CYLINDRE DE DEFORMATION POUR MACHINE DE COMPRESSION

Philippe AVERLANT Bureau National de Métrologie – Laboratoire National d’Essai (BNM-LNE)

1, rue Gaston Boissier 75724 Paris Cedex 15 France

Résumé Les résultats des mesures de la résistance à la compression des éprouvettes de béton dépendent largement des caractéristiques de répartition des efforts de la machine d’essai utilisée. Ces caractéristiques sont vérifiées selon une norme en utilisant des cylindres de déformation. Cependant, la qualification ou le raccordement des cylindres n’est pas précisé dans la norme. Cet article propose une procédure innovante de raccordement des cylindres. Le mesurande est défini. La grandeur d’entrée est modélisée à partir des caractéristiques particulières de chargement réalisées lors de l’étalonnage. Les incertitudes sont déterminées à partir des équations théoriques établies. Les résultats d’un premier étalonnage d’un cylindre sont donnés.

Abstract Measurement result of compressive strenght of concrete specimens depend on the manner of force transfert by the testing machine used. This performance is verified according a standard using strain cylinder. However, the qualification or the calibration of strain cylinders is not defined in the standard. This paper present a new procedure of cylinder calibration. The measurand is defined. The standard quantity is modelised depending on the specific manner of loading during calibration. Uncertainties are computed using theorical équation. First calibration cylinder results are given.

1. Introduction Les préoccupations de sécurité des ouvrages réalisés en béton ont placé l’étude et la vérification des caractéristiques de ce produit au cœur d’une série de normes européennes. La principale caractéristique du béton, vis à vis de ce souci de sécurité, est sa capacité de résistance à un effort de compression. Cette caractéristique est fonction de nombreux facteurs dont la composition des ingrédients entrant dans sa fabrication. Aussi, afin d’étudier et de qualifier le produit, des éprouvettes de béton sont essayées en compression sur des machines spécifiques. Pour garantir la qualité de ces essais, ces machines de compression font elle-même l’objet de prescriptions précises et normalisées. La vérification des caractéristiques des machines d’essai, pour la mesure de la résistance à la compression du béton, s’effectue actuellement selon la norme européenne EN 12390-4 [1]. Cette dernière précise notamment les

modalités de vérification de l’exactitude du système d’indication de force de la machine. Des catégories de machines d’essais sont actuellement reconnues, elles correspondent à des précisions d’échelle. La répartition homogène de cette force sur une section de l’éprouvette est au moins aussi importante par rapport à l’effet sur la résistance mesurée à la compression. Aussi, la norme présente des exigences concernant la manière du transfert de force. Le texte européen définit des corps d’épreuve avec jauges de déformation, appelés ici cylindre de déformation, et les procédures d’épreuve à mettre en œuvre. Ces cylindres sont utilisés pour la vérification de la répartition homogène des efforts engendrés par la machine sur une section de l’éprouvette. Cependant, la norme ne précise pas la procédure de qualification et de raccordement des cylindres. Actuellement, au moins au niveau européen, il n’existe pas de procédure normalisée ou reconnue montrant la traçabilité aux étalons nationaux. A ce jour, les cylindres de déformations ne sont pas raccordés. Ces cylindres, instruments de mesure de la répartition des efforts, doivent être interchangeables entre eux pour que les conclusions d’une vérification d’une machine ne dépendent pas du cylindre utilisé. De plus, pour ne pas fausser les conclusions d’une vérification, ils doivent annoncer une répartition suffisamment proche de la répartition qui leur est appliquée. Ces impératifs montrent la nécessité de définir une procédure de raccordement des cylindres, de fixer des erreurs de justesse maximales, et de vérifier, suite à un étalonnage que les erreurs de justesse de chaque cylindre mis en œuvre dans la vérification des machines, sont inférieures aux valeurs maximales définies. Après un rappel des caractéristiques des cylindres, cet article présente la procédure d’étalonnage proposée. Le mesurande est défini. La grandeur d’entrée est modélisée à partir des caractéristiques particulières de chargement réalisées lors de l’étalonnage. Les incertitudes sont déterminées à partir des équations théoriques établies. Les résultats d’un premier étalonnage d’un cylindre sont donnés.

2. Présentation des cylindres et de leur utilisation

L’étalonnage doit être conçu dans une optique de qualification devant permettre d’établir l’aptitude du cylindre à répondre aux besoins liés à son utilisation. Avant de définir la procédure d’étalonnage, il est donc nécessaire de bien comprendre la conception des

cylindres et leur utilisation. Une présentation des principales caractéristiques et une synthèse du processus de mise en œuvre sont données ci-après. 2.1. Caractéristiques des cylindres La norme européenne définit un ensemble de caractéristiques pour les cylindres. Il s’agit de leur dimension : diamètre de 100 mm et hauteur de 200 mm. Des tolérances de forme et de géométrie sont données : planéité, parallélisme, perpendicularité et cylindricité. Le choix de la matière est restreint : acier nickel-chrome. L’équipement extensométrique est précisé : seize jauges de déformation sont montées pour former quatre ponts de Wheastone complets [2], chacun étant centré à une extrémité de deux diamètres perpendiculaires pris à mis-hauteur du cylindre.

La norme précise que la réponse du cylindre est définie en taux de signal des ponts de jauges. La moyenne em des quatre indications obtenues aux ponts (e1, e2, e3 et e4) est utilisée pour calculer le taux; ou ratio ; rn = (en - em) / em de chaque pont, en étant le signal du pont considéré.

