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L’information : A – La Voix
EFREI L1EFREI L12011 – 2012 David Aubert
1. Notion d’Onde
a) Généralités� Onde : transmission d’un signal (ie. d’énergie) d’un point à un autre sans
transport de matière
� Types d’ondes :
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
� Types d’ondes :
� matérielle / immatérielle
� scalaire / vectorielle
� transversale / longitudinale / de surface
� Représentation mathématique :– Dépend de l’espace
– Dépend du temps
� fonction(s) de 4 variables :– f(x, y, z, t)
– E(x, y, z, t) = {Ex, Ey, Ez}
2
L'in
form
atio
n : A
� Onde plane : une seule coordonnées d’espace
� par exemple : (Ox)
� Onde scalaire plane : f(x, t)
� Onde vectorielle plane : { Ex(x, t), Ey(x, t), Ez(x, t) }
� Onde plane longitudinale : Ex(x, t),
� Onde plane transversale : { Ey(x, t), Ez(x, t) }
b) Ondes Mécaniques
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
b) Ondes Mécaniques� Signal : déplacement local des molécules
� Vibrations autour d’une position d’équilibre fixe
� Déplacement macroscopique de l’onde
� Exemples :
� Corde vibrante (transversale)
� Compression d’un ressort (longitudinale)
� Ondes de surface
� Ondes élastiques
3
L'in
form
atio
n : A
� Corde vibrante (transversale)L'
info
rmat
ion
: A
–La
voi
x
4
� Compression d’un ressort (longitudinale)
L'in
form
atio
n : A
� Ondes de surfaceL'
info
rmat
ion
: A
–La
voi
x
5
� Ondes élastiques� Longitudinale dans les fluides
� Longitudinale et/ou transversale dans les solides
L'in
form
atio
n : A
c) Onde progressive� Onde qui se déplace sans se déformer
� Caractérisé par sa vitesse de propagation ou célérité : c (en m.s-1)
� Onde plane progressive :
c ∆t
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
� Amplitude constante si :
∆x = c ∆t
(x’ – x) = c (t’ – t)
x’ – c t’ = x – c t ∀ x, x’, t, t’
⇒la quantité (x – c t) est conservée et caractérise l’amplitude de l’onde
�
� Généralisation à une onde plane quelconque : f(OM ) = f(OM.u – c t)6
t t'
)(),( ctxftxf −=
L'in
form
atio
n : A
d) Onde harmonique (ou sinusoïdale)� Fonction sinusoïdale du temps
� caractérisé par :
� Période T � Fréquence f � Pulsation ω� Onde plane progressive harmonique :
� f( x – ct )
� Fonction sinusoïdale du temps etde l’espace
)cos())/(cos()/()(),( ϕωϕω +−⋅=+−⋅=−=−= kxtAcxtAcxtfctxftxf
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
� Double périodicité :
7
���� Temporelle �Spatiale
Période T s Longueur d’onde λ m
fréquence f Hz Nombre d’onde σ m-1
pulsation ω rad.s-1 vecteur d’onde k rad.m-1
)cos())/(cos()/()(),( ϕωϕω +−⋅=+−⋅=−=−= kxtAcxtAcxtfctxftxf
)sin()cos(
)sin(
)cos(),(
kxtDkxtC
kxtB
kxtAtxf
−⋅+−⋅=+−⋅=+−⋅=
ωωψωϕω
L'in
form
atio
n : A
� Relation de dispersion :
� Notation complexe :
)Re()cos(),(
avec),( )(
fkxtAtxf
AeAAtxf ikxtie
=+−⋅=
=⋅= −
ϕω
ϕω
cToukc == λω
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
� Décomposition harmonique :
� Toute onde est la superposition d’ondes harmoniques de différentes fréquences
8
L'in
form
atio
n : A
e) Onde sphérique� Onde progressive non plane : plusieurs directions de propagation
� Front d’onde : ensemble des points vibrant en phase
� Onde plane : plans ┴ direction de propagation
� Onde sphérique : onde émise par une source ponctuelle de façon isotrope
