memoire ihcen lamri

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE 20 AOUT 1955 -SKIKDA

Facult des sciences et sciences de lingenieur

Dpartement de Genie Civil

Option

Gotechnique et Gomcanique

MEMOIRE

Prsent en vue de lobtention du diplme de MAGISTERE

ETUDE DU COMPORTEMENT DUN SOL

COHERENT SOUS CHARGEMENT MONOTONIQUE ET CYCLIQUE

Par

IHCENE LAMRI

DEVANT LE JURY

PRESIDENT :

ENCADREUR : M. BELACHIA

M. HAMAMI

Professeur

Professeur Universite de Skikda

Universite de Skikda EXAMINATEURS : M. HIDJEB M.Confrence Universite de Skikda S.MESSASAT M.Confrence Universite de Skikda

M.MEKSAOUINE M.Confrence Universite de Annaba

Anne 2008

Table des matires Table des matires ............................................................................................................ I Remerciemnts ................................................................................................................ IV Resum ............................................................................................................................V Abstract ......................................................................................................................... VI Resum(Arabe) .............................................................................................................VII Liste des figures .......................................................................................................... VIII Liste des tableaux .......................................................................................................... XI Notations ......................................................................................................................XII Introduction gnrale ................................................................................................. XIV Chapitre 1 Etude Bibliographique .................................................................................. 1

1 Introduction ........................................................................................................................ 1 2 Contraintes et dformations dans les sols .......................................................................... 2

2.1 tat de contraintes en un point dun milieu continu ..................................................................... 2 2.1.1 Tenseur des contraintes ....................................................................................................... 2 2.1.2 Reprsentation de Mohr. Cercle de Mohr ............................................................................ 4 2.1.3 Reprsentations de Lambe et de Cambridge......................................................................... 4 2.1.4 Contraintes totales et contraintes effectives ......................................................................... 5

2.2 tat de dformation en un point dun milieu continu ................................................................... 8 2.3 Relations entre contraintes et dformations ................................................................................. 8

3 Rsistance et rupture des sols ............................................................................................. 9 3.1 Modes de rupture ....................................................................................................................... 9 3.2 Dfinition de la rupture du sol .................................................................................................. 10

4 Comportement drain et non drain dun sol ................................................................. 11 4.1 Introduction ............................................................................................................................. 11 4.2 Comportement drain ............................................................................................................... 11 4.3 Comportement non drain ........................................................................................................ 12

5 Rsistance au cisaillement des sols cohrents .................................................................. 12 5.1 Comportements drain et non drain ........................................................................................ 12

5.1.1 Caractristiques draines ................................................................................................... 13 A. Principaux types dessais ................................................................................................. 13 B. Essai CD .......................................................................................................................... 13

5.1.2 Caractristiques non draines ............................................................................................ 14 A. Principaux types dessais triaxiaux ................................................................................... 14 B. Essai UU .......................................................................................................................... 14 C. Essai CU .......................................................................................................................... 15

6 Facteurs influants sur la rsistance au cisaillement ........................................................ 17 6.1 Essai monotonique ................................................................................................................... 17

6.1.1 Introduction ...................................................................................................................... 17 6.1.2 Effet de la vitesse de chargement ....................................................................................... 17 6.1.3 Effet de la surconsolidation ............................................................................................. 19 6.1.4 Dilatance........................................................................................................................... 20 6.1.5 Coefficient de Skempton ................................................................................................... 21

6.2 Essai cyclique .......................................................................................................................... 22 6.2.1 Introduction ...................................................................................................................... 22 6.2.2 Effet du rapport / cu ........................................................................................................ 22 6.2.3 Effet de la frquence ........................................................................................................ 23 6.2.4 Effet de la variation de la pression de confinement ............................................................ 24

Chapitre 2 Pratique des lments finis en gotechniques ......................................................... 25 1 La mthode des lments finis .......................................................................................... 25

1.1 Introduction ............................................................................................................................. 25 1.2 Concept de base ....................................................................................................................... 26 1.3 Dfinition de la mthode des lments finis .............................................................................. 26 1.4 Principe de discrtisation .......................................................................................................... 26 1.5 Intgration numrique .............................................................................................................. 27 1.6 Technique de rsolution ........................................................................................................... 28 1.7 Elments gomtriques ............................................................................................................ 28

2 Prsentation du code lments finis PLAXIS ................................................................... 29 2.1 Introduction ............................................................................................................................. 29 2.2 Prsentation du Plaxis .............................................................................................................. 29 2.3 Options par dfaut .................................................................................................................... 29

2.3.1 Entre des donnes ............................................................................................................ 29 2.3.2 Comportement du sol ........................................................................................................ 30 2.3.3 Fonctions des calculs......................................................................................................... 30 2.3.4 Analyse des rsultats ......................................................................................................... 30

2.3 Les modles de comportements intgrs dans Plaxis ................................................................ 30 2.3.1 Introduction ...................................................................................................................... 31 2.3.2 Lois de comportement lastoplastique ............................................................................... 31

A. Modle lastique linaire .................................................................................................. 31 B. Modle de Mohr-Coulomb ................................................................................................ 31 C. Modle de sol avec crouissage (Hardening Soil Model, HSM) ......................................... 33 D. Modle pour sols "mous" (Soft Soil Model, SSM) ............................................................. 36 E. Modle pour sols "mous" avec effet du temps (Soft Soil Creep Model, SSCM) .................. 39

3 Conclusion ......................................................................................................................... 41 Chapitre 3 Etude exprimentale ............................................................................................... 42

1 Etude exprimentale ......................................................................................................... 42 1.1 Introduction ............................................................................................................................. 42 1.2Essais lappareil triaxial .......................................................................................................... 42

1.2.1 Appareillage ..................................................................................................................... 42 1.2.2 Matriau utilis ................................................................................................................. 44 1.2.3 Prparation de largile dans ldometre .......................................................................... 45

1.3 synthse sur les essais raliss .................................................................................................. 45

Chapitre 4 Etude numrique des essais railis........................................................................ 47 1 Chargement monotonique ................................................................................................ 47

1.1 Introduction ............................................................................................................................. 47 1.2 Dfinition des donnes ............................................................................................................. 48

1.2.1 La gomtrie du modle .................................................................................................... 48 1.2.2 Condition aux limites et chargement .................................................................................. 49 1.2.3 Caractristiques mcanique de largile considre ............................................................. 49 1.2.4 Gnration du maillage ..................................................................................................... 51 1.2.5 Conditions initiales ........................................................................................................... 51

1.3 Procdure de calcul .................................................................................................................. 53 1.4 Prsentation et discussion des rsultats ..................................................................................... 54

2 Chargement cyclique ........................................................................................................ 61 2.1 Introduction ............................................................................................................................. 61 2.2 Dfinition des donnes ............................................................................................................. 61

2.2.1 La gomtrie du modle .................................................................................................... 62 2.2.2 Condition aux limites et chargement .................................................................................. 62 2.2.3 Caractristiques mcanique de largile considre ............................................................. 63 2.2.4 Gnration du maillage ..................................................................................................... 65 2.2.5 Conditions initiales ........................................................................................................... 65

2.3 Procdure de calcul .................................................................................................................. 66 2.4 Prsentation et discussion des rsultats ..................................................................................... 67

Chapitre 5 Conclusions et recommandations pour des travaux de recherches futurs ............. 71 1 Conclusions ....................................................................................................................... 71 2 Recommandations pour des travaux de recherches futurs ............................................. 73

Rfernces .........................................................................................................................

IV

Remerciements En premier je remercie Dieu pour tout. Je remercie tout particulirement le professeur Mounir Hamami, mon Directeur de mmoire, qui a dirig mon travail et dont les prcieuses orientations et conseils mont soutenu tout au long de mes travaux de recherche. Je remercie galement le prsident et les membres de jury d'avoir accept d'examiner mon travail.

V

Rsum Ce travail a pour objet l'tude numrique du comportement des sols cohrents sous un chargement monotonique et cyclique. Notre but est donc de valider un modle de comportement, en montrant quil permet de prdire avec une fiabilit acceptable le comportement des sols cohrents sous un chargement monotonique et cyclique. Ltude exprimentale, dont les rsultats ont t utiliss comme rfrence dans ce travail, est une tude au triaxial ralise sur une argile non consolide non draine avec mesure de pression interstitielle. Par souci de fiabilit de mesure des pressions interstitielles, les essais monotoniques et cycliques ont t raliss respectivement des vitesses de chargement lentes et une basse frquence. Une validation numrique des essais triaxiaux raliss par M. Hidjeb, en utilisant le modle parabolique dcrouissage (HSM) implment dans le code Plaxis. De cette tude, il est ressort une bonne concordance entre le modle et les essais exprimentaux. Mots-clefs Essai triaxial, chargement monotonique, chargement cyclique, argile, pression interstitielle, Plaxis, HSM.

