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  • FFa

    MECANIQUERATIONNELLE

    Cours&exercicesrsolus

    Rappels sur les Vecteurs, Les Torseurs, Statique des Solides, Gomtrie des Masses, Cinmatique du Point et du Solide,

    Cintique et Dynamique des Solides

    A. KADI

    U N I V E R S I T E M H A M E D B O U G A R A - B O U M E R D E S

    10,zz

    O

    A

    L

    L/2

    R

    21,xx

    0y

    0x

    2z

    C

    CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES ECOLES

    TRONC COMMUN DES UNIVERSITES (TCT)

    SCIENCES TECHNIQUES (ST) semestre 3 (LMD)

  • Cet ouvrage est destin aux tudiants de deuxime anne des classes prparatoires aux grandes coles et aux tudiants du tronc commun de technologie des universits ainsi que les tudiants du semestre 3 des sciences techniques du systme LMD. Il contient des chapitres de cours et des exercices rsolus la fin de chaque chapitre. Les solutions sont souvent dtailles et permette ltudiant de complter sa comprhension du cours et faire soit mme son valuation. Les deux premiers chapitres traitent les outils mathmatiques notamment les torseurs utiliss pour simplifier lcriture des quations de la mcanique. Le chapitre trois dcrit lquilibre statique des solides et les diffrentes liaisons entre les solides et les quations qui les rgissent. Le chapitre quatre est consacr la gomtrie des masses donc aux centres dinertie et aux tenseurs dinertie des solides. Savoir utiliser le thorme de Huygens permet de rsoudre un bon nombre de problmes en mcanique des solides et vibrations. Les chapitres cinq, six et sept traitent la cinmatique du point matriel et la cinmatique du solide indformables ainsi que les contacts entre les solides. Le maniement des angles dEuler et leur assimilation sont indispensables pour la comprhension de la mcanique des solides. Les chapitres huit et neuf dcrivent la cintique et les thormes fondamentaux de la dynamique et le principe de laction et de la raction. Le dernier chapitre traite la dynamique des solides en mouvements de rotation autour dun axe et de leur quilibrage statique et dynamique. De nombreux exercices rsolus dans cet ouvrage montrent aussi la manire dont il faut utiliser les thormes gnraux de la mcanique et combien il est important de faire un bon choix des repres pour la dtermination des lments cinmatiques et cintiques des solides. La mcanique est la science qui dcrit les lois des mouvements et de lquilibre. Elle est la base du dimensionnement des mcanismes, des machines, des structures, des ouvrages et autres ralisations de lhomme. Jespre que le lecteur ayant utilis louvrage pourra la fin, en utilisant les torseurs des actions mcaniques et les diffrentes liaisons, crire les quations de mouvement dun mcanisme quelconque et rsoudre le problme. Je tiens remercier, toutes celles et ceux qui voudrons me faire parvenir leurs critiques, remarques ainsi que leurs suggestions afin damliorer le contenu de cet ouvrage.

    Lauteur Email : [email protected]

  • Prface

    Quand Ali KADI ma amicalement demand dcrire la prface de cet ouvrage, je nai pas hsit rpondre affirmativement. Loccasion qui mest donc offerte me permet de madresser directement aux tudiants, aux enseignants et ingnieurs concerns par cet ouvrage. Elle me permet aussi de tmoigner toute ma reconnaissance lauteur qui nous a offert, l, un ouvrage fort intressant traitant dun domaine cl des sciences de lingnieur, savoir la cinmatique et dynamique des solides indformables o chaque cours est suivi dune srie dexercices corrigs. Louvrage est structur en chapitres complmentaires les uns des autres, traitant en dtail de la gomtrie des masses jusqu la dynamique des solides en passant par les thormes fondamentaux de la dynamique et du principe de laction et de la raction. Il sadresse aussi bien aux tudiants des deux premires annes des universits, aux tudiants des classes prparatoires aux grandes coles, ainsi quaux enseignants et ingnieurs. Chacun en trouvera ce dont il a besoin. Ltudiant, pour approfondir ses connaissances et aller au-del des concepts vus aux cours. Lenseignant, pour amliorer sa source de savoir. Lingnieur pour en faire une rfrence indispensable. Louvrage propos intgre un lment nouveau : lapproche mthodologique de rsolution de problmes. Corollaire dune dizaines dannes de travail universitaire effectue par lauteur, lapproche est construite avec le souci constant de proposer des exercices corrigs difficult croissante, permettant la matrise graduelle des principes directeurs du cours. Enfin, lheureuse ide davoir inclut au dbut de louvrage une slection des principaux outils mathmatiques connexes la comprhension de la science mcanique, ne peut que renforcer la notorit de cet ouvrage.

    Professeur Kamel BADDARI

    Doyen de la facult des sciences Universit de Boumerds

    Algrie

  • UMBB Boumerds, Facult des sciences, Dpartement de physique

    Cours exercices, Mcanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3

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    A.KADI

    CHAPITRE I

    LES OUTILS MATHEMATIQUES

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    ou

    A.KADI

    LES OUTILS MATHEMATIQUES

    La modlisation de lespace rel, considr dans le cadre de la mcanique classique comme

    tant trois dimensions, homogne et isotrope suppose lintroduction doutils mathmatiques

    tel que les vecteurs, et les notions sur les torseurs. Dans cette partie nous prsenterons les

    rappels et lensemble des oprations mathmatiques sur les vecteurs. Nous dvelopperons

    aussi ltude sur les torseurs qui sont des outils mathmatiques trs important en mcanique

    classique, notamment en mcanique des solides. Lutilisation des torseurs en mcanique

    permet de simplifier lcriture des quations relatives aux grandeurs fondamentales de la

    mcanique.

    1. Oprations sur les vecteurs

    Dans tout ce qui suit, on sintressera lensemble E des vecteurs V de lespace usuel. E est

    un espace Euclidien trois dimensions.

    2. Dfinition Un vecteur est un segment de droite OA sur lequel on a choisi une origine O et une extrmit

    A ; il est dfini par :

    - son origine ; O

    A - sa direction ;

    - son sens ;

    - son module.

    Par convention on adopte la notation suivante : vecteur : V

    OA

    3. Classification des vecteurs Il existe plusieurs types de vecteurs :

    - Vecteur libre : la direction, le sens et le module sont donns mais la droite support et le

    point dapplication (origine du vecteur) ne sont pas connues ;

    - Vecteur glissant : le point dapplication (origine du vecteur) nest pas fix ;

    - Vecteur li : tous les lments du vecteur sont dtermins ;

    - Vecteur unitaire : cest un vecteur dont le module est gal 1.

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    A.KADI

    4. Composantes dun vecteur

    Considrons une base de lespace 3R note : . Cette base est orthonorme

    si : e

    ),,,( 3210

    = eeeOR

    =

    =

    ji si 0ji si 1

    ji e

    1e

    2e

    3e

    La base est dite directe si un observateur se plaant

    lextrmit du vecteur e verra le vecteur tourner vers le

    vecteur e dans le sens contraire des aiguilles dune montre.

    0R

    3

    1e

    2

    Dans cette base un vecteur V de composantes ( scrirait :

    3),, Rzyx

    ++= 321 ezeyexV

    Les quantits relles x, y, z sont appeles composantes du vecteur V dans la base

    3R .

    La notation adopte est la suivante : V

    =

    zyx

    R0

    +=

    321 aaa

    5. Loi de composition interne : Somme vectorielle

    La somme de deux vecteurs V et V est un vecteur W tel que :

    1

    2

    321 , RVV

    nous avons W 321 RVV

    Soit ( les composantes du vecteur V do : V et

    les composantes du vecteur V do : V

    ),,

    1

    ++= 3322111 eaeaea

    ),,( 321 bbb

    2

    ++= 3322112 ebebeb

    Le vecteur somme est dfini par la relation :

    +++++=+= 33322211121 )()()( ebaebaebaVVW

    Llment neutre ou vecteur nul, est not : )0,0,0(0 =

    5.1 Proprits de la somme vectorielle

    - la somme vectorielle est commutative : V ;

    +=+ 1221 VVV

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    A.KADI

    - la somme vectorielle est associative : ;

    ++=+

    +

    321321 VVVVVV

    - llment neutre est dfini par : ;

    =+ VV 0

    - A tout vecteur correspond un vecteur oppos not tel que :

    V

    V

    =

    + 0VV

    5.2 Multiplication par un scalaire

    Si est un nombre rel et un vecteur, leur produit est un vecteur.

    V

    R , ========> 3 RV

    3RVW =

    Le vecteur est colinaire au vecteur .

    W

    V

    Si le vecteur a pour composantes (a, b, c) tel que : ; le vecteur

    scrirait :

    V

    ++= 332211 eaeaeaV

    W

    332211

    ++= eaeaeaW

    La multiplication dun vecteur par un scalaire vrifie les proprits suivantes :

    a) Distribution par rapport laddition des scalaires : ;

    +=+ VVV 2121 )(

    b) Distribution par rapport la somme vectorielle : ;

    +=+ 2121 )( VVVV

    c) Associativit pour la multiplication par un scalaire :

    = VV 2121 )(

    6. Combinaison linaire des vecteurs

    Soit les n vecteurs : de lespace

    ni VVVVV ..................,.........,, 3213R et n ,........,, 321 des

    nombres rels. Les vecteurs sont aussi des

    vecteurs de lespace

    nnii VVVVV ..................,.........,, 332211

    3R ainsi que leur somme dfini par :

    W

    =++++=n

    iiinn VVVVVW .............332211

    Le vecteur est appel combinaison linaire des vecteurs :

    W

    nVVVV ...,.........,, 321

    6.1. Dpendance et indpendance linaire entre les vecteurs 6.1.1. Dfinition

    On dit que les n vecteurs : de lespace

    ni VVVVV ..................,.........,, 3213R sont linairement

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    A.KADI

    indpendant si et seulement si, ils vrifient la relation suivante : entrane que

    = 0n

    iii V

    tous les i sont nuls.

    =++++= 0.............332211 nnn

    iii VVVVV 01 = , 02 = , .. 0=n

    Si les i ne sont pas tous nuls on dit que les vecteurs sont linairement dpendant entre eux.

