5/14/2018 Matrices - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-55a930624d124 1/12

 

1 A 2 0 1 0 - 2 0 1 1  

M A T R I C E S E T C A L C U L M A T R I C I E L  

O b j e c t i f s  

S a v o i r c e q u ' e s t u n e m a t r i c e .  

S a v o i r a d d i t i o n n e r d e u x m a t r i c e s .  

S a v o i r m u l t i p l i e r d e u x m a t r i c e s .  

S a v o i r c a l c u l e r l ' i n v e r s e d ' u n e m a t r i c e  

1 L e s m a t r i c e s ? . . . u n t a b l e a u t o u t s i m p l e m e n t !    

I l e x i s t e b i e n u n e d é n i t i o n t r è s b e l l e e t t r è s s t r u c t u r é e d e s m a t r i c e s . E n f a i t , c e q u ' i l f a u t e n  

r e t e n i r , c ' e s t l ' a s p e c t p r a t i q u e d ' u n e r e p r é s e n t a t i o n m a t h é m a t i q u e . E n c r é a n t c e t t e n o t a t i o n ,  

l e s m a t h é m a t i c i e n s o n t v o u l u s i m p l i e r d e s n o t a t i o n s e t d e s c a l c u l s q u i à l ' é p o q u e  

 

é t a i e n t  

f r a n c h e m e n t p e u p r a t i q u e s . O n p e u t d o n c d é n i r l e s m a t r i c e s c o m m e u n e f o r m e d e t a b l e a u ,  

f a ç o n E x c e l .  

D é n i t i o n 1   ( N o t a t i o n )  .  O n a p p e l l e m a t r i c e à  n

l i g n e s e t  p

c o l o n n e s , u n e r e p r é s e n t a t i o n s o u s  

f o r m e d ' u n t a b l e a u d ' u n o b j e t m a t h é m a t i q u e o u p h y s i q u e . L e s é l é m e n t s q u i c o m p o s e n t u n e  

m a t r i c e p e u v e n t ê t r e d e s n o m b r e s r é e l s , c o m p l e x e s , e n t i e r s , m a i s a u s s i d e s v e c t e u r s , . . .  

O n n o t e a l o r s :  

M  =

a11 a12 · · · a1 pa21 a22 · · · a2 p. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

aij

. 

. 

. 

an1 · · · · · · anp

= (aij)1in

1 j p

s o u s f o r m e é t e n d u e o u c o m p r e s s é e !  

L e s aij s o n t d o n c d e s r é e l s o u d e s c o m p l e x e s , o u d e s v e c t e u r s , . . .  

S i 

aij ∈R

, ∀i ∈ {1, . . . , n}, ∀ j ∈ {1, . . . , p}a l o r s o n n o t e  

M  ∈ Mn,p (R

)S i 

aij ∈ C, ∀i ∈ {1, . . . , n}, ∀ j ∈ {1, . . . , p}a l o r s o n n o t e  

M  ∈ Mn,p (C)A i n s i ,   Mn,p (K)

e s t l ' e n s e m b l e d e s m a t r i c e s à  n

l i g n e s e t  p

c o l o n n e s à c o e c i e n t d a n s  

l ' e n s e m b l e  K

E x e m p l e 1 .   V o i c i q u e l q u e s e x e m p l e s c o n c r e t s :  

A =

1 2 3−1 0 1

∈ M2,3 (R)

B =

i −i

−i√

21

−i 2

∈ M3,2 (C)

1 . X V I I I  

A 

e t X I X  

A 

s i è c l e s  

1 J A - J M B - M L  

5/14/2018 Matrices - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-55a930624d124 2/12

 

1 A 2 0 1 0 - 2 0 1 1  

I  =

1 00 1

∈ M2,2 (R)

D =(

1 2 3 4) ∈ M1,4 (R)

2 O p é r a t i o n s s u r l e s m a t r i c e s    

2 . 1 L ' a d d i t i o n d e s m a t r i c e s  

L ' a d d i t i o n e n t r e d e u x m a t r i c e s e s t u n e o p é r a t i o n t r è s n a t u r e l l e . E l l e e s t n o t é e  +

t o u t s i m -  

p l e m e n t e t o n a l a d é n i t i o n s u i v a n t e :  

D é n i t i o n 2 .   S o i t  A

e t B

d e u x m a t r i c e s a p p a r t e n a n t   a u m ê m e e n s e m b l e  Mn,p (K)

, a l o r s  

s i l ' o n a :  

A = (aij)1in1 j p

B = (bij)1in1 j p

e t b i e n  

A + B = (aij + bij)1in1 j p

∈ Mn,p (K)

R e m a r q u e 1 .   V o u s v o y e z q u e l a d é n i t i o n e s t p r é c i s e . L ' a d d i t i o n d e d e u x m a t r i c e s n ' e s t  

p o s s i b l e q u ' à c o n d i t i o n q u e l e s d e u x m a t r i c e s a p p a r t i e n n e n t t o u t e s d e u x a u m ê m e e n s e m b l e .  

