ma201-examen-08-09
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examen elements finisTRANSCRIPT
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1MA201 La methode des elements finis.Controle continu du 14 novembre 2008.Duree : 3 heures.Documents autorises : polycopie MA201 (partie 1 et partie 2),enonces/corriges TD MA201, enonces TP MA201.Toute reponse doit etre justifiee.
Exercice 1 Un proble`me de bi-laplacien. Soit , un ouvert borne connexe deR3, de frontie`re suffisamment regulie`re, et soit f L2().
On cherche u L2() definie sur telle que
[|u|2 + |u|2
]d
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22. Pour une fonction a` valeurs vectorielles := (i)i=1,2,3, on a
()i = i, 1 i 3.
Soit (D())3. Montrer que
= rot rot div.
3. Pour une fonction a` valeurs vectorielles , on a
()ij =ixj
, 1 i, j 3.
Soient (,) (D())3 (D())3. Etablir legalite suivante
: d =
rot rot d +
div div d. (3)
En utilisant un resultat de densite, verifier que (3) est encore valable pour(,) (H10 ())
3 (H10 ())
3.
4. Soit u H20 (), montrer que := u (H10 ())
3. On introduit
|u|2, :=
(
|u|2 d
)1/2,
la semi-norme H2(). Utiliser (3) pour montrer
|u|2, = uL2(), u H20 (). (4)
5. Montrer quil existe une constante C > 0 telle que2
u2H1() C|u|22,, u H
20 (). (5)
Indication: Raisonner par labsurde.
6. Demontrer lexistence et lunicite de la solution du proble`me (2).
7. On decoupe la frontie`re en = 1 2 avec 1 2 = et mes(1) > 0.Soit le sous-espace de H2() defini par
Y ={v H2() : v|1 = 0, v ~n|1 = 0
}.
Soient g1 et g2 deux elements de L2(2). On veut etudier la formulation
variationnelle suivante
u Y,
u v d =
fv d +
2
[g1 v ~n g2 v] d, v Y.(6)
2Sous les hypothe`ses de lenonce, linjection H2() H1() est compacte.
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3On admet que la formulation variationnelle ci-dessus est bien posee. In-terpreter (6) en termes dequations aux derivees partielles et de conditionsaux limites en supposant que la solution du proble`me est assez regulie`re (celapermet deffectuer des integrations par parties sans se soucier de la regularitedes fonctions).
Etablir finalement lequivalence entre le proble`me ecrit sous forme dequationaux derivees partielles et de conditions aux limites et la formulation variation-nelle (6).
Exercice 2 Approximation numerique par penalisation. Soit , un ouvertborne connexe de R2, de frontie`re suffisamment regulie`re. On introduit lespace
= {w H1() : w L2()}
et lon se donne une fois pour toutes les fonctions f L2() et u . On pose
a(u, v) =
u v d, `(v) =
fv d.
1. Demontrer quil existe une unique fonction u H1() verifiant{(u u) H10 (),
a(u, v) = `(v), v H10 ().(7)
Indication : changer de fonction inconnue.
2. Interpreter (7) en termes dequations aux derivees partielles et de conditionsaux limites pour u.
3. Soit Vh un sous-espace de dimension finie de H1() et h un reel strictement
positif. Demontrer quil existe une unique fonction uh Vh telle que
a(uh, vh) +1
h
(uh u)vh d = `(vh), vh Vh.
Indication : etablir que la forme bilineaire ah, definie par
ah(uh, vh) = a(uh, vh) +1
h
uhvh d, (uh, vh) Vh2,
verifie ah(vh, vh) > 0 pour tout element vh non nul de Vh.
Dans les questions 4., 5. et 6., on supposera que u H2(), poursimplifier lecriture des termes sur .
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44. Etablir que
|uuh|21,+
1
huuh
2L2() = a(uuh, uvh)+
1
h
(uuh)(uvh) d
+
u
~n(u uh) d
u
~n(u vh) d, vh Vh.
On rappelle que :
|v|1, := (a(v, v))1/2 et vL2() :=
(
v2 d
)1/2.
5. Soient > 0, a, b R. Etablir linegalite :
ab
2a2 +
1
2b2.
En deduire que, pour tout vh Vh, on a :
|u uh|1,|u vh|1, 12|u uh|
21, +
12|u vh|
21,,
1hu uhL2()u vhL2()
12hu uh
2L2() +
12hu vh
2L2(),u
~n
L2()
u vhL2() h2
u~n
2L2()
+ 12hu vh
2L2().
6. Montrer quil existe une constante C independante du sous-espace Vh et dunombre h telle que
|uuh|1, C
{inf
vhVh
(|u vh|
21, +
1
hu vh
2L2()
)+ h
u~n2
L2()
}1/2.
On supposera desormais louvert polygonal et la fonction u suff-isamment regulie`re. Soit (Th)h une famille regulie`re de triangu-lations, composees de triangles. Pour chaque h, soit Vh lespacedapproximation interne de H1() construit a` laide de lelement finide Lagrange P 1.
7. En donnant toutes les justifications necessaires, etablir que
infvhVh
(|u vh|
21, +
1
hu vh
2L2()
) C(u)h2
(1 +
1
h
),
ou` C(u) est une constante qui ne depend que de la solution u.
8. On suppose enfin que h est de la forme h = h, avec un reel. Montrer que
pour un choix convenable du nombre > 0, on a
|u uh|1, = O(h1/2).