Chapitre 4 REFLEXION DUNE ONDE PROGRESSIVE - ONDE STATIONNAIRE

Plan du chapitre : 4-1 Position du problme 4-2 Onde stationnaire 4-3 Exemple de rflexion dune onde sonore 4-4 Rflexions multiples. Rsonances 4-5 Problmes

4-1 Position du problme Dans les chapitres prcdents, nous nous sommes intresss aux ondes planes

progressives. Considrons de nouveau une onde plane se propageant dans la direction des x croissants et dcrite par :u(x,t ) = f (t x / c) , f pouvant tre par exemple une fonction sinusodale. Si cette onde rencontre un obstacle ou doit changer de milieu, elle subit alors une rflexion ventuellement partielle et donne naissance deux ondes : une onde transmise allant elle aussi vers les x croissant et une onde rflchie allant vers les x dcroissants.

Onde incidente Onde transmise

Onde rflchie Figure 4-1 : Principe de rflexion dune onde

Par exemple, on peut crer une onde acoustique en dplaant un piston lextrmit

dun tuyau ou en soufflant dans une flte. Mais lextrmit du tuyau va jouer un rle. Cette extrmit peut tre ferme par un piston par exemple et on comprend bien que londe sonore mise va se rflchir. Cette extrmit peut tre ouverte, ce qui constitue une perturbation pour londe qui va, l encore, tre rflchie mais dans des conditions diffrentes.

Dans le premier milieu, les ondes incidentes et rflchies vont se superposer et donc sadditionner et on pourra voir apparatre une onde stationnaire.

Quelles sont donc les caractristiques de londe rflchie et de londe transmise ? Pour bien comprendre le phnomne, nous allons considrer une onde incidente sinusodale de pulsation , de longueur donde , damplitude A et de phase lorigine, en prenant comme origine le point qui correspond la position de la perturbation. * les pulsations de londe rflchie et de londe transmise sont les mmes que la pulsation de londe incidente ; les frquences et les priodes temporelles sont donc les mmes.

r = ; t =

Ondes 4-1

* En consquence, la longueur donde de londe rflchie est la mme que celle de londe incidente car elle se propage dans le mme milieu. Par contre ce nest pas ncessairement le cas pour londe transmise puisquelle se propage ventuellement dans un milieu diffrent (clrit c). Londe transmise se propage vers les x croissant, mais londe rflchie se propage vers les x dcroissant.

kr = k ; kt = k cc'

* Les ondes rflchies et transmises, dans le cas dondes sinusodales, vont tre caractrises par leur amplitude et leur phase lorigine ou en un point donn. Pour les dterminer, il faut dans chaque cas considrer les conditions de passage au niveau de la perturbation. Il y a conservation de lnergie : la puissance transporte par londe incidente doit se rpartir entre londe rflchie et londe transmise (attention aux signes). Ceci donne une premire relation entre les amplitudes. Lautre condition est donne par exemple par la continuit dune autre grandeur physique de part et dautre de la frontire, par exemple le dplacement pour la corde vibrante ou le dbit dans le cas des ondes sonores. Cest cette grandeur physique quil est essentiel de considrer dans le problme et il est utile de changer dorigine si ncessaire en prenant comme nouvelle origine le point de rflexion , cest--dire la frontire.

************ 4-2 Onde stationnaire

Il y a donc, dans une certaine partie de lespace, superposition entre deux ondes de

mme frquence se propageant dans des directions opposes. Si londe incidente est sinusodale, londe rflchie le sera aussi. Toute grandeur physique associe londe scrit donc : ( ) ( )rr tAtAu +kx cos+kx cos ++=

Examinons dabord le cas o londe rflchie a la mme amplitude que londe incidente, cest le cas quand il ny a pas donde transmise. ( ) ( )rAAu +kx cos+kx cos ++=

En utilisant lidentit :

+=+2

cos2

cos2coscos bababa , on peut crire :

=2

+kxcos2++ cos2 rr tAu

x

u

Figure 4-2 : Reprsentation schmatique dune onde stationnaire : le dplacement u est reprsent shmatiquement en fonction du point considr pour diffrents temps. En certains points ce dplacement est nul quelque soit le temps, ce sont les noeuds. Pour les autres points le dplacement oscille au cours du temps entre deux valeurs opposes. Les points o lamplitude de vibration est maximale sont appels ventres.

Contrairement une onde progressive sinusodale, lamplitude de vibration du signal nest pas la mme suivant la position du point. Pour certains points de lespace, ceux pour

lesquels 02

+kxcos r =

, il ny aucune variation de la grandeur physique ; on parle alors de nud. Ces nuds sont spars dune distance /2.

Ondes 4-2

Soit n+=

22

+kx r , n entier

Or 2=k , do

244

nx rn ++= pour les noeuds

Au niveau de tous les autres points de lespace, la grandeur physique u oscille dans le

temps mais lamplitude des oscillations dpend du point x ; elle est maximale pour certains points de lespace appels ventres

n=

2

+kx r

soit 24

nx rn += pour les ventres.

