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l’algèbre linéaire IntroductIon À
et À ses appl IcatIons
4e édition
L U C A M Y O T T E
A v e c l a c o l l a b o r a t i o n d e C a r o l e C ô t é e t J o s é e H a m e l
20710_algèbrelinéaire_couv-choisie.indd 1 2014-10-29 07:52
A I D E - M É M O I R E
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1611, boul. Crémazie Est, 10e étage Montréal (Québec) H2M 2P2 CANADA Téléphone : 514 334-2690 Télécopieur : 514 334-4720 [email protected] pearsonerpi.com
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Imprimé au Canada 123456789 TRN 18 17 16 15 ISBN 978-2-7613-6790-5 20724 ABCD OF10
I. Symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II. Alphabet grec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III. Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
A. Définition des fonctions trigonométriques dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
B. Loi des sinus et loi des cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
C. Valeurs exactes des fonctions trigonométriques (angles remarquables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
D. Relations trigonométriques importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
E. Identités trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
IV. Propriétés de la notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
A. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
B. Types de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
C. Propriétés des opérations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
VI. Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
B. Propriétés des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
VII. Inversion d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
B. Propriétés de la matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
VIII. Résolution de systèmes d’équations linéaires . . . . . . . 13
A. Stratégie de résolution d’un problème concret . . . . . . . . . . . . . . 13
B. Méthode de la matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
C. Règle de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
D. Méthode d’élimination gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
E. Méthode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
IX. Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
A. Relations et opérations dans l’ensemble des vecteurs du plan (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
B. Relations et opérations dans l’ensemble des vecteurs de l’espace (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
C. Propriétés des opérations sur les vecteurs de 2 (ou de 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
D. Propriétés du produit vectoriel (vecteurs de 3) . . . . . . . . . . . . . 17
Table des matières
4 TABLE DES MATIÈRES
E. Propriétés du produit mixte (vecteurs de 3) . . . . . . . . . . . . . . . . 18
F. Relations et opérations dans l’ensemble des vecteurs de l’espace euclidien de dimension n (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
G. Combinaison linéaire, indépendance linéaire, système générateur, base, matrice de passage, changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
X. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
B. Représentation graphique (plan d’Argand ou plan complexe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
C. Formes d’un nombre complexe z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
D. Opérations et relations dans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
XI. Géométrie analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
A. Droite D du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
B. Droite D de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
C. Plan π de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
D. Distances dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
E. Angle θ dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
XII. Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
A. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
B. Espaces vectoriels courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
C. Théorèmes importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
XIII. Programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A. Méthode graphique (marche à suivre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
B. Méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
AIDE-MÉMOIRE 5
SYMBOLES
Symbole Sens
N L’ensemble des nombres naturels
Z L’ensemble des entiers relatifs
Q L’ensemble des nombres rationnels
L’ensemble des nombres réels
C L’ensemble des nombres complexes
n Espace euclidien de dimension n
Mm n× Espace des matrices de format m n×
Pn a a x a x a x ann
i0 1 22+ + + + ∈
+ Addition, positif
− Soustraction, négatif, opposé
× Multiplication, produit vectoriel
⋅ Multiplication, produit scalaire
/ ou ÷ Division
= Est égal à
≠ N’est pas égal à
≈ ou ≅ Est approximativement égal à
> Est strictement supérieur à
< Est strictement inférieur à
≥ Est supérieur ou égal à
≤ Est inférieur ou égal à
∈ Appartient à, est élément de
∉ N’appartient pas à
⊆ Est inclus dans ou égal à
⊂ Est strictement inclus dans
x | Ensemble des x tels que
∅ Ensemble vide
∪ Union
∩ Intersection
[a, b], ]a, b[, Intervalle fermé, ouvert
]a, b], [a, b[ Intervalle semi-ouvert
⇒ Implication, si … alors
⇔ Double implication, équivalence
|k| Valeur absolue de k ∈
a Racine carrée de a
an Racine nième de a
an a puissance n
Symbole Sens
ai a indice i
π Pi ≈( )3 141 59, …
e Constante de Neper ≈( )2 718, …
sin Fonction sinus
cos Fonction cosinus
tg Fonction tangente
arcsin Fonction arc sinus
arccos Fonction arc cosinus
arctg Fonction arc tangente
Σ Sigma, sommation
Π Pi, produit
aij m n ×
Matrice de format m n×
det A ou |A| Déterminant de A
At Transposée de A
A−1 Matrice inverse de A
Aij Cofacteur de l’élément aij de A
Mij Mineur de l’élément en position ij
adj A Matrice adjointe de A
In×n ou In Matrice identité d’ordre n
Om×n Matrice nulle de format m n×
~ Est équivalent àu, AB
Vecteursu ou
u Norme de
u
0
Vecteur nul i j k, , Base canonique de 3
(u1, u2, …, un) Point de n
[u1 u2 … un] Vecteur de n
u v⋅ Produit scalaire de
u et de
v
u v× Produit vectoriel de
u et de
v
α, β, γ Angles directeurs
i Nombre imaginaire : i2 1= −
|z| Module de z ∈
z Conjugué de z ∈
Re z( ) Partie réelle de z ∈
Im z( ) Partie imaginaire de z ∈
I
6 AIDE-MÉMOIRE
ALPHABET GREC
Nom grec
Lettreminuscule
Lettremajuscule
Nomgrec
Lettreminuscule
Lettremajuscule
Alpha α Α Nu ν Ν
Bêta β Β Xi ξ Ξ
Gamma γ Γ Omicron ο Ο
Delta δ D Pi π Π
Epsilon ε Ε Rhô ρ Ρ
Zêta ζ Ζ Sigma σ Σ
Êta η Η Tau τ Τ
Thêta θ Θ Upsilon υ Υ
Iota ι Ι Phi ϕ Φ
Kappa κ Κ Khi χ Χ
Lambda λ Λ Psi ψ Ψ
Mu µ Μ Oméga ω Ω
TRIGONOMÉTRIE
A Définition Des fonctions trigonométriques DAns le triAngle rectAngle
sin
cos
θ θ
θ
= =
=
côté opposé àhypoténuse
côté
ac
aadjacent àhypoténuse
tgcôté opposé à
θ
θ
=
=
bc
côté adjacent à
cotgcôté
θθ
θθ
θ
= =
=
ab
sincos
aadjacent àcôté opposé à
θθ
θθ
= =ba
cossin
secθθθ θ
= = =hypoténusecôté adjacent à
cose
cb
1cos
cchypoténuse
côté opposé àθ
θ θ= = =c
a1
sinb
ac
θ
B loi Des sinus et loi Des cosinus
Loi des sinus : sin sin sinα β γ
a b c= =
Loi des cosinus : c a b ab2 2 2 2= + − cosγb
a
γ
βcα
II
III
AIDE-MÉMOIRE 7
c VAleurs exActes* Des fonctions trigonométriques (Angles remArquABles)
en degrés
en radians sin cos tg cotg sec cosec
0° 0 0 1 0 ∓∞ 1 ∓∞
30° π /6 1/2 3 2/ 3 3/ 3 2 3/3 2
45° π /4 2 2/ 2 2/ 1 1 2 2
60° π /3 3 2/ 1/2 3 3 3/ 2 2 3/3
90° π /2 1 0 ±∞ 0 ±∞ 1
120° 2 3π / 3 2/ −1/2 − 3 − 3 3/ −2 2 3/3
135° 3 4π / 2 2/ − 2 2/ −1 −1 − 2 2
150° 5 6π / 1/2 − 3 2/ − 3 3/ − 3 −2 3/3 2
180° π 0 −1 0 ∓∞ −1 ±∞
210° 7 6π / −1/2 − 3 2/ 3 3/ 3 −2 3/3 −2
225° 5 4π / − 2 2/ − 2 2/ 1 1 − 2 − 2
240° 4 3π / − 3 2/ −1/2 3 3 3/ −2 −2 3/3
270° 3 2π / −1 0 ±∞ 0 ∓∞ −1
300° 5 3π / − 3 2/ 1/2 − 3 − 3 3/ 2 −2 3/3
315° 7 4π / − 2 2/ 2 2/ −1 −1 2 − 2
330° 11 6π / −1/2 3 2/ − 3 3/ − 3 2 3/3 −2
360° 2π 0 1 0 ∓∞ 1 ∓∞
* Les symboles ±∞ et ∓∞ indiquent le comportement de la fonction pour des valeurs voisines de l’angle où la fonction n’est pas définie.
