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MATRICE DE DIFFRACTION ET FRi~,QUENCES NATURELLES DE RI~SONANCE D'UN CYLINDRE *

par

Patr ick VINCENT** et Michel NEVI t~RE** Maitre-Assis tant agr6g6 de Phys ique Mai t re-Assis tant agr6g6 de phys ique

R~suM~. - - Le but de cet article est de montrer que la diffraction d'une onde dlectromagndtique par un cylindre didlectrique de section arbitraire peul ~tre caractdrisde par les p61es (duns le plan complexe des frdquences) de la matrice de diffraction (matrice S ) du cylindre. Des exemples de reconstilutions de diagrammes de diffrac- tion par un cylindre carrd, faites en uliIisant un ddvetoppement de la matrice S par rapport d ses p6les, soul donnds. L'attenlion du lecteur est dgalement atlirde sur la possibilitd de prdvoir les r~gles de sdleetion qui

rdgissent l'excitation des modes rdsonnants au moyen de la thdorie des groupes.

AnSTnACT. - - The purpose of this paper is to show the electromagnetic scattering by a dielectric cylinder of arbitrary shape is characterized by the poles of the scattering matrix of the cylinder. Some examples of recon- structed diffraction patterns, using a singularity expansion method are given, and the attention is drawn on the fact that selection rules for resonant modes excitation can be deduced from group theory.

PLAN. - - �9 Introduction. I : La malrice de diffraction (matrice S) . II : Section efficace diffdrentielle el section efficace lotale. I I I : Les frdquences naturelles de rdsonance. IV : Symdtries et classifications des rdsonances.

Conclusion. Bibliographie (12 rd[.).

I N T B O D U C T I O N

L'intdr~t d 'une description ph6nomdnologique aussi simple que possible de la diffraction d 'une onde 6lectromagn6tique par un obstacle s 'accroit consid6- rab lement avec la diffusion impor tan te que connais-

sent les petits calculateurs scientifiques.

Nous nous int6ressons ici h la diffraction d 'ondes 61ectromagn6tiques polaris&s rect i l ignement par un obstacle cylindrique. La section du cylindre est arbi- traire, ses dimensions de l 'ordre de la longueur d 'onde ; sa longueur est infinie. Le mat~riau qui le const i tue est un didlectrique parfai t qui peut ~tre inhomog6ne. L 'onde incidente se propage perpendicula i rement ,h l 'axe Oz du cylindre. Pour des raisons de commoditd, nous supposerons le vecteur champ dlectrique parall~le h l 'axe Oz (Gas E//).

Compte tenu d 'une d@endance temporelle en (exp(--i(ot) , le probl~me de diffraction ainsi ddfini se t r adu i t par une 6quation diffdrentielle scalaire :

l k 2 : 6)2Z~, (1) [A-}- k2(r, 0)] E(r, 0) = 0, avec r, 0 ,

donn6s Fig. 1.

Les solutions propos6es classiquement [1, 2, 3, 4] pour r6soudre ce probl~me de diffraction pe rmet ten t

seulement de calculer le champ diffractd relatif h une

onde incidente donnde. Nous allons voir qu' i l est

possible, sans complications suppl~mentaires, de dis- poser de renseignements plus g~n6raux sur le champ diffractd, valables pour une frdquence donnde, quelle que soit la s t ructure du champ incident.

I. L A M A T B I C E D E D I F F R A C T I O N (IVIATRICE [S ] )

I . l . D 6 f i n i t i o n .

Soit C 2 un cylindre circulaire d 'axe Oz qui cont ient

le cylindre diffractant C (Fig. 1). A l 'ext6rieur de C2,

E y �9

I

\ \

\

r M

X !

/ /

/

FI(i. 1. - - Sch6matisat ion du cylindre diffractant .

* Communicat ion pr6sent6e aux Journ6es Nat ionales Microondes, Limoges, 10-12 mars 1976. ** I ,aboratoire 4 'opt ique 61ectromagn6tique, Facult6 des Sciences et Techniques de Saint -Jdr6me, Universi t6 d 'Aix-

MarseilIe-III, 13397 1Vfarseille Ceclex 4.

