une capacité théorique de 280 [N m], pèse 3,34 [kg], soit 83 [N m/kg]. Ilconsomme 50 [W] et peut atteindre 115 [C] dans un environnement à 60 [C]. Le circuit magnétiqueest constitué d’acier AISI 1018. Son diamètre externe est de 140 [mm] et sa longueur axiale est de45 [mm].

110

5 Conclusion

L’objectif du mémoire consistait à développer un outil de conception/optimisation d’embrayage ma-

gnétorhéologique à disques dans le but principal de maximiser le couple massique. Cet objectif a été

atteint en trois étapes :

Étape n°1 : Implémentation d’un modèle de fluide magnétorhéologiqueLa première étape était d’implémenter dans COMSOL® un modèle décrivant le comportement des

fluides magnétorhéologiques pour en arriver à prédire le couple transmis par une interface de fluide

magnétorhéologique. Puisque les équations permettant cette prédiction n’étaient pas intégrées par dé-

faut dans la version 4.1 de COMSOL®, il a fallu les dériver et les introduire manuellement dans leur

forme faible (ou formulation variationnelle). D’abord, le modèle de Casson [21] a été choisi parmi

d’autres modèles viscoélastiques (Bingham [17, 18] et Herschel-Bulkley) pour décrire l’évolution de

la viscosité du fluide magnétorhéologique (BASONETIC® 5030 de BASF [20]) en fonction du taux

de cisaillement et de la densité de flux magnétique. L’implémentation numérique du modèle de Cas-

son a été réalisée grâce à l’approche de Bercovier-Engelman [13] (ou l’approche très similaire de

Papanastasiou [22]). Essentiellement, cette approche considère le comportement solide du fluide ma-

gnétorhéologique tel un liquide d’une très grande viscosité. Ceci a permis d’utiliser les équations de

Navier-Stokes pour décrire unilatéralement les deux états (solide ou liquide) du fluide magnétorhéolo-

gique. Par la suite, ces équations ont été écrites dans un repère cylindrique pour faciliter l’exploitation

de la symétrie de révolution de l’embrayage. En fixant la vitesse tangentielle aux frontières du do-

maine de résolution (ou plutôt, à la surface des disques), le profil de vitesses dans l’interface a pu

être résolu et par le fait même, le taux de cisaillement et la viscosité sont obtenus. Ultimement, le

couple transmis a pu être calculé à partir de la puissance dissipée par les effets visqueux. Les résul-

tats du modèle numérique ont finalement été comparés aux résultats d’un modèle analytique [27, 28]

souvent employé dans la littérature pour estimer le couple transmis par une interface simple soumise

à un champ magnétique uniforme. La correspondance entre les deux méthodes a permis de valider

l’implémentation dans COMSOL®.

Étape n°2 : Développement d’un modèle d’embrayage magnétorhéologique à disquesLa seconde étape était de développer dans COMSOL® un modèle d’embrayage magnétorhéologique

à disques afin de prédire les caractéristiques (masse, couple, température, etc.) d’un embrayage défini

à partir de paramètres décrivant sa géométrie, ses matériaux, son alimentation électrique, etc. Les

éléments importants du modèle vont comme suit :

– Le modèle numérique s’appuie sur une géométrie simplifiée de l’embrayage magnétorhéolo-

gique (qui ne prend pas en compte tous les détails comme les vis, les cannelure, etc.). Les

111

symétries de l’embrayage (réflexion et révolution) sont également exploitées afin de réduire

l’étendue du domaine de résolution et du coup, le temps de calcul nécessaire à l’estimation des

caractéristiques de l’embrayage. Deux types de configurations géométriques sont implémentés

(ou paramétrée) dans le but de comparer leurs performances. Dans le premier cas, les disques

sont localisés à l’extérieur du bobinage alors que dans le second, ils sont à l’intérieur.

– Les propriétés des matériaux sont regroupées puis attribuées aux différentes entités géomé-

triques correspondant aux différents composants de l’embrayage. Les propriétés thermiques

et magnétiques (conductivité thermique, capacité thermique massique et perméabilité magné-

tique) du fluide magnétorhéologique et du bobinage sont estimées grâce à l’homogénéisation

(formulation de Maxwell-Garnett [37, 38]) des propriétés de chacun de leurs constituants.

– Le module AC/DC de COMSOL® permet d’estimer la densité de flux magnétique nécessaire

à l’évaluation de la viscosité du fluide magnétorhéologique introduite lors de l’implémentation

du modèle d’écoulement à la première étape.

– La température au sein de l’embrayage est estimée grâce au module de transferts thermiques de

COMSOL®. La chaleur dissipée par le fluide magnétorhéologique (dissipation visqueuse) et par

le bobinage (dissipation par effet Joule) sont pris en compte dans l’évaluation de la température.

– La masse de l’embrayage est estimée a partir de la géométrie du modèle afin de calculer le

couple massique de l’embrayage.

Les résultats du modèle ont été comparés aux données expérimentales provenant d’un embrayage

magnétorhéologique à disques 1 dont la capacité nominale avoisine 25 [N m]. Comme la campagne

expérimentale a été effectuée en régime statique et que les données du modèle d’écoulement ont été

obtenues en régime dynamique (et non pas en régime statique), il n’a pas été possible de valider le

modèle d’embrayage. Par contre, cette comparaison a permis de constater que pour de faibles cou-

rants d’alimentation, les couples associés aux deux régimes correspondent très bien alors que pour

des courants plus élevés, le couple statique devient plus important. Cette même observation a été faite

à maintes reprises dans la littérature et cela permet de croire que les résultats de la campagne ex-

périmentale et du modèle d’embrayage sont compatibles entre eux. Toutefois, dans le futur, il sera

important de mener une campagne expérimentale en régime dynamique afin de valider les résultats du

modèle d’embrayage.

Étape n°3 : Optimisation d’un embrayage magnétorhéologique par un algorithme génétiqueLa troisième étape était de mettre en place une séquence d’optimisation basée sur les prédictions du

modèle de l’embrayage magnétorhéologique établi à la deuxième étape pour en arriver à cibler une

conception optimale. Celui-ci devait entre autres transmettre un couple nominal de 280 [N m] sans que

la température du fluide magnétorhéologique n’excède 120 [C] dans un milieu ambiant de 60 [C].

L’objectif principal était alors de minimiser la masse de l’embrayage magnétorhéologique. Dans un

1. Cet embrayage magnétorhéologique a été développé au Laboratoire des Systèmes Mécaniques Intelligents (LSMI) en2010 par Luc Harvey.