VI

Abstract This work aims to study the behaviour of soil under monotonic and cyclic loading. Our goal is to validate a model showing that it can predict with reliability the behaviour of the soil under a monotonic and cyclic loading. The experimental study of which the results were used in this work is a study under triaxial loading. The tests were carried out on unconsolidated undrained clay under monotonic and cyclic loading with pore water pressure measurements. For the sake of reliability of the measurements of pore water pressures, monotonic and cyclic tests were respectively carried out at very slow speeds and at low frequency. A validation of experimental results work realised by M.Hidjeb was by using HSM model. For this purpose comercial Plaxis software was used. In this study, a good agreement between the experimental and theoretical studies has been observed. Keywords Triaxial test, monotonic loading, cyclic loading, clay, pore pressure, Plaxis, HSM.

IIV

.

.

. .

. )MSH( .

. . MSH

.

Liste des figures Figure 1-1 tat de contraintes en un point dun milieu continu. ................................................... 3 Figure 1-2 Reprsentation de Mohr : tats de contraintes possibles. ........................................... 4 Figure 1-3 Les chemins de contraintes dans les reprsentations de Lambe et de Cambridge. ................................................................................................................................. 6 Figure 1-4 Contraintes totales et contraintes effectives. ............................................................... 7 Figure 1-5 Courbe effort-dformation dans un essai de cisaillement. ........................................ 10 Figure 1-6 Essai consolid drain lappareil triaxial. ............................................................. 13 Figure 1-7 Etat de contraintes initial ......................................................................................... 14 Figure 1-8 Mise en compression isotrope .................................................................................. 14 Figure 1-9 Etat de contraintes la rupture. ............................................................................... 15 Figure 1-10 Essais non drains sur sol normalement consolid. ................................................ 16 Figure 1-11 Essais non drains sur sol surconsolid. ................................................................ 17 Figure 1-12 Dviateurs de contrainte maximum la rupture en fonction du temps sous condition non drain (Bjerrum et al 1958) ......................................................................... 18 Figure 1-13 Effet de la vitesse de chargement (Bjerrum et al 1958) ........................................... 19 Figure 1-14 Illustration de la contrainte verticale de prconsolidation en relation avec la contrainte verticale in-situ 0

0vyy ............................................................................ 20

Figure 1-15 Comparaison des resistances au cisaillement sous chargement cyclique 10% de dformation axiale sous diffrentes frequences ( Khaffaf 1978) .................................. 23 Figure 2-1 Elments gomtriques. ........................................................................................... 28 Figure 2-2 Types de maillage. ................................................................................................... 28 Figure 2-3 Dfinition du module 50% de la rupture. ............................................................... 32 Figure 2-4 Surface de rupture du modle de Mohr-Coulomb pour un sol sans cohsion. ................................................................................................................................... 33 Figure 2-5 Reprsentation du Hardening Soil Model. ................................................................ 34 Figure 2-6 Forme des surfaces de charge du HSM. ................................................................... 34 Figure 2-7 Surface de rupture du modle HSM pour un sol sans cohesion. ................................ 35 Figure 2-8 Dfinition du module oedomtrique tangent. ............................................................ 36 Figure 2-9 Dfinition de langle de dilatance. ........................................................................... 36 Figure 2-10 Reprsentations de l'essai oedomtrique ................................................................ 37 Figure 2-11 Surfaces de charge elliptiques. ............................................................................... 38 Figure 2-12 L'effet du temps sur les essais oedomtriques ......................................................... 39 Figure 2-13 Diagramme des cercles peq dans le plan p - q ......................................................... 40 Figure 3-1 Appareil de compression triaxial. ............................................................................ 43 Figure 3-2 Courbe contrainte- dformation. .............................................................................. 44 Figure 3-3 Dtermination de la droite intrinsque dun sol. ...................................................... 44 Figure 3-4 La courbe granulometrique de largile de Cowden. ................................................. 45 Figure 4-1 (a), (b) Fentre des donnes gnrales de lessai triaxial (1,2) sous chargement monotonique .......................................................................................................... 48 Figure 4-2 Modle gomtrique de l'essai triaxial sous chargement monotonique. .................... 48 Figure 4-3 (a), (b) Fentre des paramtres du modle HSM de lessai 1 sous chargement monotonique........................................................................................................... 50 Figure 4-4 (a), (b) Fentre des paramtres du modle HSM de lessai 2 sous chargement monotonique........................................................................................................... 51 Figure 4-5 Maillage de la gomtrie. ....................................................................................... 51 Figure 4-6 Conditions hydrauliques initiales. ............................................................................ 52 Figure 4-7 Gnration des pressions interstitielles initiales. ...................................................... 52

Figure 4-8 Gnration des contraintes effectives. ...................................................................... 53 Figure 4-9 Les diffrentes tapes de calcul de lessai triaxial sous chargement monotonique. ............................................................................................................................. 53 Figure 4-10 (a), (b) Dformation du maillage (essai 1,2) sous chargement monotonique. ............................................................................................................................. 54 Figure 4-11 (a), (b) Dformation verticale (essai 1,2) sous chargement monotonique.. ............. 55 Figure 4-12 (a), (b) Contraintes effectives (essai 1,2) sous chargement monotonique.. .............. 55 Figure 4-13 (a), (b) Surpression interstitielle (essai 1,2) sous chargement monotonique.. ............................................................................................................................ 56 Figure 4-14 Courbes de variation du dviateur de contrainte en fonction de la dformation axiale sous chargement monotonique obtenues exprimentalement et par simulation numrique (essai 1). ................................................................................................. 57 Figure 4-15 Courbes de variation du dviateur de contrainte en fonction de la dformation axiale sous chargement monotonique obtenues exprimentalement et par simulation numrique (essai 2). ................................................................................................. 58 Figure 4-16 Courbes de variation de la pression interstitielle en fonction de la dformation axiale sous chargement monotonique obtenu exprimentalement et par simulation numrique (essai 1). ................................................................................................. 59 Figure 4-17 Courbes de variation de la pression interstitielle en fonction de la dformation axiale sous chargement monotonique obtenu exprimentalement et par simulation numrique (essai 2). ................................................................................................. 59 Figure 4-18 Chemin de contrainte dans les axes de Lambe (s,t) sous chargement cyclique obtenu exprimentalement et par simulation numrique (essai 1) .................................. 60Figure 4-19 Chemin de contrainte dans les axes de Lambe (s,t) sous chargement cyclique obtenu exprimentalement et par simulation numrique (essai 2) ................................... 60Figure 4-20 Chemin de contraintes effectives sous chargement non drain de largile Lower Cromer Till selon D.W Hight (1982) [34]. ................................................................... 61 Figure 4-21 (a), (b) Fentre des donnes gnrales de lessai triaxiale sous chargement cyclique. ................................................................................................................. 62 Figure 4-22 Modle gomtrique de l'essai triaxial sous chargement cyclique........................... 62 Figure 4-23(a), (b) Fentre des paramtres HSM de lessai cyclique avant changement des caractristiques de sol. .................................................................................... 64 Figure 4-24 (a), (b) Fentre des paramtres HSM de lessai sous chargement cyclique aprs changement des caractristiques de sol. ........................................................................... 65 Figure 4-25 Maillage de la gomtrie ....................................................................................... 65 Figure 4-26 Gnration des pressions interstitielles initiales. .................................................... 66 Figure 4-27 Gnration des contraintes effectives. .................................................................... 66 Figure 4-28 Les diffrentes tapes de calcul de lessai triaxial sous chargement cyclique. .................................................................................................................................... 67 Figure 4-29 Courbes de variation du dviateur de contrainte en fonction du temps sous chargement cyclique obtenues exprimentalement et par simulation numrique. ............. 68 Figure 4-30 Courbes de dformation axiale en fonction du temps sous chargement cyclique obtenues exprimentalement et par simulation numrique.......................................... 68 Figure 4-31 Courbes de variation de la pression interstitielle en fonction du temps sous chargement cyclique obtenues exprimentalement et par simulation numrique. .............. 69 Figure 4-32 Chemin de contrainte dans les axes de Lambe (s,t) sous chargement cyclique obtenu exprimentalement et par simulation numrique. ..................................... 70