2.2. Processus de mise en oeuvre La norme présente la procédure de mise en œuvre des cylindres lors de la vérification d’une machine. Elle comporte trois étapes. Vérification de l’autoalignement du plateau supérieur. Le cylindre est disposé au centre de la machine. Le plateau rotulé supérieur est incliné vers l’un des quatre ponts puis une force de 200 kN est appliquée sur le cylindre. Les réponses r1 à r4 sont calculées. Cet essai est répété en inclinant le plateau successivement vers les trois autres ponts restants. Les taux obtenus ne devront pas être dispersés de plus de 0,1. Il s’agit de vérifier que la contrainte sur une des quatre génératrices ne dépend pas de l’inclinaison initiale du plateau. Vérification de l’alignement des éléments de la machine. La moyenne des ratios précédemment obtenus est déterminée pour chacun des quatre ponts. Ces moyennes devront être nulles à 0,1 près. Ainsi, la vérification de l’alignement porte sur l’égalité des contraintes engendrées sur les quatre génératrices lorsque le cylindre est centré sur l’axe de la machine. Vérification des limites du mouvement du plateau supérieur. Le cylindre est déplacé de 6 mm vers chacune des quatre directions des ponts. Le ratio moyen dans un axe de déplacement doit être inférieur à 0,36 pour une force de 200 kN et 0,24 pour une force maximale de 2000 kN. Il s’agit de vérifier que l’inégalité des contraintes reste limitée dans le cas d’un excentrement du cylindre. Raccordement du cylindre. La norme précise que le cylindre muni de son système de mesure doit être étalonné par rapport aux étalons nationaux au moins tous les deux ans, sans toutefois donner de méthode. Il est de plus demandé, en cas de doute sur l’équivalence des ponts entre eux, de répéter les essais d’autoalignement en tournant le cylindre d’un quart de tour selon son axe de sollicitation. Ainsi, la durée de réalisation des essais est multipliée par quatre. L’étalonnage, en démontrant l’équivalence des ponts entre eux, donnera la possibilité à l’utilisateur d’alléger significativement le processus de mise en œuvre des cylindres et de diviser les coûts d’utilisation par quatre.

3. Procédure d’étalonnage L’étalonnage, d’après le VIM [3], doit permettre d’établir la relation entre les valeurs de la grandeur indiquées par le cylindre et les valeurs correspondantes de la grandeur réalisées par des étalons. Ainsi, la notion d’étalonnage nécessite de définir exactement la grandeur soumise à mesurage : le mesurande. 3.1. Définition du mesurande Etant donné les caractéristiques des cylindres données au chapitre précédent, la formule de détermination

de la réponse du cylindre, et le but de leur utilisation, il ressort que les cylindres sont des instruments de mesure de la répartition des efforts. De manière plus détaillée, le mesurande peut être définie par le taux ou ratio r, c’est à dire :

« La répartition relative des contraintes entre deux génératrices opposées et à mis-hauteur d’un cylindre de diamètre 100 mm et de hauteur 200 mm soumis à un effort de compression » Cette notion est importante pour la suite de l’étude. Elle conditionne la conception de l’étalonnage et les calculs d’incertitude associés. Notamment, le fait d’inclure les valeurs conventionnelles de 100 mm et de 200 mm dans la définition du mesurande permet de s’affranchir des mesures de la hauteur et du diamètre du cylindre lors de son étalonnage. Le ratio étalon sera calculé pour ces valeurs conventionnelles numériques exactes et sans incertitudes. Si le cylindre étalonné n’a pas ces dimensions, le ratio annoncé par ce cylindre sera différent. Une erreur de justesse sera détectée. 3.2. Procédure d’étalonnage Les grandeurs étant précisées, la définition de l’étalonnage d’un cylindre devient : « Opération consistant à appliquer un ratio étalon et à relever le ratio correspondant indiqué par le cylindre. » En fait, comme nous l’avons précisé au chapitre 2, le cylindre indique quatre ratios : un par pont. Il sera donc nécessaire de répéter quatre fois la procédure d’étalonnage. Cela aura l’avantage, comme nous l’avons mentionné, d’établir l’équivalence des ponts entre eux et de faciliter leur utilisation. Pour l’étalonnage individuel d’un des ponts, les valeurs nominales des ratios étalons à appliquer au cylindre sont choisis en fonction de la gamme des ratios mesurés lors de l’utilisation du cylindre. Nous proposons les valeurs de ratio charnières mentionnées par la norme. En plus du ratio nul, cette norme cite un ratio de 0,36 à 200 kN et de 0,24 à 2000 kN. La procédure d’étalonnage se précise :

- Pour une force de 200 kN : appliquer des ratios étalons de valeurs nominales 0,0 et 0,36

- Pour une force de 2000 kN (limitée à la pleine échelle du cylindre) : appliquer des ratios étalons de valeurs nominales 0,0 et 0,24.

- Pour chaque ratio étalon appliqué, relever le ratio indiqué par le cylindre.

