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REPONSE HARMONIQUE DES SYSTEMES ASSERVIS

CI1 : Analyse globale et performances d’un systèmeCI1 : Analyse globale et performances d’un système

REPONSE HARMONIQUE DES SYSTEMES ASSERVIS COURS

Edition 1 - 16/11/2017

Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 1/30

CHAÎNE D’INFORMATIONACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER

CHAÎNE D’ENERGIE

ALIMENTER DISTRIBUER CONVERTIR TRANSMETTRE

ACTI

ON

mailto:[email protected]


PROBLEMATIQUE

« Les notions de stabilité sont fondamentales dans la

conception des systèmes asservis. Nous devons également être en mesure de déterminer le comportement du système

pour l’ensemble des sollicitations, indicielles ou sinusoïdales.

L’analyse harmonique remplit ce double rôle»

A - ANALYSERA - ANALYSERA - ANALYSER

A4 : Caractériser les écarts

Quantifier des écarts entre des valeurs attendues et des valeurs obtenues par simulationA4 : Caractériser les écarts Quantifier des écarts entre des valeurs mesurées et des valeurs obtenues par simulation

B - MODELISERB - MODELISERB - MODELISER

B2 : Proposer un modèle de connaissance et de comportement

Etablir le schéma bloc du système


Déterminer les fonctions de transfert à partir d’équations physiques (modèle de connaissance)Déterminer les fonctions de transfert en boucle ouverte et boucle ferméeB2 : Proposer un modèle de connaissance et

de comportement Identifier les paramètres d’un modèle de comportement à partir d’un diagramme de Bode


Associer un modèle de comportement (premier et second ordre, dérivateur, intégrateur) à partir d’un diagramme de Bode

C - RESOUDREC - RESOUDREC - RESOUDRE

C2 : Procéder à la mise en oeuvre d’une démarche de résolution analytique

Déterminer des paramètres permettant d’assurer la stabilité, en s’appuyant sur les tracés fréquentiels dans le plan de Bode

C2 : Procéder à la mise en oeuvre d’une démarche de résolution analytique Prévoir les réponses fréquentielles des systèmes linéairesC2 : Procéder à la mise en oeuvre d’une démarche de résolution analytique Prévoir les performances de rapidité et de précision d’un système linéaire continu

et invariant



Problématique Edition 1 - 16/11/2017




SommaireA. _______________________________________________________________Généralités! 4

A.1.Introduction 4

A.2.Outils d’analyse 4

B. _________________________________________Représentation dans le plan de Bode! 5

B.1.Généralités 5B.1.1. Rappels «opérationnels» sur l’exponentielle complexe et les logarithmes décimauxB.1.2. Principes du tracé des diagrammes de Bode

B.2.Système du 1er ordre 7B.2.1. Etude du gainB.2.2. Etude de la phaseB.2.3. Résumé et exemple

B.3.Gain pur 10

B.4.Intégrateur pur 11

B.5.Dérivateur pur 11

B.6.Système du second ordre 12B.6.1. Systèmes amortis (m>1)B.6.2. Systèmes sous-amortis (m<1)

C. _______________________________________________________Critères de stabilité! 17

C.1.Généralités 17

C.2.Critères analytiques sur la FTBF 17C.2.1. Condition nécessaire sur la structure du polynôme du dénominateurC.2.2. Condition nécessaire et suffisante sur la nature des pôles de la FTBF

C.3.Critères graphiques sur la FTBO 18C.3.1. GénéralitésC.3.2. Marges de stabilité

D. ____________________________________Approche méthodique des tracés de Bode! 23

D.1.Principe général 23

D.2.Tracés des fonctions simples 23D.2.1. GénéralitésD.2.2. (avec 2 racines complexes conjuguées)

D.3.Exemples 25D.3.1. Exemple 1D.3.2. Exemple 2

E. ________________________________________________________Notes personnelles! 29


MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS MULTIPHYSIQUES COURS

Sommaire Edition 1 - 22/10/2017




A. Généralités

A.1. Introduction

L’étude des performances des systèmes asservis nécessite de s’assurer de la stabilité de ces derniers dans une large gamme de sollicitations.

Nous avons abordé dans le cours précédent les réponses à des sollicitations en échelon, et avons pu déterminer les performances en terme de précision et de temps de réponse.

