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Ondes sonores dans les fluides. P. Ribi` ere Coll` ege Stanislas Ann´ ee Scolaire 2017/2018 P. Ribi` ere (Coll` ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ ee Scolaire 2017/2018 1 / 50

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Ondes sonores dans les fluides.

P. Ribiere

College Stanislas

Annee Scolaire 2017/2018

P. Ribiere (College Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Annee Scolaire 2017/2018 1 / 50

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1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Position du probleme et approximation acoustique

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.Position du probleme et approximation acoustiqueLinearisation des equations de la mecanique des fluides.Equation de propagation des ondes sonores.Celerite des ondes sonores dans les fluides.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

P. Ribiere (College Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Annee Scolaire 2017/2018 4 / 50

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Position du probleme et approximation acoustique

Situation de depart : milieu a l’equilibre sans perturbation.Fluide au repos : ~v(M, t) = ~0 (∀M et t).(Meme si les molecules ont une vitesse, comme le mouvement est desordonne, en moyenne, lavitesse moyenne d’une particule de fluide est bien nulle.)Champ de pression et de masse volumique stationnaire et uniforme : p0 et µ0 (∀M et t)(sur des echelles pas trop grandes en z tout du moins).

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Position du probleme et approximation acoustique

Situation de depart : milieu a l’equilibre sans perturbation.Fluide au repos : ~v(M, t) = ~0 (∀M et t).Champ de pression et de masse volumique stationnaire et uniforme : p0 et µ0 (∀M et t)

En presence de l’onde, i.e. de la perturbation :~v(M, t) = ~0 + ~v1(~r , t)p(M, t) = p0 + p1(~r , t)µ(M, t) = µ0 + µ1(~r , t)

Approximation acoustique.

Tous les champs d’indice 1 sont des perturbations infiniment petites du meme ordre degrandeur.

Les calculs se limitent au premier ordre dans les infiniment petits d’ordre 1.

L’ecoulement etudie est sans aucune pertes.

Remarque :Les deux premieres hypotheses sont coherentes entre elles et meme ne pourraient en formerqu’une.Ces hypotheses devront etre verifiees a posteriori et confrontees a l’experience.

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Position du probleme et approximation acoustique

Situation de depart : milieu a l’equilibre sans perturbation.Fluide au repos : ~v(M, t) = ~0 (∀M et t).Champ de pression et de masse volumique stationnaire et uniforme : p0 et µ0 (∀M et t)

En presence de l’onde, i.e. de la perturbation :~v(M, t) = ~0 + ~v1(~r , t)p(M, t) = p0 + p1(~r , t)µ(M, t) = µ0 + µ1(~r , t)

Approximation acoustique.

Tous les champs d’indice 1 sont des perturbations infiniment petites du meme ordre degrandeur.

Les calculs se limitent au premier ordre dans les infiniment petits d’ordre 1.

L’ecoulement etudie est sans aucune pertes.

Remarque :Les deux premieres hypotheses sont coherentes entre elles et meme ne pourraient en formerqu’une.Ces hypotheses devront etre verifiees a posteriori et confrontees a l’experience.

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Position du probleme et approximation acoustique

Situation de depart : milieu a l’equilibre sans perturbation.Fluide au repos : ~v(M, t) = ~0 (∀M et t).Champ de pression et de masse volumique stationnaire et uniforme : p0 et µ0 (∀M et t)

En presence de l’onde, i.e. de la perturbation :~v(M, t) = ~0 + ~v1(~r , t)p(M, t) = p0 + p1(~r , t)µ(M, t) = µ0 + µ1(~r , t)

Approximation acoustique.

Tous les champs d’indice 1 sont des perturbations infiniment petites du meme ordre degrandeur.

Les calculs se limitent au premier ordre dans les infiniment petits d’ordre 1.

L’ecoulement etudie est sans aucune pertes.

Remarque :Les deux premieres hypotheses sont coherentes entre elles et meme ne pourraient en formerqu’une.Ces hypotheses devront etre verifiees a posteriori et confrontees a l’experience.

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Linearisation des equations de la mecanique des fluides.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.Position du probleme et approximation acoustiqueLinearisation des equations de la mecanique des fluides.Equation de propagation des ondes sonores.Celerite des ondes sonores dans les fluides.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Linearisation des equations de la mecanique des fluides.

Equation locale de conservation de la matiere.

div(µ~v) +∂µ

∂t= 0 (1)

Equation de conservation de la matiere linearisee.

µ0div(~v1) +∂µ1

∂t= 0

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Linearisation des equations de la mecanique des fluides.

Equation d’evolution d’un fluide parfait (equation d’Euler).

µD~v

Dt= µ(

∂~v

∂t+ (~v .

−→grad)~v) = −

−→grad p (2)

Equation d’evolution linearisee.

µ0∂~v1

∂t= −

−→grad p1

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Linearisation des equations de la mecanique des fluides.

Equation d’evolution thermodynamique (fluide compressible) : coefficient de dilatationisentropique (adiabatique reversible).

χs =1

µ

∂µ

∂psoit

Dt= µχs

Dp

Dt(3)

Remarque :Coefficient isentropique car l’evolution est sans perte (pas de diffusion de la chaleur ni deviscosite).Erreur historique car premier modele etabli avec χT coefficient de dilatation isotherme.

Equation d’evolution thermodynamique linearisee (fluide compressible).

∂µ1

∂t= µ0χs

∂p1

∂t

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Linearisation des equations de la mecanique des fluides.