S i n o n , l a s o m m e n ' e x i s t e p a s !  

E x e m p l e 2 .   S o i t  

A = 1 2

3 11 0

e t 

B = 0 1

−1 −11 2

. C e s d e u x m a t r i c e s a p p a r t i e n n e n t  

t o u t e s l e s d e u x a u m ê m e e n s e m b l e  M3,2 (R)

. L ' a d d i t i o n e s t d o n c p o s s i b l e e t o n a :  

A + B =

1 2

3 11 0

+

0 1

−1 −11 2

=

1 3

2 02 2

P r o p r i é t é 1 .   S o i t  A

, B

e t C 

t r o i s m a t r i c e s a p p a r t e n a n t à l ' e n s e m b l e   Mn,p (K)

( i ) 

A + B = B + A

L a s o m m e d e s m a t r i c e s e s t c o m m u t a t i v e .  

( i i )  

(A + B) + C  = A + (B + C )

L a s o m m e d e s m a t r i c e s e s t a s s o c i a t i v e .  

( i i i )   I l e x i s t e u n é l é m e n t n e u t r e p o u r l ' a d d i t i o n d e s m a t r i c e s . C e t t e m a t r i c e e s t a p p e l é m a t r i c e  

n u l l e n o t é e O e t o n a t o u t s i m p l e m e n t :  

O = (0)1in1 j p

=

0 · · · 0. 

. 

. 0

. 

. 

. 

0 · · · 0

2 J A - J M B - M L  

5/14/2018 Matrices - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-55a930624d124 3/12

 

1 A 2 0 1 0 - 2 0 1 1  

( i v )   T o u t e m a t r i c e  A ∈ Mn,p (K)

p o s s è d e u n e m a t r i c e s y m é t r i q u e n o t é e   −A ∈ Mn,p (K)t e l l e  

q u e :  

A + (−A) = O

D ' a i l l e u r s p a s a b u s d e n o t a t i o n o n n o t e a u s s i  A

−A = O

. O n a :  

−A = (−aij)1in1 j p

C e s 4 p r o p r i é t é s f o n t d e  (Mn,p (K) , +)

u n g r o u p e c o m m u t a t i f .  

2 . 2 M u l t i p l i c a t i o n d ' u n e m a t r i c e e t d ' u n s c a l a i r e  

O n p e u t , c o m m e a v e c d e s v e c t e u r s ( v o u s a l l e z v o i r q u e c e n ' e s t p a s u n h a s a r d ! ) , m u l t i p l i e r  

u n e m a t r i c e p a r u n s c a l a i r e  

αc ' e s t à d i r e u n é l é m e n t d e l ' e n s e m b l e  

K. 

D é n i t i o n 3 .   S o i t u n e m a t r i c e  A

∈ Mn,p (K)

t e l l e q u e  A = (aij)1in

1 j p

e t u n s c a l a i r e  α

∈K

; 

a l o r s o n a :  

α · A = (αaij)1in1 j p

=

αa11 · · · αa1 p

. 

. 

. 

αaij

. 

. 

. 

αan1 · · · αanp

∈ Mn,p (K)

E x e m p l e 3 .   S o i t  

A =

1 23 4

∈ M2,2 (R)

e t s o i t  

α = 7a l o r s  

7

·A =

7 1421 28

R e m a r q u e 2 .   P l u s i e u r s r e m a r q u e s s u r c e t t e o p é r a t i o n   ·

O n p e u t n e p a s é c r i r e l e  ·

d e m u l t i p l i c a t i o n ; a i n s i o n é c r i t  

αAp l u t ô t q u e  

α · A

L e s c a l a i r e s ' é c r i t t o u j o u r s à g a u c h e d e l a m a t r i c e . A i n s i o n é c r i t  

7Am a i s s u r t o u t p a s  

A7! 

D e m ê m e o n é c r i t  

1

7A

m a i s s u r t o u t p a s  

A

7! 

L a m u l t i p l i c a t i o n d ' u n e m a t r i c e p a r u n s c a l a i r e e s t u n e l o i e x t e r n e .  

