IPSA | Partiel de thermodynamique du 7 janvier 2019 1/12

SUJET D’EXAMEN

Année universitaire 2018-2019 Classe : Aéro-2

Type d’examen : PARTIEL Matière : Thermodynamique Code matière : Ph 21a Date : 7 janvier 2019 Horaire : Durée : 2 h Enseignant : Bouguechal Documents autorisés : NON Calculatrices autorisées : NON

CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT : Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution. Le barème est donné à titre indicatif. Pour les QCM, chaque question comporte une ou plusieurs réponses. Lorsque l’étudiant ne répond pas à une question ou si la réponse est fausse, la note attribuée sera égale à zéro. Rédigez directement sur la copie. Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice1: /3.25

Exercice2: /3.75 Exercice3: /2.0 Exercice 4: /13.0

CADRE RÉSERVÉ A L’ETUDIANT(E) : Merci de compléter ce cadre et votre numéro en haut de page à gauche : NOM : Prénom : Classe :

/20

Numéro :

Corrigé

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Exercice 1 : Chaleur spécifique à volume constant (3.25 points)

The molar heat capacity of hydrogen as a function of temperature (on a logarithmic scale).

The three “steps” or “plateaus” show different numbers of degrees of freedom that the typical

energies of molecules must achieve to activate. Translational kinetic energy corresponds to

three degrees of freedom, rotational to another two, and vibrational to yet another two.

A. La capacité calorifique ( chaleur spécifique ) à volume constant est définie par :

1.□ 𝑪𝑽 = (𝜹𝑸

𝒅𝑷)

𝑽 2.□ 𝑪𝑽 = (

𝒅𝑸

𝝏𝑻)

𝑽 3.□ 𝑪𝑽 = (

𝝏𝑼

𝝏𝑻)

𝑽 4.□ 𝑪𝑽 = (

𝝏𝑯

𝝏𝑻)

𝑽

5.□ aucune réponse.

B. La capacité calorifique ( chaleur spécifique ) à pression constante est définie par :

1.□ 𝑪𝑷 = (𝜹𝑸

𝒅𝑽)

𝑷 2.□ 𝑪𝑷 = (

𝝏𝑯

𝝏𝑻)

𝑷 3.□ 𝑪𝑷 = (

𝝏𝑼

𝝏𝑻)

𝑷 4.□ 𝑪𝑷 = (

𝒅𝑸

𝝏𝑻)

𝑷 5.□

aucune réponse.

C. Les gaz suivants sont des gaz monoatomiques :

1.□ L’hydrogène 2.□ Le néon 3.□ L’hélium 4.□ L’azote 5.□ aucune réponse.

D. Les gaz suivants sont des gaz diatomiques :

1.□ L’hydrogène 2.□ L’azote 3.□ L’hélium 4.□ Le néon 5.□ aucune réponse ;

E. La capacité calorifique ( chaleur spécifique ) à volume constant d’un gaz parfait

monoatomique est égale à :

1.□ 𝟏

𝟐𝑹 2.□

𝟑

𝟐𝑹 3.□

𝟓

𝟐𝑹 4.□

𝟕

𝟐𝑹 5.□ aucune réponse.

IPSA | Partiel de thermodynamique du 7 janvier 2019 3/12

F. La capacité calorifique ( chaleur spécifique ) à volume constant d’un gaz parfait

diatomique est toujours égale à :

1.□ 𝟏

𝟐𝑹 2.□

𝟑

𝟐𝑹 3.□

𝟓

𝟐𝑹 4.□

𝟕

𝟐𝑹 5.□ aucune réponse.

G. La capacité calorifique ( chaleur spécifique ) à volume constant à faible température

d’un gaz parfait diatomique est égale à :

1.□ 𝟏

𝟐𝑹 2.□

𝟑

𝟐𝑹 3.□

𝟓

𝟐𝑹 4.□

𝟕

𝟐𝑹 5.□ aucune réponse.