Les nuds sont donc spars de /2. Les ventres sont aussi spars de /2. Un

nud et un ventre conscutif sont spars de /4. On parle donde stationnaire car il ny a pas propagation dnergie : la puissance

transporte par londe rflchie est gale en valeur absolue la puissance transporte par londe incidente mais dans le sens oppos ; le bilan est donc nul.

Exercice4-1. On reprsente le dplacement u dune onde en fonction du temps en deux

points diffrents. Parmi ces trois ondes, laquelle est une onde progressive, une onde stationnaire, une combinaison des 2?

1 2 3 4

-1

-0.5

0.5

1

1 2 3 4

-1

-0.5

0.5

1

1 2 3 4

-1

-0.5

0.5

1

Exercice 4-2. (Mathmatica)

Reprsenter en animation une onde incidente u= cos(2 (t-x/c)) par exemple pour x compris entre 3 et 3 , t variant de 0 30 et =1/30, c=1/25. Reprsenter ensuite une onde rflchie ur= cos(2 (t+x)) et enfin la somme des deux. Visualiser ainsi londe stationnaire. Situer les nuds et les ventres.

Mme chose en changeant les paramtres notamment la phase de londe incidente. On prendra par exemple un dphasage de /3 en x=0.

Solution sans dphasage : nu=1/30 c=1/25 u[x_,t_] :=Cos[2 Pi nu (t-x/c)] Table[Plot[u[x,t],{x,-3,3},PlotRange->{{-1,1},{-3,3}}],{t,0,30}] ur[x_,t_] :=Cos[2 Pi nu (t+x/c)] Table[Plot[ur[x,t],{x,-3,3},PlotRange->{{-1,1},{-3,3}}],{t,0,30}] Table[Plot[ur[x,t]+u[x,t],{x,-3,3},PlotRange->{{-2,2},{-3,3}}],{t,0,30}]

-----

Ondes 4-3

Dans le cas dune onde sonore, nous avons vu quil existe diffrentes grandeurs

physiques associes cette onde, notamment la pression acoustique : 0 =

ux = P , u tant le dplacement des molcules.

Exercice 4-3. : Montrer que les ventres de dplacements correspondent aux nuds de pression acoustique et rciproquement.

Exercice 4-4. : Que se passe-t-il si lamplitude de londe rflchie est infrieure celle de londe incidente, ce qui sera le cas en prsence dune onde transmise ?A-t-on toujours une onde stationnaire ? Seulement une onde stationnaire ? (Visualiser si ncessaire avec Mathmatica) Dfinition du taux donde stationnaire (TOS) :

Si une onde nest que partiellement rflchie, la superposition de londe incidente

damplitude A et de londe rflchie damplitude Ar produit partiellement une configuration donde stationnaire :

A+A rA-A r

Figure 4-3 : Taux donde stationnaire

Le rapport donde stationnaire (appel ROS ou TOS) est dfini par TOS=ROS=

AmaxAmin

= A + ArA Ar . Cest ce quil est, dans certains cas, facile de mesurer si lon est capable

davoir accs lamplitude du signal. Si on mesure lintensit, alors on a plutt accs ROS2. Le pouvoir rflecteur est le rapport entre la puissance moyenne de londe rflchie et

celle de londe incidente : R = ArA

2

, R tant alors compris entre 0 et 1. On peut remarquer

R = ROS 1ROS +1

2

.

On peut aussi se poser la question suivante : EXISTE-T-IL DES ONDES STATIONNAIRES DECRITES PAR u(x,t)= f(t)g(x) AUTRES QUE

DES ONDES SINUSODALES ? Il faut que u(x,t) vrifie lquation donde pour tout x et pour tout t :

2

2

2

2

)(t

fxgtu

= 2

2

2

2

)(x

gtfx

u

=

Do : f (t)2 gx2 =

1c2

g(x) 2 f

t2

Sparons les variables : 22

22

2

)(11

)(1

tf

tfcxg

xg

=

Ondes 4-4

Le membre de droite est fonction de t seulement alors que le membre de gauche nest

fonction que de x. donc ils sont gaux la mme constante a.

at

ftfcx

gxg

== 22

22

2

)(11

)(1

2gx2 = ag(x)et )(

22

2

tfact

f =

a ne peut tre ngatif. En effet, si a est positif, f(t) est soit une exponentielle croissante ce qui est physiquement impossible soit une exponentielle dcroissante dont la valeur dcrot dans le temps. Donc a est ngatif ; les solutions sont donc des fonctions sinusodalesDe plus, nous avons dj vu que lquation donde est linaire, cest--dire que la somme de deux solutions de cette quation est aussi solution.

Donc les solutions stationnaires de lquation donde sont donc des combinaisons

linaires de fonctions sinusodales.

Exercice 4-5.: Considrer une onde stationnaire, superposition de deux ondes progressives de mme amplitude se propageant dans des directions Pour chacune des ondes progressives, lnergie cintique et lnergie potentielle sont gales. Est-ce le cas pour londe stationnaire ? Prendre le cas dune onde sonore stationnaire dcrite par le dplacement vibratoire : u=acos(t-kx) + acos(t+kx).

Attention, pour une onde stationnaire nergie potentielle et nergie cintique ne sont pas gales, contrairement au cas dune onde progressive.