    6.1.2. Proprits sur lindpendance des vecteurs

    a) Un vecteur est lui seul un vecteur linairement indpendant ;

    V

    b) Dans un systme de vecteurs linairement indpendants, aucun dentre eux ne peut tre un

    vecteur nul ;

    c) Dans un ensemble de vecteurs indpendants, tout sous ensemble prlev sur ces vecteurs

    forme un systme de vecteurs indpendants.

    6.1.3. Proprits sur la dpendance des vecteurs

    Si n vecteurs sont dpendants entre eux alors, au moins lun dentre eux est une combinaison

    linaire des autres. Soit les n vecteurs : de lespace

    ni VVVVV ..................,.........,, 3213R et

    n ,........,, 321 des nombres rels, si ces vecteurs sont linairement dpendants la relation :

    = 0n

    iii V

    Implique quil existe des i non nuls, de telle sorte que la relation puise scrire :

    =++++ 0.............332211 nn VVVV qui donne par exemple :

    +++=

    nn VVVV .............332211

    +++=

    nn VVVV .............1 3322

    11

    On dit alors que dpend linairement des vecteurs :

    1V

    nVVV .........,........., 32

    Remarque :

    a) Si sont linairement indpendant, alors les vecteurs

    le sont aussi quel que soit les vecteurs

    nVVVV .........,.........,, 321

    ,...,,.........,.........,,

    2

    1321

    +

    +

    nnn VVVVVV ,...,,

    2

    1

    +

    + nn VV

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    Dans un ensemble de vecteurs linairement indpendants, chaque vecteur est une

    combinaison unique des autres vecteurs.

    b) Soit W et U deux vecteurs indpendants:

    =n

    iii V

    =n

    iii V

    Lgalit entre les deux vecteurs indpendants est quivalente n galits entre les nombres

    rels : Si W

    = V ii =

    7. Produit scalaire de deux vecteurs

    On appelle produit scalaire de deux vecteurs V et V une loi de composition externe qui

    associe aux deux vecteurs, un scalaire (nombre rel) not : V tel que :

    1

    2

    21 V

    RVVRVV

    213

    2 ,1

    )cos( 2,12121

    = VVVVVV ; le rsultat dun produit scalaire est un scalaire.

    Le produit scalaire est nul, si :

    Les deux vecteurs sont orthogonaux ;

    Lun des vecteurs est nul.

    7.1 Proprits du produit scalaire

    a) linarit : 2 12 1

    +

    +

    =

    WVWVWVV

    =

    WVWV

    b) symtrie par rapport aux vecteurs : V donc : V si V

    = VWW 0>

    V

    0

    Le produit scalaire est une forme linaire symtrique associe aux vecteurs V et W .

    7.2 Expression analytique du produit scalaire

    Considrons une base b de lespace 3R note : b . Cette base est orthonorme si : ),,( 321

    = eee

    =

    =

    ji si 0ji si 1

    ji ee

    1e

    2e

    3e

    La base b est dite directe si un observateur se plaant lextrmit

    du vecteur e verra le vecteur e tourner vers le vecteur

    3

    1

    2edans le sens contraire des aiguilles dune montre.

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    Soient deux vecteurs et . Leurs expressions dans cette base sont :

    1V

    2V

    ++= 3322111 eaeaeaV

    ++= 3322112 ebebebV

    Le produit scalaire des deux vecteurs est donn par :

    33221133221133221121 bababaebebebeaeaeaVV ++=

    ++

    ++=

    7.3. Norme ou module dun vecteur

    On appelle norme ou module dun vecteur , not :

    V

    V la racine carre positive du produit

    scalaire du vecteur par lui-mme.

    == 2VVVV

    Nous avons en particuliers :

    = VV

    ++ 212121 VVVVVV : appel ingalit triangulaire.

    7.4. Vecteurs orthogonaux

    Deux vecteurs sont dits orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

    Si

    = 0 WVWV

    Si trois vecteurs non nuls sont orthogonaux deux deux, ils sont alors linairement

    indpendant et ils constituent une base orthogonale dans 3R .

    7.5. Base orthonorme

    Une base est dite orthonorme si les vecteurs qui la constituent sont perpendiculaires deux

    deux et si leurs normes sont gales 1. Si est orthonorme nous avons alors : ),,( 321

    = eeeb

    021 =

    ee , , 031 =

    ee 032 =

    ee

    12111 ==

    eee , , 12222 ==

    eee 12333 ==

    eee

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    8. Produit vectoriel de deux vecteurs

    Le produit vectoriel de deux vecteurs V et V de lespace

    1

    23R est un vecteur W

    perpendiculaire V et V , dfini par :

    1

    2

    == nVVVVVVW ,sin 212121

    ou : est un vecteur unitaire perpendiculaire V et V

    n

    1

    2

    1V

    2V

    W

    n

    Le produit vectoriel est nul si :

    - Les deux vecteurs sont colinaires ;

    - Lun des vecteurs, est nul.

    8.1. Proprits du produit vectoriel

    a) Le module du produit vectoriel est gal laire du paralllogramme form par V et V ;

    1

    2

    b) Le produit vectoriel est distributif gauche et droite pour la somme vectorielle :

    )( 2121

    +=+ WVWVWVV

    +=+ 2121 )( VWVWVVW

    c) Le produit vectoriel est associatif pour la multiplication par un nombre rel :

    ) ( )(

    = WVWV

    ) ( )

    = WVWV

    d) Le produit vectoriel est antisymtrique (anticommutatif)

    = 1221 VVVV

    Si on applique cette proprit au produit vectoriel dun mme vecteur, nous aurons :

    == 0) ( VVVV

    On dduit partir de cette proprit que : deux vecteurs non nuls sont colinaires si et

    seulement si leur produit vectoriel est nul.

    Si alors

    21 // VV

    = 0 21 VV

    En effet si on peut crire :

    21 // VV

    = 21 VV

    == 0) ( 2221 VVVV

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    8.2. Produit vectoriel des vecteurs unitaires dune base orthonorme

    Si est orthonorme nous avons : ),,( 321

    = eeeb

    Sens direct : e , e , e

    = 321 ee

    = 132 ee

    = 213 ee

    Sens oppos : , e ,

    = 312 eee

    = 123 ee

    = 231 eee

    8.3. Expression analytique du produit vectoriel dans une base orthonorm direct

    Le produit vectoriel de deux vecteurs de composantes respectives dans une base

    orthonorme direct R:

    21 et VV

    =

    1

    1

    1

    1

    ZYX

    R

    V et

    =

    2

    2

    2

    2

    ZYX

    R

    V

    =

    =

    2121

    2121

    2121

    2

    2

    2

    1

    1

    1

    21 XYYXZXXZYZZY

    ZYX

    ZYX

    VV

    8.4. Produit mixte

    On appelle produit mixte de trois vecteurs V pris dans cet ordre, le nombre rel dfini

    par : V

    321 ,, VV

    321 VV

    Le produit mixte est donc un scalaire gal au volume

    3V

    1V

    2V

    du paralllpipde form par les trois vecteurs.

    Le produit mixte est nul, si :

    - les trois vecteurs sont dans le mme plan ;

    - deux des vecteurs sont colinaires ;

    - lun des vecteurs, est nul.

    On montre facilement que, dans une base orthonorme directe, le produit mixte est un variant

    scalaire par permutation circulaire direct des trois vecteurs car le produit scalaire est

    commutatif:

    =

    =

    132213321 VVVVVVVVV

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    32,1 ,VVV

    13,221,332,1 ,,, VVVVVVVVV

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    Remarque :

    Une notation simplifie, dans laquelle les oprateurs napparaissent pas, est adopte dans ce

    cas pour faciliter lcriture des quations vectorielles :

    321 VVV est quivalent

    nous avons alors :

    =

    =

    8.5. Double produit vectoriel

    Le double produit vectoriel de trois vecteurs respectifs V est un vecteur W exprim

    par la relation : W . Le vecteur W est perpendiculaire au vecteur V et au

    vecteur form par le produit : V , il est donc dans le plan form par les vecteurs

    . Le vecteur W peut scrire : W

    32 1 ,, VV

    =

    321 VVV

    1

    32 V

    32 et VV

    += 32 VbVa

    Nous pouvons prsenter cette relation autrement par identification des scalaires a et b, on

    obtient :

    = 321231321 )( )( VVVVVVVVV

    Il faut faire attention lordre des vecteurs car le produit vectoriel nest pas commutatif.

    Pour retenir cette formule, il est plus simple de lcrire sous la forme :

    )( )(

    = BACCABCBA

    9. Projection des vecteurs

    9.1. Projection orthogonale dun vecteur sur un axe

    Soit V un vecteur quelconque, et (

    ) un axe de lespace dfini par son vecteur unitaire u .

    La projection orthogonale du vecteur V est la composante V de ce vecteur du cet axe.

    u

    u

    V

    uV

    = uuVVu )(

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    A.KADI

    9.2. Projection orthogonale dun vecteur sur un plan

    Soit V un vecteur quelconque, et (

    ) un plan de lespace dfini par la normale . La

    projection orthogonale du vecteur V est la composante V dans le plan.

    n

    Le vecteur V a deux composantes lune dans le plan et lautre perpendiculaire au plan. On a

    ainsi : V

    == nnV( VV V

    nV

    n

    V

    V (

    n )

    )( )(

    Qui scrit aussi sous la forme : V

    = nnVVnn

    On retrouve la relation du double produit vectoriel

    entre les vecteurs V et : V

    n )(

    = nVn

    10. Division vectorielle

    Si , on dit que

    = WVX

    X est le rsultat de la division vectorielle de W par V

    i) ne doit pas tre un vecteur nul ;

    V

    ii) et V doivent tre orthogonaux

    W

    Sil existe une solution particulire , alors elle est la forme

    0X

    = WVX 0

    En remplaant cette valeur dans lexpression on obtient :

    = WVX

    = WVWV )(

    = WWVVVVW )()(

    Comme V alors V ; on obtient :

    W 0=

    W

    =WVVW )( 21

    V=

    Nous avons aussi : cette expression montre que le

    vecteur ( est parallle V , dans ce cas nous pouvons crire que :

    = VXVX 0

    = 0)( 0 VXX

    )0

    XX

    = VXX )( 0 avec IR ou

    += VXX 0

    finalement :

    +

    = VV

    WVX 2

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    A.KADI

    11. Rgle des sinus dans un triangle Soit un triangle quelconque ABC nous pouvons tablir une relation entre les trois cts et les

    trois angles du triangle.