� Paramètre d’espace : distance à la source r
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
� Fronts d’onde : sphères concentriques centrées sur la source
� f(r, t) = A(r) . g(t – r/c)– A(r) : terme d’amplitude ( A(r) = A0 / r )
– g(t – r/c) : terme de phase
� Onde sphérique harmonique :
9
)cos()cos()(),( 0 ϕωϕω +−⋅=+−⋅= krtr
AkrtrAtrf
L'in
form
atio
n : A
f) Puissance - Intensité� Puissance de de l’onde : PPPP
� Puissance totale de l’onde
� Puissance émise par la source
� Unité : Watt� Vibrations très rapides ⇒ valeur moyenne <P >
� Intensité
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
� Intensité
� Puissance perçue par unité de surface :
� Unité : W.m-2
� Proportionnel à f 2
� Ici signal = pression
� Onde harmonique
�
10
SI
P=
!:Rem 222 fffI ≠∝
csteIIAI
Atxf
kxtAtxf
kxtAtxfkxtAtxf
==⇒∝⇒
=⇒
+−⋅=⇒
+−⋅=⇒+−⋅=
02
22
222
222
2),(
)(cos),(
)(cos),()cos(),(
ϕωϕωϕω
===∝ !0,222 pppppI effeff
L'in
form
atio
n : A
� Onde sphérique
� 2 plans d’onde (r, t) (r’, t’ )
� Énergie conservée :
'4)'(cos)'(4)(cos)(
'4)','(4),(
)'()','()(),(
)'()(
2222
222222
22
rkrtrArkrtrA
rtrIrtrI
rStrIrStrI
rr
⋅−⋅=⋅−⋅
⋅=⋅
⋅=⋅=
πωπω
ππ
PP
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
r
r’
� Puissance de la source:
11
'')'(
)(
')'()(
'2)'(2)(
2222
2222
rr
rrArA
rrArrA
rrArrA
∀⋅=
⋅=⋅
⋅=⋅ ππ
21
2
0
)(1
)(
)(1
)(
r
IrI
rrI
r
ArA
rrA
=⇒∝⇒
=⇒∝
22
4)()(4)()(
rrIrIrrSrI S
SS ππ P
PP =⇒=⇒⋅=
L'in
form
atio
n : A
2. Onde acoustique – Onde sonore
� Onde acoustique
� Onde mécanique
� Signal : variation de pression
a) Pression
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
� Fluide : milieu constitué de particules pouvant se déplacer librement
� Agitation thermique : mouvements désordonnés des molécules (isotrope)
� Chocs entre les molécules
� Forces
� Pression :
� unité : N.m-2 ou Pa
� Air à T ≈ 20°C– <v> ≈ 400 m.s-1
– <l> ≈ 70 nm
– <n> ≈ 5.109 collisions/s
S
FP =
12
L'in
form
atio
n : A
� Variations autour d’une valeur moyenne :
� P0 : pression moyenne ou pression atmosphérique
� p : pression variable ou pression acoustique
� Dans l’air : P0 = 1 atm ≈ 105 Pa , p ≈ 10-5 – 10 Pa
b) Caractéristiques physiologiques d’un son� Son et bruit
� Son : variation périodique de la pression
pPP += 0
0et0 == pPP
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
� Son : variation périodique de la pression
� Bruit : variation non périodique de la pression
� Sensations auditives : 3 paramètres
� Hauteur � Force � Timbre
13
L'in
form
atio
n : A
� Hauteur :
� son grave ou aigu
� Directement lié à la fréquence f / période T
� L’effet de 2 sons successifs (mélodie) ou simultanés (accord) ne dépend que du rapport f1 / f2 et pas de la hauteur absolue ⇒ échelle multiplicative
� Décomposition en octaves : intervalle correspondant à un doublement de la fréquence
� Gamme tempérée : octave découpé en douze intervalles chromatiques égaux– do | do# | ré | mi♭| mi | fa | fa# | sol | sol# | la | si♭| si | do
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
– Passage d’une note à une autre (demi-ton) : f→ 21/12 f ≈ 1,059 f
� Seuil de sensibilité : ∆f/f ≈ 1%
� Domaine audible par l’homme :
– f < 20 Hz : infrasons
– f > 20 kHz : ultrasons
14
kHz20Hz20 ≤≤ f
L'in
form
atio
n : A
� Timbre :
� Forme du motif de l’onde
