Théorème de Shanon. Repliement de spectre.

Objectif :

Analyse temporelle et spectrale d'un signal sinusoïdal échantillonné. Théorème de Shannon. Repliement de spectre.

Enoncé :

Soit un signal sinusoïdal continu s(t) de fréquence fondamentale f0=0.1 KHz, c'est à dire de période d'oscillation T0=10 ms:

Question 1

Question 2

Conclusion

Question 1

Le signal est échantillonné à différentes fréquences d'échantillonnage fe. En déduire une formule de calcul de la fréquence fondamentale fr du signal reconstruit par interpolation idéale à partir des échantillons de s(t) en fonction de fe et f0. Vous pouvez visualiser le spectre et la représentation temporelle d'un exemple de signal reconstruit (par simple interpolation linéaire entre 2 points successifs, l'interpolateur idéal n'étant pas physiquement réalisable) pour chaque domaine de variation de la fréquence d'échantillonnage.

Domaine de variation de fe Fréquence fondamentaledu signal reconstruit

1) 0 < f0 < fe/2 spectre / réponse temporelle

2) fe/2 < f0 < fe spectre / réponse temporelle

3) fe < f0 < 3fe/2 spectre / réponse temporelle

4) 3fe/2 < f0 < 2fe spectre / réponse temporelle

1) a) Spectre du signal sin(2f0t), f0=100 Hz, échantillonné à fe=500 Hz

b) Représentation temporelle du signal sin(2f0t), f0=100 Hz (courbe blanche) et du signal échantillonné - interpolé à fe=500 Hz (courbe noire)

 f0 - BONNE REPONSE !Effectivement, pour f0 < fe/2, la périodisation du spectre lors de l'échantillonnage est faite avec des supports disjoints. La fréquence du signal originel est totalement récupérée.

2) a) Spectre du signal sin(2f0t), f0=100 Hz, échantillonné à fe=125 Hz

b) Représentation temporelle du signal sin(2f0t), f0=100 Hz (courbe blanche) et du signal échantillonné - interpolé à fe=125 Hz (courbe noire)

fe-f0 BONNE REPONSE ! Effectivement, la fréquence fondamentale du signal reconstruit est, dans ce cas,

différente de la fréquence fondamentale du signal originel. On appelle ce phénomène "le repliement de spectre".

3) a) Spectre du signal sin(2f0t), f0=100 Hz, échantillonné à fe=80 Hz

b) Représentation temporelle du signal sin(2f0t), f0=100 Hz (courbe blanche) et du signal échantillonné - interpolé à fe=80 Hz (courbe noire)

f0-fe BONNE REPONSE !

Effectivement, la fréquence fondamentale du signal reconstruit est, dans ce cas, différente de la fréquence fondamentale du signal originel. On appelle ce phénomène "le repliement de spectre".

plus d'informations sur: Spectre d'un signal continu Spectre d'un signal échantillonné définition de l'interpolateur idéal

4 a) Spectre du signal sin(2f0t), f0=100 Hz, échantillonné à fe=62.5 Hz

Représentation temporelle du signal sin(2f0t), f0=100 Hz (courbe blanche) et du signal échantillonné - interpolé à fe=62.5 Hz (courbe noire)

2fe-f0 / BONNE REPONSE !

Effectivement, la fréquence fondamentale du signal reconstruit est, dans ce cas, différente de la fréquence fondamentale du signal originel. On appelle ce phénomène "le repliement de spectre".

plus d'informations sur: Spectre d'un signal continu Spectre d'un signal échantillonné définition de l'interpolateur idéal

 

Question 2

Prédire pour le cas général, lorsque nfe<f0<(n+1)fe, une formule de calcul de la fréquence du signal sinusoidal reconstruit fr, en fonction de la fréquence d'échantillonnage fe et de la fréquence fondamentale du signal sinusoidal originel f0.

Domaine de variation de fe Fréquence fondamentaledu signal reconstruit

Correction de l'exercice:

1)BONNE REPONSE !