Liste des tableaux

Tableau 3-1 Les essais de compression raliss sous chargement monotonique ......................... 46 Tableau 3-2 Lessai ralis sous chargement cyclique .............................................................. 46 Tableau 4-1 Les paramtres demands par Plaxis pour le modle HSM de l'essai 1 sous chargement monotonique. .................................................................................................. 49 Tableau 4-2 Les paramtres demands par Plaxis pour le modle HSM de l'essai 2 sous chargement monotonique. .................................................................................................. 50 Tableau 4-3 Comparaison du dviateur dvelopp la rupture ................................................. 57 Tableau 4-4 Coparaison de umax et uinter ............................................................................... 57 Tableau 4-5 Les paramtres demands par Plaxis pour le modle HSM pour l'essai sous chargement cyclique avant changement des caractristiques de sol. .................................. 63 Tableau 4-6 Les paramtres demands par Plaxis pour le modle HSM pour l'essai sous chargement cyclique aprs changement des caractristiques de sol. .................................. 64

XII

Notations Lettres latines A : Coefficient de Skempton pour la variation de la pression interstitielle due la variation du dviateur de contrainte B : Coefficient de Skempton c : Cohsion effective cu : Cohsion non drain cv : Coefficient de consolidation E : Module de Young E50ref : Module scant Eurref : Module de dchargement Eoedref : Module dometrique K0nc : Coefficient des terres au repos pour un sol normalement consolid K0 : Coefficient de pression des terres au repos m : Puissance M : Pente de la courbe dtat critique dans le plan (p,q) p : Contrainte moyenne pref : Contrainte de rfrence q : Dviateur des contraintes Rf : Coefficient la rupture s : Contrainte moyenne de Lambe t : Contrainte dviatorique de Lambe u : Pression interstitielle u : Surpression interstitielle : Variation de la contrainte normale uinter :Surpression interstitielle dtermine lintersection des courbes exprimentales et thoriques Lettres grecques : Contrainte tangentielle /cu : Contrainte tangentielle applique dans le chargement cyclique rapporte la

rsistance au cisaillement determine sous chargement monotonique ' : Contrainte moyenne 1 : Dformation axiale 3 : Contrainte principale mineur 1 : Contrainte principale majeur 'xx : Contrainte normale effective selon laxe xx 'yy : Contrainte normale effective selon laxe yy ' : Angle de frottement interne effective cu : Taux d'augmentation de cu p : Pression de prconsolidation du sol : Angle de dilatance : Coefficient de Poisson ur : Coefficient de Poisson en charge-dcharge * : Indice de compression

XIII

* : Indice de gonflement * : Indice de fluage Abrviations HSM : Modle de sol avec crouissage (Hardening Soil model). MC : Modle de Mohr Coulomb. MEF : Mthode des lments finis. OCR : Degr de surconsolidation. SSM : Soft Soil Model. SSCM : Soft Soil Creep Model. UU : Non consolid non drain. CD : Consolid drain. CU : Consolid non drain.

XIV

Introduction gnrale

La Gotechniques est l'ensemble des activits lies aux applications de la mecanique des sols, de la Mcanique des Roches et de la Gologie de l'ingnieur. La Mcanique des Sols tudie plus particulirement le comportement des sols sous leurs aspects rsistance et dformabilit.

Le comportement mcanique dun sol est en grande partie contrl par sa rsistance au cisaillement. Ltude du comportement mcanique dun sol, ou encore son comportement en contrainte-dformation permet en autres, de dterminer sa charge portante sous des sollicitations induites par une structure ou un ouvrage. L'analyse de la rsistance au cisaillement d'un sol est ncessaire pour calculer la stabilit externe des ouvrages ; par exemple, les murs de soutnement, les pentes et/ou talus naturels ou artificiels, etc.

Dans ce mmoire, nous allons simuler des essais triaxiaux non consolids non drains en choisissant un modle de comportement pour mieux simuler le comportement des sols cohrents sous chargements triaxiaux monotoniques et cycliques.

Dans le premier chapitre, une tude thorique de la rsistance au cisaillement contenant des notions de contraintes et de dformations faisant partie des connaissances acquises dans toutes les tudes techniques est prsente. Un aperu sur la rsistance au cisaillement des sols cohrents sous chargement monotonique et cyclique est galement prsent dans ce chapitre. Lutilisation de lappareil triaxial permet de raliser des essais sur une argile non consolide non draine garantissant la matrise totale des conditions de drainage sans imposer un plan de rupture.

Le deuxime chapitre, sera consacr la prsentation de la mthode des lments finis ainsi que du logiciel Plaxis et les modles de comportement, employs dans les simulations numriques. Tout dabord, une tude thorique de la mthode des lments finis sera prsente; elle sera suivi dun bref aperu sur quelques modles avancs utiliss dans le code Plaxis tel que le M-C (Mohr-Coulomb), HSM (Hardening Soil Model), le SSM (Soft Soil Model) et SSCM (Soft Soil Creep Model).

Le troisime chapitre contiendra les donnes exprimentales ralises par M. Hidjeb.

La validation du modle choisi et la prsentation des rsultats en confrontant ses prdictions aux rsultats exprimentaux, seront exposes dans le quatrime chapitre.

Le dernier chapitre, sera consacr la prsentation des conclusions des travaux raliss dans cette tude.

Chapitre 1 Etude bibliographique

1

Chapitre 1 : Etude bibliographique 1 Introduction Dans une masse de sol, les dformations rsultent principalement d'un glissement ou roulement entre les particules constituant le sol. Gnralement les dformations dues au cisaillement se localisent le long d'un plan appel plan de glissement, qui la limite constitue un plan de rupture. La rsistance au cisaillement peut tre dfinie comme la contrainte de cisaillement sur le plan de rupture, au moment de la rupture. L'valuation de la contrainte de cisaillement est ncessaire dans la plus part des problmes de stabilit des sols (capacit portante des fondations, stabilit des talus, murs de soutnement ...).


2

2 Contraintes et dformations dans les sols Les notions de contraintes et de dformations font partie des connaissances acquises

dans toutes les tudes techniques et le prsent article est limit au rappel des dfinitions et des principaux rsultats utiliss pour ltude de la rsistance au cisaillement des sols [1i].

2.1 tat de contraintes en un point dun milieu continu 2.1.1 Tenseur des contraintes

Ltat de contraintes en un point M dun milieu continu est compltement dfini par le tenseur six composantes :

zyzxz

yzyxy

xzxyx

(1.1)

dont on utilise souvent la reprsentation dans le repre des directions principales :

(1.2)

Les trois contraintes principales majeure 1, intermdiaire 2 et mineure 3 ne

dterminent pas de faon complte ltat de contraintes au point M, qui dpend aussi de lorientation des axes principaux (par exemple, des trois cosinus directeurs de la contrainte principale majeure).

Le tenseur des contraintes est souvent dcompos en la somme dun tenseur sphrique S et dun tenseur dviatorique D : DS (1.3)

100010001

m

mzyzxz

yzmyxy

xzxymx

(1.4)

Le terme m est la moyenne arithmtique des termes de la diagonale du tenseur des contraintes (premier invariant), appele contrainte moyenne (ou contrainte moyenne octadrique oct ) :

3

2

1

000000


3

33

321

zyxm (1.5)

Le tenseur dviatorique a une trace nulle et est souvent reprsent par le dviateur

des contraintes, not q et gal au second invariant du tenseur dviatorique. En termes de contraintes principales, ce dviateur des contraintes est gal :

6

213

232

221 q (1.6)

Le vecteur de contrainte f

sexerant sur un plan passant par le point M, plan repr par les cosinus directeurs de sa normale n (figure 1.1a), est gal : nf

(1.7)

Le vecteur de contrainte f

peut tre reprsent par ses projections sur la normale n

(contrainte normale ) et sur le plan (contrainte tangentielle ).

Figure 1.1 - tat de contraintes en un point dun milieu continu.


4

2.1.2 Reprsentation de Mohr. Cercle de Mohr La reprsentation des variations de et quand le plan tourne autour du point M

est quivalente la donne du tenseur des contraintes six composantes . Le point F de coordonnes (, ) est tel que fOF

et langle (O, OF) est gal langle du vecteur

contrainte f

avec la normale au plan (figure 1.1 b). Cette reprsentation, dite de Mohr, est trs utilise pour ltude de la rsistance au cisaillement des sols cause des proprits du cercle de Mohr.

Lorsque le plan balaie lensemble des orientations possibles autour du point M, le point F de coordonnes (, ) se dplace dans la zone hachure du diagramme de la figure 1.2. Ce domaine est limit par trois cercles centrs sur laxe des contraintes normales O et dont les points extrmes correspondent aux contraintes principales 1, 2 et 3. Chacun de ces cercles est le lieu des tats de contraintes (, ) lorsque le plan tourne autour de la direction de lautre contrainte principale (par exemple, le cercle de diamtre 1 3 correspond aux tats de contraintes sur les plans tournant autour de la direction de la contrainte principale 2). Le plus grand de ces cercles est appel cercle de Mohr.