� Décomposition harmonique:– Tout signal de fréquence f peut se décomposer comme la
somme de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples de f.
∑∑∞+∞+
⋅+⋅+=+⋅+= 00 )2sin()2cos()2cos()( nnnn nftbnftaanftssts ππϕπ
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
– n = 1 : fondamental
– n > 1 : harmonique de rang n
15
∑∑== 1
01
0n
nnn
nn
L'in
form
atio
n : A
� Spectre d’amplitude– Son pur : peu d’harmoniques
– Son riche : beaucoup d’harmoniques
� Force
� Lié à l’amplitude des– Variations de pression
– Oscillations des molécules
� Son etbruit
Quantifié par l’intensité I
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
� Quantifié par l’intensité I
16
(à 1 kHz) I (W.m-2) p (Pa) a (m)
Seuil d’audition 10-12 2.10-5 0,5.10-10
Seuil de douleur 1 20 0,5.10-4
L'in
form
atio
n : A
c) Niveau sonore� Test d’écoute :
� Si p faible, on perçoit ∆p faible
� Si p fort, on ne perçoit pas ∆p faible
� Courbe de sensibilité de l’oreille :
� Échelle logarithmique
p
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
� Niveau sonore :
� p0 : pression de référence = pression au seuil d’audition : p0 = 2.10-5 Pa
�
� I0 : intensité de référence = Intensité au seuil d’audition : I0 = 10-12 W.m-2
� "unité" : décibel (acoustique) ou dB17
=
0log20
p
pL eff
=⇒
=⇒
=⇒⋅=
20
2/1
200
2/12 log10log20
)/(log20
p
IL
p
IL
p
ILpI
αααα
=
0log10
I
ILL'
info
rmat
ion
: A
� Doublement d’amplitude :
� Doublement de puissance :
� Onde sphérique :
dB6)2log(202
log2020
+≈+=′⇒
=′⇒×=′ LLL
p
pLpp
dB3)2log(102
log1020
+≈+=′⇒
=′⇒×=′ LLL
I
ILII
+
=
=⇒=2
12
121 1
log10log10log10)()(I
IIrL
IrI
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
� Addition de deux sons
�
� Sources non corrélées (sons incohérents)
� Sources corrélées (sons cohérents) :
� Si p1 = p2
– Sons incohérents : I = 2 I1 ⇒ L = L1 + 3 dB
– Sons cohérents : p = 2 p1 ⇒ I = 4 I1 ⇒ L = L1 + 6 dB18
+
=
=⇒=2
02
02
log10log10log10)()(rIrI
rLr
rI
rLrL log20)( 1 −=
( ) 2221
21
221
221 2 pppppppppp eff +⋅+=+=⇒+=
22
21
221 0 ppppp eff +=⇒=⋅ 21 III +=⇒
effeff pppp ,2,121 ⋅=⋅ effeffeff ppp ,2,1 +=⇒
L'in
form
atio
n : A
� Échelle (indicative) des niveaux sonores
Niveau(dB)
Pression(Pa)
Intensité(W.m-2)
Effets Exemple
194 101 300 25 106 Pression atmosphérique
180 20 000 106 Fusée
140 200 100 lésions irréversibles Avion à réaction
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
19
120 20 1 Seuil de douleur Atelier Industriel
100 2 10-2 Perte d’audition après une exposition brève
Discothèque
80 0.2 10-4 Perte d’audition après une exposition prolongée
Orchestre
60 0.02 10-6 Rue
40 0.002 10-8 Conversation
20 0.0002 10-10 Chuchotement
0 0.00002 10-12 Silence
L'in
form
atio
n : A
� Courbes isophoniques :
� Sensibilité de l’oreille dépend (légèrement) de la fréquence
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
20
L'in
form
atio
n : A
a) Propagation d’un ébranlement� Ebranlement : déplacement rapide, de faible amplitude
� Compression de l’air
� Poussée supplémentaire
Poussée sur le point voisin
3. Propagation d’une onde acoustiqueL'
info
rmat
ion
: A
–La
voi
x
M’0 M’1
� Poussée sur le point voisin
� Propagation longitudinale
� Variables mises en jeu
� Déplacement ζ(x,t) � Vitesse � Accélération
� Surpression pe(x,t)
� Masse volumique ρe(x,t)
•21
L'in
form
atio
n : A
M0 M1
