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  • FFa

    MECANIQUERATIONNELLE

    Cours&exercicesrsolus

    Rappels sur les Vecteurs, Les Torseurs, Statique des Solides, Gomtrie des Masses, Cinmatique du Point et du Solide,

    Cintique et Dynamique des Solides

    A. KADI

    U N I V E R S I T E M H A M E D B O U G A R A - B O U M E R D E S

    10,zz

    O

    A

    L

    L/2

    R

    21,xx

    0y

    0x

    2z

    C

    CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES ECOLES

    TRONC COMMUN DES UNIVERSITES (TCT)

    SCIENCES TECHNIQUES (ST) semestre 3 (LMD)

  • Cet ouvrage est destin aux tudiants de deuxime anne des classes prparatoires aux grandes coles et aux tudiants du tronc commun de technologie des universits ainsi que les tudiants du semestre 3 des sciences techniques du systme LMD. Il contient des chapitres de cours et des exercices rsolus la fin de chaque chapitre. Les solutions sont souvent dtailles et permette ltudiant de complter sa comprhension du cours et faire soit mme son valuation. Les deux premiers chapitres traitent les outils mathmatiques notamment les torseurs utiliss pour simplifier lcriture des quations de la mcanique. Le chapitre trois dcrit lquilibre statique des solides et les diffrentes liaisons entre les solides et les quations qui les rgissent. Le chapitre quatre est consacr la gomtrie des masses donc aux centres dinertie et aux tenseurs dinertie des solides. Savoir utiliser le thorme de Huygens permet de rsoudre un bon nombre de problmes en mcanique des solides et vibrations. Les chapitres cinq, six et sept traitent la cinmatique du point matriel et la cinmatique du solide indformables ainsi que les contacts entre les solides. Le maniement des angles dEuler et leur assimilation sont indispensables pour la comprhension de la mcanique des solides. Les chapitres huit et neuf dcrivent la cintique et les thormes fondamentaux de la dynamique et le principe de laction et de la raction. Le dernier chapitre traite la dynamique des solides en mouvements de rotation autour dun axe et de leur quilibrage statique et dynamique. De nombreux exercices rsolus dans cet ouvrage montrent aussi la manire dont il faut utiliser les thormes gnraux de la mcanique et combien il est important de faire un bon choix des repres pour la dtermination des lments cinmatiques et cintiques des solides. La mcanique est la science qui dcrit les lois des mouvements et de lquilibre. Elle est la base du dimensionnement des mcanismes, des machines, des structures, des ouvrages et autres ralisations de lhomme. Jespre que le lecteur ayant utilis louvrage pourra la fin, en utilisant les torseurs des actions mcaniques et les diffrentes liaisons, crire les quations de mouvement dun mcanisme quelconque et rsoudre le problme. Je tiens remercier, toutes celles et ceux qui voudrons me faire parvenir leurs critiques, remarques ainsi que leurs suggestions afin damliorer le contenu de cet ouvrage.

    Lauteur Email : kadikali@yahoo.fr

  • Prface

    Quand Ali KADI ma amicalement demand dcrire la prface de cet ouvrage, je nai pas hsit rpondre affirmativement. Loccasion qui mest donc offerte me permet de madresser directement aux tudiants, aux enseignants et ingnieurs concerns par cet ouvrage. Elle me permet aussi de tmoigner toute ma reconnaissance lauteur qui nous a offert, l, un ouvrage fort intressant traitant dun domaine cl des sciences de lingnieur, savoir la cinmatique et dynamique des solides indformables o chaque cours est suivi dune srie dexercices corrigs. Louvrage est structur en chapitres complmentaires les uns des autres, traitant en dtail de la gomtrie des masses jusqu la dynamique des solides en passant par les thormes fondamentaux de la dynamique et du principe de laction et de la raction. Il sadresse aussi bien aux tudiants des deux premires annes des universits, aux tudiants des classes prparatoires aux grandes coles, ainsi quaux enseignants et ingnieurs. Chacun en trouvera ce dont il a besoin. Ltudiant, pour approfondir ses connaissances et aller au-del des concepts vus aux cours. Lenseignant, pour amliorer sa source de savoir. Lingnieur pour en faire une rfrence indispensable. Louvrage propos intgre un lment nouveau : lapproche mthodologique de rsolution de problmes. Corollaire dune dizaines dannes de travail universitaire effectue par lauteur, lapproche est construite avec le souci constant de proposer des exercices corrigs difficult croissante, permettant la matrise graduelle des principes directeurs du cours. Enfin, lheureuse ide davoir inclut au dbut de louvrage une slection des principaux outils mathmatiques connexes la comprhension de la science mcanique, ne peut que renforcer la notorit de cet ouvrage.

