les ondes sonores dans un fluide i) Équation de propagation des ondes sonores 1) position du...

Les ondes sonores dans un fluideI) Équation de propagation des ondes sonores

1) Position du problème

Position du problème

Au repos, en M à la date t, les champs de masse volumique 0 et de pression P0 sont uniformes et constants, le champ des vitesses est nul :

v(M,t) = 0 P(M,t) = P0 (M,t) = 0

L’onde sonore est décrite comme une perturbation de cet état de repos avec des champs de vitesse, de pression et de masse volumique de la forme :

v(M,t) = 0 + v(M,t)

P(M,t) = P0 + p(M,t)

(M,t) = 0 + (M,t)

ordre 0 ordre 1



2) Équations fondamentales des ondes sonores

a) L’approximation acoustique

L’approximation acoustique consiste à étudier des perturbations de faibles amplitudes.

Définition :

|p| << P0, || << 0 et |v| << c

Hypothèses :

c étant la célérité des ondes sonores dans le fluide

Hypothèses :

Les champs v(M,t), p(M,t) et (M,t) sont des infiniment petits du 1er ordre, ainsi que leurs dérivées spatiales et temporelles

Hypothèses :

Ces trois champs ont en tout point du fluide une valeur moyenne nulle

<v(M,t)>t = 0, <p(M,t)>t = 0, <(M,t)>t = 0




a) L’approximation acoustique

b) Équations fondamentales

Équations fondamentales

Équation d’Euler :

ρ ( . ) Ptv

v grad v grad

Équation d’Euler linéarisée :

ρ0 ptv

grad

Équations fondamentales

Équation de conservation de la masse :ρ

ρ div( ) 0t

v

Équation de conservation de la masse simplifiée :

μρ0 .div 0

tv

Équations fondamentalesÉquation des mouvements

isentropiques :ρ

χρS

S

1

P

Équation des mouvements isentropiques simplifiée :ρ ρ μ

χρ ρ

0S S

0 0 0

1 1 ( )

P P p

= 0.S.p




3) Équation de propagation des ondes sonores

Récapitulatif :

Équation des mouvements isentropiques :

= 0.S.p

Équation de conservation de la masse :

μρ0 .div 0

tv


ρ0 ptv

grad

Finalement, pour la surpression p :

Δρ χ

2

2 20 s

1 p 1p 0 avec c

c t

Finalement, pour la vitesse v :

Δρ χ

2

2 20 s

1 1 avec c

c tv

v 0

Équations différentielles




3) Équation de propagation des ondes sonores

4) Célérité des ondes sonores

La vitesse du son vaut : γ 0RTc

M

Gaz parfaits :

Ordres de grandeur :

air : c 340 m.s–

1

H2 :c 1,3 km.s–

1

Les ondes sonores dans un fluideII) Les ondes sonores planes progressives

1) Les ondes planes progressives

En coordonnées cartésiennes :

v = vx.ux + vy.uy + vz.uz

Δ2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 21 f f f f 1 f

f 0c t x y z c t

f = p, vx, vy ou vz

ρ χ0 s

1c

.

O

x’y’

z’

(R)

Onde se propageant le long de l’axe Ox :

f(M,t) = f(x,t)

Même onde se propageant le long de l’axe = Ox Ox’ :

f’(M,t) = f’(x’,y’,z’,t)

O

x

y

z(R)

Conclusion :

Nous admettrons qu’en vertu de la linéarité de l’équation scalaire de D’Alembert à trois dimensions, toute solution est une superposition d’ondes planes progressives, dont les directions de propagation u quelconques couvrent tout l’espace :

espace

f(M,t) F( . c.t) G( . c.t)u,

r u r u



2) Les ondes planes progressives harmoniques

a) Définition

() est un plan d’onde

t, (P) = (M) u

()

P

M

k

Toute solution de l’équation de D’Alembert à trois dimensions peut se décomposer en O.P.P. de direction de propagation u quelconque et à leur tour, toute O.P.P. de direction peut se décomposer en O.P.P.H. de même direction .

Les O.P.P.H. sont les éléments de base de l’ensemble des solutions de l’équation de d’Alembert à trois dimensions

Résumé :




a) Définition

b) Notation complexe

Notation complexe

f(M,t) = A0.cos(t – k.r + 0)

f(M,t) = A0.exp[j(t – k.r)] avec A0 = A0.exp(j0)

ωf j .f

t

ω ω2

2 22f j .f .f

t

Notation complexe


k.r = kx.x + ky.y + kz.zk = kx.ux + ky.uy + kz.uz

xf

jk .fx

y

f jk .f

y z

f jk .f

z

Notation complexe


. . .x y zx y zu u u

gradp = (p) = – jk.p ; divv = .v = – jk.v ;

p = 2(p) = (– jk)2.p = – k2.p ; rotv = x v = – jk x v




a) Définition


c) Relation de dispersion




a) Définition


c) Relation de dispersion

d) Structure des ondes planes progressives

Structure des ondes planes progressives

Par superposition, d’O.P.P.H. de même direction de propagation u et de pulsations quelconques, grâce à l’analyse de Fourier, ce résultat s’étend aux OPP :

Les ondes sonores planes progressives sont longitudinales.




