présentée devant l’institut national des sciences...

N° d’ordre 2006-ISAL-00129 Année 2006

Thèse

ETUDE DE L’ATTENUATION DES ONDES ULTRASONORES. APPLICATION AU CONTROLE NON DESTRUCTIF DES

SOUDURES EN ACIER INOXYDABLE AUSTENITIQUE

présentée devant

L’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

pour obtenir

le grade de docteur

Ecole doctorale : MEGA

par

Marie-Aude PLOIX

Soutenue le 20 décembre 2006 devant la Commission d’examen

Jury

CONOIR Jean-Marc Directeur de recherche CNRS, LAUE Rapporteur ELGUERJOUMA Rachid Professeur, LAUM Directeur de thèse GUY Philippe Maître de conférence, GEMPPM LHEMERY Alain HDR, Ingénieur de recherche, CEA Rapporteur MOYSAN Joseph HDR, LCND ROYER Daniel Professeur, LOA Président du jury Membres invités : CHASSIGNOLE Bertrand Ingénieur de recherche, EDF R&D CORNELOUP Gilles Professeur, LCND Directeur de thèse

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SOMMAIRE

Introduction générale........................................................................................ 11

CHAPITRE 1

PROBLEMATIQUE DU CONTROLE NON DESTRUCTIF DES SOUDURES ANISOTROPES HETEROGENES ............................................................................. 15

1.1. Contexte de l’étude.......................................................................................................... 16

1.1.1. Métallurgie des soudures en acier inoxydable austénitique ....................................... 16 1.1.2. Le contrôle non destructif par ultrasons ..................................................................... 18 1.1.3. Modélisation des soudures : approximation en sous-domaines homogènes............... 21

1.2. Propagation ultrasonore à travers un milieu homogène anisotrope .......................... 24

1.2.1. Equation de Christoffel ............................................................................................... 24 1.2.2. Courbes des lenteurs : généralités et exemples .......................................................... 26 1.2.3. Coefficients de transmission en incidence quelconque ............................................... 28

1.3. Atténuation et bruit de structure................................................................................... 34

1.3.1. Généralités et définition de l’atténuation.................................................................... 34 1.3.2. Modèles théoriques de l'atténuation dans les matériaux polycristallins .................... 37 1.3.3. Méthodes de mesure de l'atténuation ultrasonore ...................................................... 46

1.4. Description des échantillons étudiés .............................................................................. 51

1.4.1. Découpe....................................................................................................................... 51 1.4.2. Propriétés élastiques ................................................................................................... 52

1.5. Synthèse et objectifs ........................................................................................................ 55

CHAPITRE 2

METHODE CLASSIQUE DE MESURE DE L’ATTENUATION EN TRANSMISSION...... 57

2.1. Principe de la mesure...................................................................................................... 58

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2.2. Mesure de la vitesse de phase ......................................................................................... 61

2.2.1. Dispersion de vitesse : méthode de déroulement de phase ......................................... 61 2.2.2. Calcul d'incertitude ..................................................................................................... 64 2.2.3. Méthodes d'intercorrélation et de Hilbert................................................................... 65 2.2.4. Résultats et comparaison ............................................................................................ 68

2.3. Mesure de la dispersion d'atténuation .......................................................................... 70

2.3.1. Méthode de calcul ....................................................................................................... 70 2.3.2. Calcul d'incertitude ..................................................................................................... 71 2.3.3. Résultats de mesure en fonction de la fréquence ........................................................ 72 2.3.4. Evolution de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains ............................ 78

2.4. Synthèse et discussion ..................................................................................................... 82

CHAPITRE 3

MESURE DE L'ATTENUATION PAR DECOMPOSITION DU FAISCEAU EN SPECTRE D’ONDES PLANES ................................................................................................. 85

3.1. Dispositif expérimental et principe général .................................................................. 86

3.2. Mesures point par point.................................................................................................. 88

3.2.1. Principe ....................................................................................................................... 88 3.2.2. Cartographies du faisceau ultrasonore....................................................................... 89

3.3. Décomposition en spectre angulaire d'ondes planes .................................................... 92

3.3.1. Cartographie spectrale ............................................................................................... 92 3.3.2. Spectre d'ondes planes ................................................................................................ 93

3.4. Application des coefficients de transmission ................................................................ 95

3.4.1. Calcul des coefficients de transmission ...................................................................... 95 3.4.2. Comparaison des résultats ........................................................................................ 100

3.5. Calcul de l'atténuation.................................................................................................. 102

3.5.1. Formulation............................................................................................................... 102 3.5.2. Résultats expérimentaux............................................................................................ 103

3.6. Conclusions et perspectives .......................................................................................... 106

5

CHAPITRE 4

DISCUSSION ET EXPLOITATION DES RESULTATS ....................................... 109

4.1. Synthèse des travaux expérimentaux .......................................................................... 110

4.1.1. Technique classique de mesure de la vitesse et de l’atténuation .............................. 110 4.1.2. Estimation de l’atténuation avec décomposition des faisceaux ................................ 110

4.2. Intégration de l'atténuation dans le code de calcul ATHENA.................................. 111

4.2.1. Le code ATHENA [FOU 03, TSO 99]....................................................................... 111 4.2.2. Modélisation à l'échelle du grain [SCH 06] ............................................................. 113 4.2.3. Intégration de l'atténuation par diffusion à ATHENA [DUW 06] ............................ 114 4.2.4. Résultats de simulation et comparaison.................................................................... 116 4.2.5. Conclusions ............................................................................................................... 120

Conclusion générale et perspectives .............................................................. 121

Références bibliographiques ............................................................................................... 125

Annexe 1 : Résolution de l'équation de Christoffel............................................................... 131

Annexe 2 : Rotation d'un tenseur orthotrope autour de l'axe 2.............................................. 135

Annexe 3 : Mesures d'atténuation en ondes transversales..................................................... 137

Annexe 4 : Détermination de la taille et de l'orientation des grains ...................................... 139

Annexe 5 : Etablissement des matrices permettant le calcul des coefficients de réflexion et

transmission............................................................................................................................ 141

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LISTE DES FIGURES Figure ‎1.1 : Circuit primaire des réacteurs à eau pressurisée. ............................................................... 16 Figure ‎1.2 : Macrographie d'une soudure multipasses en acier inoxydable austénitique...................... 17 Figure ‎1.3 : Propagation et polarisation des ondes longitudinales (a) et transversales (b).................... 18 Figure ‎1.4 : Définition de la vitesse de phase et de la vitesse d'énergie. ............................................... 19 Figure ‎1.5 : Propagation d'un faisceau émis par une source de dimensions finies................................ 20 Figure ‎1.6 : Déviation théorique ∆ du faisceau en fonction de l'angle θ formé par le faisceau et

l'orientation des grains dans du métal soudé austénitique [EDE 86]. ................................ 21 Figure ‎1.7 : Variations de la largeur du faisceau dues à l'effet de déviation [EDE 86]......................... 21 Figure ‎1.8 : Exemple de microstructure des soudures étudiées : (a) Macrographie – (b) et (c)

Description en sous-domaines homogènes orthotropes – (d) Simulation de la propagation............................................................................................................................................ 22

Figure ‎1.9 : Schéma des angles définissant la direction de propagation dans le matériau. ................... 26 Figure ‎1.10 : Courbes des lenteurs (grains: 0°, plan: 0) avec les directions de polarisation. ................ 27 Figure ‎1.11 : Courbes des lenteurs (grains: 45°, plan: 30) : absence de symétrie. ................................ 27 Figure ‎1.12 : Incidence quelconque à une interface liquide/solide : loi de Snell-Descartes. ................ 29 Figure ‎1.13 : Visualisation des six solutions mathématiques sur les courbes des lenteurs. .................. 30 Figure ‎1.14 : Trois cas de choix des solutions physiquement admissibles............................................ 32 Figure ‎1.15 : Décroissance exponentielle des échos en négligeant la diffraction [GOE 80]. ............... 35 Figure ‎1.16 : Diffusion par une hétérogénéité....................................................................................... 36 Figure ‎1.17 : Schéma du principe de la diffusion multiple. .................................................................. 37 Figure ‎1.18 : Vitesse de phase normalisée des (a) OL, (b) OTH, (c) OTV, en fonction de la direction

de propagation par rapport à l’axe d’orientation des grains [HIR 86]. .............................. 40 Figure ‎1.19 : Coefficient de diffusion normalisé des (a) OL, (b) OTH, (c) OTV, en fonction de la

direction de propagation par rapport à l’axe d’orientation des grains [HIR 86]. ............... 40 Figure ‎1.20 : Coefficient d'atténuation normalisé des (a) OL, (b) OT, dans un aluminium

polycristallin, en fonction de la fréquence normalisée [STA 84]. ..................................... 42 Figure ‎1.21 : Coefficient d'atténuation normalisé des (a) OL, (b) OTH, (c) OTV, en fonction de la

direction de propagation, pour différentes fréquences normalisées [TUR 99]. ................. 43 Figure ‎1.22 : Coefficient d'atténuation normalisé des OL (a) en fonction de la fréquence normalisée,

(b) en fonction de la direction de propagation [AHM 92]. ................................................ 45 Figure ‎1.23 : Coefficient d'atténuation normalisé des OTH (a) en fonction de la fréquence normalisée,

(b) en fonction de la direction de propagation [AHM 92]. ................................................ 45 Figure ‎1.24 : Principe de la mesure au contact, en mode réflexion....................................................... 48 Figure ‎1.25 : Exemples de dispositifs en immersion : (a) réflexion avec échos successifs [KUM 96,

BAD 03], (b) transmission avec mesure de référence [JEO 95, WAN 01]. ...................... 50 Figure ‎1.26 : Schéma de la découpe des échantillons. .......................................................................... 52 Figure ‎1.27 : Figures de pôle : (a) principe et (b) figure de pôle 100 expérimentale. ....................... 53 Figure ‎1.28 : Repère associé à la description élastique du Tableau ‎1.4. ............................................... 54 Figure ‎2.1 : Schéma du dispositif expérimental. ................................................................................... 59 Figure ‎2.2 : Réglages du dispositif. ....................................................................................................... 59 Figure ‎2.3 : Recalage des signaux pour calculer la différence de phase. .............................................. 63 Figure ‎2.4 : Exemple de parties linéaire et dispersive de la phase. ....................................................... 63 Figure ‎2.5 : Incertitude de la vitesse dans l'eau en fonction de la température. .................................... 64 Figure ‎2.6 : Fonction d'intercorrélation de deux signaux. ..................................................................... 67 Figure ‎2.7 : Transformée de Hilbert du rapport de deux spectres. ........................................................ 67

8

Figure ‎2.8 : Courbes de dispersion de la vitesse de phase pour chaque échantillon. ............................ 69 Figure ‎2.9 : Courbes théorique et expérimentale de la vitesse de phase en fonction de l’angle

faisceau/grains à 2,25 MHz. .............................................................................................. 70 Figure ‎2.10 : Courbes de dispersion de l’atténuation pour chaque échantillon..................................... 72 Figure ‎2.11 : Filtrage d'un signal par une fenêtre rectangulaire (a) et de Hanning (b).......................... 73 Figure ‎2.12 : Courbes de dispersion de l’atténuation après filtrage des signaux. ................................. 74 Figure ‎2.13 : Pression normalisée sur l'axe d’un émetteur de diamètre 0,5" à 2,25 MHz..................... 74 Figure ‎2.14 : Raccordement des courbes de dispersion de l’atténuation de 1,5 à 10 MHz. .................. 76 Figure ‎2.15 : Lois d'atténuation de différents échantillons de soudure et du métal de base.................. 76 Figure ‎2.16 : Courbe de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains à 2,25 MHz. ................. 78 Figure ‎2.17 : Courbes de vitesse et de déviation des ondes longitudinales : comparaison entre la

soudure de notre étude et la soudure étudiée par Seldis. ................................................... 79 Figure ‎2.18 : Atténuation en fonction de l'orientation des grains : comparaison avec les valeurs

mesurées par Seldis [SEL 00]. ........................................................................................... 80 Figure ‎2.19 : Atténuation à 2,25 MHz en fonction de l'orientation des grains : résultats du modèle

d'Ahmed pour différentes valeurs de (d;h), avec d/h=0.05................................................ 80 Figure ‎3.1 : Dispositif expérimental. ..................................................................................................... 86 Figure ‎3.2 : Visualisation du faisceau en fonction de la distance à l'émetteur. ..................................... 87 Figure ‎3.3 : Vues de dessus (a) et de face (b) des zones scannées par le récepteur. ............................. 88 Figure ‎3.4 : Exemples de variations d’amplitude en fonction de la distance entre l’échantillon et le

récepteur (échantillons : 10 et 85°). ................................................................................... 89 Figure ‎3.5 : Image du faisceau incident................................................................................................. 90 Figure ‎3.6 : Image du faisceau transmis à travers l'échantillon de métal de base. ................................ 90 Figure ‎3.7 : Images du faisceau transmis à travers chaque échantillon de soudure. ............................. 91 Figure ‎3.8 : Diagramme de rayonnement d’un émetteur circulaire en champ lointain : schéma de la

décomposition d'un faisceau en somme d'ondes planes..................................................... 92 Figure ‎3.9 : Schéma du principe de calcul du spectre d'ondes planes. .................................................. 92 Figure ‎3.10 : Cartographie spectrale en amplitude du faisceau incident à 2,25 MHz. .......................... 93 Figure ‎3.11 : Spectre d'ondes planes du faisceau incident à 2,25 MHz : cartographie (a) et coupe

horizontale, à 03 =k (b). ................................................................................................. 94

Figure ‎3.12 : Spectre d'ondes planes du faisceau incident : tracé sous forme angulaire. ...................... 94 Figure ‎3.13 : Diagramme de rayonnement expérimental du faisceau. .................................................. 95 Figure ‎3.14 : Repère de travail pour le calcul des coefficients de transmission.................................... 96 Figure ‎3.15 : Conversions de mode dans un plan non principal............................................................ 97 Figure ‎3.16 : Détermination des ondes réfléchies en deuxième interface. ............................................ 98 Figure ‎3.17 : Amplitude des coefficients de transmission globale pour une orientation de grains de 10°

: cartographie (a) et coupe dans le plan φ =0° (b). .......................................................... 100 Figure ‎3.18 : Comparaison des cartographies spectrales "théoriques" et expérimentales en amplitude à

2,25 MHz, pour chaque orientation de grain (échelle de couleur en dB). ....................... 101 Figure ‎3.19 : Atténuation mesurée en fonction de l’orientation des grains, à 2,25 MHz, avec

l’hydrophone en réception. .............................................................................................. 103 Figure ‎3.20 : Atténuation globale en fonction de l’orientation des grains à 2,25 MHz avec le capteur de

0,5" en réception. ............................................................................................................. 104 Figure ‎3.21 : Atténuation globale en fonction de l’orientation des grains à 2,25 MHz en tenant compte

de la désorientation des grains de 5° dans le sens de soudage (rouge). ........................... 105 Figure ‎3.22 : Atténuation locale pour ( 02 =k ; 03 =k ) en fonction de l’orientation des grains à 2,25

MHz comparée aux résultats de la méthode classique (petites croix bleues). ................. 105

9

Figure ‎3.23 : Transmission totale des modes longitudinal et transversal, pour des grains orientés à 0° (a) et à 35° (b). ................................................................................................................. 106

Figure ‎4.1 : Exemple de simulation de la propagation d'un faisceau ultrasonore (b) à partir de la description en sous-domaines orthotropes de la soudure (a). .......................................... 112

Figure ‎4.2 : Exemple d'une soudure décrite à l'échelle des grains [SCH 06]. ..................................... 114 Figure ‎4.3 : Vitesses (m/s) des OL (gauche) et des OT (droite) en fonction de l'orientation des grains :

données expérimentales (trait plein) et calage (pointillés)............................................... 116 Figure ‎4.4 : Atténuations (Np/m) des OL (gauche) et des OT (droite) en fonction de l'orientation des

grains : données expérimentales (trait plein) et calage (pointillés).................................. 116 Figure ‎4.5 : Atténuations (Np/m) des OL (gauche) et des OT (droite) en fonction de l'orientation des

grains : données expérimentales (trait plein) et calage (pointillés).................................. 117 Figure ‎4.6 : Schéma de la structure de la soudure D704. .................................................................... 117 Figure ‎4.7 : Structure de la soudure D717B [CHA 00]. ...................................................................... 118 Figure ‎4.8 : Configuration de contrôle pour la soudure D704............................................................. 118 Figure ‎4.9 : Exemple de représentation de type B pour le contrôle en L60 de la soudure D704. ....... 119 Figure ‎4.10 : Amplitudes étudiées pour la soudure D717B. ............................................................... 119

10

LISTE DES TABLEAUX Tableau ‎1.1 : Composition du métal d'apport des soudures industrielles.............................................. 17 Tableau ‎1.2 : Définition des trois régions de diffusion. ........................................................................ 37 Tableau ‎1.3 : Composition du métal d'apport de la soudure-école (D704). .......................................... 52 Tableau ‎1.4 : Constantes d'élasticité de la soudure d'étude D704 (en GPa) [CHA 00]......................... 53 Tableau ‎2.1 : Incertitudes sur les mesures de vitesse à 2,25 MHz. ....................................................... 65 Tableau ‎2.2 : Comparaison des valeurs des vitesses de phase obtenues par les trois méthodes pour

chaque échantillon (m/s). ................................................................................................... 68 Tableau ‎2.3 : Incertitudes sur les mesures d'atténuation à 2,25 MHz. .................................................. 72 Tableau ‎2.4 : Comparaison des valeurs de constantes d’élasticité avec celles des échantillons de Seldis

[SEL 00] (GPa). ................................................................................................................. 79 Tableau ‎4.1 : Résultats de simulation comparés à l'expérience pour chaque cas. ............................... 120

Introduction générale

11

INTRODUCTION GENERALE

Les tuyauteries des circuits primaires des centrales nucléaires sont soumises à de fortes

contraintes dues au fonctionnement à haute température et à haute pression. C’est pourquoi

elles sont réalisées en acier inoxydable austénitique, qui présente de nombreux avantages en

termes de résistance à la corrosion et d’utilisation aux températures élevées. Par ailleurs, ces

tuyauteries sont assemblées par soudage, et le contrôle de l’intégrité des soudures est donc

indispensable. Ainsi, le contrôle non destructif est utilisé pour détecter d’éventuels défauts et

les caractériser de manière à évaluer leur nocivité.

Les techniques ultrasonores s’avèrent efficaces, en complément de la radiographie, pour la

localisation en profondeur et le dimensionnement des défauts. Mais les soudures

austénitiques, élaborées par dépôt de passes successives du métal d’apport, possèdent une

structure fortement anisotrope et hétérogène. La forte anisotropie est causée par la croissance

cristalline, selon le gradient thermique local, qui se développe lors de la solidification du

métal déposé. L’hétérogénéité vient du fait que les grains présentent des directions de

croissance différentes selon les passes et leur enchaînement. Ces deux caractéristiques

perturbent la propagation des ondes ultrasonores : le faisceau peut subir des déformations

(déviation, division…) et une diminution d’amplitude due à la diffusion aux joints des grains.

La contrôlabilité du composant peut alors, dans certains cas, présenter des difficultés

importantes.

Il est donc essentiel de bien comprendre comment se propagent les ondes ultrasonores dans ce

type de soudure, afin de pouvoir émettre un jugement fiable quant à l’état de santé du

composant contrôlé. Pour cela, un code de calcul, appelé ATHENA, a été développé par EDF

R&D et l’INRIA. Il modélise la propagation des ultrasons dans les structures anisotropes

hétérogènes à partir de la description élastique de chaque sous-domaine homogène de la

structure. Par ailleurs, depuis une dizaine d’années, différentes études ont été menées pour

mieux appréhender les phénomènes de propagation et améliorer leur modélisation. Une

première thèse a permis de valider l’hypothèse d’une décomposition des soudures multipasses


12

en zones anisotropes homogènes [CHA 00], et un second travail a abouti à l’élaboration d’un

modèle, appelé MINA, qui prédit de manière non destructive les orientations des grains dans

une soudure donnée [APF 05a]. Ces études ont notamment permis une meilleure

compréhension des phénomènes de déviation du faisceau. Par contre les phénomènes liés à la

diffusion aux joints des grains, se manifestant par une atténuation et un bruit de structure,

n’ont été que partiellement étudiés et n’ont pas été intégrés dans le code de simulation. En

effet, ces phénomènes de diffusion sont difficiles à prévoir car ils dépendent de l’orientation,

de la géométrie et des propriétés élastiques des grains.

Nous nous intéressons plus particulièrement ici à l’atténuation par diffusion. La bibliographie

menée a montré la complexité de ce phénomène, tant pour le modéliser que pour le mesurer,

en particulier dans les structures anisotropes hétérogènes telles que les soudures multi-passes

en acier inoxydable austénitique. Le travail exposé dans ce manuscrit a pour but d’apporter

des réponses à ce problème, d’étudier et de quantifier l’atténuation ultrasonore par diffusion

en fonction de l’orientation des grains, afin de fournir des valeurs fiables au modèle de

propagation.

Nous commençons dans le premier chapitre par détailler le contexte de l’étude, en insistant

sur l’aspect métallurgique, et les conséquences pour le contrôle ultrasonore. Puis la théorie

générale de la propagation ultrasonore à travers un matériau de structure hétérogène et

anisotrope est développée et appliquée aux soudures. Nous expliquons ensuite le phénomène

d’atténuation, intimement lié au bruit de structure, et présentons quelques modèles théoriques

et méthodes de mesure expérimentales permettant d’accéder à l’atténuation par diffusion dans

les milieux anisotropes homogènes. Cela nous conduit d’une part à identifier le modèle

théorique correspondant le mieux à notre étude, afin d’effectuer une comparaison avec les

mesures, et d’autre part à choisir une première méthode de mesure que nous développons

dans le chapitre suivant.

Le second chapitre expose donc la première technique expérimentale de mesure de

l’atténuation des ondes longitudinales. C’est la technique la plus couramment utilisée pour la

caractérisation des matériaux. Elle s’effectue en immersion, en transmission et en incidence

normale, et est basée sur la comparaison entre le faisceau propagé dans l’eau et le faisceau

ayant traversé l’échantillon inséré entre l’émetteur et le récepteur. Nous présentons la

méthode de calcul de la vitesse de phase et de l’atténuation à partir de ces deux mesures. Puis


13

les résultats sont analysés, en les comparant aux résultats expérimentaux et théoriques de la

littérature. Nous montrons que la méthode de mesure a ses limites, dont la principale est la

non prise en compte des effets de l’ouverture angulaire du faisceau, particulièrement sensible

pour un matériau anisotrope. C’est pourquoi une seconde approche, plus précise, est alors

étudiée.

Cette seconde voie de travail, exposée dans le troisième chapitre, repose sur la mesure point

par point des faisceaux et la modélisation de la transmission du faisceau incident à travers les

échantillons. Les réalités physiques du faisceau (en particulier son ouverture) et du matériau

(son anisotropie) peuvent alors être prises en compte, par le biais de la décomposition des

faisceaux en spectres angulaires d’ondes planes, et l’application des coefficients de

transmission en incidence quelconque à chaque composante en onde plane du faisceau

incident. Nous montrons que cette méthode donne de meilleurs résultats.

Le dernier chapitre vise à exploiter ces résultats en les intégrant au code de calcul ATHENA.

Nous commençons ce chapitre en effectuant une synthèse des différents résultats de mesure.

Puis le principe de fonctionnement du code ATHENA est exposé, pour expliquer la manière

dont l’atténuation a pu être intégrée. Les confrontations des simulations aux expériences

mettent en évidence l’importance de la prise en compte de l’atténuation. Par ailleurs, la bonne

cohérence entre simulations et essais ultrasonores valide les valeurs d’atténuation mesurées

expérimentalement.

La conclusion rappelle la difficulté d’estimer avec précision l’atténuation par diffusion, mais

montre que la méthode basée sur la mesure point par point donne de très bons résultats. Elle

est plus précise que la méthode classique utilisée a priori. Elle permet en effet de prendre en

compte la réalité du faisceau ultrasonore et l’anisotropie du matériau. Nous proposons

finalement des perspectives à ce travail, notamment la mesure précise de l’atténuation des

ondes transversales.

15

1. PROBLEMATIQUE DU CONTROLE NON DESTRUCTIF DES SOUDURES ANISOTROPES HETEROGENES

1.1. Contexte de l’étude.......................................................................................................... 16

1.1.1. Métallurgie des soudures en acier inoxydable austénitique ........................................ 16 1.1.2. Le contrôle non destructif par ultrasons...................................................................... 18

1.1.2.1. Généralités......................................................................................................................18 1.1.2.2. Le contrôle des soudures austénitiques ..........................................................................20

1.1.3. Modélisation des soudures : approximation en sous-domaines homogènes ............... 21 1.1.3.1. Description de la soudure...............................................................................................22 1.1.3.2. Simulation de la propagation ultrasonore......................................................................23

1.2. Propagation ultrasonore à travers un milieu homogène anisotrope .......................... 24

1.2.1. Equation de Christoffel ............................................................................................... 24 1.2.2. Courbes des lenteurs : généralités et exemples ........................................................... 26 1.2.3. Coefficients de transmission en incidence quelconque............................................... 28

1.2.3.1. Equation et résolution ....................................................................................................28 1.2.3.2. Détermination des trois solutions physiquement admissibles ........................................29 1.2.3.3. Calcul des coefficients de réflexion et de transmission ..................................................33

1.3. Atténuation et bruit de structure................................................................................... 34

1.3.1. Généralités et définition de l’atténuation .................................................................... 34 1.3.2. Modèles théoriques de l'atténuation dans les matériaux polycristallins...................... 37

1.3.2.1. Description de quelques modèles .................................................................................. 37 1.3.2.2. Synthèse ......................................................................................................................... 45

1.3.3. Méthodes de mesure de l'atténuation ultrasonore ....................................................... 46 1.3.3.1. Méthodes au contact .......................................................................................................47 1.3.3.2. Méthodes sans contact....................................................................................................49 1.3.3.3. Méthodes en immersion ..................................................................................................49 1.3.3.4. Choix de la méthode de mesure : immersion et transmission.........................................51

1.4. Description des échantillons étudiés .............................................................................. 51

1.4.1. Découpe....................................................................................................................... 51 1.4.2. Propriétés élastiques.................................................................................................... 52

1.5. Synthèse et objectifs ........................................................................................................ 55

Chapitre 1. Problématique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes

16

Ce chapitre expose la problématique liée au contrôle non destructif par ultrasons des

matériaux anisotropes hétérogènes tels que les soudures multipasses en acier inoxydable

austénitique. Le contexte de l'étude est d'abord présenté via les aspects métallurgique et

ultrasonore. Puis la théorie liée au problème de la propagation des ondes et à leur transmission

à travers un milieu anisotrope est étudiée. Une étude bibliographique sur les travaux

théoriques et expérimentaux concernant l'atténuation est ensuite réalisée. Une fois la première

technique expérimentale choisie pour les mesures, les échantillons étudiés seront alors décrits.