    C

    B A E

    D

    Dans les triangles ABD et CBD , nous avons :

    ABDB

    =sin et BCDB

    =sin

    do : sinsin BCAB =

    On dduit : sinsin ABBC

    =

    De mme pour les triangles AEC et BEC , nous avons :

    ACEC

    =sin et BCEC

    = )sin( do sin)sin(sin BCBCAC ==

    On dduit : sin

    ACBC=

    sin

    On dduit finalement une relation appele rgle des sinus dans un triangle:

    sinAC

    sinsin==

    ABBC

    12. Oprateurs et vecteurs

    12.1 Oprateur gradient dans un repre orthonorm ),,,(

    kjiOR

    On dfini loprateur vectorielle not :

    +

    +

    = kz

    jy

    ix

    comme tant la drive dans

    lespace suivant les trois directions des vecteurs unitaires.

    Le gradient dun scalaire U est dfini comme tant la drive vectorielle suivant les trois

    directions respectives par rapport aux variables : x, y, z .

    kji ,,

    +

    +

    = kzUj

    yUi

    xUzyxgradU ),,( ou UUgrad

    =

    Exemple :

    yzzxxyU 523 += : zyxU 23 =

    , zxyU 53 += , yx

    zU 52 +=

    ++++= kyxjzxizyzyxgradU )52()53()23(),,(

    Le gradient dun scalaire est un vecteur.

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    27

    A.KADI

    12.2 Oprateur divergence dans un repre orthonorm ),,,(

    kjiOR

    La divergence dun vecteur est dfinie comme tant le produit scalaire

    ++= kVjViVV zyx

    de loprateur :

    +

    +

    = kz

    jy

    ix

    par le vecteur ; not :

    V

    = VVdiv

    zV

    yV

    xV

    kVjViVkz

    jy

    ix

    Vdiv zyxzyx

    +

    +

    =

    ++

    +

    +

    =

    )(

    La divergence dun vecteur est un scalaire.

    12.3 Oprateur rotationnel dans un repre orthonorm ),,,(

    kjiOR

    Le rotationnel dun vecteur est dfinie comme tant le produit

    ++= kVjViVV zyx

    vectoriel de loprateur :

    +

    +

    = kz

    jy

    ix

    par le vecteur ;

    V

    = VVrot ;

    ++

    +

    +

    =

    kVjViVkz

    jy

    ix

    Vrot zyx)(

    Le rotationnel dun vecteur est aussi un vecteur.

    Sous la forme matricielle nous aurons :

    =

    =

    yV

    xV

    xV

    zV

    zV

    yV

    V

    V

    V

    z

    y

    xVrot

    xy

    zx

    yz

    z

    y

    x

    )(

    Remarque :

    Si f est un champ scalaire et et

    A

    B deux vecteurs quelconques, les relations suivantes

    sont vrifies :

    -

    += gradfAAfdivAfdiv )( ;

    - , avec

    = AAdivgradArotrot )()( 22

    2

    2

    2

    2

    zyx

    +

    +

    = ;

    - ; )( ))(

    += Arot fAgradfAfrot

    - ;

    = 0)( gradfrot

    - ; 0)( ( =

    Arotdiv

    - )()() (

    = BrotAArotBBAdiv

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    30

    A.KADI

    EXERCICES ET SOLUTIONS

    Exercice 01 :

    Deux points A et B, ont pour coordonnes cartsiennes dans lespace : A(2,3,-3), B(5,7,2)

    Dterminer les composantes du vecteur ainsi que son module, sa direction et son sens.

    AB

    Solution :

    Le vecteur est donn par :

    AB

    ++=+= iiiOAOBAB 543

    Son module : 50543 222 =++=AB

    Sa direction est dtermine par les angles ),,( quil fait avec chacun des axes du repre.

    Ses angles se dduisent par le produit scalaire du vecteur par les vecteurs unitaires du

    repre orthonorm :

    AB

    ),(

    = iAB : cos.1.ABiAB =

    424.0503cos ===

    ABiAB = 89.64

    ),(

    = jAB : cos.1.ABjAB =

    565.0504cos ===

    ABjAB = 54.55

    ),(

    = kAB : cos.1.ABkAB =

    707.0505cos ===

    ABkAB = 99.44

    son sens : comme le produit scalaire du vecteur avec les trois vecteurs unitaires est

    positif alors, il a un sens positif suivant les trois axes du repre.

    AB

    k

    A

    B

    i

    j

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    31

    151 =

    A.KADI

    Exercice 02 :

    La rsultante de deux forces et est gale 50 N et fait un angle de 30 avec la

    force . Trouver le module de la force et langle entre les deux forces.

    1F 2

    F

    151 NF =

    2F

    Solution :

    R = 50 N ; V ; N = 30 , n ous avons :

    += 21 FFRDans le triangle rectangle: ACD rectangle en D, nous avons :

    222 DCADAC += cos21 FFBDABAD +=+=

    sin2FDC =

    On obtient alors : cos2)sin()cos( 212

    22

    12

    22

    212 FFFFFFFR ++=++=

    cos2 212

    22

    12 FFFFR ++= (1)

    Nous avons aussi :

    sin sin

    sin sin

    22

    F CDFCD

    R CDR

    CD

    ==

    == (2) sinsin 2FR =

    et R

    FFR

    AD coscos 21 +== 2

    1coscos (3) F

    FR =

    en remplaant lexpression (3) dans (1), on aboutit :

    )cos(2cos2 112

    22

    12

    121

    22

    21

    2 FRFFFF

    FRFFFFR ++=

    ++=

    do : )cos(2 112

    12

    2 FRFFRF =

    NxF 44,44)1530cos50(1521550 222 ==

    Lexpression (3) nous donne : 566,050

    1530cos50cos == = 528,55

    2F

    1FA

    C

    D B

    R

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    32

    A.KADI

    Exercice 03 :

    Soient les vecteurs suivants : et

    ++= kAjAiAU 3211

    ++= kBjBiBU 3212

    1) Calculer les produits scalaires : , , , 221121

    UUUUUU

    On donne : , ,

    += kjiV 521

    += kjiV 5.75,132

    ++= kjiV 453

    2) Calculer ; et 2121

    VVVV

    3) Sans faire de reprsentation graphique que peut-on dire du sens et de la direction du

    vecteur par rapport ; 2

    V 1

    V

    4) Calculer les produits suivants et ; ) ( 321

    VVV ) ( 321

    VVV

    5) Dterminer la surface du triangle form par les vecteurs

    32 et VV

    Solution :

    1) , , 33221121 BABABAUU ++=

    23

    22

    2111 AAAUU ++=

    23

    22

    2122 BBBUU ++=

    2) 455,375,16 21 ==

    VV

    =

    +

    =

    =

    000

    335,15,15,75,7

    5,75,13

    55,1

    2 21 VV

    3) Comme le produit vectoriel des deux vecteurs est nul, alors ils sont parallles

    = 0 21 VV // 21

    VV

    De plus leur produit scalaire est ngatif , alors les vecteurs sont

    parallles et de sens opposs

    45 21 =

    VV

    21 et VV

    4) 05,225,40635,45,405,31

    51

    2

    145

    5,75,13

    51

    2) ( 321 ==

    =

    =

    VVV

    on peut retrouver ce rsultat par la mthode vectorielle :

    Nous avons soit // 21

    VV 32

    = VVW , calculons

    3

    2

    WV

    WV

    WV1

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    33

    A.KADI

    WVVVWV 1212 // et 0 1 =

    WV

    V

    =

    =

    =

    5,1125,166

    198

    5,45,405,31

    51

    2

    145

    5,75,13

    51

    2) ( 321 VV

    V

    ++= kjiVV 5,112166198) ( 321

    5) La surface du triangle form par les vecteurs V est donne par la moiti du

    module du produit vectoriel des deux vecteurs :

    32 et V

    Nous avons : alors :

    += k,ji,VV 545,40531 32

    50,51)54(5,40531 22232 =++=

    ,,VV

    2V

    3V

    75,25250,51

    2

    32

    ==

    =

    VVS

    cest la demi surface du paralllogramme :

    Exercice 04 :

    Soient les vecteurs :

    += kiU 62 , V , ,

    ++= kzjyi8

    et

    et

    += kjiP 243

    ++= kjyiQ 122

    1) Dterminer y et z pour que les vecteurs U soient colinaires ;

    V

    2) Dterminer la valeur de y pour que les vecteurs soient perpendiculaires;

    QP et

    Solution :

    1) Si U sont colinaires alors:U

    V

    = 0 V

    =

    +

    =

    000

    2482

    68

    602

    y

    zy

    zy

    ==

    240

    zy

    2) Si sont perpendiculaires alors :

    QP et 0 =

    QP

    0 12

    2

    24

    3 0

    =

    =

    yQP 02446 =+ y 29

    =y

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    34

    A.KADI

    Exercice 05 :

    Trouvez le volume dun paralllpipde dont les cots sont les vecteurs : U tel que : , , ,

    QP

    += jiU 62 , , 53

    += kjP ,

    += kjiQ 24

    Solution :

    Le volume dun paralllpipde est un scalaire positif. On doit utiliser une opration

    vectorielle dont le rsultat est un scalaire positif : cest le module du produit mixte des trois

    vecteurs : ) (

    = QPUv

    223025 3

    526

    062

    2

    41

    530

    062

    ) ( =+=

    =

    =

    QPU ;

    2222) ( ===

    QPUv

    Exercice 06 :

    La trajectoire dun mobile dans un repre orthonorm directe est donne par les

    quations paramtriques suivantes : ,

    ),,,(

    kjiOR

    24tx = )3

    (43tty = , 33 ttz +=

    Montrer que le vecteur vitesse V fait un angle constant avec laxe oz. Quelle est la valeur de

    cet angle.

