modélisation cinématique et comportementale des...

Modélisation cinématique et comportementale des

systèmes asservis

Modélisation cinématique et comportementale des systèmes asservisModélisation cinématique et comportementale des systèmes asservis

SYNTHESE CYCLE 3 TPCY3

Edition 1 - 02/12/2017

Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 1/21

mailto:[email protected]


A - ANALYSERA - ANALYSERA - ANALYSER

A3 Appréhender les analyses fonctionnelles fonctionnelle et structurelle

Identifier la structure d'un système asservi : chaîne directe, capteur, commande (fonction différences, correction)A3 Appréhender les analyses

fonctionnelles fonctionnelle et structurelle Identifier et positionner les perturbationsA3 Appréhender les analyses fonctionnelles fonctionnelle et structurelle Différencier régulation et asservissement

A4 Caractériser les écarts

Quantifier des écarts entre des valeurs attendues et des valeurs mesuréesQuantifier des écarts entre des valeurs attendues et des valeurs obtenues par simulationQuantifier des écarts entre des valeurs mesurées et des valeurs obtenues par simulationA4 Caractériser les écarts

Rechercher et proposer des causes aux écarts constatésB - MODELISERB - MODELISERB - MODELISER

B1 : Identifier et caractériser les grandeurs physiques agissant sur un système

Associer les grandeurs physiques aux échanges d’énergie et à la transmission de puissanceB1 : Identifier et caractériser les grandeurs physiques agissant sur un système Proposer des hypothèses simplificatrices en vue de la modélisation

B2 Proposer un modèle de connaissance et de comportement

Associer un modèle aux constituants d’une chaîne d’énergie


Paramétrer les mouvements d’un solide indéformable


Déterminer la liaison cinématiquement équivalente à un ensemble de liaisons


Réaliser le graphe de structure des liaisons de tout ou partie d’un mécanisme


Proposer un schéma cinématique (plan ou 3D) minimal et d’architecture de tout ou partie d'un mécanismeB2 Proposer un modèle de

connaissance et de comportement Déterminer les fonctions de transfert à partir d’équations physiques (modèle de

connaissance)


Déterminer les fonctions de transfert en boucle ouverte et boucle fermée


Etablir le schéma bloc du système


Identifier les paramètres caractéristiques d’un modèle du premier ou du second ordre à partir de sa réponse indicielle

B3 Valider un modèle Vérifier la cohérence du modèle choisi avec les résultats d’expérimentationModifier les paramètres et enrichir le modèle pour minimiser l’écart entre les résultats simulés et les réponses mesurées

C - RESOUDREC - RESOUDREC - RESOUDRE

C1 : Choisir une démarche de résolution

Proposer une méthode de résolution permettant la détermination des courants des tensions, des puissances échangées, des énergies transmises ou stockéesC1 : Choisir une démarche de

résolution Proposer une démarche permettant de déterminer une loi de mouvement

C2 : Procéder à la mise en œuvre d'une démarche de résolution analytique

Déterminer les courants et les tensions dans les composantsDéterminer les puissances échangées


Déterminer les courants et les tensions dans les composantsDéterminer les puissances échangées

C2 : Procéder à la mise en œuvre d'une démarche de résolution analytique Déterminer la trajectoire d’un point d’un solide par rapport à un autre


Déterminer le vecteur vitesse d’un point d’un solide par rapport à un autre


Déterminer le vecteur accélération d’un point d’un solide par rapport à un autreD - EXPERIMENTERD - EXPERIMENTERD - EXPERIMENTER

D1 Découvrir le fonctionnement d'un système pluri-technologique

Mettre en oeuvre un système dans le respect des règles de sécurité

D3 Mettre en œuvre un protocole Expérimental

Mettre en oeuvre un appareil de mesure adapté à la caractéristique de la grandeur à mesurerD3 Mettre en œuvre un protocole Expérimental

Mesurer les grandeurs potentielles et les grandeurs de flux dans les différents constituants d’une chaîne d’énergie


Mettre en oeuvre un système complexe en respectant les règles de sécurité


Respecter les protocoles expérimentauxG - COMMUNIQUERG - COMMUNIQUERG - COMMUNIQUER

G1 Rechercher et extraire les informations

Extraire les informations utiles d’un dossier techniqueG1 Rechercher et extraire les informations Lire et interpréter un schéma



Edition 1 - 02/12/2017




SommaireA. __________________________________________Identification des systèmes asservis! 4

A.1.Construction de schémas fonctionnels 4A.1.1. A partir d’un modèle de connaissance : CordeuseA.1.2. A partir d’un schéma structurel : Maxpid