112

premier temps, l’étude s’est penchée sur une meilleure compréhension de l’impact qu’ont certains

paramètres sur les performances de l’embrayage magnétorhéologique. L’espace de conception a été

exploré de façon aléatoire et l’analyse des données a permis de faire plusieurs constats intéressants :

– Le couple massique augmente avec le couple nominal de l’embrayage.

– Le fait de déporter les disques à l’extérieur du bobinage permet d’accroitre le couple massique

d’environ 35% pour des embrayages dont le couple nominal avoisine 280 [N m]. Cet agence-

ment permet aussi de réduire le nombre de disques requis en plus d’abaisser la température au

sein du fluide magnétorhéologique.

– Pour des embrayages dont le couple nominal avoisine 280 [N m] l’utilisation d’un alliage de fer

et de cobalt (Hiperco 27) permet d’augmenter le couple massique d’environ 15% par rapport à

un acier à faible teneur de carbone (AISI 1020).

– Encore pour des embrayages de 280 [N m], l’utilisation d’ailettes pour refroidir l’embrayage

offre le potentiel d’augmenter le couple massique d’environ 15%, mais une étude plus appro-

fondie est nécessaire pour valider cette affirmation.

Dans un second temps, une séquence d’optimisation basée sur un algorithme génétique a été mise en

place. Elle a permis de mettre au jour un embrayage magnétorhéologique optimisé pour l’application

visée. Cet embrayage possède les caractéristiques suivantes :

– Le couple de l’embrayage est estimé à 280 [N m] et sa masse à 3,5 [kg]. Cela donne un couple

massique de 85 [N m/kg]. À titre indicatif, la littérature semble faire constats de couple massique

d’au plus 60 [N m/kg].

– L’embrayage consomme une puissance de 48 [W].

– L’embrayage possède un diamètre de 0,13 [m] et une longueur de 0,07 [m].

– L’embrayage possède 11 disques (6 intérieurs, 5 extérieurs) localisés en périphérie du bobinage.

– Le circuit magnétique est composé d’Hiperco 27.

Perspectives de recherches

Les perspectives de recherche suivantes sont proposées pour faire suite aux résultats présentés dans ce

mémoire :

– L’absence de données décrivant les efforts de cisaillement du fluide magnétorhéologique à l’état

solide a dirigé le développement du modèle pour ne prendre en compte que le comportement li-

quide du fluide magnétorhéologique. Au final, le modèle développé permet d’estimer le couple,

mais seulement si la différence de vitesses entre les disques est connue. D’autre part, puisqu’il

admet un cisaillement (bien que très faible) même lorsque les conditions en vigueur favorisent

l’état solide du fluide magnétorhéologique, le modèle ne permet pas de suivre la position re-

lative entre les disques. De ce fait, il ne permet pas non plus de connaître le couple transmis

113

suivant un déplacement donné (ou vis-versa). Bien que le modèle ait répondu aux besoins du

processus d’optimisation, un modèle plus détaillé est nécessaire pour étudier le comportement

dynamique de l’embrayage.

– Certains facteurs (historique de chargement, gradients magnétiques, gravité et autres) influencent

de façon importante la répartition des particules dans le fluide magnétorhéologique et cela peut

avoir des répercussions importantes sur les niveaux de couples transmis. Il serait donc pertinent

d’étudier l’impact de ces facteurs sur la concentration et l’arrangement des particules dans le

fluide et d’en étudier l’effet sur le champ d’aimantation résultant et sur les efforts de cisaille-

ment transmis. Les méthodes de résolution particulaires pourraient offrir une première piste de

solution.

– Ces travaux ont permis de constater que le fait de déporter les disques à l’extérieur du bobinage

permet de faire un gain important au niveau du couple massique. Toutefois, une autre configura-

tion caractérisée par de multiples cylindres concentriques (ou tambours) semble pouvoir offrir

un couple massique élevé (selon Nguyen [11]) tout en permettant de simplifier la fabrication.

La géométrie du modèle d’embrayage pourrait être adaptée afin d’étudier le potentiel réel de

cette configuration (et possiblement d’autres configurations) qui n’a toujours pas été validée

correctement dans la littérature.

114

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118

A Données expérimentales de BASF

Les données brutes obtenues de BASF [25] ainsi que les données corrigées sont présentées au ta-

bleau A.1. Les corrections spécifiques au montage expérimental de BASF vont comme suit :

Correction liée à la géométrie particulière de la cellule magnétique développée par BASFLa dérivation qui a mené à l’équation 2.15 ne suppose qu’une seule interface de fluide magné-

torhéologique. Le facteur de correction suivant permet de tenir compte des particularités géo-

métriques du montage expérimental de BASF (deux interfaces, arbre de transmission, épaisseur

du disque) et s’applique avant le facteur de Weissenberg-Rabinowitsch (eq. 2.12) :

τa = τ ′a/21+ 0.2

1+0.05 τ′a[kPa]2

(A.1)

où τ ′a est la viscosité apparente provenant de l’équation 2.15.

Correction appliquée sur la mesure du capteur à effet HallComme la mesure de la densité de flux magnétique dans le fluide ne peut être effectuée di-

rectement, un capteur à effet Hall est placé en série dans le circuit magnétique à proximité de

l’interface de fluide magnétorhéologique (voir fig. 2.5). Les résultats d’une simulation par élé-

ments finis menée par BASF ont permis de déduire la corrélation suivante entre la mesure BH

du capteur à effet Hall et la véritable densité de flux magnétique B dans l’interface de fluide

magnétorhéologique :

B = BH (1.028+0.0008 f mi [%]) (A.2)

où f mi est la fraction massique (∼ 90%) de particules ferromagnétiques exprimée en pourcen-

tage.

