20/8/2015 MATRICE DINERTIEce quil faut connatre

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MATRICE DINERTIEce quil faut connatreCasolesolideadmetunplandesymtriematrielleCasolesolideadmetdeuxplansdesymtriematrielleCasolesolideprsenteunesymtriedervolutionCasolesolideprsenteunepaisseurngligeable(plaquemince)MomentdinertieparrapportunaxequelconqueThormedeHuygensgnralisMomentsprincipauxdinertieetrepreprincipaldinertieMatricesdinertiedequelquessolidescourantsLamassemseulenepermetpasdecaractriser ladifficultmettreunsolideenmouvement.Danslecas particulier o ce mouvement est une translation, la masse suffit, mais pour des mouvements pluscomplexes,larpartitiondecettemassesurlesolideestretenir.Deux quantits scalaires: lemoment dinertie et leproduit dinertie, caractrisent cette rpartition autourdunaxe.CesdeuxquantitssexprimentenKg.metnousallonsdtaillerleursproprits.OprateurdinertieOnpeutsynthtiserlesnotionsprsentesplushautdansunoprateurquiestloprateurlinairedinertie.

Appliquunvecteur constantdans ,sonexpressionestlasuivante:

Cetoprateurestlinaire,doncreprsentableparunematrice(voircoursdemaths).Dansnosapplications,levecteurs seralevecteurrotationdusolideparrapportunrepreR.

Lamatricedinertiedusolide(S)aupointO,relativementlabase ,sobtientendisposantencolonneslestransformsdesvecteursdelabaseparloprateurdinertie.enintgrantsurtoutlesolide:

Lescomposantesdelamatricedinertiesonttraditionnellementnotes:

avec:

A:momentdinertiedusolideparrapport

B:momentdinertiedusolideparrapport

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C:momentdinertiedusolideparrapport

D:produitdinertieparrapportauplan

E:produitdinertieparrapportauplan

F:produitdinertieparrapportauplanNousallonspasserenrevuequelquescasparticuliersdesymtrierencontrsdanslesproblmes.Casolesolideadmetunplandesymtriematrielle[hautdepage]Pestplandesymtriematrielledenormale pourlesolide.Onpeutalorssparerlintgralesur(S),enunesommedintgralessur(S1)et(S2).

Casolesolideadmetdeuxplansdesymtriematrielle[hautdepage]Comptetenudursultatprcdent,siSadmetdeuxplansdesymtrieorthogonauxdenormales,parexemple,

et ,alors:

touslesproduitsdinertiesontnuls

Casolesolideprsenteunesymtriedervolution[hautdepage]Unsolidedervolutiondaxe ,parexemple,admetaumoinsdeuxplansdesymtrieperpendiculaires,donclesproduitsdinertiesontnuls.

Lesaxes et jouentlemmerledupointdevuegomtriqueetdupointdevuedelarpartitiondesmasses,parconsquentlesmomentsdinertieAetBsontgaux

cequiestvraipourtoutebasecontenant .

Dautrepartdanscecas:

Ona:

et

Parconsquent:

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lecalculdeCneseferadoncpasdirectement.Casolesolideprsenteune

paisseurngligeable(plaquemince)[hautdepage]Silpaisseursuivant estngligeabledevantlesautresdimensionsalorsDoncE=D=0etC=A+Bparconsquent

Gnralisationdesrsultats

Momentdinertieparrapportunaxequelconque[hautdepage]

LemomentdinertieIDdunsolideSparrapportunedroite(A,D)devecteurunitaire ,sobtientpar:

ThormedeHuygensgnralis[hautdepage]LepassagedunematricedinertiedfinieenG,centredinertiedeS,lamatricedinertieenAscrit:

a,b,ctantlescoordonnesdeGdanslerepreliausolideS.

Momentsprincipauxdinertieetrepreprincipaldinertie[hautdepage]Lamatricedinertieestsymtriquedoncdiagonalisable.Lesmomentsprincipauxsontlesvaleurspropresdelamatricediagonaliseetlabasedurepreprincipalcorrespondauvecteurspropresassocis.Exemples:

icilabase estprincipaledinertie

ici estaxeprincipaldinertie

Matrice dinertie de quelques solides courants

tige rectiligne,homogne,dediamtrengligeableetdelongueur2L.

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Omilieudelatige

anneau de rayon R.Ocentredelanneau

disque de rayon ROcentredelanneau

sphre pleine de rayon ROcentredelasphre

O

O

O

O

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plaque rectangulaire dpaisseur ngligeableOcentredelaplaque

cylindre de rayon R et de longueur HOcentredelabase

cne plein de longueur HOsommetducne

O

2a

2b

O

O

R

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