1/6 ANN. TI~LIECOMMUNIC., 31, n ~ 3-4, 1976

94 P. V I N C E N T . -- M A T R I C E D E D I F F R A C T I O N D ' U N C Y L I N D R E

r et [z d tan t constants , le champ peu t 8tre reprdsentd pa r :

(2) E(r, 0) ~] [an Hn(k, r) + + + = anHn(k , r)] exp ( i n 0 ) , n

oh H~(k, r) sont les fonct ions de Hanke l d 'o rdre n.

Les premiers te rmes reprdsenten t des ondes entrantes

qui se di r igent vers l 'obs tacle , les seconds des ondes sor tantes qui s 'd loignent de l 'origine. On sai t que, quand r t end vers l ' infini , le compor t emen t a s y m p t o -

t ique de H~n(k, r) est en e~ikr[~/r; d o n c :

e-ikr eikr (2') quand r---~oo, E(r,O) ~ ~ - f - ( 0 ) + ~ f+(0) .

La l indari td des dquat ions ent ra ine qu ' i l existe un opdra teur fonct ionnel l indaire 8 appeld opdrateur de

diffraction tel que :

(3) �9 f+(O)= 8f0+(O).

off f+(O) est la fonct ion f+(O) re la t ive au champ sor- t a n t en l ' absence d 'obs tac le .

Les fonct ions ~(0) et f+(O) sont pdriodiques de pdr iode 2~. Si on dcrit :

f+(0) = E ~ e ~n~ ,

et

Q ( 0 ) = ~] f+o,n e i~O , n

On pen t alors reprdsenter l ' opdra teur $ p a r la matrice [S] d 'd ldments Sn,m tel le q u c :

(4) ~ = E [Sn,m] f+,m. m

1.3. Le calcul de la matrice [$].

Nous ne donnerons ici que le pr inc ipe de la mdthode ddjh ddcrite dans [6].

On suppose que le champ est bien reprdsentd p a r 2 N d- 1 termcs du ddvc loppement (2) h l ' ex td r ieur du cyl indrc C2; la mat r i ce [S] est donc une mat r ice carrde d 'o rdre 2 N + 1. Sa dd te rmina t ion se fai t selon le processus su ivan t :

on se donne 2 N + I fonct ions a rb i t ra i res l indai- r emen t inddpendantes r ep rdsen tan t des champs pos- sibles sur le cyl indre C 1 (Fig. 1) ;

on int~gre numdr iquement I 'dqua t ion de p ropa- ga t ion (1) entre C 1 ct C e .

Les condi t ions de r accordement sur C 2 p e r m e t t e n t alors, au moyen d 'une invers ion de matr ice , de ddter- miner la mat r ice [S].

I1 cst in tdressant de cons ta te r que le t emps de calcul sur o rd ina teur ndcessaire pour dd te rminer [S] est sensiblement le mdme que le t emps requis pa r les mdthodes classiques [1, 4] pour calculer le champ

diffractd pa r un seul champ inc ident donnd. Not re mdthode reprdsente doric un gain de t emps de calcul considdrable lorsqu ' i l s ' ag i t de calculer un d i ag ramme de diffract ion complet .

II. SECTION EFFICACE DIFFI~BENTIELLE ET SECTION EFFICACE TOTALE

1.2. Quelques propri6t6s de la matrice [S].

La mat r ice [S] ainsi ddfinie est inddpendan te de la s t ruc ture du champ inc ident et ne ddpend que de la frdquence de celui-ci. Eu par t icul ier , quand le champ inc ident est unc onde plane, elle est indd- pendan te de l ' angle d ' inc idence 01 que fa i t le vec tcur d 'onde avec l ' axe Ox. Lc champ diffract6 dans une direct ion donndc 0d s ' ob t i en t donc s implcment pa r le p rodn i t de mat r ices (4).

Pour un didlectr ique sans pertes , l '6nergie rayonnde pa r le champ so r t an t est dgale h l 'dnergie appor tde p a r le champ en t ran t . Ccttc rbgle de conservat ion de l 'dnergie en t ra ine quc la mat r icc [S] conserve la norme des vecteurs , donc qu'el le cst uni ta i rc [5].