3.3. Procédure de vérification La vérification s’entend ici comme la confirmation que les exigences spécifiées ont été satisfaites. Ainsi, les résultats de l’étalonnage devront être

analysés par rapport à des critères fixant la qualité métrologique minimale des cylindres. Ces critères sont définis en fonction de la qualité requise lors de l’utilisation des cylindres, c’est à dire la qualité des machines que vérifient ces cylindres. La norme mentionne pour la vérification de l’alignement (cf. § 2.2), un écart maximal de 0,1 entre la moyenne des ratios engendrés par la machine et le ratio attendu en position centré soit 0,0. Il s’agit d’une tolérance de justesse pour la machine. Nous proposons de la diviser par trois pour obtenir la tolérance de justesse pour le cylindre. L’écart maximal entre la valeur des ratios étalons (0,00 ; 0,24 et 0,36) et la moyenne des ratios indiqués par le cylindre lors de son étalonnage devra être inférieur à 0,03. Il s’agit d’un premier critère de vérification. Retenir un facteur de l’ordre de trois entre la qualité métrologique de l’instrument étalonné ou vérifié (la machine de compression) et celle de l’étalon mis en œuvre (le cylindre) est une démarche relativement optimale et courante en métrologie. En terme d’incertitude ; quantification de la qualité d’un instrument de mesure ; ceci se justifie facilement. Si l’on recherche une incertitude finale égale à U, retenir U/3 comme composante d’incertitude due à l’étalon rend négligeable la participation de l’étalon à l’incertitude finale. En effet, les incertitudes peuvent généralement être sommées quadratiquement [4] et la racine carrée de U² + (U/3)² reste proche de U : l’incertitude sur l’étalon est suffisamment faible pour ne pas dégrader l’incertitude recherchée sur l’instrument étalonné. Pour la vérification de l’autoalignement (cf. § 2.2.), la machine de compression ne devra pas engendrer des ratios dispersés de plus de 0,1. Il est nécessaire de vérifier que le cylindre utilisé lors de cette vérification, n’a pas, en lui-même, des dispersions trop importantes. L’opération d’étalonnage précédemment décrite est répétée pour déterminer les caractéristiques de reproductibilité du cylindre. Là aussi, un facteur trois est retenu. L’écart entre l’un des ratios indiqués et la valeur moyenne devra être inférieur à 0,03. 3.4. Qualité de l’étalon Ces tolérances de justesse et de reproductibilité du cylindre imposent une connaissance adaptée des ratios étalons. Toujours à partir du même facteur égale à trois, une reproductibilité et une justesse maximales de 0,03 induisent une incertitude élargie sur le ratio engendré par le banc d’étalonnage du cylindre inférieure à 0,01. Il s’agit cette fois d’un critère d’aptitude portant sur le banc d’étalonnage et indépendant du cylindre vérifié. A ce stade, la procédure d’étalonnage et de vérification est largement esquissée. Les valeurs des ratios étalons sont définies. Les critères de justesse et de reproductibilité des cylindres également. Comme dans de nombreuses méthodes d’étalonnage, un critère de répétabilité pourra être ajouté. De plus la qualité

métrologique du banc d’étalonnage est quantifiée. Il reste à définir comment engendrer un ratio étalon de 0,00 ; 0,24 ou 0,36 avec une incertitude de 0,01.

4. Détermination des ratios étalons 4.1. Principe Le principe proposé pour engendrer des ratios étalons, est d’appliquer au cylindre de diamètre D, une force étalon axiale et centrée F superposée à un moment étalon M de flexion dirigé autour d’un axe perpendiculaire au plan défini par deux ponts opposés et passant par le point 0. F M a b a’ b’ Pont 1 : 0 : Pont 2 c d c’ d’ D Le ratio théorique créé peut être calculé à partir des lois classiques de l’étude de la résistance des matériaux [5]. 4.2. Relation théorique générale Si l’on étudie la répartition des contraintes de la section située à mi-hauteur du cylindre, on obtient : Contraintes de compression : σσc Ces contraintes, dues à la force de compression, sont constantes sur toute la section du cylindre : (1) σc1 = σc2 = σc = F / S avec S : Surface de la section = π D2 / 4 σc1 σc2 Contraintes normales de flexion : σσf Ces contraintes, dues au moment de flexion, sont proportionnelles à la distance du centre du cylindre. σf = M v / I avec v : distance à la fibre neutre, c’est σf2 à dire D/2 pour le pont 1 et –D/2 pour le pont 2. D’où : (2) σf1 = - σf2 = M D / ( 2 I ) avec I : Moment d’inertie = π D4 / 64 σf1

Contraintes normales résultantes : σσ Il s’agit de la somme des contraintes précédentes σ = σc+σf En exprimant σc et σf à l’aide des formules (1) et (2), on obtient la contrainte au pont 1 :

(3)

+

π=σ

D

M8F

D

421

De même la contrainte au pont 2 σ2 est égale à :

(4)

−

π=σ

D

M8F

D

422 σ1

Signaux des ponts de jauges : e Chaque pont est constitué de quatre jauges (a, b, c et d) montées en pont de Wheastone. La relation approchée entre le signal e d’un pont de jauge et l’allongement relatif ε d’une des jauges est [2] : (5) e1 = (εa + εd - εb - εc ) k/4 et (6) e2 = (εa’ + εd’ - εb’ - εc’ ) k/4 pour le pont 2. La loi de Hooke, donnant la relation entre déformation élastique et contrainte, a permis d’établir pour un matériau homogène, de module d’Young E, de coefficient de poisson ν, avec des jauges de facteurs identiques k, et parfaitement orientées : εa = εd = σ1 / E et εb = εc = - ν εa De même pour le deuxième pont : εa’ = εd’ = σ2 / E et εb’ = εc’ = - ν εa’ En remplaçant dans les expressions (5) et (6) de e, ces dernières formulations des allongements, on obtient : (7) e1 = (1 + ν) σ1 k / (2 E) et e2 = (1 + ν) σ2 k / (2 E) A partir des expressions (3) et (4) des contraintes, il vient :