********

4-3 Exemple de rflexion dune onde sonore :Onde sonore rencontrant un milieu dimpdance acoustique diffrente du milieu incident.

Examinons le passage dune onde progressive sonore entre deux milieux dimpdance

acoustique diffrente, par exemple :

i tr

Figure 4-4 : Passage vers une impdance plus faible

i

r

Figure 4-5 : Passage une impdance

quasiment infinie

Limpdance acoustique tant donne par cS

Z 1= , il suffit par exemple de changer la

dimension du tube dans lequel se propage londe sonore. Cest ce qui se passe quand londe se propage dans un tuyau ouvert une extrmit: aprs louverture, la section peut tre considre comme infinie et donc limpdance est nulle alors que la compressibilit et la vitesse de propagation sont les mmes. Si par contre on ferme le tuyau par un piston rigide, le produit de la compressibilit du matriau qui constitue le piston par la vitesse de c

Ondes 4-5

propagation du son dans ce matriau est plus faible que dans lair et limpdance de ce milieu est alors plus grande quau niveau du tube rempli dair.

Reprons par le point A la position de la frontire entre les deux milieux. Choisissons les grandeurs physiques les plus pertinentes pour dcrire les lois de conservation au passage en A. Il est clair que le dbit doit se conserver, car il y a conservation de la matire. Au point A dans le milieu incident:

Q(A, t) = Qi(A, t) + Q r(A,t) Au point A, dans le second milieu: Q(A, t) = Qt (A,t) . On en dduit donc: Qi (A, t) + Qr (A,t) = Qt (A, t)

Rem : dans le cas dun piston qui ferme le tube, Qi (A, t) + Qr (A, t) = Qt (A, t) = 0

De mme, il est clair que la puissance transporte se conserve (conservation de lnergie)

Pi(A, t) + Pr (A,t) = Pt (A, t) ,

cest--dire: pi(A, t)Qi(A, t) +pr (A,t)Qr (A,t) = pt( A,t )Qt (A, t)

ZQi2 (A, t) ZQr2 (A, t) = Z' Q t2 (A, t) . En combinant avec lquation de conservation du dbit, on en dduit:

ZQi (A, t) ZQr (A, t) = Z' Qt (A, t)

cest--dire: pi(A, t) +pr (A, t) = pt (A, t)

A partir des deux quations: Qi (A, t) + Qr (A,t) = Qt (A, t)

ZQi (A, t) ZQr (A, t) = Z' Qt (A, t) , on peut dduire:

),('

2),( tAQZZ

ZtAQ it +=

),(''),( tAQ

ZZZZtAQ ir +

= soit:

),('

'2),( tApZZ

ZtAp it += pr (A,t) = Z' ZZ + Z' pi(A,t)

Pour dfinir correctement un coefficient de rflexion ou de transmission, on va comparer les puissances transmises et rflchies la puissance incidente:

),(),()'('4),(),(),(P 2 tAptAQZZ

ZZtAptAQtA iittt +==

Ondes 4-6

Pr (A,t) = Qr (A, t)pr (A,t) = (Z Z' )2

(Z + Z' )2 Qi(A, t)pi(A, t)

On en dduit donc:

T = Pt(A,t)Pr ( A,t )

= 4ZZ'(Z + Z' )2 R =

Pr (A,t)Pr (A,t)

= (Z Z' )2

(Z + Z' )2

Exercice 4-6.: Montrer que 1=R+T

Cas particuliers:

- tuyau ouvert: Z=0: pt (A,t) = 0 et donc pr (A, t) = pi(A,t) Il y a un nud de pression lextrmit . En fait ce nud nest pas exactement au niveau du point A mais dcal dune longueur qui est de lordre de grandeur du diamtre du tuyau. - tuyau ferm: Z= et donc Qt (A,t) = 0, Qr (A,t) = Qi(A,t)

Il y a un nud de dbit au niveau de la fermeture. Dans les deux cas R=1 et T=0.

Onde transmise gnre: En un point x quelconque:

Qt (x, t) = Qt (A, t x xAc' ) En notation complexe : Q t(x) = Q t (A)exp ik' (x xA )[ ]

Onde rflchie gnre:

en un point x quelconque: Qr (x, t) = Qr (A, t + x x Ac ) En notation complexe : Q r (x) = Q r (A)exp ik(x xA)[ ]

********* 4-4 Rflexions multiples -Rsonance

Cas du tuyau sonore

Considrons les exprience suivantes :

Figure 4-6 : Tuyau ferm Figure 4-7 : Tuyau ouvert

lextrmit

Ondes 4-7

Interrogeons nous sur le devenir de londe rflchie. Aprs avoir t produite lextrmit droite du tuyau, elle se redirige vers le piston o elle va tre rflchie son tour et ainsi de suite. Certaines ondes stationnaires vont donc stablir plus facilement et lon parle de rsonance. Dans le cas du tuyau ferm :

Fig 4-8 : Ondes stationnaire dans un tuyau ferm aux deux extrmits

(reprsentation du dbit)

Si on admet que les conditions de rflexions sont identiques aux deux extrmits, cela implique que, en x=0 et en x=L, londe stationnaire prsente des nuds de dplacement. Ceci entrane donc une condition sur la valeur de la longueur donde. En effet, deux nuds sont spars par un nombre entier de fois /2. Donc seules certaines longueurs donde vont permettre ltablissement dondes stationnaires correctes :