    Solution :

    xVyV

    xyV

    zV

    V

    k

    j

    i

    La vitesse du mobile est donne par : V

    +==

    ==

    ))1(3

    1(4 8

    2

    2

    tVtV

    tV

    z

    y

    x

    Nous avons en effet :

    z

    yx

    z

    xy

    V

    VV

    VV

    tg22 +

    ==

    )1(316321664

    )1(3)1(1664

    2

    242

    2

    222

    tttt

    ttt

    tg+

    ++=

    ++

    =

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    35

    A.KADI

    34

    )1(3)1(4

    )1(3)1(16

    )1(3)12(16

    2

    2

    2

    22

    2

    22

    =++

    =++

    =+

    ++==

    tt

    tt

    ttt

    tg

    34

    =tg = 13,53 la valeur de langle est bien constante.

    Exercice 07 :

    La ligne daction dune force de 800 N , passe par les points et

    dans un repre orthonorm. Dterminer les composantes de cette force

    F

    74,2022,1

    A

    61,022,10

    B

    Solution :

    Nous avons :

    = ABuABAB ABABuAB

    =

    vecteur unitaire port par la ligne daction.

    74,2

    13,222,122,1)13,2()22,1()22,1(

    13,222,122,1 222

    +=

    ++

    +==

    kjikjiABABu AB

    += kjiu AB 777,0445,0445,0

    La force scrira :

    F

    )6,621356356)777,0445,0445,0(800

    +=+== kjikjiuFF AB

    Les composantes de la force sont ainsi connues suivant les trois axes du repre.

    Exercice 08 :

    Soit un repre orthonorm direct dans lespace vectoriel Euclidien ),,,( 321

    eeeOR 3R trois

    dimensions dans le corps des nombres rels. Soit un axe passant par le point O et de

    vecteur unitaire tel que : , et un vecteur quelconque

    ),(

    uO

    u

    =

    3

    2

    1

    uuu

    u

    =

    3

    2

    1

    VVV

    V

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    36

    A.KADI

    On note u un plan orthogonal laxe ),(

    uO

    1) Calculer les produits scalaires suivants : ;

    VuVVuu , ,

    2) Dterminer les composantes du vecteur dans le repre ; En

    dduire dans cette base la matrice reprsentant loprateur produit vectoriel not :

    ;

    = VuW ),,,( 321

    eeeOR

    [ ]uu * =

    3) Trouver lexpression du vecteur : projection orthogonale du vecteur sur laxe

    ; En dduire la matrice

    uV

    V

    ),(

    uO [ ]Pu reprsentant loprateur projection orthogonale sur

    laxe ; ),(

    uO

    4) Trouver lexpression du vecteur : projection orthogonale du vecteur sur le plan

    V

    V

    u ; En dduire la matrice [ reprsentant loprateur projection orthogonale sur sur le plan

    ]u

    u ;

    5) Dterminer lexpression de la distance d dun point

    zyx

    R

    P laxe ; En dduire

    lexpression matricielle reprsentant la distance au carre : dans le repre R.

    ),(

    uO

    2d

    Solution :

    1) Calcul des produits scalaires :

    , , 2322

    21 uuuuu ++=

    2

    32

    22

    1 VVVVV ++=

    332211 VuVuVuVu ++=

    2) dans le repre

    = VuW ),,,( 321

    eeeOR

    , sous forme matricielle lexpression scrira :

    =

    ==

    1221

    3113

    2332

    3

    2

    1

    3

    2

    1

    VuVuVuVuVuVu

    VVV

    uuu

    VuW

    =

    3

    2

    1

    12

    13

    23

    00

    0

    VVV

    uuuu

    uuW

    = V

    uuuu

    uuW

    00

    0

    12

    13

    23

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    37

    A.KADI

    [ ]

    = VuW * avec : [ ] oprateur produit vectoriel.

    =

    00

    0*

    12

    13

    23

    uuuu

    uuu

    3) Expression du vecteur , projection de sur laxe dans R

    uV

    V ),(

    uO

    Nous avons :

    = uuVVu

    ( ) ( )

    ++++=++=

    =

    332211332211332211 eueueuVuVuVuuVuVuVuuuVVu

    ( ) ( ) ( ) ++++++++= 332323213123322221211331221121 eVuVuuVuueVuuVuVuueVuuVuuVu

    ( ) [ ][ ] =

    = VuuVuuu

    uuu

    T 3213

    2

    1

    Nous avons donc : [ ] [ ][ ] ( )

    =

    ==

    233231

    322221

    312121

    321

    2

    2

    1

    uuuuuuuuuuuuuuu

    uuuuuu

    uuu TP

    4) Expression du vecteur , projection de sur le plan

    V

    V )( orthogonal

    u

    Le vecteur a deux composantes, lune perpendiculaire au plan elle est porte par laxe

    et lautre dans le plan

    V

    )( )( .

    Nous avons alors :

    +

    =+= VuuVVVV u

    =

    = uuVVuuuuVVV , on retrouve la forme du double produit

    vectoriel do : . Le produit vectoriel est anticommutatif, alors :

    , ce qui donne :

    =

    uVuV

    [ ]

    == VuVuuV * [ ] [ ]

    =

    VuuV **

    mais nous savons que : [ ] on a finalement : [ uu T ** = ]

    [ ] [ ] [ ][ ]{ } [ ] ==

    = VuVuuVuuV P

    TT ****

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    38

    =+ =+ =+

    ]

    A.KADI

    avec [ ] [ ][ ]TP uuu **=Dveloppons cette expression :

    [ ] [ ][ ]

    +++

    =

    ==

    22

    213231

    3223

    2121

    312123

    22

    12

    13

    23

    12

    13

    23

    00

    0

    00

    0**

    uuuuuuuuuuuuuuuuuu

    uuuuuu

    uuuu

    uuuuu TP

    sachant que : u alors : u , u , u 12322

    21 =++ uu

    21

    23

    22 1 uu

    22

    23

    21 1 uu

    23

    22

    21 1 uu

    La matrice [ scrira : Pu

    [ ]

    =

    =233231

    322221

    312121

    233231

    322221

    312121

    100010001

    11

    1

    uuuuuuuuuuuuuuu

    uuuuuuuuuuuuuuu

    uP

    [ ] [ ] [ ][ ]Tp uuu = 1 or nous avons [ ] [ ][ ]TP uuu **= [ ][ ] [ ] [ ][ ]TT uuuu = 1**

    finalement : [ ][ ] [ ][ ] [ ]1 ** =+ TT uuuu

    5) Expression de la distance d du point P laxe ),(

    uO

    = HPd

    H

    O

    )(

    uP

    Calculons le produit vectoriel : OP

    u

    Le vecteur a pour composantes :

    OP

    ==

    zyx

    R

    rOP

    =

    += uHPuHPOHuOP

    dHPuHPuHP ===

    90sin

    nous avons alors :

    =

    uOPuOPd 2 nous allons utiliser la rgle du produit mixte afin de dvelopper

    cette expression.

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    39

    A.KADI

    =

    =

    =

    OPuOPuuOPuOPuOPuOPd ,,,,2

    qui scrit sous forme :

    =

    =

    OPuOPuOPuOPu ,,

    = Vud 2 avec

    =

    OPuOPV

    Daprs ce que lon a vu prcdemment, nous pouvons crire :

    =

    00

    0*

    xyxz

    yzr

    [ ][ ]( )

    ==

    =

    =

    urruurruuOPOPuOPuOPudT

    **)((2

    or nous avons [ ] [ ]Trr ** =

    [ ][ ]( ) [ ]

    =

    =

    uIuurrud OT

    TT

    **2 avec [ ][ ]( ) [ ]OT Irr =**

    [ ]

    +++

    =22

    22

    22

    yxyzxzyzzxxyxzxyzy

    IO

    en faisant intervenir la masse du solide, nous obtenons une matrice de la forme :

    [ ]

    +

    +

    +

    =

    SSS

    SSS

    SSS

    dmyxyzdmxzdm

    yzdmdmzxxydm

    xzdmxydmdmzy

    J

    )(

    )(

    )(

    22

    22

    22

    0

    qui est une matrice trs particulire que lon retrouvera dans les chapitres sur la cintique et

    la dynamique des solides.

    Elle est appele matrice dinertie du solide.

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    40

    A.KADI

    Exercice : 09

    Rsoudre lquation vectorielle : o sont deux vecteurs non nuls.

    = bxa

    ba et

    Solution :

    Lquation nadmet de solution que si sont orthogonaux. Soit (

    ba et ) un plan

    contenant les vecteurs , alors le vecteurs est perpendiculaire ce plan

    xa et

    b )( .

    On cherche dabord une solution particulire avec un vecteur tel que : soient

    deux vecteurs perpendiculaires entre eux :

    0x

    0et xa

    0 00 =

    xaxa

    Alors on a aussi : Multiplions vectoriellement gauche cette quation par le

    vecteur , on obtient :

    0

    = bxa

    a 0

    =

    baxaa 00

    =

    baaaxxaa

    200

    aabxbaaax

    ==

    nous avons ainsi : en faisant la diffrence entre ces deux quations, nous

    =

    =

    0bxa

    bxa

    obtenons la solution gnrale :

    x

    =

    = 0 0 00 xxaxaxa

    Comme le produit vectoriel est nul alors alors do :

    0 // xxa 0

    = axx

    On a finalement : 0

    += axx 2

    +

    = aa

    abx

    Reprsentation gomtrique :

    a

    0x

    b

    a x

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    41

    A.KADI

    Exercice : 10

    On dispose de deux forces lune de 9 N lautre de 7 N . Comment doit-on les disposer pour

    obtenir une rsultante de : 16 N ; 11,40 ; 3 N

    Exercice 11 :

    Calculer la surface du triangle ABC, o les sommets ont pour coordonnes dans un repre

    orthonorm : )4 ,2 ,3( , )2 ,2 ,2( , )2 ,3 ,1( CBA

    Exercice 12 :

    Dterminer la rsultante des trois forces concourantes au point : )3,2,2(A

    += kjiF 5,271 ; ;

    += kjiF 522

    ++= kjiF 433

    Calculer :

    21 FF ,

    21 FF ,

    + 21 FF

    En dduire le module, la direction et le vecteur unitaire port par la rsultante

    Que peut-on dire de et .