Systeme de 3 equations lineaires aux derives partielles du premier ordre a 3 inconnues couplees.

3 equations lineaires couplees du premier ordre des ondes sonores.

µ0div(~v1) +∂µ1

∂t= 0

µ0∂~v1

∂t= −

−→grad p1

∂µ1

∂t= µ0χs

∂p1

∂t

Consequence :Tous les champs d’indice 1 sont bien des infiniment petits du meme ordre de grandeur.(Approximation acoustique auto-consistante).

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Linearisation des equations de la mecanique des fluides.

Systeme de 3 equations lineaires aux derives partielles du premier ordre a 3 inconnues couplees.

3 equations lineaires couplees du premier ordre des ondes sonores.

µ0div(~v1) +∂µ1

∂t= 0

µ0∂~v1

∂t= −

−→grad p1

∂µ1

∂t= µ0χs

∂p1

∂t

Consequence :Tous les champs d’indice 1 sont bien des infiniment petits du meme ordre de grandeur.(Approximation acoustique auto-consistante).

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Linearisation des equations de la mecanique des fluides.

Systeme de 2 equations lineaires aux derives partielles du premier ordre a 2 inconnues couplees.

2 equations linearisees des ondes sonores.

div(~v1) + χs∂p1

∂t= 0

µ0∂~v1

∂t= −

−→grad p1

Consequence :Tous les champs d’indice 1 sont bien des infiniment petits du meme ordre de grandeur.(Approximation acoustique auto-consistante).

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Linearisation des equations de la mecanique des fluides.

Systeme de 2 equations lineaires aux derives partielles du premier ordre a 2 inconnues couplees.

2 equations linearisees des ondes sonores.

div(~v1) + χs∂p1

∂t= 0

µ0∂~v1

∂t= −

−→grad p1

Consequence :Tous les champs d’indice 1 sont bien des infiniment petits du meme ordre de grandeur.(Approximation acoustique auto-consistante).

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Equation de propagation des ondes sonores.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.Position du probleme et approximation acoustiqueLinearisation des equations de la mecanique des fluides.Equation de propagation des ondes sonores.Celerite des ondes sonores dans les fluides.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Equation de propagation des ondes sonores.

Recherche d’equations lineaires aux derivees partielles decouplees du second ordre

Equation (scalaire) de d’Alembert du champ de surpression.

∆p1 −1

c2

∂2p1

∂t2= 0

�p1 = 0

Equation de d’Alembert tridimensionnelle.

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Equation de propagation des ondes sonores.

Recherche d’equations lineaires aux derivees partielles decouplees du second ordreL’ecoulement associe a l’onde sonore est irrotationnel.

Equation (vectorielle) de d’Alembert du champ de vitesse.

~∆~v1 −1

c2

∂2~v1

∂t2= ~0

~�~v1 = ~0

Equation de d’Alembert vectorielle tridimensionnelle.

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Celerite des ondes sonores dans les fluides.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.Position du probleme et approximation acoustiqueLinearisation des equations de la mecanique des fluides.Equation de propagation des ondes sonores.Celerite des ondes sonores dans les fluides.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Mise en equation des ondes sonores dans un fluide. Celerite des ondes sonores dans les fluides.

cson =

√1

µ0χs

La celerite augmente quand la raideur du milieu 1χs

(inverse de la compressibilite) augmente.

La celerite diminue quand l’inertie du milieu µ0 augmente.

Celerite des ondes sonores dans les fluides.

ceau =

√1

µ0χs' 1000m.s−1

cair =

√γRT0

M' 330 ou 340m.s−1

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Structure des ondes sonores dans un fluide.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’equation de propagation.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’equation de propagation.Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive.Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’equation de propagation.

Etudions le champ de pression, solution de l’equation de d’Alembert tridimensionnel.

Commencons par nous ramener a l’equation de d’Alembert unidimensionnel, deja connue.

∂2p1

∂x2−

1

c2

∂2p1

∂t2= 0 avec c2 =

1

µ0χs

La solution (generale) de cette equation peut s’ecrire alors : p1(x , t) = f (x − ct) + g(x + ct)La pression est la superposition d’une OPP+~ux et d’une OPP+~u .Puis en gardant qu’une des deux solutions, et comme l’equation est lineaire, l’utilisation(implicite) de l’idee de Fourier permet de ramener la solution a une fonction sinusoıdale :p1(x , t) = p1 A cos(ωt − kx − ϕ)

Reecrivons cela sous une forme plus generale.p1(x , t) = p1 A cos(ωt − k~ux .~r − ϕ) = p1 A cos(ωt − ~k.~r − ϕ)

avec le vecteur d’onde ~k = k~ux , pour OPPH+~ux

Onde Plane Progressive Harmonique ”tridimensionnelle”.

p1(~r , t) = p1A cos(ωt − ~k.~r − ϕ) avec le vecteur d’onde ~k = k~u, pour OPPH+~u

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’equation de propagation.

Etudions le champ de pression, solution de l’equation de d’Alembert tridimensionnel.

Commencons par nous ramener a l’equation de d’Alembert unidimensionnel, deja connue.

∂2p1

∂x2−

1

c2

∂2p1

∂t2= 0 avec c2 =

1

µ0χs

La solution (generale) de cette equation peut s’ecrire alors : p1(x , t) = f (x − ct) + g(x + ct)La pression est la superposition d’une OPP+~ux et d’une OPP+~u .