D relAtions trigonométriques importAntes
−θθππ θθ2
±± ππ θθ±±
sin − sinθ cosθ ∓ sinθ
cos cosθ ∓ sinθ − cosθ
tg − tgθ ∓ cotgθ ± tgθ
cosec − cosecθ secθ ∓ cosecθ
sec secθ ∓ cosecθ − secθ
cotg − cotgθ ∓ tgθ ± cotgθ
8 AIDE-MÉMOIRE
e iDentités trigonométriques
1. sin cos2 2 1x x+ =
2. 1 2 2+ =tg secx x
3. 1 2 2+ =cotg cosecx x
4. cos cos cos sin sinx y x y x y±( ) = ∓
5. sin sin cos sin cosx y x y y x±( ) = ±
6. cos cos cos cosx y x y x y= −( ) + +( ) 12
7. sin sin cos cosx y x y x y= −( ) − +( ) 12
8. sin cos sin sinx y x y x y= −( ) + +( ) 12
9. cos sin2 1 2 2x x= −
10. cos cos2 2 12x x= −
11. cos cos sin2 2 2x x x= −
12. sin sin cos2 2x x x=
13. sin cos2 12 1 2x x= −( )
14. cos cos2 12 1 2x x= +( )
15. arcsec arccosx x= ( )1
16. arccosec arcsinx x= ( )1
17. arccotgarctg
arctg x
x
xx
x=
( ) + <( ) >
1
1
0
0
π si
si
PROPRIÉTÉS DE LA NOTATION
1. Si r est une constante, alors r nri
n
=∑ =
1.
2. Si r est une constante, alors ra r ai
n
i ii
n
= =∑ ∑=
1 1.
3. a b a bi ii
n
ii
n
ii
n
+( ) =
+
= = =
∑ ∑ ∑1 1 1
4. a a aii
n
kk
n
ll
n
= = =∑ ∑ ∑= = =
1 1 1
5. a aijj
m
i
n
iji
n
j
m
== ==∑∑ ∑∑=
11 11
6. a b b aij ij
m
i
n
i ijj
m
i
n
== ==∑∑ ∑∑=
11 11
IV
AIDE-MÉMOIRE 9
MATRICES
A Définitions
Égalité de deux matricesSi A aij m n
= × et B bij p q
= ×, alors
A B m p n q a bij ij= ⇔ = = =, et pour tout i et tout j.
Addition de deux matrices de même format
Si A aij m n= ×
et B bij m n= ×
, alors A B a bij ij m n+ = + ×
.
Multiplication d’une matrice par un scalaire
Si A aij m n= ×
et si k est un scalaire, alors kA kaij m n= ×
.
Multiplication de deux matrices compatibles
Si A aij m n= ×
et B bij n p= ×
, alors AB a bik kjk
n
m p
=
= ×∑
1.
Transposition d’une matrice Si A aij m n= ×
, alors A atji n m
= ×.
Trace d’une matrice carrée Si A aij n n= ×
, alors Tr A aiii
n
( ) ==∑
1.
B types De mAtrices
• Une matrice colonne (un vecteur colonne) est une matrice de format m × 1.
• Une matrice ligne (un vecteur ligne ou un vecteur) est une matrice de format 1 × n.
• Une matrice A aij m n= ×
est une matrice carrée si et seulement si m n= .
• Une matrice A aij m n= ×
est une matrice nulle si et seulement si aij = 0 pour i m= 1 2 3, , , , …
et j n= 1 2 3, , , , … . La matrice nulle de format m n× est notée Om n× .
• Une matrice carrée A aij n n= ×
est une matrice triangulaire inférieure si et seulement si tous
les éléments situés au-dessus de la diagonale principale sont nuls, c’est-à-dire si et seulement si aij = 0 pour tout i j< .
• Une matrice carrée A aij n n= ×
est une matrice triangulaire supérieure si et seulement si tous
les éléments situés sous la diagonale principale sont nuls, c’est-à-dire si et seulement si aij = 0 pour tout i j> .
• Une matrice carrée A aij n n= ×
est une matrice diagonale si et seulement si tous les éléments
situés de part et d’autre de la diagonale principale sont nuls, c’est-à-dire si et seulement si aij = 0 pour tout i j≠ .
• Une matrice carrée A aij n n= ×
est une matrice scalaire si et seulement si elle est diagonale
et que tous les éléments de sa diagonale principale sont identiques, c’est-à-dire si et seulement si aij = 0 pour tout i j≠ et a kii = .
• Une matrice carrée A aij n n= ×
est une matrice identité si et seulement si elle est diagonale
et que tous les éléments de sa diagonale principale valent 1, c’est-à-dire si et seulement si aij = 0 pour tout i j≠ et aii = 1. La matrice identité d’ordre n est notée In.
• Une matrice carrée A aij n n= ×
est une matrice symétrique si et seulement si A At = .
• Une matrice carrée A aij n n= ×
est une matrice antisymétrique si et seulement si A At = −
ou, ce qui est équivalent, si et seulement si A At= − .
V
10 AIDE-MÉMOIRE
• Une matrice carrée A aij n n= ×
est une matrice idempotente si et seulement si A A2 = .
• Une matrice carrée A aij n n= ×
est une matrice nilpotente si et seulement s’il existe un entier
positif k tel que A Okn n= × . Le plus petit entier k qui satisfait à cette égalité porte le nom
d’indice de nilpotence.
• Une matrice échelonnée est une matrice dont toutes les lignes nulles sont situées sous les lignes non nulles, où le premier élément non nul de chaque ligne, le pivot, vaut 1, et où le pivot de chaque ligne se trouve à droite du pivot de la ligne précédente.
• Une matrice échelonnée réduite est une matrice échelonnée telle que, dans chaque colonne contenant un pivot, tous les éléments valent 0 à l’exception du pivot lui-même.
• Une matrice singulière est une matrice carrée dont le déterminant vaut 0.
• Une matrice régulière (ou non singulière) est une matrice carrée dont le déterminant est dif-férent de 0.
• Si A est une matrice régulière d’ordre n, alors la matrice inverse de la matrice A est la matrice notée A−1 telle que AA A A In
− −= =1 1 .
• Dans une chaîne de Markov présentant n états mutuellement exclusifs, notés 1, 2, …, n, la matrice T tij n n
= × dont l’élément tij représente la probabilité du passage de l’état j à l’état i
porte le nom de matrice de transition. De plus, on dit qu’elle est une matrice de transition régulière si et seulement s’il existe une puissance entière k de T telle que tout élément de T k est supérieur à 0.
• Dans une chaîne de Markov, la matrice P pmim
n( ) ( )
×=
1
, où pim( ) représente la probabilité que
le phénomène étudié se trouve dans l’état i parmi les n possibles après m observations, porte le nom de matrice d’état de niveau m. La matrice d’état de niveau 0, notée P 0( ), est dite d’état initial. Dans une chaîne de Markov régulière, il existe une et une seule matrice d’état P pi n= [ ] ×1 telle que P TP= . La matrice P, appelée matrice d’état stationnaire, donne les
probabilités d’être dans chacun des n différents états à long terme.
c propriétés Des opérAtions mAtricielles
Soit A, B, C, D, E, F, Om n× et In des matrices telles que les opérations usuelles sont définies, et soit k et r des scalaires.
