ch3 - diffraction - 2011
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8/3/2019 Ch3 - Diffraction - 2011
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DiffractionH. EL RHALEBUniversit Mohammed V, Rabat, AgdalFacult des Sciences,
Dpartement de Physique,Laboratoire de Physique [email protected]
Chapitre III
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"Toute dviation des rayons lumineux de
leur trajet rectiligne qui ne peutsexpliquer ni par une rflexion ni par une
rfraction est due ladiffraction"
L tude de la diffraction, dans le cas
gnral, est complexe, un certain nombredapproximations simposent alors.
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IMise en vidence de la diffraction
Lorsque les dimensions des obstacles sont de lordre de
la longueur d onde, il convient d utiliser le modle
ondulatoire.
Laser
Laser
carr
circulaire
http://images.google.fr/imgres?imgurl=http://www.practicalphysics.org/imageLibrary/jpeg391/1524.jpg&imgrefurl=http://www.practicalphysics.org/go/print/Experiment_689.html;jsessionid=alZLdQlAHb1&usg=__0wXJ1U8ETrfKL73d5Nwlnn8R_SI=&h=416&w=391&sz=12&hl=fr&start=11&tbnid=fi7HtPf2JytoRM:&tbnh=125&tbnw=117&prev=/images?q=diffraction+slit+circular&gbv=2&ndsp=20&hl=frhttp://images.google.fr/imgres?imgurl=http://physiquechimie.neuf.fr/diffraction%2520lumiere.jpg&imgrefurl=http://physiquechimie.neuf.fr/&usg=__kaR1WfrjTERUji_3wXej_TjUaas=&h=301&w=300&sz=8&hl=fr&start=7&tbnid=qEcar2y_pu15uM:&tbnh=116&tbnw=116&prev=/images?q=diffraction&gbv=2&hl=fr -
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cran
F'
I.1Phnomne de strioscopie
En plaant un cache au point focal image F', aucune
lumire n apparat sur l cran. En plaant sur le
faisceau parallle un objet (structure trs fine), on
observe sur lcran limage de cet objet.
F
On peut interprter cette exprience en supposant que
l objet clair se comporte comme une "source
lumineuse" et diffracte la lumire sans passer par F'.
Objet
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Un faisceau laser claire un cran. On interpose sur ce
faisceau un cran opaque Eo bord rectiligne.
Exprimentalement, au lieu de passer de lombre la
pleine lumire, on observe autour de O des franges
correspondant la rpartition dintensit lumineuse
indiqu sur la figure.
I.2Diffraction par le bord dun cran
Laser
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6
La courbe reprsente l'intensit de la lumire diffracte
par un bord d'cran. La largeur de la premire
oscillation est de l'ordre de (D), est les autres
oscillations sont plus rapides et moins marques.
l'absence dediffraction
la limite de l'ombre gomtrique
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a
Considrons une fente de largeur a clair par une
source ponctuelle monochromatique place linfini.
Aprs la fente, on observe la rpartition de
lclairement aux diffrents emplacements 1,2, ..,5.
On observe juste aprs la fente limage projete de
celle-ci avec des oscillations (franges) de priode
proche de . C'est la diffraction deFresnel.
I.3Diffraction suivant lemplacement
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Pratiquement, le problme de la diffraction est le
suivant : Comment dterminer la rpartition dintensit
lumineuse aprs traverse de la pupille, connaissant la
rpartition damplitude au niveau de la pupille et la
forme de celle-ci ?
En principe il faut rsoudre les quations de Maxwell
avec les conditions aux limites pour diffrentes
polarisations.
En fait ce problme est quasi-insoluble analytiquement
et souvent difficile numriquement. Pour simplifier le
problme on utilise un champ scalaire avec des
conditions aux limites triviales.
I.4Problmatique
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"Lamplitude de la vibration lumineuse en un pointM
est la somme des amplitudes produites par toutes les
sources secondaires. L tat vibratoire d une source
secondaire est proportionnel celui de londe incidente et
llment de surface dS entourant le point P o est
situe cette source secondaire".
O
crandiaphragme
Fresnela prcis le principe deHuyghensde la manire
suivante :
IIPrincipe de Huyghens-Fresnel
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Soit A(P) l amplitude de l onde au point P de
louverture de surface S:
Daprs le principe de Huyghens-Fresnel, le point P
met une ondelette sphrique.
Lamplitude au point M de lcran est de la forme :
C est un facteur de proportionnalit.
Pour tout les points P de louverture, au point M, nous
devons effectuer la somme de toutes les contributions
lmentaires :
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Additionner ces amplitudes est une consquence de la
linarit des quations de Maxwell. On dit que les
vibrations interfrent pour donner en M une vibrationrsultante.
On montre que le facteur C est quasiment une
constante et que la variable r du dnominateur peut
tre confondue avec D.
La formulation pratique du principe de Huyghens-
Fresnelest donc :
avec
C
K = = cteD
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IIILes approximationsIII.1Expression de A(M)Supposons que le diaphragme soit un plan.
