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    Nombres entiers naturels 1. Nombres entiers naturels.

    2. Ensembles dénombrables.

    Pierre-Jean Hormière ____________

    « Dieu a fait les nombres entiers, « Sans un petit grain de métaphysique, il n’est pas tout le reste est l’œuvre de l’homme. » possible, à mon avis, de fonder une science exacte. »

    Leopold Kronecker Georg Cantor

    Introduction

    Les nombres entiers naturels 0, 1, 2, 3, 4, … servent à compter les éléments des ensembles finis : deux jetons, trois pommes, 32 élèves, 52 cartes, … A la fin du 19e siècle, Richard Dedekind (1831-1916) et Giuseppe Peano (1858-1932) ont donné des définitions axiomatiques de leur ensemble, noté N. Cet ensemble N est infini ; il est, en un certain sens, le « plus petit » ensemble infini. Les entiers naturels peuvent être ordonnés, additionnés, multipliés, élevés à une puissance, divisés, factorisés. Si tous les entiers naturels sont des objets mathématiques, certains entiers sont si grands qu’il est impossible de les rencontrer dans le monde physique. Ainsi, le nombre d’atomes de l’univers visible

    est évalué à 10 80

    , c’est-à-dire, en notation décimale, 1 suivi de 80 zéros. Pour un physicien, considérer des nombres plus grands n’a guère de sens. Cependant, les mathématiciens, à la suite de Georg Cantor (1845-1918), se sont lancés dans l’étude, vertigineuse, des divers nombres infinis, « cardinaux » et « ordinaux ».

    1. Nombres entiers naturels.

    1.1. Axiomes de N. « La plus haute perfection de Dieu est la possibilité de créer un ensemble infini, et son immense bonté le conduit à le créer.»

    Georg Cantor

    Le théorème suivant, admis, est une conséquence des axiomes de la théorie des ensembles.

    Théorème 1 : Il existe un ensemble ordonné non vide, noté (N, ≤), dont les éléments sont appelés nombres entiers naturels, vérifiant les axiomes suivants (N1), (N2) et (N3) :

    (N1) Toute partie non vide de N a un plus petit élément.

    (N2) Tout élément de N a un « successeur » : ∀a ∈ N ∃a’∈ N a < a’ et ] a, a’[ = ∅. (N3) Tout élément de N* = N−{0}, où 0 = min N, a un « prédécesseur » : ∀a ∈ N* ∃’a ∈ N ’a < a et ]’a, a [ = ∅. Conséquences de (N1). 1) N étant non vide, a un plus petit élément, noté 0 ; 2) N est totalement ordonné : quels que soient x et y, on a x ≤ y ou y ≤ x. Conséquences de (N1) et (N2). 3) N n’a pas de plus grand élément. 4) Le successeur a’ de a est unique, et l’application s : a → a’ est injective. 5) 0 n’est le successeur d’aucun entier.

    Conséquences de (N1), (N2) et (N3). 6) Tout élément de N* est le successeur d’un élément : s(N) = N*. 7) Toute partie majorée non vide de N admet un plus grand élément.

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    Remarque : Signification intuitive des axiomes de N. • L’axiome (N1) signifie que l’on peut « énumérer » les entiers dans l’ordre naturel : on dit que l’ordre naturel sur N est un « bon ordre ». N a un plus petit élément, noté 0. Si N n’est pas réduit à {0}, N−{0} a un plus petit élément, noté 1. Si N n’est pas réduit à {0, 1}, N−{0, 1} a un plus petit élément noté 2, etc. • L’axiome (N2) assure que l’ « algorithme » précédent se poursuit indéfiniment, autrement dit que N est « infini ». • L’axiome (N3) assure que N n’est pas « trop gros », et est même « le plus petit possible ». Mettons bout à bout deux copies rigoureusement identiques de N et ordonnons l’ensemble obtenu en 0 < 1 < 2 < … < n < … < ω < ω + 1 < ω + 2 < … < ω + n < … Cet ensemble vérifie (N1) et (N2), mais pas (N3), puisqu’outre 0, ω est sans prédécesseur. Nous reviendrons sur ce sujet dans la suite.

    Exercice 1 : Soit (E, ≤) un ensemble ordonné non vide. Montrer l’équivalence des axiomes (N1, N2, N3) et (N1, 3 et 7).

    Exercice 2 : paradoxe de Richard. Soit n le plus petit nombre entier ne pouvant être exprimé en moins de quinze mots. Montrer que cet entier n existe… et qu’il n’existe pas… Expliquer.

    Exercice 3 : Soit f : N → N bijective. Prouver qu’il existe trois entiers naturels a, b, c tels que a < b < c et f(a) + f(c) = 2 f(b). [ Concours général 1995 ] 1.2. Construction heuristique de N.

