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Mathématique 3
e secondaire
Notes de Cours
Adaptation des ressources pédagogiques de
POINT DE VUE et de INTERSECTION
Géométrie
Géométrie 2014_2015
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La relation de Pythagore Chapitre 1 exercices p.31
Dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des cathètes.
Le côté opposé à l’angle droit d’un triangle rectangle est toujours le côté le plus long. Il s’appelle
l’hypoténuse.
Les côtés adjacents à l’angle droit sont les cathètes du triangle rectangle.
Exemples :
1. Trouver la mesure c de l’hypoténuse d’un
triangle rectangle dont les autres côtés
mesurent 6 et 8 unités.
L’hypoténuse mesure _____ unités.
c 6
8
2. Déduire la valeur de b dans le triangle
ci-dessous.
La valeur exacte de b est ____unités et sa
valeur approximative, ______ unités.
12
b 14
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Réciproque de la relation de Pythagore
Si un triangle est tel que le carré de la mesure d’un côté est égal à la somme des carrés des mesures des
autres côtés, alors il est un triangle rectangle.
Si a2 + b
2 = c
2 , alors le triangle est un triangle rectangle.
Exemples
À partir des mesures de côtés d’un triangle, on peut vérifier s’il est un triangle rectangle.
Parmi les mesures de côtés de triangle suivantes, lesquelles forment des triangles rectangles ?
a) 4, 9, 10 b) 5, 13, 12 c) 10, 6, 7 d) 4,5 ; 2,5 ; 5,5
La relation de Pythagore en géométrie
Exemple
Trouve l’aire de la section ABCD si l’arête du cube mesure 15 cm.
A
B
C
D
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La relation de Pythagore dans certains cas particuliers La relation de Pythagore dans le triangle rectangle isocèle.
1. Trouve la mesure manquante dans les triangles rectangle isocèle ci-dessous.
a)
b)
c) Isole x
Particularités de la hauteur dans les triangles isocèles et dans les triangles équilatéraux.
La hauteur d’un triangle est toujours perpendiculaire à sa base ;
Dans les triangles isocèles, la hauteur est aussi la médiane.
2. Trouve la mesure de la hauteur dans le triangle équilatéral suivant.
x
x c
8 cm
8 cm c
a
a 45 m
8 cm
A
B C
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Les pensez-y bien !
3. Quelle est l’aire du triangle rectangle suivant ?
La relation de Pythagore dans l’hexagone régulier
L’hexagone régulier est formé de 6 triangles équilatéraux. Tous les autres polygones réguliers
sont formés de triangles isocèles.
4. Quelle est l’aire d’un hexagone régulier donc le périmètre est de 30 cm ?
9 cm 21 cm
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La représentation de solides
Chapitre 1 exercices p.19
Une projection permet de représenter en deux dimensions un objet à trois dimensions.
La perspective cavalière
1) Une face de l’objet se
trouve dans le même
plan que la feuille sur
laquelle l’objet est
représenté.
2) Les arêtes obliques
(appelées « les fuyantes
») sont toutes du même
côté de cette face et sont
parallèles entre elles.
L’angle de profondeur
est d’environ 45°.
3) La mesure des fuyantes
est réduite environ de
moitié par rapport à la
face située au premier
plan.
Exemple : Dessine un prisme à base
triangulaire selon la perspective cavalière.
Les projections orthogonales
La projection orthogonale est la représentation en 2D des faces de l’objet en 3D.
Exemple 1 : les trois vues généralement utilisées Exemple 2 :
pour représenter un objet.
Observateur objet Vue face
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La classification de solides
Un solide est une portion d’espace limitée par une surface. On parle de 3D (trois dimensions)
Voici une classification des solides :
On peut reconnaître un polyèdre à l’aide de la formule d’Euler : S + F = A + 2
où S : F: A :
Exemples :
1. Nomme le solide suivant et vérifie s’il respecte la relation d’Euler.
Nom :
Nb sommets : ___ Euler :
Nb faces : ___
Nb arêtes : ___
2. Voici une description d’un solide qui respecte la relation d’Euler.Trouve la valeur manquante à l’aide de
la formule d’EULER, puis dessine, en perspective cavalière, un solide possible.
Je possède 5 faces et 5 sommets. J’ai donc ______ arêtes.
Je suis
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Le développement de polyèdres Le développement d’un polyèdre est la représentation, dans un plan, de toutes les faces du polyèdre.
Exemples : Développement possible d’un prisme à bases rectangulaires. Développement possible d’une pyramide à base carrée.
Pour qu’une représentation soit un développement, toutes les faces doivent être reliées par au moins
une arête.
Étudions certaines lignes des figures en deux dimensions et des solides en trois dimensions.