P r o p r i é t é 2 .   Q u e l q u e s p r o p r i é t é s s u r l a l o i  ·

( i ) 

∀α

∈K,

∀(A, B)

∈(M

n,p (K))2 , α (A + B) = αA + αB

( i i )  

∀ (α, β) ∈ K2, ∀A ∈ Mn,p (K) , (α + β) A = αA + βA

( i i i )  

∀ (α, β) ∈ K2, ∀A ∈ Mn,p (K) , α (βA) = (αβ) A

( i v )   1 e s t l ' é l é m e n t n e u t r e p o u r l a m u l t i p l i c a t i o n d ' u n e m a t r i c e p a r u n s c a l a i r e , q u e c e s o i t s i  

K = Ro u s i  

K = C

R e m a r q u e 3 .   L e s 4 p r o p r i é t é s v u e s à l a p r o p r i é t é 1 e t l e s 4 q u e l ' o n v i e n t d e v o i r , f o n t  

d e (Mn,p (K) , +, ·)

u n e s p a c e v e c t o r i e l . L e s v e c t e u r s s o n t d o n c d a n s c e t e s p a c e v e c t o r i e l d e s  

m a t r i c e s à  

nl i g n e s e t  

pc o l o n n e s . O n v o i t u n e n o u v e l l e f o i s q u e l a n o t a t i o n a v e c u n e è c h e s e r a i t  

d é s a s t r e u s e !  

3 J A - J M B - M L  

5/14/2018 Matrices - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-55a930624d124 4/12

 

1 A 2 0 1 0 - 2 0 1 1  

2 . 3 M u l t i p l i c a t i o n d e s m a t r i c e s  

L a m u l t i p l i c a t i o n d e s m a t r i c e s e s t u n e l o i t r è s p a r t i c u l i è r e . R e g a r d e z b i e n c e t t e d é n i t i o n :  

D é n i t i o n 4 .   S o i t u n e m a t r i c e  A = (aij)1in

1 j F  ∈ Mn, F 

(K)e t s o i t u n e a u t r e m a t r i c e  

B =

(bij)1i F 

1 jq∈ M

F  ,q (K). 

A l o r s l e p r o d u i t d e  

Ap a r 

Be s t p o s s i b l e , o n a  

A × B ∈ Mn,q (K)

e t : 

A × B = (cij)1in1 jq

a v e c  

cij =

 p

∑k=1

aikbkj

R e m a r q u e 4 .   T R È S I M P O R T A N T !  

L e n o m b r e d e c o l o n n e s d e l a p r e m i è r e m a t r i c e d a n s l a m u l t i p l i c a t i o n d o i t ê t r e é g a l a u  

n o m b r e d e l i g n e d e l a d e u x i è m e m a t r i c e . S i n o n , l e c a l c u l d e  

A × Be s t i m p o s s i b l e .  

L a m a t r i c e r é s u l t a t d u p r o d u i t d e d e u x m a t r i c e s , p o s s è d e l e n o m b r e d e l i g n e s d e l a p r e -  

m i è r e m a t r i c e e t l e n o m b r e d e c o l o n n e s d e l a d e u x i è m e .  

O n p e u t é c r i r e  AB

a u l i e u d e  A × B

E x e m p l e 4 .   O n v e u t c a l c u l e r l e p r o d u i t d e  AB

a v e c  

A =

1 2 3−2 0 3

, B =

1 0 −1

2 1 11 6 1

L e p r o d u i t e s t p o s s i b l e c a r  A ∈ M2, ! 

(R)e t 

B ∈ M!  ,3 (R)

. D e p l u s l a m a t r i c e  AB ∈ M2,3 (R)

. 

AB =

1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 3 × 6 1 × (−1) + 2 × 1 + 3 × 1(−2) × 1 + 0 × 2 + 3 × 1 (−2) × 0 + 0 × 1 + 3 × 6 (−2) × (−1) + 0 × 1 + 3 × 1

AB = 8 20 4

1 18 5 P r o t o n s e n p o u r c a l c u l e r  

BA. 

L e p r o d u i t n ' e s t p a s p o s s i b l e c a r  

B ∈ M3,3 (R)e t 

A ∈ M2,3 (R). 

C ' e s t l a p r e m i è r e s u r p r i s e d e c e d r ô l e d e p r o d u i t !  AB

p e u t e x i s t e r e t p a s  BA

! 

E x e m p l e 5 .   S o i t  

A =

5 2

3 40 1

∈ M3,2 (R)

e t 

B =

2 3 01 0 2

∈ M2,3 (R)

a l o r s  

ABe s t 

p o s s i b l e e t o n a :  

AB = 12 15 4

10 9 81 0 2 ∈ M3,3 (

R

)

4 J A - J M B - M L  

5/14/2018 Matrices - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-55a930624d124 5/12

 

1 A 2 0 1 0 - 2 0 1 1  

D e m ê m e  BA

e s t p o s s i b l e e t o n a :  

BA =

19 165 4

∈ M2,2 (R)

D e u x i è m e s u r p r i s e , l e p r o d u i t m a t r i c i e l n ' e s t p a s c o m m u t a t i f c ' e s t à d i r e q u ' e n g é n é r a l q u a n d  

l e s d e u x p r o d u i t s s o n t p o s s i b l e s  AB = BA

E x e m p l e 6 .   S o i t  

A =

3 −9

−1 3

∈ M2,2 (R)

e t 

B =

2 61 3

∈ M2,2 (R)