Effectivement, dans la fenêtre fréquentielle (-fe/2 , fe/2) on trouve deux raies spectrales en (f0-n*fe) et (n*fe-f0).Pour n=0, c'est à dire quand f0<fe/2, on recupère totalement la fréquence du signal originel. Pour , c'est à dire quand f0>fe/2, il y a repliement de spectre et la fréquence du signal reconstruit est différente de celle du signal originel.

plus d'informations sur: Spectre d'un signal continu Spectre d'un signal échantillonné définition de l'interpolateur idéal Choix de la période d'échantillonnage nécessaire à la reconstruction parfaite

d'un signal analogique, à partir de ses échantillons. Théorème de Shannon.

BONNE REPONSE !

Effectivement, la fréquence fondamentale du signal reconstruit est, dans ce cas, différente de la fréquence fondamentale du signal originel. On appelle ce phénomène "le repliement de spectre".

plus d'informations sur: Spectre d'un signal continu Spectre d'un signal échantillonné définition de l'interpolateur idéal

Conclusion

La condition à imposer sur la fréquence d'échantillonnage fe afin de préserver, après une interpolation idéale, la fréquence fondamentale d'un signal sinusoïdal est

fe f0

c'est à dire, un nombre d'échantillons par période

Après avoir répondu à la question cliquer sur .BONNE REPONSE !

Effectivement, il est nécessaire de "prélever" au moins deux échantillons par période d'un signal sinusoïdal pour pouvoir retrouver la même fréquence fondamentale après reconstruction idéale.

Relier par fleche

Fonctions de transfert discrètes équivalentes

Lien entre la fonction de transfert en boucle ouverte et la fonction de transfert en boucle fermée

Cas particulier: le retour unitaire

Détermination de la fonction de transfert discrète équivalente

Le cas série

Le cas parallèle

TD n°4 - Transformée en Z et fonctions de transfert

des Systèmes Linéaires Invariants dans le temps

Exercice 1

Soit un système linéaire invariant dans le temps (SLI ou LIT) dont la réponse impulsionnelle h(n) est telle que :

h(n)=1 pour ,h(n)=0 ailleurs.

1) Calculer la réponse y(n) à la suite x(n) définie par :

x(n)=an pour , avec a=0.7 etx(n)=0 ailleurs.

2) Même question pour :

UNIVERSITÉ DE LA ROCHELLE - IUP GIIUP2 – Module Acquisition et Traitement du Signal

x(n)= pour , x(n)=0 ailleurs.

Exercice 2

Calculer la Transformée en Z du signal x(n) = rectN(n),- en appliquant la définition de la TZ directement,- en utilisant le signal échelon unité et le théorème du retard.

Exercice 3

Les séquences x(n) et y(n) représentent respectivement l’entrée et la sortie d’un système discret. Pour chacune des sept relations entrée-sortie ci-dessous, identifiez celles représentanta) des systèmes linéaires,b) des systèmes causals,c) des systèmes invariants aux translations de n,d) des systèmes assurément ou possiblement stables ; s’il y a lieu, caractérisez les constantes afin d’assurer la stabilité.

1. y(n) = x(n) + bx(n-1) b : constante réelle2. y(n) = x(n) + bx(n+1) b : constante réelle3. y(n) = nx(n)4. y(n) = x(n) sin(2n/N) N : constante entière5. y(n) = x(n)en

6. y(n) = bx(n) b : constante réelle7. y(n) = |x(n)|

Note : On considère x(n) réelle.

Exercice 4

Soit y(n) = x(n) + ax(n-1)+ by(n-1), l’équation aux différences d’un système discret causal.

a) Trouvez h(n), la réponse impulsionnelle de ce système ; pour quelles valeurs de a et b le système est-il stable ?

b) Trouvez la réponse impulsionnelle du système formé par la mise en série de deux systèmes h(n).

c) Trouvez la réponse impulsionnelle du système formé par la mise en parallèle de deux systèmes h(n).

Exercice 5

Pour le filtre à sorties multiples ci-dessous, trouvez les fonctions de transfert Hi(z) = Vi(z)/X(z), i = 1,2,3 et 4.

Exercice 6

1) Déterminer en utilisant la décomposition en éléments simples, la forme du signal x(n) dont la TZ est donnée par :

avec

3) Même question pour X(z) donné par :

avec

Etudier différentes méthodes permettant l’obtention de x(n).