ttx
∂∂= ζζ ),(& 2
2
),(t
tx∂∂= ζζ&&
oeeo et ρρρρρ <<+=
oeeo PpetpPP <<+=
b) Equation de Propagation� 3 Phénomènes
I Le gaz se déplace et change de densité
II Le changement de densité entraîne
un changement de pression
III Les inégalités de pression engendrent
le déplacement du gaz
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
x
x+ζ(x,t)
x + dx
x+dx+ζ(x+dx,t)
Le gaz se déplace et change de densité
� Conservation de la masse :
22
L'in
form
atio
n : A
( ) ( )( )),(),d(dd txxtxxxxSxSo ζζρρ +−+++⋅=⋅
( )
( ) ( )
( ) ),(
),(
d),(dd
d),(),),d0dsi
txx
txx
xtxx
xx
xtxx
tζ(xtxζ(xx
eoe
eoeoo
eoo
∂∂⋅+−=
++∂∂⋅+=
⋅∂∂+⋅+=⋅
⋅∂∂+=+→
ζρρρ
ρρζρρρ
ζρρρ
ζ
)I(xoe ∂
∂⋅−=⇒ζρρ
Le changement de densité entraîne un changement de pression
� Dilatation d’un fluide : Relation entre P et ρ
� Dilatation d’un gaz parfait :
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
eo
eooeoo
oo
fp
fffpPP
fPfP
ρρρρρρρ
ρρ
⋅′=⋅′+≈+=+=
==
)(
)()()(
)(et)(
ρρ ⋅=⇒==
=⇒=
RTP
nMm
RTV
nPnRTPV
et
� Coefficient de compressibilité d’un fluide :
dépend du fluide
dépend de T
23
L'in
form
atio
n : A
)II(1
eo
p ρχρ
⋅=⇒
o
o
PP
VV
VP
V
V −−⋅−=
∆∆⋅−= 11χ
ρρ ⋅
=⇒==M
RTP
V
nM
V
met
ppV
VV
o
e
o
eom
mm
o
o
o
o
ρρθχ
ρρ
ρρρθ
ρ
ρρ =−=−≈−=−
=−= soitet
Les inégalités de pression engendrent le déplacement de la tranche
� Équation du mouvement de la tranche :
� masse :
� accélération :
� forces :
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix xSm o d⋅⋅= ρ
xut
arr ⋅
∂∂=
²
²ζ
uStxxPuStxPFrrr
⋅⋅+−⋅⋅=∑ ),d(),(
x x + dx
S
� forces :
� RFD :
24
L'in
form
atio
n : A
)III(²
²
x
p
to ∂∂−=
∂∂⋅⇒
ζρ
( ) xxo uSxtxx
pu
txSFam
rrrr ⋅⋅⋅∂∂−=
⋅∂∂⋅⋅⋅⇒=⋅ ∑ d),(
²²
dζρ
( )x
x
xx
uSxtxx
puStxxptxp
uStxxPuStxPF
r
r
rrr
⋅⋅⋅∂∂−=
⋅⋅+−=⋅⋅+−⋅⋅=∑
d),(
),d(),(
),d(),(
� Équation de propagation
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
)I(xoe ∂
∂⋅−= ζρρ )II(1
eo
p ρχρ
⋅=
∂∂⋅−
∂∂⋅−=
∂∂⋅−=
∂∂−=
∂∂⋅
xxxx
p
t oo
e
oo
ζρχρ
ρχρ
ζρ 11
²
² (I)(II)(III)
)III(²
²x
p
to ∂∂−=
∂∂⋅ ζρ
²
²1
²
²
xto ∂∂⋅=
∂∂⋅ ζ
χζρ
� Équations identiques en p et ρe :
� Unité de ρο χ : m-2.s2
� On pose : ( cs en m.s-1 )
25
L'in
form
atio
n : A
χρosc
1=
²² xto ∂⋅=
∂⋅
χρ
²²
²²
ou²
²
²
²
x
p
t
p
xt oee
o ∂∂=
∂∂⋅
∂∂=
∂∂⋅ χρρρχρ
0²
²1
²
²2
=∂∂⋅−
∂∂
⇒t
p
cx
p
s
c) Résolution de l’équation de d’AlembertL'
info
rmat
ion
: A
–La
voi
x
)1(0²
²1
²
²2
=∂∂⋅−
∂∂
t
f
cx
f
==
⇒
+=−=
−
+
cvw
vw
t
x
ctxw
ctxv
2
2poseon
w
f
v
f
x
w
w
f
x
v
v
f
x
f
∂∂+
∂∂=
∂∂⋅
∂∂+
∂∂⋅
∂∂=
∂∂
26
L'in
form
atio
n : A
²²²
2²
²²
²
²
²
w
f
wv
f
v
f
x
f
x
w
w
f
v
f
wx
v
w
f
v
f
vw
f
v
f
xx
fwvxwxvx
∂∂+
∂∂∂+
∂∂=
∂∂
∂∂⋅
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂⋅
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂∂∂∂∂∂
∂∂+
∂∂∂−
∂∂⋅=
∂∂
∂∂⋅
∂∂+
∂∂−
∂∂+
∂∂⋅
∂∂+
∂∂−
∂∂=
∂∂⋅+
∂∂⋅−
∂∂=
∂∂
∂∂⋅+
∂∂⋅−=
∂∂⋅
∂∂+
∂∂⋅
∂∂=
∂∂
²²²
2²
²²
²
²²
2
w
f
wv
f
v
fc
t
f
t
w
w
f
v
f
wt
v
w
f
v
f
vc
w
fc
v
fc
tt
f
w
fc
v
fc
t
w
w
f
t
v
v
f
t
f
� (1) devient donc :
� On intègre par rapport à w :
� On intègre par rapport à v :
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
0²
²²2
²
²1
²
²²2
²
² 22
=
∂∂+
∂∂∂−
∂∂⋅⋅−
∂∂+
∂∂∂+
∂∂
w
f
wv
f
v
fc
cw
f
wv
f
v
f
0²
4 =∂∂
∂⇒
wv
f
)()àrapport(parcste0 vGwv
f
v
f
w==
∂∂
⇒=
∂∂
∂∂
)àrapport(parcsted)( vvvGf +⋅= ∫� On intègre par rapport à v :
� On revient à x et t :
avec f+ et f- deux fonctions quelconques !!