119

TABLEAU A.1 – Contrainte de cisaillement du fluide magnétorhéologique BASONETIC® 5030 deBASF pour différentes densités de flux magnétique et un taux de cisaillement de 100 [1/s]. Les donnéesbrutes sont corrigées selon la procédure mis de l’avant dans l’article de Laun [24]. Source : [25]

Données brutes Données corrigées Données brutes (suite) Données corrigées (suite)BH τa B τR BH τa B τR

[V s/m2] [N/m2] [V s/m2] [N/m2] [V s/m2] [N/m2] [V s/m2] [N/m2]

0,000 0,04 0,000 0,04 0,436 34,17 0,480 26,140,005 0,06 0,006 0,05 0,482 40,23 0,530 30,580,010 0,08 0,011 0,07 0,528 46,32 0,581 34,970,014 0,11 0,015 0,09 0,573 52,42 0,631 39,320,019 0,15 0,021 0,13 0,616 58,38 0,678 43,790,026 0,22 0,029 0,18 0,659 64,27 0,725 48,200,036 0,35 0,040 0,29 0,701 69,94 0,771 52,450,048 0,57 0,053 0,47 0,741 75,47 0,815 56,600,066 0,98 0,073 0,79 0,787 81,16 0,866 60,870,090 1,68 0,099 1,35 0,866 89,56 0,953 67,170,121 2,95 0,133 2,36 0,942 95,91 1,036 71,930,162 5,27 0,178 4,19 1,011 100,91 1,112 75,690,214 9,32 0,235 7,36 1,076 103,93 1,184 77,950,242 12,12 0,266 9,52 1,137 105,95 1,251 79,460,293 17,16 0,322 13,38 1,192 108,29 1,311 81,220,341 22,55 0,375 17,48 1,243 109,64 1,367 82,230,390 28,26 0,429 21,76

Source : [25]

120

B Solutions du modèle d’embrayage magnétorhéo-logique

Cette annexe présente les solutions du modèle d’embrayages magnétorhéologiques à disques et fait

référence à la section 3.9.

121

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,1400,000

0,020

0,040

0,060

0,080

voir b)

Dimension radiale r [m]

Dim

ensi

onax

iale

z[m

]

2,56

0

Densité du champ magnétique[V s/m2]

a)

0,000 0,010 0,020 0,030 0,040 0,0500,000

0,010

0,020

0,030

voir c)C j =

4 × 106

[A/m2]

Dimension radiale r [m]

Dim

ensi

onax

iale

z[m

]

b)

0,010 0,015 0,020 0,0250,000

0,005

0,010

C j = 4× 106

[A/m2]

Dimension radiale r [m]

Dim

ensi

onax

iale

z[m

]

c)

FIGURE B.1 – Solution du problème électromagnétique : Densité du flux magnétique B (∥B∥) auniveau a) de l’ensemble du domaine de résolution, b) de l’embrayage magnétorhéologique et c) del’empilement de disques. La densité de flux magnétique B dans l’interface de fluide avoisine 1 [V s/m2]pour une densité de courant J de 4×106 [A/m2].

122

0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 0,0240,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010voir b)

Ta = 60 [C]

C j = 1.6[A/m2]

h = 12 [W/m2]e = 0.8

Dimension radiale r [m]

Dim

ensi

onax

iale

z[m

]

7,13

0

Vitesse tangentielle×10−5 [m/s]

a)

0,010 0,011 0,011 0,012 0,012 0,013 0,013 0,014 0,014 0,0150,008

0,009

0,009

0,010

0,010

0,011

0,011

Dimension radiale r [m]

Dim

ensi

onax

iale

z[m

]

7,13

0

Vitesse tangentielle×10−5 [m/s]

b) Vue agrandie

FIGURE B.2 – Solution de l’analyse magnétorhéologique : Distribution de la vitesse tangentielle vθdans l’interface de fluide magnétorhéologique et b) une vue agrandie.

123

0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 0,0240,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

Dimension radiale r [m]

Dim

ensi

onax

iale

z[m

]8

0

Densité d’énergie dissipée×104 [W/m3]

a)

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,0500,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

Dimension radiale r [m]

Dim

ensi

onax

iale

z[m

]

4,762

4,750

Densité d’énergie dissipée×105 [W/m3]

b) Vue agrandie

FIGURE B.3 – Densité d’énergie dissipée par a) les effets visqueux dans l’interface de fluide magné-torhéologique et b) par l’effet Joule dans le bobinage.

124

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,0500,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

Ts = 60 [C]

q ≈ 4,75×105

[W/m3]

h = 15 [W/m2]ε = 0,8

Dimension radiale r [m]

Dim

ensi

onax

iale

z[m

]

92,0

89,5

Température[C]

FIGURE B.4 – Solution de l’analyse thermique : Distribution de la température dans l’embrayagemagnétorhéologique.

125

C Code MATLAB®

L’annexe C présente certaines portions du code MATLAB® implémenté dans le cadre de ces travaux.

Pour faciliter le référencement, ces portions de code ont été séparées en plusieurs sections (initiali-

sation et définition des paramètres, définition de la géométrie, sélection des domaines, définition du

maillage, définition de l’analyse électromagnétique, définition de l’analyse magnétorhéologique et

définition de l’analyse thermique).

C.1 Initialisation et définition des paramètres

1 %% INITIALIZATION

2 tic;

3 r = resultLibrary;

4 m = materialLibrary;

5 import com.comsol.model.*

6 import com.comsol.model.util.*

7 model = ModelUtil.create('Model');

8 model.modelNode.create('mod1');

9 geom1 = model.geom.create('geom1' ,2);

10 geom1.axisymmetric(true);

11 geom1.angularUnit('rad');

1213 %% CONFIGURATION PARAMETERS

14 ga.Fn = 1; % Number of fitness value.

15 ga.Fm = 1e6; % Maximum fitness value.

1617 p.Tr = 1e-6; % Repair tolerence.

18 p.Tg = 1e-3; % Manufacturing tolerence.

1920 p.C(1) = 0; % Configuration (0 for outer disks

and 1 for inner disks).

21 p.C(2) = 1; % Configuration (inner seals or

outer seals).

22 p.N = floor(floor(x(8))/2) *2+1; % Number of disks.

23 p.C = p.C(1)*4+p.C(2) *2+( mod(p.N,4) ==3); % Configuration.

24 p.Na = any(p.C==[0 ,1 ,6 ,7])*floor(p.N/2)... % Number of inner disks.

25 +any(p.C==[2,3,4,5])* ceil(p.N/2);

26 p.Nb = any(p.C==[0 ,1 ,6 ,7])* ceil(p.N/2)... % Number of outer disks.

27 +any(p.C==[2,3,4,5])*floor(p.N/2);

28 p.Nc = floor(p.N/4); % A certain very useful number of

disks.

2930 %% AXIAL DIMENSIONS PARAMETERS

Axial dimensions parameters for MRC1

127

31 p.Da = 1/16*25.4/1000; % Inner disks width. %

p.Da = 0.000889;

32 p.Db = 1/16*25.4/1000; % Outer disks width. %

p.Db = 0.000889;

33 p.Dc = 150e-6; % Axial disks gaps. %

p.Dc = 0.000138;

34 p.Dd = 150e-6; % Inner radial disks gap. %

p.Dd = 0.0002;

35 p.De = 150e-6; % Outer radial disks gap. %

p.De = 0.0002;

36 p.La = p.Na*p.Da+p.Nb*p.Db+(p.N+1)*p.Dc; % Length of the disks stacking.

