cordonnées cartésiennes 04-08-09 - copie
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cartésiennes
Réalisé par
R. MARRAKHA. KHAYAR
Khayar-marrakh
Professeurs assistants - département de physique
Université Hassan-IICasablanca
Faculté des sciences Aïn chock
Dessiner en perspective signifie chercher à représenter sur un plan les objets
de l’espace en donnant l’illusion de la profondeur c-à-d la 3ème dimension
Khayar-marrakh
On choisit généralement pour l’espace à trois
dimensions un système ( repère ) d’axes
rectangulaires représenté en perspective.
Dans ce système d’axes le point M est repéré par les projections orthogonales :
m dans le plan Oxy
m1 : sur l’axe des x
m2 : sur l’axe des y
et m3 : sur l’axe des z
La position d’un point M dans cet espace est parfaitement déterminée quand on connaît les distances des mesures algébriques,
appelées : coordonnées
cartésiennes.
L’intersection des plans et
donne l’axe (orienté)
des coordonnées x
L’intersection des plans et
donne l’axe (orienté)
des coordonnées y
et l’intersection des plans et
donne l’axe (orienté)
des coordonnées z
où : x = Om1 , y = Om2
et z = Om3.
appelés :
surfaces de coordonnées
Dans le système cartésien imaginé par DESCARTES, l’espace à trois dimensions est repéré par le coin d’une salle :
( intersection de trois plans )
MA , MB et MC.
Les deux murs et le sol sont
remplacés par trois plans , et ,
x
AB
C
x
y
z
z
yyx
z
OM ( , , )
m
m1
m2
m3
Surfaces de Coordonnées
Deuxième surface de coordonnée
y = yo ( x et z varient de – à + )
Troisième surface de coordonnée
z = zo ( x et y varient de – à + )
Première surface de coordonnée
x =xo (y et z varient de – à + )
Définition :
Une surface de coordonnée est l’ensemble de points telle que l’une des trois coordonnées est constante.
Khayar-marrakh
Surface de coordonnée
X = 0
X = – 2
O
z
y
x
X = 1
X = 2
X = 3
X = 4
X = – 1
Surfaces de coordonnées x = cte .
Il s’agit d’une infinité de surfaces x = cte // au plan Oyz.
O
z
x
y
Surface
de coordonnée
y = – 3y = – 2
y = – 1y = 0
y = 1y = 2
y = 3
X = 3
Surfaces de coordonnées y = cte .
Il s’agit d’une infinité de surfaces y = cte // au plan Oxz.
x
O
y
z
Surface de oordonnée
z = – 2
z = – 1
z = 0
z = 1
z = 2
z = 3
Surfaces de coordonnées z = cte .
Il s’agit d’une infinité de surfaces z = cte // au plan Oxy.
y
Khayar-marrakh
Axes de Coordonnées
Axe des yx = xo et z = zo
Axe des zx = x et y = yo
Axe des x
y = yo et z = zo
Définition :
Un axe de coordonnées est l’intersection de deux surfaces de
coordonnées, c’est-à-dire l’ensemble des points obtenus en fixant
les valeurs de deux coordonnées et en laissant libre la troisième.
Leur intersection donne
l’axe (orienté) des x
Khayar-marrakhAxe des x
x
yo
zo
y = yo z = zoet
On trace les deux surfaces
de coordonnées:
Conclusion :
L’ensemble des points M, appartenant à l’intersection des plans yo et
zo , forme une droite appelée axe des x .
Leur intersection donne
l’axe (orienté) des y
On trace les deux surfaces
Khayar-marrakh
Axe des y
de coordonnées:
y
z = zo x = xo et
xo
Conclusion :
L’ensemble des points M, appartenant à l’intersection des plans xo et
zo , forme une droite appelée axe des y .
zo
On trace les deux surfaces
Leur intersection donne
l’axe (orienté) des z
Khayar-marrakh
Axe des Z
de coordonnées:
z
yo
y = yo x = xo et
xo
Conclusion :
L’ensemble des points M, appartenant à l’intersection des plans xo et
yo , forme une droite appelée axe des z .
