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Cours de mathématiques

BTS IRIS

T. Cuesta 1

1. [email protected]

ii

BTS IRIS Lycée Langevin-Wallon, académie de Créteil

TABLE DES MATIÈRES iii

Table des matières

1 Nombres complexes 11.1 L’ensemble C des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Définition et règles de calcul dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 La fonction arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Équations de type z2 = α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Équations de type az2 + bz + c = 0, a 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Calcul matriciel 152.1 Matrice à coefficients dans K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Somme de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Multiplication par un élément de K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Fonction d’une variable réelle, première partie 213.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Une idée intuitive de limite... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Limite en a, a ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.3 Limite en +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.4 Limite en −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.1 Limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.2 Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.3 Limite de l’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.4 Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.5 Comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.6 Limite d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Limites et asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.1 Asymptotes verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.2 Asymptotes horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.3 Asymptotes obliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Limites du formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Analyse combinatoire 354.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4 Triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

T. Cuesta Cours de mathématiques

iv TABLE DES MATIÈRES

4.5 Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Fonction d’une variable réelle, deuxième partie 395.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.1 Intégration des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3.2 Intégration des fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . 45

6 De nouvelles fonctions 476.1 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.1.1 Cosinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.1.2 Sinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.1.3 Tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.1.4 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2.1 Arc cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2.2 Arc sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2.3 Arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7 Équations différentielles 517.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.2 Équations linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.3 Équations linéaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8 Transformations complexes 598.1 Translation associée à z 7→ z + b, b ∈ C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.2 Réflexion associée à z 7→ z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.3 Rotation associée à z 7→ eiθz, θ ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.4 Homothétie associée à z 7→ ρz, ρ ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.5 Similitude associée à z 7→ az, a ∈ C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.6 Inversion complexe associée à z 7→ 1

z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.6.1 Image d’une droite passant par l’origine (privée de ce point) . . . . . . 628.6.2 Image d’un cercle passant par l’origine (privé de ce point) . . . . . . . 628.6.3 Image d’une droite ne passant pas par l’origine . . . . . . . . . . . . . . 63

8.7 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9 Développements limités 679.1 Développements limités en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10 Probabilités 7510.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10.1.1 Vocabulaire des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.1.2 Opérations sur les événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.1.3 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.2 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


TABLE DES MATIÈRES v

10.3 Variables aléatoires et lois de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.3.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.3.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.3.3 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.3.4 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8710.3.5 Loi normale (loi de Laplace-Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

11 Suites numériques 9511.1 Comportement global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9511.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9611.3 Suites définies par une relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

11.3.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9711.3.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9811.3.3 Suites définies par un+2 = aun+1 + bun . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

12 Séries 10512.1 Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

12.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.1.2 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10712.1.3 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10712.1.4 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11012.1.5 Séries absolument convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

12.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11112.2.1 Fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11112.2.2 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11112.2.3 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

13 Transformation de Laplace 12313.1 Intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12313.2 Transformée de Laplace d’une fonction causale . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

13.2.1 Calculs de transformées de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12513.2.2 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12913.2.3 Opérations sur la transformée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

13.3 Calcul opérationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

14 Transformation en Z 13914.1 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

14.1.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14114.1.2 Les fonctions cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14114.1.3 La fonction x 7→ (1 + x)α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

14.2 Transformation en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14214.2.1 Une transformation de Laplace pour un signal échantillonné? . . . . . 14214.2.2 Transformation en Z d’un signal causal discret . . . . . . . . . . . . . . 14314.2.3 Calculs de transformées en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14314.2.4 Opérations sur les signaux causaux discrets . . . . . . . . . . . . . . . . 14514.2.5 Opérations sur la transformée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

14.3 Application de la transformation en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14614.3.1 Recherche de l’original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14714.3.2 Calcul de (Z−1F )(n) pour n « petit » . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148


vi TABLE DES MATIÈRES

14.3.3 Équations récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

15 Modélisation géométrique 15315.1 Courbes paramétrées planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

15.1.1 Fonctions à valeurs dans C ou dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15315.1.2 Courbes paramétrées (paramétrisation cartésienne) . . . . . . . . . . . 15515.1.3 Courbe paramétrée (paramétrisation polaire) . . . . . . . . . . . . . . . 15615.1.4 Étude d’une courbe paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

15.2 Courbes de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15915.2.1 Une problème « historique »... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15915.2.2 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16015.2.3 Polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16115.2.4 Courbes de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

15.3 B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16715.3.1 Modèle de Riesenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16715.3.2 Modèle de Cox et De Boor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Bibliographie 173

Index 175


1

Chapitre 1

Nombres complexes

Nous supposerons que l’ensemble des nombres réels est suffisamment familier pour nepas en présenter quelques propriétés caractéristiques avant d’aborder l’ensemble des nombrescomplexes. On trouvera en annexe une idée de construction de l’ensemble des nombres réel 1.Certaines définitions de ce chapitre seraient des théorèmes si notre ambition était une construc-tion de l’ensemble des nombres complexes à partir de l’ensemble des nombres réels ; cependant,cette ambition ne serait pas conforme à l’esprit du programme 2.

1.1 L’ensemble C des nombres complexes

1.1.1 Définition et règles de calcul dans C

On sait que dans R, l’équation d’inconnue x : x2 = −1 n’a pas de solution. Fabriquer unesolution à cette équation, nécessite de sortir de l’ensemble des nombres réels, de fabriquer denouveaux nombres : les nombres complexes.

Définition et notation 1.1.1 (L’ensemble C des nombres complexes) Un nombre com-plexe est un nombre qui s’écrit : x + iy, avec x et y dans R. L’ensemble de tous les nombrescomplexes est noté C.

Définition 1.1.2 (Égalité de nombres complexes) Pour tout x, tout y, tout x′ et tout y′

dans R :x+ iy = x′ + iy′ si et seulement si x = x′ et y = y′.

Règles de calcul

On a dans C les règles de calcul suivantes, quels que soient les nombres réels x, y, x′ et y′ :

(x + iy) + (x′ + iy′) = (x+ x′) + i(y + y′) (addition) ;(x + iy)(x′ + iy′) = xx′ − yy′ + i(xy′ + x′y) (multiplication).

1. On trouve une construction de l’ensemble des nombres réels dans [Ramis et al., 1998], ouvrage destinéaux étudiants des classes préparatoires scientifiques. Pour une construction de l’ensemble des nombres com-plexes, à partir de l’ensemble des nombres réels, on consultera [Ramis et al., 1993], [Zisman et Liret, 1983]ou [Cuesta, 2004], ouvrages pour un public scientifique (université, classes préparatoires).

2. Citons, parmi les nombreux ouvrages destinés au étudiants des sections de techniciens supérieurs,[Egon et Porée, 1993b], [Verlant et Saint-Pierre, 2002a] et [Taquet et al., 2002a] qui traitent très bienle sujet des nombres complexes.


2 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES

On utilise souvent une seule lettre : z, pour désigner un nombre complexe. On remarquera lespropriétés de commutativité, d’associativité de l’addition et de la multiplication dans C, ainsique la distributivité de la multiplication sur l’addition. Autrement dit, pour tout z, tout z ′ ettout z′′ dans C, on a :

z + z′ = z′ + z et zz′ = z′z (commutativité)z + (z′ + z′′) = (z + z′) + z′′ et z(z′z′′) = (zz′)z′′ (associativité)

z(z′ + z′′) = zz′ + zz′′ (distributivité de la multiplication sur l’addition)

On remarquera que, comme pour la multiplication dans R, le symbole de multiplication ×n’apparaît pas nécessairement.

Définition 1.1.3 (Somme) Soient z et z′ des nombres complexes. On appelle somme desnombres z et z′ le nombre complexe z + z′.

Définition 1.1.4 (Produit) Soient z et z′ des nombres complexes. On appelle produit desnombres z et z′ le nombre complexe zz′.

Définition 1.1.5 (Élément neutre de l’addition) On dit que le nombre complexe z0 estélément neutre pour la somme lorsque pour tout z dans C, on a : z0 + z = z.

Définition 1.1.6 (Élément neutre de la multiplication) On dit que le nombre complexez1 est élément neutre pour le produit lorsque pour tout z dans C, on a : z1z = z.

Théorème 1.1.1 Il existe un unique élément neutre pour la somme et cet élément neutre est :0 + i0 ; il existe un unique élément neutre pour le produit et cet élément neutre est : 1 + i0.

Démonstration 1.1.1 En utilisant les règles de calcul décrites plus haut, on vérifie facilement que 0 + i0

est un élément neutre pour l’addition et que 1 + i0 est un élément neutre pour la multiplication. Pourterminer la démonstration, il faut montrer que ces éléments neutres sont uniques. Supposons que z0 et z′0soient des éléments neutres de l’addition. Alors, on a : z0 + z′0 = z′0 car z0 est élément neutre. Mais ona aussi : z0 + z′0 = z0 puisque z′0 est élément neutre. D’où z0 = z′0. L’unicité de l’élément neutre de lamultiplication se démontre de même.

Simplifications d’écriture

On retrouve donc dans C les notations usuelles adoptées dans R pour le produit et lasomme. L’utilisation des exposants sera donc étendue aux éléments de C pour obtenir desexpressions de produits simplifiées.On utilise également les notations simplifiées suivantes :

x au lieu de x + i0

iy au lieu de 0 + iy

i au lieu de 0 + i1

2i plutôt que i2, mais i√

2

−iy plutôt que i(−y)En utilisant les règles de calcul et les simplifications d’écriture, on énonce le théorème suivant :

Théorème 1.1.2 i et −i sont les deux solutions, dans C, de l’équation (d’inconnue z) :

z2 = −1.


1.1. L’ENSEMBLE C DES NOMBRES COMPLEXES 3

Démonstration 1.1.2 Posons z = x+ iy avec x et y réels. Alors,

z2 = −1 ⇐⇒ x2 − y2 + 2ixy = −1 ⇐⇒

x2 − y2 = −1

2xy = 0

⇐⇒

x2 = −1 ← (égalité fausse pour tout x ∈ R)

y = 0

ou

−y2 = −1

x = 0

⇐⇒

y2 = 1

x = 0⇐⇒

x = 0

y = 1

ou

x = 0

y = −1

Définition 1.1.7 (Opposés) Les nombres complexes z et z ′ sont dits opposés lorsque z+z′ =0.

Définition 1.1.8 (Inverses) Les nombres complexes z et z ′ sont dits inverses lorsque zz′ =1.

0 n’a pas d’inverse car 0z = 0 6= 1, quel que soit le nombre complexe z. On vérifiera la validitédes deux théorèmes suivants :

Théorème 1.1.3 Quel que soit le nombre complexe z, il existe un unique nombre complexenoté −z, tel que z et −z sont opposés. −z est appelé l’opposé de z, et si z = x+ iy, avec x ∈ Ret y ∈ R, alors −z = −x− iy.

Théorème 1.1.4 Quel que soit le nombre complexe z différent de 0, il existe un unique nombrecomplexe noté 1

zou encore z−1, tel que z et 1

zsont inverses. 1

zest appelé l’inverse de z, et si

z = x + iy, avec x ∈ R et y ∈ R, alors 1z

= xx2+y2

− i yx2+y2

.

La soustraction et la division sont définies sur C comme sur R :

soustraire z, c’est additionner l’opposé de z

diviser 3 par z, c’est multiplier par l’inverse de z.

Notation 1.1.9 (C∗) L’ensemble des nombres complexes possédant un inverse se note C∗.C∗ = C r 0.

Forme algébrique

Définition 1.1.10 (Forme algébrique) Soit z ∈ C. On dit que x + iy est la 4 forme algé-brique de z si z = x + iy, x ∈ R et y ∈ R.

Exemple 1 + i est la forme algébrique d’un élément de C.

3. “z divisé par z′” s’écrit zz′

ou zz′−1.4. On rappelle l’unicité de la forme algébrique (voir la définition 1.1.2).



Exemple 1 + (1 + i) n’est pas une forme algébrique, car ce n’est pas de la forme « x + iy »,avec x ∈ R et y ∈ R.

Définition et notation 1.1.11 (Partie réelle) Si x+ iy est la forme algébrique de nombrecomplexe z, alors le nombre réel x est la partie réelle du nombre complexe z et on écrit :x = Re(z).

Définition et notation 1.1.12 (Partie imaginaire) Si x + iy est la forme algébrique denombre complexe z, alors le nombre réel y est la partie imaginaire du nombre complexe z eton écrit : y = Im(z).

Définition 1.1.13 (Réel) On dit que le nombre complexe z est réel lorsque Im(z) = 0.

Définition 1.1.14 (Imaginaire) On dit que le nombre complexe z est imaginaire 5 lorsqueRe(z) = 0.

Conjugué

Définition et notation 1.1.15 (Conjugué) Soit x+iy la forme algébrique du nombre com-plexe z. On appelle conjugué de z le nombre x − iy. Le conjugué de z se note z. On dit queles nombres complexes z et z′ sont conjugués lorsque z′ = z.

Exercice 1 Montrer que 6 :

1. Pour tout z et tout z′ dans C : z = z′ ⇐⇒ z′ = z.

2. Pour tout z ∈ C, ¯z = z.

3. Si x+ iy est la forme algébrique de z, alors zz = x2 + y2.

Exercice 2 Montrer que Re(z) =z + z

2et Im(z) =

z − z2i

.

Affixe

Considérons le plan muni du repère orthonormé (O,−→u ,−→v ). Tout point du plan possèdealors des coordonnées, et tout vecteur se décompose dans la base (−→u ,−→v ).

Définition 1.1.16 (Affixe d’un point) On dit que le point M , de coordonnées (x, y), a pouraffixe le nombre complexe z lorsque z = x + iy.

On peut donc établir une bijection entre l’ensemble des nombres complexes et l’ensemble despoints du plan, dès que le plan est muni d’un repère. Le point d’affixe z est l’image de z parcette bijection. Ceci permet de représenter les nombres complexes à l’aide de points, de « faireun dessin ».

Définition 1.1.17 (Affixe d’un vecteur) Considérons le vecteur −→w tel que −→w = x−→u +y−→v .Le nombre complexe z = x + iy est alors l’affixe de −→w .

5. On emploie parfois le terme : imaginaire pur.6. « ⇐⇒ » signifie : « si et seulement si ». C’est le symbole de l’équivalence. « ⇒ » signifie : « implique »

ou « a pour conséquence ».



Forme trigonométrique

Définition et notation 1.1.18 (Module) Soit x + iy la forme algébrique du nombre com-plexe z. Le nombre réel positif

√

x2 + y2 est alors le module du nombre complexe z. |z| désignele module de z.

D’après l’exercice 1, pour tout z dans C, on a :

zz = |z|2.

Exercice 3 Rédiger les démonstrations de :1. z = 0 ⇐⇒ |z| = 0

2. (∀z ∈ C∗)

∣

∣

∣

∣

1

z

∣

∣

∣

∣

=1

|z|3. (∀z ∈ C∗)

1

z=

z

|z|24. (∀(z, z′) ∈ C2) |zz′| = |z||z′|5. (∀z ∈ C, ∀z′ ∈ C∗)

∣

∣

∣

z

z′

∣

∣

∣=|z||z′|

La notation employée pour le module d’un nombre complexe est identique à celle employéepour la valeur absolue d’un nombre réel. Ceci est parfaitement légitime car pour tout x réel,vu comme nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle, le calcul du module est :√x2 + 02 =

√x2 , ce qui est bien égal à la valeur absolue de x. Le module est un prolongement

à C de la notion de valeur absolue.

Théorème 1.1.5 (Inégalité triangulaire)

(∀z ∈ C)(∀z′ ∈ C) |z + z′| 6 |z|+ |z′|

Démonstration 1.1.5 Si z ′ = 0 alors l’inégalité est triviale.Supposons z′ 6= 0. Notons x+ iy la forme algébrique de z et x′ + iy′ celle de z′. Alors, pour tout λ ∈ Ret tout z ∈ C, l’expression : (x′2 + y′2)λ2 + 2(xx′ + yy′)λ + x2 + y2 est un trinôme du second degré enλ. Or, ce trinôme est égal à |z + λz ′|2 ; il est donc, pour tout

λ ∈ R supérieur ou égal à 0. Par conséquent, son discriminant est inférieur ou égal à 0. Ceci s’écrit :4(xx′ + yy)2 − 4(x2 + y2)(x′2 + y′2) 6 0, ou bien encore : (xx′ + yy′)2 6 (x2 + y2)(x′2 + y′2).On en déduit :

|z + z′|2 = x2 + y2 + 2(xx′ + yy′) + x′2 + y′2

6 x2 + y2 + 2√

x2 + y2√

x′2 + y′2 + x′2 + y′2

= (|z| + |z′|)2

D’où |z + z′| 6 |z|+ |z′|.

On remarque 7 que |z| = OM = ‖−→w ‖, lorsque M et −→w ont pour affixe z.Si |z| = 1, alors le point M d’affixe z est un point du cercle de centre l’origine et de rayon

1 : le cercle trigonométrique. Dans ce cas, si t est une mesure en radians de(−→u ,−−−→OM

)

, les

coordonnées de M sont (cos t, sin t). Notons que pour tout z ∈ C∗, z|z| est de module 1.

7. On rappelle que ‖−→w ‖ est la norme de −→w .



Définition et notation 1.1.19 (Argument) Soit z un nombre complexe différent de 0.Tout nombre réel t tel que z

|z| = cos t + i sin t est un argument de z. La notation usuelle

du nombre complexe cos t + i sin t est : eit (lire : “exponentielle i t”).

Un nombre complexe est donc entièrement déterminé par son module et un de ses arguments.Si z a pour module r et pour argument t, alors Re(z) = r cos t et Im(z) = r sin t.

Définition et notation 1.1.20 (Argument principal) Soit z un nombre complexe non nul.On note 8 arg(z) l’unique argument de z appartenant à ]−π, π]. arg(z) est l’argument principalde z.

Les calculatrices modernes et chères donnent l’argument principal pour argument d’un nombrecomplexe.

Définition 1.1.21 (Forme trigonométrique) Soit z un nombre complexe non nul de mo-dule r et d’argument t. On a : z = reit. On dit alors que reit est la forme trigonométrique dez.

Exercice 4 Montrer que :(∀r ∈]0,+∞[) (∀r′ ∈]0, +∞[) (∀t ∈ R)(∀t′ ∈ R)reit = r′eit

′ ⇐⇒ (r = r′ et (∃k ∈ Z) t = t′ + 2πk)

Exercice 5 Soit (α, β) ∈ R2. On rappelle les formules trigonométriques suivantes :

cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β

sin(α + β) = cosα sin β + sinα cos β

Les formes trigonométriques respectives des nombres z et z ′ étant reit et r′eit′

, montrer que :1. z = re−it

2. 1z

= 1re−it

3. zz′ = rr′ei(t+t′)

4. zz′

= rr′ei(t−t

′)

Deux conséquences des résultats de l’exercice 5 sont les formules de Moivre et d’Euler.

Formule de Moivre

(∀θ ∈ R)(∀n ∈ Z) (cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ

Ce qui s’écrit, en utilisant la notation exponentielle :

(∀θ ∈ R)(∀n ∈ Z)(

eiθ)n

= einθ

Démonstration 1.1.5 (La démonstration par récurrence n’est pas au programme). On se ramène au casn > 0, car si n < 0, alors n = −m, avec m ∈ N, et 9

(

eiθ)n

=(

eiθ)−m

=(

ei(−θ))m

. Montrons donc, parrécurrence sur l’entier naturel n, la validité de la formule de Moivre.Pour n = 0, comme z0 = 1 quel que soit z ∈ C, cos 0 = 1 et sin 0 = 0, la formule de Moivre est vérifiée.Supposons l’égalité

(

eiθ)n

= einθ vraie.

8. arg(z) est parfois noté Arg(z).9. Le résultat 1

eit = e−it est utilisé ici.



Montrons qu’alors(

eiθ)n+1

= ei(n+1)θ est vraie.

Par définition :(

eiθ)n+1

=(

eiθ)neiθ.

D’où, en utilisant l’hypothèse de récurrence :

(

eiθ)n+1

= einθeiθ = (cosnθ + i sinnθ)(cos θ + i sin θ)

= cosnθ cos θ − sinnθ sin θ + i(sinnθ cos θ + cosnθ sin θ)

= cos(nθ + θ) + i sin(nθ + θ)

= cos((n+ 1)θ) + i sin((n+ 1)θ) = ei(n+1)θ

Si la formule est vraie pour l’entier n, elle l’est pour n+ 1, donc pour tout n ∈ N.

Formules d’Euler

(∀θ ∈ R)

cos θ =eiθ + e−iθ

2

sin θ =eiθ − e−iθ

2i

Exemple d’utilisation des formules de Moivre et d’Euler

Calculer∫ π

2

0cos3 t dt commence 10 par la recherche d’un primitive de t 7→ cos3 t. Il faut donc

nous débarrasser des produits, des exposants ; c’est ce qu’on appelle : linéariser cos3 t. Pour cefaire, utilisons la formule d’Euler : cos t = eit+e−it

2. Comme (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3, on

obtient :

cos3 t =1

8(eit + e−it)3

=1

8((eit)3 + 3(eit)2e−it + 3eit(e−it)2 + (e−it)3)

En utilisant les formules de Moivre, puis d’Euler, on obtient :

(eit)3 + 3(eit)2e−it + 3eit(e−it)2 + (e−it)3 = e3it + 3e2ite−it + 3eite−2it + e−3it

= e3it + 3eit + 3e−it + e−3it

= 2

(

e3it + e−3it

2

)

+ 6

(

eit + e−it

2

)

= 2 cos 3t+ 6 cos t

10. Le point de vue envisagé ici n’est pas celui d’un utilisateur de ces fameuses calculatrices “magiques” quiaffichent un résultat qu’on ne comprend pas...



D’où :∫ π

2

0

cos3 t dt =

∫ π2

0

1

4cos 3t+

3

4cos t dt

=

[

1

12sin 3t +

3

4sin t

]π2

0

=1

12sin

3π

2+

3

4sin

π

2− 0

= − 1

12+

3

4

=2

3

Exercice 6 Calculer en utilisant les formules d’Euler et de Moivre :∫ π

0

sin2 t cos t dt

puis, rechercher une primitive de t 7→ sin2 t cos t pour vérifier le résultat obtenu.

1.1.2 La fonction arc tangente

La fonction arc tangente est souvent utilisée, en physique appliquée, pour déterminer unargument d’un nombre complexe. Soit z un nombre complexe non nul, et soit t un argumentde z. On sait que Re(z) = |z| cos t et Im(z) = |z| sin t. Si t 6= π

2+ kπ, pour tout k dans Z,

alors :

tan t =sin t

cos t=

Im(z)

Re(z).

Il faut alors être prudent car la touche tan−1 de la calculatrice ne permet pas toujours dedéterminer une valeur convenable de t lorsque l’on dispose de la partie réelle et de la partieimaginaire de z. La figure ci-dessous rappelle que des points M et M ′ diamétralement opposéssur le cercle trigonométrique ont des affixes respectives z et z ′ vérifiant z′ = −z ; et si t estun argument de z et t′ un argument de z′, on a : tan t = tan t′, alors même que t′ ne peut êtreun argument de z. Cependant, lorsque Re(z) > 0, et uniquement dans ce cas, la fonction arc

Fig. 1.1 – Cercle trigonométrique, axe des tangentes

M

M ′

tan t = tan t′

t

t′

tangente permet d’obtenir un argument de z, puisque alors arctan(

Im(z)Re(z)

)

est un argument dez.



La fonction arc tangente, notée arctan, est définie de la manière suivante :pour tout nombre réel x, on note arctanx l’unique solution dans

]

−π2, π

2

[

de l’équation d’in-connue t : tan t = x.La représentation graphique de la fonction

arctan : R→]

−π2,π

2

[

est donnée ci-dessous. Comme limx→−∞

arctan(x) = −π2

et limx→+∞

arctan(x) = π2, les deux asymp-

totes d’équations respectives y = π2

et y = −π2

sont également représentées. On retiendra que,

pour tout x dans R : arctan′(x) =1

1 + x2.

Fig. 1.2 – Courbe de la fonction arc tangente

1

π/4y = π/2

y = −π/2

Exercice 7 BTS Génie Optique, session 1997, exercice 3

On désigne par j le nombre complexe de module 1 et d’argument π2.

On considère un circuit électronique dont la fonction de transfert T est définie sur ]0, +∞[par :

T (ω) =jω

1 + jω.

En associant en cascade deux circuits identiques au précédent, on obtient un montage dont lafonction de transfert H est définie par :

H(ω) = T (ω)× T (ω) =−ω2

(1 + jω)2.

1. Étude du module de H(ω)

(a) Calculer le module de H(ω).(b) Soit r la fonction définie sur ]0, +∞[ par

r(ω) =ω2

1 + ω2.

Étudier les variations de r. Déterminer les limites de r en 0 et en +∞. Dresser letableau de variation de r.

2. Étude de l’argument de H(ω)On pose ω = tan θ, où θ ∈

]

0, π2

[

.

(a) Montrer que 1 + jω =1

cos θejθ.



(b) En déduire que H(ω) = r(ω)ej(π−2θ).

(c) Expliciter cette forme trigonométrique lorsque ω = 1, ω =√

3 et ω =√

33

.(d) Soit ϕ la fonction définie sur ]0, +∞[ par ϕ(ω) = π − 2 arctanω.

Étudier les variations de ϕ. Déterminer les limites de ϕ en 0 et en +∞. Dresser letableau de variation de ϕ.

3. Lorsque ω décrit l’intervalle ]0, +∞[, le point d’affixe H(ω) = r(ω)ejϕ(ω), où r et ϕ sontles fonctions rencontrées précédemment, décrit une courbe appelée « lieu de transfertdu filtre ». On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal d’unitégraphique 8 cm.

(a) Construire les images de H(1), H(√

3) et H(√

33

)

.

(b) À partir des variations de r et de ϕ et des points préalablement placés, donnerl’allure du lieu de transfert.

1.2 Équations du second degré

1.2.1 Équations de type z2 = α

Nous savons que dans R, une équation de type : x2 = a, n’a pas de solution quand lenombre réel a est strictement négatif. La construction de C a permis d’obtenir une solutionpour l’équation x2 = −1. Ceci a pour conséquence la proposition suivante :

Proposition 1.2.1 Pour tout nombre réel a, l’équation d’inconnue z : z2 = a, a pour ensembledes solutions dans C :

1.

i√

|a| , − i√

|a|

, si a < 0 ;

2. √a , −√a , si a > 0 ;3. 0, si a = 0.

Démonstration 1.2.1 La démonstration est laissée en exercice.

Proposition 1.2.2 Soit α un nombre complexe différent 11 de 0.L’équation d’inconnue z : z2 = α, admet dans C deux solutions distinctes.

Démonstration 1.2.2 0 n’est pas solution de l’équation. Soit z ∈ C∗. Considérons les formes trigonomé-triques de α et de z : ρeiθ = α et reit = z. Alors, on a :

z2 = α ⇐⇒(

reit)2

= ρeiθ ⇐⇒ r2e2it = ρeiθ

Or, cette dernière égalité équivaut à : r2 = ρ et 2t = θ + 2πk, pour un certain k dans Z. On en déduit :r =

√ρ et t = θ

2 + kπ. Les solutions de l’équation z2 = α sont donc les nombres dont la forme

trigonométrique est :√ρ ei(

θ2+kπ).

Or, ei(θ2+kπ) = ei

θ2 , si k est pair, et ei(

θ2+kπ) = ei(

θ2+π) = −ei θ

2 , si k est impair. D’où, les solutions dez2 = α sont

√ρ ei

θ2 et −√ρ ei θ

2 .

Pour a ∈ R+,√a désigne “le nombre positif dont le carré vaut a”. Pour α quelconque dans

C, il est moins aisé de donner une définition de la notation√α. On pourrait, par exemple,

décider que√α est le nombre complexe ayant un argument dans [0,π[, et dont le carré vaut

11. Notons que le cas α = 0 a déjà été envisagé dans la proposition 1.2.1.


1.2. ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ 11

α. Mais, comme une telle définition ne se rencontre pas dans les livres de mathématiques,nous éviterons de parler de la racine carrée de α, d’écrire

√α, lorsqu’α n’est pas un nombre

réel positif. On pourrait cependant employer l’expression : « les racines carrées de α » pourdésigner les nombres complexes dont le carré est α.

Pour toute équation de type z2 = α, lorsque que la forme trigonométrique de α n’estpas donnée, il est judicieux de poser le problème de la recherche des solutions de la manièresuivante :Soit a+ ib la forme algébrique de α ;

1. On pose z = x + iy afin de déterminer les valeurs réelles x et y telles que z2 = α ;2. L’équation z2 = α s’écrit alors : x2 − y2 + 2ixy = a + ib et est équivalente au système :

x2 − y2 = a

2xy = b;

3. Si z2 = α alors |z|2 = |α| et donc : x2 + y2 =√a2 + b2 ;

4. On résout le système :

x2 − y2 = a

x2 + y2 =√a2 + b2

;

5. Les nombres x et y solutions de ce dernier système et dont le produit xy est de mêmesigne que b sont les nombres cherchés.

Exercice 8 Résoudre dans C l’équation (d’inconnue z) : z2 = −21 + 20i.

1.2.2 Équations de type az2 + bz + c = 0, a 6= 0

Définition 1.2.1 (Trinôme du second degré) Soient b et c dans C, et a dans C∗. az2 +bz + c est un trinôme du second degré en z.

Définition et notation 1.2.2 (Discriminant) Soient b et c dans C, et a dans C∗. Le dis-criminant du trinôme az2 + bz + c, se note ∆ et vaut : b2 − 4ac.

Théorème 1.2.3 Soient b et c des nombres complexes quelconques, et a un nombre complexedifférent de 0. Soit ∆ le discriminant du trinôme az2 + bz + c. Soit δ dans C tel que δ2 = ∆.

Alors, les solutions dans C de l’équation du second degré az2 + bz + c = 0 sont :−b + δ

2aet

−b− δ2a

.

Démonstration 1.2.3

az2 + bz + c = a

(

z2 +b

az +

c

a

)

= a

[

(

z +b

2a

)2

− b2

4a2+c

a

]

= a

[

(

z +b

2a

)2

− b2 − 4ac

4a2

]

= a

[

(

z +b

2a

)2

−(

δ

2a

)2]

= a

(

z +b

2a+

δ

2a

)(

z +b

2a− δ

2a

)

= a

(

z − −b− δ2a

)(

z − −b+ δ

2a

)

D’où, az2 + bz + c = 0 ⇐⇒

z = −b+δ2a

ouz = −b−δ

2a



Définition 1.2.3 (Racines) On considère le trinôme az2 +bz+c. Les solutions de l’équationaz2 + bz + c = 0 s’appellent les racines du trinôme az2 + bz + c.

Définition 1.2.4 (Racines simples) On considère le trinôme az2 +bz+c. Lorsque les solu-tions de l’équation az2+bz+c = 0 sont distinctes, on les appelle les racines simples du trinômeaz2 + bz + c.

Définition 1.2.5 (Racine double) On considère le trinôme az2 + bz+ c. Lorsque l’équationaz2 + bz + c = 0 admet une unique solution, cette solution est la racine double du trinômeaz2 + bz + c.

On retiendra les résultats de l’exercice suivant.

Exercice 9 Soit P (z) = az2 + bz+ c un trinôme du second degré en z. Montrer que la sommedes racines de P (z) vaut − b

a; montrer que le produit des racines de P (z) vaut c

a.

Exercice 10 Montrer que si les coefficients a, b et c sont réels, et si le discriminant du trinômeaz2+bz+c est un nombre réel strictement négatif, alors les solutions de l’équation az2+bz+c =0 sont des nombres complexes conjugués.

Exercice 11 BTS Productique textile, session 1991, exercice 1 (modifié)

On considère le polynôme défini dans C par :

P (z) = z3 − 7z2 + 19z − 13.

1. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout z ∈ C :

P (z) = (z − 1)(az2 + bz + c).

2. Résoudre dans C l’équation P (z) = 0.3. Dans un repère orthonormal, placer les points A, B et C, images des solutions de l’équa-

tion P (z) = 0.Calculer les longueurs AB, AC et BC. En déduire la nature du triangle ABC.

Exercice 12 BTS Conception de produits industriels, session 1996, exercice 1

Dans C, on considère l’équation (E) d’inconnue z :

z2 − (√

3 + i)z + 1 = 0.

(Le nombre i est le nombre complexe dont le module est égal à 1 et dont un argument est égalà π

2). Cette équation possède deux racines 12 complexes.1. (a) Sans calculer les racines de (E), donner la valeur de leur produit.

(b) Déduire de la question précédente une relation entre les arguments des deux racinesde (E).

2. (a) Vérifier que le discriminant de l’équation (E) est égal à (1 + i√

3)2.(b) Déterminer les racines z1 et z2 de l’équation (E) ; on notera z1 la racine dont la

partie imaginaire est positive.

12. La rédaction du sujet laissera perplexe le lecteur distinguant « racine » de « solution », car en principe,on utilise le mot racine pour les racines d’un trinôme (d’un polynôme), tandis que le mot solution est employépour une équation.


1.2. ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ 13

3. Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O,−→u ,−→v ) d’unité graphique 4 cm. L’axedes abscisses est noté (Ox) et celui des ordonnées (Oy). On appelle M1, M2 et I les pointsd’affixes respectives z1, z2 et i.

(a) Montrer que le point M1 est un point de la droite d’équation y = x.(b) Montrer que les points M1 et M2 appartiennent au cercle de centre I et de rayon√

2.(c) Construire le point M1 puis, en utilisant la question 1, construire le point M2.

Exercice 13 BTS Génie Optique : option photonique industrielle, session 1998,exercice 3 (extrait)

On note j le nombre complexe de module 1, dont un argument est π2.

Partie A

1. Déterminer les réels a et b tels que (a+ jb)2 = −9 + 12j.2. Déterminer, sous forme algébrique, les solutions de l’équation :

z2 − (2 + 3j)z + 1 = 0.

Calculer leur module. En donner une approximation décimale à 10−1 près.

Exercice 14 BTS Industries Graphiques : Productique Graphique, session 1997,exercice 1

Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère le polynôme :

P (z) = z2 −(

3

2+ i

)

z +1

2+ i.

a) Calculer P (1).b) Résoudre dans C l’équation P (z) = 0.c) On appelle z1 et z2 les deux solutions de cette équation (z1 est la solution réelle).

Placer dans le plan, muni d’un repère orthonormal (O,−→u ,−→v ), le point M1(z1) et le pointM2(z2).

d) Déterminer une équation des droites (OM2) et (M1M2).e) Calculer l’aire du triangle OM2M1.


15

Chapitre 2

Calcul matriciel

K désigne un des ensembles N, Z, D, Q, R ou C.

2.1 Matrice à coefficients dans K

Une introduction possible 1 à la notion de matrice est d’indiquer qu’une matrice à coeffi-cients dans A, A étant un ensemble, est une application de I × J dans A, I et J étant desensembles finis non vides...

Une telle définition peut avoir une justification quand on goûte aux délices de l’abstraction.Pour ce qui nous concerne, une définition plus simple suffira amplement pour réaliser les deuxopérations : somme et produit, qui figurent au programme.

Définition 2.1.1 (Matrice à coefficients dans K) Une matrice à coefficients dans K estun tableau (rectangulaire ou carré) d’éléments de K.

Exemples :

M =

(

1 2 30 −1 0

)

et N =

(

16

)

sont des matrices à coefficients dans Z.

A =(√

2 −13

)

et B =

−1√

30 00 π

sont des matrices à coefficients dans R.

Comme on le constate dans les exemples ci-dessus, on écrit les matrices entre parenthèses.

Signalons que la notation entre crochets est parfois employée. Exemple :

[

0 12 3

]

.

Pour déterminer la place d’un coefficient dans une matrice, on le repère en donnant son

numéro de ligne et son numéro de colonne. Dans la matrice M =

(

1 2 30 −1 0

)

, le coefficient

2 se trouve à la première ligne et deuxième colonne.

1 2 3 ← ligne 10 −1 0

↑col. 2

1. Voir [Ramis et al., 1993] ou [Cuesta, 2004].


16 CHAPITRE 2. CALCUL MATRICIEL

On compte les lignes du haut vers le bas et les colonnes de la gauche vers la droite.

Exercice 15 Écrire la matrice M à coefficients dans C décrite ci-dessous.

Coefficient 1/3 i√

2 0 −1 6 1 + iLigne 1 1 2 2 3 3

Colonne 1 2 1 2 1 2

Définition et notation 2.1.2 (Matrice m× n) Soit M une matrice à coefficients dans K.Soient m et n des nombres entiers naturels différents de 0. On dit que M est une matrice detype m× n lorsque M a m lignes et n colonnes.

Il est usuel de noter les coefficients d’une matrice à l’aide d’un double indice indiquant lenuméro de ligne et le numéro de colonne (dans cet ordre). Pour une matrice M à m lignes etn colonnes, on écrit :

M =

a1 1 a1 2 · · · a1n

a2 1 a2 2 · · · a2n...

......

am 1 am 2 · · · amn

= (ai j) 1≤i≤m1≤j≤n

et on dit que M est la matrice des coefficients ai j.

Notations 2.1.3 L’ensemble des matrices de type m × n à coefficients dans K sera notéM(m,n)(K). Lorsque m = n, l’ensemble des matrices carrées n× n sera noté Mn(K).

Définition 2.1.4 (Matrice ligne) On appelle matrice (ou vecteur) ligne une matrice de type1× n.

Définition 2.1.5 (Matrice colonne) On appelle matrice (ou vecteur) colonne une matricede type m× 1.

2.2 Somme de matrices

La somme de deux matrices ne peut être réalisée que lorsque ces matrices sont de mêmetype ; c’est à dire : quand les deux matrices ont le même nombre de lignes et aussi le mêmenombre de colonnes.

Définition 2.2.1 (Somme de deux matrices) Soient A et B des éléments deM(m,n)(K).Les coefficients de A sont notée ai j, ceux de B sont notés bi j, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

La somme des matrice A et B : A + B, est un élément de M(m,n)(K). Le coefficient mi j

de A +B se trouvant à la ligne i et à la colonne j, vérifie :

mi j = ai j + bi j.

Exercice 16 A =

(

1 −2 32 0 5

)

B =

(

−1 3 50 0 −2

)

. Calculer la somme des matrices A et

B.


2.3. MULTIPLICATION PAR UN ÉLÉMENT DE K 17

Notations 2.2.2 Soit A = (ai j) 1≤i≤m1≤j≤n

un élément de M(m,n)(K), K 6= N. On note −A la

matrice appartenant à M(m,n)(K) dont le coefficient situé en ligne i et colonne j, est −ai j,pour tout i dans N ∩ [1, m] et tout j dans N ∩ [1, n].

Pour tout B dans M(m,n)(K), B + (−A) se note B − A.

On remarquera que −(−A) = A.

Définition et notation 2.2.3 (Matrice nulle) La matrice deM(m,n)(K) dont tous les co-efficients sont égaux à zéro est appelé : matrice nulle de M(m,n)(K) (ou tout simplement :matrice nulle). Cette matrice sera notée N dans ce cours.

Une conséquence évidente des définitions ci-dessus est :

Proposition 2.2.1 Soit A dans M(m,n)(K), K 6= N. Il existe un unique élément B deM(m,n)(K) tel que A +B = N. Cet élément B est appelé : opposé de A, et vérifie B = −A.

Proposition 2.2.2 Soient A, B et C des éléments quelconques de M(m,n)(K). On alors leségalités suivantes :

* A+B = B + A (commutativité de la somme)

* A+ N = A (N est l’élément neutre de la somme)

* A+ (B + C) = (A+B) + C (associativité de la somme)

Tout se passe donc comme pour la somme des nombres dans C.

2.3 Multiplication par un élément de K

Soit A un élément de M(m,n)(K). D’après la section précédente, si l’on veut noter 2A lasomme de la matrice A avec elle-même, alors il faut que la multiplication de A par 2 corres-ponde à la multiplication par 2 de tous les coefficients de A. Si l’on adopte cette convention,alors on a : 3A = A + A + A, 4A = A + A + A + A, etc. Toute définition sensée du produitd’une matrice par un nombre doit répondre à l’exigence que la matrice 2A doit être égale àA+ A. On a donc :

Définition 2.3.1 (λA, λ ∈ K, A ∈ M(m,n)(K)) Soit λ un élément de K et soit A = (ai j) 1≤i≤m1≤j≤n

une matrice de M(m,n)(K). λA est alors la matrice de M(m,n)(K) dont le coefficient se trou-vant en ligne i et colonne j est λai j, pour tout i dans N ∩ [1, m] et tout j dans N ∩ [1, n].

On vérifie facilement la proposition suivante :

Proposition 2.3.1 Pour tout λ et tout µ dans K, pour tout A et tout B dans M(m,n)(K) :

* (λ+ µ)A = λA+ µA

* (λµ)A = λ(µA)

* λ(A+B) = λA+ λB

* 1A = A

* λN = N

* 0A = N



2.4 Produit de matrices

Comme pour la somme, le produit de deux matrices ne peut être défini que si ces matricesont une certaine “taille”. On rappelle que la somme n’est définie que pour des matrices appar-tenant au même ensembleM(m,n)(K). Pour le produit, ce critère n’est pas valable. Le produitde la matrice A avec la matrice B : AB, n’est défini que si le nombre de colonnes de A est égalau nombre de lignes de B.

Définition 2.4.1 (Produit de deux matrices) Soit A un élément deM(m, p)(K), et soit Bun élément deM(p,n)(K). Le produit AB des matrices A et B est une matrice de M(m,n)(K).Si on pose A = (ai j) 1≤i≤m

1≤j≤p, B = (bi j) 1≤i≤p

1≤j≤n, et AB = (mi j) 1≤i≤m

1≤j≤n, alors on a 2, pour tout i dans

N ∩ [1, m] et tout j dans N ∩ [1, n] :

mi j =

p∑

k=1

ai kbk j.

Exemple : A =

(

1 1 30 −1 4

)

et B =

−210

. Le produit AB est défini, alors que le produit

BA ne l’est pas. Comme A a deux lignes et B a une colonne, la matrice AB a deux lignes etune colonne.Description de la matriceAB :

– le coefficient en première ligne, première colonne est obtenu en multipliant les coefficientsde la première ligne de A avec les coefficients correspondants de la première colonne deB, et en faisant la somme de ces produits :

1 1 3 +

0

1

−2

×

- 1× (−2) + 1× 1 + 3× 0 = −1

– le coefficient en deuxième ligne, première colonne est obtenu en multipliant les coefficientsde la deuxième ligne de A avec les coefficients correspondants de la première colonne deB, et en faisant la somme de ces produits :

0 −1 4 +

0

1

−2

×

- 0× (−2) + (−1)× 1 + 4× 0 = −1

On a donc : AB =

(

−1−1

)

.

Exercice 17 Calculer le produit des matrices.

−1 1 02 1 −32 −1 −20 −3 0

0 1−3 22 1

2.∑

est la notation usuelle de la somme.∑n

p=0 up = u0 + u1 + · · ·+ un−1 + un.


2.4. PRODUIT DE MATRICES 19

La multiplication des matrices possède, par rapport à l’addition, la propriété de distributivitéénoncée dans la proposition suivante :

Proposition 2.4.1 Pour A dans M(m, p)(K), B et C dans M(p, n)(K), on a :

A(B + C) = AB + AC.

Proposition 2.4.2 La multiplication des matrices est associative. Si A, B et C sont desmatrices telles que les produit AB et BC sont définis, alors :

A(BC) = (AB)C.

Quel critère une matrice doit-elle satisfaire pour que l’on puisse la multiplier par elle-même?D’après la définition du produit, AA existe uniquement quand le nombre de colonnes de A (lepremier A) est égal au nombre de lignes de A (le second A). Autrement dit : AA n’est définique si A est un élément deMn(K).

Notation 2.4.2 Pour A dans Mn(K) et k dans N, Ak est le produit de k copies de A.

Exercice 18 1. Calculer

(

0 −10 0

)2

.

2. On sait que pour x et y éléments de K, xy = 0 si et seulement si x = 0 ou y = 0.A-t-on le même type de résultat dansMn(K)?

3. A =

(

1 20 1

)

et B =

(

0 13 2

)

. Comparer AB et BA.

Dans Mn(K), il existe une matrice qui est l’élément neutre du produit. Pour définir la formegénérale de cette matrice, nous utiliserons les symboles de Kronecker.

Définition et notation 2.4.3 (Symboles de Kronecker) Soient i et j des nombres en-tiers naturels. La notation δi j désigne le symbole de Kronecker associé à ces nombres entiers.Par définition, on a :

δi j =

1 si i = j

0 si i 6= j

Notation 2.4.4 (In) On note In la matrice (δi j) 1≤i≤n1≤j≤n

de Mn(K).

Pour n = 3, la matrice I3 est :

1 0 00 1 00 0 1

.

Proposition 2.4.3 Pour tout A dans Mn(K), on a :

AIn = InA = A.

Démonstration 2.4.3 Notons A = (ai j) 1≤i≤n1≤j≤n

et AIn = (mi j) 1≤i≤n1≤j≤n

. Alors, d’après la définition du produit,

pour tout i et tout j dans N ∩ [1, n], on a : mi j =∑n

k=1 ai kδk j = ai jδj j = ai j . D’où AIn = A. Onmontre de même que InA = A.



Exercice 19 BTS Informatique de Gestion, session 2002, exercice 1 3

Une usine fabrique 3 sortes d’articles : a1, a2, a3, à partir de 3 modules : m1, m2, m3.On donne :

a1 a2 a3articles

modules

3 9 5 m1

4 0 9 m2

4 8 6 m3

m1 m2 m3 modules

5 6 3 Poids unitaires (kg)180 250 150 Coûts unitaires (e)

On lit par exemple :Pour fabriquer un article a2, il faut 9 modules m1 et 8 modules m3.Un module m1 pèse 5 kg et coûte 180 e.

On note :

A =

3 9 54 0 94 8 6

M =

[

5 6 3180 250 150

]

1. (a) Calculer le produit matriciel M × A.(b) Interpréter les lignes de ce produit.

2. Une semaine donnée, l’usine doit fournir 8 articles a1, 12 articles a2, 13 articles a3. Elledispose en début de semaine d’un stock de 200 modules de chaque sorte.On note F la matrice :

F =

81213

.

(a) Calculer le produit matriciel A× F . Que représente-t-il?(b) La demande (8 articles a1, 12 article a2, 13 articles a3) peut-elle être satisfaite?

3. Dans cet énoncé, les matrices sont encadrées par des crochets et le produit des matrices est noté à l’aidedu symbole ×.


21

Chapitre 3

Fonction d’une variable réelle, premièrepartie

3.1 Limites

3.1.1 Une idée intuitive de limite...

Si f est une fonction, on désigne par f(x) l’image du nombre x par la fonction f . Leproblème posé lors de la recherche d’une limite est de cerner ce que devient la quantité f(x)lorsque x se rapproche d’un nombre donné, ou bien lorsque x est de plus en plus grand, oubien encore lorsque x est de plus en plus petit.

Quelles sont les réalités mathématiques qui se cachent derrière les expressions : « se rap-procher d’un nombre donné », « être de plus en plus grand », « être de plus en plus petit »?C’est ce que nous essaierons d’éclaircir dans cette section sur les limites.

Si x désigne un nombre, x est fixe et ne se rapproche donc de rien du tout. Les choses sontdifférentes si l’on a en tête que x est la variable de la fonction f , x désigne alors n’importequel nombre de l’ensemble de définition 1 de f . C’est dans cette optique que les termes « serapprocher d’un nombre donné », « être de plus en plus grand », et « être de plus en pluspetit » sont employés ; x varie dans l’ensemble de définition de la fonction.

Désignons par a un nombre, ou bien −∞, ou bien +∞. Supposons ensuite que x « serapproche de a », « soit voisin de a ». Les nombres f(x), qui dépendent des valeurs prises parla variable x, peuvent alors se comporter de diverse façons :

– les nombres f(x) peuvent être des approximations de plus en plus fines d’un nombre réelb donné ;

– les nombres f(x) peuvent être de plus en plus grands, de sorte à être supérieurs à toutnombre fixé à l’avance, pour peu que x soit suffisamment proche de a ;

– les nombres f(x) peuvent être de plus en plus petits, de sorte à être inférieurs à toutnombre fixé à l’avance, pour peu que x soit suffisamment proche de a ;

– les nombres f(x) peuvent se comporter d’une façon différente de celles envisagées dansles trois cas précédents.

Lorsque l’un des trois premiers cas se produit, on dit que f a une limite en a.

1. On dit aussi : le domaine.


22 CHAPITRE 3. FONCTION D’UNE VARIABLE RÉELLE, PREMIÈRE PARTIE

3.1.2 Limite en a, a ∈ R

Soit f une fonction. Notons Df son domaine. La notation f(x) est exclusivement réservéeaux nombres x appartenant à Df . Le nombre réel a appartient à Df , ou bien 2 vérifie que toutintervalle de type : ]a− λ, a+ λ[, λ > 0, a une intersection non vide avec Df .

La limite en a est un nombre

Nous souhaitons formaliser dans cette partie, le phénomène suivant : lorsque x est « voisin »du nombre a, f(x) est « voisin » du nombre l. Il convient donc de préciser ce que signifie être« voisins » pour des nombres réels. Il est légitime de retrouver ici la valeur absolue qui est unedistance entre nombres réels ; la distance usuelle sur R est définie de la manière suivante : ladistance entre les nombres réels α et β vaut |β − α|.

Définition et théorème 3.1.1 (Limite en a) Soit l un nombre réel. On suppose que, pourtout nombre réel strictement positif : ε, il existe un intervalle : ]a−η, a+η[, η > 0, tel que, pourtout nombre x dans ]a − η, a + η[∩Df , f(x) est une approximation de l à ε près. Autrementdit :

(∀ε > 0)(∃η > 0)(∀x ∈ Df ) |x− a| < η ⇒ |f(x)− l| < ε.

Si le nombre réel l′ vérifie la même propriété :

(∀ε > 0)(∃η > 0)(∀x ∈ Df) |x− a| < η ⇒ |f(x)− l′| < ε,

alors l = l′. Un tel nombre l, lorsqu’il existe, est 3 la limite de f en a.

Démonstration : définition et théorème 3.1.1 Supposons l < l ′. Choisissons ε = (l′− l)/2. Il existe η1 > 0

tel que, pour x ∈ Df : |x− a| < η1 ⇒ |f(x)− l| < (l′ − l)/2, et il existe η2 > 0 tel que, pour x ∈ Df :|x− a| < η2 ⇒ |f(x)− l′| < (l′ − l)/2. Posons η = minη1, η2. Alors, pour x ∈ Df , si |x− a| < η, ona : |l′ − l| = |f(x)− l+ l′ − f(x)| ≤ |f(x)− l|+ |f(x)− l′| < l′ − l ; ce qui est impossible. D’où l’unicitéde la limite.

