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L’Oasis Des M@Thém@tiquesL’Oasis Des M@Thém@tiques

MATHÉMATIQUESMATHÉMATIQUESTerminale STerminale S

Boubacar MANÉBoubacar MANÉMansour SANÉMansour SANÉ

2

Préface

Table des matières

3

1 Les Nombres Complexes 5

I Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II Fabrication de sur-ensembles successifs de N par découverte de lacunes . . . . 6

III Ensemble C des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

IV Opérations dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

V Équations dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

VI Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

VII Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

VIII Épreuves de Bac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Transformations et Complexes 21

1chap

itre

Les Nombres Complexes

5

Connaissances nécessaires à ce chapitre

⋆ calculer une expression littérale ;⋆ résoudre des équations ;⋆ placer des points dans un repère ;⋆ lire des coordonnées d’un point ;⋆ calculer les coordonnées d’un

vecteur ;

⋆ calculer la distance entre deuxpoints, connaissant leurscoordonnées ;

⋆ connaitre et représenterl’équation d’une droite, l’équationd’un cercle.

Auto-évaluation

a. Quelle est la valeur de P(x) = 2x4 −x3 −16x2 −3x +18 si x = 1 ?

b. Quelle est la valeur de P(x) = 2x4 −x3 −16x2 −3x +18 si x =−2 ?

c. Résoudre P(x) = 0.

d. Placer le point G(1;3i ) sur le graphique ci-dessous.

e. Quels sont les coordonnées de F ?

f. Quel(s) est(sont) les points d’abscisse −2 ?

g. Quel(s) est(sont) les points d’ordonnée i ?

−2 21−1 30

A

B

C

D

E

F

++

+

+

+

+

i

2i

3i

−i

−2i

I Historique

Par nécessité, la notion de nombre s’est enrichie au cours des siècles.t On connait N l’ensemble des entiers naturels : N= 0;1;2....t L’ensemble Z des entiers relatifs contient N ainsi que les opposés des entiers naturels :

6 Chapitre 1. Les Nombres Complexes

Z= ...−3;−2;−1;0;1;2....

t Les nombres fractionnaires, nécessaires pour les partages, sont de la formea

bavec a et

b entiers ; ils constituent l’ensemble Q des nombres rationnels.On remarquera que N est un sous-ensemble de Z, et Z est un sous-ensemble de Q.t L’ensemble R des nombres réels contient l’ensemble Q des nombres rationnels ainsil’ensemble des nombres irrationnels tels que π,

p2,

p5... qui ne peuvent pas se mettre sous

la formea

bavec a et b entiers.

Pour résoudre des équations (du troisième degré en particulier) les mathématiciens du XVIe

siècle commencèrent à entrevoir l’existence d’autres nombres qu’ils appellent nombresimaginaires. C’est le cas en particulier de Jérome Cardan, mathématicien italien, quiobtenait des résultats intéressants en prenant la racine carrée d’un nombre négatif.

II Fabrication de sur-ensembles successifs de N pardécouverte de lacunes

L’équation 7+x = 4 n’a pas de solution dans N, mais sa solution (−3) est dans Z.

L’équation 3x = 2 n’a pas de solution dans Z, mais sa solution2

3est dans Q.

L’équation x2 = 2 n’a pas de solution dans Q, mais ses solutionsp

2 et −p

2 sont desnombres irrationnels.L’équation x2 =−1 n’a pas de solution dans R, mais aura comme solution i dans le nouvelensemble C.

3−2i C

−ii

Rπ

−p

2

p3

Q5,2323

2

3

D

3,75

2

3

5

−0,8

Z

−3 (+2)

N

4

7

III Ensemble C des nombres complexes

Au milieu du XVIIIe siècle, le mathématicien suisse Leonhard Euler désigne par i le nombreimaginaire

p−1 ; ainsi i 2 =−1 et tous les nombres imaginaires seront de la forme a+ ib

avec a et b réels.Tous ces nombres constituent l’ensemble des nombres complexes, ensemble que l’on vanoter C.

