m5 - dynamique compétences attendues : programme s.t.i. : principe fondamental de la dynamique pour...
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M5 - DYNAMIQUE
Compétences attendues :
Programme S.T.I. :
• Principe fondamental de la dynamique pour un solide en mouvement
Déterminer l’accélération d’un solide.Déterminer les actions mécaniques qui
agissent sur le solide en mouvement
Mise en évidence du principe
• Expérience 1 :
• Comparer la vitesse de rotation de la patineuse dans les deux cas. Que constatez-vous ?
La vitesse dépend de la répartition de la matière autour de l’axe de rotation.
Soit une patineuse de masse m faisant la "toupie" (rotation d'axe fixe)
Cette grandeur s’appelle le moment d’inertie noté IG
Moment d’inertie
IG représente le moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation du système isolé (c’est la répartition de la matière autour de l’axe de rotation) . Il est exprimé en kg.m2
VolumeMoment d’inertie
représentation
Cylindre plein
IG = ½ m.R2
Cylindre creux
IG = ½ m.(R2+r2)
Rayon R
Rayon R
Rayon r
Mise en évidence du principe
• Expérience 2 :
Le couple moteur Cm
trois roues indépendantes de masse et de rayon différents (IG différents) sont guidées par des roulements identiques. On néglige toutes résistances passives.
vélo voiture
tracteur
Sur quelle grandeur physique faut-il agir pour que les trois roues aient la même accélération w’ ?
Principe fondamental de la dynamique de rotation
EnoncéLa somme des moments qui agissent sur le solide S, est égale au moment d’inertie du solide IG multipliée par son accélération angulaire w’ .
NEWTON1642 - 1727
Le solide est équilibré en translation donc la somme des forces est nulle
')/(
GG ISSM
Le centre de gravité est situé sur l’axe de rotation.
Autour de l’axe de rotation : Cm – Cr = IG x w ’
Rappel de cinématique : w ’ = (w-wo)/t ou w ’ =(w2-w02)/2(-0)
Application : démarrage à vide d’une perceuse
1/ Calculer l'accélération angulaire au moment du démarrage.
x
Le couple de démarrage d’une perceuse est de 0,1 N.m.
Sa vitesse de rotation en régime permanent est de 3000 tr/mn.
Le moment d'inertie des parties tournantes est de 10-4 kg.m2 .
PFD : Cm – Cr = IGx . w’
w’ = ( Cm – Cr ) / IGx
w’ = ( 0,1 – 0 ) / 10-4 = 103 rd/s2
Application : démarrage d’un moteur
AG
volant
stator 1
rotor
bati 0
Cm Cr x
S
L’inventaire des actions mécaniques extérieures à S est définit comme suit :
Soit l’ensemble S en liaison pivot d’axe Ax.
L’ensemble de la chaîne cinématique est modélisé par un volant plein de rayon R= 150 mm et de masse m= 50 kg.
* un couple moteur au démarrage de 5 Nm* un couple résistant de 0,2 Nm * Le poids de l’ensemble tournant de 500N
* l’ action de guidage en A de 0 sur S
P
démarrage d’un moteur (suite)
1/Modéliser les Actions mécaniques extérieures au solide S tournant :
xyz
AA
AAA
ANZMY
XST
RxAenddl
0
/00000
0
xyzA
NmmCT
0000
50
xyzA
NmrCT
00002,00
xyzG
NSTterre
00050000
/
démarrage d’un moteur (suite)2/ Calculer la durée de l’accélération pour que le moteur atteigne la vitesse de 1500 tr/mn :
2-1/ en négligeant les frottements 2-2/ en considérant que tous les frottements se
réduisent à un couple de frottement Cf = 0,2 Nm.
Frottements négligés
Cf = 0,2Nm
PFD
Cm - Cr
IGX=1/2.m.R2
w’= (Cm-Cr)/IGX
t = (w-w0) / w’
Cm – Cr = IGX . w’
5Nm 4,8Nm
½ . 50 . 0,152 = 0,5625 kg.m2
8,89 rd/s2
(1500.2/60)/8,89= 17,67s
8,53 rd/s2
(1500.2/60)/8,53= 18,41s
Application : Freinage du moteur
L’arrêt d’un arbre moteur tournant à 1500 tr/mn s’effectue en 1 seconde.Déterminer le couple de freinage assurant l’arrêt de moteur.
Frottements négligés
Cf = 0,2Nm
PFD
IGX=1/2.m.R2
w’ = (w-w0) / t
Cm-Cr
Cfreinage=Cr-Cf
Cm – Cr = IGX . w’
½ . 50 . 0,152 = 0,5625 kg.m2
(-1500.2/60)/1 = - 157,08 rd/s2
- 88,36 Nm
88,36 Nm 88,16 Nm
Application : solide en liaison pivot
On considère un ensemble S en liaisonpivot d’axe (A,x).
A S
X
Y
ZA
A
A
A XYZ
( / )1
0
0
0
B S Y
ZB
B
B XYZ
( / )2
0 0
0
0
* Le poids est modélisable en G par : T terre S
G XYZ
( / )
0 0
200 0
0 0
C S
C XYZ
( / )3
0 2
100 0
0 0
* Cette liaison pivot est obtenue par l’association d’une rotule en A et d’une linéaire annulaire d’axe Bx.
A BC
P
Gxy
OI(A,x) = 8 . 10-3 kg.m2
AG = 0,15; AB = 0,32; AC = 0,4
* Le couple moteur est modélisable en C par :
solide en liaison pivot (suite)
1/ Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l’ensemble S au point A et déterminer les composantes dans R des actions mécaniques extérieures agissant sur S.*Transfert des torseurs au point A :
XYZ
AA
A
AZYX
SA
000
)/1(
B
B
B
BSBA
XYZB
B
AXYZBYZ
ZYBBASMSM
YZZY
ZYSB
B
B
B
B
32,032,000
0032,0
)/2()/2(32,032,000
0000
)/2( /2
5,4
00
0300
0015,0
)/()/(5,40
03000
0003000
)/(
PGASTMSTMSTerreT GA
XYZAXYZG
4002
0100
0
004,0
002
)/3()/3(400010020
00010020
)/3( /3
SCA
XYZAXYZC
CCASMSMSC
solide en liaison pivot (suite)
* PFD :
XYZ
AX
A
AAAA
ISCSterreTSBSA
0000
'.0)/3()/()/2()/1(
XYZB
B
AYZZY
B
B
32,032,000
XYZA
5,4003000
XYZA
040
010020
XYZAA
A
AZYX
000
XYZ
AX
A
I
0000
'.0
* Équations :
)6(0405,432,0)5(032,0)4('.2)3(0)2(010030)1(0
B
B
AX
BA
BA
A
YZIZZ
YYX
0)3(
0)5(
0)1(
A
B
A
Z
Z
X
* Résolution :
2.250008,0/2
/2')4(
94,40)2(
94,110)6(
S
AX
A
B
rd
I
Y
Y
solide en liaison pivot (suite)
2/ Déterminer l’accélération angulaire ’’ du mouvement de S/R et en déduire la nature du mouvement.
3/ Déterminer le temps nécessaire pour atteindre la vitesse de régime N = 1500 tr / mn.
2.250''')4( Srd
20 .250602.1500
''' Srdtt
St 628,05250
602.1500