1.1. Contexte de l’étude

1.1.1. Métallurgie des soudures en acier inoxydable austénitique

Les aciers inoxydables austénitiques sont fréquemment utilisés pour leurs propriétés de

grande résistance à la corrosion et de bonne performance mécanique aux températures

élevées. En effet, ils conservent leur structure austénitique aussi bien à température ambiante

qu'aux hautes températures. L'acier AISI 316L (Dénomination AFNOR : Z2CND17-13) est

en particulier utilisé en raison de sa composition présentant un faible pourcentage de ferrite δ

qui permet de dissoudre en grande partie les impuretés et donc de minimiser la formation de

microségrégations, qui peuvent être des points de départ de fissures sous l'effet des contraintes

thermiques [BAI 77]. Du fait de ces propriétés, l’acier 316L est utilisé comme métal d’apport

pour de nombreuses soudures du circuit primaire des centrales nucléaires à réacteurs à eau

pressurisée (Figure 1.1). Ces soudures étant de taille importante, elles sont élaborées par

superposition de passes (ou cordons) successives (Figure 1.2).

Figure 1.1 : Circuit primaire des réacteurs à eau pressurisée.


17

Figure 1.2 : Macrographie d'une soudure multipasses en acier inoxydable austénitique.

La composition du métal d’apport des soudures industrielles en acier 316L est détaillée dans

le Tableau 1.1. Par ailleurs, l’étude porte sur des soudures réalisées par procédé manuel à

l'électrode enrobée. Elles présentent une microstructure texturée induite par la croissance des

grains lors du procédé de soudage et de la solidification. En effet, les grains sont allongés (en

forme de "cigare") selon un axe cristallographique <100>.

Elément Cr Ni Mo Mn Si C P S

Teneur (%) 19 12.5 2.3 1.6 0.5 0.03 0.016 0.01

Tableau 1.1 : Composition du métal d'apport des soudures industrielles.

Plusieurs facteurs entrent en jeu lors de la croissance des grains : la direction du gradient

thermique et les phénomènes de croissance par épitaxie et de croissance sélective. La

direction locale de croissance des grains aura tendance à suivre la direction du gradient

thermique local. Ce dernier est notamment influencé par la position de soudage (soudure à

plat, verticale, plafond…) et par l'ordre d'enchaînement des passes. Le phénomène d'épitaxie

signifie que les cristaux d'une passe qui vient d'être déposée vont adopter l'orientation des

cristaux sur lesquels ils reposent. D'autre part, la croissance sélective implique que les grains

colonnaires dont l'axe cristallographique <100> coïncide le mieux avec la direction du

gradient thermique auront tendance à croître préférentiellement par rapport aux autres grains.

En effet, la croissance des grains le long du gradient thermique est plus rapide dans la

direction de l'axe cristallographique <100>, et les grains dont l'orientation est défavorable

finissent par disparaître [TOM 80]. Les grains peuvent alors atteindre plusieurs millimètres de

longueur.

1 cm 1

2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 131415 16 17

18 19 20 2122 23 24 25

ordre d'enchaînement des passes


18

En conclusion, les soudures présentent à la fois un caractère anisotrope (croissance des grains

selon une direction cristallographique privilégiée) et hétérogène (l’orientation des grains varie

d’une zone à l’autre de la soudure).

1.1.2. Le contrôle non destructif par ultrasons

1.1.2.1. Généralités

Les méthodes de contrôle non destructif sont nombreuses. Le contrôle par ultrasons est

fréquemment utilisé car il présente de nombreux avantages : facilité de mise en œuvre,

possibilité de travailler sur une seule face de la pièce à contrôler (pas besoin d'un accès à la

deuxième face), et capacité à traverser d'importantes épaisseurs de matière en fonction de la

fréquence de travail. De plus, l'existence de relations entre la propagation des ultrasons et les

caractéristiques du matériau permet sa caractérisation. L'utilisation des ultrasons offre donc la

possibilité, sans aucune détérioration, d'une part de caractériser des matériaux afin d'en

connaître les propriétés élastiques, et d'autre part de contrôler des pièces pour vérifier leur

intégrité et repérer d'éventuels défauts d'élaboration (inclusions, soufflures, défauts de

collage…) ou d'endommagement dû aux sollicitations (fissures…).

Les ondes ultrasonores les plus couramment utilisées pour la caractérisation et le contrôle sont

les ondes de volume longitudinales (ou de compression) et transversales (ou de cisaillement).

Une onde longitudinale (resp. transversale) a la direction de vibration des particules (appelée

polarisation) parallèle (resp. perpendiculaire) à sa direction de propagation (Figure 1.3).

Figure 1.3 : Propagation et polarisation des ondes longitudinales (a) et transversales (b).

La propagation des ondes dépend directement des propriétés élastiques du milieu traversé.

Comme nous le verrons dans le paragraphe 1.2, la résolution de l’équation de Christoffel

donne les vitesses et les directions de polarisation des ondes pouvant se propager dans une

direction donnée. Elles sont définies par leur direction de propagation n , leur nombre d'onde

Vk ω= (ω : pulsation, V : vitesse de propagation), et leur vecteur de polarisation P .

Direction de propagation

Vibration des particules

a)

b)


19

Dans le cas général d'un milieu anisotrope, on trouve trois ondes de vitesses différentes et de

directions de polarisation perpendiculaires entre elles. L'une de ces ondes a sa direction de

polarisation proche de sa direction de propagation : c'est l'onde quasi-longitudinale, notée L.

Les deux autres sont des ondes dites quasi-transversales. L'une sera dite horizontale, et l'autre,

verticale, par rapport au plan de propagation considéré, notées TH et TV respectivement. La

connaissance de ces éléments permet de prévoir la façon de se propager des ondes

ultrasonores et donc de détecter d'éventuels défauts dans les pièces contrôlées.

D'autre part, dans les matériaux anisotropes, il faut distinguer la vitesse de phase et la vitesse

d'énergie (ou vitesse de groupe). En effet, ces deux vecteurs ne coïncident pas forcément du

fait de la déviation de l'énergie causée par l'anisotropie du matériau traversé (Figure 1.4). La

vitesse de phase désigne la vitesse du front d'onde. Le vecteur vitesse de phase est donc

perpendiculaire au front d'onde. En revanche, la vitesse d'énergie représente la vitesse de

propagation de l'énergie, dans la direction du flux d'énergie. Ces deux vitesses sont liés par la

relation suivante : αcosVV énergiephase = , où α est l'angle que forment les deux vecteurs. La

théorie fait en général intervenir la vitesse de phase dans les équations. Nous rentrerons plus

en détail dans la théorie de la propagation dans les milieux anisotropes dans le paragraphe 1.2.

Figure 1.4 : Définition de la vitesse de phase et de la vitesse d'énergie.

Le phénomène de diffraction d'un faisceau d’ultrasons est également important à prendre en

compte. En effet, les dimensions finies de la source utilisée pour générer les ultrasons

implique un phénomène de diffraction (ou divergence) du champ ultrasonore émis. Dans le

cas d'une source circulaire de diamètre D , l'ouverture du faisceau peut être calculée par le

biais de la formule : D.sin λδ 221= , où λ est la longueur d'onde. Le faisceau sera donc

plus ou moins ouvert selon la taille de la source, la fréquence de travail et le milieu de

propagation (Figure 1.5). On distingue alors deux zones de propagation : le champ proche, où

le faisceau est droit et où l'amplitude oscille, et le champ lointain, où le faisceau est ouvert

mais où l'amplitude décroît de façon monotone. La limite entre ces deux zones, appelée limite

vitesse de phase ⊥ front d'onde vitesse d'énergie // flux d'énergie

matériau anisotrope

émetteur

α


20

de champ proche, se situe à la distance λ42

D de la source. C'est une caractéristique très

importante en contrôle non destructif.

Figure 1.5 : Propagation d'un faisceau émis par une source de dimensions finies.

1.1.2.2. Le contrôle des soudures austénitiques

La propagation ultrasonore dans les milieux anisotropes hétérogènes tels que les soudures

étudiées est complexe. L'orientation des grains peut varier de façon très importante d'un point

à l'autre de la soudure. Un faisceau traversant ce type de soudure pourra alors subir des

déviations, des divisions, ainsi qu’une forte atténuation par la microstructure. Ces

phénomènes dépendent directement de la direction de propagation des ondes par rapport à

l'orientation des grains.

En effet, dans les matériaux anisotropes comme les soudures, la vitesse d'énergie subit une

déviation par rapport à la vitesse de phase. Cette déviation dépend de l'angle entre la direction

de propagation et l'axe d'orientation des grains. La Figure 1.6 montre l'angle de déviation de la

vitesse d'énergie par rapport à la vitesse de phase, pour chaque mode de propagation : L, TH

et TV. Les trois courbes sont tracées en fonction de l'angle entre la vitesse de phase et l'axe

d'élongation des grains, pour du métal soudé austénitique [EDE 86].

La déviation des ondes ultrasonores en fonction de l'orientation des grains implique une

déformation du faisceau qui traverse une soudure austénitique. En effet, comme nous l’avons

vu précédemment, un faisceau d'ultrasons n'est pas parfaitement cylindrique, mais il présente

une certaine ouverture en fonction du diamètre du transducteur et de la distance au

transducteur. Dans le cas des ondes longitudinales, pour des grains orientés à 0° par rapport à

l'incidence des ondes, le faisceau aura tendance à fortement diverger (Figure 1.7, schéma de

gauche), alors que pour des grains à 45°, sa divergence sera la plus faible (Figure 1.7, schéma

de droite).

source circulairegénérant le faisceau

ouverture du faisceau δ

D


21

Figure 1.6 : Déviation théorique ∆ du faisceau en fonction de l'angle θ formé par le faisceau et

l'orientation des grains dans du métal soudé austénitique [EDE 86].

Figure 1.7 : Variations de la largeur du faisceau dues à l'effet de déviation [EDE 86].

Il est donc essentiel de bien connaître la structure de la soudure contrôlée afin de prévoir la

propagation des ondes ultrasonores, et ainsi pouvoir localiser un éventuel défaut et estimer sa

taille.

1.1.3. Modélisation des soudures : approximation en sous-domaines homogènes

Les outils de simulation sont des outils essentiels permettant d’aider à la compréhension de la

propagation des ondes dans ce type de structure. Ils permettent par ailleurs de réaliser des

études paramétriques et d'analyser l'influence de la configuration de contrôle (matériau

5° 5° 5°5° 5° 5°

ϕ

Angle du faisceau par rapport aux grains (ϕ ) 0° 24° 48°

Angle de déviation 0° 12° 0°

Divergence du faisceau Elevée Moyenne Faible

Vitesse de propagation Faible Moyenne Elevée

vitesse d'énergie vitesse de phase


22

insonifié, type et position d’un défaut, type d'onde…) sur la propagation des ondes. La

simulation est divisée en deux grandes étapes : la description de la soudure qui sera introduite

dans le modèle, puis la simulation de la propagation ultrasonore dans cette soudure.

1.1.3.1. Description de la soudure

Une précédente étude [CHA 99, CHA 00] a proposé un modèle de description de la

microstructure des soudures. La soudure est divisée en sous-domaines homogènes

orthotropes. Le nombre de sous-domaines est fonction du degré d'hétérogénéité de la soudure.

Dans chacun de ces domaines, une orientation particulière des grains (notée ω dans le tableau

de la Figure 1.8.b) est déterminée par le biais de méthodes numériques d'analyse d'image à

partir de la macrographie de la soudure étudiée (Figure 1.8.a). Les valeurs des constantes

d’élasticité, liées au repère défini par la structure locale (angle ω), sont supposées invariantes

d’un sous-domaine à l’autre. Les sous-domaines sont donc simplement désorientés les uns par

rapport aux autres.

Figure 1.8 : Exemple de microstructure des soudures étudiées : (a) Macrographie – (b) et (c)

Description en sous-domaines homogènes orthotropes – (d) Simulation de la propagation.

Une autre étude [MOY 03, APF 05b] a été réalisée, visant à simuler la microstructure à partir

des données caractéristiques du soudage multipasses. Le modèle développé, appelé MINA

b)

c) d)

a)


23

(Modelling anIsotropy from Notebook of Arc welding), prend en compte deux types de

paramètres :

des paramètres propres au procédé de soudage : refusion entre passes, inclinaison des

passes et paramètre traduisant les phénomènes de croissance sélective et de croissance par

épitaxie ;

des paramètres propres à la soudure spécifiquement étudiée et susceptibles d’être

mentionnés dans le cahier de soudage : géométrie du chanfrein, diamètre des électrodes

utilisées par le soudeur ainsi que le nombre et l'ordre d'enchaînement des passes.

Au final, la description obtenue est un maillage régulier de sous-domaines homogènes

orthotropes (Figure 1.8.c). Ce modèle permet d’estimer l’orientation des grains et ainsi de

s’affranchir d’une analyse métallographique.

1.1.3.2. Simulation de la propagation ultrasonore

La description de la soudure est introduite dans le code ATHENA développé par EDF et

l'INRIA. C'est un modèle 2D qui résout les équations de l'élastodynamique exprimées en

terme de contraintes et de vitesses particulaires par une méthode d'éléments finis. Les

éléments sont des carrés de côté égal à 1/15 de la longueur d'onde. ATHENA simule la

propagation des ondes ultrasonores dans un plan de symétrie de matériaux hétérogènes

anisotropes complexes, en particulier dans les soudures étudiées [CHA 01]. Le code est basé

sur l'hypothèse que le milieu peut être décrit par un nombre fini de domaines homogènes

anisotropes. Il prend également en compte les interactions entre le faisceau et des défauts

pouvant avoir des géométries complexes. Le modèle sera expliqué plus en détail dans le

quatrième chapitre.

La simulation fournit une très bonne prédiction des déviations et des divisions du faisceau

(Figure 1.8.d), ainsi que des temps de vol [CHA 00]. En revanche, les amplitudes obtenues ne

sont pas représentatives des amplitudes réelles pouvant être recueillies in situ [APF 05a, CHA

04]. En effet, le modèle actuel simule les effets de divergence du faisceau et de diffusion aux

frontières des différents domaines en raison des sauts de propriétés élastiques. Par contre, il ne

prend pas en compte la diffusion aux joints des grains à l'intérieur de chaque domaine du

matériau traversé.


24

1.2. Propagation ultrasonore à travers un milieu homogène anisotrope

La propagation des ondes élastiques dans les milieux homogènes élastiques est régie par

l’équation de Christoffel. Sa résolution donne accès, pour une direction de propagation

donnée, à la vitesse et à la polarisation des trois modes susceptibles de se propager [AUL 73,

DIE 74].

1.2.1. Equation de Christoffel

On considère un matériau homogène élastique soumis à une perturbation ultrasonore. Sous

l'hypothèse d'un comportement élastique linéaire, la relation entre le tenseur des contraintes T

et le tenseur des déformations ε est donnée par la loi de Hooke :

klijklij CT ε= (1.1)

où ijklC sont les composantes du tenseur d'ordre 4 des constantes d'élasticité du matériau.

Les tenseurs des contraintes et des déformations étant symétriques, le tenseur d'élasticité C

est donc symétrique également.

Le tenseur des déformations s'exprime en fonction du vecteur de déplacement u par :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=k

l

l

kkl x

uxu

21ε (1.2)

D'autre part, ρ étant la masse volumique du milieu soumis à la perturbation, le principe

fondamental de la dynamique conduit à :

j

iji

x

T

t

u

∂

∂=

∂

∂2

2

ρ (1.3)

La combinaison de ces trois équations donne les équations de propagation pour les

composantes du déplacement u :

(1.4)

La solution recherchée est classiquement une onde plane progressive monochromatique de

pulsation ω , et dont le champ de déplacement, en un point défini par le vecteur position r à

l'instant t , est de la forme :

kj

lijkl

i

xxuC

tu

∂∂∂=

∂∂ 2

2

2

ρ


25

(1.5)

où A est l'amplitude initiale de l'onde, P (unitaire) sa polarisation et k son vecteur d'onde :

nVk ω= où n est le vecteur unitaire normal au plan d'onde et V est la vitesse de phase.

NB: La présence d'atténuation s'exprime dans la partie imaginaire du vecteur d'onde, en

posant njV

'kjkk ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

∗ αω

, où α est le coefficient d'atténuation (avec α >0).

La substitution de l'expression dans l'équation (1.4) permet d’aboutir au système d'équations

de Christoffel :

(1.6)

où l'on a posé kjijklil nnC=Γ , appelé tenseur de Christoffel. C'est un tenseur d'ordre 2,

symétrique en raison des propriétés de symétrie du tenseur élastique.

Pour un matériau de symétrie quelconque (i.e. avec 21 constantes d'élasticité indépendantes),

les expressions explicites des ilΓ s'écrivent :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

233213311221

324423314536212546

2

334

2

224

2

15623

324536315513215614

2

335

2

246

2

11513

322546315614216612

2

345

2

226

2

11612

323431352145

2

333

2

244

2

15533

322431462126

2

344

2

222

2

16622

325631152116

2

355

2

266

2

11111

222

222

222

Γ=ΓΓ=ΓΓ=Γ++++++++=Γ

++++++++=Γ

++++++++=Γ

+++++=Γ

+++++=Γ

+++++=Γ

,,nnCCnnCCnnCCnCnCnC

nnCCnnCCnnCCnCnCnC

nnCCnnCCnnCCnCnCnC

nnCnnCnnCnCnCnC

nnCnnCnnCnCnCnC

nnCnnCnnCnCnCnC

(1.7)

Les solutions recherchées par la résolution du système d'équations sont les vitesses V et les

polarisations P associées à chacun des trois modes de propagation : longitudinal, transversal

horizontal et transversal vertical. Elles s'obtiennent en cherchant les valeurs propres et les

vecteurs propres du tenseur de Christoffel, qui sont respectivement 2Vρ et u . Les vecteurs de

polarisation se calculent en normalisant les vecteurs de déplacement u .

( ) ( )( )rktjexpPAt,ru ⋅−= ω

02 =−Γ ilil uVu ρ


26

1.2.2. Courbes des lenteurs : généralités et exemples

La résolution de l'équation , par la recherche des valeurs propres et vecteurs propres, permet

de calculer, pour une direction donnée de propagation, les vitesses et les polarisations de

chaque mode susceptible de se propager dans le matériau. Nous avons appliqué cette équation

dans le cas de sous-domaines de soudure supposés homogènes orthotropes.

Le calcul a été effectué pour chaque direction de propagation, définie par l'angle θ , dans

différents plans de propagation contenant le vecteur 1x du repère ( 1x , 2x , 3x ), et repérés par

l'angle φ (Figure 1.9). Cela nous permet de tracer les courbes des lenteurs ( Vnm = ) de

chacun de nos échantillons, et donc de mieux comprendre comment se propage une onde

plane quelconque dans le matériau.

Figure 1.9 : Schéma des angles définissant la direction de propagation dans le matériau.

Dans le cas de modes de propagation purs, chaque couple vitesse ; polarisation est

classiquement associé à un mode de la façon suivante :

mode longitudinal : le vecteur de polarisation est colinéaire à la direction de propagation,

mode transversal horizontal : le vecteur de polarisation est normal au plan de propagation,

mode transversal vertical : il correspond au dernier vecteur de polarisation, normal aux

deux autres, et qui est donc dans le plan de propagation.

Un exemple de courbes de lenteurs avec la visualisation des directions de polarisation est

donné sur la Figure 1.10. Elles ont été tracées dans un plan principal du matériau orthotrope.

Les modes propagés sont donc des modes purs. Comme on peut le voir sur la figure, les ondes

longitudinales sont les plus rapides (i.e. lenteurs les plus faibles). D'autre part, la direction de

1x

2x

3x

direction depropagation

θ

φ

plan de propagation


27

polarisation des ondes transversales horizontales est perpendiculaire au plan de la feuille. On

peut également remarquer que les trois courbes sont symétriques par rapport à 1x et à 2x .

Figure 1.10 : Courbes des lenteurs (grains: 0°, plan: 0) avec les directions de polarisation.

En dehors des plans principaux, les modes générés ne sont pas purs. Les trois modes de

propagation sont dits quasi-longitudinal, quasi-transversal vertical et quasi-transversal

horizontal. Il devient alors difficile de classer les modes transversaux en deux catégories, l'une

verticale et l'autre horizontale. C’est pourquoi nous choisissons de caractériser les modes

transversaux plutôt sur un critère de vitesse, en les attribuant à un mode transversal rapide et

un mode transversal lent [LAN 98]. D'autre part, on peut également remarquer qu'en dehors

des plans principaux, la symétrie des courbes des lenteurs par rapport à 1x disparaît (Figure

1.11).

Figure 1.11 : Courbes des lenteurs (grains: 45°, plan: 30) : absence de symétrie.

1x

2x

1x


28

1.2.3. Coefficients de transmission en incidence quelconque

Nous avons vu qu'un faisceau ultrasonore présente une certaine ouverture. Or comme nous

l'expliquerons plus loin, nous avons choisi d'effectuer les mesures expérimentales en

immersion et en transmission sur des échantillons sous forme de lames à faces parallèles. Le

faisceau traversera alors une interface eau/solide et une interface solide/eau. La description

complète du faisceau et de sa propagation dans le solide nécessite la connaissance des

coefficients de réflexion et de transmission théoriques pour une incidence quelconque.

1.2.3.1. Equation et résolution

L'équation de Christoffel est utilisée lorsque la direction de propagation dans le matériau est

donnée. Dans le cas d'une onde plane arrivant à la surface d'un matériau, l'incidence dans l'eau

est connue, et on cherche les directions de propagation dans le matériau de chaque mode

transmis, ainsi que leur vitesse et leur polarisation.

Pour cela, on travaille sur une autre forme de l'équation de Christoffel [HOS 91] :

(1.8)

où ω est la pulsation, et où l'on a posé kjijklil kkC=Λ . Le tenseur Λ présente les mêmes

propriétés que le tenseur de Christoffel Γ , et ses expressions explicites sont les mêmes que

celles de Γ , en remplaçant les in par ik .

L'idée est de calculer la direction de propagation, la vitesse de propagation et la polarisation

de chaque mode. Les inconnues sont donc les composantes des vecteurs d'onde ik pour avoir

les directions et les vitesses de propagation, et les composantes des vecteurs de déplacement

iu pour avoir les polarisations. Or les lois de Snell-Descartes établissent que les vecteurs

d'onde des ondes incidentes, réfléchies et réfractées dans le matériau sont contenus dans le

même plan, et que tous ces vecteurs admettent la même projection sur l'interface (Figure

1.12). Les deux composantes 2k et 3k du vecteur d'onde de chaque mode généré sont donc

égales aux composantes 2k et 3k de l'onde incidente. Les solutions recherchées sont alors la

composante normale à l'interface 1k du vecteur d'onde de chaque mode, ainsi que leur vecteur

de déplacement.

02 =−Λ ilil uu ρω


29

Figure 1.12 : Incidence quelconque à une interface liquide/solide : loi de Snell-Descartes.

On recherche dans un premier temps les inconnues 1k . Pour cela, il faut résoudre l'équation

suivante :

(1.9)

où I est la matrice identité.

L'annulation de ce déterminant donne un polynôme d'ordre 6 en 1k (détails de calcul en

Annexe1). On obtient donc 6 solutions mathématiques pour 1k , dont 3 sont physiquement

admissibles. Nous verrons dans le paragraphe suivant comment sélectionner les solutions

physiquement admissibles.

Le vecteur de polarisation P associé à chaque solution est ensuite déterminé en normalisant

le vecteur v colinéaire au déplacement, de composantes 1v , 2v et 3v telles que :

( ) ( )[ ]( ) 113132121

3

2

122211231113122

3 1

ΠΠ−Π−=Π−ΠΠΠΠ−ΠΠ=

=

vvvvv

v

(1.10)

où l'on a préalablement posé I2ρω−Λ=Π .

1.2.3.2. Détermination des trois solutions physiquement admissibles

Les six solutions mathématiques obtenues par la résolution de l'équation vérifient toutes la loi

de Snell-Descartes. C'est-à-dire qu'elles correspondent à des vecteurs d'onde dont la

composante parallèle à l'interface est égale à celle du vecteur d'onde de l’onde incidente. Les

six vecteurs d'onde solutions ont donc leur extrémité sur la droite D de la Figure 1.13.

solide anisotrope

onde incidente

onde réfléchie

liquide

ondes transmises

interface

inck

réflk

1x

Lk 1Tk D2Tk

Lk1

11T

k2

1T

k

( ) 02

=−Λ Idet ρω


30

Figure 1.13 : Visualisation des six solutions mathématiques sur les courbes des lenteurs.

Cas d'un solide orthotrope : Dans le cas orthotrope, du fait de la symétrie des courbes des lenteurs par rapport au plan de

l'interface, les solutions 1k sont opposées deux à deux. On retrouve cela analytiquement :

l'annulation du déterminant donne un polynôme du troisième ordre en ( )21k . On devra donc

choisir une solution dans chaque couple de solutions 1k opposées. D'autre part, les solutions

sont soit réelles soit imaginaires pures. Les solutions réelles correspondent au régime sous-

critique d'un mode, pour lequel une onde de volume est propagée vers l'intérieur du matériau.

Les solutions imaginaires pures correspondent au régime hypercritique, pour lequel il existe

des ondes dites hétérogènes qui se propagent parallèlement à la surface et dont l'amplitude

décroît exponentiellement avec la profondeur [HOS 91]. Cela se traduit graphiquement par

l’absence d’intersection entre la courbe des lenteurs d’un mode et la droite D . Ces deux

régimes sont classiquement définis à l'aide de l'angle critique de chaque mode, donné par :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

emod/solide

liquidec V

Vsin 1θ (1.11)

On distingue donc les deux cas suivants :

Le couple de solutions est réel : La solution physiquement admissible est sélectionnée à l'aide du vecteur de flux d'énergie E

de chacune de ces solutions [ROK 86a, ROK 86b, RIB 92, LAN 93]. Ce vecteur est en tout

1x

D

interface

eau solide

onde incidente

onde réfléchie

Solutions mathématiques


31

point normal à la surface des lenteurs, et sa composante suivant 1x (direction de l'épaisseur du

solide) doit être positive pour que l'onde propage de l'énergie dans le matériau (Figure

1.14.a). Pour une onde hétérogène, cette composante sera nulle, ce qui signifie que l'onde ne

propage pas d'énergie vers l'intérieur du matériau.

La composante suivant 1x de l’énergie, que l’on note 1E , peut s'écrire :

( )∗∗∗ += lkjlkjijkl mPPmPPCAE 221 4

1 ω (1.12)

où A est l'amplitude de l'onde, iP la ième composante du vecteur de polarisation, im la ième

composante du vecteur lenteur ( ωkm = ), et ∗Z désigne le conjugué de la grandeur

complexe Z .

Ainsi, une onde dont le vecteur d'onde est dirigé vers le liquide pourra quand même être

retenue comme solution si sa composante 1E est positive, puisque cela signifie que le flux

d'énergie est dirigé vers l'intérieur du solide (Figure 1.14.c). A l’inverse, une onde dont le

vecteur d’onde est dirigé vers l’intérieur du matériau ne sera pas systématiquement une

solution admissible.

