phonons i: vibrations du réseau -...
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Phonons I: Vibrations du réseau
Jusqu’à maintenant, nous avons considéré que les atomes ne bougeaient pas dans le cristal.
Pour continuer notre étude, nous devons maintenant inclure le déplacement des atomes dans le cristal.
Dans le prochain chapitre, nous allons voir que les vibrations des atomes sont reliées aux propriétés thermiques des cristaux, mais pour l’instant, ce chapitre se concentre sur la description de ces vibrations.
Ondes longitudinales et transverses
Onde transverse
Onde longitudinale
Chaîne monoatomique
Comme première approximation, nous pouvons considérer les atomes comme étant reliés entre eux par des ressorts.
Positions d’équilibres
us est le déplacement de l’atome s par rapport à son point d’équilibre.
La force sur l’atome s peut s’écrire:
(C est la constante du ressort) ))(2)()((
))()(())()((
11
11
tututuC
tutuCtutuCF
sss
sssss
!+=
!+!=
!+
!+
Contribution du ressort de droite
Contribution du ressort de gauche
Chaîne monoatomique(2)
)2(
e)(
,e)(
))(2)()(()(
11
2
2
2
2
112
2
ssss
ti
s
sti
ss
sss
s
uuuCuM
udt
tudutu
tututuCdt
tudMMaF
!+=!
!==
!+===
!+
!!
!+
"
" "" Dépendance en temps
Essayons une solution de la forme: iKsa
suu e=
)2)cos(2(
)2e(eee
)e2ee(e
2
2
)1()1(2
!=!
!+=!
!+=!
!
!+
KaCM
CuMu
uuuCMu
iKaiKaiKsaiKsa
iKsaasiKasiKiKsa
"
"
"
Chaîne monoatomique(3)
( )( )
( )KaM
CK
KaM
C
KaM
C
KaCM
21
2122
2
2
sin4
)(
sin4
))cos(1(2
)2)cos(2(
=
=
!=
!=!
"
"
"
"
)(sin21)2cos( 2 !! "=
relation de dispersion
!(K)
1er zone de Brillouin ( ) ( ) iKsasa
aiiKsasa
aKi
suuuu eeee
22
===+ !!
G=2!/a K et K+G correspondent à des déplacements équivalent.
aK
a
!!""#
)()( KGK !! =+
!(K) est périodique dans
l’espace réciproque
Physiquement on peut se limiter à:
Vitesse de groupe
( )KaM
Cav
dK
dv
g
g
2
1
21
2
cos!!"
#$$%
&=
='
pour une chaîne monoatomique
vg=0
vg=vitesse du son
frontière de la zone de Brillouin
(FZB)
M
Cav
vK
KM
Ca
KaKa
2
22
2
2
21 )(1)cos(
=
=
!!"
#$$%
&=
'(
)
)
Pour K~0, on retrouve le modèle élastique:
définition
Signification de vg=0 à FZB
•!L’onde est fondamentalement différente d’une onde élastique dans un médium continu.
•!Puisque !(K) est périodique, alors on doit avoir que vg=d!/dK=0 quelque part.
•!Un exemple de la diffraction de Bragg!
•!Toutes ondes (vibrations ou autres) est diffractées à la FZB
•!Il en résulte une onde stationnaire avec une vitesse de groupe nulle.
Frontière de la 1er zone de Brillouin
Sens de la périodicité dans l’espace réciproque
Ceci est un résultat général valide dans tous les cristaux peu importe la dimension
Une vibration est un exemple d’une excitation. Les atomes ne sont pas dans un état d’énergie minimum puisqu’ils bougent.
Une excitation a un vecteur de référence K qui est périodique
Déformation élastique
20
02
2
0
)(2)()(lim
)()()()(
lim
)2
()2
(lim
x
xfxxfxxf
x
x
xxfxf
x
xfxxf
dx
fd
x
xxfxxf
dx
df
x
x
x
!
"!"+!+=
!
!
!"""
!
"!+
=
!
!""!+=
#!
#!
#!
Ondes longitudinales et transverses
Onde transverse
Onde longitudinale
(2) e transvers parallel-anti
(1) alelongitudin parallel
e )(
!
!
="#
ku
ku
uutski
s
!!
!!
!! !!
