n° d’ordre 2010-isal-0061 année 2010 présentée...

N° d’ordre 2010-ISAL-0061 Année 2010

Présentée devant

L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

ECOLE DOCTORALE : MECANIQUE – ENERGETIQUE – GENIE CIVIL – ACOUSTIQUE (MEGA)

Doctorat

Génie Civil

Par HEJAZI Yousef

INFLUENCE DE LA PRISE EN COMPTE DES MODULES EN PETITES DEFORMATIONS DES SOLS SUR LA MODELISATION NUMERIQUE D’OUVRAGES GEOTECHNIQUES

Thèse dirigée par Richard Kastner et Daniel Dias

Soutenue le 16 septembre 2010 devant la commission d’examen

Jury

MARTINEZ Juan Professeur des Universités (INSA Rennes) Rapporteur MROUEH Hussein Maître de Conférences HDR (Université de Lille) Rapporteur YANNI Hanna Professeur des Universités (Université de Damas, Syrie) Examinateur PELLET Frédéric Professeur des Universités (INSA Lyon) Examinateur KASTNER Richard Professeur Emérite (INSA Lyon) Directeur de thèse DIAS Daniel Maître de Conférences HDR (INSA Lyon) Co-directeur de thèse Cette thèse a été préparée au LGCIE-Géotechnique de l’INSA de Lyon

INSA Direction de la Recherche - Ecoles Doctorales – Quadriennal 2007-2010

SIGLE ECOLE DOCTORALE NOM ET COORDONNEES DU RESPONSABLE

CHIMIE

CHIMIE DE LYON http://sakura.cpe.fr/ED206 M. Jean Marc LANCELIN

Insa : R. GOURDON

M. Jean Marc LANCELIN Université Claude Bernard Lyon 1 Bât CPE 43 bd du 11 novembre 1918 69622 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72.43 13 95 Fax : [email protected]

E.E.A.

ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE http://www.insa-lyon.fr/eea M. Alain NICOLAS Insa : C. PLOSSU [email protected] Secrétariat : M. LABOUNE AM. 64.43 – Fax : 64.54

M. Alain NICOLAS Ecole Centrale de Lyon Bâtiment H9 36 avenue Guy de Collongue 69134 ECULLY Tél : 04.72.18 60 97 Fax : 04 78 43 37 17 [email protected] Secrétariat : M.C. HAVGOUDOUKIAN

E2M2

EVOLUTION, ECOSYSTEME, MICROBIOLOGIE, MODELISATION http://biomserv.univ-lyon1.fr/E2M2 M. Jean-Pierre FLANDROIS Insa : H. CHARLES

M. Jean-Pierre FLANDROIS CNRS UMR 5558 Université Claude Bernard Lyon 1 Bât G. Mendel 43 bd du 11 novembre 1918 69622 VILLEURBANNE Cédex Tél : 04.26 23 59 50 Fax 04 26 23 59 49 06 07 53 89 13 [email protected]

EDISS

INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-SANTE Sec : Safia Boudjema M. Didier REVEL Insa : M. LAGARDE

M. Didier REVEL Hôpital Cardiologique de Lyon Bâtiment Central 28 Avenue Doyen Lépine 69500 BRON Tél : 04.72.68 49 09 Fax :04 72 35 49 16 [email protected]

INFOMATHS

INFORMATIQUE ET MATHEMATIQUES http://infomaths.univ-lyon1.fr M. Alain MILLE

M. Alain MILLE Université Claude Bernard Lyon 1 LIRIS - INFOMATHS Bâtiment Nautibus 43 bd du 11 novembre 1918 69622 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72. 44 82 94 Fax 04 72 43 13 10 [email protected] - [email protected]

Matériaux

MATERIAUX DE LYON M. Jean Marc PELLETIER Secrétariat : C. BERNAVON 83.85

M. Jean Marc PELLETIER INSA de Lyon MATEIS Bâtiment Blaise Pascal 7 avenue Jean Capelle 69621 VILLEURBANNE Cédex Tél : 04.72.43 83 18 Fax 04 72 43 85 28 [email protected]

MEGA

MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE CIVIL, ACOUSTIQUE M. Jean Louis GUYADER Secrétariat : M. LABOUNE PM : 71.70 –Fax : 87.12

M. Jean Louis GUYADER INSA de Lyon Laboratoire de Vibrations et Acoustique Bâtiment Antoine de Saint Exupéry 25 bis avenue Jean Capelle 69621 VILLEURBANNE Cedex Tél :04.72.18.71.70 Fax : 04 72 43 72 37 [email protected]

ScSo

ScSo* M. OBADIA Lionel Insa : J.Y. TOUSSAINT

M. OBADIA Lionel Université Lyon 2 86 rue Pasteur 69365 LYON Cedex 07 Tél : 04.78.77.23.88 Fax : 04.37.28.04.48 [email protected]

*ScSo : Histoire, Geographie, Aménagement, Urbanisme, Archéologie, Science politique, Sociologie, Anthropologie

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REMERCIEMENTS Les travaux de recherche présentés dans ce mémoire ont été réalisés au sein du Laboratoire de Génie Civil et d’Ingénierie Environnementale (LGCIE), domaine B (équipe Géotechnique) de l’INSA de Lyon. Je tiens à adresser mes sincères remerciements et mon grand respect à mes directeurs de thèse Monsieur le Professeur Richard Kastner pour avoir accepté d’être mon directeur de thèse et Monsieur Daniel Dias qui a suivi de près mon travail. Sans eux, ce travail de thèse ne serait pas ce qu’il est. Je remercie vivement Monsieur le Professeur Juan Martinez, de l’INSA de Rennes, et Monsieur Hussein Mroueh, de Polytech’ Lille, pour avoir bien voulu accepter d’être rapporteurs de ce travail. Je les remercie pour les remarques pertinentes qu’ils ont formulées à la lecture de ce mémoire. Je remercie également Messieurs les Professeurs Frédéric Pellet, de l’INSA de Lyon et Hanna Yanni, de l’université de Damas pour avoir accepter de participer au jury de la thèse. Je remercie chaleureusement tous mes collègues du laboratoire et plus particulièrement ceux de l’équipe géotechnique : S. Eclaircy-Caudron, M. Caudron, O. Jenck, J. Buco, J. Zghondi, M. Nunez, U. Okyay, G. Mollon, R. Razakamanantsoa, A. Abdelouhab, J-P. Janin, R. Boubou, C. Barral, M. Cebrian, H. Lajevardi, C. Pothier, I. Alim-Ichola, F. Emeriault, C. Silvani et V. Boiron pour leur accueil, leur aide et leur soutien. Tous cela, a rendu le travail très agréable. Que soient associés à ces remerciements ma femme Dania, ma petite Liliane, mes parents et ma famille, sans qui je ne serais pas ce que je suis.

Résumé en français

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RESUME Compte tenu de leur capacité d’intégrer la complexité de la géométrie, le comportement du sol environnant ou encore les processus du creusement lors de l’évaluation des mouvements engendrés par l’exécution d’un ouvrage souterrain, les méthodes numériques deviennent de plus en plus indispensables en phase de dimensionnement. La pratique des travaux souterrains a d’ailleurs démontré que la plupart des ouvrages sont dans le domaine des petites déformations où le comportement du sol est mal représenté par l’élasticité linéaire isotrope. Une estimation fiable des mouvements de sol nécessite alors l’incorporation de modèles capables de représenter le comportement du sol sous petites déformations. Ce travail de thèse constitue une contribution à l’étude numérique de l’influence de la prise en compte des modules en petites déformations et de l’anisotropie des sols lors du creusement d’un ouvrage souterrain. Pour cela, une série de modèles permettant de simuler la raideur du sol croissante en fonction de la profondeur, la raideur plus élevée sous faibles déformations, la non linéarité du comportement en petites déformations, l’histoire des sollicitations et le radoucissement en grandes déformations a été retenue et implémentée dans le code de calcul en différences finies FLAC3D. Ces modèles ont été ensuite validés sur différents chemins de sollicitations avant qu’ils soient appliqués à la simulation d’ouvrages souterrains peu profonds dans de l’argile surconsolidée de Londres. Une des conclusions de ce travail de recherche réside dans le fait que l’introduction de la non linéarité du sol sous faibles déformations conduit à une prédiction bien meilleure des mouvements du sol autour d’un ouvrage souterrain creusé dans des argiles anisotropes et fortement surconsolidées. Un autre des phénomènes clés à prendre en compte est l’état caractéristique des sols. Mots clés : Petites déformations, Anisotropie, Comportement non linéaires des géomatériaux, Modélisation numérique, Ouvrages géotechniques.

Résumé en français

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Résumé en anglais

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ABSTRACT Regarding their ability to simulate the complexity of geometry, the behaviour of surrounding soils, the excavation process and to evaluate the movements generated by an underground construction, numerical methods are becoming more and more widespread for design. Moreover, practice has demonstrated that most of underground constructions deformed under small-strains where soil behaviour is poorly represented by the linear isotropic elasticity. Therefore, a reliable prediction of soil movements requires the use of a constitutive model able to represent the small-strain soil behaviour. This PhD thesis is a contribution to numerical studies for taking into account the small-strain stiffness and the anisotropy of a soil during excavation of an underground structure. For this, a serie of constitutive soil models was selected and implemented in the finite difference code FLAC3D in order to simulate the increase of soil stiffness with depth, the non-linear small-strain behaviour, the stress history and the strain softening under large strain. These models were then validated on different stress paths and then applied to simulate a shallow tunnel in London Clay. From this research, it is concluded that the introduction of soil non-linearity under small-strains leads to better prediction of ground movements around a tunnel excavated within anisotropic and heavily overconsolidated Clays than that observed by the linear elastic model frequently used. Another phenomena necessary to be taken into account is the characteristic state of the soil. Keywords: Small-strains, anisotropy, non-linear behaviour of geomaterials, Numerical modelling, geotechnical constructions.

Résumé en anglais

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Table des matières

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TABLE DES MATIERES

REMERCIEMENTS ......................................................................................................... 5 RESUME ........................................................................................................................... 7 ABSTRACT ....................................................................................................................... 9 NOTATIONS................................................................................................................... 19 INTRODUCTION GENERALE ..................................................................................... 23

PARTIE I : ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

Chapitre 1 : Rigidité et anisotropie des sols sous sollicitations d’exploitation

1 INTRODUCTION .................................................................................................... 29 2 EVIDENCE DU COMPORTEMENT NON LINEAIRE ET DE L’ANISOTROPIE DES SOLS ....................................................................................................................... 29

2.1 La non linéarité ............................................................................................................. 29

2.1 L’anisotropie ................................................................................................................. 31

3 MESURES DES PROPRIETES DU SOL SOUS PETITES DEFORMATIONS.... 34 3.1 Mesures en laboratoire................................................................................................... 34

3.1.1 Jauges locales .....................................................................................................................35 3.1.2 Bender éléments ..................................................................................................................35 3.1.3 Colonne résonnante et cylindre creux ..................................................................................35

3.2 Mesures in situ .............................................................................................................. 35 3.2.1 Essai Cross-Hole sismique...................................................................................................36 2.2.2 Essai Down-Hole sismique...................................................................................................36 3.2.3 Cône et dilatomètre plat sismiques.......................................................................................36 3.2.4 Analyse spectrale des ondes de surface ................................................................................37 3.2.5 L’essai de pressiomètre autoforeur ......................................................................................37 3.2.6 L’essai à la plaque ..............................................................................................................37 3.2.7 L’essai triaxial in situ ..........................................................................................................37

3.3 Mesures des propriétés d’un sol anisotrope .................................................................... 37

3.4 Conclusion sur la mesure des propriétés du sol .............................................................. 38

4 EN REALITE, LE DOMAINE ELASTIQUE « LINEAIRE » EXISTE-IL ? ......... 39

5 LES FACTEURS QUI INFLUENT SUR LA RAIDEUR ET L’ANISOTROPIE DES SOLS ....................................................................................................................... 40

5.1 Indice des vides ............................................................................................................. 41

5.2 Etat de contraintes et surconsolisation du sol ................................................................. 41

5.3 Structure interne du sol .................................................................................................. 43

Table des matières

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5.3.1 Impact de la différence de structure entre argiles naturelles et reconstituées........................43 5.3.2 Impact du tissu anisotrope ...................................................................................................43

5.4 Histoire récente et direction des sollicitations ................................................................ 44

6 CONCLUSION......................................................................................................... 48

Chapitre 2 : Modèles de comportement pour le sol

1 INTRODUCTION ....................................................................................................... 51

2 MODELES ELASTIQUES LINEAIRES.................................................................... 51

3 MODELES ELASTIQUES NON LINEAIRES .......................................................... 52 3.1 L’hyperélasticité ............................................................................................................ 52

3.2 L’hypoélasticité ............................................................................................................. 53

4 MODELES ELASTOPLASTIQUES .......................................................................... 53

5 MODELES HYPOPLASTIQUES ............................................................................... 55

6 MODELES A MULTI-SURFACES DE CHARGE .................................................... 56

7 MODELE DE SIMPSON (1979) ................................................................................. 58

8 MODELE DE JARDINE (1986 ; 1991)....................................................................... 58

9 L’ANISOTROPIE DU SOL ET LES MODELES DE COMPORTEMENT............... 59

10 CONCLUSION .......................................................................................................... 61

Chapitre 3 : Ouvrages souterrains dans un milieu urbain

1 INTRODUCTION .................................................................................................... 65

2 CREUSEMENT ET SOUTENEMENT D’OUVRAGES SOUTERRAINS DANS UN MILIEU URBAIN..................................................................................................... 65

2.1 Méthode conventionnelle (NATM) à front ouvert .......................................................... 65

2.2 Creusement au tunnelier ................................................................................................ 66 2.2.1 Boucliers à front ouvert .......................................................................................................67 2.2.2 Boucliers à front fermé ........................................................................................................67

2.3 Mouvements de sol lors du creusement d’un tunnel peu profond .................................... 68

2.4 Méthodes d’évaluation le mouvement ............................................................................ 70 2.4.1 Méthodes empiriques et semi-empiriques .............................................................................70

2.4.1.1 Cuvette de tassements transversale en surface ............................................................................. 71 2.4.1.2 Cuvette de tassement transversale en profondeur ......................................................................... 72 2.4.1.3 Cuvette de tassement longitudinale ............................................................................................. 72 2.4.1.4 Mouvements horizontaux ............................................................................................................ 73

2.4.2 Etudes en laboratoire ..........................................................................................................74 2.4.3 Méthodes analytiques ..........................................................................................................74 2.4.4 Méthodes numériques ..........................................................................................................75 2.4.5 Comportement sous petites déformations et anisotropie des sols et la modélisation des ouvrages souterrains ....................................................................................................................75

2.4.5.1 Modélisation en élasticité linéaire ............................................................................................... 76

Table des matières

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2.4.5.2 Modélisation en élasticité linéaire associée à un critère de plasticité ............................................ 76 2.4.5.3 Modélisation en élasticité non linéaire ........................................................................................ 76 2.4.5.4 Modélisation avec des modèles de comportement avancés ........................................................... 76 2.4.5.5 Modélisation de l’anisotropie...................................................................................................... 77

3 CONCLUSIONS........................................................................................................... 77

PARTIE II : OUTILS NUMERIQUES ET MODELES IMPLEMENTES DANS FLAC3D

Chapitre 4 : Outils numériques

1 INTRODUCTION .................................................................................................... 83

2 PRESENTATION DU CODE DE CALCUL EN ELEMENTS FINIS « PLAXIS » 83 2.1 Discrétisation en éléments finis ..................................................................................... 84

2.2 Modèles de comportement ............................................................................................. 84 2.2.1 Le modèle « Hardening Soil, HS » .......................................................................................85 2.2.2 Le modèle « Hardening Soil Small, HS-Small » ....................................................................85 2.2.3 Le modèle hypoplastique de Masin (2005)............................................................................85

3 PRESENTATION DU CODE DE CALCUL EN DIFFERENCES FINIES « FLAC3D »..................................................................................................................... 85

3.1 Schéma de résolution explicite....................................................................................... 86

3.2 FLAC3D versus PLAXIS............................................................................................... 87

3.2 Modèles de comportement disponibles dans FLAC3D.................................................... 88

4 CONCLUSION......................................................................................................... 88

Chapitre 5 : Modèles implémentés dans FLAC3D

1 INTRODUCTION ....................................................................................................... 91

2 IMPLEMENTATION DE MODELES DE COMPORTEMENT MECANIQUE DANS FLAC3D ............................................................................................................... 91

3 ECRITURE INCREMENTALE DU COMPORTEMENT NON LINEAIRE DE SOL92

4 MODELE MOHR-COULOMB DE BASE.................................................................. 94 4.1 Critère de plasticité de Mohr-Coulomb .......................................................................... 94

4.2 Règle d’écoulement non associée en cisaillement et associée en traction........................ 96

4.3 Paramètres du modèle MC ............................................................................................. 97

5 MODELE DE JANBU ................................................................................................. 98 5.1 Paramètres du modèle de Janbu ..................................................................................... 99

5.1.1 Paramètres plastique de Mohr-Coulomb ..............................................................................99 5.1.2 Paramètres de la rigidité de sol ...........................................................................................99

5.2 Implémentation du modèle de Janbu dans FLAC3D ....................................................... 99

Table des matières

- 14 -

5.3 Etude paramétrique sur le modèle de Janbu.................................................................... 99

5.4 Modèle de Janbu versus modèle Mohr-Coulomb de base.............................................. 101

5.5 Conclusion sur le modèle de Janbu .............................................................................. 102

6 MODELE HYPERBOLIQUE DE DUNCAN & CHANG..........................................102 6.1 Propriétés élastiques initiales ....................................................................................... 104

6.2 Paramètres élastiques en petites déformations .............................................................. 105

6.3 Raideur du sol en déchargement-rechargement ............................................................ 106

6.4 Paramètres du modèle de Duncan et Chang .................................................................. 107 6.4.1 Paramètres plastique de Mohr-Coulomb ............................................................................107 6.4.2 Paramètres élastiques sous très petites déformations .........................................................107 6.4.3 Paramètres élastiques sous petites déformations ................................................................107 6.4.4 Paramètres avancés ...........................................................................................................107

6.5 Implémentation du modèle Duncan et Chang dans FLAC3D ........................................ 107

6.6 Etude paramétrique sur le modèle de Duncan et Chang ................................................ 108

6.7 Conclusion sur le modèle de Duncan et Chang implémenté .......................................... 109

7 MODELE DE FAHEY & CARTER ..........................................................................109 7.1 Raideur du sol sous très petites déformations ............................................................... 109

7.2 Raideur du sol sous petites déformations ..................................................................... 110

7.3 Paramètres du modèle de Fahey et Carter..................................................................... 111 7.3.1 Paramètres plastique de Mohr-Coulomb ............................................................................111 7.3.2 Paramètres élastiques sous très petites déformations .........................................................111 7.3.3 Paramètres élastiques sous petites déformations ................................................................111

7.4 Implémentation du modèle de Fahey et Carter dans FLAC3D ...................................... 111

7.5 Etude paramétrique sur le modèle de Fahey et Carter ................................................... 111

7.6 Conclusion sur le modèle de Fahey et Carter................................................................ 112

8 MODELE DE FAHEY & CARTER AVEC RADOUCISSEMENT EN PLASTICITE (FAHEYSOFT)...............................................................................................................113 9 FLAC3D ET LA SIMULATION D’UN SOL ANISOTROPE...................................114

10 CONCLUSION .........................................................................................................115

PARTIE III : MODELISATION D’OUVRAGES GEOTECHNIQUES TYPES

Chapitre 6 : Modélisation des fondations superficielles

1 INTRODUCTION ......................................................................................................121

2 ESSAI DE CHARGEMENT DANS UN SOL RESIDUEL (BRESIL).......................123 2.1 Description de l’essai ................................................................................................. 123

2.2 Modélisation numérique ............................................................................................. 123

2.3 Résultats et discussion ................................................................................................ 127

Table des matières

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2.3.1 Confrontation à l’expérimentation .....................................................................................127 2.3.2 Sensibilité vis-à-vis des paramètres – modèle de Janbu ......................................................127 2.3.3 Sensibilité vis-à-vis des paramètres – modèle de Duncan & Chang ....................................128 2.3.4 Sensibilité vis-à-vis des paramètres – modèle de Fahey & Carter .......................................129

2.4 Conclusion ................................................................................................................. 129

3 ESSAI DE CHARGEMENT DANS UN SABLE (TEXAS A&M) .............................131 3.1 Description de l’essai et sa modélisation numérique ................................................... 131

3.2 Résultats et discussion ................................................................................................ 134 3.2.1 Courbes « chargement-déplacement » ................................................................................134 3.2.2 Déplacements horizontaux .................................................................................................135 3.2.3 Prise en compte de l’état de contraintes in situ ..................................................................138 3.2.4 Prise en compte des propriétés du sol sous très petites déformations ..................................138

3.3 Conclusion ................................................................................................................. 140

Chapitre 7 : Modélisation des pieux

1 INTRODUCTION ......................................................................................................145 1.1 Dimensionnement des pieux ........................................................................................ 145

1.2 Simulation numérique des pieux .................................................................................. 146

1.3 Modélisation de l’interface sol-pieu ............................................................................. 147

1.4 Simulation du comportement de sol ............................................................................. 147

2 DESCRIPTION DE L’ESSAI ....................................................................................149

3 MODELISATION NUMERIQUE .............................................................................150 3.1 Géométrie et maillage étudiés ...................................................................................... 150

3.2 Conditions aux limites ................................................................................................. 151

3.3 Conditions initiales...................................................................................................... 151

3.4 Comportement des matériaux....................................................................................... 151 3.4.1 Comportement du pieu .......................................................................................................151 3.4.2 Comportement du sol .........................................................................................................151 3.4.3 Comportement de l’interface..............................................................................................152 3.4.4 Procédures de la simulation...............................................................................................153

4 PRESENTATION DES RESULTATS .......................................................................153

5 CONCLUSION...........................................................................................................155

Chapitre 8 : Modélisation des murs de soutènement

1 INTRODUCTION ......................................................................................................159

2 L’EXCAVATION du TNEC (TAIPEI NATIONAL ENTERPRISE CENTER) EN TAIWAN ........................................................................................................................161 3 INSTRUMENTATIONS MISES EN PLACE.............................................................163

Table des matières

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4 RECONNAISSANCES GEOTECHNIQUES..............................................................163

5 SIMULATION NUMERIQUE ....................................................................................165 5.1 Géométrie et Maillage en éléments finis ...................................................................... 165

5.2 Conditions aux limites ................................................................................................. 165

5.3 Conditions initiales des contraintes .............................................................................. 165

5.4 Comportement des matériaux....................................................................................... 166 5.4.1 Comportement des butons ..................................................................................................166 5.4.2 Comportement de l’écran...................................................................................................166 5.4.3 Comportement du sol .........................................................................................................166

6 PRESENTATION DES RESULTATS ........................................................................167 6.1 Simulation en élasticité linéaire (le modèle MC).......................................................... 168

6.2 Elasticité non linéaire pour la prédiction des mouvements (le modèle HS) ................... 169

6.3 Prise en compte de la rigidité du sol sous très petites déformations (le modèle HS-Small)172

6.4 Impact de la forme de la courbe G = f(εaxiale) sur la prédiction des mouvements (le modèle HS-Small) ............................................................................................................. 175

6.5 Prise en compte d’une raideur plus importante sous très petites déformations (le modèle HS-Small) ......................................................................................................................... 177

6.6 Simulation en hypoplasticité (Masin, 2005) ................................................................. 179

7 CONCLUSIONS..........................................................................................................181

Chapitre 9 : Modélisation du creusement d’ouvrages souterrains

1 INTRODUCTION ......................................................................................................185

2 PRESENTATION GENERALE DU PROJET SUPPORT.........................................186 2.1 Le contexte et la localisation ....................................................................................... 186

2.2 Section transversale et méthode du creusement retenues .............................................. 188

2.3 Instrumentation mise en place...................................................................................... 190

2.4 La géologie et le contexte géotechnique du site............................................................ 192

3 BREVE DESCRIPTION DES COUCHES D’ARGILE..............................................193 3.1 Histoire géologique de l’argile de Londres................................................................... 193

3.2 Propriétés géotechniques ............................................................................................. 195

4 MODELISATION NUMERIQUE ..............................................................................198 4.1 Modélisation 2D simplifiée.......................................................................................... 198

4.1.1 Géométrie et Maillage étudiés ...........................................................................................198 4.1.2 Conditions aux limites .......................................................................................................200 4.1.3 Conditions initiales des contraintes ...................................................................................200 4.1.4 Simulation du creusement ..................................................................................................200 4.1.5 Comportement des matériaux .............................................................................................201 4.1.6 Résultats et discussion .......................................................................................................203

4.1.6.1 Calcul de référence (λd = 35% et H’ = 2D) ................................................................................ 203 4.1.6.2 Etudes paramétriques ................................................................................................................ 206

4.1.6.2.1 Hauteur de couverture ....................................................................................................... 206

Table des matières

- 17 -

4.1.6.2.2 Sensibilité du modèle numérique vis-à-vis des paramètres de petites déformations (le modèle de Fahey & Carter) .......................................................................................................................... 209 4.1.6.2.3 Simulation du mode de creusement .................................................................................... 211

4.1.7 Conclusion ........................................................................................................................213 4.2 Modélisation 2D plus fine............................................................................................ 213

4.2.1 Géométrie et Maillage étudiés ...........................................................................................214 4.2.2 Conditions aux limites et conditions initiales des contraintes .............................................214 4.2.3 Simulation du creusement ..................................................................................................214 4.2.4 Comportement des matériaux .............................................................................................215 4.2.5 Présentation des résultats ..................................................................................................215

4.2.5.1 Calcul en élasticité linéaire isotrope (le modèle MC) ................................................................. 215 4.2.5.2 Calcul avec le modèle Cam-Clay) ............................................................................................. 216 4.2.5.3 Calcul en élasticité non linéaire isotrope (HS et HS-Small)........................................................ 218 4.2.5.4 Calcul en élasticité linéaire anisotrope (le modèle élastique linéaire transversalement anisotrope)219 4.2.5.5 Calcul en hypoplasticité (le modèle de Masin 2005) ................................................................. 222

4.2.5.5.1 Calage des paramètres ....................................................................................................... 222 4.2.5.5.2 Impact de la prise en compte des tunnels plateformes déjà excavés ..................................... 223 4.2.5.5.3 Impact de la perte de volume des tunnels plateformes......................................................... 224 4.2.5.5.4 Le taux de déconfinement le plus adapté ............................................................................ 224

5 CONCLUSIONS..........................................................................................................226

CONCLUSION GENERALE.........................................................................................229

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES .......................................................................233

ANNEXES Annexe 1 : Notions générales sur l’écriture des modèles de comportement .................. 253

Annexe 2 : Critères de rupture pour le sol ..................................................................... 259

Annexe 3 : Modèles de comportement de PLAXIS ......................................................... 263

Annexe 4 : Diagrammes des modèles implémentés dans FLAC3D................................. 271

Annexe 5 : Etude paramétrique sur le modèle de Duncan et Chang implémenté dans FLAC3D ........................................................................................................................... 277

Annexe 6 : Etude paramétrique sur le modèle de Fahey et Carter implémenté dans FLAC3D ........................................................................................................................... 287

Annexe 7 : Modélisation des fondations superficielles - Calage des paramètres ........... 295

Annexe 8 : Modélisation d’ouvrages de soutènement - Paramètres retenus pour la simulation numérique ...................................................................................................... 305

Annexe 9 : Modélisation du creusement d’ouvrages souterrains - Paramètres retenus et calage sur les expérimentations ....................................................................................... 309

Annexe 10 : Caractéristiques hypoplastiques du sol en faibles déformations et la cuvette des tassements transversale ................................................................................ 321

Table des matières

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Notations

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NOTATIONS Lettres majuscules A Paramètre du module de cisaillement initial ou Paramètre du modèle de

Jardine B Paramètre du modèle de Jardine, largeur d’une fondation superficielle ou

encore la matrice des fonctions d’interpolation des déformations C Matrice d’élasticité ou paramètre de Fahey & Carter D Diamètre d’un tunnel, diamètre d’un pieu, profondeur d’encastrement

d’une fondation superficielle ou encore le taux des déformations en hypoplasticité

epijklD Matrice d’élastoplasticité

DS Paramètre de Fahey & Carter Du Constante adimensionnelle (anisotropie) Dv Constante adimensionnelle (anisotropie) Dh Constante adimensionnelle (anisotropie) DeltaPhi Paramètre de Duncan & Chang : Variation de l’angle de frottement interne E0 Module d’Young initial Ei Module d’Young de l’interface Et Module d’Young tangent Ev Module d’Young selon la direction verticale Eh Module d’Young selon la direction horizontale Eu Module d’Young en conditions non drainées

refE50 Paramètre de HS et HS-Small : Module d’Young triaxial refoedE Paramètre de HS et HS-Small : Module d’Young oedométrique refurE Paramètre de HS et HS-Small : Module d’Young en déchargement-

rechargement E_ini Paramètre de Janbu F Fonction de la surface de charge en élastoplasticité FS Fonction de la surface de charge en cisaillement élastoplastique FT Fonction de la surface de charge en traction élastoplastique Fcap Cap-type fonction de la surface de charge G Module de cisaillement ou potentiel plastique en élastoplasticité G0 Module de cisaillement initial Gsec Module de cisaillement sécant

refG0 Paramètre de HS-Small : Module de cisaillement initial sous très petites déformations

refurG Paramètre de HS-Small : Module de cisaillement en déchargement-

rechargement GS Potentiel plastique en cisaillement élastoplastique GT Potentiel plastique en traction élastoplastique Ghv Module de cisaillement dans le plan vertical (Ghv = Gvh) Ghh Module de cisaillement dans le plan horizontal H Distance entre le substratum et le centre du tunnel H’ Couverture au-dessus d’un tunnel I1 Premier invariant des contraintes

Notations

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I2 Deuxième invariant des contraintes I3 Troisième invariant des contraintes IP Indice de plasticité du sol J1 Premier invariant des contraintes déviatoriques J2 Deuxième invariant des contraintes déviatoriques J3 Troisième invariant des contraintes déviatoriques K Module volumique ou constante adimensionnelle pour définir le point

d’inflexion de la cuvette des tassements d’un tunnel K0 Module volumique initial ou rapport des contraintes au repos K0(NC) Rapport des contraintes au repos pour une argile normalement consolidée K0(OC) Rapport des contraintes au repos pour une argile surconsolidée Ksec Module volumique sécant Kt Module volumique tangent KE Paramètre de Janbu KYoung_Load Paramètre de Duncan & Chang KYoung_ULoud Paramètre de Duncan & Chang KBulk Paramètre de Duncan & Chang LL Limite de liquidité du sol LP Limite de plasticité du sol M Paramètre de Cam-Clay N Matrice des fonctions d’interpolation des déplacements ou paramètre de

Cam-Clay Nϕ Constante matérielle en élastoplasticité Nψ Constante matérielle en élastoplasticité P Ondes sismiques primaires Pa Pression atmosphérique Pr Pression de référence Phi_ini Paramètre de Duncan & Chang : Angle de frottement initial R Paramètre de Jardine

fR Paramètre de HS, HS-Small et de Duncan & Chang : Rapport d’approchement de la rupture

Rmax Paramètre d’hypoplasticité de Masin S Ondes sismiques secondaires, paramètre de Jardine ou encore la surface

d’un élément du maillage Sv Tassement à distance horizontale « y » par rapport à l’axe du tunnel Svmax Le tassement maximal au centre de la cuvette transversale Sh Déplacement horizontal induit par le creusement d’un tunnel Shmax Le déplacement horizontal maximal induit par le creusement d’un tunnel SS Etat limite adopté par le modèle de Duncan & Chang °

T Taux des contraintes en hypoplasticité V Volume d’un élément du maillage VL Perte de volume d’un tunnel W Potentiel du modèle hypoélastique ou teneur en eau du sol X Force selon la direction X-X Y Force selon la direction Y-Y Z Force selon la direction Z-Z Lettres minuscules au Constante adimensionnelle (anisotropie) av Constante adimensionnelle (anisotropie)

Notations

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ah Constante adimensionnelle (anisotropie) c Cohésion du sol cu Cohésion du sol en conditions non drainées ci Cohésion à l’interface cij Constante adimensionnelle (anisotropie) dij Constante adimensionnelle (anisotropie) e Indice des vides f Paramètre de Fahey & Carter

g Paramètre de Fahey & Carter i Abscisse du point d’inflexion de la cuvette des tassements k Paramètre du module de cisaillement initial ou paramètre d’écrouissage en

élastoplasticité kis Rigidité au cisaillement à l’interface kin Rigidité normale à l’interface m Paramètre de HS, HS-Small, Janbu ou encore du module de cisaillement

initial mR Paramètre d’hypoplasticité de Masin mT Paramètre d’hypoplasticité de Masin n Paramètre du module de cisaillement initial nBulk Paramètre de Duncan & Chang ng Paramètre de Fahey & Carter nk Paramètre de Fahey & Carter nYoung Paramètre de Duncan & Chang

'p Pression moyenne effective pi Vecteur dû au chargement appliqué q Contrainte déviatorique qa Asymptote des contraintes déviatoriques à la rupture (HS et HS-Small) qf Contrainte déviatorique à la rupture (HS et HS-Small) r Paramètre d’hypoplasticité de Masin sij Tenseur des contraintes déviatoriques ti Vecteur des conditions aux limites ui Champ des déplacements u Déplacement selon la direction X-X v Déplacement selon la direction Y-Y w Déplacement selon la direction Z-Z z0 Profondeur du centre de tunnel par rapport à la surface du sol Lettres grecques α Paramètre de Jardine ou coefficient de la rigidité au cisaillement

(anisotropie) α1 Coefficient de la rigidité au cisaillement (anisotropie) ou constante

matérielle permettant de définir les paramètres élastiques (K et G) α2 Coefficient de la rigidité au cisaillement (anisotropie) au constante

matérielle permettant de définir les paramètres élastiques (K et G) βr Paramètre d’hypoplasticité de Masin χ Paramètre d’hypoplasticité de Masin δ Paramètre de Jardine δij Delta kronecker εij Tenseur des déformations εe

Déformation élastique

Notations

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εp Déformation plastique

εs Déformation de cisaillement εv Déformation volumique εu Déformation limite dans le modèle de Duncan & Chang γ Déformation de cisaillement, Paramètre de Jardine ou encore poids

volumique du sol, γnat Poids volumique naturel du sol γsat Poids volumique saturé γunsat Poids volumique non saturé

7.0γ Paramètre de HS-Small : Déformation de cisaillement pour laquelle

0sec 7,0 GG ant = η Paramètre de Jardine ϕ Angle de frottement interne du sol ϕc Paramètre d’hypoplasticité de Masin : Angle de frottement critique ϕi Angle de frottement à l’interface κ* Paramètre de Cam-Clay : Pente de l’extension isotrope en configuration

( )[ ]pe ln,1ln + λ Multiplicateur plastique en élastoplasticité λS

Multiplicateur plastique en cisaillement élastoplastique λT

Multiplicateur plastique en traction élastoplastique λd Taux de déconfinement lors du creusement d’un tunnel λ* Paramètre de Cam-Clay : Pente de la compression isotrope en

configuration ( )[ ]pe ln,1ln + ν Coefficient de Poisson urν Coefficient de Poisson en déchargement-rechargement (HS et HS-Small) νhh Coefficient de Poisson pour les déformations horizontales dues aux

déformations dans le même plan νhv Coefficient de Poisson pour les déformations verticales dues aux

déformations horizontales νvh Coefficient de Poisson pour les déformations horizontales dues aux

déformations verticales νi Coefficient de Poisson à l’interface θ Angle entre le chemin des sollicitations suivi et les sollicitations à

appliquer ou l’angle de Lade σij Tenseur des contraintes σ Contrainte normale σconf Contrainte de confinement

Tmaxσ Résistance du sol en traction

τ Contrainte de cisaillement ψ Angle de dilatance du sol ψi Angle de dilatance à l’interface

Introduction générale

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INTRODUCTION GENERALE En milieu urbain, l’estimation de l’influence du creusement d’un tunnel peu profond sur les structures en voisinage est un aspect économique et environnemental important. En effet, la perte de volume en tunnel se répercute dans le massif, créant des mouvements susceptibles d’affecter de manière plus ou moins importante les structures en surface. Dans un premier temps, les mouvements du sol sont estimés par des méthodes empiriques, analytiques ou encore numériques. Compte tenu de leur capacité d’intégrer la complexité de la géométrie, le comportement du sol environnant ou encore les processus du creusement lors de l’évaluation des mouvements engendrés par l’exécution d’un ouvrage souterrain, les méthodes numériques deviennent de plus en plus indispensables en phase de dimensionnement. La pratique des travaux souterrains a d’ailleurs démontré que la plupart des ouvrages sont dans le domaine des petites déformations où le comportement du sol est mal représenté par l’élasticité linéaire isotrope. Une estimation fiable des mouvements de sol nécessite alors l’incorporation de modèles capables de représenter le comportement du sol sous petites déformations. Ce travail de thèse constitue une contribution à l’étude numérique de l’influence de la prise en compte des modules en petites déformations et de l’anisotropie des sols lors du creusement d’un ouvrage souterrain. Pour cela, une série de modèles permettant de simuler la raideur du sol croissante en fonction de la profondeur, la raideur plus élevée sous faibles déformations, la non linéarité du comportement en petites déformations, l’histoire des sollicitations et le radoucissement en grandes déformations a été retenue et implémentée dans le code de calcul en différences finies FLAC3D. Ces modèles ont été ensuite validés sur différents chemins de sollicitations avant qu’ils soient appliqués à la simulation d’ouvrages souterrains peu profonds dans l’argile surconsolidée de Londres. Ce mémoire est composé de neuf chapitres regroupés en trois parties. Dans la première partie, l’étude bibliographique présente le contexte du problème traité et comporte trois chapitres distincts :

Le premier contient des éléments bibliographiques sur la rigidité et l’anisotropie des sols sous sollicitations d’exploitation en passant en revue les différents travaux effectués qui ont permis de mettre en évidence le comportement non linéaire et anisotrope du sol par voie expérimentale. Les facteurs qui influent le plus sur le module du sol et son anisotropie sont ensuite brièvement présentés.

Le deuxième chapitre présente les principaux modèles de comportement visant à représenter la rigidité et l’anisotropie des sols lors de la simulation numérique.

Le chapitre 3 contient des éléments bibliographiques sur le creusement d’ouvrages souterrains dans un milieu urbain. Il présente les principales méthodes d’exécution, les mouvements engendrés par le processus du creusement et les méthodes dont on dispose afin de prévoir les déplacements dans le massif environnant.

La deuxième partie concerne les outils numériques pour la suite de l’étude et rassemble deux chapitres :

Le chapitre 4 présente de manière succincte les deux codes de calculs utilisés dans la thèse.

Le chapitre 5 est dédié aux modèles de comportement mis en œuvre dans FLAC3D afin de simuler les aspects du comportement qui influent le plus sur la prédiction des déplacements du massif environnant lors de la simulation d’un tunnel peu

Introduction générale

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profond. Suivant un chemin de sollicitation triaxial, les premiers éléments de validation des modèles introduits ainsi que des études paramétriques sur leurs paramètres sont présentés.

La troisième partie regroupe quatre chapitres et présente la validation des modèles adoptés sur différents chemins de sollicitations en confrontant la modélisation numérique de quelques ouvrages géotechniques types à des grandeurs expérimentalement mesurées in situ.

Le chapitre 6 présente la validation des modèles introduits sur le chemin de sollicitation le plus simple, il s’agit de la simulation des fondations superficielles. Ce chapitre traite deux cas d’étude : des fondations expérimentales dans un sol résiduel au Brésil où on s’intéresse à la prédiction de la courbe de tassement engendré par l’application d’un chargement statique monotone. Le deuxième cas porte sur la modélisation d’un essai de chargement réalisé à l’université de Texas A&M où on possède de nombreuses informations sur le comportement du sol en « déchargement-rechargement » et en faibles déformations.

Le chapitre 7 est consacré à la modélisation d’un essai de chargement d’un pieu instrumenté en Allemagne. Dans cette configuration, le chargement sur la tête du pieu est simple mais les frottements le long du pieu s’avèrent complexes à reproduire.

Le chapitre 8 s’intéresse à la simulation d’une paroi de soutènement encastrée et bien instrumentée. Cette excavation se trouve à Taipei (Taiwan). Les améliorations apportées à la simulation en utilisant des modèles non linéaires sont présentées.

Le chapitre 9 porte sur la modélisation du creusement du tunnel-hall central à l’aéroport d’Heathrow (Londres). Ce chantier présente les conditions nécessaires à l’application des modèles implémentés. Il a donc été retenu comme projet support pour notre étude. Toutefois, la surconsolidation et l’anisotropie de l’argile de Londres héritées de son histoire géologique et marquées par un coefficient de contraintes au repos (k0) proche de 2,8 près de la surface est atypique. Après une présentation générale du projet, des instrumentations mises en place afin d’assurer le suivi des mouvements du sol, les conditions géologiques et géotechniques in situ seront présentées. Enfin, on s’intéresse à la modélisation numérique du tunnel-hall central à l’aide des différents modèles de comportement. L’impact des différents modèles pour représenter l’argile de Londres est évalué et discuté.

Partie I : Etude bibliographique

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PARTIE I

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

Partie I : Etude bibliographique

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La première partie de cette thèse est consacrée à l’étude bibliographique des trois thématiques fondamentales du travail mené. Dans le premier chapitre, on met en évidence le comportement non linéaire et anisotrope des sols. Les différentes méthodes visant à mesurer le module et les propriétés du sol sous petites déformations sont présentées et discutées. A la fin du premier chapitre, les facteurs qui influent sur le module et l’anisotropie du sol sont brièvement présentés. Les modèles de comportement développés pour simuler le comportement des sols sont abordés dans le deuxième chapitre avec un accent sur la simulation du comportement non linéaire et anisotrope. Le troisième chapitre est dédié au creusement d’ouvrages souterrains dans un environnement urbain, les méthodes d’exécution, le mouvement engendré ainsi que les méthodes d’évaluation du mouvement sont présentées. A l’issue de cette partie, la problématique et les objectifs principaux de la thèse sont énoncés.


Partie I : Etude bibliographique - 27 -

Chapitre 1

Rigidité et anisotropie des sols sous sollicitations d’exploitation



SOMMAIRE

1 INTRODUCTION ............................................................................................... 29 2 EVIDENCE DU COMPORTEME NT NON LINEAIRE ET DE L’ANISOTROPIE DES SOLS................................................................................... 29

2.1 La non linéarité ............................................................................................................. 29 2.1 L’anisotropie ................................................................................................................. 31

3 MESURES DES PROPRIETES DU SOL SOUS PETITES DEFORMATIONS 34

3.1 Mesures en laboratoire................................................................................................... 34 3.1.1 Jauges locales .....................................................................................................................35 3.1.2 Bender éléments ..................................................................................................................35 3.1.3 Colonne résonnante et cylindre creux ..................................................................................35

3.2 Mesures in situ .............................................................................................................. 35 3.2.1 Essai Cross-Hole sismique...................................................................................................36 2.2.2 Essai Down-Hole sismique...................................................................................................36 3.2.3 Cône et dilatomètre plat sismiques.......................................................................................36 3.2.4 Analyse spectrale des ondes de surface ................................................................................37 3.2.5 L’essai de pressiomètre autoforeur ......................................................................................37 3.2.6 L’essai à la plaque ..............................................................................................................37 3.2.7 L’essai triaxial in situ ..........................................................................................................37

3.3 Mesures des propriétés d’un sol anisotrope .................................................................... 37 3.4 Conclusion sur la mesure des propriétés du sol .............................................................. 38

4 EN REALITE, LE DOMAINE ELASTIQUE « LINEAIRE » EXISTE-IL ? ... 39 5 LES FACTEURS QUI INFLUENT SUR LA RAIDEUR ET L’ANISOTROPIE DES SOLS .................................................................................................................. 40

5.1 Indice des vides ............................................................................................................. 41 5.2 Etat de contraintes et surconsolisation du sol ................................................................. 41 5.3 Structure interne du sol .................................................................................................. 43

5.3.1 Impact de la différence de structure entre argiles naturelles et reconstituées........................43 5.3.2 Impact du tissu anisotrope ...................................................................................................43

5.4 Histoire récente et direction des sollicitations ................................................................ 44 6 CONCLUSION ................................................................................................... 48



1 INTRODUCTION Avant les années 1980, la pratique de la prédiction des déformations de sol sous sollicitations d’exploitation était fondée sur l’hypothèse de l’élasticité linéaire pour représenter le comportement du sol. Dans la théorie de l’état caractéristique, qui a été utilisée avec succès pour la prédiction du comportement de l'argile normalement consolidée, le comportement du sol à l’intérieur de la surface de charge est supposé élastique. Toutefois, l’évolution considérable de l’instrumentation en laboratoire et in situ a révélé que le comportement du sol (surtout surconsolidé) est fortement non linéaire et peu élastique. Au cours des deux dernières décennies, la compréhension relative du comportement de sol sous petites déformations s’est considérablement développée et il est maintenant bien connu qu’il existe une grande variété de facteurs qui affectent la rigidité du sol sous petites déformations. Ce chapitre présente une synthèse bibliographique sur la rigidité et l’anisotropie des sols sous petites déformations. Après avoir constaté les limites des essais conventionnels, l’évolution des techniques en laboratoire et in situ qui ont contribué à mettre en évidence le comportement du sol avant la rupture dans la pratique est passée en revue. Ensuite, on aborde la raideur de sol sous très petites et petites déformations. Les facteurs qui influent le plus sur le module et l’anisotropie du sol sont présentés et discutés.

2 EVIDENCE DU COMPORTEMENT NON LINEAIRE ET DE L’ANISOTROPIE DES SOLS

2.1 La non linéarité

Dans les années soixante-dix, les mesures conventionnelles de la rigidité de l’argile surconsolidé en laboratoire ont montré des valeurs beaucoup plus faibles que celles estimées par l’analyse in situ des ouvrages géotechniques (Fig. 1.1). Des différences similaires ont également été découvertes lors de la confrontation des données de rigidité obtenues en laboratoire à celles provenant d’essais in situ. A l’époque, les faibles valeurs de rigidité déterminées en laboratoire ont été attribuées à la perturbation de l’échantillon testé. Du coup, l’utilisation de mesures en laboratoire comme une méthode fiable pour déterminer la raideur du sol in situ a été mise en cause. Cependant, les développements considérables dans le domaine de mesures de la rigidité de sol en laboratoire ont montré que les écarts étaient dus à des mesures imprécises sous petites déformations (Costa-Filho et Vaughan, 1980 ; Burland et Symes, 1982 ; Jardine et al, 1984). Jardine et al. (1985) ont démontré que lorsque la cellule triaxiale est équipée par des moyens de mesures locales, les mesures de la rigidité en laboratoire deviennent en accord avec les données in situ. Les figures 1.2 et 1.3 présentent deux exemples de confrontation des mesures externes aux mesures effectuées à l’aide des jauges locales par respectivement Jardine et al, (1984) et Izumi et al, (1997). Burland (1989) a mis l’accent sur l’importance du comportement non linéaire du sol sous petites déformations. En effet, il a examiné les déplacements de différents ouvrages géotechniques sous sollicitations d’exploitation et constaté que la déformation du sol est généralement inférieure à 0,1%, domaine où le comportement du sol est fortement non linéaire. Par conséquent, la non-linéarité de sol sous petites déformations joue un rôle très important lors du dimensionnement d’ouvrages géotechniques.



Figure 1.1 – Confrontation des mesures en laboratoire aux données in situ dans les années soixante-

dix (St. John, 1975)

Figure 1.2 – Mesures externes versus mesures locales (Jardine et al, 1984)

Figure 1.3 – Mesures externes versus mesures locales (Izumi et al, 1997)



En se basant sur les résultats des tests d’une argile reconstituée peu plastique, Jardine (1985 ; 1992) propose un schéma simplifié (Fig. 1.4) pour simuler le comportement du sol testé avant la rupture. Il a été suggéré qu’il existe trois zones distinctes de comportement limitées par Y1 (déformations environ 0,001%) et Y2 (déformations autour de 1%). Ces limites sont cinématiques (elles se déplacent avec le point de chargement effectif). Le comportement dans la zone I est supposé élastique linéaire. Dès que la limite Y1 est atteinte, le comportement de sol devient non linéaire et hystérétique, mais les cycles de chargement-déchargement montre une réversibilité. Lorsque la surface Y2 est engagée (Zone III), des déformations irréversibles commencent à se développer. La valeur de ces déformations devient plus importante lorsqu’on s’approche de la surface BS (Boundary Surface).

Figure 1.4 – Schéma simplifié des limites cinématiques de déformations (Jardine, 1992)

2.1 L’anisotropie

Dans la conception d’ouvrages géotechniques spécifiques comme les plateformes, les excavations profondes, les barrages ou encore les remblais construits en plusieurs phases, il existe des conditions critiques dans lesquelles non seulement les grandeurs mais aussi les directions des axes de contraintes principales doivent être envisagées. L’anisotropie se réfère à la dépendance directionnelle des propriétés des matériaux. L’influence de l’anisotropie sur le comportement des sols a été largement reconnue depuis le début des années 1970 (e.g. Bjerrum, 1973 ; Arthur et al, 1980 ; Saada et Townsend, 1981 ; Jamiolkowski et al, 1985) et plusieurs rapports de recherche concernant le comportement mécanique anisotrope des sols ont été publiés (Saada et Puccini, 1987 ; Saada, 1988 ; Saada et al, 1993 ; Jardine et al, 1997 ; Tatsuoka et al, 1997 ; Jardine et al, 2001 ; Leroueil et Hight et al, 2003 ; Jardine et al, 2004). L’origine de l’anisotropie remonte à l’échelle micro-structurelle des sols qui comprend l’arrangement, la distribution des vides et la nature des contacts entre les particules. De nombreux sols ont été déposés sur des zones de grande étendue latérale et les déformations qu’ils ont subies par la suite de dépôt ont été essentiellement unidimensionnelles. La conséquence est que les propriétés de ces matériaux sont souvent différentes horizontalement que celles verticalement, ce qui nous amène loin de l’hypothèse de l’isotropie. Avec un seul axe de symétrie vertical, le type le plus commun de l’anisotropie est généralement appelé anisotropie transversale (Graham & Houlsby, 1983). La relation entre les incréments de contraintes et ceux de déformations pour un matériau à un axe vertical de symétrie est décrite par l’équation suivante :



⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

zx

yz

zz

yy

xx

hh

hv

hv

vh

hv

h

hv

v

vh

hh

hh

v

vh

h

hh

h

xy

zx

yz

zz

yy

xx

dddddd

G

G

G

EEE

EEE

EEE

dddddd

τττσσσ

νν

νν

νν

γγγεεε

1.....

.1....

..1...

...1

...1

...1

(1-1)

où les incréments de contraintes et les incréments de déformations se réfèrent aux axes cartésiens avec l’axe z vertical. Ceci permet de distinguer deux directions horizontales, mais les propriétés du matériau sont identiques dans les deux directions. Les sept paramètres élastiques que l’équation (1-1) montre sont définis comme suivant :

• Ev : Module d’Young dans le sens vertical ; • Eh : Module d’Young dans le sens horizontal ; • νvh : Coefficient de Poisson pour les déformations horizontales dues aux

déformations verticales ; • νhv : Coefficient de Poisson pour les déformations verticales dues aux déformations

horizontales ; • νhh : Coefficient de Poisson pour les déformations horizontales dues aux

déformations de la même direction ; • Ghv : Module de cisaillement dans le plan vertical (Ghv = Gvh) et ; • Ghh : Module de cisaillement dans le plan horizontal.

Cependant, ces paramètres ne sont pas entièrement indépendants car le plan horizontal est un plan d’isotropie, ce qui nous amène à écrire le terme Ghh en fonction des deux paramètres Eh et νhh :

( )hh

hhh

EG

ν+=

12 (1-2)

Pour un matériau élastique, les principes de la thermodynamique exigent que la matrice de conformité soit symétrique (Love, 1927). Par conséquent, les paramètres du troisième ligne et troisième colonne peuvent être assimilés, ce qui donne :

v

vh

h

hv

EEνν

= (1-3)

Une des principales hypothèses de l’anisotropie transversale est que le module de cisaillement dans le plan vertical est indépendant du mode de cisaillement normal à ce plan, c'est-à-dire Gvh=Ghv (mais Gvh#Ghh). Toutefois, cette condition semble s’appliquer



principalement à certains géomateriaux essentiellement granulaires soumis à des contraintes isotropes. Pennington et al, (1997) reportent plusieurs résultats d’essais sur l’argile naturelle et reconstituée de Gault (argile limoneuse surconsolidée). Les auteurs trouvent que Gvh=Ghv pour tous les niveaux de contraintes, tandis que Ghh est constamment plus grand que Gvh (environ 50% plus grand), même à des contraintes plus élevées. Jovici et Coop (1998) ont obtenu des résultats similaires sur des échantillons de kaolin et de l’argile de Londres testés avec l’appareil triaxial, comme l’ont aussi trouvé Fioravante et Capoferri (2001) mais sur des échantillons de sable isotropiquement confiné. Ainsi, une description complète d’un matériau transversalement anisotrope nécessite cinq paramètres indépendants généralement choisis en tant que Ev, Eh, νvh, νhh et Ghv comme le montre l’équation (1-4)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−−

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

zx

yz

zz

yy

xx

h

hh

hv

hv

vh

hv

v

vh

v

vh

hh

hh

v

vh

h

hh

h

xy

zx

yz

zz

yy

xx

dddddd

E

G

G

EEE

EEE

EEE

dddddd

τττσσσ

ν

νν

νν

νν

γγγεεε

)1(2.....

.1....

..1...

...1

...1

...1

(1-4)

Bien que les cinq paramètres soient indépendants, il existe des bornes sur les valeurs qu’ils peuvent prendre en raison de l’exigence de la positivité de l’énergie thermodynamique d’un matériau élastique. Pickering (1970) a montré que chacun des paramètres Ev, Eh et Ghv doit être positif et que -1 < νhh < 1. Il a également montré que les paramètres Ev, Eh, νvh et νhh doivent satisfaire l’inégalité donnée par Raymond (1970). Les deux conditions peuvent être exprimées plus convenablement par l’inégalité :

( ) 021 2 ≥−− vhhhh

v

EE

νν (1-5)

Raymond (1970) a aussi montré que Ghv est gouverné par l’expression :

( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−++

≤22 11/2)1(2 vh

v

hhhhvhhvh

vhv

EE

EE

EG

νννν

(1-6)



3 MESURES DES PROPRIETES DU SOL SOUS PETITES DEFORMATIONS Aujourd’hui, il est admis que la relation contrainte-déformation des sols est fortement non linéaire (Atkinson et Sallfors 1991; Simpson 1992; Tatsuoka et Kohata 1995). La construction des murs de soutènement, des fondations et des tunnels dans des sols raides induit une large variation de raideur des sols (Mair, 1993; Ng et Lings 1995). La déformation maximale à laquelle le sol présente un comportement presque entièrement élastique est très petite (de l’ordre de 10-6). La raideur du sol associée à cette phase de déformation est une propriété fondamentale de tous les types de géomatériaux sous sollicitations statiques et dynamiques (Burland, 1989) et sous conditions drainées et non drainées (Lo Presti et al, 1996). Sous déformations plus importantes, la raideur se dégrade non linéairement. Sur une échelle logarithmique (Fig. 1.5), la courbe qui désigne la dégradation de la raideur de sol constitue une courbe caractéristique de la forme d’un « S ». Atkinson et Sallfors (1991) ont défini trois phases de déformations : très petites (0,001% ou moins), petites (entre 0,001 et 1%) et grandes déformations (plus que 1%). La plus petite déformation de cisaillement qui peut être déterminée d’une manière fiable grâce aux essais conventionnels de mécanique des sols (essais triaxiaux et oedométriques par exemple) sans instrumentation particulière est de l’ordre de 10-3.

Figure 1.5 – Rigidité du sol sous différentes phases de déformations et leur détermination

(Atkinson et Sallfors, 1991 ; Mair, 1993) La limite d’essais classiques de laboratoire coïncide avec des déformations de cisaillement qui peuvent être mesurées à proximité des ouvrages géotechniques (Fig. 1.5). Evidemment, pour une prévision fiable des déplacements, l’analyse doit correctement tenir compte de la rigidité de sol et de sa non-linéarité sous faibles déformations. A ce jour, la raideur du sol en petites déformations n’a pas été largement mise en œuvre dans la pratique à cause des difficultés concernent leur mesure, leur modélisation et la manque de retour d’expérience (Thepot, 2004).