1. A B+ est une matrice de même format que A et que B. (Fermeture de l’espace des matrices de même format par rapport à l’addition de matrices.)
2. A B B A+ = + (Commutativité de l’addition de matrices.)
3. A B C A B C+( ) + = + +( ) (Associativité de l’addition de matrices.)
4. A O Am n+ =× (Existence d’un élément neutre pour l’addition de matrices.)
5. A A Om n+ −( ) = × (Les matrices A et − A sont des matrices opposées.)
6. kA est une matrice de même format que A. (Fermeture de l’espace des matrices par rapport à la multiplication d’une matrice par un scalaire.)
7. kr A k rA( ) = ( ) (Associativité mixte.)
8. k A B kA kB+( ) = + (Distributivité de la multiplication par un scalaire par rapport à l’addi-tion de matrices.)
9. k r A kA rA+( ) = + (Distributivité de la multiplication par un scalaire par rapport à l’addi-tion de scalaires.)
10. 1A A=11. 0A Om n m n× ×=
AIDE-MÉMOIRE 11
12. kO Om n m n× ×=
13. A At t( ) =
14. kA kAt t( ) =
15. A B A Bt t t+( ) = +
16. Il existe des matrices A et B telles que AB BA≠ . (La multiplication de matrices n’est pas commutative.)
17. AB C A BC( ) = ( ) (Associativité de la multiplication de matrices.)
18. k AB kA B A kB( ) = ( ) = ( )19. A I Am n n m n× ×= et I B Bn n p n p× ×= (Existence d’un élément neutre pour la multiplication
de matrices.)
20. A B C AB AC+( ) = + et D E F DF EF+( ) = + (Distributivité de la multiplication de matrices par rapport à l’addition.)
21. AB B At t t( ) =
22. O A Om n n p m p× × ×= et A O On p p q n q× × ×=
23. A B O A O B Om n n p m p m n m n n p n p× × × × × × ×= /⇒ = = ou
24. AB AC B C= /⇒ =
DÉTERMINANTS
A Définitions
Mineur d’un élément Si A aij n n= ×
, alors le mineur associé à l’élément aij , notéMij ,
est le déterminant de la matrice résiduelle qu’on obtient en supprimant la iième ligne et la j ième colonne de la matrice A.
Cofacteur d’un élément Si A aij n n= ×
, alors le cofacteur de l’élément aij est
A Miji j
ij= −( ) +1 .
Déterminant d’une matrice Si A a= [ ]11 , alors A A a= =det 11.
Si Aa a
a a=
11 12
21 22, alors A A a a a a= = −det 11 22 21 12.
Si A aij n n= ×
, alors A A a Ak kk
n
= ==
∑det 1 11
.
Règle de Sarrus pour les déterminants d’ordre 3
Si A aij= ×3 3, alors
det A a a a a a a a a a
a a a
= + +
−11 22 33 12 23 31 13 21 32
31 22 133 32 23 11 33 21 12− −a a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 332
– – –
+ + +
VI
12 AIDE-MÉMOIRE
B propriétés Des DéterminAnts
Soit A aij n n= ×
et B bij n n= ×
des matrices carrées d’ordre n, et c un scalaire.
1. det A a A a A a Akk
n
k ikk
n
ik kjk
n
kj= = == = =
∑ ∑ ∑11
11 1
2. Si la matrice B résulte de l’interversion de deux lignes ou de deux colonnes d’une matrice A, alors det detB A= − .
3. Le déterminant d’une matrice triangulaire A est égal au produit des éléments de sa diagonale
principale : det A a a a ann iii
n
= ==
∏11 221
.
4. det detA At( ) =
5. Le déterminant d’une matrice carrée qui comporte une ligne (ou une colonne) contenant seulement des zéros vaut 0.
6. Si B est une matrice qu’on obtient en multipliant une ligne (ou une colonne) d’une matrice A par une constante c, alors le déterminant de B est donné par det detB c A= .
7. det detcA c An( ) =
8. Le déterminant d’une matrice carrée qui comporte deux lignes (ou deux colonnes) iden-tiques vaut 0.
9. Le déterminant d’une matrice carrée qui comporte deux lignes (ou deux colonnes) dont l’une est un multiple de l’autre vaut 0.
10. Si B est une matrice qu’on obtient en ajoutant un multiple d’une ligne (ou d’une colonne) d’une matrice A à une autre ligne (ou à une autre colonne) de A, alors det detB A= .
11. Le déterminant du produit de deux matrices carrées de même ordre est égal au produit des déterminants des deux matrices : det det detAB A B( ) = ( )( ).
12. Si A est une matrice régulière, alors detdet
AA
−( ) =1 1.
INVERSION D’UNE MATRICE
A Définitions
Adjointe d’une matrice carrée Si A aij n n= ×
, alors adj A Aij n n
t= ( )×
. L’adjointe de A est
la transposée de la matrice des cofacteurs des éléments de A.
Matrice inverse Si A aij n n= ×
et si det A ≠ 0, alors AA
A− =1 1det
adj .
B propriétés De lA mAtrice inVerse
Soit A et B des matrices régulières (inversibles) d’ordre n, C, D, E et F des matrices pour lesquelles les opérations matricielles sont définies, et k une constante différente de 0.
1. Si AC D= et EB F= , alors C A D= −1 et E FB= −1.
2. La matrice inverse d’une matrice régulière A est unique.
VII
AIDE-MÉMOIRE 13
3. detdet
AA
−( ) =1 1
4. Les matrices A−1, At et AB sont régulières et donc inversibles.
5. A A− −( ) =1 1
6. AB B A( ) =− − −1 1 1
7. A At t( ) = ( )− −1 1
8. kAk
A( ) =− −1 11
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
A strAtégie De résolution D’un proBlème concret
• Faire une première lecture du problème pour en avoir une idée d’ensemble.
• Relire l’énoncé du problème pour en dégager les éléments clés : la question posée, les inconnues, les relations entre les différentes inconnues, les contraintes, etc.
• Attribuer un nom symbolique signifiant à chaque quantité inconnue : x y z= = = ; ; ; etc.
• Écrire sous forme d’équations les liens entre les inconnues.
• Résoudre le système d’équations.
• Répondre à la question posée et s’assurer que les contraintes sont respectées. Certains pro-blèmes exigent que les inconnues prennent des valeurs entières, alors que d’autres exigent qu’elles prennent des valeurs non négatives, etc.
B méthoDe De lA mAtrice inVerse
Un système d’équations linéaires AX B= , de n équations à n inconnues x x xn1 2, , , …( ), admet une solution unique, X A B= −1 , si et seulement si det A ≠ 0.
c règle De crAmer
Soit AX B= un système d’équations linéaires comportant n équations à n inconnues x x xn1 2, , , …( ) tel que det A ≠ 0. On note ∆ le déterminant de la matrice A, et ∆xi
le déterminant de la matrice qu’on obtient en remplaçant la iième colonne de A par la matrice B des constantes.
Un tel système d’équations linéaires admet une solution unique xixi=
∆∆
pour , , , , i n=( )1 2 3 … ,
soit x x1
1=∆∆
, x xxn
xn2
2= =∆∆
∆∆
, , … .
D méthoDe D’éliminAtion gAussienne
La méthode d’élimination gaussienne consiste à effectuer des opérations élémentaires de ligne sur la matrice augmentée A B| du système d’équations linéaires AX B= de façon à transfor-mer cette dernière en une matrice échelonnée équivalente. La solution du système s’obtient ensuite par une substitution à rebours dans les équations associées aux lignes de la matrice échelonnée équivalente.
VIII
14 AIDE-MÉMOIRE
Les opérations élémentaires de ligne sont au nombre de trois :
• l’interversion de deux lignes L Li j↔( ) ;• la multiplication d’une ligne par une constante k différente de 0 L kLi i→( ) ;• l’addition d’un multiple d’une ligne à une autre ligne L L kLi i j→ +( ).