    1F

    3F

    Exercice 13 :

    Soit le systme dquations vectorielles dans un repre orthonorm direct ,

    dterminer les deux vecteurs tels que :

    ),,,(

    kjiOR

    Yet X

    =

    =+

    (2)

    (1)

    2

    1

    VYX

    VYX avec

    +=

    ++=

    kjiV

    kjiV

    2158

    247

    2

    1

    On multiplie vectoriellement gauche lquation (1) par le vecteur

    X puis on applique la

    rgle de division vectorielle quon vient de voir dans lexercice (09).

    =

    + 1VXYXX , on remplace cette expression dans lquation (2)

    do : on dduit daprs ce que lon a vue dans lexercice (9) que :

    = 1VXYX

    = 21 VVX

    121

    12

    +

    = VV

    VVX

    +++

    =

    kjiX 247247

    2158

    691 247

    1372

    38

    691

    +++

    =

    kji

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    42

    A.KADI

    ++

    +

    +

    +

    = kjiX 269

    137469

    276938

    On dduit

    Y facilement par :

    269

    137469

    276938 2471

    +

    +

    +

    ++== kjiiiiXVY

    )1(269137)1(4

    692)1(7

    6938

    +

    +

    ++

    += kjiY

    Exercice 14 :

    Dans un repre orthonorm on donne trois points A, B, C de lespace ayant pour

    coordonnes : , , . Soit

    ),,,(

    kjiOR

    )4,3,1(A )2,4,1( B )1,1,0(C )( un plan dfini par ces trois points et

    la normale celui-ci.

    n

    Dterminer les composantes du vecteur dans le plan

    += kjiV 43 )( et suivant la

    normale ce plan.

    Solution :

    Le vecteur scrirait :

    V

    += VVV n

    O et )(

    nV )(

    V

    Le vecteur unitaire est perpendiculaire au plan et aussi aux vecteurs

    n

    BCACAB ,,

    Alors : , , 0=

    ABn 0=

    ACn 0=

    BCn

    Nous avons : , ,

    += kjiAB 62

    = kjiAC 32

    += kjiBC 33

    Soit

    +=

    =

    == kiACABW 515

    5015

    321

    612

    Le vecteur est perpendiculaire au deux vecteurs donc aussi au vecteur ,

    alors il est perpendiculaire au plan

    W

    ACAB et

    BC

    )( form par ces trois vecteurs. On dduit le vecteur

    unitaire normal au plan )( par : 106

    515

    +==

    kiWWn

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    43

    A.KADI

    On peut vrifier facilement :

    0303062106

    515==

    +

    +=

    kjikiABn

    0151532106

    515==

    +=

    kjikiACn

    0151533106

    515=+=

    +

    +=

    kjikiBCn

    La composante, du vecteur, suivant la normale au plan scrirait :

    =

    +

    +=

    = nnkikjinnVVn 106

    65515106143

    =

    +==

    kikinVn 3259751061

    106515

    10665

    10665

    La composante dans le plan )( se dduit par :

    +=

    +==

    kjikikjiVVV n 996571061325975

    106143

    Exercice 15 :

    Dterminer lexpression gnrale des vecteurs orthogonaux aux vecteurs :

    et . En dduire les vecteurs unitaires port par .

    W

    ++= kjiV 321

    += kjiV 532

    W

    Exercice 16 :

    Soient trois vecteurs libres ; montrer quil vrifient la relation suivante :

    WVU , ,

    =

    +

    +

    0 UWVVUWWVU

    Solution :

    On utilise la formule de dveloppement du double produit vectoriel.

    =

    VUWWUVWVU

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    44

    A.KADI

    =

    UWVVWUVUW

    =

    WVUUVWUWV

    La somme des trois termes donne :

    =

    +

    +

    =

    +

    +

    0

    WVUVWUUVWVUWUWVWUV

    WVUUVWUWVVWUVUWWUV

    Comme le produit scalaire est commutatif alors :

    =

    +

    +

    0 WVUUUVWWUWVV

    Exercice 17 :

    Soient deux forces et faisant chacune respectivement un angle de 25 et 35 avec

    la rsultante

    1F

    2F

    R qui a une valeur de 400 N . Dterminer les modules des deux forces.

    Solution :

    B

    A

    35 25

    35

    2F

    1F

    R C

    Utilisons la rgle des sinus :

    sin35sin25sinACABBC

    =

    =

    =+= 120)3525(180

    or nous avons : , et 1FAB = 2FBC = RAC =

    Do : NRF 195 120sin25sin 2 =

    = et NRF 265 120sin35sin 1 =

    =

    Exercice 18 :

    Soit , Q

    += ktjtitP 32 752

    += ktjtit 2104 23

    1) Vrifier les relations suivantes : dtQdPQ

    dtPdQP

    dtd

    +=

    dtQdPQ

    dtPdQP

    dtd

    +=

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    45

    A.KADI

    2) Calculer les produits suivants : et

    QPP

    QPP

    Soit un vecteur ; quelle est la valeur de

    += kjtiU 2 pour que le vecteur soit

    perpendiculaire

    U

    P .

    3) Dterminer le volume du paralllpipde form par les vecteurs

    QPU ,, ;

    4) Dterminer la composante de sur laxe

    Q passant par les points A(0,0,1) et B(1,2,1)

    Exercice 19 :

    Soit f un scalaire et trois vecteurs quelconques, vrifier les relations suivantes :

    CBA , ,

    1)

    += gradfAAfdivAfdiv )( ;

    2)

    += ArotfAgradfAfrot )(

    3) ; ) () (

    = BACCABCBA

    4)

    = AAdivgradrotArot )()( ;

    5) ; 0)(

    =gradfrot

    6)

    = 0) Arotdiv(

    7)

    = rotBArotABBAdiv )(

    Solution :

    1) )()()()( zyx fAzfA

    yfA

    xAfdiv

    +

    +

    =

    zfA

    yfA

    xfA

    zA

    yA

    xA

    f zyxzyx

    +

    +

    +

    +

    +

    =

    =

    + gradfAAfdiv

    2)

    +

    +

    +

    =

    =

    =

    yfA

    yA

    fxfA

    xA

    f

    zfA

    xAf

    zfA

    zA

    f

    zfA

    zA

    fyfA

    yAf

    yfA

    xfA

    xfA

    zfA

    zfA

    yfA

    fA

    fA

    fA

    z

    y

    xAfrot

    xx

    yy

    zz

    xx

    yy

    zz

    xy

    zx

    yz

    z

    y

    x

    )(

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    46

    A.KADI

    +

    +

    +

    =

    yfA

    xfA

    yA

    xA

    f

    zfA

    zfA

    xA

    zA

    f

    zfA

    yfA

    zA

    yA

    f

    xyxy

    zxzx

    yzyz

    =

    + ArotfAgradf

    3)

    =

    =

    xyyx

    zxxz

    yzzy

    z

    y

    x

    z

    y

    x

    z

    y

    x

    z

    y

    x

    CBCBCBCBCBCB

    AAA

    CCC

    BBB

    AAA

    CBA

    ( ) ( )( ) (( ) ( )

    =

    yzzyyzxxzx

    xyyxxyzzyz

    zxxzzxyyxy

    CBCBACBCBACBCBACBCBACBCBACBCBA

    )

    ++++++

    =

    zzzzzzyzyzyyzxxxzx

    yyyyyyxyxyxxzxzxzz

    xxxxxxzxzxzzxyyyxy

    CBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBA

    ( ) ( )( ) (( ) (

    ++++++++++++

    =

    zzyyxxzzzyyxxz

    zzyyxxyzzyyxxy

    zzyyxxxzzyyxxx

    BABABACCACACABBABABACCACACABBABABACCACACAB

    ))

    ) () (

    = BACCAB

    4)

    =

    =

    zA

    yA

    yxA

    zA

    x

    yA

    xA

    xzA

    yA

    z

    xA

    zA

    zyA

    xA

    y

    yA

    xA

    xA

    zA

    zA

    yA

    z

    y

    xrotArot

    yzzx

    xyyz

    zxxy

    xy

    zx

    yz

    )(

    =

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    = AAdivgrad

    Azyxz

    Ay

    Ax

    Az

    Azyxz

    Ay

    Ax

    Ay

    Azyxz

    Ay

    Ax

    Ax

    zzyx

    yzyx

    xzyx

    )(

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

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    47

    A.KADI

    5)

    =

    =

    =

    =

    = 0000

    )(22

    22

    22

    yxf

    yxf

    xzf

    xzf

    zyf

    zyf

    xf

    yyf

    x

    zf

    xxf

    z

    yf

    zzf

    y

    zfyfxf

    z

    y

    x fgradrot

    Dune autre manire :

    =

    == 0)( ff fgradrot

    6)

    ==

    yA

    xA

    xA

    zA

    zA

    yA

    z

    y

    xAArotdiv(

    xy

    zx

    yz

    )

    +

    +

    =y

    Ax

    Azx

    Az

    Ayz

    Ay

    Ax

    xyzxyz

    0222222

    =

    +

    +

    =yz

    Axz

    Axy

    Azy

    Azx

    Ayx

    A xyzxyz

    Dune autre manire :

    = AArotdiv( ) soit les vecteurs sont perpendiculaires au

    vecteur rsultat

    = BA

    Aet

    B . Nous avons alors :

    = BArotdiv( )

    Comme do :

    B 0 =

    B 0) =

    Arotdiv(

    7)

    =

    xyyx

    zxxz

    yzzy

    BABABABABABA

    z

    y

    xBAdiv

    ( ) ( ) ( )xyyxzxxzyzzy BABAzBABAyBABAx

    +

    +

    =

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    48

    A.KADI

    +

    +

    =y

    Ax

    AB

    xA

    zA

    Bz

    Ay

    AB xyzzx

    yyz

    x

    y

    Bx

    BA

    xB

    zB

    Az

    By

    BA xyzzx

    yyz

    x

    = rotBArotABBAdiv )(

    Exercice 20 :

    Soit un vecteur exprim dans un repre orthonorm .

