Icam Paris Sénart I1 Sciences Industrielles

I1.1 SI2

MODELISATION ET COMPORTEMENT

CINEMATIQUE DES SYSTEMES

EXERCICES

CINEMATIQUE SPATIALE

Exercice 1 : Camion benne

Exercice 2 : Centrifugeuse

Exercice 3 : Etude du mouvement d’un tricycle

Exercice 4 : Moteur Wankel

Exercice 5 : Mouvement d’un manège

LOI ENTREE-SORTIE

Exercice 6 : Scie de marqueterie

Exercice 7 : Porte de garage

Exercice 8 : Réducteur épicycloïdal

Exercice 9 : Scie sauteuse

Exercice 10 : Volet arrière de Kangoo

CINEMATIQUE – I1.1 SI2

Exercice Camion benne

1/1

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Mise en situation

Soit ��(�, �������, ������, �) un repère lié au châssis 0 d’un camion benne.

Soient ��(�, �������, ������, �) et � (�, � �����, �����, �) deux repères liés respectivement aux corps 1 et à la tige 2 d’un

des deux vérins hydrauliques.

On suppose que le vérin étudié {corps 1 + tige 2} se déplace dans le plan (�������, ������). Le corps 1 a un mouvement de rotation d’axe (�, �) par rapport au bâti 0. On pose � = (�������, �������). La tige 2 a un mouvement de translation rectiligne de direction ������� par rapport au corps 1. On pose

�������� = �. �������, avec λ variant.

Questions :

1. Réaliser une figure plane illustrant le paramètre d’orientation.

2. En déduire sous la figure, le vecteur rotation.

3. Que dire des bases 1 et 2 ? En déduire Ω /����������.

4. Déterminer les trajectoires �� /�, ���/� et �� /�.

5. Déterminer les vecteurs vitesses �� /������������, ���/������������ et �� /������������.

6. Déterminer le vecteur accélération Γ� /������������.

CINEMATIQUE – I1.1 SI2

Exercice Centrifugeuse

1/1

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Mise en situation

Considérons une centrifugeuse de laboratoire composée :

Sous l’effet centrifuge dû à la rotation du rotor ��, les containers �� s’inclinent et les liquides contenus

dans les éprouvettes sont ainsi séparés en fonction de leur masse volumique respective.

Soit �(�, �, , �) un repère lié au solide � .

Le solide �� est animé d’un mouvement de rotation autour de l’axe (�, �) par rapport à � .

Soit ��(�, ������, �����, �����) un repère lié au solide ��. Posons � = (, �����) avec � = �. � (� constante positive

en radians par seconde).

Le solide �� est animé d’un mouvement de rotation autour de l’axe (�, �����) par rapport à ��. On donne :

������� = �. ����� (� constante positive exprimée en mètres).

Soit ��(�, ������, �����, �����) un repère lié au solide ��. Posons � = (�, ������) avec � une fonction du temps

inconnue.

Soit � le centre d’inertie de ��, tel que : ������� = �. ������ (� constante positive exprimée en mètre).

Questions :

1. Réaliser le schéma cinématique spatial paramétré, limité à un seul container à éprouvettes.

2. Déterminer ���/ ���������� en utilisant les torseurs cinématiques uniquement.

3. Retrouver cette vitesse par dérivation vectorielle.

4. Déterminer Γ��/ ���������� par dérivation vectorielle.

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Exercice Etude du mouvement d’un tricycle

1/2

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Mise en situation

Le système étudié est constitué par un tricycle en contact avec le sol horizontal et ayant les

particularités suivantes :

- Les deux roues arrières sont montées sur l’essieu horizontal indéformable �� de centre �, de

longueur �� = 2�.

- L’essieu horizontal de la roue avant est monté sur une fourche qui ne peut que tourner autour

d’un axe vertical ��. - Les trois roues roulent sans glisser sur le sol aux points de contact respectifs A’, B’ et C’.

On introduit :

- Le référentiel �� lié au sol, supposé galiléen, rapporté au repère orthonormé direct

(��, ��, ��, ��). Les axes (��, ��) et (��, ��) sont tracés sur le sol horizontal.