3) L’impédance acoustique

Impédance acoustique

Définition :

On définit l’impédance acoustique du milieu, notée Za, comme le rapport de la surpression sur la vitesse :

ap(M,t)

Z v(M,t)

Impédance acoustique

Cette relation de couplage, p(M,t) = 0.c.v(M,t), ne fait pas intervenir la pulsation donc par superposition d’O.P.P.H. de même direction de propagation u et de pulsations quelconques, grâce à l’analyse de Fourier, ce résultat s’étend aux O.P.P. :

Impédance acoustique pour une O.P.P.

Ordres de grandeur :

air :Za 500 kg.m–2.s–

1

eau : Za 106 kg.m–2.s–1

ρρ

χ0

a 0s

Z .c

Les ondes sonores dans un fluideIII) Aspect énergétique


1) Énergie volumique d’une onde sonore

Définitions :

χ 2p s

1e .p

2

ρ 2c 0

1e .v

2

densité volumique d’énergie cinétique :

densité volumique d’énergie potentielle élastique :

Définitions :

τac sfluide

E e .d

ρ χ2 2s c p 0 s

1 1e e e .v .p

2 2

densité volumique d’énergie sonore :

Energie acoustique apportée au fluide par l’onde sonore :



2) Bilans énergétiques

a) Bilan local

Bilan local

Équation de conservation de la masse :

χ sp

div 0 .t

pv


ρ0 p .tv

grad v0

Bilan local

ρ χ0 sp

.div . p . . p p 0t tv

vgr dvv a

ρ χ2 20 s

1 1.v .p

2div

2 0

tp. v

Bilan local

Π sediv 0

t

= p.v ρ χ2 2s 0 s

1 1e .v .p

2 2

Cette relation constitue l’équation locale de la conservation de l’énergie acoustique en M, à la date t

(M,t)

d

+

P

dS

M




a) Bilan local

b) Bilan global

(P,t)M

es(M)

VdS

P

(M,t)




3) Application aux ondes planes progressives

Application aux O.P.P.

es = 2ec = 2ep

ρ ρρ

22

c 0 00

1 1 pe .v

2 2 .c

χρ

22

c s p20

1 p 1e .p e

2 2.c

Analogie

jm = .v

ρdiv 0

tmj

Π sediv 0

t

= es.v

est la densité volumique de masse

es est la densitévolumique d’énergie sonore




3) Application aux ondes planes progressives

4) Cas des ondes planes progressives harmoniques

Application aux O.P.P.H.

es = 2ec = 2ep = 0.v2 = s.p2

p(M,t) = p0.cos(t – k.r + 0)

v(M,t) = v0.cos(t – k.r + 0).u

p(M,t) = Za.v(M,t) = 0.c.v(M,t)

p0 = Za.v0 = 0.c.v0

Application aux O.P.P.H.

ρ χ2 2s 0 0 s 0

1 1e .v .p Cste

2 2

L’énergie acoustique volumique moyenne est une constante, l’énergie acoustique moyenne de tout l‘espace est donc infinie ; Nous retrouvons le caractère non physique des O.P.P.H..


5) Intensité sonore et décibels acoustiques

a) Intensité sonore

u k

On appelle intensité sonore d’une O.P.P.H., notée I, la valeur de la puissance moyenne transférée par l’onde sonore par unité de surface à travers une surface perpendiculaire à sa direction de propagation u

Intensité sonore

Π Π ρ 20I . p.v .c. vu

ρ2

2 2 00 0 a 0

a

p1 1 1I .c.v Z .v

2 2 2 Z


5) Intensité sonore et décibels acoustiques

a) Intensité sonore

b) Décibels acoustiques

I (W.m–2) IdB p0 (Pa) v0 (m.s–1)

seuil absolu à 3 kHz 10–13 – 10 10–5 2.10–8

seuil à 1kHz 10–12 0 3.10–5 7.10–8

chuchotement 10–11 10 10–4 2.10–7

voix basse 10–10 20 3.10–4 7.10–7

campagne 10–9 30 10–3 2.10–6

avenue 10–4 80 0,3 7.10–4

marteau piqueur 10–2 100 3 7.10–3

seuil douloureux 1 120 30 7.10–2

Les ondes sonores dans un fluideIV) Réflexion et transmission des ondes sonores


Dioptre acoustique

O

S

ki

kt

P0, 1, c1 P0, 2, c21 2

xux

kr = – ki



2) Coefficients de réflexion et de transmission

a) Les conditions aux limites

Les conditions aux limites

Continuité de la vitesse :

la vitesse d’une particule fluide est continue au niveau de l’interface, dans le plan x = 0, t.

