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Traitement du Signal S5Convolution et Filtrage

V. Choqueuse

Département Electronique, ENIB

Gitlab: https://git.enib.fr/choqueuse/s5_signal/issues

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https://git.enib.fr/choqueuse/s5_signal/issues

Table des matières

Introduction

Systèmes continus LTIDéfinitionExercice

Produit de ConvolutionPropriétés

Exercice

Slide 2/ 34:

IntroductionProblématique

Systèmee(t) s(t)

Ï S4 Electronique : Cours sur les systèmes LTIs décrit par uneéquation différentielle à coefficients constants.

Ï Problème :Ï Dans le contexte générale des systèmes LTIs, comment s’exprime la

sortie s(t) en fonction du signal d’entrée e(t) et des"caractéristiques" du système ?

ObjectifsDans ce chapitre, nous allons voir que:

Ï la sortie peut s’exprimer comme la convolution du signal e(t) avec laréponse impulsionnelle du système h(t).

Ï Dans le domaine fréquentielle, l’opération de convolution correspondà la multiplication de la TF de e(t) par la TF de h(t).

Slide 3/ 34: Introduction

Systèmes continus LTI

DéfinitionConsidérons un système décrit par un opérateur L[.] et notonss(t)= L[e(t)] la sortie du système lorsque l’entrée est égale à e(t).

L[.]e(t) s(t)

Un système est continu, linéaire et invariant dans le temps si il respecteles 3 propriétés suivantes :

Ï Continu: La variable t est continue (signaux analogiques).Ï Linéarité : Si l’entrée est égale à α1e1(t)+α2e2(t), alors la sortieest égale à α1s1(t)+α2s2(t).

Ï Invariant dans le temps (stationnaire): Si l’entrée est égale àe(t −τ), alors la sortie est égale à s(t −τ).

Slide 4/ 34: Systèmes continus LTI


Réponse du systèmeEn utilisant les propriétés de l’impulsion de Dirac, il est possibled’exprimer un signal continu e(t) sous la forme :

e(t)=∫ ∞−∞

e(u)δ(t −u)du

En utilisant la continuité et la linéarité du système, la réponse à uneentrée e(t) s’exprime sous la forme :

s(t)= L[e(t)]=∫ ∞−∞

e(u)L[δ(t −u)]du

Soit h(t)= L[δ(t)] la réponse du système à une impulsion de Dirac.L’invariance en temps impose que L[δ(t −u)]= h(t −u) et donc :

s(t)=∫ ∞−∞

e(u)h(t −u)du =∫ ∞−∞

h(u)e(t −u)du , (h∗e)(t)



Réponse du système (BING!)La sortie d’un système LTI, notée s(t), initialement au repos à une entréequelconque e(t) s’exprime sous la forme :

s(t)= (h∗e)(t)

Réponse impulsionnelleLa réponse impulsionnelle d’un système, notée h(t), correspond à lasortie du système lorsque l’entrée est une impulsion de Dirac.

Ï La réponse impulsionnelle correspond à l’"empreinte" du système.

Produit de ConvolutionLe produit de convolution est défini par:

(h∗e)(t)=∫ ∞−∞

e(u)h(t −u)du =∫ ∞−∞

h(u)e(t −u)du



Convolution des signaux audios

Figure 1: Mesure de réponses impulsionnelles pour des applications audios

Ï Logiciel Altiverb 7 (Vidéo)Ï Module Convolution reverb d’Ableton live (Vidéo)Ï Plugin Reflektor de Native Instrument (Vidéo)Ï Module Blend IR des copains de Two Notes (Vidéo)


https://www.youtube.com/watch?time_continue=180&v=EpzNgP8uThshttps://www.youtube.com/watch?time_continue=2&v=2xbf7KbqDEM-https://www.youtube.com/watch?time_continue=84&v=Z4ROtXh0fDYhttps://www.youtube.com/watch?v=XnAIuItOhI4


Exercice (réponse indicielle)Considérons un système de premier ordre régit par l’équation différentiellesuivante:

τds(t)

dt + s(t)=Ke(t)

Il est possible de montrer que la réponse impulsionnelle du systèmes’exprime sous la forme:

h(t)={ 0 si t < 0

Kτ e

− tτ ailleurs

Ï Déterminer la réponse indicielle du système (e(t)= u(t)),Ï Représenter la réponse impulsionnelle et indicielle du système.