(8)( )

+

πν+=

D

M8F

ED

1k2e

21 et ( )

−

πν+=

D

M8F

ED

1k2e

22

Ratio du cylindre : r Conformément à la norme [1], le ratio est défini en taux de signal des ponts jauges : (9) r1 = (e1 – em) / em et r2 = (e2 – em) / em avec em = moyenne des signaux des ponts de jauges. En utilisant la formulation (8) de e1 et e2 on obtient :

(10) ( )

ED

F1k2e

2m πν+=

A partir des relations (8) et (10) des signaux des ponts, les formules (9) des ratios deviennent :

(11) FD

M8r1 = et r2 = - r1

Ainsi, le ratio engendré sur un cylindre de diamètre D peut être déterminé à partir de la connaissance de la force et du moment qui lui sont appliqués. Nota : à partir des relations (7) et (10) des signaux des ponts, les formules (9) des ratios deviennent : r1 = (σ1 – σm) / σm et r2 = - r1

Le ratio d’un cylindre est bien caractéristique de la répartition relative des contraintes entre deux génératrices opposées. Un ratio de 0,33 signifie que la contrainte est deux fois plus importante sur une génératrice que sur l’autre. On imagine l’incidence sur la mesure de la résistance à la compression. 4.3. Application d’une force et d’un moment Il s’agit maintenant de définir comment appliquer une force et un moment superposés et déterminés. Les bancs d’étalonnage multicomposantes, c’est à dire capable d’engendrer les trois forces et les trois moments du torseur des efforts, restent exceptionnels et avec des portées relativement basses. Rappelons qu’il faut appliquer un effort de l’ordre de celui engendré par une masse de 200 tonnes. Les bancs de références en métrologie des forces et des couples sont des bancs monocomposantes : Ils engendrent soit une force, soit un couple. Le principe envisagé est, à partir de l’unique force étalon d’un banc de référence, de disposer le cylindre judicieusement pour que cette force crée également un couple connu au niveau de la section médiane du cylindre. Deux méthodes sont envisagées : excentrer le cylindre par rapport à l’axe du banc de force ; ou l’incliner par rapport à la direction de cette force. Les relations théoriques entre ratio engendré et force appliquée sont établies ci-après. 4.4. Relation pour une force axiale excentrée Les conditions de chargement réalisées par le banc de référence de force correspondent à une force de compression dirigée parallèlement à l’axe du cylindre et excentrée d’une distance d. La direction de l’excentration est celle du rayon passant par les deux ponts de jauges. F d Pont 1 : 0 : Pont 2 D Le moment de flexion, du à l’excentration de la force F, est égal à M = F d. La relation théorique (11) devient :

(12) D

d8r =

Le ratio devient indépendant de la force et du moment. Il est fonction de la distance entre l’axe du cylindre et l’axe de la force. Les cylindres seraient-ils des instruments de mesure d’excentration ou de position de centre de poussée ? Nous aurons l’occasion d’apporter une réponse dans cet article. Dans tous les cas, le ratio engendré sur un cylindre de diamètre D peut être déterminé à partir de la connaissance de l’excentration de la force axiale qui lui est appliquée. 4.5. Relation pour une force centrée inclinée Les conditions de chargement réalisées par le banc de référence de force correspondent à une force de compression centrée sur le cylindre et inclinée d’un angle α par rapport à son axe. α F L / 2 Pont 1 : 0 : Pont 2 D La force verticale de compression est égale à F cos(α). Le moment de flexion M, dû à la composante horizontale de la force F, est égal à M = F sin(α) L / 2. La relation théorique (11) devient :

(13) ( )α= tgD

L4r

Ainsi, on montre que le ratio engendré sur un cylindre de diamètre D et de hauteur L peut être déterminé à partir de la connaissance de l’inclinaison de la force centrée qui lui est appliquée. Par rapport à la méthode par excentration, la formule fait intervenir également la hauteur du cylindre. Cela à l’avantage de vérifier si la section des jauges est bien à mi-hauteur du cylindre étalonné. En effet, le ratio étalon sera calculé pour la section situé à 100 mm. Si le plan des jauges n’est pas à cet emplacement, le ratio annoncé par le cylindre sera différent. Une erreur de justesse sera détectée. On peut remarquer que pour la méthode par excentration, l’application d’une force parfaitement alignée avec l’axe du cylindre n’est pas réaliste. De même, pour la méthode par inclinaison, l’application d’une force

parfaitement centrée est une vue de l’esprit. Il existe toujours une inclinaison et une excentration. 4.6. Relation généralisée Dans le cas de conditions de chargement combinant une excentration d et une inclinaison α, la force verticale de compression reste égale à F cos(α). Le moment de flexion M, dû à la composante horizontale de la force F, est égal à F sin(α) L / 2. Il est augmenté de la composante due à l’excentration d, égale à F cos(α) d . La relation théorique (11) devient :