La définition 3.1.1 indique que la distance entre f(x) et l : |f(x) − l|, est plus petite qu’unnombre strictement positif : ε, dès que la distance entre x et a : |x−a|, est suffisamment petite,c’est à dire : dès que |x−a| < η ; le nombre ε pouvant être choisi de manière quelconque parmiles nombres réels strictement positifs.

Notations 3.1.2 La limite de f en a se note : limaf , ou encore : lim

x→af(x).

Exercice 20 Si a appartient à Df et si f admet une limite en a, montrer qu’alors, d’après ladéfinition 3.1.1, lim

x→af(x) = f(a).

Exemple : Soient f : R→ R, x 7→ x2 et g : [0, 1[→ R, x 7→ x2. On a :

limx→1

f(x) = limx→1

g(x) = 1.

En effet, pour x tel que |x − 1| ≤ 1, on a : |x + 1| ≤ 3. Comme x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), onobtient, si |x− 1| ≤ 1,

|x2 − 1| ≤ 3|x− 1|.2. On dit dans ce cas que a est adhérent à Df .3. On dit aussi : f(x) tend vers l quand x tend vers a.


3.1. LIMITES 23

On constate alors que l’on peut choisir comme nombre η (voir la définition 3.1.1) le plus petitdes nombres 1 et ε/3.

Définitions et théorèmes 3.1.3 (Limite à gauche, limite à droite) On suppose que pourtout λ > 0, ]a− λ, a[∩Df 6= ∅ (respectivement : ]a, a+ λ[∩Df 6= ∅). Soit l une nombre réel telque :

(∀ε > 0)(∃η > 0)(∀x ∈ Df) x ∈]a− η, a[⇒ |f(x)− l| < ε.

(respectivement : (∀ε > 0)(∃η > 0)(∀x ∈ Df) x ∈]a, a + η[⇒ |f(x)− l| < ε).

Si le nombre réel l′ vérifie cette propriété :

(∀ε > 0)(∃η > 0)(∀x ∈ Df ) x ∈]a− η, a[⇒ |f(x)− l′| < ε,

(respectivement : (∀ε > 0)(∃η > 0)(∀x ∈ Df ) x ∈]a, a + η[⇒ |f(x)− l′| < ε),

alors l′ = l. Un tel nombre l, lorsqu’il existe, est la limite à gauche (resp. à droite) de f en a.

Démonstration : définitions et théorèmes 3.1.3 L’unicité de la limite se démontre exactement comme dansla démonstration 3.1.1 page 22.

Ces définitions bien que ressemblant à la définition 3.1.1, sont bien différentes. En effet, ici,x se rapproche de a soit par valeurs inférieures (dans le cas de la limite à gauche), soit parvaleurs supérieures (dans le cas de la limite à droite), alors que dans la définition 3.1.1, x serapproche de a en pouvant prendre toute valeur autour de a, pour peu qu’elle reste dans Df .On remarque aussi que dans les définitions 3.1.3, même dans le cas où a appartient à Df , lesnombres x tels que |f(x) − l| < ε, sont différents de a car ils appartiennent soit à ]a − η, a[,soit à ]a, a+ η[.

Notations 3.1.4 La limite à gauche de f se note : limx→a−

f(x), ou encore : limx→ax<a

f(x). La limite

à droite de f se note : limx→a+

f(x), ou encore : limx→ax>a

f(x).

Définition et notation 3.1.5 On dit que la limite de f(x) quand x tend vers a, en étantdifférent de a, vaut l, lorsque lim

x→a−f(x) = lim

x→a+f(x) = l. Cette limite est notée lim

x→ax6=a

f(x) ou

limx→a,x 6=a

f(x).

S’il n’existe pas dans Df de nombre inférieur (respectivement : supérieur) à a, les notationslimx→ax6=a

f(x) et limx→a+

f(x) (resp. limx→a−

f(x)) sont indifféremment utilisées.

Exercice 21 Montrer que la fonction f définie sur R par :

f(x) =

0 si x 6= 0

1 si x = 0

admet une limite à gauche, une limite à droite, mais pas de limite en 0.



La limite en a est infinie

Dans cette partie, l’objectif est de préciser le sens de la phrase : lorsque x est « voisin »de a, f(x) est « voisin » de +∞ ; ainsi que le sens de la phrase : lorsque x est « voisin » de a,f(x) est « voisin » de −∞. On étend donc la notion de limite à des cas où cette limite n’estpas un nombre 4.

Définitions 3.1.6 (limite infinie en a) Si pour tout nombre réel A, il existe une nombreréel strictement positif η, tel que tout x dans ]a− η, a+ η[∩Df a une image par f plus grande(respectivement : plus petite) que A, on dit 5 que la limite de f en a est +∞ (respectivement :−∞).

Une traduction en symboles mathématiques des définitions 3.1.6 est :

(∀A ∈ R)(∃η > 0)(∀x ∈ Df) |x− a| < η ⇒ f(x) > A

lorsque la limite est +∞,

(∀A ∈ R)(∃η > 0)(∀x ∈ Df) |x− a| < η ⇒ f(x) < A

lorsque la limite est −∞.

Notations 3.1.7 Si la limite de f en a est +∞, on écrit :

limx→a

f(x) = +∞.

Si la limite de f en a est −∞, on écrit :

limx→a

f(x) = −∞.

Les définitions 3.1.3 s’adapte aux présents cas.

Définitions et notations 3.1.8 (Limite à gauche, limite à droite) On suppose que pourtout λ > 0, ]a−λ, a[∩Df 6= ∅ (respectivement : ]a, a+λ[∩Df 6= ∅). On dit que la limite à gauche(resp. à droite) de f est +∞, et on écrit : lim

x→a−f(x) = +∞ (respectivement : lim

x→a+f(x) = +∞),

lorsque :(∀A ∈ R)(∃η > 0)(∀x ∈ Df) x ∈]a− η, a[⇒ f(x) > A.

(respectivement : (∀A ∈ R)(∃η > 0)(∀x ∈ Df) x ∈]a, a + η[⇒ f(x) > A).

On dit que la limite à gauche (resp. à droite) de f est −∞ lorsque :

(∀A ∈ R)(∃η > 0)(∀x ∈ Df) x ∈]a− η, a[⇒ f(x) < A.

(respectivement : (∀A ∈ R)(∃η > 0)(∀x ∈ Df) x ∈]a, a + η[⇒ f(x) < A).

Définition 3.1.9 On dit que la limite de f(x) quand x tend vers a, en étant différent de a,vaut +∞ (respectivement : −∞), lorsque lim

x→a−f(x) = lim

x→a+f(x) = +∞ (resp. lim

x→a−f(x) =

limx→a+

f(x) = −∞).

4. Cette extension de la notion de limite serait hors de propos dans le chapitre sur la continuité, car l’imaged’un nombre par une fonction à valeurs dans R n’est ni +∞, ni −∞.

5. On dit aussi : f(x) tend vers +∞ (respectivement : −∞) quand x tend vers a.


3.1. LIMITES 25

S’il n’existe pas dans Df de nombre inférieur (respectivement : supérieur) à a, les notationslimx→ax6=a

f(x) et limx→a+


f(x)) sont indifféremment utilisées.

Exercice 22 Montrer que limx→0− 1/x = −∞, limx→0+ 1/x = +∞, et que lim x→0x6=0

1/x n’existepas.

3.1.3 Limite en +∞On considère une fonction f : Df → R, dont le domaine Df n’est pas majoré dans R.

L’ensemble de nombres réels Df n’est pas majoré lorsque pour tout nombre réel λ, il existe xdans Df tel que : x > λ. On se place donc dans la situation où il y a des valeurs x dans Df

« voisines » de +∞.

La limite en +∞ est un nombre

Définition et théorème 3.1.10 (limite en +∞) On suppose que le nombre réel l vérifie :

(∀ε > 0)(∃B ∈ R)(∀x ∈ Df) x > B ⇒ |f(x)− l| < ε.

Si le nombre réel l′ vérifie :

(∀ε > 0)(∃B ∈ R)(∀x ∈ Df) x > B ⇒ |f(x)− l′| < ε,

alors l′ = l. Un tel nombre l, lorsqu’il existe, est 6 la limite de f en +∞.

Démonstration : définition et théorème 3.1.10 Pour l’unicité de la limite, voir la démonstration 3.1.1.

Notation 3.1.11 Lorsque la limite de f en +∞ est l, on écrit :

limx→+∞

f(x) = l.

D’après la définition, limx→+∞

f(x) = l signifie que f(x) est une approximation de l à ε près, dès

que x est assez grand (x > B).

Exercice 23 Montrer que : limx→+∞ 1/x = 0.

Exemple de fonction qui n’a pas de limite en +∞ : la fonction cosinus.

La limite en +∞ est infinie

Définitions et notations 3.1.12 (limite en +∞) On dit 7 que la limite de f en +∞ est+∞ (respectivement : −∞), lorsque :

(∀B ∈ R)(∃A ∈ R)(∀x ∈ Df) x > A⇒ f(x) > B.

(respectivement : (∀B ∈ R)(∃A ∈ R)(∀x ∈ Df) x > A⇒ f(x) < B).

Exercice 24 Montrer que limx→+∞√x = +∞.

6. On dit également : f(x) tend vers l quand x tend vers +∞.7. On dit aussi : f(x) tend vers +∞ (respectivement : −∞) quand x tend vers +∞.



3.1.4 Limite en −∞On considère une fonction f : Df → R, dont le domaine Df n’est pas minoré dans R.

L’ensemble de nombres réels Df n’est pas minoré lorsque pour tout nombre réel λ, il existe xdans Df tel que : x < λ. On se place donc dans la situation où il y a des valeurs x dans Df

« voisines » de −∞.

La limite en −∞ est un nombre

Définition et théorème 3.1.13 (limite en −∞) On suppose que le nombre réel l vérifie :

(∀ε > 0)(∃B ∈ R)(∀x ∈ Df ) x < B ⇒ |f(x)− l| < ε.

Si le nombre réel l′ vérifie :

(∀ε > 0)(∃B ∈ R)(∀x ∈ Df) x < B ⇒ |f(x)− l′| < ε,

alors l′ = l. Un tel nombre l, lorsqu’il existe, est 8 la limite de f en −∞.

Démonstration : définition et théorème 3.1.13 Pour l’unicité de la limite, voir la démonstration 3.1.1.

Notation 3.1.14 Lorsque la limite de f en −∞ est l, on écrit :

limx→−∞

f(x) = l.

D’après cette définition, limx→−∞ f(x) = l signifie que f(x) est une approximation de l à εprès, dès que x est assez petit (x < B).

Exercice 25 Montrer que : limx→−∞ 1/x2 = 0.

La limite en −∞ est infinie

Définitions et notations 3.1.15 (limite en −∞) On dit 9 que la limite de f en −∞ est+∞ (respectivement : −∞), lorsque :

(∀B ∈ R)(∃A ∈ R)(∀x ∈ Df) x < A⇒ f(x) > B.

(respectivement : (∀B ∈ R)(∃A ∈ R)(∀x ∈ Df) x < A⇒ f(x) < B).

Exercice 26 Montrer que limx→−∞ x2 = +∞.

3.2 Opérations sur les limites

α désigne indifféremment un nombre réel, −∞ ou +∞. On considère les fonctions f et gdéfinies sur D ⊂ R et à valeurs dans R. L’ensemble D est tel qu’il est légitime de se poserla question de l’existence 10 de la limite de f , ainsi que celle de g, en α. Dans cette section,les notations lim

x→αf(x) et lim

x→αg(x) désignent toutes les deux : les limites, ou bien les limites à

gauche, ou bien les limites à droite, ou bien les limites pour x 6= α.

8. On dit également : f(x) tend vers l quand x tend vers −∞.9. On dit aussi : f(x) tend vers +∞ (respectivement : −∞) quand x tend vers −∞.

10. Si α ∈ R, alors D∩]α − λ, α + λ[6= ∅, quel que soit λ > 0 ; si α = +∞, alors D∩]λ, +∞[6= ∅, quel quesoit λ dans R ; si α = −∞, alors D∩]−∞, λ[6= ∅, quel que soit λ dans R.


3.2. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 27

3.2.1 Limite d’une somme

Théorème 3.2.1 Soient l et l′ des nombres réels. Si limx→α

f(x) = l et limx→α

g(x) = l′, alors :

limx→α

f(x) + g(x) = l + l′.

Démonstration 3.2.1 (Démonstration partielle : cas α ∈ R)Le théorème découle de : |f(x) + g(x) − l − l′| ≤ |f(x) − l| + |g(x) − l′|. En effet, par hypothèse,pour tout ε > 0, il existe η1 et η2 tels que, pour tout x ∈ D : |x − α| < η1 ⇒ |f(x) − l| < ε/2

et |x − α| < η2 ⇒ |g(x) − l′| < ε/2. D’où, en posant η = minη1, η2, on a, pour tout x dans D :|x− α| < η ⇒ |f(x)− l|+ |g(x) − l′| < ε.

Exercice 27 Compléter la démonstration précédente pour le cas α = +∞ ou pour le casα = −∞.

Théorème 3.2.2 Soit l un nombre réel. On suppose limx→α

f(x) = l. Dans ce cas,

– si limx→α

g(x) = +∞, alors limx→α

f(x) + g(x) = +∞ ;

– si limx→α

g(x) = −∞, alors limx→α

f(x) + g(x) = −∞.

Démonstration 3.2.2 (Une ”démonstration” intuitive)Lorsque x tend vers α, l’erreur commise en remplaçant f(x) par l est négligeable. D’où, si g(x) est voisinde +∞, alors g(x) + l ≈ f(x) + g(x) est aussi voisin de +∞. (Idem avec −∞).

Théorème 3.2.3 Si limx→α

f(x) = limx→α

g(x) = +∞, alors limx→α

f(x) + g(x) = +∞.

Démonstration 3.2.3 Soit A dans R. Si pour x voisin de α : f(x) > A/2 et g(x) > A/2, alors pour xvoisin de α : f(x) + g(x) > A.


f(x) = limx→α


f(x) + g(x) = −∞.

Démonstration 3.2.4 Soit A dans R. Si pour x voisin de α : f(x) < A/2 et g(x) < A/2, alors pour xvoisin de α : f(x) + g(x) < A.

Attention ! La théorie ne prévoit rien, à juste titre, lorsque limx→α f(x) = +∞ et limx→α g(x) =−∞. On dit que la forme « (+∞) + (−∞) » est indéterminée.

Exercice 28 Soient f , g, h et k définies pour tout x dans R par : f(x) = x, g(x) = −x + a,h(x) = −x+b, et k(x) = −2x. Utiliser ces fonctions pour illustrer pourquoi la somme «∞−∞ »est indéterminée.

3.2.2 Limite d’un produit

Théorème 3.2.5 Soient l et l′ des nombres réels. Si les limites respectives de f et de g en αsont l et l′, alors lim

x→αf(x)g(x) = ll′.

Démonstration 3.2.5 Démonstration du cas : α ∈ R. Pour tout x dans D, on a :

|f(x)g(x) − ll′| ≤ |f(x)g(x) − lg(x)| + |lg(x)− ll′| = |g(x)||f(x) − l|+ |l||g(x) − l′| (3.1)



De limx→α

g(x) = l′, on déduit qu’il existe η0 > 0 tel que, pour tout x dans D∩]α−η0, α+η0[, |g(x)−l′| < 1,

et donc |g(x)| < 1 + |l′|.– Si l = 0, alors l’inéquation 3.1 s’écrit :

|f(x)g(x)| ≤ |g(x)||f(x)|.

Comme limx→α

f(x) = l = 0, pour tout ε > 0, il existe η1 > 0 tel que, pour tout x dans D∩]α −η1, α + η1[, |f(x) − l| = |f(x)| < ε

1+|l′| . Alors, en posant η = minη0, η1, on obtient que pourtout x dans D∩]α− η, α+ η[,

|f(x)g(x)| ≤ |g(x)||f(x)| < (1 + |l′|) ε

1 + |l′| = ε.

– Si l 6= 0, alors, pour tout ε > 0, il existe η1 > 0 tel que, pour tout x dans D∩]α − η1, α + η1[,|f(x)− l| < ε

2(1+|l′|) . D’autre part, il existe η2 > 0 tel que, pour tout x dans D∩]α − η2, α + η2[,

|g(x) − l′| < ε2|l| . Posons η = minη0, η1, η2. Alors, pour tout x dans D∩]α− η, α + η[,

|f(x)g(x) − ll′| ≤ |g(x)||f(x) − l|+ |l||g(x) − l′| < (1 + |l′|) ε

2(1 + |l′|) + |l| ε2|l| = ε.

Le lecteur scrupuleux réglera lui-même les cas α = +∞ et α = −∞.

La démonstration s’adapte dans le cas où l′ est +∞, ou bien −∞, mais uniquement si l 6= 0.

Notations 3.2.1 Soit A dans R. On écrira : A < l ≤ +∞ pour indiquer que l est soit unnombre réel plus grand que A, soit +∞. De même, on notera : −∞ ≤ l < A pour indiquer quel est soit un nombre réel plus petit que A, soit −∞.

Théorème 3.2.6 On suppose limx→α

f(x) = l, avec l ∈ R∗, ou bien l = +∞, ou bien l = −∞.

– Si limx→α

g(x) = +∞, alors :

limx→α

f(x)g(x) =

+∞ si 0 < l ≤ +∞−∞ si −∞ ≤ l < 0

– Si limx→α

g(x) = −∞, alors :

limx→α

f(x)g(x) =

−∞ si 0 < l ≤ +∞+∞ si −∞ ≤ l < 0

Démonstration 3.2.6 (”Démonstration” partielle et intuitive) Examinons le cas limx→α

g(x) = +∞. Pour x

dans D voisin de α, f(x) est voisin de l. Donc, si l > 0, pour un tel x, f(x) > 0, et si l < 0, f(x) < 0.En d’autre termes, pour x voisin de α, f(x) est voisin de l et est donc du même signe que l. On a donc,f(x)g(x) ≈ lg(x) pour x voisin de α, et on déduit la limite de cette approximation.

Attention ! Si l = 0 aucune conclusion n’est prévue par la théorie, et chaque cas de cette natureest donc un cas particulier. La forme « 0×∞ » est indéterminée.

Corollaire 3.2.6.1 On suppose limx→α

= l, avec l ∈ R, l = +∞ ou l = −∞. Soit k un nombre

réel.– Si k = 0, alors lim

x→αkf(x) = 0.


3.2. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 29

– Si k 6= 0 et l ∈ R, alors limx→α

kf(x) = kl.

– Si k 6= 0 et l = +∞, alors limx→α

kf(x) =

+∞ si k > 0

−∞ si k < 0.

– Si k 6= 0 et l = −∞, alors limx→α

kf(x) =

−∞ si k > 0

+∞ si k < 0.

3.2.3 Limite de l’inverse

Notations 3.2.2 On écrira : limx→α

f(x) = 0−, lorsque limx→α

f(x) = 0 et f(x) < 0 pour tout x

voisin de α.On écrira : lim

x→αf(x) = 0+, lorsque lim

x→αf(x) = 0 et f(x) > 0 pour tout x voisin de α.


f(x) = 0+, alors limx→α

1

f(x)= +∞. Si lim

x→αf(x) = 0−, alors lim

x→α

1

f(x)=

−∞.

Démonstration 3.2.7 Supposons limx→α

f(x) = 0+ et α réel. Il existe donc un nombre réel strictement positif :

η0, tel que, pour tout x dans D∩]α − η0, α + η0[, f(x) > 0. Soit A un nombre réel. Si A ≤ 0, on a :f(x) > A, pour x dans D∩]α − η0, α + η0[. Si A > 0, alors ε = 1/A > 0, et il existe η1 > 0, tel que :|f(x) − 0| < ε pour tout x dans D∩]α − η1, α + η1[. Posons η = minη0, η1. On a, pour tout x dansD∩]α−η, α+η[ : 0 < f(x) < ε ; et comme la fonction x 7→ 1/x est strictement décroissante sur ]0, +∞[,on obtient : f(x) > 1/ε = A.On démontre de façon analogue les autres cas.

Le fait que f(x) soit de signe constant lorsque x est voisin de α est nécessaire pour énoncer lethéorème.


f(x) = +∞ ou si limx→α

f(x) = −∞, alors limx→α

1

f(x)= 0.

Démonstration 3.2.8 Laissée au lecteur à titre d’exercice.


f(x) = l, avec l ∈ R∗, alors limx→α

1

f(x)=

1

l.

Démonstration 3.2.9 Démontrons le cas α = +∞. Notons que si l 6= 0 et limx→+∞

f(x) = l, alors il existe A0

dans R, tel que : |f(x)− l| < 12 |l|, pour tout x dans D∩]A0, +∞[. D’où, pour tout x dans D∩]A0, +∞[ :

12 |l| < |f(x)|. De cette dernière inégalité, on déduit que f(x) 6= 0 pour x dans D∩]A0, +∞[. D’autre

part :∣

∣

∣

1f(x) − 1

l

∣

∣

∣= 1

|f(x)l| |f(x)− l|. D’où, pour x dans D∩]A0, +∞[ :∣

∣

∣

1f(x) − 1

l

∣

∣

∣≤ 2

|l|2 |f(x)− l|. Comme

limx→+∞

f(x) = l, pour tout ε > 0, il existe A1 dans R, tel que : |f(x) − l| < 2εl2

, pour tout x dans

D∩]A1, +∞[. Posons A = maxA0, A1, on a alors, pour tout x dans D∩]A, +∞[ :∣

∣

∣

1f(x) − 1

l

∣

∣

∣< ε.

On démontre de même les autres cas.



3.2.4 Limite d’un quotient

Il suffit de combiner les théorèmes concernant la limite d’un produit et la limite de l’inversepour obtenir les résultats ci-dessous :

Théorème 3.2.10 On suppose limx→α

f(x) = l et limx→α

g(x) = l′.

– Si l et l′ sont dans R, et l′ 6= 0, alors limx→α

f(x)

g(x)=l

l′.

– Si l′ est dans R∗ et l = +∞, alors limx→α

f(x)

g(x)=

+∞ si l′ > 0

−∞ si l′ < 0.

– Si l′ est dans R∗ et l = −∞, alors limx→α

f(x)

g(x)=

−∞ si l′ > 0

+∞ si l′ < 0.

– Si l′ = 0+, alors limx→α

f(x)

g(x)=

+∞ si 0 < l ≤ +∞−∞ si −∞ ≤ l < 0

.

– Si l′ = 0−, alors limx→α

f(x)

g(x)=

−∞ si 0 < l ≤ +∞+∞ si −∞ ≤ l < 0

.

– Si l est dans R, si l′ = +∞ ou l′ = −∞, alors limx→α

f(x)

g(x)= 0.

Attention ! La théorie ne prévoit pas de résultat pour les formes indéterminée : « ∞∞ » et « 0

0».

3.2.5 Comparaison

Théorème 3.2.11 On suppose que pour tout x dans D, voisin de α, f(x) ≤ g(x). Dans cesconditions, on a :

– si l = limx→α

f(x) et l′ = limx→α

g(x) sont des nombres réels, alors l ≤ l′ ;

– si limx→α

f(x) = +∞, alors limx→α

g(x) = +∞ ;

– si limx→α


f(x) = −∞.

Démonstration 3.2.11 Démontrons le cas α réel, l et l ′ réels. Il existe η0 > 0 tel que, pour tout x dansD∩]α−η0, α+η0[, f(x) ≤ g(x). Supposons l > l′, et donc l− l′ > 0. Alors, il existe η1 > 0 et η2 > 0 telsque, pour tout x dans D∩]α− η1, α+ η1[, |f(x)− l| < (l− l′)/2, et pour tout x dans D∩]α− η2, α+ η2[,|g(x) − l′| < (l − l′)/2. Or, |f(x)− l| < (l − l′)/2 implique (l + l′)/2 < f(x) et |g(x) − l′| < (l − l′)/2implique g(x) < (l + l′)/2. Notons η = minη0, η1, η2. On a alors, pour tout x dans D∩]α− η, α + η[,à la fois f(x) ≤ g(x) et g(x) < (l + l′)/2 < f(x) ; ce qui est contradictoire. Donc : l ≤ l′.Démontrons le cas α réel et l = +∞. Il existe η0 > 0 te que, pour tout x dans ]α−η0, α+η0[, f(x) ≤ g(x).Soit A dans R. Il existe η1 > 0 tel que, pour tout x dans D∩]α − η1, α + η1[, f(x) > A. Alors, siη = minη0, η1, pour tout x dans D∩]α− η, α + η[, on a : A < f(x) ≤ g(x). D’où lim

x→αg(x) = +∞.

Les autres cas se démontrent par des arguments similaires.

Dans le théorème précédent, même si pour x voisin de α, on a : f(x) < g(x), dans le cas oùles limites respectives : l et l′, de f et de g en α sont réelles, la conclusion l ≤ l′ ne peut être


3.3. LIMITES ET ASYMPTOTES 31

remplacée 11 par l < l′.

Corollaire 3.2.11.1 Soient υ, φ et ψ des fonctions définies sur D ⊂ R et à valeurs dans R.On suppose que pour tout x dans D suffisamment voisin de α, on a : φ(x) ≤ υ(x) ≤ ψ(x).Dans ce cas, si lim

x→αφ(x) = lim

x→αψ(x) = l ∈ R, alors lim

x→αυ(x) = l.

Démonstration 3.2.11.1 Pour x dans D assez proche de α, on a : φ(x) − l ≤ υ(x) − l ≤ ψ(x) − l, etdonc : |υ(x)− l| ≤ max|φ(x) − l|, |ψ(x) − l|. D’où le corollaire.

Exercice 29 Montrer que limx→0x6=0

x cos(1/x) = 0.

3.2.6 Limite d’une fonction composée

Soient φ et ψ des fonctions définies respectivement sur Dφ ⊂ R et Dψ ⊂ R. On supposeque pour tout x dans Dφ, φ(x) appartient à Dψ, de sorte que la fonction ψ φ puisse êtredéfinie sur Dφ. On rappelle que dans ce cas, pour tout x dans Dφ, ψ φ(x) = ψ(φ(x)). α, βet γ désignent des nombres réels, +∞, ou −∞.


φ(x) = β et limy→β

ψ(y) = γ, alors limx→α

ψ φ(x) = γ.

Démonstration 3.2.12 Démonstration du cas α, β et γ réels (les démonstrations des autres cas utilisentdes arguments similaires à ceux développés dans ce cas). Soit ε > 0, il existe η0 > 0 tel que, pour touty dans Dψ∩]β − η0, β + η0[, |ψ(y) − γ| < ε. Pour un tel η0, il existe η > 0 tel que, pour tout x dansDφ∩]α− η, α+ η[, |φ(x)− β| < η0. D’où, pour tout x dans Dφ∩]α− η, α+ η[, |ψ φ(x)− γ| < ε.

Ce théorème est d’un usage fréquent et permet de rédiger certains calculs de limites. Parexemple, comme lim

x→+∞x2 = +∞ et lim

y→+∞exp(y) = +∞, on a : lim

x→+∞exp(x2) = lim

y→+∞exp(y) =

+∞.

3.3 Limites et asymptotes

Le plan est muni du repère (O,−→ı ,−→ ). (Ox) désigne l’axe des abscisses et (Oy) l’axe desordonnées. Soit f une fonction définie sur Df ⊂ R. On note C la courbe représentative de lafonction f dans le repère (O,−→ı ,−→ ).

On dit d’une droite qu’elle est asymptote à la courbe représentative d’une fonction, lorsquela courbe et la droite sont « semblables » pour des abscisses voisines d’une valeur réelle donnée,ou bien pour des abscisses voisines de +∞, ou encore pour des abscisses voisines de −∞. Lesdéfinitions suivantes visent à formaliser de façon convenable le terme « semblables ». Si l’onsouhaite le définir de manière intuitive, on peut indiquer que « semblables » signifie que lacourbe et la droite, à cause de l’épaisseur des traits qui servent à les visualiser, finissent parse superposer... Le défaut d’une telle définition est qu’elle pourrait laisser croire que la courbeet la droite doivent nécessairement avoir des points en commun, ce qui est faux dans certainscas.

11. f :]0, +∞[→ R, g :]0, +∞[→ R définies par : f(x) = 0 et g(x) = 1/x, vérifient f(x) < g(x), et cependantlim

x→+∞

f(x) = limx→+∞

g(x) = 0.



3.3.1 Asymptotes verticales

Définition 3.3.1 Soit a un nombre réel tel que pour tout λ réel strictement positif, Df∩]a−λ, a + λ[6= ∅. Si la limite à gauche, ou la limite à droite, de f en a est +∞ ou −∞, alors ladroite d’équation x = a, parallèle à (Oy), est asymptote 12 à C.Exemple : la fonction inverse, définie sur R∗, admet l’axe des ordonnées comme asymptote.

3.3.2 Asymptotes horizontales

Définition 3.3.2 On suppose que pour tout λ dans R, Df∩]λ, + ∞[6= ∅ (respectivement :Df∩]−∞, λ[6= ∅). Si lim

x→+∞f(x) = l ∈ R (respectivement : lim

x→−∞f(x) = l ∈ R), alors la droite

d’équation y = l, parallèle à (Ox), est asymptote 13 à C.Exemple : la fonction inverse, définie sur R∗, admet l’axe des abscisses pour asymptote.

3.3.3 Asymptotes obliques

Définition 3.3.3 On suppose que pour tout λ dans R, Df∩]λ, + ∞[6= ∅ (respectivement :Df∩] − ∞, λ[6= ∅). Soient a et b des nombres réels, a 6= 0. Si lim

x→+∞f(x) − (ax + b) = 0

(respectivement : limx→−∞

f(x)−(ax+b) = 0), alors la droite d’équation y = ax+b est asymptote 14

à C.Exemple : la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f(x) = x + sin x

x, admet la droite d’équation

y = x pour asymptote en +∞.

3.4 Limites du formulaire

L’objectif de cette section est de calculer les limites figurant dans le formulaire, ainsi qued’autres limites.

Notation 3.4.1 Le symbole ± signifie : plus ou moins. Il sera employé dans : limx→±∞

f(x),

pour : la limite de f(x) quand x tend vers +∞ ou quand x tend vers −∞.

Théorème 3.4.1 (Limites de xn, n ∈ Z) Soit n un nombre entier relatif.

– Si n > 0, alors limx→+∞

xn = +∞ et limx→−∞

xn =

+∞ si n est pair ;

−∞ si n est impair.

– Si n < 0, alors limx→±∞

xn = 0.

Démonstration 3.4.1 Á partir des limites de x et de 1/x en +∞ et en −∞, il suffit d’utiliser autant defois que nécessaire les théorèmes 3.2.5 et 3.2.6, page 27, sur la limite du produit.

Exercice 30 Retrouver, en les démontrant, les limites limx→±∞

axn, a réel, n entier relatif.

12. On écrit aussi : asymptote à C en a.13. On écrit aussi : asymptote à C en +∞ (resp. en −∞).14. On précise parfois : asymptote à C en +∞ (resp. en −∞).


3.4. LIMITES DU FORMULAIRE 33

Théorème 3.4.2 (Limites d’un polynôme) Soit P : R→ R, x 7→∑nk=0 akx

k, où a0, . . . , ansont des constantes réelles, et n ≥ 1. Alors,

limx→+∞

P (x) = limx→+∞

anxn et lim

x→−∞P (x) = lim

x→−∞anx

n.

Démonstration 3.4.2 On a, pour x 6= 0 : P (x) = anxn(

1 + an−1

x + · · · + a0xn

)

. Comme, pour tout entierk ≥ 1, lim

x→±∞1xk = 0, on a : lim

x→±∞1 + an−1

x + · · · + a0xn = 1. Donc, pour x suffisamment voisin de +∞,

comme pour x suffisamment voisin de −∞, on a : 12 ≤ 1 + an−1

x + · · ·+ a0xn ≤ 3

2 , et alors 12anx

n et 32anx

n

encadrent P (x). Or, 12anx

n et 32anx

n ont le même limite en +∞, et ont aussi la même limite en −∞.

Théorème 3.4.3 (Limite d’une fraction rationnelle) On considère les fonctions P et Qdéfinies sur R par : P (x) =

∑mk=0 akx

k et Q(x) =∑n

k=0 bkxk. Alors,

limx→+∞

P (x)

Q(x)= lim

x→+∞

amxm

bnxnet lim

x→−∞

P (x)

Q(x)= lim

x→−∞

amxm

bnxn.

Démonstration 3.4.3 Il suffit d’adapter les arguments développés dans la démonstration précédente, carP (x)Q(x) est égale au produit de amxm

bnxn par une fonction qui tend vers 1 quand x tend vers ±∞. (Exercice).

Théorème 3.4.4lim

x→+∞ln x = +∞.

Démonstration 3.4.4 La fonction logarithme népérien est la primitive qui s’annule en 1, de la fonctionx 7→ 1/x définie sur ]0, +∞[. x 7→ lnx est donc strictement croissante sur ]0, +∞[ (voir le chapitre surla dérivation) et ln 10 > 0 = ln 1. Soit A dans [0, +∞[. Il existe λ réel tel que : A = λ ln 10. Soit n unnombre entier naturel strictement supérieur à λ. On a : A = λ ln 10 < n ln 10. On en déduit 15 que pourtout x dans ]0, +∞[, si x > 10n, alors lnx > A.

Corollaire 3.4.4.1limx→0+

ln x = −∞.

Démonstration 3.4.4.1 Il suffit de reprendre la démonstration précédente et de la modifier à l’aide de lapropriété : pour tout a > 0, ln 1

a = − ln a.

Théorème 3.4.5lim

x→+∞exp x = +∞.

Démonstration 3.4.5 La fonction exponentielle est sa propre dérivée, et est à valeurs strictement positives,puisque c’est la réciproque de la fonction logarithme népérien. x 7→ expx est donc strictement croissantesur R. On en déduit que pour tout A > 0, si x > lnA, alors lnx > A.

Théorème 3.4.6lim

x→−∞exp x = 0.

Démonstration 3.4.6 Il suffit de remarquer que 1exp(−x) = expx et d’utiliser le résultat précédent.

Théorème 3.4.7

limx→+∞

ln x

x= 0.

15. On admet, pour cette démonstration, la propriété du logarithme népérien : ln an = n lna, a > 0.



Démonstration 3.4.7 Pour tout t ≥ 1, on a : 1t ≤ 1√

t. On en déduit, pour tout x dans R :

lnx =

∫ x

1

1

tdt ≤

∫ x

1

1√tdt = 2(

√x− 1) ≤ 2

√x.

D’où, pour tout x ≥ 1 :

0 ≤ lnx

x≤ 2√

x.

On en déduit la limite.

Théorème 3.4.8 Soit α un nombre réel. Alors,

limx→+∞

xα =

+∞ si α > 0

0 si α < 0

limx→0+

xα =

0 si α > 0

+∞ si α < 0

Démonstration 3.4.8 Pour tout α dans R et tout x > 0, xα = exp(α lnx). On en déduit :

– pour α > 0, limx→+∞

xα = limx′→+∞

exp(αx′) = limx′′→+∞

expx′′ = +∞ ;

– et pour α < 0, limx→+∞

xα = limx′→+∞

exp(αx′) = limx′′→−∞

expx′′ = 0 ;

– pour α > 0, limx→0+

xα = limx′→−∞

exp(αx′) = limx′′→−∞

expx′′ = 0 ;

– et pour α < 0, limx→0+

xα = limx′→−∞

exp(αx′) = limx′′→+∞

expx′′ = +∞.

Théorème 3.4.9 Soit α > 0. Alors,

limx→+∞

ln x

xα= 0.

Démonstration 3.4.9 Comme lnxα

xα = α ln xxα , on a : α lim

x→+∞ln xxα = lim

X→+∞lnXX = 0. Puisque α 6= 0, on en

déduit le théorème.


limx→+∞

exp x

xα= +∞.

Démonstration 3.4.10 Posons y = expx. Alors exp xxα = y

(ln y)α =(

y1/α

ln y

)α. Comme, pour y > 1, ln y > 0,

on a : limy→+∞

y1/α

ln y = limy′→0+

1y′ = +∞. D’où le théorème.


limx→0+

xα ln x = 0.

Démonstration 3.4.11 Posons y = 1/x. Alors, xα lnx = −(1/yα) ln y. D’où limx→0+

xα lnx = − limy→+∞

ln yyα =

0.


35

Chapitre 4

Analyse combinatoire

4.1 Permutations

Définition et notation 4.1.1 Soit n ∈ N. La notation n! se lit : factorielle n. On pose :

n! =

1× 2× · · · × (n− 1)× n si n 6= 0

1 si n = 0

On pourrait aussi définir par récurrence la notation n! pour tout nombre entier naturel n,de la manière suivante :

– 0! = 1

– (n+ 1)! = (n + 1)× n!

On considère un ensemble fini E ayant n éléments (n ∈ N).De combien de façons différentes peut-on ranger tous les éléments de E ?Pour attribuer la première place, on dispose de n choix. Une fois choisi l’élément de E quioccupe la première place, il reste dans E , n− 1 éléments parmi lesquels on en choisit un pouroccuper la deuxième place. À chacun des n choix du premier élément, correspond n− 1 choixpour le second. Il y a donc n(n− 1) façons différentes de ranger deux éléments de E . Il reste,à ce stade, n− 2 éléments dans E . On continue d’ordonner, de ranger, ainsi tous les élémentsde E .

Définition 4.1.2 (Permutations) Soit n un nombre entier naturel. Chaque rangement detous les éléments d’un ensemble à n éléments, est ce qu’on appelle une permutation dans unensemble à n éléments.

Proposition 4.1.1 Soit n ∈ N. Il y a n! permutations dans un ensemble à n éléments.

Démonstration 4.1.1 Notons Pn la propriété : « il y a n! permutations dans un ensemble à n éléments ».Montrons, par récurrence sur n, que Pn est vraie pour tout nombre entier naturel n.

– Pour n = 0, la propriété est vérifiée, car il n’y a qu’une façon de ranger les éléments d’un ensemblequi n’en a pas : ne rien faire. (Si ce point de vue vous embarrasse, commencez pas examiner que P1

est vraie).

– Hypothèse de récurrence : Pn est vraie.

– Montrons qu’alors Pn+1 est vraie. Considérons un ensemble à n + 1 éléments. Il y a n + 1 façonsdifférentes de choisir un élément parmi n+1 éléments. Une fois cet élément choisi, il reste à rangerles n éléments restants. Il y a donc (n+ 1)× « le nombre de permutations dans un ensemble à néléments » façons différentes de ranger n+1 éléments. Ce qui donne, en appliquant l’hypothèse de


36 CHAPITRE 4. ANALYSE COMBINATOIRE

récurrence : (n+1)×n! = (n+1)! permutations sur un ensemble à n+1 éléments. D’où la validitéde Pn+1.

On en déduit que Pn est vraie pour tout n ∈ N.

4.2 Arrangements

On considère un ensemble fini E ayant n éléments (n ∈ N).On souhaite ici attribuer p places. La situation de départ est identique à celle du problèmedes permutations. La seule différence est qu’on n’épuise pas E lorsque p < n.

Définition et notation 4.2.1 (Arrangements) Soient n et p des nombres entiers naturels.Chaque rangement de p éléments dans un ensemble à n éléments est un arrangement de péléments parmi n. Le nombre d’arrangements de p éléments parmi n se note : Ap

n.

On remarquera que si p > n, alors Apn = 0.

Proposition 4.2.1 Soient n et p deux éléments de N tels que p ∈ [0, n] ∩ N.

Apn =n!

(n− p)!Démonstration 4.2.1 (Trame de démonstration)On montre que : Apn = n× (n− 1)× · · · × (n− (p− 1)). Comme

n×(n−1)×· · ·×(n−(p−1)) =n× (n− 1)× · · · × (n− (p− 1))× (n− p)× (n− (p+ 1)) × · · · × 2

(n− p)× (n− (p+ 1)) × · · · × 2,

on en déduit la proposition.

4.3 Combinaisons

On considère un ensemble fini E ayant n éléments, n ∈ N.On souhaite cette fois s’intéresser aux sous-ensembles à p éléments d’un ensemble à n éléments.

Définition et notation 4.3.1 (Combinaisons) Un sous-ensemble de E à p éléments s’ap-pelle aussi : une combinaison de p éléments parmi n éléments. Le nombre de sous ensemblesà p éléments, d’un ensemble à n éléments, se note 1 : Cp

n.

De même que pour les arrangements, on remarquera que si p > n, alors Cpn = 0.

Proposition 4.3.1 Soient n ∈ N et p ∈ [0, n] ∩ N.

Cpn =

n!

(n− p)! p!Démonstration 4.3.1 Considérer un sous-ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments, c’estchoisir p éléments parmi n. Ceci nous rapproche donc de la situation déjà examinée des arrangements dep éléments dans un ensemble à n éléments. La différence est qu’ici, l’ordre dans lequel les p élémentssont choisis n’intervient plus. Il y a p! permutations dans un ensemble à p éléments. Donc, à chaquesous-ensemble à p éléments, correspond p! arrangements différents. On en déduit : p!C p

n = Apn.

Exercice 31 Soient n et p deux éléments de N tels que p 6 n. Montrer que : Cn−pn = Cp

n.

1. On rencontre parfois la notation :(

n

p

)

à la place de Cpn.


4.4. TRIANGLE DE PASCAL 37

4.4 Triangle de Pascal

Proposition 4.4.1 (∀n ∈ N)(∀p ∈ N) Cp+1n+1 = Cp

n + Cp+1n

Démonstration 4.4.1 Notons que dans les cas p > n, l’égalité est évidente. Soit 2 E un ensemble à n+ 1

éléments. Considérons un élément de E , et notons α cet élément. Les sous-ensembles de E à p+1 élémentssous alors de deux types :-ceux qui comptent α parmi leurs éléments,-ceux qui ne contiennent pas α.Combien y a-t-il de sous-ensembles de E à p+ 1 éléments, et contenant α? Puisque α a déjà été choisi, ilreste p éléments à choisir parmi les n éléments restant dans E . Il y a donc dans E , C p

n sous-ensembles àp+ 1 éléments, contenant α.Combien y a-t-il dans E , de sous-ensembles à p + 1 éléments, et ne contenant pas α? Pour ces sous-ensembles là, puisqu’ils ne contiennent pas α, il faut choisir leurs p+ 1 éléments parmi les n éléments deE différents de α. Il y a donc Cp+1

n sous-ensembles de ce type. D’où le résultat : Cp+1n+1 = Cpn + Cp+1

n .

Cette proposition est d’un grand intérêt pour le calcul des coefficients Cpn. Après avoir remarqué

que, pour tout n ∈ N, C0n = 1 et Cn

n = 1, car il n’y a, dans un ensemble à n éléments, qu’unseul sous-ensemble à 0 élément : l’ensemble vide, et qu’un seul sous-ensemble à n éléments :l’ensemble lui-même, on peut obtenir de façon mécanique les coefficients Cp

n. Ce procédé estconnu sous le nom de : triangle (voir la disposition des tableaux) de Pascal.Pour remplir, par exemple, le tableau suivant :

C00

C01 C1

1

C02 C1

2 C22

C03 C1

3 C23 C3

3

C04 C1

4 C24 C3

4 C44

Il suffit de faire fonctionner l’algorithme :

Cpn

+→ Cp+1n

↓=Cp+1n+1

On obtient alors :11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1

4.5 Binôme de Newton

Théorème 4.5.1 (Formule du binôme de Newton) Soient a et b des nombres réels. Soitn ∈ N.

(a + b)n =

n∑

p=0

Cpna

n−pbp

2. On rappelle que ∀ signifie : pour tout, et que ∃ signifie : il existe.


38 CHAPITRE 4. ANALYSE COMBINATOIRE

Démonstration 4.5.1 Démontrons la formule, par récurrence sur l’exposant figurant dans le membre degauche. Si l’exposant est zéro, alors la formule est vraie, car :

(a+ b)0 = 1 = C00a

0b0 =

0∑

p=0

Cp0a0−pbp.

Supposons la formule démontrée pour l’entier n. Alors :

(a+ b)n+1 = (a+ b)(a+ b)n = (a+ b)n∑

p=0

Cpnan−pbp

=

n∑

p=0

Cpnan+1−pbp +

n∑

p=0

Cpnan−pbp+1

=n∑

p=0

Cpnan+1−pbp +

n∑

p=0

Cpnan+1−(p+1)bp+1

=

n∑

p=0

Cpnan+1−pbp +

n+1∑

p=1

Cp−1n an+1−pbp

= C0na

n+1 +

n∑

p=1

(

Cp−1n + Cpn

)

an+1−pbp + Cnnbn+1

= C0n+1a

n+1 +

n∑

p=1

Cpn+1an+1−pbp + Cn+1

n+1bn+1

=

n+1∑

p=0

Cpn+1an+1−pbp

La formule est vraie pour l’exposant n+ 1. Donc la formule est vraie pour tout n ∈ N.

Exercice 32 Montrer que∑n

p=0Cpn = 2n. En déduire le nombre total de sous-ensembles dans

un ensemble à n éléments.

Exercice 33 On dit que f : A→ B est une bijection lorsque tout élément de B a un uniqueantécédent dans A par f . Soit E un ensemble à n éléments (n ∈ N). Combien y a-t-il debijections de E dans lui-même?


39

Chapitre 5

Fonction d’une variable réelle, deuxièmepartie

5.1 Continuité

I est un intervalle de R non vide et non réduit à un point. On considère une fonction fdéfinie sur I et à valeurs dans R ou dans C.

Définition 5.1.1 (Continuité en a) Soit a ∈ I. On dit que f est continue en a lorsque :

(∀ε > 0)(∃η > 0)(∀x ∈ I) |x− a| < η ⇒ |f(x)− f(a)| < ε.

Définition 5.1.2 (Continuité sur I) On dit que f est continue sur I si f est continue ena pour tout a dans I.

La courbe représentative d’une fonction continue sur un intervalle est « en un seul morceau » ;il n’y a pas de rupture, de coupure dans la courbe.

Définition 5.1.3 (Limite en a, a ∈ R) Soit a un nombre réel tel que, pour tout α > 0,]a− α, a+ α[∩I 6= ∅. On dit que la limite de f en a est égale au nombre l lorsque

(∀ε > 0)(∃η > 0)(∀x ∈ I) |x− a| < η ⇒ |f(x)− l| < ε.

Notations 5.1.4 La limite de f en a se note : limaf , ou encore : lim

x→af(x).

Définitions et notations 5.1.5 (Limite à gauche, limite à droite) Soit a ∈ R tel quepour tout α > 0, ]a − α, a[∩I 6= ∅ (respectivement : ]a, a + α[∩I 6= ∅). On dit que la limite àgauche (resp. à droite) de f est égale au nombre l lorsque

(∀ε > 0)(∃η > 0)(∀x ∈ I) x ∈]a− η, a[⇒ |f(x)− l| < ε.

(respectivement : (∀ε > 0)(∃η > 0)(∀x ∈ I) x ∈]a, a + η[⇒ |f(x)− l| < ε).La limite à gauche de f se note : lim

x→a−f(x), ou encore : lim

x→ax<a

f(x). La limite à droite de f

se note : limx→a+

f(x), ou encore : limx→ax>a

f(x).

Définitions 5.1.6 (Contiuité à gauche, continuité à droite) On dit que f est continueà gauche (respectivement : à droite) en a, lorsque lim

x→a−f(x) (respectivement : lim

x→a+f(x)) peut

être définie, existe et vaut f(a).


40 CHAPITRE 5. FONCTION D’UNE VARIABLE RÉELLE, DEUXIÈME PARTIE

Définition et notation 5.1.7 Soit a ∈ R tel que pour tout α > 0, ]a − α, a[∩I 6= ∅ et]a, a + α[∩I 6= ∅. On dit que la limite de f(x) quand x tend vers a, en étant différent de a,vaut l lorsque lim

x→a−f(x) = lim

x→a+f(x) = l. Cette limite est notée lim

x→ax6=a

f(x) ou limx→a,x6=a

f(x).

S’il n’existe pas dans I de nombre inférieur (respectivement : supérieur) à a, les notationslimx→ax6=a

f(x) et limx→a+


f(x)) sont indifféremment utilisées (comme dans l’énoncé

suivant).

Théorème 5.1.1 Soit a ∈ I. f est continue en a si et seulement si f(a) = limx→ax6=a

f(x).

Théorème 5.1.2 Lorsque limx→a−

f(x) et limx→a+

f(x) existent, f est continue en a si et seulement

si limx→a−

f(x) = limx→a+

f(x) = f(a).

Attention ! Il se peut que limx→a−

f(x) = limx→a+

f(x), autrement dit : il se peut que limx→ax6=a

f(x) existe,

mais que ce nombre soit différent de f(a).

Théorème 5.1.3 Soit g : I → R et f : J → R (ou f : J → C) des fonctions continues. Sig(I) ⊂ J , alors f g est continue sur I.

Théorème 5.1.4 Soient f et g des fonctions continues sur I et soient λ et µ des nombres.Alors, les fonctions suivantes sont continues sur I :∗ λf + µg ;∗ fg ;

∗ si g ne s’annule pas sur I,f

g;

Des fonctions continues :Les fonctions constantes, les polynômes, les fonctions logarithme népérien, exponentielle,

puissance, sinus, cosinus et toutes celles obtenues à partir de telles fonctions en utilisant lesopérations décrites dans les théorèmes 5.1.4 et 5.1.3.

5.2 Dérivation

Soit f : I → R (ou bien f : I → C).

Définition 5.2.1 (Dérivabilité en a) Soit a ∈ I. On dit que f est dérivable en a s’il existeun nombre l tel que

T : I → R (ou C)

x 7→

f(x)−f(a)x−a si x 6= a ;

l si x = a.

soit continue en a.

La définition ci-dessus équivaut à : limx→a,x 6=a

f(x)−f(a)x−a existe et est égale au nombre l.

Définition et notation 5.2.2 (Nombre dérivé) Soit a ∈ I. Lorsque f est dérivable en a,le nombre l de la définition 5.2.1 s’appelle le nombre dérivé de f en a et se note f ′(a).


5.2. DÉRIVATION 41

Lorsque f , à valeurs réelles, est dérivable en a, la courbe représentative de la fonction f admeten son point d’abscisse a, une tangente de coefficient directeur f ′(a) ; cette tangente a pouréquation : y − f(a) = f ′(a)(x− a).

Si f est à valeurs complexes, alors f = ϕ+ iψ, ϕ et ψ à valeurs réelles étant respectivementla partie réelle et la partie imaginaire de f . Dans ce cas, on remarque que f ′ = ϕ′ + iψ′.

Définition 5.2.3 (Dérivabilité sur I) On dit que f est dérivable sur I si f est dérivableen a pour tout a dans I.

Définition et notation 5.2.4 (Fonction dérivée) On note (en général) f ′ la fonction dé-rivée de f définie sur I par x 7→ f ′(x). Si la variable utilisée pour définir la fonction f est x,la notation df

dxdésigne la dérivée de f (par rapport à x).

