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Mathématiques Pré-calcul 30S

Centre scolaire Léo-Rémillard

Préparé par :

Roger Durand

Ce cahier appartient à :

___________________________________________________

Roger Durand Mathématiques pré-calcul 30S


I. La fonction quadratique ........................................................................................................... 1 A. La fonction quadratique .......................................................................................... 1

Pratique : la fonction quadratique ......................................................................... 16 Résumé : la fonction quadratique .......................................................................... 22

B. Les équations quadratiques ................................................................................... 23 Pratique : les équations quadratiques .................................................................... 32 Résumé : les équations quadratiques..................................................................... 35

C. Les systèmes d’équations ...................................................................................... 36 Pratique : les systèmes d’équations ....................................................................... 40 Résumé : les systèmes d’équations ....................................................................... 42

II. Les inégalités ......................................................................................................................... 43 A. Les inéquations linéaires à deux variables ............................................................ 43 B. Les inéquations quadratiques à une variable ......................................................... 44

C. Les inéquations quadratiques à deux variables ..................................................... 47 Pratique : les inégalités.......................................................................................... 48 Résumé : les inégalités .......................................................................................... 51

III. La trigonométrie .................................................................................................................... 52 A. Les angles en position standard (ou normale) ....................................................... 52

B. Les angles de référence en position normale ........................................................ 53

C. Les rapports trigonométriques d’angles 30°, 45°, 60° .......................................... 54

Résumé : les angles et les rapports trigonométriques ........................................... 58 Pratique : les angles et les rapports trigonométriques ........................................... 59

D. La loi des sinus ...................................................................................................... 63

E. La loi du cosinus ................................................................................................... 68 Résumé : les lois des sinus et du cosinus .............................................................. 70

Pratique : les lois des sinus et du cosinus .............................................................. 71 IV. La valeur absolue ................................................................................................................... 75

A. Les expressions de valeur absolue ........................................................................ 75

B. Les graphiques ...................................................................................................... 76 Pratique : les fonctions valeur absolue .................................................................. 80

Résumé : les fonctions valeurs absolue ................................................................. 83 C. La résolution d’équations ...................................................................................... 84

Pratique : les équations valeur absolue ................................................................. 86 Résumé : les équations valeur absolue .................................................................. 87

V. Les radicaux ........................................................................................................................... 88 A. Additionner des radicaux ...................................................................................... 89

B. Multiplier et diviser des radicaux .......................................................................... 90 Pratique : les opérations sur les radicaux .............................................................. 92

Résumé : les opérations sur les radicaux .............................................................. 94 C. La résolution d’équations ...................................................................................... 95

Pratique : les équations radicales .......................................................................... 97 Résumé : les équations radicales ........................................................................... 98


VI. Les rationnels ......................................................................................................................... 99 A. Les expressions rationnelles .................................................................................. 99

B. Additionner et soustraire des expressions rationnelles ....................................... 100 C. Multiplier et diviser des expressions rationnelles ............................................... 101

Pratique : les expressions rationnelles ................................................................ 103 Résumé : les expressions rationnelles ................................................................. 106

D. Résoudre des équations rationnelles ................................................................... 107

Pratique : les équations rationnelles .................................................................... 109 Résumé : les équations rationnelles .................................................................... 111

E. L’inverse de fonctions ......................................................................................... 112 Pratique : l’inverse de fonctions .......................................................................... 115 Résumé : l’inverse de fonctions .......................................................................... 117

VII. Les suites et les séries .......................................................................................................... 118 A. Les suites arithmétiques ...................................................................................... 118 B. Les séries arithmétiques ...................................................................................... 121

Pratique : les suites et les séries arithmétiques.................................................... 123 Résumé : les suites et les séries arithmétiques .................................................... 126

C. Les suites géométriques ...................................................................................... 127 D. Les séries géométriques ...................................................................................... 129

E. Les séries géométriques infinies ......................................................................... 131 Pratique : les suites et les séries géométriques .................................................... 133 Résumé : les suites et les séries géométriques .................................................... 136


1

I. La fonction quadratique

A. La fonction quadratique

La fonction quadratique prend deux formes :

la forme générale : 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

la forme canonique : 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘

1. Le graphique d’une fonction quadratique

a. le graphique

Faites un tableau de valeur et dessinez le graphique de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥2.

x y

b. les propriétés

Indiquez sur votre graphique les propriétés suivantes :

sommet

axe de symétrie

domaine

image

racines/zéros/abscisses à l’origine

ordonnée à l’origine

direction de l’ouverture

maximum ou minimum


2

2. L’effet de 𝑎, ℎ et 𝑘 dans une fonction de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘

a. l’effet sur le graphique

Dessinez et examinez les graphiques suivants :

𝑦 = 𝑥2

𝑦 = (𝑥 − 1)2 𝑦 = 𝑥2 + 1 𝑦 = 2𝑥2 𝑦 = −𝑥2

𝑦 = (𝑥 − 2)2 𝑦 = 𝑥2 + 2 𝑦 = 4𝑥2 𝑦 = −3𝑥2

𝑦 = (𝑥 + 2)2 𝑦 = 𝑥2 − 3 𝑦 =1

3𝑥2


3

Décrivez l’effet de 𝑎, ℎ et 𝑘 sur chacun des graphiques.

ℎ :

𝑘 :

𝑎 :

b. l’effet sur les propriétés

Quel est le sommet des fonctions précédentes? Comment 𝑎, ℎ et 𝑘 ont affecté

le sommet? Où se retrouve le sommet de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘?

Comment savons-nous la direction de l’ouverture de la parabole?

Quels sont le domaine et l’image des fonctions précédentes? Comment

𝑎, ℎ et 𝑘 ont affecté ces propriétés? Quels sont le domaine et l’image de

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘?


4

Où se retrouve l’axe de symétrie des fonctions précédentes? Comment 𝑎, ℎ et 𝑘

ont affecté l’axe de symétrie? Quelle est l’axe de symétrie de

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘?

Quelle est la distance entre le sommet et les autres coordonnées dans la

fonction 𝑦 = 𝑥2? Comment 𝑎, ℎ et 𝑘 affecte ces distances?

Exemple

Dessinez les graphiques des fonctions

𝑦 = (𝑥 − 3)2 + 2 𝑦 = (𝑥 + 1)2 − 3


5

𝑓(𝑥) = 2(𝑥 + 2)2 − 2 𝑓(𝑥) = −1

4(𝑥 − 1)2 + 1


6

c. déterminer la fonction selon le graphique

Exemple

Quelle est l’équation de la fonction représentée par le graphique suivant?

Il faut trouver les valeurs de 𝑎, ℎ et 𝑘 dans l’équation 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘

Comment connaissons-nous les valeurs de ℎ et 𝑘?

Nous pouvons trouver la valeur de 𝑎 de façon algébrique en substituant une

coordonnée (sauf le sommet) pour 𝑥 et 𝑦 ou nous pouvons examiner la

distance entre le sommet et une autre coordonnée ainsi que la direction de

l’ouverture.

Algébriquement :

𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 Prenons la coordonnée (3, 3).

Substituons cette coordonnée et le sommet dans la fonction :

3 = 𝑎(3 − 2)2 + 1 Isolons 𝑎

3 = 𝑎 + 1

𝑎 = 2

Par distance de coordonnée :

Généralement, la distance entre le sommet et la prochaine coordonnée est de

1 unité à la droite et 1 unité vers le haut. Dans ce graphique, nous voyons que

pour une unité vers la droite, nous devons nous rendre 2 unités vers le haut. Il

a donc eu un étirement vertical d’un facteur de 2 (la distance est deux fois

plus grande verticalement). Puisque l’ouverture de la parabole est vers le

haut, il suit que 𝑎 = 2.


7

Exemple

Trouvez les équations des deux graphiques suivants :


8

3. Compléter le carré

On complète le carré d’une fonction de la forme générale à la forme canonique car

il est plus facile de dessiner le graphique en cette dernière forme.

Un trinôme carré parfait en est un qui nous permet de simplifier l’expression de

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 à une de la forme 𝑎(𝑥 − ℎ)2.

Exemple

Développe les expressions (𝑥 + 1)2, (𝑥 − 2)2, (𝑥 + 2)2, (𝑥 + 4)2, (𝑥 − 3)2 et

(𝑥 + 𝑛)2. Quelle régularité existe-t-il lorsqu’on développe un carré parfait?


9

Exemple

Quelle valeur de 𝑚 nous permettrait d’avoir un carré parfait dans les expressions

𝑥2 + 2𝑥 + 𝑚, 𝑥2 − 6𝑥 + 𝑚 et 𝑥2 + 𝑚𝑥 + 25?

Exemple

Développe l’expression (𝑥 − 2)2 + 3. Comment pouvons-nous utiliser les étapes

du développement d’un carré parfait avec une valeur de 𝑘 afin de transformer une

expression de forme générale à canonique?


10

a. à l’aide de tuiles algébriques

Exemple

Transforme la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 5 de forme générale à canonique en

complétant le carré.

Représente la fonction à l’aide de

tuiles

Forme un carré avec les tuiles 𝑥2 et 𝑥

en laissant les unités de côté

On complète le carré en ajoutant des

unités (dans ce cas positifs). On

ajoute aussi les unités de signe opposé

afin de garder l’égalité.

On simplifie les unités à l’extérieur

du carré et on écrit l’équation de la

fonction.

𝑦 = (𝑥 + 3)2 − 4


11

Exemple

Transforme la fonction 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 − 9 de forme générale à canonique

en complétant le carré à l’aide de tuiles algébrique.

b. algébriquement

Exemple

Complète le carré de la fonction 𝑦 = 𝑥2 + 8𝑥 − 7 afin d’avoir la forme

canonique.

𝑦 = 𝑥2 + 8𝑥 − 7 Écrit la fonction de départ

𝑦 = (𝑥2 + 8𝑥 + ) − 7 Quelle valeur rendrait la partie entre

parenthèses un carré parfait?

Utilise la forme générale d’un carré parfait afin de t’aider :

(𝑥 + 𝑛)2 = 𝑥2 + 2𝑛𝑥 + 𝑛2

Si 2𝑛 = 8, quelle est la valeur de 𝑛?

Que devons-nous additionner afin de compléter le carré?

Généralise ces deux étapes pour n’importe quelle fonction.

𝑦 = (𝑥2 + 8𝑥 + 16) − 7 − 16 On additionne et on soustrait cette valeur

(comme si on a additionné zéro) pour garder

l’égalité.

𝑦 = (𝑥 + 4)2 − 23 Simplifie ton carré parfait et les constantes.


12

Exemple

Quelle est la forme canonique de 𝑦 = −3𝑥2 − 18𝑥 − 24?

Lorsque la valeur de 𝑎 n’est pas égale à 1, il est préférable de tout diviser par

cette valeur avant de commencer à compléter le carré. Il ne faut pas oublier de

le multiplier à la fin.

𝑦 = −3𝑥2 − 18𝑥 − 24 𝑦

−3= 𝑥2 + 6𝑥 + 8

Qu’arrive-t-il si les coefficients de la forme générale sont tels que nous avons

déjà un carré parfait? (par exemple, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 8𝑥 + 16)


13

De façon algébrique, détermine une formule pour trouver le sommet d’une

fonction quadratique étant donné la forme générale.

Complète le carré :

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐


14

c. résoudre des problèmes verbaux (optimisation)

Lorsqu’on résout des problèmes d’optimisation, il est utile de suivre les étapes

suivantes :

- Faire un diagramme

- Déterminer ce qui est à optimiser

- Définir les variables

- Établir une équation de ce qui est à optimiser

- S’assurer que cette équation ne comporte qu’une seule variable (souvent en

faisant une substitution

- Optimiser → Trouver le max ou le min → sommet

- Analyser les parties du sommet

o Que veux dire ℎ?

o Que veux dire 𝑘?

- Répondre à la question

Exemple

La hauteur, ℎ, en mètres, après le lancement d’une fusée à un moment, 𝑡, en

secondes se définit par l’équation ℎ = −3𝑡2 + 9𝑡 +81

4. Trouve la hauteur

maximale atteinte par la fusée et le temps nécessaire pour atteindre cette hauteur.


15

Exemple

À la plage locale, le sauveteur a 620𝑚 de bouées repères pour entourer une zone

de baignade sécuritaire. Calcule les dimensions de la zone de baignade

rectangulaire pour créer une zone de baignade maximale si un des côtés de la zone

est la plage.

Exemple

Si 65 pommiers sont plantés dans un verger, le rendement moyen par arbre sera

de 1 500 pommes par année. Pour chaque arbre additionnel planté dans le verger,

le rendement annuel par arbre diminue de 20 pommes. Combien d’arbres devrait-

on planter pour produire un rendement maximum?


16

Pratique : la fonction quadratique

1. Lesquelles de ces fonctions sont quadratiques? Explique.

a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 b. 𝑓(𝑥) = 5 − 3𝑥

c. 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 2)(4𝑥 − 1) d. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 5)(3𝑥 − 2)

2. Pour chaque graphique, indique les coordonnées du sommet et s’il s’agit d’un

maximum ou un minimum, l’équation de l’axe de symétrie, les coordonnées à

l’origine, la direction de l’ouverture et le domaine et l’image.

a. b.

c.

3. Écris chaque fonction sous la forme générale afin de montrer qu’elle correspond à la

définition d’une fonction quadratique.

a. 𝑓(𝑥) = 5𝑥(10 − 2𝑥) b. 𝑓(𝑥) = (10 − 3𝑥)(4 − 5𝑥)

4. Dessinez le graphique des fonctions suivantes. Décrivez les transformations subites

par rapport à 𝑓(𝑥) = 𝑥2 et nommez le domaine, l’image et le sommet.

a. 𝑓(𝑥) = 7𝑥2 b. 𝑓(𝑥) =1

6𝑥2 c. 𝑓(𝑥) = −4𝑥2

d. 𝑓(𝑥) = −0,2𝑥2 e. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 f. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)2

g. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 h. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)2 i. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 5)2 + 11

j. 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 − 10 k. 𝑓(𝑥) = 5(𝑥 + 20)2 − 21


17

l. 𝑓(𝑥) = −1

8(𝑥 − 5,6)2 + 13,8 m. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 3)2 + 9

n., 𝑓(𝑥) = 0,25(𝑥 + 4)2 + 1 o. 𝑓(𝑥) = −3(𝑥 − 1)2 + 12

p. 𝑓(𝑥) =1

2(𝑥 − 2)2 − 2

5.

a. Détermine une fonction quadratique sous la forme canonique pour chaque

parabole.

b. Détermine une fonction quadratique pour chaque parabole si elles partagent le

même sommet mais l’ouverture est vers le bas plutôt que vers le haut.

c. Détermine une fonction quadratique pour chaque parabole en a. mais qui ont subi

une translation horizontale de 4 unités vers la gauche.

d. Détermine une fonction quadratique pour chaque parabole en a. mais qui ont subi

une translation de 2 unités vers le bas.

6. Détermine les caractéristiques suivantes des fonctions.

i. les coordonnées du sommet ii. l’équation de l’axe de symétrie

iii. la direction de l’ouverture iv. un maximum ou un minimum

v. le domaine et l’image vi. le nombre d’abscisses à l’origine

a. 𝑓(𝑥) = 5(𝑥 − 15)2 − 100 b. 𝑓(𝑥) = −4𝑥2 + 14

c. 𝑦 = (𝑥 + 18)2 − 8 d. 𝑓(𝑥) = 6(𝑥 − 7)2

e. 𝑦 = −1

9(𝑥 + 4)2 − 36


18

7. Détermine l’équation de la fonction quadratique représentée par chaque parabole.

a. b.

c. d.

8. Détermine l’équation de la fonction quadratique qui a les caractéristiques suivantes :

a. le sommet à (0, 0) et qui passe par le point (6, −9)

b. le sommet à (0, −6) et qui passe par le point (3, 21)

c. le sommet à (2, 5) et qui passe par le point (4, −11)

d. le sommet à (−3, −10) et qui passe par le point (2, −5)

9. Le point (4, 16) est un point faisant partie du graphique 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Que sera la

valeur de cette coordonnée si on fait subir les transformations suivantes :

a. une translation horizontale de 5 unités vers la gauche et une translation verticale

de 8 unités vers le haut.

b. un étirement verticale d’un facteur de 1

4, et une réflexion verticale.

c. une réflexion verticale et une translation horizontale de 10 unités vers la droite.

d. un étirement vertical d’un facteur de 3 et une translation verticale de 8 unités vers

le bas.

10. Décris les transformations appliquées à la fonction 𝑦 = 𝑥2 afin d’obtenir la fonction

𝑦 = 20 − 5𝑥2.


19

11. Indique le nombre d’abscisses à l’origine de chaque fonction. Comment le sais-tu?

Indique si chaque abscisse à l’origine est positive, négative ou nulle.

a. une fonction quadratique dont l’axe de symétrie est 𝑥 = 0 et dont le maximum est

8.

b. une fonction quadratique dont le sommet est situé au point (3, 1) et qui passe par

le point (1, −3).

c. une fonction quadratique dont l’image est 𝑦 ≥ 1.

d. une fonction quadratique dont l’ordonnée à l’origine est 0 et dont l’axe de

symétrie est 𝑥 = −1.