D ' a u t r c pa r t , les propridtds telles que l ' i nvar iance des 6quat ions de Maxwell pa r r e tou rnemen t du temps, ou la symdtr ie par t icul ibre de l ' ob jc t d i f f ractant , en t r a inen t l ' ex is tence de rela t ions entre les diffdrents dldments de la mat r i ce [6, 7].

�9 Ce signe typographique indique les formules encadrdes dans le manuscrit.

Considdrons une onde p lane inc idente t o m b a n t sous l ' angle 01 :

Ei(r , 0d) = e ikrc~ �9

A l ' infini, le champ to ta l peu t s 'dcrire, compte t enu de (2') :

elkr (5) E(r , 0d) ~ e ikrc~ ~- g(0d) 4 r .

La section efficace diffdrenticlle est alors ddfinie p a r :

(6) ~ ( o i , 0~) = 2 ~[g(0~)[ ~..

Le lec teur vdrif iera que si Ed(r, 0a) est le champ diffractd dans la direct ion 0~, cet te ddfinit ion est dquivalente h :

(6') ad(0i , 0d) = lira 2 ~ r l E d ( r , 0~)]~/[Ei(r, 001 ~ . r ~ o o

La re la t ion (6) pcu t s 'dcrire, compte t enu de (3) :

(6") a d ( 0 i , 0d) =

La sect.ion effieace de a~ :

1 (7) aT(0,) =

2 = [ ( s - 1) f+o(0o)12.

totale est la va l eu r moyenne

/ 2= ad(0i , 0a) d0d.

ANN, T~L~,COM~tUNIC.t 31, n ~ 3-4~ 1976 2 [ 6

P. V I N C E N T . -- MATRICE D E D I F F R A C T I O N D ' U N C Y L I N D R E 9 5

Les figures 2 e t 3 d o n n e n t un e x e m p l e des courbes

ob tenues p o u r un cy l indre carr6 de p e r m i t t i v i t 6 ~ = 6,

Od

f

2 3 4 "~ka

FIG. 2. - - Section elticace diffo'entielle pour un cylindre carr6 r = 6.

~a(0, 180 ~ ; - - - ~a(0, 90o).

OT

3

A!

~ka

FIG .3. - - Sectio:r efftcacc totale pou; un cy',ir.dre cart'6 ~ = 6. - - - - (;T(0~ - - - ZT(45~

en fonc t ion du p r o d u i t k a (k = 2 x / ~ ; )~ : l o n g u e u r

d ' o n d e ; a : c6td du carrd).

On p e u t 6 g a l e m e n t t r a c e r les d i a g r a m m e s de dif-

f rac t ion d o r m a n t les va r i a t i ons de ~a en fonc t ion de

0d pour une l o n g u e u r d ' o n d e e t une inc idence 0i

donndes (Fig. 4).

Y

..

Fro. 4. - - Exemple de diagramme de diffraction.

Les courbes des figures 2 et 3 m o n t r e n t des m a x i -

m u m s p o u r ce r ta ines va leurs de ka qui fon t pense r

h des ph~nom~nes de r6sonance. Ce son t ces rdso-

nances que nous p roposons d '6 tud ie r .

III. LES FBI~QUENCES N A T U B E L L E S DE BI~.SONANCE

III . l . D6finition.

L ' e x a m e n de n o m b r e u s e s courbes de v a r i a t i o n de

(3"4 e t ~T laisse penser que les rdsonances se p r o d u i s e n t

pour un cy l indre donnd, h des f r6quences b ien d6ter -

min6es. La diff6rence d ' u n e courbe h l ' a u t r e es t due

au fa i t que ce r t a ines r6sonances d i spa ra i s sen t p o u r

cer ta ines va leu r s des angles d ' i nc idence 01 e t de dif-

f r ac t ion 0~ .

On in te rp r~ te ces r6sonances en f a i s an t l ' ~ tude du

p r o l o n g e m e n t a n a l y t i q u e de la m a t r i c e [S] o b t e n u en

d o r m a n t des va leu r s complexes h la f rdquence , c ' es t -h-

dire au p a r a m ~ t r e k. I1 a p p a r a i t alors que ces m a x i -

m u m s son t dus h l ' ex i s t ence , au vo i s inage de l ' a x e

r6el, de p61es kz de la m a t r i c e [S].