Ce cercle est trs utilis en mcanique des sols pour linterprtation des essais de cisaillement en laboratoire et pour lanalyse des problmes dans lesquels lune des directions principales reste constante (calculs bidimensionnels, par exemple) [1i].

Figure 1.2 - Reprsentation de Mohr : tats de contraintes possibles. 2.1.3 Reprsentations de Lambe et de Cambridge.

Dans la plupart des problmes de mcanique des sols, ltat de contraintes varie au cours du temps et il est important de pouvoir reprsenter simplement ces variations. La reprsentation de Mohr, dans laquelle chaque tat de contraintes correspond un cercle, nest pas utilisable en pratique et dautres reprsentations ont d tre recherches.

Deux dentre elles sont frquemment utilises, celle de Lambe et celle de Roscoe et de ses collaborateurs luniversit de Cambridge [1i].


5

La reprsentation de Lambe est quivalente celle de Mohr, en ce sens quelle remplace un cercle de Mohr par son sommet, de coordonnes :

2/31 s (1.8)

2/31 t (1.9) La reprsentation de Cambridge utilise la contrainte moyenne m, note p, et le

dviateur des contraintes q. Elle permet donc de prendre en compte linfluence de la contrainte principale intermdiaire 2. Nanmoins, pour certaines applications, les expressions se simplifient ; ainsi, pour lanalyse des essais triaxiaux, on a toujours 2 = 3 do :

(1.10)

(1.11)

On appelle chemin de contraintes lensemble des points reprsentant les tats de

contraintes successifs dun point du milieu continu considr. La figure 1.3 montre quelques chemins de contraintes dans les deux reprsentations de Lambe (figure 1.3 a) et de Cambridge (figure 1.3 b). 2.1.4 Contraintes totales et contraintes effectives Suivant les circonstances, diffrents systmes de contraintes sont utiliss pour ltude des problmes de mcanique des sols. Dans les sols saturs, on distingue classiquement :

les contraintes totales ; les pressions interstitielles 1u ; les contraintes effectives 1 u

32 31 p

31 q


6

Figure 1.3 les chemins de contraintes dans les reprsentations de Lambe et de Cambridge.

Les dfinitions donnes dans les paragraphes prcdents peuvent tre appliques

aux contraintes totales comme aux contraintes effectives. Dans la reprsentation de Mohr, les cercles de Mohr en contraintes effectives se

dduisent des cercles de Mohr en contraintes totales par une translation damplitude gale la pression interstitielle u, paralllement laxe des contraintes normales (figure 1.4 a).On a en effet :

u (1.12)

(1.13)

Dans les reprsentations de Lambe et de Cambridge, les points et les chemins de contraintes effectives se dduisent galement des tats et chemins de contraintes totales par une translation de u paralllement laxe des s (ou des p). Des exemples de chemins de contraintes totales et effectives sont reprsents sur les figures 1.4 b et c. Ces exemples illustrent lexistence des relations : uss (1.14) tt (1.15) upp (1.16) qq (1.17) entre les contraintes totales et effectives.

Dans les sols secs, la pression interstitielle nexiste pas et lon utilise un seul systme de contraintes. On peut formellement dfinir des contraintes effectives identiques aux contraintes totales et une pression interstitielle identiquement nulle.

Dans les sols fins non saturs, lexistence de forces capillaires variables avec le degr de saturation rend inoprante la notion de contrainte effective. En labsence de


7

modle mieux adapt, on analyse la rsistance au cisaillement en termes de contraintes totales.

Figure 1.4 - Contraintes totales et contraintes effectives.


8

2.2 tat de dformation en un point dun milieu continu Dans les conditions habituelles de la mcanique des sols, o les dformations restent

petites (au plus de 10 20 %), ltat de dformation en un point peut tre caractris par le tenseur des dformations :

(1.18)

Les six composantes du tenseur des dformations sexpriment en fonction des

composantes (u, v, w) du vecteur de dplacement par les relations : xux yuxvxy

yy v zvyvyz (1.19)

zz w xwzuxz

Il existe galement trois directions principales orthogonales, par rapport auxquelles le tenseur des dformations scrit sous la forme :

(1.20)

Les dformations 1, 2 et 3 sont appeles dformations principales. La dformation volumique vol est gale la trace du tenseur des dformations :

(1.21)

2.3 Relations entre contraintes et dformations

La description du comportement dun milieu continu sollicit par des forces de volume ou de surface suppose la connaissance :

de la loi de comportement, qui relie tout instant t et en tout point du milieu le tenseur des contraintes et celui des dformations ;

des conditions initiales et aux limites sur les contraintes et les dformations. Dans le cas des sols, la loi de comportement est particulirement complexe. Dans

les calculs courants, par souci de simplification, on ne cherche pas dterminer les dformations des sols jusqu la rupture, mais on spare le problme des dformations de celui de la stabilit. Pour les tudes de stabilit, on recourt au concept de critre de

zyzxz

yzyxy

xzxyx

222222

3

2

1

000000

321 zyxvol


9

plasticit ou, plus exactement, de rupture, en admettant que les dformations du sol avant la rupture ont un effet ngligeable sur les conditions de rupture.

La plupart des mthodes de calcul de stabilit classiques en mcanique des sols reposent sur la thorie de la plasticit. Dans cette thorie, on admet que les dformations restent petites et rversibles tant que lon reste, dans lespace des contraintes (espace six dimensions), lintrieur dun certain domaine. La frontire de ce domaine est appele frontire (ou surface) dcoulement. Ds que ltat de contraintes en un point du milieu atteint cette frontire, des dformations plastiques irrversibles apparaissent. Lquation de la frontire dcoulement dans lespace des contraintes est appele critre dcoulement ou critre de plasticit. Sa forme gnrale est :

0...,,, tG ijijij (1.22) car elle peut dpendre des dformations ij , des vitesses de dformation ij , du temps t, etc.

Les formes les plus simples utilises en pratique supposent que, seules interviennent les contraintes principales, et parfois mme seulement certaines dentre elles.

Des formes plus complexes de la loi de comportement des sols ont t mises au point et sont utilises pour les tudes numriques, le plus souvent par la mthode des lments finis.

3 Rsistance et rupture des sols 3.1 Modes de rupture Faute de pouvoir dcrire de faon prcise le comportement dun massif de sol depuis son tat initial jusqu la rupture, la mcanique des sols sest inspire des modes de rupture observs dans la nature pour dvelopper des lois de comportement simplifies. La nature montre lexistence de deux principaux modes de rupture :

les ruptures par glissement sur une surface ; les ruptures par plastification et coulement dune masse de sol.

La reprsentation de la rsistance au cisaillement des sols par une relation entre la contrainte tangentielle et la contrainte normale correspond au premier mode de rupture, qui est celui qui a t mis en vidence et analys le plus tt. Les essais de cisaillement direct la bote en sont la traduction exprimentale. Les ruptures par plastification de la masse du sol sont plus difficiles analyser et leur comprhension ncessite lemploi de la thorie de la plasticit. Dans lanalyse de la plastification des massifs de sols, on raisonne sur les tats de contraintes en chaque point, en utilisant les cercles de Mohr pour les calculs analytiques. Les essais triaxiaux, dont le dveloppement date des annes 30, sinterprtent de la mme faon, en utilisant les cercles de Mohr. part le cas des surfaces de rupture prexistantes, que lon rencontre pour lessentiel dans les pentes naturelles, toutes les ruptures commencent par la plastification du sol en un ou plusieurs points et voluent, suivant les circonstances, vers une rupture par plastification dun certain volume de sol ou vers la formation dune surface de rupture. Les


10

recherches en cours sur la thorie de la bifurcation (cration de surfaces de rupture) visent modliser ce dernier type de phnomne. Nanmoins, dans ltat actuel des connaissances et de la pratique, les ruptures par plastification et les glissements sur des surfaces de rupture sanalysent sparment, mme si lon peut utiliser dans les deux cas les mmes critres de rupture. 3.2 Dfinition de la rupture du sol

La dfinition de la rupture dans un sol ne pose pas seulement un problme de choix de la cinmatique de la rupture. Il faut galement dfinir quel moment se produit la rupture dans les essais qui servent mesurer la rsistance la rupture du sol, que lon appelle habituellement rsistance au cisaillement.

En pratique, la rupture dune prouvette de sol sapprcie daprs les dformations du sol : on trace en cours dessai la courbe reprsentant la variation de la dformation du sol (dformation axiale de lprouvette triaxiale en fonction de la sollicitation qui la produite (dviateur dans lessai de compression lappareil triaxial. Ces courbes ont, suivant la nature et ltat du sol, lune des deux allures reprsentes sur la figure 1.5 :

la courbe I prsente un maximum. On admet que ce maximum max correspond ltat de rupture, la dformation continuant de crotre au-del de 1 alors que la sollicitation applique diminue ou, au mieux, reste constante ;

la courbe II a une allure asymptotique : on dfinit arbitrairement la rupture une valeur maximale de la dformation (lim correspondant II), au-del de laquelle le comportement de louvrage est incompatible avec sa destination.