12. Esquisse le graphique d’une fonction quadratique ayant les caractéristiques données.

Indique les coordonnées de trois points du graphique et détermine l’équation de la

fonction.

a. les abscisses à l’origine sont −1 et 3 et l’image est 𝑦 ≥ −4.

b. une des abscisses à l’origine est −5 et le sommet se trouve au point (−3, −4).

c. l’axe de symétrie est 𝑥 = 1, le minimum est 2 et le graphique passe par le point (−1, 6).

d. le sommet se trouve au point (2, 5) et l’ordonnée à l’origine est 1.

13. Détermine la valeur de 𝑐 qui fera de l’expression un carré parfait.

a. 𝑥2 + 6𝑥 + 𝑐 b. 𝑥2 − 4𝑥 + 𝑐

c. 𝑥2 + 14𝑥 + 𝑐 d. 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑐

14. Écris chaque fonction sous sa forme canonique en complétant le carré. Détermine le

sommet à partir de ta réponse et dessine le graphique.

a. 𝑦 = 𝑥2 + 8𝑥 b. 𝑦 = 𝑥2 − 18𝑥 − 59

c. 𝑦 = 𝑥2 − 10𝑥 + 31 d. 𝑦 = 𝑥2 + 32𝑥 − 120

e. 𝑦 = 2𝑥2 − 12𝑥 f. 𝑦 = 6𝑥2 + 24𝑥 + 17

g. 𝑦 = 10𝑥2 − 160𝑥 + 80 h. 𝑦 = 3𝑥2 + 42𝑥 − 96

i. 𝑦 = −4𝑥2 + 16𝑥 j. 𝑦 = −20𝑥2 − 400𝑥 − 243

k. 𝑦 = −𝑥2 − 42𝑥 + 500 l. 𝑦 = −7𝑥2 + 182𝑥 − 70

15. Détermine la coordonnée du point maximum ou minimum des fonctions suivantes :

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 − 2 b. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 + 1

c. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 10𝑥 d. 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 8𝑥 − 3

e. 𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 + 3 f. 𝑦 = 2𝑥2 − 2𝑥 + 1

g. 𝑦 = −0,5𝑥2 + 10𝑥 − 3 h. 𝑦 = 3𝑥2 − 4,8𝑥

i. 𝑓(𝑥) = −0,2𝑥2 + 3,4𝑥 + 4,5 j. 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 5,8𝑥 − 3

16. Réécris chaque fonction sous sa forme canonique.

a. 𝑦 = 𝑥2 +3

2𝑥 − 7

b. 𝑦 = −𝑥2 −3

8𝑥

c. 𝑦 = 2𝑥2 −5

6𝑥 + 1


20

17. Le graphique 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 12𝑥 − 10 est représenté ci-dessous. Utilise le

graphique afin de déterminer l’équation de la fonction sous forme canonique.

Ensuite, vérifie ta réponse en complétant le carré de 𝑓(𝑥).

18. Dans chaque exemple de complétion de carré, trouve les erreurs, explique-les et

corrige-les.

a. 𝑦 = 𝑥2 + 8𝑥 + 30

𝑦 = (𝑥2 + 4𝑥 + 4) + 30

𝑦 = (𝑥 + 2)2 + 30

b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 9𝑥 − 55

𝑓(𝑥) = 2(𝑥2 − 4,5𝑥 + 20,25 − 20,25) − 55

𝑓(𝑥) = 2[(𝑥2 − 4,5𝑥 + 20,25) − 20,25] − 55

𝑓(𝑥) = 2[(𝑥 − 4,5)2 − 20,25] − 55

𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 4,5)2 − 40,5 − 55

𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 4,5)2 − 95,5

c. 𝑦 = 8𝑥2 + 16𝑥 − 13

𝑦 = 8(𝑥2 + 2𝑥) − 13

𝑦 = 8(𝑥2 + 2𝑥 + 4 − 4) − 13

𝑦 = 8[(𝑥2 + 2𝑥 + 4) − 4] − 13

𝑦 = 8[(𝑥 + 2)2 − 4] − 13

𝑦 = 8(𝑥 + 2)2 − 32 − 13

𝑦 = 8(𝑥 + 2)2 − 45

d. 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 − 6𝑥

𝑓(𝑥) = −3(𝑥2 − 6𝑥 − 9 + 9)

𝑓(𝑥) = −3[(𝑥2 − 6𝑥 − 9) + 9] 𝑓(𝑥) = −3[(𝑥 − 3)2 + 9] 𝑓(𝑥) = −3(𝑥 − 3)2 − 27


21

19. Les gestionnaires d’une entreprise font une analyse des coûts. Ils constatent qu’il

serait plus rentable pour l’entreprise de fabriquer un plus grand nombre d’articles.

Toutefois, si elle en fabrique trop, les coûts de production vont augmenter en raison

de facteurs comme l’entreposage et les surplus de stocks. La fonction

𝐶(𝑛) = 75𝑛2 − 1800𝑛 + 60000 modélise les coûts de production de 𝑛 milliers

d’articles. Détermine le nombre d’articles qui permet de minimiser les coûts de

production de l’entreprise.

20. Un gymnaste saute sur un trampoline. Sa hauteur, ℎ, au-dessus à chaque saut en

mètres est donnée par la fonction ℎ(𝑡) = −5𝑡2 + 10𝑡 + 4, où 𝑡 représente le temps,

en secondes, où le gymnaste quitte le trampoline. Détermine la hauteur maximale du

gymnaste.

21. Un promoteur de spectacle tente d’établir le prix de billets pour son prochain

spectacle. Il sait que le dernier spectacle a vendu 2 000 billets à 70$ chaque. Après

avoir effectué un sondage, il a conclu que pour chaque réduction de 1$ du prix, il

pourrait vendre 50 billets de plus. Quel est le prix par billet qui générera le revenu

maximal? Quel est ce revenu?

22. Quelle est l’aire totale maximale que tu peux délimiter avec 450cm de ficelle si tu

dois former le périmètre des deux rectangles accolés comme-ci?

23. Une fermière doit construire un parc le long d’un grand bâtiment. Il y aura une

clôture sur trois côtés du parc et le quatrième sera formé par le bâtiment. La fermière

dispose de 90m de clôture. Quelles dimensions donneront la surface maximale?

24. Deux nombres ont une somme de 29 et un produit qui est un maximum. Que sont ces

deux nombres?


22

Résumé : la fonction quadratique

Quelles sont les deux formes principales que peut prendre l’équation de la fonction

quadratique?

Quelle est la forme de la courbe (le graphique) de la fonction quadratique?

Quelles coordonnées nous aident à dessiner le graphique de la fonction quadratique?

Que sont les propriétés de la fonction quadratique?

Effet Propriétés affectées

𝑎

Si 𝑎 > 0

Si 𝑎 < 0

Si 𝑎 > 1

Si 0 < 𝑎 < 1

ℎ

Si ℎ > 0

Si ℎ < 0

𝑘

Si 𝑘 > 0

Si 𝑘 < 0

Que sont les étapes nous permettant de transformer une fonction de forme générale à

canonique? Quelle raison avons-nous de la transformer?


23

Les valeurs où 𝑦 = 2

La fonction 𝑦 = 2𝑥2 + 6𝑥 + 3 est démontrée.

La fonction 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 2 est démontrée.

B. Les équations quadratiques

Lorsqu’on résout une équation, on trouve les valeurs de 𝑥 étant donné une valeur de

𝑦. On peut faire ceci graphiquement, algébriquement ou à l’aide de formules.

1. Résoudre à l’aide d’un graphique

Exemple

Résous 𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 2.

Nous recherchons toutes les valeurs de 𝑥 où 𝑦 = 2.

Exemple

Résous 2𝑥2 + 6𝑥 + 3 = 1 et 2𝑥2 + 6𝑥 + 3 = −3.

Est-ce que résoudre graphiquement est la meilleure option?

𝑥 = 0 est une solution 𝑥 = −4 est une solution


24

La fonction 𝑦 = 2𝑥2 + 6𝑥 + 2 est démontrée.

Nous pouvons aussi résoudre de façon semblable en transformant l’équation à une

de la forme 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 et en trouvant les racines.

2𝑥2 + 6𝑥 + 3 = 1 peut être réécrit 2𝑥2 + 6𝑥 + 2 = 0 et ensuite on trouve les

racines.

2. Résoudre algébriquement une équation canonique

a. les équations canoniques

Étant donné la fonction 𝑦 = 𝑥2, quels valeurs de 𝑥 donnera 𝑦 = 9? (ou écrit

différemment, résous 𝑥2 = 9)

Une solution à cette équation est que 𝑥 = 3 puisque 32 = 9. Il existe, par

contre, une autre solution : celle où 𝑥 = −3 puisque (−3)2 = 9.

Lorsqu’on résous algébriquement, on isole la variable 𝑥 et il faut inclure les

deux solutions. Lorsqu’on isole la variable 𝑥, on fait l’inverse de PEDMAS.

𝑥2 = 9 Pour éliminer l’exposant, on prend la racine carrée de

chaque côté de l’équation

√𝑥2 = ±√9 On ajoute le ± afin d’inclure les deux solutions possibles

𝑥 = ±3 On simplifie

Exemple

Résous 𝑥2 − 4 = 12.


25

Exemple

Résous 5𝑥2 + 2 = 17.

Exemple

Résous −4(𝑥 + 1)2 + 3 = −6

Comment sait-on si une équation ne possède aucune solution?

Exemple

Laquelle des deux équations ne possède pas de solutions?

(𝑥 − 3)2 + 4 = 2 −(𝑥 + 2)2 + 2 = −3


26

b. résoudre par factorisation

Lorsqu’on résout par factorisation, il faut s’assurer que notre équation soit égale à

zéro. Une fois qu’on a la forme 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, on factorise celle-ci et si le

produit de deux facteurs est zéro, ceci veut dire qu’un des deux facteurs est zéro.

C’est-à-dire, si 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0 alors la seule façon que cette équation soit vraie est si,

soit 𝑎 = 0 ou soit 𝑏 = 0.

i. décomposer en facteurs

Exemple

Résous 𝑥2 + 3𝑥 = 0

Note : Il existe un facteur en commun.

Exemple

Résous 𝑥2 + 4𝑥 − 21 = 0

Note : c’est un trinôme quadratique. Utilise la méthode produit/somme.


27

Exemple

Résous 3𝑥2 − 2𝑥 = 8

Note : assurez-vous que l’équation soit égale à 0 avant de factoriser.

Exemple

Résous (𝑥 − 8)2 + 2(𝑥 − 8) = −1

Note : il est parfois utile de faire une substitution avant de commencer.

𝑚 = 𝑥 − 8

𝑚2 + 2𝑚 = −1


28

Exemple

Résous 1

2𝑥2 −

3

4𝑥 =

5

4

Note : aimez-vous les fractions?

ii. différence de deux carrés

Exemple

Résous 𝑥2 − 9 = 0

𝑥2 − 9 = 0 (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 0 En factorisant une différence de deux carrés,

les facteurs sont la somme et la différence des

racines de chaque terme

𝑥 − 3 = 0 et 𝑥 + 3 = 0 Pour que l’équation soit vraie, il faut que

soit, le premier facteur égal 0 ou le deuxième égal 0.

𝑥 = 3 et 𝑥 = −3

Exemple

Résous 𝑥2 − 13 = 3


29

Exemple

Résous (𝑥2 + 8𝑥 + 9)2 − 4𝑥2 = 0

Note : ne développez pas les termes


30

c. résoudre utilisant la formule quadratique

Étant donné une équation de la forme 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, complète le carré

ensuite isole 𝑥 afin de résoudre toutes les équations de la forme générale.

Qu’est-ce que le discriminant? Que dit-il au sujet du nombre de racines?

Une formule quadratique modifiée :

https://youtu.be/7z1yD67BFYM


31

d. l’application des fonctions quadratiques

Exemple

On construit un enclos rectangulaire pour nos chèvres. Nous voulons qu’un côté

mesure 10m de plus que l’autre. Si l’aire de l’enclos est de 375𝑚2, que sont les

dimensions de celui-ci?

Exemple

Un magasin peut vendre 40 paires de souliers par semaine à un prix de 55$. Le

gérant remarque que pour chaque diminution de 3$, il peut vendre 2 paires de plus

par semaine. Détermine le prix par paire de soulier où le gérant aura un revenu de

2 000$. Est-ce que le gérant peut faire un plus grand revenu? Quel est le revenu

maximum?


32

Pratique : les équations quadratiques

1. Combien d’abscisses à l’origine chaque fonction quadratique contient-elle? Nommez

les racines.

a. b.

c. d.

2. Résous chaque équation en dessinant le graphique ou à l’aide de la technologie.

a. 0 = 𝑥2 − 5𝑥 − 24 b. 0 = −2𝑟2 − 6𝑟

c. ℎ2 + 2ℎ + 5 = 0 d. 5𝑥2 − 5𝑥 = 30

e. −𝑧2 + 4𝑧 = 4 f. 0 = 𝑡2 + 4𝑡 + 10

3. Durant un match de la Ligue canadienne de football, la trajectoire du ballon lors d’un

certain botté d’envoi a été modélisé par la fonction ℎ(𝑑) = −0,02𝑑2 + 2,6𝑑 − 66,5,

où ℎ est la hauteur du ballon et 𝑑 sa distance horizontale. Ces valeurs sont exprimées

en verges. Quelle distance horizontale le ballon va-t-il parcourir avant de toucher le

sol?

4. La somme de deux nombres est 9 et leur produit est 20. Établit une équation

quadratique sous forme générale et détermine la valeur des deux nombres.

5. Le produit de deux nombres entiers pairs consécutifs est 168. Quels sont ces deux

nombres?

6. Décompose les expressions suivantes en facteurs.

a. 𝑥2 + 𝑥 − 20 b. 𝑥2 − 12𝑥 + 36 c. 1

4𝑥2 + 2𝑥 + 3

d. 2𝑥2 + 12𝑥 + 18 e. 4𝑦2 − 9𝑥2 f. 0,36𝑝2 − 0,49𝑞2

g. 1

4𝑠2 −

9

25𝑡2 h. 0,16𝑡2 − 16𝑠2


33

7. Résous chaque équation à l’aide des facteurs.

a. (𝑥 + 3)(𝑥 + 4) = 0 b. (𝑥 − 2) (𝑥 +1

2) = 0

c. (𝑥 + 7)(𝑥 − 8) = 0 d. 𝑥(𝑥 + 5) = 0

e. (3𝑥 + 1)(5𝑥 − 4) = 0 f. 2(𝑥 − 4)(7 − 2𝑥) = 0

g. 10𝑛2 − 40 = 0 h. 1

4𝑥2 +

5

4𝑥 + 1 = 0

i. 3𝑤2 + 28𝑤 + 9 = 0 j. 8𝑦2 − 22𝑦 + 15 = 0

k. 𝑑2 +5

2𝑑 +

3

2= 0 l. 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 0

m. 𝑘2 − 5𝑘 = 0 n. 9𝑥2 = 𝑥 + 8

o. 8

3𝑡 + 5 = −

1

3𝑡2 p.

25

49𝑦2 − 9 = 0

q. 2𝑠2 − 4𝑠 = 70 r. 4𝑞2 − 28𝑞 = −49

s. 42 = 𝑥2 − 𝑥 t. 𝑔2 = 30 − 7𝑔

u. 𝑦2 + 4𝑦 = 21 v. 3 = 6𝑝2 − 7𝑝

w. 3𝑥2 + 9𝑥 = 30 x. 2𝑧2 = 3 − 5𝑧

8. Les dimensions d’un rectangle sont 𝑥 + 10 et 2𝑥 − 3, où 𝑥 est mesuré en

centimètres. Le rectangle a une aire de 54𝑐𝑚2. Quelles sont les dimensions du

rectangle?

9. Un martin pêcheur plonge vers l’eau afin d’attraper sa proie. La fonction

ℎ(𝑡) = 5𝑡2 − 30𝑡 + 45 représente sa hauteur en fonction du temps de sa descente.

Combien de temps prendra cet oiseau à atteindre une hauteur de 20m?