Figures plane
(2D)
Solide (3D)
Hauteur
Segment reliant un sommet à son coté opposé, de façon perpendiculaire. Exemples :
Pyramide : Segment reliant le sommet (apex) à la base de façon perpendiculaire. Prisme : distance entre les deux bases (perpendiculaire) Exemples :
Apothème
Dans un polygone régulier : segment liant le centre du polygone à un coté, de façon perpendiculaire.
Sur une pyramide : segment liant le sommet (l’apex) à un coté de la base, de façon perpendiculaire.
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Exercices
Voici certains solides et leur développement. Pour chacun d’eux :
1. Nomme-le ;
2. Trace et associe tous les segments tels : apothème, hauteur, rayon, largeur, longueur ;
3. Identifie la (les) base(s).
Utilise des couleurs au besoin.
a) Nom :
b) Nom :
c) Nom :
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d) Nom :
e) Nom :
L’aire des figures (2 dimensions)
Triangle
A = b • h
2
Rectangle
A = b • h
Trapèze
A = (B + b) • h
2
Carré
A = c2
Parallélogramme
A = b • h
Polygone régulier
c
A = c • a • n
2
Losange
A = D • d
2
Disque
A = π r2
Circonférence cercle
C = πd où d = 2r
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L’aire des solides
Pour trouver l’aire d’un solide, il suffit de dessiner son développement (avec toutes les mesures) puis de trouver
l’aire de chacune des figures qui le compose.
a) Cube
b) Prisme droit à base rectangulaire
c) Prisme droit à base triangulaire
2,24 cm
6 dm
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d) Pyramide régulière à base carrée
e) Prisme régulier à base pentagonale
f) pyramide régulière à base hexagonale
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g) Cylindre droit
L’aire du cône de la sphère Chapitre 1 exercices p.46
L’aire totale du cône
Atotale = Alatérale + Abase
At = ra + r2
Exemple
L’aire totale du cône ci-contre est :
At = _______________
At _______________
Valeur exacte de l’aire totale
de ce cône (cm2).
Valeur approximative
a a
r r
8 cm
2 cm
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Exercice
Trouve l’aire totale de ce cône.
L’aire de la sphère
A = 4r2
Exemple
Quelle est l’aire d’une sphère dont le diamètre est de 10 cm est :
At = _______________
At _______________
Exercice mesure manquante
Trouve le rayon d’une sphère si son aire est de 800 cm2.
r
Valeur exacte de l’aire de
cette sphère.
20 dm
18 dm
Valeur approximative
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L’aire de solides décomposables
Pour calculer l’aire totale d’un solide décomposable, il faut considérer l’aire de toutes les régions
visibles si l’on observe les différentes vues possibles de ce solide.
Rappel
Exemple
Quelle est l’aire du solide décomposable ci-contre ?
At = _______________
At _______________
Les solides utilisés sont :
4
10 cm
12 cm
r = 4 cm
cm
ALatérale = dh
Valeur exacte de l’aire de
cette sphère.
Valeur approximative de l’aire totale de ce cône
en considérant que 3,1416.
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Exercices
1. Calcule l’aire de ce solide formé d’un prisme droit à base carrée et d’une pyramide droite.
2. Calcule l’aire de cette citerne.
3 dm
11 dm
5 dm
5 dm
6 mm
15 mm
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3. a) Trouve l’aire totale de cette demi-sphère.
b) Quelle est la hauteur de ce solide ?
4. Un cornet de glace est composé d’un cône, d’une demi-boule et d’une
cerise sphérique. L’apothème du cône est de 5 cm, le rayon de la demi-boule est de 3 cm et le diamètre de la cerise est de 1 cm. Quelle est la hauteur totale du solide ?
5. Quelle est la hauteur d’une demi-sphère dont l’aire totale est de 100 cm
2 ?
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Le calcul du volume des solides Chapitre 3 exercices p.154
Les unités et les capacités
Longueur
km hm dam m dm cm mm Facteur 10
Aire
km2
hm2
dam2 m
2 dm
2 cm2
mm2 Facteur 10
2
Volume
km3
hm3
dam3 m
3
dm3
L
cm3
mm3 Facteur 10
3
Capacité
kL hL daL dL cL mL Facteur 10
Exemples :
Utilise les relations décrites plus hautes pour faire des transformations d’unités.
1. 1,78 m vaut cm. 4. 23 dm3 vaut cm
3.
2. 4,5 L vaut mL. 5. 3,2 m3 vaut L.
3. 5 dam3 vaut dL. 6. 3,2 cl vaut cm
3.
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Le volume de prismes droits et de cylindres droits
Exemples
1. Prisme droit à base
pentagonale Calcul du volume 2. Cylindre droit Calcul du volume
Exemple mesures manquantes
3. Un abri a la forme ci-contre. Sa capacité est de 288 kl. Quelle est sa profondeur ?
V = Aune base h
5 cm
4 cm
6 cm
Abase = 25 cm2
6 m
8 m
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Le volume de pyramides droites ou de cônes droits
Exemples
1. Pyramide droite à
base pentagonale Calcul du volume 2. Cône droit Calcul du volume
Exemple mesures manquantes
3. Calcule la hauteur d’une pyramide dont la base est un carré de 225 m de côté et dont le volume est
d’environ 2 421 500 m3.