Figure 1.5 -Courbe effort-dformation dans un essai de cisaillement.


11

La forme de la courbe de dformation en fonction de la sollicitation applique nest pas spcifique dun mode de rupture : la diminution de la contrainte ou du couple appliqu au-del dun pic sobserve tant pour les ruptures sur surfaces de glissement que pour les ruptures par plastification de la masse du sol. Elle est, par contre, rvlatrice de ltat du sol : les sables denses prsentent un pic de rsistance, comme les argiles structure intacte, tandis que les sables lches et les argiles remanies ont habituellement un comportement de type asymptotique.

4 Comportement drain et non drain dun sol 4.1 Introduction

La rsistance au cisaillement dun sol dpend de nombreux facteurs, tels que la nature et ltat du sol, mais aussi lintensit des efforts exercs et la manire dont ces efforts sont appliqus.

Dans les sols saturs, cette rsistance est lie uniquement au squelette solide du sol, puisque leau interstitielle noffre aucune rsistance aux efforts de cisaillement ou de distorsion. Elle ne dpend, de ce fait, que des contraintes effectives qui sexercent aux points de contact des particules solides. Elle est donc directement influence par les conditions dapplication de ces efforts, conditions qui commandent la rpartition des contraintes totales appliques entre les phases liquide (pression interstitielle) et solide (contrainte effective) du sol, selon les relations connues :

u

Avec composante normale de la contrainte totale f

,

composante tangentielle de la contrainte totale, composante normale de la contrainte effective f

,

composante tangentielle de la contrainte effective, u pression interstitielle.

On distingue, de ce point de vue, deux grands types de comportement du sol : le comportement drain ; le comportement non drain.

4.2 Comportement drain

On parle de comportement drain dun sol lorsque lapplication de leffort vrifie lune des conditions suivantes :

elle est suffisamment lente, compte tenu de la permabilit du sol (en fait, de la valeur du coefficient de consolidation (cv) du sol et de la longueur du chemin de drainage, pour ninduire aucun moment de surpression interstitielle importante dans lprouvette ou dans le massif de sol

elle a dur assez longtemps pour que les surpressions interstitielles ventuelles se soient dissipes au moment o lon veut mesurer ou calculer le comportement du sol.


12

Les surpressions interstitielles dont il est question ici sont celles qua provoques lapplication de la charge, en sus des pressions interstitielles existant en permanence dans le sol (distribution hydrostatique, coulement permanent).

En labsence deau, le sol a toujours un comportement de type drain. Les surpressions interstitielles tant nulles (ou ngligeables), les efforts appliqus sont transmis intgralement au squelette du sol et les contraintes induites sont des contraintes effectives. Lapplication de leffort saccompagne dune variation de volume, plus ou moins importante selon les contraintes appliques. Cette diminution de volume traduit un rapprochement des grains et un volume gal deau interstitielle est expuls du sol au fur et mesure du chargement.

Les caractristiques de rsistance au cisaillement du sol dans un comportement drain sont appeles caractristiques draines. Elles sont reprsentatives du comportement du squelette solide.

4.3 Comportement non drain

loppos, dans le comportement non drain, le chargement est assez rapide, compte tenu de la permabilit du sol (ou de son coefficient de consolidation) et de la longueur du chemin de drainage, pour provoquer lapparition de surpressions interstitielles qui ne peuvent se dissiper pendant la priode considre. Dans les essais de laboratoire, on reproduit cette situation en interdisant lcoulement de leau interstitielle hors de lprouvette, ce qui impose la constance du volume du sol, quand il est satur.

En labsence de drainage et de variation de volume, les composantes normales des contraintes induites dans le milieu par lapplication de leffort sont transmises presque intgralement la phase liquide, sans modification notable des contraintes normales effectives dans le squelette.

Les caractristiques de cisaillement du sol dans un comportement non drain sont dites caractristiques non draines. Elles traduisent le comportement global des deux phases solide et liquide et nont de signification que tant que la proportion de ces deux phases nest pas modifie, cest--dire tant quil ny a pas de drainage. 5 Rsistance au cisaillement des sols cohrents 5.1 Comportements drain et non drain

Alors que lon ne sintresse gnralement quaux caractristiques draines des sols pulvrulents, on doit, dans le cas des sols cohrents, examiner lensemble des caractristiques draines et non draines. Ces caractristiques sont dtermines dans des essais de cisaillement effectus soit en laboratoire, soit en place.

Les caractristiques draines sont dtermines normalement au moyen dessais triaxiaux consolids drains. On utilise aussi les essais lents (drains) la bote de cisaillement (essais de cisaillement direct ou essais de cisaillement direct altern).

Les caractristiques non draines sont dtermines en laboratoire, au moyen dessais triaxiaux non consolids non drains et des essais consolids non drains.


13

5.1.1 Caractristiques draines A. Principaux types dessais

Les caractristiques draines des sols fins cohrents sont dtermines par lessai suivant :

les essais de rfrence sont les essais triaxiaux, raliss en compression et de types consolid-drain (CD)

B. Essai CD La ralisation de lessai comporte les oprations suivantes (figure 1.6) :

on ouvre le circuit de drainage ; on laisse lprouvette se consolider sous la contrainte hydrostatique 3 applique; on applique le dviateur (13) vitesse faible, en gnral par dformation de

lprouvette vitesse de dformation axiale constante, la contrainte latrale 3 restant constante.

Figure 1.6 - Essai consolid drain lappareil triaxial.


14

5.1.2 Caractristiques non draines A. Principaux types dessais triaxiaux

Les caractristiques non draines sont lies ltat du sol au dbut du cisaillement. On les dtermine dans les types dessais suivants :

les essais triaxiaux non consolids non drains ; les essais triaxiaux consolids non drains, sans mesure de pression interstitielle,

donnent la possibilit dimposer ltat initial du cisaillement et donc de dterminer compltement le comportement non drain du sol ;

B. Essai UU

Lessai non consolid non drain (UU) seffectue laide de lappareil triaxial ou la bote de cisaillement si le sol est trs impermable. Lchantillon de sol intact cest--dire non remani, est soumis, orifice de drainage ferm, ltat de contrainte isotrope 0. Puis, toujours avec les orifices de drainage ferms, on augmente jusqu' la rupture la contrainte 1 tout en laissant la contrainte latrale 3 constante. La rsistance au cisaillement du sol ainsi dtermine est indpendante de la valeur de la contrainte isotrope initiale.

Figure 1.7 - Etat de contraintes initial

Lors de la mise en compression isotrope de lchantillon, on augmente les contraintes 1 et 3 dune mme valeur 0. Les orifices de drainage tant ferms, cet accroissement de contrainte isotrope 0 provoque une augmentation de la pression interstitielle. Par suite, les contraintes effectives restent inchanges et les dformations demeurent les mmes puisque celles-ci ne dpendent que du squelette solide. Ltat des contraintes est alors :

Figure 1.8 - Mise en compression isotrope

Le cisaillement se ralise sans drainage et donc volume constant et contrainte latrale constante (3= 0). Par consquent, la surpression interstitielle u qui en rsulte ne dpend que du dviateur de contraintes appliqu (1-3= 1-0)


15

131 ffu (1.23)

Ltat de contraintes effectives la rupture ('1, '3) est donc indpendantes de la valeur de la contrainte isotrope initiale 0.

Figure 1.9 - Etat de contraintes la rupture.

C. Essai CU

Au cours de ltape de consolidation, le drainage est ouvert et lon attend que les contraintes effectives deviennent gales aux contraintes totales appliques (surpressions interstitielles nulles). Au cours de ltape de cisaillement, le drainage est ferm et lon peut, si ncessaire, mesurer la pression interstitielle pendant le chargement jusqu la rupture (on parle alors dessais CU avec mesure de u).

Essai non drain sur sol normalement consolid

Les essais non drains sont raliss sur un appareil triaxial en conservant un volume constant deau interstitielle dans lchantillon. Lchantillon est initialement normalement consolid, ce qui signifie que son tat initial est reprsent par un point de la courbe de consolidation vierge dans le plan (p,e).

