Exercices de Mathematiques

Geometrie affine (I)

Enonces

Enonces des exercices

Exercice 1

Dans le plan, on se donne un quadrilate`re ABCD non croise.

Montrer que les sept droites suivantes sont concourantes en un meme point (lequel ?) :

Les quatres droites joignant un sommet a` lisobarycentre des trois autres sommets.

Les deux droites joignant les milieux de deux cotes opposes.

La droite joignant les milieux des deux diagonales.

Exercice 2

Dans le plan, on se donne un quadrilate`re ABCD non croise.

On note ABC D le quadrilate`re joignant les isobarycentres de BCD,CDA,DAB,ABC.

Comment le quadrilate`re ABC D se deduit-il du quadrilate`re ABCD ?

Exercice 3

On se donne deux triangles ABC et ABC du plan E, sans sommets communs.

On suppose que (AB) (AB) et (BC) (BC ).Montrer que (CA) (C A) (AA), (BB), (CC ) sont paralle`les ou concourantes.Ce resultat est connu sous le nom de Thore`me de Desargues.

Exercice 4

Dans le plan E, on se donne deux droites affines disctinctes D et D.Soient A,B,C trois points distincts de D, et A, B, C trois points distincts de D.On suppose que (AB) (BA) et (BC ) (CB).Montrer alors que (CA) (AC ) (Theore`me de Pappus).

Exercice 5

Dans le plan E, on se donne deux droites affines distinctes D et D.Soient A,B,C trois points distincts de D, et A, B, C trois points distincts de D.On suppose que (AA) (BB).Montrer que (AA) (CC ) si et seulement si AB

AC=AB

AC (Theore`me de Thale`s).

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