Le point P, a pour coordonnes (x,y).Le point M, a pour coordonnes (x1,y1).
On pose R = OM, = OP
r = R - donc
r = PMet
y
1x
z
dS M
S
O O'
crandiaphragme
r
D
x
1y
P
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Par suite
Si on suppose que
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On introduit les sinus directeur (, ,) :
Lexpression prcdente scrit (2) :
2 2ikR
S
ik(x +y )A(M) Ke A(P)exp -ik(x + y) exp dS
2R
1x1
y
zO'
M
O
v=(,,)
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III.2Approximation de Fresnel et FraunhoferLexpression (2) est lapproximation fondamentale de la
diffraction dans lapproximation deFresnel.
Dans certaines conditions on simplifie parfois cette
expression en crivant :
Lorsque c..d R petit.
2 2ikR
S
ik(x +y )A(M) K.e A(P)exp dS
2R
(3)
Nous sommes dans le cas de la diffraction distance
finie ou diffraction de Fresnel (le calcul de (3) est
gnralement difficile).
2 2ikR
S
ik(x +y )A(M) Ke A(P)exp -ik(x + y) exp dS
2R
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Lorsque R le terme quadratique devient
ngligeable devant le terme linaire et lexpression (2)
devient :
ikR
S
A(M) K.e A(P)exp(-ik(x + y))dS
Nous sommes dans le cas de la diffraction linfini ou
diffraction de Fraunhofer.
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Dans la pratique, on ralise la diffraction linfini en se
plaant dans le plan focal F' dune lentille convergente.
On place en F1
, un objet ponctuel. L ouverture de
diffraction reoit donc une onde plane. On observe le
phnomne de diffraction linfini dans le plan focal
image de la lentille L2.
F1
L1 L2
F2'
cran
fente
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III.3Transformation de FourierConsidrant l expression de la diffraction de
Franhaufer. L amplitude sur le diaphragme s crit
A(x,y), alors que sur lcran est A(x1,y1).
Le terme de phase peut scrire :
avec 1 x
u = = R
et 1 y
v = = R
frquences spatiales
S
A(u, v) = A(x,y)exp(-2i(ux + vy))dxdy
Or, nous savons que A(x,y) 0 si (x,y) S et A(x,y) = 0
ailleurs.
Lamplitude diffract prend la forme :
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Nous pouvons donc tendre le domine dintgration
jusqu linfini :+ +
- -A(u, v) = A(x,y)exp(-2i(ux + vy))dxdy
Cette quation dfinit une opration mathmatique
appeletransformation de Fourier :
A(u, v) = A(x,y)exp(-2i(ux + vy))dxdy
On peut dire qu un facteur multiplicatif prs, la
rpartition damplitude linfini dune onde diffracte
est gale la transforme de Fourier de la rpartition
damplitude dans le plan de lobjet diffractant.
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IVLes exemples
IV.1Diffraction par une fenteOn se limite la diffraction deFraunhofer.
Considrant une fente fine rectangulaire de largeur a et
de longueur b (a
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En utilisant la relation on obtient :
Ou encore
puisque 2k =
Cette expression est de a forme :sinU sinV
A = C.U V
=consC tante
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IV.1.2Eude de la fonction sinc(U)
pour U = k
pour U = 0
est maximum (U 0) pour U = tanU
soit
U = (2n +1)2
et a pour valeur :n
max
sinU 2(-1)=
U (2n +1)(avec n 0 et -1)
1/
2/
3/
-
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24
0
U
- - /2 /2
tgU
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25
0
0,2
0,0
-0,2
0,6
1,0
0,4
0,8
U
-
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Sachant que et on peut crire : = cossin = sin
IV.1.3Rpartition de lintensit dans le planfocale dune lentille
acos()sin() bsin()sin sin
A(,) A(,) = C.ab
acos()sin() bsin()
Si nous supposons que 0, la situation devient
unidimensionnelle et on obtient : A(,) A() avec :
0
asin()sin
A() = A
asin()
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o A0 est une constante proportionnelle la surface de
la fente S = ab. Cette expression reprsente lamplitude
de londe diffract par une fente fine de largeur a
suivant .
Si nous nous plaons dans le plan focal de la lentille de
distance focale , il nous faut remplacer la variable par
la variable x1. Un calcul pralable est ncessaire :
1O
2O F'
P
2L
de
z
1x
M
H
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La point M dans le plan focal a pour abscisse :
Les angles de diffraction tant toujours "petits"(hypothse initiales) nous pouvons crire :
Par suite la rpartition de lamplitude linfini (planfocal) A(x1) et la rpartition dintensit I(x1) = AA*
scrivent :
1 0sin(p)A(x ) = A
p
2
1 0
sin(p)I(x ) = I
pavec I0 = A0A0
*
1axp =f
avec
0I / I
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0I / I
-24,7.10
1
-21,7.10
On constate que le maximum central est trs intensepar rapport aux maximums secondaires.
Le rapport entre ce maximum et le premier maximum
secondaire est de lordre de 1/0,047 = 21.
