résoudre les équations de propagation...- les ondes mécaniques, comme celles résultant de la...

Electromagnétisme

Résoudre les équations de propagation

NOTIONS MATHEMATIQUES- RAPPEL -

Composantes d ’un vecteur

Pour représenter un vecteur, on se définit un repère orthonormé Oxyz.

=

++=

++=

zyx

OM

kzjyixOM

kOCjOBiOAOMrrr

rrr

Produit scalaire

Il s ’agit de la mesure algébrique de la projection d ’un vecteur sur un axe.

uWW rr•=

( )VWVWVW

VWVWVWVW zzyyxxrrrr

rr

,cos⋅⋅=•

⋅+⋅+⋅=•

Wr

ur W

Dans un repère orthonormé, on peut l’exprimer en fonction des composantes des vecteurs

Produit vectoriel

Il s ’agit du vecteur perpendiculaire au plan formé par les vecteurs initiaux de sens tel que le trièdre formé soit direct

Pr

1Wr

2Wr

( )

21

21

21

212121 ,sin

zzkyyjxxi

P

WWWWWWP

r

r

r

r

rrrrr

=

⋅⋅=⊗=

Gradient

UzUyUxU

kzUj

yUi

xUUgrad

∇=

∂∂∂∂∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

r

rrr

kz

jy

ix

rrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Le gradient : - est normal aux surfaces de niveau- orienté dans le sens des valeurs croissantes du champ

Divergence

On appelle divergence d ’un vecteur le scalaire :

Wz

Wy

Wx

WWdiv zyx

rr

r

•∇=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

La divergence est un opérateur qui mesure la tendance d’un vecteur de provenir ou de converger vers un point :

kz

jy

ix

rrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Rotationnel

Le rotationnel d ’un vecteur est donné par :

∂∂

−∂

∂∂

∂−

∂∂

∂

∂−

∂∂

=

yW

xW

xW

zW

zW

yW

Wrot

xy

zx

yz

r

z

y

x

Wz

k

Wy

j

Wx

i

WWrot

∂∂∂∂∂∂

=⊗∇=

r

r

r

rrr kz

jy

ix

rrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Laplacien

On peut calculer la divergence du gradient d ’un scalaire

UzU

yU

xUWdiv

kzUj

yUi

xUUgradW

∆=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

==

2

2

2

2

2

2r

rrrr

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=∇•∇=∆rrr k

zj

yi

x

rrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

ONDES ELECTROMAGNETIQUES

1. Ondes - Généralités2. Modélisation mathématique3. Relation de dispersion

4. Equations du champ électromagnétique5. Onde électromagnétique dans le vide6. Etat de polarisation

7. Ondes électromagnétiques dans un milieu8. Ondes électromagnétiques dans un conducteur

9. Ondes électromagnétiques dans un isolant

10. Réflexion et transmission entre deux milieux11. Réflexion sur un conducteur parfait

12. Propagation par guide d’onde

1. Ondes - Généralités1. Concept d’onde

Une onde se définit comme une perturbation (en général périodique) du milieu dans lequel elle se propage.

Il existe une grande diversité d’ondes :- les ondes mécaniques, comme celles résultant de la déformation de la surface

d’un liquide - les ondes sonores, qui résultent de variations de la pression de l’air- les ondes électromagnétiques qui n’ont pas besoin de support matériel

Point fondamental

Seule la perturbation se propage, et non le milieu lui-même

1. Ondes - Généralités2. Onde éléctromagnétique

Rayonnement omniprésent (GSM, micro-onde, lumière)

Dualité onde-corpuscule :- composée d’un grand nombre de corpuscules, les photons- comportement ondulatoire du fait des propriétés quantiques

du photon

Approche ondulatoire = approximation similaire de la relativité par la mécanique classique

Construction d’une onde électromagnétique

Association combinée d’un champ électrique et d’un champ magnétique (champ électromagnétique) oscillants à la même fréquence