Exercice 34 Le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 est donné, si cette limite existe (etest un nombre), par :

limh→0,h6=0

sin h

h.

Pour h ∈]0, π2[, on réalise la figure ci-

contre. Dans le plan muni d’un repère or-thonormal, les point A′ et B appartiennentau cercle trigonométrique, B a pour coordon-nées (1, 0) et h est une mesure en radians de

(−−→OB,

−−→OA′

)

. A est le point d’intersection de

[OA′) avec la perpendiculaire à l’axe des abs-cisses passant par B. H est la hauteur issue

de A′ dans le triangle OA′B.

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.............................

O

A

B

A′

H

C

h

1. En comparant les aires respectives des triangles OA′B, OAB et du secteur angulaire

OBA′, montrer que : cos h 6sin h

h6 1.

En déduire limh→0,h6=0

sin h

h.

2. Utiliser le résultat précédent pour calculer limh→0,h6=0

cos h− 1

h.

3. Calculer, pour a nombre réel quelconque,

limh→0,h6=0

cos(a + h)− cos(a)

het lim

h→0,h6=0

sin(a + h)− sin(a)

h.

Théorème 5.2.1 Toute fonction dérivable est continue.

Théorème 5.2.2 Soit a ∈ I. f est dérivable en a si et seulement s’il existe une fonction εdéfinie sur R, continue en 0 et vérifiant ε(0) = 0, telle que, pour tout a + h ∈ I :

f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+ hε(h).

Application : approximation affine d’une fonction au voisinage d’une valeur donnée.



Définitions et notations 5.2.5 (Dérivée à gauche, dérivée à droite) Soit a ∈ I tel que] −∞, a[∩I 6= ∅ (resp. ]a, +∞[∩I 6= ∅). On appelle nombre dérivé à gauche (resp. à droite)de f en a :

f ′g(a) = lim

h→0−

f(a+ h)− f(a)

h

(

resp. f ′d(a) = lim

h→0+

f(a+ h)− f(a)

h

)

.

Application : construction des demi-tangentes en un point anguleux de la courbe. (Penser à lafonction valeur absolue).

Théorème 5.2.3 Soit g : I → R et f : J → R (ou f : J → C) des fonctions dérivables. Sig(I) ⊂ J , alors f g est dérivable sur I, et pour x dans I, la dérivée (f g)′ de f g est définiepar :

(f g)′(x) = f ′ g(x) · g′(x).

Théorème 5.2.4 Soient f et g des fonctions dérivables sur I, et soient λ et µ des nombres.Alors,

∗ λf + µg est dérivable sur I et (λf + µg)′ = λf ′ + µg′ ;∗ fg est dérivable sur I et (fg)′ = f ′g + fg′ ;

∗ si g ne s’annule pas sur I,f

gest dérivable sur I et

(

f

g

)′=f ′g − fg′

g2;

Des fonctions dérivables :Les fonctions constantes, les polynômes, la fonction logarithme népérien, la fonction expo-

nentielle, les fonctions cosinus et sinus, ainsi que toute fonction se déduisant des précédentesen appliquant les théorèmes 5.2.4 et 5.2.3

Théorème 5.2.5 Soient a et b deux nombres réels tels que a < b. On considère une fonctionf continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.

– Si pour tout x dans ]a, b[, f ′(x) > 0 (resp. f ′(x) < 0), alors f est strictement croissante(resp. décroisante) sur [a, b].

– Si pour tout x dans ]a, b[, f ′(x) > 0 (resp. f ′(x) 6 0), alors f est croissante (resp.décroissante) sur [a, b].

– Si pour tout x dans ]a, b[, f ′(x) = 0, alors f est constante sur [a, b].

Théorème 5.2.6 (Inégalité des accroissements finis) Soient a et b deux nombres réelstels que a < b. On considère une fonction f et une fonction g continues sur [a, b] et dérivablessur ]a, b[, g à valeurs réelles. On suppose que pour tout x dans ]a, b[, |f ′(x)| 6 g′(x). Alors, ona :

|f(b)− f(a)| 6 g(b)− g(a).

Théorème 5.2.7 (Inégalité des accroissements finis) Soient a et b deux nombres réelstels que a < b. On considère une fonction f continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. S’il existeun nombre k tel que pour tout x dans ]a, b[, |f ′(x)| 6 k, alors |f(b)− f(a)| 6 k(b− a).

Définition 5.2.6 (Extremum local) On dit que f admet un maximum (resp. minimum)local en a ∈ I, s’il existe un intervalle ]a−α, a+α[, α > 0, tel que, pour tout x appartenant à]a− α, a+ α[∩I, on a : f(a) > f(x) (resp. f(a) 6 f(x)). Un extremum local est un maximumlocal ou un minimum local.


5.3. INTÉGRATION 43

Proposition 5.2.8 Soit f une fonction définie sur [a, b]. Si f est dérivable sur [a, b] et si fadmet un extremum local en c ∈]a, b[, alors f ′(c) = 0.

Attention ! Il se peut que f ′(c) = 0 et que f(c) ne soit pas un extremum local. (Penser à lafonction cube dont la dérivée s’annule en 0).

Définition 5.2.7 (Primitive) On dit que la fonction F définie sur I est une primitive de fsur I lorsque la dérivée F ′ de F est égale à f .

Proposition 5.2.9 Si F et G sont des primitives sur I de f , alors la fonction F −G définiesur I par x 7→ F (x)−G(x) est constante sur I.

Définition et notation 5.2.8 Soit n un nombre entier naturel. La notation f (n) désigne ladérivée n-ième (ou : dérivée d’ordre n) de f . C’est la fonction obtenue en dérivant n fois desuite (quand c’est possible) la fonction f . En utilisant cette notation, on a : f (0) = f , f (1) = f ′,f (2) = f ′′, etc.

Définition et notation 5.2.9 (Fonction de classe Cn) Si f admet sur I des dérivées suc-cessives jusqu’à l’ordre n et si f (n) est continue sur I, on dit alors que f est de classe Cn surI.

Avec cette nouvelle notation, une fonction continue est une fonction C0.

Exercice 35 On considère la fonction φ définie sur R par : φ(t) =

t2 sin 1t

si t 6= 0

0 si t = 0.

1. Montrer que φ est dérivable en 0, mais que φ′ n’est pas continue en 0.2. Déterminer la limite de f en +∞ et en −∞.3. Montrer que la courbe représentative de f admet une asymptote dont on déterminera

une équation. (Indication : montrer que pour t ∈]

0, π2

[

, cos t−1t

6 sin tt2− 1

t6 0).

5.3 Intégration

5.3.1 Intégration des fonctions continues

Soit f une fonction continue sur I.

Définition et notation 5.3.1 Soit a ∈ I.∫ x

a

f(t) dt

(lire : intégrale de a à x de f(t) dt) est l’image du nombre x de I par la primitive de f quis’annule en a.

Une conséquence évidente de cette définition est que la fonction définie sur I par x 7→∫ x

af(t) dt

est C1 sur I, puisque sa dérivée est la fonction continue f .

Proposition 5.3.1 Soit F une primitive quelconque de f . Pour tout a et tout b dans I∫ b

a

f(t) dt = F (b)− F (a).



Notation 5.3.2 F (b)− F (a) = [F (t)]ba.

Théorème 5.3.2 Lien entre intégrale et surface :Lorsque f est continue sur [a, b] (a 6 b) et à valeurs positives (f(t) > 0 pour t ∈ [a, b]),

alors la surface, en unités d’aire, comprise entre l’axe des abscisses, les droites d’équationsrespectives x = a et x = b, et la courbe représentative de la fonction f vaut :

∫ b

a

f(t) dt.

Proposition 5.3.3 (Relation de Chasles) Soient a, b et c dans I. On a :∫ b

a

f(t) dt =

∫ c

a

f(t) dt+

∫ b

c

f(t)dt.

Proposition 5.3.4 (Linéarité de l’intégrale) Soient f et g des fonctions continues sur Iet soient λ et µ des nombres (réels ou complexes). Quels que soient les nombres a et b dansI, on a :

∫ b

a

λf(t) + µg(t) dt = λ

∫ b

a

f(t) dt+ µ

∫ b

a

g(t) dt.

Proposition 5.3.5 Si a ∈ I et b ∈ I vérifient a < b et si pour tout t ∈ I, f(t) > 0 (ce quisuppose que f est à valeurs réelles), alors

∫ b

a

f(t) dt > 0.

Corollaire 5.3.5.1 Pour tout a ∈ I et tout b ∈ I, tels que a < b, on a :∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f(t) dt

∣

∣

∣

∣

6

∫ b

a

|f(t)| dt.

Corollaire 5.3.5.2 Soient f et g des fonctions continues sur [a, b] et à valeurs réelles. Si pour

tout t dans [a, b], f(t) 6 g(t), alors∫ b

a

f(t) dt 6

∫ b

a

g(t) dt.

Proposition 5.3.6 (Inégalité de la moyenne) Soient a et b dans I tels que a < b. Onsuppose qu’il existe des nombres réels m et M tels que, pour tout t dans I : m 6 f(t) 6 M (fest donc à valeurs réelles). Alors, on a :

m(b− a) 6

∫ b

a

f(t) dt 6 M(b− a).

Définition 5.3.3 (Valeur moyenne) Soit [a, b] ⊂ I, a < b. La valeur moyenne de f sur[a, b] est

1

b− a

∫ b

a

f(t) dt.

Proposition 5.3.7 (Intégration par parties) Soient f et g des fonctions C1 sur I. f ′ etg′ désignent les dérivées respectives de f et de g. Soient a et b dans I, a < b. On a :

∫ b

a

f(t)g′(t) dt = [f(t)g(t)]ba −∫ b

a

f ′(t)g(t) dt.


5.3. INTÉGRATION 45

Théorème 5.3.8 (Changement de variable) Soit ϕ une fonction C1 sur [a, b]. On supposeque pour tout t dans [a, b] ϕ(t) appartient à l’intervalle I. f est continue sur I. On a alors :

∫ b

a

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f(x) dx.

Exercice 36 Calculer∫ π

6

0

√sin t cos t dt (poser x = sin t).

5.3.2 Intégration des fonctions continues par morceaux

Définition 5.3.4 (Fonction Cn par morceaux sur [a, b]) Soient a et b des réels tels quea < b. On dit que la fonction f , définie sur le segment [a, b] est Cn par morceaux sur [a, b],lorsqu’il existe une suite strictement croissante d’éléments de [a, b] : α0 = a < α1 < · · · <αk−1 < αk = b, et une suite de fonctions f1,f2, . . . ,fk vérifiant :pour tout i ∈ N ∩ [1, k], fi est Cn sur [αi−1, αi] ;pour tout i ∈ N ∩ [1, k], pour tout t ∈]αi−1, αi[, f(t) = fi(t).

Définition 5.3.5 (Fonction Cn par morceaux sur un intervalle I) On dit que la fonc-tion f , définie sur I, est Cn par morceaux sur I, lorsque pour tout a et tout b dans I, a < b,f est Cn par morceaux sur [a, b].

On remarque que si la fonction f est périodique de période T (avec T > 0), f est Cn sur R siet seulement si f est Cn sur un intervalle [a, a + T ] d’amplitude T . Cette remarque sera utiledans le chapitre sur les séries de Fourier 1.

Proposition 5.3.9 Soit f une fonction définie sur [a, b]. Soient α0 = a < α1 < · · · < αk = bet β0 = a < β1 < · · · < βl = b des suites strictement croissantes d’éléments de [a, b]. Soientf1, . . . ,fk des fonctions continues respectivement sur [α0, α1], . . . ,[αk−1, αk], et soient g1, . . . ,gldes fonctions continues respectivement sur [β0, β1], . . . ,[βl−1, βl], et telles que :pour tout i ∈ N ∩ [1, k], pour tout t ∈]αi−1, αi[, f(t) = fi(t) ;pour tout i ∈ N ∩ [1, l], pour tout t ∈]βi−1, βi[, f(t) = gi(t).

Alors,k∑

i=1

∫ αi

αi−1

fi(t) dt =l∑

i=1

∫ βi

βi−1

gi(t) dt.

Définition 5.3.6 (Intégrale d’une fonction Cn par morceaux) Avec les notations de ladéfinition 5.3.4, on définit l’intégrale de a à b de f par :

∫ b

a

f(t) dt =k∑

i=1

∫ αi

αi−1

fi(t) dt.

Cette valeur est, en vertu de la proposition 5.3.9, indépendante de la suite α0, . . . ,αk choisie.

1. Des définitions précises des notions de période et de fonction périodique seront alors fournies.


47

Chapitre 6

De nouvelles fonctions

6.1 Fonctions hyperboliques

6.1.1 Cosinus hyperbolique

On définit sur R la fonction cosinus hyperbolique par :

ch x =ex + e−x

2

L’allure de la courbe représentative de la fonction cosinus hyperbolique est :

On a

limx→−∞

ch x = limx→+∞

ch x = +∞

Les variations de la fonction cosinus hyperbolique sont :

x −∞ 0 +∞+∞ +∞

ch x 1

6.1.2 Sinus hyperbolique

On définit sur R la fonction sinus hyperbolique par :

sh x =ex − e−x

2


48 CHAPITRE 6. DE NOUVELLES FONCTIONS

L’allure de la courbe représentative de la fonction cosinus hyperbolique est :

On alim

x→−∞sh x = −∞ lim

x→+∞sh x = +∞

Les variations de la fonction sinus hyperbolique sont :

x −∞ +∞+∞

sh x −∞

6.1.3 Tangente hyperbolique

On définit sur R la fonction tangente hyperbolique par :

th x =sh x

ch x

La courbe représentative de la fonction tangente hyperbolique admet les droites d’équationsrespectives y = −1 et y = 1 pour asymptotes.

On alim

x→−∞thx = −1 lim

x→+∞th x = 1

Les variations de la fonction tangente hyperbolique sont :

x −∞ +∞1

thx −1

6.1.4 Dérivées

Les fonctions cosinus, sinus et tangente hyperboliques sont dérivables sur R et leurs dérivéessont données pour tout x dans R par :

ch′(x) = sh(x) ; sh′(x) = ch(x) ; th′(x) =1

ch2 x= 1− th2 x


6.2. FONCTIONS CIRCULAIRES RÉCIPROQUES 49

6.2 Fonctions circulaires réciproques

6.2.1 Arc cosinus

La fonction arc cosinus (arccos) est définie sur [−1, 1] et à valeurs dans [0, π] de sorte que,pour tout x dans [−1, 1], cos(arccos x) = x, et, pour tout t dans [0, π], arccos(cos t) = t. Lafonction arc cosinus est la fonction réciproque de la fonction cosinus restreinte à l’intervalle[0, π].

La courbe représentative de la fonction arc cosinus est :

π

π/2

−1 1

La fonction arc cosinus est dérivable sur ]− 1, 1[. La dérivée est donnée par :

arccos′(x) = − 1√1− x2

6.2.2 Arc sinus

La fonction arc sinus (arcsin) est définie sur [−1, 1] et à valeurs dans [−π/2, π/2] de sorteque, pour tout x dans [−1, 1], sin(arcsin x) = x, et, pour tout t dans [−π/2, π/2], arcsin(sin t) =t. La fonction arc sinus est la fonction réciproque de la fonction sinus restreinte à l’intervalle[−π/2, π/2].

La courbe représentative de la fonction arc sinus est :

−π/2

π/2

−1

1

La fonction arc sinus est dérivable sur ]− 1, 1[. La dérivée est donnée par :

arcsin′(x) =1√

1− x2

6.2.3 Arc tangente

La fonction arc tangente (arctan) est définie sur R et à valeurs dans ]− π/2, π/2[ de sorteque, pour tout x dans R, tan(arctanx) = x, et, pour tout t dans ]−π/2, π/2[, arctan(tan t) =t. La fonction arc tangente est la fonction réciproque de la fonction tangente restreinte àl’intervalle ]− π/2, π/2[.


50 CHAPITRE 6. DE NOUVELLES FONCTIONS

La courbe représentative de la fonction arc tangente est :

y = π/2

y = −π/2

La fonction arc tangente est dérivable sur R et sa dérivée est donnée par :

arctan′(x) =1

1 + x2


51

Chapitre 7

Équations différentielles

I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point.

7.1 Généralités

La fonction exponentielle est notée exp. Pour α élément de C, « exponentielle α » seranotée indifféremment exp(α) ou eα. Si x + iy est la forme algébrique du nombre complexe α,alors exp(α) = ex(cos y + i sin y) ; d’où, si α ∈ R, α = x + i0 et on retrouve l’exponentielleréelle usuelle.

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction. Le terme« différentielle » vient du fait que dans l’équation, les dérivées successives de l’inconnue inter-viennent. Résoudre l’équation différentielle (E) sur I consiste à déterminer toutes les fonctionsdéfinies sur I, possédant des dérivées jusqu’à l’ordre imposé par (E), et vérifiant l’égalité (E).

Définition 7.1.1 (Équation différentielle linéaire) Une équation différentielle linéaired’ordre n sur I, d’inconnue x, est une équation de type :

(E) anx(n) + an−1x

(n−1) + · · ·+ a0x = b,

où an, . . . , a0 et b sont des fonctions définies et continues sur I.

Définition 7.1.2 (Équation différentielle linéaire homogène) Une équation différen-tielle linéaire homogène d’ordre n sur I, d’inconnue x, est une équation de type :

(E0) anx(n) + an−1x

(n−1) + · · ·+ a0x = 0,

où an, . . . , a0 sont des fonctions définies et continues sur I, et où le 0 apparaissant dans lesecond membre de (E0) désigne la fonction identiquement nulle sur I.

Théorème 7.1.1 Soient an, . . . , a0 et b des fonctions définies et continues sur I et à valeursdans R ou C. Soit y une solution sur I de l’équation différentielle linéaire (E) anx

(n) +an−1x

(n−1) + · · ·+a0x = b. Alors, toute solution de l’équation (E) s’obtient comme somme de yet d’une solution de l’équation homogène associée à (E) : (E0) anx

(n)+an−1x(n−1)+· · ·+a0x =

0.

Démonstration 7.1.1 Soit z une solution de (E). Comme pour tout i ∈ N∩ [0, n], (z− y)(i) = z(i) − y(i),on obtient que z − y est solution de (E0). D’où le théorème.


52 CHAPITRE 7. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Ce théorème est parfois énoncé sous la forme suivante : « La solution générale de (E) est lasomme de la solution générale de (E0) et d’une solution particulière de (E) ».

Dans les problèmes de recherche de solutions d’équations différentielles, sauf mention ex-presse, les fonctions à manipuler ainsi que les solutions sont des fonctions à valeurs réelles.Les nombres complexes ne sont donc, en général, qu’un outil très utile pour certains calculsservant à déterminer les solutions (voir la section : Équations linéaires du second ordre).

7.2 Équations linéaires du premier ordre

Soient a, b et c des fonctions continues sur I et à valeurs dans R (respectivement : àvaleurs dans C). On suppose que pour tout t dans I, a(t) 6= 0. On considère alors l’équationdifférentielle linéaire du premier ordre :

(E) ax′ + bx = c,

ainsi que l’équation linéaire homogène du premier ordre associée à (E) :

(E0) ax′ + bx = 0,

où x désigne une fonction inconnue, définie et dérivable sur I, et à valeurs dans R (resp. C),et x′ désigne la dérivée de x.

Proposition 7.2.1 Les solutions, sur I, de l’équation (E0) sont les fonctions définies sur Ipar :

t 7→ k exp(−G(t)),

k étant une constante réelle (resp. complexe), et G étant une primitive sur I de ba.

Démonstration 7.2.1 Montrons que f : I → C, t 7→ k exp(−G(t)), k constante complexe, G primitive deba , est solution de (E0). La dérivée f ′ de f , vérifie pour tout t dans I : f ′(t) = − b(t)

a(t)k exp(−G(t)). D’où,

pour tout t dans I : a(t)f ′(t) + b(t)f(t) = −a(t) b(t)a(t)k exp(−G(t)) + b(t)k exp(−G(t)) = 0.Réciproquement, soit y une solution de (E0). Posons z = y exp(G). On a alors z ′ = y′ exp(G) +

bay exp(G) = (ay′ + by) exp(G)

a = 0. Comme la dérivée de z sur l’intervalle I est identiquement nulle, lafonction z est constante sur I. Notons k la valeur de z(t) pour tout t dans I. L’égalité z = y exp(G) estalors équivalente à : y = k exp(−G).

D’après le théorème 7.1.1, toute solution de (E) est de la forme : y+k exp(−G), avec y solutionde (E). Il nous reste à envisager une technique permettant de déterminer une solution de (E).

Exercice 37 BTS Forge et Estampage, session 1995, problème (extrait)

Soit l’équation différentielle (E) : xy′ − y = −x2 exp(−x).1. Vérifier que la fonction s définie sur l’intervalle ]0, + ∞[ par s(x) = x exp(−x) est

solution de (E).2. Résoudre (E) sur l’intervalle ]0, +∞[.3. Déterminer la solution particulière g de (E) sur ]0,+∞[ vérifiant la condition g(1) = 1+ 1

e.

Exercice 38 BTS Conception de Produits Industriels, session 1995, exercice 2

Le but de l’exercice est la résolution de l’équation différentielle (E) :

x(

x2 + 1)

y′ − 2y = x3(x− 1)2e−x


7.2. ÉQUATIONS LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE 53

où y représente une fonction de la variable réelle x, dérivable sur l’intervalle ]0, +∞[.

1. (a) Déterminer les trois réels a, b et c tels que pour tout réel x de l’intervalle ]0, +∞[ :

2

x (x2 + 1)=a

x+bx + c

x2 + 1.

(b) En déduire une primitive sur l’intervalle ]0, +∞[ de la fonction x 7→ 2

x (x2 + 1).

2. Résoudre sur l’intervalle ]0, +∞[ l’équation différentielle :

x(

x2 + 1)

y′ − 2y = 0.

3. On se propose de déterminer une fonction g dérivable sur l’intervalle ]0, +∞[ telle que

la fonction h : x 7→ x2

x2 + 1g(x) soit une solution particulière de l’équation (E).

(a) Montrer que, pour qu’il en soit ainsi, on doit avoir : g ′(x) = (x− 1)2e−x.(b) Déterminer les réels α, β, γ tels que la fonction x 7→

(

αx2 + βx+ γ)

e−x soit uneprimitive sur l’intervalle ]0, +∞[ de la fonction x 7→ (x− 1)2e−x.

(c) En déduire une solution particulière de l’équation (E), puis l’intégrale générale decette équation.

Méthode dite de « variation de la constante »

La méthode de variation de la « variation de la constante » n’est pas exigible, c’est à dire :ne peut faire l’objet d’une question à l’examen... il suffit de lire l’énoncé de l’exercice 38 pourse convaincre du contraire.

L’équation (E) est équivalente à l’équation : x′ exp(G) + x ba

exp(G) = caexp(G). Or, cette

dernière équation s’écrit : (x exp(G))′ = caexp(G). Soit F une primitive sur I de c

aexp(G).

On a x exp(G) = F + λ, λ désignant une constante. On remarque donc qu’il est légitime derechercher une solution de (E) de type : φ exp(−G), φ désignant une primitive de c

aexp(G)

sur I.On sait que les solutions de (E0) sont toutes de la forme : k exp(−G), avec k constante et

G primitive de ba. Dans le pratique, on obtient une solution particulière de (E) en remplaçant

la constante k par une fonction φ, à déterminer grâce l’égalité (E). On remplace donc uneconstante par une fonction ; d’où le nom de « variation de la constante » attribué à cetteméthode de résolution.

Exercice 39 BTS groupement A, session 2001, exercice 1

Partie B

On se propose dans cette partie d’obtenir l’intensité i du courant dans le circuit ci-dessouslorsqu’il est alimenté par le signal d’entrée e défini dans la partie A.

6

e(t)

RC

i(t)



L’équation permettant de trouver l’intensité du courant est, pour t ∈ [0, +∞[,

Ri(t) +1

C

∫ t

0

i(u) du = e(t) (7.1)

Pour déterminer la fonction i on remplace le signal d’entrée e par son développement en sériede Fourier tronqué à l’ordre 2. L’équation (7.1) devient alors :

Ri(t) +1

C

∫ t

0

i(u) du =1

π+

1

2sin t− 2

3πcos(2t) (7.2)

On admet que l’intensité i du courant est une fonction dérivable sur [0, +∞[. On supposedans la suite de l’exercice que R = 5000 Ω et C = 10−4 F.

1. Montrer que l’équation (7.2) peut alors se transformer et s’écrire :

didt

(t) + 2i(t) = 10−4 cos t +(

415π· 10−3

)

sin(2t)t ∈ [0, +∞[

(7.3)

2. Vérifier que la fonction i1 telle que i1(t) = 4 · 10−5 cos t + 2 · 10−5 sin t est une solutionparticulière de l’équation différentielle :

didt

(t) + 2i(t) = 10−4 cos tt ∈ [0, +∞[

3. Déterminer une solution particulière i2 de l’équation différentielle :

didt

(t) + 2i(t) =(

415π· 10−3

)

sin(2t)t ∈ [0, +∞[

4. Résoudre alors l’équation différentielle (7.3). En déduire la solution particulière vérifiantla condition i(0) = 0.

Exercice 40 BTS groupement D, session 2001, exercice 1 (extrait)

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

On se propose d’étudier l’évolution en fonction du temps des températures d’un bain et d’unsolide plongé dans ce bain. Ces températures (à l’instant t) sont respectivement notées α(t)et β(t). Le temps t est exprimé en secondes et les températures en C.

Partie A

Les températures α(t) et β(t) vérifient les conditions suivantes :

(1) α′(t) = −0,011(α(t)− β(t))(2) β ′(t) = 0,021(α(t)− β(t))

avec

α(0) = 40β(0) = 10

1. On pose f(t) = α(t)− β(t).

(a) Vérifier que f est une solution de l’équation différentielle y ′ + 0,032y = 0.(b) Résoudre l’équation précédente.(c) Calculer f(0) et montrer que f(t) = 30 exp(−0,032t).

2. Soit F la primitive de f qui vérifie F (0) = 0.

(a) Exprimer F (t) en fonction de t.


7.3. ÉQUATIONS LINÉAIRES DU SECOND ORDRE 55

(b) À l’aide de la condition (2), justifier que β(t) = K + 0,021F (t), où K est uneconstante.

(c) Déterminer K et donner une expression de β(t) en fonction de t.

Exercice 41 (D’après [Piskounov, 1980a])

Résoudre l’équation :dy

dx− 2

x + 1y = (x+ 1)3.

7.3 Équations linéaires du second ordre

L’étude générale des équations différentielles linéaires du second ordre n’est pas le butde cette section. Nous nous limiterons au cas d’équations à coefficients constants et secondmembre de type « polynôme exponentielle ». Signalons la convention d’écriture utilisée danscette section : eξt désigne la fonction qui à t associe eξt, ξ étant un nombre complexe.

Soient a, b et c des constantes réelles (respectivement : complexes), a 6= 0, soit P unefonction polynôme et soit α un élément de C. On considère l’équation différentielle linéaire dusecond ordre 1 :

(E) ax′′ + bx′ + cx = P exp(αt),

ainsi que l’équation homogène associée :

(E0) ax′′ + bx′ + cx = 0.

Définition 7.3.1 (Polynôme caractéristique) Le polynôme caractéristique de l’équation

(E0) ax′′ + bx′ + cx = 0

est le polynôme (de variable r) :ar2 + br + c.

Proposition 7.3.1 Les solutions sur I de l’équation (E0) sont les fonctions définies sur I,suivant que le polynôme caractéristique de (E0) admet une seule, ou bien deux, racines dansC, par :

* t 7→ k1 exp(r1t)+k2 exp(r2t), avec r1 et r2 racines simples distinctes du polynôme carac-téristique de (E0), k1 et k2 étant des constantes ;

* t 7→ (λt + µ) exp(rt), avec r racine double du polynôme caractéristique de (E0), λ et µétant des constantes.

Démonstration 7.3.1 La partie la plus simple de la démonstration consiste à vérifier que, suivant les cas,les fonctions t 7→ k1e

r1t + k2er2t ou t 7→ (λt + µ)ert sont solutions de l’équation (E0) (partie laissée en

exercice).Réciproquement, soit y une solution de (E0) ; montrons qu’alors y a bien une des formes indiquées

dans la proposition. Posons z = e−rty ; autrement dit : y = ertz. On a alors y′ = (rz + z′)ert ety′′ = (r2z+2rz′ + z′′)ert. Dans l’égalité (E0), remplaçons y ainsi que ses dérivées par leurs expressions enfonction de z. On obtient : (E0)

[

(ar2 + br + c)z + (2ar + b)z′ + az′′]

ert = 0. Deux cas (intéressants !)se présentent alors :

– Premier cas : r = − b2a est la racine double du polynôme caractéristique de (E0). Dans ce cas,

l’équation s’écrit : az ′′ert = 0. On en déduit que z est caractérisée par : z ′′ = 0. On sait qu’alorsil existe des constantes λ et µ telles que, pour tout t dans I, z(t) = λt + µ. On obtient doncy(t) = (λt+ µ)ert, pour tout t dans I.

1. La notation « P exp(αt) » doit être interprétée comme la fonction de la variable t : t 7→ P (t)eαt.



– Deuxième cas : r est une des deux racines simples (distinctes) du polynôme caractéristique de (E0).Notons r1 et r2 ces racines et posons r = r1. Alors, l’équation s’écrit : [(2ar1 + b)z′ +az′′]er1t = 0 ;ce qui est équivalent à : (2ar1+b)z′+az′′ = 0. Comme r1+r2 = − b

a , (2ar1+b)z′+az′′ = 0 s’écrit :z′′ + (r1 − r2)z′ = 0. Cette dernière égalité caractérise une fonction z ′ solution sur I de l’équationdifférentielle linéaire homogène du premier ordre : x′ + (r1 − r2)x = 0. On sait que les solutionsd’une telle équation sont les fonctions définies sur I par t 7→ ke(r2−r1)t, k étant une constante. Ona donc : z′ = ke(r2−r1)t et z = k

r2−r1 e(r2−r1)t + µ, k et µ étant des constantes. En posant k1 = µ

et k2 = kr2−r1 , on obtient : y(t) = k1e

r1t + k2er2t, pour tout t dans I.

Corollaire 7.3.1.1 On suppose que les coefficient a, b et c de (E0) sont réels. Notons ∆ lediscriminant de χ, polynôme caractéristique de (E0). Les solutions de (E0) sur I sont lesfonctions définies sur I par :

* t 7→ λer1t + µer2t, si ∆ > 0, r1 et r2 étant les racines simples de χ, λ et µ étant desconstantes ;

* t 7→ (λt+ µ)ert, si ∆ = 0, r étant la racine double de χ, λ et µ étant des constantes ;

* t 7→ (λ cos(βt) + µ sin(βt))eαt, si ∆ < 0, α + iβ et α − iβ étant les formes algébriquesdes racines conjuguées de χ, λ et µ étant des constantes.

Démonstration 7.3.1.1 Seul le dernier point n’est pas une réécriture de la proposition. Si ∆ < 0, alorsles racines r1 et r2 de χ sont distinctes. Les solutions de (E0) sont les fonctions définies sur I par :t 7→ k1 exp(r1t)+ k2 exp(r2t), k1 et k2 étant des constantes. Or, r2 = r1. Soit α+ iβ la forme algébriquede r1. On a alors : k1 exp(r1t) + k2 exp(r2t) = k1e

(α+iβ)t + k2e(α−iβ)t = [k1e

iβt + k2e−iβt]eαt = [(k1 +

k2) cos βt+ (k1 − k2)i sin βt]eαt. D’où le résultat, en posant λ = k1 + k2 et µ = (k1 − k2)i.

Comme dans le cas des équations linéaires du premier ordre, pour obtenir la solution généralede (E), il reste à déterminer une solution particulière de (E). La méthode habituelle consisteà examiner s’il existe une fonction f définie sur I par f(t) = Q(t)eαt, où Q est un polynôme,solution de (E). On a : f ′ = (αQ+Q′)αt et f ′′ = (α2Q+2αQ′ +Q′′)eαt. D’où, af ′′ + bf ′ + cf =[aQ′′ + (2aα + b)Q′ + (aα2 + bα + c)Q]eαt. Pour que f soit une solution de (E), il faut et ilsuffit que

aQ′′ + (2aα + b)Q′ + (aα2 + bα + c)Q = P (7.4)

Trois cas sont alors à envisager.

– Premier cas : α est la racine double du polynôme caractéristique χ de (E0). Alors, l’égalité(7.4) devient : aQ′′ = P . Cette dernière égalité indique que degQ = 2 + degP et permetde déterminer les coefficients de Q correspondant au monômes de degrés supérieurs ouégaux à 2 de la forme canonique de Q. Il suffit donc de déterminer Q, avec Q(t) =∑2+deg P

n=2 qntn.

– Deuxième cas : α est une racine simple de χ. Alors, l’égalité (7.4) devient : (2aα+ b)Q′ +aQ′′ = P . De cette égalité, on déduit que degQ = 1 +deg P , ainsi que les coefficients dela forme canonique de Q des monômes de degrés supérieurs ou égaux à 1. On déterminedonc Q, avec Q(t) =

∑1+deg Pn=1 qnt

n.

– Troisième cas : α n’est pas une racine de χ. Alors, de l’égalité (7.4), on déduit quedegQ = degP et détermine Q, avec Q(t) =

∑deg Pn=0 qnt

n.

La forme « P exp(αt) » du second membre permet de traiter les cas où le second membrede type : P cos(ωt) ou P sin(ωt), ω ∈ R. En effet, si f1 = Q1 exp(iωt) est une solution de(E1) ax′′ + bx′ + cx = P exp(iωt), et si f2 = Q2 exp(−iωt) est une solution de (E2) ax′′ +


7.3. ÉQUATIONS LINÉAIRES DU SECOND ORDRE 57

bx′+cx = P exp(−iωt), alors f1+f22

et f1−f22i

sont des solutions respectivement de ax′′+bx′+cx =P cos(ωt) et de ax′′ + bx′ + cx = P sin(ωt).

Exercice 42 Déterminer les solutions, définies sur R et à valeurs dans C, de l’équation diffé-rentielle :

x′′(t)− 2(−1 + i)x′(t)− 2ix(t) = (t cos t) exp(−t).


On se propose de résoudre le système différentiel (S) suivant, puis d’en donner une solutionparticulière.

(S)

x′(t) + 2y(t) = −2 sin t (E1)

2x(t)− y′ = −2 cos t (E2)

Les fonctions x et y sont des fonctions de la variable réelle t, deux fois dérivables sur R.

Partie A

1. Montrer en utilisant les équations (E1) et (E2) que la fonction x vérifie, pour tout t dansR, l’équation différentielle :

x′′(t) + 4x(t) = −6 cos t (E).

2. Résoudre sur R l’équation différentielle (E). En déduire les solutions du système (S).3. Déterminer la solution particulière du système (S) vérifiant les conditions initiales x(0) =−1 et y(0) = 0.

Exercice 44 BTS Instruments d’optique de précision, session 1991, exercice 2

y étant une fonction numérique de la variable x, deux fois dérivable, on considère l’équationdifférentielle suivante :

(E1) x2 d2y

dx2− 5x

dy

dx+ 9y = x3, x ∈]0, +∞[.

1. Effectuer le changement de variable x = exp(t).Montrer que l’équation différentielle transformée de (E1) à l’aide de ce changement devariable est :

(E2)d2y

dt2− 6

dy

dt+ 9y = exp(3t).

2. Trouver la solution 2 de (E2) et en déduire celle de (E1).

Exercice 45 BTS Chimiste, session 2001, exercice 2

L’objet de cet exercice est l’étude du potentiel électrique dans un électrolyte.On considère un électrolyte, le chlorure de sodium NaCl, mis en solution dans l’eau à latempérature de 25 C et de concentration 10−2 mol · `−1.Un ion Na+ étant choisi, on prend son centre comme origine de l’espace rapporté à un repère.Cet ion crée, en tout point de l’atmosphère ionique qui l’entoure, un potentiel électrique U ,fonction de la distance x de ce point au centre de l’ion considéré.

1. Expression de U(x).

2. « La solution » a ici, comme dans d’autres sujets, le sens de : « la forme générale des solutions ».



On admet que cette fonction U de la variable réelle x, avec x > 0, est solution de l’équa-tion différentielle (E) : x2U ′′ + 2xU ′ = b2x2U , où b est une constante réelle strictementpositive.

(a) Pour tout x > 0, on pose Y (x) = xU(x). Calculer Y ′(x) et Y ′′(x).On considère l’équation différentielle (E1) : Y ′′ − b2Y = 0. Démontrer que Y estsolution de (E1) si et seulement si U est solution de (E).

(b) Résoudre l’équation différentielle (E1). En déduire, pour tout x > 0, l’égalité (i) :U(x) = 1

x

(

Ae−bx +Bebx)

, où A et B sont des constantes réelles.

2. Calcul de la constante B.

Le potentiel étant nul à l’infini, on a limx→+∞

U(x) = 0.

Montrer, en utilisant l’égalité (i), qu’alors B = 0.3. Calcul de la constante A.

(a) Soit α un nombre réel supérieur ou égal à 4.À l’aide d’une intégration par parties, calculer, en fonction de α, l’intégrale I(α) =∫ α

4xe−bx dx

Déterminer la limité I de I(α) lorsque α tend vers +∞.(b) L’expression de l’électroneutralité conduit à l’égalité A·I = k, où k est une constante

réelle positive.Exprimer A en fonction de b et de k.En déduire que, pour tout x > 0, U(x) = kb2

1+4b1xe−b(x−4).

4. Tableau de variation de U , pour des valeurs particulières de b et de k.

On considère que, pour tout x > 0, U(x) = 0,16xe−0,0325(x−4).

(a) Calculer U ′(x) et étudier le sens de variation de U .(b) Calculer la limite de U en 0.(c) Donner le tableau de variation de U .


59

Chapitre 8

Transformations complexes

Le plan est muni du repère orthonormé (direct) (O,−→u ,−→v ). L’axe des abscisses est noté(Ox), l’axe des ordonnées est noté (Oy).

Dans cette partie, nous allons examiner des applications complexes 1 de C ou d’une partiede C, vers C ; c’est surtout le lien entre ces applications complexes et des transformationsgéométriques qui sera particulièrement étudié. Le procédé d’association entre application ettransformation plane sera toujours le même ; si l’application complexe est notée f et la trans-formation plane F , pour tout point M d’affixe z, le point F (M) sera d’affixe f(z).

8.1 Translation associée à z 7→ z + b, b ∈ C

Soit b un nombre complexe. On considère l’application f de C dans C qui à un nombrecomplexe z associe le nombre complexe f(z) = z + b. La transformation plane T associée àf , est l’application du plan dans lui-même qui au point M d’affixe z associe le point T (M)d’affixe f(z). Soit −→w le vecteur d’affixe b. On constate alors que pour tout point M du plan,

en posant M ′ = T (M) :−−−→MM ′ = −→w . En effet, notons z′ l’affixe de M ′, alors l’affixe de

−−−→MM ′

est z′ − z = b qui est l’affixe de −→w . Dans le cas particulier b = 0, tout point est sa propreimage.

On retiendra donc que la transformation plane associée à l’application z 7→ z + b est latranslation de vecteur −→w , −→w ayant pour affixe b. (Sur le dessin, les points M et N et leursimages respectives M ′ et N ′).

..................

.........

.........

O −→u

−→v

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

......... .........

......... .....

....

..............M

..............

M ′

..............N

..............

N ′

−→w

−→w

1. Le terme application est synonyme de fonction. Les fonctions sont des applications dont l’ensemble dedéfinition est une partie de R.


60 CHAPITRE 8. TRANSFORMATIONS COMPLEXES

8.2 Réflexion associée à z 7→ z

La transformation plane S associée à la conjugaison complexe z 7→ z, définie pour toutz dans C, est la réflexion d’axe (Ox). En effet, soit M un point du plan. Notons z l’affixede M et notons z′ l’affixe de M ′ = S(M). On sait que z′ = z. Comme Re(z) = Re(z) etIm(z) = − Im(z), les abscisses de M et de M ′ sont identiques, alors que leurs ordonnées sontopposées. La figure constituée des points M et M ′ admet donc (Ox) comme axe de symétrie.

............

............

O −→u

−→v

..............

M

..............M ′

8.3 Rotation associée à z 7→ eiθz, θ ∈ R

Soit θ un nombre réel. Soit M un point du plan, M 6= O. Notons z l’affixe de M . Soit reit laforme trigonométrique de z. Alors, le nombre z′ tel que z′ = eiθz a pour forme trigonométrique :

rei(t+θ). Donc, le point M ′ d’affixe z′ vérifie : OM = OM ′ = r et l’angle(−−−→

OM ,−−−→OM ′

)

admet θ

pour mesure (en radians). Si z = 0, alors eiθz = 0. L’image de l’origine O par la transformationplane associée à z 7→ eiθz est O. La transformation plane associée à l’application z 7→ eiθz,définie pour tout z dans C, est donc la rotation de centre O et d’angle θ (θ doit être comptédans le sens trigonométrique usuel ; le dessin est réalisé avec θ ∈]0, π[). On remarquera que siθ = 2πk, avec k ∈ Z, alors tout point est sa propre image par une rotation d’angle θ ; et siθ = (2k + 1)π, k ∈ Z, alors la rotation de centre O et d’angle θ est la symétrie de centre O.

..................

.........

.........

O −→u

−→v....

........

........

....

........................

.......................

..........................

................

................

............

M

............M ′

θ

8.4 Homothétie associée à z 7→ ρz, ρ ∈ R

Soit ρ un nombre réel. Soit z ∈ C. Notons M et M ′ les points d’affixes respectives z et ρz.Alors, comme l’affixe de

−−−→OM ′ est égale à ρ-fois l’affixe de

−−−→OM , on a :

−−−→OM ′ = ρ

−−−→OM . On

remarquera que si ρ = 0 alors l’image de tous les points du plan est O.

La transformation plane associée à l’application de C dans C définie par z 7→ ρz, avecρ ∈ R, est l’homothétie de centre O et de rapport ρ. (Le dessin est réalisé avec ρ = 1,4 ; les


8.5. SIMILITUDE ASSOCIÉE À Z 7→ AZ, A ∈ C∗ 61

points M ′ et N ′ sont les images respectives des points M et N).

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.......

.......

O −→u

−→v..............................................

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..............M

..............M ′

..............

N

..............N ′

8.5 Similitude associée à z 7→ az, a ∈ C∗

Si a = 0, alors l’application complexe se résume à z 7→ 0 ; dans ce cas, la transformationgéométrique associée est M 7→ O (tout point a pour image O). Si a 6= 0, notons ρeiθ la formetrigonométrique de a. Alors z 7→ az peut être examinée comme la composée de z 7→ ρz et dez 7→ eiθz. Soit M un point du plan. Notons z l’affixe de M . Le point M1 d’affixe z1 = ρz estl’image de M par l’homothétie de centre O et de rapport ρ. Le point M ′ d’affixe z′ = eiθz1 = azest l’image de M1 par la rotation de centre O et d’angle θ. On passe de M à M ′ en effectuantsuccessivement un homothétie de centre O et de rapport ρ, puis une rotation de centre O etd’angle θ. (On remarquera que l’on peut inverser l’ordre dans lequel ces deux transformationssont successivement appliquées, l’image de M n’en demeure pas moins M ′). La tranformationplane obtenue ainsi s’appelle la similitude de centre O, de rapport ρ et d’angle θ. (Pour ledessin, ρ = 0,8 et θ = − 2π

3).

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.........

.........

O

−→u−→v

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.......

........

.......

........

........

....

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..................

M..................

M1

..................M ′

θ

8.6 Inversion complexe associée à z 7→ 1

z

L’application z 7→ 1z

n’est définie que pour z 6= 0. Si t est un argument de z alors −t estun argument de 1

z. D’autre part,

∣

∣

1z

∣

∣ = 1|z|. On sait que pour tout z ∈ C∗ : 1

z= z

|z|2 . Soit M unpoint du plan, M 6= O. Notons z l’affixe de M . Comme M 6= O, on a : z 6= 0. Le point M ′

(M ′ 6= O) d’affixe z′ = 1z

est alors caractérisé par les propriétés suivantes :

* si t est une mesure en radians de(−→u ,−−−→OM

)

, alors −t est une mesure en radians de

(−→u ,−−−→OM ′)

;



* OM ′ =1

OM.

On appelle inversion complexe la transformation géométrique associée à z 7→ 1z. L’inversion

complexe est obtenue en composant la réflexion d’axe (Ox) avec l’inversion géométrique 2 depôle O et de puissance 1.

On remarquera que puisque11z

= z, si on applique deux fois de suite l’inversion complexe

à un point du plan, on retrouve le même point ; en d’autres termes, si I désigne l’inversioncomplexe, pour tout point M (M 6= O) on a : I(I(M)) = M ; ou encore, si M ′ est l’image deM par l’inversion complexe, alors M est l’image de M ′ par l’inversion complexe.

Pour l’inversion complexe, nous allons examiner :– L’image d’une droite passant par l’origine (et privée de ce point) ;– L’image d’un cercle passant par l’origine (et privé de ce point) ;– L’image d’une droite ne passant pas par l’origine.

Soit M un point du plan différent de O. Notons z l’affixe de M ; x+iy étant la forme algébriquede z. Notons M ′ l’image de M par l’inversion complexe. Notons z′ l’affixe de M ′ ; x′+ iy′ étantla forme algébrique de z′.

8.6.1 Image d’une droite passant par l’origine (privée de ce point)

Soit D une droite passant par l’origine. On suppose M ∈ D. Comme O ∈ D, il existe desnombres réels a et b tels que ax + by = 0 soit une équation de D ; et comme M ∈ D, lescoordonnées (x, y) de M vérifient cette équation. Comme M est l’image de M ′ par l’inversion,

on a : x =x′

x′2 + y′2et y = − y′

x′2 + y′2. Les coordonnées (x′, y′) de M ′ vérifient donc :

ax′

x′2 + y′2− by′

x′2 + y′2= 0 ⇐⇒ ax′ − by′ = 0.

On constate que si M (M 6= O) appartient à la droite D d’équation ax + by = 0, alors M ′

(M ′ 6= O) appartient à la droite ∆ d’équation ax− by = 0 ; ∆ passe elle aussi par l’origine. Ilreste à régler un dernier problème : est-ce que tout point de ∆rO est l’image d’un point deDrO par l’inversion complexe? Soit N ′ un point quelconque de ∆rO, N ′ de coordonnées(α′, β ′). Notons N l’image de N ′ par l’inversion, et notons (α, β) les coordonnées de N . De

aα′ − bβ ′ = 0 on déduitaα′

α′2 + β ′2 −bβ ′

α′2 + β ′2 = 0, et donc : aα+ bβ = 0. On a N ∈ Dr O.Si I désigne l’inversion complexe, on a : I(N) = N ′ ; N ′ est l’image d’un point de D r O.

Conclusion : L’image par l’inversion complexe d’une droite passant par l’origine (et privéede ce point) est une droite passant par l’origine (et privée de ce point). L’image de D r O,D étant la droite d’équation ax + by = 0, est ∆ r O, où la notation ∆ désigne la droited’équation ax−by = 0. On remarquera que D et ∆ sont images l’une de l’autre par la symétrieorthogonale (réflexion) d’axe (Ox).

8.6.2 Image d’un cercle passant par l’origine (privé de ce point)

On sait que le cercle C de centre Ω et de rayon r, si les coordonnées de Ω sont (λ, µ), apour équation : (x − λ)2 + (y − µ)2 = r2. Si ce cercle passe par l’origine, on a : λ2 + µ2 = r2,

2. Comme l’inversion géométrique est hors programme, l’étude générale de l’inversion complexe ne sera pasabordée.


8.7. ORTHOGONALITÉ 63

et donc l’équation s’écrit :x2 + y2 − 2λx− 2µy = 0.

Si M appartient à C r O, de l’équation ci-dessus, on déduit :2λx

x2 + y2+

2µy

x2 + y2= 1. On

obtient donc : 2λx′ − 2µy′ = 1 ; l’image M ′ de M appartient à la droite D d’équation : 2λx−2µy = 1. Est-ce que tout point de D est l’image, par l’inversion complexe, d’un point deC r O? Soit N ′ un point de D. Notons (α′, β ′) les coordonnées de N ′. Notons N l’imagede N ′ par l’inversion et notons (α, β) les coordonnées de N . De 2λα′ − 2µβ ′ = 1 on déduit :

2λα

α2 + β2+

2µβ

α2 + β2= 1 ; d’où, finalement : α2 +β2− 2λα− 2µβ = 0. On obtient N ∈ Cr O.

Si I désigne encore une fois l’inversion complexe, alors N ′ = I(N), avec N ∈ C r O.Conclusion : L’image par l’inversion complexe d’un cercle passant par l’origine (et privé de

ce point) est une droite qui ne passe pas par l’origine.

8.6.3 Image d’une droite ne passant pas par l’origine

Si I désigne l’inversion complexe, pour tout point M différent de l’origine O, on a :I(I(M)) = M . Comme on sait que l’image d’un cercle passant par l’origine, privé de cepoint, a pour image une droite ne passant pas par l’origine, on peut affirmer que l’image d’unedroite ne passant pas par l’origine est un cercle passant par l’origine et privé de ce point.

Pour certains exercices, il sera très utile de se rappeler que pour définir une droite, deuxpoints suffisent ; et pour définir un cercle, trois points, ou le centre et un point, suffisent.

8.7 Orthogonalité

Définition 8.7.1 (Cercles orthogonaux) On dit que les cercles C et C ′ sont orthogonauxlorsqu’ils sont sécants et que les tangentes respectives de C et C ′ en l’un de leurs points d’in-tersection sont perpendiculaires.

Définition 8.7.2 (Droite et cercle orthogonaux) On dit que la droite D et le cercle Csont orthogonaux lorsque D passe par le centre de C.On démontre (et nous admettrons) :

Théorème 8.7.1 (Transformations conformes) A et B désignent : soit deux droites, soitdeux cercles, soit une droite et un cercle (ces objets géométriques étant éventuellement privésd’un point). On suppose que A et B sont orthogonaux. Alors les images de A et B par n’importelaquelle des transformations planes décrites ci-dessus, sont orthogonales.

Exercice 46 BTS Techniques physiques pour l’industrie et le laboratoire, ses-sion 1998, exercice 1

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal. On prend 10 cm commeunité graphique. On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument π

2.

Première partie

On considère les nombres complexes : z′1 =1

1 + iet z′2 =

1

1 + 12i.

1. (a) Écrire z′1 et z′2 sous forme algébrique.



(b) Placer les points O d’affixe 0, A d’affixe 1, C d’affixe 12, M ′

1 d’affixe z′1 et M ′2 d’affixe

z′2.

(c) Montrer que O, A, M ′1 et M ′

2 appartiennent à un même cercle (C) de centre C donton précisera le rayon.

2. Plus généralement, on pose, pour tout nombre réel α, z ′ =1

1 + iα

(a) Écrire z′ sous forme algébrique.