Nous allons à présent envisager le cas des sollicitations sinusoïdales de pulsation ω , dont l’étude nous fournira d ’ a u t re s re n s e i g n e m e n t s i m p o r t a n t s s u r l e s caractéristiques du système : gain, déphasage, fréquence de coupure, etc...

C’est le rôle de l’analyse harmonique.

A.2. Outils d’analyse

Les outils mathématiques utilisés restent basés l’étude dans le domaine symbolique (formalisme de Laplace). Toutefois, les signaux sinusoïdaux étant traités à l’aide des exponentielles complexes, la variable symbolique p sera remplacée par la variable complexe jω .

Ainsi, une fonction de transfert du 1er ordre, qui dans le domaine symbolique de Laplace serait écrite

H (p)= K1+τ p

, sera étudiée en analyse harmonique par la fonction de transfert H ( jω)= K1+ jτω

.

Le gain de cette fonction de transfert sera G(ω)= H ( jω)

Le déphasage sera ϕ (ω)= argH ( jω)

L’outil graphique utilisé dans le cadre de la CPGE ATS sera le diagramme de Bode

T = 1f=2πω

Δt = ϕω



Généralités Edition 1 - 16/11/2017




B. Représentation dans le plan de Bode

B.1. Généralités

B.1.1. Rappels «opérationnels» sur l’exponentielle complexe et les logarithmes décimaux

B.1.1.1. Exponentielle complexe

En Sciences industrielles de l’ingénieur, l’imaginaire pur est noté j (contrairement aux mathématiques où il est noté i ), afin d’éviter toute confusion avec une intensité.

Tout nombre complexe z = x+ jy peut se représenter dans le plan

complexe ℜ,ℑ( ) , et peut s’écrire sous la forme trigonométrique

z = ρ(cosθ + j sinθ )

ρ est appelé module de z : ρ = z = x2 + y2

θ est appelé argument de z : θ = arg(z )

(Il est possible d’utiliser θ = atan yx⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ à condition de faire correspondre

une valeur 0 ≤θ < π )

Les variables complexes seront essentiellement décrites par la notion d’exponentielle complexe, car les traitements mathématiques sur ces variables s’en trouveront grandement simplifiés dans le cadre des études en régime sinusoïdaux que nous aurons à mener :

z = ρe jθ

B.1.1.2. Opérations sur les complexes

Dans le cadre de l’analyse harmonique des systèmes asservis, nous serons amenés à manipuler les modules et les arguments de produits et de rapports de variables complexes.

Il faut retenir que :

Par ailleurs :

* l’argument d’un réel vaut 0 ou π

* l’argument d’un imaginaire pur vaut π2

ou −π2

xℜ

ℑ

yρ

θ

z1.z2 = z1 . z2

arg z1.z2( ) = arg z1( )+ arg z2( )

argz1z2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟= arg z1( )− arg z2( )

arg zn( ) = narg z( )



Représentation dans le plan de Bode Edition 1 - 16/11/2017




B.1.1.3. Logarithmes décimaux

Le logarithme décimal log est la fonction réciproque de la fonction f (x)=10x : si y =10x alors log(y)= x

(Remarque : le logarithme décimal est défini à partir du logarithme népérien log(x)= ln(x)ln(10)

)

Nous aurons besoin des propriétés suivantes du logarithme décimal :

log(1)= 0 et log(10)=1

log(x.y)= log(x)+ log(y)

log xy⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= log(x)− log(y) et donc log 1

y⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= − log(y)

log(xn )= n log(x) et donc log 10n( ) = n

B.1.2. Principes du tracé des diagrammes de Bode

On considère une fonction de transfert H ( jω)= N( jω)D( jω)

Les diagrammes de Bode caractérisant cette fonction de transfert se composent de 2 courbes, définissant en fonction de ω :

• pour l’une le gain G(ω)= H ( jω)

• pour l’autre la phase ϕ (ω)= argH ( jω)

Les abscisses de ces deux courbes sont tracées en échelle logarithmique

Le gain est représenté en décibel :

GdB = 20 logG(ω)= 20 log N( jω) −20 log D( jω)

La phase est conventionnellement représentée en degrés (°) :

ϕ (ω)= argH ( jω)= argN( jω)− argD( jω)







B.2. Système du 1er ordre

La fonction de transfert dans le domaine symbolique s’écrit

H (p)= K1+τ p

Elle s’écrira donc comme suit avec la variable complexe :

H ( jω)= K1+ jτω

Nous commencerons par mener une étude asymptotique, qui consistera à tracer l’allure générale des courbes par l’étude des limites, puis nous affinerons ces tracés.