Exercice 7

Soit H(z) la fonction de transfert d’un SLI causal avec :

où a est un réel.

z-1

z-1

b1

b2

a1

a2

V1(n)

V2(n)

V3(n)

V4(n)x(n)

+/- +/- +/- +/-

Déterminer les valeurs de a pour lesquelles H(z) correspond à un système stable. Choisir une valeur particulière de a parmi ces valeurs. Représenter alors les pôles et zéros de la fonction, la région de convergence. Donner |G(f)|.

Exercice 8

Soit un SLI décrit par l’équation :

Déterminer la fonction de transfert du système. Etudier la stabilité et la causalité de ce système. Calculer sa réponse impulsionnelle.

Exercice 9

On considère un SLI décrit par l’équation aux différences suivantes :

Déterminer sa réponse impulsionnelle, sa fonction de transfert. Etudier la causalité et la stabilité de ce système.

Exercice 10

On considère un système linéaire régi par l’équation aux différences suivante :

où m est un paramètre entier. Montrer que ce système est linéaire invariant dans le temps. Etudier la causalité et la stabilité selon les valeurs de m.Calculer la fonction de transfert H(z) de ce système pour m=0 et m=1. En déduire la réponse fréquentielle H(f). Quel est le rôle de ce système ?

UNIVERSITÉ DE LA ROCHELLE - IUP GIIUP2 – Module Acquisition et Traitement du Signal -

TD n°5: Synthèse de filtres RIF à phase linéaire

On souhaite effectuer la synthèse d'un filtre à Réponse Impulsionnelle Finie, à N= 17 coefficients, passe-bas, en partant d'un filtre idéal de fréquence de coupure fc=0.25 (fe

= 1).Les coefficients seront notés ai, i = 0, ..., N-1.

1. Première méthode : développement en série de Fourier de la réponse fréquentielle idéale.

1.1. Synthèse directe des coefficients

- Donner l’expression littérale des coefficients ai. Quelle conséquence sur la valeur de certains coefficients a le choix fc/fe = 0.25 ? justifier. Quel en est l'avantage? A.N. : calculer les 17 coefficients du filtre rendu causal.- Donner l’expression de l’amplitude de la réponse fréquentielle du filtre à partir des coefficients obtenus.Calculer les valeurs de |H(f)| pour f= 0, 0.15, 0.25.Observer la réponse fréquentielle du filtre à partir des figures jointes. Comment expliquer vous la différence avec la réponse idéale ? Quel serait l'effet de l'augmentation du nombre de coefficients ?Représenter le gabarit du filtre sur la figure jointe. Exprimer 1 et 2 en dB.- Donner l’expression de la phase.

1.2. Fenêtre de pondération

- Observer l'influence du choix des fenêtres. Quelle fenêtre parmi celles proposées, semble offrir le meilleur compromis largeur de bande de transition/atténuation des ondulations.La fenêtre de Hamming est définie, pour N impair, n = 0, ..., N-1, par :gn = 0.54 – 0.46 cos(2n/(N-1)).1. Calculer les coefficients utiles de la fenêtre de Hamming pour le filtre considéré,

puis les coefficients pondérés du filtre.1. Calculer à nouveau les valeurs de |H(f)| pour f= 0, 0.15, 0.25.Représenter le gabarit du filtre sur la figure jointe. Exprimer 1 et 2 en dB.1. Donner l’expression de la phase.

Réponse fréquentielle d’un filtre RIF à phase linéaire à 17 coefficients avec fc=0.25 et fe=1.

(méthode de la série de Fourier)

1. fenêtre rectangulaire

0 100 200 300 400 500-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 100 200 300 400 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

max = 1.0921 ; min = -0.0921R(f) et |R(f)|

2. fenêtre de Hamming

0 100 200 300 400 500-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 100 200 300 400 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

max = 1.0017 ; min =-0.0017

R(f) et |R(f)|Comparaison :

0 100 200 300 400 500

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 100 200 300 400 500-100

-80

-60

-40

-20

0

20

R(f) et 20log(|R(f)|)

0 100 200 300 400 500-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

2. Deuxième méthode : Echantillonnage fréquentiel de la réponse fréquentielle idéale et TFD inverse.

Bartlett

rect.