(b) En déduire que le point M ′ d’affixe z′ appartient au cercle (C) pour tout nombreréel α.

Deuxième partie

On se propose de retrouver géométriquement le résultat ci-dessus.

1. On pose, pour tout nombre réel α, z = 1 + iα. Quel est, lorsque α décrit R, l’ensemble(∆) des points M du plan d’affixe z?

2. Soit J la transformation géométrique du plan complexe privé de O dans lui-même qui,au point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z′ tel que z′ = 1

z.

(a) Déterminer le module et un argument de z′ en fonction du module et d’un argumentde z.

(b) Quelle est l’image de la droite (∆) par la transformation J ?

Troisième partie

On obtient le diagramme de Nyquist d’une fonction de transfert T en traçant, dans le plancomplexe, la courbe représentative de T ; c’est-à-dire qu’à toute pulsation ω (ω nombre réelpositif), on associe le point d’affixe T (ω).Construire dans un repère les diagrammes de Nyquist des fonctions de transfert T 1 et T 2

définies respectivement sur [0, +∞[ par :

T 1(ω) = 1 + iω

ω0

et T 2(ω) =1

1 + i ωω0

Où ω0 est un réel strictement positif (pulsation centrale).

Préciser les images de ω0 etω0

2par T 1 et par T 2 et placer les points correspondants sur la

figure.

Exercice 47 BTS Informatique Industrielle, session 1997, exercice 2 (extrait)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O,−→u ,−→v ) tel que (−→u ,−→v ) = π2. L’unité

graphique est 5 cm.On pose z0 = 0, z1 = 1

2

(√3 + i

)

et z2 = 1 + i. Les points O, M1 et M2 ont pour affixesrespectives z0, z1 et z2. Le point I a pour affixe i.

1. (a) Montrer que, pour tout k appartenant à 0, 1, 2, |zk − i| = 1.

(b) En déduire que les points O, M1 et M2 appartiennent à un cercle (C) dont ondonnera le centre et le rayon.

2. On considère la transformation géométrique f qui, à tout point M d’affixe z, associe lepoint M ′ d’affixe z′ tel que : z′ = −iz + 1 + i.

(a) Déterminer le transformé J du point I par f .


8.7. ORTHOGONALITÉ 65

(b) Montrer qu’il existe un point A invariant par f , c’est-à-dire un point A tel quef(A) = A.

(c) On pose Z = z−1 et Z ′ = z′−1. Montrer que f peut être caractérisée par l’égalitéZ ′ = −iZ.En déduire la nature de la transformation géométrique f .

(d) Déterminer les coordonnées (x′, y′) du point M ′ en fonction des coordonnées (x, y)de M .

3. On note Γ0 l’arc de cercle de centre I, passant par le point M1, ayant pour extrémitésles points O et M2. On note Γ1 = f(Γ0), Γ2 = f(Γ1) et Γ3 = f(Γ2).Tracer Γ0 puis Γ1, Γ2 et Γ3.

Exercice 48 BTS groupe A, session 2001, exercice 2

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal (O,−→u ,−→v ). On note i le nombre com-plexe de module 1 et d’argument π

2.

Soit f l’application qui à tout point m de P d’affixe z (z 6= −1), associe le point M d’affixeZ = z

1+z= 1− 1

1+z.

Partie A

1. Déterminer l’ensemble D des points d’affixe − 32

+ iy (y ∈ R).2. Soit z1 = z+1. Préciser la transformation géométrique t1 qui associe à un pointm d’affixez, le point M1 d’affixe z1. Quelle est l’image, notée D1, de D par la transformation t1 ?

3. Soit t2 la transformation géométrique qui au point d’affixe z (z 6= 0) associe le point M2

d’affixe z2 = 1z. Quelle est l’image, notée Γ2 de D1 par la transformation t2 ?

4. Soit t3 la transformation géométrique qui au point d’affixe z associe le point M3 d’affixez3 = −z. Préciser la nature de t3. Quelle est l’image, notée Γ3 de Γ2 par la transformationt3?

5. Déterminer l’ensemble Γ des points M d’affixe Z = 1− 11+z

lorsque z = − 32+ iy (y ∈ R).

6. Représenter sur une même figure les ensembles successivement obtenus D, D1, Γ2, Γ3 etΓ (unité graphique 2 cm).

Partie B

1. Soit z = −32

+ iy (y ∈ R). On remarque que Z = z1+z

peut alors s’écrire Z = 3−2iy1−2iy

.

Montrer que Z possède un argument noté ϕ(y) tel que : ϕ(y) = arctan(2y)−arctan(

23y)

.2. Étudier les variations de la fonction ϕ sur R (préciser les limites aux bornes) et en déduire

la valeur maximale ϕm de ϕ.3. Utiliser la figure établie dans la partie A pour retrouver le résultat de la question précé-

dente.


67

Chapitre 9

Développements limités

9.1 Développements limités en 0

Les développements limités en 0 servent à donner une approximation d’une fonction, auvoisinage de 0, par une fonction relativement simple : une fonction polynôme. Si l’on parvientà obtenir une approximation convenable par un polynôme, alors des problèmes compliquéscomme : la limite en 0, les positions relatives de la courbe représentative de la fonction et desa tangente en son point d’abscisse 0, deviennent simples.

Définition 9.1.1 (Voisinage de 0 dans R) On dit que le sous-ensemble V de R est un voi-sinage de 0 dans R lorsqu’il existe un intervalle ]α, β[, avec α < 0 et β > 0, inclus dansV.

Définition 9.1.2 On dit d’une fonction f , de domaine Df , qu’elle est définie au voisinagede 0 (dans R) lorsque pour tout voisinage de 0 : V, on a : Df ∩ V 6= ∅ ; autrement dit, un desensembles suivants est inclus dans Df :

]0, b[ pour un nombre b > 0,]a, 0[ pour un nombre a < 0,]a, b[ pour un nombre a < 0 et un nombre b > 0,]a, 0[∪]0, b[ pour un nombre a < 0 et un nombre b > 0.

Notation 9.1.3 Pour tout n dans N, la notation : o(xn), désigne une quantité définie par :

o(xn) = xnε(x),

où ε est une fonction définie au voisinage de 0, continue en 0 et telle que ε(0) = 0.

Pour une fois en mathématiques, la même notation : o(xn), peut désigner des quantités diffé-rentes, d’une ligne à l’autre d’un calcul. Par exemple : x3 = o(x2) et x5 = o(x2). Remarque : lafonction ε de la notation 9.1.3 vérifie : lim

x→0ε(x) = 0. Ce qui permet d’obtenir pour tout entier

k, 0 6 k 6 n :

limx→0x6=0

o(xn)

xk= 0.

Notons également que « o(xn)+ o(xn) = o(xn) », et que « λo(xn) = o(xn) » pour tout nombreλ. Enfin, il n’est pas inutile de constater que xn+1 = o(xn).

Exercice 49 Montrer que si pour tout x voisin de 0, f(x) est bornée, alors : f(x)o(xn) = o(xn).


68 CHAPITRE 9. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

Définitions 9.1.4 (Développement limité, Partie principale) Soit f une fonction défi-nie au voisinage de 0 et à valeurs dans R. Pour tout n ∈ N, s’il existe des nombres réels a0,a1,. . ., an tels que :

f(x) =

n∑

k=0

akxk + o(xn),

on dit que f admet un développement limité 1 d’ordre n en 0.Le polynôme

∑nk=0 akx

k est alors la partie principale du développement limité d’ordre n de fen 0.

Théorème 9.1.1 (Unicité du développement limité) Si∑n

k=0 akxk et

∑nk=0 bkx

k sontles parties principales de développements limités d’ordre n de f en 0, alors pour tout k ∈N ∩ [0, n], ak = bk.

Démonstration 9.1.1 D’après la définition 9.1.4, on a :n∑

k=0

akxk −

n∑

k=0

bkxk =

n∑

k=0

(ak − bk)xk = o(xn).

Comme limx→0

o(xn) = 0, on a : a0 = b0. De même, de∑n

k=1(ak − bk)xk = o(xn), on déduit : a1 = b1, car

limx→0

o(xn)x = 0. Ainsi de suite jusqu’à, de (an − bn)xn = o(xn), on déduit : an = bn, car lim

x→0

o(xn)xn = 0.

Ce théorème d’unicité nous permet donc de parler du développement limité, et non pas : d’undéveloppement limité, d’une fonction donnée à l’ordre n en 0.Quel peut être le développement limité d’ordre 3 en 0, de la fonction f définie sur ]− 1, 1[ parx 7→ 1

1−x ?

On sait 2 que : 1−x4

1−x = 1 + x + x2 + x3. D’autre part : 11−x = 1−x4

1−x + x4

1−x . On en déduit :1

1−x = 1 + x + x2 + x3 + x4

1−x . Or, x4

1−x = x3 x1−x et lim

x→0

x1−x = 0, donc x4

1−x = o(x3). Nous avons

obtenu le DL d’ordre 3 en 0 de f :

1

1− x = 1 + x + x2 + x3 + o(x3).

Exercice 50 Montrer que le développement limité d’ordre 1 en 0 de la fonction définie parx 7→ (1 + x)2 est : 1 + 2x+ o(x).

Théorème 9.1.2 Soit n ∈ N. Si a0 + a1x + a2x2 + · · · + anx

n + o(xn) est le développementlimité d’ordre n de f en 0, alors, pour tout entier p, 0 6 p 6 n,

∑pk=0 akx

k + o(xp) est ledéveloppement limité d’ordre p de f en 0.

Démonstration 9.1.2 D’après la définition de o(xn), il existe une fonction ε définie et continue au voisinagede 0, telle que : o(xn) = xnε(x) et lim

x→0ε(x) = 0. Commençons par écrire :

n∑

k=0

akxk + o(xn) =

p∑

k=0

akxk + xp

n∑

k=p+1

akxk−p + xn−pε(x)

.

Pour k > p + 1, on a : limx→0

xk−p = 0. D’autre part : limx→0

xn−pε(x) = 0, puisque p 6 n et limx→0

ε(x) =

0. Donc, en posant : εp(x) =∑n

k=p+1 akxk−p + xn−pε(x), on a : f(x) =

∑pk=0 akx

k + xpεp(x), etlimx→0

εp(x) = 0. Ce qui correspond à la définition du développement limité d’ordre p de f en 0.

1. L’acronyme DL sera parfois employé pour développement limité.2. Quelque souvenir d’un cours sur les suites géométriques...


9.2. FORMULES DE TAYLOR 69

Le théorème 9.1.2 nous indique qu’il suffit de « couper » le DL d’ordre n pour en obtenir und’ordre inférieur.

Théorème 9.1.3 Soit f une fonction définie en 0 et au voisinage de 0.f admet un développement limité d’ordre 1 en 0, si et seulement si, f est dérivable, donccontinue, en 0. De plus, si f(x) = a0 + a1x + o(x), alors f(0) = a0 et f ′(0) = a1.

Démonstration 9.1.3 Supposons f dérivable en 0. Alors, limx→0x6=0

f(x)−f(0)x = f ′(0). Autrement dit : f(x)−f(0)

x =

f ′(x) + ε(x), avec limx→0

ε(x) = 0. D’où : f(x) = f(0) + f ′(0)x+ xε(x). On

reconnaît, puisque limx→0

ε(x) = 0, le développement limité d’ordre 1 de f en 0.

Réciproquement, si f(x) = a0 + a1x + o(x), alors f(0) = a0. De plus, f(x)−a0x = a1 + o(x)

x . D’où :

limx→0x6=0

f(x)−a0x = a1 = f ′(0).

Attention ! Il est faux de penser que toute fonction admettant un développement limité d’ordren en 0 est n fois dérivable en 0, pour n > 2.

Exercice 51 Considérons la fonction f définie pour x 6= 0 par f(x) = e−1/x2cos(

e1/x2)

, et

f(0) = 0.1. Montrer que pour tout n dans N : f(x) = o(xn).2. Montrer que f n’est pas deux fois dérivable en 0.

9.2 Formules de Taylor

Décrivons le principal outil utilisé pour obtenir des DL : les formules de Taylor. Rappelonsque f (k) désigne la dérivée d’ordre k de f ; c’est f dérivée k fois de suite. Rappelons égalementque k! = 1 si k = 0, et k! = 1× 2× · · · × k si k > 1.

Théorème 9.2.1 (Formule de Taylor avec reste intégral) Soit f une fonction 3 Cn+1 surun voisinage de 0 de type : ]a, b[, a < 0 et b > 0. Pour tout x ∈]a, b[, on a :

f(x) = f(0) +n∑

k=1

f (k)(0)

k!xk +

∫ x

0

f (n+1)(t)

n!(x− t)n dt.

Démonstration 9.2.1 Pour n = 0, la formule de Taylor s’écrit : f(x) = f(0) +∫ x0 f

′(t) dt. La formuleest donc vrai. Montrons que si la formule est vraie pour un entier donné alors elle est vrai pour l’entiersuivant 4. Supposons la formule démontrée pour n− 1 :

f(x) = f(0) +

n−1∑

k=1

f (k)(x)

k!xk +

∫ x

0

f (n)(t)

(n− 1)!(x− t)n−1 dt.

Or, en utilisant une intégration par parties, on obtient :∫ x

0

f (n)(t)

(n− 1)!(x− t)n−1 dt =

[

f (n)(t)

(n− 1)!

(

−(x− t)nn

)

]x

0

−∫ x

0

f (n+1)(t)

(n− 1)!

(

−(x− t)nn

)

dt

=f (n)(0)

n!xn +

∫ x

0

f (n+1)(t)

n!(x− t)n dt.

3. Une fonction est Cn+1 sur un intervalle donné quand elle est n+ 1 fois dérivable sur cet intervalle et quesa dérivée n+ 1-nième est continue sur l’intervalle.

4. Principe de la démonstration par récurrence.



Ce qui permet d’obtenir la formule pour n.

Proposition 9.2.2 Avec les hypothèses du théorème 9.2.1, on a :∫ x

0

f (n+1)(t)

n!(x− t)n dt = o(xn).

Démonstration 9.2.2 Comme f (n+1) est continue sur ]a, b[,∣

∣f (n+1)∣

∣ est majorée sur [0, x] si x > 0, ousur [x, 0] si x < 0. On a alors (inégalité de la moyenne) :

∣

∣

∣

∣

∣

∫ x

0

f (n+1)(t)

n!(x− t)n dt

∣

∣

∣

∣

∣

6 |x− 0|Mn!|x|n,

où M est un majorant de∣

∣f (n+1)∣

∣. D’où la proposition.

Utilisons la formule de Taylor pour déterminer des développements limités.La dérivée de x 7→ ex est x 7→ ex. Comme e0 = 1, ceci nous permet d’obtenir, pour tout ndans N :

ex = 1 + x +x2

2+x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ o(xn)

=n∑

k=0

xk

k!+ o(xn).

La dérivée de x 7→ cos x est x 7→ − sin x, celle de x 7→ sin x est x 7→ cos x. Comme cos 0 = 1et sin 0 = 0, on obtient, pour tout n dans N :

cos x = 1− x2

2+x4

4!+ · · ·+ (−1)n

x2n

(2n)!+ o(x2n+1)

=

n∑

k=0

(−1)kx2k

(2k)!+ o(x2n+1),

ainsi que :

sin x = x− x3

3!+x5

5!+ · · ·+ (−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2)

=

n∑

k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!+ o(x2n+2)

Exercice 52 On sait que tan′ x = 1 + tan2 x.1. Déterminer en fonction de tanx, les dérivées successives de x 7→ tanx, jusqu’à la dérivée

d’ordre 5.2. Quel est le développement limité d’ordre 5 en 0 de la fonction x 7→ tanx?

Exercice 53 En utilisant la formule de Taylor, déterminer le développement limité d’ordre 4en 0 de f(x) =

√1 + x.

Théorème 9.2.3 (Inégalité de Taylor-Lagrange) Soit n un nombre entier naturel. SoitM un nombre réel positif. Soient f une fonction définie au voisinage de 0, et x un nombre réeltels que :

– si x > 0, f soit Cn sur [0, x], admette une dérivée d’ordre n + 1 sur ]0, x[ vérifiant :

(∀t ∈]0, x[)∣

∣f (n+1)(t)∣

∣ 6 M ;


9.3. OPÉRATIONS SUR LES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 71

– si x < 0, f soit Cn sur [x, 0], admette une dérivée d’ordre n + 1 sur ]x, 0[ vérifiant :

(∀t ∈]x, 0[)∣

∣f (n+1)(t)∣

∣ 6 M.

Alors 5, on a :∣

∣

∣

∣

∣

f(x)−n∑

k=0

f (k)(0)

k!xk

∣

∣

∣

∣

∣

6M |x|n+1

(n+ 1)!.

Démonstration 9.2.3 Remarquons que les hypothèses sont ici moins fortes que dans le théorème 9.2.1.Notons I = [0, x] si x > 0, et I = [x, 0] si x < 0, et notons I l’intervalle I privé de ses extrémités.Définissons la fonction ϕ sur I par :

ϕ(t) = f(x)−n∑

k=0

f (k)(t)

k!(x− t)k.

ϕ est continue sur I et dérivable sur I. On a :

ϕ′(t) = −f ′(t)−n∑

k=1

(

f (k+1)(t)

k!(x− t)k − f (k)(t)

k!k(x− t)k−1

)

= −f ′(t)−n+1∑

p=2

f (p)(t)

(p− 1)!(x− t)p−1 +

n∑

k=1

f (k)(t)

(k − 1)!(x− t)k−1

= −f(n+1)(t)

n!(x− t)n

Posons pour tout t ∈ I, g(t) = −M(x−t)n+1

(n+1)! si x > 0, et g(t) = M(t−x)n+1

(n+1)! si x < 0. Dans les deux cas, on

a : |ϕ′(t)| 6 g′(t) pour tout t ∈ I. L’inégalité des accroissements finis 6 permet d’obtenir : |ϕ(x)− ϕ(0)| 6g(x) − g(0) qui n’est rien d’autre que l’inégalité de Taylor-Lagrange.

9.3 Opérations sur les développements limités

Proposition 9.3.1 (DL de la somme) Soient f et g des fonctions définies sur le mêmevoisinage de 0, et n un nombre entier naturel. Si

∑nk=0 akx

k +o(xn) et∑n

k=0 bkxk+o(xn) sont

les développements limités respectifs d’ordre n de f et de g en 0, alors :

n∑

k=0

(ak + bk)xk + o(xn)

est le développement limité d’ordre n en 0 de f + g.

Exercice 54 Démontrer la proposition 9.3.1.

La proposition 9.3.1 pourrait s’énoncer : « le développement limité de la somme est la sommedes développements limités ».

5. f (0) = f , puisque f (0) c’est f dérivée 0 fois.6. Inégalité des accroissements finis : a < b, si f et g sont continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[, et si

pour tout t ∈]a, b[, on a : |f ′(t)| 6 g′(t), alors |f(b)− f(a)| 6 g(b)− g(a).



Proposition 9.3.2 (DL du produit) Soient f et g des fonctions définies sur le même voi-sinage de 0, et n un nombre entier naturel. Si

∑nk=0 akx

k + o(xn) et∑n

k=0 bkxk + o(xn) sont

les développements limités respectifs d’ordre n de f et de g en 0, alors :

n∑

k=0

(

∑

p+q=k

(apbq)

)

xk + o(xn)

est le développement limité d’ordre n en 0 de fg.


f(x)g(x) =

(

n∑

k=0

akxk + o(xn)

)(

n∑

k=0

bkxk + o(xn)

)

(9.1)

=

2n∑

k=0

∑

p+q=k

apbq

xk + o(xn)

(

n∑

k=0

akxk +

n∑

k=0

bkxk + o(xn)

)

(9.2)

=n∑

k=0

∑

p+q=k

apbq

xk +2n∑

k=n+1

∑

p+q=k

apbq

xk + o(xn) (9.3)

=

n∑

k=0

∑

p+q=k

apbq

xk + xn+12n∑

k=n+1

∑

p+q=k

apbq

xk−(n+1) + o(xn) (9.4)

=n∑

k=0

∑

p+q=k

apbq

xk + o(xn) (9.5)

Le passage de (9.1) à (9.2) est obtenu en confondant les « o(xn) » de f et de g en un même o(xn).Dans (9.2), o(xn) est multiplié par une fonction bornée au voisinage de 0, puisque cette fonction a commelimite en 0 : a0 + b0 ; ce produit est donc un « o(xn) ». Notons que dans (9.4), l’exposant dans xk−(n+1)

est positif ou nul, car k > n+1. Donc, dans (9.4), xn+1 est multiplié par une fonction bornée au voisinagede 0 ; ce produit est donc un « o(xn) ». On passe de (9.4) à (9.5) en additionnant les deux « o(xn) ».

Pour obtenir le DL d’ordre n de fg en 0, il suffit donc de multiplier les parties principales desDL d’ordre n de f et de g, et de ne retenir que les monômes de degré inférieur ou égal à npour écrire la partie principale du DL de fg ; tout le reste disparaissant dans un o(xn).

Exercice 55 Déterminer le développement limité d’ordre 3 en 0 de la fonction f définie parf(x) = sin x− x cos x. En déduire la valeur de lim

x→0x6=0

sin x−x cos xx3 .

Proposition 9.3.3 (Intégration du DL) Soit f une fonction dérivable sur ]a, b[, avec a <0 < b. Si f ′ a pour développement limité d’ordre n en 0 :

∑nk=0 akx

k + o(xn), alors f admetpour développement limité d’ordre n en 0 :

f(x) = f(0) +

n∑

k=0

akk + 1

xk+1 + o(xn+1).


f(x)− f(0)−n∑

k=0

akk + 1

xk+1 =

∫ x

0f ′(t)−

n∑

k=0

aktk dt =

∫ x

0o(tn) dt.


9.3. OPÉRATIONS SUR LES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 73

Il suffit donc de montrer que∫ x0 o(t

n) dt = o(xn+1) pour que la proposition soit prouvée. Posons o(xn) =xnε(x), avec lim

x→0ε(x) = 0. Quel que soit le nombre ε > 0, on a pour x suffisamment proche de 0 :

|ε(x)| 6 ε ; par conséquent, pour t suffisamment proche de 0 : |o(tn)| 6 ε|t|n. Cette dernière inégalitéimplique :

∣

∣

∣

∣

∫ x

0o(tn) dt

∣

∣

∣

∣

6 ε|x|n+1.

Nous avons obtenu : quel que soit ε > 0, si x est suffisamment proche de 0, alors∣

∣

1xn+1

∫ x0 o(t

n) dt∣

∣ 6 ε.Donc

∫ x0 o(t

n) dt = o(xn+1).

Appliquons la proposition 9.3.3 à la fonction x 7→ ln(1 + x). La dérivée de cette fonction est :x 7→ 1

1+x. Comme, pour tout n ∈ N, n 6= 0 :

1

1 + x=

1

1− (−x) =n−1∑

k=0

(−x)k + o(xn−1),

on a :

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3+ · · ·+ (−1)n+1x

n

n+ o(xn)

=

n∑

k=1

(−1)k+1xk

k+ o(xn).

Exercice 56 On sait que la dérivée de x 7→ arctanx est x 7→ 11+x2 .

1. Déterminer le DL d’ordre 5 en 0 de x 7→ 11+x2 .

2. Déterminer le DL d’ordre 6 en 0 de x 7→ arctan x.


75

Chapitre 10

Probabilités

10.1 Introduction

10.1.1 Vocabulaire des événements

Définition 10.1.1 (Expérience aléatoire) Une expérience aléatoire (on dit aussi : une épreuve)est une expérience dont le résultat dépend du hasard.

Le jeu de pile ou face est un exemple d’expérience aléatoire ; le tirage du loto en est un autre.

Définition 10.1.2 (Éventualité) Les éventualités (ou : les issues) d’une expérience aléatoiresont les résultats possibles de cette expérience.

Au jeu de pile ou face, il y a deux éventualités : pile et face.

Définition et notation 10.1.3 (Univers) L’univers d’une expérience aléatoire est l’ensembledes éventualités de cette expérience. La notation classique de l’univers 1 est Ω.

Définition 10.1.4 (Événement) Un événement est une partie 2 (un sous-ensemble) de l’uni-vers.

Choisissons comme expérience aléatoire un lancé de dé à six faces, les faces étant numérotéesde 1 à 6. Dans ce cas l’univers est : Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. L’événement A = 2, 4, 6, est décritpar la phrase : « le résultat du lancé est un nombre pair ».

Définition 10.1.5 (Événement élémentaire) On appelle événement élémentaire tout évé-nement contenant une seule éventualité.

Définition 10.1.6 (Réalisation d’un événement) On dit que l’événement A est réalisélorsque le résultat de l’expérience appartient à A.

Définitions 10.1.7 (Événement certain, événement impossible) L’événement certain estl’événement toujours réalisé : l’univers. L’événement impossible est l’événement jamais réalisé :l’ensemble vide.

1. Ω est la lettre « omega » majuscule de l’alphabet grec.2. La pratique des probabilités à laquelle nous serons confrontés, ne nécessite pas de définition plus rigoureuse

d’événement. Sachez qu’en théorie des probabilités, théorie abstraite et relativement compliquée dont nospréoccupations sont éloignées, il est faux de croire que, dans tous les cas, toute partie de l’univers est unévénement.


76 CHAPITRE 10. PROBABILITÉS

10.1.2 Opérations sur les événements

Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire.

Définition 10.1.8 (A et B) Soient A et B des événements. L’événement A∩B est l’événe-ment « A et B ». A ∩B est réalisé uniquement quand A et B sont tous deux réalisés.

Ω

AHH

B@@

A ∩ B

Définition 10.1.9 (A ou B) Soient A et B des événements. L’événement A ∪ B est l’évé-nement « A ou B ». A ∪ B est réalisé quand A seul est réalisé, ou quand B seul est réalisé,ou quand A et B sont réalisés tous les deux.

Ω

AHH

B@@

A ∪ B

AA

Définition et notation 10.1.10 (Événement contraire) Soit A un événement. L’événe-ment 3 A = ΩrA est l’événement contraire de l’événement A. A est réalisé quand A n’est pasréalisé.

Ω

AHH

AAA

On remarque que A ∪ A = Ω et A ∩ A = ∅.

Définition 10.1.11 (Événements incompatibles) Soient A et B des événements. On ditque A et B sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent être réalisés en même temps ; autrementdit : A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅.

Ω

AHH

B@@

Exercice 57 Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

1. A et B sont incompatibles.

2. A ⊂ B.

3. B ⊂ A.

3. A est l’ensemble de tous les résultats de l’expérience aléatoire qui n’appartiennent pas à A. A est, en tantqu’ensemble, le complémentaire de A dans Ω. Les notations classiques pour A, en théorie des ensembles, sont :Ac (qui sous-entend ω) et ΩA.


10.1. INTRODUCTION 77

10.1.3 Probabilité

Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire.

Définition 10.1.12 (Probabilité) Une probabilité P sur Ω, associe à chaque événement unevaleur numérique qui mesure la chance qu’a cet événement d’être réalisé. P vérifie toujourstoutes les conditions suivantes :

1. Pour tout événement A, 0 6 P (A) 6 1.2. P (Ω) = 1.3. P (∅) = 0.4. (Additivité) Si A et B sont deux événements incompatibles, alors

P (A ∪B) = P (A) + P (B).

5. (σ-additivité) Soit (An)n∈N une suite d’événements deux à deux incompatibles (Ai∩Aj =∅ pour i 6= j). Alors,

P

(

⋃

n∈N

An

)

=+∞∑

n=0

P (An).

Exercice 58 Soit P une probabilité sur Ω. Montrer que :1. Pour tout événement A, P

(

A)

= 1− P (A).2. Si Ω a un nombre fini d’éléments, alors la somme des probabilités des événement élé-

mentaires vaut 1.3. Si l’événement A est un événement fini, et si pour tout x dans A, x est un événement,

alors P (A) =∑

x∈A P (x).4. Pour n’importe quels événements A et B, on a :

P (A ∪ B) = P (A) + P (B)− P (A ∩ B).

Exemple d’univers probabilisé 4 : Revenons à l’exemple du lancé d’un dé à six faces numérotéesde 1 à 6. Supposons que ce dé possède la propriété que chacune de ses faces ait la mêmechance d’être la face supérieure ; ce qui revient à affirmer que les nombres 1, 2, 3, 4, 5 et 6 onttous la même chance d’être obtenus. La probabilité P , mesurant la chance qu’un événementélémentaire soit réalisé lors d’un lancé, sera alors tout naturellement définie de la manièresuivante : P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = P (6) = 1/6. Comme laprobabilité P (A) d’un événement A vérifie ici : P (A) =

∑

x∈A P (x), on a la probabilité detout événement dès que l’on dispose de la probabilité des événements élémentaires.

Définition 10.1.13 (Équiprobabilité) On dit des événements A et B qu’ils sont équipro-bables lorsque P (A) = P (B). Pour une expérience aléatoire donnée, on dira qu’il y a équipro-babilité lorsque tous les événements élémentaires sont équiprobables.

Dans l’exemple du dé ci-dessus, on a un cas d’équiprobabilité.

Proposition 10.1.1 Supposons Ω fini. En cas d’équiprobabilité, on a pour tout événement A :

P (A) =nombre d′elements dans A

nombre d′elements dans Ω.

4. Univers probabilisé : univers muni d’une probabilité.



Exercice 59 On dispose de trois tiroirs pour ranger trois paires de chaussettes. Chaque tiroirest assez grand pour contenir les trois paires. On range au hasard les trois paires dans les troistiroirs ; tous les rangements sont équiprobables.Quelle est la probabilité d’avoir rangé une paire par tiroir?

Exercice 60 Quarante-neuf boules numérotées de 1 à 49 sont placées dans une urne. Pourobtenir le tirage gagnant du loto, on retire de l’urne six boules au hasard. On admet que toutesles boules ont la même probabilité d’être tirées. On joue une grille de six numéros.Quelle est la probabilité d’avoir joué trois numéros gagnants?Quelle est la probabilité d’avoir joué les six numéros gagnants?

10.2 Probabilités conditionnelles

Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire muni de la probabilité P .

Définition et notation 10.2.1 (Probabilité de B sachant A) Soient A et B des événe-ments. On suppose P (A) 6= 0. La probabilité de réalisation de B, sachant que A est réalisé,est :

P (B/A) =P (B ∩ A)

P (A).

Exercice 61 Montrer que pour des événements A et B vérifiant P (A) 6= 0 et P (B) 6= 0, ona : P (A ∩ B) = P (B/A)P (A) = P (A/B)P (B).

Définition 10.2.2 (Événements indépendants) On dit des événements A et B qu’ils sontindépendants lorsque P (A ∩ B) = P (A)P (B).

Exercice 62 Montrer que pour des événements A et B, P (A) 6= 0, on a : A et B sont indé-pendants si et seulement si P (B/A) = P (B).

Le résultat de cet exercice indique que la réalisation de A n’a aucune influence sur les chancesde réalisation de B.

Proposition 10.2.1 Si les événements A et B sont indépendants, alors A et B sont indé-pendants.

Corollaire 10.2.1.1 Si A et B sont indépendants, alors A et B le sont aussi, ainsi que A etB.

Démonstration 10.2.1 Comme P (A ∩ B) + P (A ∩ B) = P (B) et P (A ∩ B) = P (A)P (B), on a :P (A ∩B) = P (B)− P (A)P (B) = (1− P (A))P (B) = P (A)P (B).

Démonstration 10.2.1.1 Il suffit de remplacer dans l’énoncé de la proposition A et B par B et A, puis parB et A.

Exercice 63 Problème posé à Blaise Pascal par le chevalier de Méré (1654) :Deux joueurs jouent à un jeu de hasard en trois parties gagnantes. À chaque partie, les deuxjoueurs ont la même probabilité de gagner : 0,5. N’ayant pas le temps de terminer le jeu, lesdeux joueurs se séparent alors que le joueur A a remporté deux parties et que le joueur Ben a remporté une. Comment doivent-ils se répartir l’enjeu pour que chacun en ait une partproportionnelle à la probabilité qu’il a de gagner le jeu?


10.3. VARIABLES ALÉATOIRES ET LOIS DE PROBABILITÉ 79

Exercice 64 BTS groupement B, session 2001, exercice 1 (extrait)Une entreprise fabrique, en grande quantité, des pièces métalliques rectangulaires dont les cotessont exprimées en millimètres. Un contrôle de la qualité consiste à vérifier que la longueur etla largeur des pièces sont conformes à la norme en vigueur.Les résultats approchés seront arrondis à 10−3.Partie C(Partie B : Une partie des pièces de la production de l’entreprise est fabriquée par une machineautomatique notée « machine 1 ».)Une autre machine automatique de l’entreprise, notée « machine 2 » fabrique également cesmêmes pièces en grande quantité. On suppose que la probabilité qu’une pièce prélevée auhasard dans la production d’une journée de la machine 1 soit conforme est p1 = 0,914 et quela probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production d’une journée de la machine2 soit conforme est p2 = 0,879.La machine 1 fournit 60 % de la production totale de ces pièces et la machine 2 le reste decette production.On prélève au hasard une pièce parmi la production totale de l’entreprise de la journée. Toutesles pièces ont la même probabilité d’être tirées.On définit les événements suivants :A : « la pièce provient de la machine 1 » ;B : « la pièce provient de la machine 2 » ;C : « la pièce est conforme ».

1. Déterminer les probabilités P (A), P (B), P (C/A), P (C/B). (On rappelle que P (C/A)est la probabilité de l’événement C sachant que l’événement A est réalisé.)

2. En déduire P (C ∩ A) et P (C ∩B).3. En admettant que C = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B), calculer P (C).

Théorème 10.2.2 (Bayes) On considère les événements B1, B2, . . . , Bn mutuellement in-compatibles (Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j), et l’événement A vérifiant : A ⊂ B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn etP (A) 6= 0. Alors, pour tout k ∈ N ∩ [1, n], on obtient la formule de Bayes :

P (Bk/A) =P (Bk)P (A/Bk)

∑ni=1 P (Bi)P (A/Bi)

.

Lemme 10.2.2.1 Soient A et B des événements. On suppose P (A) 6= 0. Alors,

P (B/A) =P (B)P (A/B)

P (A).

Démonstration 10.2.2.1 Il suffit d’utiliser P (A ∩B) = P (A/B)P (B) = P (A)P (B/A).

Démonstration 10.2.2 Comme A ⊂ B1∪ · · · ∪Bn et Bi∩Bj = ∅ pour i 6= j, on a : P (A) =∑n

i=1 P (A∩Bi) =

∑ni=1 P (Bi)P (A/Bi). Cette égalité et le lemme appliqué à A et Bk permettent d’obtenir la formule

de Bayes.

10.3 Variables aléatoires et lois de probabilité

Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire muni de la probabilité P .



Définition 10.3.1 (Variable aléatoire) Une variable aléatoire définie sur Ω associe à chaqueissue, une valeur numérique. Les variables aléatoires que nous étudierons sont des applications(des fonctions) de Ω dans R.

Par exemple, au jeu de pile ou face, on peut décider qu’obtenir pile rapporte 1 e, alorsqu’obtenir face fait perdre 1 e. On définit alors la variable aléatoire X par : X(pile) = 1 etX(face) = −1, qui donne le gain en euros en fonction du résultat de l’expérience aléatoire.

Définitions et notations 10.3.2 (X 6 x, Fonction de répartition) Soit X une variablealéatoire définie sur Ω. L’ensemble des éléments de Ω dont l’image par X est inférieure ouégale au nombre réel x se note : X 6 x, et cet ensemble est un événement. La probabilité decet événement se note : P (X 6 x). La fonction de répartition de la variable aléatoire X est lafonction FX (parfois notée simplement : F ) définie sur R par :

FX(x) = P (X 6 x).

10.3.1 Variables aléatoires discrètes

Définition 10.3.3 (Variable aléatoire discrète) Soit X : Ω → R une variable aléatoire.On dit que X est une variable aléatoire discrète s’il n’y a pas plus d’images par X que d’élé-ments dans N.

Notations 10.3.4 (X = xi, P (X = xi)) Soit X une variable aléatoire discrète. Soit xi ∈R | i ∈ I, avec I ⊂ N, l’ensemble des images par X des éléments de Ω. Pour tout i dans I,l’ensemble des antécédents de xi par X : ω ∈ Ω|X(ω) = xi est l’événement noté : X = xi.La probabilité de l’événement X = xi se note : P (X = xi).

Définition 10.3.5 (Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète) Soit X unevariable aléatoire discrète. Soit xi ∈ R | i ∈ I, avec I ⊂ N, l’ensemble des images parX des éléments de Ω. La loi de probabilité de X est l’ensemble des couples : (xi, P (X = xi))pour i ∈ I.

Définition et notation 10.3.6 (Espérance) Soit X une variable aléatoire discrète prenantles valeurs 5 xi, pour i ∈ I ⊂ N. Dans le cas où I n’est pas une partie finie de N, on exigeque

∑

i∈I P (X = xi)|xi| soit une série numérique convergente 6. L’espérance (ou : l’espérancemathématique, ou encore : la moyenne) de la variable aléatoire X se note E(X) et est définiepar :

E(X) =∑

i∈IP (X = xi)xi.

Que représente l’espérance d’une variable aléatoire? Pour tenter de cerner la signification del’espérance d’une variable, le théorème suivant (admis) sera d’un grand secours.

Théorème 10.3.1 (Loi faible des grands nombres) Soit n ∈ N r 0. On considère unemême expérience aléatoire réalisée n fois dans les mêmes conditions. Soit Ω l’univers de l’ex-périence aléatoire, et P la probabilité dont Ω est muni. Soit X : Ω→ R une variable aléatoire

5. L’ensemble des images des éléments de Ω par X est : xi ∈ R | i ∈ I ⊂ N.6. Nous n’aurons, dans la pratique, pas à nous préoccuper d’étudier cette convergence. Cette contrainte

n’est présente dans la définition que pour que le cas : I infini, ne soit pas laissé de côté. Cette préoccupationthéorique ne devrait pas apparaître dans un sujet d’examen.



ayant pour espérance m. Pour k ∈ N ∩ [1, n], notons Xk la variable aléatoire égale à X etassociée à la k-ième réalisation de l’expérience aléatoire.Dans ces conditions, la suite des variables aléatoires Xn = 1

n

∑nk=1Xk converge en probabilité

vers m ; c’est à dire, pour tout ε > 0, limn→+∞

P(∣

∣Xn −m∣

∣ 6 ε)

= 1.

Ce théorème indique que pour n assez grand, il est preque certain que Xn prend la valeurm. En d’autres termes, on retrouve l’idée intuitive que plus l’expérience aléatoire est répétéede façon identique, plus la moyenne des valeurs prises par X lors de chaque répétition del’expérience se stabilise autour de l’espérance (appelée également : moyenne) de X. Ainsi,en repenant l’exemple figurant en page 80 du jeu de pile ou face, on a : E(X) = P (X =−1) · (−1) + P (X = 1) · 1 = −0,5 + 0,5 = 0 ; le “gain moyen par partie” est nul. Ce jeu de pileou face entre donc dans la catégorie des jeux équitables.

Définition 10.3.7 (Jeu équitable) Un jeu de hasard est dit équitable lorsque la variablealéatoire prenant pour valeurs les gains est d’espérance nulle.

Définition et notation 10.3.8 (Variance) Soit X une variable aléatoire discrète d’espé-rance E(X) ∈ R, et prenant les valeurs xi, i ∈ I ⊂ N. Dans le cas où I n’est pas une partiefinie de N, on exige que

∑

i∈I P (X = xi)x2i converge 7. La variance de X, notée V (X) ou

σ2(X), est définie par :

V (X) =∑

i∈IP (X = xi) (xi − E(X))2 = E

(

X2)

− (E(X))2 .

Définition et notation 10.3.9 (Écart-type) Soit X une variable aléatoire discrète de va-riance V (X) ∈ R+. L’écart-type de X, notée σ(X), est défini par :

σ(X) =√

V (X).

On rencontre parfois les notations σX ou σ pour l’écart-type.

Proposition 10.3.2 Avec les conditions de la définition 10.3.8, on a :

V (X) =∑

i∈IP (X = xi)x

2i − (E(X))2 .

Définitions 10.3.10 (Variable aléatoire centrée, réduite) Soit X une variable aléatoirediscrète. Si E(X) = 0, alors on dit que X est une variable aléatoire centrée. Si σ(X) = 1,alors on dit que X est une variable aléatoire réduite. Si E(X) = 0 et σ(X) = 1, alors on ditque X est une variable aléatoire centrée réduite.

Exercice 65 Le jeu consiste à lancer simultanément deux dés à six faces numérotées de unà six. Pour n’importe lequel des deux dés, toutes les faces ont la même probabilité d’êtreobtenues. Le résultat du lancé est la somme des nombres apparus sur la face supérieure dechacun des dés.La mise initiale d’un joueur est de α e.Si le joueur obtient 2, 3, 4, 5 ou 6, alors il perd sa mise.Si le joueur obtient 7 ou 8, alors il touche 9 e.Si le joueur obtient un résultat supérieur ou égal à 9, alors il touche 18 e.

7. Voir la note 6



On note X la variable aléatoire qui à chaque résultat de lancé associe la somme versée aujoueur.

1. À l’aide d’un tableau à doubles entrées, déterminer quel est l’événement élémentaire leplus probable (celui qui a la plus forte probabilité).

2. Que représente E(X)?3. Quel doit être le montant de la mise pour que le jeu soit équitable ? (Jeu équitable :

espoir de gain nul.)

10.3.2 Loi binomiale

Définition 10.3.11 (Schéma de Bernoulli) On considère une épreuve ayant deux issues 8 :a et b. On effectue, dans les mêmes conditions, n fois de suite cette épreuve (n ∈ N r 0).Les n répétitions de l’épreuve sont indépendantes les unes des autres.

À quoi ressemble l’univers du schéma de Bernoulli décrit ci-dessus? L’univers Ω est ici unensemble de n-uplets. Pour simplifier le problème supposons que l’expérience soit répétée troisfois. Dans ce cas,

Ω = (a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (b, a, a), (a, b, b), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b).

La notation (a, a, b) signifie que lors de la première expérience aléatoire, le résultat obtenu fut :a, lors de la seconde, le résultat fut : a, et lors de la troisième, le résultat fut : b. Supposonsque la probabilité d’obtenir a soit égale à p et que la probabilité d’obtenir b soit égale à q.Comme il n’y a que deux issues, on a : q = 1 − p. Les trois événements A : « le résultatde la première épreuve est a », B : « le résultat de la deuxième épreuve est a » et C : « lerésultat de la troisième épreuve est b » sont indépendants. On en déduit que P ((a, a, b)) =P (A∩B∩C) = P (A)P (B)P (C) = pp(1−p) = p2(1−p). Comme il y a autant de triplets où aapparaît deux fois que de sous-ensembles à deux éléments dans un ensemble à trois éléments,on obtient que la probabilité d’obtenir exactement deux fois le résultat a lorsque l’expériencealéatoire est répétée trois fois vaut : C2

3p2(1− p).

Théorème 10.3.3 On considère une épreuve ayant deux issues : a et b. La probabilité d’obte-nir a comme résultat de l’expérience aléatoire est p. La probabilité d’obtenir b est q = 1−p. Onrépète n fois cette épreuve dans les conditions du schéma de Bernoulli. Soit X la variable aléa-toire comptabilisant le nombre de réalisations de a au cours des n répétitions de l’épreuve.On a alors, pour tout 9 k ∈ [[0, n]] :

P (X = k) = Cknp

k(1− p)n−k.

Démonstration 10.3.3 La probabilité d’obtenir a lors des k premières répétitions de l’épreuve, puis b lorsdes n − k suivantes est, puisque les répétitions sont indépendantes les unes des autres, pk(1 − p)n−k.Comme il y a autant de n-uplets où a apparaît exactement k fois que de sous-ensembles à k éléments dansun ensemble à n éléments, on en déduit le théorème.

Définition et notation 10.3.12 (Loi binomiale B(n, p)) La variable aléatoire X du théo-rème 10.3.3 a pour loi de probabilité 10 la loi binomiale de paramètres n et p. Le premier

8. Ces deux issues sont parfois nommées : « succès » et « échec ».9. On rappelle que dans ce cours [[0, n]] = N ∩ [0, n].

10. On dit aussi : X suit la loi binomiale B(n, p).



paramètre : n, est le nombre de répétitions de l’épreuve à deux issues ; le second paramètre : p,est la probabilité d’obtenir a comme résultat de l’épreuve à deux issues. La loi binomiale deparamètres n et p se note : B(n, p).

Proposition 10.3.4 L’espérance de la variable aléatoire X, suivant la loi binomiale B(n, p),est :

E(X) = np.

Démonstration 10.3.4 Par définition, on a :

E(X) =

n∑

k=0

kCknpk(1− p)n−k =

n∑

k=1

kCknpk(1− p)n−k.

Or, pour k 6= 0 (et donc n 6= 0),

kCkn = kn!

k!(n− k)! = n(n− 1)!

(k − 1)!(n− 1− (k − 1))!= nCk−1

n−1.

On en déduit :

E(X) =np

n∑

k=1

Ck−1n−1p

k−1(1− p)n−1−(k−1)

=np

n−1∑

i=0

Cin−1pi(1− p)n−1−i = np(p+ 1− p)n−1 = np.

Proposition 10.3.5 La variance 11 de la variable aléatoire X, suivant la loi de probabilitéB(n, p), est :

V (X) = np(1− p).

Démonstration 10.3.5 La variance de X est donnée par :

V (X) =n∑

k=0

k2Cknpk(1− p)n−k − (E(X))2 =

n∑

k=1

k2Cknpk(1− p)n−k − (np)2.

D’après la démonstration 10.3.4, on a :

n∑

k=1

k2Cknpk(1− p)n−k = np

n∑

k=1

kCk−1n−1p

k−1(1− p)n−1−(k−1)

= np

n−1∑

i=0

(i+ 1)C in−1p

i(1− p)n−1−i

= np

(

n−1∑

i=0

iCin−1pi(1− p)n−1−i +

n−1∑

i=0

Cin−1pi(1− p)n−1−i

)

= np(

(n− 1)p+ (p+ (1− p))n−1)

= np(np− p+ 1) = (np)2 + np(1− p)

D’où : V (X) = np(1− p).

11. La variance de la variable aléatoire X suivant la loi B(n, p) n’est pas donnée dans le formulaire ; c’estl’écart-type qui est donné par σ(X) =

√npq, avec q = 1− p.



Exercice 66 BTS groupement B, session 2001,exercice 1 (extrait)

Introduction (Voir l’exercice 64 page 79.)Partie AOn note E l’événement : « une pièce prélevée au hasard dans le stock de l’entreprise estconforme ».On suppose que la probabilité de l’événement E est 0,9.On prélève au hasard 10 pièces dans le stock. Le stock est assez important pour qu’on puisseassimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 pièces.On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 10 pièces, associe le nombrede pièces conformes parmi ces 10 pièces.

1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera lesparamètres.

2. Calculer la probabilité que, dans une tel prélèvement, 8 pièces au moins soient conformes.

Exercice 67 BTS Comptabilité gestion, session 2000, exercice 2

Dans une entreprise, un stage de formation à l’utilisation d’un nouveau logiciel de gestion aété suivi par 25 % du personnel. Ainsi la probabilité qu’une personne choisie au hasard dansl’entreprise ait suivi ce stage est p = 0,25.Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.Partie AOn choisit au hasard n personnes de cette entreprise. On suppose que l’effectif est suffisammentimportant pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.

1. Dans cette question, n = 10.On note X la variable aléatoire qui, à tout ensemble de 10 personnes ainsi choisies,associe le nombre de personnes ayant suivi le stage.

(a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. Indiquer les paramètres de cette loi.(b) Déterminer, à 10−2 près, la probabilité des événements suivants :

E1 : « Parmi 10 personnes choisies au hasard, exactement 2 personnes ont suivi lestage » ;

E2 : « Parmi 10 personnes choisies au hasard, au plus une personne a suivi lestage ».

2. Dans cette question, n = 500.On note Y la variable aléatoire qui, à tout ensemble de 500 personnes choisies, associele nombre de personnes ayant suivi le stage. On admet que la variable aléatoire Y suitla loi binomiale de paramètres n = 500 et p = 0,25.

(a) Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire Y .En donner une interprétation.Déterminer une valeur approchée, arrondie à 10−1 près, de l’écart-type de la variablealéatoire Y .

(b) (question relative à une loi normale)

Partie BDans cette entreprise, le personnel comprend 52 % de femmes.L’événement F : « une personne choisie au hasard dans l’entreprise est une femme » a doncpour probabilité P (F ) = 0,52.On rappelle que 25 % du personnel a suivi le stage de formation à l’utilisation du nouveaulogiciel de gestion.



L’événement S : « une personne choisie au hasard dans l’entreprise a suivi le stage » a doncpour probabilité P (S) = 0,25.Enfin, 40 % du personnel féminin de cette entreprise a suivi le stage. La probabilité condition-nelle correspondante est P (S/F ) = 0,4 ou PF (S) = 0,4.

1. Calculer la probabilité de l’événement A : « une personne choisie au hasard dans l’entre-prise est une femme et a suivi le stage ».

2. Calculer la probabilité de l’événement B : « une personne choisie au hasard parmi lespersonnes ayant suivi le stage est une femme ».

10.3.3 Loi de Poisson

Soit n ∈ N, k ∈ [[0, n]] et p ∈ [0, 1]. On suppose que le produit np est constant. On poseλ = np. Le nombre k étant fixé, la quantité Ck

npk(1− p)n−k a-t-elle une limite lorsque n tend

vers +∞ (et p tend vers 0, puisque np est constant)?

Cknp

k(1− p)n−k = Ckn

(

λn

)k (1− λ

n

)n−k.

Calculons la limite de(

1− λn

)n−k, quand n tend vers +∞.

On sait que :(

1− λn

)n−k= exp

(

(n− k) ln(

1− λn

))

. Le développement limité à l’ordre 1 det 7→ ln(1+t) étant t+o(t), on en déduit que : ln

(

1− λn

)

= −λn+o(

λn

)

. D’où, (n−k) ln(

1− λn

)

=

− (n−k)λn

+ ε(

1n

)

, où ε désigne une fonction continue en 0 et telle que ε(0) = 0. On sait quelim

n→+∞n−kn

= 1. On en déduit : limn→+∞

(n − k) ln(

1− λn

)

= −λ. La continuité de la fonction

exponentielle parmet alors d’obtenir : limn→+∞

exp(

(n− k) ln(

1− λn

))

= exp(−λ).

Cknλk

nk = n!k!(n−k)!

λk

nk = n(n−1)(n−2)···(n−(k−1))nk

λk

k!.

Le produit n(n− 1) · · · (n− (k − 1)) est constitué de k facteurs.On a : n(n−1)···(n−(k−1))

nk = 1(

1− 1n

) (

1− 2n

)

· · ·(

1− k−1n

)

.

Comme limn→+∞

(

1− mn

)

= 1, pour tout entier m fixé, on a : limn→+∞

Cknλk

nk = λk

k!.