Le couple de solutions est imaginaire pur (Figure 1.14.b) :

La solution physiquement admissible parmi les deux est la solution négative. Ainsi, l'onde

correspondante, dite hétérogène, s'atténue exponentiellement dans la direction 1x de la

profondeur du matériau [NAY 95].

Dans la plupart des cas, lorsque l'angle d'incidence augmente, on passe du régime sous-

critique au régime hypercritique. Autrement dit, au-delà de l'angle critique, l'onde de volume

n'existe plus et cède sa place à une onde hétérogène. Or dans certains cas, on note la

"réapparition" d’une onde de volume lorsque l'angle d'incidence augmente même après l'angle

critique. Ce phénomène est illustré sur la Figure 1.14.c : l'angle critique de l'onde

longitudinale est dépassé, donc il ne devrait rester que deux ondes de volume, mais on en

observe une troisième.


32

En effet, pour une certaine plage angulaire d’incidence, la courbe des lenteurs des ondes

transversales lentes présente deux points d’intersections avec la droite D . Lanceleur [LAN

92] définit alors la notion d’angle critique comme l’angle pour lequel la direction de

propagation de l’énergie devient parallèle à l’interface.

Figure 1.14 : Trois cas de choix des solutions physiquement admissibles.

Cas général : Dans le cas général, étant donné l’absence de symétrie des courbes de lenteurs par rapport au

plan de l’interface eau/solide, les solutions mathématiques sont totalement distinctes. D’autre

part, les solutions peuvent être complexes avec partie réelle non nulle. En effet, le point d'une

courbe des lenteurs pour lequel le flux d'énergie devient parallèle à l'interface ne se situe pas

forcément sur l'interface, ce qui signifie que la partie réelle de la composante du vecteur

d'onde suivant 1x n'est pas nulle. Le critère de sélection des solutions reste comme

précédemment la direction du vecteur de flux d’énergie, ainsi que le signe de la partie

imaginaire de 1k pour les solutions complexes.

On retiendra que le choix des trois solutions physiquement admissibles se base sur le flux

d'énergie de chacune des six solutions. Ce flux d’énergie doit être dirigé vers l'intérieur du

matériau et le signe négatif de la partie imaginaire de 1k . Ainsi, les ondes correspondant aux

Solutions physiquement admissibles Solutions physiquement non admissibles

Vecteur de flux d'énergie

onde incidente dans l'eau

a)

D

couple de solutions imaginaires pures

b)

D

c)

D


33

solutions choisies se propagent dans le matériau, et s’atténuent dans la direction de la

profondeur de l’échantillon pour les ondes hétérogènes.

1.2.3.3. Calcul des coefficients de réflexion et de transmission

Les coefficients de réflexion et de transmission à travers une interface sont obtenus en

établissant les conditions aux limites de continuité des contraintes et des déplacements,

appliquées aux trois ondes planes solutions de l'équation et physiquement admissibles pour

une onde incidente donnée.

Pour établir les conditions aux limites à une interface, on utilise les expressions des

contraintes et des déformations, données dans le cas général par :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++=

+++++=

+++++=

=

65655544533522511513

66655644633622611612

61651541431321211111

εεεεεεεεεεεεεεεεεε

CCCCCCT

CCCCCCT

CCCCCCT

T

et ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂=

i

j

j

iij x

uxu

21ε , où

( )332211 xkxkxktjii eAPu

−−−=

ω (1.13)

⇒ ( ) ( )332211

21 xkxkxktj

ijjiij ekPkPjA−−−

+−=ωε

avec la convention : 126135234 22231 εεεεεεεε ===== ,,et,i,iii à ,

et où JIC est la notation contractée de ijklC .

A chaque interface, on établit quatre équations qui permettent de déterminer à chaque fois les

quatre inconnues :

Un coefficient de réflexion et trois coefficients de transmission à une interface eau/solide.

En effet, une seule est réfléchie car seules les ondes longitudinales se propagent dans l'eau. En

revanche, trois modes peuvent se propager dans le solide anisotrope.

Un coefficient de transmission et trois coefficients de réflexion à une interface solide/eau

pour chaque mode incident, pour les mêmes raisons que précédemment.

Les quatre équations des conditions aux limites sont les suivantes :

1. Continuité de la contrainte normale à l'interface :

pT ±=11 (1.14)


34

où p désigne la pression dans le fluide et le signe dépend du repère et de l'interface

considérée.

2 & 3. Annulation des contraintes tangentielles :

013 =T et 012 =T (1.15)

4. Continuité de la composante normale à l'interface du champ de déplacement des particules :

1)(1)(1)( transmréflincuuu ∑∑ =+ (1.16)

Le développement et la résolution de ce système de quatre équations fournit les coefficients

de réflexion et de transmission à une interface entre l'eau et un solide anisotrope pour une

incidence quelconque. Les calculs seront étudiés plus en détail dans le troisième chapitre.

1.3. Atténuation et bruit de structure

L’un des problèmes pratiques rencontrés lors de l'inspection des soudures austénitiques est la

diffusion des ondes ultrasonores par la structure. Cette diffusion conduit à une atténuation

ainsi qu’à une éventuelle rétrodiffusion des ondes vers le transducteur (phénomène

communément appelé bruit de structure). Ces deux phénomènes sont intimement liés [SAN

88], et varient selon la direction de propagation par rapport à l’orientation des grains. De plus,

ils induisent un faible ratio du signal sur bruit [EDE 86, NEU 89]. Ils peuvent alors fausser le

diagnostic d’un contrôle en masquant la manifestation d’un défaut par exemple. La

propagation des ondes dans les milieux anisotropes a donc beaucoup été étudiée. Des modèles

relativement simples permettent de comprendre le comportement des ondes en terme de

vitesse et de direction de propagation. En revanche, l'atténuation et le bruit de structure sont

deux phénomènes plus complexes, moins étudiés.

1.3.1. Généralités et définition de l’atténuation

Une onde ultrasonore perd de l'énergie lors de sa propagation dans un milieu réel. Cette

observation expérimentale immédiate constitue une caractéristique importante de la

propagation. Dans un matériau homogène et à faces parallèles par exemple, on observe cette

perte d’énergie en enregistrant les échos successifs par une mesure en écho. L'enveloppe d'une

séquence d'échos de fond de pièce présente alors une décroissance exponentielle de


35

l'amplitude de la forme ( )xexp α− , en négligeant les effets de la diffraction du faisceau

[GOE 80] (Figure 1.15).

Figure 1.15 : Décroissance exponentielle des échos en négligeant la diffraction [GOE 80].

La notion d'"atténuation intrinsèque" que nous étudions désigne la perte d'énergie due

exclusivement aux interactions entre la microstructure du milieu et l'onde. Elle ne dépend ni

de la géométrie de la pièce, ni de la méthode et de la configuration de mesure. Autrement dit,

tous les phénomènes extérieurs ne peuvent être assimilés à l'atténuation intrinsèque du milieu

traversé. Ces phénomènes peuvent être la réflexion/transmission aux interfaces entre

l'échantillon et le milieu extérieur, ou encore la divergence du faisceau, propre à la

propagation de tout faisceau de section limitée.

L'atténuation intrinsèque est causée par deux catégories de phénomènes :

L'absorption :

Elle résulte de la conversion de l'énergie mécanique vibratoire en chaleur. Ce type

d'atténuation intrinsèque est lié à la viscosité du matériau contrôlé. La dissipation de l'énergie

sous forme de chaleur est due d'une part à des pertes thermoélastiques résultant du déphasage

entre contrainte et déformation, et d'autre part à la non linéarité entre la contrainte et le

déplacement atomique. Certains défauts cristallins comme les dislocations peuvent contribuer

à l'atténuation par absorption.

L'objet de notre étude concerne un matériau métallique polycristallin fortement texturé.

L'atténuation par absorption est négligeable dans les métaux polycristallins [BAI 77, EDE

86]. Nous nous intéresserons donc plus particulièrement à l'atténuation par diffusion.

enveloppe ~ ( )xexp α−

amplitude

distance échos de fond

impulsion envoyée

transducteur

échantillon


36

La diffusion :

Dans le cas de la diffusion (aussi appelée dispersion), une fraction de l'onde est déviée ou

réfléchie lors de la rencontre de discontinuités d'impédance acoustique (Figure 1.16). Ces

hétérogénéités acoustiques peuvent être des porosités, des précipités, des inclusions, des joints

de grains, ou encore des défauts… Ici, une partie de l'énergie "quitte" le trajet rectiligne prévu

par la théorie.

Figure 1.16 : Diffusion par une hétérogénéité.

Dans notre étude, nous nous intéressons plus particulièrement à la diffusion aux joints de

grains qui est due à la différence d’impédance acoustique d’un grain à l’autre résultant de

leurs orientations cristallographiques différentes.

Dans un milieu statistiquement isotrope, l'atténuation par diffusion est indépendante de la

direction de propagation des ondes. C’est le cas du métal de base de part et d’autre des

soudures, qui est constitué de grains aléatoirement orientés. Elle dépend de la taille, de la

forme et de l'orientation des grains, et également du type d'ondes propagé : la diffusion est

plus forte en mode transversal qu'en mode longitudinal [EDE 86].

En revanche, dans un milieu anisotrope tel qu’une soudure en acier inoxydable austénitique,

l’atténuation est également fonction de la direction de propagation [AHM 92]. L'analyse de

l'atténuation par diffusion dans le cas anisotrope est donc plus compliquée que dans le cas

isotrope.

On distingue classiquement trois domaines de diffusion, selon le rapport de la longueur d'onde

sur la taille moyenne des grains [PAP 65]. Chaque domaine est associé à une loi théorique du

coefficient d'atténuation par diffusion dα . Elles sont données dans le Tableau 1.2, où λ est la

longueur d'onde, d est la taille moyenne des grains, et f est la fréquence. On peut remarquer

que lorsque les grains sont très grands par rapport à la longueur d'onde, c'est-à-dire dans le

domaine géométrique, l'atténuation ne dépend plus de la fréquence.

onde incidente onde transmise

ondes diffusées


37

Domaine dλ Loi de dα

Rayleigh >>1 43fd∝

Stochastique 1≅ 2fd∝

Géométrique << 1 d1∝

Tableau 1.2 : Définition des trois régions de diffusion.

La notion de taille moyenne des grains est à prendre avec précaution. En effet, dans le cas des

métaux, selon le procédé de fabrication, la distribution des tailles de grains autour de la valeur

moyenne peut être plus ou moins dispersée. D'autre part, la taille à prendre en compte est la

dimension "vue" par les ondes. Pour un même matériau, elle dépend donc de la direction de

propagation.

1.3.2. Modèles théoriques de l'atténuation dans les matériaux polycristallins

Les chercheurs se sont intéressés à l'atténuation ultrasonore par diffusion depuis les années

50, et ont proposé des modèles théoriques visant à prévoir la valeur du coefficient

d'atténuation des ondes longitudinales et transversales à partir des caractéristiques du matériau

étudié.

1.3.2.1. Description de quelques modèles

On peut distinguer deux types d'hypothèse de départ : la diffusion simple et la diffusion

multiple. L'hypothèse de diffusion simple considère que chaque grain diffuse les ondes

incidentes indépendamment des autres grains, alors que la diffusion multiple prend en compte

le fait que l'onde arrivant sur un grain a déjà été diffusée par d'autres grains (Figure 1.17). La

diffusion simple est donc une approximation afin de simplifier le problème. Prendre en

compte la diffusion multiple permet de se rapprocher de la réalité. Nous présentons ici les

principaux modèles théoriques de la littérature ainsi que leurs résultats.

Figure 1.17 : Schéma du principe de la diffusion multiple.

transducteur ondes incidentes ondes après diffusion


38

Modèle de Merkulov

Les premiers travaux de recherche concernant l'atténuation ultrasonore par diffusion portaient

sur les métaux à cristaux cubiques et hexagonaux, où les grains sont sphériques et

aléatoirement orientés. Ces études ont abouti à des formules relativement simples des

coefficients d'atténuation des ondes longitudinales et transversales. Elles sont valables pour

certaines plages de fréquence et selon la structure des cristaux du matériau. En particulier,

Merkulov [MER 56] a étendu les travaux de Lifshitz et Parkhomovskii, et donne les formules

suivantes pour les métaux à cristaux cubiques :

Dans le domaine de Rayleigh,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+=

5532

42332

375

8

tll

lvvv

fT

ρ

µπα et

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+=

5532

42332

125

2

tlt

tvvv

fT

ρ

µπα (1.17)

avec le facteur d'anisotropie 441211 2ccc −−=µ , où les ijc sont les constantes d'élasticité du

cristal, T est le volume moyen des grains, f est la fréquence, ρ est la densité, et lv et tv

sont les vitesses des ondes respectivement longitudinales et transversales.

Dans le domaine stochastique,

62

222

525

16

l

lv

fd

ρ

µπα = et

62

222

210

4

t

tv

fd

ρ

µπα = (1.18)

Les formules sont plus simples dans le domaine stochastique car elles ne prennent pas en

compte les conversions de mode, contrairement aux formules du domaine de Rayleigh.

La diffusion dans les matériaux isotropes a largement été étudiée dans la littérature. En

revanche, le problème de propagation dans les milieux polycristallins texturés a reçu moins

d'attention. Nous allons maintenant détailler quatre modèles proposés dans la littérature pour

ces matériaux.

Modèle de Hirsekorn

Hirsekorn [HIR 82] est le premier auteur à proposer un modèle de diffusion ultrasonore dans

les polycristaux anisotropes en fonction du diamètre des grains sans limitation fréquentielle.

Sa théorie prend en compte les conversions de mode et la diffusion multiple, et peut

s'appliquer aux polycristaux avec des grains aussi bien aléatoirement orientés que


39

préférentiellement orientés, mais sphériques et tous de la même taille. Elle se base sur la

méthode de perturbation pour résoudre le problème de diffusion.

Comme la plupart des modèles, l'hypothèse fondamentale est la faible anisotropie du

matériau. On doit donc avoir 1<<2ε , où ε est le degré d'inhomogénéité dans un matériau

monophasé polycristallin. Il est proportionnel à l'anisotropie des grains et peut être défini par :

( )[ ] 222

oo kkrk >−<≡ε (1.19)

où >⋅< désigne la moyenne sur le volume de l'échantillon, et ok est le nombre d'onde dans

le milieu homogénéisé.

L'équation de départ est l'équation du mouvement, exprimée pour le vecteur de déplacement

u dans le milieu inhomogène :

(1.20)

La notation ",i" en indice signifie " ix∂∂ ", et on utilise la convention d'Einstein pour la

sommation des indices répétés.

Les constantes d'élasticité varient d'un grain à l'autre. Pour modéliser l'inhomogénéité, on

définit alors :

'o ρρρ += et ijklijklijkl 'CCC +>=< (1.21)

où oρ et >< ijklC sont les valeurs moyennes respectivement de la densité et des constantes

d'élasticité, et où les déviations sont faibles par rapport à ces valeurs moyennes.

L'équation (1.20) est alors résolue par la théorie de la perturbation au second ordre.

Les vitesses de phase et les coefficients de diffusion (i.e. les coefficients d’atténuation par

diffusion) normalisés sont tracés en fonction de la direction de propagation par rapport à l'axe

des grains (Figure 1.18 et Figure 1.19).

[ ] 02

=+ ij,l,kijkl uuC ρω


40

a) b) c)

Figure 1.18 : Vitesse de phase normalisée des (a) OL, (b) OTH, (c) OTV, en fonction de la

direction de propagation par rapport à l’axe d’orientation des grains [HIR 86].

a) b) c)

Figure 1.19 : Coefficient de diffusion normalisé des (a) OL, (b) OTH, (c) OTV, en fonction de la

direction de propagation par rapport à l’axe d’orientation des grains [HIR 86].

On peut tout d'abord noter la forte anisotropie dans le comportement de la vitesse de phase en

fonction de la direction de propagation, pour les trois modes de propagation. Ensuite,

l'atténuation présente également un comportement anisotrope, avec une croissance monotone

en fonction de la direction de propagation pour les OL et les OTH, et un maximum autour de

45° pour les OTV.

Modèle de Stanke et Kino

Stanke et Kino [STA 84] se sont intéressés à un modèle de la diffusion des ondes dans les

matériaux polycristallins anisotropes en général. La méthode théorique est applicable quelle

que soit la fréquence, et à tout matériau polycristallin sous l'hypothèse d'une anisotropie du

monocristal pas trop grande. C'est donc un modèle très général qui sera étendu et adapté par la


41

suite par plusieurs auteurs. La méthode est basée sur l'association d'un modèle décrivant la

structure d'un grain avec un modèle de distribution géométrique des grains.

Le modèle de grain choisi est le modèle anisotrope. Il demeure une approximation dans la

mesure où il ne prend pas en compte les variations de structure à l'intérieur des grains ou aux

joints des grains (comme les dislocations…). Il est néanmoins le plus complet pour le

problème des matériaux polycristallins anisotropes. Il permet de tenir compte des conversions

de mode dans la mesure où la possibilité d'avoir trois modes de propagation est incluse dans le

modèle.

Le modèle de distribution géométrique des grains le plus approprié, appelé modèle de

procédé stochastique, permet de rendre compte du fait que les grains ne sont pas réguliers.

C'est un modèle statistique qui amène à la définition d'une fonction de corrélation

géométrique ( )rW . Cette fonction exprime la probabilité que deux points séparés d'une

certaine distance r appartiennent au même grain. Ce modèle intègre un certain degré de

diffusion multiple.

L'hypothèse fondamentale est un faible degré d'inhomogénéité. Les auteurs proposent alors

l'approximation de Keller du second ordre pour résoudre le problème de propagation. En

effet, l'approximation de Keller fournit une solution générale, quelle que soit la fréquence.

D'autres auteurs utilisent l'approximation de Born qui est limitée à un certain domaine

fréquentiel : ε1>= dkx oo , où ε est le degré d'inhomogénéité précédemment défini.

Le point de départ du modèle est, comme Hirsekorn, l'équation d'onde élastique stochastique :

( ) ( )[ ] ( ) 02

=+ rururC ij,l,kijkl

ξξξ ρω (1.22)

où ξijklC est le tenseur élastique local.

Afin d'utiliser l'approximation de Keller, on définit la perturbation du tenseur d'élasticité local

par rapport au tenseur élastique isotrope "non perturbé" :

( ) ( ) o

ijklijklijkl CrCr −=∆ξξε (1.23)


42

où o

ijklC sont les constantes moyennes de Voigt non pondérées. Ce tenseur est choisi isotrope

pour pouvoir utiliser une fonction de Green isotrope.

Pour simplifier les équations, deux autres hypothèses sont utilisées : les grains sont

statistiquement homogènes, et les angles d'Euler des grains sont statistiquement indépendants.

Cela permet d'aboutir à une équation finale en fonction de l'inconnue k , avec une précision de 2ε et applicable à tout matériau de symétrie arbitraire avec une texture et une orientation

privilégiée des grains.

Les résultats sont présentés en fonction de la fréquence normalisée, pour un aluminium

polycristallin (Figure 1.20). On peut notamment remarquer les transitions entre les différents

domaines de diffusion définis précédemment, ainsi que la croissance monotone de

l'atténuation en fonction de la fréquence jusqu'à un plateau, aussi bien pour les ondes

longitudinales que pour les ondes transversales.

Figure 1.20 : Coefficient d'atténuation normalisé des (a) OL, (b) OT, dans un aluminium

polycristallin, en fonction de la fréquence normalisée [STA 84].

Modèle de Turner

Le modèle de Turner [TUR 99, YAN 04] se base sur la théorie développée par Stanke et

Kino. Mais l'auteur est en désaccord avec l'utilisation d'une fonction de Green isotrope pour

décrire la diffusion, ainsi qu'avec l'utilisation des directions de polarisation du cas isotrope. En

effet, dans les matériaux polycristallins texturés, le milieu est anisotrope. Une fonction de

a) b)


43

Green anisotrope ainsi que les polarisations anisotropes semblent donc plus appropriées. Le

problème est alors formulé par l'équation de Dyson. L'auteur applique cependant

l'approximation de Born pour la résolution de cette équation, ce qui restreint le domaine

fréquentiel des solutions.

Les résultats sont présentés sur la Figure 1.21 pour le cas de grains sphériques et

préférentiellement orientés. L'auteur fait remarquer que pour les OL et les OTH, lorsque la

fréquence augmente, l'atténuation perpendiculairement à l'axe des grains augmente davantage

que dans les autres directions de propagation. D'autre part, l'atténuation des OTV est nulle

dans la direction des fibres et perpendiculairement aux fibres. Elle présente un maximum

proche de 45°, avec apparition d’un second lorsque la fréquence augmente.

Figure 1.21 : Coefficient d'atténuation normalisé des (a) OL, (b) OTH, (c) OTV, en fonction de

la direction de propagation, pour différentes fréquences normalisées [TUR 99].

Modèle de Ahmed et Thompson

Le modèle de Ahmed et Thompson [AHM 92, AHM 02] vise à étendre la théorie développée

par Stanke et Kino à des grains allongés (ellipsoïdaux). Comme Stanke et Kino, il aboutit à la

forme suivante du système d'équations :

02

2

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−Γ kikik u

kδ

ωρ (1.24)

où [ ] ( ) ( ) lj

,

k.rki

klkl

o

ijkl

ik kkdverWrG

C

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡×>∆><∆<−>∆∆<+

>∆<+=Γ

∫βδ

αγγδαβγδαβ ijij2

ijkl

ε

ε .

et où v désigne le vecteur v normalisé ( k désigne donc la direction de propagation que nous

avons appelé n ).

a) b) c)


44

Il est intéressant de noter la signification des différents termes de ikΓ . Le premier terme, o

ijklC ,

décrit la propagation dans le matériau isotrope si les grains étaient aléatoirement orientés

(approximation de Voigt). Le second terme, >∆< ijklε , introduit les effets de l'orientation

préférentielle des grains, au premier ordre. Enfin le dernier terme établit les effets de la taille

et de la forme des grains (avec ( )rW ), et de la fréquence (avec k.rki

e ).

Stanke et Kino émettent dans leur article l'hypothèse de grains sphériques. Le fonction de

corrélation géométrique associée est alors :

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

d

sexpsW 2 (1.25)

Ahmed et Thompson généralisent le modèle en définissant une fonction de corrélation

géométrique pour des grains ellipsoïdaux :

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+−= θ2

2

2

112 cosh

d

d

rexprW (1.26)

où d est le diamètre moyen des grains, dans le plan perpendiculaire à la direction privilégiée

des grains, h est la longueur moyenne des grains suivant la direction privilégiée et θ est

l'angle mesuré par rapport à la direction privilégiée.

Le ratio hd caractérise donc l'aspect des grains : les petites valeurs de hd désignent les

grains allongés, et les grandes valeurs correspondent aux grains aplatis.

Les résultats en terme d'atténuation sont présentés sur la Figure 1.22 pour les ondes

longitudinales et sur la Figure 1.23 pour les ondes transversales horizontales, pour différentes

valeurs du ratio hd (avec d fixé). La notation oχ désigne la fréquence normalisée :

dkoo =χ où ok est le nombre d'onde dans le milieu homogénéisé.


45

Figure 1.22 : Coefficient d'atténuation normalisé des OL (a) en fonction de la fréquence

normalisée, (b) en fonction de la direction de propagation [AHM 92].

Figure 1.23 : Coefficient d'atténuation normalisé des OTH (a) en fonction de la fréquence

normalisée, (b) en fonction de la direction de propagation [AHM 92].

On peut remarquer que plus les grains sont allongés ( hd petit), plus l'atténuation est

importante quelque soit la fréquence et la direction de propagation. Il est également

intéressant de noter que le début du régime géométrique, marqué par le pic de l'atténuation en

fonction de la fréquence, arrive à des fréquences de plus en plus basses lorsque hd diminue.

1.3.2.2. Synthèse

Différents modèles théoriques ont été présentés. Ils ont pour but de calculer le coefficient

d'atténuation par diffusion dans les matériaux polycristallins. Les modèles aboutissent

globalement aux conclusions suivantes :


46

la texture du matériau influe sur la valeur du coefficient d’atténuation,

pour des grains préférentiellement orientés, l'atténuation des ondes longitudinales

augmente lorsque l'angle entre l'axe des grains et le faisceau ultrasonore augmente,

l'atténuation est nulle lorsque la direction de propagation des ondes coïncide avec l'axe

cristallographique privilégié des grains,

l'atténuation présente en revanche un comportement en fonction de la fréquence qui

diffère selon les modèles.

Les premiers modèles développés (Lifshitz et Parkhomovskii, Merkulov) proposent des

formules très simplifiées du modèle de diffusion dans les métaux polycristallins isotropes. Les

modèles suivants (Hirsekorn, Stanke et Kino, Turner) sont plus complets mais limités aux cas

où les grains sont sphériques. Le modèle correspondant le mieux à notre matériau est donc le

modèle d'Ahmed et Thompson, qui considère un matériau polycristallin texturé, avec des

grains préférentiellement orientés et allongés.

La théorie traduit le fait que l’atténuation dans les matériaux polycristallins est due à la

diffusion des ondes aux joints des grains, c’est-à-dire aux changements de propriétés

élastiques. On pourra donc s’attendre expérimentalement à une croissance globale de

l’atténuation en fonction de l’orientation des grains. En effet, pour une épaisseur donnée, les

ondes se propageant à 0° par rapport aux grains rencontreront très peu d’interfaces donc de

sauts de propriétés élastiques, et en rencontreront d’autant plus que l’orientation des grains

augmente.

1.3.3. Méthodes de mesure de l'atténuation ultrasonore

Les méthodes de caractérisation sont nombreuses. Celles utilisées pour mesurer l'atténuation

ultrasonore peuvent être regroupées en trois catégories principales :

- les mesures au contact, pour lesquelles le (ou les) transducteur(s), piézoélectriques, sont en

contact direct soit avec la pièce via un couplant, soit avec une pièce tampon elle-même en

contact avec la pièce à caractériser,

- les mesures sans contact, c'est-à-dire les méthodes de mesure ne nécessitant aucun

intermédiaire spécifique entre le capteur et la pièce,


47

- les mesures en immersion, où les transducteurs, piézoélectriques, peuvent être plus ou

moins éloignés de la pièce, le dispositif étant plongé dans l'eau afin de permettre une

meilleure propagation des ondes ultrasonores.

Elles présentent toutes diverses sources d'erreur déterministes et/ou aléatoires. Generazio

[GEN 85] fait remarquer qu'il existe un lien entre la technique expérimentale de mesure

utilisée et les résultats expérimentaux obtenus. Par exemple, l'effet de diffraction du faisceau

ultrasonore, dû à sa dimension finie, introduit une erreur systématique dépendante de la

fréquence et de l'espace. Il est donc important de bien connaître les limites et incertitudes de

la méthode de mesure utilisée. Cela montre la complexité à mesurer l'atténuation intrinsèque

d'un matériau.