Si le rang (le nombre de lignes non nulles d’une matrice échelonnée équivalente) de la matrice des coefficients A est p et si le rang de la matrice augmentée A B| est q, alors le système d’équa-tions comptant n inconnues :
• n’admet aucune solution lorsque p q< ;
• admet une solution unique lorsque p q n= = ;
• admet une infinité de solutions lorsque p q= et p n< .
De plus, lorsque le système admet une infinité de solutions, la solution générale comporte n q− inconnues libres.
e méthoDe De gAuss-JorDAn
La méthode de Gauss-Jordan est une généralisation de la méthode d’élimination gaussienne. Elle consiste à effectuer des opérations élémentaires de ligne de manière à transformer la matrice augmentée du système d’équations en une matrice échelonnée réduite. Elle sert également à trouver l’inverse d’une matrice carrée A, et cela en appliquant l’équivalence A I I An n| ~ | −1 .
VECTEURS
A relAtions et opérAtions DAns l’ensemBle Des Vecteurs Du plAn (2)
Représentation géométrique Représentation algébrique
Vecteurs y
x
u uc d
wu
a b
v v v O
1 2
1 2
,,
,
,
( )( )
( )
( )
ϕ θ
u u u v v v= + = +1
222
12
22 et
tgθ = uu
2
1 et tgϕ = v
v2
1
Les angles θ et ϕ représentent les directions respectives des vecteurs
u et v.
Selon la position de son extrémité, la direction du vecteur
u est
θ
θ
=
= ° +
arctg (
arctg
uu
2
1
180
1 quadrant.)er
uuu
uu
2
1
2
3
360
= ° +
(
arctg
2 ou quadrant.)e e
θ11
4
( e quadrant.)
De plus, u u u u u= = 1 2 cos sinθ θ v v v v v= = [ ]1 2 cos sinϕ ϕw c a d b= − −
IX
AIDE-MÉMOIRE 15
Représentation géométrique Représentation algébrique
Égalité de deux vecteurs
u v t
w
u v w t= = ≠
Deux vecteurs sont égaux si et seule-ment s’ils ont la même norme et la même direction, c’est-à-dire si leurs origines et leurs extrémités respectives peuvent coïncider après une translation.
Si u u u= 1 2 et
v v v= 1 2 ,
alors u v= si et seulement si u v1 1=
et u v2 2= .
Addition de vecteurs
u
v
v
uv+
Si u u u= 1 2 et
v v v= 1 2 , alors
u v u v u v+ = + + 1 1 2 2 . u v+ est le vecteur résultant ou la résul-tante de la somme des vecteurs
u et v.
Relation de Chasles
A
B
C
D
P
Q
R
AB BC CD PQ QR AR
+ + + + + =
Multiplication (produit) d’un vecteur par un scalaire
u
au bu
a > 0 et a < 1 ; b < 0 et b > 1
Si u u u= 1 2 et si k ∈ , alors
ku ku ku = 1 2 .
Produit scalaire
u
vθ
u vu v u v
u⋅ =
≠ ≠
=
cos
θ si et
si ou
0 0
0 0 v =
0
où 0 ≤ ≤θ π
Si u u u= 1 2 et
v v v= 1 2 , alors
u v u v u v⋅ = +1 1 2 2.
Angle entre deux vecteurs
u et
v
u
vθ
θ = ⋅arccos
u vu v
où 0 ≤ ≤θ π
Projection orthogonale
uv( ) du vecteur
u sur
le vecteur non nul v
u
v
uv
θ
uu vv v
v
u v
vv
v = ⋅⋅
= ⋅2
16 AIDE-MÉMOIRE
B relAtions et opérAtions DAns l’ensemBle Des Vecteurs De l’espAce (3)
Vecteursu u u u= 1 2 3 ,
v v v v= 1 2 3 et
w w w w= 1 2 3 .
Si A a a a1 2 3, , ( ) et B b b b1 2 3, , ( ) sont deux points de l’espace,
alors AB b a b a b a
= − − − 1 1 2 2 3 3 .
Vecteur nul 0 0 0 0
=
Égalité de vecteurs u u u v v v u v u v u v1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 = ⇔ = = =, et
Norme d’un vecteur u u u u u u u u= ⇒ = + +1 2 3 1
222
32
Cosinus directeurs d’un vecteur non nul
u u u u
u
u u u
u
u
= ⇒ =+ +
=
1 2 31
12
22
32
2
12
cos ,
cos
α
β++ +
=+ +u u
u
u u u22
32
3
12
22
32
et cosγ
Direction d’un vecteur non nul (angles directeurs)
u u u u
u
u u u= ⇒ =
+ +
1 2 3
1
12
22
32
α
β
arccos ,
==+ +
=arccos arccos
u
u u u
u
u2
12
22
32
3
1
et γ22
22
32+ +
u u
Relation de Chasles AB BC CD PQ QR AR
+ + + + + =
Addition de vecteurs u u u v v v u v u v u v1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 + = + + +
Multiplication (produit) par un scalaire
k u u u ku ku ku1 2 3 1 2 3 =
Produit scalaire u v u u u v v v u v u v u v⋅ = ⋅ = + +1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
u vu v u v
u⋅ =
≠ ≠
=
cos
θ si et
si ou
0 0
0 0 v =
0 où 0 ≤ ≤θ π
Angle déterminé par deux vecteurs non nuls
u et
v
θ = ⋅arccos
u vu v
où 0 ≤ ≤θ π
Projection orthogonale uv( )
du vecteur u sur le vecteur
non nul v
uu vv v
v
u v
vv
v = ⋅⋅
= ⋅2
Produit vectoriel
u v
i j k
u u u
v v v
u v n u
× = =( )
1 2 3
1 2 3
sin θ si eet sont non nulset non parallèles
sin
v
0 oon
où θ représente l’angle déterminé par les vecteurs u et v ; n est
un vecteur unitaire perpendiculaire à chacun des vecteurs u et v,
et dont la direction est donnée par la règle de la main droite.
Produit mixte u v w
u u u
v v v
w w w⋅ ×( ) =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
AIDE-MÉMOIRE 17
c propriétés Des opérAtions sur les Vecteurs De 2 (ou De 3)
Soit u, v et
w des vecteurs de 2 (ou de 3), et a et b des scalaires.
1. u v+ est un vecteur de 2 (ou de 3). (Fermeture par rapport à l’addition de vecteurs.)
2. u v v u+ = + (Commutativité de l’addition de vecteurs.)
3. u v w u v w+( ) + = + +( ) (Associativité de l’addition de vecteurs.)
4. u u u+ = + =0 0 (Le vecteur nul 0
est l’élément neutre pour l’addition de vecteurs.)
5. Il existe un vecteur − u tel que u u+ −( ) = 0. (Existence d’un opposé, noté − u , pour tout
vecteur u.)
6. au
est un vecteur de 2 (ou de 3). (Fermeture par rapport à la multiplication d’un vecteur par un scalaire.)
7. ab u a bu( ) = ( ) (Associativité mixte.)
8. a u v au av +( ) = + (Distributivité de la multiplication d’un vecteur par un scalaire par
rapport à l’addition de vecteurs.)
9. a b u au bu+( ) = + (Distributivité de la multiplication d’un vecteur par un scalaire par
rapport à l’addition de scalaires.)
10. 1 u u=
11. a 0 0
=
12. Si u ≠ 0, alors le vecteur
1
uu est un vecteur unitaire.
13. u v v u⋅ = ⋅ (Commutativité du produit scalaire.)
14. u v w u w v w+( ) ⋅ = ⋅ + ⋅ (Distributivité du produit scalaire par rapport à l’addition de
vecteurs.)
15. a u v au v u av ⋅( ) = ( ) ⋅ = ⋅ ( )
16. u ⋅ =0 0
17. u u u⋅ = 2
18. Deux vecteurs non nuls u et v sont parallèles si et seulement s’il existe un scalaire k ∈ tel
que ku v = .