L'in
form
atio
n : A
27
)()(
)àrapport(parcsted)(
whvgf
vvvGf
+=
+⋅= ∫
)()(),( ctxfctxftxf ++−= −+
Onde progressive dans le sens des x décroissants
Onde progressive dans le sens des x croissants
c) Vitesse du son
� En général :
ρs > ρl > ρg
mais χs << χl << χg
� Quelques valeurs (Po = 1 atm, T = 20 °C)
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
χρosc
1=
gls ccc >>
milieu cs (m.s -1) milieu cs (m.s -1) milieu cs (m.s -1)
� Vitesse du son dans la mer
28
L'in
form
atio
n : A
air 340 PVC 2000 - 2400 verre 5300
eau 1480 béton 3100 acier 5600 - 5900
glace 3200 Bois 3300 granit 6200
P
ST
TTT
c
6
32
1058,1
)35)(010,034,1(
00029,0055,06,4
2,1449
−⋅+−−+
+−+=
� Vitesse du son dans un gaz parfait
� Loi des gaz parfaits :
� Transformation adiabatique (sans échange de chaleur) :
γ : coefficient adiabatique du gaz
- gaz monoatomique : γ = 5/3 = 1,67
- gaz diatomique : γ = 7/5 = 1,4
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
nRTPV =
cste=γPV
Vγ
P Vγ PPVγ 0
ddcstelnlncste =+⇒=+⇒=
� Vitesse du son :
� Air à 20°C :
L'in
form
atio
n : A
29
PP
V
VPP
V
V
V
Vγ
P
P Vγ PPV
γχ
γ
γ
1
d
d11
d
d1
0dd
cstelnlncste
=⋅−=⇒−=⋅⇒
=+⇒=+⇒=
nM
PV
m
PVPc
oo
γγργ
χρ==== 1
13
sm3431029
29331,84,1 −− ⋅=
⋅××=c
TM
RTc ∝= γ
e) Puissance acoustique – Impédance acoustique� Déplacement de matière associée à l’onde
� Puissance mécanique :
� Onde progressive : ζ(x, t) = f(x – ct)
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
tpSvF
∂∂⋅=⋅= ζrr
P
)('et)('donc ctxfx
ctxfct
−=∂∂−⋅−=
∂∂ ζζ
pccx
ct o
e χρρζζ ⋅=−⋅−=
∂∂⋅−=
∂∂ (II)(I)
soit
� Intensité acoustique
� Pression efficace :
� Onde harmonique :
L'in
form
atio
n : A
30
xt oρ∂∂2
22 soit
11ordonc p
c
S
ccpcS
ooo
⋅==⇒=⋅=ρρ
χχρ
χ PP
c
pI
SI
oρ
2
=⇒=P
c
pIpp
o
effeff ρ
22 =⇒=
22)cos(
22 o
effo
op
pp
pkxtpp =⇒=⇒+−= ϕω
� Impédance acoustique
� Unité : kg.m-3 x m.s-1 donc kg.m-2.s-1 ou Pa.m-1.s
� Air à 20 °C : Z = 1,29 x 343 = 440 Pa.m-1.s
� Analogie électrique
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
cZ o ⋅= ρ
Electricité Acoustique
L'in
form
atio
n : A
31
Tension U V Pression p Pa
Intensité I A Vitesse m.s-1
Puissance P W Intensité I W.m-2
Loi d’Ohm
Loi de Joule
tv
∂∂= ζ
I
UZZIU == ou
Z
UIZIUP
22 =⋅=⋅=
v
pZZvp == ou
Z
pvZvpI
22 =⋅=⋅=
4. Décomposition Harmonique
a) Séries de Fourier� TD 2 : toute solution de la corde vibrante se met sous la forme
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
( ) *11 Naveccossin),( ∈=⋅
= netL
ctn
L
xnAtxy nn
πωωπ
� Solution générale :
� y(x,t) : périodique de période
� On admet et on généralise :
L'in
form
atio
n : A
32
LL
( )∑∑ ⋅
==n
nn
n tnL
xnAtxytxy 1cossin),(),( ωπ
∑ ∑ ∑∞+
=
∞+
=
∞+
−∞=⋅=++=++=
=
1 1
)sin()cos()cos()(
:formelasousécrires'peut,2
pulsationdeetpériodede,périodiquefonctiontoute
n n n
tinnnnonno ectnbtnaatnuutf
T
πωT
ωωωϕω
L
cT
221 ==π
ω
� n = 0 : valeur moyenne de la fonction (ici = 0)
� n = 1 : fréquence fondamentale
� n > 1 : harmonique de rang n
� Les coefficients (an , bn) ou (un , ϕn) donnent l’importance des harmoniques
� Permet de différencier 2 sons différents de même fréquence
� même hauteur � timbres différents
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
� Calcul inverse : (an , bn) connaissant f(t) ?
� ao :
L'in
form
atio
n : A
33
0
0
0
)sin()cos(
)sin()cos()(
a
tnbtnaa
tnbtnaatf
nnn
nnn
=
++=
++=
∑
∑
ωω
ωω
∫==T
ttfT
tfa0
0 d)(1
)(
� an :
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
( ) ( ) ( ) ( ) ])(sin)(sin[2
])(cos)(cos[2
cos)sin(cos)cos(coscos)(soit
cos)sin(cos)cos(coscos)(
00sisauf00
0
0
0
p
p np
p
ppp
ppp
aa
tpntpnb
tnptnpa
tntpbtntpatnatntf
tntpbtntpatnatntf
−+++−++=
⋅+⋅+⋅=⋅
⋅+⋅+⋅=⋅
=====
=
∑
∑
∑
44 344 2144 344 2144 344 2144 344 21
4434421
ωωωω
ωωωωωω
ωωωωωω
� bn : idem avec sin nωt
L'in
form
atio
n : A
34
2)0cos(
2nn aa =⋅=