Coordon- nées
Domaine de variation
Vecteurs unitaires
X ] - , + [
x
z
yO
( , , ) Pour tracer un repère, on choisit en
général Oy perpendiculaire à Oz
et Ox la bissectrice de l’angle yOz.
] - , + [ayant le même sens que O x.
ayant le même sens que O z.
y z
Origine : le point O
] - , + [ Origine : le point O
Origine : le point O
ex
M
z
y
mx
y
z
ez
ey
x
Vecteurs unitaires
ex
ez
ey
Les trois axes de coordonnées Ox , Oy et Oz sont des droites
indéfinies orientées de vecteurs unitaires , et ex ey ez
ayant le même sens que O y.
z
yex
x
= x + y + zex ey ez
z
Khayar-marrakhVecteurs position
M
z
Oy
mx
( , , )
ez
ey
x y z
x
Dans la base cartésienne le vecteur position
OM a pour expression : M
m1
y
OM = Om1 + m1m + mM
Quelle est l’expression du vecteur déplacement élémentaire
dans ce système de coordonnées ? dl = MM'
dy
dxMM1 =
M1 M2 =
M2 M' =
xe
ye
ze
dx
dy
dzM2 M =
Deuxième déplacement suivant l’axe des y
Le déplacement élémentaire est le résultat
de trois déplacements :
de M à M'
N.B. : M est infiniment voisin de M.
Khayar-marrakh
zTroisième déplacement suivant l’axe des
Déplacement élémentaire
Soient M et M' deux points de l’espace.
de M vers M1 MM1 =
dy
dzdx
Question :Réponse :
de M1 vers M2 M1 M2 =
de M2 vers M'
xe
ye
ze
dz
xdx
M
z
x
y M'
M2 M’
z
x + dx
y+ dy
z + dz
x + dx
y+ dyM1 M2
z
x
y
z
x + dx
y+ dy
y dy
z + dz
O
z
y
x
M1M2
MM
Premier déplacement suivant l’axe des x
M M1
z
x
y
z
x + dx
yx y zd dx e dy e dz e
MM' = MM1 + M1 M2 + M2 M'
N.B. : M’ est infiniment voisin de M. suivi d’un autre suivant
l’axe des z ,
Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des y
Khayar-marrakhSurfaces élémentaires
x= constante
dy
Un déplacement élémentaire MM’ sur la surface x =constante définit un élément de surface .
x
y
z
O
dzdS = ye
Λ ze
dydz= xe
On se trouve sur le plan Oyz
( x = 0 )
A retenir :
dS = dydz
M’M
dS
on obtient l’élément : dS
dS
dy
dz
dS
dz xe
dx
Dans le plan Oxz ( y = 0 )
on obtient l’élément de surface :
Khayar-marrakh
dx
x
y
z
O
dz
dS = ze Λ
dxdz= ye
A retenir :
dS = dxdz
dS dz
dx
dS
dS
y= constante
Dans le plan Oxy ( z = 0 )
on obtient l’élément de surface :
Khayar-marrakh
dx
x
y
z
Ody
dS = xe
Λ ye
dxdy= ze
A retenir :
dS = dxdy
dxdy
dx
dy
dS
dS
dS
z= constante
z
Khayar-marrakh
= dxdydz
O
z
y
x
Volume élémentaire
Soient M et M' deux points de l’espace.
N.B. : M' est infiniment voisin de M.
définit un élément de volume d
yexe Λ zed = ( )
Traçons d’abord les axes de coordonnées et effectuons des déplacements élémentaires le long de ces axes. On obtient le volume élémentaire d
Surface de la base
A retenir :
d =dxdydz dy
dz dx
dM
M'
Un déplacement élémentaire MM'
Nous désirons exprimer nos remerciements à tous les collègues qui, par leur aide et leur encouragement, nous ont permis d’achever ce travail.Septembre 2009