Toutes les méthodes de mesure sont fréquemment associées à une méthode de traitement du

signal : la spectroscopie. C’est une technique qui permet de déterminer la relation de

dispersion dans les matériaux dispersifs. Cette approche, basée sur l'analyse spectrale d'échos

successifs, a été développée par Sachse et Pao [SAC 78], en 1978. Elle est actuellement très

utilisée pour la caractérisation des matériaux.

Cependant, dans ce type de méthode, il est nécessaire de prendre en compte plusieurs

phénomènes importants pour avoir une mesure de l'atténuation précise. Les deux principaux

phénomènes pouvant altérer la précision de la mesure sont :

1. la diffraction (ou divergence) du faisceau se propageant, susceptible d’induire une perte

d'énergie qui n’est pas causée par le matériau lui-même,

2. la propagation dans le milieu couplant, entre le capteur et le matériau, en particulier pour

les méthodes au contact.

Il est possible de s'affranchir des problèmes de diffraction, car des formules permettent de

corriger cette erreur [PAP 73], bien que ce problème soit plus complexe pour les matériaux

anisotropes comme nous l’avons indiqué dans les paragraphes précédents. En revanche, la

question du couplant paraît plus difficile à résoudre.

1.3.3.1. Méthodes au contact

Les mesures d'atténuation au contact s'effectuent avec un ou deux transducteurs ultrasonores

positionnés directement contre la pièce ou par l'intermédiaire d'une pièce tampon ou d'un

sabot, avec une fine couche de couplant (Figure 1.24). Ce type de mesure est utilisé lorsque le


48

matériau à caractériser est très fortement atténuant (le contact direct évite la perte d'énergie

par réflexion à la première interface) et/ou lorsque les conditions environnementales ne

permettent pas une autre méthode, les mesures au contact étant les plus faciles à mettre en

œuvre. Plusieurs auteurs travaillent au contact pour mesurer vitesse et atténuation ultrasonore

dans les bétons [GOU 02, OUL 02] ou relier l'atténuation à la taille des grains dans certains

métaux [NIC 92].

Figure 1.24 : Principe de la mesure au contact, en mode réflexion.

Le principe de la mesure de l'atténuation ultrasonore par contact en réflexion (Figure 1.24)

repose sur l'acquisition de plusieurs échos successifs. Le transducteur piézoélectrique génère

un faisceau d'ondes planes qui se réfléchit en fond de pièce et revient vers le transducteur. Le

signal de chaque écho est traité par transformée de Fourier, et l'atténuation peut être calculée

dans le domaine fréquentiel par le biais de la formule :

( ) ( )( ) ⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=

fS

fSlog

Df

2

1202

1α (1.27)

où D est l'épaisseur de l'échantillon.

Cependant, comme nous l'avons souligné précédemment, ces méthodes présentent le

problème non négligeable de maîtrise des coefficients de réflexion/transmission au niveau du

couplant, en particulier pour des mesures d'atténuation. En effet, il est très difficile d'une part

de déterminer l'épaisseur du couplant et les phénomènes de réflexion et de transmission aux

interfaces capteur/couplant/solide, et d'autre part de reproduire une mesure dans des

conditions de couplage identiques.

couplant pièce

transducteur

échos successifs observés sur l'oscilloscope

envoi d'une impulsion

t

V

…


49

1.3.3.2. Méthodes sans contact

Les méthodes de mesures d'atténuation sans contact ne nécessitent aucun milieu spécifique

entre le capteur et la pièce. Elles permettent donc de s'affranchir du problème de couplant

précédemment évoqué. On retrouve dans cette catégorie deux types de mesures :

Les mesures par laser :

La vibration du faisceau laser sur la surface du matériau génère des ondes ultrasonores dans le

solide. Le fait de focaliser le faisceau laser incident permet en plus d'éviter la diffraction

[POU 93]. Cependant, les mesures par laser se limitent à l’incidence normale, et les ondes

générées sont des ondes sphériques, ce qui complique la mesure d'atténuation. De plus, la

mesure par laser est très ponctuelle et implique qu'une très petite partie du matériau est

insonifiée. Or il est préférable pour nos mesures d'avoir un large faisceau afin de moyenner

sur un assez grand nombre de grains.

Les mesures par EMAT :

Les forces de Laplace induites à la surface par le capteur EMAT génèrent une vibration

ultrasonore dans le matériau [OGI 95]. Cette technique est applicable aux matériaux

conducteurs uniquement, tels que les métaux. De plus, elle présente l’inconvénient d’avoir un

faible coefficient de conversion, ce qui pose problème en particulier pour les matériaux

fortement atténuants comme nos soudures. En effet, les mesures d'atténuation seront d'autant

moins précises que l'amplitude mesurée est faible.

Comme pour les mesures au contact, le principe des mesures sans contact repose sur

l'acquisition d'échos successifs. Ces deux types de mesures permettent également de

s'affranchir de la question de réflexion à la première interface. Elles présentent cependant des

inconvénients non négligeables pour les mesures que nous voulons effectuer, et elles sont

moins faciles à mettre en œuvre matériellement que des dispositifs avec des capteurs

piézoélectriques.

1.3.3.3. Méthodes en immersion

Les mesures en immersion s'effectuent dans une cuve remplie d'un liquide couplant

(généralement de l'eau) et dans laquelle on dispose le (ou les) transducteur(s) ainsi que

l'échantillon à caractériser. Les méthodes en immersion sont les méthodes les plus


50

fréquemment utilisées pour leur meilleure précision et leur bonne reproductibilité par rapport

aux méthodes de contact, ainsi que pour leur relative simplicité de mise en œuvre.

Lorsqu'on fait des mesures d'atténuation en immersion, il faut considérer l'atténuation dans le

liquide couplant, afin de ne pas surestimer l'atténuation dans le matériau étudié. Le couplant

est généralement l’eau, dont l’atténuation à 20°C est donnée par la formule [KAY 95] :

( ) 2410172 f.,feau

−=α (dB/mm) (1.28)

où f est la fréquence, exprimée en MHz.

L’atténuation dans l'eau est très faible (3

1011−

= .,eauα dB/mm à 2,25 MHz) et la plupart du

temps négligeable, en particulier pour les mesures sur les matériaux très atténuants.

Diverses méthodes en immersion ont été développées : en émission-réception ou en

transmission, par l'acquisition d'échos successifs uniquement ou en utilisant le liquide

couplant comme milieu de référence (Figure 1.25).

Figure 1.25 : Exemples de dispositifs en immersion : (a) réflexion avec échos successifs [KUM

96, BAD 03], (b) transmission avec mesure de référence [JEO 95, WAN 01].

Le dispositif en transmission avec mesure de référence est la méthode classique de mesure de

l’atténuation, la plus couramment utilisée. Ce type de technique permet de mesurer la

dispersion de vitesse et d'atténuation, à l'aide de transducteurs large bande. La connaissance

de la vitesse donne accès au coefficient de transmission global classique en incidence

normale, dont la formule, pour une fréquence donnée, est :

( )2

2211

22114

VV

VVT

ρρ

ρρ

+= (1.29)

lorsque les ondes traversent un milieu homogène 2 inséré dans un milieu homogène 1.

Cette formule est limitée à l’hypothèse d’incidence normale du faisceau, et néglige

l’ouverture du faisceau.

E R

E R

transducteur

a) b)


51

1.3.3.4. Choix de la méthode de mesure : immersion et transmission

Les mesures au contact sont les plus simples à mettre en œuvre, et très efficaces pour

effectuer des mesures de vitesse. En revanche, les problèmes de propagation dans le couplant

et le manque de reproductibilité en font des méthodes peu adaptées à la mesure précise de

l’atténuation intrinsèque.

Les mesures sans contact sont quant à elles plus difficiles et plus coûteuses à mettre en œuvre.

Nous avons montré qu’elles présentent de plus des inconvénients non négligeables pour les

mesures que nous voulons effectuer.

Nous choisissons donc de travailler en immersion. Le laboratoire disposant d'un dispositif de

mesures ultrasonores en immersion performant, en particulier pour l'évaluation des constantes

d'élasticité par mesures de vitesses en incidence variable, nous l’utilisons pour une application

simple en transmission, en incidence normale.

1.4. Description des échantillons étudiés

Les échantillons sur lesquels vont être effectuées les mesures doivent permettre d’obtenir des

courbes d’atténuation en fonction de l’orientation des grains. C’est pourquoi, du fait de la

méthode de mesure choisie, en incidence normale, il est nécessaire d’avoir plusieurs

échantillons avec différentes orientations.

1.4.1. Découpe

Le contrôle ultrasonore des soudures industrielles est rendu très complexe à cause de leur

forte hétérogénéité. On rappelle que l’objectif est la simulation de ce contrôle à partir d’une

description de la soudure en un nombre fini de domaines anisotropes homogènes. L'étude a

donc été menée sur des échantillons homogènes, en fonction de l'orientation des grains. Les

soudures industrielles sont très hétérogènes et de dimensions trop petites pour permettre des

découpes d’échantillons homogènes. Une soudure-école (référence D704) a donc été réalisée,

par rechargement, pour obtenir un volume soudé homogène et suffisamment grand. Plusieurs

échantillons homogènes orthotropes avec différentes orientations de grains ont alors été

prélevés dans cette maquette. Cette soudure est en acier 316L de composition très proche de

celle des soudures industrielles (Tableau 1.3).


52

NB : La notion d’homogénéité est ici définie et utilisée macroscopiquement. En effet, les

grains demeurent des hétérogénéités, à plus petite échelle, qui induisent la diffusion des ondes

ultrasonores.

Elément Cr Ni Mo Mn Si Cu Co C P S

Teneur (%) 19.8 11.9 2.34 1.9 0.41 0.07 0.056 0.03 0.01 0.001

Tableau 1.3 : Composition du métal d'apport de la soudure-école (D704).

Nous avons opté pour des échantillons avec des orientations de grains par pas de 15° (Figure

1.26). L'intérêt d'avoir des échantillons avec différentes orientations est de pouvoir faire des

mesures en fonction de l'orientation des grains tout en restant en incidence normale. En effet,

comme nous l'avons souligné précédemment, les mesures en incidence oblique ajoutent des

problèmes liés à la connaissance précise de la direction de propagation, aux conversions de

mode et aux déviations. Ces problèmes cumulés affaiblissent considérablement la précision

des valeurs mesurées.

Figure 1.26 : Schéma de la découpe des échantillons.

Ainsi, sept échantillons ont été prélevés dans la soudure-école D704. Les angles indiqués sur

la figure sont les angles théoriques que forment les grains avec la normale à la surface de

chaque échantillon. Les orientations réelles des grains après analyse d'image sont : 0°, 10°,

35°, 45°, 60°, 80°, 85°. Les traitements et figures seront donc effectués par la suite à partir de

ces orientations.

1.4.2. Propriétés élastiques

Chaque échantillon est homogène et orthotrope. L’orthotropie se caractérise par un axe

principal, l’axe cristallographique d’élongation des fibres pour un matériau à texture fibrée, et

deux orientations privilégiées des deux autres axes cristallographiques. On peut observer cette

texture sur les figures de pôles obtenues par analyse EBSD (Figure 1.27) : l'axe des fibres au

centre et les zones privilégiées sur les bords.

0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°


53

Figure 1.27 : Figures de pôle : (a) principe et (b) figure de pôle 100 expérimentale.

Remarque : il est à noter que dans ce cas précis, le matériau est proche d’une symétrie

isotrope transverse, définie par le fait que le plan perpendiculaire à l’axe des fibres est

isotrope. En effet, les zones privilégiées de la figure de pôle ne sont pas très marquées.

Le tenseur des constantes d'élasticité des matériaux homogènes orthotropes se compose de 9

constantes indépendantes et est de la forme :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

66

55

44

33

2322

131211

000000000000

CCsym

CCCCCCC

C (1.30)

D'après les mesures de Chassignole [CHA 00], les constantes d'élasticité de la soudure D704

sont données par le Tableau 1.4. Elles ont été déterminées par une méthode ultrasonore de

mesure de vitesses associée à un algorithme d'optimisation. Ces données correspondent au

repère pour lequel l'axe 3 est l'axe d'élongation des grains et le plan (23) est plan principal

(Figure 1.28). Notons que les plans (13) et (12) sont également des plans principaux.

11C 22C 33C 23C 13C 12C 44C 55C 66C

237 247 210 134 132 84 122 125 70

Tableau 1.4 : Constantes d'élasticité de la soudure d'étude D704 (en GPa) [CHA 00].

x y

z

100

x

y

axe des fibres

orientations privilégiées des 2 autres axes

a) b)


54

Figure 1.28 : Repère associé à la description élastique du Tableau 1.4.

La description élastique du Tableau 1.4 correspond donc à l’échantillon dont les grains sont

orientés à 90° par rapport à la normale 1x . Les constantes d'élasticité des différents domaines

de la soudure sont donc obtenues par la rotation du tenseur précédemment défini autour de

l'axe 2x , à l'aide de la formule suivante :

0ijklploknjmimnop CaaaaC = (1.31)

où 0C est la matrice des constantes d'élasticité du Tableau 1.4, et la matrice a , pour une

rotation d’un angle ψ autour de l'axe 2x , est définie par :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

ψψ

ψψ

cossin

sincosa

0010

0 (1.32)

On remarque que les domaines où les grains sont orientés à 0° et à 90° auront une description

élastique orthotrope dans ce repère orthonormé, alors que les autres domaines auront une

description monoclinique, avec 13 constantes d'élasticité, de la forme :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

66

55

4644

3533

252322

15131211

00

000000

CCsym

CCCCCCCCCCC

C (1.33)

NB : Il y a toujours 9 constantes d'élasticité indépendantes (cf. Annexe2).

3xaxe d'élongation des grains

1x

2x(23) : plan principal


55

1.5. Synthèse et objectifs

Les travaux effectués durant cette thèse ont pour objectif la détermination de l'atténuation

ultrasonore dans les milieux anisotropes fortement texturés tels que les soudures. Les données

mesurées seront injectées dans le code de calcul ATHENA pour permettre une simulation de

contrôle réaliste.

Ce chapitre a montré que l'atténuation ultrasonore est un phénomène complexe et difficile à

quantifier. Diverses méthodes expérimentales existent mais mesurent l'atténuation avec plus

ou moins de précision. La présence d’anisotropie et d’hétérogénéité complique cette

problématique. Quelques modèles ont été développés pour simuler l'atténuation par diffusion

dans les matériaux polycristallins, et un seul prend en compte la texture.

Pour tester les prévisions de ce modèle, et les comparer à des valeurs fiables obtenues

expérimentalement sur nos soudures, nous adoptons une démarche abordant les difficultés par

ordre croissant. Nous choisissons de travailler d’abord sur des échantillons anisotropes

homogènes, mais prélevés sur des soudures réelles d’acier inoxydable austénitique. Nous

commençons avec l’étude de l’atténuation des ondes longitudinales. Nous optons pour un

premier montage en transmission qui permet d’appréhender les difficultés de la mesure

d’atténuation.

57

2. METHODE CLASSIQUE DE MESURE DE L’ATTENUATION EN TRANSMISSION

2.1. Principe de la mesure...................................................................................................... 58

2.2. Mesure de la vitesse de phase ......................................................................................... 61

2.2.1. Dispersion de vitesse : méthode de déroulement de phase ......................................... 61 2.2.1.1. Méthode classique ..........................................................................................................61 2.2.1.2. Modification apportée ....................................................................................................62

2.2.2. Calcul d'incertitude...................................................................................................... 64 2.2.3. Méthodes d'intercorrélation et de Hilbert.................................................................... 65

2.2.3.1. Intercorrélation ..............................................................................................................66 2.2.3.2. Transformée de Hilbert ..................................................................................................67

2.2.4. Résultats et comparaison............................................................................................. 68 2.2.4.1. Comparaison des trois méthodes....................................................................................68 2.2.4.2. Courbes de dispersion ....................................................................................................68 2.2.4.3. Courbe d’évolution de la vitesse en fonction de l’orientation des grains ......................69

2.3. Mesure de la dispersion d'atténuation .......................................................................... 70

2.3.1. Méthode de calcul ....................................................................................................... 70 2.3.2. Calcul d'incertitude...................................................................................................... 71 2.3.3. Résultats de mesure en fonction de la fréquence ........................................................ 72

2.3.3.1. Courbes de dispersion de 1,5 à 3 MHz...........................................................................72 2.3.3.2. Origines des oscillations ................................................................................................73 2.3.3.3. Conclusions ....................................................................................................................77

2.3.4. Evolution de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains ............................. 78 2.3.4.1. Courbe expérimentale.....................................................................................................78 2.3.4.2. Comparaison aux valeurs expérimentales de la littérature............................................79 2.3.4.3. Comparaison aux résultats du modèle d’Ahmed ............................................................80

2.4. Synthèse et discussion ..................................................................................................... 82

Chapitre 2. Méthode classique de mesure de l’atténuation en transmission

58

Nous présentons dans ce chapitre le premier type de mesures effectuées. Parmi les différentes

méthodes de mesure de la vitesse et de l'atténuation ultrasonores précédemment exposées,

nous avons choisi une méthode en immersion pour différentes raisons. Tout d'abord, la

reproductibilité de l'interface eau/matériau assure la reproductibilité des mesures,

contrairement aux méthodes par contact pour lesquelles l'utilisation de couplant entre le

capteur et la pièce introduit d'importantes incertitudes. De plus, la connaissance des

caractéristiques de l'eau permet une meilleure précision de la mesure d'atténuation. Ensuite, ce

type de méthode offre la possibilité d'effectuer des mesures en incidence variable, en

particulier pour les mesures de vitesses donnant accès aux constantes d'élasticité. La mesure

par immersion est par ailleurs relativement simple à mettre en œuvre.

Nous présenterons tout d'abord le principe de la mesure, puis les calculs et résultats de mesure

des dispersions de la vitesse de phase et de l'atténuation des ondes ultrasonores longitudinales.

Il est à noter que cette méthode ne permet pas les mesures d’atténuation en ondes quasi-

transversales à polarisation verticale mais on rappelle que ces ondes sont très perturbées par

les structures anisotropes et hétérogènes, et sont donc peu utilisées pour le CND des soudures.

Des valeurs pour ce type d’ondes sont toutefois indiquées en Annexe 3.

2.1. Principe de la mesure

Les mesures de dispersion de vitesse de phase et d'atténuation présentées dans ce chapitre ont

été effectuées en immersion et en incidence normale. Le dispositif est constitué de deux

transducteurs piézoélectriques : un émetteur de diamètre 0,5" et un récepteur de diamètre

0,75" immergés dans une cuve (Figure 2.1). Tous deux sont de fréquence centrale 2,25 MHz.

Notons que nous travaillons à la fréquence de 2,25 MHz qui est préconisée pour le contrôle

des soudures austénitiques [YON 95]. Les capteurs sont reliés à un générateur d’impulsions

ultrasonores, lui-même relié à un oscilloscope. Les signaux visualisés sur l’oscilloscope sont

récupérés sur ordinateur par le biais d’une liaison GPIB.

Les deux capteurs sont fixés sur un étrier et séparés d'une distance L d'environ 50mm. Pour

les mesures dans le matériau, l'échantillon est inséré entre les deux capteurs, sur le trajet du

faisceau ultrasonore.


59

Figure 2.1 : Schéma du dispositif expérimental.

Deux rotations sont autorisées par ce dispositif : l'une autour d'un axe horizontal

perpendiculaire au faisceau, et l'autre autour d'un axe vertical (Figure 2.2). Ces deux degrés

de liberté, pilotés par ordinateur via un appareil Microcontrôle, permettent de régler la

perpendicularité de l'incidence du faisceau par rapport à la surface de l'échantillon. Ils

permettent également d'acquérir des signaux en incidence variable de manière automatisée,

notamment dans le cas de la détermination de constantes d'élasticité [DUB 96, MOU 96, DUC

00]. Les vis de réglage du capteur émetteur permettent quant à elles de régler la coaxialité des

faisceaux des deux transducteurs.

Figure 2.2 : Réglages du dispositif.

La méthode utilisée est basée sur l'analyse des spectres d'amplitude et de phase des signaux

enregistrés pour en déduire la valeur de la vitesse de phase et de l'atténuation en fonction de la

fréquence. Les deux signaux acquis sont : 1. le signal de référence ( )tseau , enregistré après une

simple propagation dans l'eau, 2. le signal ( )tséch enregistré sur le même trajet ultrasonore

mais avec l’échantillon placé entre les deux capteurs.

E R

vis de réglage de l'émetteur

émetteur

récepteur

axes de rotation (motorisés) (i.e. degrés de liberté pour le réglage de la normale)

échantillon

support de l'échantillon

blocs fixant le support

générateur SOFRANEL oscilloscope TEKTRONICS

GPIB

DL

E R


60

Les différences entre les signaux ( )tseau et ( )tséch sont d'abord dues à la traversée de

l'échantillon d'épaisseur D : le temps d’arrivée est modifié par la propagation à la vitesse échV

dans le milieu, et l’amplitude diminue en raison de l’atténuation échα intrinsèque au milieu.

La forme du signal peut également être modifiée par le phénomène de dispersion, qui

correspond à une variation de la vitesse en fonction de la fréquence. D’autre part, la différence

d'impédance acoustique entre l'eau et le matériau entraîne la réflexion d'une partie de l'énergie

incidente à chaque interface. Rappelons que cette perte d'énergie due aux réflexions aux

interfaces est dissociée de l'atténuation intrinsèque, que nous cherchons à mesurer.

En régime d’onde plane harmonique, les deux signaux temporels acquis sont de la forme :

(2.1)

où les coefficients d’atténuation eauα et échα sont positifs.

Le coefficient de transmission global T en incidence normale pour un échantillon immergé

dans l'eau s'écrit, en supposant la vitesse dans l’eau indépendante de la fréquence [DIE 74] :

( ) ( )( )( )2

4

ωρρ

ωρρω

échécheaueau

échécheaueau

VV

VVT

+= (2.2)

Le rapport des transformées de Fourier ( )ωeauS et ( )ωéchS respectivement de ( )tseau et ( )tséch

peut alors s'écrire :

(2.3)

où ( )ωϕ∆ désigne la différence de phase entre les deux spectres ( )ωeauS et ( )ωéchS :

eauéch ϕϕϕ −=∆ avec Lkeaueau −=ϕ et ( ) DkDLk écheauéch −−−=ϕ .

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )[ ]( ) ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=

∆==

DVV

jexpDexpT

jexpS

S

S

SG

écheau

écheau

eau

éch

eau

éch

ω

ωωωααω

ωϕω

ω

ω

ωω

( ) ( )LktjexpEts eauoeau −= ωeau

eau

eau jV

k αω

−=

( ) ( )( )DkDLktjexpETts écheauoéch −−−= ωéch

éch

éch jV

k αω

−=

avec

avec


61

Le module de la fonction ( )ωG est directement lié à l'atténuation lors du trajet du faisceau, et

sa phase est liée aux vitesses de propagation dans l'eau et dans le matériau. On partira donc de

cette équation pour calculer les dispersions de vitesse de phase et d'atténuation. Notons que le

coefficient de transmission intervient dans le module de ( )ωG . La mesure précise de la

vitesse de phase est donc indispensable au calcul de l'atténuation. Nous avons donc dans un

premier temps effectué des mesures de la vitesse de phase.

2.2. Mesure de la vitesse de phase

2.2.1. Dispersion de vitesse : méthode de déroulement de phase

Le calcul de la vitesse de phase en fonction de la fréquence a été effectué par le biais de la

méthode de déroulement de phase, légèrement modifiée pour une meilleure précision. Nous

allons tout d'abord présenter la méthode de déroulement de phase classique, puis les

modifications apportées.

2.2.1.1. Méthode classique

Connaissant la fonction ( )ωG par le calcul des transformées de Fourier des deux signaux

enregistrés, on peut calculer la vitesse de phase en fonction de la fréquence d'après l'équation

(2.3) et la méthode de déroulement de phase classique avec la formule suivante :

(2.4)

où ( )fϕ∆ est la phase déroulée de ( )fG [HUL 85].

La phase d’un nombre complexe est calculée numériquement grâce à la fonction arctan qui

donne un résultat compris entre π− et π . Or dans l’expression d’une onde plane, le

déphasage dû à la propagation est une fonction croissante de la distance parcourue. Il faut

donc linéariser le résultat obtenu par la plupart des codes de calcul standard en déroulant la

phase.

Deux autres termes interviennent dans le calcul de la vitesse : D et eauV . L'épaisseur D de

l'échantillon a été mesurée à l'aide d'un micromètre. Quant à la vitesse des ondes ultrasonores

( ) ( )fD

VfV

fVeau

eauéch

π

ϕ

21

∆−

=


62

dans l'eau, elle peut s'obtenir soit par la mesure, en enregistrant les temps de vol pour deux

distances parcourues différentes, soit par la formule suivante, en fonction de la température T

[DEL 72] :

(2.5)

avec 3

0 10.140238754,0=a , 11 10.503711129,0=a , 1

2 10.580852166,0 −−=a

33 10.334198834,0 −=a , 5

4 10.147800417,0 −−=a , 85 10.314643091,0 −=a .

La vitesse dans l'eau n'est pas fonction de la fréquence car l'eau n'est pas un milieu dispersif.

La difficulté de cette méthode vient des sauts intempestifs de la phase, pouvant être dus à la

dispersion ou aux bruits sur les signaux traités. Ces sauts peuvent altérer le déroulement de la

phase, en particulier au point de départ du déroulement (début de la bande de fréquence de

travail). La pente de la phase reste alors juste, mais la détermination de la valeur absolue de la

phase est relativement difficile et présente alors une incertitude de πk2 .

2.2.1.2. Modification apportée

En raison de ces difficultés, nous avons été amenés à modifier légèrement cette méthode

classique de déroulement de phase, en nous basant sur les travaux de Peters [PET 03]. L'idée

est de recaler préalablement les deux signaux temporels (dans l'eau et à travers l'échantillon)

par intercorrélation, puis d'appliquer ensuite le déroulement de phase classique. Cette

opération a pour but d'augmenter la fiabilité du terme ( )fϕ∆ .

L'intercorrélation est couramment utilisée pour calculer l'écart de temps de vol global entre

deux signaux. La méthode d'intercorrélation sera expliquée plus en détail dans le paragraphe

suivant. La fonction d'intercorrélation étant discrète, on obtient en fait un nombre m de points

d'écart entre les deux signaux. La Figure 2.3 décrit la translation temporelle de m points

appliquée à l'un des signaux afin de superposer les deux signaux.

On calcule alors la différence de phase ϕ~∆ des deux signaux ainsi superposés, qui est

comprise entre 2π− et 2π . La différence de phase totale est donc composée de deux

termes :

( ) ( ) ( )f~dtmff ϕπϕ ∆+−=∆ 12 (2.6)

( ) k

k keauaV TT ∑ =

= 5

0


63

avec dt la période d'échantillonnage temporel.

Figure 2.3 : Recalage des signaux pour calculer la différence de phase.