U t i l i s a n t les n o t a t i o n s de Di rac , nous d i rons que

]u/,j > est v e c t e u r p rop re (*) de [S - I ] p o u r la v a l e u r

p rop re ~i si : [ S - 1 ] ll.ll,] ~ : ocilul, j ~ �9

Nous a d m e t t r o n s que [S] est su f f i s ammen t r6gu-

li~re p o u r p o u v o i r a p p l i q u e r le thdor~me de d~compo-

s i t ion spec t ra le :

(8) IS] = Z lu ,j > < v ,jl, ~,/ c~i

off lvi,j > est un c o v e c t e u r p ropre de [S -1] assoei6 h la v a l e u r p rop re ~ i , no rm6 de man i~re q u e :

< Ut,j[Ot,m > = ~i, t ~ j ,m �9

Nous appe lons pSle de [S] les va leurs kt de k tel les

que :

(9) ~ ( k l ) = 0.

Nous suppose rons dans ce qui sui t que les p61es

de [S] sont des p61es s imples (c 'est- 'h-dire que l ' dqua -

t ion (9) a u n e rac ine s imple kl) .

Cherchons un d d v e l o p p e m e n t de [S] p a r r a p p o r t

h ses p61es, sous la f o rme :

[Rtl + 0 0 ) [S(k)l = Y, ~ [So(k)].

l

Le r6sidu [Rt] au p61e kt 6 tan t ddfini p a r :

( l l ) [Rz] = l im ( k - - k z ) [S]. k ".k l

E n r e p o r t a n t (8) dans ( i l l il v i e n t :

[Rt] = lira ( k - kt) ~ lug'3' > < v~'jl �9 ' ( X i k-->k I t, 3

Les seuls t e r m e s non nuls sont c e u x pour lesquels

i = l :

k - - k t [R~] = l im - - E lu l , j > < vt,j l .

k~>kl O~l 3

(*) L'indice j pe:met de tenir compte des cas off la valeur propre ct i e s t multiple.

3/6 AN~. T~I.~CO~IMUNrC., 31, n ~ 3-4, 1976

96 P. VINCENT. -- MATRICE DE DIFFRACTION D 'UN CYLINDRE

Les r6sidus [Rt] sont done des matrices ddduites des vecteurs et covecteurs propres de [S] pour k = kt inddpendantes de k.

L'int6r~t d ' un tel d6veloppement est 6vident : pour un cylindre donn6, les r6sidus [R~] sont des matrices constantes, caractdristiques de la forme et de l ' indice

du cylindre.

Les vecteurs propres [ul,j ~ sont la repr6sentat ion

des modes associ6s aux frdquences naturelles de r6so- nance qui sont les fr6quences complexes d6duites des

p61es kl(o~z = kle) . La mdthode de calcul des p61es kz est inspir6e

directement de cc qui prdc~de : il suffit de chercher les z6ros de la fonction complexe de variable com- plexe f ( k ) = det [S-l(k)] .

,y

0 F

X

FIG. 6. - - Comparaison entre les diagrammes de diffraction ealeulds direetement et reconstitu~s.

ad(45 ~ 0d) pour ka = 2,50.

III.2. Etude harmonique de la diffraction.

L'existence du ddveloppement (10) incite h cher- cher une solution au probl~me suivant :

Est-il possible, pour k rdel G [AB] (Fig. 5) d 'obtenir , h l 'aide d ' nn pet i t calculateur, le diagramme de dif-

Axe imaginaire Plan complexe

des k

0.1

-0.1

Axe 2 A B 3 r~el

I I I I ; =

+ +B~ Ba

+A~

FIG. 5. - - ~ Q u e l q u e s id6es .

fraction d ' un cylindre donn6 connaissant ses r6sidus ? Soit k l , . . . , kn l 'ensemble des p61es proches du

segment AB (nous supposerons que lcs sous-espaces propres associ6s h ses p61es sont de dimension 1. La just if icat ion th6orique de cette hypoth~se qui condi- t ionne la validit6 de ce qui suit semble difficile).

La matrice IS] dtant uni ta i re sur l 'axe r6el, ses z6ros et ses p61es sont conjugu6s. Nous 6crirons done le d6veloppemcnt (10) sous la forme :

k (10') IS(k)] = ,=, ~ [R~] + [S~(k)l.