, a l o r s l e s d e u x  

p r o d u i t s  

ABe t 

BAs o n t p o s s i b l e s e t o n a :  

AB =

−3 −91 3

BA = 0 0

0 0 E n c o r e u n e a u t r e s u r p r i s e d e c e p r o d u i t m a t r i c i e l ; o n d i t q u e l e p r o d u i t d e 2 m a t r i c e s n ' e s t  

p a s i n t è g r e , c ' e s t à d i r e q u e l ' o n p e u t a v o i r  AB = O

o u BA = O

s a n s p o u r c e l a a v o i r l ' u n e d e s  

d e u x m a t r i c e q u i e s t n u l l e . D a n s  R o u  C c e c i e s t i m p o s s i b l e , c ' e s t c e q u i n o u s p e r m e t d ' a i l l e u r s  

d e r é s o u d r e d e s é q u a t i o n s .  

P r o p r i é t é 3 .   Q u e l q u e s p r o p r i é t é s  

( i ) 

∀A ∈ Mn,p (K) , ∀B ∈ M p,q (K) , ∀C  ∈ Mq,r (K) , A (BC ) = (AB) C 

O n d i t q u e l e p r o d u i t m a t r i c i e l e s t a s s o c i a t i f .  

( i i )  

∀A ∈ Mn,p (K) , ∀ (B1, B2) ∈ (M p,q (K))2 , A (B1 + B2) = AB1 + AB2

O n d i t q u e l e p r o d u i t m a t r i c i e l e s t d i s t r i b u t i f p a r r a p p o r t à l a s o m m e m a t r i c i e l l e .  

( i i i )  

∀A ∈ Mn,p (K) , ∀B ∈ M p,q (K) , ∀α ∈ K, (αA) B = α (AB)

e t q u e l q u e s " n o n p r o p r i é t é s " ! E n g é n é r a l :  

∀A ∈ Mn,p (K) , ∀B ∈ M p,n (K) , AB

= BA

∀A ∈ Mn,p (K) , ∀B ∈ M p,q (K) , AB = On ' i m p l i q u e p a s  

A = Oo u 

B = O

3 T r a n s p o s i t i o n d e s m a t r i c e s    

D é n i t i o n 5 .   S o i t  

A = (aij)1in1 j p

∈ Mn,p (K)u n e m a t r i c e q u e l c o n q u e . O n a p p e l l e t r a n s p o s é e  

d e l a m a t r i c e  

A, l a m a t r i c e n o t é e  

tAa p p a r t e n a n t à  

M p,n (K)e t d é n i e p a r :  

tA = (a ji)1 j p1in

5 J A - J M B - M L  

5/14/2018 Matrices - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-55a930624d124 6/12

 

1 A 2 0 1 0 - 2 0 1 1  

c ' e s t à d i r e e n v e r s i o n é t e n d u e :  

A =

a11 a12 · · · · · · a1 pa21 a22

· · · · · ·a2 p

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

an1 an2 · · · · · · anp

⇒ tA =

a11 a21 · · · an1

a12 a22 · · · an2

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

a1 p a2 p · · · anp

E x e m p l e 7 .  

A =

1 2 34 5 6

∈ M2,3 (R) ⇒ tA =

1 4

2 53 6

∈ M3,2 (R)

P r o p r i é t é 4 .  

( i ) 

∀A ∈ Mn,p (K) , ∀B ∈ Mn,p (K) , t (A + B) = tA + tB

( i i )  

∀A ∈ Mn,p (K) , ∀λ ∈ K, t (λA) = λtA

( i i i )  

∀A ∈ Mn,p (K) , t(tA)

= A

( i v )  

∀A

∈ Mn,p (K) ,

∀B

∈ M p,q (K) , t (AB) = tBtA

4 B a s e c a n o n i q u e e t d i m e n s i o n d e      Mn,p (K)

T h é o r è m e 1 .  Mn,p (K)e s t u n  

Ke s p a c e v e c t o r i e l d e d i m e n s i o n  

npd o n t l a b a s e c a n o n i q u e e s t  

f o r m é e d e s m a t r i c e s  

E l,m =

0 0

1

0 0

  

 

 

 

 =0 si j=m=1 si j=m

= 0 si i = l

= 1 si i = l

E x e m p l e 8 .   O n s ' i n t é r e s s e à   M2,3 (R). 

dim M2,3 (R) = 6e t l a b a s e c a n o n i q u e d e   M2,3 (R)

e s t 

f o r m é e d e s 6 m a t r i c e s s u i v a n t e s :  

