on cherche à faire construire aux élèves un modèle qui

Equilibres de Hardy Weinberg et écarts à l’équilibre : proposition de construction d’un modèle par les élèves

On cherche à faire construire aux élèves un modèle qui montre la stabilité des fréquences alléliques dans les conditions de Hardy Weinberg. La construction s’appuiera sur les prérequis de première (méiose / fécondation)Le modèle pourra ensuite être modifié pour lui donner un aspect prédictif dans le cas d’une population dans laquelle l’accès à la reproduction n’est pas équitable pour tous les génotypes (sélection naturelle)Certaines simulations pourront être confrontées à des fréquences alléliques dans des populations réelles.

Notation : dans la suite N() désigne l’effectif de … f() désigne la fréquence de …Pour un gène A diallélique présent sous les formes A et a dans une population :

p=f(A)q=f(a)

ATTENTION : la procédure proposée n’est VRAIMENT pas la plus courte ni la plus synthétique mais il s’agitd’une méthode « pas à pas » qui cherche à relier formulation mathématique et étapes de la reproductionsexuée…Ces étapes sont très détaillés et on peut avoir parfois l’impression d’enfoncer des portes ouvertes… « tout çapour ça ».On insiste donc sur le fait qu’on ne cherche pas à établir le raisonnement mathématique le plus court etbrillant (n’est pas Hardy qui veut). On souhaite plutôt montrer comment on peut passer dans un modèle, dela connaissance de phénomènes au niveau individuel (méiose, fécondation) à une compréhension au niveaupopulationnel (fréquence alléliques…).

Voir aussi les vidéos au format .wmv –qualité très moyenne due à l’espace de stockage- :Mode_HardyWeinberg_1.wmv (création du modèle _ petite coquille à 25s…)Mode_HAardyWeinberg_2.wmv (modification dans le cadre de la sélection naturelle)

N.B : la vidéo 1 contient une coquille à la 25eme seconde : la fréquence initiale de a est q0 (et non p0)


Prérequis à la construction d’un modèle

• Méiose : lors de la méiose une cellule diploïde de la lignée germinale se divise pour donner 4 cellules haploïdesUne cellule diploïde hétérozygote A//a donnera 2 gamètes (A/) et deux gamètes (a/)Une cellule diploïde homozygote (A//A) donnera 4 gamètes de génotype identique (A/)

• Fécondation : la fécondation consiste en la fusion de deux gamètes haploïdes. On obtient un zygote diploïde

• Définition de fréquence alléliquefréquence : une fréquence d’un évènement particulier E est le rapport du nombre de fois où E se produit sur le nombre

total des évènements s’étant produit.Ainsi une fréquence d’un allèle A peut être calculé en effectuant le rapport (nombre d‘allèles A dans la population) / (nombre total d’ allèles dans la population)On remarquera que si N est l’effectif d’une population d’organismes diploïdes alors le nombre total d’allèle dans la population est 2*N

Si l’effectif d’une population est très grand alors la fréquence de l’allèle A est égale à la probabilité de tirer au hasard A parmi tous les allèles de la population (notion utile puisque cela permet de calculer la probabilité de réunir deux gamètes au hasard lors de la fécondation…)• Fréquence d’un génotype : on peut définir la fréquence d’un génotype : Nombre d’individu d’un génotype donné/nombre total

d’individu.Par exemple f(A//A) = N(A//A)/N et N=N(A//A)+N(A//a)+N(a//A) N(A//A)=f(A//A)*N

on remarquera aussi que si la population est très grande alors la fréquence d’un génotype peut être calculée à partir des fréquences alléliques:Le génotype (A//A) est réalisé si un chromosome porte A et l’autre chromosome porte A : probabilité p*pComme les fréquences sont équivalente aux probabilité si N très grand : f(A//A)=p*p De même on montre que f(A//a) = p(A//a)+p(a//A)f(A//a)=f(A)*f(a)+f(a)*f(A)f(A//a)=2pqEt f(a//a)=q*q

[on aura reconnu les fréquences à l’équilibre de Hardy Weinberg]


on considère les fréquences p et q des allèles d’un gène « A » di alléliques q=1-pon fixe p0 à la génération zéroAstuce didactique : on fixe un effectif N0 à la population (ceci permettra aux élèves de plus facilement calculer

des fréquences en passant par le calcul d’effectifs en utilisant les équations reliant f et N )on calcule les effectifs des différents génotypes à la génération 0 :