L'exp6rience num6r ique mont re alors que, comme on pouva i t s 'y a t tendre, la matrice [So(k)] varie peu

pour k ~ [AB].

La fgu re 5 donne quelques-uns des p61es d ' u n cylindre de section carr6e, de permit t iv i t6 r = 6.

Les figures 6 et 7 pe rmet ten t de comparer les dia- grammes de diffraction obtenus directement (traits pleins) ou h l 'aide du d6veloppement (10') dans lequel on suppose que [S0(k)] est cons tant (traits pointill6s).

( 0 .Y X

FIG. 7. - - Comparaison entre les diagrammes de diffraction calcul~s directement et reeonstituds.

ad(0, 0d) pour ka = 2,80.

On constatera l 'accord tr~s sat isfaisant entre le

diagramme calcul6 r igoureusement et le d iagramme reconsti tu6 ~ par t i r des r6sidus. Cet accord confirme le bien-fond6 des hypotheses in t rodui tes dans la th6orie et n o t a m m e n t confirme que l 'on peut n6gliger

les var ia t ions du fond conlinu [S(k)o ]. Les diff6rences que l 'on peut observer peuven t ~tre dues ~ de lentes var ia t ions du fond continu (qui inc luent les p61es non expl ici tement pris en compte), ainsi qu 'h l ' impr6cision du calcul des d6riv6es des valeurs propres qui servent h calculer les r6sidus R~.

III.3. Le r6gime transitoire.

L'analyse harmonique qui precede permet d'accdder 6galement au r6gime transi toire de fa~on re la t ivement

simple. Suivant une hypoth~se classique sur son compor-

t emen t h l ' infini, il n 'es t alors pas ndcessaire de tenir compte dans le d6veloppement (10) de la matr ice

[So(k)], qui n ' a pas de pbles. La m~thode h employer est analogue h celle ddvelopp6e par l '6quipe C. E. Baum [8] sous la d6nominat ion de Singular i ty Expans ion Method (S.E.M. D6veloppement par rap-

port aux singularit~s). I1 ne nous semble d'ail leurs pas n6cessaire de cr6er un nouveau sigle pour d6signer

ANN. T~L~COMMUNIC., 31, n ~ 3-4, 1976 4 / 6

P . V I N C E N T . -- M A T R I C E D E D I F F R A C T I O N D ' U N C Y L I N D R E 97

une technique qui est en fait couramment utilisde

dans le cas de quanti tds non matricielles.

La ddmarche h suivre est en effet classique : con- naissant la ddeomposition harmonique du champ incident, il est facile de conuaitre, h l 'aide du ddve- loppement (10), eelle du champ diffraetd.

Ecrivons le champ i n c i d e n t :

(12) gi(r, 0, l) = El(r, 0, k) e ikct dk .

Le champ diffraetd est alors donn6 p a r :

(13) ~;d(r, 0, l) 8 E~(r, 0, k) e ikct dk .

Introduisons le d6veloppement (10) dans (13), et calculons l ' int6grale en fermant le contour d ' intd- gration par un demi-cercle ~ l ' infini.

La technique des r6sidus nous permet de d6duire la fonction ga(r, 0, t) des p61es de 8 et de ceux du champ incident El(k). La cont r ibut ion de ehaque

p61e est alors une exponentielle.

Nous avons done le moyen d 'appl iquer au cas d ' un

eylindre di61eetrique de section arbi traire une tech- nique analogue h eelle d~crite dans [91 pour un fil

in f in iment condueteur, de section tr~s petite pour qu 'on puisse supposer que le courant dans une section du fil est r~parti de fa~on homog~ne sur sa eireon-

fdrence. L '6tude th6orique mende dans [101 pour un corps diffractant inf in iment condueteur met en dvi- dence les difficultds considdrables qui apparaissent lorsque l 'on veut justifier le bien-fond6 de la mdthode.

IV. S Y M ] ~ T B I E S E T C L A S S I F I C A T I O N D E S l ~ . S O N A N C E S

Les vecteurs propres atLachds h un pdle kj donnd r6alisent une reprdsentat ion (irrdductible) du groupe constitud par les t ransformat ions gdomdtriques qui laissent i nva r i an t le cylindre diffractant [11]. La thdorie des groupes permet de classer ra t ionnel lement les vecteurs propres au moyen de leurs propridtds de symdtrie.