10. Résous chaque équation en complétant le carré.

a. 𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 0 b. 5𝑥2 − 20𝑥 − 1 = 0

c. −2𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 d. 1

2𝑥2 + 3𝑥 − 6 = 0

e. 𝑥2 + 10𝑥 + 4 = 0 f. 𝑥2 = 8𝑥 − 13

g. 3𝑥2 + 6𝑥 = −1 h. −2𝑥2 + 3 = −4𝑥

i. 𝑥2 − 8𝑥 − 4 = 0 j. −3𝑥2 + 4𝑥 = −5

k. 1

2𝑥2 − 5 = 6𝑥 l. 0,12𝑥 − 11 = −0,2𝑥2

m. −2

3𝑥2 − 𝑥 = 2 n. 6𝑥 + 1 = −

3

4𝑥2

11. Détermine le nombre et la nature des racines à l’aide du discriminant.

a. 𝑥2 − 7𝑥 + 4 = 0 b. 𝑠2 + 3𝑠 − 2 = 0

c. 𝑟2 + 9𝑟 + 6 = 0 d. 𝑛2 = 2𝑛 − 1

e. 3𝑦 + 2 = −7𝑦2 f. 4𝑡2 + 9 = −12𝑡


34

12. Résous à l’aide de la formule quadratique.

a. 7𝑥2 + 24𝑥 + 9 = 0 b. 4𝑝2 − 12𝑝 − 9 = 0

c. 3𝑞2 + 5𝑞 = 1 d. 2𝑚2 + 4𝑚 − 7 = 0

e. 2𝑗2 − 7𝑗 = −4 f. 16𝑔2 + 24𝑔 = −9

g. 3𝑥2 + 6𝑥 + 1 = 0 h. ℎ2 +ℎ

6−

1

2= 0

i. 0,2𝑚2 = −0,3𝑚 + 0,1 j. 4𝑦2 + 7 − 12𝑦 = 0

k. 𝑥

2+ 1 =

7𝑥2

2 l. 2𝑧2 = 6𝑧 − 1

13. Résous.

a. (𝑥 + 2)2 − (𝑥 + 2) = 42 b. 6(𝑥2 − 4𝑥 + 4)2 + (𝑥2 − 4𝑥 + 4) = 1

c. (4𝑗 − 2)2 − (2 + 4𝑗)2 = 0 d. 4(5𝑏 − 3)2 = 6 − 10(5𝑏 − 3)

e. 16(𝑥2 + 1)2 = 4(2𝑥)2 f. −𝑥2 + 50𝑥6 = 0

g. (𝑥2 + 4)2 + 𝑥2 = 26

14. Maria décide de construire un enclos à chevaux. Pour utiliser moins de matériaux,

elle décide de se servir d’un des murs de sa grange sur un côté au lieu d’y mettre une

clôture. Si elle a 30𝑚 de clôture et elle veut que l’enclos ait une aire de 100𝑚2, que

seront les dimensions de son enclos?

15. Si tu soustrais un nombre de la moitié de son carré, tu obtiens 11. Quel est le

nombre?

16. Une feuille de carton de 12𝑝𝑜 sur 30𝑝𝑜 sert à fabriquer une boîte sans couvercle. Il

faut découper quatre carrés congruents dans les coins de la feuille pour former les

côtés de la boîte. La base de la boîte a une aire de 208𝑝𝑜2. Quelles sont les

dimensions de la boîte?

17. La trajectoire d’un avion en papier peut être représentée par la fonction

ℎ(𝑡) = −1

4𝑡2 + 𝑡 + 3 où ℎ est la hauteur de l’avion au-dessus du sol, en mètres, et 𝑡

est la durée du vol, en secondes. Quelle est la durée totale du vol de l’avion en

papier?

18. Un traversier se rend à l’aéroport d’une île. Il transporte 2 480 personnes par jour à

un tarif de 3,70$ par personne. Selon un sondage, pour chaque diminution de 0,05$

du tarif, 40 personnes de plus prendront le traversier. À quelle tarif le traversier

générera-t-il un revenu de 9 246$?

19. À un prix de 20$, on peut vendre 5 exemplaire d’une certaine robe. Pour chaque

diminution de 1$, on vend une robe de plus. Quel est le revenu maximal que peut

générer la vente de cette robe?


35

Résumé : les équations quadratiques

Quelles sont les méthodes pour résoudre une équation quadratique? En quelles

circonstances est-il préférable d’utiliser chacune des méthodes? Quels sont les avantages

et inconvénients de chaque méthode?

Énumère les étapes pour chaque méthode.

Comment avons-nous trouvé la formule quadratique?


36

C. Les systèmes d’équations

Un système d’équation comporte plus d’une fonction. La résolution de ce système

est là où les fonctions se rencontrent. Graphiquement, il s’agit de l’intersection des

courbes. Algébriquement, nous trouvons les coordonnées de ces intersections.

1. Résoudre un système graphiquement

Nous allons voir deux systèmes d’équations :

le système d’équations linéaire-quadratique

Le système d’équations quadratique-quadratique

Pour résoudre un système d’équations de façon graphique, nous n’avons qu’à

dessiner les fonctions données et vérifier le point d’intersection des courbes.


37

Exemple

Pour résoudre le système 4𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 et 2𝑥2 + 8𝑥 − 𝑦 + 3 = 0, nous

isolons 𝑦 afin d’avoir une fonction 𝑦 = 𝑓(𝑥).

D’après le graphique, les points

d’intersections sont aux coordonnées (0, 3)

et (−2, −5).

Exemple

Résous le système suivant de façon graphique

2𝑥2 − 16𝑥 − 𝑦 = 35

2𝑥2 − 8𝑥 − 𝑦 = −11


38

2. Résoudre un système algébriquement

Pour résoudre un système d’équations algébriquement, on peut le faire par

substitution ou par élimination.

Exemple

Résous ce système d’équations.

5𝑥 − 𝑦 = 10

𝑥2 + 𝑥 − 2𝑦 = 0

Par substitution :

Isole une variable

𝑦 = 5𝑥 − 10

Substitue dans l’autre fonction

𝑥2 + 𝑥 − 2(5𝑥 − 10) = 0

Résous

𝑥2 − 9𝑥 + 20 = 0

(𝑥 − 4)(𝑥 − 5) = 0

𝑥 = 4 et 𝑥 = 5

Substituer dans une fonction pour déterminer 𝑦

𝑦 = 5(4) − 10 𝑦 = 5(5) − 10

𝑦 = 10 𝑦 = 15

Les solutions sont donc (4, 10) et (5, 15).

Par élimination :

On multiplie une fonction par un nombre nous permettant d’avoir le même

montant d’une variable dans la deuxième fonction.

2(5𝑥 − 𝑦) = (10)2 En multipliant par 2, on peut avoir le même montant de 𝑦

On additionne ou soustrait les deux fonctions afin d’éliminer le terme.

10𝑥 − 2𝑦 = 20

− 𝑥2 + 𝑥 − 2𝑦 = 0

−𝑥2 + 9𝑥 = 20

On résout la fonction :

𝑥2 − 9𝑥 + 20 = 0 (𝑥 − 4)(𝑥 − 5) = 0

𝑥 = 4 et 𝑥 = 5

On trouve les valeurs de 𝑦 associés à chaque 𝑥 en substituant dans une fonction.

Les solutions sont donc (4, 10) et (5, 15).


39

Exemple

Résous le système d’équations

3𝑥 + 𝑦 = −9

4𝑥2 − 𝑥 + 𝑦 = −9


40

Pratique : les systèmes d’équations

1. Est-ce que (0, −5) et (3, −2) sont des solutions au système d’équations? Comment

le sais-tu?

𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 − 5

𝑦 = 𝑥 − 5

2. Détermine les solutions du système.

a. b.

c.

3. Résous chaque système graphiquement. Vérifie tes solutions.

a. 𝑦 = 𝑥 + 7 b. 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5

𝑦 = (𝑥 + 2)2 + 3 𝑔(𝑥) =1

2(𝑥 − 4)2 + 1

c. 𝑥2 + 16𝑥 + 𝑦 = −59 d. 𝑥2 + 𝑦 − 3 = 0

𝑥 − 2𝑦 = 60 𝑥2 − 𝑦 + 1 = 0

a. 𝑦 = 𝑥2 − 10𝑥 + 32

𝑦 = 2𝑥2 − 32𝑥 + 137

4. Résous chaque système d’équations algébriquement. Vérifie tes solutions.

a. 𝑥2 − 𝑦 + 2 = 0 b. 7𝑑2 + 5𝑑 − 𝑡 − 8 = 0

4𝑥 = 14 − 𝑦 10𝑑 − 2𝑡 = −40

c. 𝑦 + 2𝑥 = 𝑥2 − 6 d. 6𝑥2 − 3𝑥 = 2𝑦 − 5

𝑥 + 𝑦 − 3 = 2𝑥2 2𝑥2 + 𝑥 = 𝑦 − 4

e. 2𝑝2 = 4𝑝 − 2𝑚 + 6 f. 4ℎ2 − 8𝑡 = 6

5𝑚 + 8 = 10𝑝 + 5𝑝2 6ℎ2 − 9 = 12𝑡


41

5. Détermine les valeurs de 𝑚 et de 𝑛 si (2, 8) est une solution au système d’équations

suivant :

𝑚𝑥2 − 𝑦 = 16

𝑚𝑥2 + 2𝑦 = 𝑛

6. Ce triangle a un périmètre de 60𝑚. Il a une aire de 10𝑦 mètres carrés. Quelles sont

les dimensions du triangle?

7. Deux nombres entiers ont une différence de −30. Le plus grand nombre plus 3

additionné au carré du plus petit nombre donne 189. Que sont les nombres?


42

Résumé : les systèmes d’équations

Qu’est-ce qu’un système d’équations?

Que sont les méthodes et les étapes pour résoudre un système d’équations?


43

II. Les inégalités

A. Les inéquations linéaires à deux variables

Lorsqu’on représente graphiquement une inéquation, le graphique résultant comporte

une droite ainsi qu’une région ombrée pour démontrer l’inéquation.

La droite dépend de l’expression.

Si l’inéquation est ≤ ou ≥, alors la droite est une ligne entière.

Si l’inéquation est < ou >, alors la droite est une ligne pointillée.

La position de la région ombrée dépend du signe de l’inéquation.

Si l’inéquation est < ou ≤, alors la région ombrée sera dessous la droite.

Si l’inéquation est > ou ≥, alors la région ombrée sera par-dessus la droite.

Exemple

Représente graphiquement 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 6. Détermine si le point (−2, 4) fait partie de

la solution.

Nous pouvons dessiner le graphique de 2 façons :

- Avec une équation 𝑦 ≤ 𝑚𝑥 + 𝑏 où 𝑚 est la pente et 𝑏 est l’ordonnée à l’origine

- En déterminant les coordonnées à l’origine

Isolons 𝑦 : Trouvons lorsque 𝑥 = 0 et 𝑦 = 0

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 6 2(0) + 3𝑦 = 6 2𝑥 + 3(0) = 6

3𝑦 ≤ −2𝑥 + 6 3𝑦 = 6 2𝑥 = 6

𝑦 ≤ −2

3𝑥 + 2 𝑦 = 2 𝑥 = 3

(0, 2) (3, 0)

Dessinons le graphique :


44

Exemple

Représente graphiquement 10𝑥 − 5𝑦 > 15.

B. Les inéquations quadratiques à une variable

Nous pouvons résoudre ces types de problèmes graphiquement ou en trouvant les

racines et en analysant les cas.

Exemple

Résous 𝑥2 − 2𝑥 − 3 ≤ 0.

Graphiquement :

Étant donné la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3

et son graphique, nous pouvons voir que

𝑓(𝑥) ≤ 0 entre les valeurs de

𝑥 = −1 et = 3 .

La solution est donc, {𝑥𝜖ℝ| − 1 ≤ 𝑥 ≤ 3}


45

En factorisant et utilisant des points d’essai :

𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0

(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = 0

Les racines sont 𝑥 = −1 et 𝑥 = 3

Vérifie chaque intervalle autour des racines :

Intervalle 𝑥 < −1 −1 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑥 > 3

Point d’essai (𝑎)

𝑓(𝑎)

Est-ce que 𝑓(𝑎) ≤ 0?

Par analyse de cas :

(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) ≤ 0

Pour que cet énoncé soit vraie soit que le premier terme est négatif et le deuxième est

positif ou l’inverse est vrai.

𝑥 + 1 ≤ 0 𝑥 − 3 ≥ 0 ou 𝑥 + 1 ≥ 0 𝑥 − 3 ≤ 0

𝑥 ≤ −1 𝑥 ≥ 3 𝑥 ≥ −1 𝑥 ≤ 3

Sur une droite numérique :

Pas d’intersection, pas de solution. L’intersection est la solution.

{𝑥𝜖ℝ| − 1 ≤ 𝑥 ≤ 3}

Exemple

Résous −𝑥2 + 𝑥 + 12 < 0.


46

Exemple

Résous 𝑥2 − 4 > 3𝑥 de trois différentes façons.


47

C. Les inéquations quadratiques à deux variables

Les étapes pour résoudre une inéquation quadratique sont les mêmes que pour une

inéquation linéaire sauf il faut dessiner la fonction quadratique.

Exemple

Représente graphiquement l’inéquation 𝑦 < 𝑥2 − 2𝑥 − 3 et détermine si le point (0, 0) fait partie de la solution.


48

Pratique : les inégalités

1. Représente graphiquement chaque inéquation.

a. 𝑦 ≤ −2𝑥 + 5 b. 3𝑦 − 𝑥 > 8 c. 4𝑥 + 2𝑦 − 12 ≥ 0

d. 4𝑥 − 10𝑦 < 40 e. 𝑥 ≥ 𝑦 − 6 f. 6𝑥 − 5𝑦 ≤ 18

g. −5𝑥 + 12𝑦 − 28 > 0 h. 𝑥 ≤ 6𝑦 + 11 i. 3,6𝑥 − 5,3𝑦 + 30 ≥ 4

2. Détermine les solutions des inéquations suivantes :

a. −5𝑦 ≤ 𝑥 b. 7𝑥 − 2𝑦 > 0

3. Détermine l’inéquation qui correspond au graphique.

a. b.

c. d.

4. Amaruq travaille à temps partiel à 12$ par heure. De plus, elle confectionne des

mocassins qui lui rapportent 12$ par paire. Amaruq veut gagner au moins 250$ par

semaine. Indique, à l’aide d’un graphique, trois façons dont elle pourrait accomplir

son but.

5. L’Alberta Foundation for the Arts offer des subventions aux artistes. Camille a reçu

une subvention de 3 000$. Elle ne veut pas dépenser plus que ce montant pour du

soutien au marketing et pour de la formation. Elle doit payer 30$ par heure pour la

formation et le soutien au marketing coûte 50$ par heure. Représente graphiquement

l’inéquation et nomme quelques options pour le montant qu’elle dépensera sur

chaque dépense.


49

6. Soit le graphique de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3. Quelle est la solution des

quatre inéquations suivantes ?

a. 𝑥2 − 4𝑥 + 3 ≤ 0 b. 𝑥2 − 4𝑥 + 3 ≥ 0

c. 𝑥2 − 4𝑥 + 3 > 0 d. 𝑥2 − 4𝑥 + 3 < 0

7. La valeur indiquée est-elle une solution de l’inéquation ?

a. 𝑥 = 4 pour 𝑥2 − 3𝑥 − 10 > 0 b. 𝑥 = 1 pour 𝑥2 + 3𝑥 − 4 ≥ 0

c. 𝑥 = −2 pour 𝑥2 + 4𝑥 + 3 < 0 d. 𝑥 = −3 pour −𝑥2 − 5𝑥 − 4 ≤ 0

8. Utilise les racines et des points d’essai pour déterminer la solution de chaque

inéquation.

a. 𝑥(𝑥 + 6) ≥ 40 b. −𝑥2 − 14𝑥 − 24 < 0

c. 6𝑥2 > 11𝑥 + 35 d. 8𝑥 + 5 ≤ −2𝑥2

9. Utilise l’analyse de cas pour déterminer la solution de chaque inéquation.

a. 𝑥2 − 2𝑥 − 15 < 0 b. 𝑥2 + 13𝑥 > −12

c. −𝑥2 + 2𝑥 + 5 ≤ 0 d. 2𝑥2 ≥ 8 − 15𝑥

10. Utilise un graphique pour déterminer la solution de chaque inéquation.

a. 𝑥2 + 14𝑥 + 48 ≤ 0 b. 𝑥2 ≥ 3𝑥 + 28

c. −7𝑥2 + 𝑥 − 6 ≥ 0 d. 4𝑥(𝑥 − 1) > 63

11. Résous chaque inéquation avec la méthode de ton choix. Explique pourquoi tu as

utilisé cette stratégie.

a. 𝑥2 − 10𝑥 + 16 < 0 b. 12𝑥2 − 11𝑥 − 15 ≥ 0

c. 𝑥2 − 2𝑥 − 12 ≤ 0 d. 𝑥2 − 6𝑥 + 9 > 0

e. 𝑥2 − 3𝑥 + 6 ≤ 10𝑥 f. 2𝑥2 + 12𝑥 − 11 > 𝑥2 + 2𝑥 + 13

g. 𝑥2 − 5𝑥 < 3𝑥2 − 18𝑥 + 20 h. −3(𝑥2 + 4) ≤ 3𝑥2 − 5𝑥 − 68

12. Pour faire de la pêche sur glace, nous devons parfois conduire notre véhicule sur le

lac afin de se rendre là où nous allons pêcher. L’inéquation 9𝑔2 ≥ 750 donne

l’épaisseur de la glace, 𝑔 en cm, qui peut supporter un véhicule d’une masse de

750𝑘𝑔. Quelle est l’épaisseur minimale de la glace pouvant supporter ce véhicule ?


50

13. Quelles paires ordonnées font partie de l’ensemble de solution de l’inéquation

donnée ?

a. 𝑦 < 𝑥2 + 3 {(2, 6), (4, 20), (−1, 3), (−3, 12)}

b. 𝑦 ≤ −𝑥2 + 3𝑥 − 4 {(2, −2), (4, −1), (0, −6), (−2, −15)}

c. 𝑦 > 2𝑥2 + 3𝑥 + 6 {(−3, 5), (0, −6), (2, 10), (5, 40)}

d. 𝑦 ≥ −1

2𝑥2 − 𝑥 + 5 {(−4, 2), (−1, 5), (1; 3,5), (3; 2,5)}

14. Écris une inéquation qui correspond au graphique.

a. b.

c. d.