∫ ⋅=⋅=T
n ttntfT
tntfa0
dcos)(2
cos)(2 ωω
∫ ⋅=⋅=T
n ttntfT
tntfb0
dsin)(2
sin)(2 ωω
� Spectre(s) du signal : (un, ϕϕϕϕn) en fonction de n ou ωωωω� Signal
� Spectre d’amplitude
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
� Spectre de phase
L'in
form
atio
n : A
35
b) Transformée de Fourier� Généralisation des séries de Fourier aux signaux non périodiques
� Pas de période de référence ⇒ toutes les fréquences sont autorisées
� Transformée de Fourier inverse
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix ∫
∞+
∞−
⋅= ωω ω d)()( tieAtf
∞+
� Spectres d’amplitude ( |A(ωωωω)| ) et de phase (arg(A(ωωωω))
L'in
form
atio
n : A
36
∫∞+
∞−
−⋅= tetfA ti d)()( ωω
c) Paquet d’ondes� Paquet d’ondes : superposition d’ondes harmoniques centrées sur une fréquence
centrale fO (ou pulsation ωωωωO)
� Vitesse de phase :
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
f(t) |A(ω)|
�
� Vitesse de phase :
� Vitesse de propagation d’une composante monochromatique
� Vitesse de déplacement du terme de phase (ωt – kx)
� milieu dispersif :
� les ondes de fréquences différentes ne se propagent pas à la même vitesse
� le paquet d’onde se déforme en se propageant
� en général, les ondes acoustiques ne sont pas dispersives
L'in
form
atio
n : A
37
Tkv
λωϕ ==
)(cste ωωϕvk
⇒≠
⇒∆=∆⇒=∆⋅−∆⋅ tk
xtxkωω 0
� Relation de dispersion :
� Exemple : ondes de houle
� Vitesse de groupe : vitesse de propagation (du maximum) du paquet d’onde
� le max du paquet d’onde parcourt ∆x en ∆t
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
kvg d
dω=⇒=∆∂∂−∆⇒=∆⋅−∆⋅
∂∂
00)( tk
xtxkk
ωω
)()( ωω gkoukf ==
gk
2ω=
� Ondes de houle :
L'in
form
atio
n : A
38
kd∂∂ kk
d) Analyse Temps – Fréquence
� Son musical ou voix : succession de sons ou notes de différentes forces/hauteurs/timbres
� Sonogramme : vue d’ensemble du spectre de plusieurs secondes de sons
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
L'in
form
atio
n : A
39
5. Réflexion – Transmission d’une onde
a) Onde à l’interface de 2 milieux� Surface séparant 2 milieux homogènes :
� Milieu 1 : ρ1, c1 , Z1
Milieu 2 : ρ , c , Z
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
� Milieu 2 : ρ2, c2 , Z2
� Interface localement plane
� Ondes planes progressives harmoniques, perpendiculaires à l’interface
L'in
form
atio
n : A
40
Z1 = ρρρρ1c1 Z2 = ρρρρ2c2
p1+
p1-
p2+
p2-)(2
)(2
222
)(1
)(1
111
22
11
),(),(),(
),(),(),(
xktixkti
xktixkti
eBeA
txptxptxp
eBeA
txptxptxp
+−−+
+−−+
⋅+⋅=
+=
⋅+⋅=
+=
ωω
ωω
� Onde provenant du milieu 1 :
� Onde incidente : p1+
� Onde réfléchie : p1-
� Onde transmise : p2+
�
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
Z1 = ρρρρ1c1 Z2 = ρρρρ2c2
pi
pr
pt
0,
,
22
11
====
BpA
pBpA
t
ri
⋅±==⋅= ωρ� Milieu 1 :
� Milieu 2 :
L'in
form
atio
n : A
41
1111
1111 ,, vZpc
kcZ ⋅±==⋅= ωρ
2222
2222 ,, vZpc
kcZ ⋅±==⋅= ωρ
b) Coefficients d’amplitude� Coefficient de transmission en amplitude :
� Coefficient réflexion en amplitude :
� Continuité de la pression à l’interface :
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
21)()()( 1),0(),0(AB
ABAeAeBeAtptp tititi =+⇒=+⇒⋅=⋅+⋅⇒= ωωω
1
2
A
A
p
pt
i
t ==
1
1
A
B
p
pr
i
r ==
� Continuité de la vitesse à l’interface :
� Relations vitesse/pression :
� Continuité de v en x = 0 :
L'in
form
atio
n : A
42
1
2
1
1211
)(2
)(1
)(121 1),0(),0(
A
A
A
BABAeAeBeAtptp tititi =+⇒=+⇒⋅=⋅+⋅⇒= ωωω
tr =+⇒1
121,,
Z
pv
Z
pv
Z
pv r
rt
ti
i −===
21121
),0(),0(),0(),0(),0(),0(),0(),0(
Z
tp
Z
tp
Z
tptvtvtvtvtv tri
tri =−⇒=+⇒=
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1 1A
A
Z
Z
A
B
Z
A
Z
B
Z
A ⋅=−⇒=−⇒ tZ
Zr
2
11 =−⇒
� Coefficients en amplitude :
c) Coefficients en intensité
� Coefficient de transmission en intensité/énergie :
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
21
12
21
2 ,2
ZZ