hamming

Blackman

- Donner l’expression d’une TFD inverse qui permettrait l’obtention des coefficients du filtre à partir de la réponse idéale.- Donner l’expression littérale des coefficients ai du filtre après un échantillonnage fréquentiel convenable. Pour ce filtre particulier (passe-bas avec fc=0.25), vers quoi tendrait le coefficient central si N tendait vers l’infini ?A.N. Calculer les valeurs des coefficients manquants dans le tableau suivant :a0= a1= a8=

0.5294a9=0.3188

a10=-0.0299

a11=-0.1075

a15=-0.0488

a16=0.0398

La réponse fréquentielle obtenue avec ces coefficients pondérés par une fenêtre de Hamming, a l’allure suivante :

0 100 200 300 400 500-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

max = 1.0053 min = -0.0045

Le cahier des charges imposait le gabarit suivant : 1m=0.01 et 2m=0.01. Le filtre obtenu tient-il dans le gabarit ?On peut montrer par des considérations statistiques sur le bruit de quantification, qu’il y a un risque de 5% de dépassement du gabarit après quantification sur n bits si

avec =min(1m-1, 2m-2). Estimer le nombre n nécessaire.Coder en complément à 2 sur 12 bits, les coefficients a9, a10, a11 et a16 obtenus.

SÉANCE N°8 

SYNTHESE DES FILTRES A RÉPONSE IMPULSIONNELLE INFINIE (RII)

Exercice 1

UNIVERSITÉ DE LA ROCHELLE - IUP GIIUP2 – Module Acquisition et Traitement du Signal

Un filtre de Butterworth est défini par :

la pulsation c est la pulsation de coupure pour laquelle cette fonction prend la valeur ½.Représenter l’allure de cette fonction pour diverses valeurs de n.En posant c =1, on peut écrire, pour n pair :

Application : pour n=2, écrire H(p).Obtenir par la transformation bilinéaire

,

le filtre numérique équivalent, pour les deux cas suivants (on prendra Te=1) :- avec u=2/Te, transformation bilinéaire classique. Donner alors la fréquence

numérique pour laquelle la réponse fréquentielle prend la valeur (fréquence de coupure),

- avec u permettant le respect de la fréquence de coupure du filtre analogique.

Exercice 2

La synthèse des filtres analogiques se fait généralement à partir d’un passe-bas avec c =1.Pour d’autres types de filtres, on applique les changements de variable suivants :

- On souhaite réaliser un filtre numérique passe-bas de fréquence de coupure fc=0.25. Quelle est la fréquence de coupure du filtre analogique qu’il faut prévoir, pour obtenir ce résultat par transformation bilinéaire ? Ecrire la fonction de transfert H(p) du filtre de Butterworth d’ordre 2 et la fonction de transfert en z du filtre numérique correspondant.

- Ecrire le filtre de Butterworth passe-haut d’ordre 2, de fréquence de coupure fb=0.25.Par transformation bilinéaire, obtenir le filtre numérique équivalent.

- Ecrire une transformation permettant le calcul direct du filtre numérique passe-haut de fréquence de coupure fb à partir du passe-bas de pulsation de coupure c =1.

Exercice 3

Soit à réaliser un filtre dont la réponse fréquentielle soit supérieure ou égale à 1-1

dans la bande [0,f1] et inférieure ou égale à 2 dans la bande [f2,fe/2].Les deux contraintes induites sur la fonction modèle conduisent à, pour 1et2 petits :

et

Application .Soit le gabarit suivant : 1=0.045, 2=0.015, fe=1, f1=0.1725, f2=0.2875.Calculer les valeurs de n et u.En prenant la valeur entière de n immédiatement supérieure, écrire l’expression de la fonction de transfert du filtre numérique correspondant.

Exercice 4

La fonction de transfert d’un filtre analogique de Tchebycheff d’ordre 2 avec une pulsation de coupure égale à 1 (et une oscillation de 1 dB) est donnée par :

Etablir la fonction de transfert en z puis l’équation aux différences temporelle du filtre numérique équivalent en utilisant la transformation bilinéaire et une fréquence de coupure numérique fc=0.147.

Exercice 5

Quel est le filtre obtenu si on effectue le changement de variable suivant :

au filtre passe-bas de l’exercice 1 ? (on prendra =-0.382)