Cette méthode par étude asymptotique sera utilisée pour toutes les analyses harmoniques.

B.2.1. Etude du gain

Le gain GdB est défini par

GdB = 20 log H ( jω) = 20 logK

1+ jτω= 20 log(K )−20 log 1+ τω( )2( )

Asymptote pour τω → 0 : GdB ≈ 20 logK ➢ Asymptote horizontale

Asymptote pour τω →+∞ : GdB ≈ 20 logK −20 log τω( ) ➢ Asymptote de pente -20 dB/décade

Pour τω =1 : GdB = 20 logK −10 log2 = 20 logK − 3dB➢ Intersection des 2 asymptotes

ω =1/τ est la pulsation de coupure de la fonction de transfert

10dB

-10dB

-20dB

-30dB

-40dB

-50dB

0,01 0,1 1 10 100ω

Asymptote horizontale pour τω → 0

Asymptote -20 dB/décade pour τω →+∞

1/τ

GdB

Pulsation de coupure

20 logK−3 dB







B.2.2. Etude de la phase

La phase ϕ est définie par

ϕ = argH ( jω)= argK − arg( jτω)= −atan(τω)

Asymptote pour τω → 0 : ϕ ≈ 0° ➢ Asymptote horizontale d’ordonnée 0°

Asymptote pour τω →+∞ : ϕ ≈ −90° ➢ Asymptote horizontale d’ordonnée 90°

Pour τω =1 : ϕ = −atan1= −45°

0,01 0,1 1 10 100ω

Asymptote 0° pour τω → 0 1/τ

ϕ

Pulsation de coupure

0°

−45°

−90°

Asymptote -90° pour τω →+∞

B.2.3. Résumé et exemple

B.2.3.1. Résumé

Diagramme du gain :

• On commence par tracer l’asymptote horizontale à 20 logK

• A la pulsation de coupure, on trace l’asymptote -20 dB/décade

• On affine le tracé réel, sachant qu’à la pulsation de coupure le point se situe -3 dB sous l’intersection des asymptotes

Diagramme de phase :

• On commence par tracer les 2 asymptotes ϕ = 0° et ϕ = −90°

• A la pulsation de coupure, on trace le segment vertical joignant les 2 asymptotes

• On affine le tracé réel, sachant qu’à la pulsation de coupure la phase vaut ϕ = −45°







B.2.3.2. Exemple

Soit la fonction de transfert du 1er ordre suivante, sous forme canonique H (p)= 31+0,5p

Elle s’écrit avec la variable complexe jω sous la forme H ( jω)= 31+ j0,5ω

Diagramme de gain

La pulsation de coupure vaut ω =10,5

= 2 rad.s−1

Comportement pour ω→ 0 : H ( jω) ≈ 3 ➢GdB ≈ 20 log3= 9,5 dB

Comportement pour ω→+∞ : H ( jω) ≈ 3jω

➢ Pente -20 dB/décade

ωc = 2 rad.s−1

GdB = 9,5 dBGdB = 9,5− 3= 6,5 dB

Pente -20 dB/décade

Diagramme de phase

Comportement pour ω→ 0 : argH ( jω)= arg(3)− arg(1+ jω)→ω→00°➢ ϕ ≈ 0°

Comportement pour ω→+∞ : argH ( jω) →ω→+∞

−90°➢ ϕ ≈ −90°







B.3. Gain pur

Le gain pur est défini par la fonction de transfert H (p)= K , soit H ( jω)= K

Alors :

GdB = 20 log H ( jω) = 20 logK constant

ϕ = 0° constant si K > 0

0,01 0,1 1 10 100 ω

GdB

0

0,01 0,1 1 10 100 ω

ϕ

0°

20 logK

0°

Remarque : la phase vaut ϕ = −180° si K < 0







B.4. Intégrateur pur

L’intégrateur est défini par la fonction de transfert H (p)= Kp

, soit H ( jω)= Kjω

Alors :

GdB = 20 logK −20 logω ➢ pente de -20 db/décade

GdB = 20 logK pour ω =1 rad.s−1 (ou GdB = 0 pour ω = K )