ZZr
ZZ
Zt
+−=
+=⇒
−=
+=
⇒
=−=+
1
121
1
2
1
2
1
tr
tZ
Z
tZ
Zr
tr
t
I
IT =� Coefficient de transmission en intensité/énergie :
� Coefficient de réflexion en intensité/énergie :
� Intensité des ondes :
L'in
form
atio
n : A
43
2
2
1
2
1
22
,,,Z
pI
Z
pI
Z
pI
Z
pI
tt
rr
ii ====
iIT =
i
r
I
IR =
221
1
1
21
2
2
121
1
2
22
rA
Z
Z
B
I
IR
tZ
Z
A
Z
Z
A
I
IT
i
r
i
t
=⋅==
⋅=⋅==
� Coefficients en intensité/énergie :
� Remarques :
�
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
( )
2
21
122
21
21 ,4
+−=
+=
ZZ
ZZR
ZZ
ZZT
( )( )22222
2
21
122
21
21
224
4
ZZZZZZZZZZZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZRT
++++−+
+−+
+=+
� Conservation de l’énergie :
�
�
�
L'in
form
atio
n : A
44
( ) ( )( )( )221
221
221
2121
22
221
2121
2221 224
ZZ
ZZ
ZZ
ZZZZ
ZZ
ZZZZZZ
++=
+++=
++−+=
1=+ RT )1(mais ≠+ rt
12211221 , →→→→ == RRTT
1,0,,44
),ou(si21
21
1
221
211221 →→≈=≈>>>> RT
Z
ZR
Z
Z
Z
ZZTZZZZ
0,1,)2(
0,
)2(
4,si
21
21
21
21 →→≈≈≈ RTZ
RZ
ZTZZ
� Atténuation en niveau acoustique :
� Atténuation en transmission :
� Atténuation en réflexion :
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
i
t
o
i
o
titt I
I
I
I
I
ILLL log10log10log10 =−=−=∆
TLt log10=∆
rir IIILLL log10log10log10 =−=−=∆
L'in
form
atio
n : A
45
i
r
o
i
o
rirr I
I
I
I
I
ILLL log10log10log10 =−=−=∆
RLr log10=∆
6. Phénomènes Ondulatoires
a) Effet Doppler – Bang Sonique� Effet Doppler : décalage de fréquence d'une onde acoustique ou électromagnétique
entre la mesure à l'émission et la mesure à la réception lorsque la distance entre l'émetteur et le récepteur varie au cours du temps
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
l'émetteur et le récepteur varie au cours du temps
L'in
form
atio
n : A
46
ss
oo
Vc
Vcff
θθ
cos
cos'
⋅−⋅+⋅=
� Objet supersonique : répartition de la surpression sur un cône de Mach
⇒ Bang sonique
� Objet transsonique : répartition de la surpression devant l’objet
⇒ Mur du son
1. Subsonique (v < c)
2. Transsonique (v ≈ c)
3. Supersonique (v > c)
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
L'in
form
atio
n : A
47
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
• Avions :
•Bell X1 (14/10/1947)
•Concorde et Tupolev TU-144
• Balle de fusil ( v ≈ 800 m/s)
L'in
form
atio
n : A
48
• Claquement du fouet
b) Transmission des sons – Modulation d’une onde
� Portée du son : quelques mètres
� On transforme le signal acoustique en un signal électrique ou électromagnétique
� On lui trouve un support de transmission
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
� Radiodiffusion: espace hertzien
� Télécommunications: câble en cuivre, fibre optique, espace hertzien
� On trouve, si nécessaire, un véhicule du signal
� porteuse dont le choix des caractéristiques dépend du support de propagation
L'in
form
atio
n : A
49
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
I = (I0+Ismaxsin ωst)sin ω0 t I = I0maxsin( ω0t+(ω0/ωs)sin ωs t)
AM FM
L'in
form
atio
n : A
50
c) Diffraction – Diffusion
� Diffraction : comportement particulier de l’onde lorsqu’elle rencontre un obstacle de la taille de sa longueur d’onde : L ≈ λλλλ
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
L'in
form
atio
n : A
51
� Diffusion : phénomène par lequel une onde est dévié dans de multiples directions par une interaction avec d'autres objets.
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
Diffusion de Rayleigh :
L'in
form
atio
n : A
52
d) Battements – Interférences � Battements : superposition de 2 sons de fréquences très proches mais non identiques
� Audible si |f1 – f2| < 7 Hz
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
L'in
form
atio
n : A
53
Casque anti
� Interférences : lorsque deux ondes de même type et de même fréquence se rencontrent et interagissent l'une avec l'autre.