Puis en gardant qu’une des deux solutions, et comme l’equation est lineaire, l’utilisation(implicite) de l’idee de Fourier permet de ramener la solution a une fonction sinusoıdale :p1(x , t) = p1 A cos(ωt − kx − ϕ)

Reecrivons cela sous une forme plus generale.p1(x , t) = p1 A cos(ωt − k~ux .~r − ϕ) = p1 A cos(ωt − ~k.~r − ϕ)

avec le vecteur d’onde ~k = k~ux , pour OPPH+~ux

Onde Plane Progressive Harmonique ”tridimensionnelle”.

p1(~r , t) = p1A cos(ωt − ~k.~r − ϕ) avec le vecteur d’onde ~k = k~u, pour OPPH+~u

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’equation de propagation.

Etudions le champ de pression, solution de l’equation de d’Alembert tridimensionnel.

Commencons par nous ramener a l’equation de d’Alembert unidimensionnel, deja connue.

∂2p1

∂x2−

1

c2

∂2p1

∂t2= 0 avec c2 =

1

µ0χs

La solution (generale) de cette equation peut s’ecrire alors : p1(x , t) = f (x − ct) + g(x + ct)La pression est la superposition d’une OPP+~ux et d’une OPP+~u .Puis en gardant qu’une des deux solutions, et comme l’equation est lineaire, l’utilisation(implicite) de l’idee de Fourier permet de ramener la solution a une fonction sinusoıdale :p1(x , t) = p1 A cos(ωt − kx − ϕ)

Reecrivons cela sous une forme plus generale.p1(x , t) = p1 A cos(ωt − k~ux .~r − ϕ) = p1 A cos(ωt − ~k.~r − ϕ)

avec le vecteur d’onde ~k = k~ux , pour OPPH+~ux

Onde Plane Progressive Harmonique ”tridimensionnelle”.

p1(~r , t) = p1A cos(ωt − ~k.~r − ϕ) avec le vecteur d’onde ~k = k~u, pour OPPH+~u

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’equation de propagation.

Etudions le champ de pression, solution de l’equation de d’Alembert tridimensionnel.

Commencons par nous ramener a l’equation de d’Alembert unidimensionnel, deja connue.

∂2p1

∂x2−

1

c2

∂2p1

∂t2= 0 avec c2 =

1

µ0χs

La solution (generale) de cette equation peut s’ecrire alors : p1(x , t) = f (x − ct) + g(x + ct)La pression est la superposition d’une OPP+~ux et d’une OPP+~u .Puis en gardant qu’une des deux solutions, et comme l’equation est lineaire, l’utilisation(implicite) de l’idee de Fourier permet de ramener la solution a une fonction sinusoıdale :p1(x , t) = p1 A cos(ωt − kx − ϕ)

Reecrivons cela sous une forme plus generale.p1(x , t) = p1 A cos(ωt − k~ux .~r − ϕ) = p1 A cos(ωt − ~k.~r − ϕ)

avec le vecteur d’onde ~k = k~ux , pour OPPH+~ux

Onde Plane Progressive Harmonique ”tridimensionnelle”.

p1(~r , t) = p1A cos(ωt − ~k.~r − ϕ) avec le vecteur d’onde ~k = k~u, pour OPPH+~u

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’equation de propagation.

L’OPPH permet d’utiliser la notation complexe et donc de transformer les equations aux deriveespartielles lineaires a coefficients constants (ou independants du temps) en des equationsalgebriques plus simples a manipuler.

Onde Plane Progressive Harmonique OPPH+~u et notation complexe.

∂t= jω et ~∇ = j~k

(~∇ = ∂∂x~ux + ∂

∂y~uy + ∂

∂z~uz et tous les operateurs vectoriels s’expriment avec ~∇ pour OPPH+~u)

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’equation de propagation.Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive.Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Il est important de comprendre que les equations de propagations de d’Alembert (equation auxderivees partielles decouplees du second ordre), deja tres riche en sens physique, ne sont que desconditions necessaires et non pas des conditions necessaires et suffisantes.En derivant les equations, i.e. en passant d’equations couplees du premier ordre aux equationsdecouplees du second ordre de d’Alembert, une information a ete perdue, ici en l ?occurrence lecouplage entre p1 et v1.Il est donc essentiel, lorsque l’on souhaite decrire la structure de l’onde, de donner ce couplage,donc de revenir aux equations couplees du premier ordre.

Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive Harmonique.

L’OPPH+~u est une onde longitudinale.(La perturbation ~v1 est selon +~u, direction de propagation.)

Z+ =p1

v1= µ0c =

õ

χs

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Il est important de comprendre que les equations de propagations de d’Alembert (equation auxderivees partielles decouplees du second ordre), deja tres riche en sens physique, ne sont que desconditions necessaires et non pas des conditions necessaires et suffisantes.En derivant les equations, i.e. en passant d’equations couplees du premier ordre aux equationsdecouplees du second ordre de d’Alembert, une information a ete perdue, ici en l ?occurrence lecouplage entre p1 et v1.Il est donc essentiel, lorsque l’on souhaite decrire la structure de l’onde, de donner ce couplage,donc de revenir aux equations couplees du premier ordre.

Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive Harmonique.

L’OPPH+~u est une onde longitudinale.(La perturbation ~v1 est selon +~u, direction de propagation.)

Z+ =p1

v1= µ0c =

õ

χs

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive Harmonique.

L’OPPH+~u est une onde longitudinale.(La perturbation ~v1 est selon +~u, direction de propagation.)

Z+ =p1

v1= µ0c =

õ

χs

Ce resultat est independant de ω.Il est donc vrai pour toutes les OPPH+~u , quelque soit leur frequence.Par superposition (recomposition de Fourier), il est vrai pour une OPP+~u

Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive+~u.