0,01 0,1 1 10 100 ω

GdB

0

0,01 0,1 1 10 100 ω

ϕ

0°

−20 dB

−40 dB


−90°

ϕ = atan(K )− arctan( jω)= −90° constant

B.5. Dérivateur purL’intégrateur est défini par la fonction de transfert H (p)= Kp , soit H ( jω)= jKω

Alors :

GdB = 20 logK +20 logω ➢ pente de +20 db/décade

GdB = 20 logK pour ω =1 rad.s−1 (ou GdB = 0 pour ω =1/K )

ϕ = atan( jKω)=+90° constant







0,01 0,1 1 10 100ω

GdB

0

0,01 0,1 1 10 100 ω

ϕ

0°

−20 dB

20 dBPente +20 dB/décade

+90°

B.6. Système du second ordre

La fonction de transfert sous forme canonique s’écrit H (p)= K

1+ 2mω0

p+ 1ω02 p

2

En notation complexe, cette fonction devient : H (p)= K

1−ω2

ω02 +2mω0

jω

Comme dans le cas de l’étude indicielle, il va falloir distinguer les systèmes amortis (régime apériodique) des systèmes non amortis (régime pseudo-sinusoïdal)

B.6.1. Systèmes amortis (m>1)

Dans le cas des systèmes amortis, les 2 pôles de la fonction de transfert sont réels. Cette dernière peut alors s’écrire sous la forme :

H ( jω)= K1+ jτ1ω( ) 1+ jτ 2ω( )

avec ω02 =

1τ1. 1τ 2

et on suppose τ1 > τ 2







B.6.1.1. Diagramme de gain

G =K

1+ τ12ω 2( ) 1+ τ 2

2ω 2( )

GdB = 20 logK −10 log 1+ τ1ω( )2( )−10 log 1+ τ 2ω( )2( ) Pour ω→ 0 : Asymptote horizontale

GdB ≈ 20 logK

Pour ω→+∞ : Asymptote de pente -40 dB/décade

GdB ≈ 20 logK −20 log τ1ω( )−20 log τ 2ω( ) = 20 log Kτ1τ 2

− 40 logω

Pour 1τ1<ω <

1τ 2

: Asymptote de pente -20 dB/décade

GdB ≈ 20 logK −20 log τ1ω( )

GdB(ω0 )= 20 logK −20 log(2m)

0,01 0,1 1 10 100ω

GdB

0

−20 dB

−40 dB

1/τ1 1/τ 2

ω0


Pente -20 dB/décade20 logK

B.6.1.2. Diagramme de phase

ϕ = arg(K )− arg(1+ jτ1ω)− arg(1+ jτ 2ω)

Pour ω→ 0 : ϕ = 0° ➢ Asymptote horizontale 0°

Pour ω→+∞ : ϕ = −180° ➢ Asymptote horizontale -180°

Pour 1τ1<ω <

1τ 2

: ϕ = −90° ➢ Asymptote horizontale -90°





Ces 2 asymptotes se coupent en ω0 =1τ1. 1τ 2

,

pulsation propre du système



B.6.2. Systèmes sous-amortis (m<1)

Les pôles de la fonction de transfert sont complexes conjugués :

p = −mω0 ± jω0 1−m2

Il n’existe alors qu’une pulsation de coupure

B.6.2.1. Diagramme de gain

Asymptotes

GdB = 20 logK −10 log 1−ω2

ω02

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

+4m2ω 2

ω02

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Pour ω→ 0 : Asymptote horizontale

GdB ≈ 20 logK

Pour ω→+∞ : Asymptote pente -40 dB/décade

GdB ≈ 20 logK − 40 log ω /ω0( )

Phénomène de résonance

On montre que si m <22

, il existe une valeur de pulsation ωr pour laquelle la valeur du gain est maximale :

ωr =ω0 1−2m2

G(ωr )=K

2m 1−m2

On appellera «facteur de résonance» le rapport Qr =Gmax

K=

12m 1−m2





0,01 0,1 1 10 100ω

ϕ

0

−90°

−180°

1/τ1 1/τ 2

ω0

Ces 2 asymptotes se coupent en ω0



ω0


ωr =ω0 1−2m2

m <22

m >22

ω0

B.6.2.2. Diagramme de phase

ϕ = arg(K )− arg 1−ω2

ω02

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+ j

2mω0

ω⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= −atan

2m ωω0

1−ω2

ω02

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Pour ω→ 0 : ϕ = 0° ➢ Asymptote horizontale 0°