3.1 Mesures en laboratoire

Les mesures en laboratoire sont déduites d’appareils triaxiaux équipés par des jauges locales (Jardine et al, 1984) ou bender éléments (Shirley & Hampton, 1978 ; Dyvik & Madshus, 1985 ; Brignoli et al, 1996), de colonne résonnante (Hardin & Drnevich, 1972b) et d’essais



au cylindre creux (Broms & Casbarian, 1965 ; Pham Van Bang, 2004 ; Rolo, 2003). Le choix d’une technique de mesure en laboratoire est plutôt lié à la géométrie de l’échantillon. A tire d’exemple, l’essai à la colonne résonnante ou au cylindre creux est à priori adopté pour tester les échantillons cylindriques.

3.1.1 Jauges locales Au-delà de 0,1% de déformation, la rigidité sécante peut être mesurée avec une précision raisonnable lors de l’essai triaxial en utilisant des jauges de déplacements locales montées d’une manière conventionnelle à l’extérieur de la cellule. La précision de mesure peut être améliorée par la réduction de l’erreur concernant l’appui, l’installation de l’échantillon et le mauvais alignement (Gasparre, 2005). Seules les jauges locales attachées directement à l’échantillon sont capables de donner des mesures fiables à la rigidité entre 0,001% et 0,1% de déformations (Jardine et al, 1984).

3.1.2 Bender éléments Les « bender éléments » ont été mis au point pour mesurer la vitesse des ondes de cisaillement qui traversent le sol tendre (Shirley & Hampton, 1978; Dyvik & Madshus, 1985). Les éléments ont été modifiés et mis au point pour tester le sol raide et la roche tendre par Viggiani et Atkinson (1995) et Jovicic (1997). La distance effective parcourue par l’onde de cisaillement est la distance entre les deux pointes des éléments (Gasparre, 2005). Par rapport aux jauges locales, l’inconvénient évident des bender éléments est leur restriction aux très petites déformations (environ 10-6).

3.1.3 Colonne résonnante et cylindre creux Grâce à ce type d’essais, on peut appliquer des forces de cisaillement en plus des forces axiales couramment appliquées dans l’appareil triaxial. La différence fondamentale entre la colonne résonnante et l’essai au cylindre creux est la fréquence et l’amplitude des sollicitations. Les essais au cylindre creux sont statiques, quasi-statiques ou cycliques. Au début de cet essai, l’axe du cylindre confine l’échantillon qui est ensuite cisaillé par une rotation de la plaque extrême de l’appareil. Néanmoins, les essais à la colonne résonnante sont cycliques : Un échantillon cylindrique confiné axialement est ramené à un mode fondamental de vibration au moyen d’excitation de torsion ou longitudinale. Une fois le mode fondamental de la fréquence de résonance établi, la mesure de la fréquence de résonance peut être liée à la rigidité de la colonne à la base de la théorie de l’élasticité qui permet l’obtention d’une réponse satisfaisante sous très petites déformations.

3.2 Mesures in situ

Le principe de mesure de la rigidité maximale du sol in situ est fortement basé sur la géophysique. Des essais sismiques de type Cross-Hole (Stokoe & Woods, 1972), de Down-Hole (Woods, 1978), de cône (Robertson et al, 1986), l’essai de dilatomètre plat (Hepton, 1989) et l’analyse spectrale des ondes de surface (Stokoe et al, 1994) sont les plus couramment utilisés. Pour mesurer la raideur du sol sous petites déformations, il existe d’autres méthodes telle que le pressiomètre autoforeur (Windle et Wroth, 1977 ; Fahey, 1998), l’essai à la plaque (Burland et al, 1973) ou encore l’essai triaxial in situ (Nguyen Pham, 2008). La figure 1.6 présente un schéma des méthodes dynamiques couramment utilisées.



Ondes de surfaceSource

Récepteur

Up-Hole Down-Hole Cône sismique Cross-Hole

Cône

Réfraction Réflexion Figure 1.6 – Schéma des principales méthodes dynamiques pour mesurer la rigidité du sol in situ

3.2.1 Essai Cross-Hole sismique L’essai de type Cross-Hole sismique est sans doute l’essai le plus fiable pour déterminer la rigidité du sol sous très petites déformations, mais il est aussi le plus coûteux. La mise en œuvre de cet essai nécessite au moins deux forages verticaux. Une source énergétique est descendue dans l’un des forages jusqu’à la profondeur souhaitée tout en plaçant des récepteurs à la même profondeur dans son voisinage. L’onde arrive au récepteur et on détermine la vitesse de propagation des ondes horizontales. La rigidité horizontale du sol traversé par le signale peut ensuite être déterminée.

3.2.2 Essai Down-Hole sismique L’essai de type Down-Hole sismique ne nécessite qu’un seul forage vertical dans lequel une chaîne de récepteurs est mise en place. La source d’énergie, généralement un coup de marteau contre une plaque d’acier se trouve à la surface. Cet essai permet de mesurer la rigidité verticale du sol. En plaçant la chaîne de récepteurs à différentes profondeurs, on peut déduire la raideur de différentes couches de sol. Par rapport à l’essai sismique de type Cross-Hole, la gêne occasionnée par la source d’énergie et le coût de percement de plusieurs forages sont éliminés.

3.2.3 Cône et dilatomètre plat sismiques Les cônes et les dilatomètres plats sismiques disponibles sont hybrides. Ils combinent respectivement l’essai de type Down-Hole sismique forage et le dilatomètre plat. Au lieu de placer les récepteurs sismiques dans un trou pré-foré, ils sont poussés dedans et la source énergétique est située à la surface comme dans l’essai Down-Hole sismique. L’intérêt d’utiliser la version sismique de ces essais est de mesurer la rigidité de sol sous très petites déformations qui n’est pas mesurable directement par les essais standards.



3.2.4 Analyse spectrale des ondes de surface Dans cette technique, la source et les récepteurs se situent à la surface. Au lieu d’analyser le temps parcouru par les ondes sismiques P et S comme dans la plupart des autres techniques, cette technique utilise le caractère de dispersion des ondes de surface dans un milieu. Une onde plus longue à basse fréquence pénètre le milieu plus profondément qu’une onde à haute fréquence. La facilité et la rapidité de cette technique sur site combinée avec un traitement automatisé des données acquises et l’analyse inverse rendent probablement cette technique la plus efficace pour mesurer la rigidité de sol in situ sous très petites déformations.

3.2.5 L’essai de pressiomètre autoforeur Le pressiomètre autoforeur élimine en partie le remaniement dû au forage préalable à l’essai pressiométrique Ménard par le principe de l’autoforage. L’essai permet d’obtenir des résultats intéressants dans le domaine des déformations de l’ordre de 0,1 à 0,3%.

3.2.6 L’essai à la plaque Cet essai est couramment utilisé pour l’étude des tassements ou pour obtenir le module d’une plate-forme routière. L’interprétation de l’essai bute sur les mêmes problèmes que ceux de l’essai pressiométrique, avec une difficulté supplémentaire liée à la plus grande complexité du champ de déformation du sol.

3.2.7 L’essai triaxial in situ L’idée de base de l’essai triaxial in situ est de reproduire les conditions de chargement d’un essai triaxial de laboratoire dans le sol intact en place où on peut supposer que l’échantillon testé n’a pas été remanié. Les jauges locales associées rendent l’essai apte à détecter les petites déformations (entre 0,001% et 0,1%) mesurées en laboratoire. Néanmoins, les premières validations de l’essai in situ montrent qu’il reste encore des difficultés à affranchir avant que cet essai prenne sa place dans les essais in situ.

3.3 Mesures des propriétés d’un sol anisotrope

Pour étudier le comportement anisotrope et les caractéristiques de résistance des géomatériaux, il est nécessaire d’avoir un dispositif permettant le suivi et le contrôle non seulement des contraintes principales, mais aussi de l’inclinaison de l’axe de contrainte principale majeure. Le dispositif d’essai permet également le contrôle des conditions de drainage afin que les deux essais drainés et non drainés puissent être effectués (Rolo, 2003). En raison de leur polyvalence, les essais de torsion au cylindre creux deviennent un outil de recherche de plus en plus répandu dans le monde entier (Rolo, 2003 ; Pham Van Bang, 2004 ). Ces essais semblent être bien adaptés à l’étude de l’anisotropie du sol. Des échantillons creux sont soumis à une charge axiale, un couple et des pressions intérieures et extérieures. Il est également possible de contrôler (ou de mesurer) la pression interstitielle de l’eau et d’appliquer une contre-pression, ce qui implique que l’essai de torsion au cylindre creux peut être utilisé pour simuler les conditions dans l’appareil triaxial et l’essai en déformations planes. Les principaux inconvénients qui ont été attribués à l’essai au cylindre creux sont liés aux contraintes et déformations aux limites de l’échantillon ainsi que la courbure de l’échantillon. La complexité de l’essai limite aussi son utilisation aux milieux académiques.



D’autres dispositifs tels que la cellule triaxiale (Fig. 1.7), l’appareil en déformations planes, le cisaillement simple et le vrai triaxial ont également été utilisés pour étudier l’anisotropie du sol. La plupart de ces dispositifs ont toutefois, une portée plutôt limitée en terme d’état de contraintes et des chemins de chargement possibles. Néanmoins, l’instrumentation à haute résolution équipée par la technique des jauges locales a permis la détermination des propriétés anisotropes importantes de divers sols.

Figure 1.7 – La cellule triaxial pour étudier l’anisotropie du sol (Kuwano et Jardine, 2002)

3.4 Conclusion sur la mesure des propriétés du sol

Aujourd’hui, on dispose de moyens satisfaisants pour évaluer les paramètres du sol à différents stades de déformation. Les moyens de mesures sont généralement classés en deux catégories : les mesures effectuées en laboratoire et celles effectuées in situ. Les sols testés in situ sont supposés soumis à moins de remaniement que les éprouvettes de laboratoire. Les essais en laboratoire présentent quelques avantages : les conditions aux limites sont bien définies, le contrôle du drainage est assuré, le chemin de contraintes est bien connu, la nature du sol est identifiée. Ils permettent en plus d’identifier plusieurs aspects du comportement du sol (isotropie, anisotropie, effet du temps, influence de l’histoire de chargement, …) Dans certaines conditions telle que dans l’argile surconsolidée fissurée, les essais in situ en vraie grandeur sont nécessaires pour estimer les caractéristiques du sol d’une façon réaliste. Actuellement, la plupart des essais en place se déroulent de manière rapide et économique. Toutefois, la question des conditions initiales in situ et le chemin de contraintes qui ne sont pas connus ni maîtrisés s’impose lors de l’utilisation de ce type de mesures.



4 EN REALITE, LE DOMAINE ELASTIQUE « LINEAIRE » EXISTE-IL ? L’idéalisation du comportement de sol précédemment discutée implique que le comportement de sol sous très petites déformations est élastique linéaire. Une telle hypothèse est particulièrement intéressante en raison de sa simplicité conceptuelle, mais la question qui se pose est de savoir si une telle région existe bien en réalité. En effet, l’hypothèse de l’élasticité linéaire en très petites déformations est issue des observations qui démontrent que les valeurs initiales de la rigidité du sol mesurée dans les appareils triaxiaux équipés par des jauges locales ont été comparables aux valeurs obtenues par les essais dynamiques dans lesquels le comportement du sol est supposé élastique linéaire. A titre d’exemple, sont confrontés sur la figure 1.8, les résultats d’essai à la colonne résonnante (RC) aux résultats d’essais triaxiaux (TX). Des études plus récentes (Lings et al, 2000) ont démontré que les mesures des triaxiaux sous conditions non drainées ne sont comparables aux résultats dynamiques que dans le cas d’un sol isotrope.

Figure 1.8 – Rigidité de sol : Comparaison entre les résultats d’essais triaxiaux et la colonne

résonnante (Georgiannou et al, 1991) Un autre exemple de la confrontation est donné par la figure 1.9 qui montre pour trois types de sol très différent (craie, l’argile de Londres et l’argile de Bothkennar) la partie initiale du module de cisaillement obtenu par la technique de mesures locales de déformations sous conditions drainées (Clayton et Heymann, 2001). La rigidité des trois sols semble être constante jusqu’à environ 0,001% de déformations. Le plateau prouve la linéarité du comportement de sol dans cette phase.



Figure 1.9 – La partie initiale de la rigidité de sol pour trois types de sol (Clayton et Heymann,

2001)

5 LES FACTEURS QUI INFLUENT SUR LA RAIDEUR ET L’ANISOTROPIE DES SOLS Il existe un grand nombre de facteurs qui influent sur la raideur et l’anisotropie des sols. Jardine (1995) a classé les facteurs qui affectent sensiblement les caractéristiques sous petites déformations d’un sol sédimenté en deux catégories principales : La première est liée à la nature du sol et de son histoire géologique. Elle comprend plusieurs facteurs tels que la structure interne du sol, sa composition, les propriétés des particules qui constituent le sol, le tissu du sol, son indice des vides, les transformations chimiques associées à la liaison et la cimentation des particules, l’histoire du chargement, l’état de contraintes actuel. La deuxième catégorie est liée à l’évolution de l’état de contraintes actuel. Elle comprend le chemin de sollicitations et sa trajectoire, les conditions de drainage, le taux de chargement et les conditions aux limites entre autres. Ces facteurs ont des effets mesurables sur la réponse de la plupart des géomatériaux en très petites et en petites déformations. Les plus



importants seront examinés ici. Une revue plus approfondie peut être trouvée dans Atkinson et Sallfors (1991), Jardine (1995) et Heymann (1998).

5.1 Indice des vides

La rigidité élastique d’un sol sédimenté augmente systématiquement lorsque la densité du sol augmente, c’est-à-dire l’indice des vides diminue. Afin de confronter le module de cisaillement des échantillons comparables à des densités différentes, plusieurs auteurs (Hardin et Richart, 1963 ; Hardin et Black, 1969 ; Kokusho et al, 1982 ; Jamiolkowski et al, 1995 ; Porovic, 1995 ; Shibuya et al, 1997) ont proposé la normalisation par certaines fonctions. Néanmoins, le choix d’une fonction pour la normalisation peut affecter considérablement la prédiction du module de cisaillement (Kuwano, 1999).

5.2 Etat de contraintes et surconsolisation du sol

Si le sol est idéalisé par un assemblage de sphères élastiques, le travail théorique de Hertz et Mindlin (rapporté par Richard et al, 1970) suggère que la rigidité du sol varie en fonction de la pression effective moyenne (p’) élevé à une puissance (n) égale à un tiers. Viggiani et Atkinson (1995) suggèrent que le sol sous très petites déformations suit la théorie des sphères élastiques, toutefois, sous larges déformations le cas purement frictionnel est à appliquer. L’expérimentation montre que sous très petites déformations, le coefficient de puissance, n, est supérieur à 1/3 ce qui pourrait être attribué à la différence de taille des particules et à la présence d’angularité dans un vrai sol (Jovicic, 1997). Un certain nombre d’équations ont été proposées dans la littérature pour calculer la rigidité sous très petites déformations. Dérivées des bases théoriques, ces relations sont généralement issues d’essais dynamiques et semi-empiriques. Hardin et Black (1968), se basent sur les résultats de la colonne résonnante sur un kaolin normalement consolidé et l’argile de Boston, et proposent la relation suivante pour la rigidité au cisaillement en très petites déformations :

npeFTAG ′= )()(0 (1-7) où F(e) est une fonction de l’indice des vides, n, est un exposant qui vaut 0,5 pour les matériaux testés et A(T) est la constante qui regroupe l’influence de l’ensemble des autres facteurs. Pour tenir compte de la surconsolidation d’un sol, Hardin et Black (1969) proposent la relation suivante :

knOCRpeFTAG ′= )()(0 (1-8) Dans cette équation, OCR est le ratio de la surconsolidation et k est un exposant qui dépend de l’indice de plasticité du sol. En 1978, Hardin combine l’équation 1-8 au travail de Janbu (1963) et la relation élastique sous petites déformations proposée par Rowe (1971) et en déduit l’équation plus générale suivante :



na

kn POCRpeFTAG −′= 10 )()( (1-9)

L’introduction de la pression atmosphérique Pa dans cette équation rend le coefficient A(T) adimensionnel. Basé sur des résultats triaxiaux adoptant la technique de bender éléments d’un sol reconstitué, Viggiani et Atkinson (1995) proposent l’équation suivante pour calculer la rigidité de cisaillement sous petites déformations :

mn

rr

RPPA

PG

00

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′= (1-10)

où Pr est la pression de référence qui vaut généralement 1 kPa et A, n et m sont des paramètres adimensionnels. Ils dépendent de l’indice de la plasticité. mR0 dans l’équation 1-10 est le ratio de la surconsolidation. Sous grandes déformations, le sol est vu comme un assemblage de particules rigides dans lequel la rigidité varie linéairement avec la pression effective moyenne et n est égale à l’unité (Gens, 1982). Pour un sol anisotrope, Jardine et al, (2001) expliquent sur le sable de la rivière d’Ham, de Dunkerque et de Glass Ballotini, et après avoir pris en compte les différences d’indice des vides, que :

- E’v varie seulement avec (σ’v)α1 ; - E’h dépend de (σ’h) α1 ; - E’u varie avec (σ’v) α1 ; - Gvh dépend de deux contraintes : (σ’v)0,35 et (σ’h)0,2 ; - Ghh dépend seulement de (σ’h) α2

avec α1 entre 0,5 et 0,6 et α2 entre 0,53 et 0,68. Roesler (1979) et Kuwano (1999) ont employé des relations empiriques de la forme suivante pour généraliser les paramètres de la dépendance contrainte-rigidité :

au

ruu P

PDeFE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′= ).( (1-11)

av

r

vvv P

DeFE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

').('

σ (1-12)

ah

r

hhh P

DeFE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

').('

σ (1-13)

ijij d

r

h

c

r

vij

ij

PPD

eFG

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

'')(

σσ (1-14)



Dans ces relations, Du, Dv, Dh, au, ah, cij et dij sont des constantes adimensionnelles du matériau.

5.3 Structure interne du sol

Deux questions concernant l’influence de la structure du sol sur sa rigidité sont discutées : L’effet des différentes structures et l’anisotropie que les argiles naturelles possèdent par rapport aux sols reconstitués.

5.3.1 Impact de la différence de structure entre argiles naturelles et reconstituées

Rampello et Silvestri (1993) ont examiné sous très petites déformations la rigidité de l’argile naturelle et reconstituée de Vallericca, une argile raide surconsolidée à la colonne résonnante. Ils ont montré que la raideur des échantillons naturels est généralement plus élevée que celle des échantillons reconstitués. Les auteurs montrent ensuite que lorsque les données de rigidité sont normalisées par la pression équivalente ou par une pression isotrope appropriée, la rigidité du sol naturel et reconstitué sont proches. Sous petites déformations, Cotecchia et Chandler (1997) ne trouvent sur l’argile raide surconsolidée de Pappadai qu’un petit écart entre les deux rigidités normalisées (G/(P’)n) lorsqu’elles sont représentées par rapport au ratio de la surconsolidation isotrope. Coop et al. (1995) trouvent des résultats similaires sur l’argile surconsolidée de Boom.

5.3.2 Impact du tissu anisotrope En raison de la façon dont ils ont été déposés, les sols sont souvent supposés se comporter transversalement anisotrope sous petites déformations. Cela signifie qu’ils sont symétriques autour de l’axe vertical et se comportent de la même manière dans l’une des deux directions horizontales et différemment dans le sens vertical. Jamiolkowski et al. (1995) ont étudié l’anisotropie de six argiles naturelles sous très petites déformations sous le chemin oedométique. L’appareil est équipé par la technique des bender éléments, ce qui a rendu possible la mesure des vitesses de propagation d’ondes de cisaillement selon trois différentes directions. Ils ont constaté que le rapport module de cisaillement dans le plan horizontal sur celui dans le plan vertical (Ghh/Ghv), qui exprime le degré de l’anisotropie était entre 1,2 et 2. Ce ratio est égal à 1,5 pour l’argile surconsolidé de Londres (Jovicic et Coop, 1998).



5.4 Histoire récente et direction des sollicitations

Figure 1.10 – Rigidité de l’argile de Londres sous différents chemins de sollicitations (Atkinson et

al, 1990) Changer la direction du chemin de sollicitations peut révéler la nature anisotrope ainsi que la non-linéarité du sol. Atkinson et al. (1990) ont étudié l’effet de l’histoire récente des sollicitations sur la rigidité de l’argile reconstituée de Londres sous petites déformations en effectuant une série d’essais triaxiaux non drainés avec p’ et q constant. Ils ramenaient les échantillons de sol à l’état de contraintes initial en suivant plusieurs chemins de sollicitations. La résultante angle, θ entre le chemin suivi et les sollicitations à appliquer était prise égale à 0°, 90°, -90 et 180°. En traçant la raideur tangente du sol contre les déformations (Fig. 1.10), on s’aperçoit que la rigidité la plus élevée du sol est observée lorsque θ = 180°, où il y une inversion complète de la direction du chargement, tandis que la rigidité la plus faible est observée pour θ = 0°, où il n’y a pas de changement de direction. Sur l’argile naturelle de Bothkennar, Smith (1992) trouve que la rigidité de l’échantillon qui a suivi le chemin ABCD dans lequel il y a eu un inversement de la direction des sollicitations est beaucoup plus élevée que celle de l’échantillon qui a suivi le chemin ED où le chargement n’a pas été subi à un changement de direction (Fig. 1.11). Des résultats similaires sont retrouvés par Zdravkovic (1996) et Zdravkovic et Jardine (1997) à l’aide d’essais au cylindre creux et d’essais triaxiaux sur des échantillons d’un limon non plastique anisotropiquement consolidés.



Figure 1.11 – Rigidité de l’arigle de Bothkennar pour deux chemins de sollicitation (Smith, 1992)

Clayton et Heymann (2001) ont étudié l’effet de l’histoire récente de l’argile naturelle de Bothkennar en réalisant des essais similaires à ceux d’Atkinson et al. (1990). La figure 1.12 montre les chemins suivis. Une période de repos de 1 à 3 jours a été appliquée au point A, avant le début du chargement.

Figure 1.12 – Chemins de sollicitations suivis lors de l’essai (Clayton et heymann, 2001)

Comme le montre la figure 1.13, aucune différence notable entre les trois courbes de rigidité sous les différentes phases de déformation n’a été identifiée. Sur la base de ces résultats, Clayton et Heymann (2001) ont suggéré que si un laps de temps suffisant s’est écoulé, l’effet du fluage s’annule avec l’effet de l’histoire récente de sollicitations.



Figure 1.13 – Rigidité de l’argile de Bothkennar soumise à trois différents chemins de sollicitation

(Clayton et heymann, 2001) Les auteurs suggèrent ensuite que ce qui affecte la rigidité est la direction du chargement plutôt que l’histoire récente des sollicitations. Pour démontrer cela, ils suivent les chemins de chargement qui apparaissent sur la figure 1.14 sur l’argile de Londres et celle de Bothkennar. Chaque échantillon a été reconsolidé à son état initial estimé in situ (le point B) et utilisé à la fois pour les essais de compression et d’extension. Avant le début de chaque cisaillement, des périodes de repos ont été à nouveau appliquées pour que le taux de fluage local soit inférieur à 0,01%. Les figures 1.15a et 1.15b représentent respectivement les courbes de la rigidité normalisée par la pression effective moyenne pour les échantillons de l’argile de Bothkennar et celle de Londres. On peut constater qu’en très petites déformations, la rigidité de chaque échantillon est la même en compression qu’en extension, mais son taux de dégradation sous petites déformations est affecté par le mode de cisaillement. Dans le cas de l’argile de Bothkennar, la rigidité en compression est moins raide que celle en extension alors que pour l’échantillon de l’argile de Londres, c’est l’inverse qui a été observé. Les auteurs expliquent ces observations par le fait que l’on s’approche de la surface de charge critique. En effet, dans les deux cas, les sollicitations qui ramènent le chemin à la proximité de la surface de charge critique montre un comportement moins raide que celles qui s’éloignent. Par conséquent, il a été conclu que c’est l’effet de la direction de chargement qui est le plus important.



Figure 1.14 – Chemins des sollicitations appliquées à l’argile de a) Londres et b) Bothkennar

(Clayton et heymann, 2001)

(a) (b)

Figure 1.15 – Rigidité normalisée en compression et en extension a) Argile de Bothkennar, b) Argile de Londres (Clayton et heymann, 2001)



6 CONCLUSION L’évolution des outils de mesures appliqués au domaine de la géotechnique depuis les années 1970 a permis de mettre en évidence le comportement non linéaire et anisotrope des sols (surtout les sols surconsolidés) sous petites déformations. La définition complète du comportement non linéaire nécessite l’identification de deux phases : les très petites déformations où le comportement du sol est élastique linéaire anisotrope et les petites déformations sous lesquelles le comportement du sol est anisotrope et fortement non linéaire. Selon la précision des mesures recherchée, des moyens diversifiés de mesures existent. Les mesures en laboratoire ont l’avantage de contrôler les conditions aux limites, le drainage, les chargements appliqués et la nature du sol. Ce type de mesure permet de révéler les différents aspects isotropes ou non et d’étudier les différents facteurs qui dominent le comportement. Dans certaines conditions, les essais in situ en vraie grandeur sont nécessaires pour estimer les caractéristiques du sol. Cependant, les conditions initiales et le chemin de sollicitations restent mal connus et peu maîtrisés. La rigidité et l’anisotropie d’un sol sont affectées par un grand nombre de facteurs. Leur détermination correcte est une tache complexe. Il est d’ailleurs important de tenir compte ces facteurs lors de la simulation du comportement de sol. Les principaux modèles de comportement qui tiennent compte les différents aspects du sol seront présentés dans le chapitre suivant de l’étude bibliographique.



Chapitre 2

Modèles de comportement pour le sol



SOMMAIRE

1 INTRODUCTION .................................................................................................. 51 2 MODELES ELASTIQUES LINEAIRES .............................................................. 51 3 MODELES ELASTIQUES NON LINEAIRES ..................................................... 52

3.1 L’hyperélasticité ............................................................................................................ 52 3.2 L’hypoélasticité ............................................................................................................. 53

4 MODELES ELASTOPLASTIQUES ..................................................................... 53 5 MODELES HYPOPLASTIQUES ......................................................................... 55 6 MODELES A MULTI-SURFACES DE CHARGE............................................... 56 7 MODELE DE SIMPSON (1979)............................................................................ 58 8 MODELE DE JARDINE (1986 ; 1991) ................................................................. 58 9 L’ANISOTROPIE DU SOL ET LES MODELES DE COMPORTEMENT ........ 59 10 CONCLUSION..................................................................................................... 61



1 INTRODUCTION Le comportement du sol est plus complexe que celui d’autres matériaux de construction : En effet, le sol agit comme un matériau multi-phasique, il se compacte ou se dilate, sa réponse est non linéaire, influencée par l’histoire des sollicitations et dépend du chemin et de la direction des sollicitations suivies, la déformation du sol comprend une part irréversible (plastique), les sols intacts sont anisotropes et présentent un comportement en fonction du temps. Idéalement, un modèle de comportement parfait serait en mesure de prédire tous ces aspects sous tous les types de sollicitations. Un nombre croissant de relations contraintes-déformations a été élaboré pour modéliser le comportement des sols. Dans ce chapitre, on passe en revue les différents modèles de comportement des sols qui peuvent être regroupés en plusieurs catégories : élasticité linéaire, élasticité non linéaire (hyperélasticité ou hypoélasticité), élasto-plasticité, hypoplasticité, modèles issus directement des observations expérimentales, modèles à multi-surfaces de charge, modèles qui tiennent compte de l’anisotropie du sol. Le développement de ces modèles est brièvement décrit dans la suite de ce chapitre. Les notions généralement utilisées lors de la définition d’un modèle de comportement se trouvent dans l’annexe 1.

2 MODELES ELASTIQUES LINEAIRES Le modèle élastique linéaire est le modèle le plus simple. Il se base sur l’élasticité linéaire de Hooke. Selon le type d’analyse choisi, le modèle relie les contraintes totales ou effectives aux déformations. La relation contrainte-déformation s’exprime en fonction de deux paramètres : le module d’Young, E et le coefficient de Poisson, ν (ou le module de compression, K et le module de cisaillement, G). Sous forme incrémentale, la relation contrainte-déformation pour un matériau isotrope s’écrit :

ekl

eijklij dCd εσ .= (2-1)

où ijdσ est le tenseur incrémental des contraintes, e

kldε est le tenseur incrémental des

déformations élastiques et eijklC est la matrice élastique exprimée par E et ν.

La stabilité du matériau impose les conditions suivantes sur les paramètres E et ν :

0>E et 5,01 ≤≤− ν (2-2) Dan la pratique, le coefficient de Poisson, ν est positif pour le sol et 0,5 pour un matériau incompressible. Les relations entre les différents paramètres utilisés pour représenter l’élasticité linéaire isotrope sont résumées dans le tableau 2.1.



Tableau 2.1 – Relations entre paramètres élastiques (Leipholz, 1974)

Paramètres Couple de paramètres

Module de cisaillement

G

Module d’Young

E

Module de compression

K

Coefficient de Poisson

ν

G, E G E EG

GE39 −

G

GE2

2−

G, K G GK

GK+3

9 K )3(2

23GKGK

+−

G, ν G )1(2 υ+G )21(3)1(2

υυ

−+G

ν

E, K EK

KE−9

3 E K

KEK

63 −

E, ν )1(2 υ+E

E )21(3 υ−E

ν

K, ν )1(2)21(3

υυ

+−K

)21(3 υ−K K ν

3 MODELES ELASTIQUES NON LINEAIRES Un modèle élastique non linéaire est considéré comme une extension d’un modèle élastique linéarisé par morceaux en utilisant des intervalles linéaires infiniment petits. Les paramètres d’un modèle non linéaire dépendent des contraintes, des déformations de sol ou de leurs invariants. Ce type de modèle considère que la direction de l’incrément de déformation coïncide avec celui de la contrainte. De plus, il ne permet pas au sol de se dilater. Afin de surmonter certains de ces aspects, des modèles élastiques non linéaires tels que les modèles hyperélastiques et hypoélastiques ont été développés.

3.1 L’hyperélasticité

Un modèle hyperélastique a la forme :

( )ij

klij

Wεεσ

∂∂

= (2-3)

où W est le potentiel à partir duquel, la relation de comportement est dérivée. La dissipation intrinsèque de l’énergie de déformation est toujours identiquement nulle. Ce modèle est alors développé à la base du premier principe de la thermodynamique et sa dépendance à la direction des sollicitations. L’inconvénient majeur de ce type de comportement réside dans le fait qu’ils sont complexes à mettre en œuvre dans un code de calcul (Coquillay, 2005). Comme exemples des modèles hyperélastiques, on peut citer le modèle CJS (Cambou, Jafari et Sidoroff) avec ses différentes versions (cinq versions à différents niveaux de complexité). Ce modèle a été initialement développé à l’Ecole Centrale de Lyon pour simuler le comportement des sols granulaires (Cambou et Jafari, 1988). Maleki (1998) a



ensuite développé une hiérarchisation de ce modèle à différents niveaux de complexité afin de rendre plus facile et plus efficace le choix du niveau de modélisation le plus approprié.

3.2 L’hypoélasticité

L’hypoélasticité s’écrit généralement sous la forme incrémentale linéaire :

klmnijklij dDd εσσ ).(= (2-4) Dijkl est le tenseur de la rigidité tangente du sol. Le comportement d’un matériau hypoélastique dépend généralement du chemin des sollicitations appliquées. Un bon nombre de modèles basés sur des relations incrémentales ont été établis pour modéliser le comportement non linéaire des sols. Le principe le plus simple est de formuler les relations en introduisant une dépendance des modules sécants vis-à-vis des invariants de contraintes ou de déformations. Une deuxième approche est basée sur une linéarisation par morceau des courbes contrainte-déformation. Vu leur simplicité et leur capacité de simuler le comportement de plusieurs ouvrages géotechniques dans la pratique de l’ingénierie, les modèles hypoélastiques sont nombreux. Les modèles hyperboliques de Duncan et Chang (1970) et de Hardin et Drnevich (1972a) sont les plus courants en géotechnique.

4 MODELES ELASTOPLASTIQUES Les modèles élastoplastiques existants (tel que le modèle de Mohr-Coulomb) ont gagné beaucoup en popularité grâce à leur nombre limité de paramètres aisément déterminables au moyen d’essais conventionnels de mécanique des sols. Quatre ingrédients sont indispensables pour définir un modèle élastoplastique :

La répartition des déformations, qui décompose le tenseur des déformations totales, ijε en déformations élastiques, e

ijε et déformations plastiques, pijε irréversibles lors

du déchargement. Sous forme incrémentale, cette répartition s’écrit :

pij

eijij ddd εεε += (2-5)

La surface de charge qui défini le seuil des contraintes au-delà duquel le

comportement du sol devient irréversible. Elle a la forme :

0)( =ijF σ (2-6)

L’écrouissage, qui permet de faire évoluer la surface de charge dans l’espace des contraintes en fonction des déformations plastiques. La surface de charge est donc redéfinie de la manière suivante :

0),( =kF ijσ (2-7)

Le paramètre d’écrouissage n’évolue que lorsqu’il y a évolution de la déformation plastique. Diverses théories ont été construites pour représenter l’écrouissage. Les deux principales distinguent l’écrouissage isotrope qui fait dépendre l’écrouissage d’un paramètre unique et l’écrouissage cinématique. Le domaine élastique dans un écrouissage



isotrope se transforme par homothétie de l’origine de l’espace au fur et à mesure de l’écrouissage. Pour un écrouissage cinématique, les frontières d’élasticité successives se déduisent de la frontière initiale par translation dans l’espace des contraintes. L’écrouissage dépend alors d’un paramètre tensoriel.

La règle d’écoulement plastique, qui décrit l’évolution des déformations plastiques. Elle est donnée par l’expression :

ij

pij

Gddσ

λε∂∂

= . (2-8)

où G est le potentiel plastique et dλ est un scalaire positif appelé multiplicateur plastique. Si le potentiel plastique, G est différent de la fonction F qui défini la surface de charge, la règle d’écoulement est non associée. Comme le montre la figure 2.1, 0)( <ijF σ implique

un comportement élastique et 0)( >ijF σ est une situation impossible.

État actuel de contraintes

Surface de charge

Potentiel plastique

G Domaine élastique État impossible

Figure 2.1 – Notion de la surface de charge, le potentiel plastique et la règle d’écoulement

Les surfaces de charges les plus connues dans la mécanique des sols, leurs avantages et leurs limites selon Chen et McCarron (1986) et Chen et Mizuno (1990) rapportés par Kempfert et Gebreselassie (2006) sont représentés dans l’annexe 2. Les critères de Von-Mises et Drucker-Prager sont utilisés en géotechnique comme une simplification des critères de Tresca et de Mohr-Coulomb respectivement. L’ensemble de ces quatre modèles tel qu’ils sont présentés sont parfaitement-plastiques et fondés sur l’hypothèse d’une règle associée. Cependant, la surface de Mohr-Coulomb est non associée lorsque ψϕ ≠ . Parmi les critères présentés, celui de Lade-Duncan est le seul qui adopte une surface de charge évolutive. Ce critère a d’abord été développé pour les sols non cohérents. Toutefois, Kirkgard et Lade (1993) montrent que le critère de Lade-Duncan représente bien la rupture des échantillons argileux normalement consolidés testés dans l’appareil triaxial. Une description des différents critères et leur dérivation se trouve dans Chen et Mizuno (1990). L’incrément des contraintes et celui des déformations sont reliés par l’équation suivante :

klepijklij dDd εσ .= (2-9)



où epijklD est la matrice élastoplastique et kldε est l’incrément des déformations totales.

Grâce à la répartition des déformations totales kldε en élastiques ekldε et plastiques p

kldε , la dernière équation prend l’expression suivante :

( )pklkl

eijklij ddDd εεσ −= . (2-10)

Malgré l’adoption d’une légère non-linéarité qui se traduit par une dépendance des contraintes à la pression moyenne effective, les modèles fondés sur la base de l’état caractéristique du sol tel que le modèle de Cam-Clay ou encore sa forme modifiée (Roscoe et Burland, 1968) ne permettent pas l’apparition de la plasticité à l’intérieur de la surface de charge. Les modèles hypoélastiques couplés avec un critère de plasticité (parmi les cinq critères cités dans l’annexe 2) sont de plus en plus utilisés pour modéliser les ouvrages géotechniques. Le principe consiste à coupler une approche non linéaire (hyperélastique ou hypoélastique) avec un critère de plasticité.

5 MODELES HYPOPLASTIQUES L’hypoplasticité décrit la variation des contraintes auxquelles les particules du sol sont soumises par l’intermédiaire d’un tenseur. Contrairement aux modèles élastoplastiques, les modèles hypoplastiques ne divisent pas les déformations totales en déformations élastiques et déformations plastiques. Par conséquent, Il n’est pas nécessaire de définir explicitement la surface de charge, la règle d’écoulement ou encore utiliser la notion de l’écrouissage. Au départ, le modèle hypoplastique à quatre paramètres a été introduit par Kolymbas (1988) pour les matériaux granulaires. Cependant, le terme d'hypoplasticité a été donné par Wu (1992) suivant le terme « hypoélasticité ». L’équation générale de l’hypoplasticité s’écrit sous la forme matricielle suivante :

),,( eDTFT =°

(2-11)

où F est une fonction tensorielle des contraintes à deux variables d’état T et e. °

T et D sont respectivement le taux de contraintes et de déformations. Le taux de l’indice des vides est également donné par l’équation :

trDee ).1( +=& (2-12) Différents auteurs (Wu, 1992 et Bauer, 1992 par exemple) ont tenté de modifier et d’étendre cette équation pour tenir compte de la dépendance des contraintes aux propriétés du sol (barotropie) et de l’influence de la densité du sol sur ces propriétés (pycnotropie). Wu et al, (1993) proposent différents concepts pour décrire la viscosité dans un modèle hypoplastique. Kolymbas et al, (1995) ont présenté le modèle hypoplastique avec un variable d’état supplémentaire et l’ont appelé « tenseur structurel ». Gudehus (1996) ; Bauer (1996) ; von Wolffersdorff (1996) ont développé un modèle hypoplastique qui couvre une large gamme de contraintes, d’indices des vides et de directions de déformations. A cette fin, une décomposition factorielle est utilisée. Elle permet la détermination des paramètres qui correspondent à une propriété particulière du matériau simulé.



Aujourd’hui, il existe plusieurs versions du modèle hypoplastique (on peut dire qu’elles sont aussi diversifiées que les modèles hypoélastiques).

6 MODELES A MULTI-SURFACES DE CHARGE La théorie de la plasticité précédemment décrite est basée sur le concept d’une surface de charge unique. Cette dernière est utilisée pour séparer les états élastiques de ceux plastiques. En effet, une surface de charge unique offre une explication raisonnable de l’ensemble du comportement des sols dans le cas d’une sollicitation monotone. Toutefois, l’application de la théorie de la plasticité associée à une surface de charge unique conduit aux défauts suivants :

Le domaine élastique supposé est souvent trop grand par rapport aux domaines expérimentalement observés. En outre, le changement brutal du comportement lorsque le domaine plastique est atteint est également en contraste avec un changement progressif de la rigidité du sol sous différentes phases de déformations.

L’écrouissage isotrope et cinématique ne peuvent généralement pas représenter le comportement complexe des sols observé dans les expériences sous chargement cyclique ou dynamique où les charges s’inversent fréquemment.

Ces limitations ont poussé les chercheurs dès les années soixante à trouver une meilleure modélisation de la règle d’écrouissage pour représenter à la fois la transition de l’état élastique à l’état plastique et le comportement cyclique du sol. Bien que plusieurs approches ont été proposées, les deux méthodes les plus abouties et largement utilisées à cette fin sont : (a) La théorie des multi-surfaces de charge proposée séparément par Mroz (1967) et Iwan (1967) et (b) La théorie de la surface limite (deux surfaces de charge) proposée par Dafalias et Popv (1975) et Krieg (1975). Les deux concepts ont été initialement développés pour les métaux, mais ils ont rapidement trouvé une place pour modéliser les géomatériaux (e.g. Prevost, 1977 ; Morz et al, 1978, 1979 ; Dafalias et Herrmann, 1982). L’idée commune de l’ensemble de ces premiers modèles est d’avoir un lot de surfaces de charge semblables, emboîtées et cinématiquement mobiles à l’intérieur de la grande surface.

(a) (b)

Figure 2.2 – Modèle à a) deux surfaces, Al-Tabbaa, 1987 ; b) trois surfaces, Stallebrass et Taylor, 1997 de charge

Une sous-classe des modèles à multi-surfaces de charge est la classe du modèle « Bubble » proposé par Al-Tabbaa (1987) et Al-Tabbaa et Muir Wood (1989). Ce modèle ne dispose que d’une seule surface de charge cinématiquement mobile (Bubble) à l’intérieur de la



grande surface pour simuler la rigidité du sol sous petites déformations. Stallebrass et Taylor (1997) ont étendu le modèle d’Al-Tabbaa et Muir Wood (1989) pour arriver au modèle 3-SKH (Three Surfaces kinematic Hardening). La surface supplémentaire du modèle d’Al-Tabbaa (Fig. 2.2a) avait pour but d’améliorer la prédiction du comportement cyclique du Kaolin de Speswhite. Toutefois, la deuxième surface supplémentaire introduite par Stallebrass et Taylor (Fig. 2.2b) a été mise en place afin de fournir une meilleure mémoire du chemin de sollicitations précédent. Stallebrass et Taylor ont ainsi simulé l’effet de l’histoire récente sur le comportement de l’argile surconsolidée rapporté par Atkinson et al. (1990) et Stallebrass (1990). La transition lorsqu’on passe d’une région à une autre étant toutefois traduite par une chute brutale lors de la modélisation des courbes rigidité-déformation. Cette raison a poussé Grammatikopoulou (2004) à améliorer cet aspect en utilisant des modèles à multi-surfaces de charge. Basé sur le concept des régions cinématiques proposée par Jardine (1985 ; 1992), Puzrin et Burland (1998) ont développé un modèle non linéaire à multi-surfaces de charge. Le comportement du sol à l’intérieur de la région LER (Fig. 2.3) a été proposé élastique linéaire anisotrope alors qu’il est non linéaire (plutôt logarithmique, Puzrin et Burland, 1996) dans la région SSR. Les travaux de Puzrin et Burland (1998) se sont concentré sur le comportement dans la région SSR. Toutefois, les auteurs ont noté qu’il est possible d’utiliser une représentation élastoplastique pour la frontière Y2. Une fois le chemin de sollicitations inversé, le modèle permet de re-localiser l’origine des sollicitations au point d’inversion ce qui permet de rappeler une rigidité plus importante lors du déchargement. Le modèle a été validé sur les résultats d’essais triaxiaux de l’argile intacte de Bothkennar. Houlsby (1999) a également développé un modèle à écrouissage cinématique basé sur les principes de la thermodynamique (Collins et Houlsby, 1997). Les surfaces de charge internes sont à l’intérieur de la surface de rupture. Ce modèle ne demande que des paramètres adimensionnels pour définir l’écrouissage et la résistance au cisaillement qui décrivent la réduction de la rigidité une fois une surface de charge est atteinte. Ce modèle est capable de représenter les petites déformations (avant rupture) de l’argile surconsoliée. Bien qu’un modèle à trois surfaces de charge peut être considéré comme suffisamment complexe, le nombre de surfaces de charge cinématiquement mobiles peut s’étendre à l’infini.

Figure 2.3 – Modèle de Puzrin et Burland (1998) et ses trois surfaces de charge



7 MODELE DE SIMPSON (1979) Simpson et al. (1979) expliquent le comportement des sols sur la base d’un homme faisant glisser quelques briques derrière lui, chacune d’entre elles est connectée à une chaîne de longueur unique. Certaines de ces chaînes voir toutes sont abandonnées lorsque l’homme tourne la tête vers une nouvelle direction. Au fur et à mesure de son avancement, les chaînes se tendent une par une. Toutes les illustrations de cette analogie sont présentées dans la figure 2.4. Bien que les briques de Simpson puissent être interprétées comme des surfaces de charge dans l’espace des contraintes, Simpson préfère l’idée que l’homme représente un point de déformations dans l’espace physique. Les briques attachées à son dos représentent des portions quantitatives des déformations du sol. Les briques traînent alors que l’homme se déplace, correspondent aux déformations plastiques du sol. Cependant, les briques qui ne sont pas tendues représentent les déformations élastiques. Par conséquent, la façon idéale pour modéliser les déformations élastiques lorsque l’homme est en mouvement est de le libérer de toutes les chaînes attachées. En sélectionnant des tailles de briques et des longueurs de chaînes appropriées, on peut reproduire la totalité de la courbe rigidité-déformation supposée d’avoir la forme de la lettre « S » où des chaînes courtes représentent le comportement en petites déformations et des chaînes plus longues représentent des déformations plus importantes. L’histoire de chargement est automatiquement prise en considération dans le modèle de Simpson en se rappelant la position des briques dans l’espace de déformations. Malgré que le modèle original de Simpson soit rarement implémenté et utilisé comme il est, l’idée de base de l’histoire de chargement a été largement exploitée. Le nombre de briques est souvent réduit à une seule brique.

Figure 2.4 – Modèle de Simpson (1979) à plusieurs briques

8 MODELE DE JARDINE (1986 ; 1991) Jardine et al. (1986) et Jardine et al. (1991) ont élaboré un modèle sur la base empirique de résultats d’essais triaxiaux de qualité mesurés à l’aide de la technique des jauges locales (Fig. 2.5). Le comportement fortement non linéaire du sol a été modélisé en adoptant des



fonctions périodiques et logarithmiques reliant le module de cisaillement, G et celui volumique, K respectivement aux déformations de cisaillement, εs et celles volumiques, εv. Les modules sécant de cisaillement (Gsec) et volumique (Ksec) sont donnés par les équations suivantes :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

γε

αC

BAp

G s10

sec logcos.'

3 (2-13)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

ηε

δT

SRp

K v10

sec logcos.'

(2-14)

Le module de cisaillement et celui volumiques tangents sont obtenus en dérivant respectivement les équations 2-13 et 2-14. Les paramètres du modèle (A, B, C, R, S, T, α, γ, δ et η) ont été obtenus à partir d’un ajustement aux données de laboratoire. Ce modèle est élastique et le comportement plastique ne se produit qu’en grandes déformations. Jardine et al. (1991) couplent les équations non linéaires avec le critère de Mohr-Coulomb. Les auteurs appliquent ensuite ce modèles à une large gamme d’applications en géotechnique y compris les excavations profondes, les tunnels et les structures en mer et comparent les résultats aux données expérimentales de manière assez satisfaisante tout en rendant ce succès à l’importance de la modélisation du comportement fortement non linéaire des sols surconsolidés. Toutefois ces 16 paramètres (nécessaires pour cerner les bornes) rend le modèle de Jardine complexe à mettre en œuvre.

Figure 2.5 – Modèle non linéaire de Jardine (Jardine et al. 1986; 1991)

9 L’ANISOTROPIE DU SOL ET LES MODELES DE COMPORTEMENT La simulation de l’anisotropie des sols nécessite de considérer des modules de rigidité différents en fonction de la direction de sollicitations auquel le sol est subit. Cet aspect est impossible à reproduire avec les modèles élastoplastiques conventionnels dans lesquels on adopte un comportement élastique isotrope entièrement réversible tant que la surface plastique n’est pas atteinte. Une fois cette surface rejointe, un écrouissage isotrope ou encore cinématique est alors permis. Toutefois, des versions modifiées de cette classe de modèles de comportement permettant de considérer des valeurs différentes pour le module de rigidité au moins lors de l’inversement de sens des sollicitations sont capables de donner des réponses raisonnablement satisfaisantes.



Pour modéliser le comportement anisotrope sous petites déformations, une méthode consiste à utiliser l’un des modèles à multi-surfaces de charge. La méthode consiste alors à créer l’état initial du sol anisotrope loin de l’axe « OP » et de suivre ensuite le chemin de sollicitations selon le type de l’ouvrage géotechnique analysé.

q

p

0=F

O

Figure 2.6 – Schéma de surface de charge d’un sol anisotrope

Le concept d’une surface de charge avec rotation autour de l’origine de l’espace (Fig. 2.6) est largement utilisé dans la modélisation numérique du comportement anisotrope de l’argile. L’utilisation de ce concept est raisonnable pour modéliser les problèmes simples lorsque la surface de charge coïncide avec la surface de rupture. Ces modèles sont décrits par Davies et Newson (1993), Banerjee et Yousif (1986) et Wheeler (1997). Dans le cas des argiles molles naturelles où le comportement est assez complexe, l’utilisation de ce type de modèles conduit à l’élaboration d’un modèle sans hypothèses sur la taille de la surface de charge limite (Karstunen et al. 2001).

Figure 2.7 – Modèle à trois surfaces de charge et son potentiel plastique pour un sol anisotrope

(Masin, 2004)

Les résultats des investigations menées par Pickles (1989) montrent qu’il n’y a pas de différence apparente entre la forme de l’état limite de la surface isotrope et celle consolidée sous K0 constant pour une argile reconstituée, lorsque celle-ci est obtenue à l’aide de la normalisation par la pression moyenne. Il est alors possible de prendre l’anisotropie des sols en compte en conservant la forme de la surface sans rotation sous condition d’adopter une règle d’écoulement non associée (Fig. 2.7 selon Masin 2004).



10 CONCLUSION Aujourd’hui, les modèles de comportement des matériaux sont très nombreux pour traiter des sollicitations variées. Les modèles adoptés pour simuler le comportement des géomatériaux doivent être capables de modéliser la physique multi-phasique complexe du sol ainsi que l’impact de cette formation sur leurs caractéristiques mécaniques. Ces modèles sont soit développés à l’aide d’observations en laboratoire, soit hérités de la modélisation d’autres matériaux dont le comportement est moins complexe que celui du sol et adaptés par la suite pour simuler le comportement du sol. Le niveau de complexité est en adéquation avec la complexité de l’ouvrage à modéliser. Si on choisit un modèle capable de représenter tous les aspects rencontrés expérimentalement, on est devant un modèle bien complexe et qui demande beaucoup d’efforts pour déterminer ses paramètres. La procédure pour déterminer les paramètres est parfois déroutant surtout lorsqu’il y a des paramètres manquant des sens physiques. Un compromis entre la simplicité et la capacité du modèle à représenter l’expérimentation est à faire. Comte tenu de l’avancée des techniques de réalisation, les déformations des ouvrages géotechniques sont faibles. Les modèles qui traitent le comportement du sol à long terme peuvent être classés en trois catégories : élastiques linéaires, élastiques non linéaires et élastoplastiques. Pour compléter l’écriture d’un modèle, l’une de ces catégories est couplée avec un critère de rupture. La construction d’un modèle élastique non linéaire sur ce principe améliore sensiblement la prédiction du comportement de sol réalisé par des modèles linéaires et apparaît bien adaptée à la modélisation des problèmes pratiques en géotechnique. Néanmoins, les modèles qui adoptent une plasticité sous petites déformations tels que les modèles à multi-surfaces de charge demandent des efforts considérables pour déterminer leurs paramètres, ce qui limite leur utilisation à la recherche.



Chapitre 3

Ouvrages souterrains dans un milieu urbain



SOMMAIRE

1 INTRODUCTION ................................................................................................. 65 2 CRE USEMENT ET SOUTENEMENT D’OUVRAGES SO UTERRAINS DANS UN MILIEU URBAIN ............................................................................................... 65

2.1 Méthode conventionnelle (NATM) à front ouvert ............................................... 65 2.2 Creusement au tunnelier ..................................................................................... 66

2.2.1 Boucliers à front ouvert .......................................................................................................67 2.2.2 Boucliers à front fermé ........................................................................................................67

2.3 Mouvements de sol lors du creusement d’un tunnel peu profond ........................ 68 2.4 Méthodes d’évaluation le mouvement................................................................. 70

2.4.1 Méthodes empiriques et semi-empiriques .............................................................................70 2.4.1.1 Cuvette de tassements transversale en surface ............................................................................. 71 2.4.1.2 Cuvette de tassement transversale en profondeur ......................................................................... 72 2.4.1.3 Cuvette de tassement longitudinale ............................................................................................. 72 2.4.1.4 Mouvements horizontaux ............................................................................................................ 73

2.4.2 Etudes en laboratoire ..........................................................................................................74 2.4.3 Méthodes analytiques ..........................................................................................................74 2.4.4 Méthodes numériques ..........................................................................................................75 2.4.5 Comportement sous petites déformations et anisotropie des sols et la modélisation des ouvrages souterrains ....................................................................................................................75

2.4.5.1 Modélisation en élasticité linéaire ............................................................................................... 76 2.4.5.2 Modélisation en élasticité linéaire associée à un critère de plasticité ............................................ 76 2.4.5.3 Modélisation en élasticité non linéaire ........................................................................................ 76 2.4.5.4 Modélisation avec des modèles de comportement avancés ........................................................... 76 2.4.5.5 Modélisation de l’anisotropie ...................................................................................................... 77

3 CONCLUSIONS .................................................................................................... 77



1 INTRODUCTION Le choix d’une méthode pour la construction d’ouvrages souterrains dans un environnement urbain est un défi à la fois économique et environnemental. Il est d’ailleurs vital de rassurer le chantier ainsi que de protéger les structures en voisinage pendant toutes les phases de travaux, ce qui nécessite une prédiction fiable de mouvements du sol. Pour évaluer les mouvements du sol, les ingénieurs disposent de plusieurs techniques empiriques, semi-empiriques, analytiques ou encore numériques. Seules les méthodes numériques sont capables de simuler le problème du creusement en toute sa complexité. Le présent chapitre est consacré à l’étude du creusement d’ouvrages souterrains. Les deux principales méthodes d’exécution sont tout d’abord discutées. Les principales causes qui entraînent le déplacement du massif de sol lors du creusement d’un tunnel peu profond sont ensuite présentées. La suite du chapitre présente les différentes méthodes mises en œuvre pour évaluer le mouvement du sol autour de l’ouvrage creusé avec un accent particulier sur la place du comportement de sol lors de la simulation numérique du creusement.

2 CREUSEMENT ET SOUTENEMENT D’OUVRAGES SOUTERRAINS DANS UN MILIEU URBAIN La construction d’un tunnel modifie l’état de contraintes initiales dans le sol, ce qui conduit à des déplacements plus ou moins importants au sein du terrain environnant. Afin de limiter l’impact du creusement, il est avant tout nécessaire de connaître les techniques utilisées pour son exécution et d’analyser les causes et les conséquences des mouvements. En travaux souterrains, on distingue deux méthodes de creusement : le creusement à front ouvert et celui à front fermé. Selon le moyen du creusement retenu les mouvements du sol autour de l’ouvrage sont différents.

2.1 Méthode conventionnelle (NATM) à front ouvert

Le creusement à front ouvert s’utilise sous les conditions les plus favorables de stabilité du front. Il ne nécessite pas de soutènement permanent du front excavé. Cette méthode est généralement mise en œuvre lors du creusement conventionnel (connu également sous le terme anglais: New Austrian Tunnelling Method, NATM). Comme il associe différents types de renforcement pour le sol, le creusement conventionnel est très flexible (e.g. Kolymbas, 2005; Bouvard-Lecoanet et al, 1992). Dans certains cas où le terrain traversé est peu stable, on peut à chaque pas d’avancement stabiliser le front par la technique du boulonnage (Fig. 3.1). Vu sa grande efficacité, cette technique de soutènement s’est imposée sur presque tous les chantiers de tunnels. Elle consiste à combiner les boulons radiaux et le béton projeté. Les boulons radiaux ont pour but de clouer les parois et ainsi aller chercher le terrain intact à quelques mètres de la galerie, cependant la deuxième composante de renforcement consiste à projeter le béton plutôt que le couler. Le béton projeté a deux principaux usages qui peuvent s’additionner :

Il a un rôle protecteur, et forme une coque mince épousant la géométrie du terrain. En cela il empêche les blocs de roche ou le sol de se détacher de la paroi ;



Il a un véritable rôle structurant, et reprend les charges issues du terrain. Son épaisseur est de l’ordre d’une vingtaine de centimètres.

Seul, le béton projeté est de moins en moins utilisé. Il est souvent associé à des panneaux de treillis soudés ou, de plus en plus, à des fibres métalliques qui lui confèrent une certaine résistance en traction et en cisaillement. Son usage en tunnels a fait l’objet de recommandations très détaillées de l’AFTES (2001) et de l’ASQUARPRO (2007). En couplant l’usage du béton projeté avec un boulonnage radial systématique (Fig. 3.1), on s’est aperçu que dans la majorité des terrains rencontrés en tunnel, on obtenait des résultats intéressants. Pour l’ancien mineur, habitué à poser des soutènements très résistants la NATM semble une technique bien légère. Mais au lieu de supporter simplement le terrain perturbé par le creusement, elle permet à celui-ci de se soutenir lui-même (Subrin, 2002). En d’autres termes, c’est le terrain lui-même qui participe au soutènement. En autorisant une convergence contrôlée, le système boulons-béton projeté (et éventuellement treillis soudé) crée une redistribution des contraintes dans le massif et un état d’équilibre parfaitement stable. Cette technique, relativement peu onéreuse, est donc celle qui est systématiquement proposée en profil-type de base pour le soutènement (CETU, 1998).