A.2.Déterminations expérimentales 9A.2.1. Caractéristiques d’un MCCA.2.2. Inertie d’un mécanisme

B. _________________________________Etude cinématique : liaisons et hyperstatisme! 16

B.1.Liaisons équivalentes du chariot de la cordeuse 16

B.2.Schéma cinématique du support de raquette de la cordeuse 17

B.3.Hyperstatisme 18B.3.1. Exemple du chariot de la cordeuseB.3.2. Exemple du support de raquette

C. ________________________________________________________Notes personnelles! 20



Sommaire Edition 1 - 02/12/2017




A. Identification des systèmes asservis

A.1. Construction de schémas fonctionnels

A.1.1. A partir d’un modèle de connaissance : Cordeuse

A.1.1.1. Modèle de connaissance

Conversion électromécanique (MCC)

um (t) = Rim (t)+ Ldi(t)dt

+ e(t) e(t) = Keωm (t) cm (t) = Kiim (t)

Dynamique en rotation

cm (t)− cres − feωm (t)− r.Rp .Fr (t) = Jm + r2Jr +mr

2Rp2( ) dωm (t)

dt

Transformation de mouvement rotation/translation

dx(t)dt

= r.Rpωm (t)

Transmission d’effort via le ressort

xc(t) = x(t)− xr (t) Fr (t)− Fc(t) = 0 Fr (t) = krxr (t) Fc(t) = kcxc(t)



Identification des systèmes asservis Edition 1 - 02/12/2017




A.1.1.2. Schéma fonctionnel





u m(t)=

Rim(t)+

Ldi(t)

dt+e(t)

e(t)=K

eωm(t)

c m(t)=

Kii m(t)

dx(t)

dt=r.R

pωm(t)

x c(t)=

x(t)−x r(t)

F r(t)−

F c(t)=0

F r(t)=

k rx r(t)

F c(t)=

k cx c(t)

c m(t)−c re

s−f eω

m(t)−r.R

p.Fr(t)=

J m+r2J r+mr2R p2

()dω

m(t)

dt



A.1.1.3. Fonctions de transfert

Fonction de transfert de la motorisation







Fonction de transfert du système en boucle ouverte

A.1.2. A partir d’un schéma structurel : Maxpid

Moteur MCC [ Hm(p) ] :! ! ! !

Transmission de mouvement [ G(p) ]

!







Fonction de transfert de l’actionneur :

Fonction de transfert du mécanisme :

Fonction de transfert du système asservi en boucle ouverte :







A.2. Déterminations expérimentales

A.2.1. Caractéristiques d’un MCC

Un moteur à courant continu est modélisé par son comportement électrique (résistance d’induit, inductance, constantes électriques), par son comportement dynamique (couple, vitesse de rotation, inertie) et par ses frottements internes.

A.2.1.1. Détermination des caractéristiques électriques

Rappel des équations

u(t)= Ri(t)+ L di(t)dt

+ e(t)

e(t)= Keω(t)

La résistance peut se mesurer à l’ohmètre, mais le résultat est dépendant de plusieurs facteurs (température du moteur, circuit auquel le moteur est connecté, ...)

Il est préférable de recourir à deux types d’expérimentations :

Essai rotor bloqué Rotor bloqué, les équations électriques deviennent en régime permanent :

u(t)= Ri(t) car L di(t)dt

= 0 (régime permanent) et e(t)= 0 (vitesse de rotation nulle)

Il est alors possible de déterminer la valeur de la résistance d’induit R

Essais à videLors d’un essai à vide, en régime permanent, on a l’équation suivante :

u(t)= Ri(t)+Keω(t) dans laquelle

En faisant au moins 2 essais dans lesquels on mesure u(t) , i(t) et ω(t) , on aboutit à un système

d’équations avec comme inconnues R et Ke :

Ri1(t)+Keω1(t)= u1(t)Ri2 (t)+Keω2 (t)= u2 (t)⎧⎨⎩

Notons que si un essai rotor bloqué a été effectué au préalable, seul un essai est nécessaire puisque seule la constante Ke est inconnue







Exemple sur la cordeuse

Essai rotor bloqué :

u = 0,347V

I = 0,57 A

On en déduit R = ui= 0,6Ω

ω1moyen =π30.2485 = 260,33 rad.s−1

u1moyen = 7,376V

i1moyen =1,287 A

ω1moyen =π30.3765 = 394,27 rad.s−1

u1moyen =10,794 V

i1moyen =1,446 A

On résout alors le système matriciel

1,446 255,331,287 394,27

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

RKe

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

7,37610,794

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

:

R = 0,6ΩKe = 0,025V .rad

−1.s

⎧⎨⎪

⎩⎪

A.2.1.2. Détermination des frottements

Rappel des équations Cm −Csec − fvisqueuxωm = 0 en régime permanent

Cette équation s’écrit également :

Csec + fvisqueuxωm (t)= Ke.i(t)

En procédant à plusieurs mesures de i(t) et ωm (t) à des vitesse différentes (ou à des tensions d’alimentation différentes), on peut alors déterminer les deux inconnues







Résolution analytique sur la cordeuseDe la même façon que pour la détermination des constantes du moteur, on construit un systèmes d’équations

avec pour inconnues Csec et fvisqueux , que l’on résout

Csec + fvisqueuxω1(t)= Kei1(t)Csec + fvisqueuxω2 (t)= Kei2 (t)

⎧⎨⎪

⎩⎪

Avec les mêmes relevés que dans la partie précédente, on obtient le système matriciel suivant :

1 260,331 394,27

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Csecfvisqueux

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥= 0,025 1,287

1,446

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Soit le couple de solutions :

Csec = 0,02 Nmfvisqueux = 3.10

−5 Nm.rad−1.s

⎧⎨⎪

⎩⎪

A.2.2. Inertie d’un mécanisme

L’inertie équivalente ou la masse équivalente d’un mécanisme influence ses performances en terme de temps de réponse. Il est alors possible, lorsque le comportement du système peut se modéliser par une fonction de transfert du 1er ou du 2d ordre, de déterminer expérimentalement l’inertie ou la masse équivalente de ce mécanisme.

A.2.2.1. Détermination de la fonction de transfert de l’asservissement en vitesse du Comax

Le modèle de connaissance est connu :

! !

!

!







La fonction de transfert est alors :

A.2.2.2. Simplification de la fonction de transfert

La constante de temps électrique τ =LR= 27 µs est négligeable devant la constante de temps mécanique. La

fonction de transfert se simplifie donc comme suit :

A.2.2.3. Fonction de transfert du système à 2 entrées

Les masses manipulées par le Comax et les frottements génèrent un couple résistant qu’il est nécessaire de prendre en compte dans la modélisation du comportement du bras asservi :







Fonction de transfert sans perturbation

Fonction de transfert sans consigne







Expression complète de la sortie Ωm (p)

Cette expression répond à la forme d’un système du 1er ordre, de constante de temps :

A.2.2.4. Détermination de l’inertie équivalente

2450 tr/mn

τ =140− 70 = 70 ms







A.2.3.Comparaison avec la simulation

La comparaison des résultats expérimentaux avec la simulation conforte le modèle du 1er ordre retenu, ainsi que la valeur de l’inertie calculée, peut-être légèrement surestimée.

Avec Jeq =1.10−4 kg.m2 , la simulation donne les résultats

suivants :







B. Etude cinématique : liaisons et hyperstatisme

B.1. Liaisons équivalentes du chariot de la cordeuse

De nombreuses solutions technologiques retiennent le principe de liaisons en parallèle.

Rappelons que la détermination de la liaison équivalente repose sur le principe que ne peuvent subsister dans la liaison équivalente que les degrés de liberté communs à chacune des liaisons impliquées.

Exemple de la cordeuse :

Schéma cinématique :

Détermination de la liaison équivalente

Contact : cylindre➢ Liaison pivot

Contact : ligne➢ Liaison linéaire rectligne



Déterminations expérimentales Edition 1 - 02/12/2017




B.2. Schéma cinématique du support de raquette de la cordeuse

Graphe des liaisons : Nom des liaisons :

Schéma cinématique :







B.3. Hyperstatisme

La surabondance de liaisons peut être volontaire (par volonté de rigidifier un mécanisme, ou de le rendre résistant aux dégradations des surfaces de contact). Cet hyperstatisme génère nécessairement des contraintes qu’il est nécessaire d’identifier.

Rappelons que l’hyperstatisme d’un mécanisme est déterminé par la relation :

h = Ec +m−Nc

où ! Ec désigne le nombre d’équations cinématiques (Ec = 6ν , ν nombre cyclomatique)

B.3.1. Exemple du chariot de la cordeuse

L’analyse constructive des liaisons montre que la liaison pivot est obtenue par l’utilisation de 2 douilles à billes, retenues pour leur faible frottement et par leur grande précision.

La liaison glissière se retrouve donc en réalité obtenue par association de 3 liaisons en parallèle :







B.3.2. Exemple du support de raquette







C. Notes personnelles

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................



Notes personnelles Edition 1 - 02/12/2017




.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

Crédits :



Notes personnelles Edition 1 - 02/12/2017




modélisation cinématique et comportementale des...

Documents