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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

Prsent lUniversit 20 A

Dpartement des Sciences de la M

En vue dobtenir le diplme de magister

Mmoire de magister

MERABET AYECHE Chahra

Modlisation et simulation des phnomnes thermo

coulements se produisant

rayonnement thermique.

Soutenue devant le jury

Mr : E. MEZAACHE Pr. Universit

Mr : A. OMARA Pr.

Mr : S. LAOUAR M. C. Universit

Mr : D. OMEIRI Pr.



ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

Prsent lUniversit 20 Aot-1955 Skikda

Facult des Sciences

Dpartement des Sciences de la Matire

En vue dobtenir le diplme de magisterEn physique

Option: Energtique

Mmoire de magister

Par :

MERABET AYECHE Chahra

Modlisation et simulation des phnomnes thermo-convectifs des

produisant dans des cavits : Influence du

rayonnement thermique.

:

Pr. Universit du 20 Aot 1955 Skikda

Pr. Universit de Constantine 1

M. C. Universit du 20 Aot 1955 Skikda

Pr. Universit du 20 Aot 1955 Skikda



convectifs des

: Influence du

Prsident

Examinateur

Examinateur

Rapporteur

Ddicace

A tous ceux qui maiment

Remerciements

Avant tout, je remercie ALLAH qui ma donn le courage de continuer mes tudes et de

terminer ce travail.

Je remercie vivement et chaleureusement mon encadreur Monsieur D. OMEIRI,

professeur lUniversit 20 aot 1955, Skikda. Je le remercie pour son aide et ses conseils

qui ont contribu la ralisation de ce travail.

Jexprime ma gratitude Monsieur E. MEZAACHE, professeur lUniversit 20 aot

1955, Skikda, pour avoir accept de prsider le jury.

Je veux exprimer mes remerciements aux membres de jury, A. OMARA, professeur

lUniversit de Constantine 1 et S. LAOUAR, Matre de Confrences lUniversit 20 aot

1955, Skikda pour mavoir fait lhonneur de juger et mettre en valeur ce modeste travail.

A tous, je tiens exprimer mes sincres remerciements.

Rsum

:

.

.

. Fluent

Rayleigh-Bnard

. Rayleigh

:

. )(

. Rayleigh

)Rosseland P1 DTRM DO(

.5105 Rayleigh

Rayleigh-bnard

.

Rsum

Titre

Modlisation et simulation des phnomnes thermo-convectifs des

coulements se produisant dans des cavits : Influence

du rayonnement thermique.

Rsum

Ltude numrique bidimensionnelle du transfert de chaleur par convection thermique

dans un milieu fluide a t considre.

Une simulation du problme, bidimensionnel, a t mene en utilisant le logiciel

Fluent bas sur la mthode des volumes finis.

Lensemble des rsultats numriques obtenus pour le cas de la convection de

Rayleigh-Bnard entre deux plaques parallles horizontales infinis traitent linfluence du

nombre de Rayleigh sur le champ dynamique et le champ thermique.

Dans le cas de la convection thermique dans une cavit carre, nous nous sommes

intresss deux cas physiques : cas de la convection naturelle pure (sans rayonnement) et le

cas du couplage entre la convection et le rayonnement thermique.

Dans le premier cas, nous avons tudi leffet de laugmentation du nombre de Rayleigh sur

la convection. Pour le deuxime cas, linfluence du coefficient dabsorption pour diffrents

modles de rayonnement (DO, DTRM, P1 et Rosseland) a t tudie pour un seul nombre de

Rayleigh gal 5x105.

Mots cls

Plaques planes parallles, cavit carre, convection naturelle, convection de Rayleigh-

bnard, rayonnement thermique, modles de rayonnement.

Rsum

Title

Modeling and simulation of thermo-convectif phenomenas of the flows

occurring in cavities: Influence of thermal radiation.

Abstract

The two-dimensional numerical study of convective heat transfer in a fluid medium

was considered.

A simulation of problem, in two-dimensional, was carried out by using the Fluent

software, which it based on the finite volumes method.

The whole of the numerical results obtained in the case of the convection of Rayleigh-

Bnard between two horizontal parallel infinite plates treat the influence of Rayleigh number

on the dynamics and thermals fields.

In the case of the thermal convection in a square cavity, we have considered two

physical cases: case of pure natural convection (without radiation), and the case of coupling

convection and thermal radiation.

In the first case, we have studied the effect of the Rayleigh number on the natural convection.

For the second case, the influence of the absorption coefficient for different radiation models

(DO, DTRM, P1 and Rosseland), was studied for Rayleigh number equal to 5x105.

Key words

Parallel plane plates, square cavity, thermal convection, Rayleigh-Bnard convection,

thermal radiation, radiation models.

Sommaire

Sommaire

Rsum

Sommaire

Liste des figures

Liste des tableaux

Nomenclature

Introduction gnrale 1

Chapitre I : Etude bibliographique

I.1 Gnralits sur la convection 3

I.1.1 Introduction 3

I.1.2 Convection naturelle dans une cavit diffrentiellement chauffe 3

I.1.2.1 Convection de Rayleigh-Bnard 4

I.1.2.2 Couplage entre la convection et le rayonnement 5

I.2 Revue bibliographique 5

Chapitre II: Equations de conservations-modlisation

II.1 Introduction 25

II.2 Gomtries du problme 25

II.3 Hypothses 27

II.4 Equations gnrales de conservation 27

II.5 Equations simplifis 29

II.6 Equations adimensionnelles 30

II.7 Conditions aux limites 32

II.8 Couplage convection rayonnement 33

II.8.1 Equation du transfert radiatif ETR 33

II.8.2 Choix d'un modle de rayonnement 34

II.8.3 Equations des diffrents modles de rayonnement 35

II.8.3.1 Modle discret de transfert radiatif DTRM 35

II.8.3.2 Modle de transfert radiatif des ordonnes discrtes DO 36II.8.3.3 Modle de transfert radiatif P1 37

II.8.3.4 Modle de transfert radiatif de Rosseland 38

Chapitre III : Mthode numrique

III.1 Introduction 39

III.2 Maillage 39

III.3 Equation gnrale de transport 41

Sommaire

III.4 Discrtisation des quations de conservation 42

III.4.1 Application dun schma numrique quelconque 44

III.4.2 Fonction )( PA pour diffrents schmas numriques 45

III.5 Discrtisation de lquation de quantit de mouvement suivant X 45

III.6 Discrtisation de lquation de quantit de mouvement suivant Y 46

III.7 Discrtisation de lquation dnergie 48

III.8 Algorithme SIMPLE 49

III.9 Dtails du calcul 51

III.9.1 Sous relaxation 51

III.9.2 Critres de convergence 52

Chapitre IV : Rsultats et discussions

IV.1 Convection entre deux plaques parallles horizontales (convection de Rayleigh

Bnard)

53

IV.1.1 Influence du nombre de Rayleigh 53

IV.1.1.1 Sur le champ de lcoulement 54

IV.1.1.2 Sur le champ thermique 55

IV.1.1.3 Sur le nombre de Nusselt 55

IV.2 Convection dans une cavit carre 59

IV.2.1 Convection naturelle pure (sans rayonnement) 59

IV.2.1.1 Influence du nombre de Rayleigh 59

IV.2.1.1.1 Sur le champ de lcoulement 59

IV.2.1.1.2 Sur le champ thermique 60

IV.2.1.1.3 Sur les vitesses de lcoulement 60

IV.2.1.1.4 Sur le nombre de Nusselt 60

IV.2.2 Couplage convection - rayonnement thermique pour diffrents modles de

rayonnement

66

IV.2.2.1 Influence du coefficient dabsorption 66

IV.2.2.1.1 Sur le champ de lcoulement 66

IV.2.2.1.2 Sur le champ thermique 67

IV.2.2.1.3 Sur les vitesses de lcoulement 67

IV.2.2.1.4 Sur la temprature 68

IV.2.3 Comparaison entre les diffrents modles de rayonnement ainsi le modle sans

rayonnement

81

IV.2.3.1 Profils des vitesses 81

IV.2.3.2 Profils de temprature 81

Conclusion gnrale 87

Rfrences bibliographiques 88

Liste des figures

Liste des figures

Figure I.1 : Les types de convection naturelle dans les enceintes : (a) Enceinte

chauffe diffrentiellement; (b) Enceinte chauffe en bas (instabilit de

Rayleigh Bnard)

4

Figure I.2 : Gomtrie du problme tudi dans la rfrence [9] 8

Figure I.3 : Gomtrie et conditions aux limites du problme de la rfrence [10] 9

Figure I.4 : Schma du problme tudi dans la rfrence [13] 10

Figure I.5 : Prsentation du problme considr dans la rfrence [14] 11

Figure I.6 : Gomtrie du problme considr dans la rfrence [15] 11

Figure I.7 : Gomtrie et conditions de la cavit tudie dans la rfrence [16] 12

Figure I.8 : Diagramme schmatique du modle physique et du systme des

coordonns utiliss dans la rfrence [20]

14

Figure I.9 : Prsentation du problme tudi dans la rfrence [22] 15

Figure I.10 : Gomtrie de la pyramide [23] 16

Figure I.11 : Configuration des ailettes de radiateur [25] 17

Figure I.12 : Configuration du problme dun canal vertical [26] 17

Figure I.13 : Schma considr dans la rfrence [28] 19

Figure I.14 : Gomtrie du problme tudi dans la rfrence [29] 19

Figure I.15 : Configuration de la cavit incline avec partitions [34] 22

Figure I.16 : Schmatisation du domaine considr dans la rfrence [35] 23

Figure I.17 : Configuration de la serre chaude horticole [36] 23

Figure I.18 : Gomtrie du modle physique considr dans la rfrence [37] 24

Figure II.1 : Gomtrie et conditions aux limites du cas des deux plaques planes

horizontales

26

Figure II.2 : Gomtrie et conditions aux limites du cas de la cavit carre 26

Figure III.1 : Volume de contrle bidimensionnel 40

Figure III.2 : Volume de contrle dcal vers la droite 40

Figure III.3 : Volume de contrle dcal vers le haut 41

Figure III.4 : Volume de contrle typique 43

Figure IV.1 : Fonction de courant pour diffrentes valeurs du nombre de Rayleigh 56