15. Représente graphiquement chaque inéquation.

a. 𝑦 < −2(𝑥 − 1)2 − 5 b. 𝑦 > (𝑥 + 6)2 + 1

c. 𝑦 ≥2

3(𝑥 − 8)2 d. 𝑦 ≤

1

2(𝑥 + 7)2 − 4

e. 𝑦 ≤ 𝑥2 + 𝑥 − 6 f. 𝑦 > 𝑥2 − 5𝑥 + 4

g. 𝑦 ≥ 𝑥2 − 6𝑥 − 16 h. 𝑦 < 𝑥2 + 8𝑥 + 16

16. Écris une inéquation qui correspond au graphique.

a. b.


51

Résumé : les inégalités

Comment représente-t-on les solutions d’une inéquation?

La ligne sur un graphique d’inéquation peut être pointillée ou pleine. Explique.

Nomme les différentes façons et explique les étapes de résoudre une inéquation.

Comment les inéquations linéaires et quadratiques sont-elles semblables? Comment

diffèrent-elles?


52

III. La trigonométrie

A. Les angles en position standard (ou normale)

La position initiale de la demi-droite, sur l’axe des x, définit le côté initial de l’angle.

Sa position finale, après une rotation autour de l’origine, définit le côté terminal de

l’angle.

Pour dessiner un angle nous commençons au côté initial et après une rotation dans le

sens antihoraire du nombre de degrés appropriés, nous dessinons le côté terminal.

Exemple

Sur le plan cartésien suivant, dessinez les angles 60°, 135° et 730°.

Pour dessiner un angle négatif, la rotation se fait dans le sens horaire.

Exemple

Sur le plan cartésien, dessinez les angles −45°, −225° et −600°.


53

Un angle en position standard se retrouve dans un des quatre quadrants avec une

valeur d’angle entre 0° et 360°.

Exemple

Quelle est l’angle en position standard des angles −200° et 900°?

B. Les angles de référence en position normale

Un angle de référence est l’angle aigu formé par le côté terminal et l’axe des x.

Cet angle est toujours positif et est compris entre 0° et 90°.

Exemple

Dessinez l’angle de référence de 20° dans les quatre quadrants. Que sont les valeurs

de ces angles en position standard?


54

C. Les rapports trigonométriques d’angles 30°, 45°, 60°

Dessine un triangle rectangle avec un angle de 30°. Quel est le rapport entre la

longueur du côté opposé de cet angle et de l’hypoténuse? Quel rapport

trigonométrique est associé à ce rapport? Quelle est la longueur du côté adjacent?

Dessine un triangle rectangle avec un angle de 60°. Quel est le rapport entre la

longueur du côté adjacent de cet angle et de l’hypoténuse? Quel rapport

trigonométrique est associé à ce rapport? Quelle est la longueur du côté opposé?

Étant donné un triangle rectangle ayant un angle de 45°, quel est le rapport entre le

côté opposé à cet angle et l’hypoténuse? Est-il possible de déterminer la valeur

exacte de ce rapport?


55

Si on place ces triangles sur un plan cartésien et que l’hypoténuse a une longueur de

1, que pouvons-nous dire des valeurs des cosinus et des sinus? Quel lien existe-t-il

entre les variables 𝑥 et 𝑦 et les fonctions sinus et cosinus?

Comment ferions-nous pour calculer la valeur de la fonction tangente utilisant les

valeurs de 𝑥 et 𝑦 du plan cartésien? Des valeurs de sinus et cosinus?

Exemple

Quelles sont les valeurs des rapports trigonométriques suivants?

sin 60° cos 45° tan 30°


56

Pour des angles différents que ceux des triangles connus, il faut utiliser les angles de

référence et déterminer dans quels quadrants se retrouvent les angles.

Dans quels quadrants :

Fonction Quadrants où la fonction

est positive

Quadrants où la fonction

est négative

sinus

cosinus

tangente

Une fois le quadrant connu, nous savons si la valeur sera positive ou négative.

Exemple

Trouvez la valeur de sin 210°.

L’angle de référence est 30° (soit 30° sous l’axe des 𝑥).

Donc, le sin 30° est 1

2.

Puisque l’angle se retrouve dans le quadrant III, le sinus de l’angle est donc négatif.

Alors, sin 210° = −1

2

Exemple

Trouvez la valeur exacte des rapports suivants :

cos 300° tan 135°

https://youtu.be/uuvvKomNlfU


57

Exemple

Un arbre de 12,5m tombe et forme un angle de 45° avec le sol. Quelle est la hauteur

exacte du sommet de l’arbre avec le sol?

Nous pouvons aussi utiliser les rapports trigonométriques pour déterminer l’angle.

Exemple

Quelle est la valeur de l’angle qui donnera sin 𝜃 = −√3

2?

L’angle de référence de 60° nous donne un rapport de √3

2. Puisque le sinus est négatif

dans deux quadrants (III et IV), il y aura deux solutions à ce type de question.

Dans le quadrant III, l’angle en position standard est 240°, alors 𝜃 = 240°.

Dans le quadrant IV, l’angle en position standard est 300°, alors 𝜃 = 300°.

Exemple

Déterminez les solutions aux équations.

cos 𝜃 = −1

2

3 tan 𝜃 − 3 = 0

https://youtu.be/zVpsNK7x1eg

https://youtu.be/tFRIU0erMl8


58

Résumé : les angles et les rapports trigonométriques

Un angle en position standard est :

Un angle de référence est :

Dans le plan cartésien, le cosinus est associé à l’axe des ____ et le sinus est associé à

l’axe des ____.

Deux façons de représenter tan 𝜃 sont :

Que sont les valeurs des rapports trigonométriques selon les angles donnés :

0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°

sin 𝜃

cos 𝜃

tan 𝜃

Dessine un plan cartésien et indique où les trois rapports trigonométriques sont positifs et

où ils sont négatifs.


59

Pratique : les angles et les rapports trigonométriques

1. Indique si chaque angle 𝜃 est en position standard.

a. b.

c. d.

2. Sans mesurer, associe chaque angle en position standard au schéma approprié.

a. 150° b. 180° c. 45° d. 320° e. 215° f. 270°

3. Dans quel quadrant se situe le côté terminal de chaque angle en position standard?

a. 48° b. 300° c. 185°

d. 75° e. 220° f. 160°


60

4. Esquisse l’angle en position standard pour chaque mesure donnée.

a. 70° b. 310° c. 225° d. 165°

5. Quel est l’angle de référence de chaque angle en position standard?

a. 170° b. 345° c. 72° d. 215°

6. Pour chaque angle de référence, détermine la mesure des trois autres angles en

position standard dans l’intervalle 0 ≤ 𝜃 < 360°.

a. 45° b. 60° c. 30° d. 75°

7. Détermine la mesure de chaque angle en position standard à partir de son angle de

référence et du quadrant où se retrouve son côté terminal.

a. 72° dans le quadrant IV

b. 56° dans le quadrant II

c. 18° dans le quadrant III

d. 35° dans le quadrant IV

8. Remplis le tableau suivant avec les valeurs exactes.

9. Un bras d’essuie-glace mesure 50cm de longueur. Il effectue une rotation à partir de

sa position initiale de 30°, en position standard, à sa position finale de 150°.

Détermine la distance horizontale exacte parcourue par l’extrémité du bras d’essuie-

glace en un balayage.

10. Une grue de 10m soulève des matériaux et els dépose sur un toit à réparer. Détermine

le déplacement vertical exact de l’extrémité de la grue lorsque l’opérateur abaisse la

grue de 60° à 30°.

11. Détermine les valeurs exactes des rapports trigonométriques suivants.

a. sin 45° b. cos 60° c. tan 45° d. sin 30°

e. cos 135° f. tan 210° g. sin 300° h. cos 330°

i. tan 240°

12. Résous les équations suivantes.

a. sin 𝜃 =√3

2 b. cos 𝜃 =

√3

2 c. tan 𝜃 = −1 d. sin 𝜃 = −

1

2

e. cos 𝜃 = −1 f. tan 𝜃 = −√3 g. sin 𝜃 − 1 = −1

2

h. 2 cos 𝜃 + 1 = 0 i. √3 tan 𝜃 + 2 = 1


61

13. Détermine la valeur exacte du sinus, du cosinus et de la tangente de chaque angle.

a. b.

c. d.

14. Écris les valeurs exactes de sin 𝜃, cos 𝜃 et tan 𝜃 dans chaque cas donné.

a. b.

c. d.

15. Indique dans quel quadrant se trouve le côté terminal de l’angle 𝜃 dans chaque cas.

a. cos 𝜃 < 0 et sin 𝜃 > 0 b. cos 𝜃 > 0 et tan 𝜃 > 0

c. sin 𝜃 < 0 et cos 𝜃 < 0 d. tan 𝜃 < 0 et cos 𝜃 > 0

16. Détermine les valeurs exacte de sin 𝜃, cos 𝜃 et tan 𝜃 de l’angle en position standard

dont le côté terminal passe par le point indiqué.

a. 𝑃(−5, 12) b. 𝑃(5, −3) c. 𝑃(6, 3) d. 𝑃(−24, 10)


62

17. Sans l’aide de ta calculatrice, établis si chaque rapport trigonométrique est positif ou

négatif.

a. sin 155° b. cos 320° c. tan 120° d. cos 220°

18. Soit un angle, 𝜃, en position standard tel que sin 𝜃 =5

13. Détermine les valeurs

possibles de 𝜃 dans l’intervalle 0° ≤ 𝜃 < 360°.

19. Détermine la valeur exacte des deux autres rapports trigonométriques dans chaque

cas.

a. cos 𝜃 = −2

3 où 𝜃 est dans le quadrant II.

b. sin 𝜃 =3

5 où 𝜃 est dans le quadrant I.

c. tan 𝜃 = −4

5 où 𝜃 est dans le quadrant IV.

d. sin 𝜃 = −1

3 où 𝜃 est dans le quadrant III.

e. tan 𝜃 = 1 où 𝜃 est dans le quadrant III.

20. Le point (−9, 4) se situe sur le côté terminal de l’angle 𝜃. Quelle est la mesure de

l’angle 𝜃 en position normale.

21. Soit cos 𝜃 =1

5 et tan 𝜃 = 2√6. Détermine la valeur exacte de sin 𝜃.


63

D. La loi des sinus

Dessine un triangle avec 3 angles aigus (pas tous 60°). Quel est le rapport entre le

sinus des angles et de leur côté opposé?

Dessine un triangle avec un angle obtus. Quel est le rapport entre le sinus des angles

et de leur côté opposé?

Quelle est la loi des sinus?


64

Exemple

Quelle distance sépare le chalet de Pudluk à la tour de communications?

Exemple

Dans le Δ𝑃𝑄𝑅, ∠𝑃 = 36°, 𝑝 = 24,8𝑚 et 𝑟 = 39,65𝑚. Résous le triangle. Vérifie ta

solution.

https://youtu.be/uaaM5qC6wSE

https://youtu.be/XyUdB7v2ooo


65

Dans quels cas pouvons-nous utiliser la loi du sinus?

Type de triangle Dessin Pouvons-nous utiliser la

loi du sinus?

AAA

AAC

ACA

CAA

ACC

CAC

CCA

CCC


66

Le cas ambigu

Il s’agit de cas où les données nous permettent de dessiner plus d’une sorte de

triangle ou un triangle qui n’existe pas. Dépendant des données, il peut y avoir une

solution, deux solutions ou aucune solution.

Ces types de triangles surviennent dans les triangles du type ACC ou CCA.

Exemple

Dessinez les deux triangles possédant les caractéristiques suivantes :

Δ𝐴𝐵𝐶 ∶ ∠𝐴 = 40°, 𝑎 = 55𝑐𝑚, 𝑏 = 70𝑐𝑚

Pour déterminer le nombre de solutions, il s’agit de comparer nos côtés à la hauteur

du triangle. La hauteur est déterminée par rapport au sommet des côtés connus et

forme un angle droit avec le côté inconnu.

Dessinez et calculez la hauteur du triangle précédent.

Généralisez une formule pour calculer la hauteur de tous les triangles.

https://youtu.be/qvRSMTIVf18


67

Dépendant des longueurs, il y aura un nombre différent de solutions.

Si l’angle donné est aigu : Si l’angle donné est obtus :

𝑎 < ℎ ∶ aucune solution 𝑎 < 𝑏 ∶ aucune solution

𝑎 = ℎ ∶ une solution 𝑎 > 𝑏 ∶ une solution

𝑏 > 𝑎 > ℎ ∶ deux solutions

𝑎 > 𝑏 ∶ une solution

Exemple

Détermine le nombre de solutions et trouve la longueur du côté inconnu du triangle

suivant. Δ𝐷𝐸𝐹 : ∠𝐷 = 38°, 𝑑 = 5,5𝑚, 𝑒 = 7,8𝑚

https://youtu.be/zCYAtH9HEwY


68

E. La loi du cosinus

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ⋅ cos 𝐴

Quels types de triangles nous permettent d’utiliser la loi du cosinus?

Exemple

Résous le triangle suivant. Δ𝐺𝐻𝐼 ∶ 𝑔 = 14,0𝑐𝑚, ∠𝐼 = 25°, ℎ = 9,0𝑐𝑚.

Examinez vos données. Est-ce que les valeurs des angles et des côtés ont du sens?

https://youtu.be/KwXmejR-Y4I


69

Exemple

Résous le triangle suivant. Δ𝐽𝐾𝐿 ∶ 𝑗 = 3,5𝑘𝑚, 𝑘 = 5,9𝑘𝑚, 𝑙 = 2,6𝑘𝑚

https://youtu.be/a_9SWOi-eMI


70

Résumé : les lois des sinus et du cosinus

Dans quels cas pouvons-nous utiliser la loi des sinus?

Dans quels cas pouvons-nous utiliser la loi du cosinus?

Décrivez les cas où il est possible d’avoir un cas ambigu. Dessinez les triangles décrivant

les cas ambigu et le nombre de solutions selon le cas (pour les triangles avec angle aigu et

obtus).

En utilisant la loi des sinus, il est possible que la calculatrice nous donne un angle

incorrect. Expliquez pourquoi ceci arrive et comment rectifier ce problème.


71

Pratique : les lois des sinus et du cosinus

1. Détermine la mesure de l’angle inconnu ou la longueur du côté inconnu.

a. 𝑎

sin 35°=

10

sin 40° b.

𝑏

sin 48°=

65

sin 75°

c. sin 𝜃

12=

sin 50°

65 d.

sin ∠𝐴

25=

sin 62°

32

2. Détermine la longueur du côté AB.

a. b.

3. Détermine la mesure de l’angle indiqué.

a. b.

4. Résous le triangle, c’est-à-dire trouve les valeurs des trois côtés et des trois angles.

a. b.

c. d.


72

5. Esquisse chaque triangle. Détermine la longueur du côté indiqué.

a. Dans le Δ𝐴𝐵𝐶, ∠𝐴 = 57°, ∠𝐵 = 73° et 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 24𝑐𝑚. Détermine la longueur de

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ .

b. Dans le Δ𝐴𝐵𝐶, ∠𝐵 = 38°, ∠𝐶 = 56° et 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 63𝑐𝑚. Détermine la longueur de

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

c. Dans le Δ𝐴𝐵𝐶, ∠𝐴 = 50°, ∠𝐵 = 50° et 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 27𝑐𝑚. Détermine la longueur de

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

d. Dans le Δ𝐴𝐵𝐶, ∠𝐴 = 23°, ∠𝐵 = 78° et 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 15𝑐𝑚. Détermine la longueur de

𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .

6. Pour chaque triangle, détermine s’il y a une, deux ou aucune solution.

a. Soit le Δ𝐴𝐵𝐶, ∠𝐴 = 39°, 𝑎 = 10𝑐𝑚 et 𝑏 = 14𝑐𝑚.

b. Soit le Δ𝐴𝐵𝐶, ∠𝐴 = 123°, 𝑎 = 23𝑐𝑚 et 𝑏 = 12𝑐𝑚.

c. Soit le Δ𝐴𝐵𝐶, ∠𝐴 = 145°, 𝑎 = 18𝑐𝑚 et 𝑏 = 10𝑐𝑚.

d. Soit le Δ𝐴𝐵𝐶, ∠𝐴 = 124°, 𝑎 = 1𝑐𝑚 et 𝑏 = 2𝑐𝑚.

7. Dans chaque schéma, ℎ est une hauteur. Décris la relation entre ∠𝐴, les côtés 𝑎 et 𝑏

et la hauteur ℎ.

a. b.

c. d.

8. Détermine la longueur du côté inconnu et les mesures des angles inconnus dans

chaque triangle. Donne les deux solutions selon le cas.

a. Dans le Δ𝐴𝐵𝐶, ∠𝐶 = 31°, 𝑎 = 5,6𝑐𝑚 et 𝑐 = 3,9𝑐𝑚.

b. Dans le Δ𝑃𝑄𝑅, ∠𝑄 = 43°, 𝑝 = 20𝑐𝑚 et 𝑞 = 15𝑐𝑚.

c. Dans le Δ𝑋𝑌𝑍, ∠𝑋 = 53°, 𝑥 = 8,5𝑐𝑚 et 𝑧 = 12,3𝑐𝑚.