A Écriture algébrique d’un nombre complexe

• Tout nombre complexe z s’écrit de facon unique sous la forme z = a + ib où a et b sontdes réels.• L’écriture a + ib où a et b sont réels, s’appelle écriture algébrique (aussi appelée écriturecartésienne) du nombre complexe z.• Le nombre réel a s’appelle≪partie réelle≫du nombre complexe z et on écrit : a = Re(z).• Le nombre réel b s’appelle ≪ partie imaginaire ≫ du nombre complexe z et on écrit :b = Im(z).• Quand b est nul, le nombre complexe z s’écrit z = a et z est un nombre réel.• Quand a est nul, le nombre complexe z s’écrit z = ib ; on dit que z est imaginaire pur.

Définition

Remarque : Soit un nombre complexe z tel que z = a+bi où a et b sont des réels ;

1. z = a+bi = 0 ⇐⇒ a = 0 et b = 0

2. z = a+bi = a′+b′i ⇐⇒ a = a′ et b = b′ (où a, b, a′ et b′ sont des réels)

3. z = a+bi réel ⇐⇒ b = 0

4. z = a+bi imaginaire pur ⇐⇒ a = 0

B Conjugué d’un nombre complexe

On appelle conjugué du nombre complexe z = a +bi le nombre complexe noté z définipar : z = a−bi

Si z et z ′ sont deux nombres complexes conjugués alors :

z + z ′ = z + z ′ ; z z ′ = z z ′ ;

(

z

z ′

)

=z

z ′(z 6= 0).

Définition


IV Opérations dans C

A Addition et soustraction de deux nombres complexes

• Pour additionner deux nombres complexes, on fait séparément la somme des partiesréelles et celle des parties imaginaires.• Pour soustraire deux nombres complexes, on fait séparément la différence des partiesréelles et celle des parties imaginaires.

Exemple

a. Mettre sous la forme algébrique(3+2i )+ (5− i ) ; (1+3i )− (5−2i ) et (2i −5)+ (3−4i ).

b. Calculer(3+2i )+ (5− i ) et (1+3i )− (5−2i ).

Correction:

a. Écriture nombres sous la forme algébrique :• (3+2i )+ (5− i ) = 3+2i +5− i = (3+5)+ (2−1)i = 8+ i

• (1+3i )− (5−2i ) = 1+3i −5+2i = (1−5)+ (3+2)i =−4+5i

• (2i −5)+ (3−4i ) = 2i −5+3−4i = (−5+3)+ (2−4)i =−2−2i .

b. Calculons :• (3+2i )+ (5− i ) = (3+2i )+ (5+ i ) = 8+3i

• (1+3i )− (5−2i ) = 1−3i −5+2i =−4− i .

B Multiplication de deux nombres complexes

Pour multiplier deux nombres complexes, on applique la distributivité de la multiplicationpar rapport à l’addition et à la soustraction.

Exemple Effectuer les produits suivants :

2(6−2i ) ; 5i (7+3i ) ; (2+3i )(5−4i ) ; (9−2i )(5+7i ) et (1+3i )(5−2i ).

Correction:

• 2(6−2i ) = 2×6−2×2i = 12−4i

• 5i (7+3i ) = 5i ×7−5i ×3i = 12−4i = 35i −15i 2 = 15+35i

• (2+3i )(5−4i ) = 2(5−4i )+3i (5−4i ) = 10−8i +15i −12(i 2) = 10−8i +15i +12(2+3i )(5−4i ) = 22+7i

• (9−2i )(5+7i ) = 59+53i

• (1+3i )(5−2i ) = (1−3i )(5−2i ) =−1−17i .

9

C Division de deux nombres complexes

Pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur parle conjugué du dénominateur puis on calcule. Le dénominateur doit toujours être unnombre rationnel.

Exemple Écris les nombres z1 =

2+5i

3−2iet z2 =

1−3i

3+4isous la forme algébrique.

Correction:

• z1 =2+5i

3−2i=

(2+5i )(3+2i )

(3−2i )(3+2i )=

−4+19i

13=

−4

13+

19

13i

• z2 =1−3i

3+4i=

(1−3i )(3−4i )

(3+4i )(3−4i )=

−9−13i

25=

−9

25+

−13

25i .

V Équations dans C

De façon générale, deux nombres complexes sont égaux s’ils ont les mêmes parties réelleset imaginaires.

Exemple Résout dans C les équations

1+ i z

z=−1+3i et (1+ i )z = z −2+3i .