3738 %% RADIAL DIMENSIONS PARAMETERS

Radial dimensions parameters for MRC1.

39 if any(p.C==[0,1,2,3])

40 p.Ra = x(1); % Inner radius of magnetic path.

41 p.Rb = x(2); % Inner radius of the coil.

42 p.Rc = x(3); % Outer radius of the coil.

43 p.Rd = x(4); % Inner radius of disks.

44 p.Re = x(5); % Outer radius of disks.

45 p.Rf = x(6); % Outer radius of fins.

46 elseif any(p.C==[4 ,5 ,6,7])

47 p.Ra = x(1); % Inner radius of disks. %

p.Ra = 0.011325;

48 p.Rb = x(2); % Outer radius of disks. %

p.Rb = 0.020965;

49 p.Rc = x(3); % Inner radius of the coil. %

p.Rc = 0.0282;

50 p.Rd = x(4); % Outer radius of the coil. %

p.Rd = 0.03835;

51 p.Re = x(5); % Outer radius of magnetic path. %

p.Re = 0.04055;

52 p.Rf = x(6); % Outer radius of fins.

53 end

54 p.Ap = any(p.C==[0 ,1 ,2,3])*pi*(p.Rb^2-p.Ra^2)... % Cross section area of the magnetic

path.

55 +any(p.C==[4,5,6,7])*pi*(p.Re^2-p.Rd^2);

56 p.Af = any(p.C==[0 ,1 ,2,3])*pi*(p.Re^2-p.Rd^2)... % Cross section area of fluid and

disks.

57 +any(p.C==[4,5,6,7])*pi*(p.Rb^2-p.Ra^2);

5859 %% MAGNETIC PATH SHAPE PARAMETERS

60 p.Sa = 20; % Number of discretizations near

inner radii.

61 p.Sb = 15; % Number of discretizations near

medium radii.

62 p.Sc = 10; % Number of discretizations near

outer radii.

63 p.Sd = x(7); % Shape factor of magnetic path near

disks.

6465 %% ANGULAR VELOCITY PARAMETERS

66 p.Ye = 1; %

67 p.Wi = 0; % Angular velocity of inner disks.

68 p.Wo = p.Ye*p.Dc/p.Re; % Angular velocity of outer disks.

128

6970 %% COIL PARAMETERS

71 p.Cc = 1; % Configuration of coil (0 when p.Ci

and p.Cn are known and 1 when p.Cj and p.Ck are known).

72 p.Ca = any(p.C==[0 ,1 ,2 ,3])*(p.Rc-p.Rb)*p.La... % Cross section area of the coil (

Valid only for a rectangular cross section).

73 +any(p.C==[4,5,6,7])*(p.Rd -p.Rc)*p.La;

74 p.Cg = 22; % AWG wire gauge.

75 p.Cd = 127e -6*92^((36 -p.Cg)/39); % AWG wire diameter.

76 p.Cw = pi*p.Cd^2/4; % AWG wire cross section area.

77 if p.Cc == 0

78 p.Ci = 1; % Current of the coil.

79 p.Cn = 350; % Number of turns.

80 p.Ck = p.Cn*p.Cw/p.Ca; % Fill ratio of the coil.

81 p.Cj = p.Cn*p.Ci/p.Ca; % Current density of the coil.

82 elseif p.Cc == 1

83 p.Cj = x(9); % Current density of the coil.

84 p.Ck = pi/4; % Fill ratio of the coil (Max = pi

/4).

85 p.Cn = p.Ca*p.Ck/p.Cw; % Number of turns.

86 p.Ci = p.Cj*p.Ca/p.Cn; % Current of the coil.

87 end

88 p.Cr = 1.72e-8; % Resistivity at reference

temperature.

89 p.Ce = 3.9e-3; % Resistivity temperature

coefficient.

90 p.Ct = 273.15; % Reference temperature.

9192 %% THERMAL PARAMETERS

93 p.Ts = 60; % Surrounding temperature.

94 p.Th = 15; % Heat transfert coefficient to

surrounding.

95 p.Te = 0.8; % Emissivity.

9697 %% FINS PARAMETERS

98 p.Fc = 1; % Configuration of fins (0 for no

fin and 1 for fins).

99 p.Ft = 0.001; % Thickness of fins.

100 p.Fy = 0.5; % Ratio of fins.

101 p.Fn = floor(p.La*p.Fy/p.Ft); % Number of fins.

102 p.Fh = p.Th; % Heat transfert coefficient around

fins.

103 p.Fk = 235; % Thermal conductivity of fins.

104 p.Fr = 2700; % Density of aluminum.

105 p.Fr1 = p.Re; % Inner radius of fins.

106 p.Fr2 = p.Rf; % Outer radius of fins.

107 p.Fr3 = p.Fr2+p.Ft/2; % Modified outer radius of fins.

108 p.Fl = p.Fr2 -p.Fr1; % Length of the fins.

109 p.Fv = p.Fn*pi*(p.Fr2^2-p.Fr1^2)*p.Ft; % Volume of fins.

110 p.Fm = p.Fr*p.Fv; % Mass of fins.

111 p.Fae = 2*pi*p.Fr1*p.La; % Effective heat transfert area.

112 p.Faf = 2*pi*(p.Fr3^2-p.Fr1^2); % Area of one fin.

113 p.Fab = 2*pi*p.Fr1*(p.La -p.Fn*p.Ft); % Area of the base.

114 p.Fat = p.Fn*p.Faf+p.Fab; % Total area.

115 p.Fo = sqrt (2*p.Fh/(p.Fk*p.Ft)); % Number used

129

116 p.Ff = (2*p.Fr1/p.Fo)/(p.Fr3^2-p.Fr1 ^2) *... % Thermal efficiency of fins.

117 (besselk(1,p.Fo*p.Fr1)*besseli(1,p.Fo*p.Fr3)...

118 -besseli(1,p.Fo*p.Fr1)*besselk(1,p.Fo*p.Fr3))/...

119 (besseli(0,p.Fo*p.Fr1)*besselk(1,p.Fo*p.Fr3)...

120 +besselk(0,p.Fo*p.Fr1)*besseli(1,p.Fo*p.Fr3));

121 p.Fq = p.Fh*p.Fat*(1-p.Fn*p.Faf/p.Fat*(1-p.Ff)); % Heat transfert per Kelvin.

122 p.Fhe = p.Fq/p.Fae; % Homogenized heat transfert

coefficient of fins.