Figure IV.2 : Isothermes pour diffrentes valeurs du nombre de Rayleigh 57

Figure IV.3 : Nombre de Nusselt local pour les parois actives (verticales)pour

diffrents nombres de Rayleigh

58

Figure IV.4 : Fonction de courant pour diffrentes valeurs du nombre de Rayleigh 62

Figure IV.5 Isothermes pour diffrentes valeurs du nombre de Rayleigh 63

Figure IV.6 : Variation des composantes de la vitesse (u,v) pour diffrents nombres

de Rayleigh

64

Figure IV.7 : Variation du nombre de Nusselt local pour diffrents nombres de

Rayleigh

65

Figure IV.8 : Fonction de courant du modle (DO) pour diffrentes valeurs du

coefficient dabsorption

69

Figure IV.9 : Fonction de courant du modle (DTRM) pour diffrentes valeurs du 70

Liste des figures


Figure IV.10 : Fonction de courant du modle (P1) pour diffrentes valeurs du


71

Figure IV.11 : Fonction de courant du modle (Rosseland) pour diffrentes valeurs du


72

Figure IV.12 : Isothermes du modle (DO) pour diffrentes valeurs du coefficient

dabsorption

73

Figure IV.13 : Isothermes du modle (DTRM) pour diffrentes valeurs du coefficient

dabsorption

74

Figure IV.14 : Isothermes du modle (P1) pour diffrentes valeurs du coefficient

dabsorption

75

Figure IV.15 : Isothermes du modle (Rosseland) pour diffrentes valeurs du


76

Figure IV.16 : Variation de la vitesse au point = /2 en fonction de pour

diffrents valeures de coefficient dabsorption

77

Figure IV.17 : Variation de la vitesse transversale au point = /2 en fonction de

pour diffrents valeures de coefficient dabsorption

78

Figure IV.18 Variation de la temprature en fonction de au point = /2 pour

diffrents valeurs de coefficient dabsorption

89

Figure IV.19 : Variation de la temprature en fonction de au point = /2 pour

diffrents valeurs du coefficient dabsorption

80

Figure IV.20 : Variation de la vitesse au point = /2 en fonction de pour

diffrents modles de rayonnement et le modle sans rayonnement

83

Figure IV.21 : Variation de la vitesse transversale au point = /2 en fonction de

pour diffrents modles de rayonnement et le modle sans

rayonnement

84

Figure IV.22 : Variation de la temprature au point = /2 en fonction de pour


85

Figure IV.23 : Variation de la temprature au point = /2 en fonction de pour


86

Liste des tableaux

Liste des tableaux

Tableau II.1 : Conditions aux limites pour un coulement entre deux plaques

parallles

32

Tableau II.2 : Conditions aux limites pour un coulement dans une cavit carre 32

Tableau III.1 : Variables et coefficients des quations de transport

adimensionnelles

42

Tableau III.2 : Fonction )( PA pour diffrents schmas numriques 45

Nomenclature

Nomenclature

Lettres latines

Symbole Dfinition Unit

A Rapport daspect Sans dimension

Coefficient dabsorption [m]

pA , EA , WA , NA

SA

Coefficients de lquation algbrique de transport

discrtise

Sans dimension

|| Fonction dun schma numrique en fonction du

nombre de Peclet

Sans dimension

Terme source dans le systme dquations

algbriques discrtises

Sans dimension

Coefficient de fonction de phase linaire-anisotrope Sans dimension

Chaleur massique pression constante [J. kg. K]

De, Dw, Dn, Ds Flux diffusifs aux interfaces e, w, n, s de lquation

de transport discrtises

Sans dimension

, , , Distance entre le nud considr P et les nuds E,

W, N, S

Sans dimension

Fe, Fw, Fn, Fs Flux convectifs aux interfaces e, w, n et s de

lquation de transport discrtis

Sans dimension

Force suivant la direction i par unit de volume [N. m-3]

Rayonnement incident [W. m]

g Acclration de la pesanteur [m. s]

H Hauteur entre les deux plaques [m]

h Hauteur de la cavit [m]

Intensit du rayonnement, dpend des vecteurs

et

[W. m]

Intensit radiative au dbut du chemin accrot. [W. m]

L Longueur de la plaque [m]

Indice de rfraction Sans dimension

p Pression [N. m]

P Pression adimensionnelle Sans dimension

Flux de chaleur radiatif [W. m]

Vecteur de position Sans dimension

Longueur du chemin [m]

Vecteur de direction Sans dimension

Vecteur de direction de dispersion Sans dimension

Terme source Sans dimension

Terme source de rayonnement Sans dimension

T Temprature [K]

Nomenclature

Lettres grecques

Diffusivit thermique du fluide [m. s]

Conductivit thermique du fluide [W. m. K]

Coefficient de La dilatation thermique pression

constante

[K]

Viscosit dynamique du fluide [kg. m. s]

Viscosit cinmatique du fluide [m. s]

Masse volumique du fluide [kg. m]

Temprature adimensionnelle Sans dimension

Coefficient de diffusion de lquation gnrale du

transport

Sans dimension

Constante de Stefan-Boltzmann [W. m-2. K-4]

Coefficient de dispersion [m]

Epaisseur optique Sans dimension

Fonction de phase Sans dimension

' Angle solide [sr]

, Dimensions du volume de contrle considr [m]

Nombres adimensionnels

Nombre de Prandtl =

avec =

Nombre de Rayleigh =

Pl Nombre de Planck = 4 /

t Temps []

Temprature initiale [K]

Ecart de temprature = [K]

Composante de la vitesse suivant la direction [m. s]

Composante adimensionnelle de la vitesse suivant Sans dimension

Volume [m]

Composante de la vitesse suivant la direction [m. s]

Composante adimensionnelle de la vitesse suivant Sans dimension

, Coordonnes cartsiennes adimensionnelle Sans dimension

, Coordonnes cartsiennes [m]

Nomenclature

Indices et exposants

c Chaude

Nud du cot Est du nud P

Face Est du volume de contrle

f Froide

Nud du cot Nord du nud P

Face Nord du volume de contrle

Nud du maillage

Nud du cot Sud du nud P

Face Sud du volume de contrle

rad Radiatif

Nud du cot Ouest du nud P

Abrviations

DNS Direct Numerical SimulationDO Discrete OrdinatesDTRM Discrete Transfer Radiation ModelRTE Radiative Transfer EquationPIV Particale Image VelocimetrySIMPLE Semi Implicit Method for Pressure Linked EquationSIMPLER Simple RevisedSR Sans RayonnementSOR Successive Over RelaxationS2S Surface to Surface

Introduction gnrale

1

Introduction gnrale

Le phnomne du transfert de chaleur et de masse par convection naturelle, dans des

espaces confins ou semi-confins, est gnralement d la prsence de gradients de

temprature et de concentration. Ces gradients causent une distribution non uniforme de la

densit du fluide qui gnre son tour un mouvement convectif sous leffet de la gravit. Par

ailleurs, le phnomne de la convection naturelle dans une cavit bidimensionnelle est

largement rencontr en ingnierie tels que les collecteurs dnergie solaire, la conservation de

la chaleur des circuits thermiques, le refroidissement des composants lectroniquesetc.

Toutefois, le rayonnement apporte une contribution significative au transfert thermique dans

de tels systmes.

Lobjectif du prsent travail est de simuler numriquement le transfert de chaleur dans

les milieux confins ou semi-confins par convection naturelle pure ou par le couplage entre

la convection naturelle et le rayonnement thermique. Leffet de laugmentation : du nombre

de Rayleigh (pour la convection naturelle pure), du coefficient dabsorption sur tous les

modles de rayonnement (pour le cas du couplage convection naturelle-rayonnement) sont

analyss dans le but dessayer dobtenir une amlioration du transfert de chaleur.

Le prsent mmoire comporte quatre chapitres, quils sont organiss comme suit :

Le premier chapitre est consacr une tude gnrale sur la convection naturelle et le

couplage convection naturelle-rayonnement ainsi quune revue des diffrents travaux

antrieurs dans ces domaines.

Dans le deuxime chapitre, ltude est consacre la prsentation du modle

mathmatique tudi, au cours duquel on donne une forme adimensionnelle des quations

rgissant le phnomne et des paramtres caractristiques, ainsi quune prsentation des

diffrents modles du rayonnement et les quations qui correspondent ces derniers.

La rsolution numrique des quations de conservation est aborde au troisime

chapitre. La mthode des volumes finis avec lalgorithme Simple pour le couplage pression-

vitesse sont utiliss pour la discrtisation des quations de conservations.

Le dernier chapitre est consacr la prsentation des rsultats. L'influence du nombre

de Rayleigh dans les cas de la convection naturelle pure entre deux plaques et dans une cavit

Introduction gnrale

2

carre, sera analyse. Ensuite nous allons prsenter les rsultats des calculs effectus pour le

couplage entre la convection naturelle et le rayonnement thermique dans une cavit carre,

concernant linfluence de laugmentation du coefficient dabsorption sur la structure

dcoulement et le transfert de chaleur, et tous a relevant les quatre modles du rayonnement

DO, DTRM, P1 et Rosseland. Une comparaison des diffrents modles de rayonnement dans

une cavit carre pour diffrentes valeurs du coefficient dabsorption seront tudis.

Finalement, nous concluons ce travail par un rcapitulatif sur les principales

remarques et conclusions que nous pouvons tirer travers cette tude.