(14) ( )[ ]d2tgLD

4r +α=

On démontre par-là que les cylindres ne sont pas des instruments de mesure de l’excentration de l’effort appliqué ou d’un centre de poussée. La relation entre excentration et ratio est également fonction de l’inclinaison. Un même ratio peut être obtenu avec une excentration puis avec un effort centré mais incliné. Par exemple, il est possible d’obtenir une réponse d’un cylindre égale à 0,1 avec deux conditions de chargement totalement différentes : l’une avec une force axiale excentrée de 1,25 mm, l’autre avec une force centrée et inclinée de 0,72°. La relation excentration-ratio n’est pas bijective. Ainsi, lors de l’utilisation d’un cylindre, le ratio obtenu ne permet pas de quantifier l’effet dû à l’excentration et l’effet dû à l’inclinaison. Une solution serait possible pour faire la distinction. Nous remarquons que l’effet du moment de flexion dû à l’excentration Md = F cos(α) d, ne dépend pas de la position de la section considérée. Pour une section au tiers de la hauteur, le ratio est le même. Alors que l’effet du moment de flexion dû à l’inclinaison de la force Mα = F sin(α) L / 2, dépend de la position de la section considérée. Ainsi, une solution, pour faire la part entre excentration et inclinaison, serait de doubler le nombre de ponts de jauges et de les placer à des hauteurs différentes du cylindre. Cependant, distinguer inclinaison et excentration lors de l’utilisation des cylindres, ne correspond pas au premier besoin qui est de déterminer si les contraintes engendrées par la machine sont homogènes. La détermination de l’origine d’une répartition non symétrique n’est pas utile pour déclarer l’inaptitude d’une machine. Il reste nécessaire d’abandonner le vocabulaire de centre de poussée comme définition du mesurande des cylindres. La dépendance du ratio à la hauteur du plan des ponts de jauges amène une remarque complémentaire. Dans certains cas, l’utilisateur doit ajouter des cales de hauteur afin d’adapter le cylindre à l’espace de travail de la machine vérifiée. Il est maintenant évident que ces cales doivent être placées en dessous du cylindre si l’on désire que les résultats de la vérification ne dépendent pas de la répartition entre les cales inférieures et supérieures.

Ces remarques montrent qu’une bonne connaissance des lois physiques de l’instrument permet d’éviter certains pièges lors de son utilisation ou d’expliquer certains résultats à première vue surprenants. Les relations théoriques précédentes correspondent à des schémas de chargement idéaux que l’on pourrait qualifier de ‘cas d’école’. Il faut maintenant définir quel montage mécanique permet de réaliser l’une ou l’autre méthode puis prendre en compte dans la modélisation les éléments d’application des efforts retenus. Par soucis de simplification, nous nous sommes attachés à la première méthode : la force axiale excentrée.

5. Montage mécanique d’étalonnage Tout d’abord, par souci de pérennité des caractéristiques métrologiques des bancs de référence de force, on ne peut pas excentrer la résultante des forces de l’axe de fonctionnement du banc. Elle doit être dans l’axe de symétrie du banc d’étalonnage. Ainsi, lorsque l’on mentionne une excentration entre le système d’introduction des efforts et l’axe du cylindre, il s’agit de décalage de l’axe du cylindre. L’axe des pièces d’introduction des efforts restera centré sur l’axe de référence du banc et seul le cylindre sera excentré. D’autre part, l’expérience du BNM-LNE dans le domaine de la transmission des efforts sur les capteurs à jauges de déformation nous amène directement à préconiser la rotation du cylindre lors de son étalonnage. La répétition des essais sur deux positions angulaires diamétralement opposées du cylindre par rapport au banc, a pour but de moyenner l’effet des efforts parasites Fp du banc d’étalonnage ou des pièces d’introduction des efforts. Soit une excentration dirigée vers le pont n° i, on constate la réponse ri de ce pont. Elle est notée ri0°. Le cylindre est alors tourné de 180° par rapport au banc d’étalonnage. Lors de cette rotation, l’excentration reste vers le même pont n° i. Elle tourne en même temps que tourne le cylindre. La réponse ri est à nouveau relevée. Elle est notée ri180°. La réponse retenue pour la détermination des erreurs de justesse est la moyenne des deux réponses. 0° : F 180° : F Fp Fp r10° = r1180° = rF + rFp rF - rFp Axe du Axe du Axe du Axe du banc cylindre cylindre banc

La valeur moyenne dépend moins du banc d’étalonnage. En ne faisant qu’un seul essai à 0°, les ratios mesurés sont l’effet de l’excentration et des efforts parasites du banc. Si l’effet des efforts parasites sur le ratio est positif, il sera négatif et de même valeur absolue dans la position opposée. La rotation et la détermination de la moyenne permettent et de se rapprocher d’un chargement équivalent vertical. On peut remarquer que les effets des efforts parasites qui ‘tournent’ avec le cylindre ne s’annulent pas dans le calcul de la moyenne. Il est donc important de rendre insensible le banc à la rotation du cylindre. Pour cela : Pour la partie supérieure : Un système d’introduction des efforts du type sphère sur plan est à privilégier. En effet, il a l’avantage de localiser les contraintes dans une zone géographique étroite et ainsi de propager les contraintes vers la partie supérieure du banc d’une façon répétable. La réaction de la partie supérieure du banc ne dépend pas de la position du cylindre placé en dessous de cette re-localisation. Les efforts parasites se répètent et se moyennent. Pour la partie inférieure : Une semelle d’épaisseur suffisante doit être prévue. Tout comme le système supérieur d’introduction des efforts, elle doit avoir son axe dans l’axe du banc. Ceci, afin de retrouver une répartition homogène et centrée sur la surface d’appui inférieure du banc d’étalonnage. Le montage préconisé peut se schématiser ainsi : 0° : 180° : Tête de charge bombée Axe du Pont 1 : cylindre Pont 1 : r10° r1180° Axe du banc Ce montage mécanique doit permettre d’appliquer des ratios étalons en maîtrisant la propagation des efforts. La qualité mécanique des pièces schématisées est importante afin de propager les contraintes de façon proche de la théorie. Notamment, les caractéristiques de forme devront être très soignées. Ceci est obtenu par rectification des surfaces.