Probabilité d’avoir (A//A) : probabilité d’avoir A sur un chromosome et A sur le chromosome homologue : p*pEffectif N(A//A) = fréquence de (A//A) * Effectif de la populationComme fréquence (A//A)=probabilité(A//A)À la génération zéro :

Effectif N(A//A)=p0*p0*N0Effectif N(A//a)=2*p0q0*N0Effectif N(a//a)=q0*q0*N0

Méiose : À partir de ces effectifs initiaux de chaque génotype , on peut calculer le nombre de gamète (A/) et (a/) fabriqués lors de la reproduction. On considère que tous les individus ont la même fertilité.Comme on a vu que lors d’une méiose un individu fabrique 4 gamètes, qu’un homozygote fabrique 4 gamètes identiques et qu’un hétérozygote fabrique 2 gamètes de chaque type.Donc on peut calculer le nombre de gamètes Ng de chaque génotypeNg(A/)=4*N(A//A)+2*N(A//a)Ng(a/)=4*N(a//a)+2*N(A//a)Fécondation : la fécondation consiste en la réunion aléatoire de deux gamètes.On peut facilement calculer le nombre total de zygotes formés si tous les gamètes participent à la formation de zygotes : Nz=[Ng(A/)+Ng(a/)]/2On peut –avec une peu plus de difficultés- calculer les effectifs des zygotes formés de chaque génotype :

Pour obtenir un zygote (A//A) il faut « piocher » au hasard dans la population de gamètes deux fois un gamète (A/). Donc probabilité(Zygote(A//A)=probabilité de piocher un gamète(A/) * probabilité de piocher un gamète(A/) Si la population de gamète possède un effectif très grand : probabilité de piocher au hasard un gamète (A/)=fréquence du gamète(A/) dans la population de gamètes. (fg désigne ci-dessous la fréquence d’un gamète)Or fg (A/)=Ng(A/)/[Ng(A/)+Ng(a/)] et fg (a/)=Ng(a/)/[Ng(A/)+Ng(a/)

Principe de construction du modèle :


Principe de construction du modèle (suite) :

Pour obtenir un zygote (A//A) il faut « piocher » au hasard dans la population de gamètes deux fois un gamète (A/). Donc probabilité(Zygote(A//A)=probabilité de piocher un gamète(A/) * probabilité de piocher un gamète(A/)

On peut alors calculer les fréquences fz des zygotes de chaque génotypes :fz(A//A)=fg(A/)* fg(A/)fz(A//a)=fg(A/)* fg(a/)+fg(a/)*fg(A/) (2 évènements permettent de former des zygotes hétérozygotes : gamète1(A/)+gamète2(a/) OU gamète1(A/)+gamète2(a)fz(a//a)=fg(a/)*fg(a/)

On peut finalement calculer les effectifs des zygotes formés de chaque génotype :Nz(A//A)=fz(A//A)*NzNz(A//a)=fz(A//a)*Nz avec Nz=[Ng(A/)+Ng(a/)]/2Nz(a//a)=fz(aa//a)*Nz

On peut ensuite calculer les effectifs des différents génotypes à l’âge « adulte » de la génération suivante :Si tous les zygotes donnent des individus en âge de se reproduire alors :N(A//A)=Nz(A//A), N(A//A)=Nz(A//a), N(a//A)=Nz(a//a) ) la génération n+1

On peut ensuite recalculer pour cette génération les fréquences et effectifs des gamètes, les zygotes produits et donc les effectifs à la génération suivante etc …

On peut pour chaque génération calculer la fréquence de l’allèle p=f(A) dans la population de zygote … : p=[2*Nz(A//A)+Nz(A//a)]/2*Nz

Si l’on fait tout cela dans un tableur et que l’on calcule p à chaque génération de zygote le résultat est assez décevant (etprévisible) : la fréquence p est stable quelque soit p0


Si l’on fait tout cela dans un tableur et que l’on calcule p à chaque génération de zygote le résultat est assez décevant (et prévisible) : la fréquence p est stable quelque soit p0.