Cet tat est obtenu par consolidation de lchantillon sous une contrainte de confinement 1 = 3 choisie de la cellule triaxiale. Le cisaillement est induit par laugmentation de 1, 2=3 restant constant. p crot donc linairement, avec q/p = 3. (Figure 1.10). Le volume restant constant, on enregistre simultanment laugmentation de 1 une mise en pression u de leau interstitielle. On a reprsent sur la figure 1.10 le chemin des contraintes effectives suivi, dans les diffrents plans (q,1), (q/p,1), (q,p), (q,p) et (u,1) ; on sait aussi que v=constante. q/p et u croissent et atteignent leurs valeurs maximales correspondant la rupture (q/p=M, point indiqu sur la figure 1.10). La rupture correspond ltat critique pour lequel le critre de plasticit (Coulomb) est satisfait. [1]

On constate aussi que la pression p reste dabord constante, puis commence dcrotre. Corrlativement, q commence par crotre, passe par un maximum puis dcrot jusqu ce quil atteigne sa valeur la rupture q/p=M. Lvolution du systme peut devenir instable aprs le maximum de q ; dans ce cas, le milieu ne reste pas homogne et lon observe une localisation des dformations. La rptition de cet essai pour des valeurs de v diffrentes fournit des chemins de contraintes effectives prsentant la mme allure gnrale. Ils sont souvent considrs comme affines entre eux.


16

Figure 1.10 - Essais non drains sur sol normalement consolid.

Essai non drain sur sol surconsolid Lchantillon utilis est initialement confin par une contrainte 1 = 3 infrieure

la pression de prconsolidation correspondant sa valeur initiale de volume spcifique v. Lessai est ralis drainage ferm (volume deau interstitielle dans lchantillon maintenu constant).

Le cisaillement est induit par laugmentation de 1 ; 3 reste constant mais 3 peut varier. p crot donc linairement, avec q/p = 3. Le volume restant constant, on enregistre simultanment laugmentation de 1 et les volution de p et de la pression u de leau interstitielle.

Le chemin des contraintes effectives est reprsent (figure 1.11) dans le plan v=cste. q crot et atteint la droite q/p=M puis q suit cette droite et atteint sa valeur maximale correspondant la rupture (point dtat critique). p reste constant au dpart, puis finalement crot jusquau point de rupture. La pression interstitielle u crot (lgre mise en pression) puis devient fortement dcroissante. Cette mise en dpression compense le dsir du milieu de se dilater. [1]


17

Figure 1.11 - Essais non drains sur sol surconsolid. 6 Facteurs influant sur la rsistance au cisaillement 6.1 Essai monotonique 6.1.1 Introduction

Il existe dans la littrature plusieurs types dessais monotoniques. Lessai ayant t le plus ralis dans les diffrents laboratoire de Mcanique des sols est lessai de compression mais on peut galement rencontrs des travaux sur des essais de traction. Ces derniers tant difficilement ralisables, peu de laboratoire sy sont intresss.

6.1.2 Effet de la vitesse de chargement

Outre la vitesse dapplication de leffort et les conditions de drainage, la rsistance du sol observe dans les essais et dans les massifs de sols en place dpend de nombreux facteurs.

Dans le cas des sols fins, argileux ou organiques, la rsistance au cisaillement augmente avec la vitesse de dformation, que ce soit en comportement drain ou en comportement non drain.

Pour tous les sols, la rsistance ltat remani, aprs modification de la structure naturelle du sol, par exemple lors du prlvement des prouvettes soumises aux essais, diffre de la rsistance du sol dans son tat naturel.

La plupart des sols naturels sont anisotropes. Pour cette raison, les diffrents types dessais qui permettent de mesurer la rsistance au cisaillement ne donnent pas tous les mmes rsultats.

En 1846 un ingnieur franais, A. Collin, comme rapport dans la littrature [2] a identifi la relation entre le facteur temps et la rsistance au cisaillement. Il a fait la rfrence la rsistance instantane et la rsistance permanente du sol, qu'il a dfinies respectivement comme tant la rsistance aux forces temporaires ne durant pas plus de 30 secondes et la rsistance permanente du sol ne variant pas en fonction du temps.


18

Depuis 1948, date laquelle, des chercheurs [3] ont initi une tude de dynamique des sols, dimportantes recherches ont t effectues sur leffet de la vitesse de chargement sur la rsistance au cisaillement des sols.

Les travaux mens de 1943 1964 M.I.T et luniversit de Harvard [3] [4], et d'autres ont montr que dans tout les cas les sols cohrents prsentent une augmentation de la rsistance au cisaillement sous leffet de laugmentation de la vitesse de chargement

Plusieurs sries dessais triaxiaux sur des chantillons dargile consolids non drains des vitesses de chargement variant de 1.66 0.00006 % ont t ralis [5], (figure 1.12).

Figure 1.12 Dviateurs de contrainte maximum la rupture en fonction du temps sous condition non drain (Bjerrum et al 1958).

Ils observrent que la valeur maximale du dviateur de contrainte diminue avec

l'augmentation du temps ncessaire pour induire la rupture. Une srie dessais monotoniques triaxiaux de type dformation contrle (0.05

%/min) a t ralise sur une argile plastique non remanie non drain [6]. Ils observrent que la rsistance au cisaillement de l'argile de Drammrn en traction tait seulement gale de 50% 60% de la rsistance la compression, leffet de la variation de la vitesse de chargement tait constant (figue 1.13).

Une srie dessais triaxiaux de compression [7], sur des chantillons dargile saturs remanis non drains a t ralise en utilisant une variation de la vitesse de chargement constante.

En reprsentant ses rsultats en termes de temps ncessaire la rupture, et en prenant 100 minutes comme base, il observa une relation linaire entre la force et le logarithme du temps la rupture. (Figure 1.13).


19

Figure 1.13 Effet de la vitesse de chargement (Bjerrum et al 1958)

6.1.3 Effet de la surconsolidation Le comportement de diffrents types d'argiles possdant diffrents coefficients de

surconsolidation (OCR variant de 1 et de 7.5) a t tudi [8]. Il a t conclue de cette tude que, sous l'effet dun chargement donn largile -surconsolid peut rsister un nombre beaucoup plus important de cycles avant de dvelopper une dformation axiale donne compar une argile normalement -consolid.

Quand on utilise les modles de comportement de Plaxis [9], une contrainte initiale de prconsolidation peut tre prise en compte. La surconsolidation peut tre prise en compte de deux faons. La premire est dintroduire le coefficient de surconsolidation (OCR) c'est--dire le rapport de la plus grande contrainte passe atteinte, ' 'p (figure 1.6), et la contrainte effective verticale actuelle in-situ, 'v0

0v

pOCR

(1.24)


20

Figure 1.14 - Illustration de la contrainte verticale de prconsolidation en relation avec la

contrainte verticale in-situ 00

vyy . 6.1.4 Dilatance

Une srie de constatations remarquables a permit de conclure quun milieu granulaire ne pouvait se dformer notablement quen se dilatant pralablement [10] : en effet, il faut que certains grains puissent se glisser dans les vides laisss entre les autres pour que les grains puissent bouger les uns par rapport aux autres; ceci ncessite que les pores soient de grande taille et donc que le milieu soit suffisamment dilat lors de la dformation. Ainsi le milieu devra en gnral se dilater avant que la dformation nait pu avoir lieu.

Reynolds appela ce phnomne leffet de dilatance. Il expliqua ainsi lasschement que lon observe sur le pourtour du pied lorsquon pose le pied sur une plage humide; cette sensation dasschement est cre par laugmentation du volume des pores, sans augmentation du volume de leau contenue dans les pores.

Bien entendu, un matriau granulaire peut tre fabriqu diffrentes densits suivant la mthode de tassement utilis; ceci veut dire que leffet de dilatance observ sera dautant plus fort que la densit initiale du tas sera grande; de mme, nous verrons que la dformation peut engendrer une diminution du volume total du tas, cest--dire une contractance, lorsque le tas est trop lche.

Dans la littrature, langle de dilatance est exprim en degr. Il est galement rapport dans la littrature que mis part les sols trs suconsolids, les sols argileux ont tendance montrer peu de dilatance ( = 0) [9].


21

6.1.5 Coefficient de Skempton Il est souvent ncessaire d'valuer la variation ou l'excs de la pression interstitielle

u (1, 2, 3) engendre lors d'une variation du chargement non drain. Dans la pratique, on exprime cette relation l'aide des paramtres de pression interstitielle [11].