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
Casque anti bruit
L'in
form
atio
n : A
54
e) Atténuation� Diminution de l’amplitude / l’intensité d’un son lors de sa propagation
� Atténuation géométrique : puissance totale conservée, augmentation de la surface des fronts d’ondes
� Onde sphérique :
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
r’24)()()( rrIrSrIPS π⋅=⋅=
� Atténuation physique : interactions entre l’onde et le milieu dans lequel elle se propage
� Frottements de type visqueux :
� Puissance dissipée :
L'in
form
atio
n : A
55
rLrLr
rIr
PrI S
log20)(
1)(
4)(
1
22
−=
∝⇒=π
r
vkfrr
⋅−=
Ipvvkvf ∝∝∝⇒−== 222.. PPrr
� Variation d’intensité :
� En général : α dépend
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
)(d
)(dd)(d)()()d( xI
x
xIxxIxxxIxxI µµ −=⇒⋅−==−+ P
dB/men
)10ln
10avec()(
)(
0
0
α
µαα
µ
=−=
⋅= −
xLxL
eIxI x
Fréquence des Profondeur � En général : α dépend
- du milieu
- de la fréquence f
L'in
form
atio
n : A
56
Sang Graisse Muscle Os
α/α/α/α/f(dB.m-1.MHz-1)
0,1 0,5 1,5 10
Fréquence des ultrasons
Profondeur d'exploration
maximale
2,5 - 3,5 MHz > 15 cm
5 MHz 10 cm
7,5 MHz 5-6 cm
10 - 12 MHz 2-3 cm
7. Les ondes acoustiques comme véhicule de l’information
a) À l’écoute de la mer (acoustique sous-marine)
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
L'in
form
atio
n : A
57
dauphins Sonars pour
la cartographie
1000 300 kHz
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
L'in
form
atio
n : A
58
� Le sonar
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
���� Militaire : � Actif : Emission d’ondes de fréquence
L'in
form
atio
n : A
59
� Actif : Emission d’ondes de fréquence plus ou moins hautes selon la distance.
� Passif : Capte tous les bruits environnants.
���� Civil : � Cartographie
� Détection de poissons
� Navigation
La v
oix
���� Naturel : � Echolocation des dauphins
60
L'in
form
atio
n : A
–La
voi
x
b) À l’écoute du corps humain (imagerie acoustique)
� Échographie médicale
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
L'in
form
atio
n : A
61
� Mesure de distance
StationnaireSource f
StationnaireSource
f
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
vson
vson
2tc
d∆=
1 µs
999 µs
1000 µs( 1 ms )
ultrasonpulsé échos
réfléchisdétectés
I (mW/cm 2 )
5L'in
form
atio
n : A
62
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Simulation
Measurement
Pre
ssio
n n
orm
alis
ée
Forme d’onde classique émise par un élément de réseau piezo-électriqueL'
info
rmat
ion
: A
–La
voi
x
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
1 1.5 2 2.5Time (µs)
Pre
ssio
n n
orm
alis
ée
L'in
form
atio
n : A
63
• Réseaux de transducteurs piézoélectriques réversibles
• réseaux 1D de 128 à 512 transducteurs (1.5 D et 2D), pas d’échantillonnage λ/2
• Emission de pulses formés d’une oscillation de sinusoïde.
• Très bonne résolution axiale (correspondance temps/profondeur)
• Focalisation électronique pour la résolution latérale.
Génération et réception d ’ondes ultrasonores
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
• Focalisation électronique pour la résolution latérale.
• Synthèse de lentilles acoustiques
• Imagerie de réflectivité : Z = ρρρρ0000 c0
•Milieu faiblement hétérogène
• Longueur d’onde typique : à 5 MHz, λ = c0/f = 0.3 mm
Milieu c0 (m.s-1) ρ0 (kg.m-3)
Sang 1566 1060
Graisse 1446 960
Muscle 1542 1070
Foie 1566 1060
L'in
form
atio
n : A
64
Focalisation électronique en milieu homogène : formation de l’image
Focalisation à l’émission
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
Modélisationpar différences finies
Maillage : 500 x 500 pointstaille de la grille :50 x 50 mm2
Codes Couleur : -40 à 0 db
Focalisation à la réception
t z
L'in
form
atio
n : A
65
• Approximation de la diffusion simple
• Diffuseurs de rayleigh répartis aléatoirement : bruit de “speckle”
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
L'in
form
atio
n : A
66
Avantages et inconvénients de l ’échographie : exemples
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
- Bruit de SpeckleDifficulté d ’analyse
- Cadence d ’imagesImagerie fonctionnelleincomparable
L'in
form
atio
n : A
67
2 cos sf v
fθ∆ =
� Échographie par effet Doppler
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
2 coss
fv v
f θ∆=
sfv
∆ =
V
θ
f = fréquence de l’onde émisevs = vitesse de la sourcev = vitesse de l’onde sonore dans le milieuθ = angle entre la ligne de “visée” et la direction du mouvement.
L'in
form
atio
n : A
68
La v
oix
L'in
form
atio
n : A
–La
voi
x
69
c) À l’écoute des matériaux (contrôle non destructi f par ultrasons)
Array of 128 transducers5 MHz central frequency
Titaniumbillet
eau
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
86 mm
103 mm
Axe y
Axe x
t
billet
rotation
L'in
form
atio
n : A
71
Zone witha flat
bottom hole at 140mm
Zone withoutdefect
(speckle)
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
140mm depth
L'in
form
atio
n : A
72
d) À l ’écoute de la terre (sismologie)L'
info
rmat
ion
: A
–La
voi
xL'
info
rmat
ion
: A
73
L'in
form
atio
n : A
–
La v
oix
L'in
form
atio
n : A
74
e) À l ’écoute du Soleil (héliosismologie)L'
info
rmat
ion
: A
–La
voi
xL'
info
rmat
ion
: A
75