    Professeur Kamel BADDARI

    Doyen de la facult des sciences Universit de Boumerds

    Algrie

  • UMBB Boumerds, Facult des sciences, Dpartement de physique

    Cours exercices, Mcanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3

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    A.KADI

    CHAPITRE I

    LES OUTILS MATHEMATIQUES

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    Cours exercices, Mcanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3

    16

    ou

    A.KADI

    LES OUTILS MATHEMATIQUES

    La modlisation de lespace rel, considr dans le cadre de la mcanique classique comme

    tant trois dimensions, homogne et isotrope suppose lintroduction doutils mathmatiques

    tel que les vecteurs, et les notions sur les torseurs. Dans cette partie nous prsenterons les

    rappels et lensemble des oprations mathmatiques sur les vecteurs. Nous dvelopperons

    aussi ltude sur les torseurs qui sont des outils mathmatiques trs important en mcanique

    classique, notamment en mcanique des solides. Lutilisation des torseurs en mcanique

    permet de simplifier lcriture des quations relatives aux grandeurs fondamentales de la

    mcanique.

    1. Oprations sur les vecteurs

    Dans tout ce qui suit, on sintressera lensemble E des vecteurs V de lespace usuel. E est

    un espace Euclidien trois dimensions.

    2. Dfinition Un vecteur est un segment de droite OA sur lequel on a choisi une origine O et une extrmit

    A ; il est dfini par :

    - son origine ; O

    A - sa direction ;

    - son sens ;

    - son module.

    Par convention on adopte la notation suivante : vecteur : V

    OA

    3. Classification des vecteurs Il existe plusieurs types de vecteurs :

    - Vecteur libre : la direction, le sens et le module sont donns mais la droite support et le

    point dapplication (origine du vecteur) ne sont pas connues ;

    - Vecteur glissant : le point dapplication (origine du vecteur) nest pas fix ;

    - Vecteur li : tous les lments du vecteur sont dtermins ;

    - Vecteur unitaire : cest un vecteur dont le module est gal 1.

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    A.KADI

    4. Composantes dun vecteur

    Considrons une base de lespace 3R note : . Cette base est orthonorme

    si : e

    ),,,( 3210

    = eeeOR

    =

    =

    ji si 0ji si 1

    ji e

    1e

    2e

    3e

    La base est dite directe si un observateur se plaant

    lextrmit du vecteur e verra le vecteur tourner vers le

    vecteur e dans le sens contraire des aiguilles dune montre.

    0R

    3

    1e

    2

    Dans cette base un vecteur V de composantes ( scrirait :

    3),, Rzyx

    ++= 321 ezeyexV

    Les quantits relles x, y, z sont appeles composantes du vecteur V dans la base

    3R .

    La notation adopte est la suivante : V

    =

    zyx

    R0

    +=

    321 aaa

    5. Loi de composition interne : Somme vectorielle

    La somme de deux vecteurs V et V est un vecteur W tel que :

    1

    2

    321 , RVV

    nous avons W 321 RVV

    Soit ( les composantes du vecteur V do : V et

    les composantes du vecteur V do : V

    ),,

    1

    ++= 3322111 eaeaea

    ),,( 321 bbb

    2

    ++= 3322112 ebebeb

    Le vecteur somme est dfini par la relation :

    +++++=+= 33322211121 )()()( ebaebaebaVVW

    Llment neutre ou vecteur nul, est not : )0,0,0(0 =

    5.1 Proprits de la somme vectorielle

    - la somme vectorielle est commutative : V ;

    +=+ 1221 VVV

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    Cours exercices, Mcanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3

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    A.KADI

    - la somme vectorielle est associative : ;

    ++=+

    +

    321321 VVVVVV

    - llment neutre est dfini par : ;

    =+ VV 0

    - A tout vecteur correspond un vecteur oppos not tel que :

    V

    V

    =

    + 0VV

    5.2 Multiplication par un scalaire

    Si est un nombre rel et un vecteur, leur produit est un vecteur.

    V

    R , ========> 3 RV

    3RVW =

    Le vecteur est colinaire au vecteur .

    W

    V

    Si le vecteur a pour composantes (a, b, c) tel que : ; le vecteur

    scrirait :

    V

    ++= 332211 eaeaeaV

    W

    332211

    ++= eaeaeaW

    La multiplication dun vecteur par un scalaire vrifie les proprits suivantes :

    a) Distribution par rapport laddition des scalaires : ;

    +=+ VVV 2121 )(

    b) Distribution par rapport la somme vectorielle : ;

    +=+ 2121 )( VVVV

    c) Associativit pour la multiplication par un

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