L’OPP+~u est une onde longitudinale.(La perturbation ~v1 est selon +~u, direction de propagation.)

Z+ =p1

v1= µ0c =

õ

χs

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive Harmonique.

L’OPPH+~u est une onde longitudinale.(La perturbation ~v1 est selon +~u, direction de propagation.)

Z+ =p1

v1= µ0c =

õ

χs

Ce resultat est independant de ω.Il est donc vrai pour toutes les OPPH+~u , quelque soit leur frequence.Par superposition (recomposition de Fourier), il est vrai pour une OPP+~u

Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive+~u.

L’OPP+~u est une onde longitudinale.(La perturbation ~v1 est selon +~u, direction de propagation.)

Z+ =p1

v1= µ0c =

õ

χs

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive+~u.

L’OPP+~u est une onde longitudinale.(La perturbation ~v1 est selon +~u, direction de propagation.)

Z+ =p1

v1= µ0c =

õ

χs

Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive−~u.

L’OPP−~u est une onde longitudinale.(La perturbation ~v1 est selon −~u, direction de propagation.)

Z− =p1

v1= −µ0c = −

õ

χs

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive+~u.

L’OPP+~u est une onde longitudinale.(La perturbation ~v1 est selon +~u, direction de propagation.)

Z+ =p1

v1= µ0c =

õ

χs

Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive−~u.

L’OPP−~u est une onde longitudinale.(La perturbation ~v1 est selon −~u, direction de propagation.)

Z− =p1

v1= −µ0c = −

õ

χs

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’equation de propagation.Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive.Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

Etudions le champ de pression, solution de l’equation de d’Alembert unidimensionnel, deja connue.

∂2p1

∂x2−

1

c2

∂2p1

∂t2= 0 avec c2 =

1

µ0χs

La solution (generale) de cette equation peut aussi s’ecrire alors : p1(x , t) = f (x)g(t)En injectant dans l’equation de propagation,en separant les variables,et en exploitant les Conditions aux Limites,la forme de f et g est deduite.

Il est possible d’avoir une autre approche, moins generale certes mais en lien direct avec unesituation physique :

Considerons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant de x = −∞ sur un mur, situe en x=0.La condition au limite imposee par le mur est v1(x = 0, t) = 0 ∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, quiverifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde reflechie.

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx) + v1r cos(ωt + kx + ϕ)

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

Etudions le champ de pression, solution de l’equation de d’Alembert unidimensionnel, deja connue.

∂2p1

∂x2−

1

c2

∂2p1

∂t2= 0 avec c2 =

1

µ0χs

La solution (generale) de cette equation peut aussi s’ecrire alors : p1(x , t) = f (x)g(t)En injectant dans l’equation de propagation,en separant les variables,et en exploitant les Conditions aux Limites,la forme de f et g est deduite.

Il est possible d’avoir une autre approche, moins generale certes mais en lien direct avec unesituation physique :

Considerons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant de x = −∞ sur un mur, situe en x=0.La condition au limite imposee par le mur est v1(x = 0, t) = 0 ∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, quiverifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde reflechie.

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx) + v1r cos(ωt + kx + ϕ)

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

Etudions le champ de pression, solution de l’equation de d’Alembert unidimensionnel, deja connue.

∂2p1

∂x2−

1

c2

∂2p1

∂t2= 0 avec c2 =

1

µ0χs

La solution (generale) de cette equation peut aussi s’ecrire alors : p1(x , t) = f (x)g(t)En injectant dans l’equation de propagation,en separant les variables,et en exploitant les Conditions aux Limites,la forme de f et g est deduite.

Il est possible d’avoir une autre approche, moins generale certes mais en lien direct avec unesituation physique :

Considerons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant de x = −∞ sur un mur, situe en x=0.La condition au limite imposee par le mur est v1(x = 0, t) = 0 ∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, quiverifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde reflechie.

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx) + v1r cos(ωt + kx + ϕ)

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

Considerons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant de x = −∞ sur un mur, situe en x=0.La condition au limite imposee par le mur est v1(x = 0, t) = 0 ∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, quiverifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde reflechie.

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx) + v1r cos(ωt + kx + ϕ)

En exploitant la Condition au Limite, il vient :

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx)− v1r cos(ωt + kx)

v1(x , t) = 2.v1A sin(kx) sin(ωt)

v1 est une onde stationnaire qui admet un noeud en x = 0.

De la, il est possible de calculer p1 : Methode 1 : en exploitant la superposition des OPPH.

p1 = µ0cv1A cos(ωt − kx)− (−µ0c)v1A cos(ωt + kx)

Methode 2 : en revenant directement a une equation couples du premier ordre.Dans les deux cas, on obtient :

p1 = 2µ0cv1A cos(kx) cos(ωt)

p1 est aussi une onde stationnaire qui admet un ventre en x = 0.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et reciproquement pour une onde sonore. Leschamps de pression et de vitesse sont dephases de π

2pour une onde stationnaire.

Remarque :Les OPS ne sont pas adaptees a la notation complexe.Il faut donc, en l’absence de consigne specifique de l’enonce, conserver des champs reels.

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

Considerons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant de x = −∞ sur un mur, situe en x=0.La condition au limite imposee par le mur est v1(x = 0, t) = 0 ∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, quiverifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde reflechie.