Conclusion : limn→+∞

Ckn

(

λn

)k (1− λ

n

)n−k= exp(−λ)λ

k

k!.

Définition et notation 10.3.13 (Loi de Poisson P(λ)) Soit λ ∈ R∗+. On dit que la va-

riable aléatoire discrète X, à valeurs dans N, suit la loi de Poisson de paramètre λ, notée :P(λ), si pour tout k dans N :

P (X = k) =λk

k!e−λ.

D’après ce qui précède cette définition, la loi de Poisson peut servir d’approximation d’une loibinomiale B(n, p) lorsque n est assez grand et p proche de 0 ; et dans ce cas, on utilisera la loide Poisson P(np) comme approximation de B(n, p).

Proposition 10.3.6 Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Poisson P(λ). Alors,

E(X) = λ.

Démonstration 10.3.6 On sait que : E(X) =∑+∞

k=0 kλk

k! e−λ = lim

N→+∞

∑Nk=0 k

λk

k! e−λ. Or,

∑Nk=0 k

λk

k! e−λ =

∑Nk=1 k

λk

k! e−λ = e−λλ

∑Nk=1

λk−1

(k−1)! = e−λλ∑N−1

k=0λk

k! .On en déduit : E(X) = e−λλ∑+∞

k=0λk

k! = e−λλeλ =

λ.

Proposition 10.3.7 Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Poisson P(λ). Alors,

V (X) = λ.



Démonstration 10.3.7 On sait que :

V (X) =∑+∞

k=0 k2 λk

k! e−λ − λ2 = lim

N→+∞

(

∑Nk=0 k

2 λk

k! e−λ)

− λ2. Or,

∑Nk=0k

2 λk

k! e−λ =

∑Nk=1 k

2 λk

k! e−λ = λe−λ

∑Nk=1 k

λk−1

(k−1)!

=λe−λ∑N−1

k=0 (k + 1)λk

k! = λe−λ(

∑N−1k=0

λk

k! +∑N−1

k=0 kλk

k!

)

=λe−λ(

∑N−1k=0

λk

k! + λ∑N−1

k=1λk−1

(k−1)!

)

= λe−λ(

∑N−1k=0

λk

k! + λ∑N−2

k=0λk

k!

)

.

On obtient donc : limN→+∞

∑Nk=0 k

2 λk

k! e−λ = λe−λ

(

eλ + λeλ)

= λ+ λ2. D’où : V (X) = λ.

Exercice 68 BTS groupement A session 2001, exercice 2

Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés à 10−4 près.La question 3 peut être traitée indépendamment des questions 1 et 2.

Une entreprise produit des batteries de téléphone portable. Au cours de la production peuventapparaître deux défauts indépendants que l’on appellera défaut A et défaut B. La probabilitéque le défaut A apparaisse vaut 0,02 et la probabilité que le défaut B apparaisse vaut 0,01.

1. Calculer la probabilité qu’une batterie soit défectueuse, c’est-à-dire qu’elle comporte aumoins un des deux défauts.

2. On prélève au hasard dans la production un échantillon de 100 batteries. La productionest suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avecremise.Soit X la variable aléatoire qui à tout échantillon de taille 100 associe le nombre debatteries défectueuses.

(a) Quelle est la loi de probabilité que suit la variable aléatoire X ? Donner son espé-rance mathématique et sa variance.

(b) On admet que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson. Quel est leparamètre de cette loi de Poisson?En utilisant cette approximation, calculer la probabilité que l’échantillon comporteplus de deux batteries défectueuses.

3. (Question relative à une loi normale).

Exercice 69 BTS Informatique Industrielle, session 1993, exercice 3

Un rayon laser est dirigé vers une cible difficile à atteindre. D’une statistique préalable, ondéduit que la probabilité pour que ce rayon atteigne la cible est 0,01. On fait l’expérience quiconsiste à émettre n fois le rayon laser, les émissions étant deux à deux indépendantes et ayantmême probabilité d’atteindre la cible.Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où la cible est atteinte par le rayon laserau cours de cette expérience.

1. Déterminer la loi de probabilité suivie par X.Dans le cas où n = 300, calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de cette loi.

2. Pour une expérience avec un nombre n d’essais, n > 50, on admet qu’il est légitimed’approcher la loi de probabilité de X par une loi de Poisson.

(a) Donner en fonction de n le paramètre λ de cette loi de Poisson.(b) On estime que l’expérience est concluante lorsque le rayon laser atteint au moins

trois fois la cible. Donner les valeurs de X correspondant à l’événement « expériencenon concluante », et exprimer la probabilité de cet événement en fonction de λ.



(c) Soit la fonction f définie pour x positif ou nul par :

f(x) = e−x(

1 + x +x2

2

)

.

Étudier le sens de variation de f et calculer f(6,1), f(6,2) et f(6,3).

(d) En utilisant les résultats de la question 2.c donner un nombre n0 d’essais à partirduquel la probabilité de l’événement « expérience concluante » est strictementsupérieur à 0,95.

10.3.4 Variables aléatoires continues

Définition 10.3.14 (Variable aléatoire continue) Lorsqu’une variable aléatoire peut prendretoutes les valeurs d’un intervalle non vide et non réduit à un point, on dit que c’est une variablealéatoire continue.

Exercice 70 Soit X une variable aléatoire continue. Montrer que pour tout a et tout b dansR, a < b :

P (a < X 6 b) = P (X 6 b)− P (X 6 a).

Définition 10.3.15 (Densité de probabilité) Soit f une fonction continue, sauf éventuel-lement en un nombre fini de points, définie sur R et à valeurs dans [0, +∞[. On dit que f estune densité de probabilité 12 si :

∫ +∞−∞ f(t) dt = 1.

Définition 10.3.16 Soit f une densité de probabilité. On dit que la variable aléatoire continueX a pour densité de probabilité f lorsque la fonction de répartition FX de X vérifie :

(∀x ∈ R) FX(x) = P (X 6 x) =

∫ x

−∞f(t) dt.

On a alors :(∀x ∈ R) F ′

X(x) = f(x).

Ainsi que, pour tout a et tout b réels tels que a < b :

P (a < X 6 b) =

∫ b

a

f(t) dt.

Définition et notation 10.3.17 (Espérance 13) Soit X une variable aléatoire continue dedensité de probabilité f . Alors 14 l’espérance (espérance mathématique, moyenne) E(X) de lavariable aléatoire X est définie par :

E(X) =

∫ +∞

−∞tf(t) dt.

12.∫ +∞

−∞f(t) dt = lim

a→−∞

(

limb→+∞

∫ b

af(t) dt

)

= limb→+∞

(

lima→−∞

∫ b

af(t) dt

)

13. Quelques éclaircissements sur la notion d’espérance peuvent être lus page 80.14. Avec des conditions de convergence de l’intégrale dont nous ne nous préoccuperons pas.



Définition et notation 10.3.18 (Variance) Soit X une variable aléatoire continue de den-sité de probabilité f . Alors 15 la variance V (X) de la variable aléatoire X est définie par :

V (X) =

∫ +∞

−∞t2f(t) dt− (E(X))2 = E

(

X2)

− (E(X))2 .

Définition et notation 10.3.19 (Écart-type) Soit X une variable aléatoire continue devariance V (X). L’écart-type σ(X) de X est difini par :

σ(X) =√

V (X).

Exercice 71 On considère la fonction f définie sur R par :

f(x) =

0 si x 6∈ [0, 1]

1 si x ∈ [0, 1]

1. Montrer que f est une densité de probabilité.2. Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f .

Calculer la moyenne et l’écart-type de X.

Exercice 72 On considère la fonction f définie sur R par :

f(x) =

0 si x ∈]−∞, 0[

exp(−x) si x ∈ [0, +∞[

1. Montrer que f est une densité de probabilité.2. Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f .

Calculer la moyenne et l’écart-type de X.

10.3.5 Loi normale (loi de Laplace-Gauss)

Proposition 10.3.8 Soient m ∈ R et σ ∈ R∗+. Alors f : R → R, x 7→ 1

σ√

2πexp

(

− (x−m)2

2σ2

)

est une densité de probabilité.

Définition et notation 10.3.20 (Loi normale N (m, σ)) Soient m ∈ R et σ ∈ R∗+. On

dit que la variable aléatoire continue X suit la loi normale N (m, σ), lorsque la densité deprobabilité de X est la fonction f définie sur R par :

f(t) =1

σ√

2πe−

(t−m)2

2σ2 .

Remarque : Si X suit la loi normale N (m, σ), alors pour tout a et tout b dans R, a < b :

P (a < X 6 b) = P (a < X < b) = P (a 6 X < b) = P (a 6 X 6 b).

Proposition 10.3.9 Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (m, σ). Alors,

E(X) = m.

15. Voir la note 14



Démonstration 10.3.9 En faisant abstraction de l’étude de la convergence des intégrales, on a :

E(X) =1

σ√

2π

∫ +∞

−∞x exp

(

−1

2

(

x−mσ

)2)

dx

= − σ√2π

∫ +∞

−∞− 1

σ

(

x−mσ

)

exp

(

−1

2

(

x−mσ

)2)

dx

+m1

σ√

2π

∫ +∞

−∞exp

(

−1

2

(

x−mσ

)2)

dx

= − σ√2π

[

exp

(

−1

2

(

x−mσ

)2)]+∞

−∞+m

= 0 +m = m

Proposition 10.3.10 Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (m, σ). Alors,

V (X) = σ2.

Démonstration 10.3.10 En faisant abstraction de l’étude de la convergence des intégrales, on a :

E(X2) =1

σ√

2π

∫ +∞

−∞x2 exp

(

−1

2

(

x−mσ

)2)

dx

=σ√2π

∫ +∞

−∞x

1

σ

(

x−mσ

)

exp

(

−1

2

(

x−mσ

)2)

dx

+m1

σ√

2π

∫ +∞

−∞x exp

(

−1

2

(

x−mσ

)2)

dx

D’une part, m 1σ√

2π

∫ +∞−∞ x exp

(

−12

(

x−mσ

)2)

dx = m2. D’autre part, une intégration par parties de

σ√2π

∫ +∞−∞ x 1

σ

(

x−mσ

)

exp(

−12

(

x−mσ

)2)

dx permet d’obtenir comme résultat σ2. Comme V (X) = E(X2)−(E(X))2, on obtient : V (X) = σ2.

On remarque que les paramètres m et σ de la loi normale N (m, σ) correspondent respecti-vement à la moyenne (l’espérance) et à l’écart-type de toute variable aléatoire suivant cetteloi.

Définition 10.3.21 (Loi normale centrée réduite) La loi normale dont les paramètressont : m = 0 et σ = 1, notée N (0, 1), s’appelle la loi normale centrée réduite.

Notation 10.3.22 La fonction de répartition d’une variable aléatoire T qui suit la loi normalecentrée réduite N (0, 1) est notée : Π. On a donc :

Π(t) = P (T 6 t) =

∫ t

−∞

1√2π

exp

(

−x2

2

)

dx.

La courbe représentative de la fonction f : R→ R, x 7→ 1√2π

exp(

−x2

2

)

, densité de probabilité

d’une variable aléatoire suivant une loi normale centrée et réduite est donnée ci-dessous :

−3 −2 −1 1 2 3

0,5

.......................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................

............................................................

..................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................



Cette courbe « en cloche » est une gaussienne 16.

Proposition 10.3.11 Pour tout t dans R :

Π(−t) = 1− Π(t).


Π(−t) =

∫ −t

−∞

1√2π

exp

(

−x2

2

)

dt.

Le changement de variable u = −x, permet d’obtenir :

Π(−t) =

∫ t

+∞− 1√

2πexp

(

−u2

2

)

du =

∫ +∞

t

1√2π

exp

(

−u2

2

)

du

=1−∫ t

−∞

1√2π

exp

(

−u2

2

)

du = 1−Π(t).

Une « démonstration » plus visuelle et moins rigoureuse, consiste à utiliser la parité de la fonction densitéde probabilité. On voit alors (dessin réalisé pour t > 0), que l’aire Π(−t) de la partie du plan compriseentre la courbe et l’axe des abscisses, située à gauche de la droite d’équation x = −t, est égale à l’aire1 − Π(t) de la partie du plan comprise entre la courbe et l’axe des abscisses, située à droite de la droited’équation x = t.

−3 −2 −1 1 2 3

0,5

.......................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................

............................................................

................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

t−t

Proposition 10.3.12 Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (m, σ). Notons T la va-riable aléatoire définie pour tout ω dans Ω, par : T (ω) = X(ω)−m

σ. Alors, T est une variable

aléatoire centrée réduite, et T suit la loi normale centrée réduite N (0, 1).


FT (x) =P (T 6 x) = P

(

X −mσ

6 x

)

= P (X 6 σx+m)

=

∫ σx+m

−∞

1

σ√

2πe−

(t−m)2

2σ2 dt.

Le changement de variable u = t−mσ dans cette dernière intégrale, permet d’obtenir :

FT (x) =

∫ x

−∞

1√2πe−

u2

2 du.

On en déduit que T suit la loi normale N (0, 1). Alors, d’après les propositions 10.3.9 et 10.3.10, on a :E(T ) = 0 et σ(T ) =

√

V (T ) = 1.

Théorème 10.3.13 (Moivre-Laplace) Soit Xn une variable aléatoire suivant la loi bino-miale B(n, p). On associe à Xn la variable centrée réduite Tn définie par : Tn = Xn−np√

np(1−p).

Alors, pour tout a et tout b dans R, a < b, on a :

limn→+∞

P (a < Tn 6 b) =

∫ b

a

1√2π

exp

(

−x2

2

)

dx.

16. On appelle gaussienne une courbe représentative d’une densité de probabilité d’une variable aléatoiresuivant une loi de Laplace-Gauss.



Dans la pratique, pour n assez grand (n > 50) et p ni voisin de 0 ni voisin de 1, on estime que

la loi normale N(

np,√

np(1− p))

est une bonne approximation de la loi binomiale

B(n, p).

Exercice 73 BTS groupement A session 2001, exercice 2

(Voir exercice 68 page 86)3. On s’intéresse dans cette question à la durée de décharge des batteries. On note Y la

variable aléatoire qui à tout échantillon de 100 batteries asssocie la moyenne des duréesde décharge. On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de paramètresm = 80 et σ = 0,4.

(a) Calculer la probabilité : P (79 6 Y 6 81).(b) Déterminer le réel a tel que : P (Y > a) = 0,95. On donnera une valeur décimale

approchée à 10−2 près par défaut de a.(c) Calculer la probabilité de l’événement :

« (Y > 80) sachant que (Y > 79,34) ».


Etude d’une fabricationUne machine fabrique des pièces. On admet que la variable aléatoire X prenant pour valeurla longueur des pièces en cm suit la loi normale de moyenne 54,6 et d’écart-type 0,05.

1. Une pièce est acceptable si sa longueur en cm appartient à l’intervalle [54,50; 54,70].On tire une pièce au hasard. Quelle est la probabilité pour que cette pièce soit acceptable?

2. L’usine possède 75 machines indépendantes les unes des autres. La probabilité qu’unemachine tombe en panne au cours d’une journée est p = 0,04.Soit Y la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de machines tombées en panneau cours d’une journée.

(a) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y ? Calculer la probabilitéd’avoir exactement une machine en panne au cours d’une journée. On donnera laréponse à 0,01 près.

(b) On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire Y peut être approchéepar une loi de Poisson.Donner le paramètre de cette loi de Poisson.Pour une journée donnée, en utilisant cette approximation, calculer la probabilitéd’avoir au moins 70 machines ne tombant pas en panne. On donnera la réponse à0,01 près.

Exercice 75 BTS Électrotechnique, session 1998, exercice 1

N.B. : Les résultats numériques seront donnés avec une précision de 10−3.Pour entrer sur une section d’autoroute, on jette une pièce de 10 F dans un panier. La massede la pièce est alors testée par un appareil. L’appareil accepte les pièces dont la masse estcomprise entre 6,455 g et 6,525 g.

I. On noteX la variable aléatoire qui à chaque pièce de 10 F frappée par la Banque de Franceassocie sa masse exprimée en grammes. Cette variable aléatoire suit une loi normale demoyenne m = 6,49 et d’écart-type σ = 0,015.Calculer la probabilité qu’une pièce de 10 F frappée par la Banque de France soit acceptéepar l’appareil.



II. Des faussaires mettent en circulation un grand nombre de fausses pièces de 10 F. On noteY la variable aléatoire qui à chaque fausse pièce associe sa masse exprimée en grammes.Cette variable aléatoire Y suit une loi normale de moyenne m′ = 6,56 et d’écart-typeσ′ = 0,02.Calculer la probabilité qu’une fausse pièce de 10 F soit acceptée par l’appareil (on pourraprendre 1 comme valeur appprochée de Π(t) lorsque t est supérieur à 5).

III. On estime que :

– 120

des pièces de 10 F jetées dans le panier ont été mises en circulation par lesfaussaires.

– Les autres pièces de 10 F jetées dans le panier ont été frappées par la Banque deFrance.

Soit A l’événement « la pièce de 10 F jetée dans le panier est acceptée par l’appareil ».Soit B l’événement « la pièce de 10 F jetée dans le panier a été frappée par la Banquede France » et B l’événement contraire.Dans la suite on suppose que la probabilité de l’événement « A sachant que B est réalisé »est 0,98 et que la probabilité de l’événement « A sachant que B est réalisé » est 0,04.

1. Calculer la probabilité de l’événement A.

2. a) Calculer la probabilité qu’une pièce de 10 F jetée dans le panier ait été frappée parla Banque de France et soit refusée par l’appareil.

b) Calculer la probabilité qu’une pièce de 10 F jetée dans le panier ait été mise encirculation par les faussaires et soit acceptée par l’appareil.


On se propose d’étudier la transmission d’une page de texte entre un émetteur et un récepteur.Une ligne de transmission entre un émétteur et un récepteur transporte des pages de texte,chaque page étant représentée par 100 000 bits (caractères, information de transmission et decontrôle). La Probabilité pour qu’un bit soit erroné est estimée à 0,0001, et on admet que leserreurs sont indépendantes les unes des autres.

A) Soit X la variable aléatoire donnant le nombre d’erreurs lors de la tranmission d’une page.

1) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Quelle est la moyennede X ? Quel est l’écart-type de X ?

2) On admet que cette loi peut être approchée par une loi normale de paramètres m = 10et σ =

√10.

Dans ces conditions, déterminer la probabilité pour qu’une page comporte au plus 15erreurs.

B) Pour corriger les erreurs commises à la suite de la transmission d’une page, on transmetcette page autant de fois qu’il faut jusqu’à l’obtention d’une page sans erreur détectée.Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de transmissions d’une même page, nécessairespour obtenir une page sans erreur détectée par le récepteur. Soit p = 0,05 la probabilité detransmission d’une page sans détection d’erreur, et q = 1−p la probabilité de transmissiond’une page avec détection d’erreur.On admet que Y suit la loi de probabilité P définie par : P (Y = n) = qn−1p, où n est unentier naturel non nul.

1) Calculer P (Y 6 5).

2) Montrer que P (Y 6 n) = 1− qn.



3) Dans le cas d’un traitement informatique où l’on ne dispose pas d’une fonction permet-tant le calcul d’une puissance, donner un algorithme qui calcule P (Y = n) et P (Y 6 n)pour n entier supérieur ou égal à 1.

Exercice 77 BTS groupe A, session 2000, Nouvelle Calédonie, exercice 3

On produit en grande série des tiges. À chaque tige de la production on associe sa longueurx exprimée en millimètres. On définit ainsi une variable aléatoire X. On admet que X suit laloi normale de moyenne 171 et d’écart-type 6,2.

1. On prélève au hasard, une pièce de la production.

(a) Calculer la probabilité que la pièce ait une taille inférieure à 160 mm.(b) Calculer la probabilité que la pièce ait une taille supérieure à 195 mm.

2. Déterminer, avec la précision permise par les tables, le réel r tel que :

P (|X − 171| 6 r) = 0,984.

Donner la valeur approchée de r à une unité près par excès.3. Une pièce est jugée défectueuse si sa longueur n’est pas un élément de l’intervalle

[156, 186].

(a) Calculer, à 10−3 près, la probabilité qu’une pièce prise au hasard dans la productionsoit défectueuse.

(b) On prélève, au hasard et avec remise, un échantillon de 20 tiges dans la production.On désigne par Y la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de tiges dé-fectueuses d’un tel échantillon. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variablealéatoire Y . Calculer à 10−3 près, la probabilité que sur 20 tiges prélevées, au plus2 soient défectueuses.

Exercice 78 BTS Électrotechnique, session 2001, Nouvelle Caladonie, exer-cice 3

Une entreprise possède un parc d’ordinateurs. On s’intéresse au nombre d’ordinateurs immobi-lisés plus de 15 jours dans l’année, suite à une panne. On note X la variable aléatoire prenantpour valeurs le nombre d’ordinateurs immobilisés plus de 15 jours dans l’année. On supposeque X suit la loi normale de paramètres m = 3,92 et σ = 2,14.

1. Calculer P (X > 2).2. Calculer P (2 6 X 6 6).3. Sachant qu’il y a au moins 2 ordinateurs immobilisés depuis plus de 15 jours, calculer la

probabilité que le nombre d’ordinateurs immobilisés plus de 15 jours dans l’année soitau plus égal à 6.

Exercice 79 BTS Biochimiste, session 1996, exercice 1

Une entreprise produit en très grande quantité des ampoules d’une solution injectable.

La probabilité qu’une ampoule, prise au hasard dans la production de l’usine, ne suive pas lecahier des charges et soit donc considérée comme défectueuse est 0,001.

1. On prélève au hasard 100 ampoules dans la production d’une journée. Le prélèvements’effectue avec remise. On appelle X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombred’ampoules défectueuses de ce prélèvement.Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ?Préciser ses paramètres, son espérance mathématiques, sa variance et son écart-type.



2. On admet que l’on peut approcher la loi de probabilité de X par une loi de Poisson.

(a) Quel est le paramètre de cette loi de Poisson?(b) Calculer les probabilités des événements suivants :

A : « il n’y a aucune ampoule défectueuse dans le prélèvement ».B : « il y a au plus deux ampoules défectueuses dans le prélèvement ».

3. On a mesuré le volume de liquide dans chaque ampoule de ce prélèvement, et on a obtenules résultats suivants :

Volumeen cm3 [4,94 ; 4,96[ [4,96 ; 4,98[ [4,98 ; 5,00[ [5,00 ; 5,02[

Effectif 11 22 30 18

Volumeen cm3 [5,02 ; 5,04[ [5,04 ; 5,06[ [5,06 ; 5,08[

Effectif 10 8 1

Dans ce qui suit, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au centièmele plus proche.

(a) Calculer une approximation de la moyenne x et de l’écart-type σe de cette sériestatistique.

(b) Soit Y une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Calculer le réelt0,01 tel que P (−t0,01 6 Y 6 t0,01) = 0,99.(La dernière partie de la question porte sur un problème d’estimation)


95

Chapitre 11

Suites numériques

K désigne indifféremment R ou C.

11.1 Comportement global

Définition et notation 11.1.1 (Suite d’éléments de K) Soit A une partie de N. Une suited’éléments de K indexés par les éléments de A est une fonction définie sur A et à valeurs dansK. L’image de l’entier n par la suite u est notée un.

On remarque que contrairement à l’usage en vigueur pour les fonctions plus générales, on noteun l’image de n par u, alors que cette image devrait être notée u(n). Cette façon de noterl’image de n par u met l’accent sur l’indice n du nombre un, de sorte qu’il est habituel denoter la suite u : (un)n∈A. On remarquera qu’un élément de K peut être indicé par différentséléments de A, de même que des nombres différents peuvent avoir la même image par unefonction donnée. Il ne faut donc pas confondre unn∈A = y ∈ K | (∃n ∈ A) y = un avec(un)n∈A.

Dans la pratique, le sous-ensemble A de N est : soit N lui-même ; soit 1 N r 0.

Définition 11.1.2 (Terme) Soit u : A→ K une suite d’éléments de K. On dit que le nombrey de K est un terme de u lorsqu’il existe n dans A tel que un = y.

On dira ainsi d’une suite qu’elle est, par exemple, à termes positifs quand u est à valeurs dans[0, +∞[.

Définition 11.1.3 (Terme général) Soit u : A→ K une suite d’éléments de K. Le nombreun = u(n) qui dépend de n (n ∈ A), est appelé : terme général de la suite u.

Définition 11.1.4 (Terme de rang n0) Soit u : A→ K une suite et soit n0 un élément deA. L’image de n0 par u : un0, est le terme de rang n0 de la suite u.

Définition 11.1.5 (Suite stationnaire) On dit que la suite u : A → K est stationnairelorsque, pour tout m et tout n dans A, un = um.

1. N r 0 = n ∈ N | n ≥ 1 est l’ensemble des nombres entiers naturels non nuls. Cet ensemble est parfoisnoté N∗ par imitation des notations R∗ et C∗ qui désignent respectivement l’ensemble des nombres réels nonnuls et l’ensemble des nombres complexes non nuls. Ce type d’imitation est une source de perplexité lorsquel’on découvre, en lisant un cours d’algèbre, que Z∗ = −1, 1.


96 CHAPITRE 11. SUITES NUMÉRIQUES

La suite u : A → K est stationnaire s’il existe un élément λ de K tel que, pour tout n dansA, un = λ. Le terme « stationnaire » est l’équivalent pour les suites du terme « constante »pour les fonctions. Dans certains énoncés et certains cours, on appelle « suite constante » ceque nous appelons suite stationnaire.

Définitions 11.1.6 (Suite croissante, suite strictement croissante) On dit que la suiteu : A → R est croissante (respectivement : strictement croissante), lorsque, pour tout m ettout n dans A, m < n implique um ≤ un (resp. um < un).

Attention ! Toute inégalité de type a < b ou a ≤ b, est une inégalité entre éléments de R.

Définitions 11.1.7 (Suite décroissante, suite strictement décroissante) On dit que lasuite u : A→ R est décroissante (respectivement : strictement décroissante), lorsque, pour toutm et tout n dans A, m < n implique um ≥ un (resp. um > un).

On remarquera qu’une suite à la fois croissante et décroissante est stationnaire.

Définitions 11.1.8 (Suite monotone) On dit que la suite u est monotone (respectivement :strictement monotone), lorsque u est croissante ou bien décroissante (resp. strictement crois-sante ou bien strictement décroissante).

Définitions 11.1.9 A étant un sous-ensemble de N, AN désigne l’ensemble des éléments deA supérieurs à N . On dit que la suite u, définie sur A, est croissante (resp. strictement crois-sante, décroissante, strictement décroissante, monotone, strictement monotone) à partir d’uncertain rang, lorsqu’il existe un nombre entier N tel que la restriction de u à AN : (un)n∈AN

,soit croissante (resp. strictement croissante, décroissante, strictement décroissante, monotone,strictement monotone).

11.2 Limites

Les suites considérées dans cette section sont définies sur N ou sur Nr0. La question de lalimite d’une suite ne se pose que lorsque sa variable tend vers +∞. Toutes les définitions, tousles résultats obtenus pour les fonctions d’une variable réelle, quand cette variable tend vers+∞, sont valables pour les suites. On se reportera donc au cours sur les limites de fonctionspour cette section. Il convient cependant d’ajouter le théorème (admis) ci-après.

Définitions 11.2.1 (Suite convergente, suite divergente) On dit que la suite u d’élé-ments de K est une suite convergente lorsque lim

n→+∞un existe et est un élément de K.

On dit que la suite u diverge lorsqu’elle ne converge pas.

Définitions 11.2.2 (Suite majorée, majorant) Soit u : A → R. On dit que le nombreréel M est un majorant de u lorsque pour tout n dans A : un ≤ M . Une suite qui possède unmajorant est dite majorée.

Définitions 11.2.3 (Suite minorée, minorant) Soit u : A → R. On dit que le nombreréel m est un minorant de u lorsque pour tout n dans A : un ≥ m. Une suite qui possède unminorant est dite minorée.


11.3. SUITES DÉFINIES PAR UNE RELATION DE RÉCURRENCE 97

Théorème 11.2.1 Soit u : A → R une suite croissante et majorée (respectivement : décrois-sante et minorée). Alors lim

n→+∞un existe et est un nombre réel inférieur ou égal (resp. supérieur

ou égal) à tout majorant (resp. minorant) de u.

Exercice 80 BTS Informatique de Gestion, session 1994, exercice 3 (extrait)

Soit f :]1, +∞[→ R, x 7→ 1

(ln x)2− 1

ln x.

1. Soit la fonction numérique h de la variable réelle x définie sur ]1, +∞[ par :

h(x) =x

ln x.

(a) Calculer la dérivée h′ de h.(b) Déterminer une primitive F de f sur ]1, +∞[.

2. On désigne par vn la valeur moyenne de f sur [en, en+1], c’est à dire le réel :

vn =

∫ en+1

en

f(x) dx,

où n est un entier naturel.

(a) Calculer vn en fonction de e et de n.(b) En déduire la limite de vn quand n tend vers +∞.

11.3 Suites définies par une relation de récurrence

Dans cette section, A = N ou A = N r 0.

11.3.1 Suites arithmétiques

Définitions 11.3.1 (Suite arithmétique, raison) Soit u : A→ K une suite d’éléments deK. On dit que la suite u est une suite arithmétique s’il existe un élément r dans K tel que,pour tout n dans A :

un+1 = un + r.

Le nombre r est alors la raison de la suite u.

Proposition 11.3.1 Soit u : A→ K une suite arithmétique de raison r. Pour tout n et toutk dans A, tels que k ≤ n, on a :

un = uk + (n− k)r.

Démonstration 11.3.1 La preuve utilise une récurrence sur n ; k étant fixé. La formule est triviale si n = k.Supposons la formule démontrée pour n, et montrons qu’elle est alors vraie pour n + 1. Par définition :un+1 = un + r. Comme un = uk + (n− k)r, on a : un+1 = uk + (n− k)r + r = uk + (n+ 1− k)r.

Cette proposition est souvent utilisée avec k = 0 ou avec k = 1.

Proposition 11.3.2 Soit n un nombre entier strictement positif. Alors,

n∑

k=1

k = 1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2.



Démonstration 11.3.2 On remarque que pour tout k entier compris entre 1 et n, on a : k+ (n+ 1− k) =n+ 1. Or,

1 +2 + · · · +k + · · · +n+(n+ 1− 1) +(n+ 1− 2) + · · · +(n+ 1− k) + · · · +(n+ 1− n)

=2

n∑

k=1

k =

n∑

k=1

k + (n+ 1− k)

=n(n+ 1).

On en déduit le corollaire suivant, dont la démonstration est laissée en exercice.

Corollaire 11.3.2.1 Soit u : N → K une suite arithmétique de raison r. La somme sn =∑n

k=0 uk des n+ 1 premiers termes de la suite, vérifie :

sn = (n+ 1)u0 + un

2= (n + 1)u0 +

n(n + 1)

2r.

11.3.2 Suites géométriques

Définitions 11.3.2 (Suite géométrique, raison) Soit u : A → K une suite d’éléments deK. On dit que la suite u est une suite géométrique s’il existe un élément 2 q dans K, q 6= 1,tel que, pour tout n dans A :

un+1 = qun.

Le nombre q est alors la raison de la suite u.

Proposition 11.3.3 Soit u : A → K une suite géométrique de raison q. Pour tout n et toutk dans A, tels que k ≤ n, on a :

un = qn−kuk.

Démonstration 11.3.3 Exercice

Proposition 11.3.4 Soit n un nombre entier naturel et soit q un élément de K différent de1. Alors,

n∑

k=0

qk = 1 + q + · · ·+ qn =1− qn+1

1− q .

Démonstration 11.3.4 Il suffit de constater que lorsque l’on développe (1−q)(1+q+ · · ·+qn), on obtient1− qn+1.

Corollaire 11.3.4.1 Soit u : N → K une suite géométrique de raison q (q 6= 1). La sommesn =

∑nk=0 un des n + 1 premiers termes de la suite, vérifie :

sn =1− qn+1

1− q u0.

2. Si l’on accepte la valeur 1 pour q, on obtient alors une suite stationnaire qui est également une suitearithmétique de raison 0. Ce cas sans grand intérêt, est donc exclu de la définition.



Exercice 81 BTS Contrôle industriel et régulation automatique, session 1995,exercice 3

On se propose d’étudier un système « entrée-sortie » schématisé ci-dessous :

-entrée

système -sortie

Dans la partie A, le signal d’entrée sera la fonction échelon unité 3 U .Dans la partie B, le signal d’entrée sera modélisé par une suite numérique constante liée à

l’échelon unité.

Partie A

Le signal d’entrée est la fonction échelon unité U .Le signal de sortie est la fonction s, définie sur R, nulle sur ]−∞, 0[, solution sur l’intervalle

[0, +∞[ de l’équation différentielle aux conditions initiales :

(E1)

5ds

dt(t) + s(t) = U(t)

s(0) = 2

1. En résolvant l’équation différentielle (E1), montrer que la fonction s est définie par :

s(t) = (1 + exp(−0,2t))U(t).

2. On désigne par k un entier naturel. Calculer s(0,5k) pour les valeurs de l’entier k com-prises entre 0 et 10.On présentera les résultats sous forme d’un tableau dans lequel on donnera les valeursdécimales arrondies à 10−2 près.

Partie B

Le signal d’entrée est maintenant un “échelon unité échantillonné”. Il est modélisé par la suitenumérique (U(0,5k))k∈N

.1. On se propose de caractériser le signal de sortie. La méthode consiste à remplacer dans

l’équation (E1) de la partie A, t par 0,5k etds

dt(0,5k) par

s(0,5(k + 1))− s(0,5k)0,5

.

Montrer qu’on obtient alors :

(E2)

s(0,5(k + 1)) = 0,9s(0,5k) + 0,1 (k ∈ N)s(0) = 2

2. On définit donc la suite numérique (ak)k∈N par :

(E3)

ak+1 = 0,9ak + 0,1 (k ∈ N)a0 = 2

(a) Montrer que la suite (bk)k∈N définie par bk = ak − 1 est une suite géométrique deraison 0,9 et de premier terme 1.

(b) En déduire l’expression de ak en fonction de k.

3. La fonction échelon unité U est définie pour tout t dans R par : U(t) = 0 si t < 0, U(t) = 1 si t ≥ 0.



(c) Calculer ak pour les valeurs de l’entier k comprises entre 0 et 10.On présentera les résultats sous forme d’un tableau dans lequel on donnera lesvaleurs décimales arrondies à 10−2 près.

Commentaire

Dans la partie A, le signal d’entrée était l’échelon unité U . Dans la partie B, le signal d’entréeétait l’échelon unité échantillonné (U(k∆t))k∈N

avec ∆t = 0,5 (∆t s’appelle le pas d’échan-tillonnage). La comparaison des résultats des questions 2. de la partie A et 2.(c) de la partieB, montre que, pour ce pas d’échantillonnage, la connaissance de la réponse échantillonnée(ak)k∈N donne une idée assez précise de la réponse t 7→ s(t) obtenue dans la parie A.

11.3.3 Suites définies par un+2 = aun+1 + bun

Soient a et b des nombres réels, a 6= 0. On considère la suite u : N→ R vérifiant la relationde récurrence :

(∀n ∈ N) un+2 = aun+1 + bun.

On peut, d’après cette relation, calculer de proche en proche tous les termes de la suite dèsque les termes u0 et u1 sont donnés.

On pose ∆ = a2 + 4b. On a alors le théorème (admis) suivant :

Théorème 11.3.5 On considère le trinôme χ = r2 − ar − b de discriminant ∆ = a2 + 4b.Alors,

– si ∆ > 0, il existe des constantes réelles λ et µ telles que, pour tout n dan N :

un = λrn1 + µrn2

où r1 et r2 sont les racines simples réelles de χ ;– si ∆ = 0, il existe des constantes réelles λ et µ telles que, pour tout n dans N :

un = rn(λn+ µ)

où r est la racine double réelle de χ ;– si ∆ < 0, il existe des constantes réelles λ et µ telles que, pour tout n dans N :

un = ρn(λ cos(nθ) + µ sin(nθ))

ρeiθ et ρe−iθ étant les formes algébriques respectives des racines complexes conjuguées deχ.

Ce théorème n’est pas au programme, mais on peut demander aux candidats d’en retrouverles résultats en leur fournissant les étapes du raisonnement.

Exercice 82 BTS Informatique de Gestion, session 1990, exercice 1

On se propose d’étudier la convergence de la suite u, à termes strictement positifs, définie par :

u0 = 1, u1 = 2, (un+2)2 = un+1 · un pour tout entier naturel n.

Soit v la suite définie par :

vn = ln un pour tout entier naturel n.

(ln désigne la fonction logarithme népérien)1. Montrer que la suite v vérifie, quel que soit l’entier naturel n :

2vn+2 = vn+1 + vn (11.1)



2. Déterminer les deux suites géométriques de premier terme 1, de raison non nulle, quivérifient la relation (11.1).

3. Montrer que quels que soient les nombres réels a et b, la suite w, de terme général

wn = a+ b

(

−1

2

)n

, vérifie la relation (11.1).

4. On admet que la suite v a pour terme général vn = x + y

(

−1

2

)n

, où x et y sont deux

nombres réels que l’on déterminera à partir du calcul de v0 et v1.Donner l’expression de vn en fonction de n.

5. Montrer que la suite v est convergente et calculer sa limite. En déduire la limite de lasuite u.

Exercice 83 BTS Photonique, session 1993, exercice 3

Étude d’une suite récurrente

1. On considère les fonctions définies sur l’intervalle [0, +∞[ :

f(x) = 8e−x, g(x) = ex + 2, h(x) = ln 8− ln (ex + 2) .

(a) Étudier rapidement les variations de f et g.Résoudre dans [0, +∞[ l’équation d’inconnue x :

f(x) = g(x).

(b) Tracer les représentations graphiques Cf et Cg de f et g dans un repère orthogonal(O,−→ı ,−→ ) d’axes Ox et Oy avec comme unités graphiques 10 cm sur Ox et 2 cmsur Oy.

(c) Étudier les variations de h′ et justifier que :

∀x ∈ [0, 1] |h(x)| ≤ 0,6.

2. n désignant un entier naturel, on place sur Cg un point An.La parallèle à Ox passant par An coupe Cf au point Bn+1.La parallèle à Oy passant par Bn+1 coupe Cg au point An+1.

(a) Placer sur le dessin du 1b le point A0 de Cg d’abscisse 1 ; puis construire les pointsB1, A1, B2, A2, B3 ; calculer les abscisses de B1 et B2.

(b) On appelle xn (n ∈ N∗), l’abscisse de Bn (on pose x0 = 1).Montrer que : ∀n ∈ N, f(xn+1) = g(xn) ;en déduire que : ∀n ∈ N, xn+1 = h(xn).

(c) On définit la suite (xn)n∈N par la relation de récurrence :

xn+1 = h(xn)x0 = 1

On admet que tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle [0, 1].

i. Calculer h(ln 2).



ii. En appliquant l’inégalité des accroissements finis à h, vérifier que :

∀n ∈ N, |xn+1 − ln 2| ≤ 0,6|xn − ln 2|.

En déduire que ∀n ∈ N, |xn − ln 2| ≤ 0,6n.Montrer que la suite (xn)n∈N converge vers une limite à préciser.


On considère la suite (un)n∈N définie par son premier terme u0 = 2 et par la relation

un+1 =2un + 1

un + 2.

Le but de cet exercice est d’exprimer un en fonction de n.

1. Calculer u1, u2 et u3.

2. On admet qu’il existe une suite (an)n∈N unique telle que, pour tout entier naturel n, ona :

un =3an − 1

3an − 2.

(a) Montrer que a0 = 1.

(b) Exprimer un+1 en fonction de an+1, puis de an et en déduire que la suite (an)n∈N

vérifie, pour tout n entier naturel, la relation : an+1 = 3an − 1.

(c) Calculer a1, a2 et a3.

3. Soit (bn)n∈N la suite définie, pour tout entier naturel n, par

bn = an − 1/2.

(a) Montrer que la suite (bn)n∈N est une suite géométrique de raison 3 et de premierterme 1/2.

(b) Calculer bn en fonction de n.

(c) En déduire l’expression de an puis celle de un en fonction de n.

(d) Déterminer la limite de un quand n tend vers +∞.


Les questions 1 et 2 sont indépendantes. Dans tout l’exercice, n désigne un entier naturel nonnul.

1. Une suite (un) est définie par son premier terme u1 = 2 et par la relation : un+1 = 3un+2.Soit (vn) la suite définie par : vn = un + 1.

(a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on donnera la raison.

(b) Calculer vn puis un en fonction de n.

2. On considère les matrices :

A =

2 0 2−1 0 −1−1 0 −1

et I =

1 0 00 1 00 0 1

(a) Calculer les matrices A2 et B = 2A+ I.



(b) On admet que, pour tout n, il existe un réel an tel que : Bn = anA+ I.En utilisant le fait que Bn+1 = BnB avec Bn+1 = an+1A + I, calculer an+1 enfonction de an.

3. En utilisant des résultats de 1 et 2, exprimer Bn en fonction de A, I et n.

Exercice 86 BTS Géologie ppliquée, session 1994, exercice 1

On note :

A =1

6

(

5 −16 0

)

P =

(

1 12 3

)

Q =

(

3 −1−2 1

)

D =1

6

(

3 00 2

)

1. Calculer les produits : PQ, QP et PDQ.2. Montrer par récurrence que pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a :

An = PDnQ.

Calculer Dn par récurrence. En déduire An en fonction de n.3. On considère la suite (un)n∈N définie sur N par : u0 = 0, u1 = 1 et la relation de

récurrence, pour tout entier n positif,

un+2 =5

6un+1 −

1

6un.

Pour tout entier naturel n, on définit la matrice Xn =

(

un+1

un

)

.

(a) Comparer le produit AXn et Xn+1.(b) Déterminer Xn en fonction de X0, A et n.(c) À l’aide de la question 2, déterminer Xn en fonction de n. En déduire un en fonction

de n.(d) Vérifier que pour tout entier naturel n,

un = 6

(

1

2n− 1

3n

)

.

La suite (un)n∈N a-t-elle une limite lorsque n tend vers +∞?


105

Chapitre 12

Séries

Selon les termes du programme : « L’étude des séries numériques très simples, préalable àl’étude des séries de Fourier, a pour objectif de permettre aux étudiants de se familiariser avecles “sommes infinies” et la notation

∑

. ». On trouvera dans la section sur les séries numériques,très peu d’exercices. Les sujets d’examen sur les séries comportent invariablement des questionssur les séries de Fourier, et, beaucoup plus rarement, des questions sur les séries numériques.Cependant, le vocabulaire mis en place pour les séries numériques sera aussi employé pour lesséries de Fourier. Il convient donc de ne pas négliger d’apprendre ce vocabulaire, pour aborderdans de bonnes conditions la partie centrale du cours sur les séries : la section sur les séries deFourier.

12.1 Séries numériques

12.1.1 Généralités

On rappelle que si u = (un)n∈N est une suite de nombres réels (ou complexes), on dit que uconverge lorsque lim

n→+∞un existe et est un nombre réel (ou complexe), et on dit que u diverge

quand u ne converge pas.Par exemple, la suite u de terme général un = (−1)n diverge, car la limite de (−1)n quand n

tend vers +∞ n’existe pas. La suite v de terme général vn = n diverge, car limn→+∞

vn = +∞ 6∈ R.

Définition 12.1.1 (Série, terme général) Soit n0 un élément de N. Soit (un)n∈N, n>n0 unesuite de nombres réels. La série (ou série numérique) de terme général un est la suite(Sn)n∈N, n>n0, avec, pour tout n > n0 dans N :

Sn = un0 + un0+1 + · · ·+ un =n∑

k=n0

uk.

On pourrait donner une définition plus générale d’une série, qui inclurait la notion de série àtermes complexes. Seules sont au programme les séries à termes réels.

Définition 12.1.2 (Sommes partielles) On considère la série (Sn)n∈N, n>n0 de terme géné-ral un. Les nombres Sn sont alors appelés : sommes partielles de la série.

Définitions 12.1.3 (Série convergente, série divergente) On dit que la série de termegénéral un converge lorsque la suite (Sn)n∈N, n>n0 , dont le terme général est défini pour tout


106 CHAPITRE 12. SÉRIES

n > n0 dans N par : Sn =∑n

k=n0uk, converge. On dit que cette même série diverge quand

(Sn)n∈N, n>n0 diverge.

Définition 12.1.4 (Nature d’une série) Les séries sont de deux natures :– elles sont convergentes ;– ou bien, elles sont divergentes.

On dit de deux séries qu’elles sont de même nature lorsqu’elles sont toutes deux convergentes,ou bien toutes deux divergentes.

Théorème 12.1.1 Si la série de terne général un converge, alors limn→+∞

un = 0.

Démonstration 12.1.1 Pour simplifier les notations, considérons une série dont le terme général est définipour tout n dans N. La série de terme général un converge lorsque la suite de terme général Sn =

u0 + u1 + · · · + un converge. On a donc limn→+∞

Sn = S ∈ R. Il suffit de remarquer que pour n > 1,

un = Sn − Sn−1, et donc : limn→+∞

un = limn→+∞

Sn − Sn−1 = limn→+∞

Sn − limn→+∞

Sn−1 = S − S = 0.

Attention ! La réciproque de cet énoncé est fausse. Considérons la série de terme généralun = 1

n, défini pour n > 0, appelée : série harmonique. Le terme général de cette série tend

vers 0 quand n tend vers +∞. Montrons que la série diverge.Notons Sn = 1+ 1

2+ 1

3· · ·+ 1

n. Alors, S2n−Sn = 1

n+1+ 1

n+2+ · · ·+ 1

2n. Chacun des termes de

cette somme est supérieur ou égal au dernier terme de la somme. Comme la somme comporten termes, on a : S2n − Sn > n 1

2n= 1

2. Supposons que Sn ait une limite S, S ∈ R. On aurait

alors : limn→+∞

S2n − Sn = limn→+∞

S2n − limn→+∞

Sn = S − S = 0 > 12, ce qui est absurde.

Le théorème 12.1.1 est souvent utilisé dans sa forme contraposée, donnée dans le théorème12.1.2 qui lui est équivalent.

Théorème 12.1.2 Si le terme général ne tend pas vers 0, alors la série diverge.

Définition et notation 12.1.5 (Somme d’une série) On considère la série (Sn)n∈N, n>n0

de terme général un et on suppose que cette série converge. La somme S de cette série estalors la limite de la suite (Sn)n∈N, n>n0 .

On a donc :

S = limn→+∞

Sn = limn→+∞

n∑

k=n0

uk = limN→+∞

N∑

n=n0

un,

et on écrit :

S =

+∞∑

n=n0

un.

La propriété de convergence est essentielle pour une série. Elle peut être reformulée de lamanière naïve suivante : Qu’est-ce qu’une somme infinie de nombres? C’est parfois un nombre(la série converge).

On remarquera que la nature d’une série ne change pas lorsque l’on empute la séried’un nombre fini de ses termes. Quelle que soit la suite de nomnres réels (un)n∈N, les sé-ries (Sn)n∈N, n>n0, avec Sn =

∑nk=n0

uk, sont toutes de même nature, quel que soit l’entiernaturel n0.

Notons enfin que dans certains problèmes, certains cours, sur les séries, on peut lire :«∑+∞

n=0 un converge », là où nous lirions dans ce cours : « la série de terme général un converge ».Pour une série à termes quelconques, la notation

∑+∞n=0 un n’a de sens que si la série converge.

Ainsi, écrire : «∑+∞

n=0 un converge » est admissible ; contrairement à : «∑+∞

n=0 un diverge »...


12.1. SÉRIES NUMÉRIQUES 107

12.1.2 Séries géométriques

Définition 12.1.6 (Série géométrique) On dit que la série de terme général un est unesérie géométrique lorsqu’il existe un nombre réel a tel que, pour tout entier naturel n : un = an.

Théorème 12.1.3 On considère la série géométrique de terme général an, a ∈ R.– Si |a| > 1, alors la série diverge ;

– si |a| < 1, alors la série converge et sa somme est :1

1− a .

Démonstration 12.1.3 Si |a| > 1 alors an ne tend pas vers 0 quand n tend vers +∞. Donc, en vertu duthéorème 12.1.2, la série diverge.

On rappelle le résultat bien connu du cours sur les suites géométriques : dans le cas où a 6= 1,1 + a + a2 + · · · + an = 1−an+1

1−a . Pour |a| < 1, limn→+∞

|an| = limn→+∞

|a|n = 0 et donc limn→+∞

an = 0. On

obtient :+∞∑

n=0

an = limN→+∞

N∑

n=0

an = limN→+∞

1− aN+1

1− a =1

1− a.

Exercice 87 Déterminer la somme : 1 + 12

+ 14

+ 18

+ · · · .

12.1.3 Séries à termes positifs

Définition 12.1.7 (Série à termes positifs) Soit n0 ∈ N. On dit que la série (Sn)n∈N, n>n0

de terme général un est à termes positifs lorsque, pour tout entier n > n0 : un > 0.

Remarquons que si le terme général de la série (Sn)n∈N, n>n0 est positif, alors, pour tout entiernaturel n > n0, Sn+1 > Sn ; en d’autres termes : la suite (Sn)n∈N, n>n0 est croissante. On peutdonc appliquer ici l’énoncé sur les suites croissantes majorées :

Théorème 12.1.4 Soit n0 ∈ N. On considère la série à termes positifs (Sn)n∈N, n>n0 . S’ilexiste un nombre réel M , majorant toutes les sommes partielles Sn de cette série, alors lasérie converge et sa somme S vérifie : S 6 M .

Le théorème est énoncé sous la forme : « si majorant alors convergence ». Si la conclusion estfausse, autrement dit : « divergence », c’est que l’hypothèse « majorant » n’est pas vérifiée.Cette hypothèse « majorant » n’est pas vérifiée lorsque pour tout nombre réel A, il existe unnombre entier n′ > n0 tel que : A 6 Sn′. Comme on sait que la suite (Sn)n∈N, n>n0 est croissante,alors pour tout entier n > n′, on a : A 6 Sn. On retrouve ici la définition de lim

n→+∞Sn = +∞.

Donc, dans le cas d’une série à terme général positif un, la notation∑+∞

n=n0un a toujours

du sens. Si la série converge, cette notation désigne la somme de la série, et si la série diverge,alors cette notation désigne +∞.

Pour alléger les notations, on suppose dans les énoncés suivants que les termes générauxdes séries sont définis pour tout n dans N. Ce n’est pas une véritable concession à la portéegénérale des énoncés, car dans le cas d’une série (Sn)n∈N, n>n0, avec Sn =

∑nk=n0

uk, on peuttoujours poser : uk = 0, pour tout entier naturel k < n0.

Théorème 12.1.5 (Théorème de comparaison) On considère les séries de termes géné-raux positifs respectifs un et vn. On suppose qu’il existe un entier naturel n0 tel que, pour toutentier naturel n > n0, un 6 vn. Dans ce cas,

– si la série de terme général vn converge, alors la série de terme général un converge ;



– si la série de terme général un diverge, alors la série de terme général vn diverge.