Tête de charge à 200 kN :

Tête de charge à 2000 kN :

Les éléments mécaniques d’application des efforts étant définis, la modélisation est complétée pour les prendre en compte.

6. Modélisation du ratio – Effet d’autocompensation à l’excentration

L’utilisation d’une tête de charge bombée donne un degré de liberté de mouvement des pièces en contacts qu’il s’agit de prendre en compte dans la relation entre le ratio et l’excentration. Pour un ratio non nul, les contraintes sur deux génératrices opposées sont, par définition du ratio, différentes. Les déformations étant proportionnelles aux contraintes, l’écrasement des deux génératrices est différent. La face supérieure du cylindre s’incline. La tête de charge, posée sur cette face, s’incline également. L’inclinaison de la face bombée de la tête provoque un roulement du point de contact entre cette face bombée et l’appui plan supérieur. Ce roulement provoque un décalage du point d’application de la résultante des forces appliquées vers l’axe du cylindre, entraînant un rééquilibre des contraintes. Ainsi, le montage mécanique réalisé, par utilisation d’une tête de charge bombée, est un système mécaniquement auto-compensé aux effets d’excentration. Les déformations étant proportionnelles aux contraintes, l’inclinaison du cylindre augmente avec la force et l’effet d’auto-compensation s’amplifie avec la force d’étalonnage. De plus, pour une inclinaison donnée, c’est à dire un angle de rotation fixé, le déplacement est plus important si le rayon de la ‘roue’ est grand. L’auto-compensation se renforce avec l’augmentation du rayon de la tête de charge. En exagérant les rayons et les déformations : do dc d R h 1 2 D L’excentration d est définie par l’excentration initiale à force nulle do et un terme correctif fonction de

l’inclinaison du cylindre : d = do – dc. Par relation géométrique évidente, on a : dc / R = h / D, c’est à dire : (15) d = do – (R h / D) avec h : différence de déformation des génératrices. La relation entre contraintes et déformations permet de lier la différence de déformation des génératrices h avec la longueur initiale du cylindre L, le module d’Young du matériau E et la différence des contraintes σ : (16) h = L (σ1 - σ2) / E Les expressions initiales (3) et (4) des contraintes permettent d’établir : σ1 - σ2 = 64 M / (π D3), avec M = F d. Ainsi, la différence de déformation (16), devient : h = 64 L F d / (π E D3). Cette dernière, utilisée avec l’équation (15) entre excentration et déformation, amène :

ED

dFRL64dd

4o π−= , c’est à dire

ED

FRL641

dd

4

o

π+

= (17)

La relation (12), exprimant le ratio en fonction de l’excentration, devient en fonction de l’excentration initiale à charge nulle :

(18)

π

+=

ED

FRL641D

d8r

4

o

Dans le cas d’une force de 2000 kN, pour engendrer un ratio de 0,24, l’équation initiale (12) indique la nécessité d’une excentration de 3,0 mm. La nouvelle relation (18), entre ratio et excentration, permet d’établir une excentration initiale de 3,73 mm (à l’aide d’une tête de charge bombée de rayon 600 mm et en retenant un module d’Young de 200 000 N/mm²). Cet écart de 0,73 mm entre les deux formulations représente 24 % ! La non prise en compte de ce phénomène d’auto-compensation à l’excentration entraîne une erreur sur la détermination du ratio étalon supérieure à 0,04, soit quatre fois la tolérance sur le degré d’incertitude du ratio étalon ! Le terme correctif inclus dans la relation (18) est donc nécessaire pour prendre en compte le phénomène d’auto-compensation aux excentrations du montage mécanique utilisé pour l’étalonnage des cylindres. Ce phénomène de compensation pourrait expliquer des caractéristiques des machines vérifiées souvent meilleures à 2000 kN qu’à faible charge. Ainsi, la tolérance donnée par la norme est plus sévère à 2000 kN, soit 0,24, qu’à 200 kN, soit 0,36. Le montage mécanique est défini. Son implication dans la détermination du ratio étalon est modélisée. Les ratios étalons sont définis. La procédure d’étalonnage et de vérification proposée au chapitre 3.2. est maintenant suffisamment complète pour réaliser le premier étalonnage d’un cylindre.