Chapitre I Etude bibliographique

3

CHAPITRE I

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

I.1 Gnralits sur la convection

I.1.1 Introduction

La convection est un mode de transport dnergie par laction combine de la

conduction, de laccumulation de lnergie et du mouvement du milieu. La convection est

le mcanisme le plus important du transfert dnergie entre une surface solide et un liquide

ou un gaz. Le transfert dnergie par convection dune surface dont la temprature est

suprieure celle du fluide qui lentoure seffectue en plusieurs tapes. Dabord la chaleur

scoule par conduction de la surface aux particules fluide adjacentes. Lnergie ainsi transmise

sert augmenter la temprature et lnergie interne de ces particules. Ensuite ces dernires

vont se mlanger avec dautres particules situes dans une rgion basse temprature et

transfrer une partie de leur nergie, celle-ci est prsent emmagasine dans les particules

fluides et elle est transporte sous leffet de leur mouvement.

I.1.2 Convection naturelle dans une cavit diffrentiellement chauffe

En convection naturelle, les mouvements du fluide sont provoqus par des

gradients de densit dues la non uniformit de la temprature. Les couches chaudes, donc

de poids spcifique plus faible, sont soumises des forces diriges vers le haut, suivant un

mcanisme analogue celui de la pousse dArchimde. Dans les rgions temprature

leve, le fluide prend donc un mouvement ascendant. Le phnomne inverse de

courants descendants se produits pour les

infrieure celle du fluide chaud. Les courants

diffrences de poids spcifique et par consqu

lexistence du champ de pesanteur terrestre. S

imposes sur les parois, on peut distinguer deux

parties du fluide dont la temprature est

de convection naturelle sont alors dus des

ent le phnomne se produit en raison de

elon les conditions aux limites thermiques

types lmentaires de la convection naturelle


4

induit par la pousse dArchimde : Le premier est appel coulement par pousse thermique.

Dans ce cas, le gradient de temprature est orthogonal la pousse dArchimde (exemple,

les enceintes chauffes diffrentiellement). Le deuxime type est caractris par

lchauffement de la paroi infrieure, ici le gradient de temprature est parallle la pousse

dArchimde, dont le clbre exemple est le problme dinstabilit de Rayleigh Bnard.

Les figures I.1 a, I.1 b, reprsentent les deux types de convection:

Figure I.1 : Les types de la convection naturelle dans les enceintes : (a) Enceinte chauffe

diffrentiellement; (b) Enceinte chauffe en bas (instabilit de Rayleigh Bnard).

I.1.2.1 la convection de Rayleigh-Bnard

La convection de Rayleigh-Bnard est un cas particulier de la convection naturelle qui

correspond la situation o un volume de fluide, enferm dans une enceinte, est

simultanment chauff par le bas et refroidi par le haut. Dans le champ de pesanteur, cette

configuration est instable en raison du gradient de densit engendr par la dfrence de

temprature entre le haut et le bas de lenceinte : le fluide du bas se dilate, devient plus lger

que le fluide du haut et tend slever sous leffet de la pousse dArchimde. En raison de sa

simplicit et du faible nombre de paramtres de contrle, la convection de Rayleigh-Bnard a

fait lobjet de nombreux travaux tant dun point de vue exprimental que sur un plan

thorique. La plupart des tudes portent sur la comprhension de lchange de chaleur entre la

source chaude et la source froide. Une question centrale est notamment de savoir comment

volue lefficacit du transfert thermique avec laugmentation du nombre de Rayleigh. Le

(a)

0.05870.05620.05470.05190.04450.03710.03340.02970.02960.02600.02370.02220.01850.01110.00740.0001

4.02273.62373.10602.58832.07071.55301.03530.73420.51760.12130.1056

-0.0000-0.3946-0.4778-0.5177-1.0354-1.5530-2.0707-2.5884-3.1060-3.6237-4.0321

(b)


5

nombre de Rayleigh (Ra) est un paramtre de contrle du systme. Il peut tre vu comme la

diffrence de temprature sans dimension, cest--dire que plus il est lev, plus lchange de

chaleur est important.

I.1.2.2 Couplage entre la convection et le rayonnement

Ltude de la convection naturelle en milieux confins fait, de nos jours encore, lobjet

de nombreuses recherches, tant sur le plan fondamental que sur le plan industriel. Dans ce

type de problme, les diffrents modes de transfert thermique (convection, conduction,

rayonnement) peuvent intervenir de faon couple. Toutefois, quand le transfert radiatif est

considr, un problme particulier se pose lorsque le fluide lui-mme se comporte comme un

milieu semi-transparent, c'est--dire quil absorbe et met le rayonnement infrarouge. Il faut

alors tenir compte dune source de chaleur interne au milieu, rsultant de la diffrence entre

lnergie radiative absorbe et celle qui a t mise par chaque lment de volume.

I.2 Revue bibliographique

Aprs cette prface, nous exposons chronologiquement quelques travaux disponibles

dans la littrature qui traitent lcoulement avec transfert de chaleur par convection thermique

dans les enceintes dune part et le couplage convection rayonnement thermique dautre part.

Inaba (1984) [1] a tudi exprimentalement le mouvement de convection naturelle et le

transfert thermique dans une couche d'air rectangulaire et incline, avec deux frontires

rigides, opposes, isothermes des tempratures diffrentes, pour des angles d'inclinaison

entre 0 et 180, plusieurs rapports de forme H/W (hauteur sur largeur de la cavit) entre 5 et

83 et des nombres de Rayleigh Raw = 1,2 x 103-2 x 106. Des configurations d'coulements dans

deux plans (plans XY et YZ) qui se rencontrent angle droit, sont visualises pour diffrents

facteurs mentionns ci-dessus. Des formules adimensionnelles donnant le flux thermique

transfr travers la couche d'air sont proposes pour exprimer le nombre de Nusselt Nuw et le

nombre de Rayleigh modifi pour, 0 60ou pour 60

<

120. Ces relations s'accordent bien avec les rsultats des mesures thermiques d'autres auteurs.

Lin et Nansteel(1987) [2] ont tudi numriquement la structure de l'coulement permanent,

la temprature et le transfert thermique dans une cavit carre chauffe et refroidie sur les

parois verticales opposes et qui contienne de l'eau froide proche de son maximum de

densit. Linterprtation des rsultats se base sur un paramtre adimensionnel de


6

distribution de densit qui fixe l'orientation des tempratures des parois chaude et froide

par rapport l'extremum de temprature et qui sert aussi caractriser la distribution de

la force de flottement dans la cavit. Les structures multicellulaires sont observes pour

certains domaines du paramtre de distribution de densit indpendamment de la valeur du

nombre de Rayleigh (103 Ra 106). L'effet du paramtre de distribution de densit sur

le transfert travers la cavit est trs sensible et ils le discutent relativement aux

changements de structure de l'coulement.

November et Nansteel(1987) [ 3 ] ont tudi analytiquement et numriquement la

convection naturelle permanente dans une enceinte carre, remplie d'eau chauffe par le bas et

refroidie sur un ct vertical. Des dveloppements pour un petit nombre de Rayleigh sont

obtenus l'ordre Ra2. Ils ont trouv que la premire contribution la convection thermique se

produit l'ordre Ra2. Des expressions asymptotiques sont trouves pour la temprature et le

transfert thermique prs de la singularit de flux au plancher de la cavit. Des simulations

numriques par diffrences finies montrent que la condition tudie (chauffage par le bas) est

tout fait distincte du cas du refroidissement par le bas et chauffage sur un ct vertical. Le

transfert thermique convectif est plus significatif quand un peu moins de la moiti de la

surface infrieure est chauff.

Yang et al (1987) [4] ont faits des calculs numriques aux diffrences finies pour dterminer

la transition laminaire et les caractristiques de transfert thermique dans des enceintes

rectangulaires tridimensionnelles inclines. L'angle d'inclinaison pour lequel le transfert de

chaleur atteint un minimum local correspond la transition de structure depuis l'coulement

multicellulaire vers celui unicellulaire. Des rsultats numriques s'accordent trs bien avec les

donnes exprimentales et les observations existantes. Des calculs en simulation

ont t faits pour dterminer l'effet des parois latrales et ils ont trouv que la proximit

immdiate des parois restreint le dveloppement de l'coulement dans cette direction, rduisant

ainsi le transfert thermique global travers l'enceinte.

Nishimura et al (1988) [5] ont tudi exprimentalement et numriquement la convection

naturelle laminaire dans des cavits rectangulaires divises par des partitions verticales

multiples. Dans le rgime de couche limite, la temprature de partition augmente peu prs

linairement dans la direction verticale. La solution de couche limite qui prdit le flux

thermique transfr est drive partir des rsultats numriques. Ils ont montr que le nombre


7

de Nusselt est inversement proportionnel (1+N), si N est le nombre de partitions. Cela est

confirm par les expriences.

Han et Kuehn (1991) [6] ont tudi numriquement l'coulement de convection naturelle

de double diffusion dans une cavit rectangulaire verticale, de rapport de forme 4, quand les

gradients de temprature et de concentration sont imposs dans la direction horizontale. Un

algorithme aux diffrences finies est adopt pour rsoudre les quations non linaires de

quantit de mouvement couples avec celles de l'nergie et de la concentration. Les structures

multicellulaires de l'coulement observes exprimentalement par les auteurs sont simules

avec succs. Diffrents rgimes de structure d'coulement sont obtenus en fonction du rapport

des nombres de Grashof pour des conditions de flottement aides ou opposes.

Le transfert thermique convectif est tudi numriquement par Karayiannis et al (1992) [7]

pour des cavits rectangulaires sans partition ou divises en deux zones par une cloison

verticale et ayant des parois opposes isothermes diffrentes tempratures. Le rapport de

forme varie de 0,1 16 et le nombre de Rayleigh de 3,5 x 103 3,5 x 107 (sans partition) et

de 1,0 x 105 1,6 x 108 (avec partition). Ils ont vari l'paisseur et la conductivit de la

cloison. Les conditions aux limites thermiques aux parois horizontales sont adiabatiques ou ils

possdent un profil de temprature linaire. Les quations de continuit, de quantit de

mouvement et de l'nergie pour un coulement 2D laminaire permanent sont rsolues dans

l'approximation de Boussinesq en utilisant une mthode de diffrences finies et un algorithme

de couplage pression-vitesse. Des rsultats indpendants du maillage indiquent que la

rduction du nombre de Nusselt cause par une cloison centrale mince peut tre prdite un

faible pourcentage (dans le domaine tudi) en supposant la partition isotherme, c'est--dire

infiniment conductrice. La conductivit finie de la cloison cause une distribution

longitudinale de temprature avec un accroissement de Nu qui dpend du nombre de

Rayleigh, du rapport de forme et des conditions aux limites thermiques sur les parois

horizontales.