19. Deux vecteurs non nuls u et
v sont perpendiculaires si et seulement si
u v⋅ = 0.
D propriétés Du proDuit Vectoriel (Vecteurs De 3)
Soit u u u u= 1 2 3 ,
v v v v= 1 2 3 et
w w w w= 1 2 3 des vecteurs de 3, et k un
scalaire.
1. Si u et
v sont non nuls et non parallèles, alors
u v× est perpendiculaire à
u et à
v.
2. u v u v× = sinθ où θ représente l’angle déterminé par les vecteurs
u et
v.
3. u v× = aire du parallélogramme dont deux côtés non parallèles sont déterminés par les
vecteurs u et
v.
4. 12 u v× = aire du triangle dont deux côtés sont déterminés par les vecteurs
u et
v.
5. u v u v u v× = − ⋅( )2 2 2 2 (Identité de Lagrange.)
6. u v v u× = − × (Anticommutativité du produit vectoriel.)
7. u v w u v u w× +( ) = × + × et
u v w u w v w+( ) × = × + × (Distributivité du produit vec-
toriel sur l’addition de vecteurs.)
18 AIDE-MÉMOIRE
8. k u v ku v u kv ×( ) = ( ) × = × ( )
9. u u× = × =0 0 0
10. u u× = 0
11. Deux vecteurs non nuls u et
v sont parallèles si et seulement si
u v× = 0.
e propriétés Du proDuit mixte (Vecteurs De 3)
Soit u, v et
w des vecteurs de 3.
1. u v w u v w⋅ ×( ) = ×( ) ⋅
2. u u v⋅ ×( ) = 0 et
v u v⋅ ×( ) = 0
3. u v w⋅ ×( ) = 0 si et seulement si les vecteurs
u, v et
w sont coplanaires (ou linéairement
dépendants).
4. u v w⋅ ×( ) = volume du parallélépipède engendré par les vecteurs
u, v et
w
5. 16 u v w⋅ ×( ) = volume du tétraèdre engendré par les vecteurs
u, v et
w
f relAtions et opérAtions DAns l’ensemBle Des Vecteurs De l’espAce eucliDien De Dimension n (n)
Vecteurs …u u u un= 1 2 et
…v v v vn= 1 2
Vecteur nul 0 0 0 0
…=
Égalité
…u v u v u v u vn n= ⇔ = = =1 1 2 2, , ,
Norme euclidienne u u u u
u
n
ii
n
= + + +
==∑
12
22 2
2
1
Addition
…u v u v u v u vn n+ = + + + 1 1 2 2
Multiplication (produit) d’un vecteur par un scalaire k
ku ku ku kun
…= 1 2
Produit scalaire
u v u v u v u vn n⋅ = + + +1 1 2 2
g comBinAison linéAire, inDépenDAnce linéAire, système générAteur, BAse, mAtrice De pAssAge, chAngement De BAse
1. Toute expression a u a u a un n1 1 2 2
+ + + où a1, a2 , …, an sont des scalaires est une combinai-
son linéaire des n vecteurs u1
, u2
, …, un
.
2. On dit de n vecteurs u1
, u2
, …, un
qu’ils sont linéairement indépendants si et seulement si a u a u a u a an n1 1 2 2 1 20 0 0
…+ + + = ⇒ = =, , , an = 0.
3. Un ensemble de vecteurs forme un système générateur si tout vecteur de l’espace s’écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de cet ensemble.
4. Des vecteurs forment une base des vecteurs de l’espace s’ils sont linéairement indépendants et s’ils forment un système générateur.
5. Deux vecteurs linéairement indépendants de 2 forment un système générateur de cet espace, et donc une base de 2 . De même, trois vecteurs linéairement indépendants de 3 forment un système générateur de cet espace, et donc une base de 3.
AIDE-MÉMOIRE 19
6. Si u u u= 1 2 et
v v v= 1 2 sont deux vecteurs formant une base ′ B u v
, de 2 , alors la
matrice Pu v
u v=
1 1
2 2 porte le nom de matrice de passage de la base canonique à la base ′B .
Cette matrice est utilisée pour déterminer les composantes de tout vecteur r r r
B= 1 2 dans
la base ′B , soit r x y
B= ′
.
X P R
x
y
u v
u v
r
r
=
=
−
−
1
1 1
2 2
11
2
Ainsi, r r i r j xu yv= + = +1 2 .
7. Si u u u u= 1 2 3 ,
v v v v= 1 2 3 et
w w w w= 1 2 3 sont trois vecteurs formant une
base ′ B u v w , , de 3, alors la matrice P
u v w
u v w
u v w
=
1 1 1
2 2 2
3 3 3
porte le nom de matrice de passage
de la base canonique à la base ′B . Cette matrice est utilisée pour déterminer les composantes de tout vecteur
r r r r
B= 1 2 3 dans la base ′B , soit
r x y z
B= ′
.
X P R
x
y
z
u v w
u v w
u v w
=
=
−1
1 1 1
2 2 2
3 3 3
−11
2
3
r
r
r
Ainsi, r r i r j r k xu yv zw= + + = + +1 2 3 .
NOMBRES COMPLEXES
A Définition
= + ∈ = − a bi a b iet et 2 1
B représentAtion grAphique (plAn D’ArgAnD ou plAn complexe)
Axe des réels
Axe des imaginaires
az a bi
ab
b
== +
=+
=
ρ θ
ρ
ρ θ
θ
cos
sin
2
2
X
20 AIDE-MÉMOIRE
c formes D’un nomBre complexe z
• Forme cartésienne ou binomiale : z a bi= +
• Forme vectorielle : z a b= • Forme trigonométrique : z i= +( ) =ρ θ θ ρ θcos sin cis où :
Re z a( ) = , Im z b( ) = et i2 1= −
ρ = = +z a b2 2 et Arg z( ) = θ où tgθ = ba
(Attention ! Il faut choisir l’angle en fonction de la position du nombre dans le plan com-plexe.)
a = ρ θcos et b = ρ θsin
D opérAtions et relAtions DAns
Forme cartésienne(binomiale)
Forme trigonométrique
Nombres z a bi= +z a b i1 1 1= +z a b i2 2 2= +
z = ρ θcisz1 1 1= ρ θcisz2 2 2= ρ θcis
Égalité z za a
b b1 21 2
1 2= ⇔
==
z zk1 2
1 2
1 2 2= ⇔
== +
ρ ρθ θ π
où k ∈
Addition z z a a b b i1 2 1 2 1 2+ = +( ) + +( ) Employer la forme cartésienne.
Multiplication z z a a b b a b a b i1 2 1 2 1 2 1 2 2 1= −( ) + +( ) z z1 2 1 2 1 2= +( )ρ ρ θ θcis
Conjugué z a bi= − z = −( )ρ θcis
Module z a b= +2 2 ρ
Argument Si z ≠ 0, Arg tgzba
( ) = =θ θoù . θ
Inverse Si z ≠ 0, alors 1 1
2zz
z
z= =− . Si z ≠ 0, alors
1 11
zz= = −( )−
ρθcis
Division Si z2 0≠ , alors zz
z z
z1
2
1 2
22= . Si z2 0≠ , alors
zz
1
2
1
21 2= −( )ρ
ρθ θcis
Puissance n ième (formule de Moivre)
Employer la forme trigonométrique lorsque n > 3.
z nn n n= ( ) = ( )ρ θ ρ θcis cis
Racine n ième (corollaire de la formule de Moivre)
Employer la forme trigonométrique. zk
nn n1 1 2/ / cis= +
ρ θ π
où k n= −0 1 1, , , …
AIDE-MÉMOIRE 21
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
A Droite D Du plAn
a) Représentation graphique d’une droite D du plan cartésien
y
x
y
y
b
O
x y
x
x y
x x
y y
x
y mx
2
11 1
1
2 2
2 1
2 1
2
θ
θ,
,:
( )
( )
−
−
=∆ ++
=−−
=
= −
b
my yx x
b y mx
2 1
2 1
1 1
tg θ
Il est à noter que la pente m de la droite ∆ qui passe par deux points A x y1 1, ( ) et B x y2 2, ( ) et dont l’angle d’inclinaison est θ (où 0 180≤ <θ o) est
my yx x
= −−
=2 1
2 1tgθ si x x1 2≠( )
de sorte que θ = arctg m ou θ π= + arctg m (ou θ = ° +180 arctg m), selon que arctg m est posi-tif ou négatif.