Correction:

• Pour z 6= 0, on a :1+ i z

z=−1+3i ⇐⇒ 1+ i z = z(−1+3i ) ⇐⇒ 1 = z(−1+3i )− i z

⇐⇒ z [(−1+3i )− i ] = 1 ⇐⇒ z(−1+2i ) = 1 ⇐⇒ z =1

−1+2i=

−1−2i

(−1+2i )(−1−2i )

⇐⇒ z =−1−2i

(−1)2 − (2i )2=

−1−2i

1+4=

−1−2i

5

S =

−1−2i

5

(1+ i )z = z −2+3i Posons z = a+bi , a et b réels ; on obtient :(1+ i )(a+bi ) = a−bi −2+3i ⇔ a+bi + i a−b = a−2+3i −bi ⇔ a−b + (b +a)i

= a−2+ (3−b)i

⇔

a−b = a−2a+b = 3−b

⇔

b = 2a+2b = 3

⇔

b = 2a =−1

⇔ z =−1+2i d’où S = −1+2i


Remarque : Si z est un nombre complexe, a, b et c des réels tels que az2 +bz +c = 0 (a 6= 0)

alors, on peut toujours écrire que : az2 +bz +c = a

[(

z +b

2a

)2

−∆

4a2

]

avec

∆= b2 −4ac (forme canonique).

az2 +bz +c = 0 ⇔ a

[(

z +b

2a

)2

−∆

4a2

]

= 0 ⇔(

z +b

2a

)2

−∆

4a2 = 0 car a 6= 0, ce qui

donne :(

z +b

2a

)2

−

√

∆

4a2

2

= 0 ⇔(

z +b

2a

)2

−(p

∆

2a

)2

= 0

⇔(

z +b

2a−p∆

2a

)(

z +b

2a+p∆

2a

)

= 0

⇔(

z +b −

p∆

2a

)(

z +b +

p∆

2a

)

= 0

⇔(

z +b −

p∆

2a

)

= 0 ou

(

z +b +

p∆

2a

)

= 0

Et finalement, on obtient : az2 +bz +c = 0 si et seulement si

z1 =−b −

p∆

2aou

z2 =−b +

p∆

2a

• Si ∆> 0, on obtient deux solutions réelles z1 =−b −

p∆

2aou z2 =

−b +p∆

2a.

• Si ∆= 0, on a une solution double z0 =−b

2a.

• Si ∆< 0, les solutions complexes sont z1 =−b − i

p−∆

2aou z2 =

−b + ip−∆

2aL’écriture de la forme canonique permet de faire une factorisation dans C.

Exemple Résoudre dans C l’équation z2 + z +2 = 0

Correction:

z2 + z +2 = 0, ∆= 1−8=−7 ⇔p∆=

p−7=

p7× i 2 = i

p7

Ce qui donne alors

z1 =−1− i

p7

2

z2 =−1+ i

p7

2

; S =

−1− ip

7

2;−1+ i

p7

2

11

VI Forme trigonométrique d’un nombre complexe

A Représentation géométrique des nombres complexes

t Droite réelle R :• On appelle droite réelle, toute droite rap-portée à un repère normé (O; #»u ) ;• A tout nombre réel x, on associe alors unpoint M de la droite réelle (celui d’abscisse x),et réciproquement ; on note M(x) pour dire :le point M d’abscisse x.

0 1 2 3 40−1−2−3b

Mx

O#»u

t Plan complexe C :• On appelle plan complexe tout planrapporté à un repère orthonormé direct(O; #»u ; #»v ) ;• A tout nombre complexe z = x+i y , on asso-cie alors un point M du plan complexe (celuide coordonnées (x; y)), et réciproquement.On note M(z) pour : dire le point M d’affixe(z).

bM

x1 2 3

i

2i

3i

−i

O #»u

#»v

yi

I

J

• Le nombre complexe z = a+bi est appelé affixe du point M(a;b) ; On la note zM ;• Le point M(a;b) est appelé image du complexe z = a+bi ; On le note M(z) ;• Le vecteur #»u (a;b) est appelé vecteur image du complexe z = a+bi ;On le note #»u (z).• L’axe des abscisses du plan complexe correspond aux images des réels : il est appelé axedes réels ;• L’axe des ordonnées du plan complexe correspond aux images des imaginaires purs : ilest appelé axe des imaginaires purs.