Ces deux termes sont tracés séparément sur la Figure 2.4. Le premier terme est la partie

linéaire par rapport à la fréquence (courbe verte). Il correspond à l'écart global entre les deux

signaux calculé par intercorrélation. Le second terme correspond à la dispersion, c'est-à-dire

les modifications locales, faibles, de la phase en fonction de la fréquence (courbe bleue). On

remarque que si le matériau avait simplement fait subir au faisceau une translation temporelle

par rapport au signal dans l'eau, sans aucune dispersion, le second terme serait nul. La

différence de phase serait alors purement linéaire par rapport à la fréquence, ce qui implique

une vitesse constante par rapport à la fréquence.

Figure 2.4 : Exemple de parties linéaire et dispersive de la phase.

Le principal avantage de cette modification est qu'elle supprime l'erreur possible sur la phase

de πk2 de la méthode classique de déroulement de phase [HE 99, PET 03], en déterminant la

partie linéaire de la phase. Elle a été adoptée en raison des écarts importants observés dans un

premier temps entre les résultats de la méthode classique et les résultats des méthodes

d'intercorrélation et de Hilbert, que nous allons expliquer maintenant.

m points


64

2.2.2. Calcul d'incertitude

Le degré de confiance sur les valeurs obtenues a été vérifié. Pour cela, l'incertitude de la

mesure a été calculée. Elle se calcule en répercutant les incertitudes des différents termes

intervenant dans l'équation de la vitesse de phase, c'est-à-dire la vitesse de propagation dans

l'eau, la différence de phase et l'épaisseur de l'échantillon.

Vitesse de propagation dans l'eau :

Le couplant utilisé ici est de l'eau déminéralisée. La vitesse de propagation des ultrasons est

calculée à partir de la température par le biais du polynôme du cinquième ordre [DEL 72]

donné par l’équation (2.5).

L'incertitude liée à la vitesse ultrasonore dans l'eau est donc obtenue à partir de l'incertitude de

mesure de la température, qui est de 0,1°C.

Le calcul de l'erreur est alors : ( )( ) TTakTdTdV

Vk

kk

eaueau δδδ ⋅+== ∑ = +

4

0 11 .

Le coefficient devant Tδ est positif donc le passage aux incertitudes donne :

( )( ) TTakVk

kkeau ∆⋅+=∆ ∑ = +

4

0 11

La Figure 2.5 montre que ce terme de l'incertitude jouera peu sur l'incertitude globale de la

mesure de vitesse car les valeurs d'incertitude de la vitesse dans l'eau sont de l'ordre de 0,3

m/s pour une incertitude sur la température de 0,1°C.

Figure 2.5 : Incertitude de la vitesse dans l'eau en fonction de la température.

Ecart du temps de vol :

La différence de phase, apparaissant dans la formule de la vitesse, est calculée sur la base de

l'écart du temps de vol global τ des deux signaux temporels :


65

( ) ( )f~ff ϕτπϕ += 2 , où ( ) dtm 1−=τ .

La fonction d'intercorrélation utilisée pour calculer τ est discrète. La précision de la mesure

est donc le pas d'échantillonnage de la fonction d'intercorrélation : τ∆ . Pour nos mesures, le

pas est de 4.10-9 s. Il est possible d'affiner la mesure en extrapolant la fonction afin de

diminuer le pas de discrétisation temporelle.

Epaisseur de l'échantillon :

L'épaisseur de l'échantillon est mesurée à l'aide d'un micromètre électronique. On peut donc

estimer la précision de cette mesure à 10-5m.

⇒ Vitesse de propagation dans l'échantillon :

A partir de toutes ces données, on peut calculer la précision de la mesure de la vitesse de

phase :

( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

D

D

fD

ffV

fD

fV

V

V

fD

ffV

fV

fV échéch

eau

eauéch

éch

éch∆

+∆+∆

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

∆

π

φτ

ππ

φ

2221 (2.7)

Le Tableau 2.1 montre les valeurs des incertitudes absolues et relatives pour chaque

échantillon. Cela conduit à une incertitude expérimentale sur la mesure de la vitesse de phase

de l'ordre de 40 m/s, soit 0,7 % environ. Ce résultat est très acceptable.

Echantillon 0° 10° 35° 45° 60° 80° 85°

Incertitude absolue (m/s) 35 37 46 47 47 40 40

Incertitude relative (%) 0.66 0.68 0.75 0.77 0.76 0.70 0.73

Tableau 2.1 : Incertitudes sur les mesures de vitesse à 2,25 MHz.

2.2.3. Méthodes d'intercorrélation et de Hilbert

Deux autres méthodes de traitement du signal ont été utilisées afin de valider les valeurs de

vitesse obtenues avec la méthode précédemment exposée. Elles ne permettent d'estimer la

vitesse qu'à une fréquence, et ne donnent donc pas accès à la dispersion. Elles représentent

cependant un très bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur des résultats obtenus.


66

Leur principe est basé sur la mesure précise de l'écart de temps de vol τ entre les deux

signaux considérés, en les comparant de façon globale afin de limiter l'effet de la dispersion.

La vitesse est ensuite calculée à l'aide de la formule suivante :

eau

eauéch

VD

VDV

τ−= (2.8)

qui résulte du fait que τ désigne la différence de temps de parcours entre un trajet dans l'eau,

à la vitesse eauV , et un trajet dans l'échantillon, à la vitesse échV , sur une même distance D .

2.2.3.1. Intercorrélation

L'intercorrélation de deux signaux est une mesure de leur degré de similitude de forme et de

position particulièrement utilisée pour le régime impulsionnel. La fonction d'intercorrélation

de deux signaux ( )ts1 et ( )ts2 est définie par [DUB 96] :

( ) ( ) ( )∫+∞

∞−

−= dutusustC SS 2121 (2.9)

Nous travaillons sur les spectres des signaux. Nous utiliserons donc la fonction

d'intercorrélation dans le domaine spectral, où elle se calcule de la façon suivante [MOU 96] :

( ) ( ) ( )( )fSfSFouriertC SS 21

1

21

−= (2.10)

où ( )fS2 désigne le complexe conjugué de la transformée de Fourier ( )fS2 du signal ( )ts2 .

La fonction d'intercorrélation présente alors un maximum à τ=t , où τ correspond au

décalage temporel à appliquer à ( )ts2 pour qu'il se superpose au mieux à ( )ts1 . La Figure 2.6

montre deux signaux expérimentaux et leur fonction d'intercorrélation. L'un des signaux a été

enregistré après un trajet dans l'eau, et l'autre après insertion de l'échantillon de soudure. Le

signal en présence de l'échantillon arrive plus tôt car les ondes longitudinales ont une vitesse

beaucoup plus grande dans l'acier que dans l'eau. Le décalage temporel entre les deux signaux

est alors déduit de l'abscisse du maximum de la fonction.

La vitesse ainsi calculée correspond à la vitesse pour une fréquence proche de la fréquence

centrale du signal [HUL 85].


67

Figure 2.6 : Fonction d'intercorrélation de deux signaux.

2.2.3.2. Transformée de Hilbert

La troisième méthode de calcul de la vitesse que nous avons utilisée est basée sur la

transformée de Hilbert. La transformée de Hilbert d’une fonction ( )tg est le produit de

convolution de ( )tg par tπ1− et est donc définie comme suit [AUD 96, MOU 96] :

( )( ) ( )∫

+∞

∞− −−= du

ut

ugtgTH

π

1 (2.11)

Dans le domaine spectral, la transformée de Hilbert de la fonction ( )tg s’écrit :

( )( ) ( ) ( )( )fGfsignejFouriertgTH −=−1

(2.12)

où ( )fG désigne la transformée de Fourier de ( )tg .

La transformée de Hilbert du rapport ( ) ( ) ( )fSfSfGeauéch

= présente alors deux branches

hyperboliques, d'asymptote verticale située à l’abscisse τ=t où τ désigne l’écart temporel

entre les deux signaux ( )tseau et ( )tséch (Figure 2.7).

Figure 2.7 : Transformée de Hilbert du rapport de deux spectres.

( )( )tgTH

τ

Transformée de Hilbert

τ signal dans l'eau

signal avecl'échantillon

eauéch SSC

Fonction d'intercorrélation

τ


68

A la différence de l'intercorrélation, la vitesse de phase calculée par transformée de Hilbert

correspond à la vitesse pour les basses fréquences de la largeur de bande du spectre [AUD

96].

2.2.4. Résultats et comparaison

Nous avons enregistré le signal de référence dans l'eau et le signal à travers le matériau pour

chaque échantillon de soudure ainsi que pour un échantillon prélevé dans le métal de base,

isotrope. La dispersion de vitesse de phase pour chaque échantillon a ensuite été calculée,

ainsi que la vitesse résultant des méthodes d'intercorrélation et de Hilbert.

2.2.4.1. Comparaison des trois méthodes

Nous avons comparé dans un premier temps les résultats du calcul de dispersion à 2,25 MHz

avec les valeurs données par les méthodes d'intercorrélation et de Hilbert. Les résultats sont

présentés dans le Tableau 1.1.

Les valeurs de vitesse de phase obtenues par les différentes méthodes de calcul sont très

proches les unes des autres pour tous les échantillons. L'écart maximal entre les résultats des

différentes méthodes est en effet de 0,46 %, ce qui est un très bon résultat.

Métal de base 0° 10° 35° 45° 60° 80° 85°

Dispersion à 2,25 MHz 5675 5381 5431 6050 6096 6078 5658 5545

Intercorrélation 5675 5373 5425 6054 6104 6085 5680 5548

Hilbert 5683 5384 5406 6047 6078 6069 5654 5548

Ecart max. (m/s) 8 11 25 7 26 16 26 3

Tableau 2.2 : Comparaison des valeurs des vitesses de phase obtenues par les trois méthodes

pour chaque échantillon (m/s).

2.2.4.2. Courbes de dispersion

Nous nous sommes ensuite intéressés aux courbes de dispersion de la vitesse de phase de

chaque échantillon. Les valeurs des vitesses de phase ont été calculées par le biais de la

méthode de déroulement de phase modifiée, comme expliqué précédemment. La bande de

fréquence 1,5 − 3 MHz a été exploitée. Elle correspond à la bande à -6dB du spectre du signal


69

émis. La Figure 2.8 présente le tracé des courbes de dispersion de chaque échantillon sur cette

bande de fréquences.

Figure 2.8 : Courbes de dispersion de la vitesse de phase pour chaque échantillon.

On peut observer que les courbes de vitesse de phase sont quasiment constantes en fonction

de la fréquence. Cela confirme que le matériau est faiblement dispersif du point de vue de la

vitesse de phase.

2.2.4.3. Courbe d’évolution de la vitesse en fonction de l’orientation des grains

Nous avons tracé la vitesse de phase à 2,25 MHz en fonction de l’orientation des grains. La

courbe est obtenue à partir des valeurs de dispersion précédentes, en ne gardant que les

valeurs à 2,25 MHz. D’autre part, la vitesse de phase théorique a été calculée, en fonction de

l’angle formé par la direction de propagation des ondes longitudinales avec l’orientation des

grains. Le calcul a été effectué par la résolution de l’équation de Christoffel à partir des

constantes d’élasticité de la soudure, données dans le premier chapitre. La Figure 2.9 présente

la courbe théorique ainsi que les points expérimentaux mesurés sur chaque échantillon de

soudure à 2,25 MHz.

On note tout d’abord sur la courbe expérimentale de grandes variations de vitesses selon

l’orientation des grains. L’amplitude maximale de variation est en effet d’environ 700 m/s.

Cela montre le comportement fortement anisotrope de la soudure. D’autre part, les points

expérimentaux sont en bon accord avec la courbe théorique. L'écart plus important à 0° peut

s’expliquer par le fait que les vitesses théoriques sont calculées en supposant la propagation


70

dans un plan principal de la symétrie orthotrope ce qui n'est pas tout à fait le cas pour les

échantillons expérimentaux (légère désorientation des grains dans le sens de soudage).

Figure 2.9 : Courbes théorique et expérimentale de la vitesse de phase en fonction de l’angle

faisceau/grains à 2,25 MHz.

Après la comparaison de différentes méthodes de mesure, et la comparaison à la théorie, nous

pouvons considérer que la mesure de vitesse de phase est validée.

2.3. Mesure de la dispersion d'atténuation

Après validation des mesures de vitesse de phase, l’atténuation a pu alors être calculée. Nous

présentons tout d’abord la méthode de calcul, puis les résultats de mesure sur les échantillons

de soudure. Nous commenterons ensuite ces résultats en détail.

2.3.1. Méthode de calcul

La mesure de l’atténuation est obtenue à partir du module ( )fG du rapport des spectres des

deux signaux transmis dans l’eau et dans l’échantillon. L’atténuation est donnée, d'après

l'équation (2.3), par l’expression suivante :

(2.13)

De manière à soustraire la perte d’énergie due aux réflexions à l’entrée et à la sortie de

l’échantillon, un premier terme correctif apparaît ( ( )( )fTln ). Le second terme correctif

( ) ( )( ) ( )[ ] ( )ffGlnfTlnD

f eauéch αα +−=1


71

( ( )feauα ) est relatif à l’atténuation des ondes ultrasonores dans l’eau, qui peut être négligé,

comme nous l’avons vu.

2.3.2. Calcul d'incertitude

Dans le calcul de l'atténuation intervient le coefficient de transmission ainsi que la densité de

l'eau et de l'échantillon.

Coefficient de transmission :

Rappelons que le coefficient global de transmission s'écrit :

( ) ( )( )( )2

4

fVV

fVVfT

échécheaueau

échécheaueau

ρρ

ρρ

+=

L'incertitude ( )( )fT∆ du coefficient de transmission dépend donc de l’incertitude sur la

vitesse dans l’eau et dans l’échantillon, ainsi que sur la densité de l’eau et de l’échantillon :

( )( )( )

( )( )

( )( ) ⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ∆+

∆+

∆+

∆

+

−=

∆

fV

fV

V

V

fVV

fVV

fT

fT

éch

éch

éch

éch

eau

eau

eau

eau

échécheaueau

échécheaueau

ρ

ρ

ρ

ρ

ρρ

ρρ

Densité de l'eau :

La densité de l'eau est classiquement égale à 1000 kg/m3. Nous estimerons que l'incertitude

sur cette valeur est de 5 kg/m3.

Densité de l'échantillon :

Nous reprendrons la mesure de Chassignole [CHA 00] par la méthode de double pesée, et qui

obtient, pour la soudure D704, une incertitude de 5 kg/m3.

⇒ Atténuation dans l'échantillon :

On peut alors calculer l'incertitude sur l'atténuation mesurée :

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )D

D

fGlnfTln

fT

fT

Dféch ∆

−+

∆=∆ 2

1α (2.14)

Expérimentalement, on trouve une incertitude de l'ordre de 0,012 dB/mm quelle que soit la

valeur de l'atténuation. Cela signifie que l'incertitude relative sera d'autant plus grande que la


72

valeur de l'atténuation est faible, comme le montre le Tableau 2.3 qui détaille les valeurs

d'incertitude sur les mesures d'atténuation.

Echantillon 0° 10° 35° 45° 60° 80° 85°

Incertitude absolue (dB/mm) 0.0113 0.0118 0.0121 0.0122 0.0123 0.0119 0.0130

Incertitude relative (%) 5.50 6.65 15.79 26.34 13.68 4.80 3.90

Tableau 2.3 : Incertitudes sur les mesures d'atténuation à 2,25 MHz.

2.3.3. Résultats de mesure en fonction de la fréquence

L’atténuation a été déduite des traitements des signaux mesurés sur les différents échantillons

de soudure. Les courbes de dispersion sont tout d’abord tracées, et au vu des questions

soulevées par l'allure de ces courbes, la bande de fréquence de travail est élargie.

2.3.3.1. Courbes de dispersion de 1,5 à 3 MHz

Nous nous intéressons dans un premier temps aux courbes d’atténuation en fonction de la

fréquence pour chaque échantillon. Elles sont présentées sur la Figure 2.10.

Figure 2.10 : Courbes de dispersion de l’atténuation pour chaque échantillon.

Notons tout d'abord que l'atténuation dans le métal de base, isotrope, est très faible, de l'ordre

de 0,01 dB/mm. D'autre part, pour quatre des sept échantillons de soudure, on observe une

croissance globale de l'atténuation en fonction de la fréquence. Cependant, les courbes

correspondant aux grains orientés à 0°, 10° et 80° présentent des oscillations, qui n'ont a priori


73

aucun sens physique. Ce comportement a été observé sur toutes les séries de mesures

effectuées. Nous allons tenter d'identifier et d'analyser les sources possibles de ce

comportement dans le paragraphe suivant.

2.3.3.2. Origines des oscillations

Les oscillations des courbes d’atténuation en fonction de la fréquence peuvent être dues, soit

au traitement numérique effectué, soit à la configuration expérimentale, soit à la valeur de la

fréquence choisie. Nous allons donc étudier ces différents paramètres.

Le traitement des signaux :

La première cause possible est le fenêtrage numérique des signaux acquis pour appliquer la

transformée de Fourier. En effet, les signaux sont découpés à l'aide d'un fenêtrage

rectangulaire (Figure 2.11.a), qui peut amener du bruit dans la transformée de Fourier en

raison des discontinuités que cela peut introduire aux extrémités du signal traité.

a) b)

Figure 2.11 : Filtrage d'un signal par une fenêtre rectangulaire (a) et de Hanning (b).

Les courbes d'atténuation ont été recalculées en découpant les signaux à l'aide d'une fenêtre de

Hanning (Figure 2.11.b), qui supprime les discontinuités aux extrémités. Ces nouvelles

courbes sont tracées sur la Figure 2.12.

On peut noter que les oscillations observées sur la Figure 2.10 ont été considérablement

réduites, mais persistent pour les échantillons à 0° et 10°. Le traitement des signaux contribue

donc en grande partie aux oscillations des courbes. Mais ce n'est pas a priori la seule cause.

D'autres hypothèses, liées à la configuration expérimentale, peuvent être formulées pour

expliquer l’allure des courbes.


74

Figure 2.12 : Courbes de dispersion de l’atténuation après filtrage des signaux.

La mesure en champ proche :

La limite de champ proche à 2,25 MHz pour un capteur de diamètre 0,5" est de 60 mm

(rappelons qu'elle est donnée par : λ42

Dzlim = où D est le diamètre du capteur et λ la

longueur d'onde). Or les deux transducteurs sont séparés d'environ 50 mm. Les mesures sont

donc faites en champ proche. Dans cette zone, la pression (donc l'amplitude) varie selon la

distance au capteur. Sur l'axe du capteur, elle est donnée par :

( ) tj

o ezzDksinVUt,zpωρ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

22

2

12 (2.15)

où oU est un terme d'amplitude dépendant de l'impulsion électrique du capteur, ρ et V sont

respectivement la masse volumique et la vitesse des ondes dans le milieu et k est le nombre

d'onde dans le milieu.

La pression théorique sur l'axe à 2,25 MHz est représentée sur la Figure 2.13, en fonction de

la distance à l'émetteur. On peut observer l’allure classique consistant en de fortes variations

de l'amplitude dans le champ proche, puis un maximum à la limite de champ proche, et une

décroissance en z1 dans le champ lointain.

Figure 2.13 : Pression normalisée sur l'axe d’un émetteur de diamètre 0,5" à 2,25 MHz.


75

Les mesures sont effectuées à 50 mm de l’émetteur. Or les vitesses des ondes planes dans la

soudure sont plus grandes que la vitesse dans l'eau. La distance parcourue dans un échantillon

équivaut alors à une distance parcourue quatre fois plus petite dans l’eau si l’on considère que

la vitesse dans le matériau est quatre fois supérieure à celle dans l’eau. L’épaisseur des

échantillons étant d’environ 8 mm, la distance équivalente de mesure est assez peu modifiée,

de l’ordre de 48 mm. Ce paramètre jouera donc peu à ces fréquences et avec cette épaisseur

d'échantillon.

D'autre part, le même type de mesures a été réalisé en champ lointain, les échantillons étant

disposés à 80mm de l'émetteur, et les mêmes oscillations sur les courbes de dispersion

d'atténuation ont encore été observées. Cela ne semble donc pas être la raison de l'allure de

ces courbes.

La fréquence de travail : Une autre origine possible des oscillations est liée à la longueur d’onde associée à la

fréquence de travail relativement à l’épaisseur des échantillons. C’est pourquoi nous avons

étendu les mesures sur les échantillons de soudure à d’autres fréquences, dans le but de

vérifier si le problème n'est pas propre à la bande de fréquence 1,5−3 MHz.

Deux autres séries de mesures ont alors été réalisées. Nous avons effectué des mesures

identiques aux précédentes, en remplaçant les deux capteurs de fréquence centrale 2,25 MHz

par deux capteurs de fréquence centrale 5 MHz puis 7,5 MHz. Le même traitement des

signaux mesurés a permis de tracer l’atténuation de 1,5 à 10 MHz. Les raccordements des

courbes sur les trois bandes de fréquences sont tracés sur la Figure 2.14. Les résultats tracés

n’ont pas été traités par fenêtrage de Hanning afin de mieux observer l’effet de la fréquence

sur le comportement oscillatoire des courbes.

Tout d’abord, la croissance de l’atténuation avec la fréquence est confirmée, quelle que soit

l’orientation des grains. D’autre part, les raccordements de chaque courbe sur les différents

domaines fréquentiels sont relativement bons, ce qui renforce la confiance en la méthode de

mesure et de traitement (l'incertitude liée aux mesures sera calculée ultérieurement).

On remarque également que les oscillations tendent à disparaître dans les plus hautes

fréquences. Notons que la conclusion précédente sur l'absence d'influence du champ proche


76

est confirmée ici. En effet, l'augmentation de la fréquence implique une augmentation de la

distance de champ proche. Les oscillations sont donc propres aux plus basses fréquences pour

les échantillons étudiés.

Figure 2.14 : Raccordement des courbes de dispersion de l’atténuation de 1,5 à 10 MHz.

D'autre part, l'atténuation dans le métal de base, faible aux basses fréquences, augmente de

manière importante et atteint des valeurs supérieures à celles de la plupart des échantillons de

soudure. Cela peut paraître étonnant, mais peut s'expliquer par les lois d'atténuation prévues

en fonction de la région de diffusion concernée par les différents échantillons. La Figure 2.15

présente le tracé des lois que devraient suivre l’atténuation de différents échantillons (valeurs

basées sur la valeur expérimentale atteinte à 10 MHz).

Figure 2.15 : Lois d'atténuation de différents échantillons de soudure et du métal de base.


77

En effet, le métal de base est constitué de grains très petits (de l'ordre de 50-100 µm) par

rapport à la longueur d'onde (de 6 mm à 1 MHz, à 0,6 mm à 10 MHz). Le métal de base doit

donc suivre la loi d'atténuation de la région de Rayleigh, en 4

f . Les échantillons de soudure,

dont les dimensions des grains ont été estimées à 150-200 µm x 4-5 mm, se situent davantage

dans la région stochastique, en 2

f (ou à la transition stochastique – Rayleigh selon

l’orientation des grains et la fréquence). La courbe en 4

f du métal de base a des valeurs très

faibles pour les basses fréquences, mais croît ensuite plus rapidement que les courbes en 2

f

des échantillons de soudure.

2.3.3.3. Conclusions

Les orientations de grains pour lesquelles on observe des oscillations des courbes

d'atténuation en fonction de la fréquence sont très différentes (0°, 10° et 80°), ce qui exclut

l’effet d’une orientation particulière des grains sur les ondes. On peut par ailleurs remarquer

que les courbes de dispersion de vitesse de phase de ces trois échantillons sont celles qui

oscillent le plus (cf. Figure 2.8).

Le fenêtrage rectangulaire des signaux mesurés est une cause très importante de l'oscillation

de ces courbes d'atténuation. Cependant, l'application d'un fenêtrage de Hanning a montré que

les oscillations observées sur les trois échantillons demeurent. Il semble donc que ce

comportement ne soit pas essentiellement lié à un problème de traitement du signal. D'autres

hypothèses ont alors été avancées. Nous avons tout d'abord exploré le fait que les mesures de

l'atténuation soient effectuées en champ proche. Mais des mesures en champ lointain n'ont pas

conduit à de meilleurs résultats. La bande de fréquence de travail a alors été élargie jusqu'à 10

MHz. Nous avons alors pu remarquer que les oscillations se dissipent lorsque la fréquence

augmente.

D'autre part, on peut remarquer que les oscillations semblent périodiques. Ceci peut faire

penser à un phénomène de guide d'ondes ou de résonance. En effet, ce type de phénomène

apparaît lorsque la dimension des "lames" (ici, des grains) est comparable à λ . Or la longueur

d'onde est de l'ordre de 2,5 mm pour une fréquence de 2,25 MHz, et nous avons vu

précédemment que les dimensions des grains sont de l'ordre de 150 à 200 µm de diamètre et

en moyenne 4 mm de longueur. Si, cette hypothèse est plausible pour les échantillons dont les


78

grains sont orientés à 0° et à 10°, elle ne l'est pas pour l'échantillon à 80°. Une autre piste à

explorer serait la mesure sur deux autres jeux d'échantillons, d'épaisseurs différentes. Cette

étude est en perspective.

Bien que les résultats semblent poser moins de questions à plus haute fréquence, nous

essayons de répondre au problème industriel de contrôle des soudures qui s’effectue

généralement à la fréquence de 2,25 MHz. Nous allons donc maintenant observer l’évolution

de l’atténuation mesurée à 2,25 MHz en fonction de l’orientation des grains.

2.3.4. Evolution de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains

2.3.4.1. Courbe expérimentale

L’atténuation a été tracée à 2,25 MHz en fonction de l’orientation des grains, à partir des

courbes de dispersion de la Figure 2.10. Rappelons que l’intégration de l’atténuation

intrinsèque au matériau dans le code ATHENA sera effectuée sur la base de cette courbe. La

courbe correspondant aux mesures effectuées est tracée sur la Figure 2.16.

Figure 2.16 : Courbe de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains à 2,25 MHz.

La courbe présente une décroissance jusqu’à un minimum en 45°, puis une croissance

jusqu’au maximum en 90°. Elle traduit, comme pour la vitesse de phase, un comportement

fortement anisotrope du matériau du fait de son allure et de l’écart important entre le

minimum et le maximum.


79

2.3.4.2. Comparaison aux valeurs expérimentales de la littérature

Nous avons comparé cette courbe à des valeurs de la littérature afin de vérifier l’ordre de

grandeur de nos mesures. En effet, Seldis [SEL 00] a mesuré l’atténuation des ondes

ultrasonores longitudinales sur des échantillons de soudure très similaires aux nôtres. Le

Tableau 2.4 montre que les valeurs de constantes d’élasticité des échantillons étudiés par

Seldis sont très proches des nôtres. De même, les courbes de vitesse et de déviation des ondes

longitudinales tracées sur la Figure 2.17 montrent cette similitude.