L = p p2

, soit p = 2Lp Ces longueurs donde correspondent des pulsations ou des frquences particulires :

p = p c2L Dans le cas du dessin de la figure 4-8 : p=4 La frquence correspondant p=1 (c/2L) est appele frquence fondamentale. Les autres frquences qui sont des multiples entiers de cette frquence fondamentale sappellent les harmoniques. Le calcul complet est propos en problme dans la suite. Exercice 4-7.:Reprsenter londe stationnaire pour p=1, p=2, p=3 Cas dun tuyau ouvert une extrmit et ferm lautre

Fig 4-9. Onde stationnaire dans un tuyau ferm une extrmit et ouvert lautre

(reprsentation du dbit)

Les conditions sur la longueur donde deviennent : L = (p + 12

) p2

, cest--dire

p = ( p + 12)c

2L= (2p +1) c

4L

Les frquences correspondent sont donc des multiples impairs de la frquence fondamentale qui est maintenant gale c/4L.

Ondes 4-8

Exercice 4-8.: A quelle harmonique correspond le dessin de la figure 4-7 . reprsenter les ondes stationnaires correspondant aux harmoniques infrieures. Exercice 4-9.: Examiner le cas dun tuyau ouvert aux deux bouts Remarques sur les instruments vent Certains instruments de musique vent fournissent une ralisation approche de tuyaux ouverts ou ferms - la flte est un tuyau cylindrique ouvert aux deux bouts - la clarinette est ouverte un bout mais ferme lembouchure. - les tuyaux dorgue sont ouverts une extrmit et sont soit ferms soit ouverts du ct de lembouchure.

Il est important de noter que dans un tuyau ouvert, le nud de pression nest pas exactement situ dans le plan terminal du tuyau mais un peu au-del une distance proportionnelle au diamtre du tuyau. On introduit alors une longueur effective un peu suprieure la longueur relle. - il est difficile dimaginer un tuyau strictement ferm au deux bouts. On pourrait imaginer

tablir un systme dondes stationnaires laide dun piston que lon pourrait isoler par la suite ; mais dinvitables pertes dnergie (il y en fait un peu de transmission dans les parois) provoqueraient un amortissement de londe dont lamplitude dcrotrait avec le temps.

Cas de la corde vibrante Ce problme a t abord pendant les sances de Travaux Pratiques. La corde tant attache au deux bouts (ce sera vrai dans tous les instruments corde), le dplacement est donc nul aux deux extrmits. On va donc retrouver les mmes conditions de rsonance que pour un tuyau ferm (ou bien ouvert) aux deux bouts savoir :

L = p p2

, soit p = 2Lp et donc p = pc

2L= p

2LT .

Une corde tendue de longueur L vibre donc des frquences particulires: la frquence fondamentale (p=1) et des frquences multiples de cette frquence fondamentale ou harmoniques. Cette frquence fondamentale dpend de la longueur de la corde et de la clrit c des ondes mcaniques transverses sur cette corde, clrit qui dpend elle-mme de la tension T et de la masse linique de la corde. En vibrant la corde dplace de l'air autour d'elle et engendre une onde sonore de mme frquence que celle avec laquelle elle vibre. D'o le son gnr par une guitare ou un piano. Pour augmenter la frquence sonore gnre par une corde vibrante, on peut: - diminuer sa longueur (en la pinant par exemple) - augmenter la tension (rglage des cordes dans tout instrument corde) - diminuer sa masse linique (comparer la section des cordes dans un piano); Si on excite la corde en la pinant ou n la frappant, on obtient en gnral la superposition de diffrents modes, soit:

u(x,t ) = app=1 sin pxL cos 2 pt + p[ ]

Ondes 4-9

u(x,t ) = app=1 sin pxL cos 2p1t + p[ ]

Les valeurs de ap et p dpendent de la faon dont on a excit la corde initialement.

Par exemple, si on l'a juste dplace sans lui donner de vitesse initiale, toutes les phases p seront nulles ; l'amplitude ap de chacun des modes dpend de la forme de la dformation qu'on lui a fait subir (voir le chapitre 6 , l'option dcouvertes exprimentales ou le site web pour une simulation).

Ondes 4-10

4-5 PROBLEMES et exercices complmentaires

Exercice 4-10. (extrait d'un contrle continu S3 2002-03)

Dans lexprience du tube sonore utilis en TP et ouvert aux deux bouts, on mesure une amplitude sonore importante pour les frquences suivantes , le gnrateur ne dlivrant pas de frquence en-dessous de 1000Hz, 1020Hz, 1360 Hz, 1700Hz, 2040 Hz

On prendra la vitesse du son dans lair gale 340 ms-1. * Dterminer la valeur de la frquence fondamentale * En dduire la longueur du tuyau. * Reprsenter schmatiquement londe sonore dans le tuyau pour les quatre frquences ci-dessus.

Exercice 4-11.Onde stationnaire sur une corde

Le mouvement dune corde est reprsent par:

u = a sin xb

cos(4t)

avec a= 0.04m et b=0.4m. t est exprim en seconde et x en mtre.