7. Résultat d’un premier étalonnage 7.1. Procédure d’étalonnage Les ratios étalons de 0,36 à 200 kN et 0,24 à 2000 kN sont réalisés en excentrant le cylindre de respectivement de 4,56 mm et 3,73 mm par rapport à une tête de charge bombée centrée dans l’axe du banc de référence de force. Ces excentrations sont déterminées par la formule (18) en retenant les rayons respectifs de 300 mm et de 600 mm des têtes de charge du LNE. L’utilisation de pièces mécaniques avec rayons différents permet d’adapter les fonctions de découplage et de localisation à l’effort à transmettre. Initialement, trois chargements d’au moins 30 secondes sans relevé des indications sont réalisés. Répétabilité (b’) à 200 kN - ratio de 0,0 Le capteur étant centré par rapport à la tête de charge, deux chargements successifs à 200 kN sans aucune modification entre chacun sont réalisés. Les ratios des quatre ponts sont déterminés : ri0°1 et ri0°2 (i = 1 à 4). Le critère de répétabilité est pris égal au tiers de celui de reproductibilité :

b’ = ri0°1 - ri0°2 ≤≤ 0,01 Reproductibilité (b) à 200 kN - ratio de 0,0 La moyenne des deux chargements précédents est notée ri0°. Le cylindre est tourné de 180°. Un effort de 200 kN est appliqué. Les ratios mesurés sont notés ri180°. La moyenne pour chaque pont est notée ri = ( ri0° + ri180° ) / 2. Les dispersions doivent être inférieures au tiers des dispersions tolérées sur une machine d’essais :

b = ri0° – ri ≤≤ 0,03 (ou ri180° – ri ≤ 0,03) Justesse (q) à 200 kN - ratio de 0,0 Le ratio moyen de chacun des ponts, ri ne doit pas être éloigné de plus de 0,03 de la valeur du ratio étalon engendré :

ri = 0,00 ± 0,03 (ou q = ri – 0,0 ≤ 0,03) Les opérations de justesse sont répétées à 200 kN avec un ratio étalon de 0,36. La rotation étant nécessaire pour déterminer la justesse, le critère de reproductibilité peut être à chaque fois examiné sans alourdir le processus d’étalonnage. Reproductibilité et justesse à 200 kN - ratio de 0,36 Deux chargements de 200 kN sont successivement réalisés avec une excentration initiale de 4,56 mm vers le pont n°i entre l’axe du cylindre et l’axe de la tête de charge bombée d’un rayon de 300 mm. Entre chaque chargement, le cylindre est tourné de 180° autour de l’axe du banc. Les ratios sont notés ri0°ex1 et ri180°ex1. Leur moyenne est notée riex1. La reproductibilité et la justesse doivent être inférieures à 0,03. b = ri0°ex1 – riex1 ≤≤ 0,03 (ou ri180°ex1 – ri ex1 ≤ 0,03)

riex1 = 0,36 ± 0,03 (ou q = ri – 0,36 ≤ 0,03) Cette partie est répétée avec une excentration successive vers les trois autres ponts. Répétabilité, reproductibilité et justesse à 2000 kN - ratio de 0,0 L’ensemble des opérations initiales à 200 kN (précharges, répétabilité, reproductibilité et

justesse centrée), est répété à 2000 kN. Les critères sont identiques.

b' = ri0°1 - ri0°2 ≤≤ 0,01 b = ri0° – ri ≤≤ 0,03 (ou ri180° – ri ≤ 0,03)

ri = 0,00 ± 0,03 (ou q = ri – 0,0 ≤ 0,03) Reproductibilité et justesse à 2000 kN - ratio de 0,24 Deux chargements de 2000 kN sont successivement réalisés avec une excentration initiale de 3,73 mm vers le pont n°i entre l’axe du cylindre et l’axe de la tête de charge bombée d’un rayon de 600 mm. Entre chaque chargement, le cylindre est tourné de 180° autour de l’axe du banc. Les ratios sont notés ri0°ex2 et ri180°ex2. Leur moyenne est notée riex2. La reproductibilité et la justesse doivent être inférieures à 0,03. b = ri0°ex2 – riex2 ≤≤ 0,03 (ou ri180°ex2 – ri ex2 ≤ 0,03)

riex2 = 0,24 ± 0,03 (ou q = ri – 0,24 ≤ 0,03) Cette partie est répétée avec une excentration successive vers les trois autres ponts. 7.2. Synthèse des résultats Cette méthode d’étalonnage a été appliquée à l’aide des pyramides de référence de force de 1000 et 3000 kN du BNM-LNE. Le premier cylindre étalonné selon cette procédure est un cylindre de déformation du laboratoire d’étalonnage sur site du LNE. Les résultats sont synthétisés dans les tableaux ci-dessous : Pour une force de 200 kN :

Pont numéro

1 2 3 4

b’ 0,002 0,002 0,001 0,001

b 0,016 0,016 0,012 0,012

Etalon = 0,0

q -0,002 0,002 -0,003 0,003

b 0,016 0,015 0,018 0,016 Etalon = 0,36

4,56 mm q 0,000 0,007 -0,006 0,005

Pour une force de 2000 kN :

Pont numéro

1 2 3 4

b’ 0,000 0,000 0,000 0,000

b 0,015 0,015 0,016 0,016

Etalon = 0,0

q -0,003 0,006 0,004 -0,007

b 0,009 0,006 0,012 0,009 Etalon = 0,24

3,73 mm q 0,002 0,012 -0,001 0,009

On constate que tous les critères de vérification sont largement respectés. Ce résultat est tout à fait satisfaisant, à la fois pour l’utilisateur du cylindre, et pour la validation de la méthode puisque les valeurs obtenues, notamment de justesse, correspondent aux valeurs modélisées et attendues. Ces résultats permettent d’augmenter qualitativement, la confiance dans la valeur des ratios étalons engendrés. Il faut maintenant quantifier cette confiance, ou, par opposition, l’incertitude sur les ratios étalons. Cette dernière sera utile pour quantifier l’incertitude sur les résultats annoncés de l’étalonnage du cylindre.