1. Ondes - GénéralitésType d’onde

-transverse : déplacement perpendiculaire à la direction de propagation-longitudinale : déplacement parallèle

Ondes électromagnétiques = ondes transverses

La fonction représentative d’une onde doit représenter la perturbation.Elle dépend donc du temps et de l’espace

( )txf ,=φ

( ) ( ) vtxxavecxftx −== '',φ

Pour décrire la propagation, il suffit de définir la fonction f dans un système deréférence qui se déplace à une vitesse constante v par rapport à l’origine

2. Modélisation mathématique

Le physicien d’Alembert (1717-1783) fit appel au formalisme mathématiquedes dérivées partielles pour décrire les fonctions d’ondes


Equation d’onde ou équation de propagation

012

2

22

2

=∂∂

−∂∂

tcxφφ

en une dimension

012

2

22

2

2

2

2

2

=∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

tczyxφφφφ

Généralisation 3D

Équation de d’Alembert

Une onde est une fonction de x et de t qui est une solution de l’équation d’ondes ded’Alembert

La solution la plus simple de l’équation d’ondes différentielle est une fonction sinusoïdale ou harmonique


Onde harmonique

[ ])(cos)'cos(),( vtxkAkxAtx −==φ

Périodicité spatiale : λ longueur d’onde en m

Les ondes harmoniques présentent une double périodicité : dans l’espace et dans le temps

),(),( txtx λφφ ±=

On en déduit la valeur de k, nombre d’onde, exprimé en m-1 :

λπ2

=k


D’où

Relation fondamentale

),(),( Ttxtx ±= φφ Périodicité temporelle : Τ période en s

On peut également en déduire la valeur de k :

vTk π2

= vT=λ

fv λ=


Tπω 2

=

Tf 1

= λπ2

=k

pulsation

fréquence nombre d’onde

fv λ=

Onde harmonique

[ ]tkxAtx ωφ ±= cos),(

Récapitulatif

célérité ou vitesse

Un signe – correspond au cas où la vitesse de propagation est orientée dansle sens des x croissants, le signe + à une propagation vers les x décroissants

On parle d’onde progressive si il existe une direction et un sens de propagation


Ondes planes harmoniques

( )( )trkAtr

tzyxtr

ωφ

φφ

−⋅=

=rrr

r

sin),(

,,,),(

On étudie les fronts d’onde, lieux géométriques où la phase de l’onde est constante

nc

nk rrr ωλπ

==2

vecteur d’onde

plan d’onde (perpendiculaire à la direction de propagation)


Ondes sphériques

( )tkrrAtr ωφ −= sin),(r

Les fronts d’onde sont des sphères


Notation complexe d’un champ

( )trkEtrE ω−⋅=rrrrr

cos),( 0

( )[ ]( )[ ]rktiEtrE

trkiEtrErrrrr

rrrrr

⋅−=

−⋅=

ω

ω

exp),(

exp),(

0

0

On associe une onde complexe à l’onde réelle; la partie imaginairen ’a pas de signification physique

Raccourcis mathématiques

∫∂∂

ω

ω

ipartionmultiplicadt

ipartionmultiplicat

1a

a

VkiVVgrad

EkiEErot

EkiEEdiv

rr

rrrrr

rrrrr

−=∇=

⊗−=⊗∇=

•−=•∇=

La relation de dispersion est une relation entre la pulsation et le vecteur d'onded'une onde monochromatique.

3. Relation de dispersion

Dans l’équation de l’onde, ω caractérise la source, k la propagation de l’onde de pulsation ω dans le milieu.

Milieu non-dispersif : quelque soit ω la vitesse de propagation est la même, la relation ω = ck est linéaire (harmoniques à même vitesse).