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx) + v1r cos(ωt + kx + ϕ)

En exploitant la Condition au Limite, il vient :

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx)− v1r cos(ωt + kx)

v1(x , t) = 2.v1A sin(kx) sin(ωt)

v1 est une onde stationnaire qui admet un noeud en x = 0.

De la, il est possible de calculer p1 : Methode 1 : en exploitant la superposition des OPPH.

p1 = µ0cv1A cos(ωt − kx)− (−µ0c)v1A cos(ωt + kx)

Methode 2 : en revenant directement a une equation couples du premier ordre.Dans les deux cas, on obtient :

p1 = 2µ0cv1A cos(kx) cos(ωt)

p1 est aussi une onde stationnaire qui admet un ventre en x = 0.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et reciproquement pour une onde sonore. Leschamps de pression et de vitesse sont dephases de π

2pour une onde stationnaire.

Remarque :Les OPS ne sont pas adaptees a la notation complexe.Il faut donc, en l’absence de consigne specifique de l’enonce, conserver des champs reels.

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

Considerons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant de x = −∞ sur un mur, situe en x=0.La condition au limite imposee par le mur est v1(x = 0, t) = 0 ∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, quiverifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde reflechie.

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx) + v1r cos(ωt + kx + ϕ)

En exploitant la Condition au Limite, il vient :

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx)− v1r cos(ωt + kx)

v1(x , t) = 2.v1A sin(kx) sin(ωt)

v1 est une onde stationnaire qui admet un noeud en x = 0.

De la, il est possible de calculer p1 : Methode 1 : en exploitant la superposition des OPPH.

p1 = µ0cv1A cos(ωt − kx)− (−µ0c)v1A cos(ωt + kx)

Methode 2 : en revenant directement a une equation couples du premier ordre.Dans les deux cas, on obtient :

p1 = 2µ0cv1A cos(kx) cos(ωt)

p1 est aussi une onde stationnaire qui admet un ventre en x = 0.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et reciproquement pour une onde sonore. Leschamps de pression et de vitesse sont dephases de π

2pour une onde stationnaire.

Remarque :Les OPS ne sont pas adaptees a la notation complexe.Il faut donc, en l’absence de consigne specifique de l’enonce, conserver des champs reels.

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

Considerons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant de x = −∞ sur un mur, situe en x=0.La condition au limite imposee par le mur est v1(x = 0, t) = 0 ∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, quiverifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde reflechie.

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx) + v1r cos(ωt + kx + ϕ)

En exploitant la Condition au Limite, il vient :

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx)− v1r cos(ωt + kx)

v1(x , t) = 2.v1A sin(kx) sin(ωt)

v1 est une onde stationnaire qui admet un noeud en x = 0.

De la, il est possible de calculer p1 : Methode 1 : en exploitant la superposition des OPPH.

p1 = µ0cv1A cos(ωt − kx)− (−µ0c)v1A cos(ωt + kx)

Methode 2 : en revenant directement a une equation couples du premier ordre.Dans les deux cas, on obtient :

p1 = 2µ0cv1A cos(kx) cos(ωt)

p1 est aussi une onde stationnaire qui admet un ventre en x = 0.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et reciproquement pour une onde sonore. Leschamps de pression et de vitesse sont dephases de π

2pour une onde stationnaire.

Remarque :Les OPS ne sont pas adaptees a la notation complexe.Il faut donc, en l’absence de consigne specifique de l’enonce, conserver des champs reels.

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

Considerons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant de x = −∞ sur un mur, situe en x=0.La condition au limite imposee par le mur est v1(x = 0, t) = 0 ∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, quiverifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde reflechie.

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx) + v1r cos(ωt + kx + ϕ)

En exploitant la Condition au Limite, il vient :

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx)− v1r cos(ωt + kx)

v1(x , t) = 2.v1A sin(kx) sin(ωt)

v1 est une onde stationnaire qui admet un noeud en x = 0.

De la, il est possible de calculer p1 : Methode 1 : en exploitant la superposition des OPPH.

p1 = µ0cv1A cos(ωt − kx)− (−µ0c)v1A cos(ωt + kx)

Methode 2 : en revenant directement a une equation couples du premier ordre.Dans les deux cas, on obtient :

p1 = 2µ0cv1A cos(kx) cos(ωt)

p1 est aussi une onde stationnaire qui admet un ventre en x = 0.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et reciproquement pour une onde sonore. Leschamps de pression et de vitesse sont dephases de π

2pour une onde stationnaire.

Remarque :Les OPS ne sont pas adaptees a la notation complexe.Il faut donc, en l’absence de consigne specifique de l’enonce, conserver des champs reels.

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

Considerons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant de x = −∞ sur un mur, situe en x=0.La condition au limite imposee par le mur est v1(x = 0, t) = 0 ∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, quiverifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde reflechie.

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx) + v1r cos(ωt + kx + ϕ)

En exploitant la Condition au Limite, il vient :

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx)− v1r cos(ωt + kx)

v1(x , t) = 2.v1A sin(kx) sin(ωt)

v1 est une onde stationnaire qui admet un noeud en x = 0.

De la, il est possible de calculer p1 : Methode 1 : en exploitant la superposition des OPPH.

p1 = µ0cv1A cos(ωt − kx)− (−µ0c)v1A cos(ωt + kx)

Methode 2 : en revenant directement a une equation couples du premier ordre.Dans les deux cas, on obtient :

p1 = 2µ0cv1A cos(kx) cos(ωt)

p1 est aussi une onde stationnaire qui admet un ventre en x = 0.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et reciproquement pour une onde sonore. Leschamps de pression et de vitesse sont dephases de π

2pour une onde stationnaire.