Si d d d= 1 2 est un vecteur directeur de la droite ∆ , c’est-à-dire un vecteur parallèle à ∆ ,
et si d1 0≠ , alors mdd
= 2
1.
L’ordonnée à l’origine de la droite ∆ est b y mx= −1 1.
b) Différentes formes de l’équation d’une droite D du plan cartésien
Informations requises Équation
Pente et ordonnée à l’origine Pente : mOrdonnée à l’origine : b
∆ : y mx b= +
Pente et point Pente : mA x y1 1, ( ) ∈ ∆
∆ : y y m x x−( ) = −( )1 1
Deux points distincts A x y1 1, ( ) et B x y2 2, ( ) ∈ ∆ ∆ :y yx x
y yx x
−−
= −−
1
1
2 1
2 1 où x x1 2≠
Angle d’inclinaison et ordonnée à l’origine
Angle d’inclinaison : θOrdonnée à l’origine : b
∆ : tgy x b= ( ) +θ
Équation vectorielle Vecteur directeur d d d= 1 2
et un point P p p1 2, ( ) ∈ ∆∆ : x y p p k d d = + 1 2 1 2
où k ∈
XI
22 AIDE-MÉMOIRE
Informations requises Équation
Équations paramétriques Vecteur directeur d d d= 1 2 et un point P p p1 2, ( ) ∈ ∆
∆= += +
∈: x p kd
y p kdk
1 1
2 2où
Équation symétrique Vecteur directeur d d d= 1 2
et un point P p p1 2, ( ) ∈ ∆∆ :
x pd
y pd
− = −1
1
2
2 si d1 0≠ et d2 0≠
Équation cartésienne Vecteur normal n a b=
et un point P p p1 2, ( ) ∈ ∆∆ : ax by c+ = où c ap bp= +1 2
Équation normale Vecteur normal unitaire
na
a b
b
a bu =
+ +
2 2 2 2
et un point P p p1 2, ( ) ∈ ∆
∆ :a
a bx
b
a by
c
a b2 2 2 2 2 2++
+=
+
où c ap bp= +1 2
De l’équation cartésienne ∆ : ax by c+ = , on tire les renseignements suivants :
• n a b= est un vecteur normal à la droite ∆ .
• d b a= − est un vecteur directeur de la droite ∆ .
• La pente de la droite ∆ est mab
= − lorsque b ≠ 0.
• On obtient l’angle d’inclinaison θ de la droite ∆ par la résolution de tgθ = − ab
où 0 180≤ <θ o.
• La droite ∆ est parallèle à n’importe quelle droite ∆0 dont l’équation est ∆0 0: kax kby c+ = où k est un nombre réel non nul.
• Les formules des distances sont consignées dans le tableau qui suit.
Informations requises Formule de distance
Distance de la droite ∆∆ ++ ==: ax by c ou
∆∆++
++++
==:a
a bx
ba b
y h2 2 2 2
à l’origine
Vecteur normal n a b=
à la droite et un point P p p1 2, ( ) ∈ ∆
OPn
ou c
a b
cn
h2 2+
= =
Distance du point Q q q1 2, ( ) à la droite ∆∆ ++ ==: ax by c
Vecteur normal n a b=
à la droite et un point P p p1 2, ( ) ∈ ∆
QPn
ou aq bq c
a b1 2
2 2
+ −+
Distance entre deux droites parallèles ∆∆ ++ ==1 1: ax by c et ∆∆ ++ ==2 2: ax by c
Vecteur normal n a b=
à l’une ou l’autre des droites, un point P p p1 2 1, ( ) ∈ ∆ et un point Q q q1 2 2, ( ) ∈ ∆
QPn
ou aq bq c
a b
c c
a b1 2 1
2 22 12 2
+ −+
= −+
Le point R de la droite ∆ le plus proche d’un point Q extérieur à cette droite est le point d’intersection de la droite ∆ avec la droite ∆1 perpendiculaire à la droite ∆ et passant par le point Q. On peut également déterminer les coordonnées du point R à partir des composantes de son rayon vecteur tiré d’une des équations OR OP PQd
= + et OR OQ QPn
= + . Dans ces deux dernières
équations, d représente un vecteur directeur de la droite ∆ ,
n représente un vecteur normal à
cette droite et P est un point de la droite.
AIDE-MÉMOIRE 23
L’angle déterminé par deux droites concourantes ∆1 et ∆2 est le plus petit angle θ déterminé par les deux droites, et il est donné par l’expression
θ = ⋅arccos
d d
d d1 2
1 2
ou θ = ⋅
arccosn n
n n1 2
1 2
où d1
et d2
sont respectivement des vecteurs directeurs de ∆1 et de ∆2 , alors que n1
et n2
sont respectivement des vecteurs normaux à ∆1 et à ∆2 .
c) Position relative de deux droites du plan
• Deux droites du plan sont parallèles confondues si leurs vecteurs directeurs sont parallèles et si elles ont un point commun (elles sont alors formées exactement des mêmes points).
• Deux droites du plan sont parallèles distinctes si leurs vecteurs directeurs sont parallèles et si elles n’ont aucun point commun.
• Deux droites du plan sont concourantes si leurs vecteurs directeurs ne sont pas parallèles.
B Droite D De l’espAce
a) Caractérisation d’une droite de l’espace
Une droite ∆ de l’espace est complètement définie par :
• soit un point et un vecteur directeur de la droite ∆ ;
• soit deux points distincts de la droite ∆ (si A et B sont deux points distincts de ∆ , alors AB
est un vecteur directeur de la droite ∆) ;
• soit deux plans sécants (si π1 et π2 sont deux plans sécants dont n1
et n2
sont respectivement des vecteurs normaux, alors n n1 2
× est un vecteur directeur de la droite d’intersection ∆ suivant laquelle les plans se coupent ; on obtient un point de la droite ∆ en résolvant le système formé des équations des plans).
b) Équations d’une droite D de l’espace
Informations requisesd d d d= 1 2 3 est un vecteur directeur de la droite ∆ , P p p p1 2 3, , ( ) est un point connu de la droite ∆ et X x y z, , ( ) est un point quelconque de la droite ∆ .
Équation de base ∆ : PX kd
= où k ∈
Équation vectorielle ∆ : x y z p p p k d d d = + 1 2 3 1 2 3 où k ∈
Équations paramétriques
∆ :
x p kd
y p kd
z p kd
= += += +
1 1
2 2
3 3
où k ∈
Équations symétriques ∆ :x p
dy p
dz p
d− = − = −1
1
2
2
3
3 lorsque toutes les
composantes de d sont non nulles
c) Position relative de deux droites de l’espace
• Deux droites de l’espace sont parallèles confondues si leurs vecteurs directeurs sont paral-lèles et si elles ont un point commun (elles sont alors formées exactement des mêmes points).
• Deux droites de l’espace sont parallèles distinctes si leurs vecteurs directeurs sont parallèles et si elles n’ont aucun point commun.
24 AIDE-MÉMOIRE
• Deux droites de l’espace sont concourantes si leurs vecteurs directeurs ne sont pas paral-lèles et si elles ont un point commun.