Définition

B Module et argument d’un nombre complexe

Tout point M 6= O du plan complexe est re-péré soit :• par un couple de coordonnées cartésiennes(x; y) (ou (a;b)) ;• par un couple de coordonnées polaires(r ;θ)(r > 0 et θ défini à 2π près).

bM

xO cos θ

sin θ

y

b

r

θ


On a les relations suivantes :

x = r ×cos(θ)y = r × sin(θ)

(Passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes) ;

r =√

x2 + y2 et θ tel que :

cos(θ) =x

r

sin(θ) =y

r

(Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires )

Soit z = x+ i y un nombre complexe non nuld’image M ; On appelle :• argument de z toute mesure (en radians)de l’angle polaire de M c’est-à-dire de l’angleorienté ( #»u ;

# »

OM ).On le note arg(z) (lire ≪ arg de z ≫).• module de z la distance OM ;On le note |z| (lire≪module de z ≫) et donc|z| =

√

x2 + y2.Si on note r le module et θ un argument dez, alors : z = r (cos(θ)+ i sin(θ))Cette écriture est appelée forme trigonomé-trique de z.

r = |z|

M(z)

x

iy

θ = ar g (z)

cos (θ)

sin (θ)

O

#»v#»u

Définition : Module et Argument

Remarque : La forme algébrique caractérise un complexe z à partir de sa partie réelle x etde sa partie imaginaire y donc à partir des coordonnées cartésiennes (x; y) de M(z)alors que la forme trigonométrique caractérise un complexe z à partir de son moduler et de l’un de ses arguments θ donc à partir de coordonnées polaires (r ;θ) de M(z).

Exemple Donner l’écriture trigonométrique

z =p

3+ i

Co

rrec

tio

n |z| =√

(p

3)2 + (1)2 =p

4 = 2

⇒

cos(θ) =p

3

2

si n(θ) =1

2

⇒ θ =π

6. D’où z = 2

(

cosπ

6+ i .si n

π

6

)

Exemple Donner l’écriture algébrique

z = 4

(

cosπ

4+ i .si n

π

4

)

Co

rrec

tio

n

z = 4

(p2

2+ i .

p2

2

)

= 2p

2+ i .2p

2

13

C Forme exponentielle d’un nombre Complexe

• Pour tout θ, on pose e iθ = cos(θ)+ i .sin(θ).

|e iθ| = 1 ; (e iθ) = e−iθ ; e i (θ+2kπ) = e iθ ; e iθ×e iθ′ = e i (θ+θ′) ;1

e iθ= e−iθ ;

e iθ

e iθ′= e i (θ−θ′) ;

(

e iθ)n = e iθn .

• Si un complexe z non nul admet r comme module et θ comme argument alors z = r.e iθ.• r.e iθ = r ′.e iθ′ (avecr > 0 et r ′ > 0) ⇐⇒ r = r ′ et θ = θ

′+2kπ.

Exemple

• Soit z =p

3+ i

Co

rrec

tio

n

|z| =√

(p

3)2 + (1)2 =p

4 = 2

|z| = 2 ⇒

cos(θ) =p

3

2

si n(θ) =1

2

⇒ θ =π

6.

D’où z = 2.ei . π6

Exemple

• z = 4.ei . π4

Co

rrec

tio

n

z = 4.ei . π4 = 4

(

cosπ

4+ i .si n

π

4

)

z = 4

(p2

2+ i .

p2

2

)

= 2p

2+ i .2p

2

Exemple

• Calculer de (1− i )12

Co

rrec

tio

n

On pose z = (1− i ) : |z| =p

12 +12 =p

2.

cos(θ) =1p

2=

p2

2

si n(θ) =−1p

2=−

p2

2

⇒ θ =−π

4.

D’où z =p

2.e−π

4

(1− i )12 = z12 =(p

2.e−π

4

)12=

(p2)12 ×

(

e−π

4

)12=

(p2)12 ×e−

12π4 = 64.e−3iπ

(1− i )12 = 64(cos(−3π)+ i .si n(−3π)) =−64(1− i )12 =−64

Exemple

• Soit z1 =p

2+ i .p

2 et z2 =p

3+ i .

Calculer la forme trigonométrique de z1, z2 etz1

z2puis déduire la valeur de cos

(

π

12

)

et si n

(

π

12

)

.

