olymp i 2003
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OLYMPIADE DE MATHÉMATIQUES -- SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DU MALI
Quatrièmes Olympiades de Mathématiques Bamako, 28 au 31 mars 2003
Option Lycée Première journée - Vendredi 28 mars 2003 - Durée : 4h30
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Exercice 1
Soit p et q deux entiers strictement positifs vérifiant :
1335
1
1334
1...
4
1
3
1
2
11 +−+−+−=
q
p
Montrer que 2003 divise p ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercice 2
Soit Â, B̂ , Ĉ les mesures entre 0 et π des angles d’un triangle ABC. Montrer que :
cotanÂ, cotanB̂ , cotanĈ sont en progression arithmétique si et seulement si il en est de même de sin2Â, sin2 B̂ , sin2Ĉ.
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Exercice 3
Pour tout point P intérieur à un triangle ABC, on appelle respectivement D, E, F les projetés orthogonaux de P sur [BC], [CA] et [AB].
Trouver tous les points P tels que : PFAB
PECA
PDBCS ++= soit minimale
Deuxième journée - Samedi 29 mars 2003 - Durée : 4h30
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Exercice 4
Quatre nombres réels sont en progression géométrique. Leur somme est 13 et la somme de leurs carrés est 1261. Trouver les quatre nombres.
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Exercice 5
Soit un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle. On pose : AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = x, DB = y 1-/ Calculer cos ; x2 ; y2 en fonction de a, b, c, d.
2-/ Montrer que xy = ac + bd et que cdabbcad
yx
++=
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Exercice 6
Résoudre l’équation suivante dans IR dans laquelle x est l’inconnue : x2sin2b – 2(1– cosbcosc)x + sin2c = 0
ABC
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Option préparatoire : 9ème – 10ème
Première journée - Vendredi 28 mars 2003 - Durée : 4h30
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Exercice 1
1-/ Montrer que le nombre suivant est un entier naturel :
( )( )154610154 +−−=A
2-/ À 2h20mn, quelle est la mesure en degré de l’angle entre les aiguilles d’une horloge.
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Exercice 2
ABCD est un carré et E un point intérieur au carré tel que AE = 1, BE = 2 et CE = 3. Déterminer l’aire du carré.
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Exercice 3
Soit ABC un triangle rectangle en A, H le pied de la hauteur issue de A et β une
mesure de l’angle .
1-/ Montrer que β est aussi une mesure de l’angle . 2-/ Sachant que AH = 12 et BC = 25, calculer BH, HC, AB, AC.
Deuxième journée - Samedi 29 mars 2003 - Durée : 4h30
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Exercice 4
Les plus grands karatékas de Bamako sont disposés en carré. Au cours d’une dispute avec Monsieur Fort, la première ligne et 8 autres karatékas sont mis hors combat. Les rescapés se regroupent alors en carré de 8 colonnes et regagnent les vestiaires en pleurant. Combien de karatékas Monsieur Fort a-t-il rencontrés ?
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Exercice 5
ABC est un triangle équilatéral et P un point intérieur au triangle. Soit D le projeté orthogonal de P sur [AB], E celui sur [BC] et F celui sur [AC]. On donne PD = 1, PE = 2 et PF = 3. Déterminer la longueur du côté du triangle ABC.
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Exercice 6
Soit (D) et (∆) deux droites concourantes en O. Soit A un point de (D) distinct de O. Comment construire à la règle et au compas un cercle centré sur (D), passant par A et tangent à (∆) ?
ABC
HAC
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