- Le référentiel �� lié à l’ensemble (châssis, essieux) rapporté au repère orthonormé direct

(�, ��, ��, ��). - Le référentiel �� lié à la fourche et rapporté au repère orthonormé direct (�, ��, ��, ��).

On notera :

����, la vitesse angulaire de la roue 2 par rapport au châssis 1, et ���� celle de la roue 3.

����, la vitesse angulaire de la roue avant 5 par rapport à la fourche 5.

���, l’angle de braquage de la roue avant.

Le châssis qui a un mouvement plan est repéré à l’aide de la position de son centre de gravité dans �� :

��(�) et ��(�), et à l’aide du paramètre ���.

� = ��; 2� = ��; � = �� = ��; !�"#$�% "&�% = !

Questions :

1. Exprimer Ω�/)*, Ω�/)*

, Ω�/)*¸Ω�/)*

, Ω�/)*, vecteurs instantanés de rotations du châssis, deux 2

roues arrières, de la fourche, et de la roue avant par rapport à ��.

2. Donner les relations vectorielles qui lient V-�/)* à V��/)*

, V.�/)* à V��/)*

, V/�/)* à V��/)*

. Exprimer ces relations dans la base ��.

3. Ecrire les conditions de roulement sans glissement sur le sol des 3 roues.

Expliciter la condition de roulement sans glissement pour la roue 2, et montrer que l’on en

déduit deux relations :

0�1��� , ��� , ����, ���, �2 = 0

0�1��� , ��� , ����, ���, !, �, ����2 = 0

Expliciter la condition de roulement pour les 2 autres roues. Montrer que l’on obtient un

système de 5 équations indépendantes.

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Exercice Etude du mouvement d’un tricycle

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Exercice Moteur Wankel

1/3

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Mise en situation

L’invention de Félix Wankel reste liée au principe de la combustion. Le moteur à piston rotatif Wankel

réalise sous une forme particulière les quatre opérations fondamentales classiques :

1. Admission

2. Compression

3. Explosion – Détente

4. Echappement

Le mélange air-essence pénètre par le conduit d’aspiration, c’est le 1er

temps.

Le rotor obture l’orifice d’aspiration et amorce la compression des gaz carburés, c’est le 2ème

temps.

L’étincelle produite par la bougie provoque l’explosion du mélange air-essence au moment où la

compression est maximum. La détente provoque la rotation du rotor et fournit l’énergie motrice grâce

aux forces de pression exercées sur la face du rotor, c’est le 3ème

temps.

Le rotor démasque l’orifice d’échappement qui permet aux gaz brûlés de s’évacuer, c’est le 4ème

temps.

L’intérêt de ce type de motorisation est que les quatre phases du moteur 4 temps ont lieu en même

temps, sans les déperditions énergétiques dues au mouvement alternatif du piston.

Le piston rotatif, ayant la forme d’un triangle équilatéral curviligne, déplace ses sommets dans un stator

suivant une courbe spéciale nommée « épitrochoïde ».

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Exercice Moteur Wankel

2/3

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Modélisation et paramétrage :

L’analyse du fonctionnement met en évidence la

présence de trois solides :

� La carter moteur, repéré S0, auquel on associe

un repère (�, �0���������, ������, ����) ; � Le vilebrequin, repéré S1, auquel on associe un

repère (�, � �����, � �����, ����) ; � Le piston, repéré S2, auquel on associe un

repère (�, �������, �������, ����).

Le piston de forme triangulaire est en liaison pivot avec le

vilebrequin lui-même en liaison pivot avec le carter moteur.

D’autre part, le piston comporte une roue dentée intérieure qui

engrène avec un pignon denté fixe par rapport au carter

moteur. Ainsi la roue dentée roule sans glisser sur le pignon.

�������� = �. � ����� ; �������� = −�. � ����� + �. ���� ; �������� = �. �������

� = 10 �� ; � = 20 �� ; � = 100 ��

CINEMATIQUE – I1.1 SI2

Exercice Moteur Wankel

3/3

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Questions :

1. Tracer les figures de calculs.

2. Exprimer les vecteurs instantanés de rotation Ω /��������� et Ω�/

���������.