    Nous avons admis le théorème 1. En voici une preuve heuristique : la construction de N due à J. von Neumann. Formons les ensembles suivants :

    ∅ , {∅} , { ∅,{∅}} , { ∅,{∅, {∅}} , { ∅, {∅, {∅, {∅}}}} , etc.

    Considérons l’ensemble ayant pour éléments les ensembles précédents :

    E = { ∅, {∅}, { ∅,{∅}}, { ∅,{∅, {∅}}}, { ∅, {∅, {∅, {∅}}}}, etc } . Dans cet ensemble E, la relation « x = y ou x ∈ y » équivaut à « x ⊂ y ». Par exemple, {∅,{∅}} = { ∅} ∪ {{ ∅}} , { ∅,{∅, {∅}}} = { ∅} ∪ {{ ∅}} ∪ {{{ ∅}}}, etc. Cette relation, notée ≤, est une relation d’ordre dans E, et (E, ≤) satisfait aux axiomes (N1), (N2) et (N3). Si les éléments de E sont notés resp. 0, 1, 2, 3, etc. alors 0 = ∅ , 1 = {0} , 2 = {0, 1} , 3 = {0, 1, 2} , etc. Nous reviendrons sur ce sujet au § 4. 1.3. Exemples d’entiers naturels.

    1 2 3 nous irons au bois 4 5 6 cueillir des cerises 7 8 9 dans un panier neuf 10 11 12 elles seront toutes rouges…

    5, 6. « Et parleray des six sens, cinq dehors et ung dedans qui est le cuer » (Jean Gerson, 1402)

    19 est le plus petit indice premier tel que le nombre de Fibonacci correspondant F19 soit composé. C’est aussi le numéro d’un virus aimablement transmis par une espèce animale pour limiter la prolifération des bipèdes, et diligemment véhiculé par ces consommateurs compulsifs de kérosène détaxé que l’on nomme « touristes ».

    39. Dans son livre Les nombres remarquables, François Le Lionnais observe que 39 est « le plus petit entier pour lequel nous ne connaissons aucune propriété remarquable. Le fait d’être le plus petit ne sera pas considéré comme une propriété remarquable afin d’éviter une récurrence redou- table dans la suite de la collection ».

    69 est le plus grand entier dont la factorielle est inférieure à 10 100

    . C’est aussi le seul entier dont le

    carré et le cube contiennent tous les chiffres de 0 à 9 : 69 2 = 4761, 69

    3 = 328509. Enfin, il a inspiré

    des poèmes de Victor Hugo et d’Apollinaire, et nous tairons le reste…

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    224. A l’aube du mercredi 16 mars 1244, Hugues d’Arcis prit possession du castrum de Montésgur au nom du roi Louis IX. L’archevêque Pierre Amiel fit rassembler les parfaits et les parfaites et leur demanda d’abjurer. Pas un ne voulut. On dressa alors au pied de la montagne un enclos fait de pals et de pieux que l’on remplit de bois auquel on mit le feu. Deux cent vingt-quatre Bons Hommes et Bonnes Dames y furent jetés, sans doute à l’aide d’échelles dressées contre la palissade.

    666 est considéré comme le nombre de la Bête de l’Apocalypse. La signification symbolique, poétique, arithmosophique des entiers ne ressort pas d’un cours de mathématiques ; on en trouvera quelques-unes dans mon document Poésie et mathématiques.

    1729, appelé nombre de Hardy-Ramanujan, est le plus petit nombre entier naturel s’écrivant de deux manières différentes comme somme de deux cubes : 1729 = 12

    3 + 1

    3 = 10

    3 + 9

    3 .

    1247200 est le nombre d’Arméniens d’Anatolie et d’Arménie occidentale morts lors du génocide perpétré par les autorités turques d’avril 1915 à juillet 1916 ; cette évalutation, tirée du carnet personnel de Talaât Pacha, ministre responsable du génocide, est confirmée par les travaux actuels. Comme ce génocide n’a jamais eu lieu selon les autorités turques actuelles, on en déduit ce résultat remarquable :

    Théorème de Talaat Pacha et Erdogan : 1247200 est le nombre d’éléments de l’ensemble vide.

    Ce théorème a de nombreux corollaires et bien des avatars par les temps qui courent…

    299792458 est le nombre de mètres parcourus en une seconde par la lumière dans le vide.

    0,5××××1024 est le nombre d’atomes contenus dans un gramme de matière.

    7××××1027 est le nombre d’atomes présents dans le corps humain.

    2××××1033 grammes est la masse du Soleil, étoile de taille moyenne.

    10 47

    est le nombre de molécules d’eau sur Terre, 10 50

    est le nombre d’atomes sur Terre.

    10 57

    est le nombre d’atomes contenus, grosso modo, dans une étoile.

    Notre Galaxie, la Voie Lactée, contient environ 100 milliards d’étoiles, c’est-à-dire 1011. Par conséquent elle compte 1011 fois 1057 atomes, soit 1068 atomes.

    10 80

    est, en chiffres ronds, le nombre d’atomes