Pour ω→+∞ : ϕ = −180° ➢ Asymptote horizontale -180°

Pour ω =ω0 : ϕ = −90°







0,01 0,1 1 10 100ω

ϕ

0

−90°

−180°

ω0







C. Critères de stabilité

C.1. Généralités

Rappelons la structure générale d’un système asservi :

Si la fonction de transfert du système asservi en boucle fermée HBF (p) est connue, elle s’écrira sous la forme :

H (p)=

z− z1( ) z− z2( )… z− zn( )pr p− p1( ) p− p2( )… p− pm( )

où les zi sont les zéros de la FTBF, et pi ses pôles.

Il sera alors possible d’appliquer des critères analytiques sur la nature des pôles pour conclure sur la stabilité

Mais l’expression de cette fonction de transfert n’est pas toujours connue. En revanche, il sera souvent possible de déterminer par identification expérimentale sa fonction de transfert en boucle ouverte. Nous appliquerons alors des critères graphiques sur les diagrammes de Bode

C.2. Critères analytiques sur la FTBF

C.2.1. Condition nécessaire sur la structure du polynôme du dénominateur

Ecrivons la FTBF sous sa forme polynomiale HBF (p)=N(p)

a0 +a1p+a2p2 + ...+an p

n

Une condition nécessaire de stabilité d’un système est la présence de coefficients strictement positifs pour l’ensemble des coefficients ai

Exemples :

HBF (p)=2

1+2p+5p2 + 3p4 est instable car le coefficient en p3 est nul

HBF (p)=2+ 3p

1−2p+5p2 + p3 + 3p4est instable car le coefficient en p est négatif

HBF (p)=1+2p

1+2p+5p2 + 3p3 est peut-être stable car tous les coefficients sont strictement positifs



Critères de stabilité Edition 1 - 16/11/2017




C.2.2. Condition nécessaire et suffisante sur la nature des pôles de la FTBF

On montre que la nature de la réponse indicielle dépend de la nature des pôles de la fonction de transfert en boucle fermée

Lorsqu’un pôle est réel, la réponse varie exponentiellement en epit , et le mode associé est dit exponentiel. Pour que la réponse converge, il est nécessaire d’avoir pi < 0

Lorsqu’un pôle est complexe, la réponse est une oscillation contrainte dans une enveloppe en exponentielle.

➢ La fréquence des oscillations augmente avec la partie imaginaire

➢ L’enveloppe exponentielle est convergente si la partie réelle est négative

ℜ

ℑ

Pôles complexes à partie réelle positive

Pôles réels positifsPôles réels négatifs

Pôles complexes à partie réelle négative

Nous retiendrons donc que pour assurer la stabilité d’un système asservi, il faut que tous les pôles de sa FTBF soient à partie réelle strictement négative

C.3. Critères graphiques sur la FTBO

C.4. Généralités

La fonction de transfert d’un système asservi s’écrit :

FTBF = Hdirect

1+Hdirect .Hretour

=Hdirect

1+FTBO

Ce système est instable dès lors que 1+FTBO tend vers 0, donc quand FTBO→−1Les critères de stabilité étudiés sont basés sur l’étude de l’éloignement de la FTBO de la valeur -1 dans le plan

complexe, défini par un gain GdB = log(1)= 0 dB et une phase ϕ = −180°







C’est alors la FTBO qui sera étudiée pour l’analyse de la stabilité du système

!

Le système défini par la fonction de transfert HBO est stable à la pulsation ω , car son gain et sa phase sont éloignés du point critique

Le système défini par la fonction de transfert H 'BO est en revanche à la limite de l’instabilité à la pulsation ω , car son gain et sa phase sont trop proches du point critique

−180°

ω0

ω

GdB

ϕ

INSTABILITE−180°

ω0

ω

GdB

ϕ

INSTABILITE

Système stable, car ϕ > −180° pour GdB = 0 ! ! Système instable, car ϕ < −180° pour GdB = 0

Rappelons que la phase d’un système du 1er ordre est au minimum égale à ϕ = −90° , et que celle d’un

système du 2d ordre est au minimum égale à ϕ = −180° . Nous pouvons par conséquent tirer une première conclusion du critère de stabilité :

!Les systèmes dont la FTBO est du 1er ou du 2d ordre sont stables

ℜ

ℑ

HBO ( jω)

H 'BO ( jω)

G(ω)

ϕ (ω)ϕ '(ω)

G '(ω)

Point critiqueG =1ϕ = −180°







C.4.1. Marges de stabilitéC.4.1.1. Définition

Les critères précédents permettent de garantir la stabilité d’un système. Mais nous serons amenés à régler le système afin d’améliorer ses performances. Or ces réglages vont modifier les gain et phase du système, et il faut donc garantir des marges de stabilité.