V = 3
hAbase
3 cm
Abase = 12 cm2
h = 6 cm
3 cm
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Le volume d’une boule
Chapitre 3 exercices p.181
Exemples : Calculer le volume de la boule suivante : Calculer le rayon
de la boule suivante :
Le volume des solides décomposables
Exercices
1. Le sablier ci-dessous est rempli de sable à moitié. Calcule le volume de sable utilisé.
r
2 cm
Vboule = 20 cm3
3
4 3rVboule
Comment calcules-tu la racine
cubique sur ta calculatrice?
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2. Un marteau à viande a la forme d’un prisme à base carrée. Chacune de ses bases est recouverte
entièrement par 36 pyramides à base carrée qui sont tangentes les unes aux autres. Les pyramides
ont une hauteur de 0,7 cm et le prisme mesure 2,4 cm sur 2,4 cm sur 5,1 cm. Détermine la
quantité de polymère nécessaire pour couler la tête de ce marteau attendrisseur.
3. Calcule le volume du tuyau suivant :
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Aire et volume d’une pyramide et d’un cône
4. L’aire de la base d’un cône est de 16 cm2. Sa hauteur est de 5 cm.
a) Quelle est son aire totale ? b) Quel st son volume ?
5. Une pyramide a base carrée a une hauteur de 8x cm. La mesure du côté de sa base est de 12x cm et son
apothème est de 10x cm.
a) Quelle expression algébrique représente b) Quelle expression algébrique représente
son aire ? son volume ?
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Résumé : mes formules en géométrie
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Les solides semblables et le rapport de similitude Chapitre 6 exercices p. 485
On obtient le rapport de similitude (k) en COMPARANT des solides (ou figures) semblables.
Le rapport de similitude (k), est le rapport entre les mesures des côtés homologues de solides (ou
figures) semblables.
Lorsqu’un solide (ou une figure) est un agrandissement, une réduction ou une reproduction d’un autre,
on dit que ces solides (figures) sont .
o Les angles homologues de solides (ou figures) semblables sont .
o Les mesures de cotés homologues de solides (ou figures) semblables sont .
Lorsque k = 1, les figures ou les solides sont .
Figures semblables : Figures isométriques :
Pour des figures, il est possible de comparer des longueurs (k1) et des aires (k
2).
Pour les solides, il est possible de comparer des longueurs (k1), des aires (k
2) ou des volumes (k
3).
Comparaison longueurs
k
1 = longueur grand solide
longueur petit solide
Comparaison aires
k2 = aire grand solide
aire petit solide
Comparaison volumes
k3 = volume grand solide
volume petit solide
Qu’est-ce qu’une longueur? :
Longueur, largeur, hauteur,
périmètre, rayon, apothème,
etc.
Qu’est-ce qu’une aire ?
Surface à peindre, à
recouvrir, etc.
Qu’est-ce qu’un volume ?
Espace occupé par un corps,
capacité d’un corps, etc.
k1
k2 k3
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Exemple : Soit les deux prismes semblables suivants.
Le rapport de similitude (k1)
Le rapport des aires (k2)
Le rapport des volumes (k3)
S R
P
T U
V Q
W
9
3
6
3
2
1
D C
G
F
E H
B
I
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Exercices
1. Les figures ci-dessous sont semblables. Détermine la mesure manquante.
2. Connaissant un des trois rapports, trouve les deux autres.
a) k1 =
3
2 k
2 = k
3 =
b) k1 = k
2 =
25
16 k
3 =
c) k1 =
9
7 k
2 = k
3 =
d) k1 = k
2 = k
3 =
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La recherche de mesures manquantes
Lorsque l’on est en présence de deux solides semblables, il est possible de trouver des informations sur les
solides si on est capable de les comparer.
Exemple 1 :Voici deux cylindres semblables. On veut calculer le volume du petit cylindre.
suite page suivante !
A base = 4 cm2
A base = 64 cm2
20 cm
c
K
1
K2
K3
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Étapes Démarche
1. Repérer deux mesures connues d’éléments
homologues et calculer le rapport correspondant.
2. Trouver la valeur du rapport correspondant à la
valeur manquante.
3. Déterminer la mesure manquante à l’aide d’une
proportion.
4. Répondre à la question.
Exemple 2 :
Voici deux pyramides semblables. Le volume de la petite pyramide est 8 fois plus petit que celui de la grande
pyramide. Trouve la hauteur de la grande pyramide.
K1
K2
K3
V = 512 cm
3
4 cm