Boulons radiaux

Béton projeté

Boulons frontaux

Boulons radiaux

Distance de pose (a) (b)

Figure 3.1 – Schéma de la méthode conventionnelle (a) Coupe transversale (b) Coupe longitudinale

L’association de différentes techniques de renforcement à la NATM a pour but d’augmenter la stabilité du sol ainsi que de minimiser ses mouvements. Le développement des méthodes observationnelles de dimensionnement et la flexibilité de contrôler les déformations (en contrôlant la distance de pose, Bouvard-Lecoanet et al, 1992) causées par le creusement d’un tunnel à la NATM ont rendu cette méthode valable même pour les zones urbaines.

2.2 Creusement au tunnelier

Apparus à la fin du XIXe siècle pour traverser la Tamise à Londres à l’aide d’un bouclier manuel (Skempton et Chrimes, 1994), les tunneliers (Tunnel Boring Machines, TBM) regroupent aujourd’hui sous le même terme l’ensemble des machines permettant une excavation mécanisée à pleine section. La puissance, l’avancement journalier, l’aisance et la précision du pilotage, ainsi que l’adaptation à tous les types de terrains rencontrés sont autant d’atouts qui font l’objet d’améliorations continuelles depuis les premiers modèles de tunneliers. Chaque machine est un prototype conçu pour un, voire deux tunnels



(Girmscheid et Schexnayder, 2003). Son coût de fabrication et de fonctionnement élevé rendent le tunnelier compétitif pour les gros projets ou les longues galeries dans des horizons géologiques homogènes. Un tunnelier présente très souvent trois parties distinctes :

La roue de coupe ou la tête d’abattage, muni de dents et/ou de molettes, qui par le double effet d’une rotation (moteurs hydrauliques ou électriques) et d’une translation (vérins s’appuyant sur les voussoirs ou les parois du tunnel) creuse le terrain ;

Le bouclier composé d’un anneau métallique protégeant la machine et le personnel du chantier pendant la pose du revêtement définitif. Sa partie finale peut être articulée et se terminer par une jupe ;

Le train suiveur constitué de remorques successives où sont installés les différents ateliers nécessaires à l’avancement du chantier : approvisionnement en voussoirs, injections de bourrage derrière les anneaux du revêtement, pose de la ventilation, alimentation électrique, cabine de pilotage, système de marinage, etc.

La technique d’excavation au tunnelier adopte ou non le creusement au bouclier. Son absence est justifiée lorsqu’on creuse dans le rocher. On distingue d’ailleurs selon le type du bouclier utilisé les boucliers à front ouvert de ceux à front fermé.

2.2.1 Boucliers à front ouvert Figure 3.2 montre le principe d’avancement d’un bouclier. Il consiste de pousser le bouclier à l’aide de vérins en prenant appui sur les voussoirs déjà mis en place. Selon la largeur des voussoirs, le pas d’avancement est généralement constaté entre 0,8m et 2,0m.

(1) (2) (3)

Figure 3.2 – Schéma du principe d’avancement d’un bouclier Lorsque le sol est peu voire non stable, des plaques métalliques connectées aux vérins hydrauliques peuvent être installées pour fournir un certain confinement au front. On peut également donner au terrain son inclinaison naturelle pour favoriser la stabilité. Au-dessous de la nappe phréatique, le creusement à front ouvert est un sérieux problème. Il convient d’envisager de rabattre le niveau de la nappe ou d’adopter un creusement à front fermé.

2.2.2 Boucliers à front fermé A l’inverse du creusement à front ouvert, le bouclier à front fermé a pour but de réduire les mouvements de terrain, ce qui est primordial lors du creusement dans un milieu urbain. Les petites déformations engendrées par le bouclier à front fermé conduisent généralement à des contraintes plus importantes dans le soutènement que celles rencontrées lors du creusement à front ouvert. Ce problème est peu présent lors de l’excavation dans des zones urbaines à cause de leur faible couverture. Mais le vrai enjeu constitue à contrôler les mouvements autour de l’excavation. Selon le type de terrain traversé, on distingue généralement quatre types de bouclier (Fig. 3.3):



Bouclier à pression mécanique : Le soutènement du front de taille est assuré par le tunnelier lui-même. Dans cette méthode, la pression est plus ou moins continue ce qui rend l’approche utilisable pour les sols mous, très plastiques à fluides, au-dessus de la nappe d’eau.

Bouclier à air comprimé : L’air comprimé est utilisé afin de stabiliser le front. Cette méthode est principalement utilisée lors du creusement au-dessous de la nappe phréatique surtout lorsque la perméabilité du sol est de l’ordre de 10-6 où les pores sont suffisamment petits pour empêcher l’air de pénétrer.

Bouclier à pression de boue : Le soutènement du front de taille est effectué par la pression de boue bentonitique dont la circulation permet également d’évacuer les déblais. Afin de contrôler la pression de boue, la chambre de l’air comprimé est connectée avec la boue comme le montre la figure 3.3c.

Bouclier à pression de terre : Le soutènement du front de taille est effectué grâce au confinement des déblais dans la chambre d’abattage. Cette technique nécessite un sol suffisamment fluide et homogène.

(a) (b)

(c) (d) Figure 3.3 – Schéma d’un bouclier à a) pression mécanique, b) air comprimé c) pression de boue

d) pression de terre (Möller, 2006)

2.3 Mouvements de sol lors du creusement d’un tunnel peu

profond

Quelque soit la méthode de construction adoptée, le terrain autour du tunnel creusé se réorganise. L’origine des déplacements dépend du processus de creusement. Durant le temps nécessaire à l’excavation, le sol autour du tunnel se déplace vers le forage. Il est donc normal d’évacuer un volume plus important que celui qui correspond à la section transversale du tunnel. La différence entre les deux volumes constitue la perte de volume. Celle-ci prend généralement l’expression d’un pourcentage (VL%) de la section transversale finale du tunnel (avec d, le diamètre externe du tunnel) :

%

4

% 2dV

V LL π

= (3-1)

La valeur de la perte de volume dépend des conditions du sol et de la méthode du creusement. Elle est généralement plus élevée lors du creusement dans un terrain non cohérent. Pour un sol raide et surconsolidé tel que l’argile de Londres, la perte de volume



est généralement inférieure à 2% (Attewell et al., 1986 ; Mair et al., 1996). Compte tenu du nombre de données limité, il est très difficile de séparer les deux composantes (radiale et frontale) de la perte de volume. Möller (2006) cites les principales causes suivantes lors du creusement à front ouvert (NATM, Fig. 3.4) :

A. Mouvement du terrain vers le front non soutenu ; B. Mouvement radial vers le soutènement déformé ; C. Mouvement radial vers le soutènement dû à la consolidation du sol.

Les mouvements de terrain vers le front non soutenu (composante A) sont sans doute les principales causes de déformation. Ils peuvent être réduits en minimisant la distance du pose de soutènement ou encore en renforçant le front au boulonnage. De plus, la deuxième composante est relativement grande, ce qui impose l’utilisation des différents adjuvants afin d’accélérer le durcissement du béton projeté.

Figure 3.4 – Composants de déformation lors du creusement à front ouvert (Möller, 2006)

Potts et Zdravkovic (2001) résument les principales causes du mouvement lorsqu’on creuse à front fermé sur la figure 3.5. Le choix du type de tunnelier dépend de sa capacité à excaver le sol au front de taille et à l’évacuer d’une manière sécurisée et bien contrôlée. Il existe aussi des tunneliers capables de contrôler la perte de volume (les tunneliers à front pressurisé). La première composante de la déformation (A) est généralement petite mais la troisième est toujours présente (surtout si le bouclier utilisé a une forme conique). La quatrième composante est généralement la cause principale du tassement. Elle peut être minimisée par l’injection d’un coulis. La deuxième composante a moins d’importance si on compare cette méthode de creusement au creusement conventionnel. La cinquième composante peut être importante dans le cas d’un terrain meuble à faible perméabilité.

Figure 3.5 – Composants de déformation lors du creusement à front fermé (Potts et Zdravkovic,

2001)



La prédiction de la perte totale de volume est utile aux ingénieurs lors du dimensionnement d’un ouvrage souterrain mais elle n’est pas simple à déterminer car ce paramètre dépend de plusieurs facteurs inconnus par avance tels que le type de la machine utilisée, les séquences de l’excavation et la pression effective de l’injection du coulis. Il est également connu grâce aux observations in-situ (e.g. Mair et al, 1981) que la perte de volume n’augmente pas nécessairement avec les contraintes initiales (la profondeur).

2.4 Méthodes d’évaluation de mouvement

Lors du dimensionnement d’un ouvrage souterrain, il est essentiel de considérer les mouvements de terrain induits par le processus de creusement. Selon la méthode de construction adoptée, différents types de renforcements sont mis en œuvre afin de garantir à la fois la stabilité de l’ensemble de l’ouvrage et de limiter les mouvements du terrain. La construction dans des zones urbaines doit tenir compte des faibles déformations mais pour les tunnels profonds les déformations autour de l’ouvrage sont plus tolérées. Indépendamment de la méthode de construction, les déformations du sol vont avoir lieu et constituer la cuvette du tassement (Fig. 3.6). Les premières études du mouvement de sol se sont portées sur l’observation in-situ. Les études suivantes ont appliqué des solutions analytiques, modèles réduits en laboratoire et en centrifugeuse ainsi que la technique de la modélisation numérique.

Figure 3.6 – Cuvette de tassements en surface (Attewell et al. 1986)

2.4.1 Méthodes empiriques et semi-empiriques Près du front de taille les effets tridimensionnels ne sont pas négligeables. A l’arrière du front on peut considérer que le champ de déformation est plan. Deux composantes verticale et horizontale suffisent donc pour décrire le champ de déplacements. Les méthodes empiriques visent à estimer ces paramètres à l’aide d’un nombre de données relativement limité telles que la profondeur du tunnel, son diamètre, la nature du massif et la perte du sol engendrée par la technique d’exécution.



2.4.1.1 Cuvette de tassements transversale en surface

En 1969, Peck a décrit les données de plus de vingt ouvrages disponibles à l’époque. Il a pu en déduire que la cuvette de tassement à court terme est approximativement décrite par une distribution normale ou une courbe Gaussienne qui évolue au fur et à mesure de l’avancement du tunnel. Ses résultats démontrent que les tassements au-dessus d’un tunnel sont symétriques autour de l’axe vertical du tunnel. Peck propose ainsi une estimation des tassements à différentes distances du centre de tunnel. Depuis, des données supplémentaires ont soutenu cette hypothèse (e.g. Attewell et Woodman, 1982). Il est généralement accepté que les différents modes de creusement ou encore la géométrie de la section transversale n’affectent pas la forme de la cuvette de tassement (e.g. New et Bowers, 1994) qui suit l’équation suivante :

)2

exp( 2

2

max iySS vv

−= (3-2)

où :

• Sv tassement à la distance horizontale y par rapport au centre de tunnel ; • Svmax le tassement maximal au centre de la cuvette ; • i abscisse du point d’inflexion de la cuvette de tassements.

Les aspects importants de la cuvette de tassements sont représentés sur la figure 3.7. La valeur du paramètre de largeur (i) détermine le tassement maximal pour une perte de volume donnée.

Figure 3.7 – Courbe Gaussienne pour la cuvette de tassement transversale en surface (Peck, 1969) Le point d’inflexion (i) est déterminé selon les conditions de terrain. Il ne dépend pas de la méthode de creusement adoptée (Gunn, 1993). Peck a noté que les différentes classes du sol donnent des rapports distincts entre (i) et la profondeur du tunnel. Suivant cette observation, O’Reilly et New (1982) ont exprimé le paramètre (i) par l’équation suivante :

0Kzi = (3-3) K dans cette équation est une constante adimensionnelle. Le K dépend du type de sol et z0 est la profondeur de l’axe du tunnel sous la surface de terrain. Basé sur des données acquises de 19 sites de terrain avec cohésion et 16 sites de terrain non cohérent situés en Angleterre, O’Reilly et New ont proposé la relation empirique suivante :



1,143,0 0 += zi pour un sol cohérent et (3-4)

1,028,0 0 −= zi pour un sol non cohérent (3-5) Les données des sites cohérents étaient meilleures. Elles couvrent une large gamme de la profondeur du tunnel (de 3,4 m à 34 m). Il est donc justifié de prendre une valeur constante pour le paramètre K indépendamment de la profondeur du tunnel et de son diamètre. D’autres auteurs ont confirmé pour les sols cohérents que la valeur de K est dans l’intervalle (0,4 - 0,5) et pour les sols non cohérents comprise entre 0,25 et 0,35.

2.4.1.2 Cuvette de tassement transversale en profondeur

Mair et al, (1993) admettent que la forme de la cuvette de tassement est conservée (Fig. 3.8) à une profondeur (Z) mais il convient d’utiliser une hauteur de tunnel égale à (Z0-Z), ce qui induit une pente de cuvette plus forte au niveau du point d’inflexion.

Figure 3.8 – Courbe Gaussienne pour la cuvette de tassement transversale en profondeur (Mair et

al, 1993)

2.4.1.3 Cuvette de tassement longitudinale

Attewell et Woodman (1982) ont étendu le modèle de Peck pour dériver la cuvette de tassements dans le sens longitudinal (Fig. 3.9) en sommant la distribution Gaussienne. Il est supposé que la moitié du tassement total a lieu lors du passage du front et le paramètre i pour cette section et celle transversale sont égaux. Toutefois, la dernière hypothèse est conservative car il est observé que la cuvette longitudinale est plus large que celle transversale.



Figure 3.9 – La courbe Gaussienne pour la cuvette de tassements longitudinale (Attewell et

Woodman, 1982)

2.4.1.4 Mouvements horizontaux

Il existe peu de données in situ qui traitent des mouvements horizontaux mais les essais en centrifugeuse (e.g. Mair, 1979) ont suggéré que les vecteurs de mouvement au-dessus d’un tunnel dans de l’argile raide convergent généralement vers une zone comprise entre le centre de tunnel et le radier. O’Reilly et New (1982) ont approximé le mouvement horizontal maximal pour qu’il corresponde au niveau de l’axe de tunnel. Cette hypothèse conduit à la distribution suivante de la surface horizontale de déplacements :

)(.)(0

ySzyyS vh = (3-6)

La figure 3.10 montre la distribution des déplacements horizontaux et la cuvette de tassement en surface. Selon les observations in situ de Cording et Hansmire (1979), le déplacement horizontal maximal théorique a lieu au point d’inflexion où max.6,0)( vh SyS = . Par conséquent, l’équation 3-6 peut être réécrite sous la forme :

max0

max .6,0. vh SziS = (3-7)

Figure 3.10 – Déplacements horizontaux et cuvette de tassement en surface (O'Reilly & New,

1982)



2.4.2 Etudes en laboratoire Des essais en laboratoire effectués à 1g peuvent jouer un rôle important pour identifier les paramètres qui influent le plus sur le problème du creusement. Dans cet esprit, Kim et al. (1996) ont réalisé des essais sur l’interaction entre des tunnels multiples. Ils trouvent des moments fléchissants significatifs qui se développent dans le tunnel construit lors du creusement du tunnel voisin. La modélisation en centrifugeuse a pour but de simuler un champ de contraintes réel. Mair (1979) utilise la centrifugeuse pour modéliser la rupture d’un tunnel peu profond non soutenu dans de l’argile. Des études plus récentes ont observé l’influence du renforcement de sol au-dessus de tunnel (Kuwano et al., 2000). D’autres études ont été dédiées au renforcement de front de taille (Grant et Taylor, 1996 ; Al-Hallak, 1999). A cause de leur coût relativement élevé et le temps nécessaire à les mettre en œuvre, les modèles réduits ne sont pas nombreux. De plus, la modélisation des phases de creusement ainsi que l’avancement du tunnelier d’une façon réaliste est très délicate à simuler en centrifugeuse. Des tentatives de prise en compte de structures en surface n’ont pas encore abouti. Malgré l’avancement des outils numériques, les modèles réduits en laboratoire ont un rôle important pour la validation des approches numériques.

2.4.3 Méthodes analytiques Les méthodes analytiques peuvent dans le meilleur des cas fournir une approximation du comportement du sol, car elles ne peuvent pas tenir compte de la complexité des méthodes de construction de tunnels, de la non linéarité et l’anisotropie du sol (Mair, 1999). Elles peuvent, toutefois, fournir une méthode utile et rapide de prévision des tassements en surface après avoir posé des hypothèses vis-à-vis de la géométrie, la stratigraphie, le comportement du sol, l’état initial de contraintes et les conditions aux limites(Dias, 1999). Deux solutions analytiques sont décrites par Chow (1994). La première, proposée par Poulos et Davies (1980) utilise la solution pour les déplacements verticaux causés par une charge ponctuelle dans un espace élastique demi-infini. La solution de Sagaseta (1987) est également décrite par Chow. Cette méhode basée sur les solutions de l’écoulement de fluide tient compte de la perte de volume. Chow dérive une solution pour les déplacements verticaux en tant que :

)(4 20

2

20

2

zyGzD

S+

=γ

(3-8)

où S est le déplacement vertical, γ est la densité de sol, G est le module de cisaillement et D est le diamètre du tunnel. Celma et Izquierdo (1999) généralisent la solution de Sagaseta à l’aide de deux coefficients permettant de prendre en compte la perte du sol et l’ovalisation circulaire du tunnel. Le tassement est donné par :

220

2

20

22

20

202

)()(

2)(

2zyzyz

zyz

S+−

−+

= δαεα (3-9)

α dans cette équation désigne le rayon du tunnel. Les prévisions basées sur cette méthode sont similaires à celles prédites à l’aide de la courbe Gaussienne.



2.4.4 Méthodes numériques L’utilisation des méthodes numériques pour la prévision des tassements dus aux constructions souterraines est de plus en plus fréquente dans la pratique de l’ingénierie. Près du front, les effets tridimensionnels ne sont pas négligeables mais loin derrière, on peut considérer que le champ de déformation est plan. En fonction de la prise en compte la modélisation du front de taille, deux types de simulation sont possibles :

L’analyse bidimensionnelle : La majorité des modèles numériques de tunnels sont bidimensionnels (en déformation plane). Mair et al. (1981), Finno et Clough (1985), Karakus et Fowell (2000), Romera et al. (2000), Drakos et al. (2002) et Tolis et Dounias (2002) décrivent la modélisation bidimensionnelle et confrontent leurs résultats aux données de terrain. Ce type d’analyse est couramment utilisé car il demande moins de ressources informatiques et de temps de calcul que la modélisation tridimensionnelle. Cependant, la représentation bidimensionnelle n’est pas capable de modéliser le passage du front de taille d’un tunnel dans le sens longitudinal, ni de modéliser une géométrie complexe telle que l’intersection entre deux tunnels (Augarde, 1997 ; Mahranha et Maranha das Neves, 2000 ; Fricker et Alder, 2001 ; Dias, 1999 et Vermeer, 2001).

L’analyse tri-dimensionnelle qui est actuellement de plus en plus utilisée (Rowe et

al, 1983 ; Augarde, 1997 ; Hernandez et al, 2000 ; Franzius, 2003 ; Mroueh, 1998 ; Dias, 1999 ; Fricker et Alder, 2001 ; Guedes de Melo et Santos Pereira, 2002 ; Vermeer, 2001 ; Möller, 2006 et Schweiger, 2001). La simulation tridimensionnelle est plus gourmande vis-à-vis du temps de calcul et nécessite plus de ressources informatiques par rapport aux analyses bidimensionnelles, ce qui limite leur utilisation dans l’industrie (Fricker et Alder, 2001 et Miliziano et al., 2002).

Lors de la modélisation numérique d’ouvrages souterrains, une attention particulière doit être portée sur les paramètres qui affectent la prédiction des mouvements de sol environnant. Ces paramètres comprennent : le modèle de comportement retenu pour représenter le sol, les conditions initiales de sol et la valeur de K0, les dimensions du maillage analysé, son raffinement et les conditions aux limites, la modélisation du soutènement de tunnel et la simulation du creusement. On se concentre dans le reste de ce chapitre sur le rôle du modèle de comportement choisi et son impact sur la prévision du mouvement de sol.

2.4.5 Comportement sous petites déformations et anisotropie des sols et la modélisation des ouvrages souterrains

L’intérêt d’utiliser des méthodes numériques pour analyser les ouvrages souterrains vient de leur capacité à représenter une géométrie complexe. Elles sont également ouvertes à des modèles de comportement plus réalistes pour représenter le sol. Quelques recherches (e.g. Chow, 1994 ; Jardine et al., 1986 ; BloodWorth, 2002 ; Bohac et al, 2002 ; Masin et Herle, 2005a ; Addenbrooke et al, 1997) ont permis de mettre l’accent sur l’importance du choix du modèle de comportement adéquat. L’anisotropie a certainement une influence mais le paramètre le plus important était la rigidité initiale généralement plus élevée en très petites déformations. La modélisation du creusement d’ouvrages souterrains aborde la question du choix de la loi de comportement adaptée à un problème particulier selon la sensibilité des ouvrages voisins vis-à-vis des mouvements engendrés par le processus du creusement :



2.4.5.1 Modélisation en élasticité linéaire

Considérer le sol comme un matériau élastique linéaire a été jugé inadapté, car les déplacements estimés impliquent un soulèvement du radier dû aux effets du déchargement et de la relaxation de contraintes (Rowe et al, 1983 ; Rankin, 1988 ; Chow, 1994).

2.4.5.2 Modélisation en élasticité linéaire associée à un critère de plasticité

L’utilisation des modèles élastique-linéaires parfaitement-plastiques a été mise en lumière par Rowe et al. (1983) qui ont trouvé que ce type de modèles permet d’établir une cuvette de tassement plus réaliste que les modèles élastiques linéaires. Ils ont également été mis en œuvre par Chow (1994) qui n’a pas trouvé une amélioration significative. Ce dernier auteur trouve d’ailleurs que l’utilisation d’un modèle élastique linéaire où la rigidité du sol augmente linéairement avec la profondeur améliore la prédiction des tassements. Gudes de Melo et Santos Pereira (2002) ont représenté le sol de Shanghai par un modèle élastique-linéaire parfaitement-plastique pour observer les tassements en surface. Ils ont trouvé que la cuvette de tassements observée numériquement était plus large et moins profonde que celle observée durant la construction. Mair et al. (1981) ont trouvé des résultats semblables avec la version modifiés du modèle Cam-Clay. Toutefois, Karakus et Fowell (2000) et Bolton et al. (1994) trouvent des prévisions raisonnables en couplant le modèle Cam-Clay modifié avec une élasticité non linéaire.

2.4.5.3 Modélisation en élasticité non linéaire

Les dépendances contrainte-déformaion sous petites déformations mises en évidence expérimentalement pour représenter le comportement de l’argile surconsolidée de Londres sous conditions non drainées par Jardine et al. (1986) couplées avec le critère de rupture de Mohr-Coulomb ont été mises en œuvre par Addenbrooke et al. (1997) et Franzius (2003) pour prédire les déformations du sol lors du creusement d’ouvrages souterrains dans l’argile de Londres. Gunn (1993) suggère un modèle non linéaire basé sur une relation de puissance entre la rigidité non drainée et le déviateur de contraintes. Ce modèle suppose que le sol est élastique parfaitement plastique (couplé avec le criètre de Tresca). Gunn utilise ce modèle pour simuler le creusement d’ouvrages souterrains dans l’argile de Londres. De plus, il a effectué des calculs élastiques linéaires et élasto-plastiques. La comparaison n’était pas assez satisfaisante (le tassement maximal n’était que 45% du tassement prévu) et les cuvettes de tassements étaient plus large que celles sur chantiers mais l’utilisation de ce modèle a mené à des meilleures prédictions.

2.4.5.4 Modélisation avec des modèles de comportement avancés

Chow (1994) constate que la prédiction en utilisant des modèles à multi-surfaces de charge donne des résultats satisfaisants en configuration bidimensionnelle lors de l’utilisation de dix surfaces de charge à l’intérieur de la surface de rupture. Toutefois, Grammatikopoulou et al. (2002) et Grammatikopoulou (2004) constatent que les modèles à deux et à trois surfaces de charge permettent d’avoir de bon résultats, mais les cuvettes des tassements étaient moins profondes et plus larges que l’équation Gaussienne prévoit. Le modèle non linéaire à multi-surfaces de charge d’Houlsby (1999) a été utilisé en configuration tridimensionnelle par Augarde (1997) ; Liu (1997) ; Bloodworth (2002) ; Wisser (2002) pour étudier l’interaction sol-structure lors du creusement d’ouvrages



souterrains. Ce modèle a permis d’avoir une réponse généralement plus satisfaisante que celle obtenue à l’aide des modèles élastiques linéaires.

2.4.5.5 Modélisation de l’anisotropie

L’anisotropie des sols et le choix de K0 ont une influence très variée sur la prédiction de la cuvette de tassement en surface. Simpson et al. (1996) ont effectué une série d’analyses bidimensionnelle du tunnel d’Heathrow Express. Ils ont utilisé un modèle élastique linéaire, un modèle élastique non linéaire isotrope et un modèle élastique non linéaire anisotrope pour conclure que tenir compte de l’anisotropie des sols permet d’avoir une meilleure cuvette de tassement. Cependant, Addenbrooke et al. (1997) ont conclu sur un modèle bidimensionnel que la modélisation de l’anisotropie n’améliore pas la prédiction de la cuvette de tassements si la non-linéarité du sol a été prise en compte. Potts et Zdravkovic (2001) comparent les cuvettes de tassements obtenues à l’aide d’une simulation bidimensionnelle en utilisant un modèle élastique linéaire isotrope, un modèle élastique linéaire anisotrope et un modèle non linéaire. Tous les trois cas ont donné des cuvettes de tassements plus larges et peu profondes lors de la confrontation aux mesures expérimentales. Afin d’évaluer l’influence de l’anisotropie plastique initiale lors du creusement d’un tunnel, Maranha et Vieira (2008) ont mis en œuvre en configuration bidimensionnelle, le modèle à multi-surfaces de charge de Kavvadas et Belokas (2001). Ils ont démontré sur une argile surconsolidée que la surface de charge avec rotation a une influence significative sur les déplacements. Une sensibilité considérable du modèle vis-à-vis du champ de contraintes initiales a été observée. Le rôle de l’anisotropie de la rigidité dans l’analyse tridimensionnelle a été étudié par Lee et Ng (2002) qui ont utilisé un modèle élastique parfaitement plastique et conclu que l’anisotropie est moins importante que le choix approprié de K0 pour la prédiction des cuvettes de tassement transversales et longitudinales. Les auteurs trouvent également que la modélisation en configuration tridimensionnelle conduit à améliorer les prédictions. Toutefois, et sur une suite d’analyse en configuration bidimensionnelle et tridimensionnelle en utilisant des modèles élastiques non linéaires isotropes ou non, Franzius et al. (2005) concluent que l’inclusion de l’anisotropie n’améliore pas sensiblement les prédictions en 2D ni en 3D.

3 CONCLUSIONS Les travaux souterrains se voient aujourd’hui comme la solution écologique préférée pour construire les infrastructures dans les zones urbaines très peuplées. La plupart des sites concernés sont fondées sur des dépôts d’argile, de limon et de sable généralement classés comme terrains meubles. Les mouvements induits par le creusement d’un tunnel sont transmis en surface. Or, les structures qui se trouvent à la proximité sont affectées. Pour évaluer les mouvements du sol, les géotechniciens disposent de plusieurs outils empiriques, analytiques ou encore numériques. Seules les méthodes numériques sont capables de simuler le problème de creusement dans toute sa complexité. Lors de la simulation numérique d’un ouvrage souterrain, une attention particulière doit être portée sur la modélisation du comportement du sol et sur les propriétés qui dominent la prédiction des mouvements.



Les modèles de comportement élastiques linéaires ont démontré rapidement leurs limitations à estimer convenablement les déplacements du sol. Des modèles plus avancés ont été implémentés dans des codes de calcul pour surmonter cette difficulté. Parmi ces modèles, les modèles élastiques non linéaires ont été utilisés en configuration bidimensionnelle avec succès pour modéliser les ouvrages souterrains. D’ailleurs, tenir compte de l’anisotropie du sol dans l’implémentation d’une loi de comportement complique sensiblement les procédures de son implémentation et l’identification de ses paramètres. Dans ce cas, les gains acquis en terme de prédiction de déplacements sont largement discutés. Néanmoins, peu d’études numériques d’ouvrages souterrains associés aux lois de comportement avancées sont mises en œuvre en configurations tridimensionnelle.

Partie II : Outils numériques et modèles implémentés dans FLAC3D

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PARTIE II

OUTILS NUMERIQUES ET MODELES IMPLEMENTES DANS FLAC3D

Partie II : Outils numériques et modèles implémentés dans FLAC3D

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Les deux outils numériques (PLAXIS et FLAC3D) utilisés pour la simulation numérique bi et tridimensionnelle menée par la présente thèse sont présentés en deux chapitre regroupés dans cette partie : Dans un premier temps, les deux codes de calcul sont brièvement présentés dans le chapitre 4 en particulier les modèles de comportement qu’on dispose lors de la modélisation d’un problème géotechnique. Le chapitre 5 aborde les modèles implémentés dans FLAC3D pour simuler les différents aspects rencontrés lors de la modélisation du creusement d’ouvrages souterrains et discutés dans la première partie de la thèse. A l’issue de cette partie, les modèles de comportement adoptés et mis en œuvre, leurs paramètres, leurs implémentations et études paramétriques sur les paramètres de chacun d’eux sont présentés.


Partie II : Outils numériques et modèles implémentés dans FLAC3D - 81 -

Chapitre 4

Outils numériques



SOMMAIRE

1 INTRODUCTION ............................................................................................... 83 2 PRESENTATION DU CODE DE CALCUL EN ELEMENTS FINI S « PLAXIS » ................................................................................................................ 83

2.1 Discrétisation en éléments finis .......................................................................... 84 2.2 Modèles de comportement .................................................................................. 84

2.2.1 Le modèle « Hardening Soil, HS » .......................................................................................85 2.2.2 Le modèle « Hardening Soil Small, HS-Small » ....................................................................85 2.2.3 Le modèle hypoplastique de Masin (2005)............................................................................85

3 PRESENTATION DU CODE DE CALCUL EN DIFFERENCES FINI ES « FLAC3D » ............................................................................................................... 85

3.1 Schéma de résolution explicite ........................................................................... 86 3.2 FLAC3D versus PLAXIS ................................................................................... 87 3.2 Modèles de comportement disponibles dans FLAC3D ........................................ 88

4 CONCLUSION ................................................................................................... 88



1 INTRODUCTION La simulation numérique d’ouvrages géotechniques en particulier le creusement des ouvrages souterrains est un problème complexe. Il présente notamment des difficultés d’ordre géométrique et géomécanique, ce qui nécessite un outil numérique bien adapté. Dans ce chapitre, les deux codes de calcul (PLAXIS et FLAC3D) utilisés pour la modélisation numérique, le schéma de résolution suivi ainsi que les modèles de comportement disponible dans chacun des deux codes qui visent à simuler le comportement du sol sont présentés.

2 PRESENTATION DU CODE DE CALCUL EN ELEMENTS FINIS « PLAXIS » PLAXIS est un code de calcul en éléments finis. La version utilisée dans la thèse est bidimensionnelle (version 8.4). Elle est spécialement conçue pour réaliser des analyses en déformation et en stabilité pour différents types d’applications géotechniques. Un problème tridimensionnel peut être représenté par un modèle en déformations planes ou en axisymétrie. Le code utilise une interface graphique pratique permettant aux utilisateurs de générer rapidement un modèle géomécanique et un maillage d’éléments finis basés sur la coupe de l’ouvrage à étudier.

Points de contraintes

Nœuds Élément triangulaire à 6 nœuds Élément triangulaire à 15 nœuds

Figure 4.1 – Position des nœuds et des points de contrainte dans les éléments de sol (Brinkgreve, 2002)

L’utilisateur peut choisir entre 6 et 15 nœuds d’éléments triangulaires (Fig. 4.1) pour représenter un ouvrage géotechnique. Par défaut, le logiciel propose des éléments triangulaires à 15 nœuds. Ce type d’éléments fournit une interpolation du quatrième ordre pour les déplacements. L’intégration numérique comporte ainsi douze points de Gauss (Fig. 4.1). Pour les éléments à 6 nœuds, les fonctions d’interpolation sont du deuxième ordre. Les éléments structures et les interfaces sont compatibles avec le type d’éléments de sol sélectionné.



2.1 Discrétisation en éléments finis

Selon la méthode des éléments finis, le milieu continu est divisé en un certain nombre d’éléments. Chaque élément est constitué d’un certain nombre de nœuds à certain nombre de degrés de liberté correspondant aux valeurs discrétisées des inconnues du problème à résoudre. Dans le cas de la discrétisation des éléments finis, les degrés de liberté correspondent aux composantes du déplacement. Pour un élément de volume V et de surface S, le champ de déplacements u est obtenu à partir des valeurs discrétisées d’un vecteur v aux nœuds en utilisant les fonctions d’interpolation assemblés dans une matrice N :

{ } [ ]{ }ii vNu = (4-1) Les fonctions d’interpolation dans la matrice N sont souvent appelées fonctions de forme. Les déformations résultantes doivent satisfaire l’équation du mouvement, ce qui résulte :

{ } [ ]{ }ii vB=ε (4-2) B dans l’équation 4-2 est la matrice d’interpolation des déformations composée des dérivées spatiales des fonctions d’interpolation. Les équations 4-1 et 4-2 peuvent être utilisées aussi bien pour l’écriture variationnelle incrémentale que pour l’écriture du taux de la forme. L’écriture du principe variationnel conduit à l’équation d’équilibre :

∫∫∫∫ −−+=∆V

iij

T

Si

T

Vi

T

Vij

T dVBdStNdVpNdVB 1σσ (4-3)

ti est le vecteur qui comprend les conditions aux limites vis-à-vis de la traction. pi représente le vecteur dû au chargement total appliqué à la structure. L’équation 4-3 est la condition de l’équilibre élaborée dans PLAXIS sous forme discrétisée. Les deux premiers termes de l’équation représentent le vecteur actuel des forces externes et le dernier terme représente le vecteur de la réaction interne hérité du pas de calcul précédent. La différence entre ces deux vecteurs s’annule par l’incrément de contraintes ( ijσ∆ ). La relation entre l’incrément de contraintes et celui de déformations est généralement non linéaire (voir chapitre 2), ce qui résulte que l’incrément de déformations ne se calcule pas directement et des procédures itératives globales sont requises pour satisfaire la condition d’équilibre (Equ. 4-3) en tous points du maillage.

2.2 Modèles de comportement

Le code en éléments finis PLAXIS comprend des lois de comportement à différents niveaux de complexité depuis l’élasticité linéaire jusqu’à un modèle permettant de tenir compte de la raideur du sol sous très petites déformations. Les détails de chaque modèle peuvent être trouvés dans le guide d’utilisateurs de PLAXIS. En plus de l’élasticité linéaire de Mohr-Coulomb et de Cam-Clay modifié, trois modèles avancés sont utilisés dans le cadre de la thèse afin de représenter le comportement du sol en élasticité non linéaire :



2.2.1 Le modèle « Hardening Soil, HS » Le modèle HS, dérivé du modèle hyperbolique de Duncan et Chang (1970) car il en reprend, en les améliorant, les formulations hyperboliques est adapté à tous les types de sols. Sa surface de charge est décrite par deux mécanismes avec écrouissage isotrope contrôlant respectivement les déformations volumiques et déviatoriques. Ce type de modèle est bien adapté à la modélisation de creusement d’ouvrages souterrains où on est simultanément devant un phénomène de chargement et déchargement (ce phénomène est ainsi pris en charge par une rigidité en déchargement/rechargement ref

urE

plus élevée que celle en chargement refE50 ). Une brève description du modèle HS se trouve dans l’annexe 3. La description complète du modèle est donnée par Schanz et al. (1999).

2.2.2 Le modèle « Hardening Soil Small, HS-Small » Des études récentes sur le modèle HS menées par Benz (2007) ont conduit à l’implémentation du modèle « Hardening Soil Small, HS-Small » qui tient compte de la raideur de sol sous très petites déformations lors de la modélisation numériques d’ouvrages géotechniques. Le développement mené par Benz (2007) comporte l’évolution du module de cisaillement sous petites déformations. Ce comportement est décrit par le modèle HS-Small en utilisant deux paramètres supplémentaires : 0G , le module en très petites déformations et 7,0γ , le niveau des déformations où le module de cisaillement est réduit à 70% de sa valeur initiale. Pour une description complète de ce modèle, on peut notamment se référer à Benz (2007). Une brève description est donnée dans l’annexe 3.

2.2.3 Le modèle hypoplastique de Masin (2005) Proposé par Masin (2005) et Masin et Herle (2005b) et implémenté récemment (Masin, 2010) dans PLAXIS2D, le modèle hypoplastique constitue une approche alternative à l’élastoplasticité pour la simulation du comportement des géomatériaux. En effet, ce modèle représente le comportement non linéaire en utilisant une équation non linéaire par rapport au taux de déformations ( εd ). En se basant sur l’état caractéristique (les cinq paramètres basiques du modèle ont le même sens physique des paramètres de Cam-Clay) et en intégrant l’effet de la raideur du sol en faibles déformations, le modèle hypoplastique est adapté à tous les types du sol. Une brève description du modèle hypoplastique se trouve dans l’annexe 3. La description complète du modèle est donnée par Masin (2005), Masin et Herle (2005b) et Masin (2010).

3 PRESENTATION DU CODE DE CALCUL EN DIFFERENCES FINIES « FLAC3D » La méthode des différences finies est sans doute l’une des plus anciennes méthodes de résolution numérique d’un système d’équations différentielles avec conditions initiales et conditions aux limites (Desai et Christian, 1977). Toute dérivée dans le système d’équations est remplacée par une expression algébrique en terme des variations intervenant dans le système d’équations (contraintes ou déformations) et en des lieux discrets de l’espace.



Quadrilatères superposés Vecteurs vitesse Vecteurs force nodale

= +

S∆

a

b

cd

a

b

)(biu&

)(aiu&

)1(S

iF

)2(S

)2(in

)1(in

Figure 4.2 – Discrétisation mixte en FLAC3D

FLAC3D est un code de calcul en différences finies permettant la résolution de problèmes en contraintes-déformations dans un milieu continu. La modélisation en FLAC3D repose sur une discrétisation en zones quadrangulaires du milieu : Les vitesses, les déplacements et les forces sont calculés aux nœuds du maillage (Fig. 4.2). Les tenseurs de contraintes et de déformations sont supposés uniformes sur chaque zone et sont évalués au centre de celles-ci à partir des vitesses et des forces aux nœuds. Il n’est donc pas nécessaire de construire ni d’inverser la matrice de rigidité globale, d’où un gain de temps notable par rapport à la méthode des éléments finis.

3.1 Schéma de résolution explicite

Le schéma de résolution est explicite : le calcul dans un élément est effectué sans tenir compte des éléments voisins. Le cycle de calcul (Fig. 4.3) comporte deux étapes principales :

La résolution des équations de mouvement (lois fondamentales de la dynamique) permet de calculer les champs de vitesses et de déplacements aux nœuds à partir des forces ;

Le calcul de l’incrément du tenseur de déformations à partir des vitesses nodales et celui du tenseur de contraintes à partir de la loi de comportement du milieu.

Comme le schéma de résolution en temps est explicite, les variables cinématiques sont déterminées à chaque cycle de calcul jusqu’à la convergence du modèle. Elle est obtenue lorsque la force de déséquilibre est inférieure à un seuil défini par l’utilisateur. Cet algorithme de résolution, par son schéma explicite aussi dénommé relaxation dynamique, permet de traiter les grands déplacements et les grandes déformations. Le modèle simulé peut l’être en considérant un état quasi-statique ou un comportement dynamique. Dans ce dernier cas, il est possible de faire des calculs en régime dynamique en considérant les conditions de convergence de toute méthode explicite (pas de temps critique) et en utilisant les valeurs d’amortissement correspondant à un comportement réaliste du milieu modélisé.



En comportement quasi-statique, une pondération inertielle automatique de chaque nœud ainsi qu’un amortissement artificiel sont utilisés pour optimiser les calculs.

Équations du mouvement

Relations contrainte-déformation(Modèle de comportement)

Nouvelles forcesou contraintes

Nouvelles vitesseset nouveaux déplacements

Figure 4.3 – Séquence de calcul générale (Billaux et Cundall, 1993)

3.2 FLAC3D versus PLAXIS

La méthode explicite de résolution présente des avantages et des inconvénients par rapport au schéma de résolution implicite utilisé par les codes en éléments finis. Ces différences sont listées dans le tableau 4.1. Une méthode explicite est donc bien adaptée pour un système comportant de grandes déformations, des lois de comportement complexe (non linéaires…), etc. Elle est par contre peu performante pour étudier des phénomènes s’étalant sur des temps simulés très longs, plusieurs mois ou années, de par son schéma itératif.

Tableau 4.1 – Méthodes explicites versus méthodes implicites (Cundall, 1980)

Explicite Implicite Le pas de temps doit être inférieur à une valeur critique pour assurer la stabilité

Pas de restriction sur le pas de temps, au moins pour certains schémas de résoltion

Peu de calculs par pas de temps Nombreux calculs par pas de temps Pas d’amortissement numérique significatif introduit pour les problèmes dynamiques

Amortissement numérique dépendant du temps pour les schémas inconditionnellement stables

Prise en compte de lois de comportement non linéaires sans itérations supplémentaires

Nécessité d’une procédure itérative pour la prise en compte de comportements non linéaires

Si le pas de temps est inférieur à sa valeur critique, une loi non linéaire est toujours suivie d’une manière correcte

Il est toujours nécessaire de démontrer que la procédure est : (a) stable ; et (b) physiquement correct, c'est-à-dire qu’elle permet de suivre un chemin de contraintes physiquement correct

Aucune matrice n’est construite. La mémoire nécessaire est minimum

Une matrice de rigidité doit être stockée. La mémoire nécessaire est importante

Aucune matrice n’étant construite, des grands déplacements peuvent être pris en compte avec quasiment aucun calcul supplémentaire

Des calculs supplémentaires sont nécessaires pour suivre de grandes déformations et de grands déplacements



3.2 Modèles de comportement disponibles dans FLAC3D

Un certain nombre de modèles de comportement (12 modèles en tous) sont disponibles dans le code de calcul FLAC3D. Le guide d’utilisateur de FLAC3D classe les modèles en trois groupes :

Le modèle nul : il est utilisé pour représenter des zones excavées de sol ; Les modèles élastiques : le modèle élastique linéaire et isotrope, le modèle

élastique orthotrope et le modèle élastique transversalement isotrope ; Les modèles plastiques.

Les modèles plastiques eux-mêmes se regroupent sous deux catégories :

Le modèle élastique parfaitement plastique de Mohr-Coulomb ; Le modèle élastoplastique avec écrouissage de Cam clay.

Tous les modèles de comportement sont implémentés en utilisant le même algorithme numérique incrémental : à partir des contraintes du pas précédent et de l’incrément de déformations totales du pas de temps actuel, l’incrément de contraintes correspondant est calculé et le nouvel état de contrainte est alors déterminé.

4 CONCLUSION La modélisation numérique d’un ouvrage géotechnique, réalisée à l’aide d’un code de calcul aux différences finies ou aux éléments finis, est une approche simplifiée de la réalité géométrique et géomécanique de l’ouvrage. Les propriétés les plus importantes vis-à-vis de la prédiction des contraintes et des déformations doivent être étudiées et prises en compte lors de la modélisation d’un problème particulier. Deux codes de calcul : PLAXIS et FLAC3D ont été utilisés dans la thèse pour simuler le creusement d’ouvrages souterrains pour lesquels on s’est concentré sur la représentation du comportement du massif de sol. Les modèles disponibles dans les deux codes ont été brièvement décrits. Des modèles de comportement à différents niveaux de complexité ont été sélectionnés et introduits dans FLAC3D pour étudier l’impact de la prise en compte d’un comportement plus réaliste du sol lors de la modélisation du creusement. Le chapitre suivant présente les procédures à suivre pour implémenter des modèles de comportement mécanique dans FLAC3D. Les modèles retenus ainsi que leurs implémentation dans le code de calculs en différences finies seront également présentés.



Chapitre 5

Modèles implémentés dans FLAC3D



SOMMAIRE

1 INTRODUCTION ...................................................................................................... 91 2 IMPLEMENTATION DE MODELES DE COMPORTEMENT MECANIQUE DANS FLAC3D ............................................................................................................... 91 3 ECRITURE INCREMENTALE DU COMPORTEMENT NON LINEAIRE DE SOL.................................................................................................................................. 92 4 MODELE MOHR-COULOMB DE BASE................................................................. 94

4.1 Critère de plasticité de Mohr-Coulomb............................................................... 94 4.2 Règle d’écoulement non associée en cisaillement et associée en traction ............ 96 4.3 Paramètres du modèle MC.................................................................................. 97

5 MODELE DE JANBU ................................................................................................ 98 5.1 Paramètres du modèle de Janbu .......................................................................... 99

5.1.1 Paramètres plastique de Mohr-Coulomb ..............................................................................99 5.1.2 Paramètres de la rigidité de sol ...........................................................................................99

5.2 Implémentation du modèle de Janbu dans FLAC3D ........................................... 99 5.3 Etude paramétrique sur le modèle de Janbu ........................................................ 99 5.4 Modèle de Janbu versus modèle Mohr-Coulomb de base ...................................101 5.5 Conclusion sur le modèle de Janbu ....................................................................102

6 MODELE HYPERBOLIQUE DE DUNCAN & CHANG.........................................102 6.1 Propriétés élastiques initiales ............................................................................104 6.2 Paramètres élastiques en petites déformations ...................................................105 6.3 Raideur du sol en déchargement-rechargement ..................................................106 6.4 Paramètres du modèle de Duncan et Chang .......................................................107

6.4.1 Paramètres plastique de Mohr-Coulomb ............................................................................107 6.4.2 Paramètres élastiques sous très petites déformations .........................................................107 6.4.3 Paramètres élastiques sous petites déformations ................................................................107 6.4.4 Paramètres avancés ...........................................................................................................107

6.5 Implémentation du modèle Duncan et Chang dans FLAC3D .............................107 6.6 Etude paramétrique sur le modèle de Duncan et Chang......................................108 6.7 Conclusion sur le modèle de Duncan et Chang implémenté ...............................109

7 MODELE DE FAHEY & CARTER..........................................................................109 7.1 Raideur du sol sous très petites déformations ....................................................109 7.2 Raideur du sol sous petites déformations ...........................................................110 7.3 Paramètres du modèle de Fahey et Carter ..........................................................111

7.3.1 Paramètres plastique de Mohr-Coulomb ............................................................................111 7.3.2 Paramètres élastiques sous très petites déformations .........................................................111 7.3.3 Paramètres élastiques sous petites déformations ................................................................111

7.4 Implémentation du modèle de Fahey et Carter dans FLAC3D............................111 7.5 Etude paramétrique sur le modèle de Fahey et Carter ........................................111 7.6 Conclusion sur le modèle de Fahey et Carter .....................................................112

8 MODELE DE FAHEY & CARTER AVEC RADOUCISSEMENT EN PLASTICITE (FAHEYSOFT).......................................................................................113 9 FLAC3D ET LA SIMULATION D’UN SOL ANISOTROPE..................................114 10 CONCLUSION .........................................................................................................115



1 INTRODUCTION Les modèles de comportement développés pour représenter le comportement complexe des géomatériaux ont été discutés dans le deuxième chapitre de la thèse. Il a été retenu qu’un modèle complexe tel que les modèles à multi-surfaces de charge nécessite des efforts considérables pour déterminer ses paramètres. Ils sont alors adaptés pour modéliser le comportement d’un ouvrage géotechnique complexe et moins adaptés à la modélisation d’ouvrages géotechniques classique. Ce type de modèle reste d’ailleurs un outil performant pour la recherche scientifique. Partant de cette constatation, on adopte une série de modèles de comportement à différents niveaux de complexité pour qu’ils soient implémentés dans FLAC3D afin de tenir compte de la non linéarité des sols sous petites déformations, de la rigidité généralement plus élevée sous très petites déformations ainsi que de l’histoire des sollicitations auxquelles le sol est soumis. Après avoir présenté les procédures indispensables pour l’implémentation de nouveaux modèles de comportement mécanique et le modèle Mohr-Coulomb de base (tel qu’il est implémenté) dans FLAC3D, on adopte une variation de la raideur du sol en fonction de la profondeur. Bien évidemment, ce type de modèle n’est pas non linéaire mais il est couramment utilisé lors de la modélisation numérique pour tenir compte des meilleures caractéristiques du sol lorsqu’on s’éloigne de la surface. Couplé avec le critère de Mohr-Coulomb, le modèle de Janbu (1963) permet d’améliorer les caractéristiques du sol avec la profondeur. Le deuxième modèle implémenté est une version modifiée du modèle hyperbolique de Duncan et Chang (1970). Cette version adopte une raideur plus importante sous très petites déformations. Le reste de ce chapitre est dédié au modèle de Fahey & Carter (1993). Après avoir l’implémenter, le modèle de Fahey & Carter a été couplé avec le modèle Strain Hardening/Softening pré-implémenté dans FLAC3D pour mieux représenter le comportement d’un sol surconsolidé (le modèle de FaheySoft). Seront représentés dans ce chapitre, les différentes équations des modèles de comportement, leurs implémentations, leurs validations ainsi que des études paramétriques de l’influence de la variation d’un de leurs paramètres sur la réponse globale du modèle considéré. L’anisotropie des sols est étudiée à l’aide du modèle élastique anisotrope déjà disponible dans FLAC3D.

2 IMPLEMENTATION DE MODELES DE COMPORTEMENT MECANIQUE DANS FLAC3D Il est tout a fait possible d’introduire de nouvelles lois de comportement mécaniques dans le logiciel. Cela est possible avec l’intermédiaire du langage de programmation interne au logiciel (FISH). Le nouveau modèle peut être également implémenté en langage C++ (la version utilisée dans la thèse est Visual C++ 2005 Express Edition), puis compilé en fichier *.dll (Dynamic Link Library). Dans le cadre de cette thèse nous avons mis en œuvre cette dernière solution, qui est nettement plus efficace que la programmation en FISH en terme de temps de calcul. La même convention de signes que FLAC3D est adoptée pour la mise en œuvre des modèles proposés. Ainsi, les trois contraintes principales sont de telle sorte que 321 σσσ ≤≤ et la contrainte de compression est négative. La démarche adoptée pour l’implémentation de nouvelles lois de comportement est identique à celle mise en œuvre pour les modèles disponibles dans le logiciel : un état de contrainte élastique est calculé à partir de l’état de contraintes actuel et des déformations



totales. Si cet état de contraintes viole le critère de plasticité, il est procédé à une correction de contraintes afin de satisfaire au critère.

3 ECRITURE INCREMENT ALE DU COMPOR TEMENT NON LINEAIRE DE SOL Dans la phase élastique, l’écriture du modèle de comportement se base sur la forme incrémentale de la loi d’Hooke, qui s’exprime en terme d’incréments de contraintes et de déformations :

)(

)(

)(

212313

312212

322111

eee

eee

eee

εεαεασ

εεαεασ

εεαεασ

∆+∆+∆=∆

∆+∆+∆=∆

∆+∆+∆=∆

(5-1)

où 1α et 2α sont des constantes matérielles définies par les paramètres élastiques (K et G) du sol. Elles sont déterminées à partir des équations suivantes :

GK

GK

3234

2

1

−=

+=

α

α (5-2)

Dans un modèle non linéaire, les paramètres élastiques ne sont pas constants mais dépendent des contraintes (voir chapitre 2). En effet, si on fait dépendre les modules K et G (ou ν et E) de la pression moyenne on pourra donner une sorte de non linéarité au comportement des sols. On adopte ce principe pour implémenter dans la présente thèse les modèles de comportement non linéaires (Duncan & Chang, Fahey & Carter et FaheySoft). Les modèles non linéaires sont implémentés dans FLAC3D suivant les mêmes procédures que ceux déjà implémentés et bien détaillées dans Itasca (2005). Les modules élastiques dépendent donc des valeurs initiales qui sont calculées directement lors de la phase d’initialisation complétée avant le premier pas de calcul. Les composantes de l’incrément de déformations totales ( iε∆ ) soit égales à la somme des déformations élastiques et

plastiques ( pi

eii εεε ∆+∆=∆ ), les composantes de l’incrément de contraintes ( iσ∆ ) sont

données par :

{ } [ ]{ }piii C εεσ ∆−∆=∆ (5-3)

Les composantes de l’incrément de déformations plastiques sont inconnues, Elles sont nulles avant de violer le critère ( 0<f ) et les déformations sont entièrement élastiques. Une fois le critère atteint, ( 0=f ), l’écoulement plastique a lieu et les déformations

plastiques ( piε∆ ) s’expriment selon la théorie de la plasticité (

i

pi

Gσ

λε∂∂

=∆ ).



L’incrément de déformations totales ( iε∆ ) est ensuite utilisé dans l’écriture incrémentale

de la loi d’Hooke pour dériver l’incrément de contraintes ( Iiσ∆ ) tout en supposant que les

déformations totales sont élastiques :

{ } [ ]{ }iIi C εσ ∆=∆ (5-4)

En effet, l’équation 5-4 est une estimation des vraies valeurs de ( iσ∆ ). Cette estimation

indique les valeurs correctes lorsque ( 0=∆ piε ). L’incrément de contraintes ( I

iσ∆ ) est

ajouté aux valeurs actuelles de contraintes ( oldiσ∆ ) :

Ii

oldi

Ii σσσ ∆+= (5-5)

Les contraintes principales obtenues à ce stade ( III

321 ,, σσσ ) sont des estimations élastiques car elles sont calculées en supposant que le comportement est purement élastique. L’estimation élastique est ensuite utilisée pour évaluer les deux critères (celui de cisaillement et celui de traction). Si aucun des deux critères n’est violé, cela implique que l’état de contraintes se situe à l’intérieur ou sur la surface les limites de la région élastique. Dans ce cas, l’incrément des déformations plastiques est nul ( 0=∆ p

iε ), ce qui donne

( Iii σσ ∆=∆ ) et les nouvelles contraintes ( N

iσ ) égale aux estimations élastiques des

contraintes ( Iiσ ). Si les contraintes III

321 ,, σσσ violent l’un des deux critères, les contraintes doivent être corrigées en utilisant la règle d’écoulement correspondante :

{ } { } [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

−=i

Ii

Ni

GCσ

λσσ (5-6)

Le scalaire non nul λ est calculé à partir de la condition de consistance pour un matériau parfaitement plastique. Cette condition implique que tout état de contraintes qui satisfait à l’un des deux critères doit rester sur la surface de charge ( { } 0=N

if σ ) lors de l’écoulement plastique. Le scalaire λ est ainsi obtenu par la résolution du système d’équations définie par :

( ) { } [ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

−=i

Ii

Ni

GCffσ

λσσ (5-7)

Violer l’un des critères se traduit par la violation de la surface de charge composée de deux fonctions telle que soit ( ) 0, 31 ≤IIh σσ soit ( ) 0, 31 >IIh σσ . Dans le premier cas, une rupture

en cisaillement aura lieu, et les contraintes NNN321 ,, σσσ sont évaluées par les équations

suivantes :

)(

)1(

)(

2133

122

2111

ααλσσ

αλσσ

ααλσσ

ψ

ψ

ψ

+−−=

−−=

−−=

N

N

N

SNN

SNN

SNN

(5-8)



Avec :

( )( ) ( ) ϕψψ αααα

σσλ

NNNF IIS

S

2121

31 ,−+−

= (5-9)

Dans le deuxième cas, la rupture en traction aura lieu et les nouvelles contraintes principales sont évaluées par les équations :

133

222

211

αλσσ

αλσσ

αλσσ

TNN

TNN

TNN

−=

−=

−=

(5-10)

Avec :

1

3

ασσ

λTI

T −= (5-11)

Les composantes du tenseur de contraintes dans le système des axes de référence sont alors calculées à partir des principales valeurs en supposant que les directions principales n’ont pas été affectées par la correction plastique. Enfin, les modules élastiques sont mis à jour avec les nouvelles valeurs de contraintes.