Exercice (réponse indicielle)Soit

h(t)={ 0 si t < 0,

Kτ e

− tτ ailleurs.

Lorsque e(t)= u(t), la réponse du système est donnée par :

s(t)= (h∗u)(t)

=∫ ∞−∞

e(u)h(t −u)du =∫ ∞

0h(t −u)du =

∫ t0

h(t −u)du

= Kτ

∫ t0

e−t−uτ du = K

τ

[τe−

t−uτ

]t0=K

(1−e− tτ

)

Ï La seconde ligne s’obtient en utilisant respectivement le fait quee(t)= 0 si t < 0, puis que h(t)= 0 si t < 0.


Systèmes continus LTIExercice (réponse indicielle)

h(t)e(t) s(t)= (h∗e)(t)

−5 0 5 100

0.51

t

e(t)

=δ(t

)

−5 0 5 100

0.20.4

t

h(t)

−5 0 5 100

0.20.4

t

s(t)

=(h

∗δ)(

t)=

h(t)

Figure 2: Réponse Impulsionnelle

−5 0 5 100

0.51

t

e(t)

=u(

t)

−5 0 5 100

0.20.4

t

h(t)

−5 0 5 100

0.51

ts(

t)=

(h∗u

)(t)

Figure 3: Réponse Indicielle


Produit de Convolution

DéfinitionLe produit de convolution est défini mathématiquement par:

(h∗e)(t)=∫ ∞−∞

e(u)h(t −u)du =∫ ∞−∞

h(u)e(t −u)du

Ï WARNING: L’intégration se fait par rapport à une variable"muette" u qui n’apparait pas dans le résultat du calcul. Le résultatest une fonction qui dépend du temps t.

Ï Par abus de notation, nous utiliserons parfois l’expression h(t)∗e(t).

Slide 11/ 34: Produit de Convolution


ExerciceDéterminer le produit de convolution suivant (x ∗x)(t) où x(t) est uneporte de largeur L et d’amplitude A c-a-d :

x(t)=AΠL(t)={

A si |t | ≤ L20 ailleurs



Exercice (Solution)Le produit de convolution s’exprime sous la forme

(x ∗x)(t)=A2∫ ∞−∞ΠL(u)ΠL(t −u)du

Ï Avant de calculer le produit de convolution, il est important de bienreprésenter les signaux ΠL(u) et ΠL(t −u) en fonction de t et u.

−L −L/2 t −L/2 0 L/2t t +L/2 L0

1

u

ΠL(u)ΠL(t −u)





Ï Cas où t + L2 ≤−L2 :

Ï Dans ce cas, nous avons t ≤−L.Ï Lorsque t ≤−L, il n’y a pas d’intersection entre ΠL(u) et ΠL(t −u).Ï Cela implique que

(x ∗x)(t)=A2 ×0= 0





Ï Cas où t + L2 >−L2 et t + L2 ≤ L2 :

Ï Dans ce cas, nous avons −L< t ≤ 0.Ï Lorsque −L< t ≤ 0, il a intersection entre ΠL(u) et ΠL(t −u) dans

l’intervalle ]− L2 ,t + L2 ].Ï Cela implique que

(x ∗x)(t)=A2∫ t+ L2− L2

1×1du =A2[u]t+L2

− L2=A2

(t + L2 +

L2

)=A2(t +L)





Ï Cas où t + L2 > L2 et t − L2 ≤ L2 :

Ï Dans ce cas, nous avons 0< t ≤ L.Ï Lorsque 0< t ≤ L, il a intersection entre ΠL(u) et ΠL(t −u) dans

l’intervalle ]t − L2 , L2 ].Ï Cela implique que

(x ∗x)(t)=A2∫ L

2

t− L21×1du =A2[u]

L2t− L2

=A2(L

2 − (t −L2 )

)=A2(−t +L)





Ï Cas où t − L2 > L2 :

Ï Dans ce cas, nous avons t > L.Ï Lorsque t > L, il n’y a pas d’intersection entre ΠL(u) et ΠL(t −u).Ï Cela implique que

(x ∗x)(t)= 0




(x ∗x)(t)=

0 si t ≤−L

A2(t +L) si −L< t ≤ 0A2(−t +L) si 0< t ≤ L

0 si t > L

−L 0 L0

A2L

u

(x ∗x)(t)