Nous définirons donc la stabilité d’un système par ses marges de stabilité : marge de gain et marge de phase (il existe une troisième marge, la marge de module, mais qui ne sera pas abordée dans ce cours).

On appelle pulsation critique ωc la pulsation à laquelle le gain est égal à 1, donc lorsque GdB(ωc )= 0 dB

La marge de gain MG se définit à la phase critique ϕ = −180° c o m m e l ’ é c a r t e n t r e l a p u l s a t i o n correspondante et la pulsation critique.

Elle traduit le gain que l’on peut rajouter au système en boucle ouverte avant de le rendre instable.

La marge de phase MP se définit à la pulsation critique ω =ωc comme l’écart entre la phase du système

ϕ (ωc ) et la limite ϕ = −180° .

Elle traduit la phase que l’on peut retirer au système en boucle ouverte avant de le rendre instable.

C.4.1.2. Détermination analytique

Le calcul des ces marges se fait comme suit :

! ! Marge de phase :! ➢ Recherche de la pulsation critique ωc telle que GdB(ωc )= 0 dB

! ! ! ! ! ➢ Calcul de la phase correspondante ϕ (ωc )

! ! ! ! ! ➢ Calcul de la marge de phase MP =180+ϕ (ωc )

! ! Marge de gain :! ➢ Recherche de la pulsation ωϕ à laquelle ϕ (ωϕ )= −180°

! ! ! ! ! ➢ Calcul du gain correspondant GdB(ωϕ )

! ! ! ! ! ➢ Calcul de la marge de gain MG = −GdB(ωc )

C.4.1.3. Valeurs usuelles

! !

Les valeurs usuelles de marge sont

! Marge de phase : supérieure à 45°

! Marge de gain : supérieure à 10 dB

−180°

ω0

ω

GdB

ϕ

MG

MP







C.4.1.4. Influence des marges de stabilité sur la réponse indicielle

Exemple 1

Un système est caractérisé par sa FTBO suivante : H (p)= K1+20p+100p2

En faisant varier K, on fait varier l’asymptote GdB = 20 logK et on modifie ainsi les marges de stabilité.

L’allure des réponses indicielles correspondant à chacun de ces cas clairement l’influence de la marge de phase sur le comportement du système, même si le système reste intrinsèquement stable du fait de son 2d ordre :







Exemple 2

Un système est caractérisé par sa FTBO suivante : H (p)= Kp 1+2p+1p2( )

. La présence d’un intégrateur va

diminuer la phase globale de 90°, et il existera cette fois une pulsation à partir de laquelle le système sera instable.

Il existe cette fois des limites de stabilité. En particulier, K = 2 induit une marge de phase nulle, le système est oscillatoire à la limite de l’instabilité







D. Approche méthodique des tracés de Bode

D.1. Principe généralUne fonction de transfert peut s’écrire comme étant le produit de plusieurs fonction de transfert simples (1er

ordre, 2d ordre, intégrateur pur, dérivateur pur).

Le tracé asymptotique de n’importe quelle fonction de transfert pourra alors se faire en utilisant la superposition des effets de chacune des fonctions de transfert simples. En effet :

log H1( jω).H2 ( jω)( ) = logH1( jω)+ logH2 ( jω)

arg H1( jω).H2 ( jω)( ) = argH1( jω)+ argH2 ( jω)

Le tracé asymptotique de H (p)= H1(p).H2 (p). ...Hn (p) s’obtient alors en sommant les tracés de chacune

des fonctions Hi (p)

D.2. Tracés des fonctions simples

D.2.1. Généralités

Un terme constant correspond à une asymptote horizontale et une phase ϕ = 0°

Un terme en 1p

correspond à une asymptote de -20 dB/décade et une phase ϕ = −90°

Un terme en p correspond à une asymptote de +20 dB/décade et une phase ϕ =+90°

La présence d’une puissance sur p multiplie les effets par la puissance sur le diagramme de Bode