Remarque :Les OPS ne sont pas adaptees a la notation complexe.Il faut donc, en l’absence de consigne specifique de l’enonce, conserver des champs reels.

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

Considerons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant de x = −∞ sur un mur, situe en x=0.La condition au limite imposee par le mur est v1(x = 0, t) = 0 ∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, quiverifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde reflechie.

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx) + v1r cos(ωt + kx + ϕ)

En exploitant la Condition au Limite, il vient :

v1(x , t) = v1i cos(ωt − kx)− v1r cos(ωt + kx)

v1(x , t) = 2.v1A sin(kx) sin(ωt)

v1 est une onde stationnaire qui admet un noeud en x = 0.

De la, il est possible de calculer p1 : Methode 1 : en exploitant la superposition des OPPH.

p1 = µ0cv1A cos(ωt − kx)− (−µ0c)v1A cos(ωt + kx)

Methode 2 : en revenant directement a une equation couples du premier ordre.Dans les deux cas, on obtient :

p1 = 2µ0cv1A cos(kx) cos(ωt)

p1 est aussi une onde stationnaire qui admet un ventre en x = 0.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et reciproquement pour une onde sonore. Leschamps de pression et de vitesse sont dephases de π

2pour une onde stationnaire.

Remarque :Les OPS ne sont pas adaptees a la notation complexe.Il faut donc, en l’absence de consigne specifique de l’enonce, conserver des champs reels.P. Ribiere (College Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Annee Scolaire 2017/2018 28 / 50

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Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et reciproquement pour une onde sonore. Leschamps de pression et de vitesse sont dephases de π

2spatialement et temporellement pour une

onde stationnaire.

Figure – Etude d’un tube de Kundt.

Attention a la definition du mode fondamental des tuyaux sonores λ04

= L, qui differe du mode

fondamental d’une corde vibrante λ02

= L.

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Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide. Puissance a travers une surface, flux du vecteur de Poynting

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.Puissance a travers une surface, flux du vecteur de PoyntingEquation energetique de l’onde sonore.Intensite acoustique : le decibel acoustique.Etude energetique des OPPH.Etude energetique des OPS.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide. Puissance a travers une surface, flux du vecteur de Poynting

La puissance echangee a travers une surface infinitesimale d~S par l’onde sonore est :

dP = d~F .~v = (p0 + p1)d~S .~v1 = p0d~S.~v1 + p1d~S .~v1

Le premier terme p0d~S.~v1 est de valeur moyenne nulle donc il est sans grand interet pour l’etudeenergetique. Le second terme est donc celui que nous retiendrons.

Vecteur de Poynting sonore ou vecteur densite de flux de puissance acoustique.

La puissance transportee par l’onde sonore a travers la surface S orientee est :

P =

∫ ∫Sp1~v1.d~S =

∫ ∫S

~Π1.d~S avec ~Π = p1~v1 vecteur densite de flux de puissance sonore

La puissance transportee par l’onde sonore a travers la surface S orientee est le flux du vecteurdensite de flux de puissance sonore.

Remarque :La puissance n’est pas une grandeur lineaire mais une grandeur quadratique. Il faut donc, enl’absence de consigne specifique de l’enonce, revenir a des champs (de pression et de vitesse) reelsavant de la calculer, i.e. renoncer a la notation complexe si pratique jusqu’alors pour l’OPPH.

Neanmoins, l’enonce peut vous amener a utiliser une astuce de calcul (sans principe physiquederriere) pour calculer plus vite la valeur moyenne du vecteur de Poynting sonore en utilisant lanotation complexe :

< ~Π >=1

2Re(p1~v

∗1 ) =

1

2Re(p∗1~v1)

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Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide. Puissance a travers une surface, flux du vecteur de Poynting

La puissance echangee a travers une surface infinitesimale d~S par l’onde sonore est :

dP = d~F .~v = (p0 + p1)d~S .~v1 = p0d~S.~v1 + p1d~S .~v1

Le premier terme p0d~S.~v1 est de valeur moyenne nulle donc il est sans grand interet pour l’etudeenergetique. Le second terme est donc celui que nous retiendrons.

Vecteur de Poynting sonore ou vecteur densite de flux de puissance acoustique.

La puissance transportee par l’onde sonore a travers la surface S orientee est :

P =

∫ ∫Sp1~v1.d~S =

∫ ∫S

~Π1.d~S avec ~Π = p1~v1 vecteur densite de flux de puissance sonore

La puissance transportee par l’onde sonore a travers la surface S orientee est le flux du vecteurdensite de flux de puissance sonore.

Remarque :La puissance n’est pas une grandeur lineaire mais une grandeur quadratique. Il faut donc, enl’absence de consigne specifique de l’enonce, revenir a des champs (de pression et de vitesse) reelsavant de la calculer, i.e. renoncer a la notation complexe si pratique jusqu’alors pour l’OPPH.

Neanmoins, l’enonce peut vous amener a utiliser une astuce de calcul (sans principe physiquederriere) pour calculer plus vite la valeur moyenne du vecteur de Poynting sonore en utilisant lanotation complexe :

< ~Π >=1

2Re(p1~v

∗1 ) =

1

2Re(p∗1~v1)

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Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide. Equation energetique de l’onde sonore.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.Puissance a travers une surface, flux du vecteur de PoyntingEquation energetique de l’onde sonore.Intensite acoustique : le decibel acoustique.Etude energetique des OPPH.Etude energetique des OPS.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide. Equation energetique de l’onde sonore.

