thermique en regime stationnaire avec cylindre

8/18/2019 Thermique en Regime Stationnaire Avec Cylindre

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G.P. DNS Novembre 2009

DNS

SujetThermique et cylindre ...........................................................................................................................1

I.Conduction longitudin le en r!gime "erm nent ............................................................................1II.Conduction l t!r le en r!gime "erm nent ....................................................................................2III. I#ol tion thermique d$une conduite de ch u%% ge centr l en r!gime "erm nent .........................2

Thermique et cylindre

&n con#id're un #olide (C) en %orme de cylindre droit * b #e circul ire de h uteur H et de r yon R + de m ##e volumique + de ch leur m ##ique c et de conductivit! thermique .

, "riori l tem"!r ture e#t une %onction de r + z + t - T = T r , z ,t .

tem"!r ture mbi nte e#t not!e T a . /n c # d$!ch nge# conducto convecti%#+ le coe%%icient detr n#%ert conducto convecti% (#u""o#! tenir com"te u##i de# !ch nge# r di ti%# lin! ri#!#) e#t not!

h ( en % it l v leur num!rique de h d!"end de# m t!ri u + de l n ture de l #ur% ce+ de ln ture de l$!coulement du %luide+ de# tem"!r ture#...Ici+ on le #u""o#e %i ! * une v leur connue ).

I. Conduction longitudinale en régime permanent1. #ur% ce l t!r le du cylindre e#t i#ol!e thermiquement et on #u""o#e R≪ H de #orte que

T = T z , t et l$on #e "l ce en r!gime "erm nent T = T z . tem"!r ture u nive u de l#ection z = 0 e#t m intenue * T 1 et l tem"!r ture u nive u de l #ection z = H e#tm intenue * T 2 .

• ire un bil n thermique "our une tr nche !l!ment ire en r!gime "erm nent.

• D!terminer T = T z en r!#olv nt l$!qu tion di%%!rentielle.

• Donner l$e "re##ion du %lu de ch leur z com"t! "o#itivement d n# le #en# croi## ntde l$ e Oz .

• 3etrouver l$e "re##ion de l r!#i#t nce thermique.

2. 3e"rendre l que#tion "r!c!dente ( 1 + 1b + 1c ) en #u""o# nt+ que le cylindre !t ntr dio cti%+ il % ille 4outer une den#it! volumique homog'ne et "erm nente de #ource de ch leur!g le * pV .

5. 3e"rendre l que#tion ( 1 + 1b + 1c ) + le cylindre e#t r dio cti%+ m i# de "lu# il y de#!ch nge# conducto convecti%# u nive u de# #ection# termin le# du cylindre. Pour cette " rtie+ on

"rendr l$origine de l$ e de# z u milieu du cylindre.

• 3e"r!#enter "our − H /2 z H /2 - T z et z . Commenter.

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• D!terminer T z = 0 .

• D!terminer z = H /2 et T z = H /2 . 8ontrer que cette v leur de %lu "ouv it#$obtenir directement. 8ontrer que l tem"!r ture du cylindre T z = H /2 "ouv it

#$obtenir directement en utili# nt l notion de r!#i#t nce thermique.

II. Conduction latérale en régime permanent

7. #ur% ce l t!r le du cylindre n$e#t " # i#ol!e thermiquement et on #u""o#e R≪ H de #orteque T = T r , t et l$on #e "l ce en r!gime "erm nent T = T r . e cylindre e#t r dio cti%- lden#it! volumique homog'ne et "erm nente de #ource de ch leur e#t !g le * pV . e cont ct

vec l$ mbi nt e#t ici #u""o#! " r% it.

• ire un bil n thermique "our un cylindre de r yon r en r!gime "erm nent.

• D!terminer T = T r en r!#olv nt l$!qu tion di%%!rentielle

• Donner l$e "re##ion du %lu de ch leur r com"t! "o#itivement d n# le #en# de# r croi## nt#.

. 3e"rendre l que#tion ( 7 + 7b + 7c ) en #u""o# nt de# !ch nge# conducto convecti%# unive u de l #ur% ce l t!r le.

• 3e"r!#enter T r et r .

• D!terminer T r = 0 .

• D!terminer r = R et T r = R . 8ontrer que cette v leur de %lu "ouv it #$obtenirdirectement. 8ontrer que l tem"!r ture du cylindre T r = R "ouv it #$obtenirdirectement en utili# nt l notion de r!#i#t nce thermique.

III. Isolation thermique d'une conduite de chauffagecentral en régime permanent

&n #e "ro"o#e d$i#oler une conduite cylindrique de r yon R dont l tem"!r ture e#t m intenue *T 0 en l$entour nt d$un m nchon cylindrique d$!" i##eur e ( de r yon com"ri# entre R et R e ). conductivit! thermique du m nchon e#t . /n r = R le cont ct thermique e#t

" r% it et en r = R e + le coe%%icient d$!ch nge e#t h . conduction thermique d n# le

m nchon i#ol nt e#t #u""o#!e l t!r le.&n #e "l ce en r!gime #t tionn ire.

:. &n con#id're un cylindre de r yon r ( R r R e ) et de h uteur H . , " rtir d$un bil n+montrer que le %lu thermique r / H " r unit! de h uteur+ com"t! "o#itivement ver#l$e t!rieur+ * tr ver# ce cylindre e#t ind!"end nt de r . D$o; "rovient ce %lu lor# qu$on !tudieun r!gime #t tionn ire<

&n tr v ille "rovi#oirement en %onction de / H lor# que cette gr ndeur e#t inconnue.

=. / "rimer j r d n# le m nchon en %onction de / H et de r .

>. /n d!duire T r d n# le m nchon en %onction de / H + + T 0 + R et r . /n d!duire

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une "remi're rel tion entre T r = R e et / H .

9. /n con#id!r nt le# "h!nom'ne# conducto convecti%# en r = R e !crire une #econde rel tionentre l tem"!r ture T r = R e et le %lu thermique lin!ique / H . /n d!duire / H en

%onction de# donn!e#.10.8ontrer que l$e "re##ion de ce %lu "ouv it #$obtenir directement en con#id!r nt deu r!#i#t nce#

thermique# en #!rie.

&n tr v ille en v ri ble# dimen#ionn!e#- = e / H

e= 0 / H + x =

e

Ret on "o#er =

R/h

.

11.?uelle e#t l dimen#ion de .

12.Tr cer x "our 1 . ?uel e#t d n# ce c # le r@le du m nchon en ce qui concerne le#!ch nge# thermique#.

15.Tr cer x "our 1 . D!terminer l$e tremum.

17.,.N. &n veut i#oler une conduite d$e u ch ude. &n h= 10 S.I. + = 0+9 S.I. (v leur lt!r!e " r l$humidit!). e r yon e terne de l$i#ol nt e#t cm . Commenter - l$i#ol tion e#t elle r!u##ie<

1 .Comment e "liquer le " r do e "" rent < Trouver une utilit! "r tique * ce "h!nom'ne "rioriin ttendu.

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+ T a


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