(1.25)

o 3 est la variation de la pression cellulaire c, n est la porosit, Cv est la compressibilit des pores, Csq reprsente la compressibilit du squelette solide. Le paramtre B exprime la variation de la pression interstitielle rsultant d'une variation de la pression cellulaire en absence de drainage. Cas de sols saturs Nous avons Cv = Cw et Cw/Csq = 0, car la compressibilit de l'eau est trs faible par rapport la compressibilit du squelette, d'o:

(1.26)

Cas de sols secs Il vient Cv/Csq , car la compressibilit de l'air est beaucoup plus leve que celle du squelette de sol, d'o:

03

u (1.27)

Les sols partiellement saturs ont des valeurs de B comprises entre 0 et 1 selon le degr de saturation. La relation ci-dessus de B est trs utile. En effet, dans un essai triaxial, elle permet de vrifier si l'chantillon est compltement satur ou pas. Lorsque nous appliquons une contrainte de cisaillement ou un dviateur de contrainte = 1 3, la relation liant u pour les sols lastiques est (Skempton):

(1.28)

Mais les sols sont gnralement inlastiques et le coefficient de 1/3 n'est pas applicable. On le remplace par un paramtre not A dit deuxime paramtre de Skempton. Lorsqu'il y a la fois, une variation de la contrainte moyenne et une variation de la contrainte de cisaillement, on combine les expressions (1.24) et (1.27) pour obtenir une relation gnrale:

B

CnC

u

sq

v

1

1

3

13

u

313 Bu


22

(1.29)

dite quation de Skempton. Dans les conditions non draines, elle rgit la variation de la pression interstitielle en fonction de la variation des contraintes totales. Le paramtre A dpend divers degrs: du niveau de la dformation axiale, de l'intensit de 2, du rapport de surconsolidation, de l'anisotropie et du remaniement de l'chantillon. L'quation de Skempton et ses paramtres sont trs utiles dans la pratique. Au-del d'un seuil critique, l'excs de pression interstitielle peut tre l'origine d'une rupture. Le cas chant, on peut prvoir une construction en plusieurs phases pour permettre de dissiper lentement la pression interstitielle en excs. Pour les essais triaxiaux les plus courants, le paramtre A est dfini en fonction de l'augmentation des contraintes principales par:

vac uA / hlc uA / (1.30)

vae uA /1 vle uA /1 o l'on dsigne ac: compression axiale, ae: extension axiale, lc: compression latrale et le: extension latrale. D'autres parts, on peut montrer que:

leac AA et lcae AA 6.2 Essai cyclique 6.2.1 Introduction Le comportement de l'argile soumis des sollicitations cycliques est trs important dans la conception des ouvrages de gnie civil. L'action des vagues, des vents, des sismes, des machines vibrantes peuvent tre lorigine dun grand nombre de charges cycliques horizontales ou verticales ainsi que des moments qui sont transmis au sol. D'importants compagnes dessais en laboratoire ont t ralises par de nombreux chercheurs [12] [13], pour tudier les effets des charges cycliques sur de petits lments d'argile soumis un chargement triaxial ou lappareil de cisaillement directe. Ils ont constat que le comportement de l'argile dpend d'un large ventail de facteurs, notamment le type d'essai, la forme de londe, la frquence, nombre de cycles et leffet de surconsolidation. 6.2.2 Effet du rapport / cu Aux fins de comparaison, il a t jug commode d'exprimer les charges cycliques comme un rapport / cu. Les chercheurs ont constat que plus ce rapport est lev, moins le nombre de cycles ncessaire pour provoquer la rupture est important.

313 ABu


23

6.2.3 Effet de la frquence Il a t a rapport que la vitesse de chargement avait une influence considrable sur

le comportement de la pression interstitielle de la rupture [14] et que la valeur leve de la pression interstitielle observe durant des essais lents pourrait tre dues une consolidation secondaire. Il remarque galement que durant des essais triaxiaux de compression, o le dviateur a t maintenu constant pendent plusieurs heures, la pression interstitielle continuera daugmenter. La forme et la frquence de londe de chargement utilis sont des facteurs ayant une influence sur le comportement cyclique de largile

Dans dautres travaux de laboratoire [15] [16], des chantillons dargile soumis des essais de chargement cyclique triaxiaux avec une frquence constante de 1Hz. Les essais tant non drains et chargement contrl. On observa quune diminution de la frquence de 2Hz 1Hz causait une rduction de20% de 25% de la rsistance au cisaillement.

Dans une tude [17] sur des chantillons dargile plastique soumis un chargement cyclique de type chargement contrl, il a t constat que les chantillons ayant t soumis plus de 450 secondes pour atteindre la rsistance maximale, ont gnr des pressions interstitielles plus leves que celle produites dans les chantillons, ont t soumis un chargement durant plus de 50 seconds pour atteindre la rsistance au cisaillement maximale (Figure 1.15).

Une srie dessais triaxiaux sur des spcimens dargile de Bangkok [18] , non remani , a t ralise avec variation de la frquence (0.1Hz, 05Hz et 1.0Hz) ainsi que du ratio /Cu (0,2, 0,25, 0,30, 0,35 et 0,40) tout en maintenant constante la contrainte totale moyenne principale. On observa que la tendance gnrale tait la suivante:les spcimens soumis un chargement lent exigent plus de temps pour rompre que les chantillons soumis un chargement rapide.

Figure 1.15 Comparaison des rsistances au cisaillement sous chargement cyclique

10% de dformation axiale sous diffrentes frquences (Khaffaf 1978).


24

6.2.4 Effet de la variation de la pression de confinement Un autre facteur qui peut influencer la rsistance sous leffet dun chargement

cyclique est la variation de la pression de confinement (c.--d. pression hydrostatique de cellules applique l'chantillon dans la cellule triaxial) d'un essai l'autre.

Une srie dessais triaxiaux rpts non drains avec mesure de pression interstitielle a t effectue sur une argile surconsolide de Seattle [19].

On observa que si le rapport de pression de confinement est moins de 8, il y avait peu ou pas de changement de la rsistance de cisaillement la rupture

Des Essais triaxiaux non drains avec contrle de chemins de contrainte sur largile de Pise [20] ont montr que la rigidit dpend fortement du chemin de contrainte.

Chapitre 2 Pratique des lments finis en gotechniques

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Chapitre 2: Pratique des lments finis en gotechnique

1 La mthode des lments finis 1.1 Introduction Lorsque le comportement du sol est modlis de faon non linaire et irrversible, les mthodes de rsolution numrique les plus frquemment utilises dans la pratique sont : la mthode des diffrences finies et la mthode des lments finis [21]. La mthode des lments finis discrtise le milieu continu, en lui attribuant un nombre fini de degr de libert et cest seulement dans un second temps quelle impose, en moyenne, les lois de conservation et de comportement. Les quations algbriques qui rgissent le problme mergent ainsi suite la discrtisation initiale. Lexprience montre que dans de nombreux cas gotechniques, la mthode des lments finis est plus performante et plus prcise que la mthode des diffrences finies.


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1.2 Concept de base Les mthodes de calcul par lments finis visent donner une solution numrique approche un problme spcifique au moyen dun modle mathmatique reprsentatif dune ralit physique [22]. La mthode des lments finis permet ainsi de rsoudre de manire discrte des quations aux drives partielles dont on cherche une solution approche suffisamment fiable. En gnral, ces quations aux drives partielles portent sur une fonction vectorielle dfinie sur un domaine et comportant des conditions aux limites permettant dassurer existence et unicit de la solution. La discrtisation passe par la dfinition dun espace appropri de fonctions tests sur lequel la solution de la formulation variationnelle des quations peut tre approche daussi prs quon le souhaite. Cela ncessite la dfinition dun maillage du domaine en fragments : les lments finis. Ce maillage permet aussi de dfinir une base fonctionnelle pi(x) sur laquelle est projete la fonction inconnue pi(x). On applique en outre la formulation variationnelle pour chacune des fonctions de pi(x). Une formulation algbrique, dite discrtisation, du problme initial est ainsi obtenue. La solution de ce problme algbrique, si elle existe et est unique, donne les composantes de la solution approche dans une base pi(x). 1.3 Dfinition de la mthode des lments finis La mthode des lments finis est une mthode dapproximation nodale par sous domaines ou lments. Elle se prte lapproximation de systmes physiques dans des cas varis : - Discrets ou continus. - Stationnaires ou non stationnaires. - Linaires ou non linaires. - En 1 D, 2 D, ou 3 D. Comme premire approche, les grands titres de la MEF peuvent se rsumer par : - Subdivision du domaine physique en sous domaines ou lments finis. - Approximation du phnomne tudi localement. - Assemblage des diffrentes parties pour reconstituer le tout. Donc en fait, la MEF est une technique multidisciplinaire qui fait appel : - Aux sciences de lingnieur (lois gouvernant les phnomnes physiques, telles la conservation de la masse, de la quantit de mouvement, de lnergie, ). - Aux mathmatiques appliques (mthodes numriques). - A linformatique applique (excution des calculs laide de lordinateur). 1.4 Principe de discrtisation Les diffrentes formulations ont abouti des formulations variationnelles compactes mais continues. Le principe des lments finis tant de rsoudre un problme discrtis. On va prsenter seulement la mthode de Gallerkine

Pour cette mthode, on se donne n fonctions de base Pi(x) appartenant au cinmatiquement admissible zro et on cherche la solution du Pb(I) comme une combinaison linaire de ces fonctions, dans le cas o il existe des dplacements imposs on rajoute une fonction les ralisant. [2i]

xuxPQxu din

ii

1 AC. (2.1)


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xPxu i 0.AC (2.2) Le problme dlasticit isotherme tant Pb(I) tant quivalent la formulation variationnelle Fv(I).