Démonstration 12.1.5 Posons Sn =∑n

k=0 un et S′n =

∑nk=0 vn. Quitte à remplacer S ′

n par S′n+Sn0−S′

n0

si Sn0 > S′n0

, supposons que Sn0 6 S′n0

et donc pour tout entier n > n0 : Sn 6 S′n. Remplacer S ′

n parS′n + Sn0 − S′

n0ne modifie pas la nature de la série.

Supposons que (S ′n)n∈N converge et notons S ′ sa somme. Alors, comme (S ′

n)n∈N est croissante, pourtout entier naturel n : S ′

n 6 S′. D’où, pour tout entier naturel n > n0 : Sn 6 S′. Or, la suite (Sn)n∈N

étant croissante, si Sn 6 S′ pour n > n0, alors Sn 6 S′ pour tout entier naturel n. La suite croissante(Sn)n∈N est majoré par S ′, donc elle converge et sa limite S vérifie : S 6 S ′. Attention ! S 6 S ′ est uneconséquence de notre hypothèse Sn0 6 S′

n0servant à simplifier la démonstration.

Supposons que (Sn)n∈N diverge. On sait qu’alors limn→+∞

Sn = +∞. Pour tout nombre réel A, il existe

un nombre entier naturel n1 tel que, pour tout entier n > n1 : A 6 Sn. On a alors pour tout entier natureln > maxn0, n1 : A 6 S′

n. On en déduit limn→+∞

S′n = +∞.

Corollaire 12.1.5.1 On considère les séries de termes généraux positifs respectifs un et vn.On suppose qu’il existe n0 ∈ N, λ ∈]0, +∞[ et µ ∈]0, +∞[ tels que, pour tout entier n > n0 :λvn 6 un 6 µvn. Dans ce cas les séries sont de même nature.

Définition et notation 12.1.8 (Suites équivalentes) Soient u = (un)n∈N et v = (vn)n∈N

des suites de nombres réels. On dit que les suites u et v sont équivalentes lorsqu’il existe unesuite w = (wn)n∈N et un nombre entier naturel n0 telles que :

– pour tout entier n > n0, un = (1 + wn)vn ;– lim

n→+∞wn = 0.

La notation usuelle pour indiquer que les suites u et v sont équivalentes est : u ∼ v.

Quand les suites u = (un)n∈N et v = (vn)n∈N sont équivalentes, on rencontre fréquemmentl’abus de notation un ∼ vn (ou encore un ∼

+∞vn), qui signifie que pour n assez grand, les

nombres un et vn sont presque égaux.

Exercice 88 Montrer que u ∼ v :1. u = (sin(1/n))n∈N et v = (1/n)n∈N.2. u = (n2 − n)n∈N et v = (n2)n∈N.

Théorème 12.1.6 Soient u = (un)n∈N et v = (vn)n∈N des suites de nombres réels. Si u ∼ vet lim

n→+∞un = l, alors lim

n→+∞vn = l, l étant un nombre réel, +∞ ou −∞.

Démonstration 12.1.6 Il s’agit d’une simple opération sur les limites à partir de l’égalité un = (1+wn)vn,avec lim

n→+∞= 0.

La notion d’équivalence de suites permet d’énoncer le théorème suivant sur les séries :

Théorème 12.1.7 On considère les séries (Sn)n∈N de terme général un > 0 et (S ′n)n∈N de

terme général vn > 0. Si les suites u = (un)n∈N et (vn)n∈N sont équivalentes, alors les sériessont de même nature.

Démonstration 12.1.7 Utilisons les notations de la définition de suites équivalentes. La suite w de ladéfinition a pour limite 0. Donc, pour n assez grand : |wn| 6 1

2 . On a donc, pour n assez grand : 12vn 6

un 6 32vn. La conclusion du théorème n’est alors qu’une conséquence du théorème de comparaison.

Exercice 89 Déterminer la nature de la série de terme général 1n+2n .


12.1. SÉRIES NUMÉRIQUES 109

Séries de Riemann

Définition 12.1.9 (Série de Riemann) On dit que la série de terme général un est unesérie de Riemann lorsqu’il existe un nombre réel α tel que, pour tout n dans N r 0 :

un =1

nα.

On remarque la série harmonique de terme général 1n

est une série série de Riemann (α = 1) ;ce qui nous donne un premier exemple de série de Riemann divergente. Pour obtenir la natured’une série de Riemann, il suffit d’appliquer :

Théorème 12.1.8 La série de Riemann de terme général :1

nα,

– converge si α > 1 ;– diverge si α 6 1.

Démonstration 12.1.8 Notons que si α 6 0, alors le terme général de la série ne tend pas vers 0 et la sériediverge. Pour n > 1 et α 6 1, on a : nα = exp(α lnn) 6 exp(1 lnn) = n ; d’où : 1

n 6 1nα . Il suffit alors

d’appliquer le théorème 12.1.5, sachant que la série harmonique diverge, pour obtenir la divergence de lasérie de Riemann.

Pour α > 1, nous allons utiliser la fonction f définie sur [1, +∞[ par f(x) = 1xα . f est strictement

décroissante. En effet, sa dérivée f ′ vérifie : f ′(x) = − αxα+1 < 0. On en déduit que pour tout entier n > 2

et tout x dans [n− 1, n] : f(x) > 1nα . Ceci implique :

∫ nn−1 f(x) dx >

∫ nn−1

1nα dx = 1

nα . On obtient alors :

1 +1

2α+

1

3α+ · · ·+ 1

nα6 1 +

∫ 2

1f(x) dx+

∫ 3

2f(x) dx+ · · ·+

∫ n

n−1f(x) dx

6 1 +

∫ n

1f(x) dx

6 1 +

[

− 1

(α− 1)xα−1

]n

1

6 1 +1

α− 1− 1

(α− 1)nα−1

6 1 +1

α− 1

On en conclut, d’après le théorème 12.1.4, que la série converge.

Exercice 90 Quelle est la nature de la série de terme général :

1

n2 +(−1)n

n

?

Règle de D’Alembert

Théorème 12.1.9 (Règle de D’Alembert) On considère la série (Sn)n∈N, Sn = u0+u1+· · ·+ un, à termes strictement positifs à partir d’un certain rang 1. On suppose que lim

n→+∞un+1

un

existe et que cette limite est égale au nombre réel l. Dans ces conditions,– si l < 1, alors la série converge ;

1. Il existe un entier naturel n0 tel que pour tout n > n0 : un > 0.



– si l > 1, alors la série diverge.

On remarquera premièrement que l > 0 puisque, d’après les hypothèses, pour n assez grand,un+1

nn> 0 ; et deuxièmement que le théorème ne prévoit rien lorsque l = 1.

Exercice 91 Que se passe-t-il si l’on essaie d’appliquer le critère de D’Alembert aux sériesde Riemann?

Démonstration 12.1.9 Supposons que limn→+∞

un+1

un= l < 1. Il existe alors un nombre réel strictement

positif : ε, tel que l + ε < 1. Comme un+1

untend vers l quand n tend vers +∞, il existe un nombre entier

naturel N , tel que, pour tout entier n > N :∣

∣

∣

un+1

un− l∣

∣

∣ < ε, et donc : un+1

un< l + ε < 1, ou encore :

un+1 < (l+ ε)un. On constate qu’alors pour tout entier n > N : un < (l+ ε)n−NuN . Notons que uN

(l+ε)N

est une constante et que (l+ ε)n−NuN = uN

(l+ε)N (l+ ε)n. La série de terme général (l+ ε)n est une série

géométrique, et comme 0 < l + ε < 1, on sait que cette série converge. Il suffit d’appliquer le corollaire12.1.5.1 pour en déduire la convergence de la série de terme général un.

Supposons que limn→+∞

un+1

un= l > 1. Il existe alors ε > 0 tel que 1 < l − ε. ε étant maintenant

fixé, il existe un nombre entier naturel N tel que, pour tout entier n > N :∣

∣

∣

un+1

un− l∣

∣

∣< ε, et donc :

1 < l− ε < un+1

un, ou encore : (l− ε)un < un+1. On en déduit, pour n > N : (l− ε)n−NuN < un. Comme

la série géométrique de terme général (l − ε)n diverge, on en déduit (corollaire 12.1.5.1) que la série determe général un diverge.

12.1.4 Séries alternées

Définition 12.1.10 (Série alternée) Une série alternée est une série de terme général réel :(−1)nαn, avec αn > 0, ou bien de terme général réel : (−1)n+1αn, avec αn > 0.

Théorème 12.1.10 (admis 2) On considère une série alternée de terme général un = (−1)nαn(respectivement : un = (−1)n+1αn), avec αn > 0. Si la suite (αn)n∈N est décroissante, et silim

n→+∞αn = 0, alors la série converge.

12.1.5 Séries absolument convergente

Définition 12.1.11 (Convergence absolue) On dit que la série de terme général un convergeabsolument lorsque la série de terme général |un| converge.

Théorème 12.1.11 (admis 3) Toute série à absolument convergente est convergente. De plus,si la série de terme général un est absolument convergente, alors :

∣

∣

∣

∣

∣

+∞∑

n=0

un

∣

∣

∣

∣

∣

6

+∞∑

n=0

|un|.

Exercice 92 Montrer que, quel que soit le nombre réel x, la série de terme général xn

n!est

absolument convergente.On admettra le résultat suivant :

+∞∑

n=0

xn

n!= exp x.

2. La démonstration utilise une propriété de R dont l’étude est hors programme.3. Voir note 2.


12.2. SÉRIES DE FOURIER 111

12.2 Séries de Fourier

12.2.1 Fonctions périodiques

Définition 12.2.1 (Période) Soit f une fonction définie sur R et à valeurs dans R. Soit aun nombre réel. On dit que a est une période de f lorsque, pour tout t dans R :

f(t+ a) = f(t).

Avec une telle définition d’une période, nous ne pouvons pas donner comme définition defonction périodique : une fonction périodique est une fonction qui a une période, car toutefonction définie sur R a au moins une période : 0. Nous choisirons donc la définition suivante :

Définition 12.2.2 (Fonction périodique) Soit f une fonction définie sur R et à valeursdans R. On dit que f est périodique lorsque f admet une période non nulle.

Définition 12.2.3 (Fonction apériodique) Soit f une fonction définie sur R. Si la seulepériode de f est 0, alors on dit que f est apériodique.

Définition 12.2.4 Soit f une fonction périodique. Si l’ensemble des périodes strictement po-sitives de f admet un plus petit élément 4 T , alors T est la période de f ; on dit aussi que fest T -périodique.

On remarquera que les fonctions constantes sont périodiques mais n’admettent pas de pluspetite période strictement positive, car l’ensemble des périodes strictement positives d’unefonction constante est : ]0, +∞[, qui n’a pas de plus petit élément.

On démontre (facilement) les résultats suivants :

Proposition 12.2.1 On suppose que f est T -périodique.

– Pour tout n dans Z, pour tout t dans R : f(t) = f(t+ nT ).

– Quel que soit λ dans R, λf est T -périodique.– Soit λ ∈]0, +∞[. La fonction définie sur R par t 7→ f(λt) est T

λ-périodique.

– Si g est T -périodique, alors fg, f + g, −f , f/g (lorsque g ne s’annule pas) sont T -périodiques.

– Si g est quelconque (définie sur R), alors g f est T -périodique.

Exercice 93 Soit f une fonction T -périodique. On pose fn : R→ R, t 7→ f(nt).

1. Montrer que pour tout entier relatif n, la fonction fn est périodique et T est une de sespériodes.

2. Déterminer la période de fn.

12.2.2 Coefficients de Fourier

Des fonctions périodiques particulières vont jouer un rôle fondamental dans la suite de cecours : les fonctions cosinus et sinus, toutes deux 2π-périodiques. Nous allons dans un premiertemps examiner comment à partir de ces fonctions 2π-périodiques, on obtient des fonction de

4. On rappelle que le plus petit élément m d’un ensemble E de nombres réel est caractérisé par : m ∈ E, et,quel que soit x dans E, m 6 x.



période quelconque. Puis, nous calculerons des intégrales dans lesquelles ces mêmes fonctionsapparaissent.

Définition 12.2.5 (Pulsation) Soit f une fonction T -périodique. La pulsation de f est le

nombre réel strictement positif ω =2π

T.

Exercice 94 Soit f une fonction T -périodique de pulsation ω. Montrer que, pour tout nombreentier naturel n, les fonctions t 7→ cos(nωt) et t 7→ sin(nωt) admettent T pour période.

Définition 12.2.6 (Polynôme trigonométrique) On appelle polynôme trigonométrique depulsation ω toute somme 5 de fonctions de type : t 7→ a0, t 7→ an cos(nωt) et t 7→ bn sin(nωt),avec n ∈ N r 0, a0, an et bn constantes réelles.

Exercice 95 Soient T ∈]0, +∞[, ω =2π

T, et n ∈ Nr0. Déterminer, en fonction de l’entier

naturel k, les valeurs des intégrales :∫ T

0

cos(nωt) cos(kωt) dt et∫ T

0

cos(nωt) sin(kωt) dt.

Théorème 12.2.2 Soit f une fonction périodique définie sur R. Soit T (T > 0) une périodede f . On suppose que f est continue par morceaux. Alors, quel que soit le nombre réel α :

∫ α+T

α

f(t) dt =

∫ T

0

f(t) dt.

Pour démontrer ce théorème, nous allons utiliser une formule de changement de variable dansles intégrales de fonctions continues par morceaux.

Lemme 12.2.2.1 Soient a et b des nombre réels tels que a < b. Soit ϕ une fonction C1 sur[a, b], strictement croissante (respectivement : strictement décroissante), et soit ϕ′ sa dérivée.Soit f une fonction continue par morceaux sur l’intervalle I de R. On suppose que pour toutt dans [a, b], ϕ(t) appartient à I. On a alors :

∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f(x) dx =

∫ b

a

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt.

Démonstration 12.2.2.1 Notons que si a = b alors les deux intégrales sont égales car toutes les deux nulles.On suppose donc a < b. Comme ϕ est dérivable, donc continue sur [a, b], toute valeur λ comprise entreϕ(a) et ϕ(b) possède un antécédent et un seul par la fonction strictement croissante (respectivement :strictement décroissante) ϕ. Cette propriété est une réécriture du « théorème des valeurs intermédiaires »(hors programme) dans le cas d’une fonction strictement monotone. Pour simplifier la démonstration,supposons ϕ strictement croissante (donc ϕ(a) < ϕ(b)). f étant continue par morceaux sur I, donc sur[ϕ(a), ϕ(b)], il existe des nombres α0 = ϕ(a) < α1 < . . . < αn = ϕ(b) et des fonctions continuesf1 : [α0, α1] → R, f2 : [α1, α2] → R, . . . , fn : [αn−1, αn] → R, tels que, pour tout i dans [1, n] ∩ N ettout x dans ]αi−1, αi[, on ait : f(x) = fi(x). On sait qu’alors :

∫ ϕ(b)

ϕ(a)f(x) dx =

n∑

i=1

∫ αi

αi−1

fi(x) dx.

5. La somme envisagée ici est une somme comportant un nombre fini de termes. Un polynôme n’est pas unesérie.



Pour tout i dans [0, n] ∩ N, soit βi l’antécédent par ϕ de αi. En appliquant la formule de changement devariable à chaque fonction continue fi, i ∈ [1, n] ∩ N, on obtient :

∫ αi=ϕ(βi)

αi−1=ϕ(βi−1)fi(x) dx =

∫ βi

βi−1

fi(ϕ(t))ϕ′(t) dt.

Comme pour tout i ∈ [1, n] ∩ N, et tout t ∈]βi−1, βi[ : ϕ(t) ∈]αi−1, αi[, on a : f(ϕ(t)) = fi(ϕ(t)). D’où,

n∑

i=1

∫ βi

βi−1

fi(ϕ(t))ϕ′(t) dt =

n∑

i=1

∫ βi

βi−1

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt =

∫ b

af(ϕ(t))ϕ′(t) dt.

Démonstration 12.2.2 Il existe un unique nombre entier relatif n tel que : nT ∈ [α, α+T [, car l’amplitudede cet intervalle est T . D’après la formule du changement de variable dans les intégrales, en utilisant lesfonctions dérivables ϕ1 : R→ R, t 7→ t+ (n− 1)T , et ϕ2 : R→ R, t 7→ t+ nT , on a :

∫ α+T

αf(t) dt =

∫ nT

αf(x) dx+

∫ α+T

nTf(x) dx

=

∫ ϕ1(T )

ϕ1(α−(n−1)T )f(x) dx+

∫ ϕ2(α−(n−1)T )

ϕ2(0)f(x) dx

=

∫ T

α−(n−1)Tf(ϕ1(t))ϕ

′1(t) dt+

∫ α−(n−1)T

0f(ϕ2(t))ϕ

′2(t) dt

=

∫ T

α−(n−1)Tf(t+ (n− 1)T ) dt+

∫ α−(n−1)T

0f(t+ nT ) dt.

En utilisant la périodicité de f dans ces deux dernières intégrales, on obtient :∫ α+T

αf(t) dt =

∫ T

α−(n−1)Tf(t) dt+

∫ α−(n−1)T

0f(t) dt

=

∫ T

0f(t) dt.

Corollaire 12.2.2.1 Soit f une fonction périodique et continue par morceaux sur R. Soit T(T > 0) une période de f .

– Si f est paire, alors∫ T

0

f(t) dt = 2

∫ T2

0

f(t)dt.

– Si f est impaire, alors∫ T

0

f(t) dt = 0.

Démonstration 12.2.2.1 D’après le théorème,∫ T

0f(t) dt =

∫ −T/2+T

−T/2f(t) dt =

∫ T/2

−T/2f(t) dt

=

∫ 0

−T/2f(t) dt+

∫ T/2

0f(t) dt.

Soit ϕ : [0, T/2]→ R, t 7→ −t. On a :

∫ 0=ϕ(0)

−T/2=ϕ(T/2)f(x) dx =

∫ 0

T/2f(ϕ(t))ϕ′(t) dt = −

∫ 0

T/2f(−t) dt

=

∫ T/2

0f(−t) dt,



et donc :∫ T/2

−T/2f(t) dt =

∫ T/2

0f(−t) dt+

∫ T/2

0f(t) dt.

Si f est paire, alors, pour tout t dans R, f(−t) = f(t), donc∫ T/2

0f(−t) dt =

∫ T/2

0f(t) dt et

∫ T/2

−T/2f(t) dt = 2

∫ T/2

0f(t) dt.

Si f est impaire, alors, pour tout t dans R, f(−t) = −f(t), donc∫ T/2

0f(−t) dt = −

∫ T/2

0f(t) dt et

∫ T/2

−T/2f(t) dt = 0.

Définition et théorème 12.2.7 (Coefficients de Fourier) Soit f une fonction T -périodiqueet continue par morceaux sur R. Soit α un nombre réel. On définit les coefficients 6 de Fourierde f par :

a0 =1

T

∫ α+T

α

f(t) dt

et, pour tout entier naturel non nul n :

an =2

T

∫ α+T

α

f(t) cos(nωt) dt

bn =2

T

∫ α+T

α

f(t) sin(nωt) dt

où ω = 2πT

est la pulsation de f . La valeur des coefficients de Fourier est indépendante dunombre réel α.

Démonstration : définition et théorème 12.2.7 Pour montrer que la valeur des coefficients ne dépend pasdu nombre α, il suffit d’appliquer le théorème 12.2.2 aux fonctions périodiques de période T (preuve?)figurant dans les intégrales.

Exercice 96 On considère le polynôme trigonométrique p défini sur R par : t 7→ 1 + cos t −3 sin(5t).

1. Déterminer la période et la pulsation de p.

2. Calculer les coefficients Fourier de p.

3. Montrer que pour tout t dans R :

p(t) = a0 ++∞∑

n=1

(an cos(nωt) + bn sin(nωt))

où a0, an et bn sont les coefficient de Fourier et ω la pulsation de p.

6. On les appelle parfois : coefficients de Fourier trigonométriques, ou encore : coefficients de Fourier réels(quand f est à valeurs réelles). Les égalités définissant ces coefficient sont également connues sous le nom deformules d’Euler-Fourier.



L’exercice ci-dessus nous permet de constater que, partant d’un fonction périodique parti-culière : un polynôme trigonométrique, on arrive à reconstituer cette fonction à l’aide d’unesérie dans laquelle figure ses coefficients de Fourier. Ce qui a été fait dans l’exercice pour unpolynôme trigonométrique particulier est en fait valable pour tout polynôme trigonométrique.Nous allons examiner dans le prochaine partie si l’on peut obtenir le même résultat pour unefonction périodique quelconque.

Définition 12.2.8 (Fondamentale) Soit f une fonction continue par morceaux sur R et T -périodique. Avec les notations de la définition 12.2.7, la fonction définie par t 7→ a1 cos(ωt) +b1 sin(ωt) est la fondamentale 7 de f .

Définition 12.2.9 (Harmonique) Soit f une fonction continue par morceaux sur R et T -périodique. Avec les notations de la définition 12.2.7, la fonction définie par t 7→ an cos(nωt)+bn sin(nωt), avec n > 2, est la n-ième harmonique 8 de f .

Corollaire 12.2.2.2 Soit f une fonction T -périodique et continue par morceaux sur R. Enutilisant les notations des coefficients de Fourier de la définition 12.2.7 :

– si f est paire, alors

a0 =2

T

∫ T/2

0

f(t) dt

et pour tout entier naturel non nul n :

an =4

T

∫ T/2

0

f(t) cos(nωt) dt et bn = 0 ;

– si f est impaire, alorsa0 = 0

et pour tout entier naturel non nul n :

an = 0 et bn =4

T

∫ T/2

0

f(t) sin(nωt) dt.

.

Démonstration 12.2.2.2 Il suffit de remarquer que le produit de deux fonctions paires, ou de deux fonc-tions impaires, est pair, et que le produit d’une fonction paire avec un fonction impaire est impaire ; puisd’appliquer le théorème.

Définition et théorème 12.2.10 (Coefficients de Fourier complexes) Soit f une fonc-tion T -périodique et continue par morceaux sur R. Soit α un nombre réel. On définit les coef-ficients de Fourier complexes 9 de f , pour tout n dans Z, par :

cn =1

T

∫ α+T

α

f(t) exp(−inωt) dt

la valeur de ces coefficients étant indépendante du nombre α.

7. On appelle parfois la fondamentale : la première harmonique.8. On appelle parfois cette harmonique : l’harmonique de rang n.9. On les appelle aussi : coefficients de Fourier exponentiels.



Exercice 97 Démontrer les égalités suivantes entre coefficients de Fourier :

c0 = a0 ; cn =an − ibn

2; c−n =

an + ibn2

pour n entier strictement positif.

Théorème 12.2.3 Soient f et g des fonctions continues par morceaux sur R et T -périodiques.S’il existe un ensemble fini E ⊂ [0, T ], tel que pour tout t dans [0, T ] r E :

f(t) = g(t),

alors f et g ont les mêmes coefficients de Fourier.

Démonstration 12.2.3 Soit E ′ l’ensemble constitué de 0, T , et des valeurs pour lesquelles les fonctions fet g sont discontinues. Alors, F = E ∪E ′ est fini. Notons 0 = a0 < a1 < · · · < am = T les éléments deF et φ1, φ2, . . . , φm les fonctions respectivement continues sur [a0, a1], . . . , [am−1, am] et égales à f et àg sur ]a0, a1[, . . . , ]am−1, am[. Alors, pour tout n dans Z :

1

T

∫ T

0f(t)e−inωt dt =

1

T

m∑

k=1

∫ ak

ak−1

φi(t)e−inωt dt

=1

T

∫ T

0g(t)e−inωt dt

12.2.3 Séries de Fourier

Définition 12.2.11 (Série de Fourier) Soit f une fonction définie sur R, continue parmorceaux et T -périodique. Pour tout t dans R, la série de Fourier 10 de f calculée en t est lasérie numérique (Sn(t))n∈N, définie pour tout n dans N par :

Sn(t) = a0 +n∑

k=1

(ak cos(kωt) + bk sin(kωt))

où a0, les ak et les bk sont les coefficients de Fourier, et ω est la pulsation, de f .

Définition 12.2.12 (Série de Fourier complexe) Soit f une fonction définie sur R, conti-nue par morceaux et T -périodique. Pour tout t dans R, la série de Fourier complexe de fcalculée en t est la série numérique (Scn(t))n∈N, définie pour tout n dans N par :

Scn(t) =

n∑

k=−nck exp(ikωt)

où les ck sont les coefficients de Fourier complexes, et ω est la pulsation, de f .

Théorème 12.2.4 Soit f une fonction définie sur R, continue par morceaux et T -périodique.Soient (Sn(t))n∈N sa série de Fourier calculée en t, et (Scn(t))n∈N sa série de Fourier complexecalculée en t. Alors, pour tout t dans R et tout n dans N :

Sn(t) = Scn(t).

10. On emploie également la terminologie : « le développement de f en série de Fourier ».



Démonstration 12.2.4 Exercice.

Le théorème suivant est capital. Sa démonstration, relativement compliquée, dépasse le cadredu programme.

Théorème 12.2.5 (Théorème de Dirichlet) Soit f une fonction définie sur R et T -périodique. On suppose de plus que f est C1 par morceaux sur R. Dans ces conditions 11,appelées : conditions de Dirichlet, pour tout t dans R, la série de Fourier de f calculée ent converge et sa somme S(t) vérifie :

S(t) = f(t) si f est continue en t,

S(t) =f(t−) + f(t+)

2sinon,

f(t−) et f(t+) désignant les limites respectives à gauche et à droite de f en t.

On remarquera que S(t) = a0 +∑+∞

n=1(an cos(nωt) + bn sin(nωt)) =∑+∞

n=−∞ cneinωt, cette

dernière somme infinie étant égale à : limN→+∞

∑Nn=−N cne

inωt.

Théorème 12.2.6 Soit f une fonction définie sur R et T -périodique. Alors, f est Cn parmorceaux sur R si et seulement si f est Cn par morceaux sur [α, α + T ], α étant un nombreréel.

Démonstration 12.2.6 Il suffit de remarquer que tout segment réel [a, b] est inclus dans la réunion d’unnombre fini de segments [α + nT, α + (n+ 1)T ], avec n ∈ Z. La périodicité de la fonction permet alorsde conclure.

Illustrons le théorème de Dirichlet par un exemple. Considérons la fonction f , définie sur Ret 2π-périodique, telle que f(t) = −1 pour t ∈ [−π, 0[, et f(t) = 1 pour t ∈ [0, π[. Cettefonction est C1 par morceaux sur R. Il est judicieux, pour les calculs, de remarquer qu’envertu du théorème 12.2.3, f a les mêmes coefficients de Fourier qu’une fonction impaire (la-quelle?). Les graphiques suivants ont été réalisés en superposant la courbe représentative def avec celle d’une somme partielle de sa série de Fourier. On remarquera que l’allure de lacourbe de f est “rapidement approchée” par la courbe d’une somme partielle, ce qui visualisela conclusion du théorème de Dirichlet, à savoir : la série de Fourier converge vers la valeur dela fonction là où cette dernière est continue. On observera que les points d’abscisse −π, 0 etπ des courbes représentatives des sommes partielles ont pour ordonnée 0, ce qui correspondà ma moyenne entre la limite à gauche et la limite à droite de f en −π, en 0, aussi bien qu’en π.

Courbe représentative de f Courbes représentatives de f et de S1

.........

.........−π π

.........

.........

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

.........

.........−π π

.........

.........

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

11. Pour nous, les conditions de Dirichlet se résument à : la fonction est C1 par morceaux.



Courbes représentatives de f et de S3 Courbes représentatives de f et de S5

.........

.........−π π

.........

.........

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

...............................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

.............................................................

.........

.........−π π

.........

.........

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

...................................................................................

..............................................................................................................................................................

........................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................

.

Courbes représentatives de f et de S9 Courbes représentatives de f et de S15

.........

.........−π π

.........

.........

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

...................................................................

.......................................................................................................................................................................

..........................................................

................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

........................................................................................................

.......................................................................................................................................................................

..........................................................

.....................................................

.........

.........−π π

.........

.........

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................

.......................................

.......................................................................................

Définition et théorème 12.2.13 (Valeur efficace d’une fonction périodique) Soit f unefonction continue par morceaux sur R et T -périodique. La valeur efficace Feff de f est définie,pour tout α dans R, par :

Feff =

√

1

T

∫ α+T

α

|f(t)|2 dt.

Exercice 98 Soit T ∈]0, +∞[ et soit ω = 2πT

. Montrer que pour tout entier n > 1 :

1

T

∫ T

0

|an cos(nωt) + bn sin(nωt)|2 dt =1

2

(

|an|2 + |bn|2)

.

On remarquera que1

T

∫ T

0

|a0|2 dt = |a0|2.

Le second théorème important sur les séries de Fourier est la formule de Parseval (appeléeaussi : égalité de Bessel-Parseval). Ce théorème indique que le carré de la valeur efficace d’unefonction continue par morceaux et périodique, est égal à la somme des carrés des valeursefficaces de sa « composante constante », de sa fondamentale et de ses harmoniques.

Théorème 12.2.7 (Formule de Parseval) Soit f une fonction continue par morceauxsur R et T -périodique. En utilisant les notations des définitions 12.2.7 et 12.2.10 pour lescoefficients de Fourier de f , on a, pour tout α dans R :

1

T

∫ α+T

α

|f(t)|2 dt = |a0|2 +1

2

+∞∑

n=1

(

|an|2 + |bn|2)

=+∞∑

n=−∞|cn|2



La démonstration classique de ce théorème utilise la théorie des espaces de Hilbert ; cettethéorie ne figurant pas au programme, le théorème sera donc admis sans démonstration.

De c0 = a0, cn = 12(an − ibn) et c−n = 1

2(an + ibn) pour n > 1, on déduit : |c0|2 = |a0|2 et

|cn|2 + |c−n|2 = 1/2 (|an|2 + |bn|2) (le vérifier à titre d’exercice). Les barres de module figurantdans la formule de Parseval sont indispensables pour les coefficients de Fourier complexes etfacultatives, seulement si f est à valeurs réelles, pour les coefficients de Fourier trigonomé-triques et pour f(t). La formule de Parseval indique donc que la série à termes positifs (Σn)n∈N,avec Σn = |a0|2 + 1

2

∑nk=1 (|ak|2 + |bk|2) =

∑nk=−n |ck|2, converge et a pour somme le carré de

la valeur efficace de f sur une période.


Les objectifs de cet exercice sont d’obtenir le développement en série de Fourier d’une fonctionpuis d’utiliser ce développement pour obtenir les sommes de deux séries numériques.

On considère la fonction numérique f définie sur R, paire, périodique de période π, telle que :

f(t) =π

2t si t appartient à l’intervalle

[

0,π

2

]

.

1. Tracer la représentation graphique de la fonction f sur l’intervalle [−π, π].2. Déterminer les coefficients de Fourier réels associés à la fonction f . On précisera la valeur

de an suivant la parité de l’entier non nul n.3. (a) Montrer que la fonction f vérifie les conditions d’application du théorème de Diri-

chlet.

(b) Soit S(t) =π2

8−

+∞∑

p=0

1

(2p+ 1)2cos (2(2p+ 1)t).

Donner, en la justifiant, la valeur de S(t) sur[

0, π2

]

, puis sur[

π2, π]

.4. Soient les séries numériques, convergentes, de terme général

up =1

(2p+ 1)2et vp =

1

(2p+ 1)4(p ∈ N).

(a) En utilisant le développement en série de Fourier de la fonction f déterminer

+∞∑

p=0

1

(2p+ 1)2.

(b) On rappelle la formule de Parseval :1

T

∫ a+T

a

f 2(t) dt = a20 +

1

2

+∞∑

n=1

(

a2n + b2n

)

.

En utilisant cette formule, déterminer+∞∑

p=0

1

(2p+ 1)4.

Exercice 100 BTS Photonique, session 1993, exercice 2

Développement en série de Fourier d’un signal périodique1. n étant un entier naturel non nul, justifier la convergence des séries numériques de terme

général1

n2;

(−1)n

n2;

1

n4.



2. On pose pour tout n entier naturel non nul :

In =

∫ π

0

t cos(2nt) dt ; Jn =

∫ π

0

t2 cos(2nt) dt.

Calculer In. On admettra que Jn =π

2n2.

3. On considère le signal défini par la fonction f , paire, de période π, telle que :

∀t ∈ [0, π], f(t) = t(π − t).(a) Représenter le signal sur [−2π, 2π].(b) Calculer les coefficients de Fourier réels an et bn de f (n entier naturel).(c) Vérifier que f satisfait aux conditions de Dirichlet et en déduire le développement

de f en série de Fourier.

4. (a) En utilisant le développement en série de Fourier de f pour t = 0 et t = π2,

déterminer+∞∑

n=1

1

n2et

+∞∑

n=1

(−1)n

n2.

(b) En utilisant la formule de Parseval, calculer

+∞∑

n=1

1

n4.

Exercice 101 BTS Életrotechnique, session 1994, exercice 2

Soit la fonction numérique f de la variable réelle t telle que :* f est impaire et de période 2π ;* f(t) = 1− cos(2t), si 0 6 t 6 π.

1. Étudier les variations de f sur [0, π].Tracer, dans un plan muni d’un repère orthonormal (O,−→ı ,−→ ) (unité graphique : 1 cm),la courbe représentative de f sur [−2π, 2π].

2. Calculer la valeur efficace, Ef , de la fonction f .3. On admet que, pour tout réel t,

f(t) = a0 ++∞∑

n=1

(an cos(nωt) + bn sin(nωt)),

les nombres a0, an et bn étant les coefficients de Fourier de f .

(a) Justifier que : an = 0, pour n > 0.(b) Calculer ω et b2.(c) Calculer bn pour n > 1, n 6= 2. (On précisera le résultat suivant la parité de n).

Exercice 102 BTS Électronique, session 1990, problème

Soit f la fonction numérique définie sur R, de période 4, telle que :

f(t) = t, si 0 6 t < 1 ;f(t) = 1, si 1 6 t < 3 ;f(t) = 4− t, si 3 6 t < 4.

1. (a) Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [−6, 6].



(b) Établir que f est paire.(c) Justifier que f satisfait aux conditions de Dirichlet.

Soit∑+∞

n=0 an cosnωt la série de Fourier associée à f . Déterminer a0 et ω. Montrerque, pour n > 1 :

an =4

n2π2

(

cos nπ

2− 1)

.

2. Soit ϕ la fonction définie sur R par :

ϕ(t) =3

4− 4

π2cos

π

2t− 2

π2cos πt.

(a) Vérifier que ϕ est paire et a pour période 4.(b) Résoudre sur [0, 2] l’équation ϕ′(t) = 0. Calculer à 10−2 près, ϕ

(

n3

)

pour n = 0, 1,2, 3, 4, 5 et 6. Dresser le tableau de variation de ϕ pour 0 6 t 6 2.

(c) Construire dans un même repère orthonormé les courbes y = f(t) et y = ϕ(t), pour−2 6 t 6 2, puis pour −4 6 t 6 4. (On prendra 2 cm pour unité graphique).

3. (a) Calculer I =∫ 2

0f 2(t) dt. En déduire le carré de la valeur efficace de f .

(b) Calculer le carré de la valeur efficace de ϕ (on pourra utiliser la formule de Parseval).(c) Comparer les résultats obtenus en 3a et 3b. Ce résultat était-il prévisible?

Exercice 103 BTS Informatique industrielle, session 2001, exercice 1Partie A

1. On a obtenu à l’aide d’une calculatrice :∫ π

0

sin t cos t dt = 0 et∫ π

0

sin t cos(2t) dt = −2

3.

Justifier ces deux résultats en calculant les intégrales.2. On considère le signal, modélisé par la fonction réelle e, de période 2π, définie par :

e(t) = sin t si t ∈ [0, π]

e(t) = 0 si t ∈]π, 2π[

(a) Dans un repère orthogonal, tracer la représentation graphique de la fonction e pourt variant dans l’intervalle [−2π, 4π].

(b) Calculer les coefficients de Fourier a0, a1 et a2 de la fonction e. On admettre dansla suite de l’exercice que les coefficients b1 et b2 valent : b1 = 1

2et b2 = 0.

3. (a) Calculer le carré E2 de la valeur efficace du signal e.(b) On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne :

E2 = a20 +

+∞∑

n=1

a2n + b2n

2.

Dans le cas présent, on décide de ne garder que les harmoniques de rang 1 et 2.Soit P le nombre défini par :

P = a20 +

1

2

(

a21 + b21 + a2

2 + b22)

.

Calculer P , puis donner une approximation décimale à 10−3 près du rapportP

E2.

La comparaison de E2 et P justifie que, dans la pratique, on néglige les harmoniquesde rang supérieur ou égal à 3.


123

Chapitre 13

Transformation de Laplace

13.1 Intégrales impropres

Nous n’avons pas à développer une théorie des intégrales impropres. Cependant, commece type d’intégrale intervient dans la définition même de la transformée de Laplace d’unefonction, il est souhaitable d’avoir quelques notions sur ce sujet.

Définition et notation 13.1.1 (Intégrale impropre) Soit f une fonction à valeurs 1 dansR (ou C) définie et continue par morceaux sur [a, b[, avec a ∈ R, b ∈]a, +∞[ ou bien b = +∞.On définit alors, pour tout x dans [a, b[, l’intégrale :

∫ x

af(t) dt. Lorsque lim

x→b−

∫ x

af(t) dt existe 2,

on dit que l’intégrale impropre de f sur [a, b[, notée :∫ b

af(t) dt, converge et on pose :

∫ b

a

f(t) dt = limx→b−

∫ x

a

f(t) dt.

Quand∫ x

af(t) dt n’admet pas de limite lorsque x tend vers b (x < b), on dit que l’intégrale

impropre de f sur [a, b[ diverge.

Si, dans la définition ci-dessus, l’intégrale impropre diverge, la notation∫ b

af(t) dt n’a pas plus

de sens que la notation∑+∞

n=0 un lorsque la série diverge.

Définition et notation 13.1.2 (Intégrale impropre) Soit f une fonction à valeurs dansR (ou C) définie et continue par morceaux sur ]a, b], avec b ∈ R, a ∈]−∞, b[ ou bien a = −∞.On définit alors, pour tout x dans ]a, b], l’intégrale :

∫ b

xf(t) dt. Lorsque lim

x→a+

∫ b

xf(t) dt existe,

on dit que l’intégrale impropre de f sur ]a, b], notée :∫ b

af(t) dt, converge et on pose :

∫ b

a

f(t) dt = limx→a+

∫ b

x

f(t) dt.

Quand∫ b

xf(t) dt n’admet pas de limite lorsque x tend vers a (a < x), on dit que l’intégrale

impropre de f sur ]a, b] diverge.

1. Pour une fonction à valeurs dans C,∫

f =∫

Re(f) + i∫

Im(f).2. « Existe » : est un nombre réel si f est à valeurs réelles, ou bien un nombre complexe si f est à valeurs

complexes.


124 CHAPITRE 13. TRANSFORMATION DE LAPLACE

Définition et théorème 13.1.3 (Intégrale doublement impropre) Soient a et b tels que−∞ 6 a < b 6 +∞. Soit f une fonction définie et continue par morceaux sur ]a, b[. S’il existec dans ]a, b[ tel que les deux intégrales impropres

∫ c

af(t) dt et

∫ b

cf(t) dt convergent, alors pour

tout x dans ]a, b[ les intégrales impropres∫ x

af(t) dt et

∫ b

xf(t) dt convergent, et

∫ c

a

f(t)dt+

∫ b

c

f(t) dt =

∫ x

a

f(t)dt+

∫ b

x

f(t) dt.

Dans ce cas, on dit que l’intégrale impropre de f sur ]a, b[, notée :∫ b

af(t) dt, converge et on

pose∫ b

a

f(t) dt =

∫ c

a

f(t) dt+

∫ b

c

f(t) dt.

Si pour tout c dans ]a, b[, au moins une des intégrales impropres de f sur ]a, c] et sur [c, b[diverge, alors on dit que l’intégrale impropre de f sur ]a, b[ diverge.

On trouve, par exemple, ce type d’intégrale doublement impropre en probabilités pour lescalculs de moyenne ou de variance d’une variable aléatoire continues à densité de probabilité.

13.2 Transformée de Laplace d’une fonction causale

Définition 13.2.1 (Fonction causale) Soit f une fonction définie sur R et à valeurs dansR (ou dans C). On dit que la fonction f est causale lorsque f(x) = 0 pour tout x dans ]−∞, 0[.

Une fonction causale particulière joue un rôle si important dans ce cours qu’elle mérite ladéfinition suivante :

Définition et notation 13.2.2 (Fonction échelon unité de Heaviside) La fonction éche-lon unité de Heaviside, notée : U , appelée aussi : fonction de Heaviside ou fonction échelonunité, est définie sur R par :

U(t) =

0 si t < 0

1 si t > 0

La proposition suivante est triviale mais pas inutile...

Proposition 13.2.1 Soit f une fonction définie sur R. Alors, la fonction définie pour tout tdans R par : t 7→ f(t)U(t), est la fonction causale égale à f sur [0, +∞[.

Ce procédé permet de fabriquer une fonction causale à partir de toute fonction définie sur R.

Définition et théorème 13.2.3 (Abscisse de convergence absolue) (admis) Soit f unefonction causale continue par morceaux. L’ensemble des nombres réels x tels que l’intégrale im-propre :

∫ +∞

0

|f(t)| exp(−xt) dt

converge est un intervalle de type [a, +∞[ ou ]a, +∞[, avec −∞ 6 a 6 +∞.Alors, pour tout p dans C tel que Re(p) > a, l’intégrale impropre

∫ +∞0

f(t)e−pt dt converge. aest l’abscisse de convergence absolue.


13.2. TRANSFORMÉE DE LAPLACE D’UNE FONCTION CAUSALE 125

Définition et notation 13.2.4 (Transformée de Laplace) Soit f une fonction causalecontinue par morceaux. On définit la fonction F de la variable complexe p par :

F (p) =

∫ +∞

0

f(t)e−pt dt

pour tout p ∈ C tel que Re(p) soit strictement supérieure à l’abscisse de convergence absolue.On dit alors que F est alors la transformée de Laplace de f , ou dit aussi que F est l’image def par la transformation de Laplace, et on écrit 3 :

F = L(f).

Définition 13.2.5 (Original) On dit que f est un original de F lorsque L(f) = F .

Dans le cadre du programme de mathématiques, la transformée de Laplace d’une fonctioncausale sera considérée comme une fonction de la variable réelle p. Cette notion de transforméede Laplace correspond à la restriction à p réel de la transformée définie pour p complexe. Lesrésultats des calculs de transformées sont identiques que l’on considère p réel ou p complexe.

La transformée de Laplace est définie à l’aide d’une intégrale impropre. La convergencede cette intégrale est indispensable. C’est la raison pour laquelle dans la définition ci-dessus,l’abscisse de convergence absolue intervient. En toute rigueur, dans chacun des énoncées quivont suivre, devrait figurer une hypothèse sur une abscisse de convergence absolue. Cettehypothèse sera souvent l’indication des valeurs de p pour lesquelles la transformée est calculée.Comme la notion d’abscisse de convergence absolue est hors programme, on se contenteraparfois de supposer que toutes les intégrales convergent pour toutes les fonctions dont oncalculera la transformée.

La transformation de Laplace hérite de la linéarité de l’intégrale :

Théorème 13.2.2 Soient f et g des fonctions causales admettant des transformées de Laplacedéfinies en p. Soient λ et µ des constantes. Alors,

L(λf + µg)(p) = λL(f)(p) + µL(g)(p).

13.2.1 Calculs de transformées de Laplace

Les intégrales figurant dans cette partie sont des intégrales impropres. On devrait pourchacune d’elles, écrire une intégrale de 0 à b, puis calculer la limite quand b tend vers +∞ dece qui a été obtenu. Comme ces limites sont simples à calculer, comme les intégrales convergent,et pour éviter de surcharger les calculs, les intégrales seront directement exprimées avec +∞comme borne supérieure d’intégration.

3. Dans certains ouvrages, pour indiquer que F est l’image de f par la transformation de Laplace, on trouvela notation : f A F .



Fonction échelon unité

La transformée de U est définie sur ]0, +∞[. On a, pour b > 0 et p > 0 :∫ b

0

U(t)e−pt dt =

∫ b

0

e−pt dt

=

[

−e−pt

p

]b

0

=1

p− e−pb

p

Comme −p < 0, limb→+∞

e−pb = 0. On en déduit :

L(U)(p) =1

p

Fonctions cosinus

On considère la fonction causale, définie sur R par : t 7→ cos(ωt)U(t), avec ω 6= 0. La for-mule d’intégration par parties s’applique aux intégrales impropres, pour peu que les intégralesconvergent. On a, pour p > 0 :

∫ +∞

0

cos(ωt)e−pt dt =

[

1

ωsin(ωt)e−pt

]+∞

0

−∫ +∞

0

− pω

sin(ωt)e−pt dt

= 0 +p

ω

∫ +∞

0

sin(ωt)e−pt dt

=p

ω

(

[

− 1

ωcos(ωt)e−pt

]+∞

0

−∫ +∞

0

p

ωcos(ωt)e−pt dt

)

=p

ω

(

1

ω− p

ω

∫ +∞

0

cos(ωt)e−pt dt

)

=p

ω2− p2

ω2

∫ +∞

0

cos(ωt)e−pt dt

Comme(

1 +p2

ω2

)∫ +∞

0

cos(ωt)e−pt dt =p

ω2⇐⇒ p2 + ω2

ω2

∫ +∞

0


ω2

L (t 7→ cos(ωt)U(t)) (p) =p

p2 + ω2

Fonctions sinus

Soient ω 6= 0 et p > 0. Dans le calcul de la transformée de Laplace de t 7→ cos(ωt)U(t), ona obtenu l’égalité :

∫ +∞

0


ω

∫ +∞

0

sin(ωt)e−pt dt.

On en déduit :

L (t 7→ sin(ωt)U(t)) (p) =ω

p2 + ω2



Fonction t 7→ tn, n ∈ N

On sait déjà que, pour p > 0,L(t 7→ t0U(t))(p) = L(U)(p) = 1p. Exprimons la transformée

de t 7→ tn+1U(t) en fonction de celle de t 7→ tnU(t).

∫ +∞

0

tn+1e−pt dt =

[

−tn+1e−pt

p

]+∞

0

−∫ +∞

0

−n + 1

ptne−pt dt

=n+ 1

p

∫ +∞

0

tne−pt dt

On en déduit :

L (t 7→ tU(t)) (p) =1

p2

et

L (t 7→ tnU(t)) (p) =n!

pn+1

t 7→ e−atU(t), a ∈ R

Pour p + a > 0, on a :∫ +∞

0

e−ate−pt dt =

∫ +∞

0

e−(p+a)t dt

=

[

−e−(p+a)t

p+ a

]+∞

0

=1

p+ a

L(

t 7→ e−atU(t))

(p) =1

p+ a

Fonction T -périodique

On suppose 4 que f est T -périodique. On a :

∫ +∞

0

f(t)e−pt dt =+∞∑

n=0

∫ (n+1)T

nT

f(t)e−pt dt.

Or, en posant u = t− nT et en utilisant la périodicité de f , on obtient :

∫ (n+1)T

nT

f(t)e−pt dt =

∫ T

0

f(u+ nT )e−p(u+nT ) du

=

∫ T

0

f(u)e−pue−pnT du

= e−pnT∫ T

0

f(u)e−pu du

4. Il semble que la transformée d’une fonction périodique autre que les fonctions cosinus et sinus ne soitplus un objectif du programme depuis la session 2003.



D’où,∫ +∞

0

f(t)e−pt dt =

(

+∞∑

n=0

e−pnT

)

∫ T

0

f(u)e−pu du

On reconnaît ici la somme de la série géométrique de terme général(

e−pT)n

, et, comme −pT <0, on sait que :

+∞∑

n=0

(

e−pT)n

=1

1− e−pT .

D’où,

L(f)(p) =1

1− e−pT∫ T

0

f(t)e−pt dt

Impulsion unité

L’impulsion unité δ, ou : impulsion de Dirac, n’est pas une véritable fonction 5. Le cadrethéorique adéquat pour la définir est celui des distributions 6, ou bien encore le cadre de lathéorie de la mesure. La transformation de Laplace des fonctions causales est un cas particulierd’une théorie plus vaste dans laquelle la transformée de Laplace de l’impulsion de Dirac estdefinie. On a alors :

L(δ)(z) = 1

En restant dans le cadre du programme du BTS, on peut quand même se faire une idée de ceque représente δ. Considérons la suite des fonctions fn définies pour tout entier naturel nonnul n par :

fn(t) =

n si t ∈[

0, 1n

]

0 sinon

On remarque que∫ +∞

0

fn(t) dt =

∫ 1n

0

n dt = 1.

Donc, si φ est un fonction continue sur Ret à valeurs dans R, on a :

min

φ(t) | t ∈[

0,1

n

]

6

∫ +∞

0

fn(t)φ(t) dt 6 max

φ(t) | t ∈[

0,1

n

]

La continuité de φ en 0 implique que :

limn→+∞

min

φ(t) | t ∈[

0,1

n

]

= limn→+∞

max

φ(t) | t ∈[

0,1

n

]

= φ(0).

On considère l’impulsion de Dirac comme la limite quand n tend vers +∞ des fonctions fn.Et on écrit alors :

〈δ, φ〉 = φ(0) (distribution) ;

5. Le programme indique : « En relation avec l’enseignement de l’électronique et de la régulation, on in-diquera [...] comment l’impulsion unité δ peut être obtenue par passage à la limite de fonctions fn, et qu’enétudiant la limite de (Lfn) on est amené à dire que (Lδ) = 1. Toutefois, aucune connaissance sur ces pointsn’est exigible dans le cadre du programme de mathématiques. »

6. La théorie des distributions a été formalisée par Laurent Schwartz vers le milieu du xxe siècle.



ou bien∫

R

φ dδ = φ(0) (mesure).

Ce résultat, appliqué à φ(t) = e−pt, donne la valeur proposée pour la transformée de Laplacede δ.

13.2.2 Opérations sur les fonctions

Dans cette partie, on considère une fonction causale f ayant pour transformée de Laplacela fonction F .