4 MODELE MOHR-COULOMB DE BASE Le modèle Mohr-Coulomb de base (MC) est un modèle élastique linéaire couplé avec le critère de plasticité parfaite de Mohr-Coulomb (voir chapitre 2) associé à une limite de traction. Il se base sur une écriture incrémentale de la théorie d’élasticité. Une fois la plasticité apparue, l’élasticité est associée à la plasticité parfaite de Mohr-Coulomb. Les modèles élastoplastiques ont été discutés dans le chapitre 2. Seule le critère de la plasticité et les paramètres du modèles Mohr-Coulomb de base nécessaires pour l’écriture d’un modèle non linéaire seront discutés.

4.1 Critère de plasticité de Mohr-Coulomb

La surface de charge utilisée pour la mise en œuvre du modèle élastique linéaire parfaitement plastique de Mohr-Coulomb est fondée sur le critère de Mohr. Le critère de Mohr lui-même, se base sur l’hypothèse que la contrainte de cisaillement maximale est la seule composante décisive de la rupture et que la contrainte principale intermédiaire n’a aucune influence. Le critère de rupture de Mohr-Coulomb considère également la contrainte de cisaillement (τ) dans un plan donné comme fonction de la contrainte normale (σ) :

)(στ f= (5-12)

)(σf est une fonction à déterminer expérimentalement. Suivant ce critère, le matériau est en rupture pour tous les états de contrainte qui se trouvent à l’extérieur de l’enveloppe tangente des cercles de Mohr. La forme la plus simple de l’enveloppe de Mohr )(σf est une relation linéaire entre τ et σ. L’équation de l’enveloppe linéaire est l’équation de



Coulomb. Si le terme c désigne la cohésion du sol et φ son angle de frottement interne, on peut réécrire l’équation 5-12 sous la forme suivante :

ϕσστ tan.)( −== cf (5-13) Le critère de rupture associé à l’équation 5-13 se réfère au critère de Mohr-Coulomb dans la mécanique des sols. En terme de contraintes principales on peut écrire :

( ) ( ) ( )ϕϕ

σσσσϕσσ tan.sin

221cos

21 31

3131 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−++−=− c (5-14)

ou encore :

ϕϕ

ϕϕσσ

sin1cos2

sin1sin1

31 −−=

−+

− c (5-15)

Si on suppose

ϕϕ

ϕ sin1sin1

−+

=N (5-16)

cela nous amène à réduire l’équation 5-15

ϕϕσσ NcN 231 −=− (5-17) Pour illustrer la forme du critère dans l’espace tridimensionnel, il est important de l’exprimer en terme des invariants I1, J2 et θ (voir Annexe 1) :

0cossin31cos

331sinsin

31 2

1 =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ ϕϕπθπθϕ c

JJI (5-18)

Le critère de Mohr-Coulomb implémenté dans FLAC3D adopte en plus du critère de rupture en cisaillement un autre critère de rupture (celui en traction). Deux fonctions sont alors nécessaires pour définir le début de la rupture : le début de la rupture en cisaillement est indiqué par la fonction FS :

ϕϕσσ NcNF S 231 +−= (5-19) et celle en traction définie par la fonction FT :

TTF σσ −= 3 (5-20)

où Tσ est la résistance du matériau en traction. Sa valeur maximale est ϕ

σtanmax

cT = . Ces

deux fonctions constituent la combinaison de contraintes pour laquelle un écoulement plastique aura lieu. De plus, elles présentent une surface dans l’espace généralisé de



contraintes. Tous les points de contraintes qui se trouvent au-dessous de cette surface sont considérés élastiques.

4.2 Règle d’écoulement non associée en cisaillement et associée

en traction

Une fois la plasticité apparue, les déformations plastiques sont censées être dérivées du potentiel plastique G qui a l’expression suivante pour le modèle de Mohr-Coulomb :

constante=−+

−ψψσσ

sin1sin1

31 (5-21)

et si on suppose que

ψψ

ψ sin1sin1

−+

=N (5-22)

l’équation 5-21 s’écrit sous la forme :

constanteN =− ψσσ 31 (5-23) Dans ces équations, ψ est l’angle de la dilatance. Comme le montre l’équation 5-23, la contrainte principale intermédiaire n’intervient pas. Par conséquent, la règle d’écoulement adoptée propose que les déformations plastiques ne se développent pas dans le sens de la contrainte intermédiaire et seules les deux autres directions de contraintes permettent l’apparition des déformations plastiques. D’une façon similaire à la limite de l’élasticité, le potentiel plastique est décrit dans FLAC3D par deux fonctions (GS et GT) qui désignent respectivement l’écoulement plastique en cisaillement et celui en traction. La fonction GS correspond à une règle non associée :

ψσσ NG S31 += (5-24)

La fonction GT correspond à une règle associée :

3σ−=TG (5-25) En effet, la règle d’écoulement adoptée par FLAC3D est donnée par une définition unique. Pour ce faire, une fonction unique 0),( 31 =σσh qui représente la frontière entre la

représentation graphique de 0=SF et celle de 0=TF dans le plan 31 σσ − comme le montre la Figure 5.1 a été mise en œuvre.



σ3

FT = 0

σ3

FS = 0

h = 0

Domaine 2

Domaine 1

-

-

-

++

+

Figure 5.1 – Les domaines utilisés pour définir la règle d’écoulement plastique du modèle MC

(Itasca, 2005)

La fonction qui a été sélectionnée (Fig. 5.1) prend la forme :

)( 13ppT ah σσσσ −+−= (5-26)

où les constantes pa et pσ sont déduites respectivement des relations :

ϕϕ NNa p ++= 21 et 22 ϕϕσσ NcNTp −= . Lorsque le critère plastique est atteint (le point qui représente un état de contraintes dans le plan 31 σσ − se trouve dans l’un des deux domaines 1 ou 2 qui correspondent respectivement aux domaines négatif et positif de 0=h (Fig. 5.1). Si l’état de contraintes se situe dans le domaine 1, une rupture en cisaillement est déclarée et le point de contraintes est ramené à la courbe 0=SF en utilisant la règle d’écoulement provenant du potentiel plastique ( SG ). Néanmoins, si le point tombe dans le domaine 2, une rupture en traction aura lieu et le point de contraintes est conforme à 0=TF en utilisant la règle d’écoulement provenant de TG . Les procédures adoptées par FLAC3D pour l’implémentation du modèle MC sont résumées sur le schéma annexé dans l’Annexe 4 à la fin de thèse.

4.3 Paramètres du modèle MC

Le modèle Mohr-Coulomb de base comprend cinq paramètres. Deux paramètres (E, ν) pour définir la phase élastique du modèle et trois paramètres pour le critère de plasticité (φ, c et ψ). Ces paramètres sont identifiés à partir d’essais expérimentaux (Fig. 5.2). Le module d’Young (E) correspond à la pente de la courbe contrainte déviatorique-déformation axiale. La pente initiale de la courbe déformation volumique-déformation axiale conduit à la détermination du module de Poisson (ν) et la pente plastique de cette courbe détermine l’angle de la dilatance (ψ). Les deux paramètres plastiques (c, φ) se déterminent à partir du seuil plastique atteint.



q

ε1

ε1

εv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ψ

ψsin1

sin2tana( )υ21tan −a

ϕσσϕ sin)(cos2 31 +−cE

1

Figure 5.2 – Détermination de paramètres du modèle de base de Mohr-Coulomb

5 MODELE DE JANBU La pratique a démontré (pour un site donné) que dans le cas de sols homogènes les caractéristiques du sol s’améliorent lorsque l’on s’éloigne de la surface. Implémenté dans le code de calcul en différences finies (FLAC3D), le modèle de Janbu dérivé du modèle de Mohr-Coulomb, permet d’améliorer les caractéristiques du sol en fonction de la profondeur (la pression moyenne). L’amélioration se traduit par une rigidité croissante avec la profondeur. Janbu (1963) propose l’équation suivante pour représenter le module d’Young en fonction de la profondeur :

m

aE

a PK

PE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′= 3.

σ (5-27)

Dans cette équation :

- E : le module d’Young ; - Pa : la pression de référence (100 kPa) ; - σ3 : la contrainte principale mineure ; - KE et m : sont les paramètres de Janbu.

Afin de formuler le modèle dans l’espace tridimensionnelle, l’équation (5-27) a été légèrement modifiée, le module d’Young prend alors la formulation suivante :

m

aE

a PPK

PE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′= . (5-28)

où P’ est la pression moyenne. La pression atmosphérique (Pa) est utilisée pour rendre le coefficient KE, adimensionnel. Par conséquent, le modèle de Janbu ajoute un paramètre supplémentaire au modèle de Mohr-Coulomb.



Un paramètre supplémentaire (E_ini) a été ajouté au modèle de Janbu pour éviter des valeurs trop faibles du module d’Young ainsi que pour tenir compte d’une certaines surconsolidation du sol analysé. Concrètement, l’introduction de ce paramètre consiste à décaler la raideur calculée par la modèle de Janbu par la valeur de E_ini. Cependant, le coefficient de Poisson (ν) reste un paramètre d’entrée constant.

5.1 Paramètres du modèle de Janbu

Les paramètres du modèle de Janbu sont :

5.1.1 Paramètres de résistance c : cohésion du sol ; ϕ : angle de frottement interne ; ψ : angle de dilatance.

5.1.2 Paramètres de la rigidité de sol

EK : nombre du module d’Young ; m : exposant du module d’Young ; ν : coefficient de Poisson ; E_ini : module d’Young initial.

5.2 Implémentation du modèle de Janbu dans FLAC3D

L’implémentation du modèle de Janbu dans FLAC3D est très proche de celle de MC. La seule différence réside dans le calcul des paramètres élastiques du sol. En effet, les paramètres du MC sont constants partout dans le maillage. Néanmoins, le module d’Young (E) dans le modèle de Janbu dépend de la pression moyenne du sol qui varie à son tour selon la profondeur analysée. Il prend alors sa valeur après l’introduction des conditions initiales. Le schéma adopté pour l’implémentation du modèle de Janbu est annexé à la fin de la thèse (Annexe 4). Une fois les paramètres élastiques calculés, ils restent constants pendant toutes les phases suivantes de calcul.

5.3 Etude paramétrique sur le modèle de Janbu

La définition du module d’Young (E) n’est pas nécessaire car il est déduit automatiquement lors de l’introduction des conditions initiales des paramètres de Janbu pour chaque élément du maillage analysé. Il est à noter que les paramètres de Janbu n’ont pas de sens physique. La détermination de leur valeur est possible à partir de la distribution in situ de la rigidité du terrain (à l’aide d’un essai pressiométrique par exemple). Les figures 5.3 et 5.4 montrent un exemple du calage possible sur les données in situ. Sur ces figures la formule analytique de Janbu est appliquée pour calculer la distribution verticale du module d’Young dans un maillage de 50 m de profondeur. Les valeurs numériques de référence sont 500 et 0,65 respectivement pour les paramètres KE et m. L’impact de la variation de ces deux paramètres de 100 à 900 pour KE et de 0,1 à 2,0 pour m est présenté respectivement sur les figures 5.3 et 5.4.



Comme le montre cet exemple, le modèle de Janbu est plus sensible à la variation du paramètre de puissance (m) qu’à celle du paramètre KE. En effet, la variation du module d’Young est linéaire pour m égal à l’unité. Au-delà de cette valeur, on attend un module beaucoup plus important (surtout en profondeur). En couplant les deux paramètres, on peut arriver à une représentation satisfaisante des mesures in situ du module d’Young en fonction de la profondeur.

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200 250 300 350Module d'Young (MPa)

Prof

onde

ur (m

)

KE100KE500 (Ref)KE900

Figure 5.3 – Sensibilité du modèle de Janbu vis-à-vis du paramètre KE (m = 0,65)

0

10

20

30

40

50

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Module d'Young (MPa)

Prof

onde

ur (m

)

m0,65 (Ref)m0,1m1,0m2,0

Figure 5.4 – Sensibilité du modèle de Janbu vis-à-vis de la variation du paramètre m (KE = 500)



5.4 Modèle de Janbu versus modèle Mohr-Coulomb de base

Pour confronter le modèle de Janbu au modèle MC de base, on simule un essai triaxial drainé pour trois profondeurs (trois pressions de confinement: 100, 250 et 500 kPa). Le modèle numérique réalisé est présenté sur la figure 5.5. Le maillage comporte une seule zone. Dans la phase initiale, une pression de confinement (σconf) est appliquée à l’échantillon. Une fois l’équilibre initial atteint, une vitesse de déplacement (V) est appliquée sur le bord supérieur du maillage. Toutefois, le bord inférieur du modèle est fixé dans la direction verticale. Les valeurs numériques des différents paramètres de deux modèles sont présentées dans le tableau 5.1.

Tableau 5.1 – Le modèle numérique de l’essai triaxial

Modèle c kN/m2

ϕ (°)

ψ (°)

ν E kN/m2

KE m

MC 20 20 0 0,30 60×103 - - Janbu 20 20 0 0,30 - 300 0,50

σconf

V

Figure 5.5 – Le modèle numérique de l’essai triaxial

La figure 5.6 nous montre les résultats de l’analyse numérique réalisée. La rigidité du sol (la pente de la courbe contrainte déviatorique-déformation axiale) est constante quelque soit la pression de confinement appliquée lors de l’utilisation du modèle MC. Pour le modèle de Janbu, la rigidité varie en fonction de la pression de confinement appliquée. Elle augmente lors de l’application d’une pression de confinement plus importante. En pratique, ce fait se traduit par une raideur croissante lorsqu’on s’enfonce loin de la surface du sol. Il est à noter que la sensibilité du modèle numérique vis-à-vis des déformations volumiques est diminuée pour le modèle de Janbu car les déformations volumiques varient entre 2,36% et 3% contre 1,15% et 4,2% pour le modèle MC.



0

200

400

600

800

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20Déformation Axiale

Con

trai

nte

Dév

iato

rique

(KPa

)

0

200

400

600

800

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20Déformation Axiale

Con

trai

nte

Dév

iato

rique

(kPa

)

-0,06

-0,04

-0,02

0,000,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Déformation Axiale

Déf

orm

atio

n Vo

lum

ique

100 kPa (MC)

250 kPa (MC)

500 kPa (MC)

-0,06

-0,04

-0,02

0,000,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Déformation Axiale

Déf

orm

atio

n Vo

lum

ique

100 kPa (Janbu)

250 kPa (Janbu)

500 kPa (Janbu)

(a) (b) Figure 5.6 – Modèle de Janbu (b) versus modèle MC de base (a) sur un essai triaxial drainé

5.5 Conclusion sur le modèle de Janbu

Il est sans aucun doute évident que la mise en œuvre d’un module d’Young constant pour tous les éléments du maillage analysé n’est pas une hypothèse valable. La façon la plus simple de considérer un module variable au sain du massif de sol est abordée dans le modèle de Janbu. Le principe consiste à modifier le module d’Young en fonction de la position verticale de chaque élément lors de l’introduction des conditions initiales dans le maillage étudié. Bien que cette variation soit simple et ne tienne pas compte de l’hétérogénéité du sol et l’existence des couches faibles en profondeur, elle réussit grâce à ses deux paramètres (KE et m) et le paramètre supplémentaire (E_ini) à représenter la variation du module d’Young mesurée lors d’un essai pressiométrique. Toutefois, pour une profondeur donnée le module est constant quelque soit sa distance à l’ouvrage analysé. Il est alors important d’implémenter un modèle de comportement plus général et capable de représenter le comportement du terrain en fonction des contraintes ou des déformations engendrées par l’ouvrage installé et non plus en fonction de la position verticale d’éléments de maillage.

6 MODELE HYPERBOLIQUE DE DUNCAN & CHANG Plusieurs modèles de comportement ont été proposés pour simuler le comportement non linéaire des sols (voir chapitre 2). Toutefois, l’utilité pratique de ces modèles est limitée car ils nécessitent la détermination d’un bon nombre de paramètres complexes à mesurer à partir d’essais classiques en laboratoire de mécanique des sols. De ce point de vue, les modèles hyperboliques sont très attractifs à la fois pour le calcul numérique et la pratique. Leurs paramètres sont facilement déterminés à partir d’essais standards de laboratoire en suivant des procédures bien définies. De plus, plusieurs de ces paramètres ont déjà été



utilisés par de nombreux auteurs et une importante base de données existe. Du point de vue pratique, les modèles hyperboliques ont été utilisés pour analyser un certain nombre de problèmes de mécanique des sols en statique et quasi-statique et ont montré leur capacité à dégager les aspects essentiels du comportement de ces ouvrages (Hardin et Drnevich, 1972a par exemple). Le modèle hyperbolique de Duncan et Chang (1970) présenté ici est un membre des modèles hypoélastiques. Les relations incrémentales de contrainte-déformation sont formulées directement comme une simple extension du modèle élastique linéaire isotrope avec des modules élastiques constants remplacés par des modules tangents variables en fonction des invariants de contraintes et / ou de déformations. La phase élastique du modèle hyperbolique implémenté dans FLAC3D est présenté ici en détail. La plasticité suit le critère de rupture de Mohr-Coulomb précédemment présenté. En effet, Ohde (1939) suggère que la rigidité du sol dépende des contraintes déviatoriques par l’intermédiaire d’un paramètre de type puissance. Toutefois, Konder (1963) propose d’utiliser une fonction hyperbolique pour représenter la courbe contrainte-déformation des sols cohérents ou non. Le modèle hyperbolique développé par Duncan et Chang (1970) a été fondé sur ces deux idées primaires. La figure 5.7 montre l’hyperbole proposée par Duncan et Chang (1970). L’écriture mathématique prend la forme suivante :

( )ultiE 31

31 11σσ

εσσ

−+

=− (5-29)

Les paramètres de l’équation hyperbolique ont une signification physique. Ei est le module d’Young initial tangent et ( )ult31 σσ − est la valeur asymptotique de la contrainte déviatorique liée à la résistance du sol. Les valeurs de Ei et ( )ult31 σσ − pour une courbe contrainte-déformation donnée sont facilement déterminées.

Figure 5.7 – La représentation hyperbolique de la courbe contrainte-déformation selon Duncan et

Chang (1970)

Si l’équation hyperbolique est transformée comme le montre la figure 5.8, elle représente une relation linéaire entre )/( 31 σσε − et ε. Les valeurs de )/( 31 σσε − sont calculées à partir des données d’essais et tracées contre les déformations (ε) pour déterminer le mieux la courbe hyperbolique de contrainte-déformation. Pour tous les types de sol sauf des sols



complètement saturés testés sous conditions consolidées non drainées, une augmentation de la pression de confinement se traduit par une rigidité plus élevée et une résistance plus importante. Les valeurs de Ei et ( )ult31 σσ − du modèle hyperbolique implémenté dans FLAC3D tiennent compte de cette augmentation par l’intermédiaire de la corrélation empirique de Janbu, 1963 (équation 5-28).

Figure 5.8 – Transformation de la courbe hyperbolique contrainte-déformation

6.1 Propriétés élastiques initiales

La définition de la courbe complète contrainte-déformation pour un matériau isotrope nécessite l’introduction d’au moins deux paramètres élastiques. Les paramètres élastiques initiaux du modèle hyperbolique implémenté dans FLAC3D sont le module d’Young (E0) et le module de compression (K0). Le module d’Young initial dépend de la pression de confinement par l’intermédiaire de la corrélation empirique de Janbu (1963). Il est donné par l’équation suivante :

nYoung

aa P

PPKYoungE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′= .0 (5-30)

Tous les deux paramètres : KYoung et nYoung sont adimensionnels. Pour exprimer le module volumique (K0), Duncan et al. (1980) proposent l’expression suivante en fonction de la pression de moyenne:

nBulk

aa P

PPKBulkK ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′= .0 (5-31)

où Kbulk et m sont deux paramètres adimensionnels. Selig (1988) a proposé une méthode alternative et plus directe pour obtenir le module volumique à l’aide de l’essai de compression isotrope (Fig. 5.9). En effet, il a observé que la courbe qui relie la pression de confinement (σconf) aux déformations volumiques peut s’écrire sous la forme :



vol

u

volconf

Kε

εεσ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1

0 (5-32)

εu est la déformation volumique limite.

Figure 5.9 – Détermination du module de compression à partir de l’essai de compression isotrope

(Selig, 1988)

6.2 Paramètres élastiques en petites déformations

Le module d’Young tangent est égal à la pente de la courbe contrainte-déformation. Il se détermine en dérivant la relation hyperbolique du modèle (équation 5-29) par rapport à ε :

( ) 021 ESRE Lft −= (5-33)

( )( ) f

LS31

31

σσσσ

−−

= dans cette équation est le niveau de contrainte et Rf est le coefficient qui

désigne la proximité de la rupture. Il est donné par l’équation suivante :

ult

ffR

)()(

31

31

σσσσ

−

−= (5-34)

où ( )ult31 σσ − est la contrainte déviatorique limite et ( ) f31 σσ − est la résistance en compression déterminée à partir du critère de rupture de Mohr-Coulomb par l’expression :

( )ϕ

ϕσϕσσ

sin1sin2cos2 3

31 −+

=−c

f (5-35)

dans laquelle c est la cohésion et ϕ est l’angle de frottement interne. ϕ s’évolue selon l’équation suivante :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆−=

aP3

0 logσ

ϕϕϕ (5-36)



où ϕ0 est la valeur initiale de ϕ (qui correspond à aP=3σ ) et ∆ϕ est la réduction de ϕ causée par l’augmentation de la contrainte σ3. Le module de compression tangent Kt se détermine en dérivant l’équation 5-32 par rapport à εvol. Le résultat est l’expression suivante :

2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ui

conft B

Kε

σ (5-37)

6.3 Raideur du sol en déchargement-rechargement

Comme l’indique la figure 5.10, les géomatériaux présentent une réponse globalement plus raide si l’on inverse le chemin des sollicitations suivi.

31 σσ −

ε

Module en chargementModule en

déchargement-rechargement

Figure 5.10 – Modèle hyperbolique de Duncan et Chang : comportement en déchargement-

rechargement

Cet aspect est simulé par le modèle hyperbolique implémenté à l’aide du module d’Young (Eur) sous conditions de déchargement-rechargement des sollicitations. La valeur du module d’Young est reliée à la contrainte moyenne par l’intermédiaire de la relation suivante :

nYoung

aaur P

PPULKYoungE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′= ._ (5-38)

où ULKYoung _ est le module d’Young en déchargement-rechargement. La valeur de

ULKYoung _ est toujours plus élevée que l’initiale (peut atteindre trois fois, Boscardin et al, 1990). Le comportement en déchargement-rechargement est considéré élastique linéaire. Dans l’espace tridimensionnelle de contraintes, la détermination de l’état de déchargement nécessite la mise en place d’un critère pour décider si on est devant un cas de déchargement-rechargement ou non. Duncan et al. (1984) a défini les conditions de déchargement-rechargement en utilisant la notion de l’état de contrainte (SS) défini par :

43

aLS P

SSσ

= (5-39)

Filz et al. (1990) ont modifié cette définition pour tenir compte de la cohésion :



43 tan

aLS P

c

SS ϕσ +

= (5-40)

L’état de contrainte est en déchargement-rechargement si la valeur de l’état de contrainte SS est inférieure à celle de l’état de contrainte précédent.

6.4 Paramètres du modèle de Duncan et Chang

Les paramètres du modèle hyperbolique de Duncan et Chang implémenté dans FLAC3D se regroupent sous quatre catégories :


6.4.2 Paramètres élastiques sous très petites déformations LoadKYoung _ : nombre du module d’Young initial ;

nYoung : exposant du module d’Young initial ; KBulk : nombre du module volumique ; nBulk : exposant du module volumique

aP : pression atmosphérique (généralement constatée 100 kPa) ;

6.4.3 Paramètres élastiques sous petites déformations

fR : rapport d’approchement de la rupture ;

6.4.4 Paramètres avancés ULoadKYoung _ : nombre du module d’Young en déchargement ;

Phi_ini : angle de frottement initial (Equation 5-36) ; DeltaPhi : variation de l’angle de frottement dans l’équation 5-36.

6.5 Implémentation du modèle Duncan et Chang dans FLAC3D

Le schéma de l’implémentation du modèle non linéaire de Duncan et Chang (1970) dans FLAC3D est annexé à la fin de la thèse (Annexe 4). L’implémentation consiste à déterminer les paramètres élastiques du sol (KYoung_Load, KYoung_ULoad et KBulk) à partir des conditions initiales introduites au début de calcul. Une fois que ces paramètres sont introduits, le reste des paramètres élastiques (G et ν) seront calculés. Le même schéma exploité lors de l’implémentation du modèle MC est ensuite employé. Le chemin des sollicitations est ensuite vérifié. Si la direction des contraintes a été inversée, le comportement du sol est considéré entièrement élastique avec un module d’Young constant, contrôlable et différent de celui en chargement. A la fin de chaque pas de calcul, les paramètres élastiques (KYoung_Load et KBulk) seront mis à jour.



6.6 Etude paramétrique sur le modèle de Duncan et Chang

Les tableaux 5.2, 5.3 et 5.4 résument l’étude paramétrique effectuée à l’aide de la simulation numérique d’un essai triaxial drainé (Fig. 5.5). Les signes adoptés dans ces tableaux correspondent aux différents degrés d’influence : +++ principale ++ importante + faible - négligeable

Tableau 5.2 – Impact des paramètres de Duncan et Chang sur la courbe (q-ε1)

Influence sur Paramètre Pente

initiale Début de plasticité Palier de plasticité Courbure

fR - +++ ++ (lorsque Rf>1)

++

LoadKYoung _ ++ ++ - ++ nYoung ++ ++ - ++ KBulk - - - - nBulk - - - -

Tableau 5.3 – Impact des paramètres de Duncan et Chang sur la courbe (εv-ε1)

Influence sur Paramètre

Pente initiale Début de plasticité Déformation

volumique maximale Courbure

fR - +++ ++ -

LoadKYoung _ + ++ ++ + nYoung + ++ ++ + KBulk +++ - +++ + nBulk +++ - +++ +

Tableau 5.4 – Impact des paramètres de Duncan et Chang sur la raideur de sol

Influence sur

Paramètre Module de cisaillement en

très petites déformations

Module volumique en


Courbure de la courbe en

« S »

Raideur volumique

constante en grandes

déformations fR - - ++ +++

LoadKYoung _ +++ - +++ - nYoung +++ - +++ - KBulk + +++ + - nBulk + +++ + -



Les détails de l’étude paramétrique menée se trouvent dans l’annexe 5.

6.7 Conclusion sur le modèle de Duncan et Chang implémenté

Dans cette section, on a introduit le modèle hyperbolique de Duncan et Chang tel qu’il a été implémenté dans FLAC3D. Il s’agit d’un modèle capable de traduire la plupart des aspects rencontrés lors de la modélisation d’un ouvrage géotechnique et comprend la non linéarité du sol sous petites déformations ainsi que la rigidité importante sous très petites déformations. Ce modèle est d’ailleurs capable de tenir compte de l’effet de l’histoire des sollicitations (lorsque le chemin de sollicitation est inversé). A l’inverse du modèle de Janbu, toutes les propriétés élastiques du sol hyperbolique sont liées au niveau de contraintes atteint et non plus à la profondeur. Les paramètres requis pour le modèle implémenté se déterminent facilement à partir d’essais standards de mécanique des sols. En outre, une large base de données est disponible pour évaluer la fiabilité des paramètres obtenus ou encore pour estimer des valeurs raisonnables lorsque suffisamment de données n’est pas disponible. Après avoir l’implémenté dans FLAC3D, le modèle de Duncan et Chang a été validé par le moyen du chemin triaxial et la sensibilité du modèle vis-à-vis la variation de chacun de ses paramètres a été étudiée. On conclut que le modèle de Duncan et Chang tel qu’il est implémenté permet de dégager l’essentiel du comportement des sols lors de la simulation d’ouvrages géotechniques.

7 MODELE DE FAHEY & CARTER Sur le même principe que celui adopté par Duncan et Chang (1970) pour construire leur équation hyperbolique, Fahey et Carter (1993) ont développé un modèle non linéaire capable de traduire correctement le comportement des sols et qui compte un nombre relativement faible de paramètres facilement identifiables à partir d’essais classiques de mécanique des sols. Par la suite, une description de l’ensemble du modèle tel qu’il a été implémenté dans FLAC3D est présentée. La description détaillée du modèle est fournie par Fahey et Carter (1993). Pour tenir compte de la plasticité du sol, les équations élastiques ont été couplées avec le critère de plasticité de Mohr-Coulomb. D’une façon similaire à la construction du modèle de Duncan et Chang précédemment présenté, la définition de la phase élastique du modèle de Fahey et Carter se fait en deux étapes : la première consiste à établir les valeurs initiales des paramètres élastiques (sous très petites déformations) et la seconde consiste à déterminer la forme de la variation des modules élastiques pour des déformations plus élevées.

7.1 Raideur du sol sous très petites déformations

Le point de départ pour le modèle non linéaire de Fahey et Carter (1993) s’appelle « la rigidité tangente initiale » G0. Ce paramètre est mesurable à partir des mesures dynamiques en très petites déformations du sol (voir chapitre 1) telles que les mesures sismiques in situ par propagation d’ondes depuis un CPT par exemple (Fahey, 1999). Pour un sol non cohérant, la valeur de G0 proposée par Fahey et Carter dépend de la pression de confinement appliquée selon l’équation :



gn

aa PPC

PG

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′= .0 (5-41)

C et ng sont les deux paramètres adimensionnels de Fahey et Carter. Afin d’assurer que G0 est toujours supérieur à une valeur minimale égale à C.Pa, cette équation a été remplacer par celle proposée par Bourgeois et al. (2005) :

gn

aa PP

CPG

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′+= 1.0 (5-42)

où <P’> est la partie positive de P’. Elle est définie telle que

2''

'PP

P+

= (5-43)

La description complète de la phase élastique nécessite la définition d’un autre paramètre. Naylor et al. (1981) choisi le module volumique (K) donné par l’équation suivante :

kk na

nS PPDK −= 1

0 ).()'.( (5-44) où DS et nk sont deux constantes matérielles. La valeur de nk est généralement proche de 0,5. Toutefois, la valeur de DS est fortement liée à la pression de confinement.

7.2 Raideur du sol sous petites déformations

La relation contrainte-déformation mise en œuvre est telle que décrite par Fahey et Carter (1993). Le module de cisaillement tangent (Gt) est dérivé de l’hyperbole :

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=g

g

t

ttgf

ttf

GG

max

2

max

0.11

1

(5-45)

f et g sont deux paramètres adimensionnels et maxt est donné par l’expression :

( )

ϕϕϕ

sin3cossin'3

max −+

=cPt (5-46)

avec t le demi différence entre la contrainte principale majeure et mineure :

2'' 31 σσ −

=t (5-47)

Le module volumique tangent est donné par la même équation que le module volumique initial (Equ. 5-44). Il dépend alors de la contrainte moyenne du sol.



7.3 Paramètres du modèle de Fahey et Carter

Les paramètres du modèle hyperbolique de Fahey et Carter implémenté dans FLAC3D se regroupent sous trois catégories :


7.3.2 Paramètres élastiques sous très petites déformations C : nombre du module de cisaillement initial ;

gn : exposant du module de cisaillement initial ;

SD : nombre du module volumique ;

kn : exposant du module volumique ;

7.3.3 Paramètres élastiques sous petites déformations f : paramètre adimensionnel (Equation 5-45); g : paramètre adimensionnel (Equation 5-45);

7.4 Implémentation du modèle de Fahey et Cart er dans

FLAC3D

L’annexe 4 illustre le schéma suivi pour implémenter le modèle de Fahey et Carter (1993) dans FLAC3D. Il consiste à déterminer les paramètres élastiques (G et K) à partir des conditions initiales. Une fois les paramètres élastiques introduits, le même schéma exploité pour implémenter le modèle MC est suivi. A la fin de chaque pas de calcul, les paramètres élastiques (G et K) seront réévalués et mis à jour.

7.5 Etude paramétrique sur le modèle de Fahey et Carter

L’étude paramétrique menée à laide de la simulation numérique d’un chemin triaxial drainé est annexée à la fin de la thèse (Annexe 6). Les tableaux 5.5, 5.6 et 5.7 résument l’impact de la variation des paramètres f et g sur les courbes triaxiales. Les résultats de l’étude paramétrique sont également confrontés à l’étude paramétrique effectuée par Coquillay (2005) et celle de Fahey et Carter (1993). La même convention de signes que celle adoptée lors de l’étude paramétrique du modèle de Duncan et Chang est adoptée : +++ principale ++ importante + faible - négligeable



Tableau 5.5 – Impact des paramètres de Fahey et Carter sur la courbe (q-ε1)


initiale Début de plasticité Palier de plasticité Courbure

f - +++ ++ (lorsque f>1)

++

g - + - ++

Tableau 5.6 – Impact des paramètres de Fahey et Carter sur la courbe (εv-ε1)


initiale Début de plasticité Déformation volumique maximale Courbure

f + +++ ++ ++ g - + + +

Tableau 5.7 – Impact des paramètres de Fahey et Carter sur la raideur de sol

Influence sur

Paramètre Module de cisaillement en


Module volumique en


Courbure de la courbe en

« S »

Module de cisaillement constant en

grandes déformations

f - - ++ +++ g ++ - +++ -

7.6 Conclusion sur le modèle de Fahey et Carter

Le modèle de Fahey et Carter (1993) tel qu’il a été implémenté dans FLAC3D a été présenté dans cette section de thèse. L’intérêt d’implémenter un tel modèle est qu’il traduit la plupart des aspects rencontrés lors de la modélisation numérique d’ouvrages géotechniques en utilisant peu de paramètres identifiables à partir d’essais classiques de mécanique des sols. D’une manière similaire au modèle hyperbolique de Duncan et Chang, l’implémentation du modèle de Fahey et Carter consiste à remplacer les paramètres élastiques constants du modèle MC par des paramètres variables en fonction du niveau de contraintes. Ceci permet d’introduire une relation hyperbolique entre les contraintes déviatoriques et les déformations du sol, ce qui en résulte une réponse globale non linéaire. Après avoir l’implémenter dans FLAC3D, le modèle de Fahey et Carter a été validé au moyen de l’essai triaxial et la sensibilité du modèle implémenté vis-à-vis de la variation de chacun des paramètres qui affectent la non linéarité du sol a été étudiée. Les résultats du calcul numérique mené par la version implémentée ont été confrontés à l’étude paramétrique de la version implémentée dans CESAR-LCPC. La confrontation montre des résultats satisfaisants lors de l’application d’une vitesse de déplacement très faible.



Par rapport au modèle hyperbolique de Duncan et Chang, l’apparition des deux paramètres f et g de Fahey et Carter rend le modèle plus flexible vis-à-vis de la prédiction de la raideur de sol.

8 MODELE DE F AHEY & CAR TER AVEC RADOUCISSEMENT EN PLASTICITE (FAHEYSOFT) Ce modèle est une évolution du modèle de Fahey et Carter (1993) implémenté dans FLAC3D. En plus des caractéristiques de Fahey et Carter, le modèle de FaheySoft constitue un couplage entre Fahey et Carter (pour la phase élastique) et le modèle Strain hardening/softening pré-implémenté (pour la phase plastique) dans FLAC3D. Le modèle Strain hardening/softening lui-même est basé sur le modèle MC. Toutefois, à la différence de MC, la variation des caractéristiques plastiques de sol (cohésion, angle de frottement, angle de dilatance et la résistance à la tension) est permise une fois que la plasticité est atteinte. Le code de FLAC3D mesure les déformations plastiques totales en incrémentant les paramètres d’écrouissage à chaque pas de calcul et ajuste les propriétés sur les fonctions définies par l’utilisateur (introduites concrètement dans FLAC3D par des tableaux). La surface de charge, le potentiel plastique, la règle d’écoulement plastique et la correction de contraintes sont identiques à ceux du modèle MC. Les fonctions introduites par l’utilisateur sont approximativement calculées dans FLAC3D comme des ensembles de segments linéaires (Fig. 5.11).

pε

c ϕ

pε

Figure 5.11 – Modèle Strain hardening/softening : Evolution des propriétés plastiques de sols

(Itasca, 2005)

0

100

200

300

400

500

0 0,02 0,04 0,06Déformations axiale

Con

trai

nte

dévi

ator

ique

(kPa

)

Mesures expérimentales

Fahey & Carter

FaheySoft

Figure 5.12 – Fahey et Carter versus FaheySoft sur un sol surconsolidé



L’intérêt de coupler le modèle de Fahey et Carter avec le modèle Strain hardening/softening vient de la nécessité de simuler le comportement radoucissant observé sur le sol surconsolidé en plus de la non linéarité modélisée par le modèle Fahey et Carter. La figure 5.12 nous montre une comparaison entre les résultats de Fahey et Carter et FaheySoft sur le chemin triaxial drainé.

9 FLAC3D ET LA SIMULATION D’UN SOL ANISOTROPE Afin de tenir compte de l’anisotropie lors de la simulation numérique d’un ouvrage géotechnique, les modèles élastiques anisotropes déjà disponibles dans le logiciel sont mis en œuvre. Effectivement, il existe deux modèles de comportement élastiques permettant de tenir compte de l’anisotropie :

Le modèle élastique orthotrope ; Le modèle élastique transversalement isotrope.

Le modèle élastique orthotrope présente le matériau en trois plans perpendiculaires (1, 2, 3) de symétrie qui sont définis à l’aide des directions normales à ces plans. L’incrément contrainte-déformation dans les coordonnées locales est donné par les relations suivantes :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆∆

′∆

′∆

′∆

×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆∆∆∆∆

23

13

12

33

22

11

23

13

12

32

32

1

31

3

23

21

21

3

13

2

12

1

23

13

12

33

22

11

1.....

.1....

..1...

...1

...1

...1

222

σσσσσσ

νν

νν

νν

εεεεεε

G

G

G

EEE

EEE

EEE

(5-48)

Le modèle nécessite alors la détermination de neuf paramètres indépendants :

• E1, E2, E3 Les modules d’Young dans le sens des axes locaux ; • G23, G13, G12 Les modules de cisaillement dans les plans parallèles au système de

coordonnées local ; • ν12, ν23, ν23 modules de Poisson (où le premier chiffre dans nij indique la

direction i causée par la contrainte de traction dans la direction locale j. En plus des neuf paramètres, l’utilisateur décrit l’orientation des axes locaux. Le modèle élastique transversalement isotrope considère un plan d’isotropie. Si on suppose que l’axe de la symétrie est normal au plan de l’isotropie et correspond à l’axe local 3. Dans ce cas, toutes les deux directions perpendiculaires (1 et 2) qui sont des directions principales de l’élasticité, peuvent être sélectionnées dans le plan isotrope. Adoptant cette convention, le modèle élastique transversalement anisotrope peut être considéré comme un cas particulier du modèle orthotrope pour lequel les relations contrainte-déformation s’écrivent :



⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆∆

′∆

′∆

′∆

×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′

′

′′′−

′′−

′′−−′′−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆∆∆∆∆

23

13

12

33

22

11

23

13

12

33

22

11

1.....

.1....

..1...

...1

...1

...1

222

σσσσσσ

νν

νν

νν

εεεεεε

G

G

G

EEE

EEE

EEE

(5-49)

Ce qui nécessite la détermination des paramètres :

• E module d’Young dans le plan d’isotropie ; • E’ module d’Young dans la direction normale au plan d’isotropie ; • ν coefficient de Poisson qui caractérise la contraction latérale dans le plan

d’isotropie lorsqu’on applique une traction dans ce plan • ν’ coefficient de Poisson qui caractérise la contraction latérale dans le plan

d’isotropie lorsqu’on applique une traction selon la direction normale à ce plan ; • G module de cisaillement dans le plan d’isotropie ; • G’ module de cisaillement dans un plan normal au plan d’isotropie ;

10 CONCLUSION Dans ce chapitre, les différents modèles de comportement adoptés pour qu’ils soient implémentés dans FLAC3D et utilisés par la suite pour simuler le comportement non linéaire du sol ont été présentés. Après avoir présenté le critère de plasticité de Mohr-Coulomb utilisé pour simuler la phase plastique des modèles implémentés, le modèle de Janbu a été introduit. Il consiste à introduire un module d’Young variable en fonction de la pression de confinement appliquée à chaque élément du maillage lors de l’introduction des conditions initiales. Evidemment, ce type de variation ne représente pas la non linéarité du sol mais il réussit grâce à ses deux paramètres supplémentaires à représenter la variation du module d’Young mesurée lors d’un essai pressiométrique in situ. Le deuxième modèle adopté est celui de Duncan et Chang. Il comprend la plupart des aspects rencontrés lors de la modélisation d’un problème géotechnique : la non linéarité du sol sous petites déformations, une raideur plus importante sous très petites déformations et l’effet de l’histoire des sollicitations. Le troisième modèle implémenté est celui de Fahey et Carter. Il apparaît plus souple que le modèle de Duncan et Chang à traduire la variation de la rigidité du sol grâce à ses deux paramètres ( f et g). Ce dernier modèle a été couplé avec le modèle Strain Hardening/Softening déjà disponibles dans FLAC3D pour mieux représenter le comportement d’un sol surconsolidé une fois la plasticité atteinte. L’implémentation d’un modèle non linéaire dans FLAC3D consiste à remplacer les paramètres élastiques constants du modèle MC par des paramètres définis à partir des conditions initiales et mis à jour à chaque pas de calcul, ce qui permet d’obtenir une réponse générale non linéaire. Malheureusement, les paramètres qui interviennent dans le



calcul des modules élastiques des modèles implémentés n’ont pas une signification physique mais ils sont déterminables à partir d’essais classiques de mécanique des sols. Après avoir les implémenté dans FLAC3D, les différents modèles ont été validés sur les données théoriques disponibles. Des études paramétriques sur leurs paramètres ont été également réalisées pour évaluer l’impact de chaque paramètre sur la réponse générale du modèle. Les résultats de la vérification des modèles implémentés apparaissent être encourageants pour la modélisation d’ouvrages géotechniques sous sollicitations d’exploitation. La partie suivante de la thèse s’intéresse à simuler quelques ouvrages géotechniques types afin de valider les modèles implémentés sur différents chemins de sollicitations pour se concentrer dans le dernier chapitre sur la simulation du creusement d’ouvrages souterrains.

Partie III : Modélisation d’ouvrages géotechniques types

- 117 -

PARTIE III

MODELISATION D’OUVRAGES GEOTECHNIQUES TYPES

Partie III : Modélisation d’ouvrages géotechniques types

- 118 -

Dans cette partie, les modèles de comportement implémentés sont validés et confrontés à la simulation numérique en élasticité linéaire sur ouvrages géotechniques types en quatre chapitres regroupés : On débute par le chemin des contraintes le plus simple, celui rencontré lors de la modélisation des fondations superficielles. Deux exemples sont abordés : le premier concerne la construction dans un sol résiduel au Brésil et le deuxième traite les fondations expérimentales de l’université Texas A&M construites dans un sable. Dans le septième chapitre, on s’intéresse à la simulation d’un pieu, un ouvrage géotechnique qui semble être simple, mais en réalité le champ des contraintes reproduit lors de la mise en œuvre du pieu qui s’inverse d’un cisaillement direct le long du pieu en compression près de sa pointe rend le problème assez compliqué et nécessite l’utilisation des modèles de comportement plus adaptés à la représentation du sol en proximité du pieu. On confronte dans le chapitre 8, la simulation d’un mur de soutènement à multi-supports dans de l’argile surconsolidée de Taipei en Taiwan pour terminer avec la modélisation du creusement d’ouvrages souterrains dans de l’argile surconsolidée de Londres au Royaume-Uni. L’étude de ces exemples types permet de se faire une idée sur la validité des modèles mécaniques implémentés dans FLAC3D et les améliorations attendues par rapport à l’utilisation de l’élasticité linaire lors de la simulation numérique d’un ouvrage géotechnique particulier.


Partie III : Modélisation d’ouvrages géotechniques types - 119 -

Chapitre 6

Modélisation des fondations superficielles



SOMMAIRE

1 INTRODUCTION .................................................................................................121 2 ESSAI DE CHARGEMENT DANS UN SOL RESIDUEL (BRESIL) .................123

2.1 DESCRIPTION DE L’ESSAI ............................................................................................. 123 2.2 MODELISATION NUMERIQUE........................................................................................ 123 2.3 RESULTATS ET DISCUSSION ......................................................................................... 127

2.3.1 Confrontation à l’expérimentation .....................................................................................127 2.3.2 Sensibilité vis-à-vis des paramètres – modèle de Janbu ......................................................127 2.3.3 Sensibilité vis-à-vis des paramètres – modèle de Duncan & Chang ....................................128 2.3.4 Sensibilité vis-à-vis des paramètres – modèle de Fahey & Carter .......................................129

2.4 CONCLUSION............................................................................................................... 130

3 ESSAI DE CHARGEMENT DANS UN SABLE (TEXAS A&M) .......................131

3.1 DESCRIPTION DE L’ESSAI ET SA MODELISATION NUMERIQUE........................................ 131 3.2 RESULTATS ET DISCUSSION ......................................................................................... 134

3.2.1 Courbes « chargement-déplacement » ................................................................................134 3.2.2 Déplacements horizontaux .................................................................................................135 3.2.3 Prise en compte de l’état de contraintes in situ ..................................................................138 3.2.4 Prise en compte des propriétés du sol sous très petites déformations ..................................138

3.3 CONCLUSION............................................................................................................... 140



1 INTRODUCTION

En terme de complexité, les fondations superficielles sont probablement les ouvrages géotechniques les plus simples à dimensionner. Le chargement appliqué est généralement bien défini et leur fonctionnement consiste à transférer les charges concentrées de la structure en pression appliquée au sol. Carrée, circulaire, linéaire ou encore sous forme d’un radier sont les types communs des fondations superficielles selon la géométrie de chargement. Une fondation est généralement considérée superficielle si sa profondeur est inférieure à sa largeur (Ex. Peck et al, 1974 ; Day, 2006). Lors du dimensionnement des fondations superficielles, deux aspects sont à vérifier : la pression appliquée au sol ne doit pas excéder sa capacité portante et le tassement induit par l’application du chargement ne doit pas être excessif. Les méthodes conventionnelles de dimensionnement considèrent soit la capacité portante soit les déformations. Sur ces approches, on ne peut pas établir la courbe complète de chargement-déplacement de la fondation. Il n’est possible que de prédire la charge limite et la pente initiale de la courbe de chargement (Das, 2009). Le calcul de la capacité portante se base sur l’analyse limite combinée avec des corrélations empiriques. Néanmoins, le tassement de la fondation est couramment estimé à l’aide de la théorie de l’élasticité linéaire. Dans la littérature, plusieurs approches sont disponibles et la différence entre ces méthodes réside essentiellement dans les raideurs prises en compte (Helwany, 2007) : Certains auteurs supposent que le sol est élastique linéaire. D’autres obtiennent la raideur à partir d’essais oedométriques. Ces approches permettent une prédiction raisonnable du tassement moyen de la fondation mais elles ne permettent pas d’évaluer précisément les tassements différentiels, les tassements sous charges combinées ou encore d’estimer les mouvements du sol près de la fondation. Ceci n’est pas surprenant car la raideur de la fondation est généralement ignorée et on suppose que la pression appliquée au sol est uniforme. Les solutions analytiques ne couvrent que le cas d’une fondation dans un seul type de sol de résistance constante ou variable avec la profondeur. Toutefois, l’analyse numérique peut traiter une géométrie complexe de la fondation dans un sol inhomogène. De plus, les méthodes numériques sont capables de tenir compte d’une combinaison de charges. Sous ces conditions, il est nécessaire d’utiliser un modèle élastique non-linéaire pour représenter le sol. Ce type de modèles nécessite d’incorporer des paramètres supplémentaires. Heureusement, ces paramètres n’ont pas le même degré d’importance lors de la construction d’un modèle numérique (Benz et al, 2003). Leur importance est plutôt liée au problème à simuler et à la phase considérée dans l’ensemble de l’histoire des sollicitations. Si on s’intéresse à l’évaluation de la capacité portante de la fondation, le modèle de comportement utilisé doit représenter de manière précise la résistance du sol. Lorsque c’est le comportement en termes de déformation qui est visé, il convient de mettre en oeuvre un modèle élastique non linéaire prenant en compte les petites déformations. Lorsqu’une fondation n’est chargée que verticalement, sa modélisation est idéalisée en déformations planes dans le cas des fondations linéaires. Une fondation circulaire est simulée en axi-symétrie mais la modélisation d’une fondation rectangulaire reste un problème tridimensionnel (Potts et Zdravkovic, 2001).



Basé sur l’analyse numérique et sa confrontation aux essais in situ, on arrive à évaluer raisonnablement les tassements des fondations ainsi que leur capacité portante. A titre d’exemple, Lee et Salgado (2002) et Lee et al. (2005) ont proposé une procédure basée sur les essais (CPT). Dans le même esprit expérimental, Briaud (2007) analyse les données récupérées de plusieurs sites où la résistance du terrain était soit constante soit croissante linéairement avec la profondeur. Il ne trouve pas d’impact de la profondeur d’encastrement ou les dimensions de la fondation lors de la normalisation des courbes de chargement-déplacement par respectivement un paramètre représentant la résistance du sol dans la zone d’influence de la fondation et la largeur de la fondation. Des méthodes analytiques alternatives aux méthodes expérimentales sont actuellement proposées (à tire d’exemple, Klar et Osman, 2008 utilisent une méthode énergétique pour reproduire les tassements non linéaires des fondations). Dans ce chapitre, deux cas sont adoptés afin de montrer l’amélioration apportée à la prédiction de déplacements près d’une fondation superficielle au cours de son chargement en utilisant les modèles de comportement implémentés dans le cadre de la thèse. Le premier exemple concerne un sol résiduel où on s’intéresse à la prédiction de la courbe « chargement-tassement ». Le deuxième cas porte sur la modélisation d’un essai de chargement réalisé à l’université de Texas A&M où on possède de nombreuses informations sur le comportement en « déchargement-rechargement » et sous faibles déformations du sol.



2 ESSAI DE CHARGEMENT DANS UN SOL RESIDUEL

(BRESIL)

Dans cette section, on s’intéresse à la simulation d’un essai de chargement d’une fondation superficielle instrumenté dans un terrain résiduel (Duarte, 2006). Tout d’abord, l’essai à simuler est brièvement décrit. Puis, les modèles de comportement utilisés dans la modélisation sont cités ainsi que le calage de leurs paramètres basant sur des essais triaxiaux drainés à différents niveaux de confinement. Les résultats numériques sont ensuite confrontés aux mesures expérimentales in-situ. L’objectif principal de cette application est d’indiquer quel modèle de comportement (parmi les modèles implémentés dans le cadre de la thèse) calé à partir des résultats d’essais de laboratoire représente le mieux la courbe chargement-déplacement observée in-situ au cours de l’essai. La sensibilité des paramètres des modèles implémentés est enfin montrée pour ce type de chargement.

2.1 Description de l’essai

L’essai de chargement a été exécuté sur une fondation carrée de 80 cm de côté fabriquée en béton armé. Elle a été placée dans un sol résiduel à 0,5m de profondeur. Afin de déterminer les caractéristiques mécaniques du sol en place, des essais de pénétration (SPT), de Dilatomètre (DMT) et de pressiomètre Ménard (PMT) ont été effectués. Parallèlement, une campagne d’essais de laboratoire a été suivie pour déterminer les caractéristiques physiques du sol rencontré juste au-dessous de la fondation en question. Les propriétés physiques du sol (Duarte, 2006) sont résumées dans le Tableau 6.1.

Tableau 6.1 – Caractéristiques physiques (Duarte, 2006)

Paramètre (Symbole) Unité Valeur Profondeur (m) 0,40-2,20 Argile (%) 51 Limon (%) 19 Sable (%) 30 LL (%) 60,80 LP (%) 35,06 IP (%) 25,74 Wnat (%) 31,21 γs (kN/m3) 27,72 γnat (kN/m3) 16,44

Une série d’essais triaxiaux drainés sur des éprouvettes non remaniées et isotropiquement confinées a été réalisée (Burnier et al, 2007). Les résultats seront présentés avec l’analyse numérique menée pour déterminer les paramètres de différents modèles mis en œuvre.

2.2 Modélisation numérique

L’essai en question a fait l’objet d’une étude numérique à l’aide du logiciel FLAC3D. Les paramètres de différents modèles employés dans cette section ont été calés à l’aide d’essais



triaxiaux de compression drainés à trois niveaux de confinement (100, 250, 500 kPa). Après avoir déterminé les valeurs numériques des paramètres (Tab. 6.2), les essais sont simulés et confrontés aux mesures expérimentales (Annexe 7).

Tableau 6.2 – Paramètres retenus pour la modélisation numérique

Paramètre/ Unité

Fondation (élastique)

Sol (MC)

Sol (Janbu)

Sol (Fahey & Carter)

Sol (Duncan & Chang)

γ, kN/m3 20 16,44 16,44 16,44 16,44 c, kN/m2 - 22,8 22,8 22,8 22,8 ϕ, (°) - 24 24 24 24 ψ, (°) - 0 0 0 0 ν 0,20 0,25 0,25 - - E, kN/m2 10×106 9×103 - - - KE - - 44 - - m - - 0,65 - - DS - - - 29 - C - - - 130 - f - - - 0,99 - g - - - 0,4 - nk - - - 0,50 - ng - - - 0,55 - KYoung_L - - - - 160 nYoung - - - - 0,55 KBulk - - - - 29 mBulk - - - - 0,5 Pa, kN/m2 - - - - 105 Rf - - - - 0,9

Les paramètres retenus pour les différents modèles nous permettent d’obtenir une réponse satisfaisante en termes de déviateurs. Une adéquation moins évidente est obtenue pour les déformations volumiques. En effet, comme le montre la figure 6.1, la modélisation numérique ne réussit pas à reproduire les déformations volumiques obtenues pour les essais à 250 et 500 kPa. Ce type de comportement expérimental ne peut pas être modélisé à l’aide des modèles de comportement retenus (déformations volumiques moins importantes sous confinement de 500 kPa que celles sous confinement de 250 kPa). La figure 6.2 nous montre une comparaison entre le module de cisaillement estimé par les deux modèles non-linéaires (Fahey & Carter et Duncan & Chang) pour chaque niveau de confinement. Les paramètres retenus pour Fahey & Carter permettent d’obtenir une réponse plus raide sous petites déformations.



0

200

400

600

800

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)

(a) Contraintes déviatoriques

-0,06

-0,04

-0,02

00 0,05 0,1 0,15 0,2

Déformation axiale

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique

100 kPa250 kPa500 kPaFahey & CarterFahey & CarterFahey & Carter

(b) Déformations volumiques

Figure 6.1 – Calage des paramètres de Fahey & Carter sur les essais triaxiaux



0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0,0001 0,001 0,01 0,1

Déformation axiale

Rig

idité

au

cisa

illem

ent (

KPa

)

Fahey & Carter 100 kPaFahey & Carter 250 kPaFahey & Carter 500 kPaDuncan & Chang 100 kPaDuncan & Chang 250 kPaDuncan & Chang 500 kPa

Figure 6.2 – Comparaison entre la rigidité estimée par les deux modèles non-linéaires

La figure 6.3 représente la géométrie et le maillage proposés pour la modélisation numérique ayant pour but d’analyser la réponse du sol lors de l’essai. La profondeur d’encastrement est simulée par une charge uniforme appliquée à la surface du sol. Pour des raisons de symétrie, seul un quart du problème a été simulé. Le déplacement horizontal est bloqué sur les limites verticales du maillage et la base est maintenue fixe (horizontalement et verticalement). La fondation est circulaire et a un diamètre de 90 cm. Afin de limiter les effets de bord, les recommandations de Mestat (1997) vis-à-vis les dimensions du maillage sont respectées (les limites horizontale et verticale sont respectivement fixées à dix et à six fois le diamètre)

10 m10 m

4,5

m4,

5 m

10 m10 m

Figure 6.3 – Maillage et géométrie en FLAC3D

Le modèle numérique mis en œuvre pour analyser la réponse du sol lors de l’essai comprend deux étapes : Dans la première, les conditions initiales sont mises en place et



l’équilibre initial est recherché. Puis, on met en place la fondation encastrée de 0,5m. Une vitesse de déplacements est ensuite imposée afin de simuler le chargement appliqué.

2.3 Résultats et discussion

Les courbes « contrainte appliquée-tassement » obtenues à l’aide de l’outil numérique FLAC3D sont confrontées aux mesures expérimentales. Les différentes courbes sont représentées sur la figure 6.4. Dans un premier temps, les courbes numériques sont issues des paramètres calés directement sur les essais en laboratoire (calcul de référence). L’influence de la variation des paramètres de différents modèles de comportement sur les mesures de tassements in situ est ensuite étudiée (Fig. 6.5, 6.6 et 6.7).

2.3.1 Confrontation à l’expérimentation Le calcul numérique basé sur le calage direct des paramètres de chaque modèle sur les essais de laboratoire est présenté sur la figure 6.4.