H. La capacité calorifique ( chaleur spécifique ) à volume constant à très haute

température d’un gaz parfait diatomique est égale à :

1.□ 𝟏

𝟐𝑹 2.□

𝟑

𝟐𝑹 3.□

𝟓

𝟐𝑹 4.□

𝟕

𝟐𝑹 5.□ aucune réponse.

I. La capacité calorifique ( chaleur spécifique ) à volume constant à la température

ambiante d’un gaz parfait diatomique est égale à :

1.□ 𝟏

𝟐𝑹 2.□

𝟑

𝟐𝑹 3.□

𝟓

𝟐𝑹 4.□

𝟕

𝟐𝑹 5.□ aucune réponse

J. La constante adiabatique γ d’un gaz parfait diatomique à la température ambiante

est égale à :

1.□ 𝟏

𝟐 2.□

𝟑

𝟐 3.□

𝟓

𝟐 4.□

𝟕

𝟓 5.□ aucune réponse.

Cochez la ou les bonne(s) cases. Si aucune case n’est cochée note = 0.

Ne pas écrire au crayon à papier.

En utilisant le graphique de la page précédente, compléter le tableau suivant :

On posera les résultats sous forme de fractions.

CV CP γ = CP / CV

Faibles températures 3 R / 2 5 R / 2 5 / 3 = 1,60 0.25

Température intermédiaires 5 R / 2 7 R / 2 7 / 5 = 1,40 0.25

Hautes températures 7 R / 2 9 R / 2 9 / 7 = 1,28 0.25

EXERCICE 1 1 2 3 4 5

A X 0.25

B X 0.25

C X X 0.25

D X X 0.25

E X 0.25

F X 0.25

G X 0.25

H X 0.25

I X 0.25

J X 0.25

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Exercice 2 : Transformations élémentaires et réversible d’un gaz parfait (3,75 pts)

a) On considère un gaz parfait subissant une transformation élémentaire réversible.

Compléter le tableau suivant : On exprimera quand c’est possible, les grandeurs

physiques du tableau en fonction des variables P, V, et T uniquement.

1ère loi de Joule 𝒅𝑼 = 𝒄𝑽𝒅𝑻 0.25

Enthalpie

Définition générale 𝑯 = 𝑼 + 𝑷𝑽 0.25

2ème loi de joule

𝒅𝑯 = 𝒄𝒑𝒅𝑻 0.25

1er principe 𝒅𝑼 = 𝜹𝑾 + 𝜹𝑸 0.25

Relation de Mayer

𝑹 = 𝑪𝑷 − 𝑪𝑽 0.25

Travail élémentaire

𝜹𝑾 = −𝑷 𝒅𝑽 0.25

Chaleur

élémentaire

𝜹𝑸 = 𝒄𝑽𝒅𝑻 + 𝑷 𝒅𝑽 0.25

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b) On considère une transformation réversible d’un gaz parfait définie entre les états

initial (i) de coordonnées Pi , Ti, Vi et final (f) de coordonnées Pf, Tf et Vf en présence

de forces de pression uniquement. On prendra Cv constant. On demande d’exprimer

la variation des grandeurs thermodynamiques du tableau suivant en fonction des

données.

ΔU W Q ΔH

Transformation

isochore

𝑽𝒊 = 𝑽𝒇 = 𝑽𝟎

𝑪𝑽(𝑻𝒇 − 𝑻𝒊) 0 𝑪𝑽(𝑻𝒇 − 𝑻𝒊) 𝑪𝑷(𝑻𝒇 − 𝑻𝒊) 0.5

Transformation

isobare

𝑷𝒊 = 𝑷𝒇 = 𝑷𝟎

𝑪𝑽(𝑻𝒇 − 𝑻𝒊) −𝑷𝟎(𝑽𝒇 − 𝑽𝒊) 𝑪𝑷(𝑻𝒇 − 𝑻𝒊) 𝑪𝑷(𝑻𝒇 − 𝑻𝒊) 0.5

Transformation

isotherme

𝑻𝒊 = 𝑻𝒇 = 𝑻𝟎 𝑪𝑽(𝑻𝒇 − 𝑻𝒊)