Milieu dispersif : la vitesse de propagation dépend de ω (propagation des harmoniques à des vitesses différentes)

La dispersion est le phénomène affectant une onde se propageant dans un milieu dit « dispersif », c'est-à-dire dans lequel les différentes fréquences constituant l'onde ne se propagent pas à la même vitesse.

k(ω) = relation de dispersion


Vitesse de phase = vitesse de propagation de la phase (kx−ωt), vitesse apparentek

v ωϕ =

dkdvgω

=Vitesse de groupe = vitesse de propagation de l’énergie de l’onde = vitesse de déplacement du paquet d’ondes, vitesse réelle


Milieu non dispersif : vitesse de phase et de groupe égales

Mileu dispersif : vitesse de phase pente à l’originevitessse de groupe pente de la tangente à la courbe ω(k) au point considéré

4. Equations du champ électromagnétique

Caractéristiques électromagnétique d’un milieu

ρ : densité de charge volumiqueil s’agit de la quantité de charge électrique par unité d’espace (C/m3)

ε : permittivite électriquec’est une propriété physique qui décrit la réponse d‘un milieu donné à un champ électrique appliqué (F/m)

µ : perméabilité magnétiqueelle caractérise la faculté d'un matériau à modifier un champmagnétique (H/m)

j : densité de courantdécrit le courant électrique qui circule à l'échelle locale, en un point d'un matériau (A/m2)


Cas général - Equations de Maxwell

∂∂

+=⊗∇⇔

∂∂

+=

=•∇⇔=

∂∂

−=⊗∇⇔∂∂

−=

=•∇⇔=

tEjB

tEjBrot

EEdiv

tBE

tBErot

BBdiv

rrrr

rrr

rrr

rrr

rr

rrr

εµεµ

ερ

ερ

)4(

)3(

)2(

00)1(


Propagation de l’énergie La propagation de l’énergie se manifeste expérimentalement dans de nombreux cas :– On peut ressentir son effet si l’on s’expose aux rayons solaires ou au rayonnement d’une source chaude – De même tout émetteur radio expédie de l’énergie à travers l’espace, une infime partie de cette dernière étant captée par votre récepteur radio

µBERrr

r ⊗=

Vecteur de Poynting

La direction et le sens du vecteur de Poynting sont ceux de l’écoulement de l’énergieIl s’exprime en W/m2


Densité d’énergie électromagnétique Elle est liée au deux composantes, électrique et magnétique, du champ :

+= 2

2

21 EBw ε

µ

∫∫ •=S

r SdRPrr

se calcule par le flux du vecteur de Poynting à travers la surface illuminée

Puissance rayonnée par une onde électromagnétique

somme d'une énergie purement magnétique et d'une énergie purement électrique.

5. Onde électromagnétique dans le vide

∂∂

=⊗∇

=•∇∂∂

−=⊗∇

=•∇

tEB

EtBE

B

rrr

rr

rrr

rr

00)4(

0)3(

)2(

0)1(

εµ

Equations de Maxwell

Relation de dispersion

200

2 ωεµ=k ωεµ 00=k

cvv G ====0000

1εµεµω

ωϕ

1-120

-170

mF1085,8

mH104−

−

⋅=

⋅=

ε

πµ


Structure de l’onde

EkBr

rr

⊗=ω

kBrr

⊥ kErr

⊥

Par conséquent :- les champs électrique et magnétique sont transverseset orthogonaux-le trièdre est direct-Les normes des champs sont dans le rapport :

( )kBErrr

,,

BEc =


Spectre électromagnétique


Spectre électromagnétique

Les ondes ne diffèrent que par le procédé d’émission :- Hertzien : rayonnement d’une antenne- IR, V, UV : désexcitation électronique, vibration, rotation- X : désexcitation électronique interne, bremsstrahlung- γ : désexcitation des noyaux, interactions entre particules de HE.

fc λ=

6. Etats de polarisation

La direction de polarisation d’une onde correspond à la direction dans laquellele champ électrique oscille.

La figure décrite au cours du temps par le champ électrique en un point donnépeut être alors :•un segment de droite, cas de la polarisation rectiligne;•une ellipse, cas de la polarisation elliptique;•un cercle, cas de la polarisation circulaire.