Pour trouver l’equation locale de l’energie, il faut partir des equations couplees du premier ordre.

(µ0∂~v1

∂t= −

−→grad p1).~v1

(div~v1 = −χs∂p1

∂t).p1

Equation energetique de l’onde sonore.

Definition de l’energie volumique en presence d’une onde sonore :

e =1

2µ0v

21 +

1

2χsp

21

On reconnaıt un terme d’energie cinetique et un terme d’energie potentiel.

Et l’equation energetique locale est :

div(~Π) +∂e

∂t= 0

La forme integree (avec le theoreme d’Ostrogradski) :∮ ∮S

~Πd~S +d

dtEtot = 0

L’interpretation de ces deux expression est la suivante, l’energie Etot =∫∫∫

V edV d’un volume V

de fluide (delimite par une surface S) varie du fait de la propagation de l’onde,∮∮

S⊃V~Pid~S etant

la puissance sonore entrant a travers la surface S.Il s’agit donc d’une equation de conservation de l’energie. La structure de l’equation deconservation est claire.

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Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide. Intensite acoustique : le decibel acoustique.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.Puissance a travers une surface, flux du vecteur de PoyntingEquation energetique de l’onde sonore.Intensite acoustique : le decibel acoustique.Etude energetique des OPPH.Etude energetique des OPS.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide. Intensite acoustique : le decibel acoustique.

Intensite acoustique : le decibel acoustique.

Definition de l’intensite sonore, en decibel,

I = 10. log

(< Π >

< Π0 >

)avec < Π0 = 10−12W .m−2 >

Remarque :Pour I = 130 dB, seuil de douleur de l’oreille, la pression acoustique est de l’ordre dep1A ' 100Pa ( p1A = 92Pa) et la vitesse de v1A ' 0,1m.s−1 ( v1A = 0,21m.s−1).Dans les deux cas, p1 << p0 et v1 << c.L’approximation acoustique est donc validee par l’experience.

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Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide. Intensite acoustique : le decibel acoustique.

Intensite acoustique : le decibel acoustique.

Definition de l’intensite sonore, en decibel,

I = 10. log

(< Π >

< Π0 >

)avec < Π0 = 10−12W .m−2 >

Remarque :Pour I = 130 dB, seuil de douleur de l’oreille, la pression acoustique est de l’ordre dep1A ' 100Pa ( p1A = 92Pa) et la vitesse de v1A ' 0,1m.s−1 ( v1A = 0,21m.s−1).Dans les deux cas, p1 << p0 et v1 << c.L’approximation acoustique est donc validee par l’experience.

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Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide. Etude energetique des OPPH.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.Puissance a travers une surface, flux du vecteur de PoyntingEquation energetique de l’onde sonore.Intensite acoustique : le decibel acoustique.Etude energetique des OPPH.Etude energetique des OPS.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide. Etude energetique des OPPH.

Pour une OPPH se deplacant dans la direction ~u, il est possible de montrer les resultats suivants :

< ec >=1

2µ0 < v2

1 >=1

2χs < p2

1 >=< ep >

Il y a equipartition de l’energie entre l’energie cinetique et l’energie potentielle.

~Π = c.e.~u

De plus la valeur moyenne temporelle de l’energie et du vecteur densite de flux donne :

< e >=1

2µ0v

21M

< ~Π >=< e > .c.~u

(Rappel : < cos2 >=< sin2 >= 12

) Pour une OPPH, l’interpretation energetique est donc clairequand a la propagation de l’energie.Neanmoins, il faut etre conscient que l’OPPH n’est pas veritablement adapte a l’etudeenergetique puisque < e > ne depend pas du point de calcul donc l’integrale triple sur toutl’espace donne ∞, ce qui n’est pas physique mais qui n’est guere surprenant puisque l’onde planeest elle aussi infinie. (Ce probleme est general pour une OPPH).

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Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide. Etude energetique des OPS.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.Puissance a travers une surface, flux du vecteur de PoyntingEquation energetique de l’onde sonore.Intensite acoustique : le decibel acoustique.Etude energetique des OPPH.Etude energetique des OPS.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide. Etude energetique des OPS.

Considerons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant sur un mur, situe en x=0. Lacondition au limite imposee par le mur est v1(x = 0, t) = 0 ∀t.Il est alors bon de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, qui verifiela condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde reflechie.

v1(x , t) = v1 mA sin(kx) sin(ωt) =v1 m

2cos(ωt − kx)−

v1 m

2cos(ωt + kx)

v1 est une onde stationnaire qui admet un noeud en x = 0.De la, il est possible de calculer p1 :

p1 = µ0cv1 m

2cos(ωt − kx)− (−µ0c)

v1 m

2cos(ωt + kx)

p1 = µ0cv1 m cos(kx) cos(ωt)

p1 est aussi une onde stationnaire qui admet un ventre en x = 0. Les ventres de pression sont lesnoeuds de vitesse et reciproquement.Finalement, < ~Π >= ~0(Rappel : < cos() sin() >= 0)Conclusion, une onde stationnaire ne transporte en moyenne aucune energie.

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Reflexion et transmission d’une onde sonore.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

P. Ribiere (College Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Annee Scolaire 2017/2018 41 / 50

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Reflexion et transmission d’une onde sonore. Position du probleme.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.Position du probleme.Coefficient de reflexion transmission en amplitude.Coefficient de reflexion transmission en puissance.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Reflexion et transmission d’une onde sonore. Position du probleme.