Multiplication par e−at

∫ +∞

0

f(t)e−ate−pt dt =

∫ +∞

0

f(t)e−(p+a)t dt

D’où,

L(

t 7→ f(t)e−at)

(p) = F (p+ a)

Retard

On considère un réel strictement positif τ . En utilisant le changement de variable u = t−τ ,on a :

∫ +∞

0

f(t− τ)e−pt dt =

∫ +∞

−τf(u)e−p(u+τ) du

=

∫ +∞

0

f(u)e−p(u+τ) du

= e−pτ∫ +∞

0

f(u)e−pu du

D’où,

L (t 7→ f(t− τ)) (p) = e−pτF (p)

Changement d’échelle

Soit α un nombre réel strictement positif. Par le changement de variable u = αt, on obtient :

∫ +∞

0

f(αt)e−pt dt =

∫ +∞

0

1

αf(u)e−p

uα du

D’où,

L (t 7→ f(αt)) (p) =1

αF( p

α

)



Exercice 104 Soient α et τ des réels strictement positifs. Soit f une fonction causale admet-tant une transformée de Laplace en p, p ∈ R. Montrer que :

L(t 7→ f(αt− τ))(p) = exp(

−pτα

)

L(t 7→ f(αt))(p) (13.1)

L(t 7→ f(αt− τ))(p) =exp

(

pτα2 − pτ

α

)

αL(t 7→ f(t− τ/α))(p/α) (13.2)

L(t 7→ f(αt− τ))(p) =exp

(

−pτα

)

αL(t 7→ f(t))(p) (13.3)

Application : Calculer la transformée de Laplace de t 7→ cos(πt− π3)U(t).

Dérivation

On suppose que f est C1 sur ]0, +∞[ et C1 par morceaux sur R. On suppose que f etsa “dérivée 7” f ′ admettent chacune une transformée de Laplace en p. Puisque le calcul dela transformée de Laplace est un calcul d’intégrale de fonction continue par morceaux sur[0, +∞[, il convient de remplacer mentalement f par g, égale à f sur ]0, +∞[ et à f(0+)en 0. On suppose ainsi, ce qui est indispensable pour la convergence de

∫ +∞0

f(t)e−pt dt, quelimt→+∞

f(t)e−pt = 0. Alors, l’égalité suivante n’est qu’une illustration de la formule d’intégration

par parties.∫ +∞

0

f ′(t)e−pt dt =[

f(t)e−pt]+∞0−∫ +∞

0

−pf(t)e−pt dt

D’où 8,

L(f ′)(p) = pF (p)− f(0+)

On suppose que f est C2 sur ]0, +∞[ et C2 par morceaux sur R ; ce qui revient à supposer f ′

C1 sur ]0, +∞[ et C1 par morceaux sur R. On peut alors appliquer à f ′ le résultat précédent,et on obtient : L(f ′′)(p) = pL(f ′)(p)− f ′(0+), f ′′ désignant la “dérivée 9” seconde de f . D’où,

L(f ′′)(p) = p2F (p)− pf(0+)− f ′(0+)

Intégration

Soit φ : R → R, t 7→∫ t

0f(u) du. Quand f est continue sur ]0, +∞[, φ ainsi définie est

la fonction causale égale à la primitive de f sur ]0, +∞[ et dont la limite en 0 par valeurssupérieures est nulle. On peut donc appliquer le résultat : F (p) = pL(φ)(p) − φ(0+), si l’onsuppose que f est continue sur ]0, +∞[. Il vient, pour p 6= 0 :

L(

t 7→∫ t

0

f(u) du

)

(p) =F (p)

p

7. f n’étant pas nécessairement ni continue, ni dérivable en 0, il s’agit ici d’une fonction égale à la dérivéede f sur ]0, +∞[, à 0 sur ]−∞, 0[ et prolongée par continuité à droite en 0.

8. On rappelle que f(0+) = limt→0

t>0

f(t).

9. Voir la note 7 en remplaçant f par f ′ et f ′ par f ′′.



Convolution

Le produit de convolution 10 des fonctions causales f et g, continues par morceaux sur R,se note f ∗ g et est défini pour tout t dans R par :

(f ∗ g)(t) =

∫ t

0

f(u)g(t− u) du.

f ∗ g est une fonction causale. Sous certaines conditions, les fonctions f , g, et f ∗ g admettentdes transformées de Laplace. Alors, on démontre (et nous admettrons) que :

L(f ∗ g) = L(f)L(g)

13.2.3 Opérations sur la transformée

On note toujours F la transformée de Laplace de f .

Dérivation

On admet que la dérivée de t 7→∫ +∞0

f(t)e−pt dt par rapport à p est t 7→∫ +∞0−tf(t)e−pt dt

(ce qui revient à dériver sous le signe somme).On retiendra qu’alors, en notant F ′ la dérivée de F :

L (t 7→ −tf(t)) (p) = F ′(p)

Intégration

On suppose 11 que∫ +∞p

F (u) du existe. On admet que

∫ +∞

p

(∫ +∞

0

f(t)e−ut dt

)

du =

∫ +∞

0

(∫ +∞

p

f(t)e−ut du

)

dt.

Comme

∫ +∞

p

f(t)e−ut du =

[

−f(t)e−ut

t

]+∞

p

=f(t)

te−pt − lim

u→+∞

f(t)

te−ut

=f(t)

te−pt,

on a :∫ +∞

p

F (u) du = L(

t 7→ f(t)

t

)

(p)

10. Le produit de convolution n’est plus au programme de puis la session 2003.11. L’intégration n’est plus au programme depuis la session 2003.



Théorème de la valeur initiale

On suppose que f ′ admet une transformée de Laplace. On admet que

limp→+∞

(∫ +∞

0

f ′(t)e−pt dt

)

=

∫ +∞

0

(

limp→+∞

f ′(t)e−pt)

dt.

On sait que : L(f ′)(p) = pF (p)− f(0+). Alors, comme limp→+∞

f ′(t)e−pt = 0, on a :

limp→+∞

pF (p) = f(0+)

Théorème de la valeur finale

On suppose que f ′ admet une transformée de Laplace. On admet que

limp→0

(∫ +∞

0

f ′(t)e−pt dt

)

=

∫ +∞

0

(

limp→0

f ′(t)e−pt)

dt.

Or, limp→0

f ′(t)e−pt = f ′(t) et donc

limp→0

(∫ +∞

0

f ′(t)e−pt dt

)

= [f(t)]+∞0

= limt→+∞

f(t)− f(0+)

De L(f ′)(p) = pF (p)− f(0+), on déduit alors :

limp→0

pF (p) = limt→+∞

f(t)

13.3 Calcul opérationnel

La principale application des calculs de transformées de Laplace est la résolution d’équa-tions, de systèmes, différentiels. L’utilité de cet outil vient du théorème suivant :

Théorème 13.3.1 (admis) Soient f et g des fonctions causales admettant toutes deux unetransformée de Laplace. On suppose que les restrictions respectives de f et de g à [0, +∞[sont continues. Dans ces conditions, si L(f) = L(g), alors f = g.

Exemple d’utilisation de ce théorème :

On veut résoudre sur [0, +∞[ l’équation différentielle :

x′ = xx(0) = 1

.

Notons X la transformée de Laplace de x (on suppose donc que cette transformée existe).Alors, en calculant les transformées de chacun des membres de l’équation, on obtient : pX(p)−x(0+) = X(p). On en déduit : X(p) = 1

p−1= L(t 7→ etU(t))(p).

D’après le théorème, t 7→ et est la seule fonction continue sur [0, +∞[ dont la transformée deLaplace est 1

p−1. La solution de l’équation différentielle est donc t 7→ et.

Heureusement, cette méthode de résolution d’équations différentielles fonctionne aussi dansdes cas plus compliqués.


13.3. CALCUL OPÉRATIONNEL 133

Définition et notation 13.3.1 (Original) On dit que la fonction causale f , admettant unetransformée de Laplace, est l’original de F lorsque L(f) = F et lorsque la restriction de f à[0, +∞[ est continue. Dans ce cas, on écrit :

f = L−1(F ).


1. (a) Soit la fonction f d’une variable réelle, périodique, de période π, telle que :

– Si t appartient à[

0, π2

]

, f(t) = sin(2t).– Si t appartient à

[

π2, π]

, f(t) = 0.

Représenter graphiquement f pour t appartenant à [−π, 2π] dans un repère ortho-normal (O,−→ı ,−→ ).

(b) Soit la fonction g d’une variable réelle définie par : g(t) = f(t)U(t) où U est lafonction échelon unité.Représenter graphiquement g pour t appartenant à [−π, 2π] dans un repère ortho-normal (O,−→ı ,−→ ). (Faire une figure distincte de celle du 1a).

2. Soit p un réel strictement positif.À l’aide de deux intégrations par parties, montrer que :

∫ π2

0

sin(2t)e−pt dt =2

p2 + 4

(

1 + e−pπ2

)

.

3. En utilisant le résultat de la question 2, déterminer la transformée de Laplace G de lafonction g.


1. Soit le signal défini par la fonction h :

– si t appartient à ]−∞, 0[, h(t) = 0 ;– si t appartient à [0, 1[, h(t) = 2 ;– si t appartient à [1, +∞[, h(t) = 0.

(a) Donner la représentation graphique du signal h dans un repère orthonormal(O,−→ı ,−→ ).L’échelon unité U étant défini par U(t) = 0 si t < 0 et U(t) = 1 si t > 0, vérifierque : h(t) = 2 (U(t)− U(t− 1)).

(b) Déterminer la transformée de Laplace de h.

2. Soit f la fonction définie et continue dans 12 R, dérivable dans R privé de 0 et de 1,vérifiant :

f(t) = 0 si t < 0 ;f(0) = 0 ;2f ′(t) + f(t) = h(t) pour t strictement positif et différent de 1.

En admettant que les conditions d’utilisation de la transformation de Laplace sont sa-tisfaites, déterminer la transformée de Laplace F de f .

12. « sur R » serait préférable...



3. Déterminer a et b réels tels que2

p(2p+ 1)=a

p+

b

p+ 12

.

Déterminer les originaux correspondant aux transformées de Laplace suivantes :1

p,e−p

p,

1

p+ 12

,e−p

p+ 12

.

En déduire f . On vérifiera, en particulier, que si t appartient à [0, 1[, f(t) = 2(

1− e− t2

)

et que si t appartient à [1, +∞[, f(t) = 2e−t2

(

e12 − 1

)

.

4. Soit la suite (tn) définie par t0 = 0 et tn = tn−1 + 0,1.Donner un algorithme pour obtenir le tracé des points Mn de coordonnées (tn, f(tn))pour tn 6 3, utilisant la procédure TRACE(X, Y ) qui trace le point M de coordonnées(X, Y ).

Exercice 107 BTS Génie Optique, session 1996, exercice 2

La fonction échelon unité U est définie par U(t) = 0 si t < 0 et U(t) = 1 si t > 0.

L’étude de certains circuits électriques conduit à résoudre des équations appelées « intégro-différentielles », dont un exemple est proposé ci-dessous.

On considère une fonction x dérivable sur [0, +∞[, telle que x(0) = 1, vérifiant, pour tout tstrictement positif, la relation :

(R) 20

∫ t

0

x(u) cos[4(t− u)] du− x′(t) = 2U(t).

On suppose que les fonctions x et g, où g(t) =∫ t

0x(u) cos[4(t − u)] du, admettent des trans-

formées de Laplace notées respectivement X et G.

1. En utilisant le formulaire, montrer que G(p) =p

p2 + 16X(p).

2. En appliquant la transformation de Laplace à la relation (R), déterminer X(p).

3. Trouver trois réels a, b et c tels que, pour tout p > 0, on ait :

p2 + 16

p2(p+ 2)=

a

p2+b

p+

c

p+ 2.

4. En déduire l’expression de x(t) sur [0, +∞[.

Exercice 108 BTS Électrotechnique, session 1993, exercice 1

On se propose de résoudre, à l’aide de la transformation de Laplace, le système différentielsuivant :

(S)

2dx

dt+ x− 2y = v

dx

dt− 2

dy

dt+ 5x− 10y = 0

où x et y sont des fonctions numériques de la variable réelle t définies sur R et telles que

x(t) = 0 et y(t) = 0 si t < 0x(0) = 0 et y(0) = 0



et où v est la fonction de la variable réelle t définie sur R par :

v(t) = 0 si t < 0 ou t >π

2

v(t) = 8 sin(2t) si 0 6 t <π

2

A. Détermination de la transformée de Laplace de v.

Soit les fonctions numériques g et h définies sur R par :

g(t) = 8 sin(2t)U(t)

h(t) = g(

t− π

2

)

On rappelle que la fonction échelon unité U est définie par :

U(t) = 0 si t < 0

U(t) = 1 si t > 0

1. Déterminer les transformées de Laplace des fonctions g et h.2. Tracer les courbes représentatives Cg, Ch et Cv des fonctions g, h et v sur [−π, 2π].

(Les courbes Cg et Ch seront tracées dans le même repère en utilisant des couleursdifférentes ; la courbe Cv sera tracée dans un autre repère ; on prendra toutefois lesmêmes unités graphiques pour les deux repères).

En déduire v(t) à l’aide de g(t) et h(t).3. Utiliser les résultats précédents pour déterminer la transformée de Laplace V (p) =L(v(t)) de v.

B. Résolution du système (S).

On admet que les fonctions x et y et leurs dérivées ont des transformées de Laplace et l’onnote :

X(p) = L(x(t)) et Y (p) = L(y(t)).

1. À partir de (S), écrire le système vérifié par X(p) et Y (p).Déterminer X(p) et Y (p).

2. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel p non nul, on ait :

4

p (p2 + 4)=a

p+bp + c

p2 + 4.

En déduire les originaux respectifs de4

p (p2 + 4)et

4

p (p2 + 4)e−

π2p.

Déterminer les expressions de x(t) et de y(t) sur chacun des intervalles ]−∞, 0[,[

0, π2

]

et[

π2, +∞

]

.


Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

-e(t) -s(t)



Dans un système représenté ci-dessus, e et s sont respectivement les signaux d’entrée et desortie, causaux (nuls pour t négatif).

On suppose que le système est régi par l’équation différentielle :

LCd2s

dt2(t) +RC

ds

dt(t) + s(t) = e(t) (1).

L, R et C sont des constantes réelles strictement positives. De plus à l’instant initial :

s(0+) = 0 etds

dt(0+) = 0.

Partie A

On suppose que les fonctions e et s admettent des transformées de Laplace notées respective-ment E et S.

1. La fonction de transfert H du système est définie par : S(p) = H(p)× E(p).En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’équation (1), expri-mer H(p) en fonction de R, L et C.

2. On suppose que e(t) = U(t − 1) − U(t − 2) où U est la fonction échelon unité :

U(t) = 0 si t < 0

U(t) = 1 si t > 0

(a) Tracer la courbe représentative de la fonction e dans un repère du plan.(b) Déterminer E(p).

3. Dans la suite de l’exercice, on considère que L = 2, R = 1000 et C = 2.10−6.

(a) Vérifier que H(p) =5002

(p+ 250)2 +(

250√

3)2 .

(b) On admet que :

1

pH(p) =

1

p− p+ 250

(p+ 250)2 +(

250√

3)2 −

250

(p+ 250)2 +(

250√

3)2 .

Déterminer l’original h1 de la fonction p 7→ 1

pH(p).

Exprimer s(t) à m’aide de h1(t).(c) Donner l’expression de s(t) sur chacun des intervalles ]−∞, 1[, [1, 2[ et [2, +∞[.

Partie B

On rappelle que H(p) =5002

(p+ 250)2 +(

250√

3)2 .

1. On considère la fonction r définie pour tout réel ω > 0 par :

r(ω) = |H(jω)|

où j est le nombre complexe de module 1 et d’argument π2.

Montrer que r(ω) =5002

√ω4 − 5002ω2 + 5004

.

2. On considère la fonction f définie pour tout réel ω > 0 par :

f(ω) = ω4 − 5002ω2 + 5004.

Montrer que f ′(ω) = 4ω(

ω − 250√

2) (

ω + 250√

2)

.



3. Montrer que r′(ω) est du signe de −f ′(ω).4. En déduire que r(ω) est maximal pour une valeur ω0 de ω. Donner la valeur de ω0 et

calculer r(ω0).La partie B permet de déterminer le maximum du gain pour le système étudié en régimeharmonique.


139

Chapitre 14

Transformation en Z

14.1 Séries entières

Cette section 1 est une brève introduction aux séries entières. Cette notion, importantedans la théorie des fonctions d’une variable complexe, fait appel aux connaissances acquisesdans le chapitre consacré aux séries. En effet, il sera ici question d’envisager l’image d’unnombre réel x par une fonction comme étant la somme d’une série de terme général anxn,où (an)n∈N sera une suite caractéristique de la fonction considérée. Nous allons limiter nosambitions à l’obtention de quelque séries de ce type, dont la somme :

+∞∑

n=0

anxn,

donne l’image par une fonction bien connue, du nombre réel x. Autrement dit, nous allonsdonner le développement en série entière, appelé aussi : développement en série deTaylor en 0, de quelques fonctions.

Définition 14.1.1 (Série entière) Une série entière est un série de terme général anzn (res-pectivement : anxn), où an désigne le terme général d’une suite de nombres réels ou complexeset z (resp. x) désigne un nombre complexe (resp. réel).

Le terme général d’une série entière dépend donc d’un nombre complexe z (ou réel x) pouvantvarier dans C (dans R). Il se peut que pour certains de ces nombres z (certains de ces nombresx) la série converge et que pour d’autres la série diverge. On introduit alors la notion de rayonde convergence d’une série entière.

Définition et théorème 14.1.2 (Rayon de convergence) On considère la série entièrede terme général anzn. Trois cas, exclusifs les uns des autres, peuvent se présenter :

– la série converge pour tout z dans C, et le rayon de convergence de la série est alors+∞ ;

– la série converge uniquement pour z = 0, et le rayon de convergence de la série est alors0 ;

– il existe un nombre réel R strictement positif, tel que :

– pour tout z dans C vérifiant |z| < R, la série converge ;– pour tout z dans C vérifiant |z| > R, la série diverge ;

1. On consultera avec grand profit l’excellent [Combes, 1982] sur ce sujet.


140 CHAPITRE 14. TRANSFORMATION EN Z

le rayon de convergence de la série est alors R.

Pour z dont le module est égal au rayon de convergence, la série peut converger ou biendiverger. Ce qu’il faut en retenir c’est que si une série de terme général anzn converge pourz = z0, alors cette série converge pour tout z tel que |z| < |z0|. Le nom de « rayon deconvergence » vient de l’aspect de la partie du plan complexe constituée des nombres z telsque |z| < R ; cette partie est le disque de rayon R, bord non compris.

Un des nombreux résultats de la théorie des séries entières, est ce résultat d’unicité :

Théorème 14.1.1 Soit 2 R ∈]0, +∞]. Soient f et g des fonctions de la variable réelle (oucomplexe) x, définies pour tout x tel que |x| < R. On supose que pour tout x tel que |x| < R,les séries

∑+∞n=0 anx

n et∑+∞

n=0 bnxn convergent et sont respectivement égales à f(x) et à g(x).

Dans ces conditions, f = g si et seulement si, pour tout n dans N, an = bn.

On rappelle la formule de Taylor 3 (avec reste intégral) pour une fonction f , Cn+1 en 0 :

f(x) = f(0) +

n∑

k=1

f (k)(0)

k!xk +

∫ x

0

f (n+1)(t)

n!(x− t)n dt,

f (k)(0) étant la dérivée d’ordre k calculée en 0.

Définitions 14.1.3 (Fonction développable en série entière) Soit D ⊂ R (respective-ment : D ⊂ C). On dit que la fonction f de la variable réelle x (respectivement : de la variablecomplexe z) est développable en série entière sur D s’il existe une série entière en x (respec-tivement : en z) égale à f pour tout x (resp. tout z) dans D. On dit que f est développable ensérie entière quand D n’est pas réduit à 0.

Théorème 14.1.2 Soit R ∈]0, +∞]. Soit f une fonction développable en série entière pourtout x tel que |x| < R. Si f(x) =

∑+∞n=0 anx

n pour tout x tel que |x| < R, alors pour tout ndans N :

an =f (n)(0)

n!.

Ce théorème indique que si une fonction est développable en série entière, alors les termes decette série se calculent à l’aide des dérivées 4 successives de la fonction en 0. Ce développementen série entière est donc comme une sorte de développement limité qui ne s’arrête pas à unordre donné.

Nous allons examiner dans quelques cas une « réciproque » de ce théorème. Partant d’unefonction, nous allons prouver qu’elle admet un développement en série entière en utilisant laformule de Taylor pour établir ce développement. Nous avons prouvé dans le cours sur lesdéveloppements limités, que le reste intégral de la formule de Taylor est un « o(xn) », c’est àdire que la limite en 0 du reste divisé par xn, est égale à 0. Ce qu’il nous faudra prouver ici,c’est que, pour certaines valeurs de la variable x, le reste tend vers 0 quand n tend vers +∞.

2. ]0, +∞] =]0, +∞[∪+∞.3. Voir : développements limités.4. Pour ce cours, la dérivation n’a été envisagée que pour les fonctions d’une variable réelle. On définit de

façon analogue la dérivation complexe d’une fonction d’une variable complexe, et le théorème ci-dessus estalors valable sans en changer une virgule.


14.1. SÉRIES ENTIÈRES 141

14.1.1 La fonction exponentielle

Appliquons la formule de Taylor à la fonction exponentielle qui est une fonction C∞ sur R.On obtient alors :

ex =

n∑

k=0

xk

k!+

∫ x

0

et(x− t)nn!

dt.

Cherchons une majoration de∣

∣

∣

∫ x

0et(x−t)n

n!dt∣

∣

∣. Si x < 0, alors pour tout t dans [x, 0], et 6 1.

Si x > 0, alors pour tout t dans [0, x], et 6 ex. Donc, pour tout x dans R, et tout t compris

entre 0 et x, et 6 1 + ex. On en déduit :∣

∣

∣

∫ x

0et(x−t)n

n!dt∣

∣

∣6 (1 + ex)|x| |x|n

n!. Appliquons le

critère de D’Alembert à la série de terme général un = |x|nn!

. On a : un+1

un= |x|

n+1, et donc :

limn→+∞

un+1

un= 0 < 1. La série est donc convergente, et, par conséquent, son terme général tend

vers 0. Ceci permet d’établir : limn→+∞

∣

∣

∣

∫ x

0et(x−t)n

n!dt∣

∣

∣6 (1+ ex)|x| lim

n→+∞|x|nn!

= 0. Conclusion : ex

est, quel que soit x dans R, égal à la somme de la série de terme général xn

n!,

ex =+∞∑

n=0

xn

n!

14.1.2 Les fonctions cosinus et sinus

On montre de même que les fonctions cosinus et sinus admettent un développement ensérie entière. Il suffit de remarquer que la valeur absolue du reste intégral de la formule deTaylor est majoré par |x|n+1

n!. On a, pour tout x dans R :

cos x =+∞∑

k=0

(−1)kx2k

(2k)!

sin x =

+∞∑

k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!

14.1.3 La fonction x 7→ (1 + x)α

α = n ∈ N

La partie principale du développement limité en 0 d’un polynôme est égal au polynômedès lors que l’ordre du développement est supérieur ou égal au degré du polynôme. On poseradonc que le développement en série entière d’un polynôme est le polynôme lui même. On peutconsidérer qu’un polynôme est une série entière dont le terme général est nul à partir d’uncertain rang. Ainsi, pour n ∈ N, quel que soit x dans R,

∑nk=0 C

knx

k est le développement 5 ensérie entière de (1 + x)n,

(1 + x)n =

n∑

k=0

Cknx

k

5. Voir la formule du binôme de Newton.



α ∈ R r N

Pour α ∈ RrN le problème du développement en série entière de (1+x)α est plus délicat.Posons f(x) = (1 + x)α. On a alors, pour tout entier k > 1 : f (k)(x) = α(α − 1) · · · (α − (k −1))(1 + x)α−k. Le reste intégral du développement de Taylor de f en 0, à l’ordre n, est donc :

∫ x

0

α(α− 1) · · · (α− n)(1 + t)α−(n+1)(x− t)nn!

dt

=α(α− 1) · · · (α− n)

n!

∫ x

0

(

x− t1 + t

)n

(1 + t)α−1 dt.

Pour |x| < 1, la fonction t 7→ x−t1+t

est strictement décroissante (calculer sa dérivée). On endéduit que

∣

∣

x−t1+t

∣

∣ 6 |x|, pour tout t compris entre 0 et x. On a donc la majoration de la valeurabsolue du reste :

∣

∣

∣

∣

α(α− 1) · · · (α− n)

n!

∫ x

0

(

x− t1 + t

)n

(1 + t)α−1 dt

∣

∣

∣

∣

6|α||α− 1| · · · |α− n||x|n

n!

∣

∣

∣

∣

∫ x

0

(1 + t)α−1 dt

∣

∣

∣

∣

.

On vérifie à l’aide de la règle de D’Alembert que la série de terme général |α||α−1|···|α−n||x|nn!

converge lorsque |x| < 1 ; on en déduit que le reste intégral du développement de Taylortend vers 0 quand n tend vers +∞. Conclusion : x 7→ (1 + x)α admet, pour |x| < 1, undéveloppement en série entière et

(1 + x)α = 1 +

+∞∑

n=1

α(α− 1) · · · (α− (n− 1))xn

n!

Tous les développements en série entière proposés ci-dessus sont uniques, comme le théo-rème 14.1.1. Bien d’autres fonctions admettent un développement en série entière. Cepen-dant, il ne faut pas croire que toute fonction C∞ en 0 admet un développement en sérieentière. La fonction φ définie par : φ(x) = exp(−1/x2) si x 6= 0 et φ(0) = 0, est C∞ en 0et, pour tout entier naturel n, φ(n)(0) = 0. Si φ était développable en série entière, on au-

rait φ(x) =∑+∞

n=0φ(n)(0)n!

xn = 0 pour tout x tel que |x| est strictement inférieur au rayon deconvergence de la série. Or, pour x 6= 0, φ(x) 6= 0.

14.2 Transformation en Z

14.2.1 Une transformation de Laplace pour un signal échan-tillonné?

Soit f une fonction causale continue par morceaux sur R. Pour calculer la transfor-mée de Laplace de f (à condition que f admette une transformée de Laplace !), il fautconnaître f(t) pour tout t dans [0, +∞[ puisque L(f)(p) =

∫ +∞0

f(t)e−pt dt. Si nous sup-posons que seules les valeurs f(n∆t) sont connues, avec n ∈ N et ∆t > 0, le calcul de latransformée de Laplace de f n’est plus possible. C’est la situation d’un signal échantillonnédont on ne connaît la valeur qu’à intervalle de temps régulier : ∆t, cet intervalle de temps


14.2. TRANSFORMATION EN Z 143

étant le pas d’échantillonnage. On décide alors de choisir f(n∆t)e−pn∆t∆t comme approxi-mation de

∫ (n+1)∆t

n∆tf(t)e−pt dt, ce qui conduit à une approximation de

∫ +∞0

f(t)e−pt dt par∑+∞

n=0 f(n∆t)e−pn∆t∆t. En posant z = ep∆t, on a pour tout n dans N : e−pn∆t = z−n, et donc∑+∞

n=0 f(n∆t)e−pn∆t∆t =∑+∞

n=0(f(n∆t)∆t)z−n. Cette dernière expression ressemble à une sé-rie entière mais n’en est pas une. Ce n’est pas non plus la transformée de Laplace de f , maissa transformée en Z au pas ∆t.

14.2.2 Transformation en Z d’un signal causal discret

Définition 14.2.1 (Signal causal discret) s : Z→ R est un signal causal discret à valeursréelles si, pour tout entier n strictement négatif, s(n) = 0.

On remarque qu’à tout signal causal discret s correspond une unique suite u telle que, pourtout n dans N, s(n) = un. La donnée d’un signal causal discret à valeurs réelles équivaut doncà la donnée d’une suite de nombres réels. On trouvera donc parfois comme définition de signalcausal discret : suite de nombres réels.

Définition et notation 14.2.2 (Transformée en Z) Soit s : Z → R un signal causal dis-cret à valeurs réelles. La transformée en Z de s, calculée en z, est alors la somme de la série determe général s(n)z−n (n > 0) lorsque cette série converge. Cette somme définit une fonctionde la variable z (réelle ou complexe). Pour tout z tel que la série converge, on écrit :

(Zs)(z) =+∞∑

n=0

s(n)z−n,

(Zs)(z) désignant la transformée en Z de s calculée en z.

On remarquera que si R est le rayon de convergence de la série de terme général s(n)xn, alorscette série converge pour |x| < R et diverge pour |x| > R. On en déduit, on posant x = z−1,que la série de terme général s(n)z−n :

– converge quand |z| > 1R

et diverge quand |z| < 1R

lorsque R ∈]0, +∞[ ;– converge pour tout z 6= 0 lorsque R = 0 ;

– diverge pour tout z lorsque R = +∞.

On démontre que la transformation en Z possède la même propriété de linéarité que la trans-formation de Laplace, à savoir :

Théorème 14.2.1 Soient x et y des signaux causaux discrets admettant chacun une trans-formée en Z définie en z. Alors, quelles que soient les constantes λ et µ, on a :

(Z(λx+ µy))(z) = λ(Zx)(z) + µ(Zy)(z).

14.2.3 Calculs de transformées en Z

Échelon unité discret

L’échelon unité discret e est défini par :

e(n) =

0 si n ∈ Z r N

1 si n ∈ N



La transformée en Z de e est donc égale à∑+∞

n=0 z−n lorsque cette somme existe. La série

de terme général z−n =(

1z

)nest une série géométrique. On sait qu’une telle série converge

uniquement lorsque∣

∣

1z

∣

∣ < 1, et dans ce cas, la somme est 11− 1

z

.

On a donc, pour tout z dans C tel que |z| > 1 :

(Ze)(z) =z

z − 1

Impulsion unité discrète

L’impulsion unité discrète d est définie par :

d(n) =

1 si n = 0

0 si n ∈ Z r 0

La transformée en Z de d est :∑+∞

n=0 d(n)z−n = z0 = 1.On a donc, pour tout z dans C :

(Zd)(z) = 1

Rampe unité causale

La rampe unité causale r est définie par :

r(n) =

0 si n ∈ Z r N

n si n ∈ N

La transformée en Z de r est :∑+∞

n=0 r(n)z−n =∑+∞

n=1 nz−n. On admet 6 que la dérivée (par

rapport à z) de∑+∞

n=0 z−n est obtenue pour tout z tel que |z| > 1, en dérivant terme à terme

la série. On a donc :(∑+∞

n=0 z−n)′ =

∑+∞n=0−nz−n−1 = −1

z(Zr)(z). Comme

∑+∞n=0 z

−n = zz−1

,

on a :(∑+∞

n=0 z−n)′ = − 1

(z−1)2.

Donc, pour tout z dans C tel que |z| > 1 :

(Zr)(z) =z

(z − 1)2

Carré discret causal

La carré discret causal c est défini par :

c(n) =

c(n) = 0 si n ∈ Z r N

c(n) = n2 si n ∈ N

En utilisant la même technique de calcul que pour la rampe unité causale et en partant du

résultat obtenu pour celle-ci, on a :(

z(z−1)2

)′= −1

z

∑+∞n=0 n

2z−n.

Comme(

z(z−1)2

)′= − z+1

(z−1)3, on a pour tout z dans C tel que |z| > 1 :

(Zc)(z) =z(z + 1)

(z − 1)3

6. La propriété utilisée ici est une propriété des séries de fonctions uniformément convergentes (voir[Combes, 1982]). Les séries de fonctions ne figurent pas au programme du BTS.


14.2. TRANSFORMATION EN Z 145

Signal géométrique causal

Le signal géométrique causal f est défini pour a ∈ R∗ par :

f(n) =

0 si n ∈ Z r N

an si n ∈ N

On a alors∑+∞

n=0 anz−n =

∑+∞n=0

(

az

)n. On reconnaît une série géométrique qui converge si et

seulement si∣

∣

az

∣

∣ < 1, et dont la somme vaut alors 11−a

z.

On a, pour tout z dans C tel que |z| > |a| :

(Zf)(z) =z

z − a

14.2.4 Opérations sur les signaux causaux discrets

Multiplication par an

Soit a ∈ R∗. Soit x un signal discret causal. Considérons le signal causal discret y définipour tout n dans Z par :

y(n) = anx(n).

On suppose que x admet une transformée en Z. On a alors (Zy)(z) =∑+∞

n=0 anx(n)z−n =

∑+∞n=0 x(n)

(

az

)n.

On a donc :

(Zy)(z) = (Zx)(z

a

)

Translations

Soit x un signal causal discret admettant une transformée en Z et soit n0 un élément nonnul de N.

Retard On considère le signal causal discret y défini pour tout n dans Z par :

y(n) = x(n− n0).

Alors, la transformée en Z de y est définie par :∑+∞

n=0 x(n − n0)z−n =

∑+∞n=n0

x(n − n0)z−n

puisque x est causal. Posons k = n−n0. On a alors :∑+∞

n=n0x(n−n0)z

−n =∑+∞

k=0 x(k)z−n0−k =

z−n0∑+∞

k=0 x(k)z−k.

On a donc :(Zy)(z) = z−n0(Zx)(z)

Avance On considère le signal causal discret f défini pour tout n dans Z par :

f(n) = x(n + n0)e(n).

La multiplication par e(n) n’est ici présente que pour garantir que f est un signal causal. Latransformée en Z de f est donnée par :

∑+∞n=0 x(n+n0)z

−n. En posant k = n+n0, on obtient :∑+∞

n=0 x(n + n0)z−n =

∑+∞k=n0

x(k)z−k+n0 = zn0(∑+∞

k=0 x(k)z−k −∑n0−1

k=0 x(k)z−k)

.On en déduit :

(Zf)(z) = zn0

(

(Zx)(z)−n0−1∑

n=0

x(n)z−n

)



14.2.5 Opérations sur la transformée

Théorème de la valeur initiale

On admet que lim|z|→+∞

∑+∞n=0 anz

−n =∑+∞

n=0 lim|z|→+∞

anz−n. Ce qui permet d’établir, pour

tout signal causal discret x admettant une transformée en Z :

lim|z|→+∞

(Zx)(z) = x(0)

Théorème de la valeur finale

Soit x un signal causal discret. Soit y le signal causal défini pour tout n dans Z pary(n) = x(n + 1)e(n). On suppose que x et y admettent chacun une transformée en Z définiesur un voisinage de 1. On a alors : (Zy)(z) = z[(Zx)(z) − x(0)]. D’où, (Z(y − x))(z) =(Zy)(z)− (Zx)(z) = (z − 1)(Zx)(z)− zx(0). Donc,

limz→1

(Z(y − x))(z) = limz→1

[(z − 1)(Zx)(z)− zx(0)]

= limz→1

(z − 1)(Zx)(z)− x(0)

D’autre part, (Z(y − x))(z) =∑+∞

n=0[x(n + 1)− x(n)]z−n. Donc,

limz→1

(Z(y − x))(z) = limz→1

+∞∑

n=0

(x(n+ 1)− x(n))z−n

=+∞∑

n=0

x(n + 1)− x(n)

= limN→+∞

(

N∑

n=0

x(n + 1)− x(n)

)

= limN→+∞

x(N + 1)− x(0)

On en déduit :limz→1

(z − 1)(Zx)(z) = limn→+∞

x(n)

14.3 Application de la transformation en Z

La transformation en Z permet, comme la transformation de Laplace, de résoudre cer-tains problèmes. Encore une fois, le passage par la transformation n’est qu’une étape dansla résolution. Il faudra, pour conclure, déterminer quel signal causal discret correspond à latransformée en Z obtenue. Nous avons l’incontournable théorème suivant (admis) :

Théorème 14.3.1 Soit x et y des signaux causaux discrets admettant chacun une transforméeen Z. Soit R ∈ [0, +∞[. On suppose que, pour tout z tel que : |z| > R, (Zx)(z) = (Zy)(z).Alors, x = y.

Ce théorème permet d’écrire la définition suivante :


14.3. APPLICATION DE LA TRANSFORMATION EN Z 147

Définition et notation 14.3.1 (Original) Lorsque le signal causal discret x a pour trans-formée en Z la fonction F de la variable complexe z, on dit que x est l’original de F et onécrit :

x = (Z−1F ).

14.3.1 Recherche de l’originalExemple 14.3.1On considère la fonction F de la variable complexe z, définie pour tout z tel que |z| > 2 par :

F (z) =3z

z2 + z − 2.

On remarque que z2 + z − 2 = (z − 1)(z + 2). Cherchons des constantes α et β telles que :

F (z) =α

z − 1+

β

z + 2.

On a :α

z − 1+

β

z + 2=

(α + β)z + 2α− β(z − 1)(z + 2)

D’où, par identification :

α + β = 32α − β = 0

On en déduit : α = 1 et β = 2. On a donc :

F (z) =1

z − 1+

2

z + 2.

Cherchons l’original de 1z−1

. On remarque que ce qui ressemble le plus à cette fraction dansles formules établies dans le cours, est : z

z−1, qui est la transformée de e.

1

z − 1= z−1 z

z − 1

= z−1(Ze)(z)On sait que la multiplication de la transformée par z−n0 , n0 ∈ N, correspond à un retard den0 pour l’original. D’où, pour tout n dans Z :

(

Z−1

[

z 7→ 1

z − 1

])

(n) = e(n− 1).

Cherchons l’original de 2z+2

. La transformée qui ressemble le plus à cette fraction est zz−a qui

est la transformée de n 7→ ane(n). On a :

2

z + 2= 2z−1 z

z − (−2)

= 2z−1(Z[n 7→ (−2)ne(n)])(z)

D’où, pour tout n dans Z :(

Z−1

[

z 7→ 2

z + 2

])

(n) = 2(−2)n−1e(n− 1).

En utilisant la linéarité de la transformation en Z, et donc de « Z−1 », on en déduit :

(Z−1F )(n) =(

1 + 2(−2)n−1)

e(n− 1).



Exercice 110 On considère la fonction G de la variable complexe z définie pour |z| > 1 par :

G(z) =2z − 1

z + 1.

1. Déterminer 7 les constantes α et β telles que, pour tout z tel que |z| > 1 :

G(z) = α +β

z + 1.

2. Déterminer l’original de G.

Exercice 111 Déterminer l’original de H, définie pour |z| > 12

par : H(z) =1

z−1 + 2.

14.3.2 Calcul de (Z−1F )(n) pour n « petit »

Lorsque la transformée en Z de x se présente sous la forme d’une fraction rationnelle 8 dela variable z, on peut utiliser, pour déterminer les valeurs x(n) une adaptation de la divisiondes polynômes.

Exemple 14.3.2Soit F la fonction de la variable complexe z définie pour |z| > 2 par : F (z) =

z

z − 2. On sait

qu’alors pour tout n dans Z : (Z−1F )(n) = 2ne(n). Notons x l’original de F . Il est possible,en ignorant que x(n) = 2ne(n), de calculer x(n) pour n petit de la manière suivante. On posela division de z par z − 2 et, contrairement à la division euclidienne des polynômes, on utilisedes puissance négatives ou nulles de z.

z z − 2

2 1 + 2z−1 + 4z−2

4z−1

8z−2

De cette division, on déduit : F (z) = 1+2z−1 +4z−2 + 8z−2

z−2. En comparant ceci avec (Zx)(z) =

x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + · · · , on obtient : x(0) = 1, x(1) = 2 et x(2) = 4.

On constate que ce procédé permet d’obtenir facilement x(0), x(1),. . . , x(n), pour n entiernaturel pas trop grand.

Exercice 112 On considère la fonction G de la variable complexe z, définie pour |z| > 3 par :

G(z) =z3

z3 + z2 − 5z + 3.

On suppose que G est la transformée en Z de y.1. Déterminer y(0), y(1) et y(2).2. (a) Déterminer 9 les constantes α, β, γ et δ telles que, pour tout z vérifiant |z| > 3, on

ait :

G(z) = α +β

z − 1+

γ

(z − 1)2+

δ

z + 3.

(b) En déduire y, et vérifier les valeurs obtenues en 1.

7. On cherche la décomposition en éléments simples de la fraction.8. Une fraction rationnelle est une fraction don le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.9. Voir note 7.



14.3.3 Équations récurrentes

Deux types d’équations récurrentes 10 figurent au programme :

– les équations de type : ay(n) + by(n− 1) + cy(n− 2) = a1x(n) + b1x(n− 1) ;

– les équations de type : ay(n+ 2) + by(n+ 1) + cy(n) = a1x(n + 1) + b1x(n) ;

a, b, c, a1 et b1 étant des constantes réelles, x un signal causal discret connu, et y un signalcausal discret inconnu à déterminer.

Exemple 14.3.3(D’après [Demengel et al., 2002]) On souhaite déterminer le signal causal discret y vérifiant,pour tout n dans Z :

y(n) + ay(n− 1) = e(n),

a étant un nombre réel et e l’échelon unité discret. En appliquant la transformation en Z depart et d’autre de l’égalité, on, obtient :

(Zy)(z) + az−1(Zy)(z) =z

z − 1⇐⇒ (Zy)(z) =

z

(z − 1)(1 + az−1)

⇐⇒ (Zy)(z) =z2

(z − 1)(z + a)

Il ne reste plus qu’à déterminer y, original de z 7→ z2

(z−1)(z+a). On remarque que :

z2

(z − 1)(z + a)=

1

a + 1× z

z − 1+

a

a+ 1× z

z + a.

On en déduit que pour tout n dans Z :

y(n) =1

a+ 1

(

Z−1

[

z 7→ z

z − 1

])

(n) +a

a + 1

(

Z−1

[

z 7→ z

z + a

])

(n)

=1

a+ 1e(n) +

a

a + 1(−a)ne(n)

=(−1)nan+1 + 1

a+ 1e(n)

Exercice 113 On cherche à déterminer le signal causal discret y tel que, pour tout n dans Z

y(n) + 2y(n− 1) + y(n− 2) = r(n),

où r désigne la rampe unité causale. On note G la transformée en Z de y.

1. Montrer que G(z) =z3

(z − 1)2(z + 1)2.

2. Déterminer 11 les constantes α, β, γ et δ telles que, pour tout z vérifiant |z| > 1, on ait :

G(z) =α

z − 1+

β

(z − 1)2+

γ

z + 1+

δ

(z + 1)2.

10. On emploi aussi le terme d’équations aux différences lorsque l’équation provient d’une « dérivation dis-crète » (hors programme).

11. Voir note 7.



3. En utilisant le développement en série entière de 11+t

, pour |t| < 1, déterminer la suite 12

(an)n∈N telle que, pour |z| > 1,

1

z + 1=

+∞∑

n=0

anz−n.

4. On admet que pour tout z tel que |z| > 1 : ddz

(

1z+1

)

=∑+∞

n=0 anddz

(z−n).En déduire l’original de z 7→ 1

(z+1)2.

5. Déduire des questions précédentes, la valeur, en fonction de n ∈ Z, de y(n).

Exercice 114 On considère la suite de nombres réels (un)n∈N définie par récurrence pour toutn ∈ N par :

un+2 = −un+1 + 2un.

Sachant que u0 = 1 et u1 = −2, déterminer pour tout n dans N, un en fonction de n.

Exercice 115 BTS Groupement A (contrôle industriel et régulation automa-tique, électronique, techniques physiques pour l’industrie et le laboratoire),session 2004, exercice 1

Dans tout cet exercice, le nombre entier n est un nombre entier relatif. La suite n 7→ e(n)représente l’échelon discrétisé causal défini par :

e(n) = 0 pour n < 0

e(n) = 1 pour n > 0

On considère un filtre numérique dans lequel le signal d’entrée est n 7→ e(n) et le signal desortie est un signal discret causal noté n 7→ x(n). Ce filtre est régi par l’équation récurrente :

x(n)− 2x(n− 1) = e(n) (E).

Partie 1

Dans cette partie, on résout l’équation récurrente (E) sans utilisation de la transformation enZ.

1. (a) Justifier que x(0) = 1.(b) Calculer x(1), x(2) et x(3).

2. Pour tout entier naturel n, l’équation (E) s’écrit :

x(n)− 2x(n− 1) = 1 (E).

(a) On considère la suite y définie pour tout entier naturel n par :

y(n) = x(n) + 1.

Montrer que la suite y est une suite géométrique de raison 2.Donner une expression de y(n) en fonction de l’entier naturel n.

12. Nous sommes en train d’obtenir le développement en série de Laurent de z 7→ 1z+1 pour |z| > 1. Les séries

de Laurent (voir [Bak et Newman, 1982]) ne sont pas au programme du BTS.



(b) En déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de x(n). Vérifier que l’on re-trouve les mêmes valeurs de x(0), x(1), x(2) et x(3) qu’à la question 1.

Partie 2

Dans cette partie, on résout l’équation récurrente (E) en utilisant la transformation en Z.

1. On rappelle que x(0) = 1. On se place dans le cas où n > 1 et on admet que lesignal n 7→ x(n), solution de l’équation récurrente (E), a une transformation en Z notée(Zx)(z).(a) Montrer que pour tout z différent de 0, de 1 et de 2 on a :

(Zx)(z) =z2

(z − 1)(z − 2).

(b) Montrer que pour tout z différent de 0, de 1 et de 2 on a :

(Zx)(z)z

=−1

z − 1+

2

z − 2.

(c) En déduire par lecture inverse du dictionnaire d’images, le signal de sortie n 7→ x(n)pour n > 1.

2. Représenter dans un repère orthogonal, pour les nombres entiers n tels que −2 6 n 6 3,le signal de sortie n 7→ x(n). Prendre comme unités graphiques 2 cm sur l’axe desabscisses et 0,5 cm sur l’axe des ordonnées.


153

Chapitre 15

Modélisation géométrique

La modélisation géométrique traite de la façon dont les objets peuvent être représentés parà l’aide d’outils mathématiques. Cette modélisation a pris son essor au vingtième siècle avecl’apparition des outils informatiques dans les processus de conception et de production de biensindustriels. Ces outils ont rendu possible les calculs multiples, en temps réel (ou presque...),nécessaires à la représentation virtuelle en trois dimensions d’objets. C’est, en particulier,dans le domaine de industrie automobile que plusieurs types de modélisation ont été inventés.L’ambition du programme du BTS IRIS concernant la modélisation, se limite à l’étude dequelques cas rudimentaires en dimension deux. Bien évidemment, les applications industriellesde ces modèles n’existent pas, puisque nous évoluons dans un monde qui n’est pas limité àdeux dimensions. Cependant, cette première approche permet d’explorer quelques principesde modélisation sur les courbes qui sont transposables, au prix d’efforts supplémentaires, auxsurfaces.

Nous débuterons par une présentation succincte de la notion de courbe paramétrée, dontles courbes de Bézier et les courbes B-Spline sont des cas particuliers.

15.1 Courbes paramétrées planes

15.1.1 Fonctions à valeurs dans C ou dans R2

Soit f : I → C. Posons Re f = u et Im f = v. Les fonctions u et v ainsi définies sont àvaleurs dans R. On a, pour tout t dans I :

f(t) = u(t) + iv(t).

Toute fonction à valeurs dans C, est ainsi associée à deux fonctions à valeurs dans R.

Notation 15.1.1 (R2) On note R2 l’ensemble des couples de nombres réels.

R2 = (x, y) | x ∈ R, y ∈ R.Soit f : I → R2. La donnée d’une telle fonction f revient à la donnée de deux fonctions u etv, définies sur I et à valeurs dans R, telles que, pour tout t dans I :

f(t) = (u(t), v(t)).

Dans R2, les règles de calcul sont les suivantes :– la somme de deux couples est définie par :

(x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′) ;


154 CHAPITRE 15. MODÉLISATION GÉOMÉTRIQUE

– le produit d’un couple par un nombre réel est définie par :

λ(x, y) = (λx, λy).

Ces règles sont celles utilisées pour les coordonnées des vecteurs du plan depuis la classe deseconde.

Ce qui a été énoncé concernant la continuité et la dérivabilité, dans le chapitre consacréau calcul différentiel et intégral s’applique aux fonctions à valeurs dans C, comme à celles àvaleurs dans R2. On ne rappellera ici que certains énoncés relatifs à la dérivation.

Définition 15.1.2 (Dérivabilité) Soit f : I → C (respectivement : f : I → R2). On ditque f est dérivable en t0 ∈ I lorsque 1 lim

h→0

1h

(f(t0 + h)− f(t0)) existe et est un élément de C

(respectivement : un élément de R2).

Définition et notation 15.1.3 (Dérivée) On suppose que f : I → C (respectivement : f :I → R2) est dérivable en t0 ∈ I. La dérivée de f en t0 ∈ I, notée f ′(t0), est définie par :

f ′(t0) = limh→0

1

h(f(t0 + h)− f(t0))

Théorème 15.1.1 Soit f : I → C (respectivement : f : I → R2). Soient u : I → R etv : I → R telles que f = u + iv (respectivement : f = (u, v)). f est dérivable en t0 ∈ I si etseulement si u et v le sont, et dans ce cas :

f ′(t0) = u′(t0) + iv′(t0) (respectivement : f ′(t0) = (u′(t0), v′(t0))).

Démonstration 15.1.1 Soient t0 ∈ I et h un nombre réel différent de 0 tel que t0 + h ∈ I. On sait que,par définition,

f ′(t0) = limh→0

f(t0 + h)− f(t0)

h.

Or, 1h(f(t0 + h) − f(t0)) = 1

h(u(t0 + h) − u(t0)) + i(

1h(v(t0 + h)− v(t0))

)

(respectivement :1h (f(t0 + h)− f(t0)) =

(

1h(u(t0 + h)− u(t0)), 1

h(v(t0 + h)− v(t0)))

). D’où le résultat.

Définition 15.1.4 (Fonction de classe Cn) Soit n ∈ N. Soit f une fonction définie sur Iet à valeurs dans C (respectivement : dans R2). On dit que f est de classe Cn sur I lorsque fest n fois dérivable sur I et lorsque la dérivée n-ième de f est continue sur I.

Théorème 15.1.2 Soit f : I → C (respectivement : f : I → R2). Soient u et v les fonctionsdéfinies sur I et à valeurs dans R, telles que f = u+ iv (respectivement : f = (u, v)). f est declasse Cn sur I si et seulement si u et v sont de classe Cn sur I. Lorsque f est Cn sur I, pourtout entier k, 0 6 k 6 n :

f (k) = u(k) + iv(k) (respectivement : f (k) = (u(k), v(k))).

Démonstration 15.1.2 On démontre 2 ce théorème par récurrence sur l’ordre de la dérivée, en utilisant cequi a été prouvé pour la dérivée 3.

Définition 15.1.5 (Fonction de classe C∞) Soit f une fonction définie sur I et à valeursdans C (respectivement : dans R2). On dit que f est de classe C∞ sur I lorsque f est de classeCn sur I, quel que soit n dans N.

1. La fraction 1h

n’étant pas définie pour h = 0, on ne prendra pas la précaution de signaler que les limitesci-après sont calculées pour h 6= 0.

2. Excellent exercice d’utilisation de la technique de démonstration par récurrence...3. La dérivée est la dérivée première, autrement dit : c’est la dérivée d’ordre 1.


15.1. COURBES PARAMÉTRÉES PLANES 155

15.1.2 Courbes paramétrées (paramétrisation cartésienne)

Le plan P est muni du repère (O,−→ı ,−→ ). I est un intervalle de R.

