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MIAS 2 - Chap 3- page 1

IV Ondes sonores

Les ondes sonores sont des ondes longitudinales mais à quel phénomène physique sont-elles dues?

Si on alimente un haut-parleur par un générateur d’ondes sinusoïdales. La membrane du haut-parleur vibre sinusoïdalement à la fréquence imposée par le générateur. Elle exerce donc sur l’air situé an avant d’elle-même une série de compressions et de dépressions. Les variations de pression constituent l’onde sonore

La perturbation se propage alors de proche en proche comme une onde progressive.

Une corde vibrante (d’une guitare par exemple) produit des ondes sonores dans l'air environnant. La corde en vibrant dans l'air, produit une perturbation dans le gaz qui se traduit par une augmentation suivie d'une diminution locale de la pression. L'augmentation de pression résulte de la compression de l'air par le corde ou la membrane; puis, la diminution de pression correspond à une raréfaction de l'air.


vitesse d'une particule du fluide : ux,t x,t

t

IV.1 Equation de propagation

Nous nous intéresserons ici

uniquement aux ondes planes sonores

Onde ne dépendant que d’une variable d’espace

(x) et du temps (t)

x’ x

x x+dx

SEtudions la portion de fluide comprise entre x et x+dx.

: masse volumique du fluide.

On appelle dilatation la quantité:

V V0

V0

: déplacement du fluide

Tuyau de section constante S


On appelle coefficient de compressibilité :

1V

VP

Les vibrations seront supposées suffisamment rapides pour que les échanges thermiques soient négligés : transformations adiabatiques. Vibrations de petite amplitude transformations réversibles.

S 1V0

V V0

P P0

P P0 représente la surpression

Nous allons appliquer la RFD à la portion de fluide:

Sdx2t2

P x,t S P xdx,t S

F m

Sur l’axe Ox

transformations isentropiques

S 1V

VP

S


En utilisant un développement limité:

P xdx,t P x,t P x,t

xdx

Donc :

Px

2t2

ut

S V V0

V0

En utilisant la définition du coefficient de compressibilité :

V0 Sdx

V S xdx xdx,t x x,t

V V0

V0

S xdx xdx,t x x,t Sdx

Sdx

x

S t

x

t

S

Donc :

x

t

S

t

ux

SPt


On a donc 2 équations couplées :

Px

ut

(1)

ux

SPt

(2)

t

(1) 2Pxt

2ut2

x

(2) 2Pxt

1S

2ux2

2ux2

S2ut2

2ux2

c2 2ut2

(I)

avec la célérité c= 1

S

Equation de PropagationVitesse

2Px2

c2 2Pt2

(II)

avec la célérité c= 1

S

De la même façon, on peut obtenir :

Equation de PropagationPression


Comme nous l’avons déjà vu dans le chapitre III les solutions des équations précédentes sont :

u x,t fI t xc

gI t x

c

P x,t fII t xc

gII t x

c

Nous savons qu’il existe une relation entre P et u :

Px

ut

P x,t x

x

fII t xc

x

gII t xc

t x

c

xf II t x

c

t xc

xg II t x

c

1c

f II t xc

1c

g II t xc

IV.2 Solutions des Equations


Finalement :

1c

f II t xc

1c

g II t xc

f I t x

c

g I t x

c

Cette égalité entraîne :

f II t xc

c f I t x

c

g II t xc

c g I t x

c

fII t xc

cfI t x

c

C1

gII t xc

cgI t x

c

C2

En intégrantC1 et C2 sont des constantes

P x,t c fI t xc

gI t x

c

C1C2

Au repos on a:

fI gI 0 C1C2 0

u x,t f t xc

g t x

c

P x,t c f t xc

g t x

c


Exemple Ondes stationnaires

On utilise généralement les ondes stationnaires lorsque les conditions aux limites peuvent faire penser à un confinement de l’onde dans un domaine fini. Un obstacle fixe constitue par exemple un nœud pour la vitesse (u).

Elle rencontre en x=0 un mur Onde réfléchie

uR u 0ej tkx

Onde réfléchie (UR)

Supposons qu’une onde incidente

uI u0ej t kx se déplace dans le sens des x>0

Onde incidente (UI)

xO

On cherche donc une solution sous la forme :

uuM cost coskx

Nœud en x=0

cos 0

2

On obtient donc pour l’onde de vitesse :

uuM cost sinkx uM

2sintkx uM

2sint kx


A l’aide des relations précédentes, on peut obtenir l’onde de pression :

uuM

2sintkx uM

2sint kx

P uM

2c sintkx sint kx

P uMcsint coskx

On a vu que :

u x,t f t xc

g t x

c

P x,t c f t x

c

g t x

c

Onde stationnaire de vitesse

Onde stationnaire de pression

Remarque : Les différentes courbes représentent des temps différents


IV.3 Vitesse du son dans les fluides

Nous limiterons notre étude au cas de gaz pouvant être considérés comme parfaits.