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

00 100 200 300 400 500 600

Pression appliquée (kPa)

Tass

emen

t (m

)

MesuresMCJanbuFahey & CarterDuncan & Chang

Figure 6.4 – Confrontation de la modélisation à l’expérimentation (calcul de référence)

Comme le montre la figure 6.4, le modèle MC représente d’une manière assez satisfaisante les mesures expérimentales jusqu à 8 mm de tassement. Au-delà 8 mm, les contraintes sont surestimées. On remarque aussi que tous les trois autres modèles sous-estiment les contraintes verticales du sol au-dessous de la fondation expérimentale. En effet, la prédiction numérique des courbes n’était pas étonnante car la formulation des modèles non-linéaires ainsi que le modèle de Janbu se base sur la pression moyenne ayant une valeur modeste près de la surface de sol à l’inverse de modèle MC ayant une rigidité constante partout dans le maillage.

2.3.2 Sensibilité vis-à-vis des paramètres – modèle de Janbu Afin d’obtenir un comportement plus rigide avec le modèle de Janbu tout en conservant le calage des autres paramètres sur les essais triaxiaux en laboratoire, on a choisi de faire



varier le paramètre E_ini pour éviter que les éléments près de la surface aient une faible rigidité. Le calcul a été effectué en prenant en compte E_ini = 9 Mpa, ce qui permet d’obtenir un module d’Young équivalent à celui de MC près de la surface. La courbe obtenue notée « Janbu » sur la figure 6.5 montre que la prédiction des résultats expérimentaux n’est satisfaisante qu’au début de chargement. L’apport des propriétés plastiques a été ensuite observé en réduisant les propriétés plastiques du sol de -10% à -40%. La courbe « Janbu -35% sur la figure 6.5 présente le résultat de la simulation numérique qui correspond à 35% de réduction.

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

00 100 200 300 400 500 600


Tass

emen

t (m

)

MesuresJanbu (Ref)JanbuJanbu -35%

Figure 6.5 – Confrontation de la modélisation à l’expérimentation (Sensibilité du modèle de

Janbu)

2.3.3 Sensibilité vis-à-vis des paramètres – modèle de Duncan & Chang Partant de la même idée pour tester la souplesse du modèle de Janbu, les paramètres de raideur près de la surface sont modifiés pour éviter une rigidité très faible. Les paramètres Kmin et Emin sont pris respectivement : 11,6×106 kN/m2 et 9×106 kN/m2. L’ensemble de l’analyse supplémentaire et le calcul de référence apparaissent sur la figure 6.6.



-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

00 100 200 300 400 500 600


Tass

emen

t (m

)MesuresDuncan & Chang (Ref)Duncan & Chang

Figure 6.6 – Confrontation de la modélisation à l’expérimentation (Sensibilité du modèle de

Duncan & Chang)

La figure 6.6 montre l’amélioration apportée au calcul de référence en adoptant Emin pour le module d’Young en surface.

2.3.4 Sensibilité vis-à-vis des paramètres – modèle de Fahey & Carter Des calculs supplémentaires ont été effectués pour examiner la robustesse du modèle de Fahey & Carter vis-à-vis de la prédiction des courbes expérimentales sans chercher la meilleure représentation vu que le modèle numérique est très gourmand au temps de calcul (moyennant deux semaines en utilisant une vitesse de déplacement de l’ordre de 10-8-10-9).

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

00 100 200 300 400 500 600


Tass

emen

t (m

)

MesuresFahey & Carter (Ref)Fahey & Carter (125%)Fahey & Carter (150%)Fahey & Carter (175%)Fahey & Carter (200%)

Figure 6.7 – Confrontation de la modélisation à l’expérimentation (Sensibilité du modèle de Fahey

& Carter)

La figure 6.7 montre le calcul de référence de Fahey & Carter ainsi que les tentatives effectuées afin de s’approcher de la courbe expérimentale. Les résultats du calcul mené



nous ont permis d’observer que le modèle de Fahey & Carter est robuste vis-à-vis de la prédiction de la courbe de chargement. En effet, la raideur du sol sous petites déformations (les coefficients C et Ds) est multipliée par un facteur (entre 1,25 et 2,00) pour obtenir une réponse plus raide qu’avec les paramètre issus du calage direct d’essais de laboratoire. Un facteur de 1,75 représente bien la courbe expérimentale jusqu’à 35 mm de tassement. Au-delà, la réponse est plus raide que celle observée expérimentalement.

2.4 Conclusion

Grâce aux mesures expérimentales réalisées afin d’observer le comportement du sol lors du chargement des fondations superficielles, des premiers éléments de validation des modèles de comportement implémentés dans FLAC3D ont été révélés. Les paramètres des différents modèles mis en œuvre sont issus d’un calage direct sur des séries d’essais triaxiaux en laboratoire soumis à différents niveaux de confinement. Les paramètres déduits sont ensuite utilisés pour simuler des essais de chargement. La prédiction avec un modèle de comportement de type MC ne permet pas de représenter convenablement le comportement du sol au cours du chargement. Par contre, il est suffisant si l’on s’intéresse au début du chargement. Pour améliorer la simulation d’un essai de chargement, il convient donc d’utiliser des modèles de comportement plus complexes. A tire d’exemple, le modèle de Janbu a permis d’obtenir une réponse très satisfaisant au début de chargement (en augmentant la raideur du sol près de la surface) ainsi que près de la rupture en variant les caractéristiques plastiques. Néanmoins, le tassement de la fondation entre ces deux a été légèrement sous-estimé. Le modèle de comportement permettant d’aboutir à une concordance correcte avec les résultats expérimentaux semble être le modèle de Fahey-Carter. La robustesse de ce modèle vis-à-vis de la variation des paramètres qui influent sur le comportement non linéaire du sol a d’ailleurs été démontrée. Néanmoins, on observe encore des différences importantes par rapport aux essais. L’étude de sensibilité des paramètres des différents modèles nous a permis de montrer qu’une faible variation de certains paramètres permet de s’approcher des résultats expérimentaux. Cela nous conduit donc à la conclusion que pour le site retenu la caractérisation des sols en place n’est pas suffisante pour pouvoir utiliser des modèles de comportement plus complexes que MC.



3 ESSAI DE CHARGEMENT DANS UN S ABLE (TEXAS

A&M)

Comme le montre la première partie du présent chapitre, pour obtenir une meilleure prédiction de la courbe de chargement in situ, il est nécessaire d’effectuer des mesures supplémentaires visant à évaluer les paramètres du sol sous petites déformations. L’exemple abordé dans la suite de ce chapitre met en évidence l’impact de la prise en compte de ce type de mesures sur la modélisation des fondations superficielles soumises à des cycles de « chargement-déchargement-rechargement ». La campagne d’essais a été effectuée à l’université du Texas A&M (Briaud et Gibbens, 1997) afin de fournir des éléments indispensables à l’organisation de la conférence spéciale de l’ASCE en 1994 qui a porté sur la prédiction du comportement des fondations superficielles. En plus des modèles implémentés dans FLAC3D, des calculs supplémentaires ont été effectués à l’aide de PLAXIS (en axisymétrie) afin de confronter les modèles implémentés aux modèles existants en PLAXIS.

3.1 Description de l’essai et sa modélisation numérique

Cinq essais de chargement (sur des fondations carrées de 1 à 3 m de côté) ont été effectués à l’université de Texas A&M (Briaud et Gibbens, 1997). Le site est constitué principalement de sables jusqu’à 11 m de profondeur. Sous le sable, il existe des dépôts argileux très raides jusqu’à 33 m de profondeur. Le niveau de la nappe phréatique a été observé à 4,9 m depuis la surface de sol. La figure 6.8 montre le profil du terrain rencontré sur le site des fondations expérimentales.

Figure 6.8 – Profil de sol dans le site de l’essai (Briaud et Gibbens, 1997)



Des chargements verticaux ont été appliqués aux centres des fondations. Grâce aux dispositifs de mesures qui apparaissent sur la figure 6.9, les courbes de « chargement-déplacement » ainsi que les mesures inclinomètres et extensomètres ont été enregistrées pour chaque fondation.

Figure 6.9 – Dispositifs de mesures des déplacements (Briaud et Gibbens, 1997)

Afin de reconnaître les propriétés du sable, une campagne intensive d’essais a été effectuée. Ces données avec des mesures de déplacements in situ ont été utilisées pour mettre en œuvre un modèle numérique (FLAC3D). Le tableau 6.3 résume les paramètres de référence retenus calés sur des essais triaxiaux drainés (contraintes de confinement de 34,5 kPa, 138 kPa et 345 kPa), les détails du calage se trouvent dans l’annexe 7. En se basant sur la densité relative du sol, Lee et Salgado (2000) trouvent que les paramètres de dégradation du module élastique f et g (dans le modèle de Fahey & Carter) pour un sable normalement consolidé sont typiquement entre 0,94 et 0,98 pour le paramètre f et entre 0,17 et 0,30 pour g. Suivant les observations de Teachavorasinskun et al. (1991), le taux de dégradation pour un sable dense est largement inférieur à celui d’un sable normalement consolidé. Afin de tenir compte de la densité du sable, les valeurs de f et g sont prises respectivement égale à 0,96 et 0,80. Le maillage retenu pour effectuer



l’analyse numérique ressemble à celui qui apparaît sur la figure 6.3 sauf que ses dimensions ont été modifiées (15 m pour le sens horizontal et 11 m pour le sens vertical) pour tenir compte les dimensions de la fondation ainsi que du profil de sol présenté sur la figure 6.8.

Tableau 6.3 – Paramètres retenus pour la modélisation en FLAC3D (calcul de référence)

Paramètre/ Unité


Sol (MC)

Sol (Janbu)

Sol (Fahey & Carter)

Sol (Duncan & Chang)

γ, kN/m3 20 20 20 20 20 c, kN/m2 - 0 0 0 0 ϕ, (°) - 37 37 37 37 ψ, (°) - 0,5 0,5 1,5 0,5 ν 0,20 0,37 0,37 - - E, kN/m2 10×106 13,6×103 - - - KE - - 140 - - m - - 0,55 - - DS - - - 200 - C - - - 200 - f - - - 0,96 - g - - - 0,8 - nk - - - 0,50 - ng - - - 0,55 - KYoung_L - - - - 290 KYoung_UL - - - - 1630 nYoung - - - - 0,5 KBulk - - - - 400 mBulk - - - - 0,5 Pa, kN/m2 - - - - 105 Rf - - - - 0,9

Tableau 6.4 – Paramètres retenus pour la modélisation en PLAXIS (Benz, 2007)

Paramètre/ Unité


Sol (HS)

Sol (HS-Small)

γ, kN/m3 20 20 20 c, kN/m2 - 0 0 ϕ, (°) - 37 37 ψ, (°) - 1,5 1,5 νur / ν - / 0,20 0,20 / - 0,20 / - E / refE50 , kN/m2 10×106 / - - / 16×103 - / 16×103

refoedE , kN/m2 - 21×103 21×103 refurE , kN/m2 - 90×103 90×103

refG0 , kN/m2 - - 260×103

7,0γ - - 0,0002

m - 0,50 0,50 Rf - 1,00 1,00



Figure 6.10 – Maillage axisymétrique analysé en PLAXIS

La figure 6.10 présente la géométrie adoptée en PLAXIS. Le modèle adopté est en conditions axisymétriques avec les mêmes dimensions que celles considérées pour l’analyse en FLAC3D dans le plan X-Z. Les modèles HS et HS-Small ont été retenus pour représenter le comportement du sol. L’identification de leurs paramètres se base sur l’étude de Benz (2007). Les valeurs numériques de ces paramètres apparaissent dans le tableau 6.4. La simulation numérique se fait ainsi en déplacements imposés en dix phases au total pour qu’on puisse déterminer la totalité de la courbe expérimentale « chargement-déchargement-rechargement ».

3.2 Résultats et discussion

3.2.1 Courbes « chargement-déplacement » La figure 6.11 représente l’ensemble des résultats de l’analyse numérique et les données de la courbe « chargement-déplacemet » in situ de la fondation expérimentale. Toutefois, cette analyse est basée sur les paramètres cités dans les tableaux 6.3 et 6.4 obtenus à l’aide d’un calage direct sur les essais de laboratoire (calcul de référence). Comme le montre la figure 6.11, les résultats numériques des modèles implémentés en FLAC3D se comparent bien avec ceux de HS et HS-Small. Avec le modèle MC (Fig. 6.11a) on n’arrive pas à distinguer les cycles de déchargement-rechargement de la fondation. Cet aspect est amélioré lors de l’utilisation du modèle de

15 m

11 m



Janbu et celui de Fahey & Carter. Cependant, la pente des cycles de « déchargement-rechargement » ne peut pas être contrôlée (reste proche de celle en chargement) car la raideur du sol lors de la décharge est calculée à partir de la pression moyenne atteinte. Malgré une estimation moins raide que celle observée expérimentalement (Fig. 6.11d), les modèles de Duncan & Chang et HS-Small semblent encourageants pour l’estimation du tassement de la fondation surtout lorsqu’on sait que le terrain est surconsolidé (Benz, 2007).

3.2.2 Déplacements horizontaux Les déplacements horizontaux autour de la fondation sont évalués à 1,75 m et 4,00 m depuis le centre de la fondation. L’analyse numérique confrontée aux mesures in situ (Fig. 6.12) montre que les déplacements sont surestimés avec MC et Janbu (Figs. 6.12a et 6.12b). En utilisant les autres modèles (Figs. 6.12c et 6.12d), on obtient des déplacements horizontaux proches des mesures expérimentales.



-0,16

-0,12

-0,08

-0,04

00 5000 10000 15000

Chargement (kN)

Tass

emen

t (m

)

MesuresMC

-0,16

-0,12

-0,08

-0,04

00 5000 10000 15000

Chargement (kN)

Tass

emen

t (m

)

MesuresJanbu

(a) (b)

-0,16

-0,12

-0,08

-0,04

00 5000 10000 15000

Chargement (kN)

Tass

emen

t (m

)

MesuresFahey & Carter

-0,16

-0,12

-0,08

-0,04

00 5000 10000 15000

Chargement (kN)Ta

ssem

ent (

m)

MesuresDuncan & Chang

(c) (d)

-0,16

-0,12

-0,08

-0,04

00 5000 10000 15000

Chargement (kN)

Tass

emen

t (m

)

MesuresHS (Plaxis)

-0,16

-0,12

-0,08

-0,04

00 5000 10000 15000

Chargement (kN)

Tass

emen

t (m

)

MesuresHS-Small (Plaxis)

(e) (f)

Figure 6.11 – Courbe « chargement-déplacement » : Confrontation de l’analyse numérique aux mesures in situ a) MC, b) Janbu, c) Fahey & Carter, d) Duncan & Chang, e) HS, f) HS-Small



0

4

8

12

-4 0 4 8 12Déplacement latéral (mm)

Prof

onde

ur (m

)

Mesures (4,00m)Mesures (1,75m)MC (1,75m)MC (4,00m)

0

4

8

12


Prof

onde

ur (m

)

Mesures (4,00m)Mesures (1,75m)Janbu (1,75m)Janbu (4,00m)

(a) (b)

0

4

8

12

-4 0 4 8 12

Déplacement latéral (mm)

Prof

onde

ur (m

)

Mesures (4,00m)Mesures (1,75m)Fahey & Carter (1,75m)Fahey & Carter (4,00m)

0

4

8

12

-4 0 4 8 12

Déplacement latéral (mm)

Prof

onde

ur (m

)

Mesures (4,00m)Mesures (1,75m)Duncan & Chang (1,75m)Duncan & Chang (4,00m)

(c) (d)

0

4

8

12


Prof

onde

ur (m

)

Mesures (4,00m)Mesures (1,75m)HS (1,75m)HS (4,00m)

0

4

8

12


Prof

onde

ur (m

)

Mesures (4,00m)Mesures (1,75m)HS-Small (1,75m)HS-Small (4,00m)

(e) (f)

Figure 6.12 – Déplacements horizontaux : Confrontation de l’analyse numérique aux mesures in situ a) MC, b) Janbu, c) Fahey & Carter, d) Duncan & Chang, e) HS, f) HS-Small



3.2.3 Prise en compte de l’état de contraintes in situ Les essais CPT et pressiométriques disponibles in situ montrent que le sable du site est plutôt dense que normalement consolidé. La raideur déduite est donc sous-estimée. Dans cette partie, on tente d’évaluer l’impact de caler les paramètres de Janbu sur les données in situ à l’aide du paramètre E_ini qui permet de décaler la courbe numérique vers les grandeurs mesurées (Fig. 6.13a). La figure 13b montre l’amélioration apportée sur la prédiction numérique de la courbe de chargement. Elle permet de constater que les tassements sont surestimés dès le début de chargement jusqu’à la fin du deuxième cycle de chargement. Néanmoins, les tassements sont estimés de manière très satisfaisante au-delà du deuxième cycle.

0

4

8

12

0 4 8 12 16 20

E (initial, MPa)

Prof

onde

ur (m

)

MesuresJanbu (Ref)Janbu (Calage InSitu)

-0,16

-0,12

-0,08

-0,04

00 5000 10000 15000

Chargement (kN)

Tass

emen

t (m

)

MesuresJanbu (InSitu)

(a) (b)

Figure 6.13 – Influence de l’état de contraintes in situ a) Calage des paramètres de Janbu sur la raideur, b) Courbe chargement-déplacement résultante

3.2.4 Prise en compte des propriétés du sol sous très petites déformations Comme la courbe expérimentale de l’essai de chargement n’est pas bien représentée (surtout le déchargement-rechargement) avec le modèle de Fahey & Carter, les modèles Duncan & Chang et HS et HS-Small ont été sélectionnés pour observer l’impact de la prise en compte du comportement du sol sous faibles déformations sur la modélisation numérique de l’essai de chargement tout en multipliant les caractéristiques du sol sous très petites déformation par un coefficient de 1,5 pour tenir compte de l’état surconsolidé (Benz, 2007). La figure 6.14 confronte les résultats numériques (avec les paramètres calés sur les essais triaxiaux) aux mesures effectuées en laboratoire (jauges locales). Les courbes Exp1, Exp2, Exp3 et Exp4 sur cette figure représentent les mesures. Cependant, cette comparaison montre qu’il n’est pas possible de se caler convenablement à tous les niveaux de contraintes de confinement. Comme on peut la visualiser sur la figure 6.15, la courbe expérimentale jusqu’à la fin de la deuxième boucle de déchargement-rechargement est bien représentée par le modèle de Duncan & Chang et le modèle HS-Small. Celui-ci est particulièrement intéressant lors de l’évaluation des mouvements autour de la fondation sous chargement d’exploitation. Au-delà de la deuxième boucle, les chargements estimés par les deux modèles sont surestimés. La courbe expérimentale estimée par le modèle HS est en moins bonne concordance que celle représentée par les deux autres modèles.



0

20000

40000

60000

80000

100000

0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1

Déformation axiale

Rig

idité

(KPa

)

(a)

0

40000

80000

120000

160000

200000

0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1

Deformation axiale

Rig

idité

(kPa

)

(b)

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1

Deformation axiale

Rig

idité

(kPa

)

Exp1Exp2Exp3Exp4HS-Small (Benz, 2007)HS (Benz, 2007)Duncan & Chang

(c)

Figure 6.14 – Calage des paramètres de modèles non linéaires sur les mesures en très petites déformations sous a) 50 kPa, b) 150 kPa et c) 300 kPa de pression de confinement



-0,16

-0,12

-0,08

-0,04

00 5000 10000 15000

Chargement (kN)

Tass

emen

t (m

)

MesuresDuncan & Chang

-0,16

-0,12

-0,08

-0,04

00 5000 10000 15000

Chargement (kN)

Tass

emen

t (m

)

MesuresHS (InSitu)

(a) (b)

-0,16

-0,12

-0,08

-0,04

00 5000 10000 15000

Chargement (kN)

Tass

emen

t (m

)

MesuresHS-Small (InSitu)

(c)

Figure 6.15 – Impact des propriétés du sol sous très petites déformations a) Duncan & Chang, b)

HS, HS-Small

3.3 Conclusion

La modélisation de l’essai de chargement des fondations superficielles effectué à l’université du Texas A&M est très intéressante car la caractérisation des sols et l’instrumentation mise en place sont importantes sur ce site. Les données acquises permettent d’évaluer l’impact de la prise en compte à la fois de la non linéarité du sol, de ses propriétés sous faibles déformations et de l’état de contraintes in situ. Une première vague de simulations a été effectuée sans prendre en compte l’état de surconsolidation du sol. Dans ces conditions, les meilleures prédictions ont été données par le modèle de Fahey & Carter et HS-Small même si pour la phase initiale la concordance avec les mesures expérimentales est moins bonne.



Dans une deuxième étape, l’état de surconsolidation a été pris en compte. Dans ce cas, les modèles HS et HS-Small se révèlent être les plus pertinents. Ces simulations nous ont permis de mettre en évidence que :

Compte tenu du fait que la raideur du sol est constante avec MC, ce modèle n’est pas approprié pour représenter un déchargement.

Pour les modèles Janbu et Fahey & Carter, une distinction entre le déchargement et le chargement est effectuée mais de manière peu souple. En effet, la contrainte moyenne est utilisée pour calculer le module de déchargement.

Avec les modèles Duncan&Chang, HS et HS-Small, le comportement du sol sous différents chemins de contraintes est bien reproduit.

L’incorporation de l’état de contraintes in-situ dans la simulation numérique a permis d’obtenir une meilleure estimation des mouvements du sol autour de la fondation surtout sous chargement d’exploitation.

En termes de temps de calcul, ces simulations sont coûteuses et ne permettent pas pour l’instant de réaliser des études paramétriques approfondies.



Chapitre 7

Modélisation des pieux



SOMMAIRE

1 INTRODUCTION .................................................................................................145 1.1 DIMENSIONNEMENT DES PIEUX..................................................................................... 145 1.2 SIMULATION NUMERIQUE DES PIEUX ............................................................................ 146 1.3 MODELISATION DE L’INTERFACE SOL-PIEU ................................................................... 147 1.4 SIMULATION DU COMPORTEMENT DE SOL ..................................................................... 147

2 DESCRIPTION DE L’ESSAI ...............................................................................149

3 MODELISATION NUMERIQUE ........................................................................150

3.1 GEOMETRIE ET MAILLAGE ETUDIES .............................................................................. 150 3.2 CONDITIONS AUX LIMITES ............................................................................................ 151 3.3 CONDITIONS INITIALES................................................................................................. 151 3.4 COMPORTEMENT DES MATERIAUX ................................................................................ 151

3.4.1 Comportement du pieu .......................................................................................................151 3.4.2 Comportement du sol .........................................................................................................151 3.4.3 Comportement de l’interface..............................................................................................152 3.4.4 Procédures de la simulation...............................................................................................153

4 PRESENTATION DES RESULTATS..................................................................153

5 CONCLUSION......................................................................................................155



1 INTRODUCTION

Bien que les fondations superficielles sont généralement suffisantes lorsque le sol est à la fois résistant et/ou le chargement de la structure à transmettre au sol est faible, elles ne sont pas appropriées dans le cas des sols meubles ou dans des situations où les charges imposées sont élevées. Dans de telles situations, il est commun d'étendre les fondations plus profondément dans le sol. Cela a deux avantages : tout d'abord le sol devient plus résistant et, d'autre part les efforts de cisaillement latéraux peuvent être mobilisés autour de la fondation, ce qui fournit un soutien supplémentaire à la résistance aux charges. La forme la plus commune des fondations profondes est le pieu. Il peut être préfabriqué et ensuite enfoncé dans le sol ou, être foré et coulé in situ. Au niveau des procédés de mise en œuvre, les pieux battus peuvent être en acier, en bois ou en béton armé et ont différentes formes de section transversale (circulaire, rectangulaire, en forme de H, etc.) Cependant, les pieux forés sont généralement fabriqués en béton armé. Les pieux battus à section pleine ont tendance à déplacer une large quantité du sol causée par le processus du battage. Les pieux forés et coulés en place ne mobilisent pas le sol environnant (Helwany, 2007). Les pieux sont utilisés non seulement pour assurer la stabilité de la fondation, mais aussi pour réduire le tassement (Burland et al, 1977). La capacité portante d’un pieu dépend de différents facteurs:

Les caractéristiques du pieu tel que sa longueur, sa section transversale et sa forme ; Les caractéristiques du sol et son comportement à court et à long terme ; La méthode d’installation du pieu.

1.1 Dimensionnement des pieux

Deux méthodes analytiques sont largement utilisées lors de dimensionnement des pieux (Gunaratne, 2006): Pour calculer la capacité portante d’un pieu dans un terrain cohésif, on utilise la méthode α. Cette méthode est adaptée pour le calcul à court terme. Les contraintes de cisaillement à l’interface sont proportionnelles à la résistance non drainée du sol et la résistance en pointe est calculée en tenant compte les caractéristiques non drainées. Il existe une autre méthode (méthode β) basée sur l’analyse des contraintes effectives pour calculer la capacité portante d’un pieu dans un terrain cohésif ou non. Cette méthode est adaptée pour le calcul de la capacité portante à court et à long terme. Comme il y a une ressemblance entre un essai CPT et un pieu au niveau du concept de transfert de charge et dans les procédures d’installation, les paramètres des deux méthodes analytiques sont généralement issus d’essais CPT in situ (e.g. El-Sakhawy et al, 2008 ; Lee et al, 2003 ; Salgalo 2008 ; Lehane et al, 2007). Toutefois, la méthode expérimentale la plus répandue en France est le pressiomètre. Parfois, les pieux sont utilisés en groupes. L’espacement entre deux centres de pieux dans un groupe est supérieur à deux fois le diamètre du pieu. Un radier en béton armé reliant les têtes des pieux est utilisé pour transmettre la charge de la structure aux pieux. Deux mécanismes de rupture sont possibles :

Rupture d’un pieu isolé ; Rupture en bloc.



Il existe de nombreux paramètres qui interviennent lors de la conception des groupes de pieux, à savoir la section transversale et la longueur du pieu, si la section transversale est pleine ou juste un tube, la manière dont ils sont installés, l'espacement entre les pieux dans le groupe et la nature de la connexion entre les pieux et le radier. Les charges d’exploitation transmises par la structure provoquent le tassement du groupe de pieux. Le calcul du tassement est délicat, car beaucoup de facteurs interviennent : la magnitude de la charge transmise, la forme du pieu et ses dimensions, la forme du groupe, l’espacement entre les pieux, les caractéristiques de l’interaction sol-structure à l’interface, la raideur et la résistance du sol et la raideur du pieu. Toutefois, sous charges d’exploitation, le tassement des groupes de pieux ne dépasse les 10 mm que rarement (Helwany, 2007 ; Fleming et al, 2009). Il existe plusieurs méthodes dans la littérature pour estimer le tassement d’un groupe de pieux. Elles peuvent être classées suivant des méthodes empiriques, semi-empiriques, analytiques et numériques. Cependant, pour une estimation rapide du tassement d’un pieu foré on utilise généralement une valeur entre 0,003 et 0,01 fois le diamètre et pour un pieu battu, le tassement est entre 0,008 et 0,012 fois le diamètre (Tomlinson et Woodward, 2008).

1.2 Simulation numérique des pieux

Lorsque la section transversale du pieu est circulaire et le pieu est installé verticalement dans un terrain d’une lithologie et d’une nappe phréatique horizontales, la géométrie à analyser peut être simplifiée en axi-symétrie. Si le chargement appliqué au pieu est composé d’un seul composant (vertical), une analyse axisymétrique est suffisante. Toutefois, si le pieu ou le chargement appliqué est incliné et / ou un moment de chargement est appliqué au pieu, une analyse tridimensionnelle est nécessaire (Mestat, 1997). Le calcul de la charge limite peut être mis en œuvre numériquement à l’aide d’un maillage relativement sophistiqué. Toutefois, une analyse semi-analytique élastique non linéaire est nécessaire pour calculer le tassement du pieu (Salgado et al, 2007). Même dans le cas le plus simple d’un pieu sollicité axialement, le chargement apporte des modifications importantes d’un cisaillement simple le long de la plupart du pieu à une forte compression près de sa pointe. En outre, si le pieu est battu, l’installation du pieu elle-même est un problème de grandes déformations avec ses propres défis. Une modélisation tridimensionnelle entraîne toujours un effort important pour réaliser le maillage et des temps de calcul relativement longs. Ainsi, le maillage autour de l’interface entre le sol et un pieu de section circulaire peut nécessiter de nombreux éléments pour décrire correctement la courbure réelle de la section et donc conduire rapidement à des nombres d’éléments et de nœuds importants, même pour les moyens informatiques actuels. Ces raisons poussent souvent les ingénieurs à simplifier, parfois à l’extrême, le maillage des pieux et du massif de sol, notamment dans les régions situées près de l’interface (Mestat, 1997). Cette économie sur la finesse du maillage se fait au détriment de la précision sur les résultats, et notamment sur celle concernant le champ de contraintes. Pour éviter de telles modélisations grossières, la section d’un pieu est fréquemment remplacée par une section polygonale pleine équivalente. Cette approximation est utilisée pour la commodité qu’elle procure dans la réalisation des maillages tridimensionnels. Des études paramétriques ont ainsi montré qu’il est possible de représenter une section circulaire par une section octogonale associée à un maillage particulier au niveau de l’interface, tout en conservant une précision satisfaisante. En axi-symétrie, Wehnert et Vermeer (2004) démontrent que l’utilisation des éléments d’interface efface la dépendance du maillage.



1.3 Modélisation de l’interface sol-pieu

L'un des problèmes sérieux lors de la simulation d’un pieu soumis à chargement vertical est la modélisation de l'interface entre le pieu et le sol. En effet, des problèmes peuvent survenir si les éléments représentant les sols sont trop grossiers et des éléments d’interface ne sont pas utilisés (Helwany, 2007). Pour surmonter ce problème, il est important d'utiliser des éléments solides minces pour modéliser le sol à la proximité du pieu et/ou des éléments d’interface. Toutefois, lors de la modélisation des pieux, une attention très particulière doit être portée sur l'attribution des propriétés des éléments d'interface (Potts et Zdravkovic, 2001). Comme les points d'intégration des éléments d'interface sont situés sur l’interface sol-pieu, la prévision de la capacité portante vis-à-vis du cisaillement est susceptible d'être plus précise que celle obtenue à partir de l'analyse sans éléments d'interface. Pour démontrer l'importance des éléments d'interface lors de la modélisation numérique d’un pieu isolé, Potts et Zdravkovic (2001) ont analysé un modèle en axisymétrie sous conditions drainées et non drainées. Ils ont interprété trois cas sous conditions non drainées. Les trois cas se différentient par la rigidité des éléments de l’interface. Dans un premier temps, les valeurs de la rigidité ont été prises égales à la raideur du sol et les deux autres valeurs ont été prises plus grandes que cette valeur. Les auteurs trouvent que le comportement « chargement-déplacement » est entièrement dominé par les caractéristiques de l’interface. Comme il est difficile de mesurer la rigidité de l’interface, ils concluent qu’il est raisonnable d’utiliser des valeurs élevées. Toutefois, l’utilisation d’une rigidité trop importante peut conduire à des divergences numériques. Potts et Zdravkovic (2001), ont d’ailleurs effectué deux analyses supplémentaires (sans éléments d’interface et avec le modèle MC pour le sol) pour évaluer la réponse des pieux sous conditions drainées. La seule différence entre ces deux analyses réside dans l’angle de la dilatance de sol qui est nul dans une analyse et égale à l’angle de frottement (25°) dans l’autre. Dans la deuxième analyse, ni la résistance latérale, ni la résistance en pointe ne semblent converger vers une valeur limite, à l’inverse du premier calcul où la résistance latérale atteint une valeur limite. Cependant la résistance en pointe continue d’augmenter et atteint une valeur limite seulement lorsque le déplacement est très important (environ 2 m). L'échec de la deuxième analyse (celle de 25° pour l’angle de la dilatance) à prévoir une limitation du chargement est une conséquence de la dilatance plastique continue adoptée dans le modèle MC. Le problème n’est pas propre à ce modèle, mais se produit avec n’importe quel modèle associé à une dilatation plastique indéfinie sans atteindre un état caractéristique critique. Comme dans le cas non drainé, le comportement de l’interface domine le comportement du modèle et les résultats des deux analyses deviennent beaucoup plus proches. Les auteurs concluent ensuite que si le comportement et donc les propriétés de l’interface dominent la mobilisation du cisaillement latéral du pieu, ils n’ont qu’un faible impact sur la résistance en pointe.

1.4 Simulation du comportement de sol

Un autre enjeu rencontré lors de la modélisation des pieux est le modèle de comportement retenu pour représenter le sol. En effet, le champ de déplacements dans le sol généré par un chargement axial en tête du pieu est relativement simple avec une décroissance progressive lorsque la distance à partir de la tête du pieu augmente. Au fur et à mesure que la charge du pieu augmente, une localisation intensive de déformations aura lieu près de la surface



latérale, à la limite, une bande de cisaillement d’une forme cylindrique se forme autour du pieu. Cet aspect ne peut pas être représenté en utilisant l’élasticité linéaire. L’utilisation de l’élasticité non linéaire ne suffira pas non plus à tenir compte de tous les aspects liés à ce phénomène. Aussi longtemps que le développement de la bande de cisaillement peut être correctement modélisé, une analyse complète de la mobilisation de la résistance latérale de petites aux grandes déformations est possible. Un chargement latéral en tête du pieu produit un champ de déplacements complètement différent de celui engendré par une charge axiale. Dans ce cas, les pieux sont susceptibles de se briser ou se flamber avant qu’une importante localisation de déformations ait lieu. En outre, le fonctionnement et les états limites associés à la déflection latérale du pieu seront probablement atteints avant la rupture. Ainsi, un modèle élastique non linéaire est d’une utilité pratique lors de l’analyse d’un pieu chargé latéralement. On aborde dans le présent chapitre la modélisation d’un essai de chargement d’un pieu instrumenté en Allemagne en axisymétrie et en 3D. L’essai est dans un premier temps décrit ainsi que les conditions sur site. La modélisation numérique à l’aide de différents modèles de comportement est ensuite discutée. Puis, les résultats numériques sont confrontés aux mesures in situ.



2 DESCRIPTION DE L’ESSAI

L’essai de chargement abordé dans ce chapitre a été effectué afin d’optimiser la conception des fondations d’un pont routier en Allemagne (Wehnert & Vermeer, 2004). Le sous-sol est constitué des sédiments tertiaires (argiles raides et surconsolidées). Ses caractéristiques physiques se trouvent dans le tableau 7.1. La nappe phréatique se situe à 3,5m de profondeur depuis la surface de sol.

Tableau 7.1 – Caractéristiques physiques du sol (Wehnert & Vermeer, 2004)

Paramètre (Symbole) Unité Valeur LL (%) 80 LP (%) 20 IP (%) 60 Wnat (%) 22

Le pieu expérimental est de 1,30 m de diamètre et de 9,5 m de longueur. Le système de chargement (Fig. 7.1) est constitué de deux vérins hydrauliques et d’une poutre de réaction reposant sur 16 ancres. Lors du chargement, le tassement de la tête de pieu et sa résistance en pointe ont été mesurés au cours de l’essai. Une description plus complète de l’essai se trouve dans Wehnert (2006).

Figure 7.1 – Essai de chargement et dispositifs de mesures (Wehnert & Vermeer, 2004)



3 MODELISATION NUMERIQUE

3.1 Géométrie et maillage étudiés

La figure 7.2 représente la géométrie et les dimensions proposées pour la modélisation numérique en axisymétrie (Fig. 7.2a) et en trois dimensions (Fig. 7.2b). Pour surmonter l’effet de bord, Mestat (1997) propose que la limite verticale inférieure (en dessous de la tête de pieu) et celle horizontale soient supérieures à deux fois la longueur de pieu. Cependant Helwany (2007) propose de relier la limite horizontale en arrière de pieu à son diamètre. Il lui donne la valeur de 30 fois le diamètre. Le modèle numérique retenu a une extension horizontale de 19 m et verticale de 28,5 m. Un maillage moyennement fin a été considéré dans toutes les simulations. Ce degré de discrétisation permet d’obtenir des résultats précis et donc déviter la dépendance des résultats au maillage. Schweiger (2005) a étudié l’impact du degré de finesse général (autour du pieu ainsi que près de la pointe) d’un maillage en éléments finis sur la résistance du pieu. Il a trouvé une relation forte entre le raffinement du maillage et la résistance calculée et conclu qu’il est nécessaire de vérifier le degré de raffinement avant chaque calcul. Cette conclusion a été ré-affirmée par Wehnert (2006) qui a comparé les résultats du calcul mené à l’aide d’un maillage grossier et d’un autre très fin. Néanmoins, Wehnert (2006) a trouvé que la dépendance des résultats au degré de raffinement du maillage est complètement supprimée lors de l’utilisation d’éléments d’interface entre le pieu et le sol. En effet, la mise en place d’interfaces densifie localement le maillage autour des inclusions. Nunez et Dias (2010) a montré qu’en utilisant des éléments à 15 points d’intégration, il suffisait d’utiliser 10 noeuds pour la discrétisation horizontale de la tête de l'inclusion (soit deux éléments) pour obtenir des résultats avec une très bonne précision.

28,5

m28

,5 m

9,5

m9,

5 m

19,0 m19,0 m

(a) (b) Figure 7.2 – Maillage et géométrie analysés en a) axisymétrie, b) trois dimensions

28,5

m28

,5 m

19,0 m19,0 m

19,0 m19,0 m

9,5

m9,

5 m



3.2 Conditions aux limites

Compte tenu de la symétrie du problème analysé, un quart de l’essai a été modélisé en 3D. Les déplacements perpendiculaires sont ainsi bloqués aux bords grâce à la symétrie du problème autour des deux axes horizontaux. Les déplacements du sol sont aussi bloqués en bas du modèle et aux bords verticaux lointains du pieu.

3.3 Conditions initiales

L’état initial des contraintes est de type géostatique. Les contraintes verticales sont dues au poids des terrains et les contraintes horizontales effectives sont proportionnelles aux contraintes verticales effectives selon l’équation de Jacky (1944).

3.4 Comportement des matériaux

3.4.1 Comportement du pieu Le pieu a été modélisé par des éléments massifs (élastiques linéaires) caractérisés par un module d’Young de 10 GPa et de coefficient de Poisson de 0,3.

3.4.2 Comportement du sol Les paramètres du sol qui interviennent lors de la modélisation numérique (Tabl. 7.2) ont été pris selon Wehnert (2006). Les paramètres des modèles de comportement utilisés en 3D ont été calés sur les courbes d’essais triaxiaux reproduites par le modèle HS. Les paramètres retenus pour la modélisation numérique 3D sont représentés dans le tableau 7.3.

Tableau 7.2 – Paramètres de sol retenus pour la modélisation numérique (2D)

Paramètre/ Unité

Pieu (élastique)

Sol (MC)

Sol (HS)

Sol (HS-Small)

γ, kN/m3 25 20 20 20 c, kN/m2 - 20 20 20 ϕ, (°) - 20 20 20 ψ, (°) - 0 0 0 νur / ν - / 0,30 - / 0,30 0,20 / - 0,20 / - E / refE50 , kN/m2 10×106 / - 60×103 / - - / 45×103 - / 45×103

refoedE , kN/m2 - - 33×103 33×103 refurE , kN/m2 - - 90×103 90×103

refE0 , kN/m2 - - - 180×103

7,0γ - - - 0,000001

m - - 0,50 0,50 Rf - - 1,00 1,00



Tableau 7.3 – Paramètres de sol retenus pour la modélisation numérique (3D)

Paramètre / Unité Pieu (élastique)

Sol (MC)

Sol (Janbu)

Sol (Fahey)

Sol (Duncan)

γ, kN/m3 25 20 20 20 20 c, kN/m2 - 20 20 20 20 ϕ, (°) - 20 20 20 20 ψ, (°) - 0 0 0 0 ν 0,30 0,30 0,30 - - E, kN/m2 10×106 60×103 - - - KE - - 300 - - m - - 0,50 - - DS / C - - - 185 / 450 - f / g - - - 0,95 / 0,35 - nk / ng - - - 0,5 / 0,5 - KYoung_L / nYoung - - - - 745 / 0,5 KBulk / mBulk - - - - 220 / 0,5 Pa, kN/m2 - - - - 105 Rf - - - - 0,99

3.4.3 Comportement de l’interface Pour réduire la dépendance du calcul au degré de la finesse de maillage, des éléments d’interface (de type loi de Coulomb) sont mis en place entre la face latérale du pieu et le sol environnant. Le tableau 7.4 montre les propriétés des éléments utilisées en FLAC3D et en PLAXIS. L’interface entre la pointe de pieu et le sol est supposée rigide. L’angle de frottement de l’interface (ϕ i) et la cohésion (ci) ont été retenus légèrement supérieurs à ceux retenus pour le sol. Cependant la raideur des éléments d’interface a été retenue pour obtenir une bonne concordance avec les résultats d’essai de chargement.

Tableau 7.4 – Paramètres de l’interface retenus pour la modélisation numérique

Paramètre/ Unité

Interface / Simulation 3D

Interface / Simulation 2D

ci , kN/m2 30 30 ϕi , (°) 25 25 ψi, (°) 0 0 νi - 0,30 Ei, kN/m2 - 60×103 isk , kN/m3

40,37×106 -

ink , kN/m3 40,37×106 -



3.4.4 Procédures de la simulation Le modèle numérique mis en œuvre pour évaluer les différentes résistances du pieu ainsi que la réponse du sol environnant se constitue de trois étapes principales : Dans un premier temps, les conditions initiales sont mises en place et l’équilibre initial est recherché. Le deuxième pas consiste à changer les propriétés des éléments représentant le pieu tout en ramenant le modèle à un nouvel état d’équilibre. Une vitesse de chargement de 5×10-8 est appliquée en tête du pieu dans la dernière phase de calcul.

4 PRESENTATION DES RESULTATS

Les résultats de l’analyse numérique menée sont confrontés aux mesures in situ (Figs. 7.3 et 7.4). Ils sont représentés en terme de chargement en pointe, latéral et total du pieu (Fig. 7.3). Les tassements du sol en voisinage du pieu à 0,5 m et à 5,0 m de profondeur sont montrés sur la figure 7.4. Les courbes qui se trouvent à gauche des figures concernent l’analyse bidimensionnelle et celles à droite la simulation en 3D. Comme le montre les figures, la réponse numérique obtenue (surtout pour ce qui concerne la prédiction du chargement total) est généralement satisfaisante. La répartition du chargement en résistance en pointe et latérale est aussi correcte que la prédiction du chargement total. De plus, aucune différence notable entre la réponse du pieu lors de la représentation du comportement de sol par les modèles HS et HS-Small a été observée, ce qui montre que les déplacements calculés sont essentiellement régis par les interfaces. La comparaison entre les courbes de résistance en pointe montre que la forme des différentes courbes est identique quel que soit le modèle utilisé. Toutefois, en utilisant le modèle MC le sol se comporte d’une façon plus raide que les autres cas. Vu la différence significative entre la prédiction des différents modèles de comportement, on peut dire que le choix d’un modèle de comportement n’est pas aussi important que le choix de la rigidité du sol elle-même. La confrontation de la résistance latérale du pieu montre aussi un écart entre les différents modèles malgré que cette différence soit moins importante lors de la simulation tridimensionnelle. En effet, par le modèle MC la résistance augmente plus ou moins linéairement jusqu’à une valeur maximale (la valeur la plus importante est observée lors de la simulation en PLAXIS à l’aide du modèle HS-Small). Une fois la résistance latérale maximale est atteinte, elle diminue légèrement lors d’un futur déplacement imposé en tête du pieu pour tous les modèles. A la fin de chargement, la résistance latérale et celle totale du pieu sont surestimées par les modèles HS et HS-Small. Cependant, la réponse tridimensionnelle en utilisant le modèle de Fahey & Carter et la plus satisfaisante. Une autre limitation de l’utilisation du modèle élastique linéaire parfaitement plastique de MC apparaît lors de la confrontation des tassements du sol autour du pieu à deux profondeurs différentes (Fig. 7.4). En effet, il sous-estime les tassements du sol (surtout près du pieu) par rapport aux tassements expérimentalement observés. Malheureusement, La mesure la plus proche du tassement de sol se trouve à 0,5 m de l’interface, ce qui limite la confrontation du tassement à l’interface.



0

20

40

60

80

0 1 2

Charge (MN)Ta

ssem

ent d

u pi

eu (m

m)

0

20

40

60

80

0 1 2

Charge (MN)

Tass

emen

t du

pieu

(mm

)

(a) (b)

0

20

40

60

80

0 1 2 3

Charge (MN)

Tass

emen

t du

pieu

(mm

)

0

20

40

60

80

0 1 2 3

Charge (MN)

Tass

emen

t du

pieu

(mm

)

(c) (d)

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4

Charge (MN)

Tass

emen

t du

pieu

(mm

)

MesuresMCHSHS-Small

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4

Charge (MN)

Tass

emen

t du

pieu

(mm

)

Mesures

MC

Janbu

Fahey & Carter

Duncan & Chang

(e) (f) Figure 7.3 –Confrontation aux mesures in situ : Gauche Simulation 2D a) Résistance en pointe , c)

Résistance latérale, e) Résistance totale ; Droite Simulation 3D b) Résistance en pointe, d) Résistance latérale, f) Résistance totale



-80

-60

-40

-20

00 0,5 1 1,5 2

Distance a partir de l'interface (m)

Tass

emen

t (m

m)

0,5 m (Mesures)0,5 m (MC)0,5 m (HS)0,5 m (HS-Small)

-80

-60

-40

-20

00 0,5 1 1,5 2


Tass

emen

t de

sol (

mm

)

0,5m (Mesures)MCJanbuFahey & CarterDuncan & Chang

(a) (b)

-80

-60

-40

-20

00 0,5 1 1,5 2


Tass

emen

t (m

m)

5,0 m (Mesures)5,0 m (MC)5,0 m (HS)5,0 m (HS-Small)

-80

-60

-40

-20

00 0,5 1 1,5 2


Tass

emen

t de

sol (

mm

)0,5m (Mesures)MCJanbuFahey & CarterDuncan & Chang

(c) (d)

Figure 7.4 – Tassements du sol à 0,5 m (a et b) et 5,0 m (c et d) de profondeur : PLAXIS (gauche) et FLAC3D (droite)

5 CONCLUSION

Dans ce chapitre, on s’est intéressé à la simulation numérique de chargement d’un pieu. Dans cette configuration, le chargement sur la tête du pieu est simple mais les frottements le long de l’inclusion s’avèrent complexes à reproduire. Il est donc nécessaire de mettre en place des éléments d’interface pour simuler ces effets de cisaillement. La confrontation avec les résultats expérimentaux a montré une bonne concordance (surtout pour la réponse latérale au chargement appliqué) quelque soit le modèle adopté. Cette conclusion confirme que les phénomènes sont essentiellement régis par les interfaces. Une différence subsiste néanmoins entre les modèles. MC fournit des tassements autour du pieu qui sont nettement sous-estimés par rapport aux autres modèles et qui ne correspondent pas aux mesures. Malheureusement à proximité du pieu, nous ne disposons pas de ce type de mesure et il semble donc difficile d’évaluer l’impact de la complexité des modèles de comportement sur l’ouvrage étudié.



Chapitre 8

Modélisation des murs de soutènement



SOMMAIRE

1 INTRODUCTION .................................................................................................159 2 L’EXCAVATION DU TNEC (TAIPEI NATIONAL ENTERPRISE CENTER) EN TAIWAN .............................................................................................................161

3 INSTRUMENTATIONS MISES EN PLACE .......................................................163

4 RECONNAISSANCES GEOTECHNIQUES ........................................................163

5 SIMULATION NUMERIQUE...............................................................................165

5.1 GEOMETRIE ET MAILLAGE EN ELEMENTS FINIS ............................................................. 165 5.2 CONDITIONS AUX LIMITES ............................................................................................ 165 5.3 CONDITIONS INITIALES DES CONTRAINTES.................................................................... 165 5.4 COMPORTEMENT DES MATERIAUX ................................................................................ 166

5.4.1 Comportement des butons ..................................................................................................166 5.4.2 Comportement de l’écran...................................................................................................166 5.4.3 Comportement du sol .........................................................................................................166

6 PRESENTATION DES RESULTATS...................................................................167

6.1 SIMULATION EN ELASTICITE LINEAIRE (LE MODELE MC) .............................................. 168 6.2 ELASTICITE NON LINEAIRE POUR LA PREDICTION DES MOUVEMENTS (LE MODELE HS) .. 169 6.3 PRISE EN COMPTE DE LA RIGIDITE DU SOL SOUS TRES PETITES DEFORMATIONS (LE MODELE HS-SMALL).......................................................................................................... 172 6.4 IMPACT DE LA FORME DE LA COURBE G = F(εAXIALE) SUR LA PREDICTION DES MOUVEMENTS (LE MODELE HS-SMALL) ............................................................................. 175 6.5 PRISE EN COMPTE D’UNE RAIDEUR PLUS IMPORTANTE SOUS TRES PETITES DEFORMATIONS (LE MODELE HS-SMALL) .................................................................................................... 177 6.6 SIMULATION EN HYPOPLASTICITE (MASIN, 2005) ......................................................... 179

7 CONCLUSIONS ....................................................................................................181



1 INTRODUCTION

Le but de construire un ouvrage de soutènement est en général, de résister aux forces latérales exercées dans le terrain naturel. Le système comprend généralement un mur associé ou non à d’autres membres structurels tels que les dallages et des appuis (ancrage ou butons). Dans la plupart des situations, le sol travaille à la fois en poussée et en butée. Le mur et ses supports en fournissent un mécanisme de transfert. Les forces opposées par le mur et ses supports ainsi que les mouvements induits par la construction doivent être évalués. En outre, l’estimation de l’étendue des mouvements est aussi nécessaire à court terme qu’à long terme, ceci, est en raison de l’influence de la construction sur les projets déjà existants (bâtiments, tunnels, fondations, etc.) à proximité de l’ouvrage. Les dommages potentiels qui pourraient avoir lieu doivent être évalués et reliés à la méthode de construction retenue. Traditionnellement, les ouvrages de soutènement sont dimensionnés en utilisant des méthodes d’analyse simplifiées ou encore des approches empiriques. Les méthodes simplifiées sont développées pour les murs encastrés ou encastrés avec un seul appui. Les murs à multi-appuis sont étudiés suivant des approches empiriques telles que celles proposées par Peck (1969). Ce type de méthodes ne met pas à la disposition du concepteur de l’ouvrage toutes les informations souhaitées en particulier, il ne permet pas d’avoir une idée sur l’interaction avec les structures adjacentes. Selon le degré de l’interaction sol-structure, Potts et Zdravkovic (2001) classent les ouvrages de soutènement en trois catégories :

Murs poids en béton ou en maçonnerie, murs cantilevers en béton armé : ils sont suffisamment rigides et l’interaction sol-structure est relativement simple. Pour la stabilité de l’ensemble, les forces en arrière du mur sont équilibrées par les contraintes normales et celles de cisaillement en pointe et les mouvements du sol sous le mur sont généralement très faibles ;

Murs en terre armée : ils fonctionnent en général comme un large mur poids mais la stabilité intérieure est le résultat d’une complexe interaction entre le sol et les armatures ;

Ecrans de soutènement encastrés : s’utilisent avec ou sans appuis lorsque les mouvements du sol sont importants et / ou l’espace dédié à la construction est limité. Pour assurer la stabilité, l’écran est ancré dans une couche résistante sous le niveau de l’excavation, de plus, les appuis participent pleinement à la stabilité de l’ensemble de l’ouvrage. La flexibilité de l’écran varie dans une large gamme et cela a un effet considérable sur la répartition de la pression des terres. Les écrans souples ont souvent des moments fléchissants plus petits mais cela conduit à des déformations plus importantes notamment lorsque l’écran n’est pas associé à des appuis. La complexité de l’interaction sol-structure augmente avec l’augmentation du nombre d’appuis.

Les méthodes numériques ont donné lieu à des progrès considérables dans l’analyse et la conception des murs de soutènement au cours des dix dernières années en particulier l’étude du comportement sous sollicitations de service et des mécanismes d’interaction sol-structure.



Le plus souvent, une analyse bidimensionnelle (en déformations planes) est menée, ce qui permet de simplifier le problème et réduire le nombre d’éléments du maillage. Toutefois, une telle analyse nécessite une symétrie complète autour de la ligne centrale de l’excavation pour qu’elle soit véritablement représentative. Cette symétrie comprend la géométrie, le phasage de construction, les propriétés du sol et les conditions initiales. Les détails de toutes les connexions entre les éléments structurels doivent être examinés afin de s’assurer qu’ils sont adéquatement modélisés. Le système de support à butons, offre une résistance passive intrinsèque aux mouvements à l’inverse du système de support associé aux ancrages qui s’appuient sur les contraintes mobilisées et stabilisent l’ensemble de l’ouvrage. La variation des conditions initiales (conditions de drainage par exemple) entraîne une réduction d’efficacité de ce dernier système. D’ailleurs, il faut que l’analyse numérique tienne compte de la méthode de phasage des travaux temporaires, permanents et du temps nécessaire pour réaliser ces phases. La réalisation de ce type d’ouvrages nécessite de nombreuses séquences de construction et cela signifie que le sol est soumis à différents chemins de sollicitation. Certaines zones pouvant se plastifier à certaines phases de l’exécution et pas forcément à la fin du chantier. La modélisation des éléments structurels se base souvent sur l’élasticité linéaire où les contraintes de traction sont généralement admises. Dans de nombreuses situations une telle idéalisation est parfaitement appropriée. Toutefois, lors de la simulation du comportement du sol, les points suivants sont très importants à prendre en compte :

• Il est évident dans la majorité écrasante des cas simples que l’analyse élastique linéaire isotrope ou non est tout à fait inappropriée et parfois déroutante. Dans ce type d’analyses, il n’y a pas de restrictions sur les contraintes en traction qui peuvent se développer dans le sol ni sur les valeurs de la poussée et la butée du sol ;

• Les modèles élastique-linéaires parfaitement-plastiques tels que le modèle de MC, permettent de limiter les contraintes de traction. Néanmoins, ce type de modèles donne généralement une pauvre prédiction de la distribution et de la valeur des mouvements du sol à la proximité immédiate de la structure ;

• L’utilisation des modèles élastiques non linéaires parfaitement plastiques conduit généralement à une meilleure prédiction de mouvements autour de l’ouvrage de soutènement analysé.

Dans le présent chapitre, on s’intéresse à la modélisation numérique d’un écran de soutènement encastré bien instrumenté et documenté (Taipei National Entreprise Center, TNEC, Taiwan, Kung et al, 2009) en déformation plane. Dans un premier temps, l’excavation et la compagne d’essai en laboratoire et in-situ sont décrites. La simulation numérique à l’aide de différents modèles de comportement est ensuite présentée. Les résultats numériques sont ainsi confrontés à la section de mesures in-situ.



2 L’EXCAVATION du TNEC (TAIPEI NATIONAL

ENTERPRISE CENTER) A TAIWAN

L’excavation du TNEC a été réalisée en utilisant la méthode de construction « top-down », dans laquelle le mur tient grâce à des dalles en béton de 150 mm d’épaisseur. Une paroi moulée de 0,9 m d’épaisseur et de 35 m de profondeur a été mise en œuvre pour soutenir l’excavation. Comme le montre la figure 8.1, la forme du site d’excavation est légèrement irrégulière (environ 43 m de largeur et 106 m de longueur). La profondeur maximale de l’excavation était de 19,7 m. Le tableau 8.1 présente le phasage de construction du TNEC. Comme le montre ce tableau, les étapes 1, 3, 5, 7, 9, 11 et 13 représentent les activités d’excavation et les étapes 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 et 15 représentent les travaux nécessaires au soutènement telle que la mise en place des butons ou encore le coulage des dalles en béton armé.

Tableau 8.1 – L’excavation de TNEC, phasage des travaux (Ou et al, 1998)

Phase Activités de construction - Construction de l’écran - Construction des pieux de fondation 1 Excavation jusqu’à -2,8 m de profondeur 2 Installation de H300×300×10×15 au 1er niveau (-2,0 m de

profondeur) pré-charge = 784 kN par/buton 3 Excavation jusqu’à -4,9 m de profondeur 4A Mise en place de la dalle (B1F) à -3,5 m de profondeur 4B Démolition du 1er niveau de butons et coulage de dalle à

leur place 5 Excavation jusqu’à -8,6 m de profondeur 6 Mise en place de la dalle (B2F) à -7,1 m de profondeur 7 Excavation jusqu’à -11,8 m de profondeur 8 Mise en place de la dalle (B3F) à -10,3 m de profondeur 9 Excavation jusqu’à -15,2 m de profondeur 10 Mise en place de la dalle (B4F) à -13,7 m de profondeur 11 Excavation jusqu’à -17,3 m de profondeur 12 Installation de H400×400×13×21 au 2nd niveau (-16,5 m de

profondeur) pré-charge = 1177 kN par/buton 13 Excavation jusqu’à -19,7 m de profondeur 14 Mise en place de la dalle de fondation 15 Mise en place de la dalle (B5F) à -17,1 m de profondeur 16 Démolition du 2nd niveau de butons



Figure 8.1 – L’excavation de TNEC et l’instrumentation effectuée in situ (Kung et al, 2009)

Figure 8.2 – L’excavation de TNEC, Section principale (GG’, Fig. 8.1) de mesures (Kung et al,

2009)



3 INSTRUMENTATIONS MISES EN PLACE

La déformée du mur et les mouvements du sol induits ont été observés à l’aide de cinq inclinomètres, trois extensomètres et un certain nombre de points de nivellement implémentés le long de la section principale (GG’ sur la Fig. 8.1) de mesures (Fig. 8.2). L’inclinomètre installé dans le mur traverse le pied du mur pour atteindre la formation du gravier qui se trouve à 46 m de profondeur.