C11 C13 C33 C55 C66

Echantillons étudiés 2.37 1.32 2.10 1.22 0.70

Seldis 2.575 1.505 2.201 1.187 0.768

Tableau 2.4 : Comparaison des valeurs de constantes d’élasticité avec celles des échantillons

de Seldis [SEL 00] (GPa).

a) b)

Figure 2.17 : Courbes de vitesse et de déviation des ondes longitudinales : comparaison entre

la soudure de notre étude et la soudure étudiée par Seldis.

Cela nous autorise à comparer nos mesures d’atténuation à celles reportées dans l'article de

Seldis. Ces mesures ont été effectuées dans une configuration de mesure semblable à la nôtre :

en immersion et en transmission, à une fréquence centrale de 2,25 MHz, mais avec deux

transducteurs de même diamètre (0,5''). La Figure 2.18 présente sur le même graphique les

deux séries de mesures.


80

Figure 2.18 : Atténuation en fonction de l'orientation des grains : comparaison avec les valeurs

mesurées par Seldis [SEL 00].

Un très bon accord entre les deux séries de valeurs expérimentales est observé. En effet,

l’allure des courbes et les valeurs d’atténuation sont similaires. Nous allons maintenant

comparer ces résultats expérimentaux aux prévisions théoriques du modèle d'Ahmed.

2.3.4.3. Comparaison aux résultats du modèle d’Ahmed

Nous avons vu dans le premier chapitre qu'Ahmed [AHM 92, AHM 02] proposait un modèle

théorique de diffusion adapté aux soudures hétérogènes anisotropes. Nous avons donc

effectué des calculs du coefficient d'atténuation pour les différentes orientations de grains

étudiées et avec diverses tailles de grain ("d" est le diamètre moyen des grains, et "h" la

longueur moyenne). Les résultats à 2,25 MHz sont présentés sur la Figure 2.19.

Atténuation pour d/h=0.05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0 15 30 45 60 75 90Orientation des grains (°)

Atté

nuat

ion

(dB

/mm

) d=150µm,h=3mmd=200µm,h=4mmd=350µm,h=7mmd=400µm,h=8mm

Figure 2.19 : Atténuation à 2,25 MHz en fonction de l'orientation des grains : résultats du

modèle d'Ahmed pour différentes valeurs de (d;h), avec d/h=0.05.


81

Comme nous l'avons vu dans le premier chapitre, le modèle prévoit une croissance monotone

de l’atténuation de 0° à 90°. La comparaison de nos mesures aux prévisions du modèle

théorique d’Ahmed montre donc un désaccord du point de vue de l'allure de la courbe pour

des orientations de grains allant de 0° à 45°, et un bon accord de 45° à 90°.

D'autre part, divers couples de valeurs (d;h) ont été testés pour comparer les valeurs

d'atténuation obtenues. Il apparaît que le modèle est très sensible aux valeurs de taille de

grains. Or l’estimation des dimensions des grains est très difficile. Elle peut se faire par

analyse d’images macrographiques ou par analyse EBSD (cf. Annexe 4).

L'utilisation des dimensions estimées des grains pour nos échantillons (150 à 200 µm de

diamètre et 3 à 4 mm de longueur) aboutit à des valeurs inférieures aux valeurs

expérimentales. En revanche, le couple de valeurs (d = 400 µm; h = 8 mm) permet d'obtenir

des valeurs d'atténuation théorique proches de nos valeurs expérimentales.

Diverses hypothèses peuvent être avancées afin d’expliquer ces différences d'allure et de

valeur :

L'inhomogénéité des capteurs ajoutée à la déviation du faisceau :

Les transducteurs n'émettent pas et ne reçoivent pas de façon homogène sur toute leur surface.

En effet, nous utilisons des capteurs Panametrics en immersion qui comportent un ruban de

contact à la surface. Ce ruban a été mis en évidence visuellement et acoustiquement. De plus,

comme nous l'avons vu dans le premier chapitre, le faisceau est dévié en fonction de

l'orientation des grains qu’il traverse. La comparaison des faisceaux enregistrés par le

récepteur avec et sans échantillon peut alors être altérée. Cependant, cette hypothèse a été

infirmée par d'autres mesures. Ceci joue donc très peu sur les valeurs d’atténuation.

La structure réelle du matériau :

C’est l’hypothèse la plus probable expliquant les différences constatées. En effet,

expérimentalement, l'atténuation dans l'échantillon à 0° n'est pas nulle, comme le prédit le

modèle d'Ahmed. Cependant le modèle part de l'hypothèse d'un matériau parfaitement

isotrope transverse, alors que dans la réalité, les grains de nos échantillons présentent une

légère désorientation dans le sens de soudage, et ne sont pas forcément parfaitement alignés

selon un axe cristallographique <100>. Par ailleurs, le modèle s'applique à une onde plane

unique, alors qu'expérimentalement, le faisceau ultrasonore a une extension spatiale limitée et


82

peut être vu comme une superposition d'ondes planes monochromatiques d'incidences

variables.

Ces différences entre les prédictions théoriques et les valeurs expérimentales constituent l'une

des raisons pour laquelle nous avons décidé de mettre en œuvre une autre approche

expérimentale, qui sera exposée dans le chapitre suivant.

2.4. Synthèse et discussion

La méthode de mesure décrite et utilisée dans ce chapitre fournit de très bons résultats sur les

échantillons de soudure en terme de vitesse de phase. En effet, d'une part la comparaison entre

différentes méthodes de calcul confirme l'ordre de grandeur des vitesses mesurées, et d'autre

part la comparaison avec les valeurs théoriques calculées à partir des constantes d'élasticité du

matériau a également révélé un très bon accord. De plus, l'incertitude de mesure est de l'ordre

de 0,7 %, ce qui est aussi un très bon résultat.

Les mesures d'atténuation sur les différents échantillons montrent des oscillations en fonction

de la fréquence pour certaines orientations de grains. Ces oscillations ne sont a priori pas

intrinsèques au matériau, et révèlent donc des imperfections dans le dispositif expérimental

et/ou le traitement des mesures. Diverses explications possibles ont été analysées. Nous avons

pu en outre remarquer que les oscillations tendent à disparaître lorsque la fréquence des ondes

augmente, ainsi que lorsque les signaux sont filtrés par une fenêtre de Hanning plutôt que

rectangulaire.

D'autre part, bien que l’atténuation augmente globalement lorsque la fréquence augmente, le

matériau étudié est faiblement dispersif puisque les vitesses sont quasi-constantes par rapport

à la fréquence. Ces deux paramètres présentent par ailleurs d’importantes variations selon

l’angle entre le faisceau et l'axe d’orientation des grains, caractérisant un comportement

fortement anisotrope.

Les prédictions du modèle théorique d'Ahmed ont montré un bon accord avec nos mesures du

point de vue de l'allure de la courbe pour des orientations de grains allant de 45° à 90°. En

revanche, l’allure de 0° à 45° diffère des prédictions de cette théorie. Il faut cependant noter

que Seldis, le seul auteur qui à notre connaissance a réalisé le même type de mesures


83

expérimentales sur des échantillons assez similaires aux nôtres, a obtenu les mêmes résultats

que nous avec un montage expérimental similaire. Les allures des courbes et les valeurs

obtenues sont en très bon accord avec les nôtres.

La technique présente des limites du fait du caractère 1D des mesures effectuées, et également

du fait que les soudures étudiées sont des matériaux complexes (anisotropie et grains de taille

importante). D’autres limites sont également à prendre en compte, comme le fait que les

capteurs soient fixes et la prise en compte simplifiée des coefficients de transmission.

Diverses perspectives sont envisageables pour améliorer les mesures : déplacement du

récepteur, mesures sur des échantillons plus épais, travail en champ lointain...

Nous avons choisi d'aborder une seconde approche expérimentale, plus élaborée. Elle est

basée sur la cartographie des faisceaux incident et transmis à travers chaque échantillon. Cette

autre technique permettra de considérer l'aspect 2D du faisceau, et ainsi de mieux comprendre

et de visualiser la propagation des ondes ultrasonores à travers les différents échantillons

étudiés. Elle permettra également de prendre en compte l'ouverture du faisceau par

l'application des coefficients de transmission adaptés.

85

3. MESURE DE L'ATTENUATION PAR DECOMPOSITION DU FAISCEAU EN SPECTRE D’ONDES PLANES

3.1. Dispositif expérimental et principe général .................................................................. 86

3.2. Mesures point par point.................................................................................................. 88

3.2.1. Principe........................................................................................................................ 88 3.2.2. Cartographies du faisceau ultrasonore ........................................................................ 89

3.3. Décomposition en spectre angulaire d'ondes planes .................................................... 92

3.3.1. Cartographie spectrale................................................................................................. 92 3.3.2. Spectre d'ondes planes................................................................................................. 93

3.4. Application des coefficients de transmission ................................................................ 95

3.4.1. Calcul des coefficients de transmission ...................................................................... 95 3.4.2. Comparaison des résultats......................................................................................... 100

3.5. Calcul de l'atténuation.................................................................................................. 102

3.5.1. Formulation ............................................................................................................... 102 3.5.2. Résultats expérimentaux ........................................................................................... 103

3.5.2.1. Avec l’hydrophone en réception ...................................................................................103 3.5.2.2. Avec le capteur de 0,5" en réception ............................................................................104

3.6. Conclusions et perspectives .......................................................................................... 106

Chapitre 3. Mesure de l'atténuation par décomposition du faisceau en spectre d’ondes planes

86

Une seconde approche expérimentale a été abordée dans le but de considérer l’aspect 2D de la

mesure et les conversions de mode à la traversée des échantillons en raison de l’ouverture du

faisceau. Nous présentons tout d'abord le dispositif mis en œuvre, comprenant un récepteur

effectuant des mesures point par point. Puis, les coefficients de transmission en incidence

quelconque sont calculés afin de prendre en compte l'ouverture du faisceau ultrasonore,

préalablement décomposé en spectre d'ondes planes. Enfin différents résultats de mesure

seront présentés.

3.1. Dispositif expérimental et principe général

Le dispositif de mesure vise à cartographier l'amplitude du faisceau transmis à travers un

échantillon donné. Cela permettra d'observer les effets de la divergence du faisceau émis ainsi

que sa déviation lors de la traversée de l'échantillon. Le dispositif est toujours en immersion et

est schématisé sur la Figure 3.1. Il est composé d'un transducteur émetteur de diamètre 0,5" et

de fréquence centrale 2,25 MHz (capteur identique à l'émetteur du dispositif précédent), et

d'un capteur en réception. Deux options sont envisagées pour le récepteur : un hydrophone, de

diamètre 0,5 mm, ou un capteur identique à l’émetteur, de 0,5". L'émetteur est fixe, et le

récepteur est piloté par des moteurs pas à pas de Microcontrôle.

Figure 3.1 : Dispositif expérimental.

GPIB

80 mm

générateur SOFRANEL amplificateur

oscilloscope TEKTRONICS

Microcontrôle

GPIB

émetteur

récepteur


87

L'échantillon est placé dans le champ lointain de l'émetteur, à une distance de 80 mm. De ce

fait, le faisceau arrivant sur l'échantillon est homogène, comme le montre la Figure 3.2, sur

laquelle est représentée l'amplitude crête-à-crête du signal mesuré en réception en chaque

point de mesure. De manière identique au dispositif précédent, la normale du faisceau à

l'échantillon est réglée sur l'émetteur, à l'aide de vis de réglage. D’autre part, les deux axes de

mobilité du récepteur permettent son déplacement dans un plan parallèle aux grandes faces de

l'échantillon.

Figure 3.2 : Visualisation du faisceau en fonction de la distance à l'émetteur.

La mesure de l'atténuation par cette technique repose sur la comparaison de l'énergie

transmise à travers l'échantillon à l'énergie théoriquement transmise [SEL 98]. Cette dernière

est calculée à partir du faisceau incident auquel nous avons appliqué les coefficients de

transmission théoriques : le faisceau incident est mesuré point par point à la distance

correspondant à la position de la face avant de l'échantillon, puis il est décomposé en spectre

angulaire d'ondes planes auquel on applique les coefficients de transmission. Chaque onde

plane composant le faisceau est ainsi prise en compte. Ce traitement nécessite donc le calcul

des coefficients de transmission en incidence quelconque à travers un matériau orthotrope.

L'application des coefficients de transmission au faisceau incident permet de modéliser les

émetteur

limite de champ proche

position choisie de l'échantillon

faisceau inhomogène

faisceau homogène


88

phénomènes induits par l'ouverture du faisceau, comme les conversions de mode à chaque

interface.

Nous allons décrire en détail les démarches expérimentale et théorique effectuées pour aboutir

à la valeur de l’atténuation : tout d’abord les mesures en C-scan (représentation de type C

selon la norme française) pour chaque échantillon, puis la décomposition de chaque faisceau

en spectre angulaire d’ondes planes, afin d’appliquer les coefficients de transmission, et pour

finir, le calcul de l’atténuation à partir du calcul des énergies incidentes et transmises.

3.2. Mesures point par point

3.2.1. Principe

Le récepteur décrit un quadrillage de 32 mm sur l’axe 2x par 28 mm sur l’axe 3x , avec un pas

de déplacement de 1 mm dans les deux directions (Figure 3.3.a). La zone scannée a donc une

surface de 896 mm² pour une surface d'émetteur de 126 mm². En chaque point de mesure, le

signal reçu par le récepteur est moyenné et enregistré. Cette première étape permet par ailleurs

de visualiser le faisceau incident et sa déformation éventuelle après la traversée de chaque

échantillon.

Deux séries de mesures point par point (C-scan) sont nécessaires pour un échantillon :

1. une cartographie du faisceau incident, pour laquelle le récepteur scanne le plan

correspondant à la face avant de l'échantillon ;

2. une cartographie du faisceau transmis, pour laquelle l'échantillon est inséré et le récepteur

reculé afin de scanner un plan derrière la pièce (Figure 3.3.b).

Figure 3.3 : Vues de dessus (a) et de face (b) des zones scannées par le récepteur.

échantillonzone scannéepar l'hydrophone

taille et positionde l'émetteur

80 mm

40 mm

plan scanné avec échantillon

plan scanné sans échantillon

a) b) 2x

3x

7,86 mm


89

En présence de l’échantillon, le récepteur a été positionné à 40 mm de la face arrière de

l’échantillon. En effet, la mesure de l’amplitude en fonction de la distance entre l’échantillon

et le récepteur a mis en évidence d’importantes fluctuations dans la zone proche de la face

arrière, comme le montre la Figure 3.4. Ce phénomène est comparable à un effet de champ

proche avec comme émetteur le matériau polycristallin (les grains étant autant de sources

diffusant les ondes ultrasonores). Pour une distance de 40 mm, les variations apparaissent

stabilisées.

Figure 3.4 : Exemples de variations d’amplitude en fonction de la distance entre l’échantillon et

le récepteur (échantillons : 10 et 85°).

3.2.2. Cartographies du faisceau ultrasonore

Nous commençons par visualiser les faisceaux incident et transmis à travers chaque

échantillon : en chaque point de la cartographie, l'amplitude crête-à-crête du signal enregistré

est codée en couleur. La Figure 3.5 montre le champ ultrasonore mesuré au niveau de la face

avant de l'échantillon, c'est-à-dire le champ qui arrivera à l'interface eau/échantillon lorsqu'un

échantillon sera inséré. On observe que le faisceau est homogène, comme prévu par la théorie

puisque la mesure est effectuée en champ lointain. La taille et la position de l'émetteur sont

superposées à l’image afin d'avoir une référence pour les déviations et divergences

éventuelles du faisceau.


90

Figure 3.5 : Image du faisceau incident.

La Figure 3.6 représente les amplitudes captées après la traversée de l'échantillon de métal de

base, isotrope. Le faisceau n'a pas été dévié et est toujours relativement homogène, mais il est

plus "étalé".

Figure 3.6 : Image du faisceau transmis à travers l'échantillon de métal de base.

Sur la Figure 3.7 sont représentées les images en amplitude du faisceau pour chacun des

échantillons de soudure. On peut tout d’abord noter qu’on retrouve les déviations du faisceau

prédites par la théorie (voir la courbe de la Figure 1.6). Les différentes orientations des grains

entraînent des déviations du faisceau selon l'axe horizontal des figures (axe 2x ). En

particulier, on observe une déviation importante pour l’échantillon "à 10°" et une déviation

quasi-nulle pour l’échantillon "à 45°". Les déviations du faisceau selon l’axe vertical sont

liées aux légères désorientations des grains dans le sens de soudage évoquées dans le

deuxième chapitre. Ce phénomène est notamment sensible pour l’échantillon "à 0°".

taille et position de l'émetteur

2x

3x


91

Figure 3.7 : Images du faisceau transmis à travers chaque échantillon de soudure.

D'autre part, on observe une déformation du faisceau plus ou moins importante selon

l’échantillon traversé. En particulier, la partie centrale du faisceau est divisée en plusieurs pics

pour les grains orientés à 80° et à 85°, c'est-à-dire quasi-parallèles aux grandes faces des

échantillons. Ces zones de fortes amplitudes sont étalées selon l’axe 2x qui correspond à l’axe

d’élongation des grains. La cartographie ultrasonore est donc dans ce cas révélatrice de la

structure granulaire de l’échantillon.

35° 45°

60° 80°

85°

0° 10°


92

En conclusion, la soudure perturbe davantage le faisceau que l’acier forgé isotrope, les

perturbations étant fonction de l’orientation des grains.

3.3. Décomposition en spectre angulaire d'ondes planes

Chaque faisceau va ensuite être décomposé en spectre d’ondes planes monochromatiques.

Cette décomposition a pour but de pouvoir appliquer les coefficients de transmission au

faisceau incident pour ensuite comparer les résultats aux spectres expérimentaux

correspondant aux différentes orientations de grains. La décomposition consiste à considérer

un faisceau ultrasonore comme une somme d'ondes planes monochromatiques (Figure 3.8).

Figure 3.8 : Diagramme de rayonnement d’un émetteur circulaire en champ lointain : schéma

de la décomposition d'un faisceau en somme d'ondes planes.

La décomposition s'effectue en deux étapes : à partir de la mesure de type C-scan, la

cartographie spatiale en terme de spectre est calculée puis on en déduit le spectre d'ondes

planes, par transformées de Fourier successives (Figure 3.9).

Figure 3.9 : Schéma du principe de calcul du spectre d'ondes planes.

3.3.1. Cartographie spectrale

Les spectres des signaux mesurés en chaque point par le récepteur sont calculés par

transformée de Fourier temporelle. Le choix d'une fréquence donne une nouvelle

cartographie, que nous appellerons "cartographie spectrale". En chacun de ses points

Cartographie avec 1 signal en

chaque point

Cartographie spectrale

Spectre d'ondes planes

TF 1D temporelle

TF 2D spatiale

+ choix d'une fréquence

émetteur

faisceau

iθ

jθ

amplitude de l’onde plane émise dans la direction iθ

amplitude de l’onde plane émise dans la direction jθ


93

correspondent l’amplitude et la phase de la composante du spectre à la fréquence choisie. La

Figure 3.10 montre la cartographie des amplitudes spectrales, à la fréquence de 2,25 MHz, du

faisceau incident.

Figure 3.10 : Cartographie spectrale en amplitude du faisceau incident à 2,25 MHz.

Cette image est définie dans le domaine spatial, en ( 2x , 3x ). On observe que le faisceau

incident présente une répartition spectrale quasi symétrique, comme pour la cartographie de

départ (Figure 3.5).

3.3.2. Spectre d'ondes planes

Le spectre d'ondes planes s'obtient alors en calculant la transformée de Fourier 2D spatiale de

la cartographie spectrale. Les spectres d’ondes planes sont définis dans le domaine des

fréquences spatiales, en ( 2k , 3k ). Rappelons que nous travaillons à une fréquence temporelle

fixe, qui est 2,25 MHz. La Figure 3.11 montre le spectre d’ondes planes du faisceau incident

tracé en amplitude.

La représentation graphique d'un spectre d'ondes planes, telle que la Figure 3.11.a, équivaut à

une figure de diffraction en optique. Chaque point du spectre angulaire représente la somme

des contributions des ondes arrivant avec l’incidence correspondante. Le centre de la figure

( 02 =k , 03 =k ) correspond à la somme des contributions des ondes arrivant en incidence

normale.


94

a) b)

Figure 3.11 : Spectre d'ondes planes du faisceau incident à 2,25 MHz : cartographie (a) et

coupe horizontale, à 03 =k (b).

Figure 3.12 : Spectre d'ondes planes du faisceau incident : tracé sous forme angulaire.

Notons que le terme de spectre "angulaire" vient du fait que la figure peut également se lire en

fonction de l’incidence de chaque composante en onde plane. En effet, les fréquences

spatiales 2k et 3k sont fonctions des angles θ et φ :

φθ cossinkk =2 et φθ sinsinkk =3 (3.1)

où θ est l'angle d'incidence de l'onde considérée dans le plan défini par l'angle φ .

La Figure 3.12 ci-dessus montre la représentation du spectre angulaire du faisceau incident en

coordonnées polaires, à l'aide des angles θ et φ définis ci-dessus et représentés sur le schéma

de droite.

1k

2k

3kk

θ

φφ = 0°

φ = 30°

φ = 60°

θ = 15°

θ = 30°


95

Les représentations ci-dessus du spectre angulaire d’ondes planes montrent la faible ouverture

du faisceau ultrasonore émis, que l'on peut estimer, d'après la coupe horizontale du spectre

(Figure 3.11.b), à environ 3,5°. On note que cette courbe présente une allure semblable à une

fonction de Bessel. La faible ouverture du faisceau est également mise en évidence par son

diagramme de rayonnement expérimental (Figure 3.13), qui est la représentation de la Figure

3.11.b en coordonnées polaires pour 03 =k .

Figure 3.13 : Diagramme de rayonnement expérimental du faisceau.

3.4. Application des coefficients de transmission

Le faisceau ayant été décomposé en une somme d'ondes planes monochromatiques, la

propagation dans le matériau peut alors être modélisée par l'application des coefficients de

transmission à chaque onde plane du spectre avec l'incidence correspondante. Nous

commençons donc par calculer les coefficients de transmission globale en incidence

quelconque.

3.4.1. Calcul des coefficients de transmission

Le principe général du calcul des coefficients de réflexion et de transmission a été abordé

dans le premier chapitre. Nous allons maintenant entrer davantage dans les détails de calcul.

Le but est d’obtenir le coefficient de transmission globale d’une onde plane longitudinale

incidente traversant un matériau orthotrope.

On considère donc une onde incidente longitudinale dans l'eau, arrivant avec une incidence

quelconque à la surface d’un matériau orthotrope. Le repère est choisi de façon à ce que l'axe

1 soit normal à la surface à l'échantillon, et que le plan (13) soit le plan de désorientation des

grains (Figure 3.14). Notons que nous nous basons sur l’hypothèse d’un matériau orthotrope,

mais sa description peut devenir monoclinique voir triclinique dans le repère choisi, lorsque

les axes principaux sont désorientés par rapport à la surface. C’est pourquoi les calculs seront

présentés dans le cas général triclinique.


96

A la première interface, la propagation de l'onde incidente peut être caractérisée par le vecteur

de déplacement incPuu = , où incP est le vecteur (unitaire) de polarisation, et par le vecteur

d'onde nkk incinc = , où n est la direction (unitaire) de propagation de l’onde. Ici, l'onde est

purement longitudinale car le milieu d’incidence est l’eau, et

[ ]φθφθθ sinsin,cossin,cosnPinc == .

Figure 3.14 : Repère de travail pour le calcul des coefficients de transmission.

Dans un plan non principal d'un milieu anisotrope, l'incidence de l'onde à la première

interface génère une onde réfléchie dans l'eau, purement longitudinale, de vecteur d'onde

réflréflréflréflréfl Pknkk == , où [ ]φθφθθ sinsin,cossin,cosPn réflréfl −== , et trois ondes

transmises mm k,P dans le matériau, où m désigne les trois modes générés L , 1T et 2T . A la

deuxième interface, chacun des trois modes propagés dans le matériau génère à nouveau trois

modes réfléchis. Et les ondes transmises sont définies par inctr PP = et inctr kk = (Figure

3.15).

Comme nous l'avons évoqué dans le paragraphe 1.2.3.2 du premier chapitre, la loi de Snell-

Descartes permet de connaître deux des trois composantes des vecteurs d'onde de toutes les

ondes générées : 22 incm kk = et 33 incm kk = . Pour pouvoir calculer les coefficients de réflexion

et transmission à chaque interface, les inconnues sont donc les vecteurs de polarisation de

chaque mode ainsi que la composante suivant l'axe 1 des vecteurs d'onde. Une fois les

vecteurs d’onde et de polarisation déterminés, les coefficients de réflexion et transmission

sont calculés par la résolution des quatre équations traduisant les conditions aux limites à

chaque interface.

3x

direction des grains (dans ce cas)

normale à l'échantillon 1x

k

2xθ

φ

plan d'incidence

onde incidente


97

Figure 3.15 : Conversions de mode dans un plan non principal.

Première interface : A la première interface, les vecteurs d’onde et de polarisation sont déterminés par la

résolution de l’équation (1.8) du premier chapitre. Les quatre équations de conditions aux

limites sont alors établies, et le système de quatre équations à quatre inconnues (le coefficient

de réflexion r et les trois coefficients de transmission Lt , 1Tt et 2Tt ) s'exprime sous forme

matricielle par :

[ ]⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

inc

incl

T

T

L

P

k

tttr

M

1

2

2

1 00ωρ

⇒ [ ]⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

inc

incl

T

T

L

P

k

M

tttr

1

2

1

2

1 00ωρ

(3.2)

où inck désigne le nombre d'onde de l'onde incidente et lρ la densité du liquide.

Les équations et les différents termes de la matrice M sont détaillés en Annexe 5.

Deuxième interface : Pour chaque mode incident en seconde interface, l'établissement des quatre équations

traduisant les conditions aux limites nécessite la connaissance des vecteurs d'onde et de

polarisation des trois modes réfléchis. Nous allons donc commencer par déterminer ces

vecteurs.

inctr kk =

trk

trk

onde incidente

onde réfléchie

liquide

1ère interface

inck

réflk1x

2ème interface

liquide

Lk 1Tk2Tk

solide anisotrope


98

Nous avons représenté sur la Figure 3.16 les courbes des lenteurs correspondant à chacune

des interfaces d'un échantillon immergé dans l'eau. Dans chaque cas, une moitié de la figure

montre la courbe des lenteurs des ondes longitudinales dans l'eau (courbe verte), et l'autre

moitié montre les courbes des lenteurs des trois modes susceptibles de se propager dans le

matériau (OL : courbe rouge, OT1 : courbe bleue, OT2 : courbe magenta). Ces deux zones

sont séparées par l'interface eau/échantillon, représentée graphiquement par le trait pointillé

vertical.

Figure 3.16 : Détermination des ondes réfléchies en deuxième interface.

On considère alors une onde incidente dans l'eau en première interface, arrivant à la surface

de l'échantillon avec un angle d'incidence incθ . A partir des droites 1D et 2D définies par la

loi de Snell-Descartes, les trois ondes transmises dans le matériau sont déterminées

graphiquement. Ces trois ondes transmises en première interface deviennent les trois ondes

incidentes en seconde interface. Celles-ci sont déterminées par les intersections entre la droite

1D et les trois courbes des lenteurs en raison de la symétrie centrale des courbes de lenteurs.