Kazmierczak et Chinoda (1992) [ 8 ] ont tudi numriquement le problme de

l'coulement laminaire de convection naturelle dans une cavit carre ayant une paroi

verticale chaude temprature uniforme mais priodiquement variable dans le temps.

Cette temprature varie sinusodalement autour d'une temprature fixe. La paroi oppose

froide est maintenue temprature constante. Des solutions sont obtenues pour diffrents

cas qui illustrent les effets des oscillations de temprature de la surface sur l'coulement et


le transfert thermique travers

temps. Ces lignes de courant montrent qu'un

intermittente dans le coin su

oppos celui de l'coulement principal. Le flux thermique instantan trave

fluctue fortement et pendant une certaine dure, la chaleur enleve concerne un large

segment de la surface chaude. L'effet du changement priodique de temprature paritale

est partiellement sensible dans la cavit et globalement le transfer

travers la cavit, est pratiquement

Sarris et al (2002) [9] ont tudi numriquement la convection naturelle da

bidimensionnelle rectangulaire avec un profil de temp

suprieure et des conditions adiabatiques sur la paroi du bas et les parois latrales

La temprature sinusodale applique est symtrique en ce qui concerne le demi

cavit. Les calculs numriques son

gamme 102 108. Les rsulta

isothermes et de distribution de Nusselt local. Les zones de recirculation sont montres par

laugmentation de lintensit et leurs centres

avec laugmentation de Rayleigh. En consquence, la couche limite thermique est confine

prs des rgions de la paroi suprieure.

Laugmentation des valeurs du nombre local de Nu

suprieure sont observes avec laugmentation du nombre de Rayleigh.

En conclusion, laugmentation du rapport daspect de la cavit produit une augmentation

analogue de lintensit de circulation du fluide.

Figure I.2 : Gomtrie du problme


8

le transfert thermique travers la cavit. Les solutions obtenues sont priodiques dans le

mps. Ces lignes de courant montrent qu'un petit coulement secondaire apparat de faon

intermittente dans le coin suprieur prs de la paroi chaude et qu'il tourne dans le sens

oppos celui de l'coulement principal. Le flux thermique instantan trave


de la surface chaude. L'effet du changement priodique de temprature paritale

dans la cavit et globalement le transfert moyen

travers la cavit, est pratiquement insensible la condition thermique priodique.

tudi numriquement la convection naturelle da

rectangulaire avec un profil de temprature sinusodal sur la paroi

suprieure et des conditions adiabatiques sur la paroi du bas et les parois latrales

La temprature sinusodale applique est symtrique en ce qui concerne le demi

cavit. Les calculs numriques sont effectus pour des valeurs du nombre de Rayleigh dans la

. Les rsultats sont prsents sous forme des lignes de courant, des


intensit et leurs centres se dplacent vers les coins de la paroi suprieure


prs des rgions de la paroi suprieure.

Laugmentation des valeurs du nombre local de Nusselt maximum et minimum la paroi

avec laugmentation du nombre de Rayleigh.


analogue de lintensit de circulation du fluide.

: Gomtrie du problme tudi dans la rfrence [


la cavit. Les solutions obtenues sont priodiques dans le

petit coulement secondaire apparat de faon

et qu'il tourne dans le sens

oppos celui de l'coulement principal. Le flux thermique instantan travers la surface


de la surface chaude. L'effet du changement priodique de temprature paritale

moyen dans le temps,

insensible la condition thermique priodique.

tudi numriquement la convection naturelle dans une cavit

rature sinusodal sur la paroi

suprieure et des conditions adiabatiques sur la paroi du bas et les parois latrales (figure I.2).

La temprature sinusodale applique est symtrique en ce qui concerne le demi-plan de la

pour des valeurs du nombre de Rayleigh dans la

lignes de courant, des


vers les coins de la paroi suprieure


sselt maximum et minimum la paroi


tudi dans la rfrence [9].


9

Rahman et al (2003) [10] ont fait des investigations numriques sur l'coulement de la

convection naturelle avec ou sans source de chaleur interne (figure I.3). Deux principaux

paramtres pour ce problme : le nombre de Rayleigh externe, RaE, qui reprsente l'effet d

au gradient temprature des parois latrales, et le nombre de Rayleigh interne, RaI, qui

reprsente la force de gnration de la source. Des rsultats sont obtenus pour diffrent

allongement et divers angles dinclinaison de lenceinte rectangulaire.

Figure I.3 : Gomtrie et conditions aux limites du problme de la rfrence [10].

Ezzouhri et al (2005) [11] ont dvelopp des outils numriques de type Simulation des

Grandes chelles pour ltude des coulements de convection naturelle turbulente dans

des cavits de type habitat. Les hauteurs ont compar ici les rsultats du modle

dynamique de Germano (1991) [12] et dune approche dynamique applique au modle

local de diffusivit de sous-maille dans le cas dune cavit 2D diffrentiellement chauffe.

Les rsultats sont compars avec ceux dune simulation numrique directe (DNS). Au vu

des rsultats obtenus, ils ont conclu que le modle local de diffusivit de sous-maille est

globalement le plus apte reproduire les rsultats de la DNS. Lapproche dynamique

applique ce modle permet damliorer la reprsentation du champ thermique en partie

centrale de la cavit par rapport au cas dune constante fixe priori, mais saccompagne

dune moins bonne reprsentation de la dynamique de lcoulement dans les zones de

recirculation en partie amont des couches limites chaude et froide.

Kalabin et al (2005) [13] ont prsent numriquement la convection naturelle oscillatoire

dans une enceinte carre incline. Lune des parois verticales est maintenue une temprature

constante et la temprature de lautre paroi varie sinusodalement avec le temps. Les deux

autres parois sont adiabatiques. Le dispositif considr est reprsent sur la figure (I.4). Les

quations qui rgissent le problme ont t rsolues numriquement par la mthode des


10

volumes finis pour un nombre de Rayleigh gal 5 510 et un nombre de Prandtl Pr=1 sur

une large gamme des frquences doscillations. La dpendance du transfert de chaleur avec

les frquences doscillations a t applique pour diffrents angles dinclinaisons. Il apparat

dans certains paramtres du problme, quil est possible de transfrer la chaleur de la paroi

froide vers la paroi chaude.

Figure I.4 : Schma du problme tudi dans la rfrence [13].

Rebhi et al (2005) [14] sont intresss ltude numrique de la convection naturelle

laminaire dans une enceinte bidimensionnelle fond non uniforme (sinusodal) chauff par

une temprature constante et uniforme Tp, les parois verticales sont adiabatiques et la paroi

suprieure est maintenue une temprature constante Ta (figure I.5). Les paramtres dont

dpend la structure de la convection naturelle sont : le nombre de Rayleigh, le facteur de

forme A et le nombre de Prandtl.

Dans ce travail ils ont tudi linfluence de topographies non planes du fond de la cavit sur

les transferts, par convection naturelle, au voisinage de la paroi chaude. Les rsultats obtenus

montrent que :

La structure de lcoulement est notamment affecte par le facteur de forme de la cavit

en mme temps que les transferts au voisinage de la paroi.

Lcoulement dans la cavit est caractris par des zones de recirculation dans les

creux et au-dessus des sommets, o les nombres de Nusselt locaux sont plus levs.

Dune faon gnrale les transferts dvelopps au sein dune cavit fond de

topographie non plane sont infrieurs ceux obtenus dans une cavit fond horizontal

et uniforme de mme longueur.


11

Figure I.5 : Prsentation du problme considr dans la rfrence [14].

Retiel et al (2005) [15] ont prsent numriquement leffet de linclinaison sur la convection

naturelle dans une cavit demi-cylindrique ferme de rayon intrieur qui contient un fluide

incompressible. La paroi suprieure plafond et la paroi infrieure le plancher engendrent

un gradient vertical de temprature (parois actives) (figure I.6). Le modle numrique utilis

pour rsoudre le systme d'quations est fond sur la mthode des volumes finis.

Dans cette tude, ils ont pu montrer le comportement des structures dcoulement et du champ

de temprature dans la cavit lorsquelle est incline en prsence dun gradient de temprature

vertical. Ils ont observ que linclinaison de la cavit mme de faible valeur dstabilise

facilement et compltement la structure de lcoulement et le champ de temprature. La

structure multicellulaire disparat lorsque la cavit est parfaitement horizontale (2 cellules)

pour laisser la place une structure unicellulaire antisymtrique par rapport au centre de la

cavit.

Figure I.6 : Gomtrie du problme considr dans la rfrence [15].


12

Sarris et al (2005) [ 16 ] ont tudi numriquement la convection naturelle

bidimensionnelle dans une cavit carre latralement chauffe remplie dun fluide

conducteur dlectricit, en prsence d'un champ magntique et une source de chaleur

(figure I.7). Ils ont trouv quavec laugmentation du rapport S = RaI/RaE, lcoulement

devient oscillatoire. Les champs d'coulement multicellulaires oscillants sont obtenus pour

des valeurs de S variant jusqu' 100 et une gamme de RaE varie de 105 106.

Laugmentation du rapport S habituellement donne une transition de ltat stable un

tat instable mais ils ont trouv que l'coulement instable devient stable pour quelques

cas.

Figure I.7 : Gomtrie et conditions de la cavit tudie dans la rfrence [16].