Considerons l’interface plane infinie situee en x=0 entre deux milieux, d’impedance respective Z’et Z” et une onde sonore plane arrivant sous incidence normale. Cette onde va donner naissance aune reflechie et une onde transmise.La vitesse dans le milieu’ est donc

v ′1 = vi exp(j(ωt − k ′x)) + vr exp(j(ωt + k ′x))

, superposition de l’onde incidente et de l’onde reflechie (contrairement au cas precedent, l’ondeest partiellement reflechie, l’amplitude de l’onde reflechie est donc inferieure a l’amplitude del’onde incidente).La vitesse dans le milieu” est donc

v ′′1 = vt exp(j(ωt − k ′′x))

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Reflexion et transmission d’une onde sonore. Coefficient de reflexion transmission en amplitude.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.Position du probleme.Coefficient de reflexion transmission en amplitude.Coefficient de reflexion transmission en puissance.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Reflexion et transmission d’une onde sonore. Coefficient de reflexion transmission en amplitude.

Le champ de pression acoustique est le suivant :

p′1 = Z ′.vi exp(j(ωt − k ′x))− Z ′.vr exp(j(ωt + k ′x))

p′′1 = Z ′′.vt exp(j(ωt − k ′′x))

Les conditions aux limites a l’interface sont :

Continuite de la vitesse a l’interface v ′1(0, t) = v ′′1 (0, t)

Continuite de la pression a l’interface p′1(0, t) = p′′1 (0, t)

Les coefficients de reflexion et en transmission en amplitude sont :

r =vr

vi=

Z ′ − Z ′′

Z ′ + Z ′′

t =vt

vi=

2.Z ′

Z ′ + Z ′′

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Reflexion et transmission d’une onde sonore. Coefficient de reflexion transmission en puissance.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.Position du probleme.Coefficient de reflexion transmission en amplitude.Coefficient de reflexion transmission en puissance.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Reflexion et transmission d’une onde sonore. Coefficient de reflexion transmission en puissance.

Montrer alors que les coefficients de reflexion et en transmission en puissance sont :

R =< Pr >

< Pi >=

(Z ′ − Z ′′

Z ′ + Z ′′

)

T =< Pt >

< Pi >=

4.Z ′Z ′′

(Z ′ + Z ′′)2

Commenter le cas ou Z ′ ' Z ′′, nommer adaptation d’impedance.Nous retiendrons qu’a une interface, les ondes sonores sont correctement transmises que si lesimpedances de part et d’autres sont voisines.Par exemple, pour une vitre, l’impedance de l’air est tres inferieure a l’impedance du verre. Lecoefficient de transmission en puissance a travers une vitre (deux interfaces) est donc T 2 tresfaible (T 4 dans le cas d’un double vitrage).Au contraire pour une echographie, il faut que les ondes penetrent dans le corps, d’ou la presenced’un gel pour mieux adapte l’impedance.

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Etude d’une onde sonore spherique.

Plan

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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Etude d’une onde sonore spherique.

Une sphere pulsante (mini haut parleur) de centre O a un rayon a(t) = a0 + a1 cos(ωt) emet uneonde sonore spherique dans toutes les directions de l’espace : il s’agit donc d’une onde sonorespherique. Cette onde sonore est telle que a1 << a0 << λ.

1 A partir des symetries du probleme, justifier qu’en coordonnees spheriques, l’onde sonore vaetre decrit par des champ de la forme suivante :Pour la pression, p1(M, t) = p1(r , t)Pour la vitesse, ~v1(M, t) = v1(r , t)~ur

2 Rappeler sans demonstration l’equation de d’Alembert dont est solution la pression p1.Pour un champ scalaire f (r , t) ne dependant ni de θ, ni de ϕ en coordonnees spheriques, le

Laplacien est ∆f = 1r∂2r.f∂r2

3 Justifier alors que le champ de pression sonore peut s’ecrire p1(r , t) = Ar

cos(ωt − k.r − α)avec k = ω

c.

4 Determiner l’expression de la vitesse ~v1.Montrer qu’en champ proche, pour r << λ, ~v1(r , t) = A

µ0ωr2 sin(ωt − k.r − α)

Montrer que dans la zone de rayonnement, pour r >> λ, ~v1(r , t) = k.Aµ0ωr

cos(ωt − k.r − α)

5 Avec la condition au limite sur la sphere, en deduire A et α.

6 Calculer la puissance moyenne rayonnee a travers une sphere de centre O et de rayonr >> λ. Commenter alors la dependance en 1

rdes champs dans la zone de rayonnement. Un

son aigu est il mieux rendu ou moins bien rendu qu’un son grave par ce ”haut-parleur”.

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Etude d’une onde sonore spherique.

1 Mise en equation des ondes sonores dans un fluide.Position du probleme et approximation acoustiqueLinearisation des equations de la mecanique des fluides.Equation de propagation des ondes sonores.Celerite des ondes sonores dans les fluides.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’equation de propagation.Impedance acoustique d’une Onde Plane Progressive.Solution Ondes Stationnaires de l’equation de propagation.

3 Etude energetique de la propagation d’une onde dans un fluide.Puissance a travers une surface, flux du vecteur de PoyntingEquation energetique de l’onde sonore.Intensite acoustique : le decibel acoustique.Etude energetique des OPPH.Etude energetique des OPS.

4 Reflexion et transmission d’une onde sonore.Position du probleme.Coefficient de reflexion transmission en amplitude.Coefficient de reflexion transmission en puissance.

5 Etude d’une onde sonore spherique.

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