E 11 =

1 0 00 0 0

E 12 =

0 1 00 0 0

E 13 = 0 0 1

0 0 0

E 21 =

0 0 01 0 0

E 22 =

0 0 00 1 0

E 23 = 0 0 0

0 0 1

6 J A - J M B - M L  

5/14/2018 Matrices - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-55a930624d124 7/12

 

1 A 2 0 1 0 - 2 0 1 1  

c ' e s t à d i r e q u e n ' i m p o r t e q u e l l e m a t r i c e d e   M2,3 (R)p e u t s ' é c r i r e c o m m e c o m b i n a i s o n l i n é a i r e  

d e s m a t r i c e s d é n i e s c i - d e s s u s , à s a v o i r :  

A = a b c

d e f  = aE 11 + bE 12 + cE 13 + dE 21 + eE 22 + f E 23

5 L e s m a t r i c e s c a r r é e s    

5 . 1 P a r t i c u l a r i t é s d e s m a t r i c e s c a r r é e s  

D é n i t i o n 6 .   O n a p p e l l e m a t r i c e c a r r é e , u n e m a t r i c e a y a n t l e m ê m e n o m b r e d e l i g n e s e t d e  

c o l o n n e s . O n n o t e  Mn (K)

, l ' e n s e m b l e d e s m a t r i c e s c a r r é e s à c o e c i e n t s d a n s  K

, p l u t ô t q u e  

Mn,n (K). 

T o u t e s l e s o p é r a t i o n s e t p r o p r i é t é s d é n i e s s u r d e s m a t r i c e s q u e l c o n q u e s a p p a r t e n a n t à  

Mn,p (K)r e s t e n t v a l a b l e s s u r l e s m a t r i c e s c a r r é e s . I l e x i s t e c e p e n d a n t u n e m a t r i c e p a r t i c u l i è r e  

a p p e l é e m a t r i c e i d e n t i t é , é l é m e n t n e u t r e p o u r l a m u l t i p l i c a t i o n d e s m a t r i c e s .  

D é n i t i o n 7 .   L a m a t r i c e i d e n t i t é e s t n o t é e  

I n e t o n a :  

I n =

1 0 · · · 00 1 · · · 0

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

0 0 · · · 1

C ' e s t d ' a i l l e u r s u n e m a t r i c e p o u r l a q u e l l e o n a c o m m u t a t i v i t é d u p r o d u i t m a t r i c i e l c ' e s t à d i r e :  

∀A ∈ Mn (K) , AI n = I nA = A

D é n i t i o n 8 .   O n p e u t a u s s i d é n i r l a p u i s s a n c e n  

A 

d ' u n e m a t r i c e c a r r é e , p a r r é c u r r e n c e , c ' e s t  

à d i r e :  

A0 = I nAn = AAn−1 = An−1A

T h é o r è m e 2 .   B i n ô m e d e N e w t o n p o u r l e s m a t r i c e s S o i e n t  X 

e t Y 

a p p a r t e n a n t à  Mn(K)

t e l l e s  

q u e X 

e t Y 

c o m m u t e n t , c ' e s t à d i r e  XY  = Y X 

( c e q u i r e s t e a s s e z r a r e ) a l o r s o n a :  

∀n ∈ N, (X  + Y )n =n∑

k=0

n

k

X n−kY k

A t t e n t i o n , c e t t e f o r m u l e e s t é v i d e m m e n t f a u s s e s i l e s m a t r i c e s n e c o m m u t e n t p a s .  

I l e x i s t e d ' a u t r e s m a t r i c e s c a r r é e s p a r t i c u l i è r e s d o n t o n s e s e r t a s s e z s o u v e n t :  

D é n i t i o n 9   ( L e s m a t r i c e s d i a g o n a l e s )  .  U n e m a t r i c e d i a g o n a l e e s t u n e m a t r i c e a y a n t t o u s l e s  

é l é m e n t s h o r s d e l a d i a g o n a l e p r i n c i p a l e  

 

n u l s e t c e u x d e l a d i a g o n a l e s o n t q u e l c o n q u e s . ( I l s  

p e u v e n t d o n c ê t r e n u l s ! L a m a t r i c e O é t a n t b i e n e n t e n d u u n e m a t r i c e d i a g o n a l e )  

2 . c ' e s t à d i r e l a d i a g o n a l e p a r t a n t d u h a u t à g a u c h e p o u r n i r e n b a s à d r o i t e  

7 J A - J M B - M L  

5/14/2018 Matrices - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-55a930624d124 8/12

 

1 A 2 0 1 0 - 2 0 1 1  

E x e m p l e 9 .  

D =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

e s t u n e m a t r i c e d i a g o n a l e a p p a r t e n a n t à  

M3 (R)

P r o p r i é t é 5 .  