Ces trois ondes incidentes génèrent trois ondes réfléchies dans le matériau ainsi qu'une onde

transmise dans l'eau, toutes déterminées à partir de la droite 2D . On voit alors que les trois

ondes réfléchies en seconde interface peuvent être déterminées en considérant une onde

incidente qui arriverait en première interface avec un angle d'incidence de incθ− . Le problème

onde incidente

ondes transmises

ondes incidentes

ondes réfléchies

onde "incidente" équivalente dans l'eau

incθ incθ−

incθonde transmise

Première Interface Deuxième Interface

1D

2D


99

consiste donc à résoudre l’équation (1.8) pour des ondes incidentes de –90° à 90° et ainsi

déterminer l’ensemble des vecteurs d’onde et de polarisation.

Les vecteurs d’onde et de polarisation étant déterminés, les coefficients de réflexion et de

transmission peuvent alors être calculés. Chaque mode incident est traité séparément, de la

même manière. Les quatre équations de conditions aux limites sont donc établies pour chaque

mode incident m , afin de déterminer dans chaque cas les trois coefficients de réflexion m

nrr

( n désignant le mode réfléchi) et le coefficient de transmission global à travers la plaque global

mt . Le coefficient global

mt tient compte de la transmission à la première interface ainsi que de

la transmission en seconde interface du mode m propagé dans le matériau.

Les quatre coefficients sont déterminés à partir des équations (3.3) :

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

−

−

42

32

22

12

1

2

1

1

21

11

1

1

M

M

M

M

Net

rre

rre

rre

te

Ljk

L

LrT

djk

LrT

djk

LrL

djk

globalL

djk

L

rT

rT

rL

inc

, (3.3)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

−

−

43

33

23

13

111

12

11

11

11

21

11

1

1

M

M

M

M

Net

rre

rre

rre

te

Tjk

T

TrT

djk

TrT

djk

TrL

djk

globalT

djk

T

rT

rT

rL

inc

, [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

−

−

44

34

24

14

122

22

21

22

21

21

11

1

1

M

M

M

M

Net

rre

rre

rre

te

Tjk

T

TrT

djk

TrT

djk

TrL

djk

globalT

djk

T

rT

rT

rL

inc

.

où les exposants rL , 1rT et 2rT désignent les trois modes réfléchis.

Les équations et les termes des matrices LN , 1TN et 2TN sont également donnés en Annexe 5.

Ces calculs sont effectués pour chaque incidence, et on obtient alors une matrice de

coefficients de transmission globale de l'onde incidente globalT

globalT

globalL

global tttt 21 ++= , définie

dans le domaine ( 2k , 3k ). Le coefficient de transmission globale de l’onde incidente comprend

donc la transmission de chacun des modes propagés dans le matériau. Un exemple est

présenté sur la Figure 3.17, pour lequel les grains sont orientés dans le matériau à 10°. On

observe sur cet exemple des variations de la transmission dues aux interférences,

constructives ou destructives, des ondes transmises. On peut également noter que les ondes


100

transversales, générées pour des angles d’incidence suffisamment grands (i.e. 2k et 3k

suffisamment grands en valeur absolue), sont mieux transmises que les ondes longitudinales

( 2k et 3k faibles).

a) b)

Figure 3.17 : Amplitude des coefficients de transmission globale pour une orientation de grains

de 10° : cartographie (a) et coupe dans le plan φ =0° (b).

Les coefficients de transmission globale ont été calculés pour chaque orientation de grains, à

la fréquence de 2,25 MHz. En multipliant le spectre angulaire d'ondes planes du faisceau

incident (Figure 3.11.a) par les coefficients de transmission (Figure 3.17.a pour les grains

orientés à 10°), on obtient le spectre angulaire d'ondes planes du faisceau théoriquement

transmis par l’échantillon. Dans ce modèle, les pertes d’amplitude aux interfaces ainsi que les

phénomènes de propagation dans l’échantillon sont pris en compte. Seule l’atténuation due à

la diffusion par la microstructure n’est pas prise en compte. La comparaison de ces résultats

numériques avec les résultats expérimentaux doit donc permettre de quantifier l’atténuation.

3.4.2. Comparaison des résultats

Les coefficients de transmission globale ont été appliqués au spectre d'ondes planes du

faisceau incident, pour chaque valeur d'orientation des grains. Nous avons voulu dans un

premier temps comparer graphiquement les résultats numériques aux résultats expérimentaux.

Les spectres angulaires étant trop concentrés autour des petits angles de diffraction, nous

avons choisi d’effectuer la comparaison entre les cartographies spectrales. Les cartographies

spectrales théoriques sont obtenues par la transformée de Fourier 2D (spatiale) inverse du

spectre d'ondes planes théorique (Figure 3.18).

Coefficient de transmission globale dans le plan 0(grains à 10°)


101

Figure 3.18 : Comparaison des cartographies spectrales "théoriques" et expérimentales en

amplitude à 2,25 MHz, pour chaque orientation de grain (échelle de couleur en dB).

Chaque couple de figures montre de fortes similitudes, autant sur les zones très énergétiques

que sur les zones périphériques. On peut également remarquer que les figures expérimentales

sont davantage bruitées par rapport aux figures dites théoriques, certainement en raison de la

structure granulaire des échantillons, qui n’est pas prise en compte dans la modélisation de la

propagation par l'application des coefficients de transmission. Ceci constitue un premier

résultat très encourageant.

0° 10°

35° 45°

60° 80°

85°


102

3.5. Calcul de l'atténuation

3.5.1. Formulation

L'application des coefficients de transmission au faisceau incident permet de modéliser sa

propagation à travers un échantillon, en prenant en compte l'ouverture du faisceau et les

conversions de mode, mais pas l'atténuation intrinsèque au matériau traversé. La seule

différence existant entre les spectres d'ondes planes "théorique" ( )32 k,kUth et expérimental

( )32 k,kUexp doit donc être l'atténuation du faisceau due aux interactions entre les ondes et la

microstructure. Celle-ci se calcule alors en effectuant le rapport des énergies, à l’aide de la

formule suivante :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

exp

thglobal E

Elog

d10α (3.4)

où d est l'épaisseur de l'échantillon, et thE et expE sont les énergies théoriques et

expérimentales qui sont calculées de la façon suivante :

( )∫∫= 32

2

32 dkdkk,kUE thth et ( )∫∫= 32

2

32 dkdkk,kUE expexp . (3.5)

Notons que globalα correspond à l’atténuation globale du faisceau, et non uniquement à

l’atténuation des ondes longitudinales qui ont traversé le matériau. Cependant, étant donnée la

faible ouverture du faisceau, les conversions en mode transversales sont minimes, rendant les

ondes longitudinales très majoritaires, et nous pouvons a priori l’assimiler à l’atténuation des

ondes longitudinales. Cette question sera développée plus en détail dans le paragraphe 3.5.2.2.

L'atténuation peut également être calculée localement, c'est-à-dire pour une incidence donnée,

avec la formule suivante :

( ) ( )( )

( )( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= 32

32

3232

20k,ktlog

k,kU

k,kUlog

dk,k

total

tra

inclocalα (3.6)

On peut noter que ( )00 ,localα correspond à l'atténuation des ondes arrivant en incidence

normale.


103

3.5.2. Résultats expérimentaux

3.5.2.1. Avec l’hydrophone en réception

Nous avons dans un premier temps travaillé avec l’hydrophone en réception. Pour chaque

orientation de grains, l’atténuation du faisceau a été calculée, à la fréquence de 2,25 MHz.

Nous présentons ici les premiers résultats obtenus avec cette technique. Ils sont représentés

sur la Figure 3.19.

Figure 3.19 : Atténuation mesurée en fonction de l’orientation des grains, à 2,25 MHz, avec

l’hydrophone en réception.

Il apparaît que les valeurs obtenues ne correspondent pas aux résultats attendus. En effet,

l’ordre de grandeur des valeurs d’atténuation paraît très élevé par rapport aux résultats du

chapitre précédent et aux résultats de la littérature. Par ailleurs, la croissance monotone de la

valeur de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains, prévue par la théorie, n’est pas

retrouvée.

Il apparaît donc que les mesures avec l’hydrophone sont très intéressantes pour l’imagerie.

Cependant, l’amplitude mesurée est sous-estimée dès lors qu’un échantillon anisotrope est

introduit. Nous pouvons supposer que l’hydrophone est trop sensible aux perturbations du

faisceau et des fronts d’onde. La mesure ponctuelle ne semble donc pas appropriée dans ce

cas. Au vu de ces résultats, nous avons décidé de remplacer l’hydrophone en réception par un

capteur identique à l’émetteur, c’est-à-dire de diamètre 0,5" et de fréquence centrale 2,25

MHz.


104

3.5.2.2. Avec le capteur de 0,5" en réception

Les mêmes mesures et calculs ont donc été effectués, et les résultats sont représentés sur la

Figure 3.20. La première remarque concernant ces résultats est leur cohérence avec l’ordre de

grandeur attendu. Les valeurs d'atténuation sont légèrement plus faibles que les valeurs

obtenues par la méthode classique mais demeurent du même ordre de grandeur. D’autre part,

si l’on ne tient pas compte de l'échantillon dont les grains sont orientés à 0°, l’ensemble des

points peut être approché par une loi présentant une croissance monotone.

Figure 3.20 : Atténuation globale en fonction de l’orientation des grains à 2,25 MHz avec le

capteur de 0,5" en réception.

Mais la valeur à 0° n’est pas cohérente avec cette croissance monotone. Or, comme nous

l'avons évoqué précédemment, les grains présentent également une désorientation dans la

direction de soudage, de l'ordre de 5°. Cette désorientation peut avoir de l'importance lors du

calcul des coefficients de transmission, en particulier pour l'échantillon à 0°. Cette influence

est clairement visible sur les images de la Figure 3.7.

C'est pourquoi les coefficients de transmission ont été recalculés pour tous les échantillons, en

ajoutant une désorientation de 5° dans la direction de soudage, c’est-à-dire dans le plan

( 1x , 2x ) (cf. axes de la Figure 3.14). La Figure 3.21 montre la comparaison entre les valeurs

d’atténuation obtenues précédemment et celles obtenues avec les coefficients de transmission

recalculés. La valeur d'atténuation obtenue avec ces coefficients a considérablement diminué

pour l’échantillon à 0°. En revanche, la désorientation dans la direction de soudage est

beaucoup moins influente pour les autres échantillons. On retrouve alors la croissance globale

de l'atténuation en fonction de l'orientation des grains à laquelle nous pouvions nous attendre.


105

Figure 3.21 : Atténuation globale en fonction de l’orientation des grains à 2,25 MHz en tenant

compte de la désorientation des grains de 5° dans le sens de soudage (rouge).

Nous avons également tracé l'atténuation locale pour ( 02 =k ; 03 =k ). En effet, ces valeurs

doivent correspondre aux valeurs de la méthode classique dans la mesure où elles ne prennent

en compte que la transmission en incidence normale. La Figure 3.22 montre la concordance

entre les valeurs d'atténuation locale et les valeurs obtenues dans la méthode classique

exposée dans le chapitre précédent.

Figure 3.22 : Atténuation locale pour ( 02 =k ; 03 =k ) en fonction de l’orientation des grains

à 2,25 MHz comparée aux résultats de la méthode classique (petites croix bleues).

NB : Notons que l’atténuation obtenue à 10° ne paraît pas cohérente, et nécessitera donc une

nouvelle mesure sur l’échantillon à 10°.

Nous avons considéré que l’atténuation obtenue peut être assimilée à l’atténuation des ondes

longitudinales. Il paraît important de noter qu'il est théoriquement possible d'accéder à


106

l'atténuation des ondes longitudinales exclusivement. En effet, il existe pour chaque

orientation de grains un angle d'incidence pour lequel seules des ondes longitudinales sont

transmises dans le matériau. Cela s'observe sur les valeurs des coefficients de transmission

totale de chaque mode propagé dans le matériau. La Figure 3.23.a montre par exemple que les

ondes du faisceau arrivant avec une incidence de 3° sur l'échantillon dont les grains sont

orientés à 10° ne transmettent dans le solide que des ondes longitudinales. Il en est de même

pour une incidence à environ -6° sur l'échantillon à 35° (Figure 3.23.b). Cependant, dans

notre cas, le faisceau est ouvert de 3,5°, et les amplitudes mesurées au-delà de cet angle ne

sont plus fiables.

Figure 3.23 : Transmission totale des modes longitudinal et transversal, pour des grains

orientés à 0° (a) et à 35° (b).

Ces courbes montrent également les proportions d’ondes longitudinales et transversales

transmises. Elles confirment la faible influence des ondes transversales par rapport aux ondes

longitudinales propagées dans le matériau.

3.6. Conclusions et perspectives

Une seconde approche expérimentale a été exploitée. Par le calcul des coefficients de

transmission dans le domaine ( 2k , 3k ), elle permet de prendre en compte la réalité 2D du

faisceau et l'anisotropie du matériau. En effet, la propagation du faisceau dans les échantillons

est modélisée en prenant en compte les conversions de mode dues à son ouverture, ainsi que

les pertes d’énergie dues aux réflexions aux interfaces entre l’eau et le matériau. Pour ces

raisons, cette approche paraît plus complète et plus précise que la technique classique exposée

dans le chapitre précédent. D’autre part, la modélisation par le calcul des coefficients de

a) b)

Transmission globale de chaque mode, dans le plan -90 (grains : 10°) Transmission globale de chaque mode, dans le plan -90 (grains : 35°)


107

transmission en incidence quelconque pourra s’appliquer à d’autres configurations

expérimentales. Elle ouvre par exemple la perspective de la mesure d’atténuation des ondes

transversales en immersion en incidence oblique.

La comparaison des images du faisceau théoriquement transmis à travers chaque échantillon

avec les faisceaux transmis mesurés expérimentalement avec l’hydrophone montre un très

bon accord, bien que la modélisation par l’application des coefficients de transmission ne

permette pas de prendre en compte la structure granulaire du matériau. Ce premier résultat

confirme la pertinence de l’approche.

Les courbes d'atténuation obtenues par cette méthode, avec un capteur de 0,5" en réception,

montrent un meilleur accord avec les prédictions théoriques du modèle d'Ahmed que les

mesures de la technique classique. De plus, la prise en compte de l'anisotropie du matériau

amène à des valeurs d'atténuation légèrement inférieures à celle de la méthode classique, qui

est moins précise du fait de l'utilisation d'un coefficient de transmission unique.

Cette technique de mesure par cartographie est plus précise que la technique classique,

fréquemment utilisée. Elle mérite par ailleurs d’être approfondie dans le futur car le dispositif

et les calculs des coefficients de transmission devraient permettre la mesure d’atténuation en

incidence oblique. Ceci présenterait notamment deux avantages majeurs : la possibilité de

n’utiliser qu’un seul échantillon au lieu de sept pour estimer l’évolution de l’atténuation en

fonction de l’orientation des grains, et la possibilité d’obtenir des valeurs d’atténuation

précises en ondes transversales.

109

4. DISCUSSION ET EXPLOITATION DES RESULTATS

4.1. Synthèse des travaux expérimentaux .......................................................................... 110

4.1.1. Technique classique de mesure de la vitesse et de l’atténuation............................... 110 4.1.2. Estimation de l’atténuation avec décomposition des faisceaux ................................ 110

4.2. Intégration de l'atténuation dans le code de calcul ATHENA.................................. 111 4.2.1. Le code ATHENA [FOU 03, TSO 99] ..................................................................... 111 4.2.2. Modélisation à l'échelle du grain [SCH 06] .............................................................. 113 4.2.3. Intégration de l'atténuation par diffusion à ATHENA [DUW 06] ............................ 114 4.2.4. Résultats de simulation et comparaison .................................................................... 116

4.2.4.1. Calages numériques et types de soudure testés ............................................................116 4.2.4.2. Comparaison simulation/expérience ............................................................................118

4.2.5. Conclusions ............................................................................................................... 120

Chapitre 4. Discussion et exploitation des résultats

110

Ce dernier chapitre présente dans un premier temps la synthèse des différents résultats de

mesure obtenus par les deux techniques étudiées. Un jeu de valeurs d’atténuation est alors

choisi pour être intégré au code ATHENA. Nous présentons les résultats de simulation avec

ces valeurs, en comparaison avec des mesures expérimentales.

4.1. Synthèse des travaux expérimentaux

4.1.1. Technique classique de mesure de la vitesse et de l’atténuation

La première méthode de mesure en transmission avec un récepteur fixe est la plus

couramment proposée dans la littérature. Elle permet de mesurer simultanément la vitesse et

l’atténuation ultrasonore dans un échantillon d’épaisseur donnée.

Les mesures de vitesse par le biais de cette méthode s’avèrent très bonnes, en bon accord avec

les valeurs théoriques, et avec une incertitude de l’ordre de 0,7%. De plus, le dispositif

expérimental peut également permettre d’effectuer des mesures de vitesses en incidence

oblique. Il est par conséquent un outil très fiable de mesure de vitesses ultrasonores, aussi

bien des ondes longitudinales que des ondes transversales.

En revanche, les mesures d’atténuation amènent quelques réserves. En effet, la méthode

donne de relativement bons résultats, mais le fait d'utiliser un coefficient de transmission

unique implique que l'on considère le matériau étudié comme isotrope insonifié par un

faisceau parfaitement cylindrique. Ceci est une approximation qui amoindrit la précision de la

mesure d’atténuation, en particulier pour les matériaux fortement anisotropes tels que les

soudures avec forte croissance des grains.

4.1.2. Estimation de l’atténuation avec décomposition des faisceaux

La seconde méthode que nous avons présentée part de la mesure point par point de

l’amplitude ultrasonore reçue. Cela permet de prendre en compte l’ouverture du faisceau. De

plus, le calcul des coefficients de transmission en incidence quelconque implique que la

réalité physique de l’expérience (ouverture du faisceau impliquant des déviations, conversions

de mode…) est reproduite. Dans la mesure où la première méthode donnait de bonnes valeurs

de vitesse, nous ne les avons pas recalculées.


111

Cette technique a permis d’aboutir à des valeurs d’atténuation en fonction de l’orientation des

grains qui se rapprochent des prédictions théoriques du modèle d’Ahmed. En effet, on obtient

une allure croissante de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains. Cependant, nous

avons pu noter que, comme pour la première méthode, l’atténuation obtenue est l’atténuation

du faisceau, que l’on peut assimiler à l’atténuation des ondes longitudinales vu la faible

génération d’ondes transversales.

Les valeurs d’atténuation en fonction de l’orientation des grains, obtenues pour chaque

méthode, à la fréquence de 2,25 MHz classiquement utilisée pour le contrôle des soudures,

ont alors été intégrées au code ATHENA développé par EDF. Le code nécessitant également

les valeurs d’atténuation des ondes transversales, les mesures présentées en Annexe 3 ont été

utilisées pour les simulations présentées dans le paragraphe suivant.

4.2. Intégration de l'atténuation dans le code de calcul ATHENA

Nous allons d'abord décrire succinctement le modèle développé dans le code ATHENA, puis

nous présenterons deux possibilités d'intégration de l'atténuation au modèle, et nous finirons

par la comparaison de résultats de simulation à l’expérience.

4.2.1. Le code ATHENA [FOU 03, TSO 99]

Le code ATHENA a été développé par EDF en collaboration avec l’INRIA. Il résout les

équations de l’élastodynamique exprimées en termes de contraintes et de vitesses particulaires

par une méthode d’éléments finis. Les traducteurs peuvent être modélisés soit au contact de la

pièce, soit en immersion.

Ce code permet de décrire la propagation des ultrasons dans des milieux complexes

anisotropes et hétérogènes, et de prendre en compte des interactions du faisceau avec des

défauts de géométrie complexe. Les maillages de la pièce et du défaut sont séparés grâce à la

méthode des domaines fictifs [BEC01].

Dans la version élastique du code, les données d'entrée sont la géométrie de la pièce et les

constantes d'élasticité (exemple sur la Figure 4.1). Par ailleurs, nous travaillons dans cette

étude avec la version 2D du code.


112

a) b)

Figure 4.1 : Exemple de simulation de la propagation d'un faisceau ultrasonore (b) à partir de la

description en sous-domaines orthotropes de la soudure (a).

Le modèle est basé sur les équations de l'élastodynamique dans un domaine Ω contenant un

défaut Γ :

( )

( )( )

Γ=⋅Ω∂=⋅

==

Ω=∂

∂

=−∂

∂

surnsurn

,x,xv

survCt

divt

v

00

0000

0

σσσ

εσ

σρ

(4.1)

où ρ est la densité du solide, v est la vitesse des petits déplacements, σ est le tenseur des

contraintes, C est le tenseur des constantes d'élasticité (de dimension 4×4 pour une

propagation dans un plan principal du matériau), et ( ) ( )vvvT

∇+∇=21ε est le tenseur des

vitesses de déformation.

Le système est ensuite réécrit sous une forme équivalente appelée formulation variationnelle.

Pour prendre en compte le défaut Γ , un nouveau terme est introduit : −+

−= vvλ , appelé

multiplicateur de Lagrange, et qui désigne le saut de vitesse à la traversée de la fissure. Cette

nouvelle formulation est alors discrétisée en espace et en temps ( t∆ définit le pas de

discrétisation en temps), et on obtient un schéma matriciel quasi-explicite de la forme :


113

(4.2)

où 21+n

σ désigne une discrétisation en espace de σ au temps tn ∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

21 ,

nV et nΛ désignent une discrétisation en espace de V et Λ au temps tn∆ ,

et les matrices σM , vM , K et B sont respectivement appelées matrice de masse des

contraintes, matrice de masse des déplacements, matrice "dérivée" (ou matrice de rigidité) et

matrice associée à la fissure.

La condition de stabilité du schéma est : 1≤∆∆⋅ xtVL , où LV désigne la vitesse maximale

(sur l'ensemble des directions de propagation) des ondes longitudinales, et x∆ définit la taille

de la maille carrée.

La version "utilisateurs" actuelle du code permet donc de rendre compte des phénomènes de

déviation, divergence ou division du faisceau dans un milieu anisotrope et hétérogène

élastique. Le phénomène de diffusion ultrasonore n’est pour l’instant simulé

qu’artificiellement par les réfractions aux interfaces séparant deux domaines anisotropes

homogènes différents.

EDF R&D propose de nouvelles approches pour simuler dans le code la diffusion ou

l’atténuation due à la diffusion par la structure granulaire du matériau polycristallin. Nous

présentons dans les paragraphes suivants ces développements.

4.2.2. Modélisation à l'échelle du grain [SCH 06]

L'une des pistes en cours d'étude est la modélisation à l'échelle du grain. L'idée est de décrire

la soudure comme un ensemble discret de grains (Figure 4.2) dont un axe cristallographique

<100> est commun à tous les grains de même axe d’élongation, et dont les deux autres axes

<100> sont aléatoirement orientés (modélisation caractéristique d’un milieu isotrope

transverse). Ce modèle n’est pas encore finalisé.

0

0

0

21

211

21

21

=

=+∆−

=Λ−+∆−

+

++

−+

n

nTnn

v

nTnnn

B

Kt

VVM

BKVt

M

σ

σ

σσσ


114

Figure 4.2 : Exemple d'une soudure décrite à l'échelle des grains [SCH 06].

Au final, cette approche devrait permettre de modéliser l’ensemble des phénomènes de

diffusion, c’est-à-dire à la fois l’atténuation et le bruit de structure. Les déviations de faisceau

seraient bien évidemment toujours simulées.

4.2.3. Intégration de l'atténuation par diffusion à ATHENA [DUW 06]

L'autre démarche mise en œuvre au département Sinetics d'EDF R&D est l'extension du

modèle élastique d'ATHENA à un modèle reproduisant uniquement l'atténuation par diffusion

des ondes lors de la traversée du matériau.

On s'intéresse donc à un modèle où les solutions, dans le sens des x croissants, sont de la

forme ( ) ( )( )kxtiexpxexpvvo

−−= ωγ où γ est le coefficient d'atténuation et le nombre

d'onde, complexe, est défini par : γikk −=∗ .

La modélisation de l'atténuation en espace, qui paraît la plus naturelle, n'est au final pas

satisfaisante, car des phénomènes d'amplification apparaissent pour une onde se propageant

dans le sens des x décroissants. C'est pourquoi le choix s'est porté sur l'atténuation modélisée

"en temps". Le terme d'atténuation ( )xexp γ− est alors remplacé par le terme ( )ctexp γ− où

c est la vitesse de propagation. Dans les équations, cela revient à ajouter un terme

d'amortissement anisotrope à l'équation d'évolution des contraintes :

( )vCDt

εσσ =+∂∂ Ωsur (4.3)


115

où D est un tenseur à déterminer.

Il est important de noter que le tenseur C n'est plus un tenseur d'élasticité, mais est également

un tenseur à déterminer, comme nous allons le voir plus loin.

La discrétisation en temps et en espace fait alors apparaître une nouvelle matrice DM , appelée

"matrice d'atténuation", et construite à partir du tenseur DC1−

. Le système matriciel (4.2)

s'écrit alors :

0

0

0

21

211

21

21

=

=−∆−

=Λ−+∆−

+

++

−−++

n

nTnn

v

nTn

nn

B

Kt

VVM

BKVtMM

σ

σ

σσ σσ

(4.4)

où les matrices DMtMM2∆+=

+

σσ et DMtMM2∆−=

−

σσ sont la seule différence avec

le cas élastique sans atténuation.

Le schéma ainsi obtenu est stable.

Les tenseurs C et D sont ensuite déterminés par calage de façon à reproduire les données

expérimentales de vitesse et d'atténuation pour les ondes longitudinales et transversales. Ces

données sont les résultats de mesure exposés dans le second et le troisième chapitre. Le calage

est effectué par optimisation à l'aide de la technique des moindres carrés pondérés associée à

la méthode d'optimisation du gradient conjugué. La pondération permet de prendre en compte

les incertitudes de mesure, en particulier de tenir compte du fait que certaines valeurs

d'atténuation sont moins fiables que d’autres.

Après le calage des deux tenseurs, la simulation du contrôle ultrasonore peut être effectuée.

Nous allons maintenant exposer les résultats de calage et les simulations associées, avec

comparaison aux mesures expérimentales.


116

4.2.4. Résultats de simulation et comparaison

4.2.4.1. Calages numériques et types de soudure testés

Le calage se fait d’une part sur les vitesses, et d’autre part sur les atténuations. Celui sur les

vitesses est tracé sur la Figure 4.3. Les données expérimentales sont les mesures en immersion

pour les ondes longitudinales, et les mesures au contact pour les ondes transversales (voir

Annexe 3).

Figure 4.3 : Vitesses (m/s) des OL (gauche) et des OT (droite) en fonction de l'orientation des

grains : données expérimentales (trait plein) et calage (pointillés).