9. La garde côtière canadienne, région du Pacifique, a la responsabilité de patrouiller

plus de 27 000𝑘𝑚 de côtes. Le projecteur rotatif d’un navire de la Garde peur

éclairer jusqu’à une distance maximale de 250𝑚. Un observateur sur la rive se

trouve à 500𝑚 du navire et sa ligne de vision forme un angle de 20° avec la côte.

Quelle est la longueur de côte qui est éclairée par le projecteur du navire?


73

10. Nicolina veut déterminer la hauteur approximative du monument « L’empreinte

francophone » à Edmonton. À partir du muret qui l’entoure, elle mesure l’angle

d’élévation du sommet du monument et obtient 40°. Nicolina s’éloigne de 3,9𝑚 et

l’angle d’élévation est maintenant 26°. Détermine la hauteur du monument.

11. Détermine la longueur du troisième côté de chaque triangle.

a. b.

c.

12. Détermine la mesure de l’angle indiqué.

a. b.

c. d.

13. Détermine la longueur des côtés inconnus et la mesure des angles inconnus.

a. b.

14. Fais un schéma pour représenter les triangles et détermine la grandeur demandée.

a. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 24𝑐𝑚, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 34𝑐𝑚 et ∠𝐴 = 67°. Détermine 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .

b. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 15𝑚, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 8𝑚 et ∠𝐵 = 24°. Détermine 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ .

c. 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 10𝑐𝑚, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 9𝑐𝑚 et ∠𝐶 = 48°. Détermine 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

d. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 9𝑚, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 12𝑚 et 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 15𝑚. Détermine ∠𝐵.

e. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 18,4𝑚, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 9,6𝑚 et 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 10,8𝑚. Détermine ∠𝐴.

f. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 4,6𝑚, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 3,2𝑚 et 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 2,5𝑚. Détermine ∠𝐶.


74

15. Quelle loi utiliserais-tu pour déterminer la mesure de l’angle ou la longueur du côté

indiqué?

a. b. c.

16. Détermine la longueur exacte de 𝑐 dans chaque Δ𝐴𝐵𝐶.

a. b.

17. Dans un parallélogramme, la mesure du l’angle obtus est 116°. Les côtés adjacents

qui forment cet angle mesurent 40𝑐𝑚 et 22𝑐𝑚 respectivement. Détermine la

longueur de la plus grande diagonale.

18. Le trajet d’une course de voiliers a souvent la forme d’un triangle délimité par trois

bouées. Détermine l’angle à chaque bouée si les distances entre les bouées sont de

8,56𝑘𝑚, 5,93𝑘𝑚 et 10,24𝑘𝑚.

19. La sculpture Moondog, de Tony Smith, est formée de plusieurs triangles. Détermine

la largeur maximale de la sculpture à l’aide des données fournies.


75

IV. La valeur absolue

A. Les expressions de valeur absolue

La valeur absolue est la distance d’un nombre sur la droite numérique au zéro. Elle

est dénotée par deux lignes verticales entourant le nombre, comme-ci |4|.

Exemple

Quelle est la valeur absolue de 5? Ou posé différemment, quelle est la distance du

nombre 5 à 0 sur la droite numérique? Ou encore, quelle est la valeur de |5|?

Exemple

Quelle est la valeur de |−5|? Ou posé différemment, quelle est la distance du nombre

−5 à 0 sur la droite numérique?

Il y a donc deux valeurs absolues qui donneront la même distance. Ceci explique la

définition de la valeur absolue :

|𝑎| = {𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0

−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0}

Lorsqu’on prend la valeur absolue d’un nombre positif :

Lorsqu’on prend la valeur absolue d’un nombre négatif :

Pour calculer des expressions contenant la valeur absolue, on traite la valeur absolue

comme une parenthèse pour l’ordre des opérations et on évalue la valeur absolue

pour l’éliminer.

Exemple

Évalue |3| + |−4|

La valeur absolue de 3 est 3 et celle de −4 est 4 donc en évaluant les valeurs

absolue, nous obtenons :

3 + 4

7

0

0

https://youtu.be/FN9Jkd025nQ


76

Exemple

Évalue les expressions suivantes :

|−12 + 8| |12(−3) + 52|

−3|−5 + 3(4)| − 2 4|32 − 16| − |2(9 − 3)|

B. Les graphiques

1. La fonction valeur absolue

Remplis le tableau de valeurs et dessine le graphique de 𝑦 = |𝑥|.

x y

−2

−1

0

1

2

Quelle est la forme du graphique?

https://youtu.be/rYGUlZC70Hg


77

Dessine les fonctions 𝑦 = |𝑥 + 1|, 𝑦 = |𝑥 + 2| et 𝑦 = |𝑥 − 2|. Quelle est la forme des graphiques?

Quelle est l’effet de ℎ dans 𝑦 = |𝑥 − ℎ|? Où avons-nous déjà vu ceci?

Que sera l’effet de 𝑘 dans 𝑦 = |𝑥| + 𝑘? Vérifie ton hypothèse.

Où se retrouve le sommet du graphique valeur absolue, 𝑦 = 𝑎|𝑥 − ℎ| + 𝑘?


78

Exemple

Dessine le graphique des fonctions suivantes.

𝑦 = |𝑥 − 3| − 2 𝑦 = −2|𝑥 + 1| + 3

2. La valeur absolue d’une fonction

Nous pouvons aussi dessiner la fonction d’une deuxième façon. Il s’agit de

dessiner la fonction et ensuite appliquer la valeur absolue à celle-ci.

Étant donné 𝑦 = 𝑓(𝑥), nous dessinons 𝑓(𝑥). Ensuite, pour appliquer la valeur

absolue à cette fonction nous prenons la valeur absolue à toutes les valeurs de 𝑦 (à

cause 𝑦 = 𝑓(𝑥)).

Toutes les valeurs de 𝑦 positives resteront positives et toutes les valeurs de 𝑦

négatives deviendront positives. Il y a donc une réflexion par rapport à l’axe des 𝑥

de toutes les valeurs négatives de 𝑦.

https://youtu.be/Wkh_H6PyhPg


79

racine

𝑓(𝑥)

−𝑓(𝑥)

Exemple

Dessinez |𝑓(𝑥)| si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1. Dessine aussi 𝑦 = |−2𝑥 − 1|.

On peut aussi utiliser la définition de la valeur absolue afin de décrire la fonction

sous une fonction définie par morceaux.

Exemple

La fonction 𝑦 = |𝑥 + 3| est la fonction 𝑦 = {𝑥 + 3, où 𝑥 ≥ −3

−𝑥 − 3, où 𝑥 < −3}

Exemple

Utilisez la fonction que vous avez dessinée et indique la fonction définie par

morceaux de celle-ci.

https://youtu.be/yAY2HRnf-QU


80

Pratique : les fonctions valeur absolue

1. Détermine la valeur absolue de chaque nombre.

a. |9| b. |0| c. |−7|

d. |−4,728| e. |6,25| f. |−51

2|

2. Ordonne ces nombres du plus petit au plus grand.

|0,8| 1,1 |−2| |3

5| −0,4 |−1

1

4| −0,8

3. Ordonne ces nombres du plus grand au plus petit.

−2,4 |1,3| |−7

5| −1,9 |−0,6| |1

1

10| 2,2

4. Évalue chaque expression.

a. |8 − 15| b. |3| − |−8| c. |7 − (−3)| d. |2 − 5(3)| e. 2|−6 − (−11)| f. |−9,5| − |12,3|

g. 3 |1

2| + 5 |−

3

4| h. |3(−2)2 + 5(−2) + 7|

i. |−4 + 13| + |6 − (−9)| − |8 − 17| + |−2|

5. Un chinook sec souffle souvent sur le sud de l’Alberta en hiver et au printemps. Ce

vent peut entraîner de grandes variations de température en peu de temps. Un matin,

à Warner, la température est de −11°𝐶. Le chinook fait augmenter jusqu’à 7°𝐶 en

après-midi. La température redescend à −9°𝐶 durant la nuit. À l’aide du symbole de

valeur absolue, écris une expression qui représente le total des variations observées.

Détermine ce total.

6. Une portion droite d’une autoroute d’ouest en est débute à Allenby (0km). Le

schéma indique la distance de Allenby à différentes villes de l’est. Un nouvel

entrepôt de céréales sera construit le long de l’autoroute, à 24km à l’est d’Allenby. À

l’aide du symbole de valeur absolue, écris une expression qui permet de déterminer

la distance totale entre l’entrepôt et chacune des sept villes. Quelle est cette distance?

7. Le point (−5, −8) appartient au graphique de 𝑦 = 𝑓(𝑥). Détermine le point

correspondant du graphique de 𝑦 = |𝑓(𝑥)|.

8. Le graphique de 𝑦 = 𝑓(𝑥) a l’abscisse à l’origine 3 et l’ordonnée à l’origine −4.

Quelles sont l’abscisse et l’ordonnée à l’origine de 𝑦 = |𝑓(𝑥)|?

9. Le graphique de 𝑦 = 𝑓(𝑥) a les abscisses à l’origine −2 et 7 et l’ordonné à l’origine

−3

2. Détermine les abscisses et l’ordonnée à l’origine du graphique de 𝑦 = |𝑓(𝑥)|.


81

10. Trace le graphique de 𝑦 = |𝑓(𝑥)| étant donné les graphiques suivants.

a. b. c.

11. Trace le graphique de chaque fonction valeur absolue. Détermine les coordonnées à

l’origine, le domaine et l’image.

a. 𝑦 = |2𝑥 − 6| b. 𝑓(𝑥) = |−3𝑥 − 6| c. 𝑦 = |𝑥 + 5| d. 𝑔(𝑥) = |−𝑥 − 3|

e. 𝑦 = |1

2𝑥 − 2| f. ℎ(𝑥) = |

1

3𝑥 + 3|

12. Trace chaque graphique de 𝑦 = |𝑓(𝑥)|. a. b.

c.

13. Esquisse le graphique de chaque fonction. Détermine les coordonnées à l’origine, le

domaine et l’image.

a. 𝑦 = |𝑥2 − 4| b. 𝑦 = |𝑥2 + 5𝑥 + 6|

c. 𝑓(𝑥) = |−2𝑥2 − 3𝑥 + 2| d. 𝑦 = |1

4𝑥2 − 9|

e. 𝑔(𝑥) = |(𝑥 − 3)2 + 1| f. ℎ(𝑥) = |−3(𝑥 + 2)2 − 4|

g. 𝑦 = 2|𝑥 − 3| − 1 h. 𝑦 = −1

2|𝑥 + 4| − 2

i. 𝑦 = −4|𝑥 + 1| + 3 j. 𝑦 =1

4|𝑥 − 2| − 3


82

14. Indique la fonction définie par morceaux qui correspond à chaque graphique.

a. b.

c.

15. Par quelle fonction définie par morceaux peux-tu représenter chaque graphique d’une

fonction valeur absolue?

a. b.

c.

16. Indique la fonction définie par morceaux qui correspond à chaque fonction.

a. 𝑦 = |𝑥 − 4|

b. 𝑦 = |3𝑥 + 5| c. 𝑦 = |−𝑥2 + 1| d. 𝑦 = |𝑥2 − 𝑥 − 6|


83

Résumé : les fonctions valeurs absolue

La valeur absolue d’un nombre est :

Comment la valeur absolue est-elle liée à la distance sur une droite numérique?

Comment prendre la valeur absolue d’une fonction transformera celle-ci?

Que sont les étapes pour calculer une expression contenant une valeur absolue?

Que sont les étapes pour transformer la fonction 𝑦 = |𝑓(𝑥)| en une fonction définie par

morceaux?


84

C. La résolution d’équations

Les équations qu’il faut résoudre contiendront tous des variables à l’intérieur de la

valeur absolue.

Une fois la valeur absolue isolée, il faudra utiliser la définition de la valeur absolue

pour isoler la variable.

Exemple

Résous l’équation |𝑥 + 5| = 9

Puisque la valeur absolue est déjà isolée, il ne reste qu’à appliquer la définition :

𝑥 + 5 = 9 ou −(𝑥 + 5) = 9

𝑥 = 4 𝑥 + 5 = −9

𝑥 = −14

Vérifions les solutions :

|4 + 5| = 9 |−14 + 5| = 9

|9| = 9 |−9| = 9

9 = 9 9 = 9

Exemple

Résous |3𝑥 + 2| − 4 = 6

https://youtu.be/FlhkBKw6NoU


85

Les étapes sont pareilles lorsqu’on doit résoudre des équations de degré 2.

Exemple

Résous |𝑥2 − 2𝑥| = 1. Assurez-vous de vérifier vos solutions.

Exemple

|𝑥 − 10| = 𝑥2 − 10𝑥


86

Pratique : les équations valeur absolue

1. Résous chaque équation à l’aide d’une droite numérique.

a. |𝑥| = 7 b. |𝑥| + 8 = 12 c. |𝑥| + 4 = 4 d. |𝑥| = −6

2. Résous graphiquement chaque équation valeur absolue.

a. |𝑥 − 4| = 10 b. |𝑥 + 3| = 2 c. 6 = |𝑥 + 8| d. |𝑥 + 9| = −3

3. Détermine une équation valeur absolue de la forme |𝑎𝑥 + 𝑏| = 𝑐 qui a les solutions

indiquées sur la droite numérique.

a.

b.

c.

4. Résous algébriquement chaque équation valeur absolue. Vérifie tes solutions.

a. |𝑥 + 7| = 12 b. |3𝑥 − 4| + 5 = 7

c. 2|𝑥 + 6| + 12 = −4 d. −6|2𝑥 − 14| = −42

e. |2𝑎 + 7| = 𝑎 − 4 f. |7 + 3𝑥| = 11 − 𝑥

g. |1 − 2𝑚| = 𝑚 + 2 h. |3𝑥 + 3| = 2𝑥 − 5

i. 3|2𝑎 + 7| = 3𝑎 + 12 j. |𝑥| = 𝑥2 + 𝑥 − 3

k. |𝑥2 − 2𝑥 + 2| = 3𝑥 − 4 l. |𝑥2 − 9| = 𝑥2 − 9

m. |𝑥2 − 1| = 𝑥 n. |𝑥2 − 2𝑥 − 16| = 8


87

Résumé : les équations valeur absolue

Que sont les étapes pour résoudre une équation du type :

𝑎|𝑏𝑥 + 𝑐| + 𝑑 = 𝑒

𝑎|𝑏𝑥 + 𝑐| + 𝑑 = 𝑒𝑥 + 𝑓

|𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐| = 𝑑

|𝑎𝑥 + 𝑏| = 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑒


88

V. Les radicaux Radical : expression contenant une racine.

Radicande : expression à l’intérieur de la racine.

Que sont les lois des exposants?

Quel est l’exposant pour une racine carrée? Comment le sais-tu?

Nous pouvons soit écrire un radical sous forme entière (√18) ou sous forme composée

(3√2). Comment pouvons-nous transformer un radical de forme entière en forme

composée utilisant les lois des exposants?

https://youtu.be/kGwEwggl8QM

https://youtu.be/EY5pq3OTpro


89

A. Additionner des radicaux

Pour additionner des radicaux, nous devons avoir des radicandes semblables.

Prenons par exemple 2√3 + 3√3. Si nous substituons √3 par 𝑥 nous aurons

l’expression 2𝑥 + 3𝑥. Il est donc possible d’additionner ces deux termes pour avoir

5𝑥 ou 5√3.

Si, par contre, nous avons 4√5 − 2√6 nous ne pouvons pas remplacer les radicaux

par une seule variable car 𝑥 ne peut être égal à √5 et √6 en même temps (ce sont

deux valeurs différentes). Nous ne pouvons donc pas simplifier cette expression.

Exemple

Lesquelles des expressions suivantes peuvent être simplifiées? Quelles sont ces

valeurs simplifiées?

7√6 − 3√6 5√3 + 2√6

3√10 + √40 √72 − √20

√50 + 3√2 −√27 + 3√5 – √80 – 2√12

√4𝑥 − 4√9𝑥, où x ≥ 0 𝑦√4𝑦3 + √64𝑦5

https://youtu.be/sTpAxeCGj4o


90

B. Multiplier et diviser des radicaux

Nous pouvons seulement multiplier ou diviser des radicaux ayant :

- des racines semblables

- des radicants semblables

Exemple

Évalue les multiplications et divisions :

√5 ⋅ √3

(5)1

2(3)1

2 on met les racines sous forme d’exposant

(5 ⋅ 3)1

2 on utilise les lois des exposants pour multiplier

(15)1

2

√15 on remet l’exposant sous forme de racine

Que remarquez-vous de cette multiplication?

Exemple

√6 ⋅ √63

(6)1

2(6)1

3 on met les racines sous forme d’exposant

61

2+

1

3 on utilise les lois des exposants pour multiplier

65

6

√656 on remet l’exposant sous forme de racine

Pouvons-nous appliquer la même généralisation à cet exemple?

Exemple

√10 ⋅ √40 √135

3

√53

https://youtu.be/LzGiDcECwrc


91

Simplifier des fractions

Il est possible de simplifier des fractions contenant des radicaux au dénominateur.