= 𝟎 −𝑹𝑻𝟎𝒍𝒏 (

𝑽𝒇

𝑽𝒊) +𝑹𝑻𝟎𝒍𝒏 (

𝑽𝒇

𝑽𝒊)

𝑪𝑷(𝑻𝒇 − 𝑻𝒊)

= 𝟎 0.5

Transformation

adiabatique

𝜹𝑸 = 𝟎

𝑪𝑽(𝑻𝒇 − 𝑻𝒊) 𝑪𝑽(𝑻𝒇 − 𝑻𝒊) 0 𝑪𝑷(𝑻𝒇 − 𝑻𝒊) 0.5

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Exercice 3 : Travail et énergie interne lors d’une transformation (2.0 points)

fig.1 fig.2

A. Lors d’une transformation réversible, le travail élémentaire des forces de pression, V

étant le volume du système et P sa pression est donné par :

1.□ 𝜹𝑾 = −𝑷 𝒅𝑽 2.□𝜹𝑾 = −𝑽 𝒅𝑷 3.□ 𝒅𝑾 = −𝑷 𝜹𝑽 4. □ 𝒅𝑾 = −𝑷 𝒅𝑽

5.□ autre

B. Le travail des forces de pression lors de la transformation de i vers f représentée en

figure 1 dépend :

1.□ uniquement de l’état 1 2.□ de l’état 1 et 2 et du chemin suivi 3.□ uniquement de

l’état 1 et l’état 2 du système 4.□ uniquement de l’état 2 5.□ autre

C. Dans le cas de la transformation de la figure 1. (État i vers état f), le travail échangé

par le système avec l’extérieur est :

1.□ nul 2.□ positif 3.□ négatif 4.□ ne peut être déterminé 5.□ autre

D. Dans le cas où la transformation cyclique de la figure 2 se ferait dans le sens indiqué

par la flèche, le travail échangé sur le cycle avec l’extérieur par le système serait :

1.□ ne peut être déterminé 2.□ négatif 3.□ nul 4.□ positif 5.□ autre

E. Dans le cas où la transformation cyclique de la figure 2 se ferait dans le sens indiqué

par la flèche, la quantité de chaleur échangée sur le cycle avec l’extérieur par le système

serait :

1.□ ne peut être déterminé 2.□ n’a pas de signe 3.□ nul 4.□ positif 5.□ négatif

F. Dans le cas où la transformation cyclique de la figure 2 se ferait dans le sens indiqué

par la flèche, l’énergie interne échangée avec l’extérieur serait :

1.□ positif 2.□ négatif 3.□ nul 4.□ ne peut être déterminé 5.□ autre

Vi Vf

Pf

Pi

P

V

Vi Vf

Pf

Pi

P

V

i

f

i = f

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Cochez la ou les bonne(s) cases. Aucune case cochée note = 0.

Ne pas écrire au crayon à papier.

Exercice 3 1 2 3 4 5

A X 0.25

B X 0.25

C X 0.25

D X 0.50

E X 0.50

F X 0.25

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Exercice 4 : Le moteur à air chaud (13.0 points)

Le moteur à air chaud est un moteur à énergie externe. Le fluide enfermé dans le piston

est de l’air considéré comme un gaz parfait, soumis à un cycle de transformations

thermodynamiques comprenant quatre transformations.

Moteur à air chaud

www.leybold-didactique.fr

Le cycle comporte deux transformations isochores DA et BC de volumes respectifs Vmin

et Vmax et deux transformations isothermes AB et CD, de températures respectives TC et

TF ( TC > TF ).

TC étant la température de la source chaude et TF la température de la source froide.

Vmin est le volume minimal et Vmax le volume maximal occupé par le gaz.

1. Reproduire le cycle de la figure ci-dessus en y indiquant toutes les données. On

notera Pi la pression au point i (i = A, B, C, D).

2. Montrer que ce cycle est un cycle moteur.

3. Déterminer les pressions Pi en chaque point du diagramme en fonction des

données.