- Quelle est la frquence de londe? Quelle est sa longueur donde? Quelle est la vitesse de propagation ou clrit de londe sur la corde?

- O sont situs les nuds de vibration? Les ventres? - Exprimer lnergie cintique par unit de longueur et lnergie potentielle par unit de

longueur en notant T la tension et la masse linique de la corde. Les comparer. Conclusion?

- Trouver les expressions des deux ondes progressives dont la rsultante conduit cette onde stationnaire. Dterminez notamment leur amplitude et leur phase

Exercice 4-12.Ondes stationnaires et rsonance 1- Un puits ayant des parois verticales et de leau au fond rsonne 7 Hz et jamais

frquence plus basse. Lair dans le puits a une densit de 1.1 kg m-3, la pression est la pression normale (= 7/5). Quelle est la profondeur du puits?

2- On accorde un violon une note donne (frquence fondamentale). Quelle doit tre laugmentation relative de tension de la corde pour quelle mette une note la frquence double (un octave plus leve)?

3- Une corde de violon de 50 cm de long est fixe en ses deux extrmits, sa masse est 2g. La corde produit le son La (440Hz). A quel endroit faut-il maintenir la corde appuye pour produire un Do (528Hz)?

4- Un petit haut-parleur dont la frquence varie entre 1000 et 2000 Hz est plac au voisinage dun tuyau cylindrique de 45 cm de long ouvert aux deux extrmits. Si la vitesse du son dans lair est 300 ms-1, quelles frquences y a-t-il rsonance? Ou sont situs les nuds pour chacune des rsonances?

Problme 1 : Onde stationnaire sur une corde

Soit une corde tendue entre deux points A et B distants de 1m. Il sagit dune corde en acier de diamtre 0.24 mm tendue par une tension de 10N (masse volumique de lacier :7.8

Ondes 4-11

103 kg m-3). La corde tant initialement au repos, on impose au point A, aprs linstant initial t=0, un mouvement sinusodal de fquence 440 Hz, de vitesse positive t=0 (suivant la direction u). Lamplitude a de ce mouvement est de 0.1 mm.

x

T u

A B

1- Exprimer le dplacement u1(x,t) associ londe progressive qui en rsulte. Reprsenter la forme de la corde au temps t=T, o T est la priode temporelle de londe. Dterminer lnergie totale de londe sur une distance dune longueur donde au temps t=T.

Dterminer la puissance transporte par londe en un point quelconque et un temps quelconque avant sa rflexion au point B. 2- De mme au point B, on impose un mouvement sinusodal aprs t=0, de mme frquence que celui en A, de mme amplitude et de vitesse ngative. Exprimer le dplacement u2(x,t) associ londe progressive qui en rsulte sur la corde. Dessiner la forme de la corde dforme uniquement par cette deuxime onde au temps t=T. Dterminer lnergie totale de londe sur une distance dune longueur donde au temps t=T, o T est la priode temporelle.

Dterminer la puissance transporte par londe en un point quelconque et un temps quelconque avant sa rflexion au point A. 3- Juste avant que les deux ondes ne se rflchissent, exprimer la forme de londe rsultante. Est-ce une onde ? Est-ce une onde progressive ? Montrer que lamplitude est toujours nulle en certains points. O sont situs ces points ? Montrer que la vitesse est toujours nulle en certains points. O sont situs ces points ? 4-Exprimer lnergie cintique par unit de longueur de londe rsultante ainsi que son nergie potentielle par unit de longueur en un point quelconque. Sont-elles gales?

Exprimer lnergie totale par unit de longueur e. En dduire lnergie sur une distance d une longueur donde. comparer celle des deux ondes progressives lorigine de cette onde.

Soit P la puissance associe l onde rsultante. En admettant que et = Px ou en utilisant

P = T uxut , exprimer la puissance P associe londe rsultante. Montrer que sa valeur

moyenne dans le temps est nulle en tout point. Justifier qualitativement pourquoi.

*********

Problme 2 : Exemple dune onde sonore dans un tuyau : calcul complet

Considrons un tuyau de longueur L dans lequel on cre une onde sonore laide dun piston situ en O. Lextrmit du tuyau est soit ferme (fig 4.10) soit ouvert (fig 4.11)

Ondes 4-12

Figure 4-10 : Tuyau ferm Figure 4-11 : Tuyau ouvert

lextrmit En Travaux Pratiques, vous avez ralis ce genre dexpriences et vous avez constat lapparition de rsonance pour certaines frquences dexcitation. Nous allons examiner cette question sous forme de problme:

On considre un tuyau de longueur L, de section s, daxe Ox, dbouchant sur un autre tuyau de sections S plus grande que s et de longueur trs grande (cas du tuyau ouvert). Les deux tuyaux sont remplis du mme fluide de masse volumique . La clrit des ondes acoustiques est c. A lentre du premier tuyau, un piston vibrant la frquence engendre des ondes acoustiques. Ce dispositif schmatise lmission des sons musicaux par un instrument vent perce cylindrique. Lobjectif de ce problme est de montrer que londe se propageant dans le second tuyau na une amplitude ngligeable que pour des valeurs de la frquence voisine des frquence de rsonance du premier tuyau considr comme ferm un bout et ouvert lautre.