Aydin et Unal (2006) [17] ont tudi numriquement lcoulement bidimensionnel dans une

cavit incline refroidie et chauff sur les parois adjacentes. Les quations gouvernant le

problme sont rsolues numriquement par la mthode des diffrences finies. Les calculs sont

effectus pour les valeurs du nombre de Rayleigh situs dans la gamme du 10 5 10. ils

ont observ avec laugmentation du Rayleigh, quatre rgimes distincts d'coulement ont t

identifis, bas sur les variations avec le temps de la fonction de courant du point mdian et

du nombre de Nusselt moyen la paroi chaude aussi bien que ceux des champs d'coulement

et de temprature : flux stationnaire avec les deux cellules symtriques aux bas Ra, flux

stationnaire avec les deux cellules asymtriques aux Ra modr infrieur, coulement

oscillant avec la nature priodique aux Ra modr suprieur ; et coulement oscillant en

nature chaotique une chane plus leve de Ra.

Benkhelifa et Penot (2006) [18] sont intresss la caractrisation dynamique par PIV de la

convection de Rayleigh-Bnard turbulente dans une cavit paralllpipdique, remplie dair et

de rapport de forme (H/L) gal 4. Lanalyse des rsultats obtenus, pour des valeurs du


13

nombre de Rayleigh RaH (bas sur la hauteur H de la cavit) variant entre 108 et 4,23108,

montre surtout que les fluctuations de vitesse sont importantes et au moins du mme ordre de

grandeur que les vitesses moyennes. Par ailleurs, mme des valeurs trs loignes de la

valeur critique du nombre de Rayleigh (facteur 103), une structuration trs cohrente et

organise autour de trois rouleaux contrarotatifs est particulirement bien visible sur les

valeurs moyennes. Dautre part, une investigation dans la troisime direction a permis de

quantifier lnergie cintique turbulente 3D et des effets tridimensionnels secondaires qui

navaient pas t quantifis auparavant. Enfin, leffet dune infime perturbation sur le sens de

rotation des rouleaux de Rayleigh-Bnard a t galement examin.

Amaresh et al (2006) [19] quant eux, ont fait une tude de la convection naturelle dans une

cavit rectangulaire. La paroi inferieur est chauffe et les trois autres parois sont maintenues

une plus basse temprature. Le systme d'quations est rsolu numriquement par la mthode

des volumes finis, les rsultats sont prsents sous forme de distribution locale et moyenne

du nombre de Nusselt pour une gamme du nombre de Rayleigh (100 -106) et des rapport

daspect (0.5, 0.75, 1, 1.25, 1.5, et 2). Les lignes des courants et les isothermes sont

prsentes pour diffrentes valeurs du nombre de Rayleigh et nombre de Prandtl de 0.71.

Ils ont constat que pour tous les rapports daspect avec un nombre de Rayleigh entre (100

et 103), le transfert thermique seffectue par conduction, aprs llvation du nombre de

Rayleigh jusqu Ra 104 ont observ la dominance de la convection. La distribution de

flux et de transfert thermique est symtrique par rapport au demi-plan vertical.

Naw af et al (2006) [ 20 ] ont tudi la convection laminaire dans une cavit carre

bidimensionnelle remplie d'air. Ils ont suppos que la paroi verticale est chauffe des

variations sinusodales spatiales de la temprature par rapport une valeur moyenne

constante, qui est plus haute que la temprature froide de la paroi latrale, alors que les parois

horizontales sont adiabatiques (figure I.8). Ils ont trouv que le nombre de Nusselt moyen

bas sur la temprature de la paroi chaude augmente avec laugmentation de l'amplitude

pour une gamme du nombre de Rayleigh variant de 103 106.


Figure I.8 : Diagramme schmatique du modle physique et du systme des

Abidi et al (2007) [21] ont considr

naturelle double diffusion dans une enceinte cubique remplisse dune solution aqueuse et

soumise des gradients de temprature et de

des concentrations constantes et uniformes sont imposes sur les parois verticales, gauche

droite, de l'enceinte, les deux autres parois verticales sont impermables et adiabatiques tandis

que les parois horizontales sont diffusives en chaleur et en masse. Ils ont mis en vidence

linfluence de ces parois diffusives en chaleur et en masse su

lcoulement, les profiles de tempratures, de concentration et les caractristiques de transfert

global de chaleur et de masse pour diffrents paramtres gouvernant lcoulement. Les effets

des conditions prcdents ont t t

des coefficients de transfert de chaleur et de masse R

Rd (rapport des coefficients massique). Cette tude a montr que lajout des parois diffusives

en chaleur et en masse induit une diminution de lintensit globale de lcoulement et les

transferts de chaleur et de masse dune part et favorise lcoulement transversal dautre part.

Mergui et Gobin (2007) [22

de dveloppement dune instabilit

rectangulaire chauffe par le bas et refroidie par le haut

est de regarder linfluence des parois latrales sur le comportement de

faisant varier le rapport de forme transverse (largeur/hauteur) du canal ainsi que la

de ces parois (rugueuses, lisses...). Linstabilit


14

Diagramme schmatique du modle physique et du systme des

utiliss dans la rfrence [20].

ont considr une tude numrique tridimensionnelle de la convection

diffusion dans une enceinte cubique remplisse dune solution aqueuse et

gradients de temprature et de concentrations horizontales. Des tempratures et

des concentrations constantes et uniformes sont imposes sur les parois verticales, gauche



linfluence de ces parois diffusives en chaleur et en masse sur laspect tridimensionnel de



des conditions prcdents ont t traits pour Ra=105, Pr=10 et Le=10 pour diffrentes valeurs

des coefficients de transfert de chaleur et de masse Rc (rapport de conductivit thermique) et

(rapport des coefficients massique). Cette tude a montr que lajout des parois diffusives

chaleur et en masse induit une diminution de lintensit globale de lcoulement et les


22] ont ralis une tude exprimentale portant s

de dveloppement dune instabilit rencontre dans un coulement dair

rectangulaire chauffe par le bas et refroidie par le haut (figure I.9). Le but de cette tude

est de regarder linfluence des parois latrales sur le comportement de

faisant varier le rapport de forme transverse (largeur/hauteur) du canal ainsi que la

de ces parois (rugueuses, lisses...). Linstabilit apparat sous la forme de rouleaux orients


Diagramme schmatique du modle physique et du systme des coordonns

tridimensionnelle de la convection

diffusion dans une enceinte cubique remplisse dune solution aqueuse et

concentrations horizontales. Des tempratures et

des concentrations constantes et uniformes sont imposes sur les parois verticales, gauche et



r laspect tridimensionnel de



, Pr=10 et Le=10 pour diffrentes valeurs

(rapport de conductivit thermique) et

(rapport des coefficients massique). Cette tude a montr que lajout des parois diffusives

chaleur et en masse induit une diminution de lintensit globale de lcoulement et les


une tude exprimentale portant sur les conditions

rencontre dans un coulement dair dans une conduite

. Le but de cette tude

est de regarder linfluence des parois latrales sur le comportement de linstabilit en

faisant varier le rapport de forme transverse (largeur/hauteur) du canal ainsi que la nature

apparat sous la forme de rouleaux orients


15

dans le sens de lcoulement qui prennent naissance au voisinage des parois latrales. Les

hauteurs ont montr que le nombre de rouleaux est pair quelque soit le jeu de paramtres

caractristiques considr mais que leur comportement dpend des conditions qui rgnent sur

les parois latrales (conditions thermiques, tat de surface).

Figure I.9 : Prsentation du problme tudi dans la rfrence [22].

Ould said et retiel (2007) [23] ont tudi la convection naturelle laminaire dun fluide

visqueux incompressible dans une cavit confine en forme de pyramide horizontale chauffe

par le bas et refroidie par les parois inclines suprieures (figure I.10). Les conditions aux

frontires sont de type Dirichlet (tempratures imposes). Le problme a t abord selon une

approche numrique, base sur la mthode des volumes finis en utilisant le logiciel

commercial Fluent.

Dans une premire tape, ils ont analys le comportement des structures dcoulements et du

champ de temprature, en rgime laminaire, et ils ont remarqu que les tailles des cellules

restent constantes pour un nombre de Rayleigh 10 Ra10, puis elles augmentent au-del

de10. Ils ont observ des coulements plus acclrs prs des couches limite. Les gradients

de temprature sont essentiellement verticaux lorsque le fluide est immobile et conductif, et

courb lorsque des cellules convectives occupent la cavit.

Par ailleurs, la convection naturelle est videmment trs sensible la variation du rapport de

forme. En effet, daprs les rsultats obtenus, plus le rapport de forme augmente plus le

nombre de Nusselt moyen le long de la paroi chaude diminue dans le cas de la cavit chauffe

par le bas.


16

Figure I.10 : Gomtrie de la pyramide [23].

Djatout et al (2010) [24] ont prsent une tude de la circulation dair par convection

naturelle en rgime laminaire dans une cavit carre incline avec des parois horizontales

adiabatiques et des parois verticales soumises des tempratures constantes respectivement

( et ). Le systme dquations qui rgit le phnomne de la convection naturelle est rsolu

numriquement grce un code de calcul bas sur la mthode des volumes finis en langage

Fortran et le code de calcul Fluent. Ils ont tudi galement linfluence de certains paramtres

comme le nombre de Rayleigh, le nombre de Nusselt et linclinaison de la cavit sur les

profils de vitesse et de temprature.

Daprs l'ensemble des rsultats numriques ils ont conclu que : le nombre de Rayleigh a une

grande influence sur le mode de transfert de chaleur dominant dans la cavit surtout pour le

nombre Ra =104 o commence le mouvement convectif et pour Ra =106 o la convection est

dominante. Donc lchange de chaleur dans la cavit augmente avec laugmentation de Ra.