!$
Chaîne diatomique
us vs
M1 M2
))(2)()(()(
))(2)()(()(
12
2
2
12
2
1
tvtutuCdt
tvdM
tutvtvCdt
tudM
sss
s
sss
s
!+=
!+=
+
!
Équations de mouvement pour tous les atomes de la chaîne:
Chaîne diatomique(2)
Solutions du types: )()( e)(,e)( tKsai
s
tKsai
svtvutu
!! ""==
02)e1(
)e1(2
;2)1(e
,2)e1(
2
2
2
1
2
2
1
2
=!+!
+!!
!+=!
!+=!
!
!
"
"
"
"
MCC
CMC
CvCuvM
CuCvuM
iKa
iKa
iKa
iKa
Solution seulement si le déterminant = 0
!
M1M
2" 4
# 2C(M1+ M
2)" 2
+ 2C2(1# cosKa) = 0
Chaîne diatomique(3)
!+!"22
2
11cos aKKaPour K petit:
!
M1M
2" 4
# 2C(M1+ M
2)" 2
+ C2K2a2
= 0
!
"±
2#2C(M
1+ M
2) ± 4C
2(M
1+ M
2)2 $ 4M
1M
2C2K2a2
2M1M
2
"±
2 #
2C(M1
+ M2) ± 2C(M
1+ M
2) 1$
4M1M
2C2K2a2
4C2(M
1+ M
2)2
2M1M
2
"±
2 #
2C(M1
+ M2) ± 2C(M
1+ M
2) 1$
1
2
M1M
2K2a2
(M1
+ M2)2
%
& '
(
) *
2M1M
2
"±
2 #
2C(M1
+ M2) ± 2C(M
1+ M
2) $
M1M
2CK
2a2
(M1
+ M2)
%
& '
(
) *
2M1M
2
Chaîne diatomique(4)
22
21
2
21
212
)(2,)(2
aKMM
C
MM
MMC
+!
+! "+ ##
mode optique mode acoustique
En général •!mode longitudinal(1) optique = LO •!modes transverses(2) optique = TO •!mode longitudinal(1) acoustique = LA •!modes transverses(2) acoustique = TA
Quantification des vibrations du réseau
•!Le calcul des phonons est simplement une manipulation mathématique pour découpler les modes normaux du réseau cristallin.
•!Un fois découplés, on peut facilement assigner une énergie pour chaque mode:
)()(21
KnKK
!" !+=
•!Un phonon est un quanta énergie pour un certain mode normales du réseau.
Amplitude des phonons
•!Phonon est un oscillateur harmonique.
•!En mécanique, l’amplitude de oscillation peut prendre n’importe quelle valeur.
•!En mécanique quantique, puisque l’énergie est quantifiée, l’amplitude le sera aussi.
Nous voulons maintenant calculer l’amplitude du mouvement des atomes d’un phonon sachant son énergie.
Considérons une onde stationnaire:
Nous savons que pour un oscillateur harmonique, l’énergie potentiel est
!
1
2m" 2
us(t)
2 =1
2m" 2
uo
2cos(Kx)cos("t)( )
2
!
u = uocos(Kx)cos("t)
Amplitude des phonons (2)
!
1
2m" 2
uo
2cos("t)
tempscos(Kx)
espace=1
2m" 2
uo
2 1
2
1
2=1
8m" 2
uo
2
Moyenne en temps et dans l’espace:
Pour un oscillateur harmonique, l’énergie potentielle est la moitié de l’énergie totale:
!
1
8m" 2
uo
2 =1
2n +1 2( )!"
uo
2 =4 n +1 2( )!
m"
Matériaux Hybrides
Structure perovskite
Inor
gani
que
Per
ovsk
ite
(SnI
4)
Org
aniq
ue
(C6H
6C2H
4NH
3)
ref: C.R. Kagan et al. Science, vol 286, p. 945, October 1999 IBM TJ Watson Research Center
CsSnI3
Phonon mou
Transition de phases: Alpha vers Beta
Quantité de mouvement d’un phonon
)0pour (sauf 0
)(
)(
==
=
=
!
!
K
edt
tdum
tudt
dmp
isKa
s
Pour K=0, cela correspond à une translation totale du cristal
Quantité de mouvement du cristal
322
2
1DxxmH += !
Approximation harmonique
Perturbation
!! "++#"""==
$$%
n
rKKKiriKriK
n
riK
KKK
nnnn eeee
tututux
)(
3
321321
321)()()(
GKKK ou 0321=++