123124 %% ERRORS

125 if mod(p.N,2)~=1

126 out = ga.Fm*ones(ga.Fn ,1);

127 disp('Number of disks must be odd.');

128 return;

129 end

130 if p.Af+p.Tg^2<p.Ap

131 out = ga.Fm*ones(ga.Fn ,1);

132 disp('Magnetic circuit cross sections do not match.');

133 return;

134 end

135 if ~(p.Tg <p.Ra &&...

136 p.Ra+p.Tg <p.Rb &&...

137 p.Rb+p.Tg <p.Rc &&...

138 p.Rc+p.Tg <p.Rd &&...

139 p.Rd+p.Tg <p.Re &&...

140 p.Re+p.Tg <p.Rf)

141 out = ga.Fm*ones(ga.Fn ,1);

142 disp('Radii do not match.');

143 return;

144 end

145146 %% CONFIGURATION PARAMETERS

147 model.param.set('N', num2str(p.N), 'Number of disks');

148 model.param.set('C', num2str(p.C), 'Configuration ');

149 %% AXIAL DIMENSIONS PARAMETERS

150 model.param.set('Da',[num2str(p.Da),'[m]'], 'Inner disks width ');

151 model.param.set('Db',[num2str(p.Db),'[m]'], 'Outer disks width ');

152 model.param.set('Dc',[num2str(p.Dc),'[m]'], 'Axial disks gap');

153 model.param.set('Dd',[num2str(p.Dd),'[m]'], 'Inner radial disks gap');

154 model.param.set('De',[num2str(p.De),'[m]'], 'Outer radial disks gap');

155 model.param.set('La',[num2str(p.La),'[m]'], 'Length of the disks zone');

156 %% RADIAL DIMENSIONS PARAMETERS

157 model.param.set('Ra',[num2str(p.Ra),'[m]'], 'Inner radius of the inductor ');

158 model.param.set('Rb',[num2str(p.Rb),'[m]'], 'Inner radius of the coil');

159 model.param.set('Rc',[num2str(p.Rc),'[m]'], 'Outer radius of the coil');

160 model.param.set('Rd',[num2str(p.Rd),'[m]'], 'Inner radius of disks ');

161 model.param.set('Re',[num2str(p.Re),'[m]'], 'Outer radius of disks ');

162 %% MAGNETIC PATH SHAPE PARAMETERS

163 model.param.set('Sa', num2str(p.Sa), 'Number of discretization ');

164 model.param.set('Sb', num2str(p.Sb), 'Number of discretization ');

165 model.param.set('Sc', num2str(p.Sc), 'Number of discretization ');

166 model.param.set('Sd', num2str(p.Sd), 'Path shape near disks');

167 %% ANGULAR VELOCITY PARAMETERS

168 model.param.set('Wi',[num2str(p.Wi),'[rad/s]'], 'Angular velocity of inner disks'

);

130

169 model.param.set('Wo',[num2str(p.Wo),'[rad/s]'], 'Angular velocity of outer disks'

);

170 %% COIL PARAMETERS

171 model.param.set('Cj',[num2str(p.Cj),'[A/m^2]'], 'Coil current density ');

172 model.param.set('Ci',[num2str(p.Ci),'[A]'], 'Coil current ');

173 model.param.set('Cn', num2str(p.Cn), 'Coil number of turns');

174 model.param.set('Ck', num2str(p.Ck), 'Coil fill ratio');

175 model.param.set('Ce',[num2str(p.Ce),'[1/K]'], 'Coil resistivity temperature

coefficient ');

176 model.param.set('Cr',[num2str(p.Cr),'[ohm*m]'], 'Coil reference resistivity ');

177 model.param.set('Ct',[num2str(p.Ct),'[K]'], 'Coil reference temperature ');

178 model.param.set('Cd',[num2str(p.Cd),'[m]'], 'Coil wire width');

179 model.param.set('Cw',[num2str(p.Cw),'[m^2]'], 'Coil wire cross area');

180 model.param.set('Cg', num2str(p.Cg), 'Coil wire gauge');

181 %% THERMAL PARAMETERS

182 model.param.set('Ts',[num2str(p.Ts),'[degC]'], 'Surrounding temperature ');

183 model.param.set('Th',[num2str(p.Th),'[W/(m^2*K)]'], 'Heat transfert coefficient ');

184 model.param.set('Te', num2str(p.Te), 'Emissivity ');

185 %% FINS PARAMETERS

186 model.param.set('Fc', num2str(p.Fc), 'Configuration of fins');

187 model.param.set('Ft',[num2str(p.Ft),'[m]'], 'Thickness of fins');

188 model.param.set('Fy', num2str(p.Fy), 'Ratio of fins');

189 model.param.set('Fn', num2str(p.Fn), 'Number of fins');

190 model.param.set('Fl',[num2str(p.Fl),'[m]'], 'Length of fins');

191 model.param.set('Fr1',[num2str(p.Fr1),'[m]'], 'Inner radius of fins');

192 model.param.set('Fr2',[num2str(p.Fr2),'[m]'], 'Outer radius of fins');

193 model.param.set('Fr3',[num2str(p.Fr3),'[m]'], 'Modified outer radius of fins');

194 model.param.set('Fv',[num2str(p.Fv),'[m^3]'], 'Volume of fins');

195 model.param.set('Fm',[num2str(p.Fm),'[kg]'], 'Mass of fins');

196197 model.param.set('Fh',[num2str(p.Fh),'[W/(m^2*K)]'], 'Heat transfert coefficient

around fins');

198 model.param.set('Fk',[num2str(p.Fk),'[W/(m*K)]'], 'Thermal conductivity of fins');

199 model.param.set('Fr',[num2str(p.Fr),'[kg/m^3]'], 'Density of fins');

131

C.2 Définition de la géométrie

1 %% GEOMETRY

2 % Sets repair tolerence.

3 model.geom('geom1').repairTol(p.Tr);

45 % Creates the central disk.

6 g.r1 = model.geom('geom1').feature.create('r1','Rectangle ');

7 g.r1.set('size',any(p.C==[0 ,3])*[p.Re-p.Rd-p.Dd,p.Db /2]+...

8 any(p.C==[1 ,2])*[p.Re-p.Rd-p.De,p.Da /2]+...

9 any(p.C==[4 ,7])*[p.Rb-p.Ra-p.De,p.Da /2]+...

10 any(p.C==[5 ,6])*[p.Rb-p.Ra-p.Dd,p.Db/2]);

11 g.r1.set('pos', any(p.C==[0 ,3])*[p.Rd+p.Dd , 0]+...

12 any(p.C==[1 ,2])*[p.Rd, 0]+...

13 any(p.C==[4 ,7])*[p.Ra, 0]+...

14 any(p.C==[5 ,6])*[p.Ra+p.Dd, 0]);

15 if p.N >= 3

16 % Creates the disk next to the center one.