3. Déterminer le vecteur vitesse V!�/�����������.

4. A partir des résultats précédents, déterminer le vecteur vitesse V"�/�����������.

5. Exprimer la condition de roulement sans glissement au point B.

6. En traduisant cette condition, déterminer la relation #$ = %(&$ , �, �).

7. Les positions angulaires & et # de l’arbre et du rotor à l’instant ' = 0( sont choisies telles que

& = 0° et # = 0°. Déterminer la relation # = *(&, �, �).

8. Exprimer le vecteur vitesse V+�/�����������, en fonction des paramètres géométriques �, �, � et du seul

paramètre cinématique &$ .

9. Exprimer cette vitesse dans le repère , en fonction des paramètres géométriques �, �, �, &(')

et du seul paramètre cinématique &$ .

10. Soient �+ et �+ les coordonnées du point E dans le repère ,. Exprimer ces coordonnées en

fonction de �, �, �, &(').

CINEMATIQUE – I1.1 SI2

Exercice Mouvement d’un manège

1/1

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Mise en situation

Considérons le mécanisme de manège suivant. On se propose de calculer la vitesse du point D.

Paramétrage :

Quatre repères : �� = (�, ������, �����, �����) lié au bâti 0.

� = (�, � ����, ����, � ���) lié à la potence 1.

�� = (�, ������, �����, �����) lié au balancier 2.

�� = (�, ������, �����, �����) lié à la nacelle 3.

Quatre variables :

�(�) : position du point A par rapport à �� avec ������� = �(�). �����. � : angle de précession qui positionne la base 1 par rapport à la base 0.

� : angle de nutation qui positionne la base 2 par rapport à la base 1.

� : angle de rotation propre qui positionne la base 3 par rapport à la base 2.

Trois constantes :

� : porte à faux de la potence 1 avec ������� = �. ����.

� : longueur du balancier 2 avec ������� = −�. �����.

� : longueur de la nacelle 3 avec ������� = �. ������.

Questions :

1. Placer les figures de calcul.

2. Exprimer ٠/���������, �/��������� et �/���������.

3. Calculer la vitesse V!�/"#������������ de trois manières différentes :

a. En dérivant le vecteur position.

b. En utilisant la relation de transport liant les vitesses d’un solide indéformable. Calculer à

l’aide de cette relation, successivement V$ /"#������������, V% /"#

������������, V&�/"#������������, V!�/"#

������������.

c. En utilisant la composition des vitesses.

LOI ENTREE-SORTIE – I1.1 SI2

Exercice Scie de marqueterie

1/1

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Mise en situation

Nous allons étudier une scie de marqueterie.

La marqueterie est un décor réalisé avec des placages

de bois découpés suivant un dessin, et collés sur un

support (un meuble, en général).

Cette technique nécessite des découpes de bois

précises ; le mécanisme étudié ici est une scie de

marqueterie électrique.

Le plan A3 fourni représente le plan de cette scie de

marqueterie.

Fonctionnement :

La poulie 11 entraîne l’arbre 4. Un excentrique 23 est

monté serré sur l’arbre 4. Cet excentrique est en liaison avec la pièce 18 par l’intermédiaire de la pièce

22. Cette liaison autorise une rotation selon �� et 2 translations selon �� et �� (voir la coupe C-C). Le

mouvement de l’excentrique entraîne la pièce 18, elle-même en liaison complète avec la scie 5. La scie

est en liaison pivot glissant avec le bâti.

On prendra comme modélisation de ce système le schéma équivalent de la figure ci-dessous.

Questions

1. Donner le nom complet des pièces suivantes : pièce 7, pièce 14, pièce 16, pièce 10.

2. Faire le graphe de liaison de ce système. Ajouter des points sur le schéma cinématique de la

figure 1 pour définir complètement les liaisons.

3. Faire le schéma cinématique de ce système dans le plan (��, ��) (plan du document A3 fourni).

Utiliser une couleur par solide.

4. Effectuer le paramétrage du système sur le schéma cinématique de la figure 1. Indiquer

clairement les paramètres fixes et les paramètres variables.

