circuit rlc série en régime harmonique forcé
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Circuit RLC série en régime harmonique forcé. Diana Campos-Garcia Petra Mar čanová Anne Boutin. Présentation & généralités. Objectif: acquérir les connaissances de base sur les circuits RLC. Modélisation mathématique de la réponse d'un circuit. Sujets abordés. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Circuit RLC série en régime harmonique forcé 1
Circuit RLC série en régime harmonique forcé
Diana Campos-Garcia
Petra Marčanová
Anne Boutin
Circuit RLC série en régime harmonique forcé 2
Présentation & généralités
Objectif: acquérir les connaissances de base sur les circuits RLC.
Modélisation mathématique de la réponse d'un circuit.
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Sujets abordés
Généralités sur les circuits électriques Étude d'un circuit série en régime forcé:
résonance en courant Application du circuit: les filtres
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Définition des conditions de l'étude: régime de courant
Régime transitoireLors de l'établissement du courant le régime propre du circuit se superpose au régime de la source de courant. Ce régime est appelé régime transitoire : il est amorti et disparaît plus ou moins rapidement dans le temps.
Régime forcéLorsque tous les signaux sont stabilisés, i.e lorsqu'ils suivent le régime imposé par la source, le circuit est alors en régime permanent ou harmonique forcé.
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Définition des conditions de l'étude: régime de courant (2)
Résolution de l'équation différentielle
On va obtenir certains termes qui seront amortis par des exponentielles négatives, et d'autres pas.
Le régime transitoire est donné par les termes de la solution qui sont amortis exponentiellement,les autres termes définissent le régime permanent.
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Mise en équation d'un circuit
Dipôles passifs soumis à une tension V(t)Soit s(t) la variable étudiée. L'équation du circuit peut se mettre de façon générale sous la forme:
a0s+a1s'+a2s"+…+ans (n) =k V(t) ai constants
La solution de l'équation est de la forme s(t)=s1(t)+s2(t)
s1(t) solution de l'EHA : régime transitoire (amorti)
s2(t) SPEC: régime forcé de même nature que la stimulation(V(t))
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Grandeurs et notations
Modélisation mathématique des grandeurs en régime sinusoïdal
U & I sont des fonctions sinusoïdales du temps qui peuvent se mettre sous la forme : s(t)=Sm cos(ωt+φ)
ω est la pulsation du signal. Elle est liée à la période selon la relation T=2π/ω.
Sm est l'amplitude du signal. Celui-ci peut varier de –Sm à +Sm. φ est la phase à l'origine, ωt+φ la phase à l'instant t. φ indique qu'à
t=0 le signal peut avoir une valeur quelconque comprise entre –Sm et +Sm.
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Grandeurs et notations (2)
Notations relatives aux complexes
La grandeur complexe associée au signal sinusoïdal s(t) sera notée s(t)
j²=-1 L'amplitude complexe associée au signal sera notée S
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Représentation complexe
Signification
Une grandeur sinusoïdale peut être représentée par un vecteur tournant de vitesse angulaire ωt. Or, un vecteur est aussi une représentation géométrique d’un nombre complexe.
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Représentation complexe (2)
Ainsi, la valeur instantanée complexe d’un signal sinusoïdal est donnée par la relation suivante:
forme cartésienne: s(t)=Sm (cos(ωt+φ)+ j sin(ωt+φ))
forme complexe: s(t)= Sm e j(ωt+φ)
Amplitude complexe : S=Sm e jφ
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Représentation complexe (3)
Pertinence de l'utilisation des complexesL'utilisation des complexes en régime sinusoïdal s'avère très utile lors de la résolution de l'équation différentielle, les opérations sur les exponentielles étant plus aisées que celles sur les fonctions sinus et cosinus.
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Représentation complexe (4)
Représentation graphique: diagramme de Fresnel
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Circuit RLC série
Présentation du circuit Problème de la résistance équivalente
ZR
AC
ZC
ZL
UC
ULUR
V(t)
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Circuit RLC série en régime harmonique
Définition du problème
Régime: harmonique forcé Objet de l'étude: variations du courant
Mise en équation du circuitloi des mailles:
en dérivant on obtient: dt
dv
Li
LCdt
di
L
R
dt²
d²i 11
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Circuit RLC série en régime harmonique (2)
v(t)=Vm cos(ωt) (origine des phases)
i(t)=Im cos(ωt+φ)
Ce qui revient à :
Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec une solution de la forme i(t)=i1(t)+i2(t). L'étude se limitant au régime harmonique forcé on cherche seulement la SPEC.
La résolution de cette équation sous cette forme ne permet pas une étude aisée du circuit. La méthode la plus évidente consiste à la résoudre à l'aide des complexes les opérations de dérivation et intégration étant plus simples.
)sin(11
tL
iLCdt
di
L
R
dt²
d²i
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Circuit RLC série en régime harmonique (3)
Résolution par les complexes
On définit les amplitudes complexes:
Devient
dt
vd
Li
LCdt
id
L
R
dt²
id² 11
)()()( tjm
tjm eItieVtv
vjL
iLC
ijL
Rij 11)²(
jmm eIIVV
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Circuit RLC série en régime harmonique (4)
En divisant par on a
Utilité des impédances complexesLes impédances complexes sont intéressantes dans le cas du régime harmonique puisqu'elles permettent un accès facile aux phases. Elles simplifient en outre la résolution de l'équation du circuit.
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ILC
IjL
RIj 11)²(
jm
m eI
CLjR
VIoùd
)1
('
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Équation du circuit par les impédances complexes
Les impédances complexes donnent directement accès aux valeurs complexes de i et u. L'équation n'apparaît plus sous sa forme différentielle.
On en déduit aisément la valeur du courant.
viCj
iLiR
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