Co

rrec

tio

n

En calculant le module et un argument de z1 et z2, on montre que z1 = 2.ei π

4 et z2 = 2.ei π

6 .

On en déduit quez1

z2=

2.ei π

4

2.ei π

6= ei( π4 −

π

6 ) = ei π

12 ;π

12est donc un argument de

z1

z2.

Orz1

z2=

p2+ i .

p2

p3+ i

=(p

2+ i .p

2)(p

3+ i)

4=

p6+

p2

4+ i .

p6−

p2

4

Donc cos

(

π

12

)

=Re

(

z1

z2

)

∣

∣

∣

∣

z1

z2

∣

∣

∣

∣

=p

6+p

2

4et si n

(

π

12

)

=Im

(

z1

z2

)

∣

∣

∣

∣

z1

z2

∣

∣

∣

∣

=p

6−p

2

4


Exemple Résolvons l’équation z3 = 1.

Co

rrec

tio

n

Posons z = r.ei .θ ; l’équation devient alors z3 = r 3.e3i .θ = 1.ei .θ ⇐⇒ r = 1 et 3θ = 2kπ.

Ce qui donne : r = 1 et θ =2kπ

3. En posant k = 0, k = 1 et k = 2, on a :

1.ei .0 = 1 ; 1.ei . 2π3 =−

1

2+ i .

p3

2et 1.ei . 4π

3 =−1

2− i .

p3

2

S =

1; −1

2+ i .

p3

2; −

1

2− i .

p3

2

D Formules de Moivre et d’Euler

• Formule de Moivre(

e i .θ)n = e i .nθ ⇔ (cos(θ)+ i .sin(θ))n = cos(nθ)+ i .sin(nθ)

• Formule d’Euler cos(θ) =e i .θ+e−i .θ

2et sin(θ) =

e i .θ−e−i .θ

2i

Exemple Linéarisons : cos3(x)

Co

rrec

tio

n

cos3(x) =(

ei .x +e−i .x

2

)3

=ei .3x +e−i .3x +3ei x +3e−i x

8=

2cos(3x)+6cos(x)

8= 1

4cos(3x)+

3

4cos(x)

E Nombres complexes et configurations

A, B et C étant trois points distincts d’affixes zA, zB et zC dans un repère (O; #»u ; #»v ) ; Alors :

AB = |zB − zA| ; ar g (zB − zA) =(

#»u ;# »

AB)

;

ar g

(

zC − zA

zB − zA

)

=(

# »

AB ;# »

AC) A(zA )

B(zB )

C(zC )

D(zD )

ar g

(

zC − zA

zB − zA

)

ar g (zB − zA)|zB − zA |

#»u

#»v

O

15

• (AB) ∥ (CD) ⇔ ar g

(

Z # »

CD

Z # »

AB

)

= 0+2kπ ou π+2kπ⇔Z # »

CD

Z # »

AB

réel (A 6= B et C 6= D)

• (AB) ⊥ (CD) ⇔ ar g

(

Z # »

CD

Z # »

AB

)

=π

2+2kπ ou −

π

2+2kπ⇔

Z # »

CD

Z # »

AB

imaginaire pur (A 6= B et C 6= D)

• A, B et C alignés ⇔ ar g

(

Z # »

AC

Z # »

AB

)

= 0+2kπ ou π+2kπ⇔Z # »

AC

Z # »

AB

réel (A 6= B et A 6= C)

• L’ensemble des points M d’affixe z tels que |z − zA | = r (r > 0) est le cercle de centre A etde rayon r .• L’ensemble des points M d’affixe z tels que |z − zA| = |z − zB | (zA 6= zB ) est la médiatricedu segment [AB].• L’ensemble des points M d’affixe z tels que (z − zA) = θ+2kπ est la demi-droite partantde A(mais ne contenant pas A) dirigée par le vecteur #»r tel que ( #»u ; #»r ) = θ

Définition

F Complexes et transformations

Soit M d’affixe z, M’ d’affixe z ′ et Ω d’affixe ω ;• z ′ = z +b ⇐⇒ M’ est l’image de M par la translation de vecteur #»u dont l’affixe est b.• z ′−ω= e iθ(z −ω) ⇐⇒ M’ est l’image de M par la rotation de centre Ω et d’angle θ.• z ′−ω= k(z −ω) ⇐⇒ M’ est l’image de M par l’homothétie de centre Ω et de rapport k.