    ++= kzjyixr ),,,(

    kjiOR

    1) Calculer et ( ) rgrad

    rgrad 1 ;

    2) Si U(r) est un champ scalaire symtrie sphrique, montrer que est un

    vecteur radial ;

    ( )(rUgrad

    )

    3) Calculer et en dduire que pour un champ lectrique Coulombien : )(

    rdivrrkE

    = on a

    ;

    = 0Ediv

    4) Montrer que 01 =

    r avec 0r ;

    5) Calculer

    rrot

    Solution :

    1) Nous avons : ( )21

    222222 zyxzyxr ++=++= et ( ) 21

    2221 ++= zyxr

    ( ) ( ) ( ) ( ) ++++++++=

    +

    +

    = kzyxzjzyxyizyxxkzrj

    yri

    xrrgrad 2

    12222

    12222

    1222

    ( ) r

    r

    zyx

    kzjyix

    =++

    ++=

    21

    222

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    49

    A.KADI

    +

    +

    =

    k

    rzj

    ryi

    rxrgrad 1111

    ( ) ( ) ( ) ++++++= kzyxzjzyxyizyxx 23

    22223

    22223

    222

    ( )

    323

    222 rr

    zyx

    kzjyix

    =++

    ++=

    2) ( )

    +

    +

    =

    +

    +

    = k

    zr

    rrUj

    yr

    rrUi

    xr

    xrUk

    zrUj

    yrUi

    xrUrUgrad )()()()()()()(

    rr

    rrUk

    zrj

    yri

    xr

    rrU

    =

    +

    +

    =)()(

    3) 3=

    +

    +

    =

    ++

    +

    +

    =

    zz

    yy

    xxkzjyixk

    zj

    yi

    xrdiv

    4) 13.111 333

    +=

    =

    =

    rgradr

    rrrdiv

    rgraddiv

    r

    +

    +

    +=

    krz

    jry

    irx

    rr 3333

    1113.1

    nous avons : 562

    33

    3.3.11rx

    rx

    rr

    xr

    rrrx==

    =

    de mme pour y et z : 535331 , 31r

    zrzr

    yry

    =

    =

    alors, nous obtenons :

    03333.13333.11 33535553 =+=+=

    +++=

    rrrr

    rri

    rzi

    ryi

    rxr

    rr

    5)

    =

    =

    =

    =

    0

    000

    yx

    xy

    xz

    zx

    zy

    yz

    z

    y

    x

    z

    y

    xrrot

    Car x , y , z : sont des variables indpendantes

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    51

    A.KADI

    CHAPITRE II

    LES TORSEURS

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    52

    A.KADI

    LES TORSEURS

    Les torseurs sont des outils mathmatiques trs utiliss en mcanique. Lutilisation des

    torseurs dans ltude des systmes mcaniques complexes est trs commode car elle facilite

    lcriture des quations vectorielles. Une quation vectorielle reprsente trois quations

    scalaires et une quation torsorielle est quivalente deux quations vectorielles donc six

    quations scalaires. Nous verrons dans les prochains chapitres quatre types de torseurs

    diffrents : le torseur cinmatique, le torseur cintique, le torseur dynamique et le torseur des

    actions.

    1. Moment dun vecteur par rapport un point

    Le moment dun vecteur V dorigine B ( glissant ou li) par rapport un point A est

    AM

    gal au produit vectoriel du vecteur

    position par le vecteur V .

    AB

    Remarque :

    Or nous avons :

    VBC //

    = 0) VBC

    =+== VABVBCABVACVM A )()(

    Il scrit :

    = VABVM A )(

    Le tridre form respectivement par les

    vecteurs ( est direct. ) , ,

    AMVAB

    V

    )(

    VM A

    A

    B )(

    Le moment au point A est indpendant

    de la position du vecteur V sur laxe

    . En effet nous avons :

    )(

    +== VBCABVACVM A )()(

    V

    )(

    VM A

    A

    B )(C

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    53

    A.KADI

    Le moment est perpendiculaire au plan form par les vecteurs . )(

    VM A

    VAB et

    La distance AB est souvent appele bras de levier.

    2. Moment dun vecteur par rapport un axe

    Le moment dun vecteur V par rapport un axe )(

    VM

    )( dfini par un point A et un

    vecteur unitaire u , est gal la projection du moment sur laxe ( .

    )(

    VM A )

    = uuVMVM A )()(

    3. Les torseurs 3.1. Dfinition

    Un torseur que nous noterons [ est dfini comme tant un ensemble de deux champs de vecteurs dfinis dans lespace gomtrique et ayant les proprits suivantes :

    ]T

    a) Le premier champ de vecteurs fait correspondre tout point A de lespace un vecteur

    R

    indpendant du point A et appel rsultante du torseur [ ]T ;

    b) Le second champ de vecteur fait correspondre tout point A de lespace un vecteur

    qui dpend du point A. Le vecteur est appel moment au point A du torseur [ .

    AM

    AM ]T3.2. Notation

    La rsultante

    R et le moment rsultant au point A , constituent les lments de

    rduction du torseur au point A.

    AM

    Soit

    R la rsultante des n vecteurs glissants : V appliqus

    respectivement aux points : . Nous pouvons dfinir partir de ce

    systme de vecteurs deux grandeurs :

    nVVV .....,.........,, 321

    nBBBB ......,.........,, 321

    - La rsultante des n vecteurs : ; =

    =n

    iiVR

    1

    - Le moment rsultant en un point A de lespace est donn par : =

    =n

    iiiA VABM

    1

    Le moment par rapport laxe est

    indpendant du point A.

    V

    )(

    VM A

    A

    B

    )(

    VM

    )(

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    54

    A.KADI

    Les deux grandeurs constituent le torseur dvelopp au point A associ au systme de

    vecteurs donns. On adopte la notation suivante : [ ]

    =

    A

    AMRT

    Remarque : Un torseur nest pas gal un couple de vecteur, mais il est reprsent au point

    A par ses lments de rduction.

    4. Proprits des vecteurs moments 4.1. Formule de transport des moments

    Connaissant le Torseur [ ] en un point A de lespace nous pouvons

    dterminer les lments de rduction de ce mme torseur en un autre point C de lespace.

    =

    ==

    =

    n

    iiiA

    ii

    A

    VABM

    VRT

    1

    Le moment au point C sexprime en fonction du moment au point A , de la rsultante

    R et

    du vecteur CA . Nous avons en effet :

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    +=+=+==n

    iii

    n

    ii

    n

    iii

    n

    ii

    n

    iii

    n

    iiiC VABVCAVABVCAVABCAVCBM

    111111)(

    += AC MRCAM

    += RCAMM AC

    Cette relation trs importante en mcanique permet de dterminer le moment en un point C en

    connaissant le moment au point A.

    4.2. Equiprojectivit des vecteurs moments

    Les vecteurs moments au point A et

    AM

    CM

    au point C ont la mme projection sur la droite AC :

    ACM AA

    AM

    R

    R

    CM

    C

    ACM C

    On dit que le champ des vecteurs moments,

    est quiprojectif.

    += RCAMM AC

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    55

    A.KADI

    La projection du vecteur moment sur laxe CA revient faire le produit scalaire avec le

    vecteur un facteur multiplicatif prs. Nous avons par la formule de transport :

    CA

    += RCAMM AC

    Multiplions cette relation scalairement par le vecteur .

    CA

    )(

    +=+= RCACAMCARCAMCAMCA AAC

    or est un vecteur perpendiculaire alors :

    RCA

    CA 0) ( =

    RCACA

    on obtient finalement :

    = AC MCAMCA ou

    = CAMCAM AC

    Le produit scalaire est commutatif.

    Cette expression exprime que les projections des vecteurs moments sur la droite

    CA sont gales.

    AC MM et

    5. Oprations vectorielles sur les torseurs 5.1. Egalit de deux torseurs Deux torseurs sont gaux (quivalents), si et seulement si, il existe un point de lespace en

    lequel les lments de rduction sont respectivement gaux entre eux. Soient deux torseurs

    et [ tel que : [ ]1T ]2T [ ] [ ]PP TT 21 = gaux au point P, cette galit se traduit par deux galits

    vectorielles : [ ] [ ]PP TT 21 =

    =

    =

    2

    1

    21

    PP MM

    RR

    5.2. Somme de deux torseurs

    La somme de deux torseurs et [ ]1T [ ]2T est un torseur [ ]T dont les lments de rduction

    sont respectivement la somme des lments de rduction des deux torseurs.

    PMR et

    [ ] [ ] [ ]PPP TTT 21 += [ ]

    +=

    +==

    2

    1

    21

    PPP

    PMMM

    RRRT

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    56

    A.KADI

    5.3. Multiplication dun torseur par un scalaire

    Si [ ] [ ]PP TT 1 = [ ] avec

    =

    ==

    1

    1

    PP

    PMM

    RRT

    IR

    5.4. Torseur nul

    Le torseur nul, not [ ]0 est llment neutre pour laddition de deux torseurs. Ses lments de rduction sont nuls en tout point de lespace.

    [ ]

    ===

    3

    0 0 0IRPM

    R

    P

    6. Invariants du torseur 6.1 Dfinition

    On appelle invariant dun torseur [ ] toute grandeur indpendante du point de lespace o elle est calcule.

    PT

    6.2 Invariant vectorielle dun torseur

    La rsultante

    R est un vecteur libre, indpendant du centre de rduction du torseur, elle

    constitue linvariant vectorielle du torseur [ ]PT

    6.3 Invariant scalaire dun torseur ou automoment Linvariant scalaire dun torseur donn, est par dfinition le produit scalaire des lments de

    rductions en un point quelconque de ce torseur.