Ceci s’appelle rationaliser le dénominateur, c’est-à-dire convertir en un nombre

rationnel.

Qu’arrive-t-il lorsque nous multiplions un radical par lui-même?

Comment pouvons-nous utiliser ce concept pour rationaliser une fraction? Garde en

tête que nous ne voulons pas changer la valeur de la fraction.

Exemple

Rationnalise cette fraction 3

√6.

Qu’arrive-t-il lorsque nous multiplions un binôme contenant une racine par son

conjugué?

Note : étant donné 𝑎 + 𝑏 son conjugué est 𝑎 − 𝑏. Seul le signe entre les deux termes

change.

√3 + 2

√5 − √3

Comment pouvons-nous utiliser ce concept pour rationaliser une fraction? Garde en

tête que nous ne voulons pas changer la valeur de la fraction.

Exemple

Rationalise cette fraction 4

3−√2

https://youtu.be/zPsjh6My-o8


92

Pratique : les opérations sur les radicaux

1. Écris chaque radical sous sa forme simplifiée.

a. √56 b. 3√75 c. √243

d. √𝑐3𝑑2 e. 3√8𝑚4 f. √24𝑞53 g. −2√160𝑠5𝑡65

2. Écris les termes de chaque paire sous forme de radicaux semblables.

a. 15√5 et 8√125 b. 8√112𝑧8 et 48√7𝑧4

c. −35√𝑤24 et 3√81𝑤104

d. 6√23

et √543

3. Ordonne les nombres de chaque ensemble en ordre croissant.

a. 3√6, 10 et 7√2 b. −2√3, −4, −3√2 et −2√7

2

c. √213

, 3√23

, 2,8 et 2√53

4. Simplifie chaque expression.

a. −√5 + 9√5 − 4√5 b. 1,4√2 + 9√2 − 7

c. √114

− 1 − 5√114

+ 15 d. −√6 +9

2√10 −

5

2√10 +

1

3√6

e. 3√75 − √27 f. 2√18 + 9√7 − √63

g. −8√45 + 5,1 − √80 + 17,4 h. 2

3√813

+√375

3

4− 4√99 + 5√11

5. Simplifie chaque expression et détermine les restrictions sur les variables.

a. 2√𝑎3 + 6√𝑎3 b. 3√2𝑥 + 3√8𝑥 − √𝑥

c. −4√625𝑟3

+ √40𝑟43 d.

𝑤

5√−643

+√512𝑤33

5−

2

5√50𝑤 − 4√2𝑤

6. Le tableau Clincher de Jonathan Forrest, un artiste de Saskatoon, contient des figures

géométriques. Les cathètes du triangle rectangle isocèle en haut et à droite mesurent

12cm. Quelle est la longueur de l’hypoténuse?

7. La distance, 𝑑, en millions de kilomètres, entre une planète et le Soleil est une

fonction de la durée 𝑛, en jours terrestres, de l’année de la planète. La formule est

𝑑 = √25𝑛23. Sur Mercure, une année dure 88 jours terrestres et sur Mars, une année

dure 704 jours terrestres. Quelle distance exacte séparent Mercure et Mars?


93

8. Un carré est inscrit dans un cercle. L’aire du cercle est de 38𝜋 𝑚2. Quels sont la

longueur de la diagonale et le périmètre du carré?

9. Effectue les multiplications et simplifie.

a. 2√5(7√3) b. −√32(7√2) c. 2√484

(√54

)

d. 4√19𝑥(√2𝑥2), 𝑜ù 𝑥 ≥ 0 e. √54𝑦73(√6𝑦43

) f. √6𝑡 (3𝑡2√𝑡

4)

g. √11(3 − 4√7) h. −√2(14√5 + 3√6 − √13)

i. √𝑦(2√𝑦 + 1), 𝑜ù 𝑦 ≥ 0 j. 𝑧√3(𝑧√12 − 5𝑧 + 2)

10. Simplifie ces expressions.

a. −3(√2 − 4) + 9√2 b. 7(−1 − 2√6) + 5√6 + 8

c. 4√5(√3𝑗 + 8) − 3√15𝑗 + √5 d. 3 − √4𝑘3

(12 + 2√83

)

11. Développe et simplifie chaque expression.

a. (8√7 + 2)(√2 − 3) b. (4 − 9√5)(4 + 9√5)

c. (√3 + 2√15)(√3 − √15) d. (6√23

− 4√133

)2

e. (−√6 + 2)(2√2 − 3√5 + 1) f. (15√𝑐 + 2)(√2𝑐 − 6)

g. (1 − 10√8𝑥3)(2 + 7√5𝑥) h. (9√2𝑚 − 4√6𝑚)2

i. (10𝑟 − 4√4𝑟3

)(2√6𝑟23+ 3√12𝑟

3)

12. Effectue ces divisions et simplifie.

a. √80

√10 b. −

2√12

4√3 c.

3√22

√11 d.

3√135𝑚5

√21𝑚3

e. (9√432𝑝5−7√27𝑝5)

√33𝑝4 f.

6 √4𝑣73

√14𝑣3

13. Rationalise les dénominateurs et simplifie.

a. 20

√10 b. −

√21

√7𝑚 c. −

2

3√

5

12𝑢 d. 20√

6𝑡

5

3

e. 5

2−√3 f.

7√2

√6+8 g. −

√7

√5−2√2 h.

√3+√13

√3−√13

i. 4𝑟

√6𝑟+9 j.

18√3𝑛

√24𝑛 k.

8

4−√6𝑡 l.

5√3𝑦

√10+2

14. La période, T, en secondes d’un pendule dépend de sa longueur, L, en mètres. La

période est le temps pour que le pendule effectue un cycle complet et est représenté

par 𝑇 = 2𝜋√𝐿

10. Détermine une formule équivalente avec un dénominateur rationnel

ainsi que le temps d’un pendule de 27m pour effectuer 3 cycles.


94

Résumé : les opérations sur les radicaux

Quel est le lien entre les lois des exposants et les opérations qu’on puisse effectuer avec

des radicaux?

Dans quels cas pouvons-nous additionner ou soustraire des radicaux? Quels en sont les

étapes?

Dans quels cas pouvons-nous multiplier ou diviser des radicaux? Quels en sont les

étapes?

Comment faisons-nous pour rationnaliser un rationnel de la forme 𝑎

√𝑏?

𝑎

√𝑏+𝑐?

𝑎

√𝑏−√𝑐


95

C. La résolution d’équations

Lorsqu’on résout une équation contenant des radicaux, nous devons isoler le radical

ensuite mettre le tout au carré afin d’éliminer la racine. Il faut toujours vérifier nos

solutions en cas qu’elles sont des racines étrangères.

Quelle sont les restrictions pour l’expression √𝑥? Et pour √𝑥 − 3? Et √4𝑥 + 6?

√−3𝑥 + 9?

Exemple

Résous l’équation 5 + √2𝑥 + 1 = 12.

√2𝑥 + 1 = 7 On commence par isoler le radical.

2𝑥 + 1 = 49 On met chaque côté au carré.

𝑥 = 24 On isole la variable.

5 + √2 ⋅ 24 + 1 = 12 On vérifie notre solution.

Exemple

Résous l’équation 3√𝑥 + 5 − 6 = 6.

Exemple

Résous l’équation −2√𝑚2 + 6𝑚 + 12 + 8 = 12

https://youtu.be/tK0qNb7VJtw


96

Exemple

Résous 𝑥 − √5 − 𝑥 = −7 et détermine les restrictions.

Exemple

Résous 7 + √3𝑥 = √5𝑥 + 4 + 5 et détermine les restrictions.

https://youtu.be/armvHqzkuOA


97

Pratique : les équations radicales

1. Élève au carré chaque expression et nomme les restrictions.

a. √3𝑧 b. √𝑥 − 4 c. 2√𝑥 + 7 d. −4√9 − 2𝑦

2. Décris les étapes pour résoudre l’équation √𝑥 + 5 = 11.

3. Résous chaque équation.

a. √2𝑥 = 3 b. √−8𝑥 = 4 c. 7 = √5 − 2𝑥

d. √𝑧 + 8 = 13 e. 2 − √𝑦 = −4 f. √3𝑥 − 8 = −6

g. −5 = 2 − √−6𝑚 h. −3√𝑛 − 1 + 7 = −14

i. −7 − 4√2𝑥 − 1 = 17 j. 12 = −3 + 5√8 − 𝑥

4. Soit l’équation 𝑘 + 4 = √−2𝑘. Est-ce que les racines 𝑘 = −8 et 𝑘 = −2 sont des

racines étrangères? Explique.

5. Résous les équations.

a. √𝑚2 − 3 = 5 b. √𝑥2 + 12𝑥 = 8 c. √𝑞2

2+ 11 = 𝑞 − 1

d. 2𝑛 + 2√𝑛2 − 7 = 14 e. 5 + √3𝑥 − 5 = 𝑥 f. √𝑥2 + 30𝑥 = 8

g. √𝑑 + 5 = 𝑑 − 1 h. √𝑗+1

3+ 5𝑗 = 3𝑗 − 1 i. √2𝑘 = √8

j. √−3𝑚 = √−7𝑚 k. 5√𝑗

2= √200 l. 5 + √𝑛 = √3𝑛

m. √𝑧 + 5 = √2𝑧 − 1 n. √6𝑦 − 1 = √−17 + 𝑦2

o. √5𝑟 − 9 − 3 = √𝑟 + 4 − 2 p. √𝑥 + 19 + √𝑥 − 2 = 7

6. Sans résoudre les équations, détermine laquelle a une racine étrangère.

√3𝑦 − 1 − 2 = 5 4 − √𝑚 + 6 = −9 √𝑥 + 8 + 9 = 2

7. Jonas a essayé de résoudre l’équation 3 + √𝑥 + 17 = 𝑥. Explique s’il a raison et

indique la solution juste, cas où il a tord.

√𝑥 + 17 = 𝑥 − 3 0 = 𝑥2 − 𝑥 − 26

𝑥 + 17 = 𝑥2 − 9 𝑥 =(1±√105)

2

8. Les enquêteurs de collision peuvent estimer la vitesse, 𝑣, en 𝑘𝑚/ℎ, d’une voiture à partir de

la longueur, L, en mètres, de la trace de freinage avec la formule

𝑣 = 12,6√𝐿 + 8. Quelle est la longueur de la trace de freinage produite par une voiture

voyageant à 50𝑘𝑚/ℎ?

9. Le temps, 𝑡, en secondes, qu’un objet met à tomber au sol est lié à sa hauteur, ℎ, en mètres.

Les formules 𝑡𝐿 = √ℎ

1,8 et 𝑡𝑇 = √

ℎ

4,9 permettent de déterminer le temps de chute sur Lune et

sur la Terre. Détermine la hauteur de départ s’il y a 5𝑠 de différence entre les deux.


98

Résumé : les équations radicales

Que sont les étapes pour résoudre les équations suivantes :

√𝑎𝑥 = 𝑏

𝑎√𝑥 + 𝑏 − 𝑐 = 𝑑

√𝑎𝑥 = √𝑏

√𝑎𝑥 + 𝑏 + √𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑒

√𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐 = √𝑒𝑥 + 𝑓

Qu’est-ce qu’une racine étrangère?

Dans quel cas n’élevons-nous pas l’équation au carré parce que nous savons qu’il n’y

aura pas de solution?


99

VI. Les rationnels

A. Les expressions rationnelles

Une expression rationnelle est une fraction où le numérateur et le dénominateur

comporte des polynômes.

Quelles sont les valeurs non permises de l’expression 1

𝑥?

1

𝑥+6?

2𝑥+6

4𝑥−9?

Il est possible de simplifier des expressions rationnelles mais nous devons tenir

compte des valeurs non permises que nous avons simplifié.

Exemple

Simplifie 3(𝑥+1)

(𝑥+1)(𝑥+2) et nomme les restrictions.

Exemple

Simplifie 𝑥2−9

𝑥2+5𝑥+6 et identifie les valeurs non permises.

https://youtu.be/N24rBoAQCQs


100

B. Additionner et soustraire des expressions rationnelles

Pour additionner des rationnels ayant un dénominateur commun :

3

10+

1

10

4

𝑥+3−

2𝑥+1

𝑥+3

Pour additionner des rationnels ayant des différents dénominateurs :

4

5−

7

10

−5

7+

8

9

3

4+

(𝑥−1)

4𝑥+4

𝑥

𝑥+2+

2

𝑥+3

1+

1

𝑥

𝑥−1

𝑥

https://youtu.be/P9LmSWjiEg0


101

C. Multiplier et diviser des expressions rationnelles

Pour multiplier des expressions rationnelles, on multiplie comme on le ferait pour

des fractions ne contenant pas de variables, c’est-à-dire qu’on multiplie les

numérateurs, ensuite les dénominateurs. Les valeurs non permises sont celles où les

dénominateurs nous donnent zéro.

Il est souvent utile de factoriser et de simplifier les rationnelles avant d’effectuer la

multiplication.

Exemple

(4𝑥2

3𝑥𝑦) (

𝑦2

8𝑥)

𝑥2−𝑥−12

𝑥2−4𝑥×

𝑥2−4𝑥+3

𝑥2−9

https://youtu.be/1nIy09opyUw


102

Pour diviser des expressions rationnelles, nous commençons par inverser la

deuxième expression et nous multiplions par la suite. Les valeurs non permises sont

celles où tous les dénominateurs ainsi que le numérateur de la deuxième expression

nous donnent zéro.

Exemple

𝑥2−4

𝑥2−4𝑥÷

𝑥2+𝑥−6

𝑥2+𝑥−20

𝑥2−6𝑥−7

𝑥2−49÷

𝑥2+8𝑥+7

𝑥2+7𝑥

https://youtu.be/dX32IpdEQAo


103

Pratique : les expressions rationnelles

1. Détermine les valeurs non permises des expressions rationnelles.

a. −4

𝑥 b.

3𝑐−1

𝑐−1 c.

𝑦

𝑦+5

d. 𝑚+3

5 e.

1

𝑑2−1 f.

𝑥−1

𝑥2+1

g. 3𝑎

4−𝑎 h.

2𝑒+8

𝑒 i.

3(𝑦+7)

(𝑦−4)(𝑦+2)

j. −7(𝑟−1)

(𝑟−1)(𝑟+3) k.

2𝑘+8

𝑘2 l.

6𝑥−8

(3𝑥−4)(2𝑥+5)

2. Simplifie les expressions rationnelles et indique les valeurs non permises.

a. 2𝑐(𝑐−5)

3𝑐(𝑐−5) b.

3𝑤(2𝑤+3)

2𝑤(3𝑤+2) c.

(𝑥−7)(𝑥+7)

(2𝑥−1)(𝑥−7) d.

5(𝑎−3)(𝑎+2)

10(3−𝑎)(𝑎+2)

3. Soit l’expression 𝑥2−1

𝑥2+2𝑥−3. Explique pourquoi on ne peut pas simplifier le terme 𝑥2

du numérateur et du dénominateur.

4. Simplifie les expressions suivantes.

a. 6𝑟2𝑝3

4𝑟𝑝4 b. 3𝑥−6

10−5𝑥 c.

𝑏2+2𝑏−24

2𝑏2−72

d. 10𝑘2+55𝑘+75

20𝑘2−10𝑘−150 e.

𝑥−4

4−𝑥 f.

5(𝑥2−𝑦2)

𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2

5. Puisqu’il est possible de simplifier l’expression 𝑥2+2𝑥−15

𝑥−3 à 𝑥 + 5, pouvons-nous dire

que 𝑥2+2𝑥−15

𝑥−3= 𝑥 + 5?

6. Shali a fait une erreur en simplifiant l’expression rationnelle suivante :

(𝑔2−4)

2𝑔−4

(𝑔−2)(𝑔+2)

2(𝑔−2)

𝑔+2

2

𝑔 + 1 Quelle est son erreur?

7. Simplifie chaque expression sous leur forme irréductible et indique les valeurs non

permises.

a. (𝑥+2)2−(𝑥+2)−20

𝑥2−9 b.

4(𝑥2−9)−(𝑥+3)2

𝑥2+6𝑥+9

c. (𝑥2−𝑥)

2−8(𝑥2−𝑥)+12

(𝑥2−4)2−(𝑥−2)2 d.

(𝑥2+4𝑥+4)2

−10(𝑥2+4𝑥+4)+9

(2𝑥+1)2−(𝑥+2)2


104

8. Simplifie chaque produit et indique les valeurs non permises.

a. 12𝑚2𝑓

5𝑐𝑓×

15𝑐

4𝑚 b.

3(𝑎−𝑏)

(𝑎−1)(𝑎+5)×

(𝑎−5)(𝑎+5)

15(𝑎−𝑏)

c. (𝑦−7)(𝑦+3)

(2𝑦−3)(2𝑦+3)×

4(2𝑦+3)

(𝑦+3)(𝑦−1) d.

𝑑2−100

144×

36

𝑑+10

e. 𝑎+3

𝑎+1×

𝑎2−1

𝑎2−9 f.