Définition

G Caractérisation d’un réel et d’un imaginaire pur

• z est réel ⇐⇒ Im(z) = 0⇐⇒ z = z ⇐⇒ z = 0 ou ar g (z) = 0+2kπ ou ar g (z) =π+2kπ

• z est imaginaire pur ⇔ Re(z) = 0 ⇔ z = −z ⇔ z = 0 ou ar g (z) =π

2+ 2kπ ou

ar g (z) =−π

2+2kπ

Définition

Exemple

• Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z tels que (2+ i )z +3−4i soit imaginaire pur.

• Déterminer l’ensemble E’ des points M d’affixe z tels quez − i

z −2soit réel.


Co

rrec

tio

n On pose z = x + i y (x et y réels), 2i z +3−4i imaginaire pur ⇔ (2+ i )(x + i y)+3−4i imaginaire pur⇔ (2x − y +3)+ i (x +2y −4) imaginaire pur ⇔ 2x − y +3 = 0.E est donc la droite d’équation y = 2x +3.• Soit A d’affixe i et B d’affixe 2.z − i

z −2réel ⇔ z = i ou ar g

(

z − i

z −2

)

= 0+2kπ ou ar g

(

z − i

z −2

)

=π+2kπ (avec z 6= 2).

On a alors : M=A ou (# »

MB ;# »

M A) = 0+2kπ ou π+2kπ (avec M 6= B).E’ est donc la droite(AB)privée du point B.

VII Exercices

Exercice 1

Soient z = 2+3i et z ′ = i −5.Calculer et écrire sous la forme algébrique : z + z ′, z − z ′, 2z −3z ′, (z ′)2, z × z ′ et z2.

Exercice 2

Placer dans le plan complexe les points d’affixes :z1 = 2+3i , z2 = 3− i , z3 =−1+2i , z4 = 2− i , z5 = i

z6 =−i , z7 = 1, z8 =−i −3, z9 = 2z1 −3z2, z10 = z3(z4 − z2).

Exercice 3

Soit z = 3+5i et z ′ =−2+3i , calculer z, z ′, z + z ′, z + z ′, z + z ′, z × z ′, z × z ′, z × z ′.

Exercice 4

Calculer les nombres complexes suivants et les mettre sous forme algébrique :a = (3+2i )(1− i )− (2+ i )2 b = (2− i )(3+ i )+4i c = (1+ i )3

d = (3+4i )4 e =9−4i

2+ if =

2− i

3− i+

4+ i

1− i.

Exercice 5

1°) Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :1

2+7i;

4p

3− i;

2− i

5+3i;

i

1−3i;

2+ i

i.

2°) Résoudre l’équation (1+ i )z = 3−2i , donner la solution sous la forme algébrique.3°) Le nombre complexe 2− i est-il solution de l’équation (1− i )z +1+3i = 0 ?

4°) Le nombre complexe1+3i

5est-il solution de l’équation 5z2 −2z +2 = 0 ?

5°) Écrire plus simplement le nombre complexe

p7+5i

2p

7−2i+ 2

p7−2i

p7+5i

.

17

Exercice 6

Résoudre les équations suivantes, d’inconnue z ∈C :

a) 2i z − z +4− i = z −4i b)z − i

z + i= z +2

z −3ic) 2z + (3+ i )z = 4− i d)

(1+ i )z + (1− i )z = 3.

e) z2 −4z +5= 0 f) z2 − (5−2i )z +5−5i = 0 g) z2 − (3+ i )z +4+3i = 0

h) (1+ i )z2 +3(1− i )z −2(2+ i ) = 0.

Exercice 7

1°)Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :

z1 = 3+4i , z2 = 1− i , z3 = 5−i

2, z4 = 3,

z5 = i −4, z6 = i , z7 =−5, z8 =p

2

2+p

2

2i .

2°) Donner les formes trigonométriques de :z1 = 1+ i , z2 =

p3+ i , z3 = 1− i

p3, z4 = i .

Placer les points correspondants et faire apparaître les éléments sur un dessin.

Exercice 8

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé (O;~u,~v), on considère les points A etB d’affixes respectives a = 2−3i et b = 5− i . Calculer les distances OA, OB et AB. En déduirela nature du triangle OAB.