    Le produit scalaire est indpendant du point A. Nous avons vu prcdemment la

    formule de transport : ; en faisant le produit scalaire de cette relation

    par la rsultante

    AMR

    += RCAMM AC

    R , on obtient :

    += RRCAMRM AC

    += R RCA R MRM AC

    = RMRM AC

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    57

    A.KADI

    on voit bien que le produit scalaire, des deux lments de rduction dun torseur, est

    indpendant du point o est mesur le moment.

    7. Axe central dun torseur 7.1. Dfinition Soit un torseur donn de rsultante non nulle. Laxe central ( ) est dfini par lensemble des

    points P de lespace tel que le moment du torseur en ce point, soit parallle la rsultante.

    P avec

    =

    RM P IR

    Laxe central dun torseur est parallle la droite support de la rsultante du torseur :

    Dmonstration :

    Soient P et P deux points de laxe central, nous pouvons crire :

    =

    RM P et car les deux moments sont parallles

    =

    ' ' RM P R

    et nous avons aussi par la formule de transport :

    ' '

    += RPPMM PP

    ' '

    += RPPRR ') ' (

    = RPPR

    Par dfinition le vecteur rsultat de

    RPP' est perpendiculaire

    'PP et

    R ou nul.

    La seule possibilit ici est, quil soit nul, alors dans ce cas :

    == 0 'et ' RPP

    = 0 ' RPP : do laxe central est parallle la rsultante du torseur. // '

    RPP

    Nous allons montrer aussi que laxe central est le lieu des points ou le module du moment

    PM du torseur est minimum.

    Soit P un point appartenant laxe central et soit A un point quelconque de lespace

    nappartenant pas laxe central. Nous pouvons crire par la formule de transport :

    += RAPMM PA

    on dduit alors :

    +

    += RAPMRAPMM PPA 2

    222

    or nous avons :

    =

    RM P

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    58

    A.KADI

    +

    += RAPRRAPMM PA 2

    222

    2222

    >

    += PPA MRAPMM

    Quel que soit P appartenant laxe central le moment en ce point est minimum.

    7.2. Symtrie du champ des moments dun torseur

    Soit un repre orthonorm direct dont laxe vertical est confondu avec laxe

    central du torseur dfini au point O par : [ ]

    ),,,(

    zyxOR

    ),()(

    = zO OO

    ===

    zMMzRRT O

    On dfini un autre repre local orthonorm direct en un point A quelconque de lespace tel

    que laxe Oz reste confondu : tel que ),,,(

    zvuAR )

    = zvu

    Laxe rencontre laxe en un point C. ),(

    uA ),(

    zO

    On pose et CA do OA

    = zhOC

    = uL

    +=+= uLzhCAOC

    Par la formule de transport nous pouvons crire :

    )(

    ++=+= uLzhzRzMOARMM OOA

    += vL R zMM OA

    z

    2

    AM

    1

    AM

    AM

    v

    CM

    R

    OM A2

    A1A

    C

    O

    z

    uy

    )(x

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    59

    A.KADI

    Daprs cette relation, on constate que les vecteurs moments autour de laxe central sont

    situs dans le plan . ),(

    zv

    - Si L = Cte alors : ; OOA MuzRLzzMzM =+=

    - Le module du moment est constant si L = Cte :

    AM22 )()( RLMM OA +=

    On remarque que les vecteurs moments situs une mme distance L de laxe central sont

    tangents au cylindre de rvolution de mme axe

    )(

    )( .

    On constate aussi que lorsque le point A o est mesur le moment se dplace le long de laxe

    , le moment en ce point fait des rotations. Nous avons alors ),(

    uC

    - pour est parallle 0=L

    AM

    z

    - pour est orthogonal laxe L

    AM

    z

    On constate donc une torsion du moment lorsque le point A sloigne de laxe central du

    torseur, cest de l que vient lorigine du mot torseur.

    7.3. Equation vectorielle de laxe central Soit O lorigine des coordonnes dans un repre orthonorm et )( laxe central dun

    torseur [ . Nous avons : ]T )(P

    =

    RM P

    // RM P

    = 0 RM P

    Et

    += RPOMM OP 0

    =+= RPORMRMR OP

    En utilisant la proprit du double produit vectoriel, on aboutit :

    =+ 0) ( )( 2 PORRRPOMR O

    ) ( )( 2

    = PORRMRROP O ) (

    22

    +

    = RR

    OPR

    R

    MROP O

    ) (

    22

    +

    = RR

    OPR

    R

    MROP O

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    60

    A.KADI

    Le premier terme de cette quation est indpendant du point P, on peut le noter comme tant

    un vecteur

    =2

    0

    R

    MROP O et le second terme dpend du point P car cest un vecteur

    parallle

    R . On pose =

    2

    ) (

    R

    OPR do : 0

    += ROPOP

    Laxe central du torseur passe par le point dfini partir de O par lquation : [ ]T 0P

    =2

    0

    R

    MROP O et parallle

    R donc au vecteur unitaire :

    =R

    Ru .

    7.4. Pas du torseur

    Nous savons que pour tout point P de laxe central nous avons :

    =

    RM P

    Le produit scalaire de cette expression par linvariable vectorielle

    R donne :

    =

    RRRM P do :

    = 2

    R

    RM P

    Comme le produit est linvariant scalaire du torseur, la valeur

    RM P est indpendante

    du point P. est appele Pas du torseur elle nest dfinie que si :

    0R

    8. Torseurs particuliers 8.1. Glisseur

    8.1.1. Dfinition Un torseur de rsultante non nulle est un glisseur, si et seulement si, son invariant scalaire est

    nul. Cette dfinition peut se traduire par : [ ]T est un glisseur [ ]

    ==

    R avec

    P RMTI P0

    ,0

    On sait que linvariant scalaire est indpendant du point P o il est calcul. Comme la

    rsultante nest pas nulle alors on peut dire que : un torseur est un glisseur, si et seulement si,

    il existe au moins un point en lequel le moment du torseur est nul.

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    61

    A.KADI

    8.1.2. Moment en un point dun glisseur

    Soit [ un glisseur donn. Il existe au moins un point o le moment du glisseur est nul.

    Soit A ce point, nous pouvons crire : ,

    ]T

    = 0

    AM

    Par la formule de transport le moment en un point P quelconque scrit :

    += APRMM AP

    = APRM P

    Cette relation exprime le vecteur moment en un point P quelconque dun glisseur dont le

    moment est nul au point A.

    8.1.3. Axe dun glisseur

    Soit [ un glisseur donn et A un point quelconque tel que : , ]T

    = 0

    AM

    Cherchons lensemble des points P pour lesquels le moment du torseur est nul :

    Si ; cette relation montre que le vecteur 0

    =PM

    = 0 APR

    AP est colinaire la

    rsultante

    R .

    Lensemble des points P est dtermin par la droite passant par le point A et de vecteur

    unitaire parallle la rsultante

    R .

    Cette droite est appele axe des moments nul du glisseur ou axe du glisseur. Elle reprsente

    laxe central du glisseur.

    Un torseur de rsultante non nulle est un glisseur, si et seulement si, son invariant scalaire est

    nul.

    8.2. Torseur couple

    8.2.1. Dfinition Un torseur non nul est un torseur couple, si et seulement si, sa rsultante est nulle.

    Cette dfinition se traduire par : est un torseur couple [ ]T

    =

    0 :que tel 0

    PMPR

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    62

    =

    A.KADI

    8.2.2. Proprits du vecteur moment Le moment dun torseur couple est indpendant des points de lespace o il est mesur.

    Nous avons : V tel que : 21 V

    ==+= 1221 0 VVVVR

    Le moment en un point A quelconque de lespace est donn par :

    1V

    2V

    P

    Q

    (S)

    H

    =+= 1121 VAQVAPVAQVAPM A

    == 111 VQPVAQVAPM A

    On voit bien que le moment au point A est indpendant

    du A. on va montrer quil est aussi indpendant des points P et Q.

    En effet nous avons :

    =+== 111 )( VHPVHPQHVQPM A

    H est la projection orthogonale du point P sur la droite support du vecteur .

    2 V

    En ralit le moment dun torseur couple ne dpend que de la distance qui spare les deux

    droites supports des deux vecteurs, il est indpendant du lieu o il est mesur.

    8.2.3. Dcomposition dun torseur couple

    Soit [ un torseur couple dfini par : [ ] . Ce torseur couple peut tre dcompos ]CT

    =

    MTC

    0

    en deux glisseurs [ et [ tel que : ]1T ]2T [ ] [ ] [ ]21 TTTC += o les deux glisseurs sont dfinis

    comme suit : [ ]

    +=

    =+=

    quelconquepoint un est o

    0

    2

    1

    21

    PMMM

    RRTPP

    C

    Les invariants des deux glisseurs sont nuls: ; 0

    1

    11 ==

    RMI P 0

    2

    22 ==

    RMI P

    Il existe une infinit de solution quivalente un torseur couple.

    Le problme est rsolu de la manire suivante :

    a) on choisis un glisseur [ en se donnant : ]1T

    - la rsultante du glisseur : ;

    1R

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    A.KADI

    - laxe du glisseur, dfini par un point tel que : )( 1 1P ),()( 111

    = RP

    b) Le glisseur est dfini alors par : [ ]2T

    - sa rsultante ;

    = 12 RR

    - son axe est dtermin facilement car il est parallle )( 2 )( 1 ; il suffit alors de

    connatre un point de cet axe. Le point est dtermin par la relation suivante : 2P 2P

    = MPPR 211

    Cette relation dtermine la position du point de faon unique. 2P

    9. Torseur quelconque

    9.1. Dfinition Un torseur est quelconque, si et seulement si, son invariant scalaire nest pas nul.

    [ ]T est un torseur quelconque

    0PMR

    9.2. Dcomposition dun torseur quelconque

    Un torseur quelconque peut tre dcompos dune infinit de faon en la somme dun

    torseur glisseur [ et dun torseur couple[ ]T

    ]1T [ ]2T . Nous procdons de la manire suivante :

    a) Choix du point P

    On choisit un point P o les lments de rduction du torseur [ ]T sont connus : [ ]

    =

    PMRT

    Le choix du point P dpendra du problme rsoudre, on choisit le point le plus simple

    dterminer. Une fois que le choix est fait, la dcomposition du torseur quelconque est unique.

    b) Construction du glisseur [ ] 1T

    - la rsultante gale la rsultante du torseur quelconque : , avec son axe qui passe

    par le point P dj choisi ;

    = RR1

    - Le moment est nul sur cet axe :

    = 0

    1PM

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    64

    A.KADI

    Le glisseur aura pour lments de rduction : [ ]1T [ ]

    =

    ==

    0

    1

    11

    PM

    RRT

    c) Construction du torseur couple [ ]2T

    - la rsultante est nulle : ,

    = 02R

    - Le moment du torseur couple est gal au moment du torseur quelconque:

    = PP MM

    2

    Le glisseur aura pour lments de rduction : [ ]1T [ ]

    =

    ==

    2

    22

    0

    PP MM

    RT

    On obtient ainsi [ ] [ ] [ ]21 TTT += En chaque point choisi initialement nous pouvons faire cette construction. Tous les glisseurs

    obtenus auront la mme rsultante. Ils diffrent par leurs axes mais gardent la mme direction

    car ils sont tous parallles laxe portant la rsultante du torseur quelconque.