D =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

0 0 · · · λn

⇒ Dn =

λn1

0 · · · 00 λn

2 · · · 0. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

0 0 · · · λnn

R e t e n e z b i e n c e t t e p r o p r i é t é , e l l e v a b e a u c o u p n o u s s e r v i r !  

D é n i t i o n 1 0   ( M a t r i c e s t r i a n g u l a i r e s )  .  U n e m a t r i c e t r i a n g u l a i r e s u p é r i e u r e e s t u n e m a t r i c e  

c a r r é e a y a n t c e s c o e c i e n t s a u d e s s u s d e l a d i a g o n a l e p r i n c i p a l e , d i a g o n a l e c o m p r i s e , n o n n u l s ,  

l e s a u t r e s é t a n t n u l s . U n e m a t r i c e t r i a n g u l a i r e i n f é r i e u r e c ' e s t b i e n s û r l e c o n t r a i r e , c ' e s t à  

d i r e q u e c ' e s t u n e m a t r i c e c a r r é e a y a n t c e s c o e c i e n t s a u d e s s o u s d e l a d i a g o n a l e p r i n c i p a l e ,  

d i a g o n a l e c o m p r i s e , n o n n u l s , l e s a u t r e s é t a n t n u l s .  

E x e m p l e 1 0 .   V o i c i u n e m a t r i c e s u p é r i e u r e :  

S  =

1 2 30 1 2

0 0 1

E n v o i c i u n e i n f é r i e u r e :  

T  =

1 0 0

1 2 01 2 3

D é n i t i o n 1 1   ( T r a c e d ' u n e m a t r i c e c a r r é e )  .  O n a p p e l l e t r a c e d ' u n e m a t r i c e c a r r é e  

A ∈Mn (K)

, l a s o m m e d e s é l é m e n t s d e l a d i a g o n a l e p r i n c i p a l e e t o n l a n o t e  tr(A)

, c ' e s t à d i r e  

q u e 

tr(

A) =

i=n

∑i=1

aii

E x e m p l e 1 1 .   S o i t  

A =

1 7 3

−3 5 25 3 −12

a l o r s  

tr(A) = 1 + 5 + (−12) = −6

P r o p r i é t é 6 .   S o i t  A ∈ Mn (K)

, u n e m a t r i c e c a r r é e , e t  

tAs a t r a n s p o s é e , a l o r s  

tr(A) = tr(tA)

8 J A - J M B - M L  

5/14/2018 Matrices - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-55a930624d124 9/12

 

1 A 2 0 1 0 - 2 0 1 1  

5 . 2 I n v e r s e d ' u n e m a t r i c e c a r r é e  

D é n i t i o n 1 2 .   S o i t  A ∈ Mn (K)

u n e m a t r i c e c a r r é e . O n d i t q u e l a m a t r i c e  A

e s t i n v e r s i b l e  

s ' i l e x i s t e u n e m a t r i c e , n o t é e ,  A−1 ∈ Mn (K)

t e l l e q u e  AA−1 = A−1A = I n . O n a p p e l l e  

A−1, 

i n v e r s e d e l a m a t r i c e  

A. 

R e m a r q u e 5 .  

L ' e n s e m b l e d e s m a t r i c e s c a r r é e s à  

nl i g n e s e t  

nc o l o n n e s à c o e c i e n t d a n s  

Ki n v e r s i b l e s  

e s t n o t é :  GLn(K)

A t t e n t i o n , t o u t e s l e s m a t r i c e s c a r r é e s n e p o s s è d e n t p a s f o r c é m e n t u n e m a t r i c e i n v e r s e . O n  

v e r r a d a n s l e c h a p i t r e s u r l e s d é t e r m i n a n t s c o m m e n t s a v o i r s i o u i o u n o n , u n e m a t r i c e  

q u e l c o n q u e c a r r é e p o s s è d e o u p a s u n e m a t r i c e i n v e r s e .  

O n n e p a r l e d e m a t r i c e i n v e r s e q u e p o u r l e s m a t r i c e s c a r r é e s , s i n o n , c e l a n ' a a u c u n s e n s !  

I l e x i s t e p l u s i e u r s t e c h n i q u e s p o u r c a l c u l e r l ' i n v e r s e d ' u n e m a t r i c e c a r r é e . N o u s e n v o y o n s  

u n e s e u l e d a n s c e c h a p i t r e , p u i s u n e e n t r a v a u x d i r i g é s , e t e n n , n o u s e n v e r r o n s u n e  

d e r n i è r e d a n s c e f a m e u x c h a p i t r e s u r l e s d é t e r m i n a n t s . I l e n e x i s t e b i e n s û r d ' a u t r e s .  