4𝑧2−25

2𝑧2−13𝑧+20×

𝑧−4

4𝑧+10

g. 2𝑝2+5𝑝−3

2𝑝−3×

𝑝2−1

6𝑝−3×

2𝑝−3

𝑝2+2𝑝−3

9. Quelles sont les valeurs non permises de chaque quotient?

a. 4𝑡2

3𝑠÷

2𝑡

𝑠2 b. 𝑟2−7𝑟

𝑟2−49÷

3𝑟2

𝑟+7 c.

5

𝑛+1÷

10

𝑛2−1÷ (𝑛 − 1)

10. Simplifie les quotients à leur forme irréductible et indique les valeurs non permises.

a. 2𝑤2−𝑤−6

3𝑤+6÷

2𝑤+3

𝑤+2 b.

𝑣−5

𝑣÷

𝑣2−2𝑣−15

𝑣3

c. 9𝑥2−1

𝑥+5÷

3𝑥2−5𝑥−2

2−𝑥 d.

8𝑦2−2𝑦−3

𝑦2−1÷

2𝑦2−3𝑦−2

2𝑦−2÷

3−4𝑦

𝑦+1

11. On peut utiliser la simplification d’expressions rationnelles afin de faire la

conversion d’unités de mesure. Pour convertir 68cm en km :

68𝑐𝑚 (1𝑚

100𝑐𝑚) (

1𝑘𝑚

1000𝑚)

En simplifiant, nous obtenons : 0,00068𝑘𝑚

Étant donné que 1 pouce est équivalent à 2,54cm, écris une expression te permettant

de convertir des pieds en centimètres. Donne un exemple précis.

12. Tessa a résous un problème incorrectement. Indique l’erreur et résous correctement

le problème.

𝑐2−36

2𝑐÷

𝑐+6

8𝑐2

2𝑐

(𝑐−6)(𝑐+6)×

𝑐+6

(2𝑐)(4𝑐)

1

4𝑐(𝑐−6)

13. Effectue les additions/soustractions en exprimant ta réponse sous sa forme la plus

simple. Indique les valeurs non permises.

a. 11𝑥

6−

4𝑥

6 b.

7

𝑥+

3

𝑥 c.

5𝑡+3

10+

3𝑡+5

10

d. 𝑚2

𝑚+1+

𝑚

𝑚+1 e.

𝑎2

𝑎−4−

𝑎

𝑎−4−

12

𝑎−4 f.

1

(𝑥−3)(𝑥+1)−

4

𝑥+1

g. 𝑥−5

𝑥2+8𝑥−20+

2𝑥+1

𝑥2−4 h.

𝑥−3

6−

(𝑥−2)

4 i.

2

5𝑎𝑦2+

3

10𝑎2𝑦

j. 4

9−𝑥2 −7

3+𝑥 k.

1

3𝑎+

2

5𝑎 l.

3

2𝑥+

1

6

m. 4 −6

5𝑥 n.

4𝑧

𝑥𝑦−

9𝑥

𝑦𝑧 o.

2𝑠

5𝑡2+

1

10𝑡−

6

15𝑡3

p. 6𝑥𝑦

𝑎2𝑏−

2𝑥

𝑎𝑏2𝑦+ 1 q.

8

𝑥2−4−

5

𝑥+2 r.

1

𝑥2−𝑥−12+

3

𝑥+3

s. 3𝑥

𝑥+2−

𝑥

𝑥−2 t.

5

𝑦+1−

1

𝑦−

𝑦−4

𝑦2+𝑦 u.

2ℎ

ℎ2−9+

ℎ

ℎ2+6ℎ+9−

3

ℎ−3


105

v. 2

𝑥2+𝑥−6+

3

𝑥3+2𝑥2−3𝑥 w.

3𝑥+15

𝑥2−25+

4𝑥2+1

2𝑥2+9𝑥−5 x.

2𝑥

𝑥3+𝑥2−6𝑥−

𝑥−8

𝑥2−5𝑥−24

y. 𝑛+3

𝑛2−5𝑛+6+

6

𝑛2−7𝑛+12 z.

2𝑤

𝑤2+5𝑤+6−

𝑤−6

𝑤2+6𝑤+8

14. Montre que 3𝑥−7

9+

6𝑥+7

9 et 𝑥 sont des expressions équivalentes.

15. Simplifie chaque expression et indique les valeurs non permises.

a. 2−

6

𝑥

1−9

𝑥2

b. (

3

2+

3

𝑡)

𝑡

𝑡+6−

1

𝑡

c.

3

𝑚−

3

2𝑚+33

𝑚2+1

2𝑚+3

d.

1

𝑥+4+

1

𝑥−4𝑥

𝑥2−16+

1

𝑥+4

e. 𝑥−2

𝑥+5+

𝑥2−2𝑥−3

𝑥2−𝑥−6×

𝑥2+2𝑥

𝑥2−4𝑥 f.

2𝑥2−𝑥

𝑥2+3𝑥×

𝑥2−𝑥−12

2𝑥2−3𝑥+1−

𝑥−1

𝑥+2

g. 𝑥−2

𝑥+5−

𝑥2−2𝑥−3

𝑥2−𝑥−6×

𝑥2+2𝑥

𝑥2−4𝑥 h.

𝑥+1

𝑥+6−

𝑥2−4

𝑥2+2𝑥÷

2𝑥2+7𝑥+3

2𝑥2+𝑥


106

Résumé : les expressions rationnelles

Qu’est-ce qu’une valeur non permise dans une expression rationnelle? Comment fait-on

pour déterminer leurs valeurs?

Qu’ont besoin deux expressions rationnelles pour qu’on puisse les additionner ou les

soustraire? Explique les étapes de l’addition ou la soustraction d’expressions rationnelles.

Que sont les étapes pour multiplier des expressions rationnelles? Que sont des trucs pour

effectuer des multiplications plus efficacement?

Que sont les étapes pour diviser des expressions rationnelles? Comment les valeurs non

permises sont-elles différentes dans les expressions ayant une division?


107

D. Résoudre des équations rationnelles

Lorsqu’on résout des équations rationnelles, le plus grand problème survient lorsque

la variable se retrouve au dénominateur. Il faut donc trouver une façon de rendre

celle-ci au numérateur. Pour des équations simple (avec un terme de chaque côté), il

est possible d’inverser chaque côté de l’équation.

Exemple

3

𝑥+4= 8

Pour des expressions plus complexes, comportant plusieurs termes, il faut multiplier

par le plus petit dénominateur commun (PPCD).

Exemple 𝑥

4−

7

𝑥= 3

2

𝑥2−4+

10

6𝑥+12=

1

𝑥−2 Note : il est parfois utile de décomposer en facteurs

Attention aux valeurs non permises

https://youtu.be/2zT0XhcjxmU


108

Exemple

4𝑥 − 1

𝑥 + 2−

𝑥 + 1

𝑥 − 2=

𝑥2 − 4𝑥 + 24

𝑥2 − 4

Exemple

Magalie et Julie peuvent peindre une chambre individuellement en 3h et 4h

respectivement. Combien de temps leur prendra-t-elle peindre une chambre si elles

travaillent ensemble?

Exemple

Lors d’une course de 140km, la première demie du parcours a été faite sans

problèmes. Par contre, la deuxième moitié, la vitesse moyenne était de 6km/h de

moins. Si la course a duré 8,5h, quelle était la vitesse moyenne des deux moitiés de

course?

https://youtu.be/vaGAIcAEx2o


109

Pratique : les équations rationnelles

1. Rends le dénominateur de chaque terme égal à 1 sans résoudre les équations.

a. 𝑥−1

3−

2𝑥−5

4=

5

12+

𝑥

6 b.

2𝑥+3

𝑥+5+

1

2=

7

2𝑥+10 c.

4𝑥

𝑥2−9−

5

𝑥+3= 2

2. Résous chaque équation et vérifie ta réponse. Indique les valeurs non permises.

a. 𝑓+3

2−

𝑓−2

3= 2 b.

3−𝑦

3𝑦+

1

4=

1

2𝑦 c.

9

𝑤−3−

4

𝑤−6=

18

𝑤2−9𝑤+18

d. 6

𝑡+

𝑡

2= 4 e.

6

𝑐−3=

𝑐+3

𝑐2−9− 5 f.

𝑑

𝑑+4=

2−𝑑

𝑑2+3𝑑−4+

1

𝑑−1

g. 𝑥2+𝑥+2

𝑥+1− 𝑥 =

𝑥2−5

𝑥2−1

3. Josiane a résolu cette équation rationnelle. Elle affirme que la solution est 𝑦 = 1. Es-

tu d’accord? Explique ta réponse.

−3𝑦

𝑦−1+ 6 =

6𝑦−9

𝑦−1

4. Un rectangle a les dimensions indiquées.

Si le périmètre est de 28𝑐𝑚, détermine l’aire du rectangle.

5. Le rectangle d’or a des dimensions qui satisfont l’équation 𝐿

𝑙=

𝐿+𝑙

𝐿, où 𝑙 est la largeur

et 𝐿 la longueur. Selon cette relation, quelle doit être la longueur d’un cadre

rectangulaire si la largeur est de 30𝑐𝑚?

6. La somme de deux nombres est 25. La somme de leurs inverses et 1

4. Détermine ces

deux nombres.

7. Deux nombres consécutifs sont représentés par 𝑥 et 𝑥 + 1. Si on ajoute 6 au premier

nombre et qu’on soustrait 2 du deuxième, le quotient des nouveaux nombres obtenus

est 9

2. Détermine algébriquement ces nombres.

8. La somme des inverses de deux nombres entiers consécutifs est 11

30. Quels sont les

deux nombres entiers?

9. Deux tuyaux permettent de remplir une piscine en 2h. Avec le tuyau A seulement, la

piscine se remplit en 3h. Combien de temps faudrait-il pour remplir la piscine avec le

tuyau B seulement?


110

10. Naomie peut récolter tout son blé avec sa moissonneuse-batteuse en 72h. Son voisin

lui offre son aide. Sa moissonneuse-batteuse peut accomplir le même travail en 48h.

Combien de temps faudrait-il pour récolter tout le blé avec les deux moissonneuses

batteuses?

11. Un troupeau de caribous a pris 96h de plus pour parcourir 70km jusqu’au un lac

qu’elles ont pris pour parcourir 60km autour du lac. Leur vitesse moyenne était

moins élevée de 5km/h avant d’arriver au lac. Quelle était leur vitesse moyenne

autour du lac?

12. Ted conduit un camion sur l’autoroute Transcanadienne. Il lui a fallu 30 min de plus

pour parcourir 275km à l’ouest de Swift Current qu’il lui a fallu pour parcourir

300km à l’est de Swift Current. Il a réduit sa vitesse moyenne de 10km/h à l’ouest de

Swift Current à cause de la neige. Quelle a été sa vitesse moyenne durant chaque

partie de son trajet?

13. Deux amis peuvent se déplacer en canot à une vitesse de 6km/h en eau calme. Ils

mettent 1h à remonter une rivière sur 2km et à revenir à leur point de départ.

Détermine la vitesse du courant.


111

Résumé : les équations rationnelles

Quelle technique nous permet d’éliminer les rationnelles afin de plus facilement résoudre

des équations rationnelles?

Comment fais-tu pour résoudre des problèmes comportant des taux de variations?


112

E. L’inverse de fonctions

Prenons une fonction 𝑓(𝑥). Si nous prenons l’inverse, nous avons 1

𝑓(𝑥). Étant donné

que 𝑦 = 𝑓(𝑥), il faut donc inverser seulement les valeurs de 𝑦 dans la fonction.

Y a-t-il des valeurs non permises lorsque nous inversons 𝑓(𝑥)? Que sont-elles?

Exemple

Dessine le graphique 𝑦 =1

2𝑥−3.

https://youtu.be/rfXbA9PdGrk


113

Exemple

Dessine l’inverse de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1.


114

Exemple

Dessine l’inverse de la fonction suivante :


115

Pratique : l’inverse de fonctions

1. Pour chaque fonction, détermine les racines, indique la fonction inverse, détermine

les valeurs non permises et détermine l’équation des asymptotes verticales.

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 b. 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1

c. ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 16 d. 𝑡(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 12

2. Détermine l’équation de toute asymptote verticale pour chaque fonction.

a. 𝑓(𝑥) =1

5𝑥−10 b. 𝑓(𝑥) =

1

3𝑥+7

c. 𝑓(𝑥) =1

(𝑥−2)(𝑥+4) d. 𝑓(𝑥) =

1

𝑥2−9𝑥+20

3. Quelles sont les abscisses à l’origine et les ordonnées à l’origine des fonctions

suivantes?

a. 𝑓(𝑥) =1

𝑥+5 b. 𝑓(𝑥) =

1

3𝑥−4

c. 𝑓(𝑥) =1

𝑥2−9 d. 𝑓(𝑥) =

1

𝑥2+7𝑥+12

4. Esquisse le graphique de la fonction inverse, 1

𝑓(𝑥).

a. b. c.

5. Trace les graphiques de 𝑓(𝑥) et de 1

𝑓(𝑥).

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 4 b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 4 c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6

d. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 e. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 f. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 8

g. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 h. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2


116

6. Associe le graphique de chaque fonction au graphique de la fonction inverse.


117

Résumé : l’inverse de fonctions

Comment fais-tu pour inverser une fonction?

Comment fais-tu pour dessiner l’inverse d’une fonction?


118

VII. Les suites et les séries Une suite est une liste ordonnée d’objets. Ses éléments, appelés termes, respectent

une régularité ou une règle qui permet de déterminer le terme suivant. Les termes

d’une suite comportent un indice qui indique leur rang ou position dans la suite.

Le premier terme d’une suite est 𝑡1.

Le nombre de termes d’une suite est n.

Le terme général d’une suite est 𝑡𝑛. Ce terme dépend de la valeur de n.

Une suite peut être finie ou infinie. Une suite finie a toujours un dernier terme.

Ex. 3, 6, 9, 12, 15, …36

Une suite infinie n’a pas de dernier terme. Chaque terme est suivi d’un autre.

Ex. 4, 9, 14, 19, 24, …

A. Les suites arithmétiques

Une suite arithmétique est une liste ordonnée de termes dans laquelle la différence

entre deux termes consécutifs est constante.

C’est-à-dire, chaque terme résulte de l’addition d’une même valeur ou d’une même

variable au terme qui le précède.

Cette constante est la raison arithmétique et est dénotée d.

Si on prend deux termes de la suite et on soustrait le premier du deuxième, on obtient

la raison arithmétique.

On peut définir une suite arithmétique par la formule suivante :

𝑡𝑛 = 𝑡1 + (𝑛 − 1)𝑑

Exemple

Quelle est la formule du terme général de la suite 5, 2, −1, −4, …?


119

Exemple

La croissance d’un enfant dépend de nombreux facteurs. Les médecins

recommandent aux parents de noter la croissance de leur enfant. On estime qu’entre

l’âge de 3 et 10 ans, la taille d’un enfant augmente de 5 cm par année en moyenne.

Suppose qu’un enfant de 3 ans mesure 70 cm. Quelle sera la taille de l’enfant à 10

ans?

Exemple

Les fourmis charpentières sont de grosses fourmis, souvent noires, qui font leurs nids

dans le bois. Elles forment d’abord une colonie mère et, une fois bien établie, elles

forment des colonies satellites constituées uniquement d’ouvrières. Une colonie bien

établie peut compter jusqu’à 3000 fourmis. Suppose que la croissance d’une colonie

présente une suite arithmétique et que le nombre de fourmis augmente d’environ 80

chaque mois. S’il y a 40 fourmis au départ, dans combien de mois la population

atteindra-t-elle 3000 fourmis?


120

Exemple

Tintin doit créer un étalage de boîtes de conserve. Les nombres de boîtes de conserve

dans chaque rangée forment une suite arithmétique. Il y a 14 boîtes de conserve dans

la 8e rangée à partir du bas et 10 boîtes de conserve dans la 12e rangée à partir du bas.

Détermine tn, t1 et d pour cette suite.

Exemple

Un réparateur d’appareils de chauffage demande 45$ pour la visite à domicile et 46$

par heure de travail. Détermine le coût d’une réparation qui exige 10 h de travail.


121

B. Les séries arithmétiques

Une série arithmétique est la somme des termes d’une suite arithmétique.

Donc, étant donné la suite 3, 6, 9, 12, … la série serait alors 3 + 6 + 9 + 12 + ⋯

La somme de la série arithmétique est dénotée par la formule :

𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑡1 + (𝑛 − 1)𝑑)

Ou

𝑆𝑛 =𝑛

2(𝑡1 + 𝑡𝑛)

Exemple

Détermine la somme de la série 5 + 8 + 11 + ⋯ + 53.

Exemple

Les lucioles mâles scintillent de différentes façons pour signaler leur position ou

éloigner les prédateurs. Le scintillement de chaque espèce de lucioles a des

caractéristiques particulières. Il se distingue entre autres par son intensité, sa

fréquence et sa forme. Une certaine luciole mâle scintille deux fois pendant la même

minute, quatre fois pendant la deuxième minute et six fois pendant la troisième

minute.

Combien de fois scintille-t-elle au total en 30 minutes?


122

Exemple

La somme des deux premiers termes d’une série arithmétique est 19 et la somme de

ses quatre premiers termes est 50. Détermine les six premiers termes de la série.

Détermine la somme de ses 20 premiers termes.