    10. Tableau rcapitulatif sur les torseurs

    Elments de rduction au point A Construction minimum Type de torseur

    0R

    = 0 AMR

    Un vecteur li unique

    Torseur glisseur

    = 0R

    0AM

    Deux vecteurs lis formant un couple

    Torseur couple

    0 AMR

    Un vecteur li + 2 vecteurs lis formant un couple

    Torseur quelconque

    = 0R

    = 0AM

    Vecteurs nuls

    Torseur nul

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    A.KADI

    EXERCICES ET SOLUTIONS

    Exercice : 01

    Dans un repre orthonorm , deux points A et B ont pour coordonnes : ),,,(

    kjiOR

    A(2, 2, -3) et B(5, 3, 2) ; Dterminer :

    1) Le moment du vecteur glissant par rapport au centre O du repre ;

    AB

    2) Le moment du vecteur glissant par rapport la droite

    AB )( passant par le point O et le

    point C(2, 2, 1)

    Solution :

    1) Le moment du vecteur par rapport au point O est donn par :

    AB

    =

    =

    == kjiABOAM O 41913

    419

    13

    513

    322

    ;

    2) Moment du vecteur par rapport au point la droite

    AB )( dfinie par le point O et le

    vecteur unitaire tel que :

    u

    ++=

    ++++

    ==

    kjikjiOCOCu 22

    31

    14422

    3

    16 )4 3826(31

    122

    31

    419

    13

    ==

    =

    = uuuuuMM O ;

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    A.KADI

    Exercice : 02

    Soient les trois vecteurs ; , dfinis dans un repre

    orthonorm et lis respectivement au points

    ++= kjiV1

    += kjV 22

    = jiV3

    ),,,(

    kjiOR )0,2,1( ),2,0,1( , )2,1,0( CBA

    1) Construire le torseur [ ] associ au systme de vecteurs ; OT

    321 ,, VVV

    2) En dduire lautomoment ;

    3) Calculer le pas du torseur ;

    4) Dterminer laxe central du torseur vectoriellement et analytiquement.

    Solution :

    1) Les lments de rduction du torseur [ ]OT sont :

    La rsultante :

    +=++= kjVVVR 3321

    Le moment au point O :

    3

    2

    1

    ++= VOCVOBVOAM O

    =

    +

    +

    =

    +

    +

    =

    121

    322

    122

    121

    01

    1

    221

    210

    201

    111

    210

    OM

    2) Lautomoment : 53223 ==

    +==

    kjikjMRA O

    3) Pas du torseur : 105

    315

    222=

    +

    ==

    RMR

    p O

    4) Equation vectorielle de laxe central :

    Si laxe est un axe central alors : )( )( P

    = RM P

    Son quation vectorielle est donne par :

    +

    = RR

    MROP O 2 avec IR

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    A.KADI

    ++

    ++=

    +

    =

    +

    = kjiOP 3

    101

    103

    21

    310

    13

    5

    101

    310

    121

    310

    101

    Si alors :

    =

    zyx

    R

    OP

    0

    21

    =x ; +=103y et 3

    101+=z

    Do : 131093

    101

    1033

    101

    +=++=

    ++= yyyz

    Laxe central est une droite dans un plan parallle au plan (yOz) situ 21

    =x et

    dquation : 13 += yz

    Exercice : 03

    Soit le torseur [ dfini par les trois vecteurs ; ,

    dfinis dans un repre orthonorm respectivement au points

    A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) ; et le torseur [ ] o et

    .

    ]OT1

    += kjiV 7321

    = kjiV 32

    += kjiV 823 ),,,(

    kjiOR

    =

    20

    22

    M

    RT O

    ++= kjiR 322

    += kjiM 72320

    1) Dterminer les lments de rduction du torseur [ ]OT1 , conclusion; 2) Dterminer le pas et laxe central du torseur [ ]OT2 ; 3) Calculer la somme et le produit des deux torseurs ; 4) Calculer lautomoment du torseur somme .

    Solution :

    1) Elments de rduction du torseur: [ ]

    ++=

    ++==

    321

    1

    32111

    VOCVOBVOAM

    VVVRTO

    O

    0 3211

    =++= VVVR

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    A.KADI

    +=

    =

    +

    +

    =

    +

    +

    = jiM O 6

    061

    01

    2

    301

    370

    821

    100

    11

    3

    010

    732

    001

    1

    [ ]

    +=

    ==

    jiM

    RTO

    O6

    0

    1

    11

    2) Pas et axe central du torseur [ ]OT2

    Pas du torseur : 711

    142123

    914

    72332

    22

    222 =

    +=

    ++

    +

    ++

    ==

    kjikji

    RMRP

    Axe central du torseur :

    +

    = 222

    22 RR

    MROP

    +

    +

    +

    =

    +

    =

    +

    =

    321145

    21413

    312

    7513

    141

    312

    723

    312

    141OP

    3) Somme et produit des deux torseurs

    a) Somme des deux torseurs :

    [ ] [ ] [ ]

    +=+=

    ++=+==+=

    kjiMMM

    kjiRRRTTTOOO

    OOO782

    32

    2

    1

    2121

    b) Produit des deux torseurs :

    [ ] [ ] 25 723 32

    12

    21

    2

    2

    1

    121 =

    +

    ++=+=

    =

    kjikjiMRMRM

    R

    M

    RTT OOOO

    OO

    4) Automoment du torseur somme :

    17782 32 =

    +

    ++==

    kjikjiMRF O

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    69

    A.KADI

    Exercice : 04

    On considre les points A(0, 1, 1), B(0, 1, -1), C(1, 1, 1) et D(0, 2, -1) dans un repre

    orthonorm . Dterminer : ),,,(

    kjiOR

    1) Les lments de rduction du torseur associ aux vecteurs et

    AC

    BD ;

    2) Laxe central du torseur vectoriellement et analytiquement.

    Exercice : 05

    Soit A un point de lespace dans un repre orthonorm , avec ),,,(

    kjiOR

    = kjiOA9

    1294

    921 et un vecteur dont laxe passe par le point A .

    Soit [ un torseur dfini au point O par ses lments de rduction et tel que :

    ++= kjiV 331

    ]02T

    2R

    20M

    [ ]

    ++=

    ++==

    kjM

    kjiRT

    )323()92(

    3)4(

    20

    202

    1) Dterminer les lments de rduction du torseur [ ]01T dont la rsultante est le vecteur ;

    1V2) Pour quelle valeur de les deux torseurs sont gaux ; 3) En dduire le pas et laxe central du torseur [ ]02T pour cette valeur de . 4) Calculer le produit des deux torseurs pour 2= Solution : 1) Elments de rduction du torseur [ ]01T

    ; do [ ]

    =

    ++==

    33

    110

    101

    VOAM

    kjiVT

    =

    ==

    3/11110

    313

    9/129/49/21

    110 VOAM

    [ ]

    =

    ++==

    kjM

    kjiVT)3/11(11

    33

    10

    101

    2) Les deux torseurs sont gaux si leurs lments de rductions sont gaux.

    [ ] [ ]

    =

    ==

    2010

    210201

    MM

    RVTT

    ++=

    ++=++

    kjkj

    kjikji

    )323()92(

    31111

    3)4(33

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    70

    A.KADI Cette galit est vrifie pour : 1= 4) Pas et axe central du torseur pour [ ]02T 1= .

    Le torseur scrit : [ ]

    =

    ++==

    kjM

    kjiRT)3/11(11

    33

    20

    202

    Pas du torseur : 03

    111133191

    22

    2022 =

    ++==

    kjkjiRMR

    P

    Axe central du torseur : Cest lensemble des point P tel que :

    +

    = 222

    202 RR

    MROP

    +

    +

    =

    +

    =

    319331911

    357

    110

    313

    3/11110

    313

    191OP

    si (x, y, z) sont les coordonnes du point P alors : nous aurons les trois quations scalaires:

    31933 ,

    1911 , 3

    57110

    +=+== zyx

    le point P dcrit la courbe : 5738532 =++ zyx

    5) Produit des deux torseurs pour 2=

    Pour 2= le torseur [ scrit : ]02T [ ]

    =

    ++==

    32013

    622

    20

    202 kjM

    kjiRT

    [ ] [ ] 7

    12

    21

    2

    2

    1

    121 =+=

    =

    OO

    OO

    OO MRMVM

    R

    M

    VTT

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    71

    A.KADI

    Exercice : 06

    Soient deux torseurs et [ dfinis au mme point A par leurs lments de rduction

    dans un repre orthonorm :

    [ ]AT1 ]AT2

    ),,,(

    kjiOR

    [ ]

    =

    ++==

    kjiM

    kjiRTA

    A74

    223

    1

    11 et [ ]

    ++=

    ==

    kjiM

    kjiRTA

    A74

    223

    2

    22

    1) Dterminer laxe central et le pas du torseur [ ]AT1 ; 2) Dterminer lautomoment du torseur [ ]AT1 , montrer quil est in