E x e m p l e 1 2   ( T e c h n i q u e D e G a u s s - J o r d a n )  .  G a u s s a i n v e n t é u n e t e c h n i q u e a l g o r i t h m i q u e t r è s  

p u i s s a n t e p o u r f a i r e d e s t r a n s f o r m a t i o n s a u t o r i s é e s s u r l e s m a t r i c e s . J o r d a n a a n é c e t t e m é -  

t h o d e a n d e d é t e r m i n e r l ' i n v e r s e d ' u n e m a t r i c e c a r r é e . C e t t e t e c h n i q u e c o n s i s t e p a r d i é r e n t e s  

m a n i p u l a t i o n s s u r l e s l i g n e s f o r m a n t l a m a t r i c e , à i n t r o d u i r e d e s 1 s u r l a d i a g o n a l e d e l a m a t r i c e  

Ae t d e s 0 a i l l e u r s , e t d e f a i r e s u b i r e n m ê m e t e m p s l e m ê m e p r o c e s s u s d e t r a n s f o r m a t i o n s u r  

l a m a t r i c e i d e n t i t é . A i n s i o n p a s s e d e l a m a t r i c e  A

à l a m a t r i c e i d e n t i t é  I n e t d e l a m a t r i c e  

I nà l a m a t r i c e q u e l ' o n c h e r c h e  

A−1. P o u r c e l a , i l a m ê m e i n v e n t é u n e n o t a t i o n p a r t i c u l i è r e ; l a  

v o i c i :  

Li + αL j → Lis i g n i e q u ' o n m u l t i p l i e l a l i g n e  

L jp a r l e c o e c i e n t  

α, q u ' o n l ' a d d i t i o n n e  

à l a l i g n e  Li e t q u ' o n r é i n j e c t e l e t o u t d a n s  

Li . O n a a u s s i  αLi → Li q u i m u l t i p l i e l a l i g n e  

Li

p a r α

e t q u i l e r é i n j e c t e d a n s  Li O n p e u t a u s s i p e r m u t e r d e u x l i g n e s a i n s i :  

Li ↔ l j ; c e l a p e u t  

p a r a î t r e i n u t i l e m a i s v o u s a l l e z v o i r q u ' i l e s t n é c e s s a i r e d ' o p é r e r a i n s i p o u r t o u j o u r s a v o i r u n  

p i v o t n o n n u l . L e m i e u x e s t d e v o i r c e c i s u r u n e m a t r i c e p a r t i c u l i è r e . C h e r c h o n s d o n c s i e l l e  

e x i s t e l ' i n v e r s e d e  

A =

2 1 −1

1 3 12 −1 2

P o u r c e l a o n a d o p t e l a n o t a t i o n s u i v a n t e , d a n s l a q u e l l e o n a s s o c i e d a n s u n e m ê m e s i m i l i - m a t r i c e ,  

l a m a t r i c e  

Aà g a u c h e e t l a m a t r i c e i d e n t i t é  

I 3à d r o i t e :  

A   2 1 −11 3 12 −1 2

|||

I 3  

 

 

 

 1 0 00 1 00 0 1

O n s ' o c c u p e d ' a b o r d d ' i n t r o d u i r e d e s 0 d a n s l a p r e m i è r e c o l o n n e , p u i s d a n s l a d e u x i è m e e t e n n  

d a n s l a t r o i s i è m e ; p o u r c e l a o n p i v o t e t o u j o u r s p a r r a p p o r t é l é m e n t s d e l a d i a g o n a l e q u i s o n t  

d o n c l e s p i v o t s .  

9 J A - J M B - M L  

5/14/2018 Matrices - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-55a930624d124 10/12

 

1 A 2 0 1 0 - 2 0 1 1  

é t a p e 1 : p i v o t : l e 2 d e l a l i g n e 1  

L3 − L1 → L3

2L2

−L1

→L2

2 1 −1 | 1 0 00 5 3

| −1 2 0

0 −2 3 | −1 0 1

é t a p e 2 : p i v o t : l e 5 d e l a l i g n e 2  

5L3 + 2L2 → L3

5L1 − L2 → L1

10 0 −8 | 6 −2 0

0 5 3 | −1 2 00 0 21 | −7 4 5

é t a p e 3 : p i v o t : l e 2 1 d e l a l i g n e 3  

21L1 + 8L3 → L1

7L2 − L3 → L2

210 0 0 | 70 −10 400 35 0 | 0 10 −50 0 21 | −7 4 5

é t a p e 4 : o n f a i t a p p a r a î t r e d e s 1 s u r l a d i a g o n a l e  

1

210L1 → L1

1

35L2 → L2

1

21L3 → L3

1 0 0 | 1

3− 1

21

4

21

0 1 0 | 02

7−1

7

0 0 1 | −1

3

4

21

5

21

é t a p e 5 : l e r é s u l t a t !  

A−1 =1

21

7 −1 4

0 6 −3−7 4 5

R e m a r q u e 6 .  I l n e f a u t j a m a i s h é s i t e r à é c r i r e u n e m a t r i c e s a n s f r a c t i o n à l ' i n t é r i e u r d e c e l l e - c i .  