8. Détermination des incertitudes Dans un premier temps, l’incertitude sur le ratio étalon engendré par le banc d’étalonnage est estimée à partir de la relation entre ratio, excentration et inclinaison. Ensuite, cette incertitude est dégradée pour obtenir l’incertitude sur les erreurs de justesse du cylindre. Il s’agit de prendre en compte les caractéristiques de l’instrument étalonné pour associer une incertitude d’étalonnage aux erreurs annoncées. 8.1. Incertitudes des ratios étalon Le ratio étalon est déterminé à partir de la connaissance de l’excentration sous charge et de l’inclinaison :

(14 rappel) ( )[ ]d2tgLD

4r +α=

En notant u(y), l’incertitude-type liée à la grandeur y, la loi de propagation des incertitudes [4], pour des variables indépendantes, donne :

( ) ( ) ( )α

α∂∂+

∂∂= 2

22

22 u

rdu

d

rru

Cette relation, appliquée à la formulation (14) du ratio, nous permet d’obtenir :

(19) ( ) ( ) ( ) ( )α

α

+

= 2

2

22

22 u

cosD

L4du

D

8ru

L’excentration sous charge est liée à l’excentration initiale à charge nulle :

(17 rappel)

ED

FRL641

dd

4

o

π+

=

A nouveau, la loi de propagation des incertitudes permet d’établir :

(20) u²(d) =

( ) ( ) ( ) ( )

+−+

π+

2

2

2

22

oo2

2

4F

Fu

R

Rudddu

ED

LRF641

1

Les équations (19) et (20) permettent de déterminer l’incertitude sur le ratio étalon. L’application numérique dans le cadre de l’étalonnage présenté amène (do en mm, α en degré) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++α+<

2

2

2

2222

o222

F

Fu

R

Ru06,0u14,0du08,0ru

Les coefficients de sensibilité ainsi déterminés nous confirment que les sources d’incertitude influentes sur la connaissance du ratio sont l’excentration initiale et le parallélisme de la force. Une incertitude recherchée de 0,01 sur le ratio nécessite une estimation de l’excentration initiale de ± 0,1 mm et une inclinaison maximale de l’ordre de ± 0,05° (soit ≈≈ 0,1 mm sur 10 cm). Une détermination de la force et du rayon de la tête de charge à quelques pour cent près est alors suffisante. Les qualités géométriques du banc d’étalonnage du LNE permettent de garantir le respect de ces tolérances. La qualité mécanique des pièces d’introduction des efforts, du type sphère sur plan, et la rigidité sous charge de l’ensemble du banc d’étalonnage sont les principaux facteurs de ce succès. 8.2. Incertitudes d’étalonnage Le résultat d’un étalonnage est annoncé avec une incertitude prenant en compte l’étalon et les caractéristiques particulières de l’objet étalonné. Nous proposons de dégrader l’incertitude sur le ratio étalon en fonction des dispersions constatées lors des rotations. Il s’agit de prendre en compte la reproductibilité du cylindre étalonné. On obtient, en retenant une loi de distribution rectangulaire et en considérant la moyenne [4] :

)r(u32

b2)q(U 2

2

+×

=

Avec : U(q) : incertitude élargie (k=2) sur les erreurs de justesse annoncées suite à l’étalonnage ; b : reproductibilité maximale constatée (cf. § 7.1) ; u(r) : incertitude-type sur le ratio étalon. Pour un cylindre respectant les critères de dispersions, avec l’incertitude requise sur les ratios étalons, l’incertitude élargie (k=2) sur les erreurs de

justesse annoncées seront inférieures à 0,03. Cela est suffisant pour établir le raccordement des cylindres par rapport aux besoins liés aux tolérances sur les machines d’essais des bétons.

10. Conclusion L’incidence des caractéristiques vérifiées à l’aide des cylindres de déformation est primordiale sur les conclusions d’un essai d’éprouvette en béton. Il était important de progresser dans la qualification de ces instruments. Cet article a présenté la méthode développée et mise en œuvre au laboratoire de métrologie des forces du BNM-LNE pour l’étalonnage des cylindres de déformation pour machine de compression. Après une analyse des besoins et des technologies, la procédure d’étalonnage a été définie, notamment : le mesurande, les valeurs des étalons, les spécifications à respecter pour les cylindres et celles pour les étalons. La grandeur d’entrée a été modélisée à partir des conditions particulières de chargement réalisées lors de l’étalonnage. Les équations ont été affinées pour prendre en compte le montage mécanique et les effets non négligeables d’autocompensation sur la justesse de la modélisation. Les résultats présentés d’un premier étalonnage confirment les

possibilités de cette méthode. Enfin, les incertitudes, quantification de la qualité de l’étalonnage, sont déterminées. Cet article comble une lacune dans le domaine de la traçabilité et du raccordement d’instrument de mesure influant sur la caractérisation de la qualité des ouvrages en béton et la sécurité de leurs usagers.

Références [1] "Essais pour béton durci – Résistance en compression – Caractéristiques des machines d’essai", Norme EN 12390-4, 2000. [2] P. Averlant, "Chaîne de mesure de force avec capteur à jauges", Stage métrologie des forces, LNE – ME14, 1994. [3] Vocabulaire International des termes fondamentaux et généraux de Métrologie, ISO, 1993. [4] "Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure", Norme NF ENV 13005, 1999. [5] A. Giet et L. Geminard, Résistance des matériaux,, Paris : Dunod, 1968, tome 2, 5ème édition, 1994, ch. 14.3.3, pp. 48-49.