• Deux droites de l’espace sont gauches si leurs vecteurs directeurs ne sont pas parallèles et si elles n’ont aucun point commun.
c plAn 𝛑 De l’espAce
a) Caractérisation du plan
Un plan π de l’espace est complètement défini par :
• soit un point du plan π et un vecteur normal au plan π ;
• soit trois points non colinéaires du plan π (si A, B et C sont trois points non colinéaires du plan π , alors AB AC
× est un vecteur normal au plan π ) ;
• soit deux vecteurs linéairement indépendants et parallèles au plan π , et un point du plan π (si u et v sont deux vecteurs linéairement indépendants parallèles au plan π , alors
u v× est
un vecteur normal au plan π ).
b) Équations d’un plan 𝛑 de l’espace
Informations requisesn a b c= est un vecteur normal au plan π , P p p p1 2 3, , ( ) est un point connu du plan π , X x y z, , ( ) est un point quelconque du plan π et u u u u= 1 2 3 et
v v v v= 1 2 3 sont des vecteurs
linéairement indépendants et parallèles au plan π .
Équations de base π : PX n ⋅ = 0 ou π : PX ru sv
= + où r et s ∈
Équation cartésienne π : ax by cz d+ + = où d ap bp cp= + +1 2 3
Équation normale π :a
a b cx
b
a b cy
c
a b cz h
2 2 2 2 2 2 2 2 2+ ++
+ ++
+ +=
où hap bp cp
a b c= + +
+ +1 2 3
2 2 2
Équation vectorielle π : x y z p p p r u u u s v v v = + + 1 2 3 1 2 3 1 2 3 où r et s ∈
Équations paramétriques
π :
x p ru sv
y p ru sv
z p ru sv
= + += + += + +
1 1 1
2 2 2
3 3 3
où r et s ∈
c) Position relative de deux plans, et d’une droite et d’un plan de l’espace
• Deux plans de l’espace sont parallèles confondus si les vecteurs normaux à ces deux plans sont parallèles et s’ils ont un point commun (les deux plans sont alors formés des mêmes points).
• Deux plans de l’espace sont parallèles distincts si les vecteurs normaux à ces deux plans sont parallèles et s’ils n’ont aucun point commun.
AIDE-MÉMOIRE 25
• Deux plans de l’espace sont perpendiculaires si deux vecteurs respectivement normaux à ces plans sont mutuellement perpendiculaires.
• Deux plans de l’espace sont sécants si deux vecteurs respectivement normaux à ces plans ne sont pas parallèles entre eux.
• Une droite est parallèle à un plan si un vecteur directeur de la droite est perpendiculaire à n’importe quel vecteur normal au plan. De plus, une droite est contenue dans un plan si elle est parallèle au plan et qu’elle a un point commun avec le plan (tous les points de la droite appartiennent alors au plan).
• Une droite coupe un plan si un vecteur directeur quelconque de la droite n’est pas perpen-diculaire à un vecteur normal au plan.
D DistAnces DAns l’espAce
D’un point Q à une droite PQ d
d
×
où P ∈ ∆ et d est un vecteur directeur de la
droite ∆ . Les coordonnées du point R de la droite ∆ le plus proche du point Q correspondent aux composantes de son rayon vecteur tiré de l’équation OR OP PQd
= + .
Entre deux droites parallèles 1 et 2
P P d
d
1 2 1
1
×
où P1 1∈ ∆ , P2 2∈ ∆ et d1
est un vecteur
directeur de la droite ∆1
D’un plan ππ : ax by cz d++ ++ ==à l’origine
d
a b c2 2 2+ +
D’un point Q q q q1 2 3, , ( ) à un plan ππ : ax by cz d++ ++ == QP
QP n
naq bq cq d
an
ou ou⋅ + + −
+1 2 3
2 bb c2 2+ où
n a b c= est un vecteur normal au plan π et P ∈ π . Le point R du plan π le plus proche d’un point Q exté-rieur à ce plan est le point d’intersection de la droite ∆ perpendiculaire au plan et passant par le point Q. Les coordonnées du point R correspondent aux composantes de son rayon vecteur tiré de l’équation OR OQ QPn
= + .
Entre deux plans parallèles ππ1 1: ax by cz d++ ++ ==
etππ2 2: ax by cz d++ ++ ==
d d
a b c1 2
2 2 2
−+ +
D’une droite à un plan parallèle ππ : ax by cz d++ ++ ==
aq bq cq d
a b c1 2 3
2 2 2
+ + −+ +
où Q q q q1 2 3, , ( ) ∈ ∆
Entre deux droites gauches 1 et 2
Distance entre les deux plans parallèles qui contiennent chacun l’une des deux droites.
26 AIDE-MÉMOIRE
e Angle 𝚹 DAns l’espAce
Entre deux droites concourantes 1 et 2 θ =
⋅arccos
d d
d d
1 2
1 2
où d1
et d2
sont respectivement
des vecteurs directeurs des droites ∆1 et ∆2
Entre une droite et un plan θ =
⋅arcsin
n d
n d où n est un vecteur normal au plan π
et d un vecteur directeur de la droite ∆
Entre deux plans 1 et 2 (angle dièdre) θ =
⋅arccos
n n
n n
1 2
1 2
où n1
et n2
sont respectivement
des vecteurs normaux aux plans π1 et π2
ESPACES VECTORIELS
A Définitions
Un espace vectoriel sur les réels est un ensemble V – dont les éléments sont appelés vecteurs – muni de deux opérations, soit l’addition de deux vecteurs notée ou
u v u v+ ⊕( ) et la multipli-
cation d’un vecteur par un scalaire notée ou au a u
( ), qui vérifient les 10 propriétés suivantes.
Soit u, v et
w V∈ , et soit a et b ∈ .
1. u v V+ ∈ (Fermeture de l’espace V par rapport à l’addition de vecteurs.)
2. u v v u+ = + (Commutativité de l’addition de vecteurs.)
3. u v w u v w+( ) + = + +( ) (Associativité de l’addition de vecteurs.)
4. Il existe un vecteur 0
∈ V tel que u u+ =0 . (Existence d’un élément neutre pour l’addition,
soit un vecteur nul appartenant à V.)
5. Il existe un vecteur − ∈u V tel que u u+ −( ) = 0. (Existence d’un opposé, noté − u , apparte-
nant à V pour tout vecteur u de V.)
6. au V ∈ (Fermeture de l’espace V par rapport à la multiplication d’un vecteur par un scalaire.)
7. ab u a bu( ) = ( ) (Associativité mixte.)
8. a u v au av +( ) = + (Distributivité de la multiplication d’un vecteur par un scalaire par rapport
à l’addition de vecteurs.)
9. a b u au bu+( ) = + (Distributivité de la multiplication d’un vecteur par un scalaire par rapport
à l’addition de scalaires.)
10. 1 u u=
Des vecteurs u u un1 2
…
, , , sont linéairement indépendants si et seulement si la seule combi-naison linéaire de ces vecteurs égale au vecteur nul est celle où tous les coefficients (les scalaires) sont nuls. De manière plus formelle, n vecteurs u u un1 2
…
, , , sont dits linéairement indépendants si et seulement si
a u a u a u a an n1 1 2 2 1 20 0 0
…+ + + = ⇒ = =, , , an = 0
Un système générateur d’un espace vectoriel V est un ensemble de vecteurs tel que tout vecteur de V s’écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs du système générateur.
XII
AIDE-MÉMOIRE 27
Une base d’un espace vectoriel V est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants de V qui constituent un système générateur de V. On peut représenter un espace vectoriel V comme l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs d’une base.
Un espace vectoriel de dimension finie est un espace vectoriel dont une base compte un nombre fini d’éléments. On dit d’un espace vectoriel qui n’est pas de dimension finie qu’il est de dimension infinie. On note dim V la dimension d’un espace vectoriel V.
La dimension d’un espace vectoriel de dimension finie est égale au nombre d’éléments d’une base de cet espace. L’espace vectoriel V = 0
est de dimension 0.