Par exemple, pour un cyliudre carrd, le groupe de symdtrie est D 4 [12] et il y a cinq types diffdrents de reprdsentat ions irrdductibles, notdes A l , A 2, B1, B2, E. Les quatre premieres correspondent h des espaces propres de dimension 1 ; la derni~re h des espaces propres de dimension 2.

Lorsque le champ incident poss~de certaines symd- tries communes avee l 'objet diffractant, il est pos- sible d 'ut i l iser la thdorie des groupes pour prddire s'il est capable ou non d'exciter un mode donnd. Par exemple, pour le cylindre prdcddent, on peut pr6-

voir que la rdsouance de type B 2 (pour ka=2 ,43 - - i 0,15) ne peut 6tre excitde par une onde plane symdtrique par rapport h l 'axe Ox, mais eomme on peut le cons- ta ter figure 3, peut ~tre excitde par une onde plane

se propageant paral l~lement h une diagonale du

cylindre. C'est le contraire qui se produi t pour la

rdsonance B 1 ddfinie par le pdle kct = 2,794 - - i 0,169. Nous avons mend une 6tude analogue sur des

cylindres de sections rectangulaires. I1 est int6ressant de eomparer les sections efficaces totales (Fig. 8)

OT, j," '"~ 3 4 5

FIG. 8. - - Section efficace totale pour un cylindre rectangulaire. - - ~t(0o); - - - ~t(90o).

correspondant h une onde plane incidente, perpendi-

culaire au pet i t cdt6 (courbe 1) ou au grand cStd (courbe 2) du rectangle, avec celles obtenues pour le carr6 (Fig. 3). La thdorie des groupes nous permet de pr6voir que les rdsonances qui 6talent de type E pour le carr6 (Fig. 3) se t ransforment en deux rdso- nances pour des frdquences distiuctes du rectangle

(Fig. 8), tandis que la rdsonance A qui appara i t dans les deux cas d ' incidence donne des pics de hauteurs diffdrentes, mais pour la m~me frdquence (ka = 4,3, Fig. 8).

Ce dddoublement des rdsonances correspond aux

levdes de ddgdndrescenees auxquelles sont habituds les speetroscopistes.

C O N C L U S I O N

Nous avons effectu6 une dtude phdnomdnologique de la diffraction par un eylindre de longueur infinie, qui met en dvidence le rdle prdponddrant de phdno- m~nes de rdsonanees interprdtds h l 'aide des pdles et des rdsidus de l 'opdrateur de diffraction. Les rdsidus sont inddpendants de la forme et de la frdquenee du champ incident. I1 est donc possible, h par t i r de ees matrices, de calculer les diagrammes de diffraction pour diverses longueurs d 'onde en ut i l i sant un calcu- la teur de bureau, celles-ci ~tant obtenues par un calcul plus complexe, mais effectud une fois pour toutes. Les rdsidus permet ten t 6galement de ddter- miner la rdponse en rdgime variable du syst~me. Cette

technique peut presenter un grand intdr~t pour calculer la rdponse h une impulsion radar. La thdorie des groupes fourni t un outil efficace pour dnoncer les

5 / 6 ANN. TI~,LI~,COMMUNIC., 31, n os 3-4 , 1 9 7 6

98 ; . VINCENT. -- MATRICE DE DIFFRACTION D'UN CYLINDHE

r6gles de s61ections qui gouvernent les r4sonances, et pr6dire le eompor tement de celles-ci dans des condi- tions donn6es.

L 'extension de cette 6tude aux di61eetriques pertes et h l 'autre cas elassique de polarisation est entreprise, ainsi que la transposition au domaine des r4seaux de diffraction.

R E M E R C I E M E N T S .

Les auleurs sort heureux de remercier Monsieur le Professeur Cadilhac pour ses remarques fructueuses dans l'analgse mathdmalique du probl~me, ainsi que Monsieur le Professeur Petit, qui a encouragd ce travail.

Manuscril refu le 18 mars 1976.

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ANN. T~L~COMMUNIC,, 31, n ~ 3-4, 1976 6/6