TF

Tc

V

B

A

C

D

P

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4. Le système comporte une mole de gaz parfait caractérisée par une capacité

calorifique Cv constante qui parcourt le cycle de Stirling dans le sens ABCD.

a) Déterminer les pressions Pi en chaque point du diagramme en fonction des

données.

b) Déterminer les quantités de chaleur échangée QAB et QCD lors des deux

transformations isothermes et préciser leurs signes. Conclusion.

c) Déterminer le travail échangé WAB et WCD et préciser leurs signes.

d) Déterminer la variation d’énergie interne sur chaque isotherme.

e) Déterminer les quantités de chaleur échangée QBC et QDA lors des deux

transformations isochores et préciser leurs signes. Conclusion.

f) Déterminer le travail échangé WBC et WDA.

g) Déterminer la variation de l’énergie interne sur chaque isochore.

5. Remplir le tableau suivant après avoir répondu aux questions précédentes.

ΔU W Q

Transformation

isotherme

A vers B

………TC……….

𝑪𝑽(𝑻𝒄 − 𝑻𝒄) = 𝟎 −𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏 (𝑽𝒎𝒂𝒙

𝑽𝒎𝒊𝒏)

+𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏 (𝑽𝒎𝒂𝒙

𝑽𝒎𝒊𝒏)

0.75

Transformation

isochore

B vers C

………Vmax…………

− 𝑪𝑽(𝑻𝒄 − 𝑻𝑭) 0 − 𝑪𝑽(𝑻𝒄 − 𝑻𝑭) 0.75

Transformation

isotherme

C vers D

………TF……….

𝑪𝑽(𝑻𝑭 − 𝑻𝑭) = 𝟎

+ 𝑹𝑻𝑭𝒍𝒏 (

𝑽𝒎𝒂𝒙

𝑽𝒎𝒊𝒏)

− 𝑹𝑻𝑭𝒍𝒏 (𝑽𝒎𝒂𝒙

𝑽𝒎𝒊𝒏)

0.75

Transformation

isochore

D vers A

……… Vmin ……….

+ 𝑪𝑽(𝑻𝒄 − 𝑻𝑭) 0 + 𝑪𝑽(𝑻𝒄 − 𝑻𝑭) 0.75

Cycle 0

−𝑹(𝑻𝑪

− 𝑻𝑭)𝒍𝒏 (𝑽𝒎𝒂𝒙

𝑽𝒎𝒊𝒏)

+𝑹(𝑻𝑪

− 𝑻𝑭)𝒍𝒏 (𝑽𝒎𝒂𝒙

𝑽𝒎𝒊𝒏) 1.5

6. On définit le rendement du cycle moteur par le rapport gain de l’utilisateur

/dépense de l’utilisateur.

a) Quel est le gain du moteur ? Précisez.

b) Quelle est la dépense pour faire fonctionner le moteur. Précisez.

c) En déduire le rendement de ce moteur en fonction des températures Tc

et Tf.

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Réponse :

1.

2.

Un cycle moteur est caractérisé par un

travail total sur le cycle négatif.

Si on parcourt le cycle dans le sens

ABCDA

𝑾𝑨→𝑩 < 𝟎 ; 𝑾𝑩→𝑪 = 𝟎 ; 𝑾𝑪→𝑫 > 𝟎 ; 𝑾𝑫→𝑨 = 𝟎

𝒆𝒕 𝑾𝒄→𝑫 < |𝑾𝑨→𝑩| Donc le travail total du cycle ABCDA est

négatif : c’est un cycle moteur.

Pour avoir un cycle moteur, il faut alors

parcourir le cycle dans le sens ABCDA.

3. Gaz parfait

𝑷𝑨𝑽𝒎𝒊𝒏 = 𝑹𝑻𝑪 ⇒ 𝑷𝑨 =𝑹𝑻𝑪

𝑽𝒎𝒊𝒏

𝑷𝑩𝑽𝒎𝒂𝒙 = 𝑹𝑻𝑪 ⇒ 𝑷𝑩 =𝑹𝑻𝑪

𝑽𝒎𝒂𝒙

𝑷𝑪𝑽𝒎𝒂𝒙 = 𝑹𝑻𝑭 ⇒ 𝑷𝑪 =𝑹𝑻𝑭

𝑽𝒎𝒂𝒙

𝑷𝑫𝑽𝒎𝒊𝒏 = 𝑹𝑻𝑭 ⇒ 𝑷𝑫 =𝑹𝑻𝑭

𝑽𝒎𝒊𝒏

4. Chaleur et travail

a) ….

b) Chaleur sur isothermes.