Modélisation mathématiqueExpression générale d’une onde plane monochromatiquese propageant selon l’axe des x

( )( )

+−=−=

=

ϕωω

kxtEEkxtEE

EE

bz

ay

x

coscos

0r

ϕ = mπ

a

y

b

z

EE

EE

±=

ϕ ≠ mπ

ϕϕ 222

sincos2 =−

+

a

y

b

z

a

y

b

z

EE

EE

EE

EE

polarisation rectiligne

équation caractéristique d ’une ellipsepolarisation elliptique

7. Ondes électromagnétiques dans un milieu

Milieux linéaires, homogènes et isotropes

Il est linéaire si ses perméabilités diélectrique et magnétique ne dépendent pas des champs appliqués.

Il est homogène si ses propriétés sont les mêmes en tout point

Il est isotrope si ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions.

Ej

BH

ED

rr

rr

rr

σ

µ

ε

=

=

=1

déplacement électrique

excitation magnétique

densité de courant

Les relations constitutives relient entre elles les champs, charges et courants et sont habituellement dépendantes de la fréquence


Equations de Maxwell

∂∂

+==⊗∇

∂∂

−==⊗∇

==•∇

==•∇

tEEBrotB

tBErotE

BdivB

EdivE

rrrrr

rrrr

rrr

rrr

εσµ

ερ

0

Relation de dispersion dans un milieu non chargé

22 1 ωωεσµε

−= ik


k2 complexe quelconque kikk ′′−′=rrr

- la partie réelle k’ caractérise la propagation- La partie imaginaire k’’ caractérise l ’atténuation

kv

′=

ωϕ

kddvg ′

=ω

( )[ ][ ] ( )[ ]trkirkEtrE

trkiEtrE

ω

ω

−⋅′⋅′′−=

−⋅=rrrrrrr

rrrrr

expexp),(

exp),(

0

0

La vitesse est définie par rapport à la propagation

L’équation de dispersion admet une racine imaginaire telle que :


k2 réel positif

2

22

vω

=k

vitesse de phase = vitesse apparente

v==k

v ωϕ

vitesse de groupe = vitesse de transmission d ’un signal ϕ

ω vdkdvg <=

L’équation de dispersion admet une racine réelle k = k’ telle que :

v : vitesse de l’onde

kk ′=rr


k2 réel négatif kik ′′−=

Il n’y a donc pas de propagation possible dans le milieu

L’onde s’évanouit en pénétrant le milieu.Elle est dite évanescente

L’équation de dispersion admet une racine imaginaire:


( )v

inkikk ωκ−=′′−= '

- n : partie réelle = indice de réfraction, caractérise la propagation

- κ : partie imaginaire = indice d ’extinction, caractérise l ’atténuation qui accompagne la propagation

Lorsqu’une onde passe du vide à un milieu d’indice n, se fréquence reste constante mais sa longueur d’onde diminue d’un facteur 1/n

n0λλ =

Relation avec l’optique classique

nvv

vnk ==′ ϕ

ω

Impédance d ’un milieu

EkBr

rr

⊗=ω d ’où ZHH

kB

kE ===

ωµω

soitk

Z ωµ= Z : impédance caractéristique du milieu

- si k, ε, µ sont réels, Z est réel :

εµµ ϕ == vZ on pose Z0 impédance caractéristique su vide :

0

00 ε

µ=Z

d ’où

r

rZZεµ

0=n

ZZ 0=soit pour un milieu non absorbant d ’indice

de réfraction n


Conducteur parfait

correspond au cas d ’une conductivité infinie

0

0rv

rr

=

=

B

E

se comporte comme un écran : pas de propagation possible

8. Ondes électromagnétiques dans un conducteur

L’onde met en mouvement les charges en surface du conducteur.