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IV.1.4Cas dune ouverture rectangulaire
A partir de l expression (5) Il est facile d obtenir
lexpression de lintensit diffract linfini par une
ouverture rectangulaire :
1ax
p =f
1byq =f
2 2 20I = C .a bavec et
La rpartition a la forme dune croix.
La tache centrale est plus large dans la direction o la
fente est plus troite et inversement.
2 iff i i i
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IV.2Diffraction par une ouverture circulaireLes diaphragmes circulaires sont trs utiliss en
optique. La diffraction par une ouverture circulaire est
donc trs importante.
Soit une ouverture circulaire de rayon d centr sur laxe
Oz.y
1x
cran
x
1y
La symtrie de rvolution implique que la figure de
diffraction aura cette mme symtrie. On observera des
anneaux alternativement lumineux et sombres.
z
O ff t l h t d i bl i t
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On effectue le changement de variables suivant :
Puisquil y a une symtrie de rvolution, on peut se
placer dans un plan contenant l axe optique Oz
(exemple xOz).
L
amplitude diffracte l
infini s
crit :
Cette expression ne s intgre pas au moyen des
fonctions lmentaires mais ncessite lintroduction des
fonctions deBessel.
et
2
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2
10
2J (m)I = I
mLintensit sexprime alors :
O J1(m) est une fonction deBesselde premier ordre,
2dsinm =
et
RemarqueOn peut aussi aborder l intgration par des
dveloppements en srie. En posant x = d.sin()/ et
en intgrant l exponentielle en fonction de x et en
intgrant terme terme. Ce qui permet de faire des
calculs numriques.
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On retiendra que les minimums nuls ne sont pas
quidistants.Le premier minimum nul sobtient pour m = 3,832 c..d
pour :
Le premier anneau lumineux a une intensit relative de
1,75.10-2.
La tache centrale porte souvent le nom detache dAiry,
son importance est grande dans la thorie de formation
des images et cest en elle que se trouve concentre
"presque toute la lumire".
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0I / I
0 1,22
2d
2,23
2d
3,24
2d
-21,75.10
-20,45.10
Ce phnomne est responsable de la limitation du
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Critre de Rayleighrsolu Non rsolu
Ce phnomne est responsable de la limitation du
pouvoir sparateurdes instruments doptique.
Selon le critre de Lord Rayleigh, deux points sont
spars par l objectif lorsque le centre de la figure de
diffraction du premier se trouve sur le premier anneau
sombre de limage de diffraction de lautre.
Remarque : Ce critre nest toutefois rigoureux que si
les sources sont incohrentes ; si elles sont cohrentes, il
faut tenir compte des interfrences.
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IV 3 R l ti t l bj t diff t t
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IV.3Relation entre lobjet diffractantet la figure de diffraction
IV.3.1Dilatation
Nous prenons comme modle l objet diffractant, la
fente rectangulaire claire par un faisceau
monochromatique parallle laxe optique.
Lamplitude diffract scrit :
Supposons que lon effectue des affinits de rapport msuivant Ox et n suivant Oy. Lamplitude scrit :
Si on effectue le changement de variables suivant :
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Si on effectue le changement de variables suivant :
et on obtient :
+ +
- -
x y x yA(,) = A(x , y )exp -ik + d dm n m n
' ' ' '' '
Ainsi, toute dilatation de louverture diffractante dans
une direction, se traduit par la contraction de la figure
de diffraction suivant la mme direction et inversement.
IV 3 2 T l i
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o o
+ +-ik((x -x )+(y -y ))
- -
A (,) = A(x , y )e dx dy' '
' ' ' ' '
Lamplitude est multiplie par un facteur de translation
mais lclairement de lcran est inchang.
La figure de diffraction reste donc immobile sur lcran
lorsqu
on translate l
objet diffractant.
IV.3.2TranslationSupposant que lon translate louverture diffractante :
et
IV 3 3 I li i d f i i id t
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IV.3.3Inclinaison du faisceau incident
Lorsque la fente rectangulaire est claire par un
faisceau parallle monochromatique inclin par
rapport laxe optique.
Soient o et o les cosinus directeurs de cette direction.
On montre facilement que (x + y) doit tre remplac
par (( - o)x + ( - o)y) et donc A(, ) devient :
La figure de diffraction est dcale, elle a pour centre :
xo = of yo = ofet
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1O 2O
2L1
x
ox
F'
IV 4 L l t i
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IV.4Les crans complmentairesConsidrons deux ouvertures complmentaires de
surface S1
et S2.
S1 S2
Considrons lune des deux ouvertures diffractantes et
un cran plac dans le plan focal image dune lentille
convergente parfaite.
Louverture diffractante est uniformment claire.
M en dehors du foyer objet est nulle :
A li l i i d H h F l l
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Appliquons le principe de Huyghens-Fresnel la
surface S :
A1 = -A2 et par suite
Ce rsultat constitue le thorme deBabinet
:En dehors de l image gomtrique, les figures de
diffraction donnes par deux crans complmentaires
sont identiques.
Fil 120 m