D.2.2. Hi ( jω)=1

1+ jτ iω

Pulsation de coupure : ωci=1τ i

ω <ωci : Asymptote horizontale et ϕ = 0°

ω >ωci : Asymptote -20 dB/décade et ϕ = −90°

ω0

ω

GdB

ϕ

−180°

ωci



Approche méthodique des tracés de Bode Edition 1 - 16/11/2017




D.2.3. Hi ( jω)=1

1+ j 2mi

ω0i2 ω −

ω 2

ω0i2

(avec 2 racines complexes conjuguées)

Pulsation de coupure : ωci=ω0i

ω <ω0i : Asymptote horizontale et ϕ = 0°

ω >ω0i : Asymptote -40 dB/décade et ϕ = −180°

D.2.4. Hi ( jω)=1+ jτ iω

Pulsation de coupure : ωci=1τ i

ω <ωci : Asymptote horizontale et ϕ = 0°

ω >ωci : Asymptote +20 dB/décade et ϕ =+90°

D.2.5. Hi ( jω)=1+ j2mi

ω0i2 ω −

ω 2

ω0i2

Pulsation de coupure : ωci=ω0i

ω <ω0i : Asymptote horizontale et ϕ = 0°

ω >ω0i : Asymptote +40 dB/décade et ϕ =180°

ω0

ω

GdB

ϕ

−180°

ω0i

ω0

ω

GdB

ϕ

−180°

ωci

ω0

ω

GdB

ϕ

−180°

ω0i







D.2.6. Hi ( jω)=1jω

Diminution de la pente de -20 dB/décade

Diminution de la phase de 90°

D.2.7. Hi ( jω)= jω

Augmentation de la pente de +20 dB/décade

Augmentation de la phase de 90°

D.2.8. Hi ( jω)= K

Décalage vertical du diagramme de gain de 20 logK

Pas d’impact sur le diagramme de phase

D.3. Exemples

D.3.1. Exemple 1

Un système est décrit par la fonction de transfert suivante :

H (p)= 10(1+0,25p)

1+ p10

+p2

100

H1(p)=1+0,25p ➢ ωc2 = 4 rad.s−1

➢ Gain : Asymptote horizontale 0 dB pour ω < 4 , puis +20 dB/décade

➢ Phase : ϕ1 = 0° pour ω < 4 , puis ϕ1 =+90°

H2 (p)=1

1+ p10

+p2

100

➢ ω02=10 rad.s−1

➢ Gain : Asymptote horizontale 0 dB pour ω <10 , puis -40 dB/décade

➢ Phase : ϕ2 = 0° pour ω <1 , puis ϕ2 = −180°

H 3(p)=10 ➢ Décalage du diagramme de gain de 20 log10 = 20 dB











0,01 0,1 1 10 100 ω

GdB

0

0,01 0,1 1 10 100 ω

ϕ

0°

−20 dB

−180°

H1

H 3

H2

H2

H1



D.3.2. Exemple 2

Un système est défini par sa fonction de transfert en boucle ouverte suivante :

HBO (p)=5(5+ p)

p(1+ p+ p2 )

H1(p)= 5+ p = 5 1+p5

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ➢ ωc1 = 5 rad.s

−1

➢ Gain : Asymptote horizontale 20 log5 pour ω < 5 , puis +20 dB/décade

➢ Phase : ϕ1 = 0° pour ω < 5 , puis ϕ1 =+90°

H2 (p)=1p

➢ Diminution des pentes du diagramme de gain de 20 dB/décade

➢ Diminution de la phase du diagramme de 90°

H 3(p)=1

1+ p+ p2 ➢ ω03

=1 rad.s−1

➢ Gain : Asymptote horizontale 0 dB pour ω <1 , puis -40 dB/décade

➢ Phase : ϕ3 = 0° pour ω <1 , puis ϕ3 = −180°

H 4 (p)= K ➢ Décalage du diagramme de gain de 20 log5 =14 dB







0,01 0,1 1 10 100 ω

GdB

0

0,01 0,1 1 10 100 ω

ϕ

0°

−40 dB

−180°

H1

H2

H1

H2

H 3

H 3

H 4







E. Notes personnelles

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Notes personnelles Edition 1 - 16/11/2017




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Crédits :



Notes personnelles Edition 1 - 16/11/2017




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