Enseignement des fonctionsau collège et au lycée

Sylvie Coppé

Fonction

! Première idée de dépendance : variable! Relation entre grandeurs dont les

variations sont liées par une loi! Approche ensembliste :

correspondance terme à terme deséléments de deux ensembles

L’analyse épistémologique nous a conduit àposer que c’est l’idée de dépendance qui fondeles concepts de fonction et de variable.Rappelons seulement que chez Leibniz (1646-1716), le mot «! fonction!» désigne une relationentre grandeurs dont les variations sont liées parune loi. L’approche ensembliste de la notion defonction par une mise en correspondance termeà terme des éléments des deux ensemblesmodélisés par un graphe, évacue cette idée decontrainte entre deux grandeurs. (Comin, 2005,p. 38)

Programme 6ème

! Proportionnalité en lien avec lesgrandeurs

! Organisation et représentation dedonnées– Lecture de graphiques– Passage d’un type de représentation à un

autre

Programme 5ème

! Proportionnalité« des variations d’une grandeur en

fonction d’une autre grandeur maistoute définition de la notion de fonctionest exclue. »

! Activités graphiques! Représentation et traitement de

données

Programme 4ème

! Utilisation de la proportionnalité« Des situations issues de la vie courante ou des autres disciplines

permettent de mettre en oeuvre un coefficient deproportionnalité exprimé sous forme de pourcentage. »

! Proportionnalité! Traitement des données« …usage du tableur ou de la calculatrice »Calculer des distances parcourues, des

vitesses moyennes et des durées deparcours en utilisant l’égalité d = vt.

Programme 3ème

! Notion de fonction! Fonction linéaire, fonction affine

Programme 2nde

! Le programme est divisé en trois parties! Fonctions! géométrie! Statistiques et probabilités

Programmes 2nde 2009

! Lʼobjectif est de rendre les élèves capablesdʼétudier :– un problème se ramenant à une équation du type

f(x) = k et de le résoudre dans le cas où lafonction est donnée (définie par une courbe, untableau de données, une formule) et aussi lorsquetoute autonomie est laissée pour associer auproblème divers aspects dʼune fonction ;

– un problème dʼoptimisation ou un problème dutype f (x) > k et de le résoudre, selon les cas, enexploitant les potentialités de logiciels,graphiquement ou algébriquement, touteautonomie pouvant être laissée pour associer auproblème une fonction.

Programmes 2000 et 2009

! Pour une fonction définie par une courbe,un tableau de données ou une formule– Identifier la variable et, éventuellement son

ensemble de définition ;– déterminer lʼimage dʼun nombre ;– rechercher des antécédents dʼun nombre.

Accompagnements desprogrammes! Doc Fonctions

Evolution des programmes

! Appauvrissement du travail algébriqueau collège

! Entrée dans l’analyse repoussée en 1ère

! Nouvelle place pour les fonctions enclasse de 2nde

! Nouvelles tâches! Usage accru de la calculatrice

graphique et des TICE

Un nouveau contexte

! L’importance accrue de la statistique, l’usagedes calculatrices graphiques et la nécessitéd’ouvrir les mathématiques sur les autresdisciplines et le monde extérieur sont autantde facteurs qui doivent nous conduire à nousinterroger sur la nécessité de faire travaillerles élèves sur les différents modes dereprésentation des fonctions, y compris pourles élèves qui ne poursuivront pas des étudesscientifiques.

Conclusions

! Introduction des fonctions plus intuitive,moins formelle

! Ouverture sur les autres disciplines et lemonde extérieur

! Usage des nouveaux outils TICE! Affirmation de la prise en compte des

différents modes de représentation

Différents modes de représentationsd’une fonction

! Fonction plus seulement représentéepar une formule algébrique

! Graphique! Tableau de valeurs! Tableau de variations

Mais …

! Liens entre ces représentations ?! Spécificité, partialité de chacune ?! Comment accéder à l’objet fonction au

delà de ses représentations ?

Registres de représentationsémiotique (Duval)

! […] les représentationssémiotiques [sont] des productionsconstituées par l’emploi de signesappartenant à un système dereprésentation qui a ses contraintespropres de signifiance et defonctionnement.