Exercice 9

Soient z1 = 2+2i et z2 = 1+ ip

3.Écrire z1 et z2 sous la forme trigonométrique.

En déduire les formes trigonométriques de z1 × z2 ;z1

z2; (z1)3 ; z1 ; −z2 ;

(z1)2

z2.

Exercice 10

On considère les nombres complexes : z1 = e i π

3 ; z2 = e i π

4 et z =z1

z2.

1°) Donner la forme exponentielle de z.2°) Donner les formes algébriques de z1 et z2. En déduire la forme algébrique de z.

3°) En déduire les valeurs exactes de cosπ

12et sin

π

12.

Exercice 11

Écrire sous la forme exponentielle et sous la forme trigonométrique les nombrescomplexes :


a = 3+p

3 i , b =p

2

1+ i, c =

5+11ip

3

7−4ip

3, d =−2

(

cosπ

6+ i sin

π

6

)

.

Exercice 12

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct (O;~u,~v), on considère lespoints A, B et C d’affixes respectives a = 1, b = 1+2i et c = 1+

p3+ i .

Calculerc −a

b −aet l’écrire sous la forme exponentielle. En déduire la nature du triangle ABC.

Exercice 13

1°) On considère l’équation (E ) : z2 −4z −5= 0.a) Montrer que : (E ) : ⇔ (z −2)2 −9 = 0 ⇔ [(z −2)−3][(z −2)+3] = 0.b) En déduire les solutions de (E ).2°) On considère l’équation (F ) : z2 −4z +13= 0.a) Montrer que : (F ) : ⇔ (z −2)2 +9 = 0.b) En remarquant que 9 =−(3i )2, trouver les solutions de (F ).

VIII Épreuves de Bac

Exercice 14

Partie A :

On considère le polynôme P défini sur C par

P (z) = z3 −(

2+ ip

2)

z2 +2(

1+ ip

2)

z −2ip

2.

a. Montrer que le nombre complexe z0 = ip

2 est solution de l’équation P (z) = 0.

b. i. Déterminer les réels a et b tels que P (z) =(

z − ip

2)(

z2 +az +b)

.

ii. En déduire les solutions dans C de l’équation P (z) = 0.

Partie B :

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O; #»u ; #»v ). On prendra 2 cm pourunité graphique.On considère les points A, B, J et K d’affixes respectives :

zA = 1+ i, zB = 1− i, zJ = ip

2 et zK = e3iπ

4 .

a. Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure del’exercice.

19

b. Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l’affixe de L estégale à −

p2.

c. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on préciserale centre et le rayon.

d. Soit D le point d’affixe zD =−1+ i. On considère !a rotation r de centre O quitransforme J en D.

i. Déterminer une mesure de l’angle de la rotation r .

ii. Soit C l’image du point L par la rotation r . Déterminer l’affixe du point C.

e. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.


Exercice 15

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O;~u,~v) (unité graphique2 cm), on considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 2,zB = 1+ i

p3 et zC = 1− i

p3.

Partie A

a. i. Donner la forme exponentielle de zB puis de zC.

ii. Placer les points A, B et C.

b. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC.

c. Déterminer et construire l’ensemble D des points M du plan tels que

|z| = |z −2|.

Partie B

À tout point M d’affixe z tel que z 6= zA, on associe le point M ′ d’affixe z ′ défini par

z ′ = −4

z −2.

a. i. Résoudre dans C l’équation z = −4

z −2.

ii. En déduire les points associés aux points B et C.

iii. Déterminer et placer le point G′ associé au centre de gravité G du triangle OAB.

b. i. Question de cours :

Prérequis : le module d’un nombre complexe z quelconque, noté |z|, vérifie

|z|2 = zz où z est le conjugué de z.

Démontrer que :

• pour tous nombres complexes z1 et z2, |z1 × z2| = |z1|× |z2|.• pour tout nombre complexe z non nul,

∣

∣

∣

∣

1

z

∣

∣

∣

∣

=1

|z|.

ii. Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2,

∣

∣z ′−2∣

∣= 2|z||z −2|

.

iii. On suppose dans cette question que M est un point quelconque de D, où D estl’ensemble défini à la question 3. de la partie A.

Démontrer que le point M ′ associé à M appartient à un cercle Γ dont onprécisera le centre et le rayon. Tracer Γ.

2chap

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Transformations et Complexes

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