Des travaux, principalement numriques, ont t consacrs au couplage du

rayonnement des parois (rayonnement surfacique) et/ou du milieu (rayonnement

volumique) avec la convection naturelle pour le cas des cavits fermes:

Gugl ie lmini et al (1987) [ 25] ont tudi le transfert thermique par convection et

rayonnement entre une surface isotherme verticale ayant un arrangement de plaques

verticales discrtes d'paisseur finie et l'environnement (figure I.11). La contribution de la

convection naturelle a t mesure pour diffrentes configurations gomtriques avec des

surfaces faible mittance, ils ont analys l'influence des paramtres les plus actifs. Les rsultats

thoriques ont t exprimentalement vrifis en mesurant le flux de chaleur travers des


surfaces d'missivit connue. Pour la gomtrie particulire considre, le couplage de

convection et de rayonnement donne un transfert thermique plus efficace que pour des ailettes

canaux verticaux en forme de U et de mme volume.

Figure I.

Yamada (1988) [ 26 ] a p

combin la convection the

missif (figure I.12). Un ca

rend important la fois le r

tabli en utilisant le modle

de paroi arbitraires. Des r

missivits de paroi ont un

gaz gris est en dfaut pour

d'une paroi isole.

Figure I.12 :

Tan et Howell (1991)

naturelle coupl dans une

isotropiquement. La formul

17

11 : Configuration des ailettes de radiateur [25].

rsent des tudes analytique et exprimentale du rayonnement

rmique naturelle dans un canal vertical, avec un milieu absorbant et

nal entre plaques parallles est chauff dissymtriquement, ce qui

ayonnement du gaz et celui des parois. Un systme d'quations est

bande exponentielle et le modle de gaz gris, avec des missivits

sultats numriques sont compars ceux de l'exprience. Les

effet important sur le transfert de chaleur combin. Le modle de

prdire l'absorption nette ngative dans une couche de gaz proche

Configuration du problme dun canal vertical [26].

[27] ont tudi numriquement le rayonnement et la convection

cavit carre contenant un milieu qui met, absorbe et diffuse

ation intgrale exacte pour les quations du transfert radiatif et des


18

bilans de quantit de mouvement et d'nergie est discrtise par une mthode produit-intgrale

et aussi une mthode aux diffrences finies. Les quations algbriques rsultantes sont rsolues

par une technique SOR non linaire, avec des valeurs de nombre de Rayleigh suivants : 103, 104

et 105 et le paramtre rayonnement-conduction allant de zro l'infini. Ils ont discut les influences

de ces paramtres et d'autres sur les distributions de vitesse et de temprature ainsi que le

transfert thermique. Les rsultats obtenus montrent que la prsence du rayonnement augmente

la temprature du fluide, et peut avoir une influence significative sur le flux de fluide et la

distribution de temprature avec diffrents nombres de Rayleigh. Les auteurs ont remarqu

dune part que pour simuler exactement les variations de la temprature prs des parois

isolants, il est ncessaire d'utilis un modle bidimensionnel de rayonnement, et dautre

part, malgr la mthode numrique employe, ici, est efficace et les rsultats sont tout fait

prcis compars aux solutions de repre dans des cas limits, mais Pour obtenir des rsultats

plus prcis, ils devraient tre appliqus un schma de diffrences finis d'ordre plus suprieur

ou utilis plus des points du maillage.

Chrif et Sifaoui (2004) [28], dans leur travail, des solutions numriques sont prsentes

pour ltude de leffet du rayonnement sur le transfert thermique. La prsence simultane de

conduction, convection et rayonnement dans un milieu poreux semi-transparent cylindrique a

t tudie (figure I.13). Lensemble des quations diffrentielles sont rsolues par la mthode

des diffrences finies du quatrime ordre, et ils utilisent lapproximation de Rosseland pour le

terme driv du flux de chaleur rayonnant apparaissant dans lquation dnergie. De divers

rsultats sont obtenus pour les profils de temprature adimensionnelle (dans les phases solide

et fluide), du flux radiatif et du flux thermique total. Leffet des nombres de Reynolds et de

Planck et le rapport de conductivit sur les profils de temprature, sur le flux de chaleur total

et sur les distributions de flux de chaleur radiatif ont t examins.

Ils ont montr que le taux de transfert radiatif et linteraction de diffrents modes de transfert

dpendent du paramtre de conduction-rayonnement, du nombre de Reynolds et du rapport de

conductivit thermique. La conclusion qui peut tre tire de cette tude est que le

rayonnement joue un rle important dans le taux de transfert thermique.


19

Figure I.13: Schma considr dans la rfrence [28].

A laide de la mthode des Ordonnes Discrtes (DO), Timoumi et al (2005) [29] ont

tudi le transfert de chaleur convectif, radiatif et conductif entre deux cylindres coaxiaux

spars par un milieu poreux semi-transparent (figure I.14). Leffet de l'paisseur optique,

l'albdo de dispersion, l'missivit des parois et le nombre de Planck sur les profils de

temprature et sur la distribution de flux de chaleur radiatif ont t examines.

Ils ont montr que le taux de transfert radiatif et l'interaction de diffrents modes de transfert

dpendent de : paramtre de conduction-rayonnement, paisseur optique, missivit des

parois et albdo de dispersion. Ils ont galement dmontr que le rayonnement joue un

rle important dans le taux de transfert thermique. Bas sur la mthode (DO), ils ont

conclu que la mthode utilise ici donne des rsultats fortement prcis mme lorsqu'elle est

sujette un milieu poreux cylindrique participant semi-transparent.

Figure I.14: Gomtrie du problme tudi dans la rfrence [29].

Wang et al (2006) [30] ont dvelopp un code numrique pour le couplage de la convection naturelle

en cavit avec le rayonnement de surfaces. Des tudes ont t menes pour une cavit carre remplie

dair dont les quatre parois ont la mme missivit. Les rsultats montrent que, par rapport au cas


20

sans rayonnement, la paroi suprieure est refroidie, la paroi inferieure est rchauffe, lcoulement

horizontal est renforc et la stratification diminue. Lanalyse montre que la densit de flux radiatif

net est linaire en (si ) , ce qui est le cas faible nombre de Rayleigh, et que le nombre

de Nusselt radiatif est linaire dans la hauteur de la cavit. Le rayonnement de surfaces fait baisser le

nombre de Rayleigh critique caractrisant lapparition de linstationnarit : pour = 0.2 et une cavit

de 0.335 m de haut il est de 9.3 106 et la bifurcation correspondante est supercritique. De plus des

solutions priodiques multiples sont observes entre Ra = 1.2 107 et 1.3 107.

Jaballah et al (2007) [31] ont essay de localiser des valeurs prcises pour le seuil de la

convection oscillante dans une cavit carre remplie d'air, avec des parois verticales

diffrentiellement chauffs et des parois horizontales adiabatiques et grises, par ltude

numrique de linteraction de la convection naturelle avec le rayonnement. Une gamme des

valeurs de l'missivit varie de 0 1, a t tudi avec des valeurs du nombre de Rayleigh

de 1.2x106 5x107. Les rsultats prouvent que la prsence du rayonnement extrieur peut

changer les champs de la vitesse et de la temprature. La valeur du nombre de Nusselt radiatif

augmente rapidement avec l'augmentation de l'missivit. La stabilit de l'coulement est

influence par le rayonnement selon son tat dynamique. En effet, le rayonnement apparat

comme facteur de catalyse sur le comportement de l'coulement. Pour Ra = 2.1 x 106, le

champ d'coulement approche asymptotiquement de l'tat d'quilibre avec la prsence du

rayonnement pour toutes les valeurs de l'missivit. En labsence de rayonnement, l'tat

d'quilibre est approch pour Ra=107. Pour Ra=5x107, les oscillations augmentent d'amplitude

et de frquence avec la valeur de l'missivit. En conclusion, les auteurs ont trouv que le

rayonnement des parois a plus d'effet sur la stabilit d'coulement que le milieu radiatif

participant.

Jami et al (2007) [32] ont tudi numriquement le phnomne de la convection naturelle

couple au rayonnement dans une cavit carre contenant un cylindre. Seul le rayonnement

surfacique est pris en compte et les surfaces radiatives sont supposes grises et isotropes en

mission et rflexion. Un schma hybride, bas sur la mthode de Boltzmann sur rseau combine

la mthode des diffrences finies, est utilis pour lanalyse du comportement thermique et

dynamique de lair. Les effets du nombre de Rayleigh et de la dimension du cylindre sur le

transfert de la chaleur et lcoulement de lair, ont t analyss et discuts. Les principales

conclusions de cette tude peuvent tre rsumes comme suit :

Le transfert thermique augmente en fonction du rayon du cylindre.


21

En absence du rayonnement, leffet du rayon du cylindre sur le transfert thermique

est dautant plus faible que Ra est lev.

Linfluence du rayon du cylindre, sur les champs dynamique et thermique, est

plus considrable en prsence du rayonnement.

Une quasi symtrie, des champs thermique et dynamique, est observe pour un

faible rayon du cylindre.

Le rayonnement homognise les tempratures des surfaces en regard et augmente le

transfert de chaleur lintrieur de la cavit.

Meftah et al (2007) [33] ont tudi la convection naturelle de double diffusion dans une cavit

carre remplie dun mlange air-CO2 et dont les parois verticales sont maintenues des

tempratures et concentrations diffrentes. Le modle numrique est bidimensionnel,

laminaire et utilise une mthode de diffrences finies pour valuer les vitesses, les

tempratures et les concentrations. La participation radiative de CO2 est calcule par la

mthode des Ordonnes Discrtes (DO) avec un modle spectral de type somme pondre

de gaz gris (mthode SLW de Denison et Webb). Les rsultats sont donns pour un nombre

de Rayleigh de lordre de 107 et deux niveaux de concentration en CO2. Ils ont trouv que La

participation radiative du fluide, induite par la prsence de CO2 dans le mlange, modifie la

structure de lcoulement et perturbe le champ thermique, notamment en crant une

stratification oblique.