Supposons que le piston est anim dun mouvement oscillant la pulsation : u0 = Acos( t + 0 ) .

En amplitude complexe : u 0 = Aexp it +i 0 On prend lorigine de laxe Ox la jonction des deux tuyaux, le piston est donc labscisse L.

L

x

Dans le premier tuyau, on va considrer les ondes sinusodales progressives en utilisant la notation en amplitude complexe pour le dplacement vibratoire des molcules : u u i(x)=A i exp(-ikx+it), o A i est un nombre complexe :Ai = ai exp[i i ] u r(x)=A r exp(ikx+it), o A r est un nombre complexe :Ar = a r exp[i r ]

Dans le second tuyau : u t(x)=A t exp(-ikx+it). avec A t = a t exp[i t ]

1-Comparer k et k. Exprimer les en fonction de la frquence et de la clrit c. Exprimer pour chacune des ondes le dbit et la pression vibratoire en notation complexe:

, Q i (x) Q r (x) , , Q t (x) p i(x) , p r (x) , p t (x) . Quelles sont les impdances acoustiques Z et Z dans les deux tuyaux? 2-Ecrire lexpression des dplacements rels ui(x,t), ur(x,t), ut(x,t). 3- Exprimer les quations de continuit que doivent respecter les ondes la jonction des deux tuyaux en x=0. En dduire r= Ar/Ai et t=At/Ai.

Ondes 4-13

4- En dduire lamplitude complexe rsultante de londe en x=-L. Les ondes dans le milieu 1 sont engendres par le mouvement du piston dont le dplacement par rapport la position dquilibre est u= a cos (2t). Le mouvement du tuyau correspond la rsultante du dplacement de londe incidente et de celui de londe rflchie. En dduire lamplitude complexe de londe incidente, puis celle de londe transmise dans le second tuyau en fonction de a, k , L et du rapport =S/s. 5- Soit P(k) la puissance acoustique moyenne transporte par londe dans le second tuyau. Exprimer P(k) en fonction de a, k, L, S et s et des caractristiques du milieu. 6- Pour caractriser lefficacit de lmission des ondes par le dispositif on forme le rapport de la puissance moyenne rayonne au carr de lamplitude de la vitesse du piston : G(k)= P(k)/a2w2. 6- Chercher les valeurs de k pour lesquelles G(k) est maximale puis minimale ainsi que les valeurs prises par G au maximum GM et au minimum Gm. Calculer GM / Gm pour S/s=20. A quoi correspondent les valeurs de k au maximum? On trouve que :

G(k) = S2c

2(1+ 2 + (2 1) cos2kL) =

S2c

1( 2 (2 1)sin2 kL) avec =

Ss

Ce rapport est maximum quand cos2kL est gal -1, il est minimum quand cos2kL est gal

1 et GMGm

= 2 = Ss

2=400.

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Reprsentation dune fonction proportionnelle G(k) en fonction de k pour L=1 et a=10.

cos2kL=-1 correspond L= 4

+ p 2

Ceci correspond une condition de rsonance du tuyau ouvert un bout et ferm lautre.

*******

Problme 3 : Tuyau sonore prsentant une constriction

Soit un tuyau sonore de section S prsentant sur une longueur L un rtrcissement de section s. Lobjectif de ce problme est de calculer le coefficient de transmission de ce tuyau.

O

l

S s

Ondes 4-14

On va caractriser les ondes sonores par la vitesse de dplacement vibratoire en notation complexe. Soit , la frquence de londe incidente. 1- Exprimer la vitesse vi (x,t) de londe incidente, v r(x,t) celle de londe rflchie dans la partie xl. On notera simplement vi lamplitude complexe associe londe incidente (notation identique pour les autres). 2- Exprimer les pressions vibratoires associes. 3- Dans la partie intermdiaire, on va supposer quil y a superposition dune onde incidente

et dune onde rflchie dont les vitesses seront dcrites par v (x,t) et vil

rl (x,t).

4- Exprimer les pressions vibratoires associes. 5- Ecrire les relations de continuits en x=0 et x=l. Vous devez obtenir 4 quations de con

tinuit.

6- En dduire vtvi

, ptpi .

7- Exprimer le rapport T des puissances moyennes transportes par londe transmise et par londe incidente. Montrer que : T = 1

1 + (1 2 )2

42 sin2 (kL)

o =s/S

8- Examiner les cas particuliers : s=0, s=S et L=0. 9- Reprsenter T en fonction de la frquence incidente . Commenter. 10- Reprsenter laide de Mathmatica T(y) en fonction de y= 2kL pour S=20cm2, s=1cm2. Calculer T pour =62.8 cm et l= 1cm.

****** Problme 4: Transmission dune onde sonore travers une paroi

Une paroi rigide plane (cloison sparant deux pices) a une masse par unit de surface. Ses deux faces sont en contact avec un mme gaz (air) de masse volumique et de compressibilit ,. Soit c, la clrit du son dans lair. On appelle x, laxe perpendiculaire la paroi et qui va tre aussi la direction dans laquelle les ondes sonores vont se propager. La paroi est mince et sa position va servir dorigine laxe Ox.