Deux types de calage sur les atténuations ont été testés :

Calage 1 :

Il est basé sur les valeurs d’atténuation obtenues par la méthode classique pour les ondes

longitudinales, et les mesures au contact pour les ondes transversales (Figure 4.4).

Figure 4.4 : Atténuations (Np/m) des OL (gauche) et des OT (droite) en fonction de l'orientation

des grains : données expérimentales (trait plein) et calage (pointillés).


117

Calage 2 :

Il est basé sur les valeurs d’atténuation obtenues par la méthode de mesure basée sur la

décomposition des faisceaux pour les ondes longitudinales, et les mesures au contact pour les

ondes transversales (Figure 4.5).

Figure 4.5 : Atténuations (Np/m) des OL (gauche) et des OT (droite) en fonction de l'orientation

des grains : données expérimentales (trait plein) et calage (pointillés).

D'autre part, deux types de soudure sont étudiés :

La soudure référencée D704 : moule de soudage avec une structure "quasi-homogène"

(soudure étudiée dans cette thèse), schématisée sur la Figure 4.6.

Figure 4.6 : Schéma de la structure de la soudure D704.

La soudure référencée D717B (Figure 4.7) : cette maquette est représentative d’une

soudure austénitique de la ligne d’expansion du pressuriseur de centrale à réacteur à eau

pressurisée. Elle est caractérisée par une structure "hétérogène" (évolution de l’orientation des

grains au sein de la soudure du fait de la géométrie des chanfreins).

Métal de base Métal de base Soudure à structure "homogène"


118

Figure 4.7 : Structure de la soudure D717B [CHA 00].

4.2.4.2. Comparaison simulation/expérience

Pour la soudure D704 :

La comparaison porte sur les différences d'amplitude 12 AAA −=∆ simulée et

expérimentale des échos renvoyés par deux trous génératrices, localisés à des profondeurs de

20 et 40 mm (Figure 4.8). Nous étudions la propagation d’ondes longitudinales réfractées à

60° dans un matériau isotrope (ondes L60). Un exemple de représentation de type B pour

l’examen expérimental est indiqué sur la Figure 4.9.

Figure 4.8 : Configuration de contrôle pour la soudure D704.

A1 A2

Défauts

20 mm

40 mm

Métal de base

Métal de base


119

Figure 4.9 : Exemple de représentation de type B pour le contrôle en L60 de la soudure D704.

Pour la soudure D717B :

On compare les amplitudes des échos renvoyés par deux trous génératrices localisés à une

profondeur de 25 mm (Figure 4.10). Dans un cas, la détection du défaut nécessite la traversée

de la soudure (amplitude A1), alors que pour l’autre défaut, le faisceau ne pénètre pas dans la

soudure (amplitude A2). Deux propagations sont étudiées : celles des ondes longitudinales à

45° et à 60° (L45 et L60). L’atténuation dans le métal de base est également prise en compte

(valeur prise égale à 0,006 dB/mm).

Figure 4.10 : Amplitudes étudiées pour la soudure D717B.

Le Tableau 4.1 présente, pour chaque configuration considérée, la valeur de A∆ obtenue par

simulation sans et avec atténuation (avec les deux calages), ainsi que la valeur expérimentale.

Quelle que soit la configuration, la perte d'amplitude calculée par la simulation sans

atténuation est sous-estimée par rapport à la mesure expérimentale. Par ailleurs, avec le code

élastique, les différences d’amplitude constatées pour le cas de la soudure D717B sont liées

aux phénomènes de déviation et de division du faisceau, ainsi qu’aux réfractions aux

interfaces. Pour la soudure "homogène" D704, le code élastique ne prévoit aucun écart

A2

A1

A2

A1 L45

L60

métal de base

défaut à 20mm de profondeur

défaut à 40mm de profondeur

temps

axe de balayage du capteur


120

d’amplitude entre les deux défauts localisés à des profondeurs différentes. Ceci est dû à un

phénomène de focalisation lié l’anisotropie du matériau, qui conduit à une largeur de faisceau

identique pour les deux profondeurs. Dans le cas du métal de base, l’amplitude est plus faible

pour le défaut à 40 mm car le faisceau s’élargit avec la profondeur.

Simulation avec atténuation Configuration

Simulation sans

atténuation Calage 1 Calage 2

Expérience

Soudure D704

L60 -0,5 dB -11 dB -8,4 dB -8 dB

Soudure D717B

L45 -4,5 dB -13,8 dB -9,9 dB -10,5 dB

Soudure D717B

L60 +1,5 dB -8,7 dB -4,9 dB -4 dB

Tableau 4.1 : Résultats de simulation comparés à l'expérience pour chaque cas.

Avec le modèle incluant l’atténuation, on observe que les résultats de simulation se

rapprochent des résultats expérimentaux. On constate notamment un très bon accord entre les

deux approches avec les valeurs du calage utilisant les mesures d’atténuation de la seconde

méthode de mesure. Le calage à partir des mesures de la méthode classique aurait tendance à

surestimer l’atténuation.

4.2.5. Conclusions

L’intégration de l’atténuation dans le code de calcul ATHENA nécessite un choix de calage

selon la confiance associée aux mesures d’atténuation des ondes longitudinales et

transversales. Le choix des valeurs d’atténuation et du calage associé a une influence

importante sur les résultats de simulation. Cependant, quel que soit le calage choisi, la

simulation avec intégration de nos mesures d’atténuation aboutit, pour les trois configurations

de contrôle étudiées, à des résultats beaucoup plus proches de l’expérience. De nouveaux cas

de validation devront être testés pour confirmer ces premiers résultats.

Conclusion générale et perspectives

121

CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES

L’objectif des travaux présentés dans ce manuscrit était l’étude et la quantification de

l’atténuation par diffusion des ondes ultrasonores longitudinales dans les soudures en acier

inoxydable austénitique. Cette évaluation n’est pas triviale, d’autant plus que pour des

matériaux polycristallins anisotropes, l’atténuation est fonction de l’orientation des grains.

Les valeurs trouvées sont ensuite destinées à être intégrées dans le code de calcul ATHENA

développé par EDF. Elles permettent ainsi une simulation réaliste du contrôle, que ce soit

pour aider au choix de la technique la plus appropriée, ou pour interpréter les mesures

expérimentales in situ et proposer un diagnostic. La validation de ces coefficients

d’atténuation est donc essentielle pour la qualification des procédures de contrôle non

destructif appliquées aux composants du circuit primaire des centrales nucléaires à réacteur à

eau pressurisée (REP).

L’étude bibliographique a permis d’analyser les différents modèles théoriques et méthodes

expérimentales visant à évaluer le coefficient d’atténuation dans les matériaux anisotropes.

Leurs limites, dans le cas des soudures d’acier inoxydable austénitique, ont été montrées. Une

stratégie de recherche a alors été établie, identifiant notamment les méthodes de mesure

potentiellement applicables et les échantillons à étudier.

Une première approche de la mesure de l’atténuation a d’abord été retenue, couramment

utilisée pour la caractérisation de matériaux. Elle consiste en une mesure comparative en

immersion du faisceau ayant effectué un trajet dans l’eau avec le faisceau ayant traversé un

échantillon inséré. Des mesures ont alors été réalisées sur une bande de fréquence comprise

entre 1 et 10 MHz. Cette méthode a donné de très bons résultats en terme de vitesse de phase.

En ce qui concerne l’atténuation des ondes longitudinales, les valeurs estimées à une

fréquence de 2,25 MHz sont du même ordre de grandeur que les résultats indiqués dans la

littérature. Une variation de l’atténuation en fonction de l’orientation des grains a également

été mise en évidence. Par contre, la loi de comportement prévue par le modèle théorique

proposé par Ahmed n’a pas été retrouvée. Ceci a été imputé à l’application d’un unique


122

coefficient de transmission qui ne reflète pas parfaitement la réalité physique (ouverture

angulaire du faisceau).

Une seconde approche a alors été étudiée, basée sur la prise en compte de la réalité physique

du faisceau par sa décomposition en spectre angulaire d’ondes planes, et de la modélisation de

sa transmission à travers un matériau anisotrope. Pour cela, nous avons développé le calcul

des coefficients de transmission d’une onde arrivant en incidence quelconque sur un matériau

triclinique. Cette approche a fourni des valeurs d’atténuation, en fonction de l’orientation des

grains, qui se sont révélées cohérentes avec les évolutions théoriques attendues. Ces mesures

ont été en partie validées en intégrant les valeurs de l’atténuation au code de calcul ATHENA,

et en obtenant une très bonne cohérence entre simulation et expérience pour trois

configurations de contrôle. Il est prévu de poursuivre cette validation sur d’autres types de

configurations (différents types de soudure et différents traducteurs).

Ce travail présente donc une avancée importante dans la compréhension du phénomène

complexe d’atténuation ultrasonore dans les matériaux anisotropes, et dans la modélisation de

la mesure qui permet de reconstruire de manière quantitative les coefficients d’atténuation.

Plusieurs perspectives intéressantes ont été mises en évidence. Il serait tout d’abord

souhaitable qu’une étude soit réalisée sur des échantillons de soudure d’épaisseurs plus

importantes, et également avec des capteurs différents, pour valider le caractère intrinsèque de

l’atténuation. Des fortes épaisseurs d’échantillon devraient également permettre une meilleure

séparation des ondes longitudinales et transversales.

Le calcul des coefficients de transmission en incidence quelconque à travers un matériau

triclinique devrait également permettre d’effectuer des mesures orbitales d’atténuation sur un

seul échantillon, en incidence variable. Ceci allègera la procédure expérimentale car il n’y

aura plus besoin de réaliser un échantillon par orientation de grains. D’autre part, ces mesures

impliquant un seul échantillon devraient être mieux recalées les unes par rapport aux autres.

La mesure en incidence oblique permettra également l’estimation des coefficients

d’atténuation des ondes transversales, qui jusque là sont obtenues par des mesures au contact,

moins fiables en raison des incertitudes de couplage. Un important travail de traitement du


123

signal sera cependant nécessaire pour pouvoir séparer les contributions longitudinales et

transversales des signaux mesurés.

Enfin, cette méthode de mesure pourrait être appliquée à d’autres types de matériaux présents

sur le circuit primaire des centrales REP tels que les alliages à base nickel (inconel) et les

aciers austénoferritiques moulés.

Références bibliographiques

125

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Annexe 1

131

ANNEXE 1

Résolution de l'équation de Christoffel

Cas orthotrope Le tenseur de Christoffel en k s'écrit :

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

++++

++++

=Λ2333

2244

2155324423315513

3244232344

2222

2166216612

3155132166122355

2266

2111

kCkCkCkkCCkkCC

kkCCkCkCkCkkCC

kkCCkkCCkCkCkC

La résolution de l'équation de propagation implique :

( ) 02 =−Λ Idet ρω

Posons I2ρω−Λ=Π , avec : 22

35522661111

211111 ωργγ skCkC,kC −+=+=Π

22344

22222222


22333

22443333


( ) 266121211212 kCC,k +==Π αα

( ) 355131311313 kCC,k +==Π αα

( ) 32442323 kkCC +=Π

233213311221 Π=ΠΠ=ΠΠ=Π et,

On obtient alors le polynôme du 3ème ordre suivant :

( ) ( ) ( ) 021

221

321 =+++ dkckbka ,

où 665511 CCCa =

6621355

212336611221155116655 CCCCCCCCb ααγγγ −−++=

2231123131222

21333

212332211331166221155 2 Π−Π+−−++= CCCCc ααγαγαγγγγγγ

( )223332211 Π−= γγγd

Annexe 1

132

Cas général triclinique On considère le cas triclinique où le tenseur des constantes élastiques est de la forme :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

66

5655

464544

36353433

2625242322

161514131211

C

CCsym

CCC

CCCC

CCCCC

CCCCCC

C

Les composantes de la matrice I2ρω−Λ=Π sont données par :

ijijijij kk γβα ++=Π 12

1

où : 23256

2355

226611216315111111 222 ρωγβα −++=+== kkCkCkC,kCkC,C

23224

2344

222222346226226622 222 ωργβα skkCkCkC,kCkC,C −++=+==

23234

2333

224433335245335533 222 ωργβα skkCkCkC,kCkC,C −++=+==

( ) ( ) ( ) 3225462345

2226123561426612121612 kkCCkCkC,kCCkCC,C +++=+++== γβα

( ) ( ) ( ) 3245362335


( ) ( ) ( ) 3244232334


On obtient alors le polynôme d'ordre 6 suivant :

00112

12313

414

515

616 =++++++ akakakakakaka

avec :

23131221233

21322

223113322116 2 αααααααααααα +−−−=a

( )121233131322232311231312231312231312

21233

21322

223113322113322113322115

2 βααβααβααααβαβαβαααβαβαβααβαβαβαα

−−−+++−−−++=a

Annexe 1

133

( )( )

21233

21322

22311

21233

21322

22311

121233131322232311112323221313331212

231312231312231312231312231312231312

3322113322113322113322113322113322114

22

αγαγαγβαβαβα

γααγααγααββαββαββαααγαγαγαααβββαβββα

ααγαγαγααββαβαβαββ

−−−−−−

+++++−++++++

+++++=a

( )( ) ( )( ) 2

12332

132222311121233131322232311

121233131322232311121233131322232311

121323131223122313231213132312231312231312

3322113322113322113322113322113322113322113

2

222

βββββββαγβαγβαγ

γαβγαβγαβγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαβββ

αβγαγββαγγαββγαγβαβββ

−−−++−

++−++−+++++++

++++++=a

( )( )

21233

21322

22311

21233

21322

22311

121233131322232311121233131322232311

231312231312231312231312231312231312

3322113322113322113322113322113322112

22

βγβγβγγαγαγα

γαγγαγγαγγββγββγββαγγγαγγγαββγβγβγββ

ββγβγβγββαγγγαγγγα

−−−−−−

+++++−++++++

+++++=a

( )( ) 2

123321322

22311121233131322232311

2313122313122313123322113322113322111

2

2

γβγβγβγβγγβγγβγ

βγγγβγγγβγγβγβγβγγ

−−−++−

+++++=a

23131221233

21322

223113322110 2 γγγγγγγγγγγγ +−−−=a

Annexe 2

135

ANNEXE 2

Rotation d'un tenseur orthotrope autour de l'axe 2

La rotation d'un tenseur élastique autour de l’axe 2x se déduit du tenseur initial 0C de la

façon suivante :

0ijklploknjmimnop CaaaaC =

où la matrice a , pour une rotation d’un angle ψ autour de l'axe 2x , est définie par :

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −=

ψψ

ψψ

cossin

sincosa

0010

0

Dans le cas d'un tenseur initial orthotrope, on obtient alors un tenseur monoclinique de la

forme :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

66

55

4644

3533

252322

15131211

00

000000

CCsym

CCCCCCCCCCC

C

avec :

( ) ( ) 033

2013

033

055

4033

055

013

01111 22442 CcosCCCcosCCCCC ++−++−−= ψψ

02222 CC =

( ) ( ) 011

2013

011

055

4033

055

013

01133 22442 CcosCCCcosCCCCC ++−++−−= ψψ

( ) 066

2066

04444 CcosCCC +−= ψ

( ) ( ) 055

2033

055

013

011

4033

055

013

01155 4242 CcosCCCCcosCCCCC ++−−++−−−= ψψ

( ) 044

2044


( ) 023

2023


Annexe 2

136

( ) ( ) 013

2033

055

013

011

4033

055

013

01113 4242 CcosCCCCcosCCCCC ++−−++−−−= ψψ

( ) 012

2012


( )[ ] ψψψ sincosCCCcosCCCCC 033

055

013

2033

055

013

01115 242 −+++−−=

( ) ψψ sincosCCC 023

01225 −=

( )[ ] ψψψ sincosCCCcosCCCCC 011

055

013

2033

055

013

01135 242 +−−+−−−=

( ) ψψ sincosCCC 044

06646 −=

Annexe 3

137

ANNEXE 3

Mesures d'atténuation en ondes transversales

Principe de mesure Les mesures sont effectuées en mode écho, au contact. Nous avons choisi le mode écho afin

de minimiser les incertitudes liées au couplant. On utilise les deux premiers échos, qui

correspondent respectivement à deux trajets et quatre trajets dans l'échantillon (Figure A.1).

Figure A.1 : Dispositif de la mesure en OT, en écho et au contact.

Une première mesure est effectuée avec la polarisation des ondes perpendiculaire au plan des

grains, et une seconde dans le plan des grains (Figure A.2). Nous appellerons ondes

transversales horizontales (OTH) le cas a) et ondes transversales verticales (OTV) le cas b).

Figure A.2 : Directions de polarisation par rapport à l'axe des grains.

Le calcul de la vitesse a été effectué par simple mesure de temps de vol entre deux échos

successifs. La valeur de l'atténuation a été obtenue en moyennant les valeurs obtenues par

traitement spectral et par fit exponentiel des extremums des échos successifs (exemple sur la

Figure A.3).

couplant Sofranel émetteur : OT V156,

2.25 MHz, ∅ 0.5''.

90° 90°

a) b)

Annexe 3

138

Figure A.3 : Exemple de calcul de l'atténuation par fit exponentiel.

Les résultats de mesure des vitesses et atténuations dans les deux cas de direction de

polarisation sont résumés dans le Tableau A.1, et tracés sur la Figure A.4.

Orientation des grains 0° 10° 35° 45° 60° 80° 85°

Vitesse TH (m/s) 3590 3910 3575 3380 3120 2800 2710

Vitesse TV (m/s) 3915 3690 2420 2385 2725 3655 3820

Atténuation TH (dB/mm) 0.4 0.21 0.35 0.4 0.5 0.7 0.5

Atténuation TV (dB/mm) 0.3 0.25 0.6 0.5 0.5 0.38 0.25

Tableau A.1 : Vitesses et atténuations des ondes transversales.

a) b)

Figure A.4 : Vitesse (a) et atténuation (b) des deux types d'ondes transversales.

atténuation = 23,63 Np/m,

soit 0,205 dB/mm.

atténuation = 25,98 Np/m,

soit 0,226 dB/mm.

Annexe 4

139

ANNEXE 4

Détermination de la taille et de l'orientation des grains

Taille des grains

La seule manière d’estimer la taille (et la forme) des grains dans les échantillons de soudure

en acier inoxydable austénitique est par analyse EBSD. Une série d’analyse EBSD a été

effectuée sur quelques uns de nos échantillons, et un exemple d’imagerie est montré sur la

Figure A.5. Elle montre que la diffraction n’était pas d’assez bonne qualité pour permettre

d’identifier clairement les grains.

Figure A.5 : Cartographie des orientations cristallographiques dans la direction x : (a) coupe

transversale par rapport aux grains, (b) coupe longitudinale par rapport aux grains.

Les tailles de grains utilisées dans le manuscrit, diamètre moyen de 150µm et longueur

moyenne de 4mm, proviennent de l’étude précédente de Chassignole [CHA 00].

Orientation des grains

L’orientation des grains dans nos échantillons peut s’obtenir soit par attaque chimique de la

surface et analyse d’image, soit par diffraction par rayons X, complémentaire à l’analyse

EBSD. Les orientations indiquées dans ce manuscrit ont été déterminées par analyse d’image.

111

101001

a) b)

x y

z

Annexe 5

141

ANNEXE 5

Etablissement des matrices permettant le calcul des coefficients de réflexion et transmission

Les équations sont écrites pour le cas général triclinique.

Première interface La première équation de continuité de la contrainte normale à la surface se traduit par :

( ) ( ) ( ) ( ) inclm

mmmmmmmm

i

m

i

m

iim krkPkPC

kPkPC

kPkPC

kPCt2

122116

133115

233214

3

11 1

222ωρ+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++∑ ∑

=

où inck désigne le nombre d'onde de l'onde incidente et lρ la densité du liquide.

Les deuxième et troisième équations s'obtiennent par annulation des contraintes tangentielles:

( ) ( ) ( ) 0222

122156

133155

233245

3

15 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++∑ ∑

=m

mmmmmmmm

i

m

i

m

iim kPkPC

kPkPC

kPkPC

kPCt

( ) ( ) ( ) 0222

122166

133156

233246

3

16 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++∑ ∑

=m

mmmmmmmm

i

m

i

m

iim kPkPC

kPkPC

kPkPC

kPCt

La dernière équation traduit la continuité de la composante normale à l'interface du champ de

déplacement : inc

m

m

m

incPPtrP 111 =+ ∑

Ces équations se traduisent sous forme matricielle par :

[ ]⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

inc

incl

T

T

L

P

k

tttr

M

1

2

2

1 00ωρ

où la matrice M est définie par :

Annexe 5

142

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

1

1

111

343332

242322

141312

2

00

TTLe

incl

PPPPMMMMMMMMMk

M

ωρ

avec ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++−= ∑

=

LLLLLLLL

i

Li

Lii kPkP

CkPkP

CkPkP

CkPCM 1221

161331

152332

143

1112

222,

13M et 14M : idem pour les modes 1T et 2T respectivement.

( ) ( ) ( )LLLLLLLL

i

L

i

L

ii kPkPC

kPkPC

kPkPC

kPCM 122156

133155

233245

3

1522

222++++++= ∑

=,


( ) ( ) ( )LLLLLLLL

i

L

i

L

ii kPkPC

kPkPC

kPkPC

kPCM 122166

133156

233246

3

1632

222++++++= ∑

=,


Deuxième interface La première équation de continuité de la contrainte normale à la surface se traduit donc par :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

tl

djkglobal

L

m

mmmmmmmm

i

m

i

m

ii

djkL

m

LLLLLLLL

i

L

i

L

ii

djk

L

ket

kPkPC

kPkPC

kPkPC

kPCerr

kPkPC

kPkPC

kPkPC

kPCe

t

t

m

L

2

122116

133115

233214

3

11

122116

133115

233214

3

11

1

1

1

222

222

ωρ−

=

−

=

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++

∑ ∑

∑

Les deuxième et troisième équations s'obtiennent par annulation des contraintes tangentielles :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

222

222

122156

133155

233245

3

15

122156

133155

233245

3

15

1

1

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++

∑ ∑

∑

=

−

=

−

m

mmmmmmmm

i

m

i

m

ii

djkL

m

LLLLLLLL

i

L

i

L

ii

djk

L

kPkPC

kPkPC

kPkPC

kPCerr

kPkPC

kPkPC

kPkPC

kPCe

tm

L

Annexe 5

143

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

222

222

122166

133156

233246

3

16

122166

133156

233246

3

16

1

1

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++

∑ ∑

∑

=

−

=

−

m

mmmmmmmm

i

mi

mii

djkLm

LLLLLLLL

i

Li

Lii

djk

L

kPkPCkPkPCkPkPCkPCerr

kPkPCkPkPCkPkPCkPCe

tm

L

La dernière équation traduit la continuité de la composante normale à l'interface du champ de

déplacement :

incdjkglobal

Lm

mdjkL

mL

Ljk

L PetPerrtPetincmL

111111 −−−

=+ ∑

Ces équations se traduisent sous forme matricielle par :

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

−

−

42

32

22

12

1

2

1

1

21

11

1

1

M

M

M

M

Net

rre

rre

rre

te

L

jk

L

L

)T(

djk

L

)T(

djk

L

)L(

djk

global

L

djk

L

rT

rT

rL

inc

,

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

−

−

43

33

23

13

111

1

2

1

1

11

11

21

11

1

1

M

M

M

M

Net

rre

rre

rre

te

T

jk

T

T

)T(

djk

T

)T(

djk

T

)L(

djk

global

T

djk

T

rT

rT

rL

inc

,

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

−

−

44

34

24

14

122

2

2

2

1

22

21

21

11

1

1

M

M

M

M

Net

rre

rre

rre

te

T

jk

T

T

)T(

djk

T

)T(

djk

T

)L(

djk

global

T

djk

T

rT

rT

rL

inc

.

où la matrice LN est définie par :

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

2

1

1

111

343332

242322

141312

2

00

rT

L

rT

L

rL

L

inc

LLL

LLL

LLL

incl

L

PtPtPtPNNNNNNNNNk

N

ωρ

Annexe 5

144

avec

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++−= ∑

=

LLLLLLrLrL

i

rL

i

rL

iiL

LkPkP

CkPkP

CkPkP

CkPCtN 1221

161331

152332

143

1112

222,

L

N13 et L

N14 : idem pour les modes 1rT et 2rT respectivement.

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++= ∑

=

rLrLrLrLrLrLrLrL

i

rL

i

rL

iiL

LkPkP

CkPkP

CkPkP

CkPCtN 1221

561331

552332

453

1522

222,

L

N23 et L


( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++= ∑

=

rLrLrLrLrLrLrLrL

i

rLi

rLiiL

LkPkPCkPkPCkPkPCkPCtN 1221

661331

562332

463

1632 222

,

L

N33 et L


et de même pour 1TN et 2TN , en remplaçant l’indice L respectivement par 1T et 2T .

ETUDE DE L’ATTENUATION DES ONDES ULTRASONORES. APPLICATION AU

CONTROLE NON DESTRUCTIF DES SOUDURES D’ACIER INOXYDABLE AUSTENITIQUE

Mots-clés :

Propagation ultrasonore, atténuation, diffusion, anisotropie, hétérogénéité, soudures, acier inoxydable

austénitique.

Résumé :

La simulation de la propagation ultrasonore est un enjeu important du contrôle non destructif des

soudures multipasses en acier inoxydable austénitique, spécifiques des tuyauteries de centrale

nucléaire. Ces soudures anisotropes hétérogènes causent une diffusion des ultrasons aux joints de

grains entraînant une forte atténuation, fonction de l’orientation des grains. La mesure de cette

atténuation est complexe. La méthode mise en œuvre permet de prendre en compte la réalité physique

des faisceaux et l’anisotropie du matériau. La propagation ultrasonore à travers les échantillons est

modélisée à l’aide des coefficients de transmission calculés en incidence quelconque sur un matériau

triclinique. Cette méthode permet d’aboutir à une atténuation croissante en fonction de l’orientation

des grains. Pour la première fois, les coefficients d’atténuation mesurés ont été intégrés à un code de

simulation qui a permis leur validation par la comparaison avec l’expérience.

STUDY OF THE ULTRASONIC ATTENUATION. APPLICATION TO THE NONDESTRUCTIVE

TESTING OF AUSTENIC STAINLESS STEEL WELDS

Keywords :

Ultrasonic propagation, attenuation, scattering, anisotropy, heterogeneity, welds, austenitic stainless

steel.

Summary :

Ultrasonic propagation simulation in anisotropic and heterogeneous media is essential for

nondestructive testing by ultrasounds of multipass austenitic stainless steel welds that are specific of

piping in nuclear power stations. Scattering at grain boundaries leads to a strong attenuation as a

function of grain orientation. Attenuation measurement is complex. The implemented technique

allows taking into account the physical reality of the beams and the material anisotropy. Ultrasonic

propagation through the samples is modeled with transmission coefficients calculated with any

incidence on a triclinic material. This method results in an increase of the attenuation versus grain

orientation. For the first time, measured attenuation coefficients are integrated into a simulation code

that validated them by comparison with experience.

présentée devant l’institut national des sciences...

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