Cinquimes Olympiades de Mathmatiques du Mali Bamako, 10 au 12 avril 2004

Premire journe - Samedi 10 avril 2004 PREUVE N : I Dure : 4h30

Exercice 1

Trouver tous les entiers naturels non nuls n pour lesquels, N = n4 + 4n est premier

Exercice 2

Rsoudre dans IRIR le systme :

=

+++

2-xy)-2ln(x76y10x-5xy-2y24x

Exercice 3

Sur la figure ci-contre, on : AC = 3 cm BD = 2 cm OH = 1 cm

Dterminer la mesure du segment [BC]

O

H

D

C B

A

Cinquimes Olympiades de Mathmatiques du Mali Bamako, 10 au 12 mars 2004

Deuxime journe - Dimanche 11 avril 2004 PREUVE N : II Dure : 4h30

Exercice 3

Soit ABC un triangle de cts

BC = a AB = c AC = b et daire S

Dterminer le plus petit rel k tel que S3 ka2b2c2

Exercice 4

Soit la fonction f dfinie par :

xIR ; f(x+a) = 2))(()(21

xfxf + o a est une constante positive non nulle.

Dmontrer que f est une fonction priode dont on prcisera la priode.

Exercice 6

Trouver toutes les fonctions f, dfinies, continues et drivables sur IR, telles que :

xIR ; yIR

=

++=+++

)(1)1(])([])([)(

positiftstrictemenrelaafyyfxxfyxyxf