Propriété (Théorème Fondamental de la Convolution)Ï Avant Propos : Lorsqu’un signal e(t)= e2jπf0t est envoyé à l’entréed’un système LTI caractérisé par la réponse impulsionnelle h(t), alorsla sortie s’exprime sous la forme

(h∗e)(t)=∫ ∞−∞

h(u)e(t −u)du =∫ ∞−∞

h(u)e2jπf0(t−u)du

= e2jπf0t∫ ∞−∞

h(u)e−2jπf0udu

=H(f0)e2jπf0t

où H(ν),TF [h(t)] désigne la Transformée de Fourier de h(t).Ï Les exponentielles complexes sont les fonctions propres du produit de

convolution.Ï Par extension, lorsqu’une sinusoïde de fréquence f0 est envoyé à

l’entrée d’un système LTI, la sortie est également une sinusoïde defréquence f0.



Propriété (Théorème Fondamental de la Convolution)Si s(t)= (h∗e)(t), alors nous obtenons dans le domaine fréquentiel

S(ν)=H(ν)E (ν)

Ï E (ν)=TF [e(t)] et S(ν)=TF [s(t)] désignent les Transformées deFourier de e(t) et de s(t).

Ï H(ν)=TF [h(t)] est appelée fonction de transfert du système.

RemarqueÏ Convoluer deux signaux dans le domaine temporel revient à lesmultiplier dans le domaine fréquentiel → notion de filtrage.

Ï (Dualité): Multiplier deux signaux dans le domaine temporel revientà les convoluer dans le domaine fréquentiel.



Avant ProposLe produit de convolution est généralement assez difficile à calculer. Poursimplifier les calculs, nous essayerons en priorité d’utiliser ses propriétés.

Propriété (Commutativité)

(x ∗y)(t)= (y ∗x)(t)

Ï Démonstration:

Par définition, nous avons :

(x ∗y)(t)=∫ ∞−∞

x(τ)y(t −τ)dτ

En posant u = t −τ, nous obtenons dudτ =−1 et donc

(x ∗y)(t)=−∫ −∞+∞

x(t −u)y(u)du =∫ +∞−∞

y(u)x(t −u)du = (y ∗x)(t)



Avant ProposLe produit de convolution est généralement assez difficile à calculer. Poursimplifier les calculs, nous essayerons en priorité d’utiliser ses propriétés.

Propriété (Commutativité)

(x ∗y)(t)= (y ∗x)(t)

Ï Démonstration: Par définition, nous avons :

(x ∗y)(t)=∫ ∞−∞

x(τ)y(t −τ)dτ

En posant u = t −τ, nous obtenons dudτ =−1 et donc

(x ∗y)(t)=−∫ −∞+∞

x(t −u)y(u)du =∫ +∞−∞

y(u)x(t −u)du = (y ∗x)(t)



Propriété (Distributivité par rapport à la somme)

(x ∗ (y +z))(t)= (x ∗y)(t)+ (x ∗z)(t)

Ï Démonstration:

En utilisant la propriété de linéarité de l’intégrale,nous obtenons :

(x ∗ (y +z))(t)=∫ ∞−∞

x(τ)(y(t −τ)+z(t −τ)))dτ

=∫ ∞−∞

x(τ)y(t −τ)dτ+∫ ∞−∞

x(τ)z(t −τ)dτ= (x ∗y)(t)+ (x ∗z)(t)



Propriété (Distributivité par rapport à la somme)

(x ∗ (y +z))(t)= (x ∗y)(t)+ (x ∗z)(t)

Ï Démonstration: En utilisant la propriété de linéarité de l’intégrale,nous obtenons :

(x ∗ (y +z))(t)=∫ ∞−∞

x(τ)(y(t −τ)+z(t −τ)))dτ

=∫ ∞−∞

x(τ)y(t −τ)dτ+∫ ∞−∞

x(τ)z(t −τ)dτ= (x ∗y)(t)+ (x ∗z)(t)



Propriété (Non distributivité par rapport au produit)

x ∗ (y ×z)(t) 6= (x ∗y)(t)× (x ∗z)(t)



AssociativitéLe produit de convolution est associatif c-a-d

((x ∗y)∗z)(t)= (x ∗ (y ∗z))(t)