Le champ électromagnétique émis par les charges en mouvement à la surface du conducteur compense exactement le champ incident à l’intérieur du conducteur : la surface émet une onde de même amplitude que le champ incident et en opposition de phase.

Cas des bons conducteurs 1>>ωεσ

22 1 ωωεσµε

−= ik µσωik −≈2 ( )ik −= 1

2µσω

On définit l ’épaisseur de peau par :ωµσ

δ 21=

′′=

k

δ est une distance caractéristique du milieu au bout de laquelle l ’amplitudede l ’onde est diminuée d ’un facteur e

8. Ondes électromagnétiques dans un conducteur

Il y a propagation et atténuation progressive de l’onde dans le milieu

Isolant parfait

22 1 ωωεσµε

−= ik 22 µεω=k µεω=k

Il y a propagation sans atténuation : le milieu est dit transparent


Diélectrique faiblement conducteur

( )222 1 kikik ′′−′=

−= ω

ωεσµε

avec

kk ′<<′′⇒<< 1ωεσ

εµσ

µεω

2=′′

=′

k

k


−=

εωσµεω

21 ik

Il y a atténuation importante de l’onde dans le milieu

On peut également utiliser la notiond’épaisseur de peau

k ′′=

1δ

∂∂

+==⊗∇

∂∂

−==⊗∇

==•∇

==•∇

tDEHrotH

tBErotE

BdivB

DdivD

rrrrr

rrrr

rrr

rrr

σ

ρ

0

Equations générales

10. Réflexion et transmission entre deux milieux

nr(1) (2)

On considère le passage de l’onde d’un milieu (1) à un milieu (2).L’interface entre les deux milieux est plan.

Conditions de passage ou relations de continuité

1212

12

12

1212

0

0

njHH

EE

BB

nDD

stt

tt

nn

nn

rrrr

rrr

rrr

rrr

⊗=−

=−

=−

=− σ σ : densité de charge surfaciquejs : densité de courant surfacique


Les équations de Maxwell à l’interface des deux milieux donnent ce quel’on nomme relations de continuité.

les indices n et t correspondent aux composantes du champnormales à la surface et tangentielles.n12 est la normale à la surface dirigée du milieu 1 vers lemilieu 2.


On a au total trois ondes planesprogressives : l’onde incidente(indice i ), l’onde réfléchie (indice r )et l’onde transmise (indice t )

Dans le milieu (1), le champ électromagnétique correspond à lasuperposition de l’onde incidente et réfléchie.

Seul le champ transmis est présent dans le milieu (2)

Le conducteur est considéré parfait : les champs sont nuls à l’intérieur du milieu(2). Le milieu (1) correspond au vide. L’incidence de l’onde est normale.

11. Réflexion sur un conducteur parfait

(1) (2)

ox

y

ikriE

r

iBr

rEr

rBr

rkr

Le conducteur reçoit une onde incidente et renvoie une onde réfléchie.L’onde transmise est nulle.

Les conditions de passage deviennent :


Or D1n = 0 (les champs incident et réfléchi s’annulent) : la densitésurfacique de charge est nulle.

Les champs magnétiques incident et réfléchi se somment.

Quand l’onde arrive sur le conducteur elle met en mouvement descharges et provoque un courant surfacique. Ces charges sont accéléréeset rayonnent un champ électromagnétique.

njH

nD

st

nrrr

rr

⊗=−

=−

1

1 σ(1) (2)

ox

yik

riDr

iHr

rDr

rHr

rkr

Onde incidente :


( )[ ]( )[ ] zi

yi

ukxtiBB

ukxtiEErr

rr

−=

−=

ω

ω

exp

exp

0

0(1) (2)

ox

y

ikriE

r

iBr

rEr

rBr

rkr

Onde réfléchie :

- il y a changement de signe de la composante tangentielle du champ électrique- la réflexion du champ magnétique se fait sans changement de signe- l ’onde réfléchie a la même pulsation ou fréquence que l ’onde incidente- l ’onde réfléchie se propage dans le sens contraire de l ’onde incidente