17 g.r2 = model.geom('geom1').feature.create('r2','Rectangle ');

18 g.r2.set('size',any(p.C==[0 ,3])*[p.Re-p.Rd-p.De, p.Da]+...

19 any(p.C==[1 ,2])*[p.Re-p.Rd-p.Dd, p.Db]+...

20 any(p.C==[4 ,7])*[p.Rb-p.Ra-p.Dd, p.Db]+...

21 any(p.C==[5 ,6])*[p.Rb-p.Ra-p.De, p.Da]);

22 g.r2.set('pos', any(p.C==[0 ,3])*[p.Rd , p.Db/2+p.Dc]+...

23 any(p.C==[1 ,2])*[p.Rd+p.Dd,p.Da/2+p.Dc]+...

24 any(p.C==[4 ,7])*[p.Ra+p.Dd,p.Da/2+p.Dc]+...

25 any(p.C==[5 ,6])*[p.Ra, p.Db/2+p.Dc]);

2627 if p.N >= 5

28 % Creates the second disk next to the center one.

29 g.r3 = model.geom('geom1').feature.create('r3','Rectangle ');

30 g.r3.set('size',any(p.C==[0 ,3])*[p.Re-p.Rd-p.Dd, p.Db ]+...

31 any(p.C==[1 ,2])*[p.Re-p.Rd-p.De, p.Da ]+...

32 any(p.C==[4 ,7])*[p.Rb-p.Ra-p.De, p.Da ]+...

33 any(p.C==[5 ,6])*[p.Rb-p.Ra-p.Dd, p.Db]);

34 g.r3.set('pos', any(p.C==[0 ,3])*[p.Rd+p.Dd ,p.Da+p.Db/2+2*p.Dc ]+...

35 any(p.C==[1 ,2])*[p.Rd, p.Db+p.Da/2+2*p.Dc]+...

36 any(p.C==[4 ,7])*[p.Ra, p.Db+p.Da/2+2*p.Dc]+...

37 any(p.C==[5 ,6])*[p.Ra+p.Dd,p.Da+p.Db/2+2*p.Dc]);

38 if p.N >= 7

39 % Creates the following disks similar to the disk next to

40 % the center one.

41 g.array1 = model.geom('geom1').feature.create('arr1','Array');

42 g.array1.selection('input').set('r2');

43 g.array1.set('displ',[0,p.Da+p.Db+2*p.Dc]);

44 g.array1.set('size', any(p.C==[0 ,2 ,4 ,6])*[1, p.Nc]+...

45 any(p.C==[1,3,5,7])*[1,p.Nc+1]);

46 if p.N >= 9

47 % Creates the following disks similar to the second disk

48 % next to the center one.

49 g.array2 = model.geom('geom1').feature.create('arr2','Array');

50 g.array2.selection('input').set('r3');

51 g.array2.set('displ',[0,p.Da+p.Db+2*p.Dc]);

52 g.array2.set('size', any(p.C==[0 ,2 ,4 ,6])*[1,p.Nc]+...

132

53 any(p.C==[1,3,5,7])*[1,p.Nc]);

54 end

55 end

56 end

57 end

5859 % Creates the fluid.

60 g.r4 = model.geom('geom1').feature.create('r4','Rectangle ');

61 g.r4.set('size',[p.Re-p.Ra,p.La/2]);

62 g.r4.set('pos', [p.Ra ,0]);

6364 % Creates the axial magnetic path.

65 g.r5 = model.geom('geom1').feature.create('r5','Rectangle ');

66 g.r5.set('size',any(p.C==[0 ,1])*[p.Rb-p.Ra, p.La /2]+...

67 any(p.C==[2 ,3])*[p.Rb-p.Ra,p.La/2-p.Dc]+...

68 any(p.C==[4 ,5])*[p.Re-p.Rd, p.La /2]+...

69 any(p.C==[6 ,7])*[p.Re-p.Rd,p.La/2-p.Dc]);

70 g.r5.set('pos', any(p.C==[0,1 ,2 ,3])*[p.Ra ,0]+...

71 any(p.C==[4,5,6,7])*[p.Rd ,0]);

7273 % Creates the coil.

74 g.r6 = model.geom('geom1').feature.create('r6','Rectangle ');

75 g.r6.set('size',any(p.C==[0 ,1])*[p.Rc-p.Rb, p.La /2]+...

76 any(p.C==[2 ,3])*[p.Rc-p.Rb,p.La/2-p.Dc]+...

77 any(p.C==[4 ,5])*[p.Rd-p.Rc, p.La /2]+...

78 any(p.C==[6 ,7])*[p.Rd-p.Rc,p.La/2-p.Dc]);

79 g.r6.set('pos', any(p.C==[0,1 ,2 ,3])*[p.Rb ,0]+...

80 any(p.C==[4,5,6,7])*[p.Rc ,0]);

8182 % Creates the attachment ring.

83 g.r7 = model.geom('geom1').feature.create('r7','Rectangle ');

84 g.r7.set('size',any(p.C==[0 ,1])*[p.Rd-p.Rc, p.La /2]+...

85 any(p.C==[2 ,3])*[p.Rd-p.Rc,p.La/2-p.Dc]+...

86 any(p.C==[4 ,5])*[p.Rc-p.Rb, p.La /2]+...

87 any(p.C==[6 ,7])*[p.Rc-p.Rb,p.La/2-p.Dc]);

88 g.r7.set('pos', any(p.C==[0,1 ,2 ,3])*[p.Rc ,0]+...

89 any(p.C==[4,5,6,7])*[p.Rb ,0]);

9091 % Creates the radial magnetic path.

92 p.Pr = [p.Rb*ones(1,p.Sa),linspace(p.Rb+(p.Rd -p.Rb)/(p.Sb+1),p.Rd -(p.Rd-p.Rb)/(p.Sb

+1),p.Sb),p.Rd*ones(1,p.Sc)];

93 p.Pz = p.La/2* ones(1,p.Sa+p.Sb+p.Sc);

94 p.Pt = [linspace(-pi/2,0,p.Sa),zeros(1,p.Sb),linspace(0,pi/2,p.Sc)];

95 p.Pa = any(p.C==[0 ,1 ,2 ,3])*[p.Ap*ones(1,p.Sa+p.Sb),p.Ap+(p.Af -p.Ap).* linspace (0,1,p.

Sc).^p.Sd]+...

96 any(p.C==[4,5,6,7])*[p.Ap+(p.Af-p.Ap).* linspace (1,0,p.Sa).^p.Sd,p.Ap*ones(1,p.