Ï Démonstration:

Nous obtenons :

((x ∗y)∗z)(t)=∫ ∞−∞

(x ∗y)(τ1)×z(t −τ1)dτ1

=∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

x(τ2)y(τ1 −τ2)z(t −τ1)dτ2dτ1

=∫ ∞−∞

x(τ2)(∫ ∞

−∞y(τ1 −τ2)z(t −τ1)dτ1

)dτ2

Or, l’intégrale centrale est simplement égale à (y ∗z)(t −τ2). Donc,

((x ∗y)∗z)(t)=∫ ∞−∞

x(τ2)((y ∗z)(t −τ2))dτ2 = (x ∗ (y ∗z))(t)



AssociativitéLe produit de convolution est associatif c-a-d

((x ∗y)∗z)(t)= (x ∗ (y ∗z))(t)

Ï Démonstration: Nous obtenons :

((x ∗y)∗z)(t)=∫ ∞−∞

(x ∗y)(τ1)×z(t −τ1)dτ1

=∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

x(τ2)y(τ1 −τ2)z(t −τ1)dτ2dτ1

=∫ ∞−∞

x(τ2)(∫ ∞

−∞y(τ1 −τ2)z(t −τ1)dτ1

)dτ2

Or, l’intégrale centrale est simplement égale à (y ∗z)(t −τ2). Donc,

((x ∗y)∗z)(t)=∫ ∞−∞

x(τ2)((y ∗z)(t −τ2))dτ2 = (x ∗ (y ∗z))(t)



Propriété (Convolution avec une impulsion de Dirac)

x(t)∗δ(t −τ)= x(t −τ)

Ï L’impulsion de Dirac est l’élément neutre du produit de convolution(x(t)∗δ(t)= x(t))

−5 0 5 10 150

0.51

t

e(t)

−5 0 5 10 150

0.20.4

t

h(t)

−5 0 5 10 150

0.20.4

t

s(t)

=(h

∗u)(

t)

Figure 4: Réponse du système


Produit de ConvolutionPropriété (Convolution avec une impulsion de Dirac)

x(t)∗δ(t −τ)= x(t −τ)

Ï L’impulsion de Dirac est l’élément neutre du produit de convolution(x(t)∗δ(t)= x(t))

Ï Démonstration: Notons δu(t)= δ(t −u). En utilisant la définitiondu produit de convolution, nous trouvons :

(x ∗δu)(t)=∫ ∞−∞

x(τ)δu(t −τ)dτ

=∫ ∞−∞

x(τ)δ(t −τ−u)dτ

Cette intégrale est non nulle lorsque t −τ−u = 0 c-a-d lorsqueτ= t −u. En utilisant les propriétés de l’impulsion de Dirac, nousobtenons alors

(x ∗δu)(t)= x(t −u)Slide 26/ 34: Produit de Convolution

Produit de ConvolutionPropriété (Décalage dans le temps)Soit z(t)= (x ∗y)(t). Si xτ1(t), x(t −τ1) et yτ2(t), y(t −τ2), alors

(xτ1 ∗yτ2)(t)= z(t − (τ1 +τ2))

Ï Pour τ= τ1 = τ2 6= 0, (xτ∗yτ)(t)= z(t −2τ) 6= z(t −τ).

Ï Démonstration:

En utilisant la définition du produit de convolutionet en utilisant le changement de variable τ−τ1 = u, nous obtenons :

(xτ1 ∗yτ2)(t)=∫ ∞−∞

xτ1(τ)yτ2(t −τ)dτ

=∫ ∞−∞

x(τ−τ1)y(t −τ−τ2)dτ

=∫ ∞−∞

x(u)y(t −τ1 −τ2 −u)du= z(t − (τ1 +τ2))

avec z(t)= (x ∗y)(t).


Produit de ConvolutionPropriété (Décalage dans le temps)Soit z(t)= (x ∗y)(t). Si xτ1(t), x(t −τ1) et yτ2(t), y(t −τ2), alors

(xτ1 ∗yτ2)(t)= z(t − (τ1 +τ2))

Ï Pour τ= τ1 = τ2 6= 0, (xτ∗yτ)(t)= z(t −2τ) 6= z(t −τ).