123

Pratique : les suites et les séries arithmétiques

1. Indique les suites qui sont arithmétiques. Pour chaque suite arithmétique, détermine

la valeur de 𝑡1, la valeur de 𝑑 et les trois prochains termes.

a. 16, 32, 48, 64, 80, … b. 2, 4, 8, 16, 32, …

c. −4, −7, −10, −13, −16, … d. 3, 0, −3, −6, −9, …

2. Écris les quatre premiers termes de la suite arithmétique qui a les valeurs indiquées

de 𝑡1 et de 𝑑.

a. 𝑡1 = 5 et 𝑑 = 3 b. 𝑡1 = −1 et 𝑑 = −4

c. 𝑡1 = 4 et 𝑑 =1

5 d. 𝑡1 = 1,25 et 𝑑 = −0,25

3. Soit la suite 𝑡𝑛 = 3𝑛 + 8. Détermine chaque terme.

a. 𝑡1 b. 𝑡7 c. 𝑡14

4. Pour chaque suite arithmétique, détermine les valeurs de 𝑡1 et de 𝑑, puis indique les

termes manquants.

a. ∎, ∎, ∎, 19, 23 b. ∎, ∎, 3,3

2 c. ∎, 4, ∎, ∎, 10

5. Détermine le rang de chaque terme pour compléter l’énoncé.

a. 170 est le ∎𝑒 terme de −4, 2, 8, …

b. −14 est le ∎𝑒 terme de 21

5, 2, 1

4

5, …

c. 97 est le ∎𝑒 terme de −3, 1, 5, …

d. −10 est le ∎𝑒 terme de 14, 12,5, 11, …

6. Détermine le deuxième terme et le troisième terme d’une suite arithmétique :

a. dont le premier terme est 6 et le quatrième terme est 33.

b. dont le premier terme est 8 et le quatrième terme est 41.

c. dont le premier terme est 42 et le quatrième terme est 27.

7. Soit le graphique d’une suite arithmétique.

a. Quels sont les cinq premiers termes de la suite?

b. Définis le terme général de cette suite.

c. Détermine la valeur de 𝑡50 et de 𝑡100.

d. Décris la relation entre la pente du graphique et la

formule que tu as écrite en b.

e. Décris la relation entre l’ordonnée à l’origine et la

formule que tu as écrite en b.

8. Détermine le premier terme de la suite arithmétique dont le 16𝑒 terme est 110 est la

raison est 7.


124

9. Le premier terme d’une suite arithmétique est 5𝑦 et sa raison est −3𝑦. Écris les

équations de 𝑡𝑛 et de 𝑡15.

10. Le club de golf de Wolf Creek, situé près de Ponoka, en Alberta, a déjà accueilli

l’Omnium de l’Alberta (Canadian Tour Alberta Open Golf Championship). Ce

tournoi compte un maximum de 132 participants. Le premier départ a lieu à 8h et il

y a un départ à toutes les 8 minutes. À quelle heure partira le dernier groupe?

11. Suzanne s’est inscrite à un centre de conditionnement physique. Son programme

d’exercices inclut des redressements assis selon une suite arithmétique. Le 6e jour de

son programme, Suzanne a fait 11 redressements assis. Le 15e jour, elle en a fait 29.

Si l’objectif de Suzanne est de faire 100 redressements, quel jour y arrivera-t-elle?

12. Les hydrocarbures sont les constituants de base de milliers de produits comme des

carburants, des plastiques et des fibres synthétiques. Certains ne sont formés que

d’atomes de carbone et d’hydrogène. Les alcanes sont des hydrocarbures saturés qui

ont des liaisons carbone-carbone simples. Voici les trois premiers alcanes.

L’hectane est composé de 202 atomes d’hydrogène. Combien de carbone faut-il pour

permettre la liaison de ces atomes d’hydrogène?

13. Détermine la somme de chaque série arithmétique.

a. 5 + 8 + 11 + ⋯ + 53 b. 7 + 14 + 21 + ⋯ + 98

c. 8 + 3 + (−2) + ⋯ + (−102) d. 2

3+

5

3+

8

3+ ⋯ +

41

3

14. Pour chaque série, détermine les valeurs de 𝑡1 et de 𝑑, puis la valeur de 𝑆𝑛 pour la

somme indiquée.

a. 1 + 3 + 5 + ⋯ 𝑆8 b. 40 + 35 + 30 + ⋯ 𝑆11

c. 1

2+

3

2+

5

2+ ⋯ 𝑆7 d. (−3,5) + (−1,25) + 1 + ⋯ 𝑆6

15. Calcule la somme, 𝑆𝑛, de chaque série arithmétique.

a. 𝑡1 = 7, 𝑡𝑛 = 79, 𝑛 = 8 b. 𝑡1 = 58, 𝑡𝑛 = −7, 𝑛 = 26

c. 𝑡1 = −12, 𝑡𝑛 = 51, 𝑛 = 10 d. 𝑡1 = 12, 𝑑 = 8, 𝑛 = 9

e. 𝑡1 = 42, 𝑑 = −5, 𝑛 = 14


125

16. Calcule la valeur du premier terme pour chaque série.

a. 𝑑 = 6, 𝑆𝑛 = 574, 𝑛 = 14 b. 𝑑 = −6, 𝑆𝑛 = 32, 𝑛 = 13

c. 𝑑 = 0,5, 𝑆𝑛 = 218,5, 𝑛 = 23 d. 𝑑 = −3, 𝑆𝑛 = 279, 𝑛 = 18

17. Pour chaque série, détermine la valeur de 𝑛.

a. 𝑡1 = 8, 𝑡𝑛 = 68, 𝑆𝑛 = 608 b. 𝑡1 = −6, 𝑡𝑛 = 21, 𝑆𝑛 = 75

18. Détermine 𝑡10 et 𝑆10 pour chaque série.

a. 5 + 10 + 15 + ⋯ b. 10 + 7 + 4 + ⋯

c. (−10) + (−14) + (−18) + ⋯ d. 2,5 + 3 + 3,5 + ⋯

19. Un programme d’entraînement exige qu’un pilote effectue des vols autour d’un

aérodrome. Chaque jour, le pilote fait trois tours de plus que le jour précédent. Le

cinquième jour, elle fait 14 tours. Combien de tours le pilote a-t-il fait à la fin du

cinquième jour?

20. Le deuxième et le cinquième terme d’une série arithmétique sont respectivement 40

et 121. Détermine la somme des 25 premiers termes.

21. La somme des cinq premiers termes d’une série arithmétique est 85. La somme des

six premiers termes est 123. Quels sont les quatre premiers termes de la série?

22. Les trois premiers termes d’une suite sont 𝑥, (2𝑥 − 5) et 8,6. Détermine la somme

des 20 premiers termes de la série.


126

Résumé : les suites et les séries arithmétiques


127

C. Les suites géométriques

Dans une suite géométrique, le rapport entre deux termes consécutifs est constant.

Exemple

3, 9, 27, 81, …

Le rapport entre deux termes consécutifs d’une suite géométrique est nommé la

raison.

𝑟 =𝑡𝑛

𝑡𝑛−1

La formule du terme général est dénoté par :

𝑡𝑛 = 𝑡1𝑟𝑛−1

Exemple

La plus petite réduction qu’un photocopieur peut faire correspond 60% de la taille

originale. Quelle est la plus petite longueur possible d’une photo après 8 réductions

si la photo a 42 cm de longueur au départ?


128

Exemple

Le deuxième terme d’une suite géométrique est 28 et son cinquième terme est 1792.

Détermine les valeurs de t1 et de r, puis indique les trois premiers termes de la suite.

Exemple

En 1990, la population du Canada était d’environ 26,6 millions d’habitants. Selon les

prévisions, elle devrait atteindre 38,4 millions d’habitants en 2025. Si cette prévision

est basée sur une suite géométrique, quel est le taux de croissance annuel?


129

D. Les séries géométriques

Une série géométrique est une expression qui représente la somme des termes d’une

suite géométrique.

La somme peut être calculée utilisant la formule générale :

𝑆𝑛 =𝑡1(𝑟𝑛−1)

𝑟−1

Exemple

Détermine la somme des 8 premiers termes d’une série géométrique où 𝑡1 = 64 et

𝑟 =1

4.

Exemple

Détermine la somme de cette série géométrique : −2 + 4 – 8 + … − 8192.


130

Exemple

Célia s’entraîne pour un marathon. Elle parcourt 25 km la première semaine, puis

elle augmente la distance parcourue de 10% chaque semaine. La série

25 + 25(1,1) + 25(1,1)2 + … représente cette situation. Célia désire poursuivre cette

régularité pendant 15 semaines. Quelle distance totale aura-t-elle parcourue à la fin

de la 15e semaine?


131

E. Les séries géométriques infinies

Une série peut soit être convergente ou divergente.

Une série convergente en est une qui semble converger vers un nombre.

Exemple

4 + 2 + 1 +1

2+ ⋯

𝑆4 = 7,5 𝑆9 = 7,9844 𝑆17 = 7,9999

Cette série semble converger vers 8.

Une série divergente en est une qui converge vers l’infini.

Exemple

4 + 8 + 16 + 32 + ⋯

𝑆4 = 60 𝑆7 = 508 𝑆10 = 4092

La série continue à croître.

La formule pour une série convergente peut être déterminée à partir de la formule

précédente. Si 𝑟 < 1 (une fraction), lorsque 𝑛 tend vers l’infini, 𝑟𝑛 tend vers zéro.

On peut donc simplifier la formule à :

𝑆∞ =𝑡1

1−𝑟, où −1 < 𝑟 < 1

Exemple

Détermine si chaque série géométrique infinie est convergente ou divergente.

Calcule la somme, si elle existe.

1 + 1

5 +

1

25 + … 4 + 8 + 16 + …


132

Exemple

On peut exprimer 0, 584̅̅ ̅̅ ̅ sous la forme d’une série géométrique infinie :

0, 584̅̅ ̅̅ ̅ = 0,584 584 584 …

= 0,584 + 0,000584 + 0,000000584 + …

Détermine la somme exacte de cette série.


133

Pratique : les suites et les séries géométriques

1. Détermine si chaque suite est géométrique. Si elle l’est, indique la raison

géométrique et la formule du terme général, 𝑡𝑛 = 𝑡1𝑟𝑛−1.

a. 1, 2, 4, 8, … b. 2, 4, 6, 8, … c. 3, −9, 27, −81, …

d. 1, 1, 2, 4, 8, … e. 10 , 15, 22,5, 33,75, … f. −1, −5, −25, −125, …

2. Détermine les quatre premiers termes de chaque suite géométrique.

a. 𝑡1 = 2, 𝑟 = 3 b. 𝑡1 = −3, 𝑟 = −4

c. 𝑡1 = 4, 𝑟 = −3 d. 𝑡1 = 2, 𝑟 = 0,5

3. Détermine les termes manquants, 𝑡2, 𝑡3 et 𝑡4, de la suite géométrique dans laquelle

𝑡1 = 8,1 et 𝑡5 = 240,1.

4. Écris une formule du terme général de chaque suite géométrique.

a. 𝑟 = 2, 𝑡1 = 3 b. 192, −48, 12, −3

c. 𝑡3 = 5, 𝑡6 = 135 d. 𝑡1 = 4, 𝑡13 = 16 384

5. Détermine le nombre de termes, 𝑛, des suites géométriques.

a. 𝑡1 = 5, 𝑟 = 3, 𝑡𝑛 = 135 b. 𝑡1 = −2, 𝑟 = −3, 𝑡𝑛 = −1458

c. 𝑡1 =1

3, 𝑟 =

1

2, 𝑡𝑛 =

1

48 d. 𝑡1 = 4, 𝑟 = 4, 𝑡𝑛 = 4 096

e. 𝑡1 = −1

6, 𝑟 = 2, 𝑡𝑛 = −

128

3 f. 𝑡1 =

𝑝2

2, 𝑟 = 𝑝, 𝑡𝑛 =

𝑝9

256

6. Voici une suite géométrique. Quelle est la valeur de 𝑦?

3, 12, 48, 5𝑦 + 7, …

7. Une balle tombe d’une hauteur de 3,0𝑚. Après chaque, rebond elle atteint 75% de sa

hauteur précédente. Quelle hauteur atteint la balle après le 6e rebond? Après combien

de rebonds la balle atteindra-t-elle une hauteur d’environ 40𝑐𝑚?

8. L’énergie cinétique de l’air est convertie en électricité par des éoliennes. En 2004,

ces éoliennes ont produit 326𝑀𝑊 d’électricité. Selon les prévisions, cette quantité

atteindra 10 000𝑀𝑊 en 2010. Quel est le taux de croissance durant cette période de

temps?

9. Détermine si chaque série est géométrique. Explique.

a. 4 + 24 + 144 + 864 + ⋯ b. −40 + 20 − 10 + 5 − ⋯

c. 3 + 9 + 18 + 54 + ⋯ d. 10 + 11 + 12,1 + 13,31 + ⋯

10. Pour chaque série géométrique, indique les valeurs de 𝑡1 et de 𝑟. Détermine ensuite

la somme indiquée.

a. 6 + 9 + 13,5 + ⋯ 𝑆10 b. 18 − 9 + 4,5 − ⋯ 𝑆12

c. 2,1 + 4,2 + 8,4 + ⋯ 𝑆9 d. 0,3 + 0,003 + 0,000 03 𝑆12


134

11. Que vaut 𝑆𝑛 pour chaque série géométrique?

a. 𝑡1 = 12, 𝑟 = 2, 𝑛 = 10 b. 𝑡1 = 27, 𝑟 =1

3, 𝑛 = 8

c. 𝑡1 =1

256, 𝑟 = −4, 𝑛 = 10 d. 𝑡1 = 72, 𝑟 =

1

2, 𝑛 = 12

12. Détermine 𝑆𝑛 pour chaque série géométrique.

a. 27 + 9 + 3 + ⋯ +1

243 b.

1

3+

2

9+

4

27+ ⋯ +

128

6561

c. 𝑡1 = 5, 𝑡𝑛 = 81 920, 𝑟 = 4 d. 𝑡1 = 3, 𝑡𝑛 = 46 875, 𝑟 = −5

13. Quelle est la valeur du premier terme de chaque série géométrique?

a. 𝑆𝑛 = 33, 𝑡𝑛 = 48, 𝑟 = −2 b. 𝑆𝑛 = 443, 𝑛 = 6, 𝑟 =1

3

14. Une balle de tennis tombe d’une hauteur de 20𝑚. À chaque rebond la balle atteint

40% de sa hauteur précédente. Quelle est la somme des hauteurs des bonds

parcourus par la balle lorsqu’elle touche le sol lors du 6e rebond?

15. Céline s’entraîne pour un marathon. Elle court 25km la première semaine et

augmente la distance de 10% à chaque semaine. Quelle est la distance totale qu’elle

aura parcouru après la 15e semaine?

16. Le troisième terme d’une série géométrique est 24 et son quatrième est 36. Quelle

est la somme des 10 premiers termes?

17. Si 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 35 et 𝑎𝑏𝑐 = 1 000, que sont les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 s’ils forment

une suite géométrique?

18. La somme des 7 premiers termes d’une série géométrique est de 89 et la somme des

8 premiers termes est de 104. Quelle est la valeur du 8e terme?

19. Indique si chaque série géométrique infinie est convergente ou divergente.

a. 𝑡1 = −3 et 𝑟 = 4 b. 𝑡1 = 4 et 𝑟 = −1

4

c. 125 + 25 + 5 + ⋯ d. (−2) + (−4) + (−8) + ⋯

e. 243

3 125−

81

625+

27

25−

9

5+ ⋯

20. Détermine la somme de chaque série géométrique infinie, si elle existe.

a. 𝑡1 = 8 et 𝑟 = −1

4 b. 𝑡1 = 3 et 𝑟 =

4

3

c. 𝑡1 = 5 et 𝑟 = 1 d. 1 + 0,5 + 0,25 + ⋯

e. 4 −12

5+

36

25−

108

125+ ⋯

21. Exprime chaque nombre sous forme de série géométrique infinie : 0, 87̅̅̅̅ et 0, 437̅̅ ̅̅ ̅.

22. Est-ce que 0,999 … = 1? Démontre à l’aide d’une série géométrique.


135

23. Quelle est la somme de chaque série géométrique infinie?

a. 5 + 5 (2

3) + 5 (

2

3)

2

+ 5 (2

3)

3

+ ⋯

b. 1 + (−1

4) + (−

1

4)

2

+ (−1

4)

3

c. 7 +7

2+

7

4+

7

8+ ⋯

24. Une série géométrique infinie a une somme de 81 et sa raison géométrique est 2

3.

Quels sont les trois premiers termes de la série?

25. Le premier terme d’une série géométrique est −8 et sa somme est de −40

3. Quels

sont les quatre premiers termes de la série?

26. Au cours de son premier mois d’exploitation, un puit de pétrole a produit 24 000

barils d’huiles. Chaque mois subséquent, il produit 94% de la production du mois

précédent. Quelle sera la production totale du puit au cours de sa vie? Est-ce

vraisemblable?

27. La série infinie 1 + 3𝑥 + 9𝑥2 + 27𝑥3 + ⋯ a une somme de 4. Quelle est la valeur

de 𝑥?


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Résumé : les suites et les séries géométriques

mathématiques pré-calcul 30s centre scolaire léo-rémillard...

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