𝜹𝑸 = 𝒄𝑽𝒅𝑻 + 𝑷 𝒅𝑽

𝑸𝑨⟶𝑩 = ∫ 𝑷𝒅𝑽

𝑩

𝑨

= +𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏 (𝑽𝒎𝒂𝒙

𝑽𝒎𝒊𝒏) > 𝟎

𝑸𝑪⟶𝑫 = ∫ 𝑷𝒅𝑽

𝑫

𝑪

= −𝑹 𝑻𝑭𝒍𝒏 (𝑽𝒎𝒂𝒙

𝑽𝒎𝒊𝒏) < 𝟎

c) Travaux échangés sur

isothermes.

𝑾𝑨⟶𝑩 = − ∫ 𝑷𝒅𝑽

𝑩

𝑨

= − 𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏 (𝑽𝒎𝒂𝒙

𝑽𝒎𝒊𝒏) < 𝟎

𝑾𝑪⟶𝑫 = − ∫ 𝑷𝒅𝑽

𝑩

𝑨

= + 𝑹𝑻𝑭𝒍𝒏 (𝑽𝒎𝒂𝒙

𝑽𝒎𝒊𝒏) > 𝟎

d) Energie interne sur

isothermes.

∆𝑼𝑨→𝑩 = 𝑪𝑽(𝑻𝒄 − 𝑻𝒄) = 𝟎

∆𝑼𝑪→𝑫 = 𝑪𝑽(𝑻𝑭 − 𝑻𝑭) = 𝟎

e) Chaleur sur isochores

𝜹𝑸 = 𝒄𝑽𝒅𝑻 + 𝑷 𝒅𝑽

𝑸𝑩⟶𝑪 = − 𝑪𝑽(𝑻𝒄 − 𝑻𝑭)

𝑸𝑫⟶𝑨 = +𝑪𝑽(𝑻𝒄 − 𝑻𝑭)

Leur somme est nulle. Ce qui est perdu

est récupéré.

f) Travail sur isochores

𝑾𝑩⟶𝑪 = 𝑾𝑫⟶𝑨 = − ∫ 𝑷𝒅𝑽𝑩

𝑨= 𝟎

g) Energie interne sur isochores.

∆𝑼𝑩→𝑪 = ∫ 𝑪𝑽𝒅𝑻

𝑪

𝑩

= − 𝑪𝑽(𝑻𝒄 − 𝑻𝑭)

∆𝑼𝑫→𝑨 = ∫ 𝑪𝑽𝒅𝑻

𝑨

𝑫

= + 𝑪𝑽(𝑻𝒄 − 𝑻𝑭)

5. Voir tableau

6. a) gain = travail total car c’est un

moteur en valeur absolue.

|−𝑹(𝑻𝑪 − 𝑻𝑭)𝒍𝒏 (𝑽𝒎𝒂𝒙

𝑽𝒎𝒊𝒏)|

b) dépense = chaleur à la source

chaude.

+𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏 (𝑽𝒎𝒂𝒙

𝑽𝒎𝒊𝒏)

TF

Tc

V

B

A

C

D

P

Vmax

PA

Vmin

PD

PC

PB 1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

0.5

1.0

0.25*3

0.25

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c) rendement :

𝒓 = 𝐠𝐚𝐢𝐧

𝐝é𝐩𝐞𝐧𝐬𝐞

𝒓 =|−𝑹(𝑻𝑪 − 𝑻𝑭)𝒍𝒏 (

𝑽𝒎𝒂𝒙

𝑽𝒎𝒊𝒏)|

+𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏 (𝑽𝒎𝒂𝒙𝑽𝒎𝒊𝒏

)

= 𝟏 −𝑻𝑭

𝑻𝒄

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