( )[ ]( )[ ] zr

yr

ukxtiBB

ukxtiEErr

rr

+=

+−=

ω

ω

exp

exp

0

0riir kkketkk ==−=

rr


Onde résultante dans le vide :

ri

ri

BBB

EEErrr

rrr

+=

+=

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) zz

yy

utikxBuikxikxtiBB

utikxiEuikxikxtiEErrr

rrr

ωω

ωω

expcos2expexpexp

expsin2expexpexp

00

00

=+−=

−=−−=

- l ’onde résultante est plane- elle n ’est pas progressive donc stationnaire : les champs vibrent sur place- les champs sont orthogonaux et ne sont pas en phase; ils sont en quadrature- l ’amplitude des champs varient avec x


Onde résultante dans le vide :

Les champs électromagnétiques sont donnés par les expressions réelles:

( ) ( )( ) ( ) z

y

utkxBB

utkxEErr

rr

ω

ω

coscos2

sinsin2

0

0

=

=

Il s’agit d’ondes stationnaires. On observe des noeuds de vibration quand le terme en kx est nul, des ventres de vibration lorsque le terme en kx est maximal


Pression de radiation

Une densité superficielle de courant est induite par l’onde à la surface du conducteur

Ce courant subit de la part du champ magnétique incident une force de Laplace.

Cette force est exercée selon le sens de propagation de l ’onde incidente

On peut montrer que sa valeur moyenne dans le temps est :

200 EPrad ε=


Modèle mathématique :

Le guide d’onde considéré est un tube dont les parois sont constituées de conducteur parfait et à l ’intérieur duquel règne le vide.

On se limite au mode TE (champ électrique transverse) pour un guide d ’onde constitué de deux plans parallèles.

x

z

a Er k

r

( ) ( )[ ] yukxtizyEE rr−= ωexp,0

L ’équation du champ électrique est :


Ce champ doit satisfaire 3 conditions :

Sa divergence doit être nulle :

0=•∇= EEdivrrr ( ) ( )[ ] 0exp,0 =−

∂∂ kxti

yzyE ω

E0 n ’est fonction que de z

Il vérifie l’équation de propagation :

012

2

2 =∂∂

−∆tE

cE

rr

002

2

2

20

2

=

−+ Ek

cdzEd ω

Equation différentielle du second degré en E0: différents cas à distinguer en fonction du signe


Cas des basses fréquencesc

k ω>

222

2

αω−=− k

c( ) ( )zBzAE αα −+= expexp0

00 =E pas de propagation

Le champ doit être nul à la limite des conducteurs :

Etudions alors la résolution de l’équation différentielle

Cas de la pulsation critiquec

k ω=

022

2

=− kcω BAzE +=0

00 =E pas de propagation


Cas des hautes fréquences

222

2

αω=− k

c( ) ( ) ( )zBzAzE αα cossin0 +=

( ) 0sin =zA α

anπα =

( )

= z

anAzE πsin0

Cette onde ne peut se propager que si k2 > 0 soit :

2

222

2

2

ank

cπω

=− 2

22

2

2

an

ck πω

−=

Il s’agit de la relation de dispersion dans un guide d ’onde

ck ω

<


La relation de dispersion impose :

acn

cπωω =>

2

22

2

2

an

ck πω

−=

Un guide d ’onde ne peut donc propager que des ondes de pulsations supérieuresà la pulsation de coupure ωc = filtre passe-haut

soit

Pour déterminer le champ magnétique correspondant, il faut utiliserles équations de Maxwell :

tBEErot

∂∂

−=⊗∇=r

rrr( )

( )

−

−

=

kxtza

nkE

kxtza

nanE

B

ωπω

ωπωπ

cossin

0

sincos

0

0

r

( )[ ] yukxtia

znEE rr−

= ωπ expsin0Finalement

résoudre les équations de propagation...- les ondes mécaniques, comme celles résultant de la...

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