On peut le comprendre car :- À aucun moment dans les cycles de calcul on ne rajoute ni ne retire d’allèle de l’ensemble de départ (ce qui

correspond à l’absence de migration dans les conditions de HW)- Le modèle ne permet pas de transférer une parti des effectifs des allèles A vers a et inversement. Autrement dit,

aucun allèle A ne peut se transformer en a et inversement : absence de mutation- Toutes les conditions en rouge énoncées dans la procédure simulent le fait que tous les individus ont les mêmes

chances de se reproduire (panmixie) :- Il n’y a aucun retrait aléatoire d’allèle de l’ensemble de départ (dans les populations réelles ceci se

produit lors de la dérive si N est petit car alors une fraction aléatoire non négligeable des individus peut ne pas avoir descendant par hasard ce qui biaise les fréquences) => Le modèle ne peut simuler la dérive

- Tous les génotypes ont la même probabilité de donner des zygotes et tous les zygotes donnent des adultes, quelque soit leur génotype => absence de sélection

Autrement dit notre modèle simule une population respectant les conditions de Hardy Weinberg (et ce quelque soit N car le modèle ne simule pas de fluctuation aléatoire des effectifs autour d’une moyenne)

Résultat et remarque :


Principe de construction du modèle (suite) : simuler une sélection

On peut facilement modifier le modèle pour faire comprendre comment on peut prévoir ce qu’il se passe dans certaines population s’écartant de l’équilibre de Hardy Weinberg.

Certaines maladies autosomiques récessives provoquent une mortalité des homozygotes récessif. Les hétérozygotes sont asymptomatiques.On peut introduire dans le modèle un taux de mortalité pour chaque génotype : il suffit de soustraire une proportion des effectifs des zygotes lorsqu’on calcule les effectifs des génotypes « adultes »

Ainsi dans le cas d’une maladie autosomique récessive : N(a//a)=Nz(a//a)-[m*Nz(a//a)]Où m est un nombre compris entre 0 et 1 représentant la proportion des individus qui n’accèdent pas à la reproduction (abusivement mortalité)

On peut définir une « mortalité » différente pour les trois géntypes A//A, A//a et a//a ce qui permet de simuler plusieurs cas intéressants :désavantage d’un homozygote Avantage de l’hétérozygote

Par exemple.


Principe de construction du modèle (suite) : simuler une sélection

Le modèle à l’équilibre (triste)


Mortalité des génotypes (a//a) m= 0,1 à gauche, m=1 à droite (arbitrairement p0=0,5)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 50 100 150 200

Fréq

uen

ce a

lléliq

ue

Générations

fréquences alléliques dans le cas d'un allèle letal à l'état homozygote

p q

La disparition des génotypes (a//a) provoque la diminution de la fréquence de l’allèle a qui tend vers 0

Cas d’un allèle létal à l’état récessif


Cas classique de correspondance modèle / situation réelle : maintient de l’allèle drépanocytaire

Notre modèle fonctionne bien pour les zones grises (fréquence tendant vers zéro) mais comment expliquer les fréquences élevées dans certaines région d'Afrique ?


Mortalité par paludisme d'individus hétérozygotes bA/bS (d'après Motulsky, 1964)Nombred'individus mortsà cause dupaludisme dansla population

%d'hétérozygotesdans lapopulation

Nombre attendud'hétérozygotesmorts

Nombre observéd'hétérozygotesmorts

23

21

27

13

16

26

29

24

8

19

6

6,1

6,5

1

3

0

1

0

0

0

Corrélation fréquence drépanocytaire / présence de Plasmodium

L’étude du génotype des victimes du paludisme montre que les hétérozygotes HbS//HbA y sont sous représentés Les hétérozygotes sont moins sensibles au parasite du paludisme



Simulation d’un « avantage à l’hétérozygote. »

Quelque soit la fréquence de départ, les fréquences alléliques tendent vers 0,5



Avantage aux hétérozygotes + fort désavantage aux homozygote (a//a)

La fréquence allélique de a se stabilise pour des valeurs comprises entre 0 et 0,5.On peut donc expliquer les valeurs de la fréquence de l’allèle S dans certaines régions d’Afrique par la mortalité des génotypes HbS//HbS (mortalité par drépanocytose) alliée à un avantage des hétérozygotes dans les régions où sévit le paludisme.


on cherche à faire construire aux élèves un modèle qui

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