v1(0,t) = v2(0,t)

vi(0,t) + vr(0,t) = vt(0,t)


RFD sur un élément de surface :

L’interface est considérée comme une membrane fictive de masse nulle, on obtient :

0 = [p1(0,t) + P0]S – [p2(0,t) + P0]S


RFD sur un élément de surface :

la surpression est continue au niveau de l’interface de masse nulle, dans le plan x = 0, t.

p1(0,t) = p2(0,t)

pi(0,t) + pr(0,t) = pt(0,t)





b) Coefficients en amplitude

Les coefficients en amplitude

Coefficient de réflexion pour la vitesse :

Coefficient de transmission pour la vitesse :

rv

i

v (0,t)r

v (0,t)

tv

i

v (0,t)t

v (0,t)

Coefficient de réflexion pour la vitesse :

Coefficient de transmission pour la vitesse :

1 2v

1 2

Z Zr

Z Z

1v

1 2

2Zt

Z Z

Les coefficients en amplitude

Coefficient de réflexion pour la surpression :

Coefficient de transmission pour la surpression :

rp

i

p (0,t)r

p (0,t)

tp

i

p (0,t)t

p (0,t)

Coefficient de réflexion pour la surpression :

Coefficient de transmission pour la surpression :

1 2p v

1 2

Z Zr r

Z Z

2 2p v

1 1 2

Z 2Zt t

Z Z Z


1) Position de problème



b) Coefficients en amplitude

c) Coefficients en puissance sonore

Les coefficients en puissanceCoefficient de

réflexion :

Coefficient de transmission :

ΠΠ

Π Πrrr

i i i

(0,t)(0,t).( )I (0)R

I (0) (0,t). (0,t)x

x

u

u

ΠΠ

Π Πttt

i i i

(0,t)(0,t).I (0)T

I (0) (0,t). (0,t)x

x

u

u

Les coefficients en puissance

Coefficient de réflexion :

Coefficient de transmission :

21 2

1 2

Z ZR

Z Z

1 2

21 2

4Z .ZT

Z Z

Coefficient de transmission en puissance

2 1

21 2

4x Z ZT avec x ou x

Z Z1 x

L’échelle des abscisses est logarithmique

Les ondes sonores dans un fluideV) Les ondes stationnaires


1) La réflexion pure

La réflexion pure : Z2 >> Z1

rv – 1 et tv 0 donc R 1 et T 0

Le tuyau sonore est fermé en x = 0 par une paroi rigide

Z1 Z2 = t, v(0,t) = 0

Ondes incidente et réfléchie

Z1, 1, c1

Z2 =

Tuyau fermé en x = 0

O.I. O.R.rp = 1

0

Surpression :

O.R.

O.I.rv = –1

0

Vitesse :



a) Les champs de vitesse et de surpression

x = 0

Z2 =

V V V

NNN

λ4pression

x = 0

Z2 = V

V VN

NNλ2vitesse



a) Les champs de vitesse et de surpression

b) Aspect énergétique



2) Les cavités résonantes

Cavité résonante fermée aux deux extrémités en x = 0 et en x = L.

0 L

x

Les ondes sonores dans un fluide

a) Le régime libre

V) Les ondes stationnaires



Par théorème de superposition, la solution générale de ce problème peut s’écrire sous la forme d’une somme infinie :

mm 1

v(x,t) v (x,t)

π πφ0m m

m 1

m m cv(x,t) v .sin x .cos t

L L

Cavité résonante fermée aux deux extrémités en x = 0 et en x = L.

Harmonique m : λmL m2

0 L

x

Mode fondamental : λ1L 2

0 L

xpression

VN

V

0 L

xvitesse

N

V

N

Harmonique 2 : L = 2 0 L

xpression

V

NN

V V

0 L

xvitesse

N

VV

NN

Harmonique 3 : λ33

L 2

0 L

xpression

V

NN

V

N

VV

0 L

xvitesse

N

VV

N

V

NN

0 L

x

Cavité résonante fermée à une extrémité en x = 0, et ouverte à l’autre en x = L.

Harmonique m : λmL 2m 14

Mode fondamental : λ1L 4

0 L

xpression

V

N

0 L

xvitesse

N

V

Harmonique 2 : λ23

L 4

0 L

xpression

V

NN V

0 L

xvitesse

N

VV

N

Harmonique 3 : λ35

L 4

0 L

xpression

V

NN V N V

0 L

xvitesse

N

VV N V N



a) Le régime libre


b) Le régime forcé

les ondes sonores dans un fluide i) Équation de propagation des ondes sonores 1) position du...

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