Mezrhab et al (2007) [34] ont tudi numriquement linfluence des partitions sur le transfert

de chaleur par convection naturelle et par rayonnement thermique dans une cavit incline dun

angle = 45 par rapport au plan horizontal (figure I.15). Les quations de conservation

sont rsolues par la mthode des volumes finis. La cavit contient un nombre N de partitions

variant de 0 3. Ils ont conclu que:

le rayonnement thermique augmente le transfert de chaleur au sein de la cavit,

Plus le nombre de partition est grand, plus le transfert de chaleur est rduit.


22

Figure I.15: Configuration de la cavit incline avec partitions [34].

Les travaux de Jbara et al (2009) [35] ont permit de mettre au point des outils pour des tudes

thoriques (modles et logiciels) de lcoulement et du transfert de chaleur par convection

naturelle instationnaire en prsence du transfert radiatif dans un milieu poreux suppos isotrope et

satur par une seule phase fluide contenu dans un canal vertical ouvert ses deux extrmits et

dont les parois sont maintenues une temprature uniforme (figure I.16). Ltude de sensibilit

des rsultats aux diffrentes proprits radiatives, en loccurrence, lmissivit des particules

solides, le coefficient dabsorption, le coefficient de diffusion et lalbdo de diffusion du

rayonnement a t galement prsente et discute. Les principales conclusions obtenues sont:

Les champs de temprature et de vitesse augmentent lorsque lmissivit des particules et

le coefficient dabsorption augmentent ou lorsque le coefficient de diffusion et

lalbdo de diffusion diminuent.

Laugmentation de lmissivit des particules entraine une lvation de la pression dans

la moiti infrieure du canal et une diminution de la pression dans la moiti suprieure du

canal.

Les valeurs du dbit volumique adimensionnel quittant la face suprieure du canal et du flux

de chaleur convectif adimensionnel chang au niveau de cette mme face augmente

lorsquon augmente lmissivit des particules et le coefficient dabsorption ou lorsquon

diminue le coefficient de diffusion et lalbdo de diffusion.


23

Figure I.16: Schmatisation du domaine considr dans la rfrence [35].

Mezrhab et al (2010) [36] ont analys les effets de l'change de rayonnement l'intrieur

d'une serre chaude (figure I.17), dans des conditions climatiques d'hiver, selon le nombre de

tubes de chauffage carrs utiliss, dont ces derniers sont chauds et isothermes et sont

quidistants l'intrieur de la serre. Les quations rgissant le phnomne sont discrtises

en utilisant la mthode des volumes finis et le problme de couplage pression-vitesse est

effectu par l'algorithme SIMPLER. Des rsultats sont rapports en termes d'isothermes,

des lignes de courants et du nombre de Nusselt moyen pour nombre de Rayleigh variant

de 103 106. Les lignes de courants prouvent que les effets radiatifs sont notables prs des

parois de la serre, et deviennent de plus en plus importants quand le nombre de Rayleigh

augmente. En consquence, llvation du nombre de Rayleigh entraine une augmentation

du transfert thermique global dans la serre.

Figure I.17: Configuration de la serre chaude horticole [36].


24

Dans le travail de Sun et al (2011) [37], le modle physique considr est une cavit carr

remplie par lair refroidie de bas en haut, avec un corps carr chaud situ au centre de la

cavit (figure I.18). Le but de ce travail est d'tablir les effets des changes radiatifs entre

les surfaces sur la transition dun coulement stable et symtrique un coulement

priodique complexe. En raison des faibles diffrences de temprature (1 K <

Chapitre II Equations de conservations-modlisation

25

CHAPITRE II

EQUATIONS DE CONSERVATIONS-MODELISATION

II.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous allons prsenter les gomtries des deux configurations

considres, ainsi que les quations de conservation rgissant le problme trait dans ce

mmoire. Elles sont fondes sur les principes: de conservation de la masse (continuit), de la

quantit de mouvement (Navier-Stokes), de l'nergie, et les conditions aux limites de chaque

cas ainsi que les quations des modles du rayonnement thermique.

II.2 Gomtries du problme

Le premier problme concerne la convection de Rayleigh Bnard. La gomtrie

considre est illustre sur la figure (II.1). Il sagit de deux plaques planes parallles

horizontales infinies ayant une hauteur H et longueur L dont le rapport daspect est

A=L/H=10. Les parois horizontales sont chauffes diffrentiellement, par contre les frontires

dlimites verticales sont priodiques.

Dans le deuxime problme, on sinteresse la convection thermique dans une cavit

carre de hauteur h, avec des parois horizontales adiabatiques et des parois verticales

soumises des tempratures constantes respectivement ( et ). Deux cas physiques sont

considrs : cas dun coulement de convection naturelle pure (sans rayonnement), et le cas

du couplage entre la convection naturelle et le rayonnement thermique.


26

= = 0 = 0

= = 0 = 0

= = 0

=

= = 0

= x

y

Figure (II.1) : Gomtrie et conditions aux limites du cas des deux plaques planes

horizontales.

Figure (II.2) : Gomtrie et conditions aux limites du cas de la cavit carre.

= 10

=

=

g

x

y


27

II.3 Hypothses

A fin de simplifier la formulation mathmatique de notre problme, nous adapterons les

hypothses simplificatrices suivantes:

Hypothses gnrales

Ecoulement laminaire et bidimensionnel.

Fluide newtonien et incompressible.

Les proprits physiques du fluide (, , Cp et k) sont supposes constantes.

Le transfert de chaleur par rayonnement est ngligeable.

Il ny a pas de sources internes de chaleur ou de masse dans le problme tudi et il

ny a aucune raction chimique.

La dissipation visqueuse est ngligeable )0( et pas de source de chaleur )0(

q .

Lapproximation de Boussinesq est valide, celle-ci consiste considrer les variations

de masse volumique sont ngligeables au niveau de tous les termes des quations de

quantit de mouvement ( = 0), sauf au niveau du terme de gravit. La variation de la

masse volumique en fonction de la temprature est donne par:

00 1 TT (II.1)

0 : La masse volumique du fluide la temprature de rfrence T0.

: Le coefficient de dilatation pression constante.

Hypothses concernent le cas du couplage convection-rayonnement

Le transfert de chaleur par rayonnement nest pan ngligeable.

Le milieu fluide est absorbant.

Toutes les parois de la cavit carre sont grises et diffuses.

II.4 Equations gnrales de conservation

Les quations qui rgissent le phnomne de convection naturelle dans lenceinte

Sont :

Equation de continuit

Elle est dduite du principe de conservation de masse et sexprime sous forme tensorielle

comme suit :


28

0

j

j

uxt

(II.2)

(j=1, 2, 3 : indice de sommation

Pour un fluide Newtonien incompressible, lquation (II.2) se rduit :

0

j

j

x

u(II.3)

Equations de quantit de mouvement

Daprs la deuxime loi fondamentale de la dynamique, la variation pendant

lunit de temps de la quantit de mouvement dune particule fluide est gale la somme

des forces extrieures exerces sur cette particule. Lquation de la dynamique sous forme

tensorielle scrit alors comme suit

i

j

j

i

ji

ii

j

jix

u

x

u

xx

pFu

xuu

t (II.4)

(j = 1~2, indice libre)

O :

)( iut

: Reprsente le taux de variation de la quantit de mouvement pendant lunit de

temps.

)( ijj

uux

: Reprsente le taux net de transport de quantit de mouvement suivant la

direction i, par le mouvement du fluide.

iF : Reprsente les forces du volume suivant la direction i.

ix

p

: Reprsente les forces de pression.

i

j

j

i

j x

u

u

u

x : Reprsente les forces de viscosit.

Lquation (II.4) reprsente la conservation de quantit de mouvement (quation de Navier

Stokes) dun fluide visqueux incompressible en rgime transitoire.


29

Equation de lnergie

Elle est obtenue par lapplication du premier principe de la thermodynamique et du

principe de conservation de lnergie. Cette quation pour un fluide Newtonien

incompressible, scrit sous la forme suivante :

2

2

j

j

j x

TTu

xt

T

(II.5)

O :pC

K

: La diffusivit thermique.

K : La conductivit thermique.

PC : La chaleur spcifique pression constante.

II.5 Equations simplifies

Equation de continuit :

0

y

v

x

u(II.6)

Equation de quantit de mouvement suivant la direction X :

)()()()(0y

u

yx

u

xx

pvu

yuu

x

(II.7)

Equation de quantit de mouvement suivant la direction Y :

)()()()()( 000 TTgy

v

yx

v

xy

pvv

yuv

x

(II.8)

Equation de lnergie :

)()()()(0y

TK

yx

TK

xvT

yuT

xC p

(II.9)

Equation de lnergie dans le cas du couplage convection-rayonnement :

r

p

p qCy

TK

yx

TK

xvT

yuT

xC

1)()()()(0 (II.10)


30

O :

vu , Reprsentent respectivement les composantes de la vitesse horizontale et verticale selon

les directions ( yx, ).

II.6 Equations adimensionnelles

Lemploi de la variable adimensionnelle permet dexprimer la ralit des phnomnes

physiques indpendamment des systmes de mesure pour permettre davoir des informations

gnralises une varit de problmes ayant les mmes grandeurs de cfficient de

similitudes dun cot et dun autre, rduire le nombre de paramtre du problme . En effet,

pour faire apparatre les paramtres de contrle du problme tudi, il est ncessaire

dintroduire les grandeurs de rfrence.

Variables adimensionnelles

L

xX

L

yY 4frr TqQ

L

uU

L

vV

CH

C

TT

TT

2

0

L

pP

Les quations adimensionnelles deviennent alors :

Equation de continuit :

0

Y

V

X

U(II.11)

Equation de quantit de mouvement suivant la direction X :

Y

U

YX

U

XX

P

Y

UV

X

UU Pr (II.12)

Equation de quantit de mouvement suivant la direction Y :

ARaY

V

YX

V

XY

P

Y

VV

X

VU ..Pr.Pr

(II.13)


31

Equation de lnergie :

YYXXYV

XU

(II.14)

Equation de lnergie dans le cas du couplage convection-rayonnement :

rQPlYYXXY

VX

U

*1

(II.15)

Avec :

= / : Rapport daspect de la cavit.