Registres

! Une fonction peut se représenter dansdifférents registres :– Algébrique (formule)– Graphique (courbe représentative)– Tableau (de valeurs ou de variation– Langage commun

Activités de traitement

! Dans chaque registre, on peut résoudrecertains problèmes plus ou moinsfacilement mais on reste dans leregistre

Activités de conversion

! On résout un problème en changeantde registre de représentation(explicitement demandé ou pas)

! Ex tracer la courbe représentative d’unefonction à partir de l’expressionalgébrique

Par rapport au cadre de Duval

! Pour que courbes et tableaux devaleurs jouent effectivement le rôle dereprésentations sémiotiques de l’objetfonction de façon adéquate, il estnécessaire que leur place dans leurregistre respectif soit mieux identifiée,par rapport à la spécificité qu’ils ontquand ils représentent des fonctions.

! Produire quelques activités pour desélèves de 2nde dans le cadre desprogrammes actuels

Questions pour le professeur de2nde

! Les modes de représentation utilisés sont-ilsquestionnés (mode de codages, conventions,etc…) ou sont-ils considérés commetransparents et laissés à la charge de l’élève ?

! La nature des représentations est-ellesoulevée (unicité, exhaustivité, …) ?

! Des tâches permettant de faire le lien entre lesdifférents modes de représentation sont-ellesproposées ? Quels en sont les enjeux ?

Sur les tableaux/courbes! Initier une réflexion des élèves sur les

rapports (dans les deux sens) entre courbeset tableaux de valeurs et de variations

! Aider à dépasser l’idée de la représentationpoint par point et faire entrevoir la spécificitéd’une relation numérique prenant en compteune variation continue de la variable ?

! Apports et limites d’un tel travail pourl’apprentissage de la notion de fonctionnumérique ?

Courbe

! Objet déjà rencontré par les élèves de 2nde

– Dans d’autres disciplines– En mathématiques

! Codage particulier : travail sur la constructionet la lecture de courbes

MAIS! Pas forcément liée aux fonctions! Courbes particulières en 3ème (droites)

Tableau de données

! Représentation partielle de lacorrespondance entre la variable et sonimage

! Choix arbitraire des valeurs! Correspondance non univoque avec la

fonction

Tableau de valeurs (données) (2)! Objet déjà rencontré par les élèves de 2nde

– Dans d’autres disciplines– En mathématiques : tableau de proportionnalité

! Pas de codage particulier! Techniques de remplissage particulières ?

MAIS! Pas forcément lié aux fonctions! Tableaux particuliers en 3ème (fonctions

linéaires et affines)! Usage des calculatrices

Tableau de variations

! Condense par un codage adapté toutes lesinformations sur les variations d’une fonction

! La construction nécessite des connaissancesmathématiques spécifiques

! À une fonction correspond un seul tableau devariations

! Mais à un tableau de variationscorrespondent plusieurs fonctions

Tableau de variations (2)

! Objet nouveau pour les élèves de 2nde

! Codage particulier! Depuis 2000 tâches moins classiques en

classe de 2nde : construire un Tvr à partird’une courbe

MAIS! Peu d’enseignement explicite de sa

construction et du codage! Objet transparent laissé à la charge de l’élève

Exercice majoritairement rejeté

! Soit une fonction g définie sur l’intervalle [-2 ; 14]dont on connaît les valeurs suivantes :

! Quelle est, à votre avis le plus petite valeur prise parg sur l’intervalle [-2, 14] ?

34741-7g(x)1483-2x

Exercice atypique :il manque la courbe !

Soit f une fonction définie sur un intervalle [-2, 2]dont on connaît les valeurs suivantes.

1-Donner un tableau de variations possible pour f.2- Est ce qu’on pourrait en donner un autre ? Si oui

lequel ? Si non expliquer.

3 1 -1 -3 -5 f(x) 2 1 0 -1 -2 x

Test élève

! 83% des élèves arrivent facilement, à partird’un tableau de valeurs, à tracer une courbemais 55% ont des difficultés pour donner untableau de variations

! 11% des élèves arrivent à donner une autrecourbe (et encore sans changer lesvariations) et 3%, un autre tableau devariations, correspondant à un même tableaude valeurs

La courbe ci-dessous représente une fonction f de [-4 ; 4]dans IR. Vous devez donner, sur un seul transparent, desinformations (tout sauf une courbe), de sorte que voscamarades tracent une courbe qui ressemble le plus possible àcelle-ci.