4 RECONNAISSANCES GEOTECHNIQUES

La compagne de reconnaissance in situ montre que le bassin de Taipei est constitué d’une formation épaisse d’alluvions, appelée formation de « Sungshan » qui se trouve au-dessus de la formation de gravier de « Chingmei ». La formation de Sungshan se trouve sous forme de six couches alternatives de sable limoneux (SL) et d’argile peu plastique (APP). Le tableau 8.2 présente les propriétés physiques des couches rencontrées.

Tableau 8.2 – Caractéristiques physiques du sol (Ou et al, 1998)

Profondeur (m)

Type de sol

SPT-N (frappes/ft)

Wnat (%)

LL PI ϕ’ (°)

0,0-5,6 APP 3 32 34 23 33 5,6-8,0 SL 11 25 - - 31 8,0-33,0 APP 3-10 25-40 29-39 9-19 30 33,0-35,0 SL 20 24 - - 31 35,0-37,5 APP 14 28 33 21 32 37,5-46,0 SL 30 30 - - - > 46,0 Gravier > 100 - - - - Afin de déterminer le profil du degré de surconsolidation in-situ, Kung et al. (2009) ont suivi le chemin oedométrique pour reproduire les conditions initiales du sol du TNEC. La figure 8.3 montre la confrontation de leurs résultats aux études précédentes menées par Ou et al. (1999), Liu et al. (1998) et Moh et al. (1989). Les auteurs ont re-affirmé que le degré de la surconsolidation est très important en surface (environ 4 à 4 m de profondeur) et qu'il se dégrade en fonction de la profondeur très rapidement pour atteindre 1,24 à 15 m.



0

10

20

30

40

0 1 2 3 4ratio de surconsolidation

Prof

onde

ur (m

)Kung et al. (2009)Liu et al. (1998)Ou et al. (1999)Moh et al. (1989)

Figure 8.3 – Profil du degré de surconsolidation (Kung et al, 2009)

La figure 8.4 compare les modules de cisaillement obtenus à partir d’essais triaxiaux de haute précision (la cellule est équipée par la technique de bender elements) avec ceux issus d’essais de Cross-Hole.

0

5

10

15

20

25

30

0 50 100 150G0 (MPa)

Prof

onde

ur (m

)

Cross-Hole

Bender elements (Compression)

Bender elements (Extension)

Figure 8.4 – Détermination du module de cisaillement (Kung et al, 2009)



5 SIMULATION NUMERIQUE

5.1 Géométrie et Maillage en éléments finis

120 m120 m

19,7

m19

,7 m

46 m

46 m

écranécranexcavationexcavation

Figure 8.5 – Géométrie et maillage adoptés

La figure 8.5 présente la géométrie et le maillage adoptés pour la modélisation numérique bidimensionnelle (en déformations planes). Pour réduire l’effet de bords, les dimensions retenues du maillage suivent les recommandations de Mestat (1997), de Potts et Zdravkovic (2001) et de Delattre (2004). Compte tenu des reconnaissances géotechniques du site, le maillage a une extension horizontale de 120 m et verticale de 46 m. Le sol est représenté par des éléments triangulaires, l’écran de soutènement et les butons sont simulés par des éléments structurels. Des éléments d’interface ont été mis en place pour simuler l’interface entre le sol et l’écran.

5.2 Conditions aux limites

Comme le montre la figure 8.5, le déplacement horizontal est bloqué sur les limites verticales du maillage. La base est maintenue fixe tant horizontalement que verticalement.

5.3 Conditions initiales des contraintes

L’état initial des contraintes est de type géostatique. Les contraintes verticales sont dues au poids des terrains et les contraintes horizontales effectives sont proportionnelles aux contraintes verticales effectives. Afin de tenir compte l’état de la surconsolidation de l’argile de Taipei, le coefficient de proportionnalité (coefficient de pression des terres au repos) est calculé à l’aide des équations (8-1 et 8-2) de Jaky (1944) et d’Alpan (1967) retenues par Moh et al. (1989).

ϕsin1)(0 −=NCK (8-1)



ϕsin

)(0)(0 OCRKK NCOC ×= (8-2) où )(0 NCK et )(0 OCK sont respectivement les coefficient de pression des terres au repos pour le sol normalement et surconsolidé. La pression de l’eau considérée pour le calcul est de type hydrostatique. Celle-ci représente bien les conditions hydrauliques in situ (Liao, 1996).

5.4 Comportement des matériaux

5.4.1 Comportement des butons Dans la modélisation numérique, un buton (supposé élastique) est caractérisé par un module d’Young et un coefficient de Poisson égal respectivement à 210 GPa et 0,3. L’aire de la section et son inertie sont équivalentes à celles utilisées pour la mise en œuvre de l’excavation.

5.4.2 Comportement de l’écran Pour le comportement de l’écran, on utilise une loi élastique linéaire isotrope, avec un module d’Young de 20 GPa et un coefficient de Poisson de 0,3.

5.4.3 Comportement du sol Les couches de sable sont représentées par le modèle élastique parfaitement plastique de Mohr-Coulomb (MC). L’annexe 8 contient les valeurs numériques retenues pour la simulation numérique. Pour modéliser l’excavation en élasticité linéaire, les différents types d’analyse proposés par Kung et al. (2009) ont été adoptés. En effet, les auteurs proposent de caler les paramètres des couches argileuses en se basant directement sur les essais effectués en laboratoire (l’analyse de type B où le type A a été réservé selon Kung et al. au calcul non linéaire). Deux types supplémentaires ont été également proposés en se basant sur les mesures effectuées in situ :

Analyse de type C : Dans laquelle, les paramètres sont calés pour satisfaire la déformée de l’écran.

Analyse de type D : Dans laquelle, les paramètres sont calés pour satisfaire les tassements du sol en surface.

En plus du modèle élastique linéaire parfaitement plastique « MC », la modélisation numérique de l’écran en question adopte des modèles de comportement plus complexes tels que le modèle « HS », le modèle « HS-Small » et le modèle hypoplastique de Masin. Les différentes propriétés du sol retenues pour la simulation numérique se trouvent dans l’annexe 8.



Il est important de signaler que la simulation de l’excavation a été effectuée sous conditions non drainées. Un rabattement du niveau de la nappe phréatique est alors simulé simultanément en excavant le sol.

6 PRESENTATION DES RESULTATS

Dans ce paragraphe, on confronte les résultats des modélisations numériques aux grandeurs mesurées au cours de l’expérimentation pour différentes phases d’excavation. L’analyse numérique a démontré que le fait d’adopter une fiche aussi importante (de l’ordre de 15 m) pour un écran bien soutenu, conduit à de faibles déformations plastiques. Dans ce cas, les propriétés de déformabilité du sol jouent un rôle plus important que les propriétés plastiques. Les figures 8.6 et 8.7 présentent respectivement les zones plastiques résultantes lors de la mise en œuvre des modèles MC et HS-Small.

Figure 8.6 – Zones plastiques résultantes à la fin du calcul de type MC

Figure 8.7 – Zones plastiques résultantes à la fin du calcul de type HS-Small



6.1 Simulation en élasticité linéaire (le modèle MC)

La déformée du mur et les tassements du sol en surface pour les phases 3, 7, 11 et 13 (Tab. 8.1) sont indiqués sur la figure 8.8 qui confronte les résultats de l’analyse numérique en élasticité linéaire (de type B, C et D) aux observations in situ. Comme le montre la figure 8.8, la déformée du mur et les tassements du sol en surface obtenus à partir des analyses de type B sont nettement inférieurs à ceux observés expérimentalement. La prévision de la déformé maximale de mur en stade final de l’analyse de type B est de 3,3 cm, nettement inférieure à la déformé maximale observée de 10,6 cm. De même, le tassement maximal en surface à l’étape finale est d’environ 1,7 cm (contre 7,8 cm du tassement maximal observé). Le module de cisaillement des couches argileuses utilisé dans l’analyse de type B a été directement déduit d’essais triaxiaux de haute résolution et correspond bien aux valeurs mesurées expérimentalement in situ. Par conséquent, la sous-estimation de la déformée de mur et le tassement en surface peut être attribuée au modèle de comportement de MC basé sur l’hypothèse de l’élasticité linéaire. Comme décrit précédemment, on a suivi les propositions de Kung et al. (2009) en utilisent la déformée du mur observée dans la dernière étape d’excavation pour déterminer le module de cisaillement approprié à la représentation des couches argileuses suivant l’analyse de type C. Les valeurs déterminées du module de cisaillement ont été respectivement 7 MPa et 6 MPa. La simulation numérique en utilisant ces valeurs montre que la déformée du mur peut être raisonnablement prédite au cours de l’avancement des travaux d’excavation. Néanmoins, les tassements en surface ne peuvent pas être prédits avec le même degré de précision. Les résultats de l’analyse de type D, dans laquelle le tassement de la surface observé dans la phase finale a été utilisé pour calibrer le module de cisaillement, montrent que le tassement maximal dans la dernière étape peut être correctement prédit, mais les tassements loin du mur sont nettement surestimés. Les tassements du sol en surface pour les stades ultérieurs sont aussi surestimés par les analyses de type D. Toutefois, la déformée de l’écran est toujours surestimée quel que soit la phase d’excavation considérée. La figure 8.9 confronte les prévisions de la déformation latérale du sol aux observations in situ mesurées à l’aide des inclinomètres SI-1, SI-2 et SI-3 (Fig. 8.2), situés respectivement à 2, 8 et 16 m derrière la paroi. Comme le montre la figure 8.9, la tendance générale est similaire à celle observée dans la figure 8.8. Pour l’analyse de type B et D, les prédictions numériques des déformations latérales de sol ne correspondent pas bien aux mesures. Comme indiqué précédemment, une analyse de type C effectuée avec le module de cisaillement calculé à partir d’observations de la déformé d’écran permettent d’obtenir des prévisions satisfaisantes pour les inclinomètres SI-1 et SI-2. En revanche, à SI-3 (plus loin du mur), la prédiction par une analyse de type C surestime significativement les déformations latérales du sol, principalement en raison de son incapacité à simuler l’effet des petites déformations.



6.2 Elasticité non linéaire pour la prédiction des mouvements

(le modèle HS)

Même si un module « équivalent » en cisaillement a été utilisé dans l’analyse en éléments finis, les résultats de l’analyse de type B, C et D montrent que la déformée du mur et les tassements du sol en surface ne peuvent pas être simultanément prédits avec précision en utilisant le modèle MC. D’autre part, une analyse de type non-linéaire (en utilisant le modèle HS) montre que la prédiction de la déformée de la paroi ainsi que les tassements en surface est raisonnablement satisfaisante. Comme le montre la figure 8.8, le tassement maximal du sol en surface en proximité immédiate du mur, les tassements loin derrière en plus de la déformé du mur peuvent être prédits simultanément d’une façon appropriée et pour toutes les phases d’exécution en utilisant le modèle non-linéaire HS dans cette analyse. Concernant les déformations latérales, l’analyse numérique en utilisant le modèle HS permet d’avoir une prévision satisfaisante des déformations latérales du sol au SI-1, SI-2 et SI-3 pour toutes les phases de l’excavation. Les constatations précédentes montrent que la prise en compte de la non-linéarité de l’argile surconsolidée, la déformée de l’écran ainsi que les mouvements du sol en proximité peuvent être estimés avec plus de précision. Ceci re-affirme l’importance de considérer le comportement non linéaire sous petites déformations de l’argile surconsolidée lors de la simulation numérique de construction d’un mur de soutènement. Bien que la règle d’écoulement isotrope utilisé dans le modèle HS ne soit pas en mesure de décrire l’argile surconsolidée de Taipei sous grandes déformations (Ou et Kung, 2004), les simulations numériques de l’ouvrage étudié montrent que le modèle HS peut convenablement décrire le comportement de l’argile de Taipei sous petites déformations, ce qui conduit à une meilleure représentation du comportement mécanique de sol par rapport à un modèle qui ne tient pas du tout l’effet des petites déformations lors de la simulation d’un écran de soutènement à multi-supports en utilisant des parois moulées.



Déformée de l’écran (mm) Distance depuis l’écran (m)

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tas

sem

ent (

mm

) MesuresMC_BMC_CMC_DHS

-40

-30

-20

-10

0020406080100120140160

Prof

onde

ur (m

)

Phase (3)

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tas

sem

ent (

mm

)

-40

-30

-20

-10

0020406080100120140160

Prof

onde

ur (m

)

Phase (7)

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tas

sem

ent (

mm

)

-40

-30

-20

-10

0020406080100120140160

Prof

onde

ur (m

)

Phase (11)

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tas

sem

ent (

mm

)

-40

-30

-20

-10

0020406080100120140160

Prof

onde

ur (m

)

Phase (13) Figure 8.8 – Confrontation de l’analyse numérique (HS) aux mesures in situ : Gauche : Déformée

de l’écran; Droite : Tassements du sol en surface



Déplacement lateral (mm)

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120150

Prof

onde

ur (m

)

MesuresMC_BMC_CMC_DHS

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120150

Prof

onde

ur (m

)

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120150

Prof

onde

ur (m

)

SI-1 (Phase 5) SI-1 (Phase 9) SI-1 (Phase 13)

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120150

Prof

onde

ur (m

)

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120150

Prof

onde

ur (m

)

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120150

Prof

onde

ur (m

)


-50

-40

-30

-20

-10

00306090120150

Prof

onde

ur (m

)

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120150

Prof

onde

ur (m

)

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120150

Prof

onde

ur (m

)


Figure 8.9 – Confrontation de l’analyse numérique (HS) aux mesures in situ : Déplacements latéraux



6.3 Prise en compte de la rigidité du sol sous très petites

déformations (le modèle HS-Small)

Une analyse supplémentaire considérant la rigidité sous très petites déformations des couches d’argile a été effectuée à l’aide du modèle HS-Small. Les paramètres supplémentaires du modèle HS-Small par rapport au modèle HS (Tab. 5, Annexe 8) ont été retenus en se basant sur les valeurs de G0 mesurées lors de la reconnaissance géotechnique in situ. Toutefois, le paramètre 7,0γ est pris égal à 10-4. Le module d’Young en

déchargement-rechargement ( refurE ) était retenu égal à trois fois le module ( refE50 ).

La déformée du mur et les mouvements du sol induits à sa proximité pour les différentes phases sont présentés sur les figures 8.10 et 8.11. Les deux figures montrent une légère différence entre la prédiction numérique du modèle HS-Small et celle de HS (la prédiction par le modèle HS-Small est toujours légèrement inférieure à celle du modèle HS). Ceci est sans doute lié à la mobilisation de déplacements suffisamment importante pour que les mouvements estimés à l’aide du modèle HS-Small convergent vers la solution du modèle HS. D’ailleurs, les résultats montrent que lorsqu’on considère les propriétés du sol sous très petites déformations déduites directement des reconnaissances géotechniques in situ, la prédiction numérique des mouvements (en utilisant des modèles capables de prendre en compte l’effet des faibles déformations) est généralement satisfaisante à l’inverse du modèle MC basé sur l’élasticité linéaire.




0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tass

emen

t (m

m)

MesuresHSHS-Small

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

Phase (3)

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tass

emen

t (m

m)

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

Phase (7)

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tass

emen

t (m

m)

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

Phase (11)

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tass

emen

t (m

m)

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

Phase (13) Figure 8.10 – HS-Small versus HS et mesures in situ : Gauche : Déformée de l’écran; Droite :

Tassements du sol en surface




-50

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

MesuresHSHS-Small

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)


-50

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)


-50

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

-50

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)


Figure 8.11 – HS-Small versus HS et mesures in situ : Déplacements latéraux



6.4 Impact de la forme de la courbe G = f(εaxiale) sur la

prédiction des mouvements (le modèle HS-Small)

εaxial

G

10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1

G01

Ref1

Cas A

Cas B

Figure 8.12 – Etude paramétrique sur la forme de la courbe de rigidité

Afin d’étudier l’influence de la forme de la courbe de rigidité sur les mouvements induits par l’excavation, on suppose que la valeur du paramètre G0 reste constante pour chaque couche d’argile et que le paramètre 7,0γ varie entre 10-3 et 10-5. La figure 8.12 présente les courbes qu’on obtient en adoptant telles hypothèses. En effet, une valeur inférieure à celle retenue pour le calcul de référence (Cas B) conduit à une variation brutale du module de cisaillement. Ceci se traduit par une rigidité du sol moins importante pour un déplacement mobilisé donné. L’influence de la forme de courbe sur la prédiction des mouvements est étudiée en terme de déformée de l’écran et de tassements du sol en surface. La figure 8.13 montre l’ensemble des résultats obtenus et les points de mesures. On constate que le cas B est très proche du calcul de référence, ce qui signifie que jusqu’à une certaine limite de déformations (10-4 dans notre cas), la variation de la raideur du sol a peu d’influence sur la prédiction des mouvements près de l’écran analysé.




0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tass

emen

t (m

m)

MesuresHS-Small (Ref1)Cas ACas B

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

Phase (3)

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tass

emen

t (m

m)

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

Phase (7)

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tass

emen

t (m

m)

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

Phase (11)

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tass

emen

t (m

m)

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

Phase (13) Figure 8.13 – Influence de la forme de courbe en « S » du modèle HS-Small et mesures in situ :

Gauche : Déformée de l’écran; Droite : Tassements du sol en surface



6.5 Prise en compte d’une raideur plus importante sous très

petites déformations (le modèle HS-Small) Dans la présente étude paramétrique, l’influence de la valeur du module de cisaillement initial G0 est évaluée. Le calcul de référence (Ref2) adopte un module de cisaillement (G02) égale à deux fois de sa valeur considérée pour le calcul précédant (Ref1). Le paramètre 7,0γ est ensuite varié entre 10-4 et 10-6. Les différentes courbes obtenues sont présentées sur la figure 8.14.

εaxiale

G

10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1

G02

Ref1

Cas C

Cas D

Ref2

G01

Figure 8.14 – Etude paramétrique sur la rigidité initiale du sol

La figure 8.15 montre que considérer une valeur plus importante de la rigidité initiale du sol (Ref2, Fig. 8.14) conduit à des mouvements moins importants (et plus loin des points de mesures). Cependant, toutes les autres courbes se convergent vers la solution de référence précédente (Ref1).




0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tass

emen

t (m

m)

MesuresHS-Small (Ref1)HS-Small (Ref2)Cas CCas D

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

Phase (3)

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tass

emen

t (m

m)

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

Phase (7)

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tass

emen

t (m

m)

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

Phase (11)

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Tass

emen

t (m

m)

-40

-30

-20

-10

00306090120

Prof

onde

ur (m

)

Phase (13) Figure 8.15 – Influence de la rigidité initiale sur les mouvements du sol : Gauche : Déformée de

l’écran; Droite : Tassements du sol en surface



6.6 Simulation en hypoplasticité (Masin, 2005)

Le modèle hypoplastique (Masin, 2005) a été utilisé pour représenter le comportement de l’argile peu plastique (APP) de Taipei. Les paramètres de base (ceux du modèle Cam-Clay) ont été retenus (Kung et al., 2009). Les paramètres qui contrôlent le comportement du sol sous faibles déformations ont été déduits des mesures de G0 in situ. Les valeurs numériques des différents paramètres se trouvent dans l’annexe 8 (Tab. 6). La déformée du mur et les tassements du sol induits en surface sont présentés sur la figure 8.16 en fonction du phasage des travaux. Dans cette figure, les prédictions numériques à l’aide du modèle hypoplastique sont également confrontées à celles obtenues avec le modèle HS. Comme le montre la figure 8.16, la déformée du mur estimée par le modèle hypoplastique est très satisfaisante pour toutes les phases de l’excavation à l’inverse du modèle HS qui simule moins bien la déformée du mur lors de la modélisation des premières phases de l’excavation. Cependant, la simulation des tassements du sol est moins en concordance. En effet, les tassements sont légèrement supérieurs à ceux obtenus par le modèle HS au début de l’excavation et deviennent inférieurs aux tassements mesurés dans les phases finales. Loin derrière l’écran, des tassements plus importants que ceux calculés par le modèle HS ont été d’ailleurs observés. Sur la figure 8.17, les déplacements latéraux près de l’écran estimés par le modèle hypoplastique sont confrontés à ceux obtenus par le modèle HS et aux mesures in situ (Fig. 8.2). Près de l’écran, on observe que la modélisation numérique est satisfaisante. Cependant, les déplacements latéraux sont surestimés à 16 m derrière l’écran. A l’issu des simulations menées à l’aide du modèle hypoplastique, on peut conclure que les mouvements du sol sont correctement estimés par le modèle hypoplastique de Masin (2005) (tant horizontalement que verticalement).




0

20

40

60

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0 20 40 60 80 100

Tass

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t (m

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MesuresHSHypoplasticité

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Phase (3)

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0 20 40 60 80 100

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Phase (7)

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Phase (11)

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t (m

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-20

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Prof

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ur (m

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Phase (13) Figure 8.16 – Hypoplasticité versus HS et mesures in situ : Gauche : Déformée de l’écran; Droite :

Tassements du sol en surface




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-40

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-20

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MesuresHSHypoplasticité

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-10

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Prof

onde

ur (m

)


Figure 8.17 – Hypoplasticité versus HS et mesures in situ : Déplacements latéraux

7 CONCLUSIONS

L’observation des mouvements de sol dans le cas du TNEC montre que les déformations du sol induites par le processus de l’excavation étaient inférieures à 1% à proximité de l’excavation et inférieures à 0,01% dans certaines zones plus éloignées. Ainsi, la connaissance du comportement des différentes couches sous faibles déformations est essentielle pour prédire de façon satisfaisante la déformée du mur et les tassements du sol en surface induits par l’excavation.



Des essais triaxiaux à haute résolution ont été utilisés pour caractériser l’argile limoneuse de Taipei. Les essais effectués sur des échantillons intacts ont montré que l’argile de Taipei présente un comportement raide et non-linéaire. Différents modèles de comportement ont été mis en œuvre afin de représenter les couches d’argiles lors de l’analyse numérique en éléments finis : le modèle élastique linéaire parfaitement plastique MC, un modèle non-linéaire (HS), un modèle capable de prendre en compte de la rigidité du sol sous petites déformations (HS-Small) et un modèle de type hypoplastique capable de prendre en compte la non linéarité sous faibles déformations, la rigidité plus élevée sous très faibles déformations en plus de l’état caractéristique du sol. Les paramètres des modèles proviennent d’un calage direct sur les expérimentations effectuées. L’analyse numérique de l’excavation du TNEC à l’aide du modèle MC a montré que les tassements du sol en surface ne pouvaient pas être prédits avec précision, malgré le fait que le module initial de cisaillement ait été déterminé par des moyens d’essais de laboratoire de haute qualité ou obtenus par analyse inverse des mesures sur la phase finale de l’excavation. La capacité du modèle MC à simuler le comportement non-linéaire de l’argile surconsolidée sous petites déformations n’est pas satisfaisante en terme de tassements en surface. La simulation numérique du TNEC en utilisant le modèle HS dans lequel le comportement non-linéaire de l’argile surconsolidée a été considérée a montré que la déformée du mur, les tassements du sol en surface et les déformations latérales peuvent être simultanément et assez précisément estimés. L’importance de la prise en compte de la non-linéarité de l’argile surconsolidée lors de l’analyse numérique d’un mur de soutènement a été ré-affirmée. Afin d’évaluer l’influence de la prise en compte de la rigidité du sol sous très petites déformations sur la prédiction des déplacements, des calculs supplémentaires ont été effectués à l’aide du modèle HS-Small. Les résultats du calcul montrent que les déformations de l’ouvrage sont petites (environ 1% à proximité de l’écran) et que l’influence de la rigidité du sol à très petites déformations n’est dès lors plus influente. Des calculs ont été effectués à l’aide du modèle hypoplastique. La simulation numérique a démontré que la prédiction de la déformée de mur et les déplacements latéraux du sol est très satisfaisante. Toutefois, la prédiction des tassements du sol en surface est en moins bonne adéquation avec les résultats expérimentaux. A l’issu de ce chapitre, il a été démontré que lors de la simulation numérique d’un écran de soutènement, la prise en compte du comportement non linéaire et de la raideur plus élevée du sol sous faibles déformations améliorent sensiblement la prédiction des mouvements du sol. Néanmoins, La simulation du déplacement de la tête d’écran nécessite de mettre en œuvre des modèles capables de simuler le comportement du sol en grandes déformations.



Chapitre 9

Modélisation du creusement d’ouvrages souterrains



SOMMAIRE

1 INTRODUCTION ..................................................................................................185 2 PRESENTATION GENERALE DU PROJET SUPPORT ...................................186

2.1 LE CONTEXTE ET LA LOCALISATION ............................................................................. 186 2.2 SECTION TRANSVERSALE ET METHODE DU CREUSEMENT RETENUES.............................. 188 2.3 INSTRUMENTATIONS MISES EN PLACE ........................................................................... 190 2.4 LA GEOLOGIE ET LE CONTEXTE GEOTECHNIQUE DU SITE ............................................... 192

3 BREVE DESCRIPTION DES COUCHES D’ARGILE ........................................193

3.1 HISTOIRE GEOLOGIQUE DE L’ARGILE DE LONDRES........................................................ 193 3.2 PROPRIETES GEOTECHNIQUES....................................................................................... 195

4 MODELISATION NUMERIQUE .........................................................................198

4.1 MODELISATION 2D SIMPLIFIEE ..................................................................................... 198 4.1.1 Géométrie et Maillage étudiés ...........................................................................................198 4.1.2 Conditions aux limites .......................................................................................................200 4.1.3 Conditions initiales des contraintes ...................................................................................200 4.1.4 Simulation du creusement ..................................................................................................200 4.1.5 Comportement des matériaux .............................................................................................201 4.1.6 Résultats et discussion .......................................................................................................203

4.1.6.1 Calcul de référence (λd = 35% et H’ = 2D) ................................................203 4.1.6.2 Etudes paramétriques.................................................................................206

4.1.6.2.1 Hauteur de couverture .........................................................................206 4.1.6.2.2 Sensibilité du modèle numérique vis-à-vis des paramètres de petites déformations (le modèle de Fahey & Carter) .....................................................209 4.1.6.2.3 Simulation du mode de creusement .....................................................211

4.1.7 Conclusion ........................................................................................................................213 4.2 MODELISATION 2D PLUS FINE ...................................................................................... 213

4.2.1 Géométrie et Maillage étudiés ...........................................................................................214 4.2.2 Conditions aux limites et conditions initiales des contraintes .............................................214 4.2.3 Simulation du creusement ..................................................................................................214 4.2.4 Comportement des matériaux .............................................................................................215 4.2.5 Présentation des résultats ..................................................................................................215

4.2.5.1 Calcul en élasticité linéaire isotrope (le modèle MC) .................................215 4.2.5.2 Calcul avec le modèle Cam-Clay) ..............................................................216 4.2.5.3 Calcul en élasticité non linéaire isotrope (HS et HS-Small) .......................218 4.2.5.4 Calcul en élasticité linéaire anisotrope (le modèle élastique linéaire transversalement anisotrope) .................................................................................219 4.2.5.5 Calcul en hypoplasticité (le modèle de Masin 2005) .................................222

4.2.5.5.1 Calage des paramètres.........................................................................222 4.2.5.5.2 Impact de la prise en compte des tunnels plateformes déjà excavés .....223 4.2.5.5.3 Impact de la perte de volume des tunnels plateformes .........................224 4.2.5.5.4 Le taux de déconfinement le plus adapté .............................................224

5 CONCLUSIONS ....................................................................................................226



1 INTRODUCTION

L’interaction entre les structures existantes et les ouvrages souterrains est un phénomène complexe où le comportement du massif environnant représente l’un des aspects important à prendre en compte lors de la simulation numérique du creusement d’un tunnel. En conséquence, un modèle réaliste pour le sol est un élément essentiel afin de prévoir les magnitudes et la distribution des déformations à proximité du tunnel creusé. Le modèle de comportement fréquemment utilisé lors de la simulation numérique du creusement sous charges de service se base souvent sur l’élasticité linéaire couplée avec un critère de rupture de type Mohr-Coulomb (plasticité parfaite). Lors de la simulation des sols surconsolidés, ceci conduit à des cuvettes de tassement moins profondes et plus larges que celles observées expérimentalement (Bolton et al., 1994 ; Addenbrooke et al., 1997 ; Oettl et al., 1998 ; Masin et Herle, 2005a). Afin de prendre en compte certains des aspects fondamentaux du comportement des sols environnants tel que la dilatance avant rupture, la variation du module de rigidité en fonction de l’état de contrainte, un module en déchargement différent de celui en chargement, il est nécessaire de considérer au moins un modèle élastoplastique avec écrouissage isotrope. Pour améliorer la prédiction des mouvements de l’argile surconsolidée de Londres lors du creusement des tunnels, Bohac et al. (2002) ; Masin et Herle (2005) et Addenbrooke et al. (1997), ont étudié l’influence de l’utilisation des différentes lois de comportement à différents niveaux de complexité y compris le radoucissement, la non linéarité avant rupture ou encore l’anisotropie sur les déformations autour des tunnels creusés. Ils ont conclu qu’il est primordial de prendre en compte la non linéarité du terrain dans les simulations numériques. Dans ce chapitre, les différents modèles de comportement adoptés dans le cadre de la thèse sont utilisés pour simuler le creusement d’un tunnel peu profond à l’aéroport d’Heathrow (Londres). Ce chantier présente les conditions nécessaires à l’application des modèles de comportement non linéaires implémentés. Il a donc été retenu comme projet support pour notre étude. Toutefois, la surconsolidation et l’anisotropie de l’argile de Londres héritées de son histoire géologique et marquées par un coefficient de contraintes au repos (k0) proche de 2,8 en surface sont des paramètres inhabituels dans les simulations numériques. Après une présentation générale du projet, des instrumentations mises en place afin d’assurer le suivi des mouvements du sol, les conditions géologiques et géotechniques in situ seront présentées. Enfin, on s’intéresse à la modélisation numérique du hall central de l’aéroport à l’aide des différents modèles de comportement. L’impact de ces modèles de comportement à différents niveaux de complexité pour représenter l’argile de Londres est évalué et discuté.



2 PRESENTATION GENERALE DU PROJET SUPPORT

2.1 Le contexte et la localisation

Le projet s’inscrit dans le cadre de l’extension de l’aéroport d’Heathrow « Londres » et plus particulièrement la mise en œuvre de la galerie du hall central du terminal 4 de la ligne « Heathrow Express ». Le schéma présenté en figure 9.1 permet de visualiser le site d’implantation du projet. A l’extrémité nord-est, en plus du hall central, le projet comporte deux tunnels plateformes (correspondent à deux voies désignées à la montée et la descente). Ces tunnels sont connectés ensemble et sont traversés par un tunnel de ventilation à chaque tête. Ils ont une longueur de 220 m et 62 m2 de section transversale. La galerie du hall a une section transversale de 49 m2 et s’étend sur 64 m de longueur. Afin de mieux servir la station du métro qui se trouve en proximité, un parking de plusieurs niveaux et une salle d’accueil ont été construits immédiatement au-dessus du site de la station. Les travaux souterrains au terminal 4 ont débutés en 1994, mais à la suite de l’effondrement qui a eu lieu en zone centrale du terminal, ils ont été suspendus en 1995. Au moment de l’effondrement, 25 m de la voie de descente et 65 m de la voie de la montée avaient déjà été creusés à partir du tunnel de ventilation nord. Les mouvements engendrés par le creusement des tunnels de ventilation ont ensuite fait l’objet d’une étude particulière menée par Barakat (1996). Le creusement a été entrepris le 15 septembre 1995 et le 2 décembre pour respectivement la voie de descente et celle de montée. Après l’achèvement total du creusement et la mise en place des revêtements permanents des deux tunnels adjacents (septembre 1996), la construction du tunnel-hall central a débuté pour s’achever complètement le 7 novembre 1996. Pour une description plus complète du projet, on peut notamment se référer à Van Der Berg et al. (2003).



Figure 9.1 – Localisation du tunnel-hall au terminal 4 (Aéroport d’Heathrow) et instrumentation

mise en place (Van Der Berg et al., 2003)



2.2 Section transversale et méthode du creusement retenues

La figure 9.2 illustre la coupe transversale retenue pour le projet. Sur cette figure, on peut voir le hall central qui se trouve au milieu des deux tunnels plateformes avec un espacement de 13,5 m entre axes. La distance entre les centres des deux tunnels plateformes est de 27 m, ce qui signifie que la symétrie est présente. En raison de la faible longueur à percer, le creusement à l’aide d’un tunnelier n’a pas été envisagé. Néanmoins, on a retenu le creusement suivant l’approche NATM. Au début de l’exécution, la séquence du creusement adoptée a été déterminée en fonction des contraintes géométriques, de l’équipement pour le creusement et de la nécessité de contrôler les déplacements à toutes les étapes de construction (Powell et al, 1997). Après l’effondrement, les principaux tunnels du Terminal 4 ont été creusés en sections divisées. La séquence de construction adoptée est schématiquement illustrée dans la figure 9.3. Ainsi, l’avancement du creusement est effectuée en cinq étapes : La voûte est d’abord excavée partiellement et les piédroits creusés. Ces deux phases sont répétées dans le même ordre une deuxième fois pour terminer la séquence par l’excavation du radier et la mise en place d’un remplissage provisoire. Le pas d’avancement est variable et est fonction des structures à proximité du front (compris entre 800 et 1200 mm). Le revêtement des deux tunnels plateformes est composé d’une couche de 350 mm de béton projeté armé par des treillis et par des poutres métalliques en pleine section. Le front du tunnel a été soutenu par une couche de 50 à 100 mm de béton projeté posée immédiatement après chaque phase d’excavation. Le temps nécessaire à la réalisation d’un cycle complet d’avancement était en moyenne de 7 m par semaine, bien que le temps global d’achèvement du tunnel montre des progrès enregistrés certaines semaines. En effet, Aldrian et Kattinger (1997) ont rapporté que l’avancement moyen du creusement était de 8 à 9 m par semaine pour les deux tunnels plateformes avec un record enregistré de 14 m.



Figure 9.2 – Le tunnel du hall central : Section transversale et instrumentation mise en place

(MMS VIII) (Van Der Berg et al., 2003)

Figure 9.3 – Le tunnel du hall central : Creusement en section divisée (Van Der Berg et al., 2003)



2.3 Instrumentations mises en place

Afin de valider la conformité de la conception et de permettre le contrôle de l’injection de coulis nécessaire à la protection du parking superposé vis-à-vis des mouvements induits par le creusement, des auscultations intensives ont été mises en place. Les figures 9.1 et 9.2 nous permettent de visualiser l’instrumentation mise en place afin d’assurer un suivi régulier des mouvements engendrés par le creusement des tunnels plateformes et celui du hall central. Une section régulière de mesures (RMS) consistait en une série de six visées optiques de convergence afin de suivre les déformations du revêtement du tunnel. Une section de mesures de contraintes (SGS) comprenait en plus des visées optiques similaires à celles utilisées dans les RMS, des cellules de pression tangentielles et radiales et des piézomètres. Pendant la construction des tunnels plateformes, une instrumentation supplémentaire horizontale et verticale (depuis la surface et approximativement sur l’axe du hall) a été mise en place. Ainsi, les mouvements verticaux et longitudinaux du terrain ont été suivis en fonction de l’avancement du front de taille. Deux sections principales de mesures (MMS) ont été retenues pour le tunnel du hall central dans lesquelles, des extensomètres ont été mis en place depuis la surface du sol. La section A-A sur la figure 9.2 est l’une des deux sections principales retenues. Le suivi des tassements du sol en surface est assuré par des points de nivellement (de U1 à U20, de D1 à D20 et de C1 à C8 sur la figure 9.1). Afin de mesurer simultanément les mouvements horizontaux et verticaux, une série de huit deflectomètres (Interfels, 1996) a été mise en place sur trois niveaux (Fig. 9.4). Pour une description plus complète de la mise en place des instrumentations employées lors du creusement du hall central, on pourra se référer à Van Der Berg et al. (2003).



Figure 9.4 – Le tunnel du hall étudié : Instrumentation visant à suivre les mouvements de sol

engendrés par le processus de creusement (Van Der Berg et al., 2003)



2.4 La géologie et le contexte géotechnique du site

La géologie de la région d’Heathrow comporte principalement des dépôts de gravier recouvrant la formation de l’argile de Londres qui recouvre à son tour les lits de « Lambeth Group », selon Burnett et Fookes, 1974. Sur le site étudié, les graviers ont une épaisseur faible (< à 1,5m). Les conditions générales des couches de sol rencontrées au cours de l’étude du terminal 4 (entre 1989 et 1990) étaient similaires à celles connues dans la zone de l’aéroport à l’exception que les fissures du sol argileux s’avéraient être moins espacées. D’après Van Der Berg et al. (2003), le profil du sol comprend les formations suivantes :

Sol superficiel (de 0,0 à 1,5 m au-dessous la surface) : Cette couche a une épaisseur inférieure à 2 m et est essentiellement composée de bitume et de béton recouvrant une couche fine de remblai granulaire (de gravier et de sable fin à grossier) ;

Graviers (de 1,5 à 2,5 m) : Une couche fine de gravier a été rencontrée en dessous du sol superficiel;

Une couche d’argile de Londres (de 2,5 à 73 m au-dessous de la surface actuelle du sol) : Dans la zone de l’aéroport d’Heathrow, l’argile de Londres altérée a environ 0,5 m d’épaisseur.

Cette couche fine recouvre l’argile grise-brune très raide et inaltérée de Londres ayant des fissures aléatoirement orientées. L’espacement entre les fissures augmente avec la profondeur. Elles étaient généralement très étroitement espacées de moins de 6 m et très rapprochées en dessous de 15 m (tel que défini par la norme BS 5930). A environ 13,5 et 14,8 m de profondeur, des couches discontinues d’argilite de 200 mm d’épaisseur ont été rencontrées.

Lits de Lambeth Group (+ de 73 m de profondeur) : Cet horizon est composé d’argiles sableuses à limoneuses très raides.

Au cours des investigations géologiques et géotechniques effectuées, des piézomètres ont été mis en place afin de mesurer le niveau et les caractéristiques de la nappe phréatique. Les résultats ont montré que l’eau souterraine qui a été rencontrée dans la couche des graviers avait un niveau piézométrique correspondant approximativement au niveau du sol. Néanmoins, la pression d’eau enregistrée au niveau du tunnel était de type hydrostatique par rapport à la nappe phréatique.



3 BREVE DESCRIPTION DES COUCHES D’ARGILE

Du point de vue géotechnique, l’argile de Londres traversée par le le tunnel étudié est une argile raide surconsolidée en termes de résistance, de rigidité et du processus de destructuration. Sa réponse mécanique est fortement influencée par son histoire géologique. Dans le cadre de sa thèse de doctorat, Gasparre (2005) a étudié l’effet de l’histoire géologique de l’argile de Londres sur ses propriétés géotechniques et sa réponse mécanique sous très petites, petites et grandes déformations. Son étude portait sur des échantillons prélevés lors du creusement du terminal 5 (Fig. 9.1) proche de notre site, ce qui rend son étude applicable aux couches d’argile reconnues lors des investigations du site du terminal 4.

3.1 Histoire géologique de l’argile de Londres

La formation de l’argile de Londres est due à une alternance de dépôts et d’érosion. Néanmoins, Gasparre (2005) afin de simplifier l’étude suppose que l’érosion a eut lieu après que la déposition ait été complètement achevée, de sorte que l’histoire géologique de l’argile de Londres peut être principalement divisée en un processus de dépôt et de post-dépôt. L’épaisseur totale de la formation argileuse à Londres est comprise entre 50 et 150 m dans le bassin de Londres. La stratigraphie de cette formation est très homogène latéralement et verticalement, et on suppose ainsi que les couches continues ont des caractéristiques similaires sur toute l’épaisseur (King, 1991).

Néanmoins, King (1981) suggère en utilisant une combinaison lithologique de diviser la formation de l’argile en plusieurs unités lithologiques qui correspondent aux cycles de variation du niveau de la mer. L’auteur identifie cinq unités principales, intitulées de A à E sur la figure 9.5. Plus tard, Hight et al. (2003) et Standing et Burland (1999) ont démontré que cette division lithologique a un effet considérable sur la réponse mécanique de l’argile. Les unités principales sont à leur tour sous-divisées selon leurs caractéristiques bio-chimiques. La séquence complète des unités, de A à E ne peut être observée que dans certaines zones du bassin de Londres (King, 1981). Dans la plupart des régions de Londres, seule la partie inférieure de la séquence (unité C et en dessous) est conservée. Sur la figure 9.6, la stratigraphie du sol reconnue est illustrée par Gasparre (2005). Cette figure nous permet également de visualiser la division en unités lithologiques principales effectuée par Hight et al. (2003) pour le site de l’aéroport d’Heathrow (Terminal 5). Les forages d’investigation effectués montrent que l’épaisseur totale de l’argile est de 52 m et que la pression d’eau est de type hydrostatique. Ainsi, l’épaisseur totale estimée entre 90 et 120 m par Bishop et al, (1965) semble être excessivement élevée. Sont identifiées sur le site étudié par Gasparre (2005), les unités lithologiques de A à C ainsi que leurs sous-unités.



Figure 9.5 – Région de Londres : Coupe géologique et unités lithologiques principales (King, 1981)

Figure 9.6 – Site de l’aéroport d’Heathrow : Coupe géologique (Hight, 2003 et Gasparre, 2005)



3.2 Propriétés géotechniques

La figure 9.7 permet d’observer la teneur en eau, la limite de liquidité et l’indice de plasticité pour le site de l’aéroport d’Heathrow mesurées par Hight et al. (2003). La figure 9.7 nous permet de constater que la teneur en eau des échantillons intacts est comprise entre 22,5% et 27%. La limite de liquidité et l’indice de plasticité se situe respectivement entre 60-70% et 24-29%. L’observation des différents sites situés dans le bassin de Londres montre que la teneur en eau est liée à la classification de l’argile en unités lithologiques plutôt qu’à la profondeur. Ceci a permis à Hight et al. (2003) de classer les unités lithologiques en sous-unités. La surconsolidation de l’argile de Londres a donné lieu à des contraintes horizontales effectives élevées et conduit à des coefficients k0 supérieurs à l’unité. Skempton (1961) et Skempton et La Rochelle (1965) ont constaté que dans la partie supérieure (les 10 premiers mètres) de l’argile de Londres, K0 varie entre 2 et 2,5. Cette valeur a tendance à diminuer avec l’augmentation de la profondeur pour atteindre 1,15 à environ 30 m. La figure 9.8 montre le profil de K0 proposé par Hight et al. (2003) pour le site du terminal 5. Ce profil a été déterminé au moyen de mesures de la succion permettant de quantifier les contraintes interstitielles et effectives des échantillons prélevés le long des forages étudiés.

-60

-40

-20

040 50 60 70 80

Limite de liquidité (%)

Prof

onde

ur (m

)

-60

-40

-20

020 30 40 50 60

Indice de plasticité (%)

-60

-40

-20

010 20 30 40

Teneur en eau (%)

Figure 9.7 – Argile de Londres : Teneur en eau, Limite de liquidité et indice de plasticité (Hight et

al. 2003)

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4

k0

Prof

onde

ur (m

)

Figure 9.8 – Argile de Londres : Profil de K0 (Hight et al, 2003)



La perméabilité de l’argile de Londres est fortement associée à sa division en unités lithologiques. Hight et al. (2003) se sont intéressés aux mesures de la perméabilité horizontale au moyen de permeamètres et du pressiomètre autoforeur. Ils ont observé que la perméabilité des échantillons représentant l’unité A2 était la plus élevée (en raison de son contenu assez important de sable) mais ils ont également remarqué que l’augmentation de la perméabilité était significative dans la partie supérieure de chaque unité suite à la présence de lentilles de limon. En général, la perméabilité horizontale mesurée dans l’argile de Londres était comprise entre 1×10-11 et 1×10-8 m/s. Le comportement anisotrope de l’argile de Londres a été d’abord présenté par Bishop et al. (1965) et Atkinson (1973) en comparant la résistance en grandes déformations des échantillons prélevés horizontalement et verticalement. Les auteurs trouvent que la déformation verticale (selon la direction du dépôt) était plus importante que celle mesurée dans le plan de dépôt (horizontal). La rigidité déduite de l’argile de Londres sous petites déformations dépend de la pression moyenne effective selon l’équation :

npAG ′= .0 (9-1) Avec n qui varie entre 0,36 et 0,61 et généralement retenu proche de 0,5. Les grandeurs du module de cisaillement Ghh, Gvh et Ghv varient selon la localisation et la profondeur mais la valeur de Ghh est toujours supérieure à celle de Gvh et de Ghv. A l’aide d’essais triaxiaux de haute résolution sur des échantillons intacts d’argile de Londres, Jovicic et Coop (1998) ont remarqué que Gvh est égal à Ghv. Les auteurs ont aussi trouvé que le rapport Ghh/Gvh est constant avec la profondeur et égal à 1,5. Ces observations ont été confirmées par d’autres mesures effectuées sur d’autres sites au centre de Londres (Hight et al., 2003 ; Wongsaroj et al., 2004). Des essais de type Cross-Hole et Down-Hole effectués depuis la surface du sol au terminal 5 ont montré que le module Ghh in-situ est supérieur de 50-100% à Gvh ou Ghv, (qui sont égaux). La figure 9.9 présente trois photos provenant des trois unités lithologiques à l’échelle microscopique. Cette figure montre clairement que la structure de l’argile dépend de sa classification en unités lithologiques. Elle est plus ferme et orientée en profondeur et de plus en plus ouverte et perturbée près de la surface. Ceci conduit à une rigidité horizontale plus importante pour les unités les plus profondes.



(a) Unité C

(b) Unité B2

(c) Unité A3

Figure 9.9 – Observation à l’échelle microscopique (Gasparre, 2005)



4 MODELISATION NUMERIQUE

Lors de la modélisation numérique du creusement d’un tunnel, la surconsolidation de l’argile de Londres et son anisotropie qui se manifestent sous forme d’un k0 supérieur à l’unité nécessitent la mise en œuvre d’un modèle de comportement complexe capable de reproduire ces caractéristiques. Dans cette partie, la réponse du sol est évaluée à l’aide des différents modèles mis en œuvre. Dans un premier temps, on s’intéresse au comportement à long terme. Les caractéristiques du sol sont ainsi issues d’essais triaxiaux effectués sous conditions drainées. Le creusement est ensuite simulé plus finement en considérant notamment les conditions du sol observées in situ. Le modèle de comportement le plus adapté vis-à-vis de la représentation de la cuvette de tassements transversale est recherché.

4.1 Modélisation 2D simplifiée

Dans un premier temps, on s’intéresse à l’étude du comportement de sol à long terme et on considère donc les caractéristiques drainées. Le creusement d’un seul tunnel est simulé et l’argile est représentée par une seule couche homogène toute la profondeur.

4.1.1 Géométrie et Maillage étudiés La simulation numérique du creusement du tunnel a été mise en œuvre à l’aide des deux codes de calcul : FLAC et PLAXIS. Un modèle en déformations planes a été créé (Figs. 9.10 et 9.11). Compte tenu de la symétrie géométrique et géotechnique autour du centre du tunnel du hall central, seule la moitié du problème a été modélisée. Les figures 9.10 et 9.11 représentent respectivement la géométrie et le maillage adoptés en éléments finis (PLAXIS) et en différences finies (FLAC). Pour limiter les effets de bord, les dimensions retenues du maillage suivent les recommandations de Mestat (1997) et de Potts et Zdravkovic (2001). L’étendue du maillage est de 100 m d’extension horizontale et de 73 m de hauteur. Le tunnel est supposé circulaire de 7,7 m de diamètre et se trouve à H = 53 m du substratum. La hauteur de couverture (H’) est de 2D. En différences finies, l’ensemble du maillage (le sol et le revêtement) est représenté par des éléments surfaciques. En éléments finis, le revêtement est représenté par des éléments structurels. Compte tenu du creusement suivant le procédé NATM, des éléments d’interfaces entre le revêtement et le sol n’ont pas été utilisés. Le maillage FLAC est différent de celui utilisé avec PLAXIS. Néanmoins, les deux logiciels permettent d’aboutir aux mêmes champs de déplacements et de contraintes lors de la mise en œuvre du modèle MC (écart inférieur à 3%).



Figure 9.10 – Géométrie et maillage en éléments finis (PLAXIS)

100 m

A

73 m

A

H

Figure 9.11 – Géométrie et maillage en différences finies (FLAC)



4.1.2 Conditions aux limites Comme le montre les figures 9.10 et 9.11, le déplacement horizontal est bloqué sur les limites verticales du maillage. La base du maillage est maintenue fixe tant horizontalement que verticalement.

4.1.3 Conditions initiales des contraintes L’état initial des contraintes est de type géostatique. Les contraintes verticales sont dues au poids des terrains et les contraintes horizontales effectives sont proportionnelles aux contraintes verticales effectives selon le coefficient de pression des terres au repos. Ce coefficient vaut 0,4 et 1,15 respectivement pour le gravier et l’argile. Les calculs sont effectués en conditions drainées, cependant pour une estimation quantitative des déformations dues au creusement d’un tunnel dans des sols fins, une analyse non drainée avec consolidation aurait du être utilisée. Cette hypothèse peut être justifiée par le fait qu’une analyse drainée est suffisante pour évaluer le comportement à long terme pour ce type d’ouvrages.

4.1.4 Simulation du creusement Karakus (2007) compare différentes approches visant à prendre en compte l’apport 3D du creusement d’un tunnel peu profond en configuration bidimensionnelle. Il a conclu que la méthode convergence-confinement développée par Panet (1995) permet d’obtenir une bonne estimation de la cuvette de tassement en surface. La détermination de la convergence du massif de sol au moment où le soutènement devient efficace, c’est-à-dire au moment où il commence à exercer une pression de soutènement pour s’opposer à la convergence, est une démarche essentielle de cette méthode (Panet, 1995). Le choix du taux de déconfinement λd constitue une des difficultés majeures de l’application de la méthode convergence-confinement. Ce paramètre peut être calculé en se basant sur des simulations tridimensionnelles permettant d’obtenir le même tassement maximal en surface (Möller, 2006). En se basant sur l’étude de Karakus (2007), le taux de déconfinement adopté dans cette étude est de 35%. La simulation numérique du creusement se fait ainsi en deux phases :

Désactivation du terrain à excaver tout en appliquant simultanément un taux de déconfinement λd sur les pourtours de l’excavation, , la figure 9.12 présente l’application des forces appliquées sur le pourtour du tunnel lors de l’application d’un taux de déconfinement;

Activation du soutènement et déconfinement total.



Figure 9.12 – Simulation du creusement par la méthode de « λ »

4.1.5 Comportement des matériaux Dans la modélisation numérique, le soutènement est caractérisé en élasticité linéaire isotrope par un module d’Young de 5 GPa et un coefficient de Poisson de 0,2. La couche de gravier est représentée par le modèle MC. Toutefois, l’argile est simulée à l’aide des modèles de comportement à complexité croissante :

• Le modèle élastique linéaire isotrope parfaitement plastique (MC, Référence) ; • Le modèle de Janbu ; • Le modèle de Fahey & Carter ; • Le modèle de FaheySoft ; • Le modèle de Duncan & Chang ; • Le modèle « HS » ; • Le modèle « HS-Small) ;

La réponse du modèle numérique en fonction des différents modèles de comportement est alors évaluée en termes de déplacements autour du tunnel simulé. Le calage des différents paramètres est basé sur une compagne intensive d’essais en laboratoire et in-situ. Ces expérimentations ont permis de caractériser l’argile surconsolidée de Londres (Gasparre, 2005). Dans l’actuelle étude simplifiée, on ne prend en compte qu’une seule couche dont les paramètres ont des valeurs moyennes. Des simulations numériques des essais triaxiaux drainés qui correspondent aux différentes profondeurs ont été effectuées afin de caler les paramètres de chaque modèle adopté. Les paramètres nécessaires à la représentation du comportement sous petites déformations sont obtenus grâce aux mesures effectuées pendant les essais par la technique des « bender éléments ». A titre d’exemple, les figures 9.13 et 9.14 présentent un des calages effectués. La figure 9.13 est un exemple de la relation contrainte-déformation des modèles implémentés dans FLAC tandis que la figure 9.14 illustre cette relation utilisant les modèles dans PLAXIS. Ces figures montrent que les courbes numériques sont en bonne concordance avec les mesures expérimentales. On peut également constater que seul le modèle de FaheySoft



(implémenté dans FLAC) est capable de simuler le comportement du sol lorsque les déformations s’approchent du domaine des grandes déformations. Comme les paramètres d’élasticité de MC dépendent du choix de l’utilisateur, ils ont été calés pour une déformation axiale de 0,9×10-2. La simulation par le modèle de Janbu n’est pas présentée ici car elle coïncide avec les résultats du modèle MC. Le calage des différents modèles est annexé à la fin de la thèse (Annexe 9) où on peut également trouver les paramètres retenus pour les différents modèles ainsi que ceux pour le soutènement (supposé élastique) et le gravier (supposé suivant le modèle MC).

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)

Expérimentation (Gasparre, 2005)MCFahey & CarterFaheySoftDuncan & Chang

Figure 9.13 – Calage des paramètres (FLAC)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)

Expérimentation (Gasparre 2005)MCHSHS-Small

Figure 9.14 – Calage des paramètres (PLAXIS)

Autour du calcul de référence (λd = 35% et H’ = 2D), des calculs supplémentaires ont été ensuite effectués pour évaluer l’impact de divers paramètres :

- Le modèle de comportement ; - La hauteur de recouvrement au-dessus de la clé du tunnel (variable entre 1D et 5D) ;



- La perte de volume de 0,1 à 3%.

4.1.6 Résultats et discussion

4.1.6.1 Calcul de référence (λd = 35% et H’ = 2D)

Les cuvettes de tassement finales ainsi que celles normalisées par le tassement maximal en surface calculées à l’aide de FLAC et PLAXIS sont représentées sur les figures 9.15, 9.16, 9.17 et 9.18. L’impact du modèle de comportement se manifeste par une différence de réponse en terme de mouvements. Malgré une extension satisfaisante du maillage, on observe suivant le modèle MC (Figs. 9.15 et 9.16) des tassements en surface loin du centre de tunnel, ce qui semble irréaliste. Ce problème peut être justifié par le fait que même dans les zones de faibles déformations, le module de cisaillement adopté dans le modèle MC reste constant. On observe également 40% de différence entre le tassement maximal estimé par HS et HS-Small (Fig. 9.15). Celui-ci montre l’importance de la prise en compte de la valeur plus élevée de la rigidité du sol sous très faibles déformations. On ne distingue pas de différence entre les cuvettes observées par le modèle de Fahey & Carter et celles de FaheySoft (Fig. 9.16), ce qui signifie que le tunnel se comporte essentiellement de manière élastique (petites déformations d’environ 1,2×10-4) et que peu de déformations plastiques ont eu lieu. Malgré sa formulation assez simple, le modèle de Janbu qui adopte une rigidité dépendant de la profondeur réussit à corriger les résultats de MC surtout en ce qui concerne la forme de cuvette. En normalisant les cuvettes de tassement par le tassement maximal (Figs. 9.17 et 9.18), on peut distinguer la cuvette de tassement de MC des autres cuvettes. Un soulèvement du sol situé au-dessus de la clé du tunnel a été observé, ce qui est irréaliste compte tenu du processus de creusement mis en œuvre. Les autres modèles aboutissent à des cuvettes de tassements d’une forme identique à une distribution de Gauss. D’ailleurs, le modèle HS-Small s’approche le plus des observations expérimentales (cuvette de tassement plus profonde et moins large, Addenbrooke et al, 1997 et Mair et al, 1993 par exemple). On note également que les cuvettes normalisées obtenues à l’aide de FLAC (sauf celle de MC) sont quasiment confondues (Fig. 9.18).