= / : Nombre de Prandtl.

= / : Nombre de Rayleigh.

= 4 / : Nombre de Planck.

Nombre de Prandtl:

Le nombre de Prandtl est donc le rapport de deux grandeurs ayant les mmes

dimensions, soient m2/s. La viscosit cinmatique reprsente la diffusion de la vitesse (qui

dpend des forces visqueuses) alors que la diffusivit thermique est la capacit du fluide de

conduire de la chaleur. Aussi, Pr nous donnera une indication sur le rapport des effets

thermiques et visqueux.

Pr = / = viscosit cinmatique/diffusivit thermique

Avec un Pr donn, il est possible de savoir quel type de fluides nous avons.

Nombre de Rayleigh:

Gradient de temprature dans le champ de gravite (direction y)

Le nombre de Rayleigh est directement li la convection.

La convection a lieu lorsque la pousse dArchimde (due laugmentation de

temprature) provoque le mouvement du fluide.

Cependant, il faut que cette force dArchimde soit assez grande pour contrer les forces

visqueuses et de gravit qui sopposent au mouvement de la particule.

De plus, si lquilibre thermique est atteint, il ny a plus de force dArchimde. La

capacit dune particule dentrer en quilibre avec son environnement plus ou moins

rapidement dpend de sa diffusivit thermique .


32

Ra nous donne le rapport entre le temps pour que la chaleur diffuse et celui pour que

la particule entre en mouvement.

Gradient de temprature dans une direction diffrente de la gravite

Dans ce cas, il y a convection naturelle quelque soit la valeur de Ra parce que les

particules de fluide nont pas lutter contre la force de gravit pour se dplacer.

Ra= gTH4/L

II.7 Condition aux limites

Les conditions aux limites relatives ce problme sont rsumes sur les tableaux (II.1)

et (II.2)

Limites gomtriques Conditions dynamiques Conditions thermiques

= 0 0 = 0 = 0 = 0

= 0 = 0 = 0 = 0

= 0 0 = 0 = 0 = = +

= 0 = 0 = 0 =

Tableau II.1 : Conditions aux limites pour un coulement entre deux plaques parallles.

Limites gomtriques Conditions dynamiques Conditions thermiques

= 0 = = 0 = 0 =

= = = 0 = 0 = = +

= 0 = = 0 = 0 = 0

= = = 0 = 0 = 0

Tableau II.2 : Conditions aux limites pour un coulement dans une cavit carre.


33

II.8 Couplage convection rayonnement [38]

Pour ltude numrique du couplage convection naturelle rayonnement thermique,

nous allons nous limiter aux modles implments dans le code de calcul Fluent. Ces modles

sont :

Modle Discret du Transfert Radiatif DTRM.

Modle du transfert radiatif des Ordonnes Discrtes DO.

Modle du transfert radiatif de P1.

Modle du transfert radiatif de Rosseland.

Modle du transfert radiatif de Surface--Surface S2S.

Ils permettent d'inclure le rayonnement, avec ou sans milieu participant, dans les

simulations de transfert thermique.

II.8.1 Equation du transfert radiatif (RTE) [38]

L'quation du transfert radiatif dun milieu absorbant, missif et dispersif en une

position et dans la direction est donne par:

(,)

+ (+ ,)( ( =

+

,) ('

(, ' )' (II.16)

Avec :

: Vecteur de position.

: Vecteur de direction.

: Vecteur de la direction de dispersion.

: Longueur du chemin.

: Coefficient dabsorption.

: Indice de rfraction.

: Coefficient de dispersion.

: Constante de stefan-Boltzmann (5.672 x 10-8 W /m2. K4).

: Intensit du rayonnement, dpend des vecteurs et .

: Temprature locale.

: Fonction de phase.


34

' : Angle solide.

On peut inclure le transfert de chaleur par rayonnement dans la simulation lorsque le

flux radiatif = )

) est grand compar au taux du transfert thermique d

la convection ou la conduction.

II.8.2 Choix d'un modle de rayonnement [38]

Pour certains problmes, un modle de rayonnement peut tre plus appropri que les

autres. Pour dcider quel modle de rayonnement choisir, nous allons prendre en

considration les points suivants :

Epaisseur optique : L'paisseur optique = est un bon indicateur pour le choix du

modle de rayonnement dans un problme. Ici, est une chelle approprie de

longueur du domaine considr. Pour l'coulement dans une chambre de combustion,

par exemple, est le diamtre de la chambre de combustion. Si 1, les meilleures

modles de rechange sont les modles P1 et de Rosseland. Le modle P1 devrait

typiquement tre employ pour des paisseurs optiques


35

Parois Partiellement-spculaires : Seul le modle DO permet la rflexion spculaire

(par exemple, miroir poussireux).

Rayonnement non-gris : le modle DO permet de calculer le rayonnement non-gris

en utilisant un modle de bande grise.

Sources de chaleur localises : Dans les problmes avec sources de chaleur localises,

le modle P1 surestime les flux radiatifs. Le modle DO est probablement le plus

adapt pour le calcul de rayonnement dans ce cas, bien que le modle DTRM, avec un

nombre suffisamment grand de rayons, soit galement acceptable.

Transfert radiatif dans une cavit avec des milieux non participant : Le modle

surface--surface (S2S) convient ce type de problme. Les modles de transfert

radiatif utiliss avec des milieux participants peuvent, en principe, tre employs pour

calculer le rayonnement de surface--surface, mais ils ne sont pas toujours efficaces.

Rayonnement Externe

Si on doit inclure le transfert de chaleur radiatif partir de l'extrieur du domaine

considr, on peut inclure une condition aux limites externe de rayonnement dans le modle.

Si le rayonnement nest pas pris en compte dans le domaine, cette condition la limite peut

tre employe sans activer un des modles de rayonnement.

II.8.3 Equations rgissant les diffrents modles de rayonnement [38]

Dans cette tude, on sintresse quatre modles de rayonnement qui sont : le modle

DTRM, le modle DO, le modle P1et le modle de Rosseland.

II.8.3.1 Modle discret de transfert radiatif DTRM

Lhypothse principale du modle DTRM est que le rayonnement quitte l'lment de

surface dans un certain intervalle dangle solide peut tre rapproch par un rayon simple.

Equations rgissant le modle DTRM

L'quation de variation de l'intensit radiative , le long du chemin peut scrire

sous la forme :

+ =

(II.17)

O

: Coefficient dabsorption du gaz.


36

: Intensit.

: Temprature locale du gaz.

: Constant de Stefan-Boltzmann (5.672 x10-8 W/m2.K4).

Ici, l'indice de rfraction est suppos gal lunit. Le modle DTRM consiste

intgr l'quation (II.17) le long d'une srie de rayons provenant des faces aux frontires. Si

est constant le long du rayon, alors peut() tre estim par la relation :

() =

(1 ) +

(II.18)

O : est l'intensit radiative au dbut du chemin dincrmentation.

II.8.3.2 Modle de transfert radiatif des Ordonnes Discrtes DO

Le modle de transfert radiatif des Ordonnes Discrtes DO rsout l'quation du

transfert radiatif RTE pour un nombre fini d'angles solides discrets, chacun associ un

vecteur de direction fixe dans le systme cartsien global (x, y, z).

La prcision de la discrtisation angulaire est commande par lutilisateur. Elle est au

choix du nombre de rayons du modle DTRM. Contrairement au modle DO n'excute pas le

traceur de rayon. Au lieu de cela, le modle DO transforme l'quation (II.16) en quation de

transport pour l'intensit du rayonnement dans les coordonnes spatiales (x, y, z).

Equations du modle DO

Le modle DO considre l'quation de transfert radiatif RTE dans la direction

comme quation de champ. Ainsi, l'quation (II.14) scrit :

. ,)) (( + (+ ,)( ( =

+

,) ('

(. '(' (II.19)

Fluent permet galement de modliser le rayonnement non-gris en utilisant un modle

de bande grise. Lquation RTE pour l'intensit spectrale ,) ( scrit :

. ,)) (( + ( + ,)( ( =

+

,) ('

(. (' (II.20)


37

O :

La longueur d'onde, le coefficient d'absorption spectral, et est l'intensit du corps noir

donne par la fonction de Planck. Le coefficient de dispersion, la fonction de phase de

dispersion, et l'indice de rfraction sont indpendant de la longueur d'onde.

II.8.3.3 Modle de transfert radiatif P1

Le modle de transfert radiatif P1 est le cas le plus simple du modle gnral P-N, qui

est bas sur le dveloppement de l'intensit de rayonnement en une srie orthogonale

dharmoniques sphriques.

Equations du modle P1

Comme mentionn ci-dessus, le modle du rayonnement P1 est le cas le plus simple

du modle de P-N. Si seulement quatre termes de la srie sont gards, l'quation suivante est

alors obtenue pour le flux radiatif :

=

() (II.21)

O :

: Rayonnement incident.

: Coefficient linaire-anisotrope de la fonction de phase.

En introduisant le paramtre :

=

(())(II.22)

L'quation (II.19) se rduit :

= (II.23)

L'quation de transport pour est donne par :

. () + 4 = (II.24)

O : est une source de rayonnement dfinie par lutilisateur.

La combinaison des quations (II.23) et (II.24), conduit l'quation suivante :

. = 4 (II.25)


38

L'expression . peut tre directement substitue dans l'quation d'nergie pour tenir

compte des sources de chaleur dus au rayonnement.

II.8.3.4 Modle de transfert radiatif de Rosseland

L'approximation de Rosseland ou de diffusion pour le transfert radiatif est valable

quand le milieu est optiquement pais ((+ ( 1). Ce modle est recommand pour tre

utilis dans les problmes o l'paisseur optique est plus grande que 3. Il peut tre obtenu

partir des quations du modle P1, moyennant quelques approximations.

Equations du modle de Rosseland

Comme avec le modle P1, le flux de chaleur radiatif dans un milieu gri

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