(2.3)

Il suffit alors de faire varier i de 1 n. Nous obtenons alors un systme linaire de n quations n inconnues. Ce systme peut scrire sous forme matricielle : FQK (2.4) o [K] est la matrice de rigidit jiij PPkK , (2.5) [Q] est le vecteur des inconnues [F] est le vecteur force La matrice K est symtrique. Lquation mise sous sa forme matricielle correspond la forme gnrale dun problme discrtis. En effet, nous sommes pass dun problme continu un problme discrtis, de ltude u(x,y,z) ltude de n inconnues Qi . 1.5 Intgration numrique Il est clair que pour rsoudre le systme FQK , il y a des intgrations faire. Si on utilise un ordinateur pour dterminer les solutions du systme, il faut faire des intgrations numriques. Nous allons voir ici une seule mthode dintgration numrique dans le cas 1-D. Nous allons nous intresser au problme suivant : Dterminer lintgrale suivant:

dxxfI

1

1

(2.6)

Mthodes de Gauss Il faut prendre les points de faon symtrique 0 et dans ]-1,1[. Prenons deux points x1, x2, ayant des poids respectifs w1, w2 et un polynme dordre 1

2211

1

2 wfwxfwbdxbaxI

(2.7)

21

2211

21

02

xxwxwxww

deux types de solutions (2.8)

21

21 1xx

ww ou

02

21

1

xxw

(2.9)

xPPxPxuk idonni ,


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Donc avec un seul point il est possible de dterminer lintgration exacte dun polynme dordre 1. 1.6 Techniques de rsolution On dcoupe une structure en lment de forme donne : triangle, quadrilatre, ttradre ... Puis on cherche des solutions de fonctions donnes sur chaque lment et non plus sur la structure complte comme Ritz ou Gallerkine. La mthode par lments finis correspond donc une mthode de Ritz ou Gallerkine par morceau. Lensemble de tous les lments constitue le Maillage.

1.7 Elments gomtriques L'ensemble des lments ou maillage doit constituer un recouvrement du domaine de calcul. En 2D, les lments utiliss sont des triangles et des quadrangles. En 3D, des ttradres, des prismes, des cubes et parfois des pyramides. Si d'autres polygones sont possibles leurs utilisations restent confidentielles.

Figure 2.1- Elments gomtriques.

Les diffrents lments du maillage sont soumis quelques contraintes puisqu'ils doivent constituer un recouvrement du domaine. Ainsi, deux lments adjacents du maillage ont en commun un sommet ou une surface.

Figure 2.2- Types de maillage.


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2 Prsentation du code lments finis PLAXIS 2.1 Introduction Les progrs des ordinateurs et des mthodes danalyse numrique permettent de dpasser les limitations gomtriques et rhologiques des mthodes de calcul traditionnelles et daborder ltude de problmes aux gomtries et lois de comportement complexes, combinant les concepts classiques de compressibilit, de consolidation primaire et de compression secondaire, de rsistance au cisaillement, dtats limites de pousse-bute ou de portance. Cette approche globale passe par la dfinition dune loi de comportement spcifique chaque type de sol et par lutilisation de techniques numriques appropries. Nous avons donc volontairement choisi dutiliser un logiciel commercial pour rsoudre les applications gotechniques par la mthode des lments finis : le code Plaxis de la socit Plaxis B.V [23].

2.2 Prsentation du Plaxis Cest un logiciel aujourdhui couramment utilis en bureaux dtudes. Conu par des gotechniciens numriciens de luniversit de Delft aux Pays-Bas dans les annes 1980, le code de calcul lments finis Plaxis est un outil pratique danalyse douvrages et dessais gotechniques. Si ce code a initialement t dvelopp pour analyser les digues et les sols mous, son champ dapplication stend aujourdhui une large gamme de problmes gotechniques. Il permet danalyser des problmes lastiques, lastoplastiques, lastoviscoplastiques en 2D ou 3D et en grands dplacements par la mthode lagrangienne actualise. Trs fiable sur le plan numrique, ce code fait appel des lments de haute prcision, tels que les triangles 15 noeuds, ainsi qu des pilotages de rsolution rcents comme la mthode de longueur darc. 2.3 Options par dfaut Plaxis est dot de fonctionnalits tout fait remarquables pour traiter tous les aspects des structures gotechniques complexes. Un rsum des fonctions essentielles est donn ci-dessous:

2.3.1 Entre des donnes

Dfinition graphique de la gomtrie du modle: La dfinition des couches de sol, des ouvrages, des phases de construction, des chargements et des conditions aux limites s'appuie sur des procdures graphiques faciles utiliser, ce qui permet une description dtaille et prcise des conditions relles modliser. Le maillage d'lments finis en 2D est gnr de manire automatique directement partir de ce modle gomtrique.

Gnration automatique du maillage:

Plaxis offre une gnration entirement automatique de maillages non structurs d'lments finis, avec des options pour raffiner le maillage, globalement ou localement. Le maillage peut contenir des milliers d'lments.

Conditions aux limites:

Les "fixits" sont des dplacements nuls imposs. Ces conditions peuvent tre appliques aux lignes comme aux points dfinissant la gomtrie du modle, dans les


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directions x ou y. Une option permet d'appliquer les conditions d'appui standard valables dans la majorit des cas.

Chargement:

Deux systmes de chargement indpendants sont proposs pour appliquer des forces ponctuelles ou des charges rparties. Les forces ponctuelles peuvent tre appliques n'importe quel point de la gomtrie, les charges rparties n'importe quelle ligne de la gomtrie, sans se limiter la seule frontire extrieure. Les valeurs des chargements peuvent tre modifies dans le mode "Construction par tapes" et/ou par l'utilisation des multiplicateurs.

2.3.2 Comportement du sol

Base de donnes des proprits des matriaux: Les proprits des matriaux, sol ou lments de structure, sont entres dans une

base de donnes pour chaque projet. Toutes les donnes figurant dans les bases de donnes des diffrents projets peuvent tre copies dans une base de donnes globale, pour servir d'autres projets.

Rgime d'coulement permanent:

Des rseaux complexes de pressions interstitielles peuvent tre gnrs par combinaison de lignes phratiques et de saisie directe de pressions. Autre solution : les distributions de pressions interstitielles peuvent galement tre gnres par un calcul d'coulement permanent pour les modles faisant intervenir des coulements permanents ou des pompages.

Calcul du rseau d'coulement:

Les distributions de pression interstitielle complexes peuvent tre gnres partir d'un calcul d'coulement deux dimensions. Des drains et des puits peuvent tre modliss grce des lments spcifiques. Les potentiels aux limites du modle sont dfinis comme des niveaux phratiques.

Surpressions interstitielles:

Plaxis distingue les comportements drain ou non-drain des sols, ce qui permet de modliser les couches sableuses permables comme les couches argileuses impermables. Les surpressions interstitielles sont calcules lorsque des couches de sol non drain sont soumises des chargements. Les conditions de chargement non drain conditionnent souvent la stabilit des ouvrages gotechniques.

2.3.3 Fonctions des calculs Le programme de calcul conduit des analyses en dformation menes soit par un calcul plastique, un calcul de consolidation ou un calcul en grandes dformations. Pour chaque projet, plusieurs phases de calcul peuvent tre dfinies avant le lancement du calcul.

2.3.4 Analyse des rsultats Le post-processeur Plaxis a des fonctions graphiques avances pour restituer les rsultats du calcul. Les valeurs prcises des dplacements, forces et contraintes sont accessibles dans les tableaux de rsultats.


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Dformation: La restitution graphique des dformations peut se faire sous la forme de maillage dform, carte de dplacements totaux ou incrmentaux ou cartes de dformations totales ou incrmentales.

Contraintes:

La restitution des contraintes peut se faire en contraintes effectives, contraintes totales, pressions interstitielles et surpressions interstitielles.

2.3 Les modles de comportements intgrs dans Plaxis 2.3.1 Introduction Lutilisation de lois de comportement complexes dans des modles lments finis pour lingnierie est dlicate. Elle demande pour la dtermination des paramtres des tudes spcifiques lourdes sortant du cadre des projets dingnierie. Lintgration de telles lois dans des codes lments finis est difficile. La dmarche suivie dans le dveloppement de Plaxis est de fournir lutilisateur un code lments finis qui soit la fois robuste et conv

memoire ihcen lamri

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