-0,006

-0,004

-0,002

0

0 20 40 60 80 100

Distance depuis le centre du tunnel (m)

Tass

emen

t en

surf

ace

(m)

MCHSHS-Small

Figure 9.15 – Calcul de référence : Cuvette de tassement en surface (PLAXIS)

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0,0000 20 40 60 80 100


Tass

emen

t en

surf

ace

(m)

JanbuFaheySoftFahey & CarterMCDuncan & Chang

Figure 9.16 – Calcul de référence : Cuvette de tassement en surface (FLAC)

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0 20 40 60 80 100


Tass

emen

t nor

mal

isé

en su

rfac

e

MCHSHS-Small

Figure 9.17 – Calcul de référence : Cuvette normalisée de tassement en surface (PLAXIS)



-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,00 20 40 60 80 100


Tass

emen

t nor

mal

isé

en su

rfac

eMC

Janbu

FaheySoft

Fahey & Carter

Duncan & Chang

Figure 9.18 – Calcul de référence : Cuvette normalisée de tassement en surface (FLAC)

Si l’on s’intéresse au déplacement horizontal au niveau du centre du tunnel (Figs. 9.19 et 9.20), on constate que les modèles qui adoptent une rigidité plus élevée sous faibles déformations (Fahey & Carter, FaheySoft, Duncan & Chang et HS-Small) limitent beaucoup les déplacements latéraux. En effet, le modèle HS permet d’aboutir au déplacement latéral environ 65% plus important que celui prédit par HS-Small. Toutefois, le modèle MC s’éloigne des autres modèles avec une valeur 290% plus élevée que celle observée par HS-Small. On peut également observer que les mesures de déplacements latéraux prédites par Janbu sont proches de celles mesurés par HS. De nouveau, on ne distingue pas de différence entre Fahey & Carter et FaheySoft.

-40

-30

-20

-10

0-0,025 -0,02 -0,015 -0,01 -0,005 0

Déplacement latéral (m)

Prof

onde

ur (m

)

MCHSHS-Small

Figure 9.19 – Calcul de référence : Déplacements latéraux (PLAXIS)



-40

-30

-20

-10

0

10

20-0,025 -0,020 -0,015 -0,010 -0,005 0,000

Déplacement latéral (m)

Prof

onde

ur (m

)

MCJanbuFaheySoftFahey & CarterDuncan & Chang

Figure 9.20 – Calcul de référence : Déplacements latéraux (FLAC)

4.1.6.2 Etudes paramétriques

4.1.6.2.1 Hauteur de couverture Pour analyser l’influence du recouvrement sur les mouvements, des calculs supplémentaires ont été effectués pour λd = 35% et une couverture variable entre 1D et 5D (Figs. 9.21 et 9.22). Les tassements en surface présentés sur la figure 9.21 correspondent aux tassements en surface juste au-dessus de la clé du tunnel et les déplacements latéraux (Fig. 9.22) sont ceux obtenus au niveau du centre de tunnel. Suivant le modèle MC, on observe un soulèvement pour les faibles profondeurs (< 1,5D), puis pour une profondeur supérieure à 1,5D, on observe que le tassement augmente avec la profondeur, ce qui semble irréaliste. En effet, les effets de voûte autour d’un tunnel limitent la propagation des mouvements en surface c’est donc le phénomène inverse qui aurait du être observé. A l’inverse de MC, les autres modèles prédisent des tassements maximaux en surface qui diminuent par la suite en profondeur. La réduction est plus importante pour les modèles de Janbu, HS et HS-Small. On peut également constater que les tassements selon le modèle de Janbu sont très proches de ceux qui correspondent au modèle HS. Les courbes de HS et HS-Small sont quasiment parallèles en conservant une différence notable de 55%. Les tassements en surface se stabilisent lorsque la hauteur de couverture s’approche de 3D pour Fahey & Carter et FaheySoft et 4D pour Janbu, HS et HS-Small. Néanmoins, les tassements stabilisés en profondeur sont très importants et loin d’être nuls pour les modèles HS et Janbu. La figure 9.22 nous permet de visualiser les déplacements horizontaux au niveau du centre de tunnel en fonction de la hauteur de couverture (également variable de 1D à 5D) pour les différents modèles de comportement mis en œuvre. On obtient des déplacements minimaux près de la surface du sol, ces déplacements deviennent plus importants en profondeur. Néanmoins, la pente de la courbe qui correspond au modèle MC est la plus élevée.



-0,017

-0,012

-0,007

-0,002

0,0031 2 3 4 5

Couverture (D)

Tass

emen

t en

surf

ace

(m)

MCJanbuFahey & CarterFaheySoftHSHS-SmallDuncan & Chang

Figure 9.21 – Impact de la couverture au-dessus du tunnel sur les tassements en surface

-0,060

-0,050

-0,040

-0,030

-0,020

-0,010

0,0001 2 3 4 5

Couverture (D)

Dép

lace

men

t hor

izon

tal (

m)

MCMJanbuFahey et CarterFaheySoftHSHS-SmallDuncan & Chang

Figure 9.22 – Impact de la couverture du tunnel sur les déplacements latéraux au niveau du centre

de tunnel étudié

Autres inconvénients du modèle MC apparaissent plus clairement sur la figure 9.23 qui représente les cuvettes de tassements correspondant à une hauteur de recouvrement de 1D.



-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,0020 20 40 60 80 100


Tass

emen

t en

surf

ace

(m)

H=1D (MC)H=1D (HS)H=1D (HS-Small)

Figure 9.23 – Cuvettes de tassement pour une couverture de 1D

Afin de confronter les résultats des simulations numériques à ceux des modèles empiriques, le paramètre i (Equation. 9-2) de la distribution de Gauss a été calculé pour chaque profondeur et chaque modèle de comportement en ajustant les courbes empiriques aux résultats de l’analyse (Fig. 9.24). On rappelle que la cuvette des tassements en surface a pour formulation :

)2

exp( 2

2

max iySS vv

−= (9-2)

Où Sv, représente le tassement en un point y de l’axe de tunnel, Svmax, le tassement maximal selon l’axe de tunnel et i la distance entre le centre et le point d’inflexion. Les points sur la figure 9.24 ont été ensuite confrontés aux différentes équations empiriques (Attewell, 1997 ; Clough et Schmidt, 1981 ; O’Reilly, 1982 ; Sagaseta, 1987 ; Rankin, 1987 ; Chapeau, 1991 et Mair et al, 1993) cité par Dias (1999). La courbe ‘Max empirique’ montre pour chaque géométrie (profondeur, diamètre et couverture), les valeurs maximales d’après les différents auteurs, tandis que la courbe ‘Min empirique’ montre les valeurs minimales. Il est intéressant de noter que sur la figure 9.24, toutes les valeurs du paramètre i estimées par la modélisation numérique sont surestimées par rapport à celles obtenues par les différentes méthodes empiriques. Cependant, le modèle HS-Small prédit les valeurs les plus proches.



0

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5Couverture (D)

Poin

t d'in

flect

ion,

i (m

)

Min empiriqueMax empiriqueMCJanbuFahey & CarterHSHS-SmallDuncan & Chang

Figure 9.24 – Paramètre i : Comparaison entre simulation et approches empiriques

4.1.6.2.2 Sensibilité du modèle numérique vis-à-vis des paramètres de petites déformations (le modèle de Fahey & Carter)

Afin d’étudier l’importance relative des paramètres élastiques utilisés dans le modèle de Fahey & Carter (retenu comme exemple des modèles qui permettent de prendre en compte la non linéarité du sol ainsi que ses propriétés sous faibles déformations), une analyse a été réalisée en utilisant tout d’abord les paramètres calés sur les expérimentations. Une série de simulation a été ensuite effectuée dans laquelle chaque paramètre a été individuellement altéré de ± 25%. L’influence relative de la variation des paramètres est présentée sur les figures 9.25, 9.26 et 9.27 respectivement en pourcentage de la variation du tassement maximal, des coordonnées du point d’inflexion et du déplacement horizontal maximal par rapport au calcul de référence (λd = 35% et H’ = 2D). Concrètement, les paramètres f et g n’ont pas d’influence sur le tassement maximal du sol en surface, mais ils conduisent à diminuer la valeur surestimée des points d’inflexion. Toutefois, les paramètres qui contrôlent la rigidité initiale du sol (en particulier ceux qui contrôlent la rigidité en cisaillement : C et ng) ont une influence significative sur les deux paramètres étudiés : le tassement maximal et les coordonnées du point d’inflexion. Les valeurs du coefficient Ds inférieures à la valeur de référence permettent de diminuer les coordonnées du point d’inflexion. Elles permettent également d’augmenter le tassement maximal du sol, ce qui conduit à des cuvettes plus profondes et moins larges. En outre, les paramètres de résistance au cisaillement ont le même effet sur les tassements du sol et le point d’inflexion.



L’impact de la variation des différents paramètres de Fahey & Carter sur les déplacements horizontaux peut être observé sur la figure 9.27. Cette figure démontre que les paramètres de la rigidité initiale ont un effet considérable sur l’estimation du déplacement horizontal autour du tunnel.

Ds

Ds

C

C

f fgg

ng

ng

nk

nk

-20

-10

0

10

20

30Ref+25% Ref-25%

Varia

tion

de ta

ssem

ent m

axim

al (%

)

Figure 9.25 – Influence de la variation des paramètres de Fahey & Carter sur le tassement maximal

du sol en surface

Ds

Ds

C

C

ffg

g

ng

ng

nk

nk

-15

-10

-5

0

5

10

15Ref+25% Ref-25%

Varia

tion

de i

(%)

Figure 9.26 – Influence de la variation des paramètres de Fahey & Carter sur le point d’inflexion



Ds

Ds

C

C

f

fg

g

ng

ng

nk

nk

-30

-20

-10

0

10

20

30Ref+25% Ref-25%

Varia

tion

de d

épla

cem

ent h

oriz

onta

l max

imal

(%)

Figure 9.27 – Influence de la variation des paramètres de Fahey & Carter sur le déplacement

horizontal maximal

4.1.6.2.3 Simulation du mode de creusement Une autre série de calculs basée sur la méthode de réduction du volume de la section transversale du tunnel à creuser (de 0,1 à 3%) a été réalisée pour étudier l’impact de la perte de volume du tunnel sur les tassements du sol. Dans ce cas, les conditions aux limites sont différentes de celles utilisées pour la méthode « λ ». On a utilisé des déplacements contrôlés, ce qui permet de réduire la section transversale du tunnel (en supposant que la position de son centre reste fixe). Cette méthode est présentée sur la figure 9.28.

Final position

Initial position

Figure 9.28 – Simulation du creusement en déplacements contrôlés Sont présentés sur la figure 9.29, les tassements du sol en surface en fonction de la réduction de surface de la section transversale du tunnel. Cette figure montre que le tassement maximal du sol en surface augmente lorsque la réduction de la surface de section augmente pour les trois modèles de comportement. Toutefois, le modèle MC prédit un soulèvement du sol pour une perte de volume inférieure à 1%.



Pour estimer la perte de volume qui correspond à chaque modèle de comportement adopté, la réduction de la section transversale a été confrontée au taux de déconfinement adopté à la simulation du creusement pour le calcul de référence qui permet d’aboutir au même tassement du sol observé en surface. Les cuvettes de tassements transversales prédites par les deux approches (la méthode « λ » et les déplacements contrôlés) sont présentées sur la figure 9.30. On n’observe aucune différence notable entre les cuvettes simulées à l’aide de la méthode « λ » et la méthode des déplacements contrôlés lors de l’utilisation des modèles MC et HS. Toutefois, lors de la simulation à l’aide du modèle HS-Small, la méthode des déplacements contrôlés permet d’aboutir à une cuvette plus étroite que celle observée par la méthode « λ ».

-0,05

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0

0,01

0,020 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Réduction de l'aire du tunnel creusé (%)

Tass

emen

t max

imal

(m)

MCHSHS-Small

Figure 9.29 – Impact de la réduction d’aire de la section transversale sur les tassements en surface

-0,006

-0,005

-0,004

-0,003

-0,002

-0,001

0

0 20 40 60 80 100


Tass

emen

t en

surf

ace

(m) MC (Forces contrôlées)

HS (Forces contrôlées)

HS-Small (Forces contrôlées)

MC (Déplacements contrôlés)

HS (Déplacements contrôlés)

HS-Small (Déplacements contrôlés)

Figure 9.30 – Cuvettes de tassement en surface : Comparaison entre la méthode λ et la méthode des

déplacements contrôlés



Le tableau 9.1 révèle la perte de volume pour chaque modèle. De ce tableau, on peut constater que la perte de volume la plus importante est celle calculée par le modèle MC. Il est 3,5 fois plus élevée que celle calculée par le modèle HS-Small. En utilisant cette approche, il est possible d’estimer un taux raisonnable de la réduction des contraintes engendrée par le processus du creusement en se basant sur les mesures effectuées in situ (par exemple, la perte de volume et le tassement maximal du sol en surface).

Tableau 9.1 – Perte de volume calculée

Modèle mis en oeuvre Taux de déconfinement Perte de volume MC 35% 1.65% HS 35% 1.2% HS-Small 35% 0.47%

4.1.7 Conclusion Afin d’évaluer l’impact des modèles de comportement mis en œuvre sur la prédiction des mouvements autour du tunnel creusé dans l’argile surconsolidée de Londres, des simulations numériques bidimensionnelles ont été effectuées à l’aide de deux codes de calcul : Flac et Plaxis. Cette étude a permis de montrer que l’utilisation d’un modèle de comportement adapté au problème du creusement d’un ouvrage souterrain (qui comprend la non linéarité en petites déformations et la rigidité plus élevée en très petites déformations) améliore sensiblement la prédiction des déplacements autour de l’ouvrage. La simulation menée a également démontré de nombreuses limitations de l’utilisation du modèle « MC » pour simuler le creusement d’un ouvrage souterrain. Néanmoins, la différence entre les conditions initiales in situ et celles simulées n’a pas permis de confronter les résultats de la modélisation numérique aux grandeurs mesurées. Cet aspect fera l’objet de l’étude menée dans le reste de ce chapitre.

4.2 Modélisation 2D plus fine

Dans cette section, on s’intéresse à la confrontation de l’analyse numérique aux grandeurs mesurées sur l’ouvrage in situ. De nouveaux paramètres sont pris en compte dans les simulations numériques menées:

• Les conditions de drainage ; • Les différentes unités lithologiques ; • Le creusement des tunnels déjà existants ; • Le profil de k0 mesuré in situ ;

Deux aspects sont ainsi modélisés : l’anisotropie et la non linéarité de l’argile de Londres.



4.2.1 Géométrie et Maillage étudiés La géométrie étudiée lors de la modélisation simplifiée a été conservée (section circulaire). Les tunnels latéraux à proximité du tunnel étudié ont été intégrés. Pour des raisons de symétrie, seul un des deux tunnels a été représenté. La figure 9.31 représente la géométrie et le maillage mis en œuvre.

100 m

73 m

2,5 D Unité C

Unité B

Unité A

Figure 9.31 – Géométrie et maillage en éléments finis

4.2.2 Conditions aux limites et conditions initiales des contraintes Comme le montre la figure 9.31, le déplacement horizontal est bloqué sur les limites verticales du maillage. La base du maillage est maintenue fixe tant horizontalement que verticalement. L’état initial des contraintes est de type géostatique. Toutefois, dans la présente simulation le profil de k0 (Fig. 9.8) investigué in situ par Hight et al. (2003) a été pris en compte lors de la simulation des différentes unités lithologiques de l’argile. A l’inverse de l’analyse simplifiée précédemment présentée, les calculs réalisés ici sont effectués sous conditions non drainées, le niveau de la nappe phréatique se trouve à 2,5 m de profondeur et la pression interstitielle de l’eau est supposée hydrostatique.

4.2.3 Simulation du creusement La simulation numérique du creusement se fait en trois phases distinctes :

Désactivation du sol à l’intérieur du tunnel déjà creusé (le tunnel plateforme), activation de son soutènement et réduction de sa surface ;

Réinitialisation des déplacements engendrés par le processus de l’excavation du premier tunnel et désactivation du sol à l’intérieur du tunnel central tout en appliquant simultanément un taux de déconfinement λd sur les pourtours de l’excavation ;

Activation du soutènement et déconfinement total.



4.2.4 Comportement des matériaux Le soutènement des deux tunnels est caractérisé en élasticité linéaire isotrope par un module d’Young de 5 GPa et un coefficient de Poisson de 0,2. La couche de gravier est représentée par le modèle MC. Toutefois, afin d’étudier l’impact de l’anisotropie et de la non linéarité de l’argile, les différentes unités lithologiques ont été représentées par les modèles :

• MC (élasticité linéaire isotrope, Référence) ; • L’élastique linéaire transversalement anisotrope ; • HS ; • HS-Small ; • Cam-Clay ; • L’hypoplasticité de Masin (2005).

Les valeurs numériques des paramètres de chaque modèle mis en œuvre sont annexées (Annexe 9) à la fin de la thèse.

4.2.5 Présentation des résultats

4.2.5.1 Calcul en élasticité linéaire isotrope (le modèle MC)

Tout d’abord, le calcul a été effectué en élasticité linaire isotrope à l’aide du modèle MC. Sur la figure 9.32, sont comparées en termes de tassement du sol en surface, la réponse du modèle MC et les mesures effectuées in situ. Cette figure permet de constater que la cuvette des tassements observée par le modèle MC est loin d’être représentative même pour des valeurs de λd très importantes (jusqu’à 50%). En effet, au lieu d’obtenir un tassement maximal de 17,7 mm au-dessus du centre du tunnel, on obtient un soulèvement de 4,6 mm. Le soulèvement diminue par la suite et s’inverse en tassement à environ 7 m depuis le centre du tunnel pour atteindre un maximum de 4,7 mm à 17 m (pour λd = 35%) et se stabiliser autour de 4 mm à environ 35 m. Lorsqu’on considère un taux de déconfinement plus important (on s’est limité ici à 50%), le tassement maximal devient plus important. Néanmoins, le soulèvement du sol juste au-dessus du tunnel est nettement moins sensible. La figure 9.33 présente la réponse du modèle numérique en termes de déplacement horizontal à 1D depuis le centre du tunnel du hall. Elle nous permet de constater que la courbe des déplacements horizontaux correspondant à un taux de déconfinement de 35% se compare bien avec celle obtenue sous conditions drainées et celle constatée in situ pour des tunnels similaires (environ 20 mm selon Addenbrooke et al., 1997 et Masin, 2009). Il est aussi intéressant de noter que les déplacements horizontaux sont plus sensibles que les tassements du sol vis-à-vis de la variation du taux de déconfinement : Ils sont environ 22 mm et 32 mm pour λd variable entre 35% et 50%.



-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 20 40 60 80 100

Distance depuis le centre du tunnel-hall (m)Ta

ssem

ent (

mm

)

Mesures35% de déconfinement40% de déconfinement50% de déconfinement

Figure 9.32 – Cuvettes de tassement en surface en élasticité linéaire isotrope (le modèle MC) :

Confrontation de la simulation aux mesures

-40

-30

-20

-10

00 10 20 30 40

Déplacement horizonal (mm)

Prof

onde

ur (m

)

35% de déconfinement40% de déconfinement50% de déconfinement

Figure 9.33 – Déplacement horizontal à 1D en élasticité linéaire isotrope (le modèle MC)

4.2.5.2 Calcul avec le modèle Cam-Clay)

Un autre type d’élasticité linéaire a été utilisé. Il s’agit du modèle Cam-Clay qui permet de prendre en compte l’état caractéristique du sol, un aspect important lors de la modélisation de l’argile de Londres. Les paramètres retenus pour le modèle Cam-Clay ont été déduits de l’étude réalisée par Gasparre (2005). L’annexe 9 présente les valeurs numériques de ces paramètres. Les figures 9.34 et 9.35 présentent les résultats du calcul en termes de tassement en surface et de déplacement horizontal à 1D depuis le centre du tunnel du hall. Comme le montre la figure 9.34, on obtient des cuvettes qui ressemblent à celles simulées par le modèle MC



mais décalées vers le bas. Le soulèvement du sol est alors complètement supprimé. Néanmoins, au lieu d’aboutir à un tassement maximal juste au-dessus du centre du tunnel, on obtient un tassement minimal de 3,3 mm (pour un taux de déconfinement de 35%). Le tassement, augmente ensuite pour arriver à un maximum de 18,6 mm à 13 m. au-delà, il décroît pour se stabiliser à 6 mm à 60 m. Pour ce qui concerne les déplacements horizontaux, la figure 3.35 nous permet de constater que le déplacement maximal obtenu par le modèle Cam-Clay a été multiplié par 2,3 par rapport à celui calculé par le modèle MC.

-20

-15

-10

-5

00 20 40 60 80 100

Distance depuis le centre du tunnel-hall (m)

Tass

emen

t (m

m)

Mesures30% de déconfinement35% de déconfinement

Figure 9.34 – Cuvettes de tassement en surface en élasticité linéaire isotrope (le modèle Cam-Clay):


-40

-30

-20

-10

00 20 40 60

Déplacement horizontal (mm)

Prof

onde

ur (m

)

30% de déconfinement35% de déconfinement

Figure 9.35 – Déplacement horizontal à 1D en élasticité linéaire isotrope (modèle Cam-Clay)



4.2.5.3 Calcul en élasticité non linéaire isotrope (HS et HS-Small)

L’impact de la prise en compte de la non linéarité de l’argile surconsolidée de Londres a été étudié à l’aide des modèles HS et HS-Small. La réponse du modèle numérique est présentée sur les figures 9.36, 9.37 et 9.38. Les paramètres des deux modèles sont déduits d’un calage direct sur les paramètres de Cam-Clay à différents niveaux de pression de confinement. Toutefois, les propriétés sous faibles déformations ont été déduites des mesures dynamiques lors du déroulement des essais triaxiaux. Tous les paramètres sont résumés dans l’annexe 9. La figure 9.36 permet de visualiser les cuvettes de tassement observées pour deux taux de déconfinement (35% et 50%). Cette figure montre que la forme de la cuvette observée ressemble beaucoup à celle observée par le modèle MC. Néanmoins, le tassement maximal observé ici est nettement moins important que celui obtenu par le modèle MC. Une autre différence importante entre la modélisation en élasticité linéaire et non linéaire apparaît sur la figure 9.37 qui présente les déplacements horizontaux. En effet, le déplacement maximal obtenu par le modèle HS et nettement inférieur (2,4 fois) à celui obtenu par le modèle MC. La mise en œuvre du modèle HS-Small permettant de prendre en compte une rigidité plus élevée sous faibles déformations conduit à améliorer deux points importants lorsqu’on regarde les cuvettes de tassement (Fig. 9.38):

• Les tassements du sol loin du processus de creusement se stabilisent autour d’une valeur très faible (0,5 mm pour 35% de déconfinement) ;

• La forme générale de la cuvette sous déconfinement très importants est irréaliste. En effet, le soulèvement du sol au niveau du centre du tunnel est complètement supprimé et la forme de la cuvette ressemble à l’allure de la cuvette mesurée pour 75% de déconfinement.

Néanmoins, la prise en compte des non-linéarités dans la modélisation numérique ne permet pas d’obtenir une bonne concordance avec les mesures expérimentales.

-20

-15

-10

-5

0

50 20 40 60 80 100


Tass

emen

t (m

m)

Mersures35% de déconfinement50% de déconfinement

Figure 9.36 – Cuvettes de tassement en surface en élasticité non linéaire isotrope (le modèle HS):




-40

-30

-20

-10

00 5 10 15 20


Prof

onde

ur (m

)

35% de déconfinement50% de déconfinement

Figure 9.37 – Déplacement horizontal à 1D en élasticité non linéaire isotrope (le modèle HS)

-70

-50

-30

-10

100 20 40 60 80 100


Tass

emen

t (m

m) Mesures

35% de déconfinement40% de déconfinement50% de déconfinement60% de déconfinement70% de déconfinement75% de déconfinement

Figure 9.38 – Cuvettes de tassement en surface en élasticité linéaire isotrope (le modèle HS-Small):


4.2.5.4 Calcul en élasticité linéaire anisotrope (le modèle élastique linéaire transversalement anisotrope)

Afin d’étudier l’impact de la prise en compte de l’anisotropie lors de la simulation du creusement d’un tunnel au sein de l’argile de Londres, une série de calculs a été effectuée à l’aide du modèle élastique linéaire anisotrope. Ce modèle permet d’intégrer une anisotropie du module d’Young en fonction de la direction désirée. Dans un premier temps (pour le calcul de référence), le module retenu pour la direction horizontale est égal à celui adopté pour le modèle MC. Toutefois, selon la direction verticale, le module retenu égale à deux tiers de celui de MC (ce rapport est déduit des mesures effectuées par Gasparre, 2005). Il est important de signaler que dans les calculs menés en anisotropie, la simulation numérique de l’argile a été simplifiée par une seule couche homogène tout le long de la profondeur. Ces



calculs ne peuvent donc pas être directement confrontés aux résultats des simulations numériques. Les résultats de ce calcul sont présentés sur la figure 9.39. Comme les montre cette figure, les tassements du sol sont nettement sous-estimés et les cuvettes résultantes ne sont pas comparables aux mesures expérimentales (des soulèvements du sol sont estimés dès 32 m depuis le centre du tunnel-hall). Afin de surmonter le problème de sous-estimation des tassements, plusieurs auteurs (ex. Addenbrooke et al., 1997 et Gunn, 1993) trouvent qu’il est nécessaire d’utiliser une rigidité irréaliste lorsque la valeur de k0 dépasse l’unité (comme dans notre cas). Cette hypothèse a été adoptée en divisant la valeur de la rigidité utilisée dans le calcul de référence par 10. Ceci nous a conduit à des résultats comparables aux grandeurs mesurées in situ (Fig. 9.40). Les résultats de ce calcul pour des taux de confinement entre 30% et 40% montrent que la simulation du creusement par un taux de déconfinement égal à 40% représente bien le tassement maximal du sol en surface (au dessus du tunnel du hall central). Néanmoins, la cuvette de tassement est plus large que celle expérimentale. Pour étudier l’apport du rapport (Eh/Ev) sur la simulation numérique, une série de calculs a été effectuée en conservant le module d’Young horizontal initial (Eh) et en faisant varier le module vertical (Ev) pour que le rapport Eh/Ev soit varié entre 1,5 et 2,4. Les deux bornes ont été déduites de l’étude menée par Gasparre (2005). La figure 9.41 nous permet de visualiser les résultats de ce calcul. Comme le montre la figure 9.41, le rapport des modules a une influence négligeable sur la prédiction de la cuvette de tassement transversale. En ce qui concerne les déplacements horizontaux présentés sur la figure 9.42 pour les trois rapports du module d’Young, on constate que le modèle anisotrope aboutit à des déplacements horizontaux surestimés (2,3 fois) que ceux prédits par le modèle MC. Ceci est sans doute lié à l’hypothèse forte effectuée en divisant la rigidité du sol par 10.

-0,003

-0,002

-0,001

0,000

0,001

0 20 40 60 80 100


Tass

emen

t (m

)

30% de déconfinement35% de déconfinement40% de déconfinement45% de déconfinement50% de déconfinement

Figure 9.39 – Calcul de référence en élasticité linéaire anisotrope : Confrontation de la simulation

aux mesures sur la cuvette des tassements en surface



-0,020

-0,015

-0,010

-0,005

0,000

0,0050 20 40 60 80 100


Tass

emen

t (m

)

30% de déconfinement

35% de déconfinementl

40% de déconfinement

Mesures

Figure 9.40 – Confrontation de la simulation aux mesures sur la cuvette des tassements en surface :

Le taux de déconfinement le plus adapté

-0,020

-0,015

-0,010

-0,005

0,000

0,0050 20 40 60 80 100


Tass

emen

t (m

)

Calcul de référence (Rapport = 1,5)

Mesures

Rapport = 2,0

rapport = 2,4

Figure 9.41 – Confrontation de la simulation aux mesures sur la cuvette des tassements en surface :

Apport du rapport des modules d’Young



-60

-40

-20

0

200 20 40 60


Prof

onde

ur (m

)

Calcul de référence (Rapport = 1,5)

Rapport = 2,0

Rapport = 2,4

Figure 9.42 – Simulation en élasticité linéaire anisotrope : Déplacements horizontaux

4.2.5.5 Calcul en hypoplasticité (le modèle de Masin 2005)

Dans la partie précédente, on a démontré que la représentation de l’argile surconsolidée de Londres en élasticité isotrope linéaire ou non, conduit à une réponse inappropriée en termes de tassements des sols en surface ou encore des déplacements horizontaux. D’ailleurs, la simulation en élasticité linéaire anisotrope nécessite des hypothèses fortes concernant la rigidité retenue pour le sol. Il est donc indispensable de mettre en œuvre un modèle plus adapté à la représentation des couches d’argile. Dans le reste du présent chapitre, les couches d’argile sont simulées en utilisant un modèle de comportement de type hypoplastique (Masin, 2005). Ce modèle permet de prendre en compte à la fois, l’état caractéristique du sol et de ses propriétés sous faibles déformations. Tout d’abord, un bref résumé sur le calage des paramètres est présenté. Une étude paramétrique sur l’apport de différentes variables est ensuite illustrée. Cette étude comprend l’influence de la prise en compte des tunnels plateformes déjà creusés. L’influence de la variation de chacun des paramètres du modèle hypoplastique sur la cuvette des tassements transversale se trouve dans l’annexe 10.

4.2.5.5.1 Calage des paramètres Les paramètres retenus pour la simulation des couches d’argiles en hypoplasticité sont issus des analyses menées par Masin (2009) lors de la simulation numérique de la galerie de reconnaissance du tunnel « Heathrow Express » en se basant sur les expérimentations effectuées par Gasparre (2005). La figure 9.43 montre le calage des paramètres N, λ*, κ* et r et la figure 9.44 présente l’influence de la variation des paramètres de faibles déformations sur les courbes expérimentales de la rigidité du sol au cisaillement. Les figures 9.43 et 9.44 nous montrent que le jeu de paramètres retenus permet de bien représenter l’ensemble des courbes expérimentales.



0,6

0,7

0,8

0,9

1

2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

ln (p/pr)

ln (1

+e)

essai 1essai 2model

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,02 0,04 0,06 0,08

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)

test r25ocr = 0,33r = 0,5r = 0,75

(a) (b)

Figure 9.43 – Calage des paramètres en hypoplasticité : a) Calage des paramètres N, λ* et κ*, b) Calage du paramètre r

0

20

40

60

80

100

120

140

1,E-06 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02

Déformation axiale

Rig

idité

au

cisa

illem

ent (

MPa

)

test 22,6gUC (Gasparre 2005)test 25gUC (Gasparre 2005)test 23gUE (Gasparre 2005)mR = 9mR = 6mR = 13,5

0

20

40

60

80

100

120

140

1,E-06 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02

Déformation axiale

Rig

idité

au

cisa

illem

ent (

MPa

)test 22,6gUC (Gasparre 2005)test 25gUC (Gasparre 2005)test 23gUE (Gasparre 2005)betaR = 0,1betaR = 0,033betaR = 0,3

(a) (b)

Figure 9.44 – Calage des paramètres en hypoplasticité sur la rigidité : a) Calage du paramètre mR, b) Calage du paramètre βr

4.2.5.5.2 Impact de la prise en compte des tunnels plateformes déjà excavés Les paramètres calés sur les expérimentations sont utilisés pour simuler le creusement du tunnel du hall central. Afin d’évaluer l’influence de la prise en compte des deux voies déjà creusées avant le début des travaux dans le tunnel central sur sa simulation numérique, deux calculs sont comparés sur la figure 9.45 :

• Le premier calcul se fait sans prendre en compte l’exécution des deux tunnels plateformes. Le creusement est ainsi modélisé en deux phases : La désactivation des éléments à l’intérieur du tunnel et l’application d’un taux de déconfinement. La deuxième phase consiste à activer le soutènement et mettre en œuvre le déconfinement total.

• Le processus du creusement adopté dans le deuxième calcul correspond aux procédures adoptées déjà présentées dans la section 4.2.3. Avant de simuler le creusement du tunnel du hall central, le creusement du tunnel plateforme est simulé en désactivant les éléments qui se trouvent à l’intérieur de ce tunnel et le soutènement est activé avec une réduction de son aire de 0,2%.

La confrontation menée sur la figure 9.45 montre que la prise en compte des tunnels plateformes conduit à des cuvettes de tassement légèrement plus proches des grandeurs mesurées in situ que celles obtenues par la simulation d’un seul tunnel. Néanmoins, ceci demande un taux de déconfinement nettement inférieur (27% pour la simulation des deux tunnels contre 37,5% pour la simulation d’un seul).



-20

-15

-10

-5

00 20 40 60 80 100


Tass

emen

t (m

m)

Mesures

1 Tunnel (37,5% de déconfinement)

2Tunnels (27% de déconfinement)

Figure 9.45 – Cuvette de tassement en hypoplasticité : Influence de la prise en compte des tunnels

déjà creusés

4.2.5.5.3 Impact de la perte de volume des tunnels plateformes Une autre série de calcul a été effectuée afin d’étudier l’influence de la perte de volume des tunnels plateformes sur la cuvette des tassements transversale. Les résultats de ce calcul sont reportés sur la figure 9.46 qui présente les cuvettes en fonction de la variation de l’aire du tunnel plateforme de 0,2% à 3% (sous taux de déconfinement égal à 27%). De ce calcul, on constate que la réduction de l’aire du tunnel plateforme conduit à des cuvettes de tassement plus profondes et plus proches des grandeurs mesurées in situ. Néanmoins, des tassements supplémentaires au-dessus du tunnel plateforme apparaissent dès 1% de perte de volume.

-25

-20

-15

-10

-5

00 20 40 60 80 100


Tass

emen

t (m

m) Mesures

0,2%0,5%1%2%3%

Figure 9.46 – Cuvette de tassement en hypoplasticité : Influence de la réduction de l’aire des

tunnels déjà creusés

4.2.5.5.4 Le taux de déconfinement le plus adapté L’étude paramétrique concernant la simulation du creusement des tunnels plateformes nous a permis de constater que la prédiction des mouvements du sol engendrés par le creusement



du tunnel du hall central (surtout le tassement maximal du sol en surface) dépend de la simulation du creusement des tunnels plateformes. Ceci nous a conduit à retenir les procédures d’excavation adoptées dans la section 4.2.3. La simulation du creusement consiste alors à simuler le creusement du tunnel plateforme en désactivant les éléments qui se trouvent à l’intérieur de ce tunnel et activant son soutènement tout en réduisant son aire de 3%. Cette valeur est d’ailleurs proche de celle adoptée par Addenbrooke et al. (1997) pour modéliser les tunnels jumeaux qui font partie de l’extension de la ligne « Jubliee » et se trouve sous le parc de Saint James (Londres). Le taux de déconfinement le plus adapté à la prédiction du tassement maximal du sol en surface est ainsi recherché. La figure 9.47 présente les résultats du calcul mené pour un taux de déconfinement variable entre 20% et 27%. Cette figure permet de constater que le tassement maximal du sol est fortement affecté par le taux de déconfinement retenu. Elle permet également d’adopter un taux de déconfinement de 21% afin de simuler le processus du creusement de tunnel du hall central. D’ailleurs, cette hypothèse permet de représenter la cuvette des tassements jusqu’à 13 m depuis le centre du hall de manière très satisfaisante. Au-delà cette distance, les tassements du sol en surface sont légèrement surestimés. La variation des déplacements horizontaux en fonction du taux de déconfinement est présentée sur la figure 9.48. En effet, la courbe des déplacements horizontaux qui correspondent à 21% de déconfinement se trouve très proche de celle estimée par un modèle élastique non linéaire (HS ou HS-Small par exemple).

-25

-20

-15

-10

-5

00 20 40 60 80 100

Distance depuis le contre du tunnel-hall (m)

Tass

emen

t (m

m)

Mesures20% de déconfinement21% de déconfinement27% de déconfinement

Figure 9.47 – Cuvette de tassement transversale en hypoplasticité : Calcul de référence versus

mesures in situ



-40

-30

-20

-10

00 4 8 12 16


Prof

onde

ur (m

)

20% de déconfinement21% de déconfinement27% de déconfinement

Figure 9.48 – Simulation en hypoplasticité : Déplacements horizontaux

5 CONCLUSIONS

Le hall central qui constitue une partie de l’extension du Terminal 4 de l’aéroport d’Heathrow a fait l’objet de l’étude menée dans ce chapitre. Les importantes reconnaissances géotechniques du site étudié ainsi que les études disponibles dans la littérature ont permis de mettre en évidence le comportement non linéaire et anisotrope de l’argile de Londres et de quantifier ses paramètres de déformabilité en fonction du niveau des contraintes. L’étude de l’histoire du site ainsi que les investigations effectuées soit pour la réalisation de ce projet soit pour l’étude des projets au voisinage de cet ouvrage montrent que le tunnel étudié se trouve dans un contexte géologique et géotechnique particulier avec la présence de plusieurs unités lithologiques d’argile fortement surconsolidées et anisotropes. L’analyse microscopique des différentes unités a montré que la structure de l’argile dépend de sa classification en unités lithologiques. Elle est plus ferme et orientée en profondeur et de plus en plus ouverte et perturbée près de la surface. Ce phénomène en résulte des valeurs très élevées du coefficient k0. En raison de la faible longueur du tunnel étudié, le creusement de type NATM a été retenu. Néanmoins, une compagne intensive de suivi des mouvements autour du hall central a été mis en oeuvre afin de surveiller les deux tunnels plateformes et les structures avoisinantes. Afin d’évaluer l’impact des modèles de comportement mis en œuvre sur la prédiction des mouvements autour du tunnel creusé, des simulations numériques bidimensionnelles ont été effectuées à l’aide de deux codes de calcul : Flac et Plaxis. Dans une première étape, seul le creusement du hall central a été modélisé et pris en compte de manière simplifiée. Les différentes unités lithologiques ont été considérées par une seule couche homogène. Le coefficient k0 retenu a été pris égal à 1,15 dans des simulations sous



conditions drainées. Les modélisations retenues ont permis de constater que l’utilisation d’un modèle de comportement de niveau de complexité adéquat améliore sensiblement la prédiction des mouvements autour de l’ouvrage. La simulation simplifiée a également démontré les nombreuses limitations de l’utilisation du modèle « MC » pour simuler le creusement d’un ouvrage souterrain. Une modélisation plus fine a ensuite été mise en œuvre afin de confronter les résultats de la simulation numérique aux mesures in situ. Cette modélisation a notamment permis de prendre en compte l’effet du creusement des tunnels plateformes creusés antérieurement au hall sur les mouvements de sol engendrés par le creusement du hall central. Elle a également mis en évidence l’influence de la prise en compte de comportement non drainé du sol, de la simulation des différentes unités lithologiques et du profil de k0 mesuré in situ. Les modélisations menées ont montré que la simulation des éléments suivants est nécessaire pour obtenir une bonne concordance avec les mouvements mesurés in situ :

• L’état caractéristique du sol ; • L’anisotropie ; • La rigidité plus élevée en faibles déformations.

En effet, les simulations numériques ont montré que lorsque le profil réel de k0 est pris en considération, aucun des modèles MC, Cam-Clay, HS ou encore HS-Small n’arrive à reproduire la cuvette des tassements transversale mesurée in situ. Les mêmes conclusions ont été obtenues avec le modèle transversalement anisotrope qui nécessite des hypothèses très fortes concernant la valeur de la rigidité retenue, qui conduit à des déplacements horizontaux très élevés et loin de ceux mesurés. Seul le modèle hypoplastique de Masin (2005) a permis de reproduire la cuvette de tassement transversale avec précision. Les fondements de ce modèle permettent de prendre en compte l’état caractéristique du sol et la rigidité plus élevée du sol en faibles déformations. On peut donc conclure que le fait d’introduire la non linéarité du sol sous faibles déformations dans un modèle capable de prendre en compte l’état caractéristique du sol conduit à une meilleure prédiction des mouvements du sol autour d’un ouvrage souterrain. Cette constatation rejoint les résultats des calculs menés par Bolton et al. (1994) qui ont introduit une simple dépendance de la rigidité à la pression effective moyenne dans le modèle de Cam-Clay modifié et observé que celle-ci a permis d’obtenir des meilleures cuvettes lors de la confrontation aux observations en centrifugeuse sur un modèle réduit. Il est important de noter que l’apport de la simulation en 3D n’a pas été étudié car il a été retenu que ce type de modélisation ne modifie pas fondamentalement la forme de la cuvette des tassements (Möller, 2006). Néanmoins, le creusement d’un ouvrage souterrain induit des phénomènes tridimensionnels (dont notamment des reports de charge) au front de taille. La simulation en déformations planes de ces phénomènes représente donc une simplification forte de la réalité. Dès lors seul un modèle 3D permettrait d’établir une confrontation rigoureuse avec les déplacements horizontaux mesurés in situ.

Conclusion générale

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CONCLUSION GENERALE L’objectif du travail de recherche présenté dans ce mémoire est de contribuer à l’étude du comportement d’un ouvrage souterrain peu profond en petites déformations ; cette étude a comporté trois parties principales. L’étude bibliographique menée par la première partie a permis de mettre en évidence les points suivants : L’évolution des outils de mesure appliqués au domaine de la géotechnique durant les dernières décennies a permis de mettre en évidence le comportement non linéaire et anisotrope des sols sous petites déformations, la phase sous laquelle se déforment la plupart d’ouvrages géotechniques. La définition complète du comportement du sol nécessite alors l’identification de deux phases : les très petites déformations où le comportement du sol est élastique linéaire anisotrope et les petites déformations sous lesquelles le comportement est anisotrope et fortement non linéaire. Néanmoins, la raideur et l’anisotropie d’un sol sont affectées par un grand nombre de facteurs. Leur détermination correcte est une tache complexe mais il est important de tenir compte de ces facteurs lors de la simulation du comportement des sols. Aujourd’hui, les modèles de comportement des matériaux sont très nombreux pour traiter des sollicitations variées. Les modèles adoptés pour simuler le comportement des géomatériaux doivent être capables de modéliser la physique complexe du sol ainsi que l’impact de cette formation sur leurs caractéristiques mécaniques. Ces modèles sont soit développés à l’aide d’observations en laboratoire, soit hérités de la modélisation d’autres matériaux dont le comportement est moins complexe que celui du sol et adaptés par la suite pour simuler le comportement du sol. Les modèles qui traitent le comportement du sol à long terme peuvent être classés en trois catégories : élastiques linéaires, élastiques non linéaires et élastoplastiques. Pour compléter l’écriture d’un modèle, l’une de ces catégories est couplée avec un critère de rupture de type Mohr-Coulomb. La construction d’un modèle élastique non linéaire sur ce principe améliore sensiblement la prédiction du comportement de sol par rapport aux modèles élastiques linéaires et apparaît bien adaptée à la modélisation des problèmes pratiques en géotechnique. Néanmoins, les modèles qui adoptent une plasticité sous petites déformations tels que les modèles à multi-surfaces de charge demandent des efforts considérables pour déterminer leurs paramètres, ce qui limite leur utilisation à la recherche. Dans la deuxième partie de la thèse nous avon décrit les deux codes de calcul utilisés pour simuler le creusement d’ouvrages souterrains pour lesquels on s’est concentré sur la représentation du comportement du massif de sol. Il s’agit des codes de calcul :

• FLAC3D en différences finies • PLAXIS en éléments finis 2D

Les lois de comportement disponibles dans les deux codes ont été brièvement décrites. Ceci, nous a conduit à sélectionner et introduire dans FLAC3D des modèles de comportements à différents niveaux de complexité. Les modèles implémentés sont :

• Le modèle de Janbu : Il consiste à introduire un module d’Young variable en fonction de la pression de confinement appliquée lors de l’introduction des conditions initiales. Evidemment, ce type de variation ne représente pas la non


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linéarité du sol mais il réussit à représenter la variation du module d’Young mesurée in situ.

• Le modèle de Duncan et Chang : Ce modèle modifié comprend divers aspects rencontrés lors de la modélisation d’un problème géotechnique. Il intègre la non linéarité du sol sous petites déformations, une raideur plus importante sous très petites déformations et l’effet de l’histoire des sollicitations.

• Le modèle de Fahey et Carter : Le modèle de Fahey et Carter apparaît plus souple que le modèle de Duncan et Chang pour traduire la variation de la rigidité du sol grâce à ses deux paramètres (f et g).

• Le modèle FaheySoft qui constitue un couplage entre le modèle de Fahey et Carter et le modèle Strain Hardening/Softening déjà disponible dans FLAC3D pour mieux représenter le comportement d’un sol surconsolidé une fois la plasticité atteinte.

L’implémentation d’un modèle non linéaire dans FLAC3D consiste à remplacer les paramètres élastiques constants du modèle MC par des paramètres définis à partir des conditions initiales et mis à jour par la suite à chaque pas de calcul, ce qui aboutit à une réponse non linéaire. Après les avoir implémentés dans FLAC3D, les différents modèles ont été validés sur les données théoriques disponibles. Des études paramétriques sur leurs paramètres ont été également réalisées pour évaluer l’impact de chaque paramètre sur la réponse générale du modèle. Afin de valider les modèles adoptés sur différents chemins de sollicitations, la simulation numérique de quelques ouvrages géotechniques types a été confronté aux grandeurs mesurées in situ : Pour montrer l’amélioration apportée à la prédiction des déplacements près d’une fondation superficielle au cours de son chargement, deux cas d’études ont été retenus : Le premier exemple concerne un sol résiduel et on s’est intéressé à la prédiction de la courbe de chargement. L’analyse de cet exemple nous a permis de constater que l’élasticité linéaire ne permet pas de représenter convenablement la totalité de la courbe de chargement. Par contre, ce modèle de comportement est suffisant si on s’intéresse au début de chargement. Pour améliorer la simulation d’un essai de chargement, il convient donc d’utiliser des modèles de comportement plus complexes. Le modèle permettant d’aboutir à une concordance correcte avec les résultats expérimentaux était le modèle de Fahey & Carter. Néanmoins, on a observé encore des différences importantes par rapport aux essais. L’étude de sensibilité des paramètres de différents modèles nous a permis de montrer qu’une faible variation de certains paramètres permet de s’approcher des résultats expérimentaux. Cela nous a conduit à la conclusion que pour le site retenu la caractérisation des sols en place n’est pas suffisante pour pouvoir utiliser des modèles de comportement plus complexe que MC. Dan le deuxième cas d’étude, on s’est intéressé à la modélisation de l’essai de chargement des fondations superficielles effectué à l’université du Texas A&M. Ce cas est très intéressant car la caractérisation des sols et l’instrumentation mise en place sont importantes. Les données ont notamment permis d’évaluer l’impact de la prise en compte à la fois de la non linéarité du sol, de ses propriétés sous très petites déformations et de l’état de contraintes in situ. Le premier jeu de paramètres a été retenu sans prendre en compte de l’état de surconsolidation du sol. Sous ces conditions, les meilleures prédictions ont été obtenues par les modèles de Fahey & Carter et HS-Small même si pour la phase initiale la concordance avec les mesures expérimentales était moins bonne. Dans une deuxième étape, l’état de surconsolidation a été pris en compte. Dans ce cas, les modèles HS et HS-


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Small se révèlent être les plus pertinents. Ces simulations nous ont permis de mettre en évidence que :

o Compte tenu du fait que la raideur du sol est constante avec MC, ce modèle n’est pas approprié pour représenter un déchargement ;

o Pour les modèles Janbu et Fahey & Carter, une distinction entre le déchargement et le chargement a été observée mais de manière peu souple.

o Pour les modèles Duncan & Chang, HS, HS-Small, le comportement du sol sous différents chemins de contraintes est bien reproduit ;

o L’incorporation de l’état de contraintes in situ dans la simulation numérique a permis d’obtenir une meilleure estimation des mouvements du sol autour de la fondation surtout sous sollicitations d’exploitation.

On a ensuite abordé la modélisation d’un essai de chargement d’un pieu instrumenté dans une argile raide et surconsolidée en configuration 3D et 2D axisymétrique. La confrontation aux résultats expérimentaux a montré une bonne concordance quelque soit le modèle adopté. Cette conclusion confirme que les phénomènes ont été essentiellement régis par les interfaces. Une différence subsistait néanmoins entre la réponse des modèles mis en œuvre : MC fournit des tassements autour du pieu qui sont nettement sous-estimés par rapport aux autres modèles et qui ne correspondent pas aux mesures. L’impact du choix d’un modèle de comportement pour représenter le sol a été ensuite démontré sur la simulation d’une paroi de soutènement encastrée et bien instrumentée et en déformations planes. Ce cas d’étude concerne une excavation dans l’argile surconsolidée de Taipei (Taiwan). L’analyse numérique de l’excavation étudiée à l’aide du modèle MC a montré que les tassements du sol en surface ne pouvaient pas être prédits avec précision, malgré le fait que le module initial de cisaillement ait été déterminé par des moyens d’essais de laboratoire de haute qualité ou obtenus par analyse inverse des mesures sur la phase finale de l’excavation. La capacité du modèle MC à simuler le comportement non linéaire de l’argile surconsolidée de Taipei sous petites déformations n’a pas été satisfaisante en terme de tassements en surface. La simulation numérique du TNEC en utilisant des modèles non linéaires HS, HS-Small et Hypoplastique a montré que la déformée de la paroi, les tassements du sol en surface et les déformations latérales peuvent être simultanément et assez précisément estimés. L’importance de la prise en compte de la non linéarité de l’argile surconsolidée lors de l’analyse numérique d’une paroi de soutènement a été ré-affirmée. La dernière application s’est intéressée au creusement d’ouvrages souterrains peu profonds. Le tunnel-hall central creusé à la NATM qui fait partie de l’extension du Terminal 4 à l’aéroport d’Heathrow a été retenu comme cas d’étude. Les reconnaissances géotechniques du site étudié ainsi que les études disponibles dans la littérature ont permis de mettre en évidence le comportement non linéaire et anisotrope de l’argile de Londres et de quantifier ses paramètres. L’étude de l’histoire du site a montré que le tunnel étudié se trouve dans un contexte géologique et géotechnique particulier avec la présence de plusieurs unités lithologiques d’argile fortement surconsolidée et anisotropes. L’analyse microscopique des différentes unités a montré que la structure de l’argile dépend de sa classification en unités lithologiques. Ceci a conduit à une rigidité horizontale plus importante que celle verticale et résulté en des valeurs très élevées du rapport des contraintes au repos « k0 ».


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Afin d’étudier l’impact des modèles de comportement mis en œuvre sur la prédiction des mouvements autour d’un tunnel creusé, la simulation numérique a été effectuée en configuration bidimensionnelle à l’aide des deux codes de calcul : FLAC3D et PLAXIS. Tout d’abord, le creusement a été simulé de manière simplifiée dans laquelle le creusement d’un seul tunnel a été considéré et on s’est intéressé à la représentation des différentes unités lithologiques par une seule couche homogène. Ces simulations ont tout d’abord permis de valider les modèles de comportement implémentés dans FLAC3D. Elles ont d’ailleurs permis de constater que l’utilisation d’un modèle de comportement adapté au problème du creusement d’un ouvrage souterrain (qui comprend la non linéarité en petites déformations et la rigidité plus élevée en très petites déformations) améliore sensiblement la prédiction des mouvements autour de l’ouvrage. La simulation simplifiée a également démontré de nombreuses limitations à l’utilisation de l’élasticité linéaire (le modèle MC) pour représenter le sol lors de la simulation du creusement. Une modélisation plus fine a été ensuite mise en œuvre afin de confronter les résultats de la simulation numérique aux mesures in situ. Cette modélisation a notamment permis de prendre en compte l’effet du creusement des tunnels plate-formes déjà creusés sur les mouvements du sol engendrés par le creusement du tunnel-hall central, du comportement non drainé du sol, de la simulation des différentes unités lithologiques et du profil de k0 mesuré in situ. Les modélisations menées ont montré que la simulation des éléments suivants était nécessaire à l’estimation des mouvements mesurés in situ :

• L’état caractéristique du sol ; • L’anisotropie ; • La rigidité plus élevée en faibles déformations.

Les simulations numériques ont montré que lorsque le profil de k0 est pris en considération tel qu’il a été observé, aucun des modèles MC, Cam-Clay, HS ou encore HS-Small n’arrive à reproduire la cuvette des tassements transversale mesurée in situ. Les mêmes observations sur le modèle transversalement anisotrope qui nécessite des hypothèses très fortes concernant la valeur de la rigidité retenue, ce qui amène à des déplacements horizontaux très élevés et loin des grandeurs mesurées. Seul le modèle hypoplastique réussit à reproduire la cuvette de tassement transversale. En effet, l’écriture de ce modèle comprend l’état caractéristique du sol et la rigidité plus élevée du sol en faibles déformations. On a pu donc conclure que le fait d’introduire la non linéarité du sol sous faibles déformations dans un modèle capable de prendre en compte l’état caractéristique d’un sol surconsolidé conduit à une meilleure prédiction des mouvements du sol autour d’un ouvrage souterrain. Les perspectives immédiates de ce travail de recherche sur la simulation du creusement d’ouvrages souterrains sont liées à la modélisation du cas d’étude en configuration tridimensionnelle afin de confronter les déplacements horizontaux mesurés in situ. Il serait d’ailleurs intéressant d’avoir un outil permettant de prendre en compte à la fois, les trois facteurs qui influent le plus sur la simulation d’ouvrages géotechniques dans un sol fortement surconsolidé tel que les modèles à multi-surfaces de charges à l’intérieur de la surface plastique.

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Annexes

- 251 -

ANNEXES

Annexe 1 : Notions générales sur l’écriture des modèles de comportement

Annexe 2 : Critère de rupture pour le sol

Annexe 3 : Modèle de comportement de PLAXIS

Annexe 4 : Diagrammes des modèles implémentés dans FLAC3D

Annexe 5 : Etude paramétrique sur le modèle de Duncan et Chang implémenté dans FLAC3D

Annexe 6 : Etude paramétrique sur le modèle de Fahey et Carter implémenté dans FLAC3D

Annexe 7 : Modélisation des fondations superficielles – Calage des paramètres

Annexe 8 : Modélisation d’ouvrages de soutènement – Paramètres retenus pour la simulation numérique

Annexe 9 : Modélisation du creusement d’ouvrages souterrains – Paramètres retenus et calage sur les expérimentations

Annexe 10 : Caractéristiques hypoplastiques du sol en faibles déformations et la cuvette des tassements transversale

Annexes

- 252 -

Annexe 1


Annexe 1

Notions générales sur l’écriture des modèles de comportement

Annexe 1


Dans cette annexe, sont définis les variables de contraintes et de déformations utilisés lors de l’écriture d’un modèle de comportement.

1 Etat de contraintes et Equilibre

1.1 Tenseur de contraintes

L’état de contraintes d’un élément tridimensionnel est défini par une matrice comprenant neuf composantes. Ces composantes pour un point donné constituent un tenseur de deuxième ordre appelé le tenseur de contraintes, σij où i et j prennent les valeurs 1, 2 et 3. On peut écrire :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

333231

232221

131211

σσσσσσσσσ

σσσσσσσσσ

σ

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij (1)

L’équilibre de moments conduit aux relations suivantes :

zyyzzxxzyxxy σσσσσσ === ;; (2) Ce qui résulte six composantes indépendantes de contraintes : trois contraintes normales (σxx, σyy, σzz) et trois contraintes de cisaillement (σxy, σyz, σxz).