Un mlomane joue de la trompette dans la pice situ du ct des x

3- Ecrire les amplitudes complexes de la vitesse, du dbit et de la pression acoustique en un point quelconque pour x>0, puis pour x

A t=0, reprsenter u en fonction de y pour x=a/2 (au milieu de la membrane). Mme question pour t=T/4, o T est la priode temporelle de londe. Mme question pour t=T/2, o T est la priode temporelle de londe. 7- On sintresse au mode m=1, n=2 A t=0, reprsenter u en fonction de x pour y=b/2 (au milieu de la membrane dans la direction y). A t=0, reprsenter u en fonction de x pour y=b/4 . A t=0, reprsenter u en fonction de y pour x=a/2 (au milieu de la membrane dans la direction x). 7- Lnergie par unit de surface associe une onde transverse sur une membrane est :

ES = 12 ut

2

+ 12

Yux

2

+ 12

Yuy

2

En dduire lnergie totale du mode (m,n).

******** Partiel S3 SMPE 2002-2003

Partiel de physique -13 novembre 2002 Dure de lpreuve 2h

Aucun document autoris, calculette collge autorise.

(Barme approximatif: Exercices 5 Problme 15)

EXERCICES:

Exercice 1: Lexplosion de lusine AZF de Toulouse situe environ 10km du centre ville, a dabord provoqu dans le centre ville une secousse sismique dans le sol, puis environ 20s plus tard une violente dflagration a secou le centre ville. - Expliquer ce dcalage entre les deux phnomnes. - Estimer le temps qui sest coul entre lexplosion de lusine et la dflagration au centre ville. - Donner un ordre de grandeur de la vitesse du son dans le sol. Exercice2:

Une corde de masse linique = 0.1 g cm-1 et de tension 50N est excit en x=0 par un mouvement sinusodal damplitude 1cm , de frquence 100Hz. On prendra une phase nulle en x=0 t=0.

Dterminer la vitesse de propagation de cette onde et sa longueur donde. Exprimer le dplacement u(x,) de la corde ainsi que langle (x,t) que la corde fait

avec lhorizontal ( est suppos petit). Que vaut langle au maximum? Quelle est, au cours du temps, la force transversale quil faut appliquer en 0 pour

provoquer le mouvement? Quelle est la valeur maximale de la force?

PROBLEME:

Lisez le texte jusquau bout: de nombreuses question sont indpendantes les unes des autres

Ondes 4-17

Une onde sonore plane se propage dans un tuyau de section S parallle laxe des x. La vitesse vibratoire est de la forme v i(x,t) = vo cos(t kx) o v0 est un nombre positif. Onde progressive a) Exprimer la vitesse du son dans lair en fonction de la compressibilit adiabatique de lair et de la masse volumique.

Que vaut la compressibilit de lair suppos gaz parfait diatomique (=7/5) pression atmosphrique ambiante?

La vitesse du son dans lair tant de 340ms-1, en dduire la masse volumique de lair . b) Ecrire la reprsentation complexe v i (x,t)de vi (x,t). c) Donner les reprsentations complexes du dplacement vibratoire ui (x,t) et de la surpression associe londe ainsi que les expressions relles correspondantes.

d) Dterminer en fonction de S, et c limpdance caractristique Z = piSvi

.

e) Exprimer en fonction de S, Z et vo la puissance transporte par londe au point x linstant t. Quelle est la puissance transporte par londe moyenne dans le temps? En dduire lintensit de londe. Quelle est lunit de cette intensit? f) Lintensit de londe est 10-5 SI: Que vaut-elle en dcibels? Quelle est la valeur de vo? En dduire lamplitude de la surpression vibratoire. Onde stationnaire

Le tuyau occupe le demi-axe x

a) Exprimer le bilan des forces subies par le ressort en prsence de londe. Que peut-on dire de la pression pour x>0 en ngligeant toute onde transmise dans la partie x>0. b) Soit u(t) le dplacement du piston. En labsence de frottement, crire lquation du mouvement du piston. Quelle est la frquence propre 0 du piston? c) Dduire de cette quation du mouvement lamplitude complexe en fonction de u p (0). d) La vitesse du piston est celle des molcules dair en x=0. En dduire u en fonction de

+

v i (0) v r (0) . e) En exprimant p (0) en fonction de et v i (0) v r (0) , dduire lquation reliant et v i (0) v r (0) .

f) Montrer que v r (0) v i (0)

=1 icmS (

2 02 )1+ icmS (

2 02 ).

g) Monter que S

cm a la dimension dune frquence. En dduire que l quation de la question prcdente est homogne

h) Que vaut v r (0) v i (0)

dans les trois cas suivants: trs basse frquence (->0) , trs haute frquence (->), la frquence propre de loscillateur? Commenter.

i) A partir de v r (0) v i (0)

=1 icmS (

2 02 )1+ icmS (

2 02 ), dduire que la puissance rflchie moyenne

est gale la puissance incidente moyenne. En sera-t-il de mme si on ajoute des frottements? 8- Montrer que le dphasage entre v r (0) et est donn par : v i (0)tan( / 2) = cmS (

2 02 ) . Reprsenter en fonction de .