PV Cte

Cp

Cv

Cp : capacité thermique à pression constanteCv : capacité thermique à volume constant

avec

On peut donc calculer le coefficient de compressibilité

d PV dPVPV1dV 0

S 1V

VP

1

VdVdP

S 1V

V

PV1

S 1PDonc

On a aussi :

PV nRT

mnM

mV

MPRT

n : quantité de matière (mol)M : masse molaire (kg/mol)m : masse du gaz (kg)R : constant des gaz parfaits

R 8.314 J Kmol

transformations isentropiques


Donc :

c 1

S RT

M

Applications numériques

Pour l’air on a :

1.4

M 29.10 3 kg mol

à 0°C : c=331 m/sà 20°C : c=343 m/s

Pour l’hydrogène on a :

1.4

M 2.02.10 3 kg mol

à 0°C : c=1254 m/s


IV.4 Aspect énergétique - Puissance sonore

Lorsque nous percevons un son notre oreille est sensible :

Intensité sonore

Les fréquences présentes

Dépend de la puissance transporter par l’onde

Spectre audible 16 à 16000 Hz pour l’homme

IV.4.1 Intensité sonore

On veut donc déterminer la puissance transportée par l’onde sonore. Reprenons l’exemple du tuyau sonore :

P+P0 P0

FdS

La force que subit dS est :

Le travail de cette force est donc :

dtuSPdlSPW .....

PdSdF


La puissance moyenne sur l’intervalle (t1, t2) sera :

On utilisant les expressions de P et u en fonction de f et g, on obtient :

Moyenne temporelle

Remarque

Pour chaque onde progressive, on associe un transfert d’énergie. La puissance associée est :

On définie l’intensité sonore : I est en W/m2

2

1

2

1

...11

1212

t

t

t

t

dtuSPtt

Wtt

Pu

cx

tgcx

tfcSPu

dtcx

tgcx

tfctt

SPu

t

t

22

22

12

2

1

cx

tfcSPu 2

cx

tfcS

PuI 2


L’intensité du son perçu par nos oreilles est définie par une échelle logarithmique et l’unité est le décibels dB:

IdB 10logII0

I0 représente l’intensité 0 dB. Par convention on prend I0 = 10-12 W/m2 Minimum perceptible à f = 1 kHz


Cas particuliers des ondes planes progressives sinusoîdales

On peut en déduire l’expression de P :

pcucu0cost kx

uu0cost kx L’onde de vitesse s’écrit :

Donc l’intensité sonre est :

I c u2 cu

0

2

2

IV.4.2 Spectre en fréquences

Il est obtenu en effectuant une décomposition en série de Fourier (onde périodique) ou une transformée de Fourier (onde non périodique).Si l’onde est périodique on démontre facilement :

I 12

an2

n1


IV.5 Réflexion -Transmission

Milieu 1 Milieu 2

1, c1

2, c2

0x

i : masse volumique du milieu i.ci : vitesse de l’onde acoustique dans

le milieu i. Onde incidente (ui)

ui : Onde de vitesse incidentePi : Onde de pression incidente

ui f t xc1

Pi 1c1f t xc1

Onde réfléchie (ur)

ur : Onde de vitesse réfléchiePr : Onde de pression réfléchie

ur g t xc1

Pr 1c1g t xc1

Onde transmise (ut) ut : Onde de vitesse transmisePt : Onde de pression transmise

ut h t xc2

Pt 2c2h t xc2


A l’interface (x=0) entre les deux milieux 1 et 2 on a continuité de la composante normale de la vitesse. Cette condition s’écrit :

f tg th t

en x0

De plus, on a égalité des pressions de part et d’autre de l’interface. Cette condition s’écrit :

1c1f t 1c1g t2c2h t

en x0

On peut alors exprimer les différentes ondes en fonction de f supposé connue :

g t1c1 2c2

1c12c2

f t

h t 21c1

1c12c2

f t


IV.5.1 Etude énergétique

Ecrivons les intensités dans les différentes ondes :

Ii 1c1 f 2 tOnde réfléchie :

Onde transmise :

Onde incidente :

I r 1c1 g2 t

I t 2c2 h2 tOn peut alors définir les coefficients de réflexion ou de transmission (ou facteur de réflexion et transmission)

R I r

Ii

R g2 tf 2 t

1c1 2c2

1c12c2

2

T I t

Ii

T 2c2

1c1

h2 tf 2 t

41c12c2

1c12c2 2

Remarque

On a bien-entendu conservation de l’énergie :

Ii I r I t

On peut aussi écrire :

RT 1


IV.6 Effet Doppler

L'effet Doppler est le changement apparent de fréquence d'un phénomène vibratoire lorsque

la source et/ou l’observateur est/sont en mouvement l'un par rapport à l'autre.

Ce phénomène peut être observé sur tout phénomène vibratoire, mais il fut découvert et

étudié en premier lieu par Doppler en 1842 sur les ondes acoustiques. L’expérience montre

que lorsqu'une automobile en mouvement passe devant un piéton immobile en klaxonnant, le

piéton semble entendre un son plus aigu ou plus grave selon le sens de déplacement de

l'automobile. Il y a ainsi changement apparent de fréquence du son, la fréquence réelle étant

évidemment constante et caractéristique du klaxon.

vuvu

N

v : vitesse de la source

v’ : vitesse de l’observateur

u : vitesse de l’onde sonore

v’ > v N < donc le son devient plus grave v’ < v N > donc le son devient plus aigu

V=0

V < U

V > U

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