C ' e s t p l u s s i m p l e e n s u i t e s i o n a b e s o i n d e l a m a n i p u l e r !  

P r o p r i é t é 7 .   S o i t u n e m a t r i c e  

A ∈ Mn (K)e t u n e m a t r i c e  

B ∈ Mn (K)s u p p o s é e s t o u t e s  

d e u x i n v e r s i b l e s a l o r s  

(AB)−1 = B−1A−1

1 0 J A - J M B - M L  

5/14/2018 Matrices - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-55a930624d124 11/12

 

1 A 2 0 1 0 - 2 0 1 1  

6 E x e r c i c e s    

E x e r c i c e 1 .   C a l c u l e r :  

1 .  1 2

−3 4

0 −5 1 −1 + 3

−5 6

−1

2 0 −2 −3 2 . 

1 2 −30 −4 1

+

3 51 −2

3 . −3

1 2 −34 −5 6

E x e r c i c e 2 .   C a l c u l e r  AB

e t BA

a v e c :  

1 . 

A =

2 −11 0

−3 4

e t 

B =

1 −2 −53 4 0

2 . 

A =

2 −1 01 0 −3

e t 

B =

1 −4 0 1

2 −1 3 −14 0 −2 0

E x e r c i c e 3 .   S o i t  A =

1 2 03 −1 4

. T r o u v e r  

A(tA)

e t 

(tA)

A. 

E x e r c i c e 4 .   C a l c u l e r l ' i n v e r s e d e s m a t r i c e s s u i v a n t e s p a r l a m é t h o d e d u p i v o t d e G a u s s .  

1 . 

A =

3 1 −1−1 3 1

0 2 2

2 . B =

1 −1 2

2 1 13 0 −1

3 . 

C  =

1 2 2 −12 1 2 0

−1 −1 −1 13 −1 −2 1

E x e r c i c e 5 .   S o i t l a m a t r i c e   M  = −3 2 2

−2 5 41 −5 −4

. 

1 . C a l c u l e r  M 2

e t M 3

. E n d é d u i r e q u e  M 3 + 2M 2 − M  − 2I 3 = O

. 

2 . M o n t r e r q u e M e s t i n v e r s i b l e e t c a l c u l e r s o n i n v e r s e .  

E x e r c i c e 6 .   O n d o n n e l e s m a t r i c e s  

A =

4 0 2

0 4 20 0 2

; J  =

1 0 2

0 1 20 0 −1

; I  =

1 0 0

0 1 00 0 1

1 . D é t e r m i n e r l e s r é e l s  a

e t b

t e l s q u e  A = aI  + bJ 

1 1 J A - J M B - M L  

5/14/2018 Matrices - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-55a930624d124 12/12

 

1 A 2 0 1 0 - 2 0 1 1  

2 . C a l c u l e r  J 2

3 . C a l c u l e r  A2

, A3

e t A4

c o m m e c o m b i n a i s o n l i n é a i r e d e s m a t r i c e s  I 

e t J 

. 

E x e r c i c e 7 .   S o i e n t l e s m a t r i c e s   A = a 1 1

1 a 11 1 a

e t  B = b 1 1

1 b 11 1 b

. E x i s t e - t - i l d e s  

c o u p l e s d e r é e l s  

(a, b)t e l s q u e  

AB = BA = I 3 ? 

E x e r c i c e 8 .   M o n t r e r q u e l a m a t r i c e  

A =

0 2 3 40 0 2 30 0 0 20 0 0 0

e s t n i l p o t e n t e c ' e s t à d i r e q u ' i l e x i s t e  

n, u n e n t i e r n a t u r e l n o n n u l , t e l q u e  

An = O. 

E x e r c i c e 9 .   O n s e p r o p o s e d ' é t u d i e r l a p u i s s a n c e n i è m e d e  

M  = a

−a

−b b o ù 

ae t 

bs o n t  

d e u x r é e l s .  

O n s u p p o s e q u e  M n

p e u t s ' é c r i r e s o u s l a f o r m e :  M n =

un −un

−vn vn

. 

1 . E x p r i m e r  un+1 e n f o n c t i o n d e  

un , a

e t b

; p u i s  vn+1 e n f o n c t i o n d e  

vn , a

e t b

. 

2 . E n d é d u i r e l ' e x p r e s s i o n d e  M n

e n f o n c t i o n d e  n

, a

e t b

. 

3 . A p p l i c a t i o n n u m é r i q u e :  

M  =

3 −31 −1

E x e r c i c e 1 0 .   C a l c u l e r l ' i n v e r s e d e l a m a t r i c e  A =

10

3

7

6

2

320 7 41 0 1

1 2 J A - J M B - M L