Ondes 4-19

ANNEXE : CORRECTION DES PROBLEMES :

Correction problme2 :

1- k = k' = c

= 2c

Q i(x,t ) = isui(x,t) , Q r (x, t) = isur (x, t) , Q t(x,t) = iSut (x,t) p i(x,t) = i k ui(x, t) , p r (x, t) = i

k ur (x, t), p t (x,t) = i

k ut(x,t)

Z= p i(x, t) Q i (x, t)

= 1cs ; Z= p t (x, t) Q t(x, t)

= 1cS ; 2- ui (x, t) = aiCos(t kx + i ) u r(x, t) = a rCos(t + kx + r ) ut (x, t) = a tCos(t kx + t ) 3- en x=0 : et Q i(0,t) + Q r (0,t) = Q t(0,t) p i(0, t) + p r (0, t) = p t(0,t)

Do: is(Ai + Ar ) = iSAt et i k (A i A r ) = ik At

Do: Ai + A r = Ss At = At

Ai Ar = At

Do A tAi

= 21 + =t et

A rAi

= 11 + = r = 1-t.

4- en x=-L: u(L,t) = Ai exp(ikL + it) + Ar exp(ikL + it) = aexp(it) On en dduit:

Ai = aexp(ikL) + r exp(ikL) A t = taexp(ikL) + r exp( ikL) =

2a(1 + )exp(ikL) + (1 ) exp(ikL)

5- Puissance moyenne transmise dans le second tuyau:

P(k) == 1

2k S At

2 = 12

Sc

2 At2

Efficacit: G(k)=P(k)a2 2 =

S2c

At2

a2

Or

Ondes 4-20

At2

a2= 2

(1+ )exp(ikL) + ( 1)exp( ikL)[ ]2

(1 + )exp(ikL) + ( 1)exp(ikL)[ ] At

2

a2= 4

(1+ )2 + ( 1)2 + 2(1 + )( 1)cos(2kL)[ ]= 21 + 2 + (2 1)cos 2kL Ce rapport est maximum quand cos2kL est gal -1, il est minimum quand cos2kL est gal 1 (si est suprieur 1).

GMGm

= 2 = Ss

2=400

cos2kL=-1: L=4

+ p 2

(condition de rsonance du tuyau)

Conclusion : On retrouve bien la condition de rsonance dun tuyau ouvert un bout et ferm lautre. : il ya un maximum de transmission pour cetaines frquences trs marques. Le rapport entre la transmission maximale et la transmisson minimale dpend du carr des rapport des sections.

Correction problme 3:

O

l

S s

On va caractriser les ondes sonores par la vitesse de dplacement vibratoire en notation complexe. Soit , la frquence de londe incidente. Pour xl: v (x, t) = v t exp(ikx + it)

Q (x,t) = S v (x,t) = Svt exp(ikx + it) p (x, t) = 1c vt exp(ikx + it)

Ondes 4-21

Pour 0

2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Reprsentation de T(y=2kL) pour s/S=1/20

Le coefficient de transmission du tuyau rtrci est donc voisin de 1 uniquement pour

des frqences trs piques autour des frquences de rsonance du tuyau ouvert aux deux bouts. ***************************************************************************

Correction problme 4 dplacement vibratoire en notation complexe de londe incidente :

u i(x,t) = Ai exp ikx + it( ) de londe rflchie : u r (x,t) = Ar exp ikx + it( ) de londe transmise : u t(x,t) = At exp ikx + it( ) Ai ,A r et A t tant des complexes.

Ai = ai exp(i i ) , Ar = a r exp(ir ) , A t = a t exp(i t ) ai ,a r et a t tant maintenant des rels positifs.

1- k=/c 2- ui(x,t) = aiCos(t kx + i) ; ur (x, t) = arCos(t + kx + r )

ut(x,t) = atCos(t kx + t ) 3- x>o: du ct de la dormeuse:

v (x, t) = iAt exp(ikx + it); ; Q (x,t) = iAtS exp(ikx + it) p (x, t) = i k At exp(ikx + it) = i

c At exp(ikx + it)

x

6- tan = 2c

7- T = At2

Ai2 = 1

1+ 2c

2 . En db: 10logT

8- AN: =1.2 kg. m-3. Attnuation de 50 db 300Hz: 2c

2

105 , 133 kgm-2. Soit 5.8 cm de bton. (choisissez un appartement aux murs pais si vous tes mlomane et si vous ne voulez pas vous fchez avec votre voisine.) 1000Hz: attnuation 50+20log(1000/300)= 60.45dB. 5000Hz: attnuation 50+20log(5000/300)= 74.43dB (ce sont les notes graves qui sont les moins attnues).

Lattnuation acoustique travers un mur est dautant plus importante que les murs sont pais et que la frquence est leve. Elle dpend aussi de la nature du matriau.

Ondes 4-24

Cas dun tuyau ouvert une extrmit et ferm lautreProblme 1: Onde stationnaire sur une corde

En Travaux Pratiques, vous avez ralis ce genre dexpriencProblme 4: Transmission dune onde sonore travers une parCorrection problme 4

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