1.2 Contraintes principales

L’état de contraintes tridimensionnel pour un point donné peut également s’exprimer sous forme de contraintes principales (σ1, σ2, σ3) liées aux composantes du tenseur de contraintes par l’équation cubique suivante :

03213 =++− III σσσ (3)

où I1, I2 et I3 sont respectivement le premier, le deuxième et le troisième invariant de contraintes tel qu’ils sont définis par les équations suivantes :

zzyyxxI σσσ ++=1 (4) 222

2 xzyzxyxxzzzzyyyyxxI σσσσσσσσσ −−−++= (5)

zxyzxyxyzzxzyyyzxxzzyyxxI σσσσσσσσσσσσ 22223 +−−−= (6)

Le tenseur de contraintes en terme de contraintes principales devient :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

000000

σσ

σσ ij (7)

Annexe 1


Dans ce cas, les invariants de contraintes sont liés aux contraintes principales :

3211 σσσ ++=I (8)

1332212 σσσσσσ ++=I (9)

3213 σσσ=I (10)

1.3 Contrainte moyenne et déviatorique

La contrainte moyenne d’un point sollicité est définie par la moyenne des contraintes normales aux trois directions :

131)(

31 Ip zzyyxx =++= σσσ (11)

Cependant, les composantes déviatoriques sont définis par :

ijijij ps δσ −= (12) où δij est le delta kronecker qui vaut 1 lorsque i = j et 0 sinon. Les trois invariants de contraintes déviatoriques sont :

01 == kksJ (13)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]213

232

2213

212 6

1231

21 σσσσσσ −+−+−=+== IIssJ ijij (14)

( )321313 2792

271

31 IIIIsssJ kljkij ++== (15)

Il est à noter que dans la théorie de plasticité du sol, les invariants les plus utiles sont I1, J2 et J3. Physiquement, ils représentent respectivement l’effet de la pression moyenne, des contraintes de cisaillement et de la direction de cisaillement. Ces trois invariants jouent un rôle clé dans les relations contrainte-déformation de la théorie de l’élastoplsticité. Les trois contraintes principales se déterminent en fonction des invariants de contraintes :

)120sin(3

231

211 °++= lJI θσ (16)

)sin(3

231

212 lJI θσ += (17)

)120sin(3

231

213 °−+= lJI θσ (18)

où θl est l’angle de Lade défini tel que :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−= −

21

2131 23

1tanσσ

σσσθ l (19)

ou

Annexe 1


⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

2/32

31

233sin

31

JJ

lθ (20)

En mécanique des sols, la pression moyenne p est généralement utilisée cote à cote avec la contrainte déviatorique généralisée q définie par l’équation :

( ) ( ) ( )[ ] 2

2/1213

232

221 3

21 Jq =−+−+−= σσσσσσ (21)

Qui peut être réduite à l’équation :

31 σσ −=q (22) sous conditions triaxiales où 32 σσ − . En terme de p et q, les contraintes principales s’expriment :

)120sin(32

1 °++= lqp θσ (23)

)sin(32

2 lqp θσ += (24)

)120sin(32

3 °−+= lqp θσ (25)

1.4 Equilibre de contraintes

En tenant compte de la variation des contraintes selon les trois directions, les conditions d’équilibre de forces dans les trois directions conduisent aux équations d’équilibre suivantes :

Xzyxxzxyxx =

∂∂

+∂

∂+

∂∂ σσσ

(26)

Yzyxyzyyyx =

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ σσσ (27)

Zzyxzzzyzx =

∂∂

+∂

∂+

∂∂ σσσ

(28)

où X, Y et Z sont les forces selon respectivement les directions X, Y et Z.

2 Déformations et compatibilité Sous configuration tridimensionnelle, si les composantes de déplacements dans les directions x, y et z sont u, v et w, les composantes de déformaions s’expriment par le tenseur de déformations :

Annexe 1


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

333231

232221

131211

εεεεεεεεε

εεεεεεεεε

ε

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij (29)

où

zyyzzxxzyxxy εεεεεε === ;; (30) Les composantes de déformations sont liées aux déplacements à l’aide des équations suivantes :

xu

xx ∂∂

=ε (31)

yv

yy ∂∂

=ε (32)

zw

zz ∂∂

=ε (33)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=xv

yu

xy 21ε (34)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=xw

zu

xz 21ε (35)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=yw

zv

zy 21ε (36)

Les conditions de compatibilité nécessitent de vérifier les conditions :

yxxyxyyyxx

∂∂

∂=

∂

∂+

∂∂ εεε 2

2

2

2

2

2 (37)

zyyzyzzzyy

∂∂

∂=

∂∂

+∂

∂ εεε 2

2

2

2

2

2 (38)

zxzzxzzzxx

∂∂∂

=∂∂

+∂∂ εεε 2

2

2

2

2

2 (39)

Annexe 2


Annexe 2 Critères de rupture pour le sol

Annexe 2


Tableau 1 – Critères de rupture pour le sol (Chen et Mizuno, 1990 ; Chen et McCarron, 1986 raportés par Kempfert et Gebreselassie, 2006)

Critère Tresca

Mohr-Coulomb

Surface de charge

( )[ ] ( )[ 232

2231 .5 σσσσ −−−= ucF

] ( )[ ] 05.5 2213

2 =−−− uu cc σσ

[ θϕϕ sin)sin1(32

sin 21 −+=

JIF

] 0cos3cos)sin3(3 =−++ ϕθϕ c avec :

= −

2/32

31

233

cos31

JJ

θ

Avantages • simple • simple • valable pour plusieurs types de sol

Limitations • que pour un sol saturé sous conditions non drainées

• les coins

• les coins • néglige l’effet de la contrainte principale intermédiaire

Annexe 2


Tableau 1 (suite)

Critère Von Mises

Drucker-Prager

Lade-Duncan

Surface de charge

02 =−= ucJF 021 =−+= kJIF α avec :

)sin3(3sin2

ϕϕα

−=

)sin3(3cos6

ϕϕ

+=

ck

01271

31 3

1213 =

−+−= IJIJF

κ

avec :

3

31

II

=κ

Avantages • simple • lisse

• simple • lisse • peut correspondre à Mohr-Coulomb

• simple • lisse • courbe méridienne • effet de la contrainte principale

intermédiaire est pris en compte • variation de pression plus large

que celle des autres modèles Limitations • que pour un sol saturé et

non drainé • surestime les contraintes

• déviateur circulaire en contradiction avec l’expérimentation

• dilatance plastique excessive en rupture

• que pour un sol non cohérant

Annexe 2


Annexe 3


Annexe 3

Modèles de comportement de PLAXIS

Annexe 3


Dans le cadre de la recherche mené par la thèse, des modèles de comportement avancés sont utilisés lors de la modélisation des problèmes abordés à l’aide du logiciel PLAXIS. Les principales caractéristiques de ces modèles sont brièvement décrites dans la présente annexe.

1 LE MODELE « HARDENING SOIL, HS » Le modèle (Hardening Soil, HS) appartient aux modèles à double écrouissage développé par Schanz (1998) et Schanz et al. (1999) sur la base du modèle de Vermeer (1978). Le critère plastique adopté est celui de Mohr-Coulomb (MC). En outre, le modèle HS utilise un écrouissage plastique avant la rupture au lieu du comportement purement élastique supposé dans le modèle MC. La rigidité du sol est décrite à l’aide de trois raideurs :

• 50E : raideur triaxiale en chargement (plus précisément le module sécant à 50% de la résistance, Fig. 1) ;

• oedE : raideur oedométrique ; • urE : raideur triaxiale en déchargement-rechargement.

Figure 1 – Courbe hyperbolique pour la relation contrainte-déformation (Schanz et al, 1999)

1.1 Une écriture hyperbolique pour la courbe « contrainte-

déformation »

L’idée de base pour la formulation de la relation contrainte-déformation est d’adopter la relation de Duncan et Chang (1970) entre les déformations axiales, ε1 et la contrainte déviatorique, q. Cette relation s’écrit sous la forme :

qqq

Eq

a

a

−×=

501 .2ε (1)

où qa est l’asymptote de la contrainte à la rupture (Fig. 1). Elle est liée à la contrainte de rupture maximale, qf comme suivant :

f

fa R

qq = avec ( )ϕ

ϕσϕsin1.

'sin.2)'cot'( 3 −′−=

ff R

cq (2)

9,0=fR pour plusieurs types de sols, le module 50E , est donné par l’expression :

Annexe 3


m

refref

pcc

EE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

′+=

'cot''cot' 3

5050 ϕσϕ

(3)

Dans cette expression, refE50 et le module de référence. Il correspond à la pression de confinement de référence. Une valeur typique de 0,5 pour le sable et 1,0 pour l’argile est à garder dans l’esprit pour le paramètre m. Contrairement à 50E , qui détermine l’ampleur des deux déformations : élastiques et plastiques, urE est un module élastique. En conjonction avec le coefficient de Poisson urυ , il détermine le comportement du sol lors de déchargement-rechargement. Comme pour le

50E , urE dépend du niveau de contrainte et il est écrit :

m

refrefurur pc

cEE ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

′+=

'cot''cot' 3

ϕσϕ

(4)

1.2 Surfaces de charge

D’une façon similaire au modèle MC, l’état limite de contraintes est simulé par la cohésion c, l’angle de frottement interne ϕ et l’angle de dilatance ψ. La surface de charge adoptée pour le modèle HS (dans l’espace d’essai triaxial) a pour l’écriture :

pFF γ−= (5) où :

m

refrefur

a

m

refref pcc

Eq

qq

qpc

cE

F ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

='cot'.

''cot'..2

1.

'cot'.''cot'.

.1 33

50 ϕσϕ

ϕσϕ

(6)

est une fonction des contraintes et le paramètre d’écrouissage

pv

ppppp εεεεεγκ −=−−== 1321 2 (7) est une fonction des déformations plastiques. Le modèle HS adopte (d’une façon similaire au modèle MC) une plasticité non associée afin de déterminer les déformations plastiques suivant le potentiel

pqG .sin.6).sin3( ψψ −−= (8) Le cap-type fonction (Fig. 2) a pour formulation

222

2

)'cot'.()'cot'.( ϕϕ cpcpMqF p

cap +−++= (9)

Annexe 3


avec

ϕϕ

sin3sin.6−

=M (10)

La description complète du modèle HS est donnée par Schanz et al. (1999).

Figure 2 – Surfaces de charge adoptées par le modèle HS (Schanz et al, 1999)

1.3 Paramètres du modèle HS

Les paramètres du modèle HS se regroupent en trois catégories :


1.3.2 Paramètres basiques pour la raideur refE50 : module d’Young triaxial ; refoedE : module d’Young oedométrique ;

m : exposant du niveau de contrainte.

1.3.3 Paramètres avancés refurE : module d’Young en déchargement-rechargement ;

urυ : coefficient de Poisson en déchargement-rechargement (0,2 par défaut) ;

refp : pression de confinement de référence (100 kPa par défaut) ; ncK 0 : rapport entre les contraintes horizontale et verticale ;

fR : rapport d’approchement de la rupture ;

Annexe 3


2 LE MODELE « HARDENING SOIL SMALL, HS-SMALL » Le modèle HS-Small est une évolution du modèle HS (Benz, 2007). Toutes les caractéristiques de HS sont alors inclues dans le modèle HS-Small. De plus, le modèle HS-Small adopte une formulation pour la rigidité sous faible niveau de déformations.

(a) (b) Figure 3 – Modèle HS-Small a) Description du module triaxial initial b) Définition des paramètres

en faibles déformations 0G et 7,0γ (Benz, 2007)

Comme le montre la figure 3a, une raideur en déchargement-rechargement plus importante est traduite par le module 0E . Sa valeur suit la corrélation donnée par Biarez et Hicher (1994) selon l’équation suivante :

5,0

0 .140⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= refp

pe

E (11)

où e est l’indice des vides et p est la pression moyenne. La dégradation de la raideur avec l’augmentation du niveau de contraintes est décrite par une version modifiée de la courbe hyperbolique proposée par Hardin et Drnevich (1972) :

0

0

.731γγ

+=

EE

(12)

7,0γ est la déformation de cisaillement qui correspond à 70% de la valeur initiale de 0E

(ou 0G ) comme le montre la figure 3.b. Le module de cisaillement initial ( 0G ) est déterminé à l’aide de la valeur initial du module E selon l’équation :

)1.(2

00 υ+=

EG (13)

Annexe 3


et la déformation de cisaillement s’exprime en utilisant l’invariant de déformations (voir annexe 1). 7,0γ peut être déterminé si les propriétés plastiques du sol sont connues par la corrélation suivante :

( ))2sin()1())2cos(1(29

101

07.0 ϕσϕγ ′+′−′+′= Kc

G (14)

Paramètres du modèle HS-Small

Par rapport au modèle HS, le modèle HS-Small nécessite la détermination de deux paramètres d’entrée supplémentaires :

refG0 : module de cisaillement initial sous très petites déformations ;

7.0γ : la déformation de cisaillement pour laquelle 0sec 7,0 GG ant = . Si la valeur de refG0 par défaut est utilisée ( ref

urref GG =0 ), le modèle HS-Small revient à

nouveau l’équivalent du modèle HS standard.

Annexe 3


3 LE MODELE HYPOPLASTIQUE DE MASIN (2005) POUR LES MATERIAUX FINS Grâce à l’intégration du comportement en petites déformations dans un modèle capable de simuler l’état caractéristique tel que le modèle de Cam-Clay de base, le modèle hypoplastique développé par Masin (2005) et récemment implémenté dans PLAXIS permet de simuler les sols fins surconsolidés. Ce modèle comporte les cinq paramètres basiques du modèle Cam-Clay modifié : ϕc, λ*, κ*, N et r. Les deux paramètres N et λ* permettent de définir la position et la pente de la ligne de compression isotrope (LCI) dans le plan ( )e+1ln et pln :

rp

pNe ln)1ln( *λ−=+ (15)

où pr est la pression de référence (1kPa). Le paramètre κ* définit la pente de la ligne d’extension isotrope (LEI) dans le même plan. La définition de ces paramètres et leur calage sont présentés sur la figure 4. ϕc est l’angle de frottement critique et r est un paramètre permettant de contrôler la rigidité au cisaillement. Ce dernier se cale directement sur les courbes « contraintes-déformations ».

ln (1+e)

ln p

*λ1

*κ 1

*epcrp

N

LCILEI

L’état de contrainte

LEC

Figure 4 – Définition des paramètres N, λ* et κ* (Masin, 2005)

3.1 Comportement en petites déformations (le concept des

déformations inter-granulaires)

La prise en compte des caractéristiques du sol en petites déformations nécessite la définition de cinq paramètres supplémentaires : Rmax qui représente la limite élastique au-delà de laquelle la raideur du sol en cisaillement se dégrade, βr et χ contrôlant le taux de

Annexe 3


dégradation du module de cisaillement, mR et mT qui contrôlent respectivement le module de cisaillement sous sollicitations initiales et au-delà des sollicitations neutres. Le module de cisaillement initial est ainsi défini par l’équation :

prmG R

*0 λ= (16)

3.2 Paramètres du modèle hypoplastique

Les paramètres du modèle hypoplastique de Masin (2005) se regroupent en deux catégories :

3.2.1 Paramètres de Cam-Clay de base ϕc : angle de frottement critique ; λ* : pente de la compression isotrope en configuration ( )[ ]pe ln,1ln + ; κ* : pente de l’extension isotrope en configuration ( )[ ]pe ln,1ln + ; N : définit la position de la ligne de compression isotrope ; r : paramètre contrôle la rigidité au cisaillement

3.2.2 Paramètres avancés Rmax : définit le seuil de la rigidité constante ; βr et χ : paramètres contrôlent le taux de la dégradation du module de cisaillement initial G0 ; mR : contrôle la valeur constante de G0 ; mT: contrôle la valeur de G au-delà des contraintes neutres ;

Annexe 4


Annexe 4

Diagrammes des modèles implémentés dans FLAC3D

Annexe 4


Modèle Mohr-Coulomb de base

Introduire les conditions initiales Définir les paramètres du sol

Equations d’équilibre

Nouvelle vitesse et/ou déplacement

Estimation élastique des contraintes

(Iiσ )

Vérifier le critère

( ) 0, 31 =IIF σσ

Surface de charge comosée

( ) 0, 31 ≤IIh σσ

Correction plastique pour la rupture en traction

{ } { } [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

−=i

TIi

Ni

GCσ

λσσ

Correction plastique pour la rupture en cisaillement

{ } { } [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

−=i

SIi

Ni

GCσ

λσσ

Pas de correction plastique

nécessaire Ii

Ni σσ =

Non

Non

Oui

Oui

Annexe 4


Modèle de Janbu Introduire les conditions initiales

Définir les paramètres du sol

Calculer les paramètres élastiques E, E_ini et ν

Calculer le reste des paramètres élastiques G et K




(Iiσ )


( ) 0, 31 =IIF σσ


( ) 0, 31 ≤IIh σσ


{ } { } [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

−=i

TIi

Ni

GCσ

λσσ


{ } { } [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

−=i

SIi

Ni

GCσ

λσσ


nécessaire Ii

Ni σσ =

Non

Non

Oui

Oui

Annexe 4


Modèle de Fahey et Carter Introduire les conditions initiales

Définir les paramètres du sol

Calculer les paramètres élastiques G et K

à partir des contraintes initiales

Calculer le reste des paramètres élastiques E et ν




(Iiσ )


( ) 0, 31 =IIF σσ


( ) 0, 31 ≤IIh σσ


{ } { } [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

−=i

TIi

Ni

GCσ

λσσ


{ } { } [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

−=i

SIi

Ni

GCσ

λσσ


nécessaire Ii

Ni σσ =

Mettre à jour les paramètres élastiques G et K

Non

Non

Oui

Oui

Annexe 4


Modèle hyperbolique de Duncan et Chang

Introduire les conditions initiales Définir les paramètres du sol

Calculer les paramètres élastiques KYoung_Load

KYoung_ULoad KBulk

à partir des contraintes initiales

Calculer le reste des paramètres élastiques G et ν




(Iiσ )

Vérifier l’état de contraintes SS actuel < SS précédent


( ) 0, 31 =IIF σσ


( ) 0, 31 ≤IIh σσ

Déchargement élastique


{ } { } [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

−=i

TIi

Ni

GCσ

λσσ


{ } { } [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

−=i

SIi

Ni

GCσ

λσσ


nécessaire Ii

Ni σσ =

Mettre à jour les paramètres élastiques KYoung_Load

KBulk

Oui

Non

Non

Oui

Oui Non

Annexe 5


Annexe 5

Etude paramétrique sur le modèle de Duncan et Chang implémenté dans FLAC3D

Annexe 5


L’étude paramétrique a été réalisée à l’aide de la simulation numérique d’un essai triaxial drainé (Fig. 5.5). Seuls les paramètres élastiques (qui affectent le comportement du sol en très petites et petites déformations) seront examinés. Les valeurs de référence données aux paramètres sont présentées dans le tableau 1.

Tableau 1 – Valeurs de référence pour l’étude paramétrique du modèle Duncan et Chang

Paramètre LoadKYoung _ nYoung KBulk nBulk aP (kPa)

fR

Valeur numérique 1200 0,50 1800 0,50 100 0,90 Les paramètres plastiques (c, ϕ, ψ) valent respectivement (10 kPa, 30°, 5°). Après avoir modélisé l’essai triaxial drainé avec ce jeu de paramètres, on varie un seul paramètre à la fois (de plus et de moins de 25% de sa valeur de référence) tout en fixant le reste des paramètres.

1 INFLUENCE DU PARAMETRE fR

Les différentes réponses s’affichent sur les figures 1, 2, 3 et 4. La première vue à ces figures indique que toutes les courbes sont plus ou moins influencées par la variation de

fR . Néanmoins, les contraintes déviatoriques (Fig. 1) sont les plus influencées par la

variation de fR . En effet, la diminution de la valeur de fR entraîne une arrivée plus rapide au palier plastique déterminé par les caractéristiques plastiques de référence. De plus, la rigidité tangente du sol sous petites déformations est croissante avec la diminution de fR , toutefois, la rigidité sous très petites déformations semble être invariable. Une

courbure plus importante est observée lorsqu’on augmente la valeur numérique de fR . Une fois la valeur numérique dépasse l’unité, on ne peut plus atteindre le palier plastique (cette observation est confirmée par la courbe de déformations volumiques).

0

200

400

600

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

Deformation axiale

Con

trai

nte

devi

ator

ique

(kPa

)

RfRf - 25%Rf + 25%

Figure 1 – Influence du paramètre fR sur la contrainte déviatorique

Annexe 5


-0,002

0,000

0,002

0,004

0,006

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

Deformation axialeD

efor

mat

ion

volu

miq

ue

RfRf - 25%Rf + 25%

Figure 2 – Influence du paramètre fR sur la déformation volumique

0

20000

40000

60000

80000

1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00

Deformation axiale

Mod

ule

de c

isai

llem

ent (

kPa)

RfRf - 25%Rf + 25%

Figure 3 – Influence du paramètre fR sur le module de cisaillement

A l’inverse de la courbe des contraintes déviatoriques, les déformations volumiques sont peu influencées par la variation de fR (Fig. 2). En effet, c’est le début de la plasticité qui se déplace tout en conservant la phase élastique invariable. Pour les valeurs supérieures à l’unité ( fR + 25%), le comportement dilatant est complètement supprimé de la courbe de déformations volumiques. La raideur du sol en cisaillement (Fig. 3) en très petites déformations est très peu influencée par la variation de fR . Elle est plus importante lorsque la valeur de fR diminue. Toutefois, la raideur sous petites déformations est également plus influencée tout en conservant la forme de la courbe en « S ». Un palier inférieur est atteint lorsqu’on arrive à l’état plastique, ce qui nous évite d’avoir une valeur de la rigidité en cisaillement très faible en grandes déformations.

Annexe 5


0

100000

200000

300000

400000

1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00

Deformation axiale

Mod

ule

de c

ompr

essio

n (k

Pa)

RfRf - 25%Rf + 25M%

Figure 4 – Influence du paramètre fR sur le module volumique

La raideur volumique du sol est également influencée par la variation de fR (Fig. 4). En effet, la courbe conserve sa forme mais le début de la dégradation de raideur et le palier plastique qui sont affectés.

2 INFLUENCE DES P ARAMETRES ELASTIQUES SOUS TRES PETITES DEFORMATIONS

Si on considère une valeur standard pour le paramètre aP , il existe quatre paramètres ( LoadKYoung _ , nYoung , KBulk et nBulk ) qui affectent le comportement du sol sous très petites déformations. Dans cette section, on observe la réponse du sol sous très petites déformations en fonction de la variation de chacun des quatre paramètres séparément.

2.1 Influence de LoadKYoung _

Les figures 5, 6, 7 et 8 montrent la réponse résultante du fait de varier la valeur de référence par 25% de sa valeur initiale. Du même que pour le paramètre fR , toutes les courbes sont affectées. La courbure et la pente initiale de la courbe des contraintes déviatoriques (Fig. 5) sont affectées par la variation de LoadKYoung _ . Néanmoins, les déformations volumiques (Fig. 6) sont peu affectées. En effet, c’est le début de la dilatance qui s’approche lors de l’augmentation du paramètre KYoung.

Annexe 5


0

200

400

600

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

Deformation axiale

Con

trai

nte

devi

ator

ique

(kPa

)KYoungKYoung - 25%KYoung + 25%

Figure 5 – Influence du paramètre LoadKYoung _ sur la contrainte déviatorique

-0,0020

-0,0010

0,0000

0,0010

0,0020

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

Deformation axiale

Def

orm

atio

n vo

lum

uiqu

e

KYoungKYoung - 25%KYoung + 25%

Figure 6 – Influence du paramètre LoadKYoung _ sur la déformation volumique

Le module en cisaillement du sol (Fig. 7) est fortement influencé par la variation du paramètre KYoung. Une variation de 25% du paramètre KYoung entraîne une variation du module de cisaillement par le même pourcentage. Le module volumique lui-même (Fig. 8) n’est affecté que très peu en grandes déformations.

Annexe 5


0

20000

40000

60000

80000

100000

1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00

Deformation axiale

Mod

ule

de c

isai

llem

ent (

kPa)


Figure 7 – Influence du paramètre LoadKYoung _ sur le module de cisaillement

0

100000

200000

300000

400000

1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00

Deformation axiale

Mod

ule

de c

ompr

essi

on (k

Pa)


Figure 8 – Influence du paramètre LoadKYoung _ sur le module volumique

2.2 Influence de nYoung

Les différentes réponses sont similaires à celles de la variation du paramètre KYoung mai moins accentuées. La figure 9 montre un exemple des courbes obtenues. Elle présente le module de cisaillement qui se varie de 15% avec la variation de 25% du paramètre nYoung.

Annexe 5


0

20000

40000

60000

80000

100000

1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00

Deformation axiale

Mod

ule

de c

isai

llem

ent (

kPa)

nYoungnYoung - 25%nYoung + 25%

Figure 9 – Influence du paramètre nYoung sur le module de cisaillement

2.3 Influence de KBulk

On n’observe aucune influence sur la courbe des contraintes déviatoriques. D’ailleurs, très peu d’influence du paramètre KBulk sur le module de cisaillement a été observée (Fig. 10). Néanmoins, le sens de la variation est l’inverse de celui du paramètre KYoung.

0

20000

40000

60000

80000

1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00

Deformation axiale

Mod

ule

de c

isai

llem

ent (

kPa)

KBulkKBulk - 25%KBulk + 25%

Figure 10 – Influence du paramètre KBulk sur le module de cisaillement

L’impact majeur du paramètre KBulk est observé sur le module volumique (Fig. 11) et les déformations volumiques (Fig. 12). En effet le même pourcentage de variation a été observé sur le module volumique lors de la variation du paramètre KBulk.

Annexe 5


0

100000

200000

300000

400000

1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00

Deformation axiale

Mod

ule

de c

ompr

essi

on (k

Pa)


Figure 11 – Influence du paramètre KBulk sur le module volumique

-0,0016

-0,0012

-0,0008

-0,0004

0,00000,00 0,01 0,02 0,03 0,04

Deformation axiale

Def

orm

aito

n vo

lum

ique


Figure 12 – Influence du paramètre KBulk sur les déformations volumiques

2.4 Influence de nBulk

D’une façon similaire à l’influence du paramètre nYoung, les différentes réponses sont similaires à celles qui correspondent à la variation du paramètre KBulk mai moins accentuées.

3 LA COURBE CONTRAINTE-DEFORMA TION EN DECHARGEMENT-RECHARGEMENT Pour observer le comportement du modèle de Duncan et Chang implémenté dans FLAC3D en déchargement-rechargement, le paramètre ULoadKYoung _ a été ajouté au jeu de paramètres utilisé pour la présente étude paramétrique. La valeur du paramètre

Annexe 5


KYoung_ULoad mis en œuvre était trois fois la valeur du paramètre LoadKYoung _ . La résultante courbe contrainte-déformation s’affiche sur la figure 13.

0

200

400

600

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025

Déformation axiale

Con

trai

nte

dévi

ator

ique

(kPa

)

Figure 13 – La courbe contrainte déviatorique-déformation lors du déchargement-rechargement

Comme le montre la figure 13, l’introduction du paramètre ULoadKYoung _ nous a permis de distinguer un comportement élastique en déchargement-rechargement plus raide qu’en chargement. Cet aspect confirmé par des observations expérimentales (voir chapitre 1) est très important lors de la modélisation d’ouvrages géotechniques où on décharge le sol comme dans le cas du creusement d’un tunnel ou le cas d’excaver le sol pour construire un ouvrage de soutènement.

Annexe 6


Annexe 6

Etude paramétrique sur le modèle de Fahey et Carter implémenté dans FLAC3D

Annexe 6


L’étude paramétrique a été réalisée grâce à la simulation numérique d’un chemin triaxial drainé (Fig. 5.5). Seuls les paramètres f et g nouveaux par rapport au modèle hyperbolique de Duncan et Chang sont examinés dans cette section. En plus de l’impact de ces paramètres sur les contraintes déviatoriques et les déformations volumiques, l’étude paramétrique a été confrontée a celle de Coquillay (2005). Les valeurs de référence données aux paramètres sont présentées dans le tableau 1.

Tableau 1 – Valeurs de référence pour l’étude paramétrique du modèle de Fahey et Carter

Paramètre C SD gn kn f g

Valeur numérique 1200 1400 0,50 0,50 0,95 1 Les paramètres plastiques (c, ϕ, ψ) valent respectivement (10 kPa, 30°, 5°). Après avoir simulé l’essai triaxial drainé avec ce jeu de paramètres, on varie un seul paramètre à la fois (de plus ou de moins de 25% de la valeur de référence retenue) tout en fixant le reste des paramètres.

1 INFLUENCE DU PARAMETRE f

La réponse du modèle numérique suivant le chemin triaxial en terme de contraintes déviatoriques et de déformations volumiques contre la déformation axiale s’affiche sur les figures 1 et 2. Comme le montre la figure 1, le paramètre f de Fahey et Carter joue le même rôle que celui du paramètre fR de Duncan et Chang. En plus de son impact sur l’état critique du sol, le paramètre f de Fahey et Carter affecte la valeur et la forme des déformations volumiques (Fig. 2). Néanmoins, la pente initiale des déformations volumiques reste invariable. Le même effet que le paramètre fR sur la raideur est alors attendu. La figure 3 montre la variation de la raideur de cisaillement en fonction des déformations axiales. En effet, on obtient des courbes qui se déplacement à droite ou à gauche de la courbe de référence suivant respectivement la diminution et l’augmentation de la valeur de f .

0

200

400

600

800

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

Deformation axiale

Con

trai

nte

devi

ator

ique

(kPa

)

ff - 25%f + 25%

Figure 1 – Influence du paramètre f sur la contrainte déviatorique

Annexe 6


-0,001

0,000

0,001

0,002

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020Deformation axiale

Def

orm

atio

n vo

lum

ique f

f - 25%f + 25%

Figure 2 – Influence du paramètre f sur la déformation volumique

0

50000

100000

150000

200000

250000

1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 1,E-01 1,E+00

Deformation axiale

Mod

ule

de c

isai

llem

ent (

kPa)

ff - 25%f + 25%

Figure 3 – Influence du paramètre f sur le module de cisaillement

En effet, Fahey et Carter (1993) et Coquillay (2005) montrent que la valeur de f est comprise entre 0 et 1 et pour les deux cas extrêmes on trouve :

un comportement élastique linéaire avec Gt = G0 = constante pour f = 0 ; un comportement hyperbolique n’atteint jamais la plasticité pour f = 1.

Dans le cas spécial où f = g = 1 on retrouve la courbe hyperbolique de Hardin et Drnevich (1972). Les figures 4 à 7 montrent la confrontation de l’influence de f à l’étude paramétrique menée par Coquillay, 2005 (Les figures nommées ‘b’ qui se trouvent à droite). L’étude de référence adopte une valeur de f et g égale à l’unité (la courbe hyperbolique de Hardin et Drnevich, 1972). On observe que la forme des courbes obtenues est similaire. Toutefois les valeurs numériques du module sécant et tangent en fonction des déformations de cisaillement ( γ ) sont inférieures à celles obtenues par CESAR-LCPC (Figs. 6 et 7). Cette différence est effectivement liée à la vitesse de déplacement appliquée (Fig. 5.5) dans un code en différences finies tel que FLAC3D. La vitesse de déplacement appliquée était de l’ordre de V = 0,5×10-7, cependant pour avoir la même réponse, il fallait que la vitesse soit

Annexe 6


nettement inférieure à celle-ci (de l’ordre de 10-12), ce qui conduit à temps de calcul très important. Cette information a été vérifiée lors de la confrontation à l’étude paramétrique menée par Fahey et Carter (1993) plus loin dans cette annexe.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Rapport des contraintes de cisaillement

G/G

0

f = 1 ; g = 1 FLAC3Df = 0,8 ; g = 1 FLAC3Df = 0,6 ; g = 1 FLAC3D

(a) (b)

Figure 4 – Influence du paramètre f sur le module de cisaillement sécant

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1


Gt/G

0 f = 1 ; g = 1 FLAC3Df = 0,8 ; g = 1 FLAC3D f= 0,6 ; g = 1 FLAC3D

(a) (b)

Figure 5 – Influence du paramètre f sur le module de cisaillement tangent

Les figures 6 et 7 présentent l’impact du paramètre f sur la courbe en « S ». Ces figures montrent que le paramètre f affecte la courbure de la rigidité à l’inverse de la raideur du sol en très petites déformations qui n’est pas influencée par la variation.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 1,E-01

Deformation de cisaillement

G/G

0

f=1 ; g=1 (FLAC3D)f=0,8 ; g=1 (FLAC3D)f=0,6 ; g=1 (FLAC3D)

(a) (b)

Figure 6 – Influence du paramètre f sur le module de cisaillement sécant

Annexe 6


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 1,E-01


Gt/G

0

f=1 ; g=1 (FLAC3D)

f=0,8 ; g=1 (FLAC3D)

f=0,6 ; g=1 (FLAC3D)

(a) (b)

Figure 7 – Influence du paramètre f sur le module de cisaillement tangent

2 INFLUENCE DU PARAMETRE g

La réponse du modèle numérique suivant un chemin triaxial de sollicitations est présentée sur les figures 8 et 9. Les figures montrent que seule la courbure de la courbe des contraintes déviatoriques et l’arrivée à l’état caractéristique sont affectées par la variation du paramètre g. D’ailleurs, les déformations volumiques élastiques ne sont concrètement pas affectées par la variation de g. Cette constatation rejoint les observations menées par Coquillay (2005) sur le sable de Labenne.

0

200

400

600

800

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

Deformation axiale

Con

trai

nte

devi

ator

ique

(kPa

)

gg - 25%g + 25%

Figure 8 – Influence du paramètre g sur les contraintes déviatoriques

Annexe 6


-0,0010

-0,0005

0,0000

0,0005

0,0010

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020Deformaiton axiale

Def

orm

atio

n vo

lum

ique

gg - 25%g + 25%

Figure 9 – Influence du paramètre g sur les déformations volumiques

Selon l’étude paramétrique menée par Coquillay (2005), le paramètre g de Fahey et Carter agit sur la courbure de la courbe contrainte-déformation de la manière suivante :

un comportement élastique linéaire lorsque g = 0 ; un comportement hyperbolique lorsque g = 1 ; un comportement hyperbolique avec une portion linéaire initiale accrue 1>g ; un comportement hyperbolique avec une portion linéaire initiale plus réduite pour

1<g . Les figures 10 à 13 présentent les résultats de la confrontation pour le paramètre g de Fahey et Carter. Son influence sur la courbure de la raideur observée par Coquillay, 2005 (les figures nommées ‘b’ qui se trouvent à droite) est confirmée par la version implémentée dans FLAC3D (Figs. 10 et 11). Les figures 12 et 13 montrent l’impact du paramètre g sur la courbe en « S ». Ces figures indiquent que le paramètre g affecte la raideur du sol sous très petites déformations en plus de la courbure de la rigidité. Les valeurs de g inférieures à l’unité se traduisent par une rigidité moins importante en très petites déformations. Elle se dégrade ensuite moins rapidement que lorsque les valeurs de g dépassent l’unité. Néanmoins, comme on l’a constaté pour le paramètre f , les courbes de FLAC3D ont la même forme que celles obtenues par Coquillay (2005) mais les valeurs numériques du module sont décalées. La confrontation des résultats numériques de l’analyse effectuée en FLAC3D à l’étude numérique de Fahey et Carter (1993) se trouve sur les figures 14 et 15. Dans cette analyse, le même chemin de contraintes a été suivi sauf que la vitesse de déplacement a été réduite à 0,5×10-12. Les deux figures montrent que la réponse du modèle de Fahey et Carter implémenté dans FLAC3D se compare bien à celle de la version implémentée dans CESAR-LCPC.

Annexe 6


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1


G/G

0

f = 1 ; g = 1 FLAC3Df = 1 ; g = 0,5 FLAC3Df = 1 ; g = 2 FLAC3D

(a) (b)

Figure 10 – Influence du paramètre g sur le module de cisaillement sécant

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1


Gt/G

0

f = 1 ; g = 1 FLAC3D

f = 1 ; g = 0,5 FLAC3D

f = 1 ; g = 2 FLAC3D

(a) (b)

Figure 11 – Influence du paramètre g sur le module de cisaillement tangent

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 1,E-01


G/G

0

f=1 ; g=1 (FLAC3D)f=1 ; g=0,5 (FLAC3D)f=1 ; g=2 (FLAC3D)

(a) (b)

Figure 12 – Influence du paramètre g sur le module de cisaillement sécant

Annexe 6


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 1,E-01


Gt/G

0

f=1 ; g=1 (FLAC3D)f=1 ; g=0,5 (FLAC3D)f=1 ; g=2 (FLAC3D)

(a) (b)

Figure 13 – Influence du paramètre g sur le module de cisaillement tangent

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 1,E-01


G/G

0

f=0,98 ; g=0,25 (FLAC3D)f=0,8 ; g=0,5 (FLAC3D)f=1 ; g=1 (FLAC3D)f=0,8 ; g=1 (FLAC3D)f=0,8 ; g=3 (FLAC3D)

(a) (b)

Figure 14 – Confrontation à l’étude paramétrique de Fahey et Carter (1993) reportée par Coquillay (2005)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01


Gt/G

0

f=0,98 ; g=0,25 (FLAC3D)f=0,8 ; g=0,5 (FLAC3D)f=1 ; g=1 (FLAC3D)f=0,8 ; g=1 (FLAC3D)f=0,8 ; g=3 (FLAC3D)

(a) (b)

Figure 15 – Confrontation à l’étude paramétrique de Fahey et Carter (1993) reportée par Coquillay (2005)

Annexe 7


Annexe 7

Modélisation des fondations superficielles : Calage des paramètres

Annexe 7


1 Essai de chargement dans un sol résiduel (Brésil)

0

200

400

600

800

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)


-0,06

-0,04

-0,02

00 0,05 0,1 0,15 0,2

Déformation axiale

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique

100 kPaMC250 kPaMC500 kPaMC


Figure 1 – Calage des paramètres de MC sur les essais triaxiaux

Annexe 7


0

200

400

600

800

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)


-0,06

-0,04

-0,02

00 0,05 0,1 0,15 0,2

Déformation axiale

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique

100 kPa250 kPa500 kPaJanbuJanbuJanbu


Figure 2 – Calage des paramètres de Janbu sur les essais triaxiaux

Annexe 7


0

200

400

600

800

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)


-0,06

-0,04

-0,02

00 0,05 0,1 0,15 0,2

Déformation axiale

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique

100 kPa250 kPa500 kPaFahey & CarterFahey & CarterFahey & Carter


Figure 3 – Calage des paramètres de Fahey & Carter sur les essais triaxiaux

Annexe 7


0

200

400

600

800

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)


-0,06

-0,04

-0,02

00 0,05 0,1 0,15 0,2

Déformation axiale

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique

100 kPa250 kPa500 kPaDuncan & ChangDuncan & ChangDuncan & Chang


Figure 4 – Calage des paramètres de Duncan & Chang sur les essais triaxiaux

Annexe 7


2 Essai de chargement dans un sable (Texas A&M)

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)

CD34,5CD138CD345MCMCMC


-0,025

-0,02

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,0050 0,04 0,08 0,12 0,16

Déformation axiale

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique


Figure 5 – Calage des paramètres de MC sur les essais triaxiaux

Annexe 7


0

200

400

600

800

1000

1200

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)

CD34,5CD138CD345JanbuJanbuJanbu


-0,012

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

00 0,04 0,08 0,12 0,16

Déformation axiale

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique


Figure 6 – Calage des paramètres de Janbu sur les essais triaxiaux

Annexe 7


0

200

400

600

800

1000

1200

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)

CD34,5CD138CD345Fahey et CarterFahey et CarterFahey et Carter


-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,0040 0,04 0,08 0,12 0,16

Déformation axiale

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique


Figure 7 – Calage des paramètres de Fahey & Carter sur les essais triaxiaux

Annexe 7


0

200

400

600

800

1000

1200

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16

Deformation axiale

Con

train

te d

evia

toriq

ue (k

Pa)

CD34,5CD138CD345Duncan et ChangDuncan et ChangDuncan et Chang


-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

00 0,04 0,08 0,12 0,16

Deformation axiale

Def

orm

atio

n vo

lum

ique


Figure 8 – Calage des paramètres de Duncan & Chang sur les essais triaxiaux

Annexe 8


Annexe 8

Modélisation d’ouvrages de soutènement : Paramètres retenus pour la simulation numérique

Annexe 8


Analyse élastique linéaire Tableau 1 – Paramètres du modèle « MC » retenus pour la simulation de type B

Paramètre/ Unité

SL

SL

SL

APP

APP APP

Profondeur (m) 5,6-8,0 33,0-35,0 37,5-46,0 0,0-5,6 8,0-33,0 35,0-37,5 γunsat, kN/m3 18 18 18 18 18 18 γsat, kN/m3 20 20 20 20 20 20 c, kN/m2 0 0 0 0 0 0 ϕ, (°) 31 31 32 33 30 32 ψ, (°) 0 0 0 0 0 0 ν 0,30 0,30 0,30 0,20 0,20 0,20 E, kN/m2 37,5×103 125×103 125×103 54×103 144×103 252×103

Tableau 2 – Paramètres du modèle « MC » retenus pour la simulation de type C

Paramètre/ Unité

SL

SL

SL

APP

APP

APP

Profondeur (m) 5,6-8,0 33,0-35,0 37,5-46,0 0,0-5,6 8,0-33,0 35,0-37,5 γunsat, kN/m3 18 18 18 18 18 18 γsat, kN/m3 20 25 20 20 20 20 c, kN/m2 0 0 0 0 0 0 ϕ, (°) 31 31 32 33 30 32 ψ, (°) 0 0 0 0 0 0 ν 0,30 0,30 0,30 0,20 0,20 0,20 E, kN/m2 37,5×103 125×103 125×103 21,6×103 25,2×103 252×103

Tableau 3 – Paramètres du modèle « MC » retenus pour la simulation de type D

Paramètre/ Unité

SL

SL

SL

APP

APP

APP

Profondeur (m) 5,6-8,0 33,0-35,0 37,5-46,0 0,0-5,6 8,0-33,0 35,0-37,5 γunsat, kN/m3 18 18 18 18 18 18 γsat, kN/m3 20 25 20 20 20 20 c, kN/m2 0 0 0 0 0 0 ϕ, (°) 31 31 32 33 30 32 ψ, (°) 0 0 0 0 0 0 ν 0,30 0,30 0,30 0,20 0,20 0,20 E, kN/m2 37,5×103 125×103 125×103 14,4×103 14,4×103 252×103

Annexe 8


Analyse élastique non linéaire Tableau 4 – Paramètres du modèle « HS » retenus pour la simulation

Paramètre/ Unité

APP

APP

APP

Profondeur (m) 0,0-5,6 8,0-33,0 35,0-37,5 γunsat, kN/m3 18 18 18 γsat, kN/m3 20 20 20 c, kN/m2 0 0 0 ϕ, (°) 33 30 32 ψ, (°) 0 0 0 νur 0,20 0,20 0,20

refE50 , kN/m2 14,4×103 14,4×103 252×103 refoedE , kN/m2 14,4×103 14,4×103 252×103 refurE , kN/m2 43,2×103 43,2×103 756×103

m 0,50 0,50 0,50 Rf 0,90 0,90 0,90

Tableau 5 – Paramètres du modèle « HS-Small » retenus pour la simulation

Paramètre/ Unité

APP

APP

APP

Profondeur (m) 0,0-5,6 8,0-33,0 35,0-37,5 γunsat, kN/m3 18 18 18 γsat, kN/m3 20 20 20 c, kN/m2 0 0 0 ϕ, (°) 33 30 32 ψ, (°) 0 0 0 νur 0,20 0,20 0,20

refE50 , kN/m2 14,4×103 14,4×103 252×103 refoedE , kN/m2 14,4×103 14,4×103 252×103 refurE , kN/m2 43,2×103 43,2×103 756×103

refG0 , kN/m2 28,9×103 46,8×103 316×103

7,0γ 0,0001 0,0001 0,0001

m 0,50 0,50 0,50 Rf 0,90 0,90 0,90

Annexe 8


Analyse en hypoplasticité Tableau 6 – Paramètres du modèle « Masin, 2005 » retenus pour la simulation

Paramètre/ Unité

APP

APP

APP

Profondeur (m) 0,0-5,6 8,0-33,0 35,0-37,5 γunsat, kN/m3 18 18 18 γsat, kN/m3 20 20 20 ϕc, (°) 31 31 31 λ* 0,152 0,152 0,152 κ* 0,019 0,019 0,0265 N 1,665 1,725 1,816 r 0,60 0,60 0,60 mR 5 17,5 120 mT 5 17,5 120 R 1,3×10-4 1,3×10-4 1,3×10-4 βr 0,1 0,1 0,1 χ 1 1 1

Annexe 9


Annexe 9

Modélisation du creusement d’ouvrages souterrains : Paramètres retenus et calage sur les expérimentations

Annexe 9


Simulation en conditions drainées Table 1– Paramètres retenus pour l’analyse en conditions drainées (FLAC)

Paramètre/ Unité

Gravier (MC)

Argile (MC)

Argile (Janbu)

Argile (Fahey&Carter) (FaheySoft)

Argile (Duncan&Chang)

γ, kN/m3 17 19,5 19,5 19,5 19,5 c, kN/m2 0 7,6 7,6 7,6 9,7 ϕ, (°) 35 22 22 22 25,7 ψ, (°) 0 4,14 4,14 5,7 3,73 ν 0,3 0,22 0,22 - - E, kN/m2 50×103 27×103 - - - KE - - 136,28 - - m - - 0,65 - - DS - - - 300 - C - - - 200 - f - - - 0,5 - g - - - 1,97 - nk - - - 0,5 - ng - - - 0,55 - KYoung_L - - - - 300 KYoung_UL - - - - 900 nYoung - - - - 0,50 KBulk - - - - 108 mBulk - - - - 0,5 Pa, kN/m2 - - - - 105 Coeff_Rf - - - - 0,73

Table 2– Paramètres retenus pour l’analyse en conditions drainées (PLAXIS)

Paramètre/ Unité

Soutènement (élastique)

Gravier (MC)

Argile (MC)

Argile (HS)

Argile (HS-Small)

γ, kN/m3 25 17 19,5 19,5 19,5 C, kN/m2 - 0 7 7 7 ϕ, (°) - 35 22 22 22 ψ, (°) - 0 4,14 4,14 4,14 ν 0,2 0,3 0,28 0,28 0,28 E, kN/m2 5×106 50×103 27×103 - -

refE50 , kN/m2 - - - 32,5×103 32,5×103 refoedE , kN/m2 - - - 32,5×103 32,5×103 refurE , kN/m2 - - - 97,5×103 97,5×103

m - - - 0,5 0,5 0G , kN/m2 - - - - 65×103

7.0γ - - - - 10-4

Annexe 9


Simulation en conditions non drainées

Tableau 3 – Paramètres retenus pour la simulation en élasticité linéaire isotrope à l’aide du modèle « MC »

Paramètre/Unité Unité C Unité B Unité A

Profondeur (m) 2,5-10,0 10,0-34,0 34,0-73,0 γunsat, kN/m3 18 18 18 γsat, kN/m3 20 20 20 Perméabilité (m/jour) 1,728×10-5 8,64×10-5 1,728×10-5 c, kN/m2 5 5 5 ϕ, (°) 21,9 21,9 21,9 ψ, (°) 12 12 12 ν 0,15 0,15 0,15 E, kN/m2 31×103 31×103 31×103

Tableau 4 – Paramètres retenus pour la simulation en élasticité linéaire isotrope à l’aide du modèle « Cam-Clay »


Profondeur (m) 2,5-10,0 10,0-34,0 34,0-73,0 γunsat, kN/m3 18 18 18 γsat, kN/m3 20 20 20 Perméabilité (m/jour) 1,728×10-5 8,64×10-5 1,728×10-5 λ* 0,095 0,095 0,095 κ* 0,015 0,015 0,015 M 0,85 0,85 0,85 N 1,344 1,344 1,410 ν 0,15 0,15 0,15

Annexe 9


Tableau 5 – Paramètres du modèle « HS-Small » retenus pour la simulation en élasticité non linéaire

Paramètre/Unité Unité C Unité B Unité A Profondeur (m) 2,5-10,0 10,0-34,0 34,0-73,0 γunsat, kN/m3 18 18 18 γsat, kN/m3 20 20 20 Perméabilité (m/jour) 1,728×10-5 8,64×10-5 1,728×10-5 c, kN/m2 5 5 5 ϕ, (°) 21,9 21,9 21,9 ψ, (°) 12 12 12 νur 0,15 0,15 0,15

refE50 , kN/m2 32,5×103 32,5×103 32,5×103 refoedE , kN/m2 32,5×103 32,5×103 32,5×103 refurE , kN/m2 97,5×103 97,5×103 97,5×103

refG0 , kN/m2 66,75×103 121×103 164×103

7,0γ 0,0001 0,0001 0,0001

m 0,50 0,50 0,50 Rf 0,90 0,90 0,90

Tableau 6 – Paramètres retenus pour la simulation en hypoplasticité


Profondeur (m) 2,5-10,0 10,0-34,0 34,0-73,0 γunsat, kN/m3 18 18 18 γsat, kN/m3 20 20 20 Perméabilité (m/jour) 1,728×10-5 8,64×10-5 1,728×10-5 λ* 0,095 0,095 0,095 κ* 0,015 0,015 0,015 N 1,344 1,344 1,410 r 0,50 0,50 0,50 mR 9 35 240 mT 9 35 240 Rmax 1×10-4 1×10-4 1×10-4 βr 0,1 0,1 0,1 χ 1 1 1

Annexe 9


Calage des paramètres en conditions drainées

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)


-0,035

-0,025

-0,015

-0,005

0,0050 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Déformations axiale

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique

26DC - Gasparre 200528DC - Gasparre 200537DC - Gasparre 200526DC - MC28DC - MC37DC - MC


Figure 1 – Calage des paramètres de MC sur les essais triaxiaux drainés de compression

Annexe 9


0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)


-0,035

-0,025

-0,015

-0,005

0,0050 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Déformation axiale

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique

26DC - Gasparre 200528DC - Gasparre 200537DC - Gasparre 200526DC - Janbu28DC - Janbu37DC - Janbu


Figure 2 – Calage des paramètres de Janbu sur les essais triaxiaux drainés de compression

Annexe 9


0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)


-0,035

-0,025

-0,015

-0,005

0,0050 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Déformation axiale

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique

26DC - Gasparre 200528DC - Gasparre 200537DC - Gasparre 200526DC - Fahey et Carter28DC - Fahey et Carter37DC - Fahey et Carter


Figure 3 – Calage des paramètres de Fahey & Carter sur les essais triaxiaux de compression

Annexe 9


0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)


-0,035

-0,025

-0,015

-0,005

0,0050 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Déformation axiale

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique

26DC - Gasparre 200528DC - Gasparre 200537DC - Gasparre 200526DC - FaheySoft28DC - FaheySoft37DC - FaheySoft


Figure 4 – Calage des paramètres de FaheySoft sur les essais triaxiaux drainés de compression

Annexe 9


0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)


-0,035

-0,025

-0,015

-0,005

0,0050 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Déformation axiale

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique

26DC - Gasparre 200528DC - Gasparre 200537DC - Gasparre 200526DC - Duncan et Chang28DC - Duncan et Chang37DC - Duncan et Chang


Figure 5 – Calage des paramètres de Duncan et Chang sur les essais triaxiaux drainés de compression

Annexe 9


0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)


-0,035

-0,025

-0,015

-0,005

0,0050 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Déformation axiale

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique

26DC - Gasparre 200528DC - Gasparre 200537DC - Gasparre 200526DC - HS28DC - HS37DC - HS


Figure 6 – Calage des paramètres du modèle HS sur les essais triaxiaux drainés de compression

Annexe 9


0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Déformation axiale

Con

train

te d

évia

toriq

ue (k

Pa)


-0,035

-0,025

-0,015

-0,005

0,0050 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Déformation axiale

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique

26DC - Gasparre 200528DC - Gasparre 200537DC - Gasparre 200526DC - HS-Small28DC - HS-Small37DC - HS-Small


Figure 7 – Calage des paramètres du modèle HS-Small sur les essais triaxiaux drainés de compression

Annexe 10


Annexe 10

Caractéristiques hypoplastiques du sol en faibles déformations et la cuvette des tassements transversale

Annexe 10


Afin d’étudier l’importance relative des paramètres élastiques retenus pour la simulation numérique en hypoplasticité, des analyses supplémentaires ont été menées en utilisant tout d’abord les paramètres calés sur les expérimentations. Après avoir modélisé le creusement à l’aide du jeu de paramètres retenus, une série de simulation a été ensuite effectuée dans laquelle chaque paramètre a été individuellement modifié de ±25%. L’influence relative de la variation des paramètres est illustrée sur les figures 1, 2, 3, 4 et 5. L’influence de la variation du paramètre « r » qui contrôle la rigidité du sol en grandes déformations est présentée sur la figure 1. Comme il a été démontré dans le calage des paramètres, ce paramètre joue un rôle important lors du calage des contraintes déviatoriques. Cette variation est ici examinée sur la cuvette des tassements transversale. La figure 1 montre que la variation de ce paramètre est importante sur la cuvette. A titre d’exemple, l’utilisation d’une valeur plus importante aboutit à une cuvette plus profonde mais également plus large. Il est donc difficile d’obtenir une cuvette moins profonde que celle expérimentale en faisant varier ce paramètre. L’influence de la variation du paramètre Rmax entre 1x10-5 et 1x10-4 autour de sa valeur de référence (5x10-5) est présentée en figure 2. Comme le montre cette figure, le paramètre Rmax a une forte influence sur la cuvette de tassement. A titre d’exemple, une augmentation de la valeur initiale conduit à une cuvette légèrement moins profonde mais nettement moins large et du coup, plus proche des grandeurs mesurées in situ. En faisant varier le paramètre mR, on obtient une réponse globalement similaire à celle obtenue lors de la variation du paramètre Rmax (Fig. 3). En effet, lors de l’augmentation du paramètre mR, le tassement maximal du sol reste constant mais on obtient une réponse légèrement plus proche de la cuvette expérimentale. Une réponse très similaire mais moins significative est obtenue en variant le paramètre χ (Fig. 4). Le paramètre βr a une légère influence sur la cuvette des tassements dans le sens inverse par rapport aux autres paramètres (Fig. 5).

-25

-20

-15

-10

-5

00 10 20 30 40


Tass

emen

t (m

m)

MesuresRefRef + 25%Ref - 25%

Figure 1 – Influence de la variation du paramètre r sur la cuvette de tassement

Annexe 10


-25

-20

-15

-10

-5

00 10 20 30 40


Tass

emen

t (m

m)

MesuresRef (Rmax = 5e-5)Rmax = 1e-4Rmax = 1e-5

Figure 2 – Influence de la variation du paramètre Rmax sur la cuvette de tassement

-25

-20

-15

-10

-5

00 10 20 30 40


Tass

emen

t (m

m)


Figure 3 – Influence de la variation du paramètre mR sur la cuvette de tassement

Annexe 10


-25

-20

-15

-10

-5

00 10 20 30 40


Tass

emen

t (m

m)


Figure 4 – Influence de la variation du paramètre χ sur la cuvette de tassement

-25

-20

-15

-10

-5

00 10 20 30 40


Tass

emen

t (m

m)


Figure 5 – Influence de la variation du paramètre βr sur la cuvette de tassement

FOLIO ADMINISTRATIF

THESE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

NOM : HEJAZI DATE de SOUTENANCE : 16 septembre 2010 (avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant) Prénoms : Yousef TITRE : Influence de la prise en compte des modules en petites déformations des sols sur la modélisation numérique d’ouvrages géotechniques NATURE : Doctorat Numéro d'ordre : 2010-ISAL-0061 Ecole doctorale : Mécanique, Energétique, Génie Civil, Acoustique (MEGA) Spécialité : Génie Civil Cote B.I.U. - Lyon : T 50/210/19 / et bis CLASSE : RESUME : Compte tenu de leur capacité d’intégrer la complexité de la géométrie, le comportement du sol environnant ou encore les processus du creusement lors de l’évaluation des mouvements engendrés par l’exécution d’un ouvrage souterrain, les méthodes numériques deviennent de plus en plus indispensables en phase de dimensionnement. La pratique des travaux souterrains a d’ailleurs démontré que la plupart des ouvrages sont dans le domaine des petites déformations où le comportement de sol nécessite alors l’incorporation de modèles capables de représenter le comportement du sol sous petites déformations. Ce travail de thèse constitue une contribution à l’étude numérique de l’influence de la prise en compte des modules en petites déformations et de l’anisotropie des sols lors du creusement d’un ouvrage souterrain. Pour cela, une série de modèles permettant de simuler la raideur du sol croissante en fonction de la profondeur, la raideur plus élevée sous faibles déformations, la non linéarité du comportement en petites déformations, l’histoire des sollicitations et le radoucissement en grandes déformations a été retenue et implémentée dans le code de calcul en différence finies FLAC3D. Ces modèles ont été ensuite validés sur différents chemins de sollicitations avant qu’ils soient appliqués à la simulation d’ouvrages souterrains peu profonds dans de l’argile surconsolidée de Londres. Une des conclusions de ce travail de recherche réside dans le fait que l’introduction de la non linéarité du sol sous faibles déformations conduit à une prédiction bien meilleure des mouvements du sol autour d’un ouvrage souterrain creusé dans des argiles anisotropes et fortement surconsolidées. Un autre des phénomènes clés à prendre en compte est l’état caractéristique des sols. MOTS-CLES : Petites déformations, Anisotropie, Comportement non linéaire des géomatériaux, modélisation numérique, Ouvrages géotechniques. Laboratoire (s) de recherche : Laboratoire de Génie Civil et d’ingénierie environnementale (LGCIE) Directeur de thèse: Richard KASTNER et Daniel DIAS Président de jury : Composition du jury : Juan MARTINEZ, Hussein MROUEH, Hanna YANNI, Frédéric PELLET, Richard KASTNER, Daniel DIAS

n° d’ordre 2010-isal-0061 année 2010 présentée...

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