Sb+p.Sc)];

97 [p.Pr,p.Pz,p.Pw] = pathcontour(p.Pr ,p.Pz ,p.Pt ,p.Pa);

98 g.b1 = model.geom('geom1').feature.create('b1','BezierPolygon ');

99 g.b1.set('p',[p.Pr;p.Pz]);

100101 % Creates the surrounding.

102 p.Rs = max (2*max(p.Pz) ,2*p.Re);

103 model.param.set('Rf',[num2str(p.Rs),'[m]'],'Outer radius of the surrounding ');

104 g.b2 = model.geom('geom1').feature.create('b2','BezierPolygon ');

133

105 g.b2.set('degree ' ,[1 2 1]);

106 g.b2.set('p',[0,p.Rs,p.Rs ,0,0;

107 0,0,p.Rs,p.Rs ,0]);

108 g.b2.set('w' ,[1,1,1,1/sqrt (2) ,1,1,1]);

109110 %% VIEW

111 model.view('view1').axis.set('xmin' ,0);

112 model.view('view1').axis.set('xmax' ,1.1*p.Re);

113 model.view('view1').axis.set('ymin' ,0);

114 model.view('view1').axis.set('ymax' ,1.1*max(p.Pz));

115116 %% PLOT GEOMETRY

117 % mphgeom(model ,'geom1 ');

134

C.3 Définition du problème électromagnétique

1 %% MAGNETIC FIELDS

2 % Sets magnetic field coupling variables.

3 y.mf = model.variable.create('mf');

4 y.mf.model('mod1');

5 y.mf.name('Magnetic Field Variables ');

6 y.mf.selection.geom('geom1' ,2);

7 y.mf.selection.set(s.Dc);

8 y.mf.set('Cc','1/(Cr*(1+Ce*(T-Ct)))','Coil conductivity ');

910 y.mf = model.physics.create('mf','InductionCurrents ','geom1');

11 y.mf.feature('al1').name('Relative Permeability ');

12 y.mf.feature('al1').set('mur_mat ',1,'userdef ');

13 y.mf.feature('al1').set('sigma_mat ',1,'userdef ');

14 y.mf.feature('al1').set('epsilonr_mat ',1,'userdef ');

1516 y.mf.feature('axi1').name('Axial Symmetry ');

17 y.mf.feature('mi1').name('Magnetic Insulation ');

18 y.mf.feature('init1').name('Initial Magnetic Potential ');

1920 % Sets the HB curve of the magnetic path.

21 y.mf.feature.create('al2','AmperesLaw ' ,2);

22 y.mf.feature('al2').name('HB Curve ');

23 y.mf.feature('al2').selection.set([s.Dp,s.Df ,s.Di ,s.Do]);

24 y.mf.feature('al2').set('ConstitutiveRelationH ',1,'HBCurve ');

25 y.mf.feature('al2').set('sigma_mat ',1,'userdef ');

26 y.mf.feature('al2').set('epsilonr_mat ',1,'userdef ');

2728 % Sets the properties of the coil.

29 y.mf.feature.create('mtcd1','MultiTurnCoilDomain ' ,2);

30 y.mf.feature('mtcd1').name('Coil');

31 y.mf.feature('mtcd1').selection.set(s.Dc);

32 y.mf.feature('mtcd1').set('mur_mat ',1,'userdef ');

33 y.mf.feature('mtcd1').set('mur','1');

34 y.mf.feature('mtcd1').set('epsilonr_mat ',1,'userdef ');

35 y.mf.feature('mtcd1').set('CoilExcitation ',1,'Current ');

36 y.mf.feature('mtcd1').set('ICoil',1,'Ci');

37 y.mf.feature('mtcd1').set('N',1,'Cn/2');

38 y.mf.feature('mtcd1').set('coilWindArea ',1,'Cw');

39 y.mf.feature('mtcd1').set('sigmaCoil ',1,'Cc');

4041 % Sets the plane symmetry.

42 y.mf.feature.create('mfb1','MagneticFieldBoundary ' ,1);

43 y.mf.feature('mfb1').name('Plane Symmetry ');

44 y.mf.feature('mfb1').selection.set(s.Bs);

135

C.4 Définition du problème magnétorhéologique

1 %% FLUID DYNAMICS

2 % Sets fluid dynamics coupling variables.

3 v.fd = model.variable.create('fd');

4 v.fd.model('mod1');

5 v.fd.name('Fluid Dynamics Variables ');

6 v.fd.selection.geom('geom1' ,2);

7 v.fd.selection.set(s.Df);

8 v.fd.set('v','u[m/s]','Tangential velocity of the fluid ');

9 v.fd.set('gammad ','sqrt(( gradv_phir+gradv_rphi)^2+( gradv_zphi+gradv_phiz)^2+eps ^2)');

10 v.fd.set('krel','10[s]','Relative stiffness ');

11 v.fd.set('bsat','1.202[T]','Saturation flux density ');

12 v.fd.set('tauf','7.184[ Pa]','Off -state yield stress ');

13 % v.fd.set('taus ','75600[Pa]','Saturation yield stress ');

14 % v.fd.set('taub ','3261[Pa/T]','Post -saturation slope ');

15 % v.fd.set('tauc ','4/3*(taus -taub*bsat -tauf)*(cos(pi*(if(mf.normB >bsat ,bsat ,mf.normB)

/bsat -1))+1) /2+ taub*mf.normB+tauf ','Casson yield stress ');

16 % v.fd.set('tauc ' , '4/3*(67990.6* mf.normB ^5 - 132582* mf.normB ^4 - 57617.1* mf.normB^3 +

193308* mf.normB ^2 + 6511.47* mf.normB)','Casson yield stress '); % Luc 's slope.

17 v.fd.set('etao','0.1154[ Pa*s]','Off -state casson viscosity ');

18 v.fd.set('tauc','4/3*(30.308194096037575*( mf.normB /0.006152494540201)

^1.547461127002178+ tauf)','Casson yield stress ');

19 v.fd.set('etac','etao *((cos(pi*(if(mf.normB >bsat ,bsat ,mf.normB)/bsat))+1)/2)^2','

Casson viscosity ');

20 v.fd.set('mu','((tauc +2* sqrt(tauc*etac*gammad+eps^2)+etac*gammad)-exp(-krel*gammad)*

tauc)/gammad ','Apparent viscosity ');

21 v.fd.set('sol','if(mu<tauc*krel /10,1,0)','Liquid/Solid region ');

22 v.fd.set('gradv_phir ','d(v,r)');

23 v.fd.set('gradv_rphi ','-v/r');

24 v.fd.set('gradv_zphi ','0[1/s]');

25 v.fd.set('gradv_phiz ','d(v,z)');

26 v.fd.set('sigma_phir ','mu*( gradv_phir+gradv_rphi)');

27 v.fd.set('sigma_phiz ','mu*( gradv_zphi+gradv_phiz)');

28 v.fd.set('wf','sigma_phir *( gradv_rphi+gradv_phir)+sigma_phiz *( gradv_phiz+gradv_zphi)'

);

2930 % Sets the dependent variable and the weak form PDE.