Définition 15.1.6 (Fonction vectorielle) Soient u et v des fonctions définies sur I et àvaleurs dans R. On dit alors que la fonction ~f définie pour tout t dans I par :

~f(t) = u(t)−→ı + v(t)−→

est une fonction vectorielle.

On constate à la lecture de cette définition qu’à toute fonction vectorielle correspond uneunique fonction f : I → C, telle que, pour tout t dans I, f(t) est l’affixe du vecteur ~f(t). Demême, qu’à chaque fonction vectorielle définie sur I, correspond une unique fonction f : I →R2, telle que, pour tout t dans I, f(t) sont les coordonnées du vecteur ~f(t). Cette définitionest donnée ici car elle figure dans certains sujets de BTS. Elle permet aussi de définir la notionde courbe paramétrée. Cependant, on pourrait définir la notion de courbe paramétrée sansfaire explicitement référence aux fonctions à valeurs vectorielles.

Définition 15.1.7 (Courbe paramétrée (paramétrisation cartésienne)) Soit f : I →C (respectivement : f : I → R2) une fonction de classe au moins C0 sur I. Soit ~f la fonctionvectorielle définie sur I, telle que pour tout t dans I, ~f(t) a pour affixe f(t) (respectivement :~f(t) a pour coordonnées f(t)). Le sous-ensemble Γ de P défini par :

Γ =

M(t) ∈ P | ∃t ∈ I, −−−−→OM(t) = ~f(t)

est une courbe paramétrée.

Définition 15.1.8 (Vecteur position) Avec les notations de la définition 15.1.7, le vecteur−−−−→OM(t) est appelé : vecteur position.

Définition 15.1.9 (Paramétrisation cartésienne) Avec les notations de la définition pré-cédente, f est une paramétrisation cartésienne de la courbe paramétrée Γ.

– Les courbes représentatives des fonctions continues et à valeurs réelles sont des courbesparamétrées. En effet, considérons g : I → R continue. Alors, la courbe Γ représentativede g dans le repère (O,−→ı ,−→ ) du plan P est l’ensemble des points M(t), t ∈ I, du plandont les coordonnées sont, pour tout t dans I : (t, g(t)). Posons alors f : I → R2, t 7→(t, g(t)). f est une fonction continue sur I et à valeurs dans R2. f est une paramétrisationde Γ.

– Tout cercle est une courbe paramétrée. Soit C le cercle de centre Ω et de rayon R. Notons(xΩ, yΩ) les coordonnées de Ω. Soit f : [0, 2π[→ C définie par : f(t) = xΩ + iyΩ +Reit. fest une paramétrisation de C. On remarquera que h : R→ C, xΩ + iyΩ +Reiπt, est uneparamétrisation différente du même cercle C.

À quoi peut bien ressembler une courbe paramétrée? Contrairement aux courbes représenta-tives de fonctions, sur une courbe paramétrée, il peut exister plusieurs points ayant la mêmeabscisse.



Exemple 15.1.1Γ de paramétrisation f : [−π, π]→ R2, t 7→ (sin t + cos 2t, cos t + sin 2t).

Γ

Définition 15.1.10 (Point régulier) Soit f une paramétrisation de la courbe Γ. Soit P0 ∈ Γd’affixe (de coordonnées) f(t0). On dit que P0 est un point régulier, dans la paramétrisationf , lorsque f ′(t0) 6= 0 (f ′(t0) 6= (0, 0)), f ′ désignant la dérivée de f .

Définition 15.1.11 (Tangente à une courbe paramétrée) Soit f : I → C (respective-ment : f : I → R2) de classe au moins C1 sur I. Soit Γ la courbe du plan paramétrée parf . Soit t0 ∈ I. Soit P0 le point régulier de Γ, dans la paramétrisation f , d’affixe (resp. decoordonnées) f(t0). Soit

−→V0 le vecteur de d’affixe (resp. de coordonnées) f ′(t0). La tangente à

Γ en P0 est la droite D0 passant par P0 et de vecteur directeur−→V0.

Cette notion correspond à la notion habituelle de tangente lorsque la courbe Γ est la courbereprésentative d’une fonction. En effet, si Γ est la courbe représentative de la fonction ϕ,f : t 7→ t + iϕ(t) est une paramétrisation de Γ. On a alors f ′ = 1 + iϕ′. Un vecteur directeurd’affixe 1 + iϕ′, correspond à un coefficient directeur de tangente égal à ϕ′.

Théorème 15.1.3 Soient u et v des fonctions définies sur I et à valeurs dans R. La fonctionvectorielle ~f = u−→ı + v−→ est de classe Cn, n ∈ N ou n = +∞, si et seulement si les fonctionsu et v le sont. Lorsque ~f est Cn, on a pour tout entier k tel que k 6 n, ~f (k) = u(k)−→ı + v(k)−→ .

On remarquera que le vecteur−→V0 de la définition 15.1.11 est égal à ~f ′(t0), si ~f est la fonction

à valeurs vectorielles associée 4 à f .

Définition 15.1.12 (Vecteur vitesse) Soit f : I → C (respectivement : f : I → R2) uneparamétrisation cartésienne de la courbe Γ. On suppose f au moins C1 sur I. Pour tout t dansI, le vecteur

−−→V (t) d’affixe (resp. de coordonnées) f ′(t) est appelé : vecteur vitesse au point de

paramètre t.

15.1.3 Courbe paramétrée (paramétrisation polaire)

Le plan P est muni du repère (O,−→ı ,−→ ). Soit I un intervalle de R.

Définition 15.1.13 (Courbe paramétrée (paramétrisation polaire)) Soient ρ : I →[0, +∞[ et θ : I → R. Soit f : I → C, t 7→ ρ(t) exp(iθ(t)). On suppose que f est de classe aumoins C0. Alors, le sous-ensemble Γ de P défini par :

Γ =

M(t) ∈ P | ∃t ∈ I, −−−−→OM(t) = ρ(t)(

cos(θ(t))−→ı + sin(θ(t))−→)

,

est une courbe paramétrée.

4. « Associée » signifie : ~f(t) a pour coordonnées, pour affixe, f(t), quel que soit t dans I .


15.1. COURBES PARAMÉTRÉES PLANES 157

Définition 15.1.14 (Vecteur position) Avec les notations de la définition 15.1.13, le vec-

teur−−−−→OM(t) est appelé : vecteur position.

Définition 15.1.15 (Paramétrisation polaire) Avec les notations de la définition 15.1.13,on dit que f est une paramétrisation polaire de Γ.

Certaines courbes sont plus facile à paramétrer en paramétrisation polaire.

Exemple 15.1.2Soient ρ et θ les fonctions définies sur [0, 2π] par ρ(t) = 1 + cos t et θ(t) = t. La courbe deparamétrisation polaire f = ρ exp(iθ) est appelée cardioïde.

Cardioïde

Théorème 15.1.4 Soient ρ : I → [0, +∞[ et θ : I → R. Soit f : I → C, t 7→ ρ(t) exp(iθ(t)).On suppose f dérivable en t0 ∈ I. Alors, f ′(t0) = ρ′(t0) exp(iθ(t0)) + iρ(t0)θ

′(t0) exp(iθ(t0)).

Démonstration 15.1.4 Il suffit d’utiliser la formule de dérivation d’un produit, ainsi que celle de dérivationdes fonctions composées.

Théorème 15.1.5 Soient ρ : I → [0, +∞[ et θ : I → R. Soit f : I → C, t 7→ ρ(t) exp(iθ(t)).f est de classe Cn si et seulement si ρ et θ le sont.

Démonstration 15.1.5 La démonstration se fait par récurrence sur l’entier n, et elle utilise la dérivationd’un produit, ainsi que la dérivation des fonctions composées.

Définition 15.1.16 (Tangente à une courbe paramétrée) Énoncé identique à celui dela définition 15.1.11.

Définition 15.1.17 (Vecteur vitesse) Énoncé identique à celui de la définition 15.1.12.

Le théorème 15.1.4 permet de donner les coordonnées du vecteur vitesse dans un repèreappelé : le repère mobile des coordonnées polaires. En effet, posons pour tout t dans I :−−→uθ(t) = cos(θ(t))−→ı + sin(θ(t))−→ et −−→vθ(t) = − sin(θ(t))−→ı + cos(θ(t))−→ . Pour tout t dans I,

ces deux vecteurs forment un repère orthonormé (direct) 5. On a alors :−−−−→OM(t) = ρ(t)−−→uθ(t) et

−−→V (t) = d

dt

(−−−−→OM(t)

)

= ρ′(t)−−→uθ(t) + ρ(t)θ′(t)−−→vθ(t). On remarque qu’en un point régulier où ρ′

s’annule, le vecteur vitesse (qui dirige la tangente) est orthogonal au vecteur position.

5. Les deux vecteurs sont clairement de norme 1. Ils forment un angle de π/2 radians car cos(α + π/2) =− sinα et sin(α+ π/2) = cosα, quel que soit α dans R



15.1.4 Étude d’une courbe paramétrée

L’étude d’une courbe paramétrée, à travers une de ses paramétrisation, est une étudeconjointe des deux fonctions à valeurs réelles servant à la paramétrisation.

Exemple 15.1.3Soit Γ la courbe du plan dont f est une paramétrisation. On donne :

f : [−π, π] → R2

t 7→ (x(t), y(t)) = (cos t, sin 2t)

On remarque que (x(−t), y(−t)) = (x(t),−y(t)), ce qui, compte tenu de l’intervalle dans lequelvarie t, permet d’affirmer que Γ admet l’axe des abscisses comme axe de symétrie. L’intervalled’étude peut donc être réduit à [0, π].

Soit t ∈ [0, π/2]. On a cos(π − t) = − cos t et sin(2(π − t)) = − sin 2t. Lorsque t parcourt[0, π/2], π− t parcourt [π/2, π]. Γ admet donc l’origine O du repère comme centre de symétrie.L’intervalle d’étude peut donc être une nouvelle fois réduit.

Étude de f sur [0, π/2] :On a : x′(t) = − sin t et y′(t) = 2 cos 2t. Une rapide étude des signes respectifs de x′ et de y′

permet d’établir le tableau suivant :

t 0 π/4 π/2x′(t) 0 − −x(t) 1

√2/2 0

y′(t) + 0 −y(t) 0 1 0

De façon analogue à ce qui est pratiqué pour la courbe représentative d’une fonction à valeursdans R, il faut faire apparaître sur le graphique les tangentes parallèles aux axes. Rappelonsque tout vecteur de coordonnées (a, 0), avec a 6= 0, est un vecteur directeur de l’axe desabscisses, et que tout vecteur de coordonnées (0, b), avec b 6= 0, est un vecteur directeur del’axe des ordonnées.

Le point correspondant à la valeur π/2 du paramètre est l’origine du repère. En ce point,la tangente est dirigée par le vecteur de coordonnées (x′(π/2), y′(π/2)) = (−1, − 2).

Le tracé de Γ s’effectue donc de la manière suivante :

points et tangentes t ∈ [0, π/2] symétrie de centre O

réflexion d’axe (Ox)


15.2. COURBES DE BÉZIER 159

Exercice 116 BTS Géomètre topographe, session 2002

Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,−→ı ,−→ ) (unité 5 cm).On considère les droites (∆) et (∆′) d’équations respectives x = 1 et x = −1. Une droitevariable (D), passant par O et de coefficient directeur t, (t ∈ R), coupe (∆) en P . La parallèleà (O,−→ı ) passant par P coupe (∆′) en P ′.

1. Faire une figure qui sera complétée dans les questions suivantes.2. Soit M(x,y) le projeté orthogonal de P ′ sur la droite (D).

(a) Déterminer les coordonnées des vecteurs−−→OP et

−−−→P ′M .

(b) En déduire que les coordonnées de M sont données par : x = t2−1t2+1

et y = t t2−1t2+1

.

3. On désigne par (C) la courbe définie paramétriquement par : x(t) = t2−1t2+1

et y(t) = t t2−1t2+1

.

(a) En étudiant la parité des fonctions x et y, donner un intervalle d’étude suffisantpour l’étude des variations de x et y et pour le tracé de (C).

(b) Vérifier que : x′(t) = 4t(t2+1)2

et y′(t) = (t2+2+√

5)(t2+2−√

5)(t2+1)2

.

(c) Étudier les variations des fonctions x et y.(d) Déterminer les points d’intersection de (C) avec la droite (O,−→ı ) et les équations

des tangentes à (C) en ces points.

4. Tracer la courbe (C) sur la figure du 1.

15.2 Courbes de Bézier

15.2.1 Une problème « historique »...

Exercice 117 BTS Informatique Industrielle, session 1985, problème 1

Pour améliorer une jonction linéaire entre deux points, on se propose d’obtenir une jonctionsuivant une courbe construite à l’aide des polynômes de Bézier (méthode UNISURF). Le butdu problème est d’élaborer ce modèle sur un exemple simple.

Dans un repère orthonormé (O,−→ı ,−→ ) on définit la position d’un point M à partir dequatre vecteurs

−→V0 ,−→V1 ,−→V2 ,−→V3 par :

−−−→OM (t) = f0(t)

−→V0 + f1(t)

−→V1 + f2(t)

−→V2 + f3(t)

−→V3

M0 qui correspond à t = 0 est le point de départ.M1 qui correspond à t = 1 est le point d’arrivée.M se déplace entre M0 et M1 donc t appartient à l’intervalle [0, 1].Le fonction f0 est constante et f0(t) = 1.Les fonctions f1, f2, f3 sont des polynômes de degré trois ; on pose :

f1(t) =

3∑

i=0

aiti f2(t) =

3∑

i=0

biti f3(t) =

3∑

i=0

citi

Ces polynômes sont déterminés par les contraintes suivantes :

– en M0 pour t = 0 :−−−→OM (0) =

−→V0 ,−−−−→(OM)′(0) = f ′

1(0)−→V1 ,−−−−→(OM)′′(0) = f ′′

1 (0)−→V1 + f ′′

2 (0)−→V2

– en M1 pour t = 1 :−−−→OM (1) =

−→V0 +

−→V1 +

−→V2 +

−→V3 ,−−−−→(OM)′(1) = f ′

3(1)−→V3 ,−−−−→(OM)′′(1) =

f ′′2 (1)−→V2 + f ′′

3 (1)−→V3



1. On donne les points O, M0 et M1. Faites une figure 6 en précisant les vecteurs−→V0 ,−→V1 ,−→

V2 ,−→V3 en tenant compte des contraintes précédentes. Le choix de ces quatre vecteurs

est-il unique?Tracer 7 sur la même figure deux points intermédiaires M(t′) et M(t′′) avec 0 < t′ <t′′ < 1.Les points O, M0 et M1 étant donnés, y a-t-il unicité de la jonction?

2. Déterminer les trois polynômes f1(t), f2(t), f3(t) compte tenu des contraintes imposées.On rappelle que ce sont des polynômes de degré 3.

3. Donner un algorithme permettant de faire la jonction M0 M1 à partir de−→V1 ,−→V2 ,−→V3

sachant que :−−−→OM (t) =

−→V0 + (t3 − 3t2 + 3t)

−→V1 + (−2t3 + 3t2)

−→V2 + t3

−→V3

On déterminera avec soin les donnée d’entrée.Cet algorithme permettra de calculer les coordonnées x(t), y(t) de

−−−→OM (t) qu’on pourra

sortir ensuite sur table traçante.

15.2.2 Barycentres

Définition et théorème 15.2.1 (Barycentre de deux points pondérés) Soient A et Bdes points du plan. Soient α et β des nombres réels tels que α+β 6= 0. Le barycentre des pointspondérés (A, α), (B, β) est l’unique point G du plan défini par l’égalité :

α−−→GA + β

−−→GB =

−→0 .

Démonstration : définition et théorème 15.2.1 Quel est l’ensemble des points M du plan tels que :α−−−→MA + β

−−−→MB =

−→0 ? Pour le savoir, utilisons la relation de Chasles dans cette égalité :

α−−−→MA + β

−−−→MB =

−→0 ⇐⇒ α

−−−→MA + β

(−−−→MA +

−−→AB

)

=−→0

⇐⇒ (α+ β)−−−→MA + β

−−→AB =

−→0

⇐⇒ −−−→AM =

β

α+ β

−−→AB

Cette dernière égalité définit un unique point M dans le plan.

On remarquera que le barycentre G de (A, α), (B, β) appartient, lorsque A 6= B, à la droite(AB), puisque les vecteurs :

−−→AG et

−−→AB sont colinéaires.

Exercice 118 Soient A et B deux points distincts du plan. Montrer que tout point de (AB)est un barycentre de A et B.

Définition et théorème 15.2.2 (Barycentre) Soit n un nombre entier naturel supérieurou égal à 2. Soient A1, A2, . . . , An des points du plan, et λ1, λ2, . . . , λn des nombres réelstels que :

∑ni=1 λi 6= 0. Le barycentre des points pondérés (A1, λ1), (A2, λ2), . . . , (An, λn) est

l’unique point G du plan défini par l’égalité :n∑

i=1

λi−−→GAi =

−→0 .

6. On appelle ce type de figure un pantin vectoriel.7. Cette demande est bien prématurée car les polynômes f1, f2 et f3 sont encore inconnus. Il faudrait avoir

obtenu les variations de ces différents polynômes pour faire un dessin qui traduit correctement le modèle étudiédans ce problème.



Démonstration : définition et théorème 15.2.2 On montre, en utilisant la relation de Chasles, que :

−−−→A1G =

1∑n

i=1 λi

n∑

i=2

λi−−−→A1Ai ,

ce qui permet d’obtenir à la fois l’existence et l’unicité.

Définition 15.2.3 (Isobarycentre) On dit que G est l’isobarycentre des pointsA1, A2, . . . , An, lorsque G est le barycentre de (A1, 1), (A2, 1), . . . , (An, 1).

Exercice 119 Montrer que quel que soit λ ∈ R∗, le barycentre de (A1, λ), (A2, λ), . . . , (An, λ)est l’isobarycentre des points A1, A2, . . . , An.

Exercice 120 Soient A, B et C trois points non alignés du plan.

1. Montrer que tout point M du plan est alors un barycentre des points A, B et C.

2. Montrer que l’isobarycentre G des points A, B et C est le point d’intersection desmédianes du triangle 8 ABC.

15.2.3 Polynômes de Bernstein

Définition 15.2.4 (Polynômes de Bernstein) Soient n et i des nombres entiers naturelstels que i 6 n. On définit alors, sur l’intervalle [0, 1], la fonction Bi, n par :

Bi, n(t) = C inti(1− t)n−i.

Ce polynôme de degré n en la variable t est appelé : polynôme de Bernstein.

On rappelle que C in, noté également :

(

ni

)

, vaut : n!i!(n−i)! .

Théorème 15.2.1 Soit n un nombre entier naturel. Pour tout t dans [0, 1] :

n∑

i=0

Bi, n(t) = 1.

Démonstration 15.2.1 En utilisant la formule du binôme de Newton, on obtient :∑n

i=0Cinti(1 − t)n−i =

(t+ 1− t)n = 1n = 1.

Exercice 121 Montrer que :

B0, n(0) = 1 et ∀i > 1, Bi, n(0) = 0,

ainsi que :

Bn, n(1) = 1 et ∀i 6 n− 1, Bi, n(1) = 0.

8. On appelle également ce point : le centre de gravité du triangle. Si le triangle est assimilé à une plaqued’un matériau dont la masse est uniformément répartie sur la surface, le centre de gravité est le point surlequel le triangle tient en équilibre lorsque celui-ci est posé sur une pointe.



Théorème 15.2.2 Pour tout entier naturel n :

B′0, n(0) = −n et B′

n,n(1) = n.

Pour tout n > 1 :B′

1, n(0) = n et B′n−1, n(1) = −n.

Pour tout n > 4 et tout i vérifiant 2 6 i 6 n− 2 :

B′i, n(0) = B′

i, n(1) = 0.

Démonstration 15.2.2 B0, n(t) = C0n(1−t)n. Donc, B′

0, n(t) = −nC0n(1−t)n−1 et B′

0, n(0) = nC0n1

n−1 =−n.Bn,n(t) = Cn

n tn. Donc, B′

n,n(t) = nCnn tn−1 et B′

n,n(1) = nCnn1n−1 = n.

B1, n(t) = C1nt(1−t)n−1. Donc, B′

1, n(t) = C1n[(1−t)n−1−(n−1)t(1−t)n−2 et B′

1, n(0) = C1n[1

n−1] = n.

B′i, n(t) = C i

n[iti−1(1 − t)n−i − (n − i)ti(1 − t)n−i−1]. Dans cette expression, les exposants sont tous

strictement positifs. D’où le résultat.

15.2.4 Courbes de Bézier

Définition 15.2.5 (Courbe de Bézier) Soient P0, P1, . . . , Pn des points du plan P. SoientB0, n, B1, n, . . . , Bn, n les n+1 polynômes de Bernstein de degré n. On appelle courbe de Bézierpilotée par les points P0, P1, . . . , Pn, la courbe Γ décrite par les points M(t), barycentres 9

des points pondérés (P0, B0, n(t)), (P1, B1, n(t)), . . . , (Pn, Bn,n(t)), avec t ∈ [0, 1]. En d’autrestermes :

Γ =

M(t) ∈ P | ∃t ∈ [0, 1],n∑

i=0

Bi, n(t)−−−−−→M(t)Pi =

−→0

.

Définition 15.2.6 (Points de contrôle) Les points P0, . . . , Pn de la définition 15.2.5 sontles points de contrôle de la courbe de Bézier.

Théorème 15.2.3 Soit O un point quelconque de P. Alors, pour tout t dans [0, 1] :

n∑

i=0

Bi, n(t)−−−−−→M(t)Pi =

−→0 ⇐⇒ −−−−→

OM(t) =

n∑

i=0

Bi, n(t)−−→OPi .

Démonstration 15.2.3 Il suffit d’introduire par relation de Chasles, le point O dans chaque vecteur del’égalité de gauche, et d’utiliser le fait que

∑ni=0Bi, n(t) = 1, pour obtenir l’égalité de droite.

Ce théorème souligne qu’une courbe de Bézier est une courbe paramétrée, puisque dans lerepère (O,−→ı ,−→ ), l’égalité de droite correspond à celle de la définition 15.1.7. Les résultatsobtenus dans la sous-section 15.2.3, permettent d’établir les propriétés suivantes des courbesde Bézier :

Théorème 15.2.4 On suppose que n > 2 et que les points P0, P1, . . . , Pn ne sont pas tousconfondus. Avec les notations de la définition 15.2.5, on a :

– M(0) = P0 et M(1) = Pn ;

– soit k le plus petit des nombres entiers i tels que P0 6= Pi, alors−−−→P0Pk dirige la tangente

à Γ en P0 ;

9. Ces barycentres sont bien définis puisque la somme des coefficients vaut 1 pour tout t dans [0, 1].



– soit p le plus grand des nombres entier i tels que Pn 6= Pi, alors−−−→PpPn dirige la tangente

à Γ en Pn.

Démonstration 15.2.4 Le premier point est une conséquence directe de l’exercice 121. Les deux pointssuivants sont des conséquences immédiates du théorème 15.2.2 dans le cas où P0 6= P1 et Pn−1 6= Pn.Si jamais P0 = P1 = · · · = Pk−1 6= Pk avec k > 1, ou Pp 6= Pp+1 = · · · = Pn avec p < n− 1, alors lerésultat est obtenu en utilisant un théorème 10 hors programme.

À quoi ressemble une courbe de Bézier?

Voici un exemple de courbes de Bézier pilotées par quatre points : P0, P1, P2 et P3. Onremarquera que même si un seul des quatre points, ici : P3, est déplacé, toute la courbe s’entrouve affectée.

P0

P1

P2

P3P0

P1

P2

P3

P0

P1

P2

P3

Les points de contrôle, hormis le premier et le dernier points, ne sont, en général, pas despoints de la courbe de Bézier.

Construction par barycentres successifs

Théorème 15.2.5 Soient P0, P1, . . . , Pn des points du plan. On suppose n > 1. Pour toutt dans [0, 1], on note P (t) le barycentre de (P0, B0, n−1(t)), . . . , (Pn−1, Bn−1, n−1(t)), et on noteQ(t) le barycentre de (P1, B0, n−1(t)), . . . , (Pn, Bn−1, n−1(t)). Les points P (t) et Q(t) parcourentles courbes de Bézier pilotées respectivement par P0, . . . , Pn−1 et P1, . . . , Pn quand t parcourt[0, 1]. Alors, pour tout t dans [0, 1], le point M(t), barycentre de (P (t), 1 − t), (Q(t), t), estaussi le barycentre de (P0, B0, n(t)), . . . , (Pn, Bn,n(t)) ; autrement dit : le barycentre M(t) de(P (t), 1− t), (Q(t), t) parcourt la courbe de Bézier Γ pilotée par les points P0, . . . , Pn quand tparcourt [0, 1].

Démonstration 15.2.5 Comme M(t) est la barycentre de (P (t), 1− t), (Q(t), t), on a : (1− t)−−−−−−→M(t)P (t) +

t−−−−−−→M(t)Q(t) =

−→0 . On en déduit :

−−−−→OM(t) = (1− t)−−−−→OP (t) + t

−−−−→OQ(t). Dans cette dernière égalité, utilisons

10. Théorème : Soit Γ une courbe de paramétrisation f : I → C de classe Cn. On suppose que la dérivéed’ordre r, r 6 n, de f en t0 est non nulle et que les dérivées d’ordres strictement plus petits que r (et nonnuls) de f sont toutes nulles en t0. Alors la tangente à Γ au point d’affixe f(t0) existe et elle est dirigée par levecteur d’affixe f (r)(t0).



le fait que les points P (t) et Q(t) sont des points courants de courbes de Bézier. On obtient :

−−−−→OM(t)

= (1− t)n−1∑

i=0

Bi, n−1(t)−−→OPi + t

n−1∑

j=0

Bj, n−1(t)−−−−→OPj+1

= (1− t)n−1∑

k=0

(n− 1)!

k!(n− 1− k)! tk(1− t)n−1−k−−→OPi + t

n∑

k=1

(n− 1)!

(k − 1)!(n− 1− (k − 1))!tk−1(1− t)n−1−(k−1)−−−→OPk

=n−1∑

k=0

(

n− 1

k

)

tk(1− t)n−k−−→OPk +n∑

k=1

(

n− 1

k − 1

)

tk(1− k)n−k−−→OPk

= (1− t)n−−−→OP0 +

(

n−1∑

k=1

[(

n− 1

k

)

+

(

n− 1

k − 1

)]

tk(1− t)n−k−−→OPk)

+ tn−−−→OPn

Comme(

nk

)

=(

n−1k

)

+(

n−1k−1

)

, on déduit le théorème la dernière expression obtenue pour−−−−→OM(t).

Le théorème 15.2.5 permet de fabriquer de proche en proche, pour chaque valeur de t dans[0, 1], le point correspondant de la courbe de Bézier pilotée par P0, . . . , Pn. Par exemple, pourt = 1/2, on a :

M(12)

P0

P1

P2

P3

En effet, lorsque t = 1/2, 1− t = 1/2, et les barycentres successifs correspondent aux milieux.On remarque sur ce dessin que la tangente à la courbe de Bézier au point M( 1

2) est (P (1

2)Q(1

2)).

Ce phénomène n’est pas dû au hasard et résulta du théorème suivant.

Théorème 15.2.6 Avec les notations du théorème 15.2.5, on a :

d

dt

−−−−→OM(t) = n

−−−−−→P (t)Q(t).

Donc, pour tout t dans [0, 1] tel que P (t) 6= Q(t), droite (P (t)Q(t)) est tangente à la courbede Bézier Γ au point M(t).



Démonstration 15.2.6 En dérivant−−−−→OM(t) =

∑nk=0

(

nk

)

tk(1− t)n−k−−→OPk , on obtient :

d

dt

−−−−→OM(t) =

n∑

k=0

(

n

k

)

(

ktk−1(1− t)n−k − (n− k)tk(1− t)n−1−k)−−→OPk

=

n∑

k=1

k

(

n

k

)

tk−1(1− t)n−k−−→OPk −n−1∑

k=0

(n− k)(

n

k

)

tk(1− t)n−1−k−−→OPk

=

n∑

k=1

n

(

n− 1

k − 1

)

tk−1(1− t)n−1−(k−1)−−→OPk −n−1∑

k=0

n

(

n− 1

k

)


=n−1∑

j=0

n

(

n− 1

j

)

tj(1− t)n−1−j−−−−→OPj+1 −n−1∑

k=0

n

(

n− 1

k

)


= n−−−−→OQ(t)− n−−−−→OP (t)

= n−−−−−−→P (t)Q(t)

Exercice 122 BTS Informatique Industrielle, session 1988, problème 1

On se propose d’étudier une courbe définie paramétriquement (cf. partie 1) appartenant àun modèle de courbes utilisé pour la modélisation des formes en C.F.A.O. (Conception etFabrication Assistées par Ordinateur), (cf. parties 2 et 3).

Partie 1 : Étude d’un exemple de courbe définie par une représentation paramétrique.

Soient A0(0, 0), A1(1, − 1), A2(3, 2), A3(4, 1) quatre points du plan P muni d’unrepère orthonormé R (O,−→ı ,−→ ), avec pour unité 4 cm.Soit (C) la courbe définie, pour t ∈ [0, 1], par :

x = f(t) = −2t3 + 3t2 + 3ty = g(t) = −8t3 + 12t2 − 3t

1.1 Étude de (C) et représentation graphique dans le repère R.1.2 Montrer que (C) est tangente en A0 à la droite (A0A1) et tangente en A3 à

(A3A2).

Partie 2 : Étude d’une suite de nombres réels définie à l’aide d’un graphe.

La notation bpn représente un nombre réel dépendant de deux indices n et p, où nest un entier naturel, et p est un entier naturel plus petit ou égal à n. (Dans cettenotation, l’indice p n’a pas la signification de puissance).On considère le graphe suivant :

β

α

γ

1−t

@@t

La signification de ce graphe est : α = (1− t)β + tγ.

2.1 Exprimer à l’aide de ce graphe la relation

bpn = (1− t)bp−1n−1 + tbp−1

n , où 1 6 p 6 n. (15.1)



2.2 À l’aide du graphe ci-dessous

b00

b11

b22 b01

b33 b12

b23 b02

b13

b03

1−t

@@t

1−t

@@t

1−t

@@t

1−t

@@t

1−t

@@t

1−t

@@t

montrer que b33 s’exprime en fonction de b00, b01, b

02, b

03 sous la forme :

b33 = (1− t)3b00 + 3t(1− t)2b01 + 3t2(1− t)b02 + t3b03.

2.3 En s’inspirant du graphe précédent, expliciter l’algorithme permettant de cal-culer bnn en fonction de b00, b

01, . . . , b

0n.

Partie 3 : Description du modèle.

On donne quatre points A00, A

01, A

02, A

03 du plan de coordonnées respectives (x0

0, y00),

(x01, y

01), (x0

2, y02), (x0

3, y03).

Pour 1 6 p 6 n 6 3, on considère la point Apn de coordonnées (xpn, y

pn) définies par

les relations

xpn = (1− t)xp−1n−1 + txp−1

n

ypn = (1− t)yp−1n−1 + typ−1

n

où t ∈ [0, 1] (15.2)

Enfin, on note plus simplement (x, y) les coordonnées du point M = A33.

3.1 Calculer x en fonction de t, x00, x

01, x

02, x

03 et y en fonction de t, y0

0, y01, y

02, y

03.

3.2 Établir que l’on obtient la représentation paramétrique de la courbe (C) de lapremière partie si :

x00 = 0

y00 = 0

x01 = 1

y01 = −1

x02 = 3

y02 = 2

x03 = 4

y03 = 1

3.3 Cette dernière interprétation va être exploitée pour donner une constructiongéométrique d’un point de la courbe (C).

Sur une deuxième figure placer les points : A0(0, 0), A1(1,−1), A2(3, 2), A3(4, 1).En utilisant de système (15.2),

i. Montrer que, pour t = 1/2, le point A11(x

11, y

11) est le milieu de [A0A1], et

que le point A13 est le milieu de [A2A3].

En déduire la construction géométrique du point A33 pour t = 1/2, noté E.


15.3. B-SPLINES 167

ii. En s’inspirant de la méthode expliquée dans la question précédente,construire le point A3

3 pour t = 1/3, noté F .

15.3 B-splines

L’étude générale des courbes et des fonctions B-Spline n’est pas l’objectif de cette section.Nous nous contenterons d’examiner des cas particuliers.

15.3.1 Modèle de Riesenfeld

Ce modèle de courbe B-spline est une succession de courbes paramétrées mises bout à bout.Soient n et m des nombres entiers naturels tels que n ≥ m et n ≥ 2. Soient P0, P1, . . . , Pn,n+ 1 points du plan. Pour t ∈ [0, 1], on définit les courbes C0, C1, . . . , Cn−m par :

Mk(t) ∈ Ck ⇐⇒−−−−−→OMk(t) =

m∑

i=0

Ri,m(t)−−−→OPk+i.

Les contraintes sont les suivantes :

* Pour tout i ∈ N ∩ [0, m], Ri,m(t) est un polynôme de degré m en t,

* pour tout t dans[0, 1],∑m

i=0Ri,m(t) = 1,

* les courbes se raccordent de sorte que 11 :

−−−−−−→OM

(p)k (1) =

−−−−−−→OM

(p)k+1(0),

pour tout k ∈ N ∩ [0, n−m− 1] et tout p ∈ N ∩ [0, m− 1].

Nous n’examinerons pas le problème général lié à ce modèle. On obtient, pour m = 2 et n = 4,les courbes ci-dessous :

P0

P1

P2

P3

P4

P0

P1

P2

P3

P4

P0

P1

P2

P3

P4

On remarque que, contrairement aux courbes de Bézier, une modification de la position d’undes points de contrôle n’affecte pas la forme de toute la courbe mais seulement d’une partiede la courbe. Ici, le déplacement de P4 modifie la forme de C2, mais ne modifie ni C0, ni C1.

11. t 7→−−−−−−→OM (p)(t) est la dérivée d’ordre p de t 7→ −−−−→OM(t)



Voici ce que l’on peut trouver sur ce modèle de B-spline dans un sujet d’examen :

Exercice 123 BTS Informatique Industrielle, session 1992, exercice 2Un exemple de courbe B-spline.

1. On considère les polynômes Ri de degré 2, où i appartient à 0, 1, 2, définis pour t,variable réelle appartenant à [0, 1], par 12 :

Ri(t) = 3

2−i∑

j=0

(−1)j(t+ 2− i− j)2

j! (3− j)! .

(a) Montrer que : R0(t) = t2

2− t + 1

2et R1 = −t2 + t + 1

2.

(b) Déterminer R2(t) ; vérifier que :∑2

i=0Ri(t) = 1.

2. Soit un repère orthonormé (O,−→ı ,−→ ), unité graphique 2 cm. Soient 4 points 13 P1(0, 1),P2(4, 1), P3(6, 5), P4(8, 1). On définit une courbe B-spline, associée à ces 4 points, forméede deux arcs de courbes C1 et C2 :C1 étant l’ensemble des points M1(t) tels que :

−−−−−→OM1(t) = R0(t)

−−→OP1 +R1(t)

−−→OP2 +R2(t)

−−→OP3,

C2 étant l’ensemble des points M2(t) tels que :

−−−−−→OM2(t) = R0(t)

−−→OP2 +R1(t)

−−→OP3 +R2(t)

−−→OP4.

(a) Montrer que l’arc C1 est défini en coordonnées paramétriques par :

x1 = f(t) = −t2 + 4t+ 2

y1 = g(t) = 2t2 + 1

Étudier les variations de f et de g pour t appartenant à [0, 1] et construire C1.

(b) Définir l’arc C2 en coordonnées paramétriques pour t appartenant à [0, 1].Montrer que cet arc est un arc de parabole.Construire C2.

(c) Vérifier que les arcs C1 et C2 se raccordent au point 14 I(5, 3).Montrer que les arcs C1 et C2 ont même tangente en I, et que cette tangente est ladroite (P2P3).

(d) Montrer que M1(0) est le milieu du segment [P1P2], M1(1) est le milieu du segment[P2P3], M2(1) est le milieu du segment [P3P4].

3. On dispose d’une procédure trace(xA, yA, xB, yB) permettant de tracer le segment [AB]sur un périphérique graphique, (xA, yA) et (xB, yB) étant les coordonnées respectives deA et de B.Donner un algorithme d’un sous programme arc(xA, yA, xB, yB, xC , yC) traçant l’arc decourbe B-spline défini à partir des points A, B, C, selon le processus décrit dans laquestion 2.

12. « Ri » est en fait le « Ri,2 » du modèle Riesenfeld.13. « Pk+1 » de cet exercice est le « Pk » du modèle.14. I est le milieu de [P2P3].


15.3. B-SPLINES 169

4. On ajoute le point P ′(2, 0) aux 4 points P1, P2, P3, P4 de la question 2 en intercalant P ′

entre P1 et P2.

(a) Donner la définition en coordonnées paramétriques de chacun des arcs formant lanouvelle courbe B-spline.

(b) Réprésenter la courbe B-spline de la question 2. Dans le même repère, donner sanscalcul, l’allure de la nouvelle courbe B-spline.

15.3.2 Modèle de Cox et De Boor

Fonctions B-splines du modèle Cox & De Boor

Définitions 15.3.1 (Nœuds, Vecteurs nœuds) Soit (t0, t1, . . . , tk) une suite finie d’en-tiers naturels tels que : t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tk−1 ≤ tk. (t0, t1, . . . , tk) est alors appelé « vecteurnœud », et les nombres t0, t1, . . . , tk sont appelés « nœuds ».

Définition 15.3.2 (Nœud simple) Soit (t0, t1, . . . , tk) un vecteur nœud. On dit que ti estun nœud simple lorsque ti−1 < ti < ti+1.

Définition 15.3.3 (Nœud multiple) Soit (t0, t1, . . . , tk) un vecteur nœud. On dit que ti estun nœud multiple d’ordre p lorsque ti−1 < ti = ti+1 = · · · = ti+p−1 < ti+p.

Définition 15.3.4 (Fonctions B-splines Ni,m) Soit (t0, t1, . . . , tk) un vecteur nœud. Lesfonctions B-splines Ni,m, avec i +m+ 1 ≤ k, sont définies récursivement par :

Ni,0(t) =

1 si t ∈ [ti, ti+1[

0 si t 6∈ [ti, ti+1[(15.3)

m > 0, Ni,m(t) =t− ti

ti+m − tiNi,m−1(t) +

ti+m+1 − tti+m+1 − ti+1

Ni+1,m−1(t) (15.4)

Dans (15.4), il convient de remplacer t−titi+m−tiNi,m−1(t) par 0 lorsque ti = ti+m, et

ti+m+1−tti+m+1−ti+1

Ni+1,m−1(t) par 0 lorsque ti+1 = ti+m+1 (ce qui ne se produit pas dans le cas oùles nœuds sont simples).

Les fonctions Ni,m ainsi définies sont polynomiales par morceaux. Le schéma ci-dessous permetde visualiser les « contributions » des différentes fonctions de rang 0 : les Nq,0, à la constructionde Ni,m.

Ni,0 Ni+1,0 Ni+2,0 · · · Ni+m−1,0 Ni+m,0

↓ ↓ . . . ↓ ↓Ni,1 Ni+1,1 · · · Ni+m−2,1 Ni+m−1,1

↓ . . . ↓ ↓Ni,2 · · · Ni+m−3,2 Ni+m−2,2

. . ....

. . ....

Ni,m−1 Ni+1,m−1

↓Ni,m

On constate en examinant ce schéma, que Ni,m(t) = 0 si t 6∈ [ti, ti+m+1[. Pour j ∈ N∩ [i, i+m],la restriction de Ni,m à [tj, tj+1[ est un polynôme en t (de degré m si tj < tj+1).On admettra que

∑k−1−mi=0 Ni,m(t) = 1 pour tout t ∈ [t0, tk[, m ≤ k − 1.



Courbes B-splines du modèle Cox & De Boor

Définition 15.3.5 (B-spline de degré m) Soit (t0, t1, · · · , tk) un vecteur nœud. Soit m unnombre entier naturel inférieur ou égal à k − 1. Soient P0, P1, . . . ,Pn des points du plan (n ≤k − 1−m). L’ensemble des points M(t), t ∈ [t0, tk], définis par :

−−−−→OM(t) =

n∑

i=0

Ni,m(t)−−→OPi

si t < tk, et si t = tk : −−−−−→OM(tk) = lim

t→t−k

−−−−→OM(t),

est le courbe B-spline de degré m pilotée par les points P0, P1, . . . ,Pn.

Remarque : On trouve dans les nouveaux programmes de mathématiques, la phrase sui-vante : « Dans le cas d’un vecteur nœud tel que (0,1,2,3), on déterminera les fonctions B-Splines ; sinon ces fonctions seront fournies. ». C’est un changement par rapport aux annéesprécédentes où l’on demandait parfois de déterminer ces fonctions dans le cas de nœuds mul-tiples.

Exercice 124 BTS Conception et réalisation de carrosseries, session 1997

Le plan est muni d’un repère orthonormal. On prendra pour unité graphique 2 cm. Dans cetexercice, on considère une courbe B-Spline de degré 2, à six points de contrôle et dont lesfonctions polynômiales B-Splines associées sont définies sur l’intervalle [0, 4]. On choisit pourvecteur nœud (0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4). On apppelle ti la (i + 1)-ème coordonnée de ce vecteur,c’est à dire :

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8ti 0 0 0 1 2 3 4 4 4

Partie A L’ojectif de cette partie est de compléter les tableaux suivants.Les fonctions polynômiales B-Splines Ni,0 de degré 0 sont définies sur l’intervalle 15

[0, 4] dans le tableau 1. Les fonctions polynômiales B-Splines de degré m égal à 1 ou

t ∈ [0, 1[ t ∈ [1, 2[ t ∈ [2, 3[ t ∈ [3, 4[N0,0(t) 0 0 0 0N1,0(t) 0 0 0 0N2,0(t) 1 0 0 0N3,0(t) 0 1 0 0N4,0(t) 0 0 1 0N5,0(t) 0 0 0 1N6,0(t) 0 0 0 0N7,0(t) 0 0 0 0

Tab. 15.1 – Tableau 1

2, notées Ni,m, sont définies pour t dans [0, 4] par :

Ni,m(t) =t− ti

ti+m − tiNi,m−1(t) +

ti+m+1 − tti+m+1 − ti+1

Ni+1,m−1(t).


15.3. B-SPLINES 171

t ∈ [0, 1[ t ∈ [1, 2[ t ∈ [2, 3[ t ∈ [3, 4[

N0,1(t) 0 0 0 0

N1,1(t) 1− t 0 0 0

N2,1(t)

N3,1(t) 0 t− 1 3− t 0

N4,1(t) 0 0 t− 2 4− tN5,1(t) 0 0 0 t− 3

N6,1(t) 0 0 0 0


1. Pour compléter le tableau 2, calculer N2,1(t) pour t dans chaque intervalle consi-déré.

2. Pour compléter le tableau 3, calculer N3,2(t) pour t dans l’intervalle [2, 3[.

t ∈ [0, 1[ t ∈ [1, 2[ t ∈ [2, 3[ t ∈ [3, 4[

N0,2(t) (t− 1)2 0 0 0

N1,2(t)12t(4− t) 1

2(t− 2)2 0 0

N2,2(t)12t2 −1

2(2t2 − 6t+ 3) 1

2(t− 3)2 0

N3,2(t) 0 12(t− 1)2 1

2(t− 4)2

N4,2(t) 0 0 12(t− 2)2 1

2(4− t)(3t− 8)

N5,2(t) 0 0 0 (t− 3)2


Partie B L’objectif de cette partie est de compléter la courbe représentative de la fonctionB-Spline esquissée à la fin de l’exercice. Les points de contrôle choisis sont :

P0(0 ; 10), P1(−1 ; 9,5), P2(−1 ; 3), P3(−3 ; 2), P4(−3 ; 0), P5(0 ; 0).

La courbe B-Spline de degré 2 associée à ces points de contrôle est l’ensemble C despoints M(t) définis, pour tout t dans l’intervalle [0, 4] par :

−−−−→OM(t) =

i=5∑

i=0

Ni,2(t)−−→OPi .

On appelle x(t) et y(t) les coordonnées du point M(t).

1. (a) Déterminer x(t) et y(t) pour t dans l’intervalle [0, 1[.(b) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point M(0).

15. On remarquera que le cas t = 4 n’est pas envisagé dans les tableaux !



2. Pour t dans l’intervalle [1, 2[, on admettra que x(t) et y(t) sont donnés par :

x(t) = −t2 + 2t− 2

y(t) =11t2 − 48t+ 62

4

(a) Étudier le sens des variations des fonctions f et g, définies sur l’intervalle[1, 2] par :

f(t) = −t2 + 2t− 2 et g(t) =11t2 − 48t+ 62

4.

Résumer les résultats dans un tableau de variation. Préciser les valeurs prisespar les fonctions f et g aux bornes de l’intervalle [1, 2].

(b) Déterminer un vecteur directeur de la tangente T1 à la courbe C au pointM(1) et un vecteur directeur de la tangente T2 à la courbe C au point M(2).

3. Représenter graphiquement la partie de la courbe C correspondant à l’intervalle[1, 2] et les tangentes T1 et T2.

P0 10

P5 x

y

Fig. 15.1 – Esquisse de la courbe C


BIBLIOGRAPHIE 173

Bibliographie

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Index

Apn, 36Cpn, 36

In, 19Ni,m, 169Ri,m, 167X = xi, 80Im(z), 4R2, 153Re(z), 4δi j, 19∫ b

af(t) dt, 43

limaf , 22, 39

limx→a

f(x), 22, 39

limx→α

f(x) = 0+, 29

limx→α

f(x) = 0−, 29

C, 1C∗, 3N, 17±, 32∑+infty

n=n0un, 106

f (n), 43i, 2m× n, 16n!, 35o(xn), 67B(n, p), 82C∞, 154Cn, 43, 154M(m,n)(K), 16Mn(K), 16N (m, σ), 88P(λ), 85

abscisse de convergence absolue, 124accroissements finis, 42addition dans C, 1affixe

d’un point, 4d’un vecteur, 4

argument, 5

principal, 6arrangements, 36asymptote, 32

B-spline, 170barycentre, 160Bayes, 79Bernoulli, 82

classe C∞, 154classe Cn, 43, 154coefficients de Fourier, 114

complexes, 115combinaisons, 36conditions de Dirichlet, 117conjugué, 4continuité

en un point, 39sur un intervalle, 39à droite, 39à gauche, 39

convergenced’une suite, 96d’une série, 105

Cox, 169

De Boor, 169densité de probabilité, 87dérivabilité, 154

en un point, 40sur un intervalle, 41

dérivéeà droite, 41à gauche, 41

développpement limité, 68partie principale, 68

Dirichlet, 117discriminant, 11divergence

d’une série, 105division

des nombres complexes, 3

175

176 INDEX

écart-typevariable aléatoire continue, 88variable aléatoire discrète, 81

équation différentielle linéaire, 51homogène, 51

équiprobabilité, 77espérance

loi binomiale, 83loi de Poisson, 85loi normale, 88variable aléatoire continue, 87variable aléatoire discrète, 80

Euler, 7événement, 75

certain, 75contraire, 76impossible, 75réalisé, 75élémentaire, 75

événementsincompatibles, 76indépendants, 78

éventualité, 75expérience aléatoire, 75extremum

local, 42

fonctionCn par morceaux, 45apériodique, 111causale, 124de classe Cn, 43dérivée, 41périodique, 111vectorielle, 155échelon unité, 124

fonction de répartition, 80foncton définie au voisinage de 0, 67fondamentale, 115forme

algébrique, 3trigonométrique, 6

formule deTaylor (reste intégral), 69

formule de Parseval, 118formule de Moivre, 6formule du binôme de Newton, 37formules d’Euler, 7

harmonique, 115Heaviside, 124

image d’un nombre complexe, 4imaginaire, 4inégalité

de la moyenne, 44de Taylor-Lagrange, 70des accroissements finis, 42triangulaire, 5

intégrale doublement impropre, 124intégrale impropre, 123inverse, 3isobarycentre, 161

jeu équitable, 81

Laplace, 125limite, 22, 24, 39

en +∞, 25en −∞, 26à droite, 23, 24, 39à gauche, 23, 24, 39

loi de probabilité, 80loi faible des grands nombres, 80loi normale centrée réduite, 89

majorant, 96matrice, 15

m× n, 16colonne, 16ligne, 16nulle, 17

minorant, 96module, 5Moivre, 6morceaux

fonction Cn par –, 45moyenne

variable aléatoire discrète, 80multiplication dans C, 1

nature d’une série, 106Newton, 37nœud, 169

multiple, 169simple, 169

nombre dérivé, 40

opposé, 3


INDEX 177

original, 125, 132, 146orthogonalité, 63

paramétrisationcartésienne, 155polaire, 157

Parseval, 118partie

imaginaire, 4réelle, 4

Pascal, 37période, 111permutations, 35point régulier, 156points de contrôle, 162polynôme caractéristique, 55polynôme trigonométrique, 112polynômes de Bernstein, 161primitive, 43probabilité, 77probabilité conditionnelle, 78produit

de nombres complexes, 2pulsation, 112

racinedouble, 12

racines, 12simples, 12

raison, 97, 98rang, 95rayon de convergence, 139réel, 4relation de Chasles, 44Riesenfeld, 167

schema de Bernouilli, 82série, 105

alternée, 110convergence absolue d’une –, 110convergente, 105de Fourier, 116

complexe, 116de Riemann, 109divergente, 105entière, 139géométrique, 107nature d’une –, 106sommes partielles d’une –, 105

à termes positifs, 107signal causal discret, 143somme

de nombres complexes, 2somme d’une série, 106sommes partielles, 105soustraction

des nombres complexes, 3suite, 95

arithmétique, 97convergente, 96croissante, 96

à partir d’un certain rang, 96divergente, 96décroissante, 96

à partir d’un certain rang, 96géométrique, 98majorée, 96minorée, 96monotone, 96

à partir d’un certain rang, 96stationnaire, 95strictement croissante, 96

à partir d’un certain rang, 96strictement décroissante, 96

à partir d’un certain rang, 96strictement monotone

à partir d’un certain rang, 96suites

équivalentes, 108symboles de Kronecker, 19

tangente, 156, 157Taylor, 69Taylor-Lagrange, 70terme, 95

de rang n0, 95général

d’une suite, 95d’une série, 105

théorèmede Bayes, 79

théorème deDirichlet, 117

transforméeen Z, 143

triangle de Pascal, 37trinôme, 11


178 INDEX

univers, 75

valeur efficaced’une fonction périodique, 118

valeur moyenne, 44variable aléatoire

centrée, 81réduite, 81

variable aléatoire, 79continue, 87discrète, 80

varianceloi binomiale, 83loi de Poisson, 85loi normale, 89variable aléatoire continue, 88variable aléatoire discrète, 81

vecteurposition, 155, 157vitesse, 156, 157

vecteur nœud, 169voisinage de 0, 67


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