Ï Démonstration: En utilisant la définition du produit de convolutionet en utilisant le changement de variable τ−τ1 = u, nous obtenons :

(xτ1 ∗yτ2)(t)=∫ ∞−∞

xτ1(τ)yτ2(t −τ)dτ

=∫ ∞−∞

x(τ−τ1)y(t −τ−τ2)dτ

=∫ ∞−∞

x(u)y(t −τ1 −τ2 −u)du= z(t − (τ1 +τ2))

avec z(t)= (x ∗y)(t).Slide 27/ 34: Produit de Convolution

ExerciceTF d’un signal périodiqueSoit m(t) un motif de forme quelconque dont le spectre M(ν) estreprésenté ci-dessous :

0t

m(t

)

(a) Représentation Temporelle

0ν

M(ν

)

(b) Représentation Fréquentielle

En périodisant le motif m(t) à la période T0, nous obtenons le signalT0-périodique xT0(t) suivant:

−T0 −T02 0 T02 T0t

m(t

)

Figure 6: Représentation Temporelle de xT0 (t)Slide 28/ 34: Exercice

Exercice

TF d’un signal périodique

−T0 −T02 0 T02 T0t

m(t

)

Figure 7: Représentation Temporelle de xT0 (t)

Ï Exprimer le signal xT0(t) sous la forme du produit de convolution dumotif m(t) par une fonction f (t) à déterminer.

Ï En déduire X (ν) le spectre de xT0(t).Ï Etablir le lien entre M(ν), le spectre de m(t), et Cn les coefficientsde la DSF de xT0(t).

Slide 29/ 34: Exercice

ExerciceTF d’un signal périodique (Solution)

−T0 −T02 0 T02 T0t

m(t

)

Ï En utilisant la propriété de convolution, nous obtenons :

y(t)=m(t −T0)=m∗δ(t −T0)

Ï Par extension, nous obtenons (distributivité par rapport à la somme):

xT0(t)=∞∑

n=−∞m(t −nT0)=

∞∑n=−∞

m∗δ(t −nT0)

=m∗( ∞∑n=−∞

δ(t −nT0))

=m∗pT0(t)


ExerciceTF d’un signal périodique (Solution)

−T0 −T02 0 T02 T0t

m(t

)

Ï En utilisant la propriété de convolution, nous obtenons :

y(t)=m(t −T0)=m∗δ(t −T0)Ï Par extension, nous obtenons (distributivité par rapport à la somme):

xT0(t)=∞∑

n=−∞m(t −nT0)=

∞∑n=−∞

m∗δ(t −nT0)

=m∗( ∞∑n=−∞

δ(t −nT0))

=m∗pT0(t)Slide 30/ 34: Exercice

Exercice

TF d’un signal périodique (Solution)

−T0 −T02 0 T02 T0t

m(t

)

Ï Nous obtenons finalement (convolution avec un peigne de Dirac) :

xT0(t)=m∗pT0(t)


Exercice

TF d’un signal périodique (Solution)Ï En fréquentiel, nous avons alors :

XT0(ν)=M(ν)×PT0(ν)

= 1T0M(ν)

∞∑n=−∞

δ

(ν− nT0

)= 1T0

∞∑n=−∞

M(ν)δ(ν− nT0

)c-a-d

XT0(ν)=1

T0

∞∑n=−∞

M( nT0

)δ

(ν− nT0

)


Exercice

TF d’un signal périodique (Solution)Ï Lien avec la décomposition en série de Fourier: Pour un signalpériodique, nous avons :

XT0(ν)=∞∑

n=−∞Cnδ(ν−nf0)

Par identification, nous trouvons :

Cn = 1T0M

( nT0

)


Exercice


− 2T0−1

T00 1

T02

T0ν

M(ν

)

Figure 8: Représentation Fréquentielle (T0 = 1 s)

Ï Périodiser un signal revient à échantillonner sa transformée deFourier.

Ï (Dualité: Echantillonner un signal revient à périodiser sa transforméede Fourier !)


Exercice


− 2T0−1

T00 1

T02

T0ν

M(ν

)

Figure 8: Représentation Fréquentielle (T0 = 1 s)

Ï Périodiser un signal revient à échantillonner sa transformée deFourier.

Ï (Dualité: Echantillonner un signal revient à périodiser sa transforméede Fourier !)


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