5. Exprimer les conditions de fermeture angulaire et géométrique. En déduire la loi entrée-sortie

de ce système.

x

y

z

LOI ENTREE-SORTIE – I1.1 SI2

Exercice Porte de garage

1/1

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Mise en situation

Le portail ci-contre est articulé par rapport au mur

grâce à 2 bras.

Ces 2 bras pivotent par rapport au mur en �� et ��′ et

par rapport au panneau en A en A’.

Le panneau coulisse sur 2 rails fixés au plafond en B et

B’ grâce à 2 galets.

Le repère �� est lié au mur, �� au panneau 2 et �� au

bras 3.

���������� = −�. ����������� = 1�

������� = 2. �. ������; ���������� = �. ������; ����������. ������ = �

�������, ������� = �������, ������� = �, � varie de 0 à -180° pendant la phase d’ouverture.

�������, ������� = �������, ������� = �

Questions

1. Etablir le graphe des liaisons de ce système.

2. Tracer les 2 figures planes définissant, dans les bases concernées, les 2 paramètres angulaires

variables associés aux mouvements des solides 2 et 3 par rapport à 1.

3. Ecrire l’équation vectorielle issue d’une fermeture géométrique de ce système en exprimant

chaque vecteur dans la base du solide auquel il appartient.

4. Exprimer cette équation vectorielle dans ��.

5. En déduire : � = ��� ; � = ��� ; �! = "�, �!#

6. Nommer la trajectoire de A du solide 3 par rapport au solide 1.

7. Soit G le centre d’inertie du panneau 2 avec �$����� = �. %����. Déterminer &'�/����������� en fonction de � et de

�.

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Exercice Réducteur épicycloidal

1/1

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Mise en situation

Le schéma ci-dessous représente un train épicycloïdal comprenant :

→ Un planétaire ��, de rayon �� = ��, de vitesse angulaire par rapport au bâti : ��.

→ Un satellite ��, de rayon � = = ��, de vitesse angulaire par rapport à �� : ���.

→ Une couronne fixe ��, de rayon � = ��.

→ Un porte-satellite ��, de vitesse angulaire par rapport au bâti : ��.

Questions

1. En utilisant le roulement sans glissement en I de �� sur ��, en J de �� sur ��, déterminer la loi

entrée-sortie �� ��⁄ .

2. En utilisant une autre méthode, vérifier cette loi entrée-sortie.

1

2

3

3

4

J

C

I

O Rotor

Moteur

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Exercice Scie sauteuse

1/1

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Mise en situation

Questions

1. Etablir le graphe des liaisons de ce système. Préciser les mobilités dans les liaisons.

2. Faire le schéma cinématique dans le plan (��, ��). 3. Définir un repère par solide sur le schéma cinématique.

4. Préciser sur le schéma cinématique les paramètres variables et constants.

5. Ecrire les équations de fermeture géométrique et angulaire.

6. Déterminer la loi entrée-sortie.

LOI ENTREE-SORTIE – I1.1 SI2

Exercice

Mécanisme d’ouverture du volet

arrière de la Kangoo

1/2

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Mise en situation

La Kangoo est un modèle du constructeur automobile français Renault.

La Kangoo est une fourgonnette compacte monovolume (la caisse arrière n’est pas rapportée sur un

avant de berline).

A l’origine, la Kangoo apparaît pour remplacer des fourgonnettes obsolètes, dont la conception remonte

aux années quatre-vingt.

Nous allons nous intéresser au système d’ouverture-fermeture du volet arrière, voir schéma

cinématique suivant.

Questions

1. Faire le graphe de liaison.

2. Faire le paramétrage du système. Préciser les paramètres fixes et les paramètres variables,

choisis de manière à être orientés positivement.

3. En déduire les 3 équations de fermeture angulaire et géométrique.

4. En déduire la loi entrée-sortie du mécanisme.

5. On veut un débattement ��� de 90°. En déduire la course nécessaire du vérin, sachant que

�� = 70� et �� = 20�.

LOI ENTREE-SORTIE – I1.1 SI2

Exercice

Mécanisme d’ouverture du volet

arrière de la Kangoo

2/2

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