Un sous-espace vectoriel S d’un espace vectoriel V est un sous-ensemble non vide de V qui est aussi un espace vectoriel pour les opérations définies sur V.
B espAces Vectoriels courAnts
• nn ix x x x x= ∈ 1 2 3 …
• L’ensemble Mm n× des matrices de format m n× muni des opérations habituelles d’addition et de multiplication par un scalaire.
• P a a x a x a x an nn
i= + + + + ∈ 0 1 22
• = + ∈ = − a bi a b i et et 2 1
c théorèmes importAnts
1. Si V est un espace vectoriel dont le vecteur nul est noté 0
, alors :
• k0 0
= pour tout scalaire k ;
• 0 0 v = pour tout vecteur
v V∈ ;
• kv k v
= ⇒ = =0 0 0 ou ;
• −( ) = −1 v v pour tout vecteur
v V∈ .
2. Un sous-ensemble non vide S d’un espace vectoriel V est un sous-espace de V s’il est fermé pour l’addition de vecteurs et la multiplication d’un vecteur par un scalaire, c’est-à-dire que S est un sous-espace de V lorsque :
• S V⊆ (S est un sous-ensemble de V.)
• S ≠ ∅ (S est non vide.)
• u v S+ ∈ pour tout
u S∈ et pour tout
v S∈ (S est fermé par rapport à l’addition.)
• ku S ∈ pour tout
u S∈ et pour tout k ∈ (S est fermé par rapport à la multiplication par
un scalaire.)
3. Si V est un espace vectoriel, alors V, 0 et
S a v a v a v a v Vn n i i= + + + ∈ ∈ 1 1 2 2
et sont trois sous-espaces de V.
4. Si v v vn1 2
…
, , , forment une base d’un espace vectoriel V de dimension finie, alors tout vecteur de V s’écrit, de façon unique, comme une combinaison linéaire des n vecteurs de la base.
5. Toute base d’un espace vectoriel de dimension finie comporte le même nombre de vecteurs.
6. Si W est un sous-espace d’un espace vectoriel V de dimension finie, alors dim dimW V≤ .
7. Tout ensemble de n vecteurs linéairement indépendants d’un espace vectoriel de dimension n est une base de cet espace.
28 AIDE-MÉMOIRE
8. Si on considère les lignes d’une matrice comme des vecteurs, alors :
• les espaces vectoriels engendrés par les vecteurs lignes de deux matrices équivalentes sont identiques ;
• les lignes non nulles d’une matrice échelonnée forment une base de l’espace vectoriel engendré par les vecteurs lignes de cette matrice.
PROGRAMMATION LINÉAIRE
A méthoDe grAphique (mArche à suiVre)
• Formuler le programme linéaire.
• Tracer le graphique du domaine réalisable.
• Trouver les coordonnées des sommets du polygone convexe délimitant le domaine réalisable. On obtient les coordonnées d’un sommet en résolvant le système formé des équations des droites qui se coupent en ce sommet.
• Évaluer la fonction économique à chaque sommet.
• Déterminer, s’il y a lieu, l’optimum de la fonction économique à partir d’une étude des valeurs de la fonction économique aux sommets du domaine réalisable.
• Interpréter, s’il y a lieu, la ou les solutions optimales dans le contexte.
B méthoDe Du simplexe
a) Problème de maximisation standard (formes standard et canonique)
Forme standard Maximiser z c x c x c xn n= + + +1 1 2 2 lorsque
a x a x a x b
a x a x a x bn n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2
+ + + ≤+ + + ≤
22
1 1 2 2
a x a x a x b
m
m m mn n m+ + + ≤
contrainttes
technologiques
où bi ≥ 0 pour i m= 1 2, , , …et x j n nj ≥ =0 1 2 , , , pour contraintes de non… --négativité( )
Forme canonique Maximiser z c x c x c x e e en n m= + + + + + + +1 1 2 2 1 20 0 0 lorsque
a x a x a x e
a x a x a x en n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2
+ + + ++ + + +
22
1 1 2 2
1
2
a x a x a x e
b
b
b
m
m m mn n m m+ + + +
==
=
contraintes
technologiques
où bi ≥ 0 pour i m= 1 2, , , …et x j n nj ≥ =0 1 2 , , , pour contraintes de non… --négativité( )et ei ≥ 0 pour , , , i m= 1 2 … (m contraintes de non-négativité des variables d’écart)
XIII
AIDE-MÉMOIRE 29
b) Organigramme de l’algorithme du simplexe appliqué à un problème de maximisation standard
Choisir pour variable entrante celle qui, dans la dernière lignedu tableau (celle qui détermine la valeur de la fonction économique), est associée à la valeur négative la plus
grande en valeur absolue. La colonne de la variable entrante est la colonne pivot.
Écrire le problème de maximisation sous la formecanonique en introduisant des variables d’écart et
construire le tableau du simplexe initial.
La dernière ligne du tableau du simplexe comporte-t-elle des éléments négatifs?
Le quotient de la valeur d’une desvariables de base par l’élément correspondant
de la colonne pivot est-il positif?
Choisir pour variable sortante celle qui est associée au plus faible quotient positif ni.
La ligne de la variable sortante est la ligne pivot.
Déterminer le pivot (l’élément situé à l’intersectiondes ligne et colonne pivots) et effectuer le pivotage
(les opérations élémentaires de ligne) pour produire un nouveau tableau du simplexe où la variable entrante
remplace la variable sortante parmi les variables de base.
L’optimumest atteint.
oui
oui
non
non
Le problème n’apas de solution.
c) Tableau initial d’un problème de maximisation standard
Variables de décision
Variables d’écart
Fonction économique
Base x1 x2 xn e1 e2 em z Valeur
e1 a11 a12 a1n 1 0 0 0 b1
e2 a21 a22 a2n 0 1 0 0 b2
em am1 am2 amn 0 0 1 0 bm
z –c1 –c2 –cn 0 0 0 1 0
30 AIDE-MÉMOIRE
d) Problème de minimisation (marche à suivre)
Pour résoudre un programme linéaire de minimisation d’une fonction économique w c x c x c xn n= + + +1 1 2 2 (où cj ≥ 0) sous les contraintes
a x a x a x b
a x a x a x bn n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2
+ + + ≥+ + + ≥
22
1 1 2 2
a x a x a x bm m mn n m+ + + ≥
• Former la matrice A :
A
a a a b
a a a b
a a a b
c
n
n
m m mn m
=
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
11 2 1c cn
• Écrire At
A
a a a c
a a a c
a a a c
t
m
m
n n mn n
=
11 21 1 1
12 22 2 2
1 2
bb b bm1 2 1
· Écrire le programme linéaire de maximisation associé à la matrice At , c’est-à-dire maximiser une fonction économique z comportant m variables de décision yi( ) soumises à n contraintes du type ≤ . Ainsi, le dual du programme de minimisation sera le programme de maximisation suivant :
Maximiser la fonction économique z b y b y b ym m= + + +1 1 2 2 lorsque les variables de décision sont soumises aux contraintes
a y a y a y c
a y a y a y cm m
m m
11 1 21 2 1 1
12 1 22 2 2
+ + + ≤+ + + ≤
22
1 1 2 2
a y a y a y cn n mn m n+ + + ≤
et yi ≥ 0 et cj ≥ 0.
• Appliquer l’algorithme du simplexe au problème de maximisation en utilisant les variables de décision xj( ) comme variables d’écart. Si l’algorithme du simplexe appliqué au problème de maximisation mène à une solution, alors, en vertu du principe de dualité, le minimum de la fonction w prendra la même valeur que le maximum de la fonction z. De plus, les valeurs des variables de décision xj( ) du problème de minimisation apparaîtront dans la dernière ligne (celle de la fonction économique) du tableau du simplexe final, dans les colonnes des variables d’écart du problème de maximisation.
20724