31 y.fd = model.physics.create('fd','WeakFormPDE ','geom1','u');

32 y.fd.identifier('fd');

33 y.fd.name('Fluid Dynamics ');

34 y.fd.selection.set(s.Df);

35 y.fd.feature('wfeq1').name('Fluid Dynamics ');

36 y.fd.feature('wfeq1').set('weak',1,'sigma_phir*test(ur)+sigma_phiz*test(uz)');

37 y.fd.feature('zflx1').name('Zero Flux');

38 y.fd.feature('init1').name('Initial Velocity ');

3940 % Sets velocity on inner disks.

41 y.fd.feature.create('dir1','DirichletBoundary ' ,1);

42 y.fd.feature('dir1').name('Inner Disks Velocity ');

43 y.fd.feature('dir1').selection.set(s.Bi);

44 y.fd.feature('dir1').set('r',1,'r*Wi');

4546 % Sets velocity on outer disks.

136

47 y.fd.feature.create('dir2','DirichletBoundary ' ,1);

48 y.fd.feature('dir2').name('Outer Disks Velocity ');

49 y.fd.feature('dir2').selection.set(s.Bo);

50 y.fd.feature('dir2').set('r',1,'r*Wo');

137

C.5 Définition du problème thermique

1 %% HEAT TRANSFERT

2 y.ht = model.physics.create('ht','HeatTransfer ','geom1' ,...

3 'I1','I2','I3','I4','I5','I6','I7','I8','I9','I10','I11','I12');

4 y.ht.selection.set([s.Dp,s.Dc,s.Da,s.Df,s.Di,s.Do,s.Db]);

5 y.ht.feature('solid1 ').name('Heat Transfer ');

6 y.ht.feature('axi1').name('Axial Symmetry ');

7 y.ht.feature('ins1').name('Thermal Insulation ');

89 % Sets the initial temperature.

10 y.ht.feature('init1').name('Initial Temperature ');

11 y.ht.feature('init1').set('T',1,'Ts');

1213 % Sets the convective cooling.

14 y.ht.feature.create('cc1','ConvectiveCooling ' ,1);

15 y.ht.feature('cc1').name('Convective Cooling ');

16 y.ht.feature('cc1').selection.all;

17 y.ht.feature('cc1').set('h',1,'Th');

18 y.ht.feature('cc1').set('Text',1,'Ts');

1920 % Sets the radiative cooling.

21 y.ht.feature.create('sar1','SurfaceToAmbientRadiation ' ,1);

22 y.ht.feature('sar1').name('Radiative Cooling ');

23 y.ht.feature('sar1').selection.all;

24 y.ht.feature('sar1').set('epsilon_rad_mat ',1,'userdef ');

25 y.ht.feature('sar1').set('epsilon_rad ',1,'Te');

26 y.ht.feature('sar1').set('Tamb',1,'Ts');

2728 % Sets the heat generation from the fluid.

29 y.ht.feature.create('hs1','HeatSource ' ,2);

30 y.ht.feature('hs1').name('Fluid Heat Source ');

31 y.ht.feature('hs1').selection.set(s.Df);

32 y.ht.feature('hs1').set('Q',1,'wf');

3334 % Sets the heat generation from the coil.

35 y.ht.feature.create('hs2','HeatSource ' ,2);

36 y.ht.feature('hs2').name('Coil Heat Source ');

37 y.ht.feature('hs2').selection.set(s.Dc);

38 y.ht.feature('hs2').set('Q_src',1,'userdef ');

39 y.ht.feature('hs2').set('Q',1,'Cf^2/Cc*Ck');

40 y.ht.feature('hs2').set('Q_src',1,'root.mod1.mf.Qe');

4142 % Sets the plane symmetry.

43 y.ht.feature.create('sym1','Symmetry ' ,1);

44 y.ht.feature('sym1').name('Plane Symmetry ');

45 y.ht.feature('sym1').selection.set(s.Bs);

4647 % Sets the thin thermally resistive layer.

48 y.ht.feature.create('ttrl1','ThinThermallyResistiveLayer ' ,1);

49 y.ht.feature('ttrl1').selection.set(s.Bt);

50 y.ht.feature('ttrl1').set('d_s',1,'0.05e-3');

51 y.ht.feature('ttrl1').set('k_s_mat ',1,'userdef ');

52 y.ht.feature('ttrl1').set('k_s',1,'0.25');

138

5354 % Sets the convective cooling from fins.

55 y.ht.feature.create('cc2','ConvectiveCooling ' ,1);

56 y.ht.feature('cc2').name('Fins Convective Cooling ');

57 y.ht.feature('cc2').selection.set(s.Bf);

58 y.ht.feature('cc2').set('h',1,p.Fhe);

59 y.ht.feature('cc2').set('Text',1,'Ts');

139

C.6 Définition du maillage

1 %% MESH

2 model.mesh.create('mesh1','geom1');

3 model.mesh('mesh1').automatic(false);

4 model.mesh('mesh1').feature.create('size1','Size');

5 model.mesh('mesh1').feature.move('size1' ,1);

6 model.mesh('mesh1').feature('size1').selection.geom('geom1' ,0);

7 model.mesh('mesh1').feature('size1').selection.set(s.Pc);

8 model.mesh('mesh1').feature('size1').set('custom ','on');

9 model.mesh('mesh1').feature('size1').set('hmaxactive ','on');

10 model.mesh('mesh1').feature('size1').set('hmax','0.0001 ');

11 model.mesh('mesh1').feature.create('size2','Size');

12 model.mesh('mesh1').feature.move('size2' ,2);

13 model.mesh('mesh1').feature('size2').selection.geom('geom1' ,2);

14 model.mesh('mesh1').feature('size2').selection.set([s.Df,s.Di,s.Do]);

15 model.mesh('mesh1').feature('size2').set('custom ','on');

16 model.mesh('mesh1').feature('size2').set('hmaxactive ','on');

17 model.mesh('mesh1').feature('size2').set('hmax','4/3*Dc');

18 model.mesh('mesh1').feature('size2').set('hminactive ','on');